Иррационал илэрхийллийн харьцуулалт. Иррационал илэрхийллийг хөрвүүлэх

ПРАКТИК АЖИЛ №1

Сэдэв: "Алгебрийн, рациональ, иррационалийн хувиргалт, хүч чадлын илэрхийлэл».

Ажлын зорилго: Алгебрийн, рациональ, иррациональ, чадлын илэрхийлэлүүдийг үржүүлэх товчилсон томъёо, язгуур, зэрэглэлийн үндсэн шинж чанаруудыг ашиглан хувиргаж сурах.

Онолын мэдээлэл.

ТООНГҮЙ БАЙГАЛИЙН ЗЭРГИЙН ҮНДЭС, ӨНДӨР.

Үндэс n - градус : , n - язгуур илтгэгч, A - радикал илэрхийлэл

Хэрэв n - сондгой тоо, дараа нь илэрхийлэл хэзээ гэдэг нь ойлгомжтой А

Хэрэв n - тэгш тоо, дараа нь илэрхийлэл нь утга учиртай болно

Арифметик үндэс:

Сөрөг тооны сондгой язгуур:

ҮНДЭСНИЙ ҮНДСЭН ШИНЖ

Бүтээгдэхүүнээс үндсийг нь гаргаж авах дүрэм:

Үндэсээс үндэс гаргаж авах дүрэм:

Үндэс тэмдгийн доороос үржүүлэгчийг арилгах дүрэм:

Үндэс тэмдгийн дор үржүүлэгчийг оруулах:

,

Үндэс болон радикал илэрхийллийн индексийг ижил тоогоор үржүүлж болно.

Үндэсийг хүчирхэг болгон өсгөх дүрэм.

БАЙГАЛИЙН ҮЗҮҮЛЭЛТТЭЙ ЗЭРЭГ

= , а - зэрэг олгох үндэслэл,n – илтгэгч

Үл хөдлөх хөрөнгө:

Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд илтгэгчийг нэмэх боловч суурь нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Ижил сууриудтай градусыг хуваахдаа илтгэгчийг хасах боловч суурь нь өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Хүчин чадлыг өсгөхөд илтгэгчийг үржүүлнэ.

Хоёр тооны үржвэрийг нэг зэрэглэлд хүргэхэд тоо бүрийг тухайн түвшинд өсгөж үр дүнг нь үржүүлнэ.

Хэрэв хоёр тооны категорийг нэг зэрэглэл болгон өсгөвөл хүртэгч ба хуваагчийг энэ зэрэгт өсгөж үр дүн нь бие биендээ хуваагдана.

БҮХЭЛ ТООН ҮЗҮҮЛЭГЧТЭЙ ЗЭРЭГ

Үл хөдлөх хөрөнгө:

цагт r >0 > цагт r <0

7 . Аливаа рационал тоонуудын хувьдr Тэгээдс тэгш бус байдлаас > ёстой

> цагт а >1 цагт

Үржүүлэх товчилсон томъёо.

Жишээ 1.Илэрхийлэлийг хялбарчлах.

Хүчин чадлын шинж чанаруудыг хэрэглэцгээе (давхыг үржүүлэх ижил суурьижил суурьтай эрх мэдлийн хуваарилалт): .

Хариулт: 9м 7 .

Жишээ 2.Бутархайг багасгах:

Шийдэл нь x ≠ 1 ба x ≠ -2-оос бусад бүх тоонууд юм. .Бутархайг багасгаснаар бид .Үргэлжлэх бутархайн тодорхойлолтын муж: x ≠ -2, i.e. анхны бутархайн тодорхойлолтын хүрээнээс илүү өргөн. Иймд x ≠ 1 ба x ≠ -2-ын хувьд ба бутархайнууд тэнцүү байна.

Жишээ 3.Бутархайг багасгах:

Жишээ 4.Хялбарчлах:

Жишээ 5.Хялбаршуулах:

Жишээ 6.Хялбарчлах:

Жишээ 7.Хялбарчлах:

Жишээ 8.Хялбарчлах:

Жишээ 9.Тооцоолох: .

Шийдэл.

Жишээ 10.Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

Шийдэл.

Жишээ 11.Хэрэв бутархайг багасгах

Шийдэл. .

Жишээ 12.Бутархайн хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас өөрийгөө чөлөөл

Шийдэл. Хуваарийн хувьд бид 2-р зэргийн иррациональтай тул бутархайн хуваагч ба хуваагчийг хоёуланг нь нэгтгэсэн илэрхийллээр, өөрөөр хэлбэл тоонуудын нийлбэрээр үржүүлбэл хуваарьт бид квадратуудын зөрүүтэй байна. үндэслэлгүй байдлыг арилгадаг.

1. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

, энд a нь рационал тоо, б - натурал тоо

,

5. Хялбарчил:

;

,
,

10. Энэ үйлдлийг дагана уу:

8. Бутархайг багасга

9. Арга хэмжээ авах

СОНГОЛТ - II

1. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

2. Илэрхийллийн утгыг ол.

3. зэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ бутархай үзүүлэлтүндэс хэлбэрээр

4. Хар тугалга тодорхойлсон илэрхийлэлсанаанд
, энд a нь рационал тоо, б - натурал тоо

,

5. Хялбарчил:

;

6. Арифметик язгуурыг бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлээр соль

,
,

7. Илэрхийллийг хуваагч нь язгуур тэмдэггүй бутархайгаар илэрхийлнэ

10. Энэ үйлдлийг дагана уу:

8. Бутархайг багасга

9. Арга хэмжээ авах

1. Энэ үйлдлийг дагана уу:

2. Илэрхийллийн утгыг ол.

3. Бутархай илтгэгчтэй хүчийг язгуураар төлөөл

4. Заасан илэрхийллийг маягт болгон багасгана
, энд a нь рационал тоо, б - натурал тоо

,

5. Хялбарчил:

;

6. Арифметик язгуурыг бутархай илтгэгчтэй зэрэглэлээр соль

,
,

7. Илэрхийллийг хуваагч нь язгуур тэмдэггүй бутархайгаар илэрхийлнэ

10. Энэ үйлдлийг дагана уу:

8. Бутархайг багасга

9. Арга хэмжээ авах

СОНГОЛТ - IV

1. Энэ үйлдлийг дагана уу:

2. Илэрхийллийн утгыг ол.

3. Бутархай илтгэгчтэй хүчийг язгуураар төлөөл

,

4. Заасан илэрхийллийг маягт болгон багасгана
, энд a нь рационал тоо, б - натурал тоо

,

5. Хялбарчил:

Иррационал илэрхийлэл ба тэдгээрийн хувиргалт

Хамгийн сүүлд бид энэ нь юу болохыг санаж (эсвэл хэнээс хамаарч сурсан). , ийм үндсийг хэрхэн гаргаж авах талаар суралцаж, үндэсийн үндсэн шинж чанарыг хэсэг хэсгээр нь олж мэдээд, үгүй ​​гэж шийдсэн. нарийн төвөгтэй жишээнүүдүндэстэй.

Энэ хичээл нь өмнөх хичээлийн үргэлжлэл байх бөгөөд хамгийн ихийг өөрчлөхөд зориулагдсан болно янз бүрийн илэрхийлэлбүх төрлийн үндэс агуулсан. Ийм илэрхийлэл гэж нэрлэдэг үндэслэлгүй. Үсэг бүхий илэрхийлэл, нэмэлт нөхцөл, бутархай дахь утгагүй байдлаас ангижрах, үндэстэй ажиллах зарим дэвшилтэт техникүүд энд гарч ирнэ. Хэлэлцэх техникүүд энэ хичээл, шийдвэрлэх сайн суурь болно Улсын нэгдсэн шалгалтын асуудал(зөвхөн биш) бараг бүх түвшний нарийн төвөгтэй. Ингээд эхэлцгээе.

Юуны өмнө би энд хуулбарлах болно үндсэн томъёоба үндэсийн шинж чанар. Сэдвээс сэдэв рүү үсрэхгүйн тулд. Тэд энд байна:

цагт

Та эдгээр томъёог мэдэж, тэдгээрийг хэрэгжүүлэх чадвартай байх ёстой. Мөн хоёр чиглэлд - зүүнээс баруун тийш, баруунаас зүүн тийш. Ямар ч нарийн төвөгтэй байдлын үндэстэй ихэнх ажлуудын шийдэл нь тэдгээрт суурилдаг. Одоохондоо хамгийн энгийн зүйлээс эхэлцгээе шууд програмтомъёо эсвэл тэдгээрийн хослолууд.

Томьёог хэрэглэхэд хялбар

Энэ хэсэгт энгийн бөгөөд хор хөнөөлгүй жишээг авч үзэх болно - үсэг, нэмэлт нөхцөл болон бусад заль мэхгүйгээр. Гэсэн хэдий ч тэдгээрт ч гэсэн дүрмээр бол сонголтууд байдаг. Мөн жишээ нь илүү боловсронгуй байх тусам ийм сонголтууд илүү их байдаг. Мөн туршлагагүй оюутанд байдаг гол асуудал- хаанаас эхлэх вэ? Энд хариулт нь энгийн - Хэрэв танд юу хэрэгтэй байгааг мэдэхгүй бол чадах зүйлээ хий. Таны үйлдлүүд математикийн дүрэмд нийцэж, тэдгээртэй зөрчилдөхгүй бол.) Жишээлбэл, энэ даалгавар:

Тооцоолох:

Ийм энгийн жишээнд ч гэсэн хариултанд хүрэх хэд хэдэн боломжит арга зам байдаг.

Эхнийх нь үндсийг эхний шинж чанараар үржүүлж, үр дүнгээс үндсийг гаргаж авах явдал юм.

Хоёрдахь сонголт бол: бид үүнд хүрдэггүй, бид ажилладаг. Бид хүчин зүйлийг үндсэн тэмдгийн доороос гаргаж аваад дараа нь - эхний шинж чанарын дагуу. Үүнтэй адил:

Та хүссэн хэмжээгээрээ шийдэж болно. Аль ч хувилбарын хариулт нь нэгээс найм байна. Жишээлбэл, 4 ба 128-ыг үржүүлээд 512-ыг авах нь надад илүү хялбар бөгөөд энэ тооноос шоо үндсийг амархан гаргаж авах боломжтой. Хэрэв хэн нэгэн 512 нь 8 шоо гэдгийг санахгүй байгаа бол энэ нь хамаагүй: та 512-ыг 2 9 (хоёрын эхний 10 хүчийг санаж байгаа байх гэж бодож байна уу?) гэж бичиж, чадлын язгуурын томъёог ашиглаж болно. :

Өөр нэг жишээ.

Тооцоолох: .

Хэрэв та эхний шинж чанарын дагуу ажиллавал (бүх зүйлийг нэг үндэс дор байрлуулбал) та элсэн чихэр биш харин үндсийг нь гаргаж авах боломжтой асар их тоог авах болно. Энэ нь яг гарган авах нь үнэн биш юм.) Тиймээс энд тоон дахь язгуурын хүчин зүйлийг арилгах нь ашигтай юм. Мөн хамгийн их ашиглаарай:

Одоо бүх зүйл сайхан байна:

Үлдсэн зүйл бол найм, хоёрыг нэг үндэс дор (эхний өмчийн дагуу) бичих бөгөөд ажил дууссан. :)

Одоо хэдэн бутархай нэмье.

Тооцоолох:

Жишээ нь нэлээд энгийн боловч сонголттой. Та үржүүлэгчийг ашиглан тоологчийг хувиргаж, хуваагчаар багасгаж болно.

Эсвэл та үндсийг хуваах томъёог шууд ашиглаж болно.

Бидний харж байгаагаар, энэ замаар, тэр нь - бүх зүйл зөв байна.) Хэрэв та хагас бүдэрч, алдаа гаргахгүй бол. Хэдийгээр би энд хаана алдаа гаргаж болох вэ ...

Одоо хамгийн ихийг нь харцгаая сүүлчийн жишээ-аас гэрийн даалгаварсүүлийн хичээл:

Хялбарчлах:

Бүрэн төсөөлшгүй үндэс, тэр ч байтугай үүрлэсэн үндэс. Би яах ёстой вэ? Хамгийн гол нь бүү ай! Энд бид эхлээд 2, 4, 32 тоонуудыг үндэс дор нь анзаарч байна - хоёрын зэрэг. Хамгийн эхний хийх зүйл бол бүх тоог хоёр болгон багасгах явдал юм: эцэст нь, илүү их ижил тоожишээнд, цөөн байх тусмаа энгийн.) Эхний хүчин зүйлээс тусад нь эхэлцгээе:

Үндэс дор байгаа хоёрыг язгуур илтгэгч дэх дөрвөөр багасгаснаар тоог хялбарчилж болно.

Одоо ажлын үндэсийн дагуу:

.

Тоогоор бид хоёрыг үндсэн тэмдэг болгон гаргаж авдаг.

Мөн бид язгуур томъёоны язгуурыг ашиглан илэрхийллийг авч үздэг:

Тиймээс эхний хүчин зүйлийг дараах байдлаар бичнэ.

Үүрлэсэн үндэс нь алга болж, тоо нь багассан нь аль хэдийн тааламжтай болсон. Зүгээр л үндэс нь өөр, гэхдээ бид үүнийг одоохондоо үлдээх болно. Шаардлагатай бол бид тэдгээрийг ижил зүйл рүү хөрвүүлэх болно. Хоёрдахь хүчин зүйлийг авч үзье.)

Бүтээгдэхүүний үндэс ба үндэсийн язгуурын томъёог ашиглан бид хоёр дахь хүчин зүйлийг ижил төстэй байдлаар хувиргадаг. Шаардлагатай бол бид тав дахь томъёог ашиглан үзүүлэлтүүдийг бууруулна.

Бид бүгдийг нь оруулдаг анхны жишээмөн бид авах:

Бид огт өөр үндэстэй бүхэл бүтэн баглаа бүтээгдэхүүнийг авсан. Бүгдийг нэг үзүүлэлтэд аваачих нь сайхан байх болно, тэгвэл бид харах болно. За, энэ нь бүрэн боломжтой. Үндэс илтгэгчийн хамгийн том нь 12, бусад нь - 2, 3, 4, 6 нь 12-ын тооны хуваагч юм. Тиймээс бид тав дахь шинж чанарын дагуу бүх үндэсийг нэг илтгэгч - 12 болгон бууруулна.

Бид тоолж аваад:

Бидэнд сайн дугаар ирээгүй, гэхдээ зүгээр. Биднээс асуусан хялбарчлахилэрхийлэл, үгүй тоолох. Хялбаршуулсан уу? Мэдээжийн хэрэг! Мөн хариултын төрөл (бүхэл тоо эсвэл үгүй) энд ямар ч үүрэг гүйцэтгэхээ больсон.

Зарим нэмэх/хасах болон товчилсон үржүүлэх томъёо

Харамсалтай нь ерөнхий томъёоУчир нь үндсийг нэмэх, хасахматематикт үгүй. Гэсэн хэдий ч даалгавруудад үндэстэй эдгээр үйлдлүүд ихэвчлэн олддог. Энд ямар ч үндэс нь алгебр дахь үсэгтэй яг ижил математикийн тэмдэг гэдгийг ойлгох шаардлагатай.) Мөн үсэгтэй адил арга, дүрэм нь үндэст хамаарна - хаалт нээх, ижил төстэй зүйлийг авчрах, үржүүлэх товчилсон томъёо гэх мэт х.

Жишээлбэл, энэ нь хэнд ч ойлгомжтой. Яг адилхан адилханҮндэс нь бие биендээ амархан нэмж/хасах боломжтой:

Хэрэв үндэс нь өөр бол үржүүлэгчийг нэмэх/хасах эсвэл тав дахь шинж чанарыг ашиглах замаар тэдгээрийг ижил болгох арга замыг хайж байна. Хэрэв энэ нь ямар ч байдлаар хялбарчлаагүй бол өөрчлөлтүүд илүү зальтай байж магадгүй юм.

Эхний жишээг харцгаая.

Илэрхийллийн утгыг ол: .

Гурван үндэс нь хэдийгээр куб боловч эхээс гаралтай өөртоо. Тэдгээрийг цэвэрхэн гаргаж авдаггүй бөгөөд бие биенээсээ нэмж/хасаж авдаг. Тиймээс ерөнхий томъёоны хэрэглээ энд ажиллахгүй байна. Би яах ёстой вэ? Үндэс тус бүрийн хүчин зүйлсийг авч үзье. Ямар ч тохиолдолд энэ нь үүнээс дордохгүй.) Түүнээс гадна, өөр сонголт байхгүй:

Тиймээс, .

Энэ бол шийдэл. Энд бид тусламжтайгаар өөр өөр үндэснээс нэг үндэс рүү шилжсэн үржүүлэгчийг үндэс доороос нь арилгах. Тэгээд тэд зүгээр л ижил төстэй зүйлийг авчирсан.) Бид цааш нь шийднэ.

Илэрхийллийн утгыг ол:

Арван долоон язгуурын талаар та юу ч хийж чадахгүй нь гарцаагүй. Бид эхний өмчийн дагуу ажилладаг - бид хоёр үндэсийн бүтээгдэхүүнээс нэг үндэс хийдэг.

Одоо илүү дэлгэрэнгүй харцгаая. Томоохон доор бидэнд юу байна шоо үндэс? Ялгаа нь qua... За, мэдээжийн хэрэг! Квадратуудын ялгаа:

Одоо үндсийг нь гаргаж авахад л үлдлээ: .

Тооцоолох:

Энд та математикийн ухаанаа харуулах хэрэгтэй болно.) Бид ойролцоогоор дараах байдлаар бодож байна. "Тиймээс жишээн дээр үндэстний бүтээгдэхүүн. Нэг язгуурын дор зөрүү, нөгөөгийн дор нийлбэр байна. Квадратуудын ялгааны томъёотой маш төстэй. Гэхдээ... Үндэс нь өөр! Эхнийх нь дөрвөлжин, хоёр дахь нь 4-р зэрэгтэй ... Тэднийг адилхан болговол сайхан байх болно. Тав дахь өмчийн дагуу хүн амархан чадна квадрат язгуурдөрөв дэх үндсийг хийх. Үүний тулд радикал илэрхийлэлийг квадрат болгоход хангалттай."

Хэрэв та энэ талаар бодож байсан бол амжилтанд хүрэх замын тал хувь нь гэсэн үг. Үнэхээр зөв! Эхний хүчин зүйлийг дөрөв дэх үндэс болгон хувиргацгаая. Үүнтэй адил:

Одоо хийх зүйл байхгүй, гэхдээ та зөрүүний квадратын томъёог санах хэрэгтэй болно. Зөвхөн үндэс дээр түрхсэн тохиолдолд. Тэгэхээр яах вэ? Яагаад үндэс нь бусад тоо эсвэл илэрхийллээс муу байдаг вэ?! Бид бүтээдэг:

“Хмм, тэд үүнийг босгосон, тэгээд яах вэ? Тунхуу нь улаан луувангаас чихэрлэг биш юм. Зогс! Хэрэв та дөрвийг үндэс дор нь гаргавал? Дараа нь хоёр дахь язгуурын доор байгаа ижил илэрхийлэл зөвхөн хасах тэмдэгтэй гарч ирэх бөгөөд энэ нь бидний хүрэхийг хичээж байгаа зүйл юм!"

Зөв! Дөрөвийг авъя:

.

Тэгээд одоо - технологийн асуудал:

Нарийн төвөгтэй жишээнүүд ингэж тайлагддаг.) ​​Одоо бутархайтай дадлага хийх цаг болжээ.

Тооцоолох:

Тоолуурыг хөрвүүлэх ёстой нь тодорхой байна. Яаж? Мэдээжийн хэрэг нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглана. Бидэнд өөр сонголт байна уу? :) Бид үүнийг квадрат болгож, хүчин зүйлийг гаргаж, үзүүлэлтүүдийг бууруулж (шаардлагатай бол):

Хөөх! Бид бутархайныхаа хуваагчийг яг авсан.) Энэ нь бүхэл бутархай нэгтэй тэнцүү байна гэсэн үг:

Өөр нэг жишээ. Зөвхөн одоо товчилсон үржүүлэх өөр томьёо дээр.)

Тооцоолох:

Зөрүүний квадратыг практикт ашиглах ёстой нь ойлгомжтой. Бид хуваагчийг тусад нь бичээд - явцгаая!

Бид дараах хүчин зүйлсийг үндэснээс нь гаргаж авдаг.

Тиймээс,

Одоо бүх муу зүйл маш багасч, ийм болж байна:

За, дараагийн түвшинд авцгаая. :)

Захидал болон нэмэлт нөхцөл

Үндэстэй үг хэллэг нь илүү төвөгтэй зүйл юм тоон илэрхийллүүд, мөн байна шавхагдашгүй эх сурвалжядаргаатай, маш ноцтой алдаанууд. Энэ эх сурвалжийг хаая.) Ийм даалгаварт ихэвчлэн сөрөг тоо, илэрхийлэл байдаг тул алдаа гардаг. Тэдгээрийг бидэнд даалгаварт шууд өгдөг, эсвэл далдлагдсан байдаг захидал болон нэмэлт нөхцөл. Үндэстэй ажиллах явцад бид үндсийг нь байнга санаж байх хэрэгтэй жигд зэрэгтэйаль аль нь үндэс дор болон үндэс олборлолтын үр дүнд байх ёстой сөрөг бус илэрхийлэл. Энэ хэсгийн даалгаврын гол томъёо нь дөрөв дэх томьёо болно.

Үндэстэй сондгой зэрэгАсуулт байхгүй - бүх зүйлийг нэмэх, хасах аль алиныг нь үргэлж тэндээс гаргаж авдаг. Мөн хасах, хэрэв ямар нэгэн зүйл байвал урагшлуулна. Шууд үндэс рүүгээ орцгооё бүрзэрэг.) Жишээ нь, ийм богино даалгавар.

Хялбарчлах: , Хэрэв .

Бүх зүйл энгийн юм шиг санагдаж байна. Энэ нь зүгээр л X болж хувирах болно.) Гэхдээ яагаад нэмэлт нөхцөл ? Ийм тохиолдолд тоогоор тооцоолох нь ашигтай байдаг. Зөвхөн өөртөө зориулав.) Хэрэв, тэгвэл x нь ойлгомжтой сөрөг тоо. Жишээлбэл, хасах гурав. Эсвэл хасах дөч. Let . Хасах гурваас дөрөв дэх хүчийг өсгөж чадах уу? Мэдээжийн хэрэг! Үр дүн нь 81. 81-ийн дөрөв дэх үндсийг гаргаж авах боломжтой юу? Яагаад болохгүй гэж? Чадах! Та гурав авна. Одоо бүх гинжин хэлхээгээ дүн шинжилгээ хийцгээе:

Бид юу харж байна вэ? Оролт нь сөрөг тоо байсан бөгөөд гаралт нь аль хэдийн эерэг байсан. Энэ нь хасах гурав байсан, одоо нэмэх гурав байна.) Захидал руугаа буцъя. Ямар ч эргэлзээгүйгээр модуль нь яг x байх болно, гэхдээ зөвхөн x нь өөрөө хасах (нөхцөлөөр!), олборлолтын үр дүн (буюу арифметик үндэс!) нэмэх байх ёстой. Хэрхэн нэмэх вэ? Маш энгийн! Үүнийг хийхийн тулд илт сөрөг тооны өмнө хасах тэмдэг тавихад хангалттай.) Мөн зөв шийдвэриймэрхүү харагдаж байна:

Дашрамд хэлэхэд, хэрэв бид томъёог ашигласан бол модулийн тодорхойлолтыг санаж байвал зөв хариултыг шууд авах болно. Түүнээс хойш

|x| = -x дээр x<0.

Үндэс тэмдэгээс хүчин зүйлийг хасна уу: , Хаана .

Эхний харц нь радикал илэрхийлэл юм. Энд бүх зүйл хэвийн байна. Ямар ч тохиолдолд энэ нь сөрөг биш байх болно. Олборлож эхэлцгээе. Бүтээгдэхүүний үндэсийн томъёог ашиглан бид хүчин зүйл бүрийн үндсийг гаргаж авдаг.

Модулиуд хаанаас ирснийг тайлбарлах шаардлагагүй гэж би бодож байна.) Одоо модулиуд тус бүрд дүн шинжилгээ хийцгээе.

Үржүүлэгч | а | Бид үүнийг хэвээр үлдээж байна: бидэнд захидалд ямар ч нөхцөл байхгүйа. Энэ нь эерэг эсвэл сөрөг гэдгийг бид мэдэхгүй. Дараагийн модуль |б 2 | аюулгүй орхиж болно: ямар ч тохиолдолд, илэрхийлэлб 2 сөрөг бус. Гэхдээ | тухайв 3 | - энд аль хэдийн асуудал байна.) Хэрэв, дараа нь в 3 <0. Стало быть, модуль надо раскрыть хасахтай: | в 3 | = - в 3 . Нийтдээ зөв шийдэл нь:

Тэгээд одоо - урвуу асуудал. Хамгийн хялбар биш, би танд шууд анхааруулж байна!

Үндэсний тэмдгийн доор үржүүлэгчийг оруулна уу: .

Хэрэв та тэр даруй шийдлийг ингэж бичвэл

тэгээд чи урхинд унасан. Энэ буруу шийдвэр! Юу болсон бэ?

Үндэс дор байгаа илэрхийллийг нарийвчлан авч үзье. Дөрөв дэх зэрэглэлийн үндэс дор бидний мэдэж байгаагаар байх ёстой сөрөг бусилэрхийлэл. Үгүй бол язгуур нь ямар ч утгагүй болно.) Тийм учраас энэ нь эргээд тэр ба, тиймийн тул, өөрөө ч эерэг биш гэсэн үг юм: .

Энд байгаа алдаа нь бид үндсээр нь нэвтрүүлж байгаа явдал юм эерэг бустоо: дөрөв дэх зэрэг нь үүнийг хувиргадаг сөрөг бусмөн буруу үр дүн гарсан - зүүн талд зориудаар хасах, баруун талд аль хэдийн нэмэх зүйл байна. Мөн үндэс дээр нь түрхэнэ бүрзэрэг бид зөвхөн эрхтэй сөрөг бустоо эсвэл илэрхийлэл. Мөн язгуурын өмнө нэг байвал хасахыг үлдээгээрэй.) Тооны сөрөг бус хүчин зүйлийг хэрхэн тодорхойлох вэ?, энэ нь өөрөө бүрэн сөрөг гэдгийг мэдэх үү? Тийм ээ, яг адилхан! Хасах тэмдэг тавь.) Тэгээд юу ч өөрчлөгдөхгүй тул өөр хасах замаар нөхнө үү. Үүнтэй адил:

Тэгээд одоо аль хэдийн сөрөг бусБид бүх дүрмийн дагуу үндэс дор (-b) тоог тайвнаар оруулна.

Математикийн бусад салбаруудаас ялгаатай нь зөв хариулт нь томъёоноос үргэлж автоматаар гардаггүй гэдгийг энэ жишээ тодорхой харуулж байна. Та бодож, хувь хүнийхээ хувьд зөв шийдвэр гаргах хэрэгтэй.) Та ялангуяа дотогшоо орохдоо илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй иррационал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал.

Үндэстэй ажиллахдаа дараагийн чухал техникийг харцгаая - үндэслэлгүй байдлаас ангижрах.

Бутархай дахь үндэслэлгүй байдлыг арилгах

Хэрэв илэрхийлэл нь үндэстэй бол ийм илэрхийлэл гэж нэрлэгддэгийг сануулъя үндэслэлгүй илэрхийлэл. Зарим тохиолдолд энэ үндэслэлгүй байдлаас (жишээ нь үндэс) салах нь ашигтай байж болно. Үндэсийг хэрхэн арилгах вэ? Бидний язгуур ... хүчирхэг болох үед алга болдог. Үндэс үзүүлэлттэй тэнцүү эсвэл түүний үржвэртэй индикатортой. Гэхдээ хэрэв бид үндсийг хүчирхэг болгож өсгөвөл (өөрөөр хэлбэл үндсийг шаардлагатай тоогоор үржүүлбэл) илэрхийлэл өөрчлөгдөнө. Сайн биш.) Гэсэн хэдий ч математикт үржүүлэх нь нэлээд өвдөлтгүй байдаг сэдвүүд байдаг. Жишээлбэл, бутархайгаар. Бутархайн үндсэн шинж чанарын дагуу хуваагч болон хуваагчийг ижил тоогоор үржүүлбэл (хуваах) бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй.

Бидэнд энэ бутархай өгөгдсөн гэж үзье:

Хугацааны үндсийг арилгах боломжтой юу? Чадах! Үүнийг хийхийн тулд үндэс нь шоо хэлбэртэй байх ёстой. Бүтэн кубын хуваарьт юу дутагдаж байна вэ? Бид үржүүлэгчийг алдаж байна, i.e.. Тиймээс бид бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг үржүүлнэ

Хугацааны үндэс алга болсон. Гэхдээ ... тэр тоологч дээр гарч ирэв. Юу ч хийж чадахгүй, хувь тавилан ийм байна.) Энэ нь бидний хувьд чухал биш болсон: бид хуваагчийг үндэснээс нь чөлөөлөхийг хүссэн. Суллагдсан уу? эргэлзээгүй.)

Дашрамд хэлэхэд, тригонометрт аль хэдийн тайвширсан хүмүүс зарим сурах бичиг, хүснэгтэд, жишээлбэл, хаа нэг газар, хаа нэгтээ өөр өөрөөр тэмдэглэдэг болохыг анхаарч үзсэн байж магадгүй юм. Асуулт бол - юу нь зөв бэ? Хариулт: бүх зүйл зөв!) Хэрэв та үүнийг таамаглаж байгаа бол– энэ бол зүгээр л бутархайн хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрахын үр дүн юм. :)

Бид яагаад бутархай дахь үндэслэлгүй байдлаас өөрсдийгөө чөлөөлөх ёстой вэ? Үндэс нь тоологч эсвэл хуваарьт байгаа нь ямар ялгаатай вэ? Тооны машин ямар ч байсан бүх зүйлийг тооцоолно.) Тооны машинтай салдаггүй хүмүүст үнэхээр ялгаа байхгүй ... Гэхдээ тооны машин дээр тоолж байсан ч гэсэн та анхаарлаа хандуулж болно. хуваахдээр бүхэлд ньдугаар нь үргэлж дээрээсээ илүү тохиромжтой бөгөөд хурдан байдаг үндэслэлгүй. Би багана болгон хуваах талаар чимээгүй байх болно.)

Дараах жишээ нь зөвхөн миний үгийг батлах болно.

Энд хувагчийн квадрат язгуурыг хэрхэн арилгах вэ? Хэрэв тоологч ба хуваагчийг илэрхийллээр үржүүлбэл хуваагч нь нийлбэрийн квадрат болно. Эхний болон хоёр дахь тооны квадратуудын нийлбэр нь бидэнд ямар ч үндэсгүй тоонуудыг өгөх бөгөөд энэ нь маш тааламжтай юм. Гэсэн хэдий ч ... энэ нь гарч ирэх болно давхар бүтээгдэхүүнэхний тооноос хоёр дахь тоо, тэнд гурвын үндэс хэвээр байх болно. Энэ нь суваг дамжуулдаггүй. Би яах ёстой вэ? Товчилсон үржүүлэх өөр нэг гайхалтай томъёог санаарай! Давхар бүтээгдэхүүн байхгүй, зөвхөн квадратууд байдаг:

Зарим нийлбэр (эсвэл зөрүү)-ээр үржүүлснээр үүсэх илэрхийлэл квадратуудын ялгаа, бас нэрлэдэг нэгтгэсэн илэрхийлэл. Бидний жишээн дээр коньюгат илэрхийлэл нь ялгаа байх болно. Тиймээс бид тоологч ба хуваагчийг энэ ялгаагаар үржүүлнэ.

Би юу хэлж чадах вэ? Бидний заль мэхний үр дүнд хуваагчийн язгуур алга болоод зогсохгүй, бутархай нь бүрмөсөн алга болсон! :) Тооны машинтай байсан ч гурваас гурвын язгуурыг хасах нь хуваагч дахь язгууртай бутархайг тооцоолохоос хялбар байдаг. Өөр нэг жишээ.

Бутархайн хуваагч дахь үндэслэлгүй байдлаас өөрийгөө чөлөөл:

Үүнээс яаж гарах вэ? Квадратаар товчилсон үржүүлэх томъёо нь тэр даруй ажиллахгүй - энэ удаад бидний үндэс нь дөрвөлжин биш, харин үндсийг нь бүрэн арилгах боломжгүй болно. куб. Үндэс нь ямар нэгэн байдлаар шоо болгон өсгөсөн байх шаардлагатай. Тиймээс шоо бүхий томъёоны аль нэгийг ашиглах ёстой. Аль нь вэ? Ингээд бодъё. Хуваагч нь нийлбэр юм. Үндэсний шоо яаж хүрэх вэ? -ээр үржүүлэх хэсэгчилсэн квадратын зөрүү! Тиймээс бид томъёог ашиглах болно шоо нийлбэр. Энэ нь:

гэх мэт аБид гурав, чанарын хувьд б- тавын шоо үндэс:

Дахин бутархай алга болсон.) Бутархайн хуваагч дахь иррационал байдлаас ангижрах үед бутархай нь үндэстэй хамт бүрмөсөн алга болох ийм нөхцөл байдал ихэвчлэн тохиолддог. Энэ жишээ танд хэр таалагдаж байна!

Тооцоолох:

Зүгээр л эдгээр гурван бутархайг нэмж үзээрэй! Алдаа байхгүй! :) Нэг нийтлэг зүйл бол үнэ цэнэтэй юм. Бутархай бүрийн хуваарь дахь утгагүй байдлаас өөрсдийгөө чөлөөлөхийг оролдвол яах вэ? За, оролдоод үзье:

Хөөх, ямар сонирхолтой! Бүх фракцууд алга болсон! Бүрэн. Одоо жишээг хоёр аргаар шийдэж болно:

Энгийн бөгөөд дэгжин. Мөн урт, уйтгартай тооцоололгүйгээр. :)

Тийм ч учраас ухаангүй байдлаас ангижрах үйлдлийг бутархай хэлбэрээр хийж чаддаг байх ёстой. Ийм боловсронгуй жишээн дээр энэ нь аврах цорын ганц зүйл юм, тийм ээ.) Мэдээжийн хэрэг, хэн ч анхаарал халамжийг цуцалсангүй. Ухаангүй байдлаас ангижрахыг шаарддаг даалгавар байдаг тоологч. Эдгээр даалгаврууд нь хэлэлцсэн ажлуудаас ялгаатай биш, зөвхөн тоологчийг үндэснээс нь арилгадаг.)

Илүү төвөгтэй жишээнүүд

Үндэстэй ажиллах зарим тусгай техникийг авч үзэх, хамгийн энгийн жишээнүүдийг задлах дадлага хийх хэвээр байна. Дараа нь хүлээн авсан мэдээлэл нь ямар ч түвшний нарийн төвөгтэй даалгавруудыг шийдвэрлэхэд хангалттай байх болно. Тиймээс - үргэлжлүүлээрэй.) Эхлээд эх томъёоны үндэс ажиллахгүй бол үүрлэсэн үндэстэй юу хийхээ олж мэдье. Жишээлбэл, энд нэг жишээ байна.

Тооцоолох:

Үндэс нь язгуур дор байдаг... Тэгээд ч үндэс дор нийлбэр буюу зөрүү байдаг. Тиймээс язгуурын язгуурын томьёо энд байна ажиллахгүй байна. Тиймээс ямар нэг зүйл хийх хэрэгтэй радикал илэрхийллүүд: Бидэнд өөр сонголт байхгүй. Ийм жишээнд ихэвчлэн том үндэс нь шифрлэгдсэн байдаг төгс дөрвөлжинзарим хэмжээ. Эсвэл ялгаа. Мөн дөрвөлжингийн үндэс нь аль хэдийн төгс олборлосон байна! Одоо бидний даалгавар бол үүнийг тайлах явдал юм.) Ийм шифрийг тайлах нь маш сайн хийгдсэн тэгшитгэлийн систем. Одоо та бүх зүйлийг өөрөө харах болно.)

Тиймээс, эхний үндэс дор бид дараах илэрхийлэлтэй байна:

Хэрэв та зөв таамаглаагүй бол яах вэ? Шалгацгаая! Бид нийлбэрийн квадратын томъёог ашиглан үүнийг квадрат болгоно.

Энэ нь зөв.) Гэхдээ ... Би энэ илэрхийллийг хаанаас авсан бэ? Тэнгэрээс үү?

Үгүй.) Бид үүнийг шударгаар арай доогуур авах болно. Энгийнээр энэ илэрхийлэлийг ашигласнаар би даалгаврын зохиолчид ийм квадратуудыг хэрхэн шифрлэдэг болохыг харуулж байна. :) 54 гэж юу вэ? Энэ эхний болон хоёр дахь тооны квадратуудын нийлбэр. Мөн аль хэдийн үндэсгүй, анхаарлаа хандуулаарай! Мөн үндэс нь хэвээр байна давхар бүтээгдэхүүн, энэ нь манай тохиолдолд тэнцүү байна. Тиймээс ийм жишээнүүдийг задлах нь давхар бүтээгдэхүүнийг хайхаас эхэлдэг. Хэрэв та ердийн сонголтоор задлах юм бол. Дашрамд хэлэхэд тэмдгүүдийн талаар. Энд бүх зүйл энгийн. Давхарын өмнө нэмэх байвал нийлбэрийн квадрат. Хэрэв энэ нь хасах юм бол ялгаанууд.) Бидэнд нэмэх нь байна - энэ нь нийлбэрийн квадрат гэсэн үг.) Тэгээд одоо - тайлах амласан аналитик арга. Системээр дамжуулан.)

Тэгэхээр бидний язгуур дор илэрхийлэл тодорхой унжиж байна (a+b) 2, бидний даалгавар бол олох явдал юм аТэгээд б. Манай тохиолдолд квадратуудын нийлбэр нь 54-ийг өгдөг. Тиймээс бид бичнэ.

Одоо бүтээгдэхүүнийг хоёр дахин нэмэгдүүлээрэй. Бидэнд байгаа. Тиймээс бид үүнийг бичнэ:

Бид ийм системийг авсан:

Бид ердийн орлуулах аргаар шийддэг. Жишээлбэл, бид хоёр дахь тэгшитгэлээс илэрхийлж, эхнийх нь орлуулна.

Эхний тэгшитгэлийг шийдье:

Хүлээн авсан хоёр квадратхарьцангуй тэгшитгэла . Бид ялгаварлагчийг тооцоолно:

гэсэн үг,

Бид дөрвөн боломжит утгыг авсана. Бид айхгүй байна. Одоо бид бүх шаардлагагүй зүйлсийг арилгах болно.) Хэрэв бид дөрвөн олсон утга тус бүрийн харгалзах утгыг тооцоолох юм бол бид системийнхээ дөрвөн шийдлийг авах болно. Тэд энд байна:

Эндээс асуулт гарч ирнэ - аль шийдэл нь бидэнд тохирох вэ? Ингээд бодъё. Сөрөг шийдлүүдийг нэн даруй хаяж болно: квадрат болгох үед хасах нь "шатах" бөгөөд радикал илэрхийлэл бүхэлдээ өөрчлөгдөхгүй.) Эхний хоёр сонголт хэвээр байна. Та тэдгээрийг бүрэн дур зоргоороо сонгож болно: нэр томъёог өөрчлөх нь нийлбэрийг өөрчлөхгүй хэвээр байна.) Жишээ нь, a .

Нийтдээ бид язгуур дор дараах нийлбэрийн квадратыг авсан.

Бүх зүйл тодорхой байна.)

Шийдвэрлэх үйл явцыг би ийм дэлгэрэнгүй тайлбарласан нь дэмий хоосон биш юм. Шифрлэлт хэрхэн явагддагийг тодорхой болгохын тулд.) Гэхдээ нэг асуудал байна. Шифрийг тайлах аналитик арга нь найдвартай хэдий ч маш урт бөгөөд төвөгтэй байдаг: та биквадрат тэгшитгэлийг шийдэж, системийн дөрвөн шийдлийг олж аваад дараа нь алийг нь сонгохоо бодох хэрэгтэй ... Асуудалтай байна уу? Би зөвшөөрч байна, асуудалтай байна. Энэ арга нь эдгээр жишээнүүдийн ихэнх дээр өөгүй ажилладаг. Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ та маш их ажлыг хэмнэж, хоёр тоог бүтээлч байдлаар олж чадна. Сонголтоор.) Тийм ээ, тийм! Одоо би хоёр дахь нэр томъёоны (хоёр дахь үндэс) жишээг ашиглан тусгаарлах илүү хялбар бөгөөд хурдан аргыг харуулах болно. бүтэн дөрвөлжинүндэс дор.

Тэгэхээр одоо бидэнд энэ үндэс байна: .

Ингээд бодъё: “Үндэс дор нь шифрлэгдсэн бүрэн дөрвөлжин байх магадлалтай. Нэгэнт давхарын өмнө хасах тэмдэг байгаа бол зөрүүний квадрат гэсэн үг. Эхний болон хоёр дахь тооны квадратуудын нийлбэр нь бидэнд тоог өгдөг 54. Гэхдээ эдгээр нь ямар төрлийн квадратууд вэ? 1 ба 53? 49 ба 5 ? Хэт олон сонголт байна ... Үгүй ээ, давхар бүтээгдэхүүнээр тайлж эхлэх нь дээр. Манайгэж бичиж болно. Нэг удаа бүтээгдэхүүн хоёр дахин нэмэгдсэн, дараа нь бид хоёрыг шууд хаяна. Дараа нь дүрд нэр дэвшигчид a ба b хэвээр 7 ба . 14 бол яах вэ/2 ? Энэ боломжтой. Гэхдээ бид үргэлж энгийн зүйлээс эхэлдэг!"Тэгэхээр, үзье, a . Тэдгээрийг квадратуудын нийлбэрээр шалгая:

Энэ ажилласан! Энэ нь бидний радикал илэрхийлэл нь үнэндээ ялгааны квадрат гэсэн үг юм:

Энэ бол системтэй хутгалдахаас зайлсхийх хөнгөн арга юм. Энэ нь үргэлж ажилладаггүй, гэхдээ эдгээр жишээн дээр энэ нь хангалттай юм. Тиймээс, үндэс дор бүрэн квадратууд байдаг. Үлдсэн зүйл бол үндсийг зөв гаргаж аваад жишээг тооцоолох явдал юм.

Одоо үндэс дээр илүү стандарт бус даалгаврыг авч үзье.)

А тоо гэдгийг батал– бүхэл тоо, хэрэв .

Юу ч шууд олборлодоггүй, үндэс нь шингэсэн, бүр өөр өөр зэрэгтэй ... Хар дарсан зүүд! Гэсэн хэдий ч даалгавар нь утга учиртай.) Тиймээс үүнийг шийдвэрлэх түлхүүр байдаг.) ​​Энд гол зүйл бол энэ юм. Бидний тэгш байдлыг анхаарч үзээрэй

Яаж харьцангуй тэгшитгэл А. Тийм, тийм! Үндсийг нь арилгавал сайхан л байна. Бидний үндэс нь куб тул тэгшитгэлийн хоёр талыг шоо болгоё. Томъёоны дагуу нийлбэрийн шоо:

Куб ба шоо үндэс нь бие биенээ үгүйсгэж, том үндэс бүрийн доор бид квадратаас нэг хаалт авч, зөрүү ба нийлбэрийн үржвэрийг квадратуудын зөрүү болгон буулгана.

Тус тусад нь бид үндэс дор квадратуудын зөрүүг тооцоолно.

Илэрхийллийн ижил хувиргалт нь сургуулийн математикийн хичээлийн агуулгын нэг хэсэг юм. Ижил хувиргалтыг тэгшитгэл, тэгш бус байдал, тэгшитгэлийн систем, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд өргөн ашигладаг. Нэмж дурдахад илэрхийллийн ижил төстэй өөрчлөлтүүд нь оюун ухаан, уян хатан байдал, сэтгэлгээний оновчтой байдлыг хөгжүүлэхэд хувь нэмэр оруулдаг.

Санал болгож буй материалууд нь 8-р ангийн сурагчдад зориулагдсан бөгөөд онолын үндэслэлийг агуулсан болно таних тэмдгийн өөрчлөлтүүдоновчтой ба ir оновчтой илэрхийллүүд, ийм илэрхийллийг хувиргах даалгаврын төрлүүд болон тестийн текст.

1. Баримтлалын өөрчлөлтийн онолын үндэс

Алгебр дахь илэрхийлэл нь үйл ажиллагааны тэмдгээр холбогдсон тоо, үсэгнээс бүрдэх бичлэг юм.

https://pandia.ru/text/80/197/images/image002_92.gif" width="77" height="21 src=">.gif" width="20" height="21 src="> - алгебрийн илэрхийллүүд.

Үйлдлээс хамааран оновчтой ба иррациональ илэрхийлэлийг ялгадаг.

Алгебрийн илэрхийлэлд орсон үсгүүдтэй харьцуулахад оновчтой гэж нэрлэдэг А, б, -тай, ... нэмэх, үржүүлэх, хасах, хуваах, нэмэгдүүлэхээс өөр үйлдлүүд хийгддэггүй.

Хувьсагчийн үндсийг задлах эсвэл хувьсагчийг өсгөх үйлдлүүдийг агуулсан алгебрийн илэрхийллүүд оновчтой зэрэг, бүхэл тоо биш, энэ хувьсагчийн хувьд иррациональ гэж нэрлэдэг.

Ижил хувиргалт өгөгдсөн илэрхийлэлзарим олонлогт үүнтэй ижилхэн нэг илэрхийллийг нөгөө илэрхийллээр солихыг хэлнэ.

Дараах онолын баримтууд нь рационал ба иррационал илэрхийлэлүүдийн ижил өөрчлөлтүүдийн үндэс юм.

1. Бүхэл тоон үзүүлэлттэй зэрэглэлийн шинж чанарууд:

, nАСААЛТТАЙ; А 1=А;

, nАСААЛТТАЙ, А¹0; А 0=1, А¹0;

, А¹0;

, А¹0;

, А¹0;

, А¹0, б¹0;

, А¹0, б¹0.

2. Үржүүлэх товчилсон томъёо:

Хаана А, б, -тай- аливаа бодит тоо;

Хаана А¹0, X 1 ба X 2 – тэгшитгэлийн үндэс .

3. Бутархайн үндсэн шинж чанар ба бутархай дээрх үйлдэл:

, Хаана б¹0, -тай¹0;

; ;

4. Арифметик язгуурын тодорхойлолт, түүний шинж чанарууд:

; , б#0; https://pandia.ru/text/80/197/images/image026_24.gif" width="84" height="32">; ,

Хаана А, б – сөрөг бус тоо, nАСААЛТТАЙ, n³2, мАСААЛТТАЙ, м³2.

1. Илэрхийлэл хөрвүүлэх дасгалын төрлүүд

Байдаг янз бүрийн төрөлилэрхийллийн ижил хувиргалт дээр дасгал хийх. Эхний төрөл: Гүйцэтгэх шаардлагатай хөрвүүлэлтийг тодорхой зааж өгсөн болно.

Жишээ нь.

1. Олон гишүүнт хэлбэрээр дүрсэл.

Энэ хувиргалтыг хийхдээ бид олон гишүүнтийг үржүүлэх, хасах дүрэм, товчилсон үржүүлэх, ижил төстэй нэр томъёог багасгах томъёог ашигласан.

2. Хүчин зүйл: .

Өөрчлөлтийг хийхдээ бид устгах дүрмийг ашигласан нийтлэг үржүүлэгчхаалт ба 2 товчилсон үржүүлэх томъёоны ард.

3. Бутархайг багасгах:

.

Өөрчлөлтийг хийхдээ бид хаалтаас нийтлэг хүчин зүйлийг хасах, шилжих ба агшилтын хуулиуд, 2 товчилсон үржүүлэх томъёо, хүчнүүдийн үйлдлүүдийг ашигласан.

4. Хэрэв язгуур тэмдгийн доор байгаа хүчин зүйлийг хас А³0, б³0, -тай³0: https://pandia.ru/text/80/197/images/image036_17.gif" өргөн "432" өндөр "27">

Бид үндэс дээрх үйлдлүүдийн дүрэм, тооны модулийн тодорхойлолтыг ашигласан.

5. Бутархайн хуваагч дахь иррационал байдлыг арилга. .

Хоёр дахь төрөлдасгалууд нь хийх ёстой гол өөрчлөлтийг тодорхой зааж өгсөн дасгалууд юм. Ийм дасгалын хувьд шаардлагыг ихэвчлэн дараахь хэлбэрүүдийн аль нэгээр илэрхийлдэг: илэрхийллийг хялбарчлах, тооцоолох. Ийм дасгал хийхдээ юуны түрүүнд илэрхийлэл нь өгөгдсөнөөс илүү нягт хэлбэрийг авах эсвэл тоон үр дүнд хүрэхийн тулд ямар хувиргалтыг ямар дарааллаар хийх шаардлагатайг тодорхойлох шаардлагатай.

Жишээ нь

6. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

Шийдэл:

.

Алгебрийн бутархай, товчилсон үржүүлгийн томъёог ажиллуулах дүрмийг ашигласан.

7. Илэрхийлэлийг хялбарчлах:

.

Хэрэв А³0, б³0, А¹ б.

Бид үржүүлэх товчилсон томьёо, бутархай нэмэх, иррационал илэрхийллийг үржүүлэх дүрмийг ашигласан https://pandia.ru/text/80/197/images/image049_15.gif" width="203" height="29">.

Бид бүрэн дөрвөлжин сонгох үйлдлийг ашигласан, таних https://pandia.ru/text/80/197/images/image053_11.gif" width="132 height=21" height="21">, хэрэв .

Нотолгоо:

Түүнээс хойш , дараа нь ба эсвэл эсвэл эсвэл , өөрөөр хэлбэл.

Бид кубуудын нийлбэрийн нөхцөл ба томъёог ашигласан.

Хувьсагчдыг холбох нөхцөлийг эхний хоёр төрлийн дасгалд зааж өгч болно гэдгийг санах нь зүйтэй.

Жишээ нь.

10. Хэрэв .

Таны хувийн нууцыг хадгалах нь бидний хувьд чухал юм. Энэ шалтгааны улмаас бид таны мэдээллийг хэрхэн ашиглах, хадгалах талаар тодорхойлсон Нууцлалын бодлогыг боловсруулсан. Манай нууцлалын практикийг хянаж үзээд асуух зүйл байвал бидэнд мэдэгдэнэ үү.

Хувийн мэдээллийг цуглуулах, ашиглах

Хувийн мэдээлэл гэдэг нь тодорхой хүнийг таних эсвэл холбоо барихад ашиглаж болох өгөгдлийг хэлнэ.

Та бидэнтэй холбоо барихдаа хүссэн үедээ хувийн мэдээллээ өгөхийг шаардаж болно.

Бидний цуглуулж болох хувийн мэдээллийн төрлүүд болон эдгээр мэдээллийг хэрхэн ашиглаж болох зарим жишээг доор харуулав.

Бид ямар хувийн мэдээллийг цуглуулдаг вэ:

• Та сайт дээр хүсэлт гаргахад бид цуглуулж болно янз бүрийн мэдээлэл, үүнд таны нэр, утасны дугаар, хаяг орно имэйлгэх мэт.

Бид таны хувийн мэдээллийг хэрхэн ашигладаг вэ:

• Манайх цуглуулсан хувийн мэдээлэлБид тантай холбоо барьж, өвөрмөц санал, урамшуулал болон бусад арга хэмжээ, удахгүй болох арга хэмжээний талаар танд мэдээлэх боломжийг олгодог.
• Бид үе үе таны хувийн мэдээллийг ашиглан чухал мэдэгдэл, харилцаа холбоог илгээж болно.
• Бид мөн хувийн мэдээллийг аудит хийх, мэдээлэлд дүн шинжилгээ хийх гэх мэт дотоод зорилгоор ашиглаж болно төрөл бүрийн судалгааБидний үзүүлж буй үйлчилгээг сайжруулах, үйлчилгээнийхээ талаар танд зөвлөмж өгөх зорилгоор.
• Хэрэв та шагналын сугалаа, уралдаан эсвэл үүнтэй төстэй сурталчилгаанд оролцсон бол бид таны өгсөн мэдээллийг ийм хөтөлбөрийг удирдахад ашиглаж болно.

Гуравдагч этгээдэд мэдээллийг задруулах

Бид танаас хүлээн авсан мэдээллийг гуравдагч этгээдэд задруулахгүй.

Үл хамаарах зүйл:

• Шаардлагатай тохиолдолд - хуульд заасан журмын дагуу, шүүхийн журмаар, мөн/эсвэл олон нийтийн хүсэлт, хүсэлтийг үндэслэн төрийн байгууллагуудОХУ-ын нутаг дэвсгэр дээр - хувийн мэдээллээ задруулах. Аюулгүй байдал, хууль сахиулах болон бусад олон нийтийн ач холбогдолтой зорилгоор ийм мэдээлэл шаардлагатай эсвэл тохиромжтой гэж үзвэл бид таны тухай мэдээллийг задруулах боломжтой.
• Дахин зохион байгуулалтад орох, нэгдэх, худалдах тохиолдолд бид цуглуулсан хувийн мэдээллээ холбогдох өв залгамжлагч гуравдагч этгээдэд шилжүүлж болно.

Хувийн мэдээллийг хамгаалах

Бид таны хувийн мэдээллийг алдах, хулгайлах, зүй бусаар ашиглах, зөвшөөрөлгүй нэвтрэх, задруулах, өөрчлөх, устгахаас хамгаалахын тулд захиргааны, техникийн болон биет байдлын зэрэг урьдчилан сэргийлэх арга хэмжээг авдаг.

Компанийн түвшинд таны хувийн нууцыг хүндэтгэх

Таны хувийн мэдээллийг найдвартай байлгахын тулд бид нууцлал, аюулгүй байдлын стандартыг ажилтнууддаа мэдээлж, нууцлалын практикийг чанд мөрддөг.

Уг нийтлэлд тэдэнтэй зохисгүй илэрхийлэл, хувиргалтын утгыг илчилсэн болно. Иррационал илэрхийлэл, хувиргалт, шинж чанарын илэрхийлэл гэсэн ойлголтыг авч үзье.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Иррационал илэрхийлэл гэж юу вэ?

Сургуульд үндсийг нэвтрүүлэхдээ бид иррационал илэрхийллийн тухай ойлголтыг судалдаг. Ийм илэрхийлэл нь үндэстэй нягт холбоотой байдаг.

Тодорхойлолт 1

Иррационал илэрхийлэлязгууртай илэрхийллүүд юм. Өөрөөр хэлбэл эдгээр нь радикал агуулсан илэрхийллүүд юм.

Үндэслэн энэ тодорхойлолт, бидэнд x - 1, 8 3 3 6 - 1 2 3, 7 - 4 3 (2 + 3) , 4 a 2 d 5: d 9 2 a 3 5 нь бүгд иррационал төрлийн илэрхийлэл юм.

x · x - 7 · x + 7 x + 3 2 · x - 8 3 илэрхийллийг авч үзэхэд бид илэрхийлэл оновчтой болохыг олж мэднэ. Рационал илэрхийлэлд олон гишүүнт ба алгебрийн бутархай. Ухаангүй зүйлд хамтран ажиллах орно логарифм илэрхийллүүдэсвэл радикал илэрхийлэл.

Иррационал илэрхийллийг хувиргах үндсэн төрлүүд

Ийм илэрхийлэлийг тооцоолохдоо DZ-д анхаарлаа хандуулах хэрэгтэй. Тэд ихэвчлэн шаарддаг нэмэлт өөрчлөлтүүдонгойлгох хаалт, цутгамал хэлбэрээр ижил төстэй гишүүд, бүлгүүд гэх мэт. Ийм хувиргалтын үндэс нь тоонуудтай үйлдлүүд юм. Иррационал илэрхийллийн хувиргалт нь хатуу дарааллаар явагддаг.

Жишээ 1

9 + 3 3 - 2 + 4 · 3 3 + 1 - 2 · 3 3 илэрхийллийг хувирга.

Шийдэл

9-ийн тоог үндэс агуулсан илэрхийллээр солих шаардлагатай. Дараа нь бид үүнийг авдаг

81 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3

Үр дүнгийн илэрхийлэл нь байна ижил төстэй нэр томъёо, тиймээс кастинг, бүлэглэлийг хийцгээе. Бид авдаг

9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = = 9 - 2 + 1 + 3 3 + 4 3 3 - 2 3 3 = = 8 + 3 3 3
Хариулт: 9 + 3 3 - 2 + 4 3 3 + 1 - 2 3 3 = 8 + 3 3 3

Жишээ 2

Үржүүлэх товчилсон томъёог ашиглан x + 3 5 2 - 2 · x + 3 5 + 1 - 9 илэрхийллийг хоёр иррационалийн үржвэр болгон үзүүл.

Шийдэл

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 1 2 - 9

Бид 9-ийг 3 2 хэлбэрээр төлөөлж, квадратуудын зөрүүний томъёог ашиглана.

x + 3 5 - 1 2 - 9 = x + 3 5 - 1 2 - 3 2 = = x + 3 5 - 1 - 3 x + 3 5 - 1 + 3 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Ижил өөрчлөлтүүдийн үр дүн нь олох шаардлагатай хоёр оновчтой илэрхийллийн үр дүнд хүргэсэн.

Хариулт:

x + 3 5 2 - 2 x + 3 5 + 1 - 9 = = x + 3 5 - 4 x + 3 5 + 2

Та иррационал илэрхийлэлд хамаарах өөр хэд хэдэн хувиргалтыг хийж болно.

Радикал илэрхийллийг хөрвүүлэх

Хамгийн чухал зүйл бол язгуур тэмдгийн доорх илэрхийлэлийг үүнтэй ижил утгатайгаар сольж болно. Энэ мэдэгдэл нь радикал илэрхийлэлтэй ажиллах боломжтой болгодог. Жишээлбэл, 1 + 6-г 7 эсвэл 2 · a 5 4 - 6-г 2 · a 4 · a 4 - 6-аар сольж болно. Тэдгээр нь адилхан тул солих нь утга учиртай.

a n = a 1 n хэлбэрийн тэгш бус байдал хүчинтэй байх a-аас ялгаатай 1 байхгүй үед ийм тэгш байдал нь зөвхөн a = a 1-д л боломжтой. Ийм илэрхийллийн утга нь хувьсагчийн аль ч утгатай тэнцүү байна.

Root Properties ашиглах

Үндэсний шинж чанарыг илэрхийллийг хялбарчлахад ашигладаг. a · b = a · b шинж чанарыг ашиглахын тулд a ≥ 0, b ≥ 0 бол иррационал хэлбэрээс 1 + 3 · 12 нь 1 + 3 · 12-той ижил тэнцүү болж болно. Өмч. . . a n k n 2 n 1 = a n 1 · n 2 · , . . . , · n k , энд a ≥ 0 нь x 2 + 4 4 3-ийг x 2 + 4 24 хэлбэрээр бичиж болно гэсэн үг юм.

Радикал илэрхийллийг хөрвүүлэхэд зарим нэг нюансууд байдаг. Хэрэв илэрхийлэл байгаа бол - 7 - 81 4 = - 7 4 - 81 4 бол a b n = a n b n томъёо нь зөвхөн сөрөг бус a ба эерэг b-д үйлчилдэг тул бид үүнийг бичиж чадахгүй. Хэрэв өмчийг зөв хэрэглэвэл үр дүн нь 7 4 81 4 хэлбэрийн илэрхийлэл болно.

Зөв хувиргахын тулд үндэсийн шинж чанарыг ашиглан иррационал илэрхийлэлийн хувиргалтыг ашигладаг.

Үндэсний тэмдгийн дор үржүүлэгчийг оруулах

Үндэс тэмдгийн доор байрлуулна– B · C n илэрхийллийг орлуулах гэсэн үг бөгөөд B ба C нь зарим тоо эсвэл илэрхийлэл бөгөөд n нь 1-ээс их натурал тоо, тэнцүү илэрхийлэл, B n · C n эсвэл - B n · C n хэлбэртэй байна.

Хэрэв бид 2 x 3 хэлбэрийн илэрхийлэлийг хялбарчлах юм бол язгуурт нэмсний дараа бид 2 3 x 3 болно. Ийм өөрчлөлтийг зөвхөн дараа нь хийх боломжтой нарийвчилсан судалгааязгуурын тэмдгийн дор үржүүлэгчийг оруулах дүрэм.

Үндэс тэмдгийн доороос үржүүлэгчийг хасаж байна

Хэрэв B n · C n хэлбэрийн илэрхийлэл байвал түүнийг B · C n хэлбэрт буулгаж, B · C n хэлбэртэй, тэгш n, B, C нь зарим тоо байх сондгой n байна. болон илэрхийлэл.

Өөрөөр хэлбэл, хэрэв бид 2 3 x 3 хэлбэрийн иррационал илэрхийлэл авч, язгуурын хүчин зүйлийг хасвал 2 x 3 илэрхийлэлийг авна. Эсвэл x + 1 2 · 7 нь x + 1 · 7 хэлбэрийн илэрхийлэл үүсгэх бөгөөд энэ нь x + 1 · 7 хэлбэрийн өөр тэмдэглэгээтэй болно.

Үндэс дороос хүчин зүйлийг арилгах нь илэрхийлэл болон түүний илэрхийлэлийг хялбарчлах шаардлагатай хурдан хувиргах.

Үндэс агуулсан бутархайг хөрвүүлэх

Иррационал илэрхийлэл нь иймэрхүү байж болно натурал тоо, мөн бутархай хэлбэртэй байна. Хөрвүүлэхийн тулд бутархай илэрхийлэл их анхааралтүүний хуваарьт төлөх. Хэрэв бид (2 + 3) x 4 x 2 + 5 3 хэлбэрийн бутархай хэсгийг авбал тоологч нь 5 x 4 хэлбэрийг авах бөгөөд язгуурын шинж чанарыг ашиглан хуваагч нь x 2 болохыг олж мэднэ. + 5 6. Анхны бутархайг 5 x 4 x 2 + 5 6 гэж бичиж болно.

Зөвхөн тоологч эсвэл зөвхөн хуваагчийн тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай гэдгийг анхаарах хэрэгтэй. Бид үүнийг ойлгодог

X + 2 x - 3 x 2 + 7 4 = x + 2 x - (- 3 x 2 + 7 4) = x + 2 x 3 x 2 - 7 4

Бутархайг багасгах нь хялбарчлахдаа ихэвчлэн ашиглагддаг. Бид үүнийг ойлгодог

3 · x + 4 3 - 1 · x x + 4 3 - 1 3 x + 4 3 - 1-ээр бууруулна. Бид 3 x x + 4 3 - 1 2 илэрхийлэлийг авна.

Бууруулахын өмнө илэрхийллийг хялбаршуулж, хүчин зүйл болгон хуваах боломжтой хувиргалтыг хийх шаардлагатай нарийн төвөгтэй илэрхийлэл. Үржүүлэх товчилсон томъёог ихэвчлэн ашигладаг.

Хэрэв бид 2 · x - y x + y хэлбэрийн бутархайг авбал u = x ба v = x шинэ хувьсагчдыг оруулах шаардлагатай бол өгөгдсөн илэрхийлэл хэлбэрээ өөрчилж 2 · u 2 - v 2 u + болно. v. Тоолуурыг томъёоны дагуу олон гишүүнт болгон өргөжүүлэх ёстой, тэгвэл бид үүнийг олж авна

2 · u 2 - v 2 u + v = 2 · (u - v) · u + v u + v = 2 · u - v . Урвуу орлуулалтыг хийсний дараа бид 2 x - y хэлбэрт хүрдэг бөгөөд энэ нь анхныхтай тэнцүү юм.

Шинэ хуваагч руу багасгахыг зөвшөөрч, дараа нь тоологчийг нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлэх шаардлагатай. Хэрэв бид x 3 - 1 0, 5 · x хэлбэрийн бутархай хэсгийг авбал бид үүнийг x хуваагч болгон бууруулна. Үүнийг хийхийн тулд та тоологч ба хуваагчийг 2 x илэрхийллээр үржүүлэх хэрэгтэй, тэгвэл бид x 3 - 1 0, 5 x = 2 x x x 3 - 1 0, 5 x 2 x = 2 x x 3 - 1 x илэрхийлэлийг авна. .

Бутархайг багасгах эсвэл үүнтэй төстэй зүйлийг авчрах нь зөвхөн заасан фракцийн ODZ-д шаардлагатай. Тоолуур ба хуваагчийг иррационал илэрхийллээр үржүүлэхэд бид хуваагч дахь иррационал байдлаас ангижирна.

Хуваарилагч дахь үндэслэлгүй байдлаас ангижрах

Илэрхийлэл хуваах замаар хуваагч дахь язгуураас ангижрахыг утгагүй байдлаас ангижрах гэж нэрлэдэг. x 3 3 хэлбэрийн бутархайн жишээг харцгаая. Оновчгүй байдлаас ангижрахын дараа бид 9 3 x 3 хэлбэрийн шинэ хэсгийг олж авна.

Үндэсээс эрх мэдэл рүү шилжих

Иррационал илэрхийлэлийг хурдан өөрчлөхийн тулд үндэснээс хүч рүү шилжих шаардлагатай. Хэрэв бид a m n = a m n тэгшитгэлийг авч үзвэл a эерэг тоо, m нь бүхэл тоо, n нь натурал тоо үед үүнийг ашиглах боломжтой болохыг харж болно. Хэрэв бид 5 - 2 3 илэрхийлэл гэж үзвэл 5 - 2 3 гэж бичих эрхтэй. Эдгээр илэрхийлэл нь тэнцүү байна.

Үндэс нь сөрөг тоо эсвэл хувьсагчтай тоог агуулж байвал a m n = a m n томьёо үргэлж хэрэглэгдэхгүй. Хэрэв та ийм язгуур (- 8) 3 5 ба (- 16) 2 4-ийг хүчээр солих шаардлагатай бол бид a m n = a m n томъёогоор - 8 3 5 ба - 16 2 4-ийг олж авна, бид сөрөг а-тай ажиллахгүй. Радикал илэрхийлэл, тэдгээрийг хялбаршуулах сэдвийг нарийвчлан шинжлэхийн тулд үндэснээс хүч болон буцаж шилжих тухай өгүүллийг судлах шаардлагатай. a m n = a m n томъёо нь энэ төрлийн бүх илэрхийлэлд хамаарахгүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Ухаангүй байдлаас ангижрах нь илэрхийлэл, түүний хувирал, шийдлийг илүү хялбарчлахад хувь нэмэр оруулдаг.

Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу