Бутархай илэрхийлэл нь хүүхдэд ойлгоход хэцүү байдаг. Ихэнх хүмүүс бэрхшээлтэй тулгардаг. "Бүтэн тоо бүхий бутархайг нэмэх" сэдвийг судлахдаа хүүхэд тэнэг байдалд орж, асуудлыг шийдвэрлэхэд хэцүү байдаг. Олон жишээн дээр аливаа үйлдлийг гүйцэтгэхийн өмнө хэд хэдэн тооцоолол хийх ёстой. Жишээлбэл, бутархайг хөрвүүлэх эсвэл буруу бутархайг зөв бутархай болгон хувиргах.
Үүнийг хүүхдэд тодорхой тайлбарлая. Гурван алим авч, хоёр нь бүхэлдээ, гурав дахь алимыг 4 хэсэг болгон хайчилж авцгаая. Зүссэн алимнаас нэг зүсмэлийг салгаж, үлдсэн гурвыг нь хоёр бүхэл жимсний хажууд тавь. Бид нэг талдаа ¼ алим, нөгөө талдаа 2 ¾ алим авдаг. Хэрэв бид тэдгээрийг нэгтгэвэл гурван алим авна. 2 ¾ алимыг ¼-ээр багасгахыг хичээцгээе, өөрөөр хэлбэл өөр зүсмэлийг хасаад бид 2 2/4 алим авна.
Бүхэл тоо агуулсан бутархайтай үйлдлүүдийг нарийвчлан авч үзье.
Эхлээд нийтлэг хуваагчтай бутархай илэрхийллийг тооцоолох дүрмийг санацгаая.
Эхлээд харахад бүх зүйл хялбар бөгөөд энгийн байдаг. Гэхдээ энэ нь зөвхөн хөрвүүлэх шаардлагагүй илэрхийлэлд хамаарна.
Хуваагч нь ялгаатай илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох вэ
Зарим даалгаварт хуваагч нь өөр байгаа илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй. Тодорхой тохиолдлыг авч үзье:
3 2/7+6 1/3
Үнэ цэнийг нь олъё өгөгдсөн илэрхийлэл, үүний тулд бид хоёр бутархайг олно нийтлэг хуваагч.
7 ба 3 тоонуудын хувьд энэ нь 21. Бид бүхэл хэсгүүдийг хэвээр үлдээж, бутархай хэсгүүдийг 21 болгож, үүний тулд бид эхний бутархайг 3, хоёр дахь хэсгийг 7-оор үржүүлснээр бид дараахь зүйлийг авна.
6/21+7/21, бүх хэсгүүдийг хөрвүүлэх боломжгүй гэдгийг бүү мартаарай. Үүний үр дүнд бид ижил хуваагчтай хоёр бутархай авч, тэдгээрийн нийлбэрийг тооцоолно.
3 6/21+6 7/21=9 15/21
Нэмэлтийн үр дүн нь аль хэдийн бүхэл тоотой буруу бутархай байвал яах вэ?
2 1/3+3 2/3
IN энэ тохиолдолдБүхэл ба бутархай хэсгүүдийг нэмснээр бид дараахь зүйлийг авна.
5 3/3, таны мэдэж байгаагаар 3/3 нь нэг бөгөөд энэ нь 2 1/3+3 2/3=5 3/3=5+1=6 гэсэн үг юм.
Нийлбэрийг олох нь тодорхой тул хасалтыг харцгаая:
Хэлсэн бүхнээс харахад үйл ажиллагааны дүрэм дууслаа холимог тоо, энэ нь иймэрхүү сонсогдож байна:
- Хэрэв -аас бутархай илэрхийлэлбүхэл тоог хасах шаардлагатай, хоёр дахь тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагагүй, зөвхөн бүхэл тоон хэсгүүдэд үйлдлийг хийхэд хангалттай.
Илэрхийллийн утгыг өөрсдөө тооцоолохыг хичээцгээе.
Үүнийг цэгцэлье илүү жишээ"m" үсгийн дор:
4 5/11-2 8/11, эхний бутархайн тоо хоёр дахь хэсгээс бага байна. Үүнийг хийхийн тулд бид эхний бутархайгаас нэг бүхэл тоо зээлж авна.
3 5/11+11/11=3 бүхэл 16/11, эхний бутархайгаас хоёр дахь хэсгийг хасна:
3 16/11-2 8/11=1 бүхэл 8/11
- Даалгаврыг гүйцэтгэхдээ болгоомжтой байгаарай, буруу бутархайг холимог бутархай болгон хувиргаж, бүх хэсгийг нь онцолж бүү мартаарай. Үүнийг хийхийн тулд та тоологчийн утгыг хуваагчийн утгад хуваах хэрэгтэй бөгөөд таны авсан зүйл нь бүхэл хэсгийн байрыг эзэлнэ, үлдсэн хэсэг нь тоологч байх болно, жишээлбэл:
19/4=4 ¾, шалгая: 4*4+3=19, хуваагч 4 өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Дүгнэж хэлье:
Бутархайтай холбоотой даалгаврыг эхлүүлэхийн өмнө энэ нь ямар илэрхийлэл болох, шийдэл зөв байхын тулд бутархай дээр ямар хувиргалт хийх шаардлагатайг шинжлэх шаардлагатай. Илүү ихийг хай оновчтой аргашийдлүүд. Хэцүү замаар бүү яв. Бүх үйлдлээ төлөвлөж, эхлээд ноорог хэлбэрээр шийдэж, дараа нь сургуулийн дэвтэртээ шилжүүлээрэй.
Бутархай илэрхийлэлийг шийдвэрлэхдээ төөрөгдөлд орохгүйн тулд та тууштай байдлын дүрмийг дагаж мөрдөх ёстой. Яаралгүйгээр бүх зүйлийг сайтар шийд.
Өө эдгээр фракцууд! IN ахлах сургуульМатематикийн хичээл дээр энэ нь бутархай тоонуудтай арифметик үйлдлүүд, тоологч ба хуваагчтай тоонууд анивчдаг тул олон сургуулийн сурагчдад бэрхшээлийг даван туулахад бэрхшээлтэй байдаг. Цээжлэх, ашиглах нь хангалттай энгийн дүрэм, бутархайтай үйлдлүүд хамаарах бөгөөд зарим оюутнуудад саад тотгор учруулдаг сайн дүнматематикт. Тэгэхээр та бутархайтай асуудлыг хэрхэн шийдэх вэ? Хэрэв та бутархай гэж юу болохыг зөв ойлговол энэ нь боломжтой юм.
Учир нь тод жишээЕрдийн бялуу авцгаая. Та баярын долоон зочин хүлээж байна. Танд ганцхан бялуу байна. Энэ нь найм (зочин нэмсэн төрсөн өдрийн хүн) хуваагдах ёстой гэсэн үг юм. Та бялууг ижил хэсгүүдэд хуваана. Эдгээр хэсэг бүр нь нийт бялууны ердөө 1/8-ийг эзэлдэг. Үр дүн нь энгийн натурал бутархай бөгөөд 1 нь тоологч, 8 нь хуваагч юм. Зочдын нэг нь бялуунаас татгалзсан тул та өөр нэг хэсгийг өөртөө авахаар шийдсэн. Одоо бялууны найман хэсгээс 2 ширхэг буюу 2/8 байна.
Хэрэв танай зочид бүгд хоолны дэглэм барьж, жингээ хасаж, бялуу идэхийг хүсэхгүй байвал яах вэ? Дараа нь та наймаас найман хэсэг (8/8), өөрөөр хэлбэл нэг бүтэн бялуу авах болно!
Тоолуур байгаа бутархай хуваагчаас бага, зөв гэж нэрлэдэг. Мөн илүү том тоологчтой хүмүүс буруу байна.
Байгалийн бутархайтай холбоотой асуудлууд
Үүнд хамаарах ажлууд байгалийн фракцууд, ихэнхдээ тэдэнтэй хийсэн үйлдлүүдийг агуулдаг. Ихэнх хялбар сонголтИйм асуудал нь бутархайгаар илэрхийлэгдсэн тооны бутархайг олох явдал юм. Чамд 6 кг алим өгсөн. Бялууг дүүргэхийн тулд 2/3-ыг нь үлдээх хэрэгтэй. Бид 6-г 2-оор үржүүлж, дараа нь 3-аар хуваана. Үүний үр дүнд бид дүүргэхэд шаардлагатай 4 кг байна.
Хэрэв үнэ цэнэтэй бол хэцүү даалгавартоог хэсэгчлэн олоод, тооны хэсгийг бутархайгаар үржүүлж, хүртэгч ба хуваагчийг соль. Энд 6 кг алим байна. Энэ нь 3/5 байна нийт тооалимны модноос цуглуулсан алим. Энэ нь бид 6-г 5-аар хурдан үржүүлж, 3-аар хуваана гэсэн үг юм. Энэ нь 10 кг болж ирдэг.
Бутархайг хэрхэн хувааж, үржүүлэх вэ? Энд байгаа дүрэм журам нь энгийн. Бутархайг бутархайгаар үржүүлэхэд бид тоологч болон хуваагчтай үйлдлүүдийг гүйцэтгэдэг. 2/3-ыг 5/6-аар үржүүлэх хэрэгтэй гэж бодъё. Бид 2-ын тоог 5-аар үржүүлж, 3-ыг 6-аар үржүүлнэ. Үр дүн: 10/18. Хэрэв та бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх шаардлагатай бол тухайн тоог өөрөө болон бутархайн тоог үржүүлэхэд хангалттай. Тэгэхээр 3*4/7=12/7. Бутархайг зөв болгон хувирга: 12/7=1 ба 5/7.
Бид бутархай хуваалтыг үржүүлэх замаар хялбархан сольж болно. 5/6-г 2/3-т хуваах шаардлагатай юу? Энэ нь бид эхний бутархай 5/6-г өөрчлөгдөөгүй орхиж, хоёрдугаарт бид тоологч ба хуваагчийг солино гэсэн үг юм. 5/6:2/3=5/6*3/2=15/12. Натурал тоог бутархайд хуваахад ижил төстэй дүрэм байдаг. 2:4/7= 2*7/4=14/4. Хэрэв бид бутархайг хуваавал натурал тоо, дараа нь бид хуваагч болон тоог өөрөө үржүүлнэ. 4/7: 2 = 4/14.
Хугацаа өөр өөр бутархайгаар хасах, нэмэх нь илүү хэцүү байдаг. Хэрэв та 2/8-аас 3/8 хүртэлх хэсгийг нэмэх шаардлагатай бол энэ нь илүү хялбар болно. Тоолуурыг нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй. Энэ нь 5/8 гарч ирдэг. Хасах үед бүх зүйл адилхан бөгөөд жижиг нь том тоологчоос хасагдана.
Хугацагч нь ялгаатай бутархайтай бодлогыг хэрхэн шийдвэрлэх вэ? Мэдээжийн хэрэг эхлээд тэдгээрийг нэг рүү авчир. Жишээлбэл, та 5/8, 2/3 нэмэх хэрэгтэй. Сонгох аргыг ашиглан бид 8 ба 3-т хуваагдах тоог хайж байна. Энэ тоо нь 24. 5/8-аас 24 хуваарьтай бутархай болгохын тулд 24-ийг 8-д хуваа. Бидний олж авсан тоо 3 байна. Тоолуурыг 3-аар үржүүлнэ. Үүний үр дүнд 5/8 нь 15/24-тэй тэнцэнэ. Бид 2/3-тай ижил зүйлийг хийж, 16/24-ийг авдаг. Дараа нь та хуваагчдыг нэмж, хасах боломжтой.
Бид 31/24 буруу бутархай авсан. 24/24 нь нэг бүхэл тоо юм. Тоологчоос хуваагчийг хас. Энэ нь 1 бүтэн ба 7/24 болж хувирдаг.
Бүхэл тооноос хэсгийг хасах шаардлагатай үед юу хийх вэ? Танд гурван бялуу байгаа бөгөөд тус бүрийг нь таван хэсэг болгон хувааж, 2/5-ыг таньдаг хүндээ өгөх хэрэгтэй. 3 нь 15-ыг тавд хуваана. Тэгэхээр танд 15/5 бялуу байна. 15-аас 2-ыг хасвал бялууны 13/5 буюу 2 бүтэн, 3/5 нь үлдсэн байна.
Бутархайтай асуудлыг ингэж шийдэж болно. Хамгийн гол нь та жижиг тооноос том тоологчийг хасах боломжгүй гэдгийг санаарай!
Тоолуур, хуваасан нь хуваагч юм.
Бутархай бичихийн тулд эхлээд тоологчийг бичиж, дараа нь тоон доор хэвтээ шугам зурж, шугамын доор хуваагчийг бичнэ. Тоолуур ба хуваагчийг заагласан хэвтээ шугамыг бутархай шугам гэнэ. Заримдаа ташуу "/" эсвэл "∕" хэлбэрээр дүрсэлсэн байдаг. Энэ тохиолдолд тоологчийг мөрийн зүүн талд, хуваагчийг баруун талд бичнэ. Жишээлбэл, "гуравны хоёр" бутархайг 2/3 гэж бичнэ. Тодорхой болгохын тулд тоологчийг ихэвчлэн мөрний дээд талд, хуваагчийг доод талд бичдэг, өөрөөр хэлбэл 2/3-ын оронд та дараахийг олж болно: ⅔.
Бутархайн үржвэрийг тооцоолохын тулд эхлээд нэгийн тоог үржүүлнэ бутархайтоологч нь өөр. Үр дүнг шинийн тоонд бичнэ үү бутархай. Үүний дараа хуваагчийг үржүүлнэ. Нийт утгыг шинэ хэсэгт оруулна уу бутархай. Жишээлбэл, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).
Нэг бутархайг нөгөө бутархайд хуваахын тулд эхлээд эхний хэсгийн хуваагчийг хоёр дахь бутархайгаар үржүүлнэ. Хоёрдахь бутархай (хуваагч) -тай ижил зүйлийг хий. Эсвэл бүх үйлдлүүдийг хийхээсээ өмнө хуваагчийг эргүүлээрэй, хэрэв танд илүү тохиромжтой бол: хуваагч нь тоологчийн оронд гарч ирэх ёстой. Дараа нь ногдол ашгийн хуваагчийг хуваагчийн шинэ хуваагчаар үржүүлж, тоог үржүүлнэ. Жишээлбэл, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).
Эх сурвалжууд:
- Бутархайн үндсэн асуудлууд
Бутархай тоог дараах хэлбэрээр илэрхийлж болно янз бүрийн хэлбэрээртоо хэмжээний яг тодорхой утга. Хасах, нэмэх, үржүүлэх, хуваах гэх мэт бүхэл тоотой адил математикийн үйлдлүүдийг бутархайгаар хийж болно. Шийдвэр гаргаж сурахын тулд бутархай, бид тэдний зарим шинж чанарыг санах ёстой. Тэд төрлөөс хамаарна бутархай, бүхэл хэсэг, нийтлэг хуваагч байгаа эсэх. Зарим арифметик үйлдлүүд нь гүйцэтгэлийн дараа үр дүнгийн бутархай хэсгийг багасгахыг шаарддаг.
Танд хэрэгтэй болно
- - тооцоолуур
Заавар
Тоонуудыг сайтар ажиглаарай. Хэрэв бутархайн дунд аравтын бутархай ба жигд бус бутархай байдаг бол заримдаа аравтын бутархайтай үйлдлүүдийг хийж, дараа нь жигд бус хэлбэрт шилжүүлэх нь илүү тохиромжтой байдаг. Орчуулж чадах уу бутархайЭнэ хэлбэрээр эхлээд тоологчийн аравтын бутархайн араас утгыг бичиж, хуваарьт 10-ыг тавина. Шаардлагатай бол дээрх ба доор байгаа тоог нэг хуваагчаар хувааж бутархайг багасгана. Бүхэл тоон хэсэг тусгаарлагдсан бутархайг хуваагчаар үржүүлээд үр дүнд нь тоог нэмэх замаар буруу хэлбэрт шилжүүлэх ёстой. Өгөгдсөн үнэ цэнэшинэ тоологч болно бутархай. Анхны буруу хэсгээс бүхэл хэсгийг сонгох бутархай, та тоологчийг хуваагчаар хуваах хэрэгтэй. Бүхэл бүтэн үр дүн-аас бичнэ үү бутархай. Хуваалтын үлдсэн хэсэг нь шинэ тоологч, хуваагч болно бутархайэнэ нь өөрчлөгдөхгүй. -тэй бутархайн хувьд бүхэл хэсэгэхлээд бүхэл тоо, дараа нь бутархай хэсгүүдэд тус тусад нь үйлдлийг гүйцэтгэх боломжтой. Жишээлбэл, 1 2/3 ба 2 ¾-ийн нийлбэрийг тооцоолж болно:
- Бутархайг буруу хэлбэрт хөрвүүлэх:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Бүхэл тоог тусад нь нийлбэр ба бутархай хэсгүүднөхцөл:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.
Тэдгээрийг ":" тусгаарлагч ашиглан дахин бичээд үргэлжлүүлнэ үү тогтмол хуваагдал.
Хүлээн авах эцсийн үр дүнТоолуур ба хуваагчийг нэг бүхэл тоонд хуваах замаар үүссэн бутархайг багасгаж, энэ тохиолдолд хамгийн их байх болно. Энэ тохиолдолд шугамын дээр болон доор бүхэл тоо байх ёстой.
Анхаарна уу
Хугацаа өөр өөр бутархайгаар арифметик хийж болохгүй. Бутархай бүрийн хуваагч ба хуваагчийг үржүүлэхэд хоёр бутархайн хуваагч тэнцүү байхаар тоо сонго.
Бичлэг хийх үед бутархай тооНогдол ашгийг мөрний дээгүүр бичнэ. Энэ хэмжигдэхүүнийг бутархайн тоологч гэж тодорхойлсон. Бутархайн хуваагч буюу хуваагчийг мөрний доор бичнэ. Жишээлбэл, нэг хагас килограмм будааг бутархай хэлбэрээр дараах байдлаар бичнэ: 1 ½ кг будаа. Бутархайн хуваагч 10 бол бутархайг аравтын бутархай гэнэ. Энэ тохиолдолд тоологч (ногдол ашиг) нь таслалаар тусгаарлагдсан бүх хэсгийн баруун талд бичигдсэн байна: 1.5 кг будаа. Тооцоолоход хялбар болгохын тулд ийм бутархайг үргэлж бичиж болно буруу хэлбэрээр: 1 2/10 кг төмс. Хялбаршуулахын тулд та тоологч ба хуваагч утгыг нэг бүхэл тоонд хувааж багасгаж болно. IN энэ жишээнд 2-т хувааж болно. Үр дүн нь 1 1/5 кг төмс болно. Таны арифметик хийх гэж буй тоонууд ижил хэлбэрээр байгаа эсэхийг шалгаарай.
Оюутан шилжих үед ахлах сургууль, математик нь алгебр, геометр гэсэн 2 хичээлд хуваагддаг. Илүү олон ухагдахуун бий болж, даалгавар нь улам бүр хэцүү болж байна. Зарим хүмүүс бутархайг ойлгоход бэрхшээлтэй байдаг. Энэ сэдвээр анхны хичээлээ орхисон, мөн voila. бутархай? Сургуулийн амьдралынхаа туршид зовоох асуулт.
Алгебрийн бутархайн тухай ойлголт
Тодорхойлолтоор эхэлье. Доод алгебрийн бутархайнь P/Q илэрхийлэлд хамаарах ба P нь тоологч, Q нь хуваагч юм. Тоо, тоон илэрхийлэл эсвэл тоон-цагаан толгойн илэрхийлэлийг үсгийн оруулгын доор нууж болно.
Хэрхэн шийдэхээ гайхахаас өмнө алгебрийн бутархай, эхлээд та үүнийг ойлгох хэрэгтэй ижил төстэй илэрхийлэл- бүхэл бүтэн хэсэг.
Дүрмээр бол бүхэл тоо нь 1. Хуваагч дахь тоо нь нэгж хэдэн хэсэгт хуваагдаж байгааг харуулдаг. Хэдэн элемент авсныг олохын тулд тоологч хэрэгтэй. Бутархай хэсэг нь хуваах тэмдэгтэй тохирч байна. Бутархай илэрхийлэлийг "Хуваах" математик үйлдлээр бичихийг зөвшөөрнө. Энэ тохиолдолд тоологч нь ногдол ашиг, хуваагч нь хуваагч юм.
Энгийн бутархайн үндсэн дүрэм
Оюутнууд өнгөрөхөд энэ сэдэвсургууль дээр тэдэнд бататгахын тулд жишээ өгдөг. Тэдгээрийг зөв шийдэж, олохын тулд янз бүрийн арга замууд-аас хүнд хэцүү нөхцөл байдал, та бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй.
Энэ нь дараах байдалтай байна: Хэрэв та тоологч ба хуваагчийг хоёуланг нь ижил тоо эсвэл илэрхийллээр (тэгээс бусад) үржүүлбэл энгийн бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй. -аас онцгой тохиолдол энэ дүрмийннь илэрхийллийн хоёр талыг ижил тоо буюу олон гишүүнт хуваах явдал юм. Ийм хувиргалтыг ижил тэгш байдал гэж нэрлэдэг.
Доор бид алгебрийн бутархайг нэмэх, хасах, бутархайг үржүүлэх, хуваах, багасгах үйлдлийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар авч үзэх болно.
Бутархайтай математик үйлдлүүд
Алгебрийн бутархайн үндсэн шинж чанарыг хэрхэн шийдвэрлэх, түүнийг практикт хэрхэн ашиглах талаар авч үзье. Хэрэв та хоёр бутархайг үржүүлэх, нэмэх, нэг нэгээр нь хуваах, хасах шаардлагатай бол дүрмийг үргэлж дагаж мөрдөх ёстой.
Тиймээс нэмэх хасах үйлдлийг гүйцэтгэхийн тулд илэрхийллийг нийтлэг хуваагч руу хүргэхийн тулд нэмэлт хүчин зүйлийг олох шаардлагатай. Хэрэв бутархайг ижил Q илэрхийллээр өгсөн бол энэ догол мөрийг орхих хэрэгтэй. Нэгэнт нийтлэг хуваагч олдвол алгебрийн бутархайг хэрхэн шийдэх вэ? Та тоологч нэмэх эсвэл хасах хэрэгтэй. Гэхдээ! Хэрэв бутархайн өмнө "-" тэмдэг байгаа бол тоологч дахь бүх тэмдгүүд эсрэгээрээ байна гэдгийг санах нь зүйтэй. Заримдаа та ямар ч орлуулалт хийх ёсгүй ба математик үйлдлүүд. Бутархайн урд талын тэмдгийг өөрчлөхөд хангалттай.
гэсэн ойлголтыг ихэвчлэн ашигладаг бутархай хэсгүүдийг багасгах. Энэ нь дараахь зүйлийг хэлнэ: хэрэв тоологч ба хуваагчийг нэгээс өөр илэрхийллээр (хоёр хэсгийн хувьд ижил) хуваавал шинэ бутархай гарна. Ногдол ашиг ба хуваагч нь өмнөхөөсөө бага боловч бутархайн үндсэн дүрмийн улмаас тэдгээр нь анхны жишээтэй тэнцүү хэвээр байна.
Энэ үйлдлийн зорилго нь шинэ бууруулж болохгүй илэрхийлэлийг олж авах явдал юм. Шийдэх энэ даалгаварХэрэв та тоологч ба хуваагчийг хамгийн томоор нь багасгавал боломжтой нийтлэг хуваагч. Үйлдлийн алгоритм нь хоёр цэгээс бүрдэнэ.
- Бутархайн хоёр талын gcd-г олох.
- Олдсон илэрхийллээр тоологч ба хуваагчийг хувааж, олж авах бууруулж болохгүй бутархай, өмнөхтэй тэнцүү байна.
Доорх томъёог харуулсан хүснэгт байна. Тохиромжтой болгохын тулд та үүнийг хэвлэж аваад дэвтэр дээрээ авч явах боломжтой. Гэсэн хэдий ч ирээдүйд тест эсвэл шалгалтыг шийдвэрлэхдээ алгебрийн бутархайг хэрхэн шийдвэрлэх тухай асуултад бэрхшээл гарахгүйн тулд эдгээр томъёог цээжээр сурах ёстой.
Шийдэл бүхий хэд хэдэн жишээ
ХАМТ онолын цэгХэтийн үүднээс авч үзвэл алгебрийн бутархайг хэрхэн шийдэх вэ гэсэн асуултыг авч үздэг. Өгүүлэлд өгсөн жишээнүүд нь материалыг илүү сайн ойлгоход тусална.
1. Бутархайг хөрвүүлж, нийтлэг хуваарьт ав.
2. Бутархайг хувиргаж, нийтлэг хуваарьт ав.
Онолын хэсгийг судалж үзээд практик асуудлуудцаашид байх ёсгүй.
Энэ нийтлэлд математик илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох талаар авч үзэх болно. Энгийн тоон илэрхийллүүдээс эхэлж, нарийн төвөгтэй байдал нэмэгдэхийн хэрээр тохиолдлуудыг авч үзье. Төгсгөлд нь бид агуулсан илэрхийлэл өгдөг үсгийн тэмдэглэгээ, хаалт, үндэс, тусгай математикийн тэмдэг, зэрэг, функц гэх мэт. Уламжлал ёсоор бид онолыг бүхэлд нь арвин, дэлгэрэнгүй жишээгээр өгөх болно.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Тоон илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох вэ?
Тоон илэрхийлэл нь бусад зүйлсийн дотор асуудлын нөхцөлийг тодорхойлоход тусалдаг математик хэл. Ер нь математик илэрхийллүүднь хос тоо, арифметик тэмдэгтээс бүрдэх маш энгийн, эсвэл функц, зэрэглэл, үндэс, хаалт гэх мэт маш нарийн төвөгтэй байж болно. Даалгаврын нэг хэсэг болгон тодорхой илэрхийллийн утгыг олох шаардлагатай байдаг. Үүнийг хэрхэн хийх талаар доор хэлэлцэх болно.
Хамгийн энгийн тохиолдлууд
Эдгээр нь илэрхийлэлд тооноос өөр зүйл агуулаагүй тохиолдол юм арифметик үйлдлүүд. Ийм илэрхийллийн утгыг амжилттай олохын тулд хаалтгүйгээр арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх дарааллын талаархи мэдлэг, түүнчлэн янз бүрийн тоонуудтай үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвар хэрэгтэй болно.
Хэрэв илэрхийлэл нь зөвхөн тоо, арифметик тэмдэг агуулсан " + " , " · " , " - " , " ÷ " , дараа нь үйлдлийг зүүнээс баруун тийш дараах дарааллаар гүйцэтгэнэ: эхлээд үржүүлэх, хуваах, дараа нь нэмэх, хасах. Жишээ хэлье.
Жишээ 1: Тоон илэрхийллийн утга
Та 14 - 2 · 15 ÷ 6 - 3 илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй.
Эхлээд үржүүлэх, хуваах ажлыг хийцгээе. Бид авах:
14 - 2 15 ÷ 6 - 3 = 14 - 30 ÷ 6 - 3 = 14 - 5 - 3.
Одоо бид хасах үйлдлийг хийж, эцсийн үр дүнг авна.
14 - 5 - 3 = 9 - 3 = 6 .
Жишээ 2: Тоон илэрхийллийн утга
Тооцоолъё: 0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12.
Эхлээд бид бутархай хувиргах, хуваах, үржүүлэх ажлыг гүйцэтгэдэг.
0, 5 - 2 · - 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 - (- 14) + 2 3 ÷ 11 4 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 3 4 11 11 12 = 1 2 - (- 14) + 2 9.
Одоо нэмэх хасах үйлдэл хийцгээе. Бутархайг бүлэглэн нийтлэг хуваагч руу авъя:
1 2 - (- 14) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Шаардлагатай утгыг оллоо.
Хаалттай илэрхийллүүд
Хэрэв илэрхийлэлд хаалт байгаа бол тэдгээр илэрхийлэл дэх үйлдлийн дарааллыг тодорхойлно. Эхлээд хаалтанд байгаа үйлдлүүд, дараа нь бусад бүх үйлдлүүд хийгдэнэ. Үүнийг жишээгээр харуулъя.
Жишээ 3: Тоон илэрхийллийн утга
0.5 · (0.76 - 0.06) илэрхийллийн утгыг олъё.
Илэрхийлэл нь хаалт агуулсан тул бид эхлээд хаалтанд хасах үйлдлийг хийж, дараа нь үржүүлэлтийг хийнэ.
0.5 · (0.76 - 0.06) = 0.5 · 0.7 = 0.35.
Хаалтанд хаалт агуулсан хэллэгүүдийн утгыг ижил зарчмын дагуу олно.
Жишээ 4: Тоон илэрхийллийн утга
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 утгыг тооцоолъё.
Бид хамгийн дотоод хаалтаас эхлээд гадна талынх руу шилжих үйлдлүүдийг хийх болно.
1 + 2 1 + 2 1 + 2 1 - 1 4 = 1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4
1 + 2 1 + 2 1 + 2 3 4 = 1 + 2 1 + 2 2, 5 = 1 + 2 6 = 13.
Хаалттай хэллэгийн утгыг олохдоо гол зүйл бол үйлдлийн дарааллыг дагаж мөрдөх явдал юм.
Үндэстэй илэрхийллүүд
Бидний утгыг олох шаардлагатай математик илэрхийллүүд нь язгуур тэмдгийг агуулж болно. Түүнээс гадна илэрхийлэл нь өөрөө үндсэн тэмдгийн дор байж болно. Энэ тохиолдолд юу хийх вэ? Эхлээд та язгуурын доорх илэрхийллийн утгыг олж, үр дүнд нь олж авсан тооноос үндсийг гаргаж авах хэрэгтэй. Боломжтой бол тоон илэрхийлэл дэх үндсийг арилгах, -ээс солих нь дээр тоон утгууд.
Жишээ 5: Тоон илэрхийллийн утга
Үндэстэй илэрхийллийн утгыг тооцоод үзье - 2 · 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2, 2 + 0, 1 · 0, 5.
Эхлээд бид радикал илэрхийлэлүүдийг тооцоолно.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 = - 6 - 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2, 2 + 0, 05 = 2, 25 = 1, 5.
Одоо та бүх илэрхийллийн утгыг тооцоолж болно.
2 3 - 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 2, 2 + 0, 1 0, 5 = 2 + 3 1, 5 = 6, 5
Ихэнхдээ үндэстэй илэрхийллийн утгыг олохын тулд эхлээд анхны илэрхийлэлийг өөрчлөх шаардлагатай болдог. Үүнийг дахиад нэг жишээгээр тайлбарлая.
Жишээ 6: Тоон илэрхийллийн утга
3 + 1 3 - 1 - 1 гэж юу вэ
Таны харж байгаагаар бид язгуурыг яг тодорхой утгаар солих чадваргүй байгаа нь тоолох үйл явцыг улам хүндрүүлдэг. Гэхдээ энэ тохиолдолд та товчилсон үржүүлэх томъёог хэрэглэж болно.
3 + 1 3 - 1 = 3 - 1 .
Тиймээс:
3 + 1 3 - 1 - 1 = 3 - 1 - 1 = 1 .
Эрх мэдэл бүхий илэрхийлэл
Хэрэв илэрхийлэл нь хүчийг агуулсан бол бусад бүх үйлдлийг үргэлжлүүлэхийн өмнө тэдгээрийн утгыг тооцоолох шаардлагатай. Зэрэглэлийн экспонент эсвэл суурь нь өөрөө илэрхийлэл болдог. Энэ тохиолдолд эдгээр илэрхийллийн утгыг эхлээд тооцоолж, дараа нь зэрэглэлийн утгыг тооцно.
Жишээ 7: Тоон илэрхийллийн утга
2 3 · 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 илэрхийллийн утгыг олъё.
Дарааллаар нь тооцоолж эхэлцгээе.
2 3 4 - 10 = 2 12 - 10 = 2 2 = 4
16 · 1 - 1 2 3, 5 - 2 · 1 4 = 16 * 0, 5 3 = 16 · 1 8 = 2.
Үлдсэн зүйл бол нэмэх үйлдлийг хийж, илэрхийллийн утгыг олж мэдэх явдал юм.
2 3 4 - 10 + 16 1 - 1 2 3, 5 - 2 1 4 = 4 + 2 = 6.
Мөн ихэвчлэн зэрэглэлийн шинж чанарыг ашиглан илэрхийллийг хялбарчлахыг зөвлөж байна.
Жишээ 8: Тоон илэрхийллийн утга
Дараах илэрхийллийн утгыг тооцоолъё: 2 - 2 5 · 4 5 - 1 + 3 1 3 6 .
Экспонентууд нь дахин ийм байгаа тул тэдгээрийн яг тоон утгыг олж авах боломжгүй юм. Анхны илэрхийлэлийг хялбарчлан утгыг нь олъё.
2 - 2 5 4 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6
2 - 2 5 2 2 5 - 1 + 3 1 3 6 = 2 - 2 5 2 2 5 - 2 + 3 2 = 2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2
2 2 5 - 2 - 2 5 + 3 2 = 2 - 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Бутархай илэрхийлэл
Хэрэв илэрхийлэл нь бутархайг агуулж байвал ийм илэрхийллийг тооцоолохдоо бүх бутархайг хэлбэрт оруулах ёстой. энгийн бутархайба тэдгээрийн утгыг тооцоолох.
Хэрэв бутархайн тоо ба хуваагч нь илэрхийлэл агуулсан байвал эхлээд эдгээр илэрхийллийн утгыг тооцоолж, бутархайн эцсийн утгыг өөрөө бичнэ. Арифметик үйлдлүүдийг стандарт дарааллаар гүйцэтгэдэг. Шийдлийн жишээг авч үзье.
Жишээ 9: Тоон илэрхийллийн утга
Бутархайг агуулсан илэрхийллийн утгыг олъё: 3, 2 2 - 3 · 7 - 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2.
Таны харж байгаагаар анхны илэрхийлэлд гурван бутархай байна. Эхлээд тэдгээрийн утгыг тооцоолъё.
3, 2 2 = 3, 2 ÷ 2 = 1, 6
7 - 2 3 6 = 7 - 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 - 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 - 3 = 6 6 = 1.
Илэрхийлэлээ дахин бичиж, утгыг нь тооцоолъё:
1, 6 - 3 1 6 ÷ 1 = 1, 6 - 0, 5 ÷ 1 = 1, 1
Ихэнхдээ илэрхийллийн утгыг олохдоо бутархай тоог багасгах нь тохиромжтой байдаг. Байгаа хэлэгдээгүй дүрэм: түүний утгыг олохын өмнө бүх тооцооллыг хамгийн энгийн тохиолдол болгон багасгаж, аливаа илэрхийллийг дээд зэргээр хялбарчлах нь зүйтэй.
Жишээ 10: Тоон илэрхийллийн утга
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 илэрхийллийг тооцоолъё.
Бид тавын үндсийг бүрэн гаргаж чадахгүй ч хувиргах замаар анхны илэрхийлэлийг хялбарчилж чадна.
2 5 - 1 = 2 5 + 1 5 - 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 - 1 = 2 5 + 2 4
Анхны илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.
2 5 - 1 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 .
Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолъё:
2 5 + 2 4 - 2 5 - 7 4 - 3 = 2 5 + 2 - 2 5 + 7 4 - 3 = 9 4 - 3 = - 3 4 .
Логарифм бүхий илэрхийллүүд
Илэрхийлэлд логарифм байгаа тохиолдолд тэдгээрийн утгыг боломжтой бол эхнээс нь тооцдог. Жишээлбэл, лог 2 4 + 2 · 4 илэрхийлэлд та log 2 4-ийн оронд энэ логарифмын утгыг шууд бичиж, дараа нь бүх үйлдлийг хийж болно. Бид авна: log 2 4 + 2 4 = 2 + 2 4 = 2 + 8 = 10.
Логарифмын тэмдгийн дор мөн түүний суурь дээр байж болно тоон илэрхийллүүд. Энэ тохиолдолд хамгийн түрүүнд хийх зүйл бол тэдгээрийн утгыг олох явдал юм. 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 гэсэн илэрхийллийн логийг авъя. Бидэнд:
log 5 - 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10.
Хэрэв логарифмын яг утгыг тооцоолох боломжгүй бол илэрхийллийг хялбарчлах нь түүний утгыг олоход тусална.
Жишээ 11: Тоон илэрхийллийн утга
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 илэрхийллийн утгыг олъё.
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
Логарифмын шинж чанараар:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 (2 3) = log 6 6 = 1.
Логарифмын шинж чанарыг дахин ашигласнаар илэрхийлэл дэх сүүлчийн бутархайн хувьд бид дараахь зүйлийг олж авна.
log 5 729 log 0, 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 - log 5 27 = - log 27 729 = - log 27 27 2 = - 2.
Одоо та анхны илэрхийллийн утгыг тооцоолох ажлыг үргэлжлүүлж болно.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0, 2 27 = 3 + 1 + - 2 = 2.
Тригонометрийн функц бүхий илэрхийллүүд
Энэ илэрхийлэл нь синус, косинус, тангенс, котангенсийн тригонометрийн функцууд, тэдгээрийн урвуу функцуудыг агуулдаг. Бусад бүх арифметик үйлдлүүдийг хийхээс өмнөх утгыг тооцно. Үгүй бол илэрхийлэлийг хялбаршуулсан болно.
Жишээ 12: Тоон илэрхийллийн утга
Илэрхийллийн утгыг ол: t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ.
Эхлээд бид илэрхийлэлд багтсан тригонометрийн функцүүдийн утгыг тооцоолно.
нүгэл - 5 π 2 = - 1
Бид утгыг илэрхийлэлд орлуулж, утгыг нь тооцоолно.
t g 2 4 π 3 - sin - 5 π 2 + cosπ = 3 2 - (- 1) + (- 1) = 3 + 1 - 1 = 3.
Илэрхийллийн утгыг оллоо.
-тэй илэрхийллийн утгыг олохын тулд ихэвчлэн тригонометрийн функцууд, үүнийг эхлээд хөрвүүлэх ёстой. Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.
Жишээ 13: Тоон илэрхийллийн утга
Бид cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 илэрхийллийн утгыг олох хэрэгтэй.
Хөрвүүлэхийн тулд бид ашиглах болно тригонометрийн томъёокосинус давхар өнцөгба нийлбэрийн косинус.
cos 2 π 8 - sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 - sin 5 π 36 sin π 9 - 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 - 1 = cos π 4 cos - 1 = cos π 1 - 1 = 0.
Тоон илэрхийллийн ерөнхий тохиолдол
IN ерөнхий тохиолдол тригонометрийн илэрхийлэлдээр дурдсан бүх элементүүдийг агуулж болно: хаалт, зэрэглэл, үндэс, логарифм, функц. Ийм хэллэгийн утгыг олох ерөнхий дүрмийг томъёолъё.
Илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох вэ
- Үндэс, хүч, логарифм гэх мэт. үнэ цэнээр нь солигддог.
- Хаалтанд байгаа үйлдлийг гүйцэтгэнэ.
- Үлдсэн үйлдлүүдийг зүүнээс баруун тийш дарааллаар гүйцэтгэнэ. Эхлээд - үржүүлэх, хуваах, дараа нь - нэмэх, хасах.
Нэг жишээ авч үзье.
Жишээ 14: Тоон илэрхийллийн утга
- 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 гэсэн илэрхийллийн утгыг тооцоолъё.
Илэрхийлэл нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд төвөгтэй юм. Дээр дурдсан бүх тохиолдлыг багтаахыг хичээж, бид ийм жишээг сонгосон нь санамсаргүй хэрэг биш юм. Ийм илэрхийллийн утгыг хэрхэн олох вэ?
Цогцолборын утгыг тооцоолохдоо мэддэг бутархай хэлбэр, эхлээд бутархайн хүртэгч ба хуваагчийн утгуудыг тус тусад нь олно. Бид энэ илэрхийлэлийг дараалан өөрчилж, хялбаршуулах болно.
Юуны өмнө 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 гэсэн радикал илэрхийллийн утгыг бодъё. Үүнийг хийхийн тулд тригонометрийн функцийн аргумент болох синусын утга болон илэрхийллийг олох хэрэгтэй.
π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 5 π 5 = π 6 + 2 π
Одоо та синусын утгыг мэдэж болно:
sin π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 = нүгэл π 6 + 2 π = нүгэл π 6 = 1 2.
Бид радикал илэрхийллийн утгыг тооцоолно:
2 нүгэл π 6 + 2 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 1 2 + 3 = 4
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2.
Бутархай хуваагчтай бол бүх зүйл илүү хялбар болно:
Одоо бид бүхэл бутархайн утгыг бичиж болно:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1.
Үүнийг харгалзан бид илэрхийллийг бүхэлд нь бичнэ:
1 + 1 + 3 9 = - 1 + 1 + 3 3 = - 1 + 1 + 27 = 27 .
Эцсийн үр дүн:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27.
Энэ тохиолдолд бид тооцоолж чадсан тодорхой утгуудүндэс, логарифм, синус гэх мэт. Хэрэв энэ боломжгүй бол та математикийн хувиргалтаар тэднээс салахыг оролдож болно.
Рационал аргуудыг ашиглан илэрхийллийн утгыг тооцоолох
Тоон утгыг тууштай, үнэн зөв тооцоолох ёстой. Энэ үйл явцашиглан хялбаршуулж, хурдасгах боломжтой янз бүрийн шинж чанаруудтоо бүхий үйлдэл. Жишээлбэл, хүчин зүйлүүдийн дор хаяж нэг нь тэгтэй тэнцүү байвал бүтээгдэхүүн нь тэгтэй тэнцүү гэдгийг мэддэг. Энэ шинж чанарыг харгалзан үзвэл 2 386 + 5 + 589 4 1 - sin 3 π 4 0 илэрхийлэл нь тэгтэй тэнцүү гэж шууд хэлж болно. Үүний зэрэгцээ дээрх нийтлэлд дурдсан дарааллаар үйлдлүүдийг хийх шаардлагагүй.
Мөн хасах шинж чанарыг ашиглахад тохиромжтой тэнцүү тоо. Ямар ч үйлдэл хийхгүйгээр та 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 - 56 + 8 - 3, 789 ln e 2 илэрхийллийн утгыг мөн тэг гэж захиалж болно.
Үйл явцыг хурдасгах өөр нэг арга бол нэр томьёо, хүчин зүйлийг бүлэглэх, хасах зэрэг таних хувиргалтыг ашиглах явдал юм. нийтлэг үржүүлэгчхаалтнаас гарсан. Бутархай илэрхийлэлийг тооцоолох оновчтой арга бол тоо болон хуваагч дахь ижил илэрхийллийг багасгах явдал юм.
Жишээлбэл, 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 3 2 3 - 1 5 + 3 289 3 4 илэрхийллийг ав. Хаалтанд хийсэн үйлдлүүдийг хийхгүйгээр, харин бутархайг багасгах замаар илэрхийллийн утга 1 3 байна гэж хэлж болно.
Хувьсагчтай илэрхийллийн утгыг олох
Утга үгийн илэрхийлэлхувьсагчтай илэрхийлэл нь үсэг, хувьсагчийн тодорхой өгөгдсөн утгуудад олддог.
Хувьсагчтай илэрхийллийн утгыг олох
Шууд утга илэрхийлэл ба хувьсагчтай илэрхийллийн утгыг олохын тулд та орлуулах хэрэгтэй утгыг тохируулахүсэг, хувьсагч, дараа нь үүссэн тоон илэрхийллийн утгыг тооцоолно.
Жишээ 15: Хувьсагчтай илэрхийллийн утга
x = 2, 4, y = 5 өгөгдсөн 0, 5 x - y илэрхийллийн утгыг тооцоол.
Бид хувьсагчдын утгыг илэрхийлэлд орлуулж, тооцоолно:
0.5 x - y = 0.5 2.4 - 5 = 1.2 - 5 = - 3.8.
Заримдаа та илэрхийлэлд орсон үсэг, хувьсагчийн утгуудаас үл хамааран түүний утгыг олж авах байдлаар хувиргаж болно. Үүнийг хийхийн тулд хэрэв боломжтой бол илэрхийлэл дэх үсэг, хувьсагчаас салах хэрэгтэй таниулах өөрчлөлтүүд, арифметик үйлдлийн шинж чанарууд болон бусад бүх боломжит аргууд.
Жишээлбэл, x + 3 - x илэрхийлэл нь 3 гэсэн утгатай байх нь ойлгомжтой бөгөөд энэ утгыг тооцоолохын тулд x хувьсагчийн утгыг мэдэх шаардлагагүй. Энэ илэрхийллийн утга нь зөвшөөрөгдөх утгуудын хүрээнээс x хувьсагчийн бүх утгуудын хувьд гуравтай тэнцүү байна.
Өөр нэг жишээ. Бүх эерэг x-ийн хувьд x x илэрхийллийн утга нэгтэй тэнцүү байна.
Хэрэв та текстэнд алдаа байгааг анзаарсан бол үүнийг тодруулаад Ctrl+Enter дарна уу
