Чебышевын Лемма. Хэрэв санамсаргүй хэмжигдэхүүн X, үүний төлөө математикийн хүлээлт бий М[x], зөвхөн сөрөг бус утгыг авч болно, дараа нь дурын эерэг тооа тэгш бус байдал байна

Чебышевын тэгш бус байдал.Хэрэв X– математикийн хүлээлттэй санамсаргүй хэмжигдэхүүн М[x] ба хэлбэлзэл Д[x], тэгвэл дурын эерэг e-ийн хувьд тэгш бус байдал явагдана

. (2)

Чебышевын теорем.(хууль их тоо). Болъё X 1 , X 2 , …, x n,… - бие даасан дараалал санамсаргүй хэмжигдэхүүнижил математикийн хүлээлттэй ммөн ижил тогтмолоор хязгаарлагдсан хэлбэлзэл -тай

. (3)

Теоремын баталгаа нь тэгш бус байдал дээр суурилдаг

, (4)

Чебышевын тэгш бус байдлаас үүдэлтэй. Чебышевын теоремоос үр дүнд нь бид олж авч болно

Бернуллигийн теорем.Үүнийг үйлдвэрлэе nбие даасан туршилтууд, тус бүрт магадлал бүхий rзарим үйл явдал тохиолдож болно А, мөн зөвшөөрөх vn- санамсаргүй хэмжигдэхүүн, тоотой тэнцүү байнаүйл явдлын тохиолдлууд Аэдгээр дотор nтуршилтууд. Дараа нь дурын e > 0-ийн хувьд хязгаарын тэгш байдал биелнэ

. (5)

Бернулли теоремын нөхцөлтэй холбоотой тэгш бус байдал (4) нь дараахь зүйлийг өгдөг болохыг анхаарна уу.

. (6)

Чебышевын теоремыг арай илүү томъёолж болно ерөнхий үзэл:

Чебышевын ерөнхий теорем.Болъё x 1, x 2, …, x n,… - математикийн хүлээлт бүхий бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал М[x 1 ] = м 1, М[x 2] = м 2,…мөн ижил тогтмол хэмжээнд хязгаарлагдсан дисперс -тай. Дараа нь дурын эерэг тооны e хувьд хязгаарын тэгш байдал хадгалагдана

. (7)

3600 шоо шидэхэд 6 оноо тохиолдсоны тоог x гэж үзье. Дараа нь М[ x] = 3600 = 600. Одоо a = 900-д (1) тэгш бус байдлыг ашиглая: .

Бид n = 10000, р =, q = хувьд тэгш бус байдлыг (6) ашигладаг. Дараа нь

Жишээ.

1000 бие даасан туршилт бүрт тохиолдох А үйл явдлын магадлал 0.8 байна. Эдгээр 1000 туршилтанд А үйл явдал тохиолдох тоо нь математикийн хүлээлтээс хазайх магадлалыг дараах байдлаар ол. үнэмлэхүй үнэ цэнэ 50-аас бага.

Заасан 1000 туршилтанд А үйл явдал тохиолдсоны тоог x гэж үзье. Дараа нь М[ x] = 1000 × 0.8 = 800 ба D [ x] = 1000 × 0.8 × 0.2 = 160. Одоо (2) тэгш бус байдал нь:

Жишээ.

1000 бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн тус бүрийн дисперс x k (k = 1, 2,..., 1000) 4-тэй тэнцүү байна. Эдгээр утгуудын арифметик дундаж нь тэдгээрийн математикийн арифметик дунджаас хазайх магадлалыг тооцоол. үнэмлэхүй утгын хүлээлт 0.1-ээс хэтрэхгүй.

Тэгш бус байдлын дагуу (4) c = 4 ба e = 0.1 байна.

Их тооны хууль бол төв хуульмагадлалын онол нь зүй тогтол ба санамсаргүй байдлын хоорондын үндсэн холболтыг томъёолдогтой холбоотой. Тухайлбал, олон тооны осол аваар нь хэв маягт хүргэдэг бөгөөд энэ нь үйл явдлын явцыг урьдчилан таамаглах боломжийг олгодог гэж тэр үзэж байна. Хамгийн ихдээ ерөнхий хэлбэртэр өөрийгөө илэрхийлдэг Чебышевын теорем:

зөвшөөрөх ( Χ 1; X 2; … X n; ...) бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд (тэдгээрийг гэж үздэг хязгааргүй тоо). Мөн тэдгээрийн дисперсүүд жигд хязгаарлагдмал байг (өөрөөр хэлбэл эдгээр бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүний хэлбэлзэл нь зарим тогтмол хэмжээнээс хэтрэхгүй байна. ХАМТ):

Дараа нь эерэг тоо хичнээн бага байсан ч хязгаарлах магадлалын хамаарлыг хангана.

санамсаргүй хэмжигдэхүүний тоо хангалттай их байвал. Эсвэл, ижил зүйл юу вэ, магадлал

Ийнхүү Чебышевын теоремд хэрэв бид хангалттай их тоог авч үзвэл nбие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( Χ 1; X 2; … Xn), дараа нь эдгээр санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундаж нь математикийн хүлээлтийн арифметик дундажаас хазайх нь үнэмлэхүй утгаараа дур зоргоороо бага байх болно гэсэн үйл явдлыг бараг найдвартай (нэгдэлтэй ойролцоо магадлалтай) гэж үзэж болно.

Баталгаа. Χ 1; X 2; … Xn):

(4)

; (5)

Нөхцөл (1)-ийг харгалзан бид үүнийг тогтооно

(6)

Иймээс хэлбэлзэл нь . Өөрөөр хэлбэл, санамсаргүй хэмжигдэхүүний утгын тархалт түүний математикийн хүлээлтэд хязгааргүй буурдаг. Энэ нь үнэ цэнэ, өөрөөр хэлбэл, . Эсвэл, илүү нарийвчлалтай хэлэхэд, санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлтээс ямар нэгэн байдлаар хазайх магадлал - тогтмол - тэг рүү чиглэдэг. Тухайлбал, дурын жижиг эерэг тооны хувьд

Тиймээс, батлагдсан Чебышев теоремын дагуу арифметик дундаж их тообие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( Χ 1; X 2; … Xn), санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь санамсаргүй байдлын шинж чанараа алдаж, өөрчлөгдөхгүй тогтмол болж хувирдаг. Энэ тогтмол нь утгуудын математик хүлээлтийн арифметик дундажтай тэнцүү байна ( Χ 1; X 2; … Xn). Энэ бол их тооны хууль юм.

Чебышевын теоремийн өөр нэг нотолгоог өгч болно. Үүнийг хийхийн тулд бид Чебышевын тэгш бус байдлыг ашигладаг. Энэ нь салангид болон тасралтгүй санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн аль алинд нь хүчинтэй бөгөөд өөрийн гэсэн утгатай. Чебышевын тэгш бус байдал нь санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлтээс хазайх нь үнэмлэхүй утгын эерэг тооноос хэтрэхгүй байх магадлалыг тооцоолох боломжийг бидэнд олгодог. Дискрет санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн хувьд Чебышевын тэгш бус байдлын нотолгоог танилцуулъя.

Чебышевын тэгш бус байдал:Санамсаргүй хэмжигдэхүүний хазайлтын магадлал Xтүүний математик хүлээлтээс үнэмлэхүй утга нь эерэг тооноос бага, дараахаас багагүй байна:

.

Баталгаа: Тэгш бус байдлын хэрэгжилтээс бүрдсэн үйл явдлуудаас хойш Тэгээд , эсрэг байна, тэгвэл тэдгээрийн магадлалын нийлбэр нь 1-тэй тэнцүү, i.e. . Тиймээс бидний сонирхож буй магадлал. (*)

Бид олох болно . Үүний төлөө ялгааг олъёсанамсаргүй хувьсагч X.

Энэ дүнгийн бүх нөхцөл нь сөрөг биш юм. Эдгээр нөхцлүүдийг хасъя (Үлдсэн нөхцлийн хувьд ), үүний үр дүнд хэмжээ нь зөвхөн буурч болно. Энэ нь тодорхой байна гэж таамаглахыг зөвшөөрье кэхний нөхцлүүд (хуваарилалтын хүснэгтэд бид үүнийг таамаглах болно боломжит утгууддарааллаар дугаарласан). Тиймээс,

Учир нь тэгш бус байдлын хоёр тал эерэг байна, тиймээс тэдгээрийг квадрат болгосноор бид эквивалент тэгш бус байдлыг олж авна . Үлдсэн нийлбэр дэх хүчин зүйл бүрийг орлуулж, энэ тайлбарыг ашиглацгаая тоо (энэ тохиолдолд тэгш бус байдал зөвхөн нэмэгдэж болно), бид олж авна. (**)

Нэмэх теоремын дагуу магадлалын нийлбэр нь магадлал юм Xаль нь ч хамаагүй нэгийг нь авах болно , тэдгээрийн аль нэгнийх нь хувьд хазайлт нь тэгш бус байдлыг хангадаг . Үүнээс үзэхэд нийлбэр нь магадлалыг илэрхийлдэг . Энэ нь тэгш бус байдлыг (**) дараах байдлаар дахин бичих боломжийг бидэнд олгоно: . (***).

Орлуулж үзье (***) В (*) мөн бид авдаг , энэ нь нотлох шаардлагатай байсан юм.

Чебышевын теорем 2-ын баталгаа:

Шинэ санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье - санамсаргүй хэмжигдэхүүний арифметик дундаж ( Χ 1; X 2; … Xn):

Математикийн хүлээлт ба тархалтын шинж чанарыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.

; . (*)

Чебышевын тэгш бус байдлыг тоонд хэрэглэх нь бидэнд байна.

(*) харьцааг авч үзвэл

Нөхцөлөөр бол гэсэн үг . (***) Баруун гар талыг (***) тэгш бус байдалд (**) орлуулах нь бидэнд байна

Эндээс, -ийн хязгаарт хүрч, бид олж авна

Магадлал нэгээс хэтрэхгүй тул эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна.

Үүнийг бид нотлох шаардлагатай байсан.

Чебышевын теоремын нэг чухал тохиолдлыг авч үзье. Тухайлбал, бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүн ( Χ 1; X 2; … Xn) байна ижил хуулиудхуваарилалт, тиймээс адилхан тоон шинж чанар:

(8)

Дараа нь (5) -ын дагуу санамсаргүй хэмжигдэхүүний хувьд бид:

(9)

Энэ тохиолдолд хязгаарлах магадлалын хамаарал (7) дараах хэлбэртэй байна.

(10)

(10)-аас дараах дүгнэлт байна их үнэ цэнэтөрөл бүрийн хэмжилт хийхдээ санамсаргүй алдаатай тэмцэх.

Жишээлбэл, та тодорхой хэмжигдэхүүнийг хэмжих хэрэгтэй А. Бид нэг биш, хэд хэдэн үйлдвэрлэх болно ( n) энэ хэмжигдэхүүний утгын бие даасан давтан хэмжилт. Аливаа хэмжилт нь хэмжих хэрэгслийн төгс бус байдал, хэмжилтийн бүх төрлийн санамсаргүй хөндлөнгийн оролцоо гэх мэт санамсаргүй алдаанаас үүдэлтэй байдаг. Тиймээс үр дүн ( Χ 1; X 2; … Xn) хүссэн утгын бие даасан дараалсан хэмжилт А, ерөнхийдөө өгөгдөхгүй - тэдгээр нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн байх болно. Түүгээр ч зогсохгүй байгаа тоо хэмжээгээр ижил хуваарилалт, учир нь хэмжилтийг дахин дахин, өөрөөр хэлбэл тогтмол хийдэг гадаад нөхцөл. Дараа нь тоо хэмжээний хувьд - бүх үр дүнгийн арифметик дундаж nхэмжилт - хязгаарлах магадлалын хамаарал (10) биелнэ. Энэ нь энэ арифметик дундаж нь санамсаргүй байдлын шинж чанараа алдаж, болж хувирдаг гэсэн үг юм А- хэмжсэн хэмжигдэхүүний жинхэнэ утга. Үүнийг дашрамд хэлэхэд (9) томъёогоор нотолж байгаа бөгөөд үүний дагуу:

(11)

Энэ нь хүссэн хэмжээгээр хангалттай олон тооны давтан хэмжилт хийсэн гэсэн үг юм А, тус бүрт санамсаргүй хэмжилтийн алдаа гарах боломжтой бөгөөд дараа нь эдгээр хэмжилтийн үр дүнгийн арифметик дундажийг олохын тулд бид томъёог ашиглана.

А(12)

бид үнэ цэнийг нь авч чадна мөн санамсаргүй алдаа гаргахгүй.

Энэ дүгнэлт нь их тооны хуулийн үр дагавар юм. IN энэ тохиолдолдЭнэ хууль нь хэмжилтийн үр дүнг нэгтгэн дүгнэхэд (4) байгаагаар илэрдэг. санамсаргүй алдааЗарчмын хувьд нэмэх ба хасах тэмдгээр ижил давтамжтайгаар тохиолддог бие даасан хэмжээсүүд нь ерөнхийдөө бие биенээ үгүйсгэдэг. Үлдсэн алдаа нь хуваагдсан хэвээр байх болно n, өөрөөр хэлбэл, энэ нь цаашид буурах болно nнэг удаа. Тиймээс том үнэт зүйлсийн хувьд nутга нь хэмжсэн утгатай бараг яг тэнцүү байх болно А. Энэхүү дүгнэлтийг практикт өргөнөөр ашигладаг.

Анхаарна уу. Хэмжээний хувьд тэд зөвхөн бие биенээ үгүйсгэдэг санамсаргүй алдаахэмжилт, өөрөөр хэлбэл санамсаргүй хүчин зүйлийн үйлдэлтэй холбоотой алдаа (хөндлөнгөөс). Гэхдээ системчилсэн (байнгын) алдаанууд, өөрөөр хэлбэл хэмжилт бүрт хамаарах алдаанууд нь мэдээжийн хэрэг. Жишээлбэл, төхөөрөмжид унасан сум (тохируулаагүй) нь хэмжилт бүрт тогтмол (системийн) алдаа үүсгэдэг тул эдгээр хэмжилтийн үр дүнгийн арифметик дунджаар үүнийг үүсгэдэг. Хэмжилт хийхээс өмнө системчилсэн алдааг арилгах ёстой бөгөөд хэмжилтийн явцад үүнийг зөвшөөрөхгүй.

Дараа нь хэрэв α нь хэмжих хэрэгслийн хуваах утга юм бол бүх дахин хэмжилтийг α нарийвчлалтайгаар хийнэ. Гэхдээ мэдээжийн хэрэг бүх хэмжилтийн үр дүнгийн арифметик дундажийг зөвхөн α-ийн нарийвчлалтайгаар, өөрөөр хэлбэл төхөөрөмжийн нарийвчлалаар тодорхойлсон нарийвчлалтайгаар зааж өгч болно.

Тиймээс, хэмжигдэхүүнийг хангалттай олон тооны давтан хэмжилт хийсний дараа хүн үүнийг бодож болохгүй АДараа нь эдгээр хэмжилтийн үр дүнгийн арифметик дундажийг олсноор бид олж авна ягутга учир А.Бид үүнийг зөвхөн хэмжих хэрэгслийн нарийвчлалын хүрээнд авах болно. Тэгээд ч гэсэн, хэрэв бид системчилсэн хэмжилтийн алдааг оруулаагүй бол.

Энд бас нэг чухал зүйл байна онцгой тохиолдолих тооны хууль. Болъё X=k- зарим үйл явдлын тохиолдлын тоо АВ nдавтан шинжилгээ ( X- санамсаргүй хэмжигдэхүүн). Тэгээд зөвшөөрөх ба – үйл явдал тохиолдох, тохиолдохгүй байх магадлал Анэг туршилтанд. Санамсаргүй хэмжигдэхүүнийг авч үзье - үйл явдлын харьцангуй давтамж АВ nтуршилтууд. Бас танилцуулъя nсанамсаргүй хэмжигдэхүүн ( X 1, X 2, …X n), үйл явдлын тохиолдлын тоог илэрхийлдэг Аэхний, хоёрдугаарт, ... n-р туршилтууд. Дараа нь k = X 1 + X 2 +…+ X p, үйл явдал тохиолдсон Аүйл явдлын магадлалтай бараг давхцдаг Анэг туршилтанд. Энэ дүгнэлт нь олон хүний ​​магадлалыг олоход үндэслэсэн санамсаргүй үйл явдлууд, магадлалыг нь өөр аргаар олох боломжгүй (онолын хувьд).

Жишээ нь, тест нь гажигтай (тэгш бус) зоос шидэж, үйл явдал байг Аэнэ сорилтын хувьд энэ нь сүлд уналт юм. Үйл явдлын магадлал А By сонгодог томъёоэсвэл өөр аргаар онолын томъёоолоход хэцүү, учир нь ийм томьёо нь зоосны хэв гажилтын шинж чанарыг ямар нэгэн байдлаар тусгасан байх ёстой. Тиймээс зорилгод хүрэх жинхэнэ зам нь нэг юм: зоосыг дахин дахин шидэх (шидэлтийн тоо их байх тусам) n,сайн байх тусмаа) ба төрийн сүлд харагдах харьцангуй давтамжийг эмпирик байдлаар тодорхойлно. Хэрэв nтом бол их тооны хуулийн дагуу үүнийг хийх боломжтой өндөр магадлалтайгэж батлах .

Олон тооны хууль нь байгаль, нийгмийн олон үзэгдэлд илэрдэг.

Жишээ 1.Мэдэгдэж байгаагаар, хаалттай саванд байрлуулсан хий нь савны хананд даралт үүсгэдэг. Хийн төлөвийн хуулиудын дагуу хийн тогтмол температурт энэ даралт тогтмол байна. Хийн даралт нь түүний бие даасан молекулуудын савны хананд эмх замбараагүй нөлөөллийн улмаас үүсдэг. Бүх молекулуудын хөдөлгөөний хурд, чиглэл өөр өөр байдаг тул хөлөг онгоцны хананд янз бүрийн молекулуудын нөлөөллийн хүч ч өөр өөр байдаг. Гэсэн хэдий ч савны хананд хийн даралтыг бие даасан молекулуудын нөлөөллийн хүчээр биш харин тэдгээрийн дундажхүчээр. Гэхдээ тэр дундаж шиг асар их тооүл хамааран идэвхтэй хүчнүүд, их тооны хуулийн дагуу бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байх болно. Тиймээс савны ханан дээрх хийн даралт бараг өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.

Жишээ 2. Жишээлбэл, автомашины даатгалтай ажилладаг даатгалын компани янз бүрийн даатгалын тохиолдлуудад (автомашины осол, зам тээврийн осол) өөр өөр даатгалын төлбөр төлдөг. Гэсэн хэдий ч, энэ даатгалын дүнгийн дундаж утга нь дунджаар олон янз байдаг nолон тооны хуулийн дагуу бие даасан даатгалын хэмжээ бараг өөрчлөгдөөгүй болно. Даатгалын нөхөн олговрын бодит статистик мэдээллийг судалж байж тодорхойлж болно. Даатгалын компани хохирохгүй байхын тулд үйлчлүүлэгчдээс авах даатгалын дундаж хураамж нь тухайн компанийн үйлчлүүлэгчдэд төлсөн дундаж хураамжаас өндөр байх ёстой. Гэхдээ компани өрсөлдөх чадвартай байхын тулд (бусад даатгалын компаниудтай сэтгэл татам байдлаар өрсөлдөхийн тулд) энэ урамшуулал хэт өндөр байх ёсгүй.

Бид энэ нотолгоог хоёр үе шаттайгаар явуулдаг. Эхлээд байгаа гэж үзээд энэ тохиолдолд нийлбэр дисперсийн теоремоор D(S„) байгааг анхаар. Чебышевын тэгш бус байдлын дагуу аливаа t > 0-ийн хувьд

t > n-ийн хувьд зүүн тал-аас бага, сүүлийн утга нь тэг рүү чиглэдэг. Энэ нь нотлох баримтын эхний хэсгийг дуусгана.

Одоо D()-ийн оршин тогтнох хязгаарлах нөхцөлийг хасъя. Энэ тохиолдлыг тайрах аргаар өмнөх тохиолдол болгон бууруулсан.

Дараахаас хамааран санамсаргүй хэмжигдэхүүний хоёр шинэ багцыг тодорхойлъё.

U k =, V k =0, хэрэв (2.2)

U k =0, V k =, хэрэв

Энд k=1,… , n ба тогтмол байна. Дараа нь

бүхний төлөө к.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалын тархалтыг (f(j)) гэж үзье (бүх j хувьд ижил). Бид = M() байгаа гэж үзсэн тул нийлбэр

хязгаарлагдмал. Дараа нь бас бий

нийлбэр нь бүх j дээр хийгддэг. Хэдийгээр энэ нь n-ээс хамаардаг боловч энэ нь ижил байна гэдгийг анхаарна уу

U 1, U 2, ..., U n. Үүнээс гадна, төлөө, тиймийн тул дурын > 0 ба бүх хангалттай том n

U k нь бие биенээсээ хамааралгүй бөгөөд тэдгээрийн U 1 +U 2 +…+U n нийлбэрийг Чебышевын тэгш бус байдлыг ашиглан хязгаарлагдмал дисперсийн хувьд X k-тэй яг ижил аргаар авч үзэж болно (2.1)

(2.6)-ын улмаас үүнийг дагадаг

Цуврал (2.4) нийлдэг тул n нэмэгдэх тусам сүүлийн нийлбэр тэг болох хандлагатай байна. Тиймээс хангалттай том n-ийн хувьд

тиймээс

P(V 1 +…+V n 0). (2.12)

Гэхдээ (2.9) ба (2.12) хоёуланг нь бид олж авдаг

Тэд дур зоргоороо байдаг тул баруун талхүссэн хэмжээгээрээ бага хэмжээгээр хийж болох бөгөөд энэ нь нотлох баримтыг бүрэн дүүрэн болгодог.

"Хоргүй" тоглоомын онол

Олон тооны хуулийн мөн чанарыг цаашид шинжлэхдээ бид тоглогчдын уламжлалт нэр томъёог ашиглах болно, гэхдээ бидний бодол санаа үүнийг зөвшөөрөх болно. тэнцүүболон илүү ноцтой хэрэглээ, бидний хоёр үндсэн таамаглал статистик болон физикийн хувьд илүү бодитой байдаг. мөрийтэй тоглоом. Нэгдүгээрт, тоглогч хязгааргүй хөрөнгөтэй гэж бодъё, ингэснээр ямар ч алдагдал нь тоглоомыг дуусгахад хүргэж чадахгүй. (Энэ таамаглалыг няцаах нь тоглогчийн сүйрлийн асуудалд хүргэдэг бөгөөд энэ нь магадлалын онолын оюутнуудын сонирхлыг байнга татдаг.) ​​Хоёрдугаарт, тоглогч хүссэн үедээ тоглоомыг тасалдуулах зан чанаргүй гэж бодъё: туршилтын n тоог урьдчилан засах ёстой бөгөөд ээлжийн тоглоомуудаас хамаарах ёсгүй. Үгүй бол хязгааргүй капиталаар адислагдсан тоглогч хэд хэдэн амжилтыг хүлээж, зөв ​​мөчид тоглоомоо зогсоох болно. Ийм тоглогч тухайн агшинд байх магадлалтай хэлбэлзлийг сонирхдоггүй, харин их тооны хуулиар бус давтагдсан логарифмын хуулиар дүрслэгдсэн урт цуврал тоглоомын хамгийн их хэлбэлзлийг сонирхдог.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн k-ийг (эерэг эсвэл сөрөг) өгөөж болгон авч үзье k дахь давталттоглоомууд. Дараа нь S n = 1 +…+ k нийлбэр нь тоглоом n удаа давтагдсаны дараа авсан нийт ялалт юм. Хэрэв давталт бүрийн өмнө тоглогч тоглолтонд оролцох эрхийн төлөө (заавал эерэг биш) шимтгэл төлдөг бол n нь түүний төлсөн нийт шимтгэлийг, S n нь нийт цэвэр ялалтыг илэрхийлнэ. Хэрэв p=M(k) байвал их тооны хууль үйлчилнэ. Ойролцоогоор том n-ийн хувьд S n-ийн ялгаа нь n-тэй харьцуулахад бага мэт санагдах нь нэлээд үндэслэлтэй юм. Тиймээс хэрэв p-ээс бага бол том n-ийн хувьд тоглогч өгөөжтэй байх магадлалтай. Үүний нэгэн адил хувь нэмэр нь бараг л алдагдалд хүргэдэг. Товчхондоо, боломж нь тоглогчийн хувьд ашигтай, харин боломж нь тааламжгүй байдаг.

Хэргийн талаар бид одоогоор юу ч хэлээгүйг анхаарна уу. Энэ тохиолдолд цорын ганц боломжит дүгнэлт бол хэрэв хангалттай том бол S n - n нь n-тэй харьцуулахад маш өндөр магадлал бүхий нийт ашиг эсвэл алдагдал байх болно, гэхдээ S n - n гарах эсэх нь тодорхойгүй байна эерэг эсвэл сөрөг байх, өөрөөр хэлбэл, тоглоом ашигтай эсвэл сүйрүүлэх эсэх. Үүнийг анхаарч үзээгүй сонгодог онол, хор хөнөөлгүй үнэ гэж нэрлэдэг бөгөөд "хор хөнөөлгүй" тоглоом. "Хоргүй" тоглоом нь үнэхээр ашигтай, сүйрлийн аль аль нь байж болно гэдгийг та ойлгох хэрэгтэй.

"Хэвийн тохиолдолд" зөвхөн M(k) төдийгүй D(k) байх нь тодорхой байна. Энэ тохиолдолд их тооны хуулийг төв хязгаарын теоремоор нэмж оруулсан бөгөөд сүүлийнх нь "хор хөнөөлгүй" тоглоомд S n - n урт тоглоомын үр дүнд цэвэр ашиг олох нь маш үндэслэлтэй гэж хэлж байна. дараалал нь n 1/2 бөгөөд хангалттай том n үед энэ ашиг ойролцоогоор байх болно тэгш боломжэерэг эсвэл сөрөг. Тиймээс хэрэв төв хязгаарын теорем, тэгвэл "хор хөнөөлгүй" тоглоом гэсэн нэр томьёо зөвтгөгдөж байгаа боловч энэ тохиолдолд бид "урт тоглоомын үр дүнд" гэсэн үгсээр онцолсон хязгаарын теоремыг авч үздэг. Нарийвчилсан дүн шинжилгээдисперс ихсэх тусам (1.3)-д нийлэх байдал муудаж байгааг харуулж байна. Хэрэв энэ нь том бол ердийн ойролцоозөвхөн маш том n-д үр дүнтэй байх болно.

Тодруулж хэлбэл, түүнд рубль оруулахдаа тоглогч 10-ын магадлалтай (10-1) рубль хожих боломжтой, бусад тохиолдолд буурсан рубльээ алдах машиныг төсөөлөөд үз дээ. Энд бид Бернулли тестүүдтэй бөгөөд тоглоом нь "хор хөнөөлгүй" юм. Нэг сая туршилтыг дуусгасны дараа тоглогч үүний төлөө сая рубль төлөх болно. Энэ хугацаанд тэрээр 0, 1,2,... удаа ялж чадна. Пуассоны ойролцоо тооцооны дагуу бином тархалт, хэдэн аравтын орон хүртэл нарийвчлалтай, яг k удаа ялах магадлал e -1 /k!-тэй тэнцүү байна. Тиймээс 0.368 магадлалаар. . . тоглогч нэг сая алдах бөгөөд ижил магадлалтайгаар тэр зөвхөн зардлаа нөхөх болно; тэр яг нэг саяыг авах гэх мэт 0.184... магадлалтай. Энд 10 6 туршилт нь Пуассон тархалттай үр өгөөжтэй тоглоомын нэг удаагийн туршилттай тэнцэнэ.

Ийм нөхцөлд олон тооны хуулийг хэрэглэх нь утгагүй нь ойлгомжтой. Энэ схемд гал түймэр, автомашины осол гэх мэт даатгал багтана. Их хэмжээний эрсдэлд өртөх боловч холбогдох магадлал маш бага байна. Гэхдээ энд ихэвчлэн жилд нэг л сорил байдаг тул n тоо хэзээ ч их болдоггүй. Даатгуулагчийн хувьд тоглоом нь эдийн засгийн хувьд нэлээд ашигтай байж болох ч "хор хөнөөлгүй" байх албагүй. Их тооны хууль үүнд ямар ч хамаагүй. Даатгалын компанийн хувьд энэ нь олон тооны тоглоомуудтай харьцдаг боловч их хэмжээний зөрүүгээс болж санамсаргүй хэлбэлзэл гарч ирдэг. Даатгалын хураамжийг тодорхой жилүүдэд их хэмжээний хохирол амсахгүйн тулд тогтоох ёстой, тиймээс компани олон тооны хуулиас илүүтэй сүйрлийн асуудлыг сонирхож байна.

Хугацаа нь хязгааргүй байх үед "хор хөнөөлгүй" тоглоомын нэр томъёо нь утгагүй болно; Нийт цэвэр ашиг S n - n тэг орчим хэлбэлздэг гэж үзэх үндэслэл байхгүй. Үнэхээр. Үүний үр дүнд тоглогч цэвэр алдагдал хүлээх магадлал нэг рүү чиглэдэг "хор хөнөөлгүй" тоглоомуудын жишээ байдаг. Их тооны хуулинд зөвхөн энэ алдагдал нь n-ээс бага дараалалтай байх болно гэж заасан боловч үүнээс өөр зүйл хэлэх боломжгүй. Хэрэв a n нь дурын дарааллыг бүрдүүлж, n /n0 байвал тоглоомын n давталтын үр дүнд нийт цэвэр алдагдал нь n-ээс давах магадлал нэг болох "хор хөнөөлгүй" тоглоом зохион байгуулах боломжтой.

Магадлалын онол нь массын санамсаргүй үзэгдлүүдийн өвөрмөц хэв маягийг судалдаг. Бусад шинжлэх ухааны нэгэн адил магадлалын онол нь тодорхой үзэгдэл эсвэл туршилтын үр дүнг аль болох нарийвчлалтай урьдчилан таамаглах зорилготой юм. Хэрэв үзэгдлийг тусгаарласан бол магадлалын онол нь зөвхөн маш өргөн хүрээнд үр дүнгийн магадлалыг урьдчилан таамаглаж чадна. Загварууд нь зөвхөн олон тоогоор харагдана санамсаргүй үзэгдэл, нэгэн төрлийн нөхцөлд үүсдэг.

Санамсаргүй хэмжигдэхүүн ба санамсаргүй үзэгдлийн онолын болон туршилтын шинж чанаруудын хоорондын уялдаа холбоог тогтоодог бүлэг теоремуудыг олон тооны туршилтууд, түүнчлэн хязгаарын тархалтын хуулиудын дагуу нэгтгэдэг. нийтлэг нэр магадлалын онолын хязгаарын теоремууд.

Хязгаарын теорем нь их тооны хууль ба төв хязгаарын теорем гэсэн хоёр төрөлтэй.

Их тооны хуульэзэлсэн хамгийн чухал газармагадлалын онолын хувьд магадлалын онолын хоорондох холбоос юм математикийн шинжлэх ухаанболон тэдгээрийг массаар ажиглах явцад санамсаргүй үзэгдлийн хэв маяг.

Хууль маш их тоглодог чухал үүрэгВ практик хэрэглээбайгалийн үзэгдлийн магадлалын онол ба техникийн үйл явцмасс үйлдвэрлэлтэй холбоотой.

Тархалтын хязгаарын хуулиуд нь бүлэг теоремуудын сэдвийг бүрдүүлдэг. тоон хэлбэрих тооны хууль. Тэдгээр. их тооны хууль бол олон тооны туршилтын дундаж шинж чанарууд нь тодорхой тогтмол үзүүлэлтүүдэд ойртдог болохыг тогтоодог цуврал теоремууд юм. Зарим санамсаргүй хэмжигдэхүүний магадлалыг тогтмол руу ойртуулах баримтыг тогтоох. Эдгээр нь Бернулли, Пуассон, Ляпунов, Марков, Чебышев нарын теоремууд юм.

1. А) Бернулли теорем – их тооны хууль (Мойвр-Лапласын хязгаарын интеграл теоремыг авч үзэхдээ § 6-ийн 3-р догол мөрийг өмнө нь томъёолж, нотолсон.)

Нэг төрлийн бие даасан туршилтуудын тоог хязгааргүй нэмэгдүүлснээр үйл явдлын давтамж нь тусдаа туршилтанд тохиолдох магадлалаас хүссэнээр бага зэрэг ялгаатай байх болно. Үгүй бол хазайх магадлал харьцангуй давтамжүйл явдал тохиолдох А-аас тогтмол магадлал rүйл явдал Амаш бага нь аль нэг нь 1 байх хандлагатай байдаг: .

б) Чебышевын теорем.

Хязгааргүй тооны өсөлтөөр бие даасан туршилтуудХязгаарлагдмал дисперстэй санамсаргүй хэмжигдэхүүний ажиглагдсан утгуудын арифметик дундаж нь түүний математик хүлээлтэд нийлдэг, эс тэгвээс, хэрэв бие даасан адил тархсан санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлттэй, хязгаарлагдмал дисперстэй байвал дараахь зүйл үнэн болно. .

Чебышевын теорем (ерөнхий).Хэрэв дараалал дахь санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд хосоороо хамааралгүй бөгөөд тэдгээрийн дисперсүүд нь нөхцөлийг хангаж байвал , тэгвэл аливаа эерэг ε > 0 бол дараах мэдэгдэл үнэн болно.

эсвэл юу нь адилхан юм .

в) Марковын теорем. (ерөнхий томъёололд их тооны хууль)

Дараалал дахь дурын санамсаргүй хэмжигдэхүүний дисперсүүд дараах нөхцлийг хангаж байвал: , дараа нь ямар ч эерэг ε > 0 бол Чебышевын теоремын мэдэгдэл дараах байдалтай байна. .

d) Пуассоны теорем.

Бие даасан туршилтуудын тоо хязгааргүй нэмэгдсээр байна хувьсах нөхцөлүйл явдлын давтамж Амагадлалын хувьд өгөгдсөн тестүүдийн магадлалын арифметик дундажтай нийлдэг.

Сэтгэгдэл.Их тооны хуулийн аль ч хэлбэрт бид санамсаргүй хэмжигдэхүүний тархалтын хуулиудыг авч үздэггүй. Олсонтой холбоотой асуулт хязгаарлах хуульгишүүний тоо хязгааргүй ихсэх үед нийлбэрийн тархалтыг төв хязгаарын теоремоор авч үзнэ. адилхан тархсан, дараа нь бид хүрч байна интеграл теоремДе Мойвр-Лаплас (§ 6-ийн 3-р хэсэг), энэ нь төв хязгаарын теоремын хамгийн энгийн тусгай тохиолдол юм.

Чебышевын их тооны хуулийн утга нь дараах байдалтай байна. Хувь хүний ​​санамсаргүй хэмжигдэхүүн нь математикийн хүлээлтээс маш хол утгыг авч чаддаг бол нэгдмэл ойролцоо магадлал бүхий олон тооны санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн арифметик дундаж нь тэдний математик хүлээлтийн арифметик дунджаас бага зэрэг ялгаатай утгыг авдаг.
Чебышевын олон тооны хуулийн онцгой тохиолдол. Болъё - Хамтдаа хязгаарлагдмал хэлбэлзэлтэй хос бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүдийн дараалал, i.e. мөн адил математикийн хүлээлт . Дараа нь юу ч байж болно , хамаарал хүчинтэй байна

Энэ нь () томъёоноос шууд гардаг

Сэтгэгдэл.Тэд санамсаргүй хэмжигдэхүүн гэж хэлдэг магадлалаар нийлдэгтоо руу А, хэрэв өсөхөд тэгш бус байдлын дур зоргоороо бага магадлалтай бол nэв нэгдэлд хязгааргүй ойртдог. Магадлалын хувьд нийлэх нь тийм гэсэн үг биш юм. Үнэхээр, in сүүлчийн тохиолдолтэгш бус байдал нь хүн бүрт хангалттай байдаг том үнэ цэнэ n. Магадлалын хувьд ойртох тохиолдолд хувь хүний ​​дур зоргоороо том утгуудын хувьд энэ тэгш бус байдал nМагадгүй гүйцэтгээгүй. Гэсэн хэдий ч том утгын тэгш бус байдлыг хангаж чадахгүй байна nМаш ховор (боломжгүй) үйл явдал байдаг. Үүнийг харгалзан үзэхэд Чебышевын олон тооны хуулийн тусгай тохиолдлыг дараах байдлаар томъёолж болно.
Арифметик дундаж хос бие даасан санамсаргүй хэмжигдэхүүнүүд , Хамтдаа хязгаарлагдмал хэлбэлзэлтэй, ижил математикийн хүлээлттэй , магадлалаар а-д нийлдэг.
Чебышевын олон тооны хуулийн тусгай тохиолдлын утгыг тайлбарлая. Бид жинхэнэ утгыг олохыг хүсч байна гэж бодъё Азарим нь физик хэмжигдэхүүн(жишээлбэл, зарим хэсгийн хэмжээ). Үүнийг хийхийн тулд бид бие биенээсээ хамааралгүй хэд хэдэн хэмжилт хийх болно. Хэмжилт бүр зарим алдаа дагалддаг (). Тиймээс хэмжилтийн боломжит үр дүн нь санамсаргүй хэмжигдэхүүн юм (индекс би- хэмжилтийн дугаар). Хэмжээ бүрт байхгүй гэж үзье системчилсэн алдаа, өөрөөр хэлбэл хазайлт жинхэнэ утга Ахэмжсэн хэмжигдэхүүний аль аль чиглэлд ижил магадлалтай байна. Энэ тохиолдолд бүх санамсаргүй хэмжигдэхүүний математикийн хүлээлт ижил бөгөөд хэмжсэн утгатай тэнцүү байна. А, өөрөөр хэлбэл
Эцэст нь хэмжилтийг зарим баталгаатай нарийвчлалтайгаар хийсэн гэж үзье. Энэ нь бүх хэмжилтийн хувьд . Тиймээс бид Чебышевын олон тооны хуулийн нөхцөлд байгаа тул хэрвээ хэмжээсийн тоо хангалттай том бол бид ямар ч байсан, дундаж гэж хэлж болно. арифметик үр дүнхэмжилт нь жинхэнэ утгаас ялгаатай А-аас бага