Хэд хэдэн хувьсагчийн функцүүдийн экстремум. Экстремум үүсэх зайлшгүй нөхцөл. Экстремум үүсэх хангалттай нөхцөл. Нөхцөлт экстремум. Лагранжийн үржүүлэгчийн арга. Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох.

Лекц 5.

Тодорхойлолт 5.1.Цэг M 0 (x 0, y 0)дуудсан хамгийн дээд цэгфункцууд z = f (x, y),Хэрэв f (x o, y o) > f(x,y)бүх онооны хувьд (х, у) М 0.

Тодорхойлолт 5.2.Цэг M 0 (x 0, y 0)дуудсан хамгийн бага цэгфункцууд z = f (x, y),Хэрэв f (x o, y o) < f(x,y)бүх онооны хувьд (х, у)нэг цэгийн хөршөөс М 0.

Тайлбар 1. Хамгийн их ба хамгийн бага оноог дуудна экстремум цэгүүдхэд хэдэн хувьсагчийн функцууд.

Тайлбар 2. Дурын тооны хувьсагчийн функцийн экстремум цэгийг ижил төстэй аргаар тодорхойлно.

Теорем 5.1(экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Хэрэв M 0 (x 0, y 0)– функцийн экстремум цэг z = f (x, y),тэгвэл энэ үед энэ функцийн нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү буюу байхгүй байна.

Баталгаа.

Хувьсагчийн утгыг засъя цагт, тоолох y = y 0. Дараа нь функц f (x, y 0)нэг хувьсагчийн функц байх болно X, Үүний төлөө x = x 0туйлын цэг юм. Тиймээс Фермагийн теоремоор, эсвэл байхгүй. Үүнтэй ижил мэдэгдлийг ижил төстэй байдлаар нотолсон.

Тодорхойлолт 5.3.Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн мужид хамаарах функцийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг гэнэ. суурин цэгүүдэнэ функц.

Сэтгэгдэл. Тиймээс экстремум нь зөвхөн суурин цэгүүдэд хүрч болох боловч тэдгээр нь тус бүрт ажиглагдах албагүй.

Теорем 5.2 (хангалттай нөхцөлэкстремум). цэгийн зарим нэг хөрш байг M 0 (x 0, y 0), энэ нь функцийн суурин цэг юм z = f (x, y),Энэ функц нь 3-р зэрэглэлийг багтаасан тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. Дараа нь гэж тэмдэглэе:

1) f(x,y)цэг дээр байна М 0хамгийн их бол AC–B² > 0, А < 0;

2) f(x,y)цэг дээр байна М 0хамгийн бага бол AC–B² > 0, А > 0;

3) эгзэгтэй цэгт экстремум байхгүй бол AC–B² < 0;

4) хэрэв AC–B² = 0, нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

Баталгаа.

Функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлор томьёог бичье f(x,y),хөдөлгөөнгүй цэг дээр нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тэгтэй тэнцүү байна гэдгийг санаарай.

Хаана Хэрэв сегмент хоорондын өнцөг М 0 М, Хаана М (x 0 +Δ x, y 0 +Δ цагт), болон O тэнхлэг Xφ, дараа нь Δ гэж тэмдэглэнэ x =Δ ρ cos φ, Δ у =Δρsinφ. Энэ тохиолдолд Тейлорын томъёо дараах хэлбэртэй байна. Let Дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийллийг хувааж, үржүүлж болно А. Бид авах:

Одоо дөрөвийг авч үзье боломжит тохиолдлууд:

1) AC-B² > 0, А < 0. Тогда , и хангалттай бага Δρ үед. Тиймээс зарим хороололд M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ у)< f (x 0 , y 0), тэр бол М 0- хамгийн дээд цэг.

2) зөвшөөр AC–B² > 0, A > 0.Дараа нь , Мөн М 0- хамгийн бага оноо.

3) зөвшөөр AC-B² < 0, А> 0. φ = 0 цацрагийн дагуух аргументуудын өсөлтийг авч үзье.Тэгвэл (5.1)-ээс дараах нь гарна. , өөрөөр хэлбэл, энэ цацрагийн дагуу шилжих үед функц нэмэгддэг. Хэрэв бид ийм туяа дагуу хөдөлвөл tg φ 0 = -A/B,Тэр , тиймээс энэ туяа дагуу хөдөлж байх үед функц буурдаг. Тиймээс, хугацаа М 0туйлын цэг биш.

3`) Хэзээ AC–B² < 0, А < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

өмнөхтэй төстэй.

3``) Хэрэв AC–B² < 0, А= 0, тэгвэл . Үүнд . Дараа нь хангалттай бага φ-ийн хувьд 2 илэрхийлэл болно Б cosφ + C sinφ нь 2-той ойролцоо байна IN, өөрөөр хэлбэл, энэ нь тогтмол тэмдгийг хадгалдаг боловч sinφ нь цэгийн ойролцоо тэмдгийг өөрчилдөг М 0.Энэ нь функцийн өсөлт нь хөдөлгөөнгүй цэгийн ойролцоох тэмдгийг өөрчилдөг гэсэн үг бөгөөд энэ нь экстремум цэг биш юм.

4) Хэрэв AC–B² = 0, мөн , , өөрөөр хэлбэл өсөлтийн тэмдгийг 2α 0 тэмдгээр тодорхойлно. Үүний зэрэгцээ экстремум байгаа эсэх асуудлыг тодруулахын тулд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай байна.

Жишээ. Функцийн экстремум цэгүүдийг олъё z = x² - 2 xy + 2y² + 2 x.Тогтмол цэгүүдийг олохын тулд бид системийг шийддэг . Тиймээс хөдөлгөөнгүй цэг нь (-2,-1) байна. Хаана A = 2, IN = -2, ХАМТ= 4. Дараа нь AC–B² = 4 > 0, тиймээс хөдөлгөөнгүй цэг дээр экстремум, тухайлбал, хамгийн багадаа хүрдэг. А > 0).

Тодорхойлолт 5.4.Хэрэв функц аргументтай бол f (x 1 , x 2 ,…, x n)холбогдсон нэмэлт нөхцөлзэрэг мтэгшитгэл ( м< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ м ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

φ i функцууд тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай бол (5.2) тэгшитгэлийг гэнэ. холболтын тэгшитгэл.

Тодорхойлолт 5.5.Функцийн экстремум f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд түүнийг дуудна нөхцөлт экстремум.

Сэтгэгдэл. Бид хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумын дараах геометрийн тайлбарыг санал болгож болно: функцийн аргументуудыг үзье. f(x,y)φ тэгшитгэлээр холбогдоно (x,y)= 0, O хавтгайд зарим муруйг тодорхойлох xy. Энэ муруйн цэг бүрээс О хавтгайд перпендикуляруудыг сэргээж байна xyгадаргуутай огтлолцох хүртэл z = f (x,y),бид φ муруйн дээрх гадаргуу дээр байрлах орон зайн муруйг олж авна (x,y)= 0. Даалгавар нь үүссэн муруйны экстремум цэгүүдийг олох явдал бөгөөд энэ нь мэдээжийн хэрэг ерөнхий тохиолдолфункцийн болзолгүй экстремум цэгүүдтэй давхцахгүй f(x,y).

Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремумын зайлшгүй нөхцөлийг эхлээд танилцуулъя. дараах тодорхойлолт:

Тодорхойлолт 5.6.Чиг үүрэг L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ м φ м (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Хаана λi -зарим нь тогтмол, гэж нэрлэдэг Лагранж функц, болон тоонууд λ би– тодорхойгүй хүчин зүйлүүдЛагранж.

Теорем 5.3(нөхцөлт экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Функцийн нөхцөлт экстремум z = f (x, y)холбох тэгшитгэл байгаа тохиолдолд φ ( x, y)= 0 нь зөвхөн Лагранжийн функцийн суурин цэгүүдэд хүрч болно L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Баталгаа. Холболтын тэгшитгэл нь далд хамаарлыг тодорхойлдог цагт-аас X, тиймээс бид үүнийг таамаглах болно цагт-аас функц байдаг X: у = у(х).Дараа нь z-аас нарийн төвөгтэй функц байдаг X, түүний эгзэгтэй цэгүүдийг дараах нөхцлөөр тодорхойлно. . (5.4) Холболтын тэгшитгэлээс дараах нь гарна . (5.5)

Тэгш байдлыг (5.5) λ тоогоор үржүүлээд (5.4) нэмье. Бид авах:

, эсвэл .

Сүүлчийн тэгш байдал нь суурин цэгүүдэд хангагдах ёстой бөгөөд үүнээс дараахь зүйл гарч ирнэ.

(5.6)

Гурван үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг олж авна. x, yба λ, эхний хоёр тэгшитгэл нь Лагранжийн функцийн суурин цэгийн нөхцөл юм. (5.6) системээс үл мэдэгдэх туслах λ-г хассанаар анхны функц нөхцөлт экстремум байж болох цэгүүдийн координатыг олно.

Тайлбар 1. Олдсон цэг дээр нөхцөлт экстремум байгаа эсэхийг 5.2 теоремын аналогиар Лагранжийн функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг судалж шалгаж болно.

Тайлбар 2. Функцийн нөхцөлт туйлд хүрч болох цэгүүд f (x 1 , x 2 ,…, x n)(5.2) нөхцөл хангагдсан тохиолдолд системийн шийдэл гэж тодорхойлж болно (5.7)

Жишээ. Функцийн нөхцөлт экстремумыг олъё z = xyүүнийг өгсөн x + y= 1. Лагранж функцийг зохиоё L(x, y) = xy + λ (x + y –) 1). Систем (5.6) дараах байдалтай байна.

Энд -2λ=1, λ=-0.5, x = y = -λ = 0.5. Хаана L(x,y)хэлбэрээр төлөөлж болно L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0.5 ≤ 0.5, тиймээс олдсон суурин цэг дээр L(x,y)дээд талтай, ба z = xy -нөхцөлт дээд.

Зарим D мужид z - /(x, y) функцийг тодорхойлж, Mo(xo, Vo) нь энэ домайн дотоод цэг байг. Тодорхойлолт. Нөхцөлүүдийг хангаж байгаа бүх тохиолдолд тэгш бус байдал үнэн байх тоо байвал Mo(xo, y) цэгийг /(x, y) функцийн локал максимум цэг гэнэ; хэрэв бүх Dx, Du, нөхцөлийг хангасан | тэгвэл Mo(xo,yo) цэгийг нимгэн орон нутгийн минимум гэнэ. Өөрөөр хэлбэл, M0(x0, y0) цэг нь хэрэв A/o(x0, y0) цэгийн 6 хөрш байгаа бол f(x, y) функцийн хамгийн их эсвэл хамгийн бага цэг юм. Үүний M(x, y) цэгүүдийн ойролцоо байх үед функцийн өсөлт нь тэмдгээ хадгална. Жишээ. 1. Функцийн цэгийн хувьд - хамгийн бага цэг (Зураг 17). 2. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь хамгийн их цэг юм (Зураг 18). 3. Функцийн хувьд 0(0,0) цэг нь орон нутгийн хамгийн их цэг юм. 4 Үнэн хэрэгтээ 0(0, 0) цэгийн хөрш байдаг, жишээлбэл j радиустай тойрог (19-р зургийг үз), түүний аль ч цэг дээр 0(0,0) цэгээс ялгаатай. /(x,y) функцийн утга 1-ээс бага = Бид зөвхөн функцүүдийн хатуу максимум ба хамгийн бага цэгүүдийг авч үзэх болно. хатуу тэгш бус байдалэсвэл хатуу тэгш бус байдал нь Mq цэгийн зарим цоорсон 6-хөршөөс M(x) y) бүх цэгүүдэд тохирно. Функцийн хамгийн их цэг дэх утгыг максимум, хамгийн бага цэг дэх функцийн утгыг энэ функцийн минимум гэнэ. Функцийн хамгийн их ба минимум цэгүүдийг функцийн экстремум цэгүүд, харин функцийн максимум ба минимумуудыг экстремум гэж нэрлэдэг. Теорем 11 (экстремумын зайлшгүй нөхцөл). Хэрэв Extremum функц нь хэд хэдэн функц байвал Хувьсагчийн тухай ойлголтхэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум. Экстремумын зайлшгүй ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлийн экстремум Хамгийн их ба хамгийн бага утга тасралтгүй функцуудцэг дээр экстремум байгаа бол энэ үед хэсэгчилсэн дериватив u бүр нэг бол алга болно, эсвэл байхгүй болно. M0(x0, yо) цэг дээр z = f(x) y) функц экстремумтай байг. y хувьсагчдад yo утгыг өгье. Тэгвэл z = /(x, y) функц нь нэг хувьсагчийн функц байх болно x\ x = xo үед экстремум (хамгийн их эсвэл минимум, 20-р зураг) байгаа тул x = “o-тэй холбоотой дериватив нь байна. | (*o,l>)" Тэгтэй тэнцүү буюу байхгүй. Үүний нэгэн адил) нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй гэдэгт бид итгэлтэй байна. = 0 ба χ = 0 эсвэл байхгүй цэгүүдийг критик гэж нэрлэдэг. Функцийн цэгүүд z = Dx, y). Үгүй болох 20 дериватив Гэхдээ энэ функц нь стримийн imvat дээр нимгэн байна. Үнэн хэрэгтээ функц 0(0,0) цэг дээр тэгтэй тэнцүү бөгөөд M(x,y) цэгүүдэд эерэг утгыг авдаг. 0(0,0) цэгт дур мэдэн ойртож, so and сөрөг утгууд. Үүний тулд (0, y) цэгүүд дээр дурын жижиг цэгүүдэд заасан төрлийн 0(0,0) цэгийг минимакс гэж нэрлэдэг (Зураг 21). Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремум байх хангалттай нөхцөлийг дараах теоремоор илэрхийлнэ. Теорем 12 (хоёр хувьсагчийн экстремумын хангалттай нөхцөл). Mo(xo»Yo) цэг нь f(x, y) функцийн суурин цэг байх ба / цэгийн зарим хөршид Mo цэгийг оруулаад f(z, y) функц нь тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байна. хоёр дахь захиалга хүртэл. Дараа нь". Mo(xo, V0) цэг дээр /(xo, y) функц нь D(xo, yo) бол экстремумгүй.< 0. Если же то в точке Мо(жо>f(x, y) функцийн экстремум нь байж болно, байхгүй ч байж болно. Энэ тохиолдолд нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай. m Теоремын 1) ба 2) мэдэгдлийг батлахаар хязгаарлая. /(i, y) функцийн хоёр дахь эрэмбийн Тейлор томьёог бичье: энд. Нөхцөлийн дагуу D/ өсөлтийн тэмдэг нь (1)-ийн баруун талын гурвалсан тэмдгийн тэмдгээр тодорхойлогддог, өөрөөр хэлбэл, хоёр дахь дифференциал d2f-ийн тэмдгээр тодорхойлогддог болохыг харж болно. Үүнийг товчилбол тэмдэглэе. Дараа нь тэгш байдлыг (l) дараах байдлаар бичиж болно: MQ(тийм, V0) цэг дээр бид байна... Нөхцөлөөр f(s, y) функцийн хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд тасралтгүй байх тул тэгш бус байдал (3) нь M0(s0,yo) цэгийн зарим хөршид мөн адил байх болно. Нөхцөл хангагдсан бол (А/0 цэг дээр ба тасралтгүй байдлын ачаар /,z(s,y) дериватив Af0 цэгийн зарим хөршид тэмдэгээ хадгална. А Ф 0 байх бүсэд бид байна. Эндээс харахад M0(x0) y0 цэгийн зарим хөршид ЛС - В2 > 0 байвал AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 гурвалсан тэмдэг нь цэг дээрх А тэмдэгтэй давхцах нь тодорхой байна. , V0) (мөн С тэмдэгтэй, учир нь AC - B2 > 0 A ба C нь өөр өөр тэмдэгтэй байж болохгүй). Цэг дэх AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 нийлбэрийн тэмдэг (s0 + $ Ax, yo + 0 Du) ялгааны тэмдгийг тодорхойлдог тул бид энд хүрнэ. дараах дүгнэлтэд хүрэв: хэрэв хөдөлгөөнгүй цэг дэх /(s,y) функц (s0, V0) нөхцөлийг хангаж байвал хангалттай бага || тэгш бус байдлыг хангах болно. Тиймээс (sq, V0) цэг дээр /(s, y) функц хамгийн их утгатай байна. Хэрэв нөхцөл хөдөлгөөнгүй цэг дээр (s0, y0) хангагдсан бол бүх хангалттай бага |Др| болон |Ду| тэгш бус байдал нь үнэн бөгөөд энэ нь (so,yo) цэг дээр /(s, y) функц хамгийн багатай байна гэсэн үг юм. Жишээ. 1. Экстремумын функцийг судлах 4 Экстремумд шаардлагатай нөхцлүүдийг ашиглан функцийн суурин цэгүүдийг хайж олно. Үүнийг хийхийн тулд бид хэсэгчилсэн деривативуудыг олж, тэдгээрийг тэгтэй тэнцүүлнэ. Бид тэгшитгэлийн системийг хаанаас авдаг - суурин цэг. Одоо теорем 12-ыг ашиглая. Бидэнд байна Энэ нь Ml цэг дээр экстремум байна гэсэн үг. Учир нь энэ бол хамгийн бага хэмжээ юм. Хэрэв бид r функцийг хэлбэрт шилжүүлбэл үүнийг харахад хялбар болно баруун хэсэг(") нь энэ функцийн үнэмлэхүй хамгийн бага байх үед хамгийн бага байх болно. 2. Функцийг экстремумын хувьд судалж, тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг функцийн суурин цэгүүдийг олдог. Теорем 12-ын дагуу М цэгт экстремум байхгүй. * 3. Функцийн экстремумыг судал. Тэгшитгэлийн системээс бид үүнийг олж авдаг тул цэг нь хөдөлгөөнгүй байна. Дараа нь бид 12-р теорем нь экстремум байгаа эсэх эсвэл байхгүй гэсэн асуултанд хариулдаггүй. Ингэж хийцгээе. Цэгээс ялгаатай бүх цэгүүдийн тухай функцийн хувьд A/o(0,0) цэгийн тодорхойлолтоор r функц нь үнэмлэхүй минимумтай байна. Үүнтэй төстэй тооцоогоор бид функц нь цэг дээр максимумтай, харин функц нь цэг дээр экстремумгүй болохыг тогтооно. n бие даасан хувьсагчтай функцийг цэг дээр ялгах боломжтой байг, хэрэв теорем 13 бол (экстремумын хувьд хангалттай нөхцөл хүртэл) Mo цэгийг функцийн суурин цэг гэнэ. Функц нь тодорхойлогдсон ба нарийн Mt(xi...)-ийн зарим хөршид хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байг, энэ нь квадрат хэлбэр (торгуулийн f функцийн хоёр дахь дифференциал эерэг байвал хөдөлгөөнгүй нарийн функц юм. тодорхой (сөрөг тодорхой), f функцийн хамгийн бага цэг (тус тус бүр нарийн) нимгэн бол квадрат хэлбэр (4) тэмдэг ээлжлэн байвал нарийн LG0-д экстремум байхгүй байна. байх болно. квадрат хэлбэр (4) эерэг эсвэл сөрөг тодорхой, жишээ нь, квадрат хэлбэрийн эерэг (сөрөг) тодорхой байдлын Сильвестерийн шалгуурыг ашиглаж болно. 15.2. Нөхцөлт экстремум Одоог хүртэл бид функцийн аргументууд нь ямар нэгэн нэмэлт нөхцлөөр хязгаарлагдахгүй байх үед түүний тодорхойлолтын бүх мужаас функцийн орон нутгийн экстремумуудыг хайж ирсэн. Ийм хэт туйлшралыг болзолгүй гэж нэрлэдэг. Гэсэн хэдий ч нөхцөлт экстремум гэж нэрлэгддэг зүйлийг олоход ихэвчлэн асуудал гардаг. D мужид z = /(x, y) функцийг тодорхойл. Энэ мужид L муруй өгөгдсөн гэж үзье, бид зөвхөн тэдгээрээс f(x> y) функцийн экстремумыг олох хэрэгтэй. муруйн цэгүүдэд тохирох түүний утгуудын L. Ижил экстремумуудыг z = f(x) y) функцийн нөхцөлт экстремум гэж нэрлэдэг. , f(x, y) функц нь M0(x0, V0) цэгийн зарим хөршид хамаарах ба ялгаатай M (s, y) y) муруй L бүх цэгүүдэд тэгш бус байдал хангагдсан тохиолдолд нөхцөлт максимум (минимум) байна. М0 цэгээс (Хэрэв L муруй нь тэгшитгэлээр өгөгдсөн бол муруй дээрх r - f(x,y) функцийн нөхцөлт экстремумыг олох бодлогыг дараах байдлаар томъёолж болно: x функцийн экстремумыг ол. = /(z, y) D мужид, тэгвэл z = y) функцын нөхцөлт туйлшралыг олохдоо зэрлэг аргументуудыг бие даасан хувьсагч гэж үзэх боломжгүй болсон: тэдгээр нь хоорондоо хамааралтай байна. y) = 0 хамаарлыг холболтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг. Нөхцөлгүй ба нөхцөлт экстремумын ялгааг тодруулахын тулд функцийн болзолгүй максимум (Зураг 23) нэгтэй тэнцүү байх ба (0,0) цэгт хүрдэг жишээг харцгаая. Энэ нь pvvboloid-ийн орой болох M цэгтэй тохирч y = j холболтын тэгшитгэлийг нэмье. Дараа нь нөхцөлт максимум нь үүнтэй тэнцүү байх болно (o,|) цэгт хүрч, бөмбөгийг y = j хавтгайтай огтлолцох шугам болох бөмбөгний Афж оройтой тохирч байна. Нөхцөлгүй mvximum-ийн хувьд бид гадаргуугийн бүх vpplicvt дунд mvximum програмтай байна * = 1 - l;2 ~ y1; summvv нөхцөлт - зөвхөн pvraboloidv-ийн бүх цэгүүдийн дунд, xOy хавтгайн биш y = j шулуун шугамын * цэгт харгалзах болно. Функцийн оршихуй ба холболтын нөхцөлт экстремумыг олох аргуудын нэг нь дараах байдалтай байна. y) - O холболтын тэгшитгэлийг х аргументийн өвөрмөц дифференциалагдах функц гэж тодорхойлъё: Функцэд y-ийн оронд функцийг орлуулснаар холболтын нөхцөл аль хэдийн тооцогдсон нэг аргументийн функцийг олж авна. Функцийн (болзолгүй) экстремум нь хүссэн нөхцөлт экстремум юм. Жишээ. Функцийн экстремумыг нөхцлөөр олоорой Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум гэсэн ойлголт. Экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд A Холболтын тэгшитгэлээс (2") y = 1-x-ийг олно. Энэ y утгыг (V) орлуулснаар бид функцийг олж авна. нэг аргумент x: Үүнийг экстремумын хувьд авч үзье: эндээс x = 1 - чухал цэг; , ингэснээр r функцийн нөхцөлт минимумыг өгнө (Зураг 24). Лагранжийн үржүүлэгчийн арга гэж нэрлэгддэг нөхцөлт экстремум асуудлыг шийдэх өөр аргыг зааж өгье. Холболт байгаа үед функцийн нөхцөлт экстремум цэг байцгаая. Холболтын тэгшитгэл нь xx цэгийн тодорхой хэсэгт тасралтгүй ялгарах цорын ганц функцийг тодорхойлдог гэж үзье. Бид xq цэг дээрх /(r, ip(x)) функцийн x-тэй холбоотой дериватив нь тэгтэй тэнцүү буюу үүнтэй тэнцэхүйц байх ёстойг бид олж авна. тэгтэй тэнцүү Mo" O цэг дэх f(x, y)-ийн дифференциал) Холболтын тэгшитгэлээс (5) Сүүлчийн тэгшитгэлийг хараахан тодорхойгүй байгаа тоон А хүчин зүйлээр үржүүлж, (4) тэгшитгэлтэй гишүүн гишүүнийг нэмбэл (бид үүнийг таамаглаж байна) Дараа нь dx-ийн дур зоргоороо бид (6) ба (7) тэгшитгэлүүдийг олж авдаг бөгөөд үүнийг Лагранжийн функц гэж нэрлэдэг /(x, y) функцийн цэг нь Лагранжийн функцийн хөдөлгөөнгүй цэг байх ёстой бөгөөд А нь зарим юм. тоон коэффициент. Эндээс бид нөхцөлт экстремумыг олох дүрмийг олж авна: холболт байгаа үед функцийн ердийн экстремумын цэг байж болох цэгүүдийг олохын тулд 1) бид Лагранжийн функцийг зохиодог, 2) үүний деривативуудыг тэгшитгэдэг. функцийг тэг болгож, үүссэн тэгшитгэлд холболтын тэгшитгэлийг нэмснээр бид гурван тэгшитгэлийн системийг олж авдаг бөгөөд үүнээс бид A-ийн утгууд ба боломжит экстремум цэгүүдийн x, y координатуудыг олох болно. Нөхцөлт экстремумын оршихуй, мөн чанарын тухай асуудлыг (8) -аас олж авсан x0, V0, A утгуудын авч үзсэн системийн хувьд Лагранжийн функцийн хоёр дахь дифференциалын тэмдгийг судалсны үндсэн дээр шийдвэрлэнэ. , дараа нь (x0, V0) цэг дээр /(x, y ) функц нь нөхцөлт максимумтай; хэрэв d2F > 0 бол нөхцөлт минимум болно. Ялангуяа хөдөлгөөнгүй цэгт (xo, J/o) F(x, y) функцийн тодорхойлогч D эерэг байвал (®o, V0) цэг дээр f( функцийн нөхцөлт максимум байна. x, y), if ба нөхцөлт минимум функц /(x, y), хэрэв Жишээ. Өмнөх жишээний нөхцөл рүү дахин оръё: x + y = 1 байх нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг ол. Бид Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг ашиглан асуудлыг шийднэ. Лагранж функц дотор энэ тохиолдолдТогтвортой цэгүүдийг олохын тулд системийн эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x = y гэсэн томъёог олж авна. Дараа нь системийн гурав дахь тэгшитгэлээс (холболтын тэгшитгэл) бид x - y = j нь боломжит экстремум цэгийн координат болохыг олж мэдэв. Энэ тохиолдолд (A = -1 гэж заажээ. Иймээс Лагранжийн функц. нь * = x2 + y2 нөхцөл дэх функцийн нөхцөлт хамгийн бага цэг юм. Лагранжийн функцэд болзолгүй экстремум байхгүй. P(x, y) ) нь холболт байгаа үед /(x, y) функцийн нөхцөлт экстремум байхгүй гэсэн үг биш юм Жишээ: y 4 нөхцөлийн дагуу функцийн экстремумыг ол. Бид Лагранжийн функцийг зохиож, системийг бичнэ. А ба боломжит экстремум цэгүүдийн координатыг тодорхойлох: Эхний хоёр тэгшитгэлээс бид x + y = 0-г олж аваад x = y = A = 0 гэсэн системд хүрнэ. харгалзах функцЛагранж хэлбэртэй байна (0,0) цэг дээр F(x, y; 0) функц нь болзолгүй экстремумгүй, харин r = xy функцийн нөхцөлт экстремум байна. у = x үед байна. Үнэн хэрэгтээ, энэ тохиолдолд r = x2. Энэ нь (0,0) цэг дээр болзолт минимум байгааг харуулж байна. "Лагранжийн үржүүлэгчийн аргыг дурын тооны аргументын функцийн тохиолдол руу шилжүүлнэ. Холболтын тэгшитгэл байгаа үед функцийн экстремумыг хайг. A|, Az,..., Lagrange функцийг байгуулъя. A„, тодорхойгүй байна тогтмол хүчин зүйлүүд. F функцийн бүх нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлж, үүссэн тэгшитгэлд холболтын тэгшитгэлийг (9) нэмснээр бид n + m тэгшитгэлийн системийг олж авах бөгөөд үүнээс бид Ab A3|..., At ба координатуудыг тодорхойлно. \) x2). » нөхцөлт экстремумын боломжит цэгүүдийн xn. Лагранжийн аргыг ашиглан олсон цэгүүд нь нөхцөлт экстремумын цэгүүд мөн үү гэсэн асуултыг ихэвчлэн физик эсвэл геометрийн шинж чанарт үндэслэн шийдэж болно. 15.3. Тасралтгүй функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд Зарим мөчлөгт тасралтгүй z = /(x, y) функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох шаардлагатай болно. хязгаарлагдмал талбай D. Теорем 3-ын дагуу энэ мужид функц хамгийн том (хамгийн бага) утгыг авах цэг (xo, V0) байна. Хэрэв (xo, y0) цэг нь D мужид оршдог бол / функц нь түүнд хамгийн их (хамгийн бага) байдаг тул энэ тохиолдолд бидний сонирхож буй цэг нь функцийн чухал цэгүүдийн дунд байрлана. у). Гэсэн хэдий ч, /(x, y) функц нь бүсийн зааг дээр хамгийн их (хамгийн бага) утгад хүрч чадна. Иймд z = /(x, y) функцээр хязгаарлагдмал хэмжээнд авсан хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох. хаалттай талбай 2), та энэ талбарт хүрэх функцийн бүх дээд хэмжээ (хамгийн бага) болон энэ хэсгийн хил дээрх функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олох хэрэгтэй. Эдгээр бүх тоонуудын хамгийн том (хамгийн бага) нь 27-р муж дахь z = /(x,y) функцийн хүссэн хамгийн том (хамгийн бага) утга байх болно. Дифференциалагдах функцийн хувьд үүнийг хэрхэн хийхийг харуулъя. Пммр. 4-р бүсийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол. Бид D муж доторх функцийн эгзэгтэй цэгүүдийг олно. Үүнийг хийхийн тулд бид эндээс x = y « 0-ийг олж авна 0 (0,0) цэг нь х функцийн критик цэг юм. Одоо D домайн Г заагаас функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгуудыг олъё. Хилийн нэг хэсэгт y = 0 нь эгзэгтэй цэг бөгөөд = үүнээс хойш энэ цэгт z = функц байна. 1 + y2 нь хамгийн багадаа, нэгтэй тэнцүү. Г сегментийн төгсгөлд, цэгүүдэд (, бид байна. Тэгш хэмийн асуудлыг ашиглан бид хилийн бусад хэсгүүдийн хувьд ижил үр дүнг олж авна. Эцэст нь бид дараахь зүйлийг олж авна: z = x2+y2 функцийн хамгийн бага утгыг тухайн муж дахь. "B нь тэгтэй тэнцүү бөгөөд энэ нь 0( 0, 0) талбайн дотоод цэгт хүрдэг. хамгийн өндөр үнэ цэнэЭнэ функцийн хоёртой тэнцүү нь хилийн дөрвөн цэгт хүрнэ (Зураг 25) Зураг 25 Дасгалууд Функцуудын тодорхойлолтын мужийг ол: Функцуудын түвшний шугамыг байгуул: 9 Функцийн түвшний гадаргууг ол. бие даасан гурван хувьсагчийн: Функцийн хязгаарыг тооцоолох: Функцийн хэсэгчилсэн дериватив ба тэдгээрийн бүрэн дифференциалууд: Цогц функцийн деривативыг ол: 3 J. Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремумыг ол Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум гэсэн ойлголт. Экстремумд шаардлагатай ба хангалттай нөхцөл Нөхцөлт экстремум Үргэлжилсэн функцүүдийн хамгийн том ба хамгийн бага утгууд 34. Хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн деривативын томъёог ашиглан функцийг олно уу: 35. Цогцолборын деривативын томъёог ашиглана. хоёр хувьсагчийн функц, |J ба функцийг ол: Далд өгөгдсөн jj функцийг ол: 40. Олно. налуух = 3 шулуунтай огтлолцох цэг дээрх муруйтай шүргэгчийг ол. . Дараах бодлогод Т-г олоорой: Гадаргуугийн шүргэгч хавтгай ба нормаль тэгшитгэлийг бич: 49. Гадаргуугийн шүргэгч хавтгайн тэгшитгэлийг бичээрэй x2 + 2y2 + 3r2 = 21, хавтгайтай зэрэгцээ x + 4y + 6z = 0. Тейлорын томьёог ашиглан тэлэлтийн эхний гурав, дөрвөн гишүүнийг ол: 50. (0, 0) цэгийн ойролцоох y. Функцийн экстремумын тодорхойлолтыг ашиглан экстремумын хувьд дараах функцуудыг шалгана уу:). Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөлийг ашиглан функцийн экстремумыг шалгана уу: 84. Битүү тойрог доторх z = x2 - y2 функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол 85. Хамгийн том ба хамгийн бага утгыг ол. x = 0, y = 0, x + y = b шулуун шугамаар хүрээлэгдсэн гурвалжин дахь * = x2y(4-x-y) функцийн. 88. Хамгийн бага гадаргуутай тэгш өнцөгт задгай усан сангийн эзэлхүүн нь V-тэй тэнцүү байх нөхцөлд түүний хэмжээсийг тодорхойл 87. Хэмжээг ол. тэгш өнцөгт параллелепипединжтэй бүрэн гадаргуу 5 дээд хэмжээ. Хариултууд 1. ба | Хажуу талыг нь оруулаад x шугамын хэсгүүдээс үүссэн дөрвөлжин. 3. Төвлөрсөн цагирагуудын бүлэг 2= 0,1,2,... .4. Шулуун шугам дээрх цэгүүдээс бусад бүх хавтгай. Параболын дээр байрлах хавтгайн хэсэг y = -x?. 8. x тойргийн цэгүүд. Шулуун шугамаас бусад бүх хавтгай x Радикал илэрхийлэл нь хоёр тохиолдолд сөрөг биш байна j * ^ эсвэл j x ^ ^ нь тэгш бус байдлын хязгааргүй цувралтай тэнцүү байна. l энэ нь хязгааргүй цуваатай тэнцүү Функц нь цэгээр тодорхойлогддог. a) Шулуун шугамтай параллель шулуунууд x б) төв нь эхэн дээрээ байгаа төвлөрсөн тойрог. 10. а) парабол y) парабол y a) парабол б) гипербол | .Онгоцууд xc. 13.Прайм - Оз тэнхлэгийг тойрон эргэх нэг хөндийн гиперболоидууд; Оз тэнхлэгийн эргэн тойронд эргэлтийн хоёр хуудас гиперболоид байх үед гадаргуугийн гэр бүл хоёулаа конусаар тусгаарлагдсан; Хязгааргүй, b) 0. 18. y = kxt дараа нь z lim z = -2 гэж тохируулъя, тиймээс (0,0) цэгт өгөгдсөн функц хязгааргүй болно. 19. a) Цэг (0,0); b) цэг (0,0). 20. a) Хагарлын шугам - тойрог x2 + y2 = 1; б) таслах шугам нь y = x шулуун байна. 21. a) Зуурсан шугам - координатын тэнхлэгүүдӨө, Өө; b) 0 (хоосон багц). 22. Бүх цэгүүд (m, n), энд ба n нь бүхэл тоо юм

Нөхцөлт экстремум.

Хэд хэдэн хувьсагчийн функцийн экстремум

Хамгийн бага квадрат арга.

FNP-ийн орон нутгийн экстремум

Функцийг өгье Тэгээд= е(P), РÎDÌR n P 0 цэг ( А 1 , А 2 , ..., a p) –дотоодолонлогийн цэг D.

Тодорхойлолт 9.4.

1) P 0 цэгийг дуудна хамгийн дээд цэг функцууд Тэгээд= е(P), хэрвээ энэ цэгийн U(P 0) М D хөрш байгаа бол дурын P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , нөхцөл хангагдсан е(P) £ е(P 0) . Утга е(P 0) функцийг хамгийн их цэг дээр дуудна функцийн дээд хэмжээ болон томилогдсон е(P0) = хамгийн их е(P) .

2) P 0 цэгийг дуудна хамгийн бага цэг функцууд Тэгээд= е(P), хэрэв энэ U(P 0)Ì D цэгийн хөрш байгаа бол ямар ч P( цэгийн хувьд) X 1 , X 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , нөхцөл хангагдсан е(P)³ е(P 0) . Утга е(P 0) хамгийн бага цэг дээрх функцийг дуудна хамгийн бага функц болон томилогдсон е(P 0) = мин е(P).

Функцийн хамгийн бага ба хамгийн их цэгүүдийг дуудна туйлын цэгүүд, экстремум цэгүүд дэх функцийн утгуудыг дуудна функцийн экстремум.

Тодорхойлолтоос харахад тэгш бус байдал е(P) £ е(P 0) , е(P)³ е(P 0) нь функцийг тодорхойлох бүх мужид биш, харин зөвхөн P 0 цэгийн тодорхой ойролцоо байх ёстой бөгөөд энэ нь функц нь ижил төрлийн хэд хэдэн экстремум (хэд хэдэн минимум, хэд хэдэн максимум) байж болно гэсэн үг юм. . Тиймээс дээр тодорхойлсон экстремумуудыг нэрлэдэг орон нутгийн(орон нутгийн) эрс тэс.

Теорем 9.1 (FNP-ийн экстремумын зайлшгүй нөхцөл).

Хэрэв функц Тэгээд= е(X 1 , X 2 , ..., x n) нь P 0 цэг дээр экстремумтай бол энэ цэг дэх түүний нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативууд нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

Баталгаа. P 0 цэг дээр ( А 1 , А 2 , ..., a p) функц Тэгээд= е(P) нь экстремум, жишээлбэл, дээд талтай. Аргументуудыг засъя X 2 , ..., x n, оруулах X 2 =А 2 ,..., x n = a p. Дараа нь Тэгээд= е(P) = е 1 ((X 1 , А 2 , ..., a p) нь нэг хувьсагчийн функц юм X 1 . Энэ функц байгаа тул X 1 = А 1 экстремум (хамгийн их), дараа нь е 1 ¢=0эсвэл байхгүй үед X 1 =А 1 (нэг хувьсагчийн функцийн экстремум байх зайлшгүй нөхцөл). Гэхдээ энэ нь P 0 цэг - экстремум цэг дээр байхгүй эсвэл байхгүй гэсэн үг юм. Үүний нэгэн адил бид бусад хувьсагчийн хувьд хэсэгчилсэн деривативуудыг авч үзэж болно. CTD.

Нэгдүгээр эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй функцийн муж дахь цэгүүдийг гэнэ. чухал цэгүүд энэ функц.

Теорем 9.1-ээс үзэхэд FNP-ийн экстремум цэгүүдийг функцийн эгзэгтэй цэгүүдээс хайх хэрэгтэй. Гэхдээ нэг хувьсагчийн функцийн хувьд чухал цэг бүр нь экстремум цэг биш юм.

Теорем 9.2 (FNP-ийн экстремумын хангалттай нөхцөл).

Функцийн критик цэг P 0 байг Тэгээд= е(P) ба нь энэ функцийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал юм. Дараа нь

мөн хэрэв г 2 у(P 0) > 0 at , тэгвэл P 0 цэг болно хамгийн багафункцууд Тэгээд= е(P);

б) хэрэв г 2 у(P0)< 0 при , то Р 0 – точка дээд тал ньфункцууд Тэгээд= е(P);

в) хэрэв г 2 у(P 0) тэмдгээр тодорхойлогдоогүй бол P 0 нь экстремум цэг биш;

Бид энэ теоремыг нотлох баримтгүйгээр авч үзэх болно.

Теорем нь хэзээ тохиолдлыг авч үзэхгүй болохыг анхаарна уу г 2 у(P 0) = 0 эсвэл байхгүй байна. Энэ нь ийм нөхцөлд P 0 цэгт экстремум байгаа эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна гэсэн үг юм - бидэнд хэрэгтэй нэмэлт судалгаажишээлбэл, энэ үед функцийн өсөлтийг судлах.

Илүү нарийвчилсан математикийн хичээлүүдэд энэ нь ялангуяа функцийн хувьд нотлогдсон z = f(x,y) хоёр хувьсагчийн хоёр дахь эрэмбийн дифференциал нь хэлбэрийн нийлбэр юм

P 0 чухал цэгт экстремум байгаа эсэхийг судлах ажлыг хялбаршуулж болно.

, , гэж тэмдэглэе. Тодорхойлогчийг зохиоё

.

Энэ нь:

г 2 z P 0 цэг дээр > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 - хамгийн бага цэг, хэрэв А(P 0) > 0 ба D(P 0) > 0;

г 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

хэрэв D(P 0)< 0, то г 2 z P 0 цэгийн ойролцоо тэмдэг нь өөрчлөгдөж, P 0 цэгт экстремум байхгүй;

хэрэв D(Р 0) = 0 бол Р 0 эгзэгтэй цэгийн ойролцоох функцийг нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

Тиймээс функцийн хувьд z = f(x,y) бидэнд байгаа хоёр хувьсагчийн дараагийн алгоритм("алгоритм D" гэж нэрлэе) экстремумыг олоход:

1) Тодорхойлолтын мужийг олоорой D( е) функцууд.

2) Чухал цэгүүдийг олох, өөрөөр хэлбэл. D-аас оноо ( е), нь тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй байна.

3) P 0 чухал цэг бүрт экстремумын хангалттай нөхцлийг шалгана. Үүнийг хийхийн тулд олоорой , энд , , мөн D(P 0) ба тооцоолно А(P 0). Дараа нь:

хэрэв D(P 0) >0 бол P 0 цэгт экстремум байх ба хэрэв А(P 0) > 0 – тэгвэл энэ нь хамгийн бага, хэрэв бол А(P 0)< 0 – максимум;

хэрэв D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Хэрэв D(P 0) = 0 бол нэмэлт судалгаа хийх шаардлагатай.

4) Олдсон экстремум цэгүүдэд функцийн утгыг тооцоол.

Жишээ 1.

Функцийн экстремумыг ол z = x 3 + 8y 3 – 3xy .

Шийдэл.Энэ функцийн хамрах хүрээ нь бүхэлдээ юм координатын хавтгай. Чухал цэгүүдийг олцгооё.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Экстремумын хангалттай нөхцөл хангагдсан эсэхийг шалгацгаая. Бид олох болно

6X, = -3, = 48цагтТэгээд = 288xy – 9.

Дараа нь D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – Р 1 цэг дээр экстремум байдаг ба үүнээс хойш А(P 1) = 3 >0, тэгвэл энэ экстремум нь хамгийн бага байна. Тиймээс мин z=z(P 1) = .

Жишээ 2.

Функцийн экстремумыг ол .

Шийдэл: D( е) =R 2. Чухал цэгүүд: ; хэзээ байдаггүй цагт= 0, энэ нь P 0 (0,0) нь энэ функцийн чухал цэг юм.

2, = 0, = , = , гэхдээ D(P 0) тодорхойлогдоогүй тул түүний тэмдгийг судлах боломжгүй юм.

Үүнтэй ижил шалтгаанаар теорем 9.2-ыг шууд хэрэглэх боломжгүй - г 2 zэнэ үед байхгүй.

Функцийн өсөлтийг авч үзье е(x, y) P 0 цэг дээр. Хэрэв Д е =е(P) - е(P 0)>0 "P, тэгвэл P 0 нь хамгийн бага цэг боловч хэрэв D е < 0, то Р 0 – точка максимума.

Манай тохиолдолд бидэнд байгаа

Д е = е(x, y) – е(0, 0) = е(0+D x,0+D y) – е(0, 0) = .

Д x= 0.1 ба D y= -0.008 бид D-г авна е = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dx= 0.1 ба D y= 0.001 D е= 0.01 + 0.1 > 0, өөрөөр хэлбэл. P 0 цэгийн ойролцоо D нөхцөлийн аль нь ч хангагдахгүй е <0 (т.е. е(x, y) < е(0, 0) тул P 0 нь хамгийн их цэг биш), D нөхцөл биш юм е>0 (жишээ нь. е(x, y) > е(0, 0) ба дараа нь P 0 нь хамгийн бага цэг биш юм). Энэ нь экстремумын тодорхойлолтоор энэ функцэд экстремум байхгүй гэсэн үг юм.

Нөхцөлт экстремум.

Функцийн авч үзсэн экстремумыг нэрлэнэ болзолгүй, учир нь функцийн аргументуудад хязгаарлалт (нөхцөл) ногдуулдаггүй.

Тодорхойлолт 9.2.Функцийн экстремум Тэгээд = е(X 1 , X 2 , ... , x n), түүний аргументууд байх нөхцөлөөр олсон X 1 , X 2 , ... , x n j 1 тэгшитгэлийг хангах X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, …, j Т(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0, энд P ( X 1 , X 2 , ... , x n) О D( е), дуудсан нөхцөлт экстремум .

Тэгшитгэл j к(X 1 , X 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, гэж нэрлэдэг холболтын тэгшитгэл.

Функцуудыг авч үзье z = f(x,y) хоёр хувьсагч. Хэрэв холболтын тэгшитгэл нь нэг бол, i.e. , дараа нь нөхцөлт экстремумыг олох нь экстремумыг функцийн тодорхойлолтын бүх мужаас биш, харин D(-д байрлах зарим муруй дээр хайж байна гэсэн үг юм. е) (өөрөөр хэлбэл, энэ нь хамгийн өндөр эсвэл хамгийн өндөр нь биш юм бага оноогадаргуу z = f(x,y), мөн энэ гадаргуугийн цилиндртэй огтлолцох цэгүүдийн дундах хамгийн өндөр буюу хамгийн бага цэгүүд, Зураг 5).

Функцийн нөхцөлт экстремум z = f(x,y) хоёр хувьсагчийг дараах байдлаар олж болно( арилгах арга). Тэгшитгэлээс хувьсагчийн аль нэгийг нөгөөгийн функцээр илэрхийлнэ (жишээ нь, бичих) ба хувьсагчийн энэ утгыг функцэд орлуулж, сүүлчийнх нь нэг хувьсагчийн функц гэж бичнэ (харгалзах тохиолдолд). ). Нэг хувьсагчийн үр дүнд үүссэн функцийн экстремумыг ол.

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумын хангалттай нөхцөл

1. Функц нь цэгийн зарим хөршид тасралтгүй дифференциал болох ба хоёрдугаар эрэмбийн (цэвэр ба холимог) тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтэй байг.

2. Хоёрдугаар эрэмбийн тодорхойлогчоор тэмдэглэе

extremum variable лекцийн функц

Теорем

Хэрэв координаттай цэг нь функцийн суурин цэг байвал:

A) Энэ нь орон нутгийн экстремумын цэг бөгөөд орон нутгийн максимум нь орон нутгийн минимум юм;

C) цэг нь орон нутгийн экстремум цэг биш;

C) хэрэв, магадгүй хоёулаа.

Баталгаа

Функцийн Тейлорын томьёог бичээд хоёр нэр томъёогоор хязгаарлая.

Теоремын нөхцлийн дагуу цэг нь хөдөлгөөнгүй байдаг тул хоёр дахь эрэмбийн хэсэгчилсэн дериватив нь тэгтэй тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл. Тэгээд. Дараа нь

гэж тэмдэглэе

Дараа нь функцийн өсөлт нь дараах хэлбэртэй болно.

Хоёрдахь эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативуудын (цэвэр ба холимог) тасралтгүй байдлын улмаас цэг дээрх теоремын нөхцлийн дагуу бид дараахь зүйлийг бичиж болно.

Хаана эсвэл; ,

1. Let and, i.e. эсвэл.

2. Функцийн өсөлтийг үржүүлж, хуваахад бид дараахь зүйлийг авна.

3.-д илэрхийллийг нэмье буржгар хаалтөмнө бүтэн дөрвөлжинхэмжээ:

4. Буржгар хаалт дахь илэрхийлэл нь сөрөг биш, учир нь

5. Иймд хэрэв гэсэн утгатай ба, тэгвэл, тиймээс, тодорхойлолтын дагуу цэг нь орон нутгийн минимумын цэг юм.

6. Хэрэв дундаж, тэгвэл тодорхойлолтын дагуу координаттай цэг нь орон нутгийн максимум цэг болно.

2. авч үзэх квадрат гурвалжин, түүний ялгаварлагч, .

3. Хэрэв тийм бол олон гишүүнтийн цэгүүд байна

4. Бид I-д олж авсан илэрхийллийн дагуу цэг дээрх функцийн нийт өсөлтийг дараах байдлаар бичнэ.

5. Хоёрдугаар эрэмбийн хэсэгчилсэн деривативын тасралтгүй байдлын улмаас цэг дээрх теоремын нөхцлийн дагуу бид ингэж бичиж болно.

Тиймээс аль ч цэгийн хувьд квадрат гурвалжин тэгээс их байх цэгийн хөрш байдаг.

6. Цэгийн хөршийг авч үзье.

Ямар ч утгыг сонгоцгооё, тэгэхээр хугацаа. Функцийн өсөлтийн томъёонд гэж үзвэл

Бид юу авах вэ:

7. Тэр цагаас хойш.

8. Үндэсний талаар мөн адил мэтгэлцэхэд бид цэгийн аль ч хөршид тэмдэг хадгалагдаагүй цэг байдаг тул цэгт экстремум байдаггүй.

Хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум

Хоёр хувьсагчийн функцийн экстремумыг олоход нөхцөлт экстремум гэж нэрлэгддэг асуудалтай холбоотой асуудал ихэвчлэн гарч ирдэг. Энэ ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн жишээн дээр тайлбарлаж болно.

0xy хавтгайд функц ба L шулууныг өгье. Даалгавар бол P цэгийн ойролцоо байрлах L шугамын цэгүүд дээрх функцийн утгуудтай харьцуулахад функцийн утга нь хамгийн том эсвэл хамгийн бага байх P (x, y) цэгийг олох явдал юм. Ийм P цэгүүд L шугам дээрх нөхцөлт экстремум цэгийн функцууд гэж нэрлэгддэг. Ердийн экстремум цэгээс ялгаатай нь нөхцөлт экстремум цэг дээрх функцийн утгыг түүний хөршийн бүх цэгүүдэд биш, зөвхөн орших цэгүүдийн функцийн утгатай харьцуулдаг. шугам дээр Л.

Энгийн экстремумын цэг (тэд бас болзолгүй экстремум гэж хэлдэг) энэ цэгийг дайран өнгөрөх аливаа шугамын нөхцөлт экстремумын цэг болох нь туйлын тодорхой юм. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр нь үнэн биш: нөхцөлт экстремум цэг нь ердийн экстремум цэг биш байж болно. Үүнийг жишээгээр тайлбарлая.

Жишээ №1.Функцийн график нь дээд тархи юм (Зураг 2).

Цагаан будаа. 2.

Энэ функц нь гарал үүслийн дээд талтай; энэ нь бөмбөрцгийн M оройтой тохирч байна. Хэрэв L шугам нь А ба В цэгүүдийг (түүний тэгшитгэл) дайран өнгөрдөг шулуун шугам бол энэ шугамын цэгүүдийн хувьд функцын хамгийн их утга нь А ба В цэгүүдийн дунд байрлах цэгт хүрдэг нь геометрийн хувьд тодорхой байна. Энэ нь энэ шугам дээрх нөхцөлт экстремум (хамгийн их) функцүүдийн цэг юм; энэ нь бөмбөрцгийн M 1 цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд зурагнаас харахад энд энгийн экстремумын тухай ярих боломжгүй юм.

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлын эцсийн хэсэгт бид энэ мужийн хил дээрх функцийн хэт утгыг олох ёстой гэдгийг анхаарна уу. зарим шугам дээр, улмаар нөхцөлт экстремум асуудлыг шийддэг.

Тодорхойлолт 1.Тэд тэгшитгэлийг хангаж буй цэг дээр нөхцөлт эсвэл харьцангуй максимум (хамгийн бага) байна гэж хэлдэг: хэрэв тэгшитгэлийг хангаж байгаа аль нэг цэгийн хувьд тэгш бус байдал байна.

Тодорхойлолт 2.Хэлбэрийн тэгшитгэлийг хязгаарлалтын тэгшитгэл гэж нэрлэдэг.

Теорем

Хэрэв функцүүд нь цэгийн ойролцоо тасралтгүй дифференциал болох ба хэсэгчилсэн дериватив бөгөөд цэг нь хязгаарлалтын тэгшитгэлийн хувьд функцийн нөхцөлт экстремум цэг бол хоёр дахь эрэмбийн тодорхойлогч тэгтэй тэнцүү байна.

Баталгаа

1. Теоремын нөхцлийн дагуу хэсэгчилсэн дериватив ба функцийн утга учир тодорхой тэгш өнцөгт

далд функцийг тодорхойлсон

Нэг цэг дээрх хоёр хувьсагчийн нийлмэл функц нь орон нутгийн экстремум, тиймээс, эсвэл байх болно.

2. Үнэхээр нэгдүгээр эрэмбийн дифференциал томьёоны инвариантын шинж чанарын дагуу

3. Холболтын тэгшитгэлийг энэ хэлбэрээр илэрхийлж болох бөгөөд энэ нь гэсэн үг

4. (2) тэгшитгэлийг (3)-аар үржүүлээд нэм

Тиймээс, хэзээ

дур зоргоороо. гэх мэт.

Үр дагавар

Практикт хоёр хувьсагчийн функцийн нөхцөлт экстремум цэгүүдийг хайх нь тэгшитгэлийн системийг шийдэх замаар хийгддэг.

Тэгэхээр дээрх жишээн дээр №1 холболтын тэгшитгэлээс бидэнд байна. Эндээс хамгийн дээд хэмжээнд хүрэхийг шалгахад хялбар байдаг. Гэхдээ дараа нь харилцааны тэгшитгэлээс. Бид геометрийн аргаар олдсон P цэгийг олж авна.

Жишээ №2.Холболтын тэгшитгэлтэй харьцуулахад функцийн нөхцөлт экстремум цэгүүдийг ол.

Хэсэгчилсэн деривативуудыг олцгооё өгөгдсөн функцба холболтын тэгшитгэлүүд:

Хоёрдахь эрэмбийн тодорхойлогчийг үүсгэцгээе:

Нөхцөлт экстремум цэгүүдийг олох тэгшитгэлийн системийг бичье.

Энэ нь координаттай функцийн нөхцөлт экстремумын дөрвөн цэг байна гэсэн үг: .

Жишээ №3.Функцийн экстремум цэгүүдийг ол.

Хэсэгчилсэн деривативуудыг тэгтэй тэнцүүлэх нь: , бид нэгийг олно суурин цэг- гарал үүсэл. Энд,. Иймээс (0, 0) цэг нь экстремум цэг биш юм. Тэгшитгэл бол тэгшитгэл юм гиперболын параболоид(Зураг 3) Зураг дээр (0, 0) цэг нь экстремум цэг биш болохыг харуулж байна.

Цагаан будаа. 3.

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утга

1. Хязгаарлагдмал хаалттай мужид функц тодорхойлогдсон ба үргэлжилсэн байх ёстой D.

2. Тухайн муж дахь тус тусын цэгээс бусад функц нь хязгаарлагдмал хэсэгчилсэн деривативтай байг.

3. Вейерштрассын теоремын дагуу энэ мужид функц хамгийн том, хамгийн бага утгыг авах цэг байдаг.

4. Хэрэв эдгээр цэгүүд нь D мужын дотоод цэгүүд бол тэдгээр нь хамгийн их эсвэл минимумтай байх нь ойлгомжтой.

5. Энэ тохиолдолд бидний сонирхож буй цэгүүд нь экстремум дахь сэжигтэй цэгүүдийн нэг юм.

6. Гэсэн хэдий ч функц нь D мужийн зааг дээр хамгийн том эсвэл хамгийн бага утгыг авч болно.

7. D муж дахь функцийн хамгийн том (хамгийн бага) утгыг олохын тулд бүгдийг нь олох хэрэгтэй дотоод цэгүүдэкстремумын хувьд сэжигтэй, тэдгээрт байгаа функцийн утгыг тооцоолж, дараа нь тухайн бүсийн хилийн цэгүүд дэх функцийн утгатай харьцуулж, олдсон бүх утгын хамгийн том нь хаалттай D мужид хамгийн том нь байх болно.

8. Орон нутгийн хамгийн их буюу доод хэмжээг олох аргыг 1.2-р хэсэгт өмнө нь авч үзсэн. болон 1.3.

9. Бүс нутгийн зааг дээрх функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох аргыг авч үзэх хэвээр байна.

10. Хоёр функцийн хувьд хувьсах талбайихэвчлэн муруй эсвэл хэд хэдэн муруйгаар хязгаарлагддаг.

11. Ийм муруй (эсвэл хэд хэдэн муруй) дагуу хувьсагч ба аль нэг нь бие биенээсээ хамааралтай, эсвэл хоёулаа нэг параметрээс хамаарна.

12. Ийнхүү функц нь зааг дээр нэг хувьсагчаас хамааралтай болж хувирна.

13. Нэг хувьсагчийн функцийн хамгийн том утгыг олох аргыг өмнө нь авч үзсэн.

14. Г бүсийн хил хязгаарыг өгөв параметрийн тэгшитгэл:

Дараа нь энэ муруй дээр хоёр хувьсагчийн функц байх болно нарийн төвөгтэй функцпараметрээс: . Ийм функцийн хувьд нэг хувьсагчийн функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлох аргыг ашиглан хамгийн том ба хамгийн бага утгыг тодорхойлно.

Тодорхойлолт 1: Функцийг тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн цэг дээр локал максимумтай гэж хэлнэ. Мкоординатуудтай (х, у)тэгш бус байдал нь: . Энэ тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, функцийн өсөлт< 0.

Тодорхойлолт 2: Функцийг тухайн цэгийн хөрш байгаа бол тухайн цэг дээр локал минимумтай гэж хэлнэ. Мкоординатуудтай (х, у)тэгш бус байдал нь: . Энэ тохиолдолд, өөрөөр хэлбэл, функцийн өсөлт > 0 байна.

Тодорхойлолт 3: Цэгүүд орон нутгийн минимумба дээд тал нь дуудагдана экстремум цэгүүд.

Нөхцөлт туйл

Олон хувьсагчийн функцийн экстремумыг олоход ихэвчлэн гэж нэрлэгддэг функцтэй холбоотой асуудал үүсдэг. нөхцөлт экстремум.Энэ ойлголтыг хоёр хувьсагчийн функцийн жишээн дээр тайлбарлаж болно.

Функц ба мөрийг өгье Лгадаргуу дээр 0xy. Даалгавар бол шугаманд орох явдал юм Лийм цэгийг олоорой P(x, y),функцийн утга нь шугам дээрх цэгүүдийн энэ функцийн утгуудтай харьцуулахад хамгийн том эсвэл хамгийн бага байна Л, цэгийн ойролцоо байрладаг П. Ийм цэгүүд Пгэж нэрлэдэг нөхцөлт экстремум цэгүүдшугам дээрх функцууд Л. Ердийн экстремум цэгээс ялгаатай нь нөхцөлт экстремум цэг дэх функцийн утгыг түүний хөршийн бүх цэгүүдэд биш, зөвхөн шугаман дээр байрлах функцийн утгуудтай харьцуулна. Л.

Ердийн экстремумын цэг нь туйлын тодорхой юм (тэд бас хэлдэг болзолгүй экстремум) нь мөн энэ цэгийг дайран өнгөрөх аливаа шулууны нөхцөлт экстремум цэг юм. Мэдээжийн хэрэг, эсрэгээр нь үнэн биш: нөхцөлт экстремум цэг нь ердийн экстремум цэг биш байж болно. Би юу хэлснийг тайлбарлая ердийн жишээ. Функцийн график нь дээд тархи юм (Хавсралт 3 (Зураг 3)).

Энэ функц нь гарал үүслийн дээд талтай; орой нь үүнтэй тохирч байна Мтархи. Хэрэв шугам Лцэгүүдийг дайран өнгөрөх шугам байдаг АТэгээд IN(түүний тэгшитгэл x+y-1=0), тэгвэл энэ шугамын цэгүүдийн хувьд функцын хамгийн их утга нь цэгүүдийн дунд байрлах цэгт хүрдэг нь геометрийн хувьд тодорхой байна. АТэгээд IN.Энэ нь энэ шугам дээрх функцийн нөхцөлт экстремум (хамгийн их) цэг юм; энэ нь бөмбөрцгийн M 1 цэгтэй тохирч байгаа бөгөөд зурагнаас харахад энд энгийн экстремумын тухай ярих боломжгүй юм.

Хаалттай муж дахь функцийн хамгийн том ба хамгийн бага утгыг олох асуудлын эцсийн хэсэгт бид энэ мужийн хил дээрх функцийн хэт утгыг олох ёстой гэдгийг анхаарна уу. зарим шугам дээр, улмаар нөхцөлт экстремум асуудлыг шийддэг.

Одоо x ба y хувьсагчид (x, y) = 0 тэгшитгэлээр хамааралтай байх нөхцөлд Z= f(x, y) функцийн нөхцөлт экстремум цэгүүдийн практик хайлтыг үргэлжлүүлье. холболтын тэгшитгэл. Хэрэв холболтын тэгшитгэлээс y-г х: y=(x) хэлбэрээр тодорхой илэрхийлж чадвал Z= f(x, (x)) = Ф(x) нэг хувьсагчийн функцийг олж авна.

Энэ функц нь экстремумд хүрэх x утгыг олж, дараа нь холболтын тэгшитгэлээс харгалзах у утгыг тодорхойлсны дараа бид нөхцөлт экстремумын хүссэн цэгүүдийг олж авна.

Тэгэхээр дээрх жишээнд x+y-1=0 хамаарлын тэгшитгэлээс y=1-x байна. Эндээс

x = 0.5 үед z хамгийн ихдээ хүрч байгааг шалгахад хялбар байдаг; гэхдээ дараа нь y = 0.5 холболтын тэгшитгэлээс бид геометрийн тооцооллоос олдсон P цэгийг яг авна.

Холболтын тэгшитгэлийг x=x(t), y=y(t) параметрт тэгшитгэлээр төлөөлүүлж болох үед нөхцөлт экстремумын асуудлыг маш энгийнээр шийдэж болно. x ба у-ийн илэрхийллүүдийг орлуулах энэ функц, бид нэг хувьсагчийн функцийн экстремумыг олох асуудалд дахин ирлээ.

Хэрэв холболтын тэгшитгэл нь -ээс их байвал нарийн төвөгтэй дүр төрхмөн бид нэг хувьсагчийг нөгөө хувьсагчаар нь тодорхой илэрхийлэх, эсвэл параметрийн тэгшитгэлээр солих боломжгүй бол нөхцөлт экстремумыг олох ажил улам хэцүү болно. Бид z= f(x, y) функцийн илэрхийлэлд хувьсагч (x, y) = 0 байна гэж үзсээр байх болно. z= f(x, y) функцийн нийт дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

Ялгах дүрмийг ашиглан y` деривативыг олоход далд функц. Нөхцөлт экстремумын цэгүүдэд олдсон нийт дериватив нь тэгтэй тэнцүү байх ёстой; Энэ нь x ба y-тэй холбоотой нэг тэгшитгэлийг өгдөг. Тэд мөн холбох тэгшитгэлийг хангах ёстой тул бид хоёр үл мэдэгдэх хоёр тэгшитгэлийн системийг олж авна.

Эхний тэгшитгэлийг пропорциональ хэлбэрээр бичиж, шинэ туслах үл мэдэгдэхийг оруулснаар энэ системийг илүү тохиромжтой болгон хувиргацгаая.

(урд талын хасах тэмдэг нь тав тухтай байдлыг хангах үүднээс). Эдгээр тэгшитгэлээс дараахь систем рүү шилжихэд хялбар байдаг.

f` x =(x,y)+` x (x,y)=0, f` y (x,y)+` y (x,y)=0 (*),

(x, y) = 0 холболтын тэгшитгэлийн хамт x, y ба үл мэдэгдэх гурван тэгшитгэлийн системийг бүрдүүлдэг.

Эдгээр тэгшитгэл (*) нь санахад хамгийн хялбар байдаг дараагийн дүрэм: функцийн нөхцөлт экстремум цэг байж болох цэгүүдийг олохын тулд

(x, y) = 0 холболтын тэгшитгэлтэй Z= f(x, y) бол туслах функц үүсгэх шаардлагатай.

F(x,y)=f(x,y)+(x,y)

Тогтмол хаана байна, мөн энэ функцийн экстремум цэгүүдийг олох тэгшитгэл үүсгэ.

Заасан тэгшитгэлийн систем нь дүрмээр бол зөвхөн шаардлагатай нөхцлүүдийг хангадаг, жишээлбэл. Энэ системийг хангасан x ба y хос утга бүр нь нөхцөлт экстремум цэг байх албагүй. Би нөхцөлт экстремумын цэгүүдэд хангалттай нөхцөл өгөхгүй; Ихэнх тохиолдолд асуудлын тодорхой агуулга нь олсон цэг нь юу болохыг харуулж байна. Нөхцөлт экстремум дээр асуудлыг шийдвэрлэх тайлбарласан техникийг Лагранжийн үржүүлэгчийн арга гэж нэрлэдэг.