PËRKUFIZIM

Vektor(nga lat. vektoriale" - "bartja") - një segment i drejtuar i një vije të drejtë në hapësirë ​​ose në një aeroplan.

Grafikisht, një vektor përshkruhet si një segment i drejtë i drejtuar me një gjatësi të caktuar. Një vektor, fillimi i të cilit është në pikë dhe fundi në pikë, shënohet si (Fig. 1). Një vektor mund të shënohet gjithashtu me një shkronjë të vogël, për shembull, .

Nëse një sistem koordinativ specifikohet në hapësirë, atëherë vektori mund të specifikohet në mënyrë unike nga një grup i koordinatave të tij. Kjo do të thotë, një vektor kuptohet si një objekt që ka një madhësi (gjatësi), drejtim dhe pikë zbatimi (fillimi i vektorit).

Parimet e llogaritjes vektoriale u shfaqën në veprat e matematikanit, mekanikut, fizikantit, astronomit dhe gjeodezit gjerman Johann Carl Friedrich Gauss (1777-1855) në 1831. Punimet mbi operacionet me vektorë u botuan nga matematikani, mekaniku dhe fizikani teorik irlandez, Sir William Rowan Hamilton (1805-1865) si pjesë e llogaritjes së tij të kuaternionit. Shkencëtari propozoi termin "vektor" dhe përshkroi disa operacione në vektorë. Llogaritja vektoriale ka marrë të drejtën e saj zhvillim të mëtejshëm falë punës mbi elektromagnetizmin e fizikanit, matematikanit dhe mekanikut britanik James Clerk Maxwell (1831-1879). Në vitet 1880 u botua libri "Elementet e analizës vektoriale". fizikan amerikan, kimist fizik, matematikë dhe mekanikë Josiah Willard Gibbs (1839-1903). Analiza moderne vektoriale u përshkrua në vitin 1903 në veprat e shkencëtarit, inxhinierit, matematikanit dhe fizikantit anglez autodidakt Oliver Heaviside (1850-1925).

PËRKUFIZIM

Gjatësia ose moduli vektorialështë gjatësia e segmentit të drejtuar që përcakton vektorin. Shënuar si .

Llojet kryesore të vektorëve

Vektor zero quhet vektor i të cilit pikënisje Dhe pika fundore ndeshje. Gjatësia e vektorit zero është zero.

Vektorët paralel me një drejtëz ose të shtrirë në një drejtëzë quhen kolineare(Fig. 2).

bashkëdrejtuar, nëse drejtimet e tyre përkojnë.

Në figurën 2 këta janë vektorë dhe . Bashkëdrejtimi i vektorëve tregohet si më poshtë: .

Quhen dy vektorë kolinearë drejtuar në të kundërt, nëse drejtimet e tyre janë të kundërta.

Në figurën 3 këta janë vektorë dhe . Emërtimi: .

Shuma e vektorëve. Gjatësia e vektorit. Te dashur miq, si pjesë e llojeve të provimit të prapme ka një grup problemesh me vektorët. Detyrat janë mjaft të gjera (është e rëndësishme të njihen bazat teorike). Shumica zgjidhen me gojë. Pyetjet kanë të bëjnë me gjetjen e gjatësisë së një vektori, shumës (ndryshimit) të vektorëve, produkt me pika. Ka edhe shumë detyra në të cilat është e nevojshme të kryhen veprime me koordinata vektoriale.

Teoria që rrethon temën e vektorëve nuk është e ndërlikuar dhe duhet kuptuar mirë. Në këtë artikull do të analizojmë problemet që lidhen me gjetjen e gjatësisë së një vektori, si dhe shumën (diferencën) e vektorëve. Disa pika teorike:

Koncepti i vektorit

Një vektor është një segment i drejtuar.

Të gjithë vektorët që kanë të njëjtin drejtim dhe janë të barabartë në gjatësi janë të barabartë.

*Të katër vektorët e paraqitur më sipër janë të barabartë!

Kjo do të thotë, nëse lëvizim vektorin që na është dhënë duke përdorur përkthimin paralel, do të marrim gjithmonë një vektor të barabartë me atë origjinal. Kështu, mund të ketë një numër të pafund vektorësh të barabartë.

Shënimi vektorial

Vektori mund të shënohet me latinisht me shkronja të mëdha, Për shembull:

Me këtë formë shënimi, fillimisht shkruhet shkronja që tregon fillimin e vektorit, pastaj shkronja që tregon fundin e vektorit.

Një vektor tjetër shënohet me një shkronjë të alfabetit latin (kapitale):

Përcaktimi pa shigjeta është gjithashtu i mundur:

Shuma e dy vektorëve AB dhe BC do të jetë vektori AC.

Shkruhet si AB + BC = AC.

Ky rregull quhet - rregulli i trekëndëshit.

Kjo do të thotë, nëse kemi dy vektorë - le t'i quajmë me kusht (1) dhe (2), dhe fundi i vektorit (1) përkon me fillimin e vektorit (2), atëherë shuma e këtyre vektorëve do të jetë një vektor i të cilit fillimi përkon me fillimin e vektorit (1) , dhe fundi përkon me fundin e vektorit (2).

Përfundim: nëse kemi dy vektorë në një plan, gjithmonë mund të gjejmë shumën e tyre. Duke përdorur përkthimin paralel, mund të lëvizni cilindo nga këta vektorë dhe të lidhni fillimin e tij me fundin e një tjetri. Për shembull:

Le të lëvizim vektorin b, ose me fjalë të tjera, le të ndërtojmë një të barabartë:

Si gjendet shuma e disa vektorëve? Me të njëjtin parim:

* * *

Rregulli i paralelogramit

Ky rregull është pasojë e sa më sipër.

Për vektorët me origjinë të përbashkët, shuma e tyre përfaqësohet nga diagonalja e një paralelogrami të ndërtuar mbi këta vektorë.

Le të ndërtojmë një vektor e barabartë me vektorin b në mënyrë që fillimi i tij të përputhet me fundin e vektorit a, dhe ne mund të ndërtojmë një vektor që do të jetë shuma e tyre:

Edhe pak informacione të rëndësishme të nevojshme për zgjidhjen e problemeve.

Një vektor i barabartë në gjatësi me atë origjinal, por me drejtim të kundërt, shënohet gjithashtu, por ka shenjën e kundërt:

Ky informacion është jashtëzakonisht i dobishëm për zgjidhjen e problemeve që përfshijnë gjetjen e ndryshimit midis vektorëve. Siç mund ta shihni, diferenca vektoriale është e njëjta shumë në një formë të modifikuar.

Le të jepen dy vektorë, gjeni ndryshimin e tyre:

Ne ndërtuam një vektor të kundërt me vektorin b dhe gjetëm ndryshimin.

Koordinatat vektoriale

Për të gjetur koordinatat e një vektori, duhet të zbritni koordinatat përkatëse të fillimit nga koordinatat e fundit:

Kjo do të thotë, koordinatat vektoriale janë një çift numrash.

Nëse

Dhe koordinatat e vektorëve duken kështu:

Pastaj c 1 = a 1 + b 1 c 2 = a 2 + b 2

Nëse

Pastaj c 1 = a 1 – b 1 c 2 = a 2 – b 2

Moduli vektorial

Moduli i një vektori është gjatësia e tij, e përcaktuar nga formula:

Formula për përcaktimin e gjatësisë së një vektori nëse dihen koordinatat e fillimit dhe mbarimit të tij:

Le të shqyrtojmë detyrat:

Dy brinjët e drejtkëndëshit ABCD janë të barabarta me 6 dhe 8. Diagonalet priten në pikën O. Gjeni gjatësinë e diferencës midis vektorëve AO dhe BO.

Le të gjejmë vektorin që do të jetë rezultat i AO–VO:

AO –VO =AO +(–VO )=AB

Kjo është, ndryshimi midis vektorëve AO dhe VO do të jetë një vektor AB. Dhe gjatësia e saj është tetë.

Diagonalet e një rombi ABCD janë të barabarta me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit AB + AD.

Le të gjejmë një vektor që do të jetë shuma e vektorëve AD dhe AB BC e barabartë me vektorin A.D. Pra AB +AD =AB +BC =AC

Diagonalet e rombit ABCD kryqëzohen në pikë O dhe janë të barabartë me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit AO + BO.

Le të gjejmë një vektor që do të jetë shuma e vektorëve AO dhe VO VO është e barabartë me vektorin OD, që do të thotë

Sipas teoremës së Pitagorës:

Diagonalet e rombit ABCD priten në pikën O dhe janë të barabarta me 12 dhe 16. Gjeni gjatësinë e vektorit AO – BO.

Le të gjejmë vektorin që do të jetë rezultat i AO–VO:

Sipas teoremës së Pitagorës:

Brinjët e trekëndëshit të rregullt ABC janë të barabarta me 3.

Gjeni gjatësinë e vektorit AB –AC.

Le të gjejmë rezultatin e ndryshimit të vektorit:

27663. Gjeni gjatësinë e vektorit a (6;8).

27664. Gjeni katrorin e gjatësisë së vektorit AB.

Përkufizimi Një koleksion i renditur (x 1 , x 2 , ... , x n) n numra realë quhet vektor n-dimensionale, dhe numrat x i (i = ) - komponentët, ose koordinatat,

Shembull. Nëse, për shembull, një fabrikë e caktuar automobilash duhet të prodhojë 50 makina, 100 kamionë, 10 autobusë, 50 komplete pjesë këmbimi për makina dhe 150 komplete për kamionë dhe autobusët, atëherë programi i prodhimit të kësaj fabrike mund të shkruhet në formën e një vektori (50, 100, 10, 50, 150) me pesë komponentë.

Shënimi. Vektorët tregohen me shkronja të zeza shkronjat e vogla ose shkronja me një shirit ose shigjetë në krye, për shembull, a ose. Të dy vektorët quhen të barabartë, nëse kanë të njëjtin numër përbërësish dhe përbërësit e tyre përkatës janë të barabartë.

Komponentët e vektorit nuk mund të ndërrohen, për shembull, (3, 2, 5, 0, 1) dhe (2, 3, 5, 0, 1) vektorë të ndryshëm.
Veprimet në vektorë. Puna x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) nga një numër realλ quhet vektorλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

Shumax= (x 1 , x 2 , ... ,x n) dhe y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) quhet vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Hapësirë ​​vektoriale. N -hapësira vektoriale dimensionale R n përkufizohet si bashkësia e të gjithë vektorëve n-dimensionale për të cilët veprimet e shumëzimit me numra realë dhe shtimi.

Ilustrim ekonomik. Ilustrim ekonomik i n-dimensionale hapësirë ​​vektoriale: hapësirën e mallrave (mallrave). Nën mallrave ne do të kuptojmë disa mallra ose shërbime që dalin në shitje në kohë të caktuar në një vend të caktuar. Supozoni se ka një numër të kufizuar n të mallrave në dispozicion; sasitë e secilës prej tyre të blera nga konsumatori karakterizohen nga një grup mallrash

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

ku x i tregon sasinë e i-të mallit të blerë nga konsumatori. Do të supozojmë se të gjitha mallrat kanë vetinë e pjesëtueshmërisë arbitrare, në mënyrë që të mund të blihet çdo sasi jo negative e secilit prej tyre. Atëherë të gjitha grupet e mundshme të mallrave janë vektorë të hapësirës së mallrave C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

Pavarësia lineare. Sistemi e 1 , e 2 , ... , e Vektorët m n-dimensionale quhen varur në mënyrë lineare, nëse ka numra të tillëλ 1 , λ 2 , ... , λ m , nga të cilat të paktën një është jo zero, e tillë që baraziaλ 1 e 1 + λ 2 e 2 +... + λ m e m = 0; ndryshe këtë sistem vektorë quhet i pavarur në mënyrë lineare, pra barazia e treguar është e mundur vetëm në rastin kur të gjitha . Kuptimi gjeometrik varësia lineare vektorët në R 3, të interpretuara si segmente të drejtuara, shpjegoni teoremat e mëposhtme.

Teorema 1. Një sistem i përbërë nga një vektor është i varur në mënyrë lineare nëse dhe vetëm nëse ky vektor është zero.

Teorema 2. Që dy vektorë të jenë të varur linearisht, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ata të jenë kolinear (paralel).

Teorema 3 . Që tre vektorë të jenë të varur në mënyrë lineare, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ata të jenë koplanarë (të shtrihen në të njëjtin rrafsh).

Triple të vektorëve majtas dhe djathtas. Trefishi i vektorëve jokoplanarë a, b, c thirrur drejtë, nëse vëzhguesi nga origjina e tyre e përbashkët anashkalon skajet e vektorëve a, b, c në rendin e dhënë duket se ndodh në drejtim të akrepave të orës. Përndryshe a, b, c -la tre. Quhen të gjitha trefishat djathtas (ose majtas) të vektorëve e njëjta gjë i orientuar.

Bazat dhe koordinatat. Trojka e 1, e 2 , e 3 vektorë jokoplanarë në R 3 quhet bazë, dhe vetë vektorët e 1, e 2 , e 3 - bazë. Çdo vektor a mund të zgjerohet në mënyrë unike në vektorë bazë, domethënë të përfaqësuar në formë

A= x 1 e 1+x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

quhen numrat x 1 , x 2 , x 3 në zgjerimin (1.1). koordinatata në bazë e 1, e 2 , e 3 dhe janë caktuar a(x 1, x 2, x 3).

Baza ortonormale. Nëse vektorët e 1, e 2 , e 3 janë pingul në çift dhe gjatësia e secilit prej tyre është e barabartë me një, atëherë baza quhet ortonormale, dhe koordinatat x 1 , x 2 , x 3 - drejtkëndëshe. Vektorët bazë të një baze ortonormale do të shënohen me i, j, k.

Ne do të supozojmë se në hapësirë R 3 të zgjedhura sistemi i duhur Koordinatat drejtkëndore karteziane (0, i, j, k}.

Vepra arti vektoriale. Vepra arti vektoriale A te vektori b quhet vektor c, e cila përcaktohet nga tre kushtet e mëposhtme:

1. Gjatësia e vektorit c numerikisht e barabartë me sipërfaqen e një paralelogrami të ndërtuar mbi vektorë a Dhe b, dmth.
c= |a||b| mëkat ( a^b).

2. Vektor c pingul me secilin nga vektorët a Dhe b.

3. Vektorët a, b Dhe c, të marra në rendin e treguar, formojnë një treshe djathtas.

Për një produkt kryq c prezantohet emërtimi c =[ab] ose
c = a × b.

Nëse vektorët a Dhe b janë kolineare, pastaj mëkat ( a^b) = 0 dhe [ ab] = 0, në veçanti, [ aa] = 0. Prodhimet vektoriale të vektorëve njësi: [ ij]=k, [jk] = i, [ki]=j.

Nëse vektorët a Dhe b të përcaktuara në bazë i, j, k koordinatat a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), pastaj

Punë e përzier. Nëse prodhimi vektorial i dy vektorëve A Dhe b shumëzuar në shkallë me vektorin e tretë c, atëherë quhet prodhim i tillë i tre vektorëve punë e përzier dhe tregohet me simbolin a b c.

Nëse vektorët a, b Dhe c në bazë i, j, k të dhëna nga koordinatat e tyre
a(a 1, a 2, a 3), b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), pastaj

.

Produkti i përzier ka një interpretim të thjeshtë gjeometrik - është një skalar, i barabartë në vlerë absolute me vëllimin e një paralelipipedi të ndërtuar mbi tre vektorë të dhënë.

Nëse vektorët formojnë një treshe të drejtë, atëherë produkti i tyre i përzier është një numër pozitiv i barabartë me vëllimin e treguar; nëse është tre a, b, c - u largua, atëherë a b c<0 и V = - a b c, prandaj V =|a b c|.

Koordinatat e vektorëve të hasur në problemat e kapitullit të parë supozohet se janë dhënë në lidhje me një bazë të drejtë ortonormale. Vektori njësi bashkëdrejtues me vektor A, treguar nga simboli A O. Simboli r=OM shënohet me vektorin e rrezes së pikës M, simbolet a, AB ose|a|, | AB|shënohen modulet e vektorëve A Dhe AB.

Shembull 1.2. Gjeni këndin midis vektorëve a= 2m+4n Dhe b= m-n, Ku m Dhe n- vektorët njësi dhe këndi ndërmjet m Dhe n e barabartë me 120 o.

Zgjidhje. Kemi: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, që do të thotë a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, që do të thotë b = . Së fundi kemi: cosφ = = -1/2, φ = 120 o.

Shembulli 1.3.Njohja e vektorëve AB(-3,-2.6) dhe B.C.(-2,4,4),llogarit gjatësinë e lartësisë AD të trekëndëshit ABC.

Zgjidhje. Duke treguar sipërfaqen e trekëndëshit ABC me S, marrim:
S = 1/2 para erës sonë. Pastaj AD=2S/BC, BC= = = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, që do të thotë vektor A.C. ka koordinata
. .

Shembull 1.4 . Janë dhënë dy vektorë a(11,10,2) dhe b(4,0,3). Gjeni vektorin njësi c, ortogonale me vektorët a Dhe b dhe drejtuar ashtu që trefishi i renditur i vektorëve a, b, c kishte te drejte.

Zgjidhje.Le të shënojmë koordinatat e vektorit c në lidhje me një bazë të caktuar ortonormale të drejtë në terma x, y, z.

Sepse c ⊥ a, c ⊥b, Kjo rreth= 0, cb= 0. Sipas kushteve të problemës kërkohet që c = 1 dhe a b c >0.

Ne kemi një sistem ekuacionesh për gjetja e x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Nga barazimet e para dhe të dyta të sistemit fitojmë z = -4/3 x, y = -5/6 x. Duke zëvendësuar y dhe z në ekuacionin e tretë, kemi: x 2 = 36/125, prej nga
x =± . Duke përdorur kushtin a b c > 0, marrim pabarazinë

Duke marrë parasysh shprehjet për z dhe y, ne rishkruajmë pabarazinë që rezulton në formën: 625/6 x > 0, që nënkupton se x>0. Pra, x =, y = -, z =-.

Hyrje

Është e sigurt të thuhet se pak njerëz mendojnë për faktin se vektorët na rrethojnë kudo dhe na ndihmojnë në jetën e përditshme. Merrni parasysh situatën: një djalë bëri një takim me një vajzë dyqind metra larg shtëpisë së tij. A do ta gjejnë njëri-tjetrin? Sigurisht që jo, pasi i riu harroi të tregonte gjënë kryesore: drejtimin, domethënë, në terma shkencorë, një vektor. Më tej, në procesin e punës për këtë projekt, do të jap shumë të tjera e jo më pak shembuj interesantë vektorët.

Në përgjithësi, besoj se matematika është shkenca më interesante, në njohjen e të cilave nuk ka kufij. Unë zgjodha temën e vektorëve jo rastësisht, më interesoi shumë fakti që koncepti i "vektorit" shkon shumë përtej fushëveprimit të një shkence, përkatësisht matematikës, dhe na rrethon pothuajse kudo. Kështu, çdo person duhet të dijë se çfarë është një vektor, prandaj, mendoj se kjo temë është shumë e rëndësishme. Në psikologji, biologji, ekonomi dhe shumë shkenca të tjera përdoret koncepti "vektor". Do t'ju tregoj më shumë për këtë më vonë.

Golat të këtij projekti janë përvetësimi i aftësive për të punuar me vektorë, aftësia për të parë të pazakontën në të zakonshmen dhe zhvillimi i një qëndrimi të vëmendshëm ndaj botës që na rrethon.

Historia e vektorit të konceptit

Një nga konceptet themelore matematikë moderneështë një vektor. Evolucioni i konceptit të një vektori u krye falë përdorimit të gjerë të këtij koncepti në fusha të ndryshme matematikë, mekanikë dhe gjithashtu në teknologji.

Vektor relativisht i ri koncepti matematik. Vetë termi "vektor" u shfaq për herë të parë në 1845 nga matematikani dhe astronomi irlandez William Hamilton (1805 - 1865) në veprat e tij mbi ndërtimin e sistemeve numerike që përgjithësojnë numra komplekse. Hamilton gjithashtu shpiku termat "skalar", "produkt skalar", "produkt vektor". Pothuajse njëkohësisht me të, matematikani gjerman Hermann Grassmann (1809 – 1877) kreu kërkime në të njëjtin drejtim, por nga një këndvështrim tjetër. Anglezi William Clifford (1845 – 1879) arriti të kombinojë dy qasje brenda kornizës teori e përgjithshme, i cili përfshin gjithashtu llogaritjen e zakonshme vektoriale. Dhe ajo mori formën e saj përfundimtare në veprat e fizikanit dhe matematikanit amerikan Josiah Willard Gibbs (1839 - 1903), i cili në 1901 botoi një libër të gjerë shkollor mbi analizën vektoriale.

Fundi i kaluar dhe fillimi i shekullit aktual u shënuan nga zhvillimi i gjerë i llogaritjes vektoriale dhe aplikimet e tij. U krijuan algjebra vektoriale dhe analiza vektoriale, dhe teoria e përgjithshme e hapësirës vektoriale. Këto teori u përdorën në ndërtimin e teorive speciale dhe të përgjithshme të relativitetit, të cilat luajnë ekskluzivisht rol të rëndësishëm V fizika moderne.

Koncepti i një vektori lind aty ku duhet të merremi me objekte që karakterizohen nga madhësia dhe drejtimi. Për shembull, disa sasive fizike, si forca, shpejtësia, nxitimi etj., karakterizohen jo vetëm vlerë numerike, por edhe drejtim. Në këtë drejtim, është e përshtatshme të përfaqësohen sasitë fizike të treguara nga segmentet e drejtuara. Sipas kërkesave program i ri në matematikë dhe fizikë, koncepti i një vektori është bërë një nga konceptet kryesore kursi shkollor matematikë.

Vektorët në matematikë

Një vektor është një segment i drejtuar që ka një fillim dhe një fund.

Një vektor me një fillim në pikën A dhe një fund në pikën B zakonisht shënohet si AB. Vektorët gjithashtu mund të shënohen me shkronja të vogla latine me një shigjetë (nganjëherë një vizë) sipër tyre, për shembull.

Një vektor në gjeometri krahasohet natyrshëm me një përkthim (përkthim paralel), i cili padyshim qartëson origjinën e emrit të tij (vektor latin, bartës). Në të vërtetë, çdo segment i drejtuar përcakton në mënyrë unike disa transferim paralel plani ose hapësira: le të themi, vektori AB përcakton natyrshëm transferimin, në të cilën pikë A do të shkojë në pikën B, dhe gjithashtu anasjelltas, transferimi paralel, në të cilin A shkon në B, përcakton segmentin e vetëm të drejtuar AB.

Gjatësia e vektorit AB është gjatësia e segmentit AB, zakonisht shënohet AB. Roli i zeros midis vektorëve luhet nga vektor zero, fillimi dhe fundi i të cilit përkojnë; atij, ndryshe nga vektorët e tjerë, nuk i caktohet asnjë drejtim.

Dy vektorë quhen kolinearë nëse shtrihen në drejtëza paralele ose në të njëjtën drejtëz. Dy vektorë quhen bashkëdrejtues nëse janë kolinear dhe të drejtuar në të njëjtin drejtim, me drejtim të kundërt nëse janë kolinear dhe të drejtuar në të njëjtin drejtim. anët e ndryshme.

Veprimet në vektorë

Moduli vektorial

Moduli i vektorit AB është numri i barabartë me gjatësinë e segmentit AB. Përcaktuar si AB. Përmes koordinatave llogaritet si:

Shtimi i vektorit

NË përfaqësim koordinativ vektori i shumës fitohet duke mbledhur koordinatat përkatëse të termave:

)(\style display (\vec (a))+(\vec (b))=(a_(x)+b_(x),a_(y)+b_(y),a_(z)+b_(z) ))

Për të ndërtuar gjeometrikisht vektorin e shumës (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))+(\vec (b)))c = përdor rregulla të ndryshme(metodat), megjithatë të gjitha japin të njëjtin rezultat. Përdorimi i një ose një rregulli tjetër justifikohet nga problemi që zgjidhet.

Rregulli i trekëndëshit

Rregulli i trekëndëshit rrjedh më natyrshëm nga kuptimi i një vektori si një transferim. Është e qartë se rezultati i aplikimit në mënyrë sekuenciale të dy transferimeve (\displaystyle (\vec (a)) dhe (\displaystyle (\vec (b))) të një pike do të jetë i njëjtë me aplikimin e një transferimi menjëherë (\displaystyle ( \vec (a) ))+(\vec (b))), që korrespondon me këtë rregull. Për të shtuar dy vektorë (\displaystyle (\vec (a))) dhe (\displaystyle (\vec (b))) sipas rregullit të trekëndëshit, të dy këta vektorë transferohen paralel me vete në mënyrë që fillimi i njërit prej tyre përkon me fundin e tjetrit. Pastaj vektori i shumës jepet nga ana e tretë e trekëndëshit që rezulton, dhe fillimi i tij përkon me fillimin e vektorit të parë dhe fundi i tij me fundin e vektorit të dytë.

Ky rregull mund të përgjithësohet drejtpërdrejt dhe natyrshëm në shtimin e çdo numri vektorësh, duke u shndërruar në rregulli i vijës së thyer:

Rregulli i shumëkëndëshit

Fillimi i vektorit të dytë përkon me fundin e të parit, fillimi i të tretit me fundin e të Dytit dhe kështu me radhë, shuma (\displaystyle n) e vektorëve është një vektor, me fillimin që përkon me fillimin. e së parës, dhe fundi që përkon me fundin (\displaystyle n) të (d.m.th., ai përshkruhet si një segment i drejtuar që mbyll polivijën). Quhet gjithashtu rregulli i vijës së thyer.

Rregulli i paralelogramit

Për të shtuar dy vektorë (\displaystyle (\vec (a))) dhe (\displaystyle (\vec (b))) sipas rregullit të paralelogramit, të dy këta vektorë transferohen paralel me vete në mënyrë që origjina e tyre të përkojë. Më pas vektori i shumës jepet nga diagonalja e paralelogramit të ndërtuar mbi to, duke u nisur nga origjina e tyre e përbashkët.

Rregulli i paralelogramit është veçanërisht i përshtatshëm kur ekziston nevoja për të përshkruar vektorin e shumës siç zbatohet menjëherë në të njëjtën pikë në të cilën zbatohen të dy termat - domethënë, të përshkruhen të tre vektorët sikur kanë fillimi i përgjithshëm.

Zbritja vektoriale

Për të marrë ndryshimin në formën e koordinatave, duhet të zbrisni koordinatat përkatëse të vektorëve:

‚ (\displaystyle (\vec (a))-(\vec (b))=(a_(x)-b_(x),a_(y)-b_(y),a_(z)-b_(z) ))

Për të marrë vektorin e diferencës (\displaystyle (\vec (c))=(\vec (a))-(\vec (b))), fillimet e vektorëve janë të lidhur dhe fillimi i vektorit (\displaystyle ( \vec (c))) do të jetë fundi (\displaystyle (\vec (b))), dhe fundi është fundi (\displaystyle (\vec (a))). Nëse e shkruajmë duke përdorur pika vektoriale, atëherë AC-AB=BC(\displaystyle (\overrightarrow (AC))-(\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (BC))).

Shumëzimi i një vektori me një numër

Shumëzimi i vektorit (\displaystyle (\vec (a))) me numrin (\displaystyle \alpha 0) jep një vektor kodrejtues me një gjatësi (\displaystyle \alpha) herë më të madhe. Shumëzimi i një vektori (\displaystyle (\vec (a))) me një numër (\displaystyle \alpha, jep një vektor të drejtuar në të kundërt me një gjatësi prej (\displaystyle \alpha) herë më të madhe. Shumëzimi i një vektori me një numër në formë koordinative bëhet duke shumëzuar të gjitha koordinatat me këtë numër:

(\displaystyle \alfa (\vec (a))=(\alfa a_(x),\alfa a_(y),\alfa a_(z)))

Prodhimi pikash i vektorëveSkalare

Produkti skalar është numri që fitohet duke shumëzuar një vektor me një vektor. Gjetur nga formula:

Produkti skalar mund të gjendet gjithashtu përmes gjatësisë së vektorëve dhe këndit ndërmjet tyre. Zbatimi i vektorëve në shkencat e lidhura Vektorët në fizikë Vektorët - mjet i fuqishëm matematikë dhe fizikë. Ligjet bazë të mekanikës dhe elektrodinamikës janë formuluar në gjuhën e vektorëve. Për të kuptuar fizikën, duhet të mësoni se si të punoni me vektorë. Në fizikë, si në matematikë, një vektor është një sasi që karakterizohet nga vlera dhe drejtimi i saj numerike. Në fizikë, ka shumë sasi të rëndësishme që janë vektorë, për shembull, forca, pozicioni, shpejtësia, nxitimi, çift rrotullimi, momenti, forca e fushës elektrike dhe magnetike. Vektorët në letërsi Le të kujtojmë përrallën e Ivan Andreevich Krylov se si "një mjellmë, një karavidhe dhe një pike morën një ngarkesë bagazhesh". Fabula thotë se "karroca është ende atje", me fjalë të tjera, se rezultati i të gjitha forcave të aplikuara në karrocë është zero. Dhe forca, siç e dimë, sasia vektoriale. Vektorët në kimi

Shpesh edhe shkencëtarë të mëdhenj shprehnin idenë se reaksion kimikështë një vektor. Në fakt, çdo fenomen mund të nënkuptohet nën konceptin "vektor". Një vektor shpreh një veprim ose fenomen që ka një drejtim të qartë në hapësirë ​​dhe në kushte specifike, të reflektuar nga madhësia e tij. Drejtimi i një vektori në hapësirë ​​përcaktohet nga këndet e formuara midis vektorit dhe boshteve të koordinatave, dhe gjatësia (madhësia) e vektorit përcaktohet nga koordinatat e fillimit dhe fundit të tij.

Megjithatë, pretendimi se një reaksion kimik është një vektor ka qenë deri më tani i pasaktë. Megjithatë, baza e kësaj deklarate është rregulli tjetër: "Çdo reaksion kimik korrespondon me një ekuacion simetrik të një vije të drejtë në hapësirë ​​me koordinatat aktuale në formën e sasive të substancave (moleve), masave ose vëllimeve."

Të gjitha reaksionet kimike të drejtpërdrejta kalojnë përmes origjinës. Nuk është e vështirë të shprehësh ndonjë vijë të drejtë në hapësirë ​​me vektorë, por duke qenë se vija e drejtë e një reaksioni kimik kalon përmes origjinës së sistemit të koordinatave, mund të supozojmë se vektori i reaksionit të drejtpërdrejtë kimik ndodhet në vetë vijën e drejtë. dhe quhet vektor i rrezes. Origjina e këtij vektori përkon me origjinën e sistemit të koordinatave. Kështu, mund të konkludojmë: çdo reaksion kimik karakterizohet nga pozicioni i vektorit të tij në hapësirë. Vektorët në biologji

Vektor (në gjenetikë) - një molekulë e acidit nukleik, më së shpeshti ADN, e përdorur në inxhinieri gjenetike për transferim materiali gjenetik një qelizë tjetër.

Vektorët në ekonomi

Një nga seksionet matematikë e lartëështë algjebër lineare. Elementet e tij përdoren gjerësisht në zgjidhjen e problemeve të ndryshme ekonomike. Midis tyre, koncepti i vektorit zë një vend të rëndësishëm.

Një vektor është një sekuencë e renditur numrash. Numrat në një vektor, duke marrë parasysh renditjen e tyre sipas numrit në sekuencë, quhen përbërës vektorial. Vini re se vektorët mund të konsiderohen si elementë të çdo natyre, përfshirë ato ekonomike. Supozoni se një fabrikë e caktuar tekstili duhet të prodhojë 30 komplete çarçafësh, 150 peshqirë, 100 rroba banjo në një turn, atëherë programi i prodhimit të kësaj fabrike mund të përfaqësohet si një vektor, ku gjithçka që fabrika duhet të prodhojë është një vektor tredimensional. .

Vektorët në psikologji

Sot ka sasi e madhe burimet e informacionit për vetënjohjen, fushat e psikologjisë dhe vetë-zhvillimit. Dhe nuk është e vështirë të vërehet se një drejtim kaq i pazakontë si psikologji sistem-vektor, ka 8 vektorë në të.

Vektorët në jetën e përditshme

Vura re se vektorët, përveç shkencave ekzakte, më hasin çdo ditë. Kështu, për shembull, duke ecur në park, vura re se një pemë bredh, rezulton, mund të konsiderohet një shembull i një vektori në hapësirë: pjesa e poshtme e saj është fillimi i vektorit, dhe maja e pemës është fundi i vektorit. Dhe tabelat me imazhe vektoriale kur vizitojmë dyqane të mëdha na ndihmojnë të gjejmë shpejt një departament të veçantë dhe të kursejmë kohë.

Vektorët në shenjat e komunikacionit

Çdo ditë, duke u larguar nga shtëpia, ne bëhemi pjesëmarrës në trafik, qoftë si këmbësorë qoftë si shofer. Në ditët e sotme, pothuajse çdo familje ka një makinë, e cila, natyrisht, nuk mund të mos ndikojë në sigurinë e të gjithë përdoruesve të rrugës. Dhe për të shmangur incidentet në rrugë, duhet të respektoni të gjitha rregullat e qarkullimit. Por nuk duhet të harrojmë se në jetë gjithçka është e ndërlidhur dhe, edhe në shenjat më të thjeshta urdhëruese të trafikut, shohim shigjeta drejtimi, të quajtura vektorë në matematikë. Këto shigjeta (vektorë) na tregojnë drejtimet e lëvizjes, drejtimet e lëvizjes, drejtimet e devijimit dhe shumë më tepër. I gjithë ky informacion mund të lexohet në shenjat e komunikacionit në anë të rrugëve.

konkluzioni

Koncepti themelor i "vektorit", të cilin e diskutuam përsëri në mësimet e matematikës në shkollë, është baza për studimin në seksione kimia e përgjithshme, biologjisë së përgjithshme, fizikë dhe shkenca të tjera. Vëzhgoj nevojën për vektorë në jetë, të cilët ndihmojnë për të gjetur objektin e dëshiruar, kursejnë kohë, ata kryejnë një funksion urdhërues në sinjalistikën rrugore.

konkluzione

Çdo person vazhdimisht ndeshet me vektorë në jetën e përditshme.

Ne kemi nevojë për vektorë për të studiuar jo vetëm matematikën, por edhe shkencat e tjera.

Të gjithë duhet të dinë se çfarë është një vektor.

Burimet

Bashmakov M.A. Çfarë është një vektor - 2nd ed., ster - M.: Kvant, 1976.-221f.

Vygodsky M.Ya. Manual i Matematikës Fillore.-Botimi i 3-të, i fshirë. - M.: Nauka, 1978.-186 f.

Gusyatnikov P.B. Algjebër vektoriale në shembuj dhe probleme - botimi i 2-të, ster. shkollë e diplomuar, 1985.-302 f.

Zaitsev V.V. Matematika elementare. Kursi i përsëritur - botimi i 3-të, ster - M.: Nauka, 1976. - 156 f.

Coxeter G.S. Takime të reja me gjeometrinë.-Botimi i dytë, i fshirë. - M.: Nauka, 1978.-324 f.

Pogorelov A.V. Gjeometria analitike - botimi i 3-të, i fshirë. - M.: Kvant, 1968.-235 f.

Niveli i hyrjes

Koordinatat dhe vektorët. Udhëzues gjithëpërfshirës (2019)

Në këtë artikull, ne do të fillojmë të diskutojmë një "shkop magjik" që do t'ju lejojë të reduktoni shumë probleme gjeometrike në aritmetikë të thjeshtë. Ky “shkop” mund ta bëjë jetën tuaj shumë më të lehtë, veçanërisht kur nuk jeni të sigurt për ndërtimin e figurave hapësinore, seksioneve, etj. E gjithë kjo kërkon një imagjinatë të caktuar dhe aftësi praktike. Metoda që do të fillojmë të shqyrtojmë këtu do t'ju lejojë të abstraktoni pothuajse plotësisht nga çdo lloj ndërtime gjeometrike dhe arsyetimi. Metoda quhet "metoda e koordinimit". Në këtë artikull do të shqyrtojmë pyetjet e mëposhtme:

1. Aeroplani koordinativ
2. Pikat dhe vektorët në rrafsh
3. Ndërtimi i një vektori nga dy pika
4. Gjatësia e vektorit (distanca midis dy pikave).
5. Koordinatat e mesit të segmentit
6. Prodhimi pikash i vektorëve
7. Këndi ndërmjet dy vektorëve

Unë mendoj se ju tashmë e keni marrë me mend pse metoda e koordinatave quhet kështu? Është e drejtë, e ka marrë këtë emër sepse nuk vepron me objekte gjeometrike, por me ato karakteristikat numerike(koordinatat). Dhe vetë transformimi, i cili na lejon të kalojmë nga gjeometria në algjebër, konsiston në futjen e një sistemi koordinativ. Nëse figura fillestare ishte e sheshtë, atëherë koordinatat janë dy-dimensionale, dhe nëse figura është tre-dimensionale, atëherë koordinatat janë tre-dimensionale. Në këtë artikull do të shqyrtojmë vetëm rastin dydimensional. Dhe qëllimi kryesor i artikullit është t'ju mësojë se si të përdorni disa teknikat bazë metoda e koordinatave (ato ndonjëherë rezultojnë të dobishme kur zgjidhin probleme në planimetrinë në Pjesën B të Provimit të Unifikuar të Shtetit). Dy seksionet e ardhshme mbi këtë temë i kushtohen një diskutimi të metodave për zgjidhjen e problemeve C2 (problemi i stereometrisë).

Ku do të ishte logjike të fillonim diskutimin e metodës së koordinatave? Ndoshta nga koncepti i një sistemi koordinativ. Mbani mend kur e keni takuar për herë të parë. Më duket se në klasën e 7-të, kur mësove për ekzistencën funksion linear, Për shembull. Më lejoni t'ju kujtoj se e keni ndërtuar pikë për pikë. A ju kujtohet? Ju zgjodhët një numër arbitrar, e zëvendësuat në formulë dhe e llogaritët në atë mënyrë. Për shembull, nëse, atëherë, nëse, atëherë, etj. Çfarë morët në fund? Dhe keni marrë pikë me koordinata: dhe. Më pas, vizatoni një "kryq" (sistemi i koordinatave), zgjodhët një shkallë mbi të (sa qeliza do të keni si segment njësi) dhe shënuat në të pikat që keni marrë, të cilat më pas i lidhët me një vijë të drejtë; vija është grafiku i funksionit.

Këtu janë disa pika që duhen shpjeguar pak më në detaje:

1. Segmenti i njësisë ju zgjidhni për arsye komoditeti, në mënyrë që gjithçka të përshtatet bukur dhe kompakt në vizatim

2. Pranohet që boshti shkon nga e majta në të djathtë, dhe boshti shkon nga poshtë lart.

3. Ata kryqëzohen në kënde të drejta dhe pika e prerjes së tyre quhet origjinë. Tregohet me një letër.

4. Në shkrimin e koordinatave të një pike, për shembull, në të majtë në kllapa është koordinata e pikës përgjatë boshtit, dhe në të djathtë, përgjatë boshtit. Në veçanti, kjo thjesht do të thotë se në pikën

5. Për të vendosur ndonjë pikë në boshti koordinativ, duhet të tregoni koordinatat e tij (2 numra)

6. Për çdo pikë të shtrirë në bosht,

7. Për çdo pikë të shtrirë në bosht,

8. Boshti quhet bosht x

9. Boshti quhet bosht y

Tani le të bëjmë hapin tjetër: shënoni dy pika. Le t'i lidhim këto dy pika me një segment. Dhe ne do të vendosim shigjetën sikur të vizatojmë një segment nga pika në pikë: domethënë, ne do ta bëjmë segmentin tonë të drejtuar!

Mbani mend si quhet një segment tjetër i drejtimit? Është e drejtë, quhet vektor!

Pra, nëse lidhim pikë me pikë, dhe fillimi do të jetë pika A, dhe fundi do të jetë pika B, atëherë marrim një vektor. Këtë ndërtim e keni bërë edhe në klasën e 8-të, ju kujtohet?

Rezulton se vektorët, si pikat, mund të shënohen me dy numra: këta numra quhen koordinata vektoriale. Pyetje: A mendoni se mjafton që ne të dimë koordinatat e fillimit dhe të fundit të një vektori për të gjetur koordinatat e tij? Rezulton se po! Dhe kjo bëhet shumë thjesht:

Kështu, duke qenë se në një vektor pika është fillimi dhe pika është fundi, vektori ka koordinatat e mëposhtme:

Për shembull, nëse, atëherë koordinatat e vektorit

Tani le të bëjmë të kundërtën, të gjejmë koordinatat e vektorit. Çfarë duhet të ndryshojmë për këtë? Po, ju duhet të ndërroni fillimin dhe fundin: tani fillimi i vektorit do të jetë në pikë, dhe fundi do të jetë në pikë. Pastaj:

Shikoni me kujdes, cili është ndryshimi midis vektorëve dhe? Dallimi i tyre i vetëm janë shenjat në koordinata. Ato janë të kundërta. Ky fakt zakonisht shkruhet kështu:

Ndonjëherë, nëse nuk përcaktohet në mënyrë specifike se cila pikë është fillimi i vektorit dhe cila është fundi, atëherë vektorët nuk shënohen me dy shkronja të mëdha, por me një shkronjë të vogël, për shembull: , etj.

Tani pak praktikë veten dhe gjeni koordinatat e vektorëve të mëposhtëm:

Ekzaminimi:

Tani zgjidhni një problem pak më të vështirë:

Një vektor me fillim në një pikë ka një bashkë-or-di-na-you. Gjeni pikat abs-cis-su.

E njëjta gjë është mjaft prozaike: Le të jenë koordinatat e pikës. Pastaj

E përpilova sistemin bazuar në përcaktimin se çfarë janë koordinatat vektoriale. Atëherë pika ka koordinata. Ne jemi të interesuar për abscissa. Pastaj

Përgjigje:

Çfarë tjetër mund të bëni me vektorët? Po, pothuajse gjithçka është njësoj si me numrat e zakonshëm(përveç që nuk mund të ndani, por mund të shumëzoni në dy mënyra, njërën prej të cilave do ta diskutojmë këtu pak më vonë)

1. Vektorët mund t'i shtohen njëri-tjetrit
2. Vektorët mund të zbriten nga njëri-tjetri
3. Vektorët mund të shumëzohen (ose pjesëtohen) me një numër arbitrar jo zero
4. Vektorët mund të shumëzohen me njëri-tjetrin

Të gjitha këto operacione kanë një shumë të qartë paraqitje gjeometrike. Për shembull, rregulli i trekëndëshit (ose paralelogramit) për mbledhjen dhe zbritjen:

Një vektor shtrihet ose tkurret ose ndryshon drejtimin kur shumëzohet ose pjesëtohet me një numër:

Sidoqoftë, këtu do të na interesojë pyetja se çfarë ndodh me koordinatat.

1. Kur mbledhim (zbresim) dy vektorë, i shtojmë (zbresim) koordinatat e tyre element për element. Kjo është:

2. Gjatë shumëzimit (pjestimit) të një vektori me një numër, të gjitha koordinatat e tij shumëzohen (pjestohen) me këtë numër:

Për shembull:

· Gjeni sasinë e co-or-di-nat shekull-në-ra.

Le të gjejmë fillimisht koordinatat e secilit prej vektorëve. Ata të dy kanë të njëjtën origjinë - pikën e origjinës. Fundet e tyre janë të ndryshme. Pastaj,. Tani le të llogarisim koordinatat e vektorit, atëherë shuma e koordinatave të vektorit që rezulton është e barabartë.

Përgjigje:

Tani zgjidhni vetë problemin e mëposhtëm:

· Gjeni shumën e koordinatave vektoriale

Ne kontrollojmë:

Le të shqyrtojmë tani problemin e mëposhtëm: kemi dy pika rrafshi koordinativ. Si të gjeni distancën midis tyre? Le të jetë pika e parë, dhe e dyta. Le të shënojmë distancën midis tyre me. Le të bëjmë vizatimin e mëposhtëm për qartësi:

Çfarë kam bërë? Së pari, lidha pikat dhe, gjithashtu, nga pika që vizatova një vijë paralele me boshtin dhe nga pika që vizatova një vijë paralele me boshtin. A u kryqëzuan në një pikë, duke formuar një figurë të jashtëzakonshme? Çfarë ka kaq të veçantë ajo? Po, ju dhe unë dimë pothuajse gjithçka trekëndësh kënddrejtë. Epo, me siguri teorema e Pitagorës. Segmenti i kërkuar është hipotenuza e këtij trekëndëshi, dhe segmentet janë këmbët. Cilat janë koordinatat e pikës? Po, ato janë të lehta për t'u gjetur nga fotografia: Meqenëse segmentet janë paralele me boshtet dhe, përkatësisht, gjatësitë e tyre janë të lehta për t'u gjetur: nëse shënojmë gjatësitë e segmenteve me, përkatësisht, atëherë

Tani le të përdorim teoremën e Pitagorës. Ne e dimë gjatësinë e këmbëve, do të gjejmë hipotenuzën:

Kështu, distanca midis dy pikave është rrënja e shumës së diferencave në katror nga koordinatat. Ose - distanca midis dy pikave është gjatësia e segmentit që i lidh ato.

Është e lehtë të shihet se distanca midis pikave nuk varet nga drejtimi. Pastaj:

Nga këtu nxjerrim tre përfundime:

Le të praktikojmë pak për llogaritjen e distancës midis dy pikave:

Për shembull, nëse, atëherë distanca ndërmjet dhe është e barabartë me

Ose le të shkojmë në një mënyrë tjetër: gjeni koordinatat e vektorit

Dhe gjeni gjatësinë e vektorit:

Siç mund ta shihni, është e njëjta gjë!

Tani praktikoni pak vetë:

Detyrë: gjeni distancën midis pikave të treguara:

Ne kontrollojmë:

Këtu janë disa probleme të tjera duke përdorur të njëjtën formulë, megjithëse tingëllojnë pak më ndryshe:

1. Gjeni katrorin e gjatësisë së qepallës.

2. Gjeni katrorin e gjatësisë së qepallës

1. Dhe kjo është për vëmendje) Më herët i kemi gjetur koordinatat e vektorëve: . Atëherë vektori ka koordinata. Katrori i gjatësisë së tij do të jetë i barabartë me:

2. Gjeni koordinatat e vektorit

Atëherë katrori i gjatësisë së tij është

Asgjë e komplikuar, apo jo? Aritmetikë e thjeshtë, asgjë më shumë.

Problemet e mëposhtme nuk mund të klasifikohen në mënyrë të qartë; erudicioni i përgjithshëm dhe aftësia për të vizatuar fotografi të thjeshta.

1. Gjeni sinusin e këndit nga prerja, që lidh pikën, me boshtin e abshisës.

Dhe

Si do të vazhdojmë këtu? Duhet të gjejmë sinusin e këndit ndërmjet dhe boshtit. Ku mund ta kërkojmë sinusin? Ashtu është, në një trekëndësh kënddrejtë. Pra, çfarë duhet të bëjmë? Ndërtoni këtë trekëndësh!

Meqenëse koordinatat e pikës janë dhe, atëherë segmenti është i barabartë me, dhe segmenti. Duhet të gjejmë sinusin e këndit. Më lejoni t'ju kujtoj se sinusi është një raport anën e kundërt në hipotenuzë, atëherë

Çfarë na mbetet të bëjmë? Gjeni hipotenuzën. Ju mund ta bëni këtë në dy mënyra: duke përdorur teoremën e Pitagorës (këmbët dihen!) ose duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave (në fakt, e njëjta gjë si metoda e parë!). Unë do të shkoj në rrugën e dytë:

Përgjigje:

Detyra tjetër do t'ju duket edhe më e lehtë. Ajo është në koordinatat e pikës.

Detyra 2. Nga pika per-pen-di-ku-lyar ulet në boshtin ab-ciss. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Le të bëjmë një vizatim:

Baza e një pingule është pika në të cilën ajo pret boshtin x (boshtin), për mua kjo është një pikë. Figura tregon se ka koordinata: . Ne jemi të interesuar për abscissa - domethënë komponentin "x". Ajo është e barabartë.

Përgjigje: .

Detyra 3. Në kushtet e problemit të mëparshëm, gjeni shumën e distancave nga pika në boshtet koordinative.

Detyra është përgjithësisht elementare nëse e dini se sa është distanca nga një pikë në boshtet. E dini? Shpresoj, por gjithsesi ju kujtoj:

Pra, në vizatimin tim sipër, a kam vizatuar tashmë një pingul të tillë? Në cilin aks është? Tek boshti. Dhe sa është gjatësia e tij atëherë? Ajo është e barabartë. Tani vizatoni vetë një pingul me boshtin dhe gjeni gjatësinë e tij. Do të jetë e barabartë, apo jo? Atëherë shuma e tyre është e barabartë.

Përgjigje: .

Detyra 4. Në kushtet e detyrës 2, gjeni ordinatën e një pike simetrike me pikën në lidhje me boshtin e abshisave.

Mendoj se është intuitivisht e qartë për ju se çfarë është simetria? Shumë objekte e kanë atë: shumë ndërtesa, tavolina, aeroplanë, shumë forma gjeometrike: top, cilindër, katror, ​​romb, etj. Përafërsisht, simetria mund të kuptohet si më poshtë: një figurë përbëhet nga dy (ose më shumë) gjysma identike. Kjo simetri quhet simetri boshtore. Çfarë është atëherë një bosht? Kjo është pikërisht linja përgjatë së cilës figura mund të "prehet" në gjysma të barabarta (në këtë foto boshti i simetrisë është i drejtë):

Tani le të kthehemi në detyrën tonë. Ne e dimë se ne jemi duke kërkuar për një pikë që është simetrike në lidhje me boshtin. Atëherë ky bosht është boshti i simetrisë. Kjo do të thotë që ne duhet të shënojmë një pikë të tillë që boshti të presë segmentin në dy pjesë të barabarta. Mundohuni ta shënoni vetë një pikë të tillë. Tani krahasojeni me zgjidhjen time:

A funksionoi në të njëjtën mënyrë për ju? Mirë! Na intereson ordinata e pikës së gjetur. Është e barabartë

Përgjigje:

Tani më thuaj, pasi mendova për disa sekonda, sa do të jetë abshisa e një pike simetrike me pikën A në lidhje me ordinatën? Cila është përgjigjja juaj? Përgjigja e saktë:.

NË rast i përgjithshëm rregulli mund të shkruhet kështu:

Një pikë simetrike me një pikë në lidhje me boshtin e abshisës ka koordinatat:

Një pikë simetrike me një pikë në lidhje me boshtin e ordinatave ka koordinata:

Epo, tani është krejtësisht e frikshme detyrë: gjeni koordinatat e një pike simetrike me pikën në lidhje me origjinën. Ju fillimisht mendoni për veten tuaj, dhe më pas shikoni vizatimin tim!

Përgjigje:

Tani problema e paralelogramit:

Detyra 5: Pikat shfaqen ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Gjeni ose-di-në-atë pikë.

Ju mund ta zgjidhni këtë problem në dy mënyra: logjika dhe metoda e koordinatave. Së pari do të përdor metodën e koordinatave dhe më pas do t'ju tregoj se si mund ta zgjidhni atë ndryshe.

Është mjaft e qartë se abshisa e pikës është e barabartë. (shtrihet në pingulën e tërhequr nga pika në boshtin e abshisës). Duhet të gjejmë ordinatorin. Le të përfitojmë nga fakti që figura jonë është një paralelogram, kjo do të thotë se. Le të gjejmë gjatësinë e segmentit duke përdorur formulën për distancën midis dy pikave:

Ne ulim pingulën që lidh pikën me boshtin. Unë do të shënoj pikën e kryqëzimit me një shkronjë.

Gjatësia e segmentit është e barabartë. (gjene problemin vetë ku diskutuam këtë pikë), atëherë do të gjejmë gjatësinë e segmentit duke përdorur teoremën e Pitagorës:

Gjatësia e një segmenti përkon saktësisht me ordinatat e tij.

Përgjigje: .

Një zgjidhje tjetër (do të jap vetëm një foto që e ilustron atë)

Përparimi i zgjidhjes:

1. Sjellja

2. Gjeni koordinatat e pikës dhe gjatësisë

3. Vërtetoni se.

Edhe një problemi i gjatësisë së segmentit:

Pikat shfaqen në krye të trekëndëshit. Gjeni gjatësinë e vijës së mesit të saj, paralele.

A ju kujtohet se çfarë është vija e mesme trekëndësh? Atëherë kjo detyrë është elementare për ju. Nëse nuk e mbani mend, do t'ju kujtoj: vija e mesme e një trekëndëshi është vija që lidh mesin e anëve të kundërta. Është paralel me bazën dhe e barabartë me gjysmën e saj.

Baza është një segment. Duhet të kërkonim më herët gjatësinë e saj, është e barabartë. Atëherë gjatësia e vijës së mesme është gjysma e madhe dhe e barabartë.

Përgjigje: .

Koment: ky problem mund të zgjidhet në një mënyrë tjetër, të cilës do t'i drejtohemi pak më vonë.

Ndërkohë, këtu janë disa probleme për ju, praktikoni në to, ato janë shumë të thjeshta, por ju ndihmojnë të përmirësoheni në përdorimin e metodës së koordinatave!

1. Pikat janë në krye të tra-pe-tioneve. Gjeni gjatësinë e vijës së mesit të saj.

2. Pikat dhe paraqitjet ver-shi-na-mi pa-ral-le-lo-gram-ma. Gjeni ose-di-në-atë pikë.

3. Gjeni gjatësinë nga prerja, duke lidhur pikën dhe

4. Gjeni zonën prapa figurës me ngjyrë në planin bashkërendues.

5. Një rreth me qendër në na-cha-le ko-or-di-nat kalon nëpër pikë. Gjeni atë ra-di-ne.

6. Gjeni-di-te ra-di-ne rrethit, përshkruani-san-noy për kënd-drejt-jo-ka, majat e diçkaje kanë një bashkë-or -di-na-je kaq-përgjegjës.

Zgjidhjet:

1. Dihet se vija e mesme e një trapezi është e barabartë me gjysmën e shumës së bazave të tij. Baza është e barabartë, dhe baza. Pastaj

Përgjigje:

2. Mënyra më e lehtë për të zgjidhur këtë problem është të vërehet se (rregulli paralelogram). Llogaritja e koordinatave të vektorëve nuk është e vështirë: . Kur shtohen vektorë, shtohen koordinatat. Pastaj ka koordinata. Këto koordinata i ka edhe pika, pasi origjina e vektorit është pika me koordinatat. Na intereson ordinata. Ajo është e barabartë.

Përgjigje:

3. Ne veprojmë menjëherë sipas formulës për distancën midis dy pikave:

Përgjigje:

4. Shikoni foton dhe më tregoni se në cilat dy figura është “sandwiched” zona me hije? Ai është i vendosur midis dy katrorëve. Atëherë sipërfaqja e figurës së dëshiruar është e barabartë me sipërfaqen e sheshit të madh minus sipërfaqen e atij të vogël. Anësore katror i vogëlështë një segment që lidh pikat dhe gjatësia e tij është

Atëherë sipërfaqja e sheshit të vogël është

Ne bëjmë të njëjtën gjë me një katror të madh: ana e tij është një segment që lidh pikat dhe gjatësia e tij është

Atëherë sipërfaqja e sheshit të madh është

Ne gjejmë zonën e figurës së dëshiruar duke përdorur formulën:

Përgjigje:

5. Nëse një rreth ka origjinën si qendër dhe kalon nëpër një pikë, atëherë rrezja e tij do të jetë saktësisht e barabartë me gjatësinë e segmentit (bëni një vizatim dhe do të kuptoni pse kjo është e qartë). Le të gjejmë gjatësinë e këtij segmenti:

Përgjigje:

6. Dihet se rrezja e një rrethi të rrethuar rreth një drejtkëndëshi e barabartë me gjysmën diagonalet e saj. Le të gjejmë gjatësinë e cilësdo prej dy diagonaleve (në fund të fundit, në një drejtkëndësh ato janë të barabarta!)

Përgjigje:

Epo, a keni përballuar gjithçka? Nuk ishte shumë e vështirë për ta kuptuar, apo jo? Ekziston vetëm një rregull këtu - të jeni në gjendje të bëni një pamje vizuale dhe thjesht të "lexoni" të gjitha të dhënat prej saj.

Na ka mbetur shumë pak. Ka fjalë për fjalë edhe dy pika të tjera që unë do të doja të diskutoja.

Le të përpiqemi të zgjidhim këtë problem të thjeshtë. Lërini dy pikë dhe jepen. Gjeni koordinatat e mesit të segmentit. Zgjidhja e këtij problemi është si më poshtë: le të jetë pika mesi i dëshiruar, atëherë ajo ka koordinata:

Kjo është: koordinatat e mesit të segmentit = mesatarja aritmetike e koordinatave përkatëse të skajeve të segmentit.

Ky rregull është shumë i thjeshtë dhe zakonisht nuk shkakton vështirësi për studentët. Le të shohim në cilat probleme dhe si përdoret:

1. Find-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point dhe

2. Pikat duket se janë majat e botës. Gjej-di-te or-di-na-tu pikat per-re-se-che-niya e tij dia-go-na-ley.

3. Gjej-di-te abs-cis-su qendrën e rrethit, përshkruaj-san-noy rreth drejtkëndëshit-jo-ka, majat e diçkaje kanë bashkë-or-di-na-ju aq-përgjegjshëm-por.

Zgjidhjet:

1. Problemi i parë është thjesht një klasik. Ne vazhdojmë menjëherë me përcaktimin e mesit të segmentit. Ka koordinata. Ordinata është e barabartë.

Përgjigje:

2. Është e lehtë të shihet se ky katërkëndësh është një paralelogram (madje edhe një romb!). Këtë mund ta vërtetoni vetë duke llogaritur gjatësinë e anëve dhe duke i krahasuar ato me njëra-tjetrën. Çfarë di unë për paralelogramet? Diagonalet e saj ndahen përgjysmë nga pika e kryqëzimit! Po! Pra, cila është pika e kryqëzimit të diagonaleve? Kjo është mesi i ndonjë prej diagonaleve! Unë do të zgjedh, në veçanti, diagonalen. Atëherë pika ka koordinata Ordinata e pikës është e barabartë me.

Përgjigje:

3. Me çfarë përkon qendra e rrethit të rrethuar rreth drejtkëndëshit? Ajo përkon me pikën e kryqëzimit të diagonaleve të saj. Çfarë dini për diagonalet e një drejtkëndëshi? Ato janë të barabarta dhe pika e kryqëzimit i ndan në gjysmë. Detyra u reduktua në atë të mëparshme. Le të marrim, për shembull, diagonalen. Atëherë nëse është qendra e rrethit, atëherë është pika e mesit. Kërkoj koordinata: Abshisa është e barabartë.

Përgjigje:

Tani praktikoni pak vetë, unë thjesht do të jap përgjigjet për çdo problem në mënyrë që të mund të provoni veten.

1. Gjeni-di-te ra-di-ne rrethit, përshkruani-san-noy rreth trekëndëshit-jo-ka, majat e diçkaje kanë një bashkë-or-di -on-ju.

2. Gjeni-di-te ose-di-në-atë qendër të rrethit, përshkruani-san-noy rreth trekëndëshit-no-ka, majat e të cilit kanë koordinata

3. Çfarë lloj ra-di-u-sa duhet të ketë një rreth me qendër në një pikë në mënyrë që të prekë boshtin ab-ciss?

4. Gjeni-di-ato ose-di-në-atë pikë të ri-ndarjes së boshtit dhe prej-prerjes, lidhni-pikën dhe

Përgjigjet:

A ishte gjithçka e suksesshme? Unë me të vërtetë shpresoj kështu! Tani - shtytja e fundit. Tani jini veçanërisht të kujdesshëm. Materiali që do të shpjegoj tani lidhet drejtpërdrejt jo vetëm me probleme të thjeshta në metodën e koordinatave nga pjesa B, por gjendet gjithashtu kudo në problemin C2.

Cilin nga premtimet e mia nuk i kam mbajtur ende? Mbani mend se çfarë operacionesh mbi vektorët kam premtuar të prezantoj dhe cilët në fund kam prezantuar? Je i sigurt se nuk kam harruar asgjë? Harrove! Kam harruar të shpjegoj se çfarë do të thotë shumëzimi i vektorëve.

Ka dy mënyra për të shumëzuar një vektor me një vektor. Në varësi të metodës së zgjedhur, do të marrim objekte të natyrave të ndryshme:

Produkti kryq është bërë mjaft me zgjuarsi. Ne do të diskutojmë se si ta bëjmë atë dhe pse është e nevojshme në artikullin vijues. Dhe në këtë do të përqendrohemi në produktin skalar.

Ka dy mënyra që na lejojnë ta llogarisim atë:

Siç e keni menduar, rezultati duhet të jetë i njëjtë! Pra, le të shohim së pari metodën e parë:

Produkti me pika nëpërmjet koordinatave

Gjeni: - shënimin e pranuar përgjithësisht për produktin skalar

Formula për llogaritjen është si më poshtë:

Domethënë prodhimi skalar = shuma e prodhimeve të koordinatave vektoriale!

Shembull:

Gjej-di-te

Zgjidhja:

Le të gjejmë koordinatat e secilit prej vektorëve:

Ne llogarisim produktin skalar duke përdorur formulën:

Përgjigje:

Shihni, absolutisht asgjë e komplikuar!

Epo, tani provojeni vetë:

· Gjeni një pro-iz-ve-de-nie skalar të shekujve dhe

A ia dolët? Ndoshta keni vënë re një kapje të vogël? Le të kontrollojmë:

Koordinatat vektoriale, si në problemin e mëparshëm! Përgjigje:.

Përveç asaj koordinative, ekziston një mënyrë tjetër për të llogaritur produktin skalar, domethënë, përmes gjatësive të vektorëve dhe kosinusit të këndit midis tyre:

Tregon këndin ndërmjet vektorëve dhe.

Kjo do të thotë, produkti skalar është i barabartë me produktin e gjatësive të vektorëve dhe kosinusit të këndit ndërmjet tyre.

Pse na duhet kjo formulë e dytë, nëse kemi të parën, e cila është shumë më e thjeshtë, të paktën nuk ka kosinus në të. Dhe është e nevojshme në mënyrë që nga formula e parë dhe e dytë, ju dhe unë të nxjerrim përfundimin se si të gjejmë këndin midis vektorëve!

Le të kujtojmë pastaj formulën për gjatësinë e vektorit!

Pastaj nëse i zëvendësoj këto të dhëna në formulën e produktit skalar, marr:

Por nga ana tjetër:

Pra, çfarë morëm unë dhe ti? Tani kemi një formulë që na lejon të llogarisim këndin midis dy vektorëve! Ndonjëherë shkruhet edhe kështu për shkurtësi:

Kjo do të thotë, algoritmi për llogaritjen e këndit midis vektorëve është si më poshtë:

1. Llogaritni produktin skalar përmes koordinatave
2. Gjeni gjatësitë e vektorëve dhe shumëzojini ato
3. Pjestoni rezultatin e pikës 1 me rezultatin e pikës 2

Le të praktikojmë me shembuj:

1. Gjeni këndin midis qepallave dhe. Jepni përgjigjen në grad-du-sah.

2. Në kushtet e problemës së mëparshme, gjeni kosinusin ndërmjet vektorëve

Le të bëjmë këtë: Unë do t'ju ndihmoj të zgjidhni problemin e parë, dhe të dytin përpiquni ta bëni vetë! Dakord? Atëherë le të fillojmë!

1. Këta vektorë janë miqtë tanë të vjetër. Ne kemi llogaritur tashmë produktin e tyre skalar dhe ishte i barabartë. Koordinatat e tyre janë: , . Pastaj gjejmë gjatësinë e tyre:

Pastaj kërkojmë kosinusin midis vektorëve:

Sa është kosinusi i këndit? Ky është këndi.

Përgjigje:

Epo, tani zgjidhe vetë problemin e dytë, dhe pastaj krahaso! Unë do të jap vetëm një zgjidhje shumë të shkurtër:

2. ka koordinata, ka koordinata.

Le të jetë këndi ndërmjet vektorëve dhe, pastaj

Përgjigje:

Duhet të theksohet se problemet drejtpërdrejt në vektorët dhe metoda e koordinatave në pjesën B fletë provimi mjaft e rrallë. Megjithatë, shumica dërrmuese e problemeve C2 mund të zgjidhen lehtësisht duke futur një sistem koordinativ. Kështu që mund ta konsideroni këtë artikull si themelin mbi bazën e të cilit do të bëjmë ndërtime mjaft të zgjuara që do të na duhet t'i zgjidhim detyra komplekse.

KOORDINATA DHE VEKTORËT. NIVELI MESATAR

Ju dhe unë vazhdojmë të studiojmë metodën e koordinatave. Në pjesën e fundit kemi nxjerrë një seri formula të rëndësishme, të cilat lejojnë:

1. Gjeni koordinatat vektoriale
2. Gjeni gjatësinë e një vektori (në mënyrë alternative: distancën midis dy pikave)
3. Shtoni dhe zbritni vektorë. Shumëzojini ato me numër real
4. Gjeni pikën e mesit të një segmenti
5. Llogaritni produktin me pika të vektorëve
6. Gjeni këndin ndërmjet vektorëve

Sigurisht, e gjithë metoda e koordinatave nuk përshtatet në këto 6 pika. Ajo qëndron në themel të një shkence të tillë si gjeometria analitike, me të cilën do të njiheni në universitet. Unë thjesht dua të ndërtoj një themel që do t'ju lejojë të zgjidhni problemet në një shtet të vetëm. provim. Ne jemi marrë me detyrat e Pjesës B. Tani është koha për të kaluar në një nivel krejtësisht të ri! Ky artikull do t'i kushtohet një metode për zgjidhjen e atyre problemeve C2 në të cilat do të ishte e arsyeshme kalimi në metodën e koordinatave. Kjo arsyeshmëri përcaktohet nga ajo që kërkohet të gjendet në problem dhe cila shifër është dhënë. Pra, do të përdorja metodën e koordinatave nëse pyetjet janë:

1. Gjeni këndin midis dy rrafsheve
2. Gjeni këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi
3. Gjeni këndin midis dy vijave të drejta
4. Gjeni distancën nga një pikë në një plan
5. Gjeni distancën nga një pikë në një vijë
6. Gjeni distancën nga një vijë e drejtë në një plan
7. Gjeni distancën midis dy rreshtave

Nëse figura e dhënë në deklaratën e problemit është një trup rrotullues (top, cilindër, kon...)

Shifrat e përshtatshme për metodën e koordinatave janë:

1. Paralelepiped drejtkëndëshe
2. Piramida (trekëndore, katërkëndore, gjashtëkëndore)

Gjithashtu nga përvoja ime është e papërshtatshme të përdoret metoda e koordinatave për:

1. Gjetja e zonave të prerjeve tërthore
2. Llogaritja e vëllimeve të trupave

Sidoqoftë, duhet të theksohet menjëherë se tre situatat "të pafavorshme" për metodën e koordinatave janë mjaft të rralla në praktikë. Në shumicën e detyrave, ai mund të bëhet shpëtimtari juaj, veçanërisht nëse nuk jeni shumë të mirë në ndërtimet tredimensionale (të cilat ndonjëherë mund të jenë mjaft të ndërlikuara).

Cilat janë të gjitha shifrat që rendita më sipër? Ata nuk janë më të sheshtë, si, për shembull, një katror, ​​një trekëndësh, një rreth, por voluminoze! Prandaj, ne duhet të konsiderojmë jo dy-dimensionale, por sistemi tredimensional koordinatat Është mjaft e lehtë për t'u ndërtuar: vetëm përveç boshtit të abshisës dhe të ordinatave, do të prezantojmë një bosht tjetër, boshtin aplikativ. Figura tregon në mënyrë skematike pozicionin e tyre relativ:

Të gjitha ato janë pingul dhe kryqëzohen në një pikë, të cilën do ta quajmë origjina e koordinatave. Si më parë, do të shënojmë boshtin e abshisave, boshtin e ordinatave - , dhe boshtin aplikativ të futur - .

Nëse më parë secila pikë në rrafsh karakterizohej nga dy numra - abshisa dhe ordinata, atëherë çdo pikë në hapësirë ​​përshkruhet tashmë nga tre numra - abshisa, ordinata dhe aplikanti. Për shembull:

Prandaj, abshisa e një pike është e barabartë, ordinata është , dhe aplikuesi është .

Ndonjëherë abshisa e një pike quhet edhe projeksioni i një pike në boshtin e abshisës, ordinata - projeksioni i një pike mbi boshtin e ordinatave dhe aplikativi - projeksioni i një pike në boshtin aplikativ. Prandaj, nëse jepet një pikë, atëherë një pikë me koordinata:

quhet projeksioni i një pike në një rrafsh

quhet projeksioni i një pike në një rrafsh

Shtrohet një pyetje e natyrshme: a janë të vlefshme në hapësirë ​​të gjitha formulat e nxjerra për rastin dydimensional? Përgjigja është po, ato janë të drejta dhe kanë të njëjtën pamje. Për një detaj të vogël. Unë mendoj se ju tashmë e keni marrë me mend se cila është. Në të gjitha formulat do të duhet të shtojmë një term tjetër përgjegjës për boshtin aplikativ. Domethënë.

1. Nëse jepen dy pikë: , atëherë:

• Koordinatat e vektorit:
• Distanca midis dy pikave (ose gjatësia vektoriale)
• Mesi i segmentit ka koordinata

2. Nëse jepen dy vektorë: dhe, atëherë:

• Produkti i tyre skalar është i barabartë me:
• Kosinusi i këndit ndërmjet vektorëve është i barabartë me:

Megjithatë, hapësira nuk është aq e thjeshtë. Siç e kuptoni, shtimi i një koordinate më shumë sjell diversitet të konsiderueshëm në spektrin e figurave që "jetojnë" në këtë hapësirë. Dhe për rrëfim të mëtejshëm do të më duhet të paraqes disa, përafërsisht, "përgjithësim" të vijës së drejtë. Ky "përgjithësim" do të jetë një plan. Çfarë dini për aeroplanin? Mundohuni t'i përgjigjeni pyetjes, çfarë është një aeroplan? Është shumë e vështirë të thuhet. Sidoqoftë, ne të gjithë intuitivisht imagjinojmë se si duket:

Përafërsisht, kjo është një lloj "fletë" e pafund e mbërthyer në hapësirë. "Pafundësia" duhet të kuptohet se avioni shtrihet në të gjitha drejtimet, domethënë zona e tij është e barabartë me pafundësinë. Megjithatë, ky shpjegim “praktik” nuk jep as idenë më të vogël për strukturën e aeroplanit. Dhe është ajo që do të interesohet për ne.

Le të kujtojmë një nga aksiomat themelore të gjeometrisë:

• një vijë e drejtë kalon nëpër dy pika të ndryshme në një plan, dhe vetëm një:

Ose analogu i tij në hapësirë:

Sigurisht, ju mbani mend se si të nxirrni ekuacionin e një linje nga dy pika të dhëna, nuk është aspak e vështirë: nëse pika e parë ka koordinata: dhe e dyta, atëherë ekuacioni i vijës do të jetë si më poshtë:

Ju e morët këtë në klasën e 7-të. Në hapësirë, ekuacioni i një drejtëze duket kështu: le të na jepen dy pika me koordinata: , atëherë ekuacioni i drejtëzës që kalon nëpër to ka formën:

Për shembull, një vijë kalon nëpër pika:

Si duhet kuptuar kjo? Kjo duhet kuptuar si më poshtë: një pikë shtrihet në një vijë nëse koordinatat e saj plotësojnë sistemin e mëposhtëm:

Ne nuk do të jemi shumë të interesuar për ekuacionin e vijës, por duhet t'i kushtojmë vëmendje shumë koncept i rëndësishëm drejtëz vektori drejtues. - çdo vektor jozero që shtrihet në një vijë të caktuar ose paralel me të.

Për shembull, të dy vektorët janë vektorë të drejtimit të një vije të drejtë. Le të jetë një pikë e shtrirë në një vijë dhe le të jetë vektori i drejtimit të saj. Atëherë ekuacioni i rreshtit mund të shkruhet në formën e mëposhtme:

Edhe një herë, nuk do të jem shumë i interesuar për ekuacionin e një vije të drejtë, por me të vërtetë kam nevojë që ju të mbani mend se çfarë është vektori i drejtimit! Përsëri: ky është NDONJE vektor jozero që shtrihet në një vijë ose paralel me të.

Tërhiqet ekuacioni i një rrafshi bazuar në tre pika të dhëna nuk është më aq e parëndësishme, dhe zakonisht kjo çështje nuk trajtohet në kurs shkolla e mesme. Por më kot! Kjo teknikë është jetike kur ne i drejtohemi metodës së koordinatave për të zgjidhur probleme komplekse. Megjithatë, supozoj se jeni të etur për të mësuar diçka të re? Për më tepër, ju do të jeni në gjendje t'i bëni përshtypje mësuesit tuaj në universitet kur të rezultojë se tashmë mund të përdorni teknikën që zakonisht studiohet në kurs. gjeometria analitike. Pra, le të fillojmë.

Ekuacioni i një rrafshi nuk është shumë i ndryshëm nga ekuacioni i një vije të drejtë në një aeroplan, domethënë, ai ka formën:

disa numra (jo të gjithë e barabartë me zero), dhe variablat, për shembull: etj. Siç mund ta shihni, ekuacioni i një rrafshi nuk është shumë i ndryshëm nga ekuacioni i një drejtëze (funksioni linear). Megjithatë, ju kujtohet se çfarë grindëm unë dhe ju? Thamë se nëse kemi tre pika që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz, atëherë ekuacioni i rrafshit mund të rindërtohet në mënyrë unike prej tyre. Por si? Do të përpiqem t'jua shpjegoj.

Meqenëse ekuacioni i aeroplanit është:

Dhe pikat i përkasin këtij rrafshi, atëherë kur zëvendësojmë koordinatat e secilës pikë në ekuacionin e rrafshit, duhet të marrim identitetin e saktë:

Kështu, lind nevoja për të zgjidhur tre ekuacione me të panjohura! Dilema! Sidoqoftë, gjithmonë mund të supozoni se (për ta bërë këtë ju duhet të ndani me). Kështu, marrim tre ekuacione me tre të panjohura:

Sidoqoftë, ne nuk do ta zgjidhim një sistem të tillë, por do të shkruajmë shprehjen misterioze që rrjedh prej tij:

Ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna

\[\majtas| (\fillim(array)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(array)) \djathtas| = 0\]

Ndalo! Çfarë është kjo? Një modul shumë i pazakontë! Sidoqoftë, objekti që shihni përpara jush nuk ka asnjë lidhje me modulin. Ky objekt quhet përcaktor i rendit të tretë. Që tani e tutje, kur merreni me metodën e koordinatave në një rrafsh, shumë shpesh do të ndesheni me të njëjtat përcaktorë. Çfarë është një përcaktues i rendit të tretë? Mjaft e çuditshme, është vetëm një numër. Mbetet për të kuptuar se cilin numër specifik do të krahasojmë me përcaktorin.

Le të shkruajmë fillimisht përcaktorin e rendit të tretë në një formë më të përgjithshme:

Ku janë disa numra. Për më tepër, me indeksin e parë nënkuptojmë numrin e rreshtit, dhe me indeksin kuptojmë numrin e kolonës. Për shembull, do të thotë që ky numër është në kryqëzimin e rreshtit të dytë dhe kolonës së tretë. Le ta veshim pyetjen e radhës: Si do ta llogarisim saktësisht një përcaktor të tillë? Kjo do të thotë, çfarë numri specifik do të krahasojmë me të? Për përcaktuesin e rendit të tretë ekziston një rregull trekëndëshi heuristik (vizual), ai duket kështu:

1. Prodhimi i elementeve të diagonales kryesore (nga këndi i sipërm majtas në këndin e poshtëm djathtas) produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e parë "pingul" me diagonalen kryesore produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e dytë "pingul" me diagonale kryesore
2. Prodhimi i elementeve të diagonales dytësore (nga këndi i sipërm i djathtë në të majtë të poshtëm) prodhimi i elementeve që formojnë trekëndëshin e parë "pingulor" me diagonalen dytësore produkti i elementeve që formojnë trekëndëshin e dytë "pingul" me diagonale dytësore
3. Pastaj përcaktorja e barabartë me diferencën vlerat e marra në hap dhe

Nëse i shkruajmë të gjitha këto në numra, marrim shprehjen e mëposhtme:

Sidoqoftë, nuk keni nevojë të mbani mend metodën e llogaritjes në këtë formë, mjafton të mbani në kokë trekëndëshat dhe vetë idenë se çfarë shtohet me atë dhe çfarë zbritet më pas nga çfarë).

Le të ilustrojmë metodën e trekëndëshit me një shembull:

1. Llogaritni përcaktorin:

Le të kuptojmë se çfarë shtojmë dhe çfarë zbresim:

Kushtet që vijnë me një plus:

Kjo është diagonalja kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i parë, " pingul me diagonalen kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i dytë, " pingul me diagonalen kryesore: produkti i elementeve është i barabartë me

Mblidhni tre numra:

Termat që vijnë me një minus

Kjo është një diagonale anësore: produkti i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i parë, “pingul me diagonalen dytësore: prodhimi i elementeve është i barabartë me

Trekëndëshi i dytë, “pingul me diagonalen dytësore: prodhimi i elementeve është i barabartë me

Mblidhni tre numra:

Gjithçka që mbetet për t'u bërë është të zbritet shuma e termave "plus" nga shuma e termave "minus":

Kështu,

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar ose të mbinatyrshme në llogaritjen e përcaktuesve të rendit të tretë. Është e rëndësishme vetëm të mbani mend trekëndëshat dhe të mos bëni gabime aritmetike. Tani përpiquni ta llogaritni vetë:

Detyrë: gjeni distancën midis pikave të treguara:

1. Trekëndëshi i parë pingul me diagonalen kryesore:
2. Trekëndëshi i dytë pingul me diagonalen kryesore:
3. Shuma e termave me plus:
4. Trekëndëshi i parë pingul me diagonalen dytësore:
5. Trekëndëshi i dytë pingul me diagonalen anësore:
6. Shuma e termave me minus:
7. Shuma e termave me një plus minus shumën e termave me një minus:

Këtu janë disa përcaktues të tjerë, llogaritni vetë vlerat e tyre dhe krahasoni ato me përgjigjet:

Përgjigjet:

Epo, a përkoi gjithçka? E shkëlqyeshme, atëherë mund të vazhdoni! Nëse ka vështirësi, atëherë këshilla ime është kjo: në internet ka shumë programe për llogaritjen e përcaktuesit në internet. Gjithçka që ju nevojitet është të gjeni përcaktuesin tuaj, ta llogarisni vetë dhe më pas ta krahasoni me atë që llogarit programi. Dhe kështu me radhë derisa rezultatet të fillojnë të përkojnë. Jam i sigurt se ky moment nuk do të zgjasë shumë për të mbërritur!

Tani le të kthehemi te përcaktorja që shkrova kur fola për ekuacionin e një avioni që kalon nëpër tre pikë të dhëna:

Gjithçka që ju nevojitet është të llogarisni vlerën e tij drejtpërdrejt (duke përdorur metodën e trekëndëshit) dhe ta vendosni rezultatin në zero. Natyrisht, duke qenë se këto janë variabla, do të merrni një shprehje që varet prej tyre. Është kjo shprehje që do të jetë ekuacioni i një rrafshi që kalon nëpër tre pika të dhëna që nuk shtrihen në të njëjtën drejtëz!

Le ta ilustrojmë këtë me një shembull të thjeshtë:

1. Ndërtoni ekuacionin e një rrafshi që kalon nëpër pika

Ne përpilojmë një përcaktues për këto tre pika:

Le të thjeshtojmë:

Tani e llogarisim drejtpërdrejt duke përdorur rregullin e trekëndëshit:

\[(\majtas| (\fillimi(grupi)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\fundi(grupi)) \ djathtas|. = \majtas((x + 3) \djathtas) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \djathtas) + \majtas((y - 2) \djathtas) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Kështu, ekuacioni i rrafshit që kalon nëpër pika është:

Tani përpiquni ta zgjidhni vetë një problem, dhe më pas do ta diskutojmë:

2. Gjeni ekuacionin e rrafshit që kalon nëpër pika

Epo, le të diskutojmë tani zgjidhjen:

Le të krijojmë një përcaktues:

Dhe llogaritni vlerën e tij:

Atëherë ekuacioni i rrafshit ka formën:

Ose, duke reduktuar, marrim:

Tani dy detyra për vetëkontroll:

1. Ndërtoni ekuacionin e një rrafshi që kalon nga tre pika:

Përgjigjet:

A përkoi gjithçka? Përsëri, nëse ka disa vështirësi, atëherë këshilla ime është kjo: merrni tre pikë nga koka juaj (me në një masë të madhe shanset janë që ata të mos shtrihen në të njëjtën vijë të drejtë), ju ndërtoni një aeroplan bazuar në to. Dhe pastaj kontrolloni veten në internet. Për shembull, në sit:

Megjithatë, me ndihmën e përcaktorëve do të ndërtojmë jo vetëm ekuacionin e rrafshit. Mbani mend, ju thashë se jo vetëm produkti me pika përcaktohet për vektorët. Ekziston gjithashtu një produkt vektor, si dhe një produkt i përzier. Dhe nëse prodhimi skalar i dy vektorëve është një numër, atëherë prodhimi vektorial i dy vektorëve do të jetë një vektor, dhe ky vektor do të jetë pingul me ato të dhëna:

Për më tepër, moduli i tij do të jetë e barabartë me sipërfaqen paralelogrami i ndërtuar mbi vektorë dhe. Ky vektor Do të na duhet për të llogaritur distancën nga një pikë në një vijë. Si mund ta llogarisim prodhimin vektorial të vektorëve dhe nëse jepen koordinatat e tyre? Na vjen sërish në ndihmë përcaktori i rendit të tretë. Megjithatë, përpara se të kaloj në algoritmin për llogaritjen e produktit të vektorit, më duhet të bëj një digresion të vogël.

Ky digresion ka të bëjë me vektorët bazë.

Ato janë paraqitur në mënyrë skematike në figurë:

Pse mendoni se quhen bazë? Çështja është se:

Ose në foto:

Vlefshmëria e kësaj formule është e qartë, sepse:

Vepra arti vektoriale

Tani mund të filloj të prezantoj produktin kryq:

Produkti vektorial i dy vektorëve është një vektor, i cili llogaritet sipas rregullit të mëposhtëm:

Tani le të japim disa shembuj të llogaritjes së produktit kryq:

Shembulli 1: Gjeni prodhimin kryq të vektorëve:

Zgjidhja: Unë krijoj një përcaktor:

Dhe unë e llogaris atë:

Tani nga shkrimi përmes vektorëve bazë, do të kthehem te shënimi i zakonshëm i vektorit:

Kështu:

Tani provojeni.

Gati? Ne kontrollojmë:

Dhe tradicionalisht dy detyrat për kontroll:

1. Gjeni produktin vektorial të vektorëve të mëposhtëm:
2. Gjeni produktin vektorial të vektorëve të mëposhtëm:

Përgjigjet:

Produkt i përzier i tre vektorëve

Ndërtimi i fundit që do të më duhet është prodhimi i përzier i tre vektorëve. Ai, si një skalar, është një numër. Ka dy mënyra për ta llogaritur atë. - përmes një përcaktori, - përmes një produkti të përzier.

Domethënë, le të na jepen tre vektorë:

Atëherë produkti i përzier i tre vektorëve, i shënuar me, mund të llogaritet si:

1. - domethënë prodhimi i përzier është prodhimi skalar i një vektori dhe prodhimi vektorial i dy vektorëve të tjerë.

Për shembull, produkti i përzier i tre vektorëve është:

Mundohuni ta llogaritni vetë duke përdorur produktin vektor dhe sigurohuni që rezultatet përputhen!

Dhe përsëri - dy shembuj për vendim i pavarur:

Përgjigjet:

Zgjedhja e një sistemi koordinativ

Epo, tani ne kemi të gjitha bazat e nevojshme të njohurive për të zgjidhur problemet komplekse të gjeometrisë stereometrike. Sidoqoftë, përpara se të vazhdoj drejtpërdrejt me shembujt dhe algoritmet për zgjidhjen e tyre, besoj se do të jetë e dobishme të ndalemi në pyetjen e mëposhtme: si saktësisht zgjidhni një sistem koordinativ për një figurë të caktuar. Në fund të fundit, kjo është zgjedhja pozicioni relativ sistemet e koordinatave dhe format në hapësirë ​​do të përcaktojnë përfundimisht se sa të vështira do të jenë llogaritjet.

Më lejoni t'ju kujtoj se në këtë seksion kemi parasysh figurat e mëposhtme:

1. Paralelepiped drejtkëndëshe
2. Prizma e drejtë (trekëndore, gjashtëkëndore...)
3. Piramida (trekëndore, katërkëndore)
4. Tetrahedron (njëlloj si piramida trekëndore)

Për një paralelipiped ose kub drejtkëndor, ju rekomandoj ndërtimin e mëposhtëm:

Kjo do të thotë, unë do ta vendos figurën "në qoshe". Kubi dhe paralelepiped janë figura shumë të mira. Për ta, ju gjithmonë mund të gjeni lehtësisht koordinatat e kulmeve të saj. Për shembull, nëse (siç tregohet në foto)

atëherë koordinatat e kulmeve janë si më poshtë:

Sigurisht, nuk keni nevojë ta mbani mend këtë, por mbani mend se si ta vendosni më mirë kubin ose kuboid- e dëshirueshme.

Prizma e drejtë

Prizma është një figurë më e dëmshme. Mund të pozicionohet në hapësirë ​​në mënyra të ndryshme. Sidoqoftë, opsioni i mëposhtëm më duket më i pranueshëm:

Prizma trekëndore:

Kjo do të thotë, ne vendosim njërën nga anët e trekëndëshit tërësisht në bosht, dhe një nga kulmet përkon me origjinën e koordinatave.

Prizma gjashtëkëndore:

Kjo do të thotë, një nga kulmet përkon me origjinën, dhe një nga anët shtrihet në bosht.

Piramida katërkëndore dhe gjashtëkëndore:

Situata është e ngjashme me një kub: ne rreshtojmë dy anët e bazës me boshtet e koordinatave dhe rreshtojmë njërën nga kulmet me origjinën e koordinatave. E vetmja vështirësi e vogël do të jetë llogaritja e koordinatave të pikës.

Për një piramidë gjashtëkëndore - në mënyrë të ngjashme si për prizëm gjashtëkëndor. Detyra kryesore do të jetë përsëri gjetja e koordinatave të kulmit.

Tetrahedron (piramida trekëndore)

Situata është shumë e ngjashme me atë që dhashë për një prizëm trekëndësh: një kulm përkon me origjinën, njëra anë shtrihet në boshtin koordinativ.

Epo, tani ju dhe unë jemi më në fund afër fillimit të zgjidhjes së problemeve. Nga ajo që thashë në fillim të artikullit, mund të nxirrni përfundimin e mëposhtëm: shumica e problemeve C2 ndahen në 2 kategori: problemet e këndit dhe problemet e distancës. Së pari, do të shqyrtojmë problemet e gjetjes së një këndi. Nga ana tjetër, ato ndahen në kategoritë e mëposhtme (me rritjen e kompleksitetit):

Probleme për gjetjen e këndeve

1. Gjetja e këndit midis dy vijave të drejta
2. Gjetja e këndit midis dy rrafsheve

Le t'i shikojmë këto probleme në mënyrë sekuenciale: le të fillojmë duke gjetur këndin midis dy vijave të drejta. Epo, mbani mend, a nuk vendosëm unë dhe ti? shembuj të ngjashëm më herët? A ju kujtohet, ne kishim tashmë diçka të ngjashme... Po kërkonim këndin midis dy vektorëve. Më lejoni t'ju kujtoj, nëse jepen dy vektorë: dhe, atëherë këndi ndërmjet tyre gjendet nga relacioni:

Tani qëllimi ynë është të gjejmë këndin midis dy vijave të drejta. Le të shohim "fotografinë e sheshtë":

Sa kënde kemi marrë kur kryqëzohen dy drejtëza? Vetëm disa gjëra. Vërtetë, vetëm dy prej tyre nuk janë të barabartë, ndërsa të tjerët janë vertikal ndaj tyre (dhe për këtë arsye përkojnë me to). Pra, cili kënd duhet të marrim parasysh këndin midis dy vijave të drejta: apo? Këtu rregulli është: këndi ndërmjet dy vijave të drejta nuk është gjithmonë më shumë se gradë. Domethënë, nga dy kënde do të zgjedhim gjithmonë këndin me më të voglin masë shkallë. Kjo do të thotë, në këtë foto këndi midis dy vijave të drejta është i barabartë. Për të mos u shqetësuar çdo herë për të gjetur këndin më të vogël nga dy këndet, matematikanët dinakë sugjeruan përdorimin e një moduli. Kështu, këndi midis dy vijave të drejta përcaktohet nga formula:

Ju, si një lexues i vëmendshëm, duhet të kishit një pyetje: nga i marrim saktësisht këta numra që na nevojiten për të llogaritur kosinusin e një këndi? Përgjigje: do t'i marrim nga vektorët e drejtimit të vijave! Kështu, algoritmi për gjetjen e këndit midis dy vijave të drejta është si më poshtë:

1. Ne aplikojmë formulën 1.

Ose më në detaje:

1. Kërkojmë koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës së parë
2. Kërkojmë koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës së dytë
3. Ne llogarisim modulin e produktit të tyre skalar
4. Ne jemi duke kërkuar për gjatësinë e vektorit të parë
5. Ne jemi duke kërkuar për gjatësinë e vektorit të dytë
6. Shumëzoni rezultatet e pikës 4 me rezultatet e pikës 5
7. Rezultatin e pikës 3 e ndajmë me rezultatin e pikës 6. Marrim kosinusin e këndit ndërmjet vijave
8. Nëse ky rezultat na lejon të llogarisim me saktësi këndin, ne e kërkojmë atë
9. Përndryshe shkruajmë përmes kosinusit të harkut

Epo, tani është koha për të kaluar te problemet: Unë do të demonstroj zgjidhjen për dy të parat në detaje, do t'ia paraqes zgjidhjen një tjetri në shkurtimisht, dhe për dy problemet e fundit unë do të jap vetëm përgjigje, ju duhet t'i kryeni vetë të gjitha llogaritjet për to.

Detyrat:

1. Në tet-ra-ed-re të djathtë, gjeni këndin ndërmjet lartësisë së tet-ra-ed-ra dhe anës së mesme.

2. Në krahun e djathtë gjashtëkëndor pi-ra-mi-de, njëqind os-no-va-niya janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta, gjeni këndin midis vijave dhe.

3. Gjatesite e te gjitha skajeve te pi-ra-mi-dy te djathta katerthymyr jane te barabarta me njera-tjetren. Gjeni këndin ndërmjet drejtëzave dhe nëse nga prerja - jeni me pi-ra-mi-dy të dhënë, pika është se-re-di-në brinjët e saj bo-co- të dyta.

4. Në buzë të kubit ka një pikë në mënyrë që Gjeni këndin midis drejtëzave dhe

5. Pika - në skajet e kubit Gjeni këndin ndërmjet vijave të drejta dhe.

Nuk është rastësi që i kam rregulluar detyrat në këtë mënyrë. Ndërsa nuk keni filluar ende të lundroni në metodën e koordinatave, unë do të analizoj vetë figurat më "problematike" dhe do t'ju lë të merreni me kubin më të thjeshtë! Gradualisht do të duhet të mësoni se si të punoni me të gjitha figurat. Unë do të rris kompleksitetin e detyrave nga tema në temë.

Le të fillojmë të zgjidhim problemet:

1. Vizatoni një katërkëndor, vendoseni në sistemin e koordinatave siç sugjerova më parë. Meqenëse tetraedri është i rregullt, atëherë të gjitha fytyrat e tij (përfshirë bazën) janë trekëndëshat e rregullt. Meqenëse nuk na jepet gjatësia e anës, mund ta marr të barabartë. Unë mendoj se e kuptoni se këndi në të vërtetë nuk do të varet nga sa "shtrihet" tetraedri ynë?. Do të vizatoj gjithashtu lartësinë dhe mesataren në katërkëndor. Gjatë rrugës, unë do të vizatoj bazën e saj (do të jetë gjithashtu e dobishme për ne).

Më duhet të gjej këndin midis dhe. Çfarë dimë ne? Ne dimë vetëm koordinatat e pikës. Kjo do të thotë që ne duhet të gjejmë koordinatat e pikave. Tani mendojmë: një pikë është pika e kryqëzimit të lartësive (ose përgjysmuesve ose medianave) të trekëndëshit. Dhe një pikë është një pikë e ngritur. Pika është mesi i segmentit. Atëherë më në fund duhet të gjejmë: koordinatat e pikave: .

Le të fillojmë me gjënë më të thjeshtë: koordinatat e një pike. Shikoni figurën: Është e qartë se aplikimi i një pike është i barabartë me zero (pika shtrihet në rrafsh). Ordinata e saj është e barabartë (pasi është mediana). Është më e vështirë të gjesh abshisën e saj. Megjithatë, kjo bëhet lehtësisht bazuar në teoremën e Pitagorës: Konsideroni një trekëndësh. Hipotenuza e saj është e barabartë dhe njëra nga këmbët e saj është e barabartë Atëherë:

Më në fund kemi: .

Tani le të gjejmë koordinatat e pikës. Është e qartë se aplikimi i saj është përsëri i barabartë me zero, dhe ordinata e tij është e njëjtë me atë të pikës, d.m.th. Le të gjejmë abshisën e saj. Kjo bëhet në mënyrë të parëndësishme nëse e mbani mend atë lartësitë trekëndësh barabrinjës pika e kryqëzimit ndahet në proporcion, duke numëruar nga lart. Meqenëse: , atëherë abshisa e kërkuar e pikës është e barabartë me gjatësinë segmenti është i barabartë me: . Kështu, koordinatat e pikës janë:

Le të gjejmë koordinatat e pikës. Është e qartë se abshisa dhe ordinata e saj përkojnë me abshisën dhe ordinatat e pikës. Dhe aplikacioni është i barabartë me gjatësinë e segmentit. - kjo është një nga këmbët e trekëndëshit. Hipotenuza e një trekëndëshi është një segment - një këmbë. Kërkohet për arsye që i kam theksuar me shkronja të zeza:

Pika është mesi i segmentit. Atëherë duhet të kujtojmë formulën për koordinatat e mesit të segmentit:

Kjo është ajo, tani mund të kërkojmë koordinatat e vektorëve të drejtimit:

Epo, gjithçka është gati: ne i zëvendësojmë të gjitha të dhënat në formulën:

Kështu,

Përgjigje:

Ju nuk duhet të trembeni nga përgjigje të tilla "të frikshme": për detyrat C2 kjo është praktikë e zakonshme. Më mirë do të më befasonte përgjigja “e bukur” në këtë pjesë. Gjithashtu, siç e vutë re, praktikisht nuk iu drejtova asgjë tjetër përveç teoremës së Pitagorës dhe vetive të lartësive të një trekëndëshi barabrinjës. Kjo do të thotë, për të zgjidhur problemin stereometrik, kam përdorur minimumin e stereometrisë. Fitimi në këtë "shuar" pjesërisht nga llogaritjet mjaft të rënda. Por ato janë mjaft algoritmike!

2. Le të përshkruajmë një piramidë të rregullt gjashtëkëndore së bashku me sistemin e koordinatave, si dhe bazën e saj:

Duhet të gjejmë këndin ndërmjet vijave dhe. Kështu, detyra jonë zbret në gjetjen e koordinatave të pikave: . Do të gjejmë koordinatat e tre të fundit duke përdorur një vizatim të vogël dhe do të gjejmë koordinatat e kulmit përmes koordinatës së pikës. Ka shumë punë për të bërë, por duhet të fillojmë!

a) Koordinata: është e qartë se zbatimi dhe ordinata e saj janë të barabarta me zero. Le të gjejmë abshisën. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë. Mjerisht, në të ne njohim vetëm hipotenuzën, e cila është e barabartë. Do të përpiqemi të gjejmë këmbën (sepse është e qartë se dyfishi i gjatësisë së këmbës do të na japë abshisën e pikës). Si mund ta kërkojmë? Le të kujtojmë se çfarë lloj figure kemi në bazën e piramidës? Ky është një gjashtëkëndësh i rregullt. Çfarë do të thotë kjo? Kjo do të thotë që të gjitha anët dhe të gjitha këndet janë të barabarta. Duhet të gjejmë një kënd të tillë. Ndonjë ide? Ka shumë ide, por ka një formulë:

Shuma e këndeve të një këndi n të rregullt është .

Kështu, shuma e këndeve të një gjashtëkëndëshi të rregullt është e barabartë me gradë. Atëherë secili nga këndet është i barabartë me:

Le të shohim sërish foton. Është e qartë se segmenti është përgjysmues i këndit. Atëherë këndi është i barabartë me gradë. Pastaj:

Pastaj nga.

Kështu, ka koordinata

b) Tani mund të gjejmë lehtësisht koordinatat e pikës: .

c) Gjeni koordinatat e pikës. Meqenëse abshisa e saj përkon me gjatësinë e segmentit, ajo është e barabartë. Gjetja e ordinatës nuk është gjithashtu shumë e vështirë: nëse lidhim pikat dhe caktojmë pikën e kryqëzimit të drejtëzës si, të themi, . (bëjeni vetë ndërtim i thjeshtë). Atëherë, pra, ordinata e pikës B është e barabartë me shumën e gjatësive të segmenteve. Le të shohim përsëri trekëndëshin. Pastaj

Pastaj që atëherë pika ka koordinata

d) Tani le të gjejmë koordinatat e pikës. Konsideroni drejtkëndëshin dhe vërtetoni se Kështu, koordinatat e pikës janë:

e) Mbetet për të gjetur koordinatat e kulmit. Është e qartë se abshisa dhe ordinata e saj përkojnë me abshisën dhe ordinatat e pikës. Le të gjejmë aplikacionin. Që atëherë. Konsideroni një trekëndësh kënddrejtë. Sipas kushteve të problemit brinjë anësore. Kjo është hipotenuza e trekëndëshit tim. Atëherë lartësia e piramidës është një këmbë.

Atëherë pika ka koordinata:

Epo, kaq, unë kam koordinatat e të gjitha pikave që më interesojnë. Unë jam duke kërkuar për koordinatat e vektorëve drejtues të drejtëzave:

Ne po kërkojmë këndin midis këtyre vektorëve:

Përgjigje:

Përsëri, në zgjidhjen e këtij problemi nuk përdora asnjë teknikë të sofistikuar përveç formulës për shumën e këndeve të një n-këndëshi të rregullt, si dhe përkufizimin e kosinusit dhe sinusit të një trekëndëshi kënddrejtë.

3. Meqenëse përsëri nuk na janë dhënë gjatësitë e skajeve në piramidë, unë do t'i numëroj ato e barabartë me një. Kështu, duke qenë se TË GJITHA skajet, dhe jo vetëm ato anësore, janë të barabarta me njëra-tjetrën, atëherë në bazën e piramidës dhe mua ka një katror, ​​dhe fytyrat anësore- trekëndësha të rregullt. Le të vizatojmë një piramidë të tillë, si dhe bazën e saj në një aeroplan, duke shënuar të gjitha të dhënat e dhëna në tekstin e problemit:

Ne po kërkojmë këndin midis dhe. Do të bëj llogaritje shumë të shkurtra kur të kërkoj koordinatat e pikave. Do t'ju duhet t'i "deshifroni" ato:

b) - mesi i segmentit. Koordinatat e saj:

c) Do të gjej gjatësinë e segmentit duke përdorur teoremën e Pitagorës në një trekëndësh. Mund ta gjej duke përdorur teoremën e Pitagorës në një trekëndësh.

Koordinatat:

d) - mesi i segmentit. Koordinatat e tij janë

e) Koordinatat vektoriale

f) Koordinatat vektoriale

g) Kërkimi i këndit:

Kub - figura më e thjeshtë. Jam i sigurt që do ta kuptoni vetë. Përgjigjet për problemat 4 dhe 5 janë si më poshtë:

Gjetja e këndit ndërmjet vijës së drejtë dhe rrafshit

Epo, koha për enigma të thjeshta ka mbaruar! Tani shembujt do të jenë edhe më të ndërlikuar. Për të gjetur këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi, do të veprojmë si më poshtë:

1. Duke përdorur tre pika ndërtojmë një ekuacion të rrafshit
   ,
   duke përdorur një përcaktor të rendit të tretë.
2. Duke përdorur dy pika, ne kërkojmë koordinatat e vektorit drejtues të vijës së drejtë:
3. Ne aplikojmë formulën për të llogaritur këndin midis një drejtëze dhe një rrafshi:

Siç mund ta shihni, kjo formulë është shumë e ngjashme me atë që kemi përdorur për të gjetur kënde midis dy vijave të drejta. Struktura në anën e djathtë është thjesht e njëjtë, dhe në të majtë tani po kërkojmë sinusin, jo kosinusin si më parë. Epo, u shtua një veprim i keq - kërkimi i ekuacionit të aeroplanit.

Të mos zvarritemi shembuj zgjidhjesh:

1. Prizmi i drejtpërdrejtë kryesor-por-va-ni-em-jemi një trekëndësh i barabartë me të varfër. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit

2. Në një par-ral-le-le-pi-pe-de drejtkëndëshe nga perëndimi Gjeni këndin midis drejtëzës dhe rrafshit

3. Në një prizëm gjashtëkëndor të drejtë, të gjitha skajet janë të barabarta. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit.

4. Në trekëndëshin e drejtë pi-ra-mi-de me os-no-va-ni-em të brinjëve të njohura Gjeni një cep, ob-ra-zo-van - i sheshtë në bazë dhe i drejtë, duke kaluar nëpër gri. brinjët dhe

5. Gjatësitë e të gjitha brinjëve të një katërkëndëshi të drejtë pi-ra-mi-dy me kulm janë të barabarta me njëra-tjetrën. Gjeni këndin midis vijës së drejtë dhe rrafshit nëse pika është në anën e skajit të pi-ra-mi-dy.

Përsëri, dy problemet e para do t'i zgjidh në detaje, të tretin shkurt, dhe dy të fundit do t'ju lë t'i zgjidhni vetë. Veç kësaj, tashmë ju është dashur të merreni me piramida trekëndore dhe katërkëndore, por jo ende me prizma.

Zgjidhjet:

1. Le të përshkruajmë një prizëm, si dhe bazën e tij. Le ta kombinojmë atë me sistemin e koordinatave dhe të shënojmë të gjitha të dhënat që jepen në deklaratën e problemit:

Kërkoj falje për disa mospërputhje me përmasat, por për zgjidhjen e problemit kjo, në fakt, nuk është aq e rëndësishme. Avioni është thjesht "muri i pasmë" i prizmit tim. Mjafton thjesht të merret me mend se ekuacioni i një rrafshi të tillë ka formën:

Sidoqoftë, kjo mund të tregohet drejtpërdrejt:

Le të zgjedhim tre pika arbitrare në këtë plan: për shembull, .

Le të krijojmë ekuacionin e aeroplanit:

Ushtroni për ju: llogarisni vetë këtë përcaktor. A keni pasur sukses? Atëherë ekuacioni i aeroplanit duket si ky:

Ose thjesht

Kështu,

Për të zgjidhur shembullin, më duhet të gjej koordinatat e vektorit të drejtimit të drejtëzës. Meqenëse pika përkon me origjinën e koordinatave, koordinatat e vektorit thjesht do të përkojnë me koordinatat e pikës Për ta bërë këtë, së pari gjejmë koordinatat e pikës.

Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh. Le të nxjerrim lartësinë (e njohur edhe si mediana dhe përgjysmues) nga kulmi. Meqenëse, ordinata e pikës është e barabartë me. Për të gjetur abshisën e kësaj pike, duhet të llogarisim gjatësinë e segmentit. Sipas teoremës së Pitagorës kemi:

Atëherë pika ka koordinata:

Një pikë është një pikë "e ngritur":

Atëherë koordinatat e vektorit janë:

Përgjigje:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë thelbësisht të vështirë në zgjidhjen e problemeve të tilla. Në fakt, procesi thjeshtohet pak më shumë nga "drejtësia" e një figure të tillë si prizmi. Tani le të kalojmë në shembullin tjetër:

2. Vizatoni një paralelipiped, vizatoni një plan dhe një vijë të drejtë në të, dhe gjithashtu vizatoni veçmas bazën e tij të poshtme:

Së pari, gjejmë ekuacionin e rrafshit: Koordinatat e tre pikave që ndodhen në të:

(dy koordinatat e para merren në mënyrë të dukshme, dhe ju mund ta gjeni lehtësisht koordinatat e fundit nga fotografia nga pika). Pastaj përpilojmë ekuacionin e rrafshit:

Ne llogarisim:

Po kërkojmë koordinatat e vektorit drejtues: Është e qartë se koordinatat e tij përkojnë me koordinatat e pikës, apo jo? Si të gjeni koordinatat? Këto janë koordinatat e pikës, të ngritura përgjatë boshtit aplikativ me një! . Pastaj kërkojmë këndin e dëshiruar:

Përgjigje:

3. Vizatoni një piramidë të rregullt gjashtëkëndore, dhe më pas vizatoni një plan dhe një vijë të drejtë në të.

Këtu është edhe problematike të vizatoni një aeroplan, për të mos përmendur zgjidhjen e këtij problemi, por metoda e koordinatave nuk i intereson! Shkathtësia e tij është përparësia e tij kryesore!

Aeroplani kalon nëpër tri pika: . Ne jemi duke kërkuar për koordinatat e tyre:

1) . Zbuloni vetë koordinatat për dy pikat e fundit. Për këtë ju duhet të zgjidhni problemin e piramidës gjashtëkëndore!

2) Ndërtojmë ekuacionin e rrafshit:

Kërkojmë koordinatat e vektorit: . (Shihni përsëri problemin e piramidës trekëndore!)

3) Duke kërkuar për një kënd:

Përgjigje:

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të mbinatyrshme të vështirë në këto detyra. Thjesht duhet të jeni shumë të kujdesshëm me rrënjët. Unë do të jap përgjigje vetëm për dy problemet e fundit:

Siç mund ta shihni, teknika për zgjidhjen e problemeve është e njëjtë kudo: detyra kryesore është të gjeni koordinatat e kulmeve dhe t'i zëvendësoni ato në formula të caktuara. Ne ende duhet të konsiderojmë një klasë tjetër të problemeve për llogaritjen e këndeve, domethënë:

Llogaritja e këndeve ndërmjet dy rrafsheve

Algoritmi i zgjidhjes do të jetë si më poshtë:

1. Duke përdorur tre pika ne kërkojmë ekuacionin e planit të parë:
2. Duke përdorur tre pikat e tjera, ne kërkojmë ekuacionin e planit të dytë:
3. Ne aplikojmë formulën:

Siç mund ta shihni, formula është shumë e ngjashme me dy të mëparshmet, me ndihmën e së cilës ne kërkuam kënde midis vijave të drejta dhe midis një drejtëze dhe një rrafshi. Kështu që nuk do të jetë e vështirë për ju ta mbani mend këtë. Le të kalojmë në analizën e detyrave:

1. Brinja e bazës së prizmit trekëndor të drejtë është e barabartë, dhe diagonali i faqes anësore është i barabartë. Gjeni këndin ndërmjet rrafshit dhe rrafshit të boshtit të prizmit.

2. Në katërkëndëshin e djathtë pi-ra-mi-de, të gjitha skajet e së cilës janë të barabarta, gjeni sinusin e këndit ndërmjet rrafshit dhe kockës së rrafshët, duke kaluar nëpër pikën per-pen-di-ku-. gënjeshtar-por i drejtë.

3. Në një prizëm të rregullt me ​​katër kënde, anët e bazës janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta. Ka një pikë në buzë nga-me-che-on në mënyrë që. Gjeni këndin ndërmjet rrafsheve dhe

4. Në një prizëm të drejtë katërkëndësh, anët e bazës janë të barabarta, dhe skajet anësore janë të barabarta. Ka një pikë në buzë nga pika në mënyrë që Gjeni këndin midis planeve dhe.

5. Në një kub, gjeni co-si-nus të këndit ndërmjet rrafsheve dhe

Zgjidhjet e problemeve:

1. Vizatoj një prizëm trekëndësh të rregullt (një trekëndësh barabrinjës në bazë) dhe shënoj mbi të rrafshet që shfaqen në përcaktimin e problemit:

Duhet të gjejmë ekuacionet e dy rrafsheve: Ekuacioni i bazës është i parëndësishëm: mund të kompozoni përcaktorin përkatës duke përdorur tre pika, por unë do ta përpiloj ekuacionin menjëherë:

Tani le të gjejmë ekuacionin Pika ka koordinata Pika - Meqenëse është mesatarja dhe lartësia e trekëndëshit, ai gjendet lehtësisht duke përdorur teoremën e Pitagorës në trekëndësh. Atëherë pika ka koordinata: Le të gjejmë aplikimin e pikës Për ta bërë këtë, merrni parasysh një trekëndësh kënddrejtë

Pastaj marrim koordinatat e mëposhtme: Hartojmë ekuacionin e rrafshit.

Ne llogarisim këndin midis planeve:

Përgjigje:

2. Bërja e një vizatimi:

Gjëja më e vështirë është të kuptosh se çfarë është ky aeroplan misterioz, duke kaluar pingul nëpër pikë. Epo, gjëja kryesore është, çfarë është? Gjëja kryesore është vëmendja! Në fakt, vija është pingul. Vija e drejtë është gjithashtu pingul. Atëherë avioni që kalon nëpër këto dy rreshta do të jetë pingul me vijën dhe, nga rruga, do të kalojë nëpër pikë. Ky aeroplan kalon edhe nga maja e piramidës. Pastaj avioni i dëshiruar - Dhe avioni tashmë na është dhënë. Kërkojmë koordinatat e pikave.

Gjejmë koordinatat e pikës përmes pikës. Nga vizatim i vogëlështë e lehtë të konkludohet se koordinatat e pikës do të jenë si më poshtë: Çfarë mbetet tani për të gjetur për të gjetur koordinatat e majës së piramidës? Ju gjithashtu duhet të llogarisni lartësinë e tij. Kjo bëhet duke përdorur të njëjtën teoremë të Pitagorës: së pari provoni se (në mënyrë të parëndësishme nga trekëndëshat e vegjël që formojnë një katror në bazë). Meqenëse sipas kushteve kemi:

Tani gjithçka është gati: koordinatat e kulmit:

Ne hartojmë ekuacionin e aeroplanit:

Ju jeni tashmë një ekspert në llogaritjen e përcaktuesve. Pa vështirësi do të merrni:

Ose ndryshe (nëse i shumëzojmë të dyja anët me rrënjën e dyve)

Tani le të gjejmë ekuacionin e aeroplanit:

(Nuk keni harruar se si e marrim ekuacionin e një aeroplani, apo jo? Nëse nuk e kuptoni se nga erdhi ky minus një, atëherë kthehuni te përkufizimi i ekuacionit të një aeroplani! Thjesht ka dalë gjithmonë përpara kësaj avioni im i përkiste origjinës së koordinatave!)

Ne llogarisim përcaktorin:

(Mund të vëreni se ekuacioni i rrafshit përkon me ekuacionin e drejtëzës që kalon nëpër pika dhe! Mendoni pse!)

Tani le të llogarisim këndin:

Duhet të gjejmë sinusin:

Përgjigje:

3. Pyetje e ndërlikuar: çfarë është ajo? prizëm drejtkëndor, Si mendoni ju? Ky është vetëm një paralelipiped që ju e dini mirë! Le të bëjmë një vizatim menjëherë! Ju as nuk duhet ta përshkruani bazën veç e veç, është pak e dobishme këtu:

Aeroplani, siç kemi theksuar më herët, është shkruar në formën e një ekuacioni:

Tani le të krijojmë një aeroplan

Ne krijojmë menjëherë ekuacionin e aeroplanit:

Duke kërkuar për një kënd:

Tani përgjigjet për dy problemet e fundit:

Epo, tani është koha për të bërë një pushim të vogël, sepse ju dhe unë jemi të shkëlqyer dhe kemi bërë një punë të shkëlqyer!

Koordinatat dhe vektorët. Niveli i avancuar

Në këtë artikull do të diskutojmë me ju një klasë tjetër problemesh që mund të zgjidhen duke përdorur metodën e koordinatave: problemet e llogaritjes së distancës. Përkatësisht, ne do të shqyrtojmë rastet e mëposhtme:

1. Llogaritja e distancës ndërmjet vijave të kryqëzuara.

Unë i kam porositur këto detyra për të rritur vështirësinë. Rezulton të jetë më e lehtë për t'u gjetur distanca nga pika në aeroplan, dhe gjëja më e vështirë është të gjesh distanca midis vijave të kryqëzimit. Edhe pse, natyrisht, asgjë nuk është e pamundur! Le të mos zvarritemi dhe menjëherë të vazhdojmë të shqyrtojmë klasën e parë të problemeve:

Llogaritja e distancës nga një pikë në një plan

Çfarë na duhet për të zgjidhur këtë problem?

1. Koordinatat e pikave

Pra, sapo të marrim të gjitha të dhënat e nevojshme, zbatojmë formulën:

Duhet ta dini tashmë se si e ndërtojmë ekuacionin e një rrafshi detyrat e mëparshme, të cilën e diskutova në pjesën e fundit. Le të kalojmë drejtpërdrejt te detyrat. Skema është si më poshtë: 1, 2 - Unë ju ndihmoj të vendosni, dhe në disa detaje, 3, 4 - vetëm përgjigja, ju e kryeni vetë zgjidhjen dhe krahasoni. Le të fillojmë!

Detyrat:

1. Jepet një kub. Gjatësia e skajit të kubit është e barabartë. Gjeni distancën nga se-re-di-na nga prerja në rrafsh

2. Jepet e drejta me katër qymyr pi-ra-mi-po, ana e anës është e barabartë me bazën. Gjeni distancën nga pika në rrafshin ku - se-ri-di-në skajet.

3. Në trekëndëshin e drejtë pi-ra-mi-de me os-no-va-ni-em, skaji anësor është i barabartë, dhe njëqind-ro-on os-no-va-nia është i barabartë. Gjeni distancën nga maja në aeroplan.

4. Në një prizëm gjashtëkëndor të drejtë, të gjitha skajet janë të barabarta. Gjeni distancën nga një pikë në një plan.

Zgjidhjet:

1. Vizatoni një kub me skaje të vetme, ndërtoni një segment dhe një plan, shënoni mesin e segmentit me një shkronjë

.

Së pari, le të fillojmë me atë të lehtë: gjeni koordinatat e pikës. Që atëherë (kujtoni koordinatat e mesit të segmentit!)

Tani përpilojmë ekuacionin e aeroplanit duke përdorur tre pika

\[\majtas| (\fillimi(array)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\fund(array)) \djathtas| = 0\]

Tani mund të filloj të gjej distancën:

2. Fillojmë sërish me një vizatim në të cilin shënojmë të gjitha të dhënat!

Për një piramidë, do të ishte e dobishme të vizatoni bazën e saj veçmas.

Edhe fakti që unë vizatoj si pula me putrën e saj nuk do të na pengojë ta zgjidhim këtë problem me lehtësi!

Tani është e lehtë të gjesh koordinatat e një pike

Që nga koordinatat e pikës, atëherë

2. Meqenëse koordinatat e pikës a janë mesi i segmentit, atëherë

Pa asnjë problem, ne mund të gjejmë koordinatat e dy pikave të tjera në aeroplan Ne krijojmë një ekuacion për rrafshin dhe e thjeshtojmë atë

\[\majtas| (\majtas| (\fillim(array)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(array)) \djathtas|) \djathtas| = 0\]

Meqenëse pika ka koordinata: , ne llogarisim distancën:

Përgjigje (shumë e rrallë!):

Epo, e kuptove? Më duket se gjithçka këtu është po aq teknike sa në shembujt që shikuam në pjesën e mëparshme. Pra, jam i sigurt se nëse e keni zotëruar atë material, atëherë nuk do ta keni të vështirë t'i zgjidhni dy problemet e mbetura. Unë do t'ju jap vetëm përgjigjet:

Llogaritja e distancës nga një vijë e drejtë në një plan

Në fakt, këtu nuk ka asgjë të re. Si mund të vendosen një vijë e drejtë dhe një rrafsh në lidhje me njëra-tjetrën? Ata kanë vetëm një mundësi: të kryqëzohen, ose një vijë e drejtë është paralele me rrafshin. Sa mendoni se është distanca nga një drejtëz në rrafshin me të cilin kryqëzohet kjo drejtëz? Më duket se këtu është e qartë se një distancë e tillë është e barabartë me zero. Jo një rast interesant.

Rasti i dytë është më i ndërlikuar: këtu distanca është tashmë jo zero. Megjithatë, meqenëse drejtëza është paralele me rrafshin, atëherë çdo pikë e drejtëzës është e barabartë nga ky plan:

Kështu:

Kjo do të thotë që detyra ime është reduktuar në atë të mëparshmen: ne jemi duke kërkuar për koordinatat e çdo pike në një vijë të drejtë, duke kërkuar ekuacionin e rrafshit dhe duke llogaritur distancën nga pika në plan. Në fakt, detyra të tilla janë jashtëzakonisht të rralla në Provimin e Unifikuar të Shtetit. Unë arrita të gjeja vetëm një problem, dhe të dhënat në të ishin të tilla që metoda e koordinatave nuk ishte shumë e zbatueshme për të!

Tani le të kalojmë në diçka tjetër, shumë më tepër klasë e rëndësishme detyrat:

Llogaritja e distancës së një pike në një vijë

Çfarë na duhet?

1. Koordinatat e pikës nga e cila kërkojmë distancën:

2. Koordinatat e çdo pike që shtrihet në një vijë

3. Koordinatat e vektorit drejtues të drejtëzës

Çfarë formule përdorim?

Çfarë do të thotë emëruesi i kësaj thyese duhet të jetë e qartë për ju: kjo është gjatësia e vektorit drejtues të drejtëzës. Ky është një numërues shumë i ndërlikuar! Shprehja nënkupton modulin (gjatësinë) e produktit vektorial të vektorëve dhe Si të llogarisim produktin e vektorit, kemi studiuar në pjesën e mëparshme të punës. Rifresko njohuritë tuaja, do të na duhen shumë tani!

Kështu, algoritmi për zgjidhjen e problemeve do të jetë si më poshtë:

1. Kërkojmë koordinatat e pikës nga e cila kërkojmë distancën:

2. Ne kërkojmë koordinatat e çdo pike në vijën në të cilën kërkojmë distancën:

3. Ndërtoni një vektor

4. Ndërtoni një vektor drejtues të një drejtëze

5. Llogaritni prodhimin e vektorit

6. Kërkojmë gjatësinë e vektorit që rezulton:

7. Llogaritni distancën:

Kemi shumë punë, dhe shembujt do të jenë mjaft kompleks! Pra, tani përqendroni të gjithë vëmendjen tuaj!

1. Jepet një trekëndësh i drejtë pi-ra-mi-da me majë. Njëqind-ro-në bazë të pi-ra-mi-dy është i barabartë, ju jeni të barabartë. Gjeni distancën nga skaji gri në vijën e drejtë, ku pikat dhe janë skajet gri dhe nga veterinaria.

2. Gjatësitë e brinjëve dhe këndi i drejtë-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da janë të barabarta në përputhje me rrethanat dhe Gjeni distancën nga maja në vijën e drejtë.

3. Në një prizëm gjashtëkëndor të drejtë, të gjitha skajet janë të barabarta, gjeni distancën nga një pikë në një vijë të drejtë

Zgjidhjet:

1. Ne bëjmë një vizatim të pastër në të cilin shënojmë të gjitha të dhënat:

Kemi shumë punë për të bërë! Së pari, do të doja të përshkruaj me fjalë se çfarë do të kërkojmë dhe në çfarë rendi:

1. Koordinatat e pikave dhe

2. Koordinatat e pikave

3. Koordinatat e pikave dhe

4. Koordinatat e vektorëve dhe

5. Produkti i tyre kryq

6. Gjatësia e vektorit

7. Gjatësia e produktit të vektorit

8. Largësia nga në

Epo, ne kemi shumë punë përpara! Le t'ia dalim me mëngët përveshur!

1. Për të gjetur koordinatat e lartësisë së piramidës, duhet të dimë koordinatat e pikës lartësia e një trekëndëshi barabrinjës, ndahet në raport, duke llogaritur nga kulmi, nga këtu. Më në fund, morëm koordinatat:

Koordinatat e pikave

2. - mesi i segmentit

3. - mesi i segmentit

Pika e mesme e segmentit

4.Koordinatat

Koordinatat vektoriale

5. Llogaritni produktin e vektorit:

6. Gjatësia e vektorit: mënyra më e lehtë për t'u zëvendësuar është se segmenti është mesi i trekëndëshit, që do të thotë se është i barabartë me gjysmën e bazës. Pra.

7. Llogaritni gjatësinë e prodhimit të vektorit:

8. Së fundi, gjejmë distancën:

Uh, kjo është ajo! Unë do t'ju them sinqerisht: zgjidhja e këtij problemi është metodat tradicionale(nëpërmjet ndërtimit), do të ishte shumë më i shpejtë. Por këtu i kam përmbledhur të gjitha algoritmi i gatshëm! Mendoj se algoritmi i zgjidhjes është i qartë për ju? Prandaj, do t'ju kërkoj t'i zgjidhni vetë dy problemet e mbetura. Le të krahasojmë përgjigjet?

Përsëri, po e përsëris: është më e lehtë (më e shpejtë) të zgjidhen këto probleme përmes ndërtimeve, sesa t'i drejtohemi metodës së koordinatave. Unë e demonstrova këtë metodë zgjidhjeje vetëm për t'ju treguar një metodë universale që ju lejon të "mos përfundoni ndërtimin e asgjë".

Më në fund, merrni parasysh klasën e fundit të problemeve:

Llogaritja e distancës midis drejtëzave të kryqëzuara

Këtu algoritmi për zgjidhjen e problemeve do të jetë i ngjashëm me atë të mëparshëm. Ajo që kemi:

3. Çdo vektor që lidh pikat e vijës së parë dhe të dytë:

Si e gjejmë distancën ndërmjet vijave?

Formula është si më poshtë:

Numëruesi është moduli produkt i përzier(e kemi prezantuar në pjesën e mëparshme), dhe emëruesi është si në formulën e mëparshme (moduli i produktit vektorial të vektorëve drejtues të drejtëzave, distanca midis së cilës kërkojmë).

Unë do t'ju kujtoj atë

Pastaj formula për distancën mund të rishkruhet si:

Ky është një përcaktor i ndarë me një përcaktor! Edhe pse, të them të drejtën, nuk kam kohë për shaka këtu! Kjo formulë, në fakt, është shumë i rëndë dhe të çon në mjaft llogaritjet komplekse. Po të isha në vendin tuaj, do t'i drejtohesha vetëm si mjet i fundit!

Le të përpiqemi të zgjidhim disa probleme duke përdorur metodën e mësipërme:

1. Në një prizëm trekëndësh të drejtë, të gjitha skajet e të cilit janë të barabarta, gjeni distancën midis drejtëzave dhe.

2. Duke pasur parasysh një prizëm trekëndor të drejtë, të gjitha skajet e bazës janë të barabarta me seksionin që kalon nëpër brinjën e trupit dhe brinjët se-re-di-pus janë një katror. Gjeni distancën midis drejtëzave dhe

Unë vendos të parën, dhe në bazë të saj, ju vendosni të dytën!

1. Vizatoj një prizëm dhe shënoj drejtëza dhe

Koordinatat e pikës C: atëherë

Koordinatat e pikave

Koordinatat vektoriale

Koordinatat e pikave

Koordinatat vektoriale

Koordinatat vektoriale

\[\majtas((B,\mbidrejtë-shigjetë (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \djathtas) = ​​\majtas| (\fillimi(array)(*(20)(l))(\fillimi(array)(*(20)(c))0&1&0\end(array))\\(\fillimi(array)(*(20) (c)) 0&0&1\fund(array))\\(\fillimi(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(array))\end(array)) \djathtas| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

Ne llogarisim produktin e vektorit ndërmjet vektorëve dhe

\[\mbi shigjetë e drejtë (A(A_1)) \cdot \mbidrejtë shigjetë (B(C_1)) = \majtas| \fille(array)(l)\fille(array)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j)&(\overrightarrow k)\end(array)\\\fille(array )(*(20)(c))0&0&1\fund(array)\\\fillimi(array)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(array)\end(array) \right| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\mbi shigjetë e djathta k + \frac(1)(2)\mbi shigjetë e drejtë i \]

Tani llogarisim gjatësinë e tij:

Përgjigje:

Tani përpiquni të përfundoni detyrën e dytë me kujdes. Përgjigja për të do të jetë: .

Koordinatat dhe vektorët. Përshkrimi i shkurtër dhe formulat bazë

Një vektor është një segment i drejtuar. - fillimi i vektorit, - fundi i vektorit.
Një vektor shënohet me ose.

Vlera absolute vektor - gjatësia e segmentit që përfaqëson vektorin. Shënohet si.

Koordinatat e vektorit:

,
ku janë skajet e vektorit \displaystyle a .

Shuma e vektorëve: .

Produkti i vektorëve:

Produkti me pika i vektorëve: