Eğrisel hareket sırasında mesafe nedir? Bir cismin kavisli bir yol boyunca hareketi

Tanım. Vektörlerin doğrusal kombinasyonu a 1 , ..., katsayıları x 1 , ..., x n olan bir n'ye vektör denir

x 1 a 1 + ... + x n a n .

önemsiz, eğer tüm katsayılar x 1 , ..., x n sıfıra eşitse.

Tanım. x 1 a 1 + ... + x n an n doğrusal kombinasyonuna denir önemsiz değil, x 1, ..., x n katsayılarından en az biri sıfıra eşit değilse.

doğrusal bağımsız, eğer bu vektörlerin önemsiz olmayan bir kombinasyonu yoksa sıfır vektör.

Yani, a 1, ..., a n vektörleri eğer x 1 a 1 + ... + x n a n = 0 ise ancak ve ancak x 1 = 0, ..., x n = 0 ise doğrusal olarak bağımsızdır.

Tanım. a 1, ..., a n vektörlerine denir doğrusal bağımlı, eğer bu vektörlerin önemsiz olmayan bir kombinasyonu varsa sıfır vektör.

Doğrusal bağımlı vektörlerin özellikleri:

2 ve 3 boyutlu vektörler için.

İki doğrusal bağımlı vektörler- eşdoğrusal. ( Doğrusal vektörler- doğrusal olarak bağımlı.) .

3 boyutlu vektörler için.

Doğrusal olarak bağımlı üç vektör aynı düzlemdedir. (Üç eş düzlemli vektörler- doğrusal olarak bağımlı.)

• N boyutlu vektörler için.

  n + 1 vektör her zaman doğrusal olarak bağımlıdır.

Vektörlerin doğrusal bağımlılığı ve doğrusal bağımsızlığı ile ilgili problem örnekleri:

Örnek 1. a = (3; 4; 5), b = (-3; 0; 5), c = (4; 4; 4), d = (3; 4; 0) vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını kontrol edin. .

Çözüm:

Vektörlerin boyutu vektör sayısından az olduğundan vektörler doğrusal olarak bağımlı olacaktır.

Örnek 2. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 1) vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını kontrol edin.

Çözüm:

ikinciyi birinci satırdan çıkarın; üçüncü satıra ikinci satırı ekleyin:

Bu çözüm, sistemin birçok çözümü olduğunu, yani a, b, c vektörlerinin doğrusal kombinasyonunun eşit olacağı şekilde x 1, x 2, x 3 sayılarının değerlerinin sıfır olmayan bir kombinasyonunun olduğunu gösterir. sıfır vektör, Örneğin:

bir + b + c = 0

bu, a, b, c vektörlerinin doğrusal olarak bağımlı olduğu anlamına gelir.

Cevap: a, b, c vektörleri doğrusal olarak bağımlıdır.

Örnek 3. a = (1; 1; 1), b = (1; 2; 0), c = (0; -1; 2) vektörlerinin doğrusal olarak bağımsız olup olmadığını kontrol edin.

Çözüm: Bu vektörlerin doğrusal birleşiminin sıfır vektörüne eşit olacağı katsayıların değerlerini bulalım.

Bu vektör denklemi bir sistem olarak yazılabilir doğrusal denklemler

Bu sistemi Gauss yöntemini kullanarak çözelim

birincisini ikinci satırdan çıkarın; birincisini üçüncü satırdan çıkarın:

ikinciyi birinci satırdan çıkarın; üçüncü satıra bir saniye ekleyin.

Yörüngenin şekline bağlı olarak hareket doğrusal ve eğrisel olarak ikiye ayrılır. İÇİNDE gerçek dünya Yörüngenin kavisli bir çizgi olduğu durumlarda çoğunlukla eğrisel hareketle uğraşırız. Bu harekete örnek olarak ufka belli bir açıyla fırlatılan bir cismin yörüngesi, Dünyanın Güneş etrafındaki hareketi, gezegenlerin hareketi, kadran üzerindeki saat ibresinin sonu vb. gösterilebilir.

Şekil 1. Kavisli hareket sırasında yörünge ve yer değiştirme

Tanım

Eğrisel hareket yörüngesi eğri bir çizgi olan bir harekettir (örneğin, daire, elips, hiperbol, parabol). Birlikte sürerken eğrisel yörünge$\overrightarrow(s)$ yer değiştirme vektörü kiriş boyunca yönlendirilir (Şekil 1) ve l, yörüngenin uzunluğudur. Vücudun anlık hızı (yani, yörüngenin belirli bir noktasındaki vücudun hızı), yörüngenin bulunduğu noktaya teğetsel olarak yönlendirilir. şu anda hareketli bir gövde vardır (Şek. 2).

Şekil 2. Kavisli hareket sırasındaki anlık hız

Ancak aşağıdaki yaklaşım daha uygundur. Bu hareket, dairesel yaylar boyunca çeşitli hareketlerin bir kombinasyonu olarak temsil edilebilir (bkz. Şekil 4.). Önceki duruma göre bu tür bölmeler daha az olacaktır; ayrıca daire boyunca hareketin kendisi eğriseldir.

Şekil 4. Eğrisel hareketin dairesel yaylar boyunca harekete dökümü

Çözüm

Eğrisel hareketi tanımlamak için, bir daire içindeki hareketi tanımlamayı öğrenmeniz ve ardından keyfi hareketi, dairesel yaylar boyunca hareket kümeleri biçiminde temsil etmeniz gerekir.

Eğrisel hareketi inceleme görevi maddi nokta verilenlere göre bu hareketi tanımlayan ve izin veren kinematik bir denklem derlemektir. başlangıç ​​koşulları Bu hareketin tüm özelliklerini belirleyin.

Bu konu daha fazlasını kapsayacak karmaşık görünüm hareketler – EĞRİSEL. Tahmin edebileceğiniz gibi, eğrisel, yörüngesi eğri bir çizgi olan bir harekettir. Ve bu hareket doğrusal hareketten daha karmaşık olduğundan, önceki bölümde sıralanan fiziksel nicelikler artık onu tanımlamak için yeterli değildir.

İçin matematiksel açıklama Eğrisel harekette 2 grup büyüklük vardır: doğrusal ve açısal.

DOĞRUSAL MİKTARLAR.

1. Hareketli. Bölüm 1.1'de kavramlar arasındaki farkı netleştirmedik.

Şekil 1.3 yollar (mesafeler) ve hareket kavramı,

doğrusal harekette olduğundan bunlar

farklılıklar temel bir rol oynamaz ve

Bu miktarlar aynı harfle belirtilir -

uluma S. Ancak eğrisel hareketle uğraşırken,

bu konunun açıklığa kavuşturulması gerekmektedir. Peki yol nedir

(veya mesafe)? – Bu yörüngenin uzunluğu

hareketler. Yani, eğer yörüngeyi takip ederseniz

Vücudun hareketini ve onu ölçtüğünüzde (metre, kilometre vb. olarak), yol (veya mesafe) adı verilen bir değer elde edeceksiniz. S(bkz. Şekil 1.3). Yani yol şu skaler miktar yalnızca bir sayıyla karakterize edilir.

Şekil 1.4 Ve hareket en kısa mesafe arasında

yolun başlangıç ​​noktası ve bitiş noktası. Ve o zamandan beri

hareketin başından beri kesin bir yönü var

yolun sonuna kadar gittiğine göre bu bir vektör miktarıdır

ve yalnızca sayısal değerle değil aynı zamanda

yön (Şekil 1.3). Ne olacağını tahmin etmek zor değil

vücut kapalı bir yörünge boyunca hareket eder, ardından

geri döndüğü an başlangıç ​​pozisyonu yer değiştirme sıfır olacaktır (bkz. Şekil 1.4).

2 . Doğrusal hız. Bölüm 1.1'de bu miktarın bir tanımını verdik ve o zaman bu hızın doğrusal olduğunu belirtmemiş olsak da bu geçerli olmaya devam ediyor. Doğrusal hız vektörünün yönü nedir? Şekil 1.5'e dönelim. Burada bir parça gösteriliyor

vücudun eğrisel yörüngesi. Herhangi bir eğri çizgi, farklı dairelerin yayları arasındaki bağlantıdır. Şekil 1.5 bunlardan yalnızca ikisini göstermektedir: daire (O 1, r 1) ve daire (O 2, r 2). Cisim belirli bir dairenin yayı boyunca geçtiği anda merkezi, yarıçaplı geçici bir dönme merkezi haline gelir. yarıçapa eşit bu daire.

Dönme merkezinden cismin o anda bulunduğu noktaya çizilen vektöre yarıçap vektörü denir.Şekil 1.5'te yarıçap vektörleri ve vektörleriyle temsil edilmektedir. Bu şekil ayrıca doğrusal hız vektörlerini de gösterir: doğrusal hız vektörü her zaman hareket yönünde yörüngeye teğet olarak yönlendirilir. Bu nedenle, vektör ile çizilen yarıçap vektörü arasındaki açı bu nokta Yörünge her zaman 90°'dir. Bir cisim sabit bir doğrusal hızla hareket ederse, vektörün büyüklüğü değişmeyecek, ancak yörüngenin şekline bağlı olarak yönü her zaman değişecektir. Şekil 1.5'te gösterilen durumda, hareket değişken bir doğrusal hızla gerçekleştirilir, dolayısıyla vektörün modülü değişir. Ancak eğrisel hareket sırasında vektörün yönü daima değiştiğinden, şu sonuç çıkar: önemli sonuç:

Eğrisel harekette her zaman ivme vardır! (Hareket sabit bir doğrusal hızda gerçekleştirilse bile.) Ayrıca, yukarıda tartışılan ivme bu durumda, bundan sonra doğrusal ivme adını vereceğiz.

3 . Doğrusal ivme. Hızın değişmesiyle ivmenin oluştuğunu hatırlatayım. Buna göre doğrusal hız değiştiğinde doğrusal ivme ortaya çıkar. Ve eğrisel hareket sırasındaki doğrusal hız hem büyüklük hem de yön olarak değişebilir. Böylece, toplam doğrusal ivme, biri vektörün yönünü etkileyen, ikincisi ise büyüklüğünü etkileyen iki bileşene ayrıştırılır. Bu ivmeleri ele alalım (Şekil 1.6). Bu resimde

pirinç. 1.6

HAKKINDA

dönme merkezi O noktasında olan dairesel bir yol boyunca hareket eden bir cismi göstermektedir.

Bir vektörün yönünü değiştiren ivmeye denir normal ve belirlenir. Teğete dik (normal) yönlendirildiği için normal olarak adlandırılır, yani. yarıçap boyunca dönüşün merkezine kadar . Buna merkezcil ivme de denir.

Vektörün büyüklüğünü değiştiren ivmeye denir. teğetsel ve belirlenir. Teğet üzerinde yer alır ve vektörün yönüne doğru veya tersine yönlendirilebilir. :

Doğrusal hız ise artarsa ​​> 0 olur ve bunların vektörleri eş yönlüdür;

Doğrusal hız ise azalır o zaman< 0 и их вектора противоположно

yönlendirildi.

Dolayısıyla bu iki ivme birbiriyle daima dik açı (90°) oluşturur ve toplam doğrusal ivmenin bileşenleridir; toplam doğrusal ivme normalin vektör toplamıdır ve teğetsel ivme:

Bu durumda şunu not ediyorum hakkında konuşuyoruzözellikle bir vektör toplamı hakkında, ancak hiçbir durumda bir skaler toplam hakkında. Bulmak için sayısal değer, bilerek ve Pisagor teoremini kullanmak gerekir (bir üçgenin hipotenüsünün karesi sayısal olarak bu üçgenin bacaklarının karelerinin toplamına eşittir):

(1.8).

Bundan şu sonuç çıkıyor:

(1.9).

Biraz sonra hangi formülleri kullanarak hesaplayacağımızı ele alacağız.

AÇISAL DEĞERLER.

1 . Dönme açısı φ . Eğrisel hareket sırasında vücut sadece bir yöne gidip hareket etmekle kalmaz, aynı zamanda belirli bir açıyla döner (bkz. Şekil 1.7(a)). Bu nedenle, böyle bir hareketi tanımlamak için, Yunan harfiyle gösterilen, dönme açısı adı verilen bir miktar tanıtılır. φ (“fi”yi okuyun) SI sisteminde dönme açısı radyan cinsinden ölçülür ("rad" sembolü). Sana şunu hatırlatayım tam dönüş 2π radyana eşittir ve π sayısı bir sabittir: π ≈ 3,14. Şek. Şekil 1.7(a), bir cismin yarıçaplı bir daire boyunca izlediği yolu göstermektedir R merkezi O noktasındadır. Dönme açısının kendisi, zamanın bazı anlarında cismin yarıçap vektörleri arasındaki açıdır.

2 . Açısal hız ω – dönme açısının birim zamanda nasıl değiştiğini gösteren bir niceliktir. (ω – yunan mektubu, “omega” okuyun.) Şek. Şekil 1.7(b), merkezi O noktasında olan dairesel bir yol boyunca zaman aralıklarıyla hareket eden maddi bir noktanın konumunu göstermektedir. Δt . Bu aralıklarda cismin döndüğü açılar aynı ise açısal hız sabittir ve bu hareket tekdüze kabul edilebilir. Ve eğer dönme açıları farklıysa, hareket eşit değildir. Ve açısal hız kaç radyan gösterdiğine göre

cisim bir saniyede dönüyorsa ölçü birimi saniyede radyandır

("ile gösterilir) rad/s »).

pirinç. 1.7

A). B). Δt

Δt

Δt

HAKKINDA φ HAKKINDA Δt

3 . Açısal ivme ε birim zamanda nasıl değiştiğini gösteren niceliktir. Ve o zamandan beri açısal ivme ε açısal hız değiştiğinde ortaya çıkar ω O zaman açısal ivmenin yalnızca düzgün olmayan eğrisel hareket durumunda meydana geldiği sonucuna varabiliriz. Açısal ivmenin ölçü birimi “ rad/sn 2 » (saniyedeki radyan kare).

Böylece, tablo 1.1'e üç değer daha eklenebilir:

Tablo 1.2

Artık doğrudan tüm eğrisel hareket türlerini değerlendirmeye geçebiliriz ve bunlardan yalnızca üç tanesi var.

Yörüngenin şekline bağlı olarak hareketin ikiye bölündüğünü çok iyi biliyorsunuz. doğrusal Ve eğrisel. İLE doğrusal hareketÖnceki derslerde nasıl çalışılacağını, yani bu tür hareketler için mekaniğin temel problemini nasıl çözeceğimizi öğrendik.

Ancak, gerçek dünyada yörüngenin kavisli bir çizgi olduğu durumlarda çoğunlukla eğrisel hareketle uğraştığımız açıktır. Ufka belli bir açıyla fırlatılan bir cismin yörüngesi, Dünya'nın Güneş etrafındaki hareketi ve hatta şu anda bu notu takip eden gözlerinizin hareketinin yörüngesi bu harekete örnek olarak verilebilir.

Nasıl çözüleceği sorusu ana görev Eğrisel hareket durumunda mekanik ve bu derse ayrılacaktır.

Öncelikle ne olacağına karar verelim temel farklılıklar Eğrisel hareketin (Şekil 1) doğrusal harekete göre bir ilişkisi var mı ve bu farklılıklar neye yol açıyor?

Pirinç. 1. Eğrisel hareketin yörüngesi

Eğrisel hareket sırasında bir vücudun hareketini tanımlamanın ne kadar uygun olduğundan bahsedelim.

Hareket, her birinde hareketin doğrusal olduğu kabul edilebilecek ayrı bölümlere ayrılabilir (Şekil 2).

Pirinç. 2. Eğrisel hareketi doğrusal hareketin bölümlerine bölmek

Ancak aşağıdaki yaklaşım daha uygundur. Bu hareketi dairesel yaylar boyunca çeşitli hareketlerin birleşimi olarak hayal edeceğiz (Şekil 3). Lütfen önceki duruma göre bu tür bölümlerin daha az olduğunu ve ayrıca daire boyunca hareketin eğrisel olduğunu unutmayın. Ayrıca çember içindeki hareket örnekleri doğada çok yaygındır. Bundan şu sonucu çıkarabiliriz:

Eğrisel hareketi tanımlamak için, bir daire içindeki hareketi tanımlamayı öğrenmeniz ve ardından keyfi hareketi, dairesel yaylar boyunca hareket kümeleri biçiminde temsil etmeniz gerekir.

Pirinç. 3. Eğrisel hareketi dairesel yaylar boyunca harekete bölmek

O halde eğrisel hareketi incelemeye şu şekilde başlayalım: düzgün hareketçevresi etrafında. Eğrisel hareket ile doğrusal hareket arasındaki temel farkların neler olduğunu bulalım. Başlangıç ​​olarak, dokuzuncu sınıfta bir bedenin bir daire içinde hareket ederken hızının yörüngeye teğet olarak yönlendirildiği gerçeğini incelediğimizi hatırlayalım (Şekil 4). Bu arada bileme taşı kullanırken kıvılcımların nasıl hareket ettiğini izlerseniz bu gerçeği deneysel olarak gözlemleyebilirsiniz.

Bir cismin dairesel bir yay boyunca hareketini düşünelim (Şekil 5).

Pirinç. 5. Bir daire içinde hareket ederken vücut hızı

Lütfen bu durumda cismin o noktadaki hızının modülünün modüle eşit noktadaki vücut hızı:

Ancak vektör değildir vektöre eşit. Yani bir hız farkı vektörümüz var (Şekil 6):

Pirinç. 6. Hız farkı vektörü

Üstelik hızdaki değişim bir süre sonra ortaya çıktı. Böylece tanıdık kombinasyonu elde ederiz:

Bu, belirli bir süre içinde hızın değişmesinden veya bir cismin ivmelenmesinden başka bir şey değildir. Çok önemli bir sonuç çıkarılabilir:

Kavisli bir yol boyunca hareket hızlanır. Bu ivmenin doğası hız vektörünün yönünde sürekli bir değişikliktir.

Bir kez daha belirtelim ki, cismin bir daire içinde düzgün bir şekilde hareket ettiği söylense bile, bu cismin hız modülünün değişmediği anlamına gelir. Ancak hızın yönü değiştiği için bu hareket her zaman hızlanır.

Dokuzuncu sınıfta bu ivmenin neye eşit olduğunu ve nasıl yönlendirildiğini incelediniz (Şekil 7). Merkezcil ivme her zaman vücudun hareket ettiği dairenin merkezine doğru yönlendirilir.

Pirinç. 7. Merkezcil ivme

Merkezcil ivme modülü aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

Bir cismin daire içindeki düzgün hareketinin tanımına geçelim. Öteleme hareketini tanımlarken kullandığınız hıza artık doğrusal hız deneceğini kabul edelim. Ve doğrusal hızdan anlayacağız anlık hız dönen bir cismin yörüngesindeki bir noktada.

Pirinç. 8. Disk noktalarının hareketi

Kesinlik sağlamak için saat yönünde dönen bir disk düşünün. Yarıçapında iki noktayı işaretliyoruz ve (Şekil 8). Hareketlerini ele alalım. Bir süre sonra bu noktalar dairenin yayları boyunca hareket edecek ve noktalar haline gelecektir. Noktanın noktadan daha fazla hareket ettiği açıktır. Buradan, bir noktanın dönme ekseninden ne kadar uzaksa, hareket ettiği doğrusal hızın da o kadar büyük olduğu sonucuna varabiliriz.

Ancak ve noktalarına yakından bakarsanız, dönme eksenine göre döndükleri açının değişmediğini söyleyebiliriz. Bir daire içindeki hareketi tanımlamak için kullanacağımız açısal özelliklerdir. Dairesel hareketi tanımlamak için kullanabileceğimizi unutmayın. köşeözellikleri.

Bir daire içindeki hareketi en baştan düşünmeye başlayalım. basit durum– bir daire etrafında düzgün hareket. O üniformayı hatırla ileri hareket Vücudun herhangi bir eşit zaman aralığında eşit hareketler yaptığı bir harekettir. Benzetme yaparak çemberdeki düzgün hareketin tanımını verebiliriz.

Düzgün dairesel hareket, vücudun eşit zaman aralıklarında eşit açılarla döndüğü bir harekettir.

Doğrusal hız kavramına benzer şekilde açısal hız kavramı da tanıtıldı.

Düzgün hareketin açısal hızı ( fiziksel büyüklük denir orana eşit Vücudun döndüğü açı ile bu dönüşün meydana geldiği zaman.

Fizikte açının radyan ölçüsü en sık kullanılır. Örneğin, açı radyana eşit. Açısal hız saniyede radyan cinsinden ölçülür:

Bir noktanın açısal dönme hızı ile bu noktanın doğrusal hızı arasındaki bağlantıyı bulalım.

Pirinç. 9. Açısal ve doğrusal hız arasındaki ilişki

Döndürme sırasında, bir nokta belirli bir açıyla dönerek uzunluklu bir yaydan geçer. Bir açının radyan ölçüsünün tanımından şunu yazabiliriz:

Eşitliğin sol ve sağ taraflarını hareketin yapıldığı zaman dilimine bölelim, ardından açısal ve doğrusal hızların tanımını kullanalım:

Lütfen bir noktanın dönme ekseninden ne kadar uzaksa doğrusal hızının da o kadar yüksek olacağını unutmayın. Ve dönme ekseninde bulunan noktalar hareketsizdir. Bunun bir örneği atlıkarıncadır: Atlıkarıncanın merkezine ne kadar yakın olursanız, üzerinde kalmanız o kadar kolay olur.

Doğrusal ve açısal hızların bu bağımlılığı, sabit uydularda (her zaman aynı noktanın üzerinde olan uydular) kullanılır. dünyanın yüzeyi). Bu tür uydular sayesinde televizyon sinyallerini alabiliyoruz.

Daha önce periyot ve dönme sıklığı kavramlarını tanıttığımızı hatırlayalım.

Dönme süresi bir tam devrimin süresidir. Dönme süresi bir harfle gösterilir ve SI saniye cinsinden ölçülür:

Dönme frekansı, bir cismin birim zamanda yaptığı devir sayısına eşit fiziksel bir niceliktir.

Frekans bir harfle gösterilir ve karşılıklı saniye cinsinden ölçülür:

İlişki ile ilişkilidirler:

Açısal hız ile cismin dönme frekansı arasında bir ilişki vardır. Tam bir dönüşün 'ye eşit olduğunu hatırlarsak, açısal hızın şöyle olduğunu görmek kolaydır:

Bu ifadeleri açısal ve doğrusal hız arasındaki ilişkiye yerleştirerek doğrusal hızın periyoda veya frekansa bağımlılığını elde edebiliriz:

Merkezcil ivme ile bu büyüklükler arasındaki ilişkiyi de yazalım:

Böylece düzgün dairesel hareketin tüm özellikleri arasındaki ilişkiyi biliyoruz.

Özetleyelim. Bu dersimizde eğrisel hareketi tanımlamaya başladık. Eğrisel hareketi dairesel harekete nasıl bağlayabileceğimizi anladık. Dairesel hareket her zaman hızlanır ve ivmenin varlığı hızın her zaman yönünü değiştirdiği gerçeğini belirler. Bu ivmeye merkezcil ivme denir. Son olarak dairesel hareketin bazı özelliklerini hatırladık ( doğrusal hız, açısal hız, periyot ve dönme frekansı) ve aralarındaki ilişkileri buldum.

Referanslar

1. G.Ya. Myakishev, B.B. Bukhovtsev, N.N. Sotsky. Fizik 10. - Yüksek Lisans: Eğitim, 2008.
2. A.P. Rymkevich. Fizik. Sorun kitabı 10-11. - M.: Bustard, 2006.
3. O.Ya. Savchenko. Fizik problemleri. - M.: Nauka, 1988.
4. AV. Peryshkin, V.V. Krauklis. Fizik dersi. T. 1. - M.: Durum. Öğretmen ed. dk. RSFSR'nin eğitimi, 1957.

1. Аyp.ru ().
2. Vikipedi ().

Ev ödevi

Sorunları çözdükten bu ders GIA'nın 1. sorularına ve Birleşik Devlet Sınavının A1, A2 sorularına hazırlanabilirsiniz.

1. Sorunlar 92, 94, 98, 106, 110 - Cmt. sorunlar Rymkevich, ed. 10
2. Saatin dakika, saniye ve akreplerinin açısal hızını hesaplayın. Her birinin yarıçapı bir metre ise, bu okların uçlarına etki eden merkezcil ivmeyi hesaplayın.