Vektör diyagramı. Titreşimlerin eklenmesi.

Salınım teorisindeki bir takım problemlerin çözümü, salınımların bu yöntem kullanılarak grafiksel olarak temsil edilmesi durumunda çok daha kolay ve daha görsel hale gelir. vektör diyagramları. Hadi bir eksen seçelim X. Noktadan 0 eksen üzerinde, başlangıçta eksenle bir açı oluşturan uzunluk vektörünü çizeriz (Şekil 2.14.1). Bu vektörü açısal hızla döndürürsek, vektörün ucunun eksene izdüşümü X kanunen zamanla değişecek

.

Sonuç olarak, vektörün ucunun eksene izdüşümü, genlikte harmonik bir salınım gerçekleştirecektir. uzunluğa eşit vektör, vektörün açısal dönme hızına eşit dairesel frekansa sahip ve bir başlangıç ​​fazına sahip, açıya eşit ekseni olan bir vektör oluşturan başlangıç ​​anı zaman. Köşe, bir vektör tarafından oluşturulmuş eksenli şu anŞu andaki salınımın evresini zaman belirler - .

Yukarıdakilerden, harmonik bir salınımın, uzunluğu salınımın genliğine eşit olan bir vektör kullanılarak temsil edilebileceği ve yönünün, salınımın fazına eşit belirli bir eksenle bir açı oluşturduğu anlaşılmaktadır. Vektör diyagramı yönteminin özü budur.

Aynı yöndeki salınımların eklenmesi.

Yönleri paralel olan iki harmonik salınımın toplandığını düşünün:

. (2.14.1)

Ortaya çıkan ofset X toplamı olacak ve . Bu genlikli bir salınım olacaktır.

Vektör diyagramı yöntemini kullanalım (Şekil 2.14.2). Şekilde ve - sırasıyla ortaya çıkan ve eklenen salınımların aşamaları. Ve vektörlerini toplayarak neyin bulunabileceğini görmek kolaydır. Bununla birlikte, eklenen salınımların frekansları farklıysa, ortaya çıkan genliğin büyüklüğü zamanla değişir ve vektör değişken bir hızda döner; titreşim harmonik olmayacak ancak bazı karmaşıklıkları temsil edecek salınım süreci. Ortaya çıkan salınımın harmonik olması için eklenen salınımların frekanslarının aynı olması gerekir.

ve ortaya çıkan salınım aynı frekansta meydana gelir

.

İnşaattan anlaşılıyor ki

Ortaya çıkan salınımın genliği için ifadeyi (2.14.2) analiz edelim. Eğer eklenen salınımların faz farkı sıfırdır(salınımlar aynı fazdadır), genlik, eklenen salınımların genliklerinin toplamına eşittir, yani maksimuma sahip olası değer . Eğer faz farkı(salınımlar antifazdadır), o zaman ortaya çıkan genlik, genlik farkına eşittir, yani mümkün olan minimum değere sahiptir .

Karşılıklı dik titreşimlerin eklenmesi.

Parçacığın aynı frekansta iki harmonik salınım yapmasına izin verin: biri bizim belirttiğimiz yönde X, başka bir - içeri dikey yön sen. Bu durumda parçacık belirli bir doğrultuda hareket edecektir. Genel dava, eğrisel yörüngeşekli salınımların fazlarındaki farka bağlıdır.

Bir salınımın başlangıç ​​aşaması sıfıra eşit olacak şekilde zaman sayımının başlangıcını seçelim:

. (2.14.3)

Parçacık yörünge denklemini elde etmek için (2.14.3)'ün hariç tutulması gerekir. T. İlk denklemden, a. Araç, . İkinci denklemi yeniden yazalım

veya

.

İlk terimi denklemin sağ tarafından sola aktarıp, ortaya çıkan denklemin karesini alıp dönüşümleri yaparak şunu elde ederiz:

. (2.14.4)

Bu denklem, eksenleri eksenlere göre döndürülen bir elipsin denklemidir X Ve sen bir açıda. Ancak bazı özel durumlarda daha basit sonuçlar elde edilir.

1. Faz farkı sıfırdır. Daha sonra (2.14.4)'ten şunu elde ederiz:

veya . (2.14.5)

Bu, düz bir çizginin denklemidir (Şekil 2.14.3). Böylece parçacık bu düz çizgi boyunca eşit bir frekans ve genlikle salınır.

Karmaşık genlik yöntemi

Düzlemdeki bir noktanın konumu karmaşık bir sayıyla benzersiz bir şekilde belirtilebilir:

($A$) noktası dönerse bu noktanın koordinatları yasaya göre değişir:

Şu forma $z$ yazalım:

burada $Re(z)=x$, yani fiziksel miktar x gerçek kısma eşittir karmaşık ifade(4). Bu durumda, karmaşık ifadenin modülü, argümanı olan $a$ salınım genliğine eşittir. faza eşit($(\omega )_0t+\delta $). Bazen $z$'ın gerçel kısmı alınırken Re işleminin işareti atlanır ve sembolik bir ifade elde edilir:

İfade (5) kelimesi kelimesine alınmamalıdır. Genellikle resmi olarak basitleştirilmiştir (5):

burada $A=ae^(i \delta)$ salınımın karmaşık genliğidir. $A$ genliğinin karmaşık doğası, salınımın sıfıra eşit olmayan bir başlangıç ​​aşamasına sahip olduğu anlamına gelir.

ortaya çıkarmak için fiziksel anlam(6) gibi ifadelerle, salınım frekansının ($(\omega )_0$) gerçek ve sanal kısımlara sahip olduğunu ve şu şekilde temsil edilebileceğini varsayalım:

O halde ifade (6) şu şekilde yazılabilir:

Eğer $(\omega )2>0,$ ise ifade (8) sönümlemeyi tanımlar harmonik titreşimler$\omega1$ dairesel frekansı ve $(\omega )_2$ sönüm üssü ile. Eğer $(\omega )_2

Yorum

Karmaşık miktarlar üzerinde birçok işlem gerçekleştirilebilir. matematiksel işlemler sanki miktarlar gerçekmiş gibi. İşlemler, eğer kendileri doğrusal ve gerçekse mümkündür (toplama, çarpma, gerçek bir değişkene göre türev alma ve diğerleri gibi, ancak hepsi değil). Karmaşık niceliklerin kendilerinin hiçbir şeye karşılık gelmediğini hatırlamalıyız. fiziksel özellikler.

Vektör diyagramı yöntemi

$A$ noktasının yarıçapı $r$ olan bir daire boyunca düzgün bir şekilde dönmesine izin verin (Şekil 1), dönüş hızı $(\omega )_0$.

Resim 1.

$A$ noktasının daire üzerindeki konumu $\varphi $ açısı kullanılarak belirtilebilir. Bu açı şuna eşittir:

burada $\delta =\varphi (t=0)$, $\overrightarrow(r)$ yarıçap vektörünün başlangıç ​​zamanındaki dönüş açısıdır. $M$ noktası dönerse, bu durumda $ekseni X$ üzerindeki izdüşümü dairenin çapı boyunca hareket ederek $M$ $N$ noktaları arasında harmonik salınımlar gerçekleştirir. $A$ noktasının apsisi şu şekilde yazılabilir:

Benzer şekilde, herhangi bir büyüklükteki dalgalanmaları da temsil edebilirsiniz.

Sadece daire etrafında düzgün bir şekilde dönen $A$ noktasının apsisi ile salınan bir niceliğin görüntüsünü kabul etmek gerekir. Elbette koordinatı kullanabilirsiniz:

Not 1

Temsil etmek için sönümlü salınımlar, bir daire değil, odağa yaklaşan logaritmik bir spiral almalıyız. Spiralde hareket eden bir noktanın yaklaşma hızı sabitse ve nokta odağa doğru hareket ediyorsa, bu noktanın X eksenine izdüşümü sönümlü salınımlar için formüller verecektir.

Not 2

Bir nokta yerine, başlangıç ​​noktası etrafında eşit şekilde dönecek bir yarıçap vektörü kullanabilirsiniz. Daha sonra harmonik salınımlar gerçekleştiren miktar, bu vektörün X eksenine izdüşümü olarak gösterilecektir. Bu durumda $x$ miktarına ilişkin matematiksel işlemlerin yerini bir vektör üzerindeki işlemler alır.

Yani iki miktarın toplanması işlemi:

iki vektörü toplayarak (paralelkenar kuralını kullanarak) değiştirmek daha uygundur. Vektörler, seçilen $ekseni X$ üzerindeki projeksiyonları $x_1\ ve\ x_2$ ifadeleri olacak şekilde seçilmelidir. O zaman projeksiyondaki vektörlerin apsis eksenine toplanması işleminin sonucu $x_1+\ x_2$'a eşit olacaktır.

örnek 1

Vektör diyagramı yönteminin kullanımını gösterelim.

Öyleyse hayal edelim Karışık sayılar vektörler karmaşık düzlem. Göre değişen miktar harmonik kanunu, kendi orijini etrafında saat yönünün tersine $(\omega )0$ frekansıyla dönen bir vektörle temsil edilir. Vektörün uzunluğu salınımların genliğine eşittir.

Örneğin denklemi çözmek için grafiksel yöntem:

burada $Z=R+i(\omega L-\frac(1)(\omega C))$, Şekil 2 kullanılarak temsil edilen empedanstır. Bu resim gösteriyor vektör diyagramı AC devresindeki voltajlar.

Şekil 2.

Karmaşık bir değeri karmaşık bir birim ile çarpmanın, onu saat yönünün tersine $90^0$ açıyla döndürmek ve ($-i$) ile aynı açıyla saat yönünde çarpmak anlamına geldiğini hesaba katalım. Şekil 2'den şu sonuç çıkıyor:

burada $-\frac(\pi )(2)\le \varphi \le \frac(\pi )(2).$ $\varphi $ açısındaki değişiklik, devre elemanlarının empedansları ile devre elemanları arasındaki ilişkiye bağlıdır. frekanslar. Harici voltajın fazı, endüktans üzerindeki voltajla çakışmaktan kapasitör üzerindeki voltajla çakışmaya kadar değişebilir. Bu genellikle devre elemanları üzerindeki gerilimlerin fazları ile harici gerilimin fazı arasındaki ilişki şeklinde ifade edilir:

$((U)L=i\omega LI)$ endüktansı boyunca voltajın fazı her zaman harici voltajın fazını $0$ ile $\pi .$ arasında bir açıyla önde tutar.

$((U)C=-\frac(iI)(\omega C)$) kapasitansındaki voltaj fazı her zaman $0$ ile --$\ \pi .$ arasındaki bir açı kadar harici voltaj fazının gerisinde kalır.

Bu durumda dirençteki faz, $\frac(\pi )(2)$ ve $\frac(\pi )(2)$ arasındaki açı kadar dış voltajın fazından önde veya geride kalabilir.

Vektör diyagramı (Şekil 2) aşağıdakileri formüle etmemizi sağlar:

Endüktans boyunca gerilim fazı, mevcut fazdan $\frac(\pi )(2)$ kadar öndedir.

Kapasitans boyunca gerilim fazı, mevcut fazdan $\frac(\eth )(2)\ $geridedir.

Direnç üzerindeki voltajın fazı akımın fazına denk gelir.

Örnek 2

Egzersiz yapmak: Karmaşık niceliklere kare almanın gerçek sayılar olarak uygulanamayacağını gösterin.

Çözüm:

Diyelim ki karelememiz gerekiyor gerçek Numara$x$. Doğru cevap: $x^2$. Resmi olarak uygulanabilir karmaşık yöntem. Bir değiştirme yapalım:

$x\to x+iy$. Ortaya çıkan ifadenin karesini alalım ve şunu elde edelim:

\[(\left(x+iy\right))^2=x^2-y^2+2xyi\ \left(2.1\right).\]

(2.1) ifadesinin gerçek kısmı şuna eşittir:

\[(Geri\sol(x+iy\sağ))^2=Geri\sol(x^2-y^2+2xyi\sağ)=x^2-y^2\ne x^2.\]

Hatanın nedeni kare alma işleminin doğrusal olmamasıdır.

Harmonik titreşimler

Onlar. aslında sinüs grafiği, aşağıdaki formülle açıklanan vektörün dönüşünden elde edilir:

F(x) = Bir günah (ωt + φ),

A, vektörün uzunluğu (salınım genliği) olduğunda, φ, vektörün sıfır zamandaki başlangıç ​​açısıdır (fazı), ω - açısal hızşuna eşit olan rotasyon:

ω=2 πf, burada f, Hertz cinsinden frekanstır.

Gördüğümüz gibi sinyalin frekansını, genliğini ve açısını bilerek harmonik bir sinyal oluşturabiliriz.

Sihir, kesinlikle herhangi bir sinyalin temsilinin, farklı sinüzoidlerin toplamı (genellikle sonsuz) olarak temsil edilebildiği ortaya çıktığında başlar. Başka bir deyişle Fourier serisi şeklindedir.
İngilizce Vikipedi'den bir örnek vereceğim. Örnek olarak testere dişi sinyalini ele alalım.

Rampa sinyali

Tutarı aşağıdaki formülle temsil edilecektir:

Tek tek toplarsak, önce n=1, sonra n=2 vb. alırsak, harmonik sinüzoidal sinyalimizin nasıl yavaş yavaş testereye dönüştüğünü göreceğiz:

Bu muhtemelen internette bulduğum bir program tarafından en güzel şekilde gösterilmiştir. Yukarıda sinüs grafiğinin dönen bir vektörün izdüşümü olduğu söylenmişti, peki ya daha karmaşık sinyaller? Garip bir şekilde bu, birçok dönen vektörün izdüşümüdür, daha doğrusu bunların toplamıdır ve hepsi şöyle görünür:

Vektör çizim testeresi.

Genel olarak bağlantıya kendiniz gitmenizi ve parametrelerle kendiniz oynamaya çalışmanızı ve sinyalin nasıl değiştiğini görmenizi öneririm. IMHO Anlamak için bundan daha görsel bir oyuncak görmedim.

Ayrıca, Fourier Dönüşümü olarak adlandırılan, belirli bir sinyalden frekans, genlik ve başlangıç ​​​​fazını (açı) elde etmenize olanak tanıyan ters bir prosedür olduğu da unutulmamalıdır.

Bazı iyi bilinenlerin Fourier serisi genişletmesi periyodik fonksiyonlar(buradan)

Bunun üzerinde ayrıntılı olarak durmayacağım ama hayatta nasıl uygulanabileceğini göstereceğim. Kaynakçada materyal hakkında daha fazla bilgiyi nerede bulabileceğinizi önereceğim.

Hadi pratik alıştırmalara geçelim!

Bana öyle geliyor ki her öğrenci bir derste otururken, örneğin matematikle ilgili bir soru soruyor: neden tüm bu saçmalığa ihtiyacım var? Ve kural olarak, öngörülebilir gelecekte bir cevap bulamadığı için maalesef konuya olan ilgisini kaybediyor. Bu yüzden sana hemen göstereceğim pratik kullanım bu bilgi ve bu bilgiye kendiniz hakim olacaksınız :).

Her şeyi daha da kendi başıma uygulayacağım. Elbette her şeyi Linux altında yaptım, ancak teoride herhangi bir ayrıntı kullanmadım; program diğer platformlar altında derlenecek ve çalışacaktır.

Öncelikle ses dosyası oluşturacak bir program yazalım. Wav dosyası en basit dosya olarak alındı. Yapısını okuyabilirsiniz.
Kısaca, bir wav dosyasının yapısı şu şekilde açıklanmaktadır: dosya formatını tanımlayan bir başlık ve ardından (bizim durumumuzda) uzunluğu: sample_frequency*t saniye olan 16 bitlik bir veri (işaretçi) dizisi vardır. veya 44100*t adet.

Bir ses dosyası oluşturmak için bir örnek alınmıştır. Biraz değiştirdim, hataları düzelttim ve düzenlemelerimle son hali artık Github'da burada

100 Hz frekansında saf sinüs dalgasına sahip iki saniyelik bir ses dosyası oluşturalım. Bunu yapmak için programı şu şekilde değiştiriyoruz:

#define S_RATE (44100) //örnekleme frekansı #define BUF_SIZE (S_RATE*10) /* 2 saniyelik tampon */ …. int main(int argc, char * argv) ( ... float genliği = 32000; //mümkün olan maksimum genliği alın float freq_Hz = 100; //sinyal frekansı /* tamponu sinüs dalgasıyla doldurun */ for (i=0 ; Ben

Saf sinüs formülünün yukarıda tartıştığımız formüle karşılık geldiğini lütfen unutmayın. 32000 genliği (32767 alınabilirdi), 16 bitlik bir sayının alabileceği değere (eksi 32767'den artı 32767'ye) karşılık gelir.

Sonuç olarak, aşağıdaki dosyayı alıyoruz (hatta herhangi bir ses üretme programıyla dinleyebilirsiniz). Bu audacity dosyasını açalım ve sinyal grafiğinin aslında saf sinüs dalgasına karşılık geldiğini görelim:

Saf tüp sinüsü

Bu sinüsün spektrumuna bakalım (Analiz->Spektrum grafiği)

Spektrum grafiği

100 Hz'de net bir tepe noktası görülebilir ( logaritmik ölçek). Spektrum nedir? Bu genlik-frekans karakteristiğidir. Ayrıca bir faz frekansı özelliği de vardır. Hatırlarsanız yukarıda bir sinyal oluşturmak için frekansını, genliğini ve fazını bilmeniz gerektiğini söylemiştim. Yani bu parametreleri sinyalden alabilirsiniz. İÇİNDE bu durumda Genliğe karşılık gelen bir frekans grafiğimiz var ve genlik gerçek birimlerde değil Desibel cinsindendir.

Programın nasıl çalıştığını anlatmak için hızlı Fourier dönüşümünün ne olduğunu açıklamak gerektiğini anlıyorum ve bu en az bir makale daha.

Öncelikle dizileri tahsis edelim:

C = calloc(size_array*2, sizeof(float)); // dönüş faktörlerinin dizisi = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //giriş dizisi çıkışı = calloc(size_array*2, sizeof(float)); //çıkış dizisi

Sadece şunu söyleyeyim, programda verileri size_array uzunluğundaki bir diziye okuyoruz (bunu wav dosyasının başlığından alıyoruz).

While(fread(&value,sizeof(value),1,wav)) ( in[j]=(float)value; j+=2; if (j > 2*size_array) break; )

için dizi hızlı dönüşüm Fourier bir dizi olmalıdır (re, im, re, im,… re, im), burada fft_size=1<< p - число точек БПФ. Объясняю нормальным языком:
karmaşık sayıların bir dizisidir. Karmaşık Fourier dönüşümünün nerede kullanıldığını hayal etmeye bile korkuyorum ama bizim durumumuzda sanal kısım sıfıra, gerçek kısım ise dizinin her noktasının değerine eşittir.
Hızlı Fourier dönüşümünün bir başka özelliği de yalnızca ikinin katları olan dizileri hesaplamasıdır. Sonuç olarak ikinin minimum gücünü hesaplamamız gerekir:

Int p2=(int)(log2(header.bytes_in_data/header.bytes_by_capture));

Verilerdeki bayt sayısının logaritmasının bir noktadaki bayt sayısına bölümü.

Bundan sonra rotasyon faktörlerini hesaplıyoruz:

Fft_make(p2,c); // FFT için dönüş faktörlerini hesaplama işlevi (ilk parametre ikinin katıdır, ikincisi ise dönüş faktörlerinin tahsis edilmiş dizisidir).

Ve adil dizimizi Fourier transformatörüne besliyoruz:

Fft_calc(p2, c, giriş, çıkış, 1); //(biri normalleştirilmiş bir dizi elde ettiğimiz anlamına gelir).

Çıktıda (re, im, re, im,… re, im) biçimindeki karmaşık sayıları elde ederiz. Karmaşık sayının ne olduğunu bilmeyenler için açıklayacağım. Bu makaleye bir sürü dönen vektör ve bir sürü GIF ile başlamam boşuna değil. Yani, karmaşık düzlemdeki bir vektör, gerçek koordinat a1 ve hayali koordinat a2 tarafından belirlenir. Veya uzunluk (bu bizim için Am genliğidir) ve Psi açısı (faz).

Karmaşık düzlemde vektör

Lütfen size_array=2^p2 olduğunu unutmayın. Dizinin ilk noktası 0 Hz (sabit) frekansına, son noktası ise örnekleme frekansına yani 44100 Hz'e karşılık gelir. Sonuç olarak, her noktaya karşılık gelen ve delta frekansına göre farklılık gösteren frekansı hesaplamamız gerekir:

Double delta=((float)header.frequency)/(float)size_array; //dizi boyutu başına örnekleme frekansı.

Genlik dizisini belirleyin:

Çift * ampl; ampl = calloc(size_array*2, sizeof(double));

Ve resme bakın: genlik, vektörün uzunluğudur. Ve onun gerçek ve sanal eksene izdüşümlerine sahibiz. Sonuç olarak, bir dik üçgenimiz olacak ve burada Pisagor teoremini hatırlıyoruz, her vektörün uzunluğunu sayıyoruz ve bunu hemen bir metin dosyasına yazıyoruz:

için(i=0;i<(size_array);i+=2) { fprintf(logfile,"%.6f %f\n",cur_freq, (sqrt(out[i]*out[i]+out*out))); cur_freq+=delta; }
Sonuç olarak şöyle bir dosya elde ediyoruz:

… 11.439514 10.943008 11.607742 56.649738 11.775970 15.652428 11.944199 21.872342 12.112427 30.635371 12.280655 30.329171 12.448883 11.932371 12.617111 20.777617 ...

Hadi deneyelim!

Şimdi ortaya çıkan programı sinüs ses dosyasıyla besliyoruz

./fft_an ../generate_wav/sin\ 100\ Hz.wav formatı: 16 bit, sıkıştırılmamış PCM, kanal 1, frekans 44100, saniyede 88200 bayt, yakalamayla 2 bayt, örnek başına 2 bit, veri yığınında 882000 bayt= 441000 log2=18 size array=262144 wav formatı Maks Frek = 99,928 , amp =7216,136

Ve frekans cevabının bir metin dosyasını alıyoruz. Grafiğini gnuplot kullanarak oluşturuyoruz

İnşaat için senaryo:

#! /usr/bin/gnuplot -persist set terminal postscript eps geliştirilmiş renk katı set çıktı "result.ps" #set terminal png boyutu 800, 600 #set çıktı "result.png" set grid xtics ytics set log xy set xlabel "Freq, Hz" set etiketi "Amp, dB" set xrange #set yrange grafiği 1:2 başlık kullanılarak "test.txt" "AFC" with lines linestyle 1 !}

Lütfen koddaki X boyunca noktaların sayısına ilişkin sınırlamaya dikkat edin: set xrange . Örnekleme frekansımız 44100 ve Kotelnikov teoremini hatırlarsak sinyal frekansı örnekleme frekansının yarısından daha yüksek olamaz, bu nedenle 22050 Hz'nin üzerindeki bir sinyalle ilgilenmiyoruz. Neden böyle, özel literatürü okumanızı tavsiye ederim.
Yani (davul sesi), betiği çalıştırıyoruz ve şunu görüyoruz:

Sinyalimizin spektrumu

100 Hz'deki keskin zirveye dikkat edin. Eksenlerin logaritmik ölçekte olduğunu unutmayın! Sağdaki yün, Fourier dönüşümü hataları olduğunu düşündüğüm şey (burada akla pencereler geliyor).

Hoşgörelim mi?

Hadi! Diğer sinyallerin spektrumlarına bakalım!

Etrafta gürültü var...

Double d_random(double min, double max) ( return min + (max - min) / RAND_MAX * rand(); )

Verilen aralıkta rastgele bir sayı üretecektir. Sonuç olarak main şöyle görünecek:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; float amplitude = 32000; srand((unsigned int)time(0)); //(i=0; i) için rastgele sayı üretecini başlat

Bir dosya oluşturalım (dinlemenizi tavsiye ederim). Cesaretle bakalım.

Cesaret sinyali

Audacity programındaki spektruma bakalım.

Menzil

Ve programımızı kullanarak spektruma bakalım:

Bizim spektrumumuz

Gürültünün çok ilginç bir gerçeğine ve özelliğine dikkatinizi çekmek istiyorum; tüm harmoniklerin spektrumlarını içerir. Grafikten de görülebileceği gibi spektrum oldukça eşittir. Tipik olarak beyaz gürültü, ses ekipmanı gibi bant genişliğinin frekans analizi için kullanılır. Başka gürültü türleri de vardır: pembe, mavi ve diğerleri. Ev ödevi bunların nasıl farklılaştığını bulmaktır.

Peki ya komposto?

Şimdi başka bir ilginç sinyale bakalım: menderes. Yukarıda Fourier serisindeki çeşitli sinyallerin açılımlarının bir tablosunu verdim, siz kıvrımın nasıl genişletildiğine bakın, bunu bir kağıda yazın ve devam edelim.

25 Hz frekansında bir kare dalga oluşturmak için wav dosyası oluşturucumuzu bir kez daha değiştiriyoruz:

Int main(int argc, char * argv) ( int i; short int meandr_value=32767; /* tamponu sinüs dalgasıyla doldur */ for (i=0; i

Sonuç olarak, hemen cesaretle izlemeniz gereken bir ses dosyası elde ediyoruz (yine dinlemenizi tavsiye ederim)

Majesteleri - sağlıklı bir insanın kıvrımlı veya kıvrımlı hali

Vazgeçmeyelim ve spektrumuna bir göz atalım:

Menderes spektrumu

Ne olduğu henüz çok net değil... İlk birkaç harmoniğe bakalım:

İlk harmonikler

Bu tamamen farklı bir konu! Peki, tabelaya bakalım. Bakın elimizde sadece 1, 3, 5 vs. var, yani. garip harmonikler. İlk harmoniğimizin 25 Hz, sonraki (üçüncü) 75 Hz, ardından 125 Hz vb. olduğunu görüyoruz, bu arada genliğimiz giderek azalıyor. Teori pratikle buluşuyor!
Şimdi dikkat! Gerçek hayatta, bir kare dalga sinyali, daha yüksek ve daha yüksek frekansların sonsuz bir harmonik toplamına sahiptir, ancak kural olarak, gerçek elektrik devreleri, belirli bir frekansın üzerindeki frekansları (izlerin endüktansı ve kapasitansı nedeniyle) geçiremez. Sonuç olarak osiloskop ekranında sıklıkla aşağıdaki sinyali görebilirsiniz:

Sigara içenlerin menderes

Bu resim tıpkı Vikipedi'deki resim gibidir; burada kıvrımlı örnek olarak tüm frekanslar değil, yalnızca ilk birkaçı çekilmiştir.

İlk harmoniklerin toplamı ve sinyalin nasıl değiştiği

Menderes aynı zamanda radyo mühendisliğinde de aktif olarak kullanılmaktadır (bunun tüm dijital teknolojinin temeli olduğu söylenmelidir) ve uzun zincirlerle annenin onu tanımaması için filtrelenebileceğini anlamaya değer. Ayrıca çeşitli cihazların frekans yanıtını kontrol etmek için de kullanılır. Bir başka ilginç gerçek, TV sinyal bozucularının, mikro devrenin kendisi onlarca MHz'lik bir kıvrım ürettiğinde ve daha yüksek harmoniklerinin, tam olarak TV'nin çalışma frekansında yüzlerce MHz frekansa sahip olabileceği zaman, tam olarak daha yüksek harmonikler ilkesine göre çalışmasıdır ve daha yüksek harmonikler TV yayın sinyalini başarıyla bozdu.

Genel olarak bu tür deneylerin konusu sonsuzdur ve artık buna kendiniz devam edebilirsiniz.

Kitap

Burada ne yaptığımızı anlamayanlara veya tam tersi, anlayan ama daha iyi anlamak isteyenlere ve DSP okuyan öğrencilere bu kitabı şiddetle tavsiye ediyorum. Bu, bu yazının yazarı olan aptallar için bir DSP'dir. Orada karmaşık kavramlar bir çocuğun bile anlayabileceği bir dilde açıklanıyor.

Çözüm

Sonuç olarak matematiğin bilimlerin kraliçesi olduğunu söylemek isterim, ancak gerçek uygulama olmadan birçok insan ona olan ilgisini kaybeder. Umarım bu yazı sizi sinyal işleme ve genel olarak analog devreler gibi harika bir konuyu incelemeye teşvik eder (kulaklarınızı tıkayın ki beyniniz dışarı sızmasın!). :)
İyi şanlar!

Etiketler:

Harmonik salınım X = AÇünkü(w T+ a) geometrik olarak keyfi bir yöne projeksiyonla temsil edilebilir X w açısal hızıyla sabit bir eksen etrafında dönen vektör. Bu vektörün uzunluğu salınımın genliğine eşittir ve başlangıç ​​yönü eksen ile şekillenir. X salınımın başlangıç ​​aşamasına eşit açı - a. Bu geometrik yorumu kullanarak aynı frekans ve yöndeki iki harmonik salınımın toplanması problemini çözeceğiz.

X = X 1 + X 2 = A 1 Çünkü(w T+ bir 1) + A 2 Çünkü(w T+ a 2).

Bir vektör oluşturalım (eksene 1 açıyla) X), ilk titreşimi temsil eder. Eksenle a 2 açısını oluşturan vektörü de buna ekleyelim. X(Şekil 12.8). Bu vektörlerin eksene izdüşümlerinin toplamı X toplamına eşit vektörün bu eksen üzerindeki izdüşümüne eşittir ve .

X = X 1 + X 2 .

Pirinç. 12.8

Bu vektör diyagramını koordinatların orijini olan O noktasından geçen bir eksen etrafında w açısal hızıyla döndürmeye çalışalım. Bu durumda eşitlik X = X 1 + X 2, tahminlerin kendileri olmasına rağmen zaman içinde değişmeden kalacaktır. X, X 1 ve X 2 şimdi harmonik bir yasaya göre aynı frekans w ile ve sırasıyla a, a 1 ve a 2 başlangıç ​​fazlarıyla titreşecektir. İki titreşimin eklenmesi sonucu:

X 1 = A 1 Çünkü(w T+ a 1) ve X 2 = A 2 Çünkü(w T+ a 2) yeni bir salınım meydana gelir X = X 1 + X 2 =

= AÇünkü(w T+ a), frekansı - w – eklenen salınımların frekansıyla çakışır. Genliği, Şekil 2'de gösterildiği gibi vektörün mutlak değerine ve başlangıç ​​​​fazına a eşittir. 12.8, şuna eşittir:

.

Genliği hesaplamak için " A» toplam salınım için kosinüs teoremini kullanıyoruz:

Ortaya çıkan salınımın genliği yalnızca eklenen salınımların genliğine bağlı değildir. A 1 ve A 2, ama aynı zamanda başlangıç ​​aşamalarındaki fark hakkında da. Maksimum genlikli salınım, A = A maksimum = A 1 + A 2, faz içi salınımlar eklenirken, yani başlangıç ​​​​fazları çakıştığında meydana gelir: a 1 = a 2.

Faz farkı (a 2 – a 1) = p ise, toplam salınımın genliği minimum olacaktır A = A dk = | A 1 – A 2 |. Antifazda meydana gelen bu tür salınımların genlikleri eşitse ( A 1 = A 2), o zaman toplam salınımın genliği sıfıra eşit olacaktır.

Gelecekte yalnızca salınımları değil aynı zamanda dalgaları da eklerken bu vektör diyagramları yöntemini sıklıkla kullanacağız.

Ders 13 “Mekanik titreşimler”

Ders taslağı

1. Harmonik bir osilatörün enerjisi.

2. Doğal sönümlü salınımlar.

3. Zorlanmış titreşimler. Rezonans. Zorunlu salınımların genliği ve fazı.

Aynı vücut aynı anda iki veya daha fazla harekete katılabilir. Basit bir örnek, yataya belli bir açıyla atılan bir topun hareketidir. Topun iki bağımsız, karşılıklı dik harekete katıldığını varsayabiliriz: yatay olarak tek tip ve dikey olarak tek tip değişken. Aynı cisim (madde noktası) iki (veya daha fazla) salınım hareketine katılabilir.

Altında salınımların eklenmesi Salınım sistemi aynı anda birden fazla salınım sürecine katılıyorsa, ortaya çıkan titreşim yasasının tanımını anlayın. İki sınırlayıcı durum vardır: bir yöndeki salınımların eklenmesi ve karşılıklı dik salınımların eklenmesi.

2.1. Tek yönlü harmonik titreşimlerin eklenmesi

1. Aynı yöndeki iki salınımın eklenmesi(eş yönlü salınımlar)

iki denklemin eklenmesi yerine vektör diyagramı yöntemi (Şekil 9) kullanılarak yapılabilir.

Şekil 2.1 genlik vektörlerini göstermektedir A 1(t) ve A 2 (t), bu salınımların fazları sırasıyla eşit olduğunda, rastgele bir t zamanında salınımlar eklendi Ve . Salınımların eklenmesi tanıma gelir . Bir vektör diyagramında, eklenen vektörlerin izdüşümlerinin toplamının, bu vektörlerin vektör toplamının izdüşümüne eşit olduğu gerçeğinden yararlanalım.

Ortaya çıkan salınım vektör diyagramında genlik vektörüne ve faza karşılık gelir.

Şekil 2.1 – Eş yönlü salınımların eklenmesi.

Vektör büyüklüğü A(t) kosinüs teoremi kullanılarak bulunabilir:

Ortaya çıkan salınımın fazı aşağıdaki formülle verilir:

.

Toplanan salınımların frekansları ω 1 ve ω 2 eşit değilse, o zaman hem faz φ(t) hem de genlik A(t) Ortaya çıkan dalgalanmalar zamanla değişecektir. Eklenen salınımlara denir tutarsız bu durumda.

2. İki harmonik titreşim x 1 ve x 2 olarak adlandırılır tutarlı, eğer faz farkları zamana bağlı değilse:

Ancak bu iki salınımın tutarlılık koşulunu yerine getirebilmesi için döngüsel frekanslarının eşit olması gerekir.

Eşit frekanslara sahip eş yönlü salınımların (tutarlı salınımlar) eklenmesiyle elde edilen salınımın genliği şuna eşittir:

Ortaya çıkan salınımın başlangıç ​​aşamasını, vektörleri yansıtırsanız bulmak kolaydır A 1 ve A OX ve OU koordinat eksenlerinde 2 (bkz. Şekil 9):

.

Bu yüzden, eşit frekanslara sahip iki harmonik eş yönlü salınımın eklenmesiyle elde edilen sonuçtaki salınım da bir harmonik salınımdır.

3. Ortaya çıkan salınımın genliğinin, eklenen salınımların başlangıç ​​evrelerindeki farka bağımlılığını inceleyelim.

Eğer , burada n negatif olmayan herhangi bir tam sayıdır

(n = 0, 1, 2…), o zaman minimum. Ekleme anında eklenen salınımlar antifaz. Ortaya çıkan genlik sıfır olduğunda.

Eğer , O , yani ortaya çıkan genlik şöyle olacaktır: maksimum. Ekleme anında eklenen salınımlar tek aşamada, yani aşamadaydı. Eğer eklenen salınımların genlikleri aynı ise , O .

4. Eşit olmayan ancak benzer frekanslara sahip eş yönlü salınımların eklenmesi.

Eklenen salınımların frekansları eşit değil ancak frekans farkı hem ω 1 hem de ω 2'den çok daha az. Eklenen frekansların yakınlığının koşulu ilişkiler tarafından yazılır.

Yakın frekanslarla birlikte yönlendirilmiş salınımların eklenmesine bir örnek, yay sertliği k 1 ve k 2'den biraz farklı olan yatay bir yay sarkacının hareketidir.

Eklenen salınımların genlikleri aynı olsun ve başlangıç ​​aşamaları sıfıra eşittir. Daha sonra eklenen salınımların denklemleri şu şekildedir:

, .

Ortaya çıkan salınım aşağıdaki denklemle tanımlanır:

Ortaya çıkan salınım denklemi iki harmonik fonksiyonun çarpımına bağlıdır: biri frekanslı , diğeri frekanslı burada ω eklenen salınımların frekanslarına yakındır (ω 1 veya ω 2). Ortaya çıkan salınım şu şekilde düşünülebilir: harmonik bir yasaya göre değişen genliğe sahip harmonik salınım. Bu salınım sürecine denir atım. Açıkça söylemek gerekirse, genel durumda ortaya çıkan salınım, harmonik bir salınım değildir.

Genlik pozitif bir miktar olduğundan kosinüsün mutlak değeri alınır. Bağımlılığın doğası x res. dayak sırasında Şekil 2.2'de gösterilmektedir.

Şekil 2.2 – Vuruş sırasında yer değiştirmenin zamana bağlılığı.

Vuruşların genliği frekansla birlikte yavaş yavaş değişir. Eğer argümanı π kadar değişirse kosinüsün mutlak değeri tekrarlanır; bu, ortaya çıkan genliğin değerinin τ b zaman aralığından sonra tekrarlanacağı anlamına gelir. vuruş dönemi(Bkz. Şekil 12). Vuruş periyodunun değeri aşağıdaki ilişkiden belirlenebilir:

Değer dayak süresidir.

Büyüklük ortaya çıkan salınımın periyodudur (Şekil 2.4).

2.2. Karşılıklı dik titreşimlerin eklenmesi

1. Karşılıklı dik salınımların toplamının gösterilebileceği bir model Şekil 2.3'te sunulmaktadır. Bir sarkaç (kütlesi m olan maddi bir nokta), karşılıklı olarak dik olarak yönlendirilen iki elastik kuvvetin etkisi altında OX ve OU eksenleri boyunca salınabilir.

Şekil 2.3

Katlanmış salınımlar şu şekildedir:

Salınım frekansları , olarak tanımlanır; burada , yay sertliği katsayılarıdır.

2. İki tane ekleme durumunu düşünün aynı frekanslara sahip karşılıklı dik salınımlar , duruma karşılık gelir (aynı yaylar). Daha sonra eklenen salınımların denklemleri şu şekli alacaktır:

Bir nokta aynı anda iki harekete dahil olduğunda yörüngesi farklı ve oldukça karmaşık olabilir. Eşit frekanslara sahip karşılıklı olarak dik iki salınım eklendiğinde OXY düzleminde ortaya çıkan salınımların yörüngesine ilişkin denklem, x ve y için orijinal denklemlerden t zamanının hariç tutulmasıyla belirlenebilir:

Yörünge türü, başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak eklenen salınımların başlangıç ​​aşamalarındaki farkla belirlenir (bkz. § 1.1.2). Olası seçenekleri düşünelim.

ve eğer n = 0, 1, 2…, yani. eklenen salınımlar aynı fazdaysa yörünge denklemi şu şekli alacaktır:

(Şekil 2.3a).

b) Eğer (n = 0, 1, 2...), yani. eklenen salınımlar antifazdaysa yörünge denklemi şu şekilde yazılır:

(Şekil 2.3b).

Her iki durumda da (a, b), noktanın sonuçta ortaya çıkan hareketi, O noktasından geçen düz bir çizgi boyunca bir salınım olacaktır. Ortaya çıkan salınımın frekansı, eklenen salınımların frekansına eşittir ω 0, genlik belirlenir ilişki tarafından.