Bugün sizi bizimle bir fonksiyonun grafiğini keşfetmeye ve oluşturmaya davet ediyoruz. Bu makaleyi dikkatlice inceledikten sonra, bu tür bir görevi tamamlamak için uzun süre terlemenize gerek kalmayacak. Bir fonksiyonun grafiğini incelemek ve oluşturmak kolay değildir; maksimum dikkat ve hesaplama doğruluğu gerektiren hacimli bir iştir. Materyalin anlaşılmasını kolaylaştırmak için aynı işlevi adım adım inceleyeceğiz ve tüm eylemlerimizi ve hesaplamalarımızı açıklayacağız. Matematiğin şaşırtıcı ve büyüleyici dünyasına hoş geldiniz! Hadi gidelim!

Tanım alanı

Bir fonksiyonu keşfetmek ve grafiğini çizmek için çeşitli tanımları bilmeniz gerekir. Fonksiyon matematiğin ana (temel) kavramlarından biridir. Değişiklikler sırasında çeşitli değişkenler (iki, üç veya daha fazla) arasındaki bağımlılığı yansıtır. Fonksiyon aynı zamanda kümelerin bağımlılığını da gösterir.

Belirli bir değişim aralığına sahip iki değişkenimiz olduğunu hayal edin. Dolayısıyla, ikinci değişkenin her değerinin ikincinin bir değerine karşılık gelmesi şartıyla y, x'in bir fonksiyonudur. Bu durumda y değişkeni bağımlıdır ve ona fonksiyon denir. X ve y değişkenlerinin şu şekilde olduğunu söylemek gelenekseldir: Bu bağımlılığın daha net anlaşılması için fonksiyonun bir grafiği oluşturulur. Bir fonksiyonun grafiği nedir? Bu bir dizi noktadır koordinat düzlemi burada her x değeri bir y değerine karşılık gelir. Grafikler farklı olabilir - düz çizgi, hiperbol, parabol, sinüs dalgası vb.

Araştırma yapmadan bir fonksiyonun grafiğini çizmek imkansızdır. Bugün nasıl araştırma yapacağımızı ve bir fonksiyonun grafiğini nasıl oluşturacağımızı öğreneceğiz. Çalışma sırasında not almak çok önemlidir. Bu, görevin üstesinden gelmeyi çok daha kolay hale getirecek. En uygun araştırma planı:

1. Tanımın kapsamı.
2. Süreklilik.
3. Çift veya tek.
4. Periyodiklik.
5. Asimptotlar.
6. Sıfırlar.
7. Kalıcılığı imzala.
8. Artıyor ve azalıyor.
9. Aşırılıklar.
10. Dışbükeylik ve içbükeylik.

İlk noktayla başlayalım. Tanımın tanım kümesini, yani fonksiyonumuzun hangi aralıklarda bulunduğunu bulalım: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). Bizim durumumuzda fonksiyon x'in herhangi bir değeri için mevcuttur, yani tanım tanım kümesi R'ye eşittir. Bu, aşağıdaki gibi yazılabilir: xÎR.

Süreklilik

Şimdi süreksizlik fonksiyonunu inceleyeceğiz. Matematikte “süreklilik” terimi hareket yasalarının incelenmesi sonucunda ortaya çıktı. Sonsuz nedir? Uzay, zaman, bazı bağımlılıklar (örneğin, hareket problemlerinde S ve t değişkenlerinin bağımlılığı), ısıtılmış bir nesnenin sıcaklığı (su, kızartma tavası, termometre vb.), Sürekli bir çizgi (yani, kalemden kaldırmadan çizilebilir).

Bir grafik bir noktada kırılmazsa sürekli olarak kabul edilir. En çok biri açıklayıcı örnekler böyle bir grafik, resimde görebileceğiniz bir sinüzoiddir. bu bölüm. Bir fonksiyon birkaç koşulun karşılanması durumunda x0 noktasında süreklidir:

• bir fonksiyon belirli bir noktada tanımlanır;
• bir noktadaki sağ ve sol sınırlar eşittir;
• sınır değere eşit x0 noktasında fonksiyon göstermektedir.

En az bir koşul karşılanmazsa fonksiyonun başarısız olduğu söylenir. Fonksiyonun bozulduğu noktalara genellikle kırılma noktaları denir. Grafiksel olarak görüntülendiğinde "kırılacak" bir fonksiyon örneği: y=(x+4)/(x-3). Üstelik x = 3 noktasında y yoktur (çünkü sıfıra bölmek imkansızdır).

Üzerinde çalıştığımız fonksiyonda (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) grafik sürekli olacağından her şeyin basit olduğu ortaya çıktı.

Çift, tuhaf

Şimdi eşlik fonksiyonunu inceleyin. İlk önce küçük bir teori. Çift işlev, x değişkeninin herhangi bir değeri için (değer aralığından) f(-x)=f(x) koşulunu karşılayan işlevdir. Örnekler şunları içerir:

• modül x (grafik, grafiğin birinci ve ikinci çeyreğinin açıortayı olan bir daw'a benzer);
• x kare (parabol);
• kosinüs x (kosinüs).

Tüm bu grafiklerin y eksenine (yani y eksenine) göre bakıldığında simetrik olduğunu unutmayın.

O halde tek fonksiyon olarak adlandırılan şey nedir? Bunlar, x değişkeninin herhangi bir değeri için f(-x)=-f(x) koşulunu karşılayan işlevlerdir. Örnekler:

• hiperbol;
• kübik parabol;
• sinüzoid;
• teğet vb.

Lütfen bu fonksiyonların (0:0) noktasına, yani orijine göre simetrik olduğunu unutmayın. Makalenin bu bölümünde söylenenlere dayanarak, çift ve tek bir fonksiyonun şu özelliğe sahip olması gerekir: x, tanım kümesine aittir ve -x de.

Eşlik fonksiyonunu inceleyelim. Tanımların hiçbirine uymadığını görüyoruz. Bu nedenle fonksiyonumuz ne çift ne de tektir.

Asimptotlar

Bir tanımla başlayalım. Asimptot, grafiğe mümkün olduğu kadar yakın olan, yani belirli bir noktadan uzaklığın sıfıra doğru yöneldiği bir eğridir. Toplamda üç tür asimptot vardır:

• dikey, yani y eksenine paralel;
• yatay yani x eksenine paralel;
• eğimli.

Birinci tipte ise bazı noktalarda şu çizgiler aranmalıdır:

• açıklık;
• tanım alanının uçları.

Bizim durumumuzda fonksiyon süreklidir ve tanım kümesi R'ye eşittir. Bu nedenle, dikey asimptotlar kayıp.

Bir fonksiyonun grafiğinin yatay bir asimptotu vardır ve bu aşağıdaki gereksinimi karşılar: eğer x sonsuza veya eksi sonsuza eğilimliyse ve limit belirli bir sayıya eşitse (örneğin, a). İÇİNDE bu durumda y=a - bu yatay asimptottur. İncelediğimiz fonksiyonda yatay asimptot yoktur.

Eğik bir asimptot yalnızca iki koşulun karşılanması durumunda ortaya çıkar:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Daha sonra şu formül kullanılarak bulunabilir: y=kx+b. Yine bizim durumumuzda eğik asimptotlar yoktur.

Fonksiyon sıfırları

Bir sonraki adım, fonksiyonun grafiğini sıfırlar için incelemektir. Bir fonksiyonun sıfırlarını bulma görevinin yalnızca bir fonksiyonun grafiğini incelerken ve oluştururken değil, aynı zamanda nasıl yapılacağını da not etmek çok önemlidir. bağımsız görev ve eşitsizlikleri çözmenin bir yolu olarak. Bir fonksiyonun sıfırlarını bir grafik üzerinde bulmanız veya matematiksel gösterim kullanmanız gerekebilir.

Bu değerleri bulmak fonksiyonun grafiğini daha doğru çizmenize yardımcı olacaktır. Eğer konuşursak basit bir dille ise, fonksiyonun sıfırı, y = 0 olan x değişkeninin değeridir. Bir grafikte bir fonksiyonun sıfırlarını arıyorsanız grafiğin x ekseniyle kesiştiği noktalara dikkat etmelisiniz.

Bir fonksiyonun sıfırlarını bulmak için çözmeniz gerekir aşağıdaki denklem: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Gerekli hesaplamaları yaptıktan sonra aşağıdaki cevabı alıyoruz:

İşaret tutarlılığı

Bir fonksiyonun (grafik) araştırılması ve oluşturulmasının bir sonraki aşaması, sabit işaretli aralıkların bulunmasıdır. Bu, fonksiyonun hangi aralıklarda süreceğini belirlememiz gerektiği anlamına gelir. pozitif değer ve bazılarında - olumsuz. Önceki bölümde bulunan sıfır fonksiyonları bunu yapmamıza yardımcı olacaktır. Bu nedenle, düz bir çizgi (grafikten ayrı) oluşturmamız ve fonksiyonun sıfırlarını bu çizgi boyunca küçükten büyüğe doğru sırayla dağıtmamız gerekiyor. Şimdi ortaya çıkan aralıklardan hangisinin “+” işaretine, hangisinin “-” işaretine sahip olduğunu belirlemeniz gerekiyor.

Bizim durumumuzda fonksiyon aralıklarla pozitif bir değer alır:

• 1'den 4'e kadar;
• 9'dan sonsuza.

Negatif değer:

• eksi sonsuzdan 1'e;
• 4'ten 9'a kadar.

Bunu belirlemek oldukça kolaydır. Aralıktaki herhangi bir sayıyı fonksiyona yerleştirin ve cevabın hangi işarete (eksi veya artı) sahip olduğunu görün.

Arttırma ve azaltma fonksiyonu

Bir fonksiyonu keşfetmek ve oluşturmak için grafiğin nerede artacağını (Oy ekseni boyunca yukarıya doğru) ve nereye düşeceğini (y ekseni boyunca aşağı doğru sürün) bilmemiz gerekir.

Fonksiyon yalnızca x değişkeninin daha büyük değeri şuna karşılık gelirse artar: daha yüksek değer sen. Yani x2, x1'den büyüktür ve f(x2), f(x1)'den büyüktür. Ve kesinlikle zıt fenomen azalan bir fonksiyon gözlemliyoruz (ne kadar çok x, o kadar az y). Artış ve azalma aralıklarını belirlemek için aşağıdakileri bulmanız gerekir:

• tanım alanı (zaten elimizde var);
• türev (bizim durumumuzda: 1/3(3x^2-28x+49);
• 1/3(3x^2-28x+49)=0 denklemini çözün.

Hesaplamalardan sonra sonucu elde ederiz:

Şunu elde ederiz: fonksiyon eksi sonsuzdan 7/3'e ve 7'den sonsuza kadar artar ve 7/3'ten 7'ye doğru azalır.

Aşırılıklar

y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) çalışmasının altındaki fonksiyon süreklidir ve x değişkeninin herhangi bir değeri için mevcuttur. Ekstrem nokta belirli bir fonksiyonun maksimum ve minimumunu gösterir. Bizim durumumuzda hiçbiri yok, bu da inşaat işini büyük ölçüde kolaylaştırıyor. Aksi halde türev fonksiyonu kullanılarak da bulunabilirler. Bulduğunuzda bunları grafik üzerinde işaretlemeyi unutmayın.

Dışbükeylik ve içbükeylik

y(x) fonksiyonunu daha detaylı incelemeye devam ediyoruz. Şimdi dışbükeylik ve içbükeylik açısından kontrol etmemiz gerekiyor. Bu kavramların tanımlarını anlamak oldukça zordur, her şeyi örneklerle analiz etmek daha iyidir. Test için: Bir fonksiyon azalmayan bir fonksiyonsa dışbükeydir. Katılıyorum, bu anlaşılmaz!

İkinci dereceden bir fonksiyonun türevini bulmamız gerekiyor. Şunu elde ederiz: y=1/3(6x-28). Şimdi eşitleyelim sağ taraf sıfıra getirin ve denklemi çözün. Cevap: x=14/3. Bükülme noktasını, yani grafiğin dışbükeylikten içbükeyliğe veya tam tersi yönde değiştiği yeri bulduk. Eksi sonsuzdan 14/3'e kadar olan aralıkta fonksiyon dışbükeydir ve 14/3'ten artı sonsuza kadar içbükeydir. Grafikteki dönüm noktasının düzgün ve yumuşak olması gerektiğine dikkat etmek de çok önemlidir. keskin köşeler mevcut olmamalıdır.

Ek noktaların tanımlanması

Görevimiz fonksiyonun grafiğini araştırmak ve oluşturmaktır. Çalışmayı tamamladık; fonksiyonun grafiğini oluşturmak artık zor değil. Koordinat düzleminde bir eğrinin veya düz çizginin daha doğru ve ayrıntılı bir şekilde çoğaltılması için birkaç yardımcı nokta bulabilirsiniz. Hesaplanmaları oldukça kolaydır. Örneğin x=3 alıyoruz, ortaya çıkan denklemi çözüyoruz ve y=4'ü buluyoruz. Veya x=5 ve y=-5 vb. İnşaat için ihtiyaç duyduğunuz kadar ek puan alabilirsiniz. Bunlardan en az 3-5 tanesi bulunur.

Grafik çizme

(x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y fonksiyonunu araştırmamız gerekiyordu. Hesaplamalar sırasında gerekli tüm işaretlemeler koordinat düzleminde yapıldı. Geriye kalan tek şey bir grafik oluşturmak, yani tüm noktaları birleştirmektir. Noktaları birleştirmek düzgün ve doğru olmalıdır, bu bir beceri meselesidir; biraz pratik yaparsanız programınız mükemmel olacaktır.

\(y= \frac(x^3)(1-x) \) fonksiyonunu inceleyelim ve grafiğini oluşturalım.

1. Tanımın kapsamı.
Tanım alanı rasyonel fonksiyon(kesir) şöyle olacaktır: payda değil sıfıra eşit yani \(1 -x \ne 0 => x \ne 1\). Etki alanı $$D_f= (-\infty; 1) \cup (1;+\infty)$$

2. Fonksiyon kırılma noktaları ve sınıflandırılması.
Fonksiyonun bir kırılma noktası vardır x = 1
x= 1 noktasını inceleyelim. Süreksizlik noktasının sağında ve solunda fonksiyonun limitini bulalım, $$ \lim_(x \to 1+0) (\frac(x^3)(1) -x)) = -\infty $$ ve $$ \lim_(x \to 1-0)(\frac(x^3)(1-x)) = +\infty $$ noktasının solunda Bu ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır çünkü tek taraflı limitler \(\infty\)'e eşittir.

Düz çizgi \(x = 1\) dikey bir asimptottur.

3. İşlev eşitliği.
Pariteyi kontrol ediyoruz \(f(-x) = \frac((-x)^3)(1+x) \) fonksiyon ne çift ne de tek.

4. Fonksiyonun sıfırları (Ox ekseni ile kesişme noktaları). Bir fonksiyonun sabit işaretinin aralıkları.
Fonksiyon sıfırları ( Ox ekseni ile kesişme noktası): \(y=0\'ı eşitleriz, \(\frac(x^3)(1-x) = 0 => x=0 \) elde ederiz. Eğrinin Ox ekseniyle \((0;0)\) koordinatlarına sahip bir kesişme noktası vardır.

Bir fonksiyonun sabit işaret aralıkları.
Dikkate alınan \((-\infty; 1) \cup (1;+\infty)\) aralıklarında eğrinin Ox ekseniyle bir kesişme noktası vardır, dolayısıyla tanım tanım kümesini üç aralıkta ele alacağız.

Tanım kümesinin aralıklarında fonksiyonun işaretini belirleyelim:
aralık \((-\infty; 0) \) fonksiyonun herhangi bir noktadaki değerini bulun \(f(-4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox
\((0; 1) \) aralığında fonksiyonun değerini herhangi bir noktada \(f(0.5) = \frac(x^3)(1-x) > 0 \) buluruz, bu aralıkta fonksiyon şöyledir: pozitif \(f(x) > 0 \), yani Ox ekseninin üzerinde yer alır.
aralık \((1;+\infty) \) fonksiyonun herhangi bir noktadaki değerini bulun \(f(4) = \frac(x^3)(1-x)< 0 \), на этом интервале функция отрицательная \(f(x) < 0 \), т.е. находится ниже оси Ox

5. Oy ekseni ile kesişme noktaları: \(x=0\'ı eşitliyoruz, \(f(0) = \frac(x^3)(1-x) = 0\) elde ediyoruz. Oy ekseni ile kesişme noktasının koordinatları \((0; 0)\)

6. Monotonluk aralıkları. Bir fonksiyonun ekstremumu.
Kritik (durağan) noktaları bulalım, bunun için ilk türevi bulup sıfıra eşitleyelim $$ y" = (\frac(x^3)(1-x))" = \frac(3x^2(1) -x) + x^3)( (1-x)^2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) $$ eşittir 0 $$ \frac(x) ^2(3 -2x))( (1-x)^2) = 0 => x_1 = 0 \quad x_2= \frac(3)(2)$$ Fonksiyonun bu noktadaki değerini bulalım \( f(0) = 0\) ve \(f(\frac(3)(2)) = -6,75\). \((0;0)\) ve \((1.5;-6.75)\) koordinatlarına sahip iki kritik noktamız var

Monotonluk aralıkları.
Fonksiyonun iki kritik noktası vardır (olası uç noktalar), bu nedenle monotonluğu dört aralıkta ele alacağız:
aralığı \((-\infty; 0) \) aralığın herhangi bir noktasında birinci türevin değerini bulun \(f(-4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) )^2) >
aralığı \((0;1)\) \(f(0,5) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ aralığındaki herhangi bir noktada birinci türevin değerini buluruz 2) > 0\) ise fonksiyon bu aralıkta artar.
aralığı \((1;1.5)\) \(f(1.2) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x)^ aralığındaki herhangi bir noktada birinci türevin değerini buluruz 2) > 0\) ise fonksiyon bu aralıkta artar.
aralığı \((1.5; +\infty)\) aralığın herhangi bir noktasındaki ilk türevin değerini bulun \(f(4) = \frac(x^2(3-2x))( (1-x) ^2)< 0\), на этом интервале функция убывает.

Bir fonksiyonun ekstremumu.

Fonksiyonu incelerken tanım tanım kümesinin aralığında iki kritik (durağan) nokta elde ettik. Bunların aşırı olup olmadığını belirleyelim. Kritik noktalardan geçerken türevin işaretindeki değişimi ele alalım:

nokta \(x = 0\) türev \(\quad +\quad 0 \quad + \quad\) ile işaret değiştirir - nokta bir ekstremum değildir.
nokta \(x = 1,5\) türev \(\quad +\quad 0 \quad - \quad\) ile işaret değiştirir - nokta bir maksimum noktadır.

7. Dışbükeylik ve içbükeylik aralıkları. Bükülme noktaları.

Dışbükeylik ve içbükeylik aralıklarını bulmak için, fonksiyonun ikinci türevini bulup sıfıra eşitleriz $$y"" = (\frac(x^2(3-2x))( (1-x)^2) )"= \frac(2x (x^2-3x+3))((1-x)^3) $$Sıfıra eşittir $$ \frac(2x(x^2-3x+3))((1 -x)^3)= 0 => 2x(x^2-3x+3) =0 => x=0$$ Fonksiyonun koordinatları \((0;0)\) olan ikinci türden bir kritik noktası vardır. .
İkinci türden bir kritik noktayı (olası bir bükülme noktası) hesaba katarak, tanım alanının aralıkları üzerinde dışbükeyliği tanımlayalım.

aralığı \((-\infty; 0)\) herhangi bir noktada ikinci türevin değerini bulun \(f""(-4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1- x)^ 3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).
aralığı \((0; 1)\) herhangi bir noktada ikinci türevin değerini buluruz \(f""(0,5) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3) > 0 \), bu aralıkta fonksiyonun ikinci türevi pozitiftir \(f""(x) > 0 \) fonksiyon aşağı doğru dışbükeydir (dışbükey).
aralık \((1; \infty)\) herhangi bir noktada ikinci türevin değerini bulun \(f""(4) = \frac(2x(x^2-3x+3))((1-x) ^3)< 0 \), на этом интервале вторая производная функции отрицательная \(f""(x) < 0 \) - функция выпуклая вверх (вогнутая).

Bükülme noktaları.

İkinci türden bir kritik noktadan geçerken ikinci türevin işaretindeki değişikliği ele alalım:
\(x =0\) noktasında, ikinci türev \(\quad - \quad 0 \quad + \quad\) ile işaret değiştirdiğinde, fonksiyonun grafiği dışbükeyliği değiştirir, yani. bu, \((0;0)\) koordinatlarına sahip bükülme noktasıdır.

8. Asimptotlar.

Dikey asimptot. Fonksiyonun grafiğinde bir dikey asimptot \(x =1\) vardır (bkz. paragraf 2).
Eğik asimptot.
\(y= \frac(x^3)(1-x) \) fonksiyonunun \(x \to \infty\) noktasındaki grafiğinin eğik bir asimptot olması için \(y = kx+b\) , gerekli ve yeterlidir, böylece iki limit vardır $$\lim_(x \to +\infty)=\frac(f(x))(x) =k $$buluruz $$ \lim_(x \to \infty) (\frac( x^3)(x(1-x)))) = \infty => k= \infty $$ ve ikinci limit $$ \lim_(x \to +\infty)( f(x) - kx) = b$ $, çünkü \(k = \infty\) - eğik asimptot yoktur.

Yatay asimptot: yatay bir asimptotun var olması için bir limitin olması gerekir $$\lim_(x \to \infty)f(x) = b$$ hadi bulalım $$ \lim_(x \to +\infty )(\frac( x^3)(1-x))= -\infty$$$$ \lim_(x \to -\infty)(\frac(x^3)(1-x))= -\ sonsuz$$
Yatay asimptot yoktur.

9. Fonksiyon grafiği.

Bir süredir SSL için yerleşik sertifika veritabanı TheBat'ta düzgün çalışmıyor (hangi nedenle olduğu belli değil).

Gönderiyi kontrol ederken bir hata görünüyor:

Bilinmeyen CA sertifikası
Sunucu, oturumda bir kök sertifika sunmadı ve karşılık gelen kök sertifika, adres defterinde bulunamadı.
Bu bağlantı gizli olamaz. Lütfen
sunucu yöneticinize başvurun.

Ve size çeşitli yanıtlar sunulur - EVET / HAYIR. Ve böylece postayı her kaldırdığınızda.

Çözüm

Bu durumda TheBat ayarlarında S/MIME ve TLS uygulama standardını Microsoft CryptoAPI ile değiştirmeniz gerekir!

Tüm dosyaları tek bir dosyada birleştirmem gerektiğinden, önce her şeyi dönüştürdüm belge dosyaları tek bir pdf dosyası(Acrobat programını kullanarak) ve ardından çevrimiçi bir dönüştürücü aracılığıyla fb2'ye aktardım. Dosyaları tek tek de dönüştürebilirsiniz. Formatlar kesinlikle herhangi bir (kaynak) olabilir - doc, jpg ve hatta bir zip arşivi!

Sitenin adı özüne tekabül ediyor :) Çevrimiçi Photoshop.

Mayıs 2015 Güncellemesi

Harika bir site daha buldum! Tamamen özel bir kolaj oluşturmak için daha da kullanışlı ve işlevsel! Burası http://www.fotor.com/ru/collage/ sitesidir. Sağlığınız için tadını çıkarın. Ve bunu kendim kullanacağım.

Hayatımda elektrikli sobayı tamir etme problemiyle karşılaştım. Zaten çok şey yaptım, çok şey öğrendim ama bir şekilde fayanslarla pek ilgim yoktu. Regülatörler ve brülörlerdeki kontakların değiştirilmesi gerekiyordu. Soru ortaya çıktı: Elektrikli ocaktaki brülörün çapı nasıl belirlenir?

Cevabın basit olduğu ortaya çıktı. Hiçbir şeyi ölçmenize gerek yok, hangi boyuta ihtiyacınız olduğunu gözle kolayca belirleyebilirsiniz.

En küçük brülör- bu 145 milimetre (14,5 santimetre)

Orta ocak- bu 180 milimetredir (18 santimetre).

Ve son olarak en çok büyük brülör- bu 225 milimetredir (22,5 santimetre).

Boyutu gözle belirlemek ve brülöre hangi çapa ihtiyacınız olduğunu anlamak yeterlidir. Bunu bilmediğimde bu boyutlar konusunda endişeleniyordum, nasıl ölçüm yapacağımı, hangi kenarda gezineceğimi vs. bilmiyordum. Artık akıllıyım :) Umarım sana da yardımcı olmuşumdur!

Hayatımda böyle bir sorunla karşılaştım. Sanırım tek ben değilim.

Bir fonksiyon nasıl incelenir ve grafiği nasıl oluşturulur?

Öyle görünüyor ki, dünya proletaryasının liderinin, 55 ciltlik toplu eserlerin yazarının ruhsal açıdan anlayışlı yüzünü anlamaya başlıyorum... Uzun yolculuk başladı temel bilgiler O fonksiyonlar ve grafikler ve şimdi emek yoğun bir konu üzerinde çalışmak mantıklı bir sonuçla bitiyor - bir makale fonksiyonun tam bir çalışması hakkında. Uzun zamandır beklenen görev şu şekilde formüle edilmiştir:

Yöntemleri kullanarak bir işlevi keşfetme diferansiyel hesap ve araştırma sonuçlarına dayanarak bir grafik oluşturun

Veya kısacası: fonksiyonu inceleyin ve bir grafik oluşturun.

Neden keşfetmeli?İÇİNDE basit vakalar baş etmemiz zor olmayacak temel işlevler kullanılarak elde edilen grafiği çizin. temel geometrik dönüşümler vesaire. Ancak mülkler ve grafik görseller Daha karmaşık işlevler açık olmaktan uzaktır, bu nedenle tam bir çalışmaya ihtiyaç vardır.

Çözümün ana adımları şu şekilde özetlenmiştir: referans materyali Fonksiyon çalışma şeması, bu bölüme ilişkin rehberinizdir. Yeni başlayanlar bir konunun adım adım açıklamasına ihtiyaç duyar, bazı okuyucular nereden başlayacaklarını veya araştırmalarını nasıl organize edeceklerini bilmezler ve ileri düzey öğrenciler yalnızca birkaç noktayla ilgilenebilirler. Ama kim olursanız olun, sevgili ziyaretçi, önerilen özet, ipuçlarını da içeriyor. çeşitli dersler V mümkün olan en kısa süre sizi ilgi duyduğunuz yöne yönlendirecek ve yönlendirecektir. Robotlar gözyaşı döktü =) Kılavuz pdf dosyası olarak hazırlandı ve sayfada hak ettiği yeri aldı Matematiksel formüller ve tablolar.

Bir fonksiyonun araştırmasını 5-6 noktaya ayırmaya alışkınım:

6) Araştırma sonuçlarına dayalı ek noktalar ve grafik.

Nihai eylemle ilgili olarak, herkes için her şeyin açık olduğunu düşünüyorum - birkaç saniye içinde üzerinin çizilip görevin revizyon için geri gönderilmesi çok hayal kırıklığı yaratacaktır. DOĞRU VE DOĞRU BİR ÇİZİM, çözümün ana sonucudur! O birlikte yüksek olasılık Analitik hataları “örtecek”, yanlış ve/veya dikkatsiz bir program ise mükemmel yürütülen bir çalışmada bile sorunlara yol açacaktır.

Diğer kaynaklarda araştırma noktalarının sayısının, uygulama sırasının ve tasarım stilinin önerdiğim şemadan önemli ölçüde farklı olabileceği, ancak çoğu durumda oldukça yeterli olduğu unutulmamalıdır. Sorunun en basit versiyonu sadece 2-3 aşamadan oluşur ve şu şekilde formüle edilir: “Türevi kullanarak fonksiyonu araştırın ve bir grafik oluşturun” veya “1. ve 2. türevleri kullanarak fonksiyonu araştırın, bir grafik oluşturun.”

Doğal olarak, eğer kılavuzunuz başka bir algoritmayı detaylı bir şekilde anlatıyorsa ya da öğretmeniniz kesinlikle derslerine uymanızı talep ediyorsa, o zaman çözümde bazı ayarlamalar yapmanız gerekecektir. Elektrikli testere çatalını kaşıkla değiştirmekten daha zor değil.

Çift/tek fonksiyonunu kontrol edelim:

Bunu bir şablon yanıtı takip eder:
, Araç, bu fonksiyonçift ​​veya tek değildir.

Fonksiyon sürekli olduğu için düşey asimptotları yoktur.

Eğik asimptot da yoktur.

Not : Size şunu hatırlatırım: ne kadar yüksekse büyüme sırası, than , dolayısıyla son sınır tam olarak “ artı sonsuzluk."

Fonksiyonun sonsuzda nasıl davrandığını bulalım:

Başka bir deyişle, sağa gidersek grafik sonsuz yukarıya gider, sola gidersek sonsuz aşağı gider. Evet burada da iki sınır var tek giriş. İşaretleri çözmekte zorluk yaşıyorsanız lütfen ilgili dersi ziyaret edin. sonsuz küçük fonksiyonlar.

Yani fonksiyon yukarıdan sınırlı değil Ve aşağıdan sınırlı değil. Hiçbir kırılma noktamızın olmadığı göz önüne alındığında, durum netleşiyor fonksiyon aralığı: – ayrıca herhangi bir gerçek sayı.

FAYDALI TEKNİK TEKNİK

Görevin her aşaması beraberinde yeni bilgi bir fonksiyonun grafiği hakkında bu nedenle çözüm sırasında bir tür LAYOUT kullanmak uygundur. Taslak üzerine Kartezyen koordinat sistemi çizelim. Zaten kesin olarak bilinen nedir? Birincisi, grafiğin asimptotu yoktur, dolayısıyla düz çizgiler çizmeye gerek yoktur. İkinci olarak fonksiyonun sonsuzda nasıl davrandığını biliyoruz. Analize göre ilk yaklaşıklığı çiziyoruz:

Lütfen şunu unutmayın: süreklilik fonksiyonların açık olması ve grafiğin ekseni en az bir kez geçmesi gerektiği gerçeği. Ya da belki birkaç kesişme noktası vardır?

3) Fonksiyonun sıfırları ve sabit işaretli aralıklar.

Öncelikle grafiğin ordinat ekseniyle kesişme noktasını bulalım. Çok basit. Fonksiyonun değerini şu şekilde hesaplamak gerekir:

Deniz seviyesinden bir buçuk yükseklikte.

Eksenle kesişme noktalarını (fonksiyonun sıfırları) bulmak için denklemi çözmemiz gerekiyor ve işte bizi bekliyor hoş olmayan sürpriz:

Sonunda gizli ücretsiz üye Bu da görevi önemli ölçüde karmaşıklaştırıyor.

Böyle bir denklemin en az bir gerçek kökü vardır ve çoğu zaman bu kök irrasyoneldir. En kötü masalda üç küçük domuz bizi bekliyor. Denklem sözde kullanılarak çözülebilir Cardano formülleri ancak kağıda verilen hasar neredeyse çalışmanın tamamıyla karşılaştırılabilir. Bu bakımdan sözlü olarak veya taslak halinde en az birini seçmeye çalışmak daha akıllıca olacaktır. tüm kök. Bu sayıların olup olmadığını kontrol edelim:
– uygun değil;
- Orada!

Şanslısın burada. Başarısızlık durumunda da test edebilirsiniz ve eğer bu sayılar uymuyorsa, o zaman korkarım ki denklemin karlı bir çözüme ulaşma şansı çok az. O zaman araştırma noktasını tamamen atlamak daha iyidir - belki de son adımda ek noktaların açıklanacağı bir şeyler daha net hale gelecektir. Ve eğer kök(ler) açıkça “kötü” ise, o zaman işaretlerin sabitlik aralıkları konusunda mütevazı bir şekilde sessiz kalmak ve daha dikkatli çizmek daha iyidir.

Ancak güzel bir kökümüz var, bu yüzden polinomu bölüyoruz geri kalanı için:

Bir polinomu bir polinoma bölme algoritması dersin ilk örneğinde ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Karmaşık Limitler.

Sonunda sol taraf orijinal denklem ürüne ayrışır:

Ve şimdi biraz hakkında sağlıklı hayat. Bunu elbette anlıyorum ikinci dereceden denklemler her gün çözülmesi gerekiyor ama bugün bir istisna yapacağız: denklem iki gerçek kökü vardır.

Bulunan değerleri sayı doğrusunda çizelim Ve aralık yöntemi Fonksiyonun işaretlerini tanımlayalım:


Böylece aralıklarla program yer alıyor
x ekseninin altında ve aralıklarla – bu eksenin üstünde.

Bulgular düzenimizi iyileştirmemize olanak tanıyor ve grafiğin ikinci yaklaşımı şu şekilde görünüyor:

Bir fonksiyonun bir aralıkta en az bir maksimuma ve bir aralıkta en az bir minimuma sahip olması gerektiğini lütfen unutmayın. Ancak programın kaç kez, nerede ve ne zaman döngüye gireceğini henüz bilmiyoruz. Bu arada, bir fonksiyonun sonsuz tane değeri olabilir aşırılıklar.

4) Fonksiyonun artan, azalan ve ekstremum değerleri.

Kritik noktaları bulalım:

Bu denklemin iki reel kökü vardır. Bunları sayı doğrusuna koyalım ve türevin işaretlerini belirleyelim:


Bu nedenle fonksiyon artar ve kadar azalır.
Fonksiyonun maksimuma ulaştığı noktada: .
Fonksiyonun minimuma ulaştığı noktada: .

Yerleşik gerçekler şablonumuzu oldukça katı bir çerçeveye oturtuyor:

Diferansiyel hesabın güçlü bir şey olduğunu söylemeye gerek yok. Son olarak grafiğin şeklini anlayalım:

5) Dışbükeylik, içbükeylik ve bükülme noktaları.

İkinci türevin kritik noktalarını bulalım:

İşaretleri tanımlayalım:


Fonksiyonun grafiği üzerinde dışbükey ve üzerinde içbükeydir. Bükülme noktasının ordinatını hesaplayalım: .

Neredeyse her şey netleşti.

6) Daha doğru bir grafik oluşturmanıza ve kendi kendini test etmenize yardımcı olacak ek noktalar bulmaya devam ediyor. Bu durumda bunlardan çok azı var, ancak onları ihmal etmeyeceğiz:

Çizimi yapalım:

Yeşil Bükülme noktası işaretlenmiştir ve ek noktalar çarpı işaretiyle işaretlenmiştir. Takvim kübik fonksiyon her zaman maksimum ve minimum arasında tam olarak ortada bulunan bükülme noktasına göre simetriktir.

Görev ilerledikçe üç varsayımsal ara çizim hazırladım. Uygulamada, bir koordinat sistemi çizmek, bulunan noktaları işaretlemek ve her araştırma noktasından sonra fonksiyonun grafiğinin nasıl görünebileceğini zihinsel olarak tahmin etmek yeterlidir. Hazırlık düzeyi iyi olan öğrencilerin böyle bir analizi taslak olmadan sadece kafalarında yürütmeleri zor olmayacaktır.

İçin bağımsız karar:

Örnek 2

Fonksiyonu keşfedin ve bir grafik oluşturun.

Burada her şey daha hızlı ve daha eğlenceli yaklaşık örnek dersin sonunda bitirmek.

Araştırma birçok sırrı ortaya çıkarıyor kesirli rasyonel fonksiyonlar:

Örnek 3

Bir fonksiyonu incelemek için diferansiyel hesap yöntemlerini kullanın ve çalışmanın sonuçlarına dayanarak grafiğini oluşturun.

Çözüm: Çalışmanın ilk aşaması, tanım alanındaki bir delik dışında dikkate değer hiçbir şeyle ayırt edilmiyor:

1) Fonksiyon nokta hariç tüm sayı doğrusunda tanımlı ve süreklidir, tanım alanı: .

Bu, bu fonksiyonun çift veya tek olmadığı anlamına gelir.

Fonksiyonun periyodik olmadığı açıktır.

Fonksiyonun grafiği sol ve sağ yarı düzlemde yer alan iki sürekli daldan oluşur; bu belki de en yaygın olanıdır. önemli sonuç 1. nokta.

2) Asimptotlar, bir fonksiyonun sonsuzdaki davranışı.

a) Tek taraflı limitler kullanarak, açıkça dikey bir asimptot olması gereken şüpheli bir noktanın yakınındaki fonksiyonun davranışını inceliyoruz:

Aslında işlevler kalıcıdır sonsuz boşluk bu noktada
ve düz çizgi (eksen) dikey asimptot grafikler

b) Eğik asimptotların var olup olmadığını kontrol edelim:

Evet, düz eğik asimptot grafikler varsa.

Fonksiyonun eğik asimptotunu kucakladığı zaten açık olduğundan limitleri analiz etmenin bir anlamı yoktur. yukarıdan sınırlı değil Ve aşağıdan sınırlı değil.

Çalışmanın ikinci noktası çok şey getirdi önemli bilgi fonksiyon hakkında. Kaba bir taslak çizelim:

1 No'lu Sonuç, sabit işaret aralıklarıyla ilgilidir. "Eksi sonsuz"da fonksiyonun grafiği açıkça x ekseninin altında, "artı sonsuz"da ise bu eksenin üstünde yer alır. Ayrıca tek taraflı limitler bize fonksiyonun noktanın hem solunda hem de sağında olduğunu söyledi. sıfırdan büyük. Sol yarım düzlemde grafiğin x eksenini en az bir kez geçmesi gerektiğini lütfen unutmayın. Sağ yarı düzlemde fonksiyonun sıfırları olmayabilir.

2 numaralı sonuç, fonksiyonun noktanın soluna doğru artmasıdır (“aşağıdan yukarıya” doğru gider). Bu noktanın sağında fonksiyon azalır (“yukarıdan aşağıya” doğru gider). Grafiğin sağ dalının mutlaka en az bir minimumu olmalıdır. Solda aşırılıklar garanti edilmez.

Sonuç No. 3, noktanın yakınındaki grafiğin içbükeyliği hakkında güvenilir bilgi sağlar. Sonsuzlarda dışbükeylik/içbükeylik hakkında henüz bir şey söyleyemeyiz, çünkü bir doğru hem yukarıdan hem de aşağıdan asimptotuna doğru bastırılabilir. Genel olarak konuşursak, var analitik yöntem Bunu hemen şimdi anlayın, ancak grafiğin şekli daha sonraki bir aşamada netleşecektir.

Neden bu kadar çok kelime var? Sonraki araştırma noktalarını kontrol etmek ve hatalardan kaçınmak için! Daha ileri hesaplamalar, çıkarılan sonuçlarla çelişmemelidir.

3) Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları, fonksiyonun sabit işaret aralıkları.

Fonksiyonun grafiği eksenle kesişmez.

Aralık yöntemini kullanarak işaretleri belirleriz:

, Eğer ;
, Eğer .

Bu noktanın sonuçları 1 No'lu Sonuç ile tamamen tutarlıdır. Her aşamadan sonra taslağa bakın, araştırmayı zihinsel olarak kontrol edin ve fonksiyonun grafiğini tamamlayın.

Söz konusu örnekte, pay, payda tarafından terim terime bölünür; bu, türev alma açısından çok faydalıdır:

Aslında asimptotları bulurken bu zaten yapıldı.

– kritik nokta.

İşaretleri tanımlayalım:

kadar artar ve azalır

Fonksiyonun minimuma ulaştığı noktada: .

2 No'lu Sonuç ile de herhangi bir tutarsızlık yoktu ve büyük olasılıkla doğru yoldayız.

Bu, fonksiyonun grafiğinin tüm tanım alanı boyunca içbükey olduğu anlamına gelir.

Harika - ve hiçbir şey çizmenize gerek yok.

Hiçbir dönüm noktası yok.

İçbükeylik, Sonuç No. 3 ile tutarlıdır, ayrıca fonksiyonun grafiğinin sonsuzda (hem orada hem de orada) bulunduğunu gösterir. daha yüksek eğik asimptotu.

6) Görevi titizlikle ek puanlarla sabitleyeceğiz. Araştırmadan yalnızca iki noktayı bildiğimiz için burası çok çalışmamız gerekecek.

Ve muhtemelen birçok insanın uzun zaman önce hayalini kurduğu bir resim:

Görevin yerine getirilmesi sırasında, araştırmanın aşamaları arasında herhangi bir çelişki olmadığından dikkatli bir şekilde emin olmanız gerekir, ancak bazen durum acil, hatta umutsuzca çıkmaza girebilir. Analitikler "akıllı değil" - hepsi bu. Bu durumda acil bir teknik öneriyorum: Grafiğe ait mümkün olduğunca çok nokta buluyoruz (ne kadar sabrımız varsa) ve bunları koordinat düzleminde işaretliyoruz. Grafiksel analiz Bulunan değerler çoğu durumda size nerede gerçeğin nerede yalan olduğunu söyleyecektir. Ek olarak, grafik bazı programlar kullanılarak, örneğin Excel'de önceden oluşturulabilir (elbette bu, beceri gerektirir).

Örnek 4

Bir fonksiyonu incelemek ve grafiğini oluşturmak için diferansiyel hesap yöntemlerini kullanın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. İçinde öz kontrol, fonksiyonun paritesi ile güçlendirilir - grafik eksen etrafında simetriktir ve araştırmanızda bir şey çelişiyorsa bu gerçek, hatayı arayın.

Çift veya tek işlev yalnızca noktasında araştırılabilir ve ardından grafiğin simetrisi kullanılabilir. Bu çözüm optimaldir, ancak bence çok sıradışı görünüyor. Şahsen ben her şeyi düşünüyorum sayı ekseni, ancak yine de yalnızca sağda ek noktalar buluyorum:

Örnek 5

Gerçekleştirmek tam araştırma işlevini yerine getirin ve grafiğini oluşturun.

Çözüm: işler zorlaştı:

1) Fonksiyon sayı doğrusunda tanımlıdır ve süreklidir: .

Bu, bu fonksiyonun tek olduğu, grafiğinin orijine göre simetrik olduğu anlamına gelir.

Fonksiyonun periyodik olmadığı açıktır.

2) Asimptotlar, bir fonksiyonun sonsuzdaki davranışı.

Fonksiyon sürekli olduğu için düşey asimptotları yoktur.

Üs içeren bir fonksiyon için tipiktir ayırmak"Artı" ve "eksi sonsuzluğun" incelenmesi, ancak grafiğin simetrisi hayatımızı kolaylaştırır - ya hem solda hem de sağda bir asimptot vardır veya yoktur. Bu nedenle hem sonsuz sınır tek bir kayıt altında dosyalanabilir. Kullandığımız çözüm sırasında L'Hopital'in kuralı:

Düz çizgi (eksen), grafiğin yatay asimptotudur.

Eğik asimptotu bulmak için tam algoritmadan nasıl kurnazca kaçındığımı lütfen unutmayın: limit tamamen yasaldır ve fonksiyonun sonsuzdaki davranışını netleştirir ve yatay asimptot "sanki aynı anda" keşfedilmiştir.

Süreklilikten ve varoluştan yatay asimptot fonksiyonun olduğu gerçeğini takip eder yukarıda sınırlanmış Ve aşağıda sınırlı.

3) Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktaları, sabit işaret aralıkları.

Burada çözümü de kısaltıyoruz:
Grafik orijinden geçer.

Koordinat eksenleri ile başka kesişme noktası yoktur. Üstelik işaretin değişmezlik aralıkları açıktır ve eksenin çizilmesine gerek yoktur: Bu, fonksiyonun işaretinin yalnızca “x”e bağlı olduğu anlamına gelir:
, Eğer ;
, Eğer .

4) Fonksiyonun artan, azalan, ekstremumları.


– kritik noktalar.

Noktalar olması gerektiği gibi sıfıra yakın simetriktir.

Türevin işaretlerini belirleyelim:


Fonksiyon belirli aralıklarla artar ve aralıklarla azalır

Fonksiyonun maksimuma ulaştığı noktada: .

Mülkiyet nedeniyle (fonksiyonun tuhaflığı) minimumun hesaplanmasına gerek yoktur:

Fonksiyon aralık boyunca azaldığından, grafik açıkça "eksi sonsuz"da bulunur. altında onun asimptotu. Aralık boyunca fonksiyon da azalır, ancak burada tam tersi doğrudur - maksimum noktadan geçtikten sonra çizgi eksene yukarıdan yaklaşır.

Yukarıdakilerden, fonksiyonun grafiğinin "eksi sonsuzda" dışbükey ve "artı sonsuzda" içbükey olduğu sonucu çıkar.

Bu çalışma noktasından sonra fonksiyon değerlerinin aralığı çizildi:

Herhangi bir konuda yanlış anlamanız varsa, bunları not defterinize yazmanızı bir kez daha tavsiye ederim. koordinat eksenleri ve elinizde bir kalemle ödevin her sonucunu yeniden analiz edin.

5) Grafiğin dışbükeyliği, içbükeyliği, kıvrımları.

– kritik noktalar.

Noktaların simetrisi korunur ve büyük olasılıkla yanılmayız.

İşaretleri tanımlayalım:


Fonksiyonun grafiği dışbükeydir ve içbükey .

Aşırı aralıklardaki dışbükeylik/içbükeylik doğrulandı.

sonuçta kritik noktalar Programda aksaklıklar var. Bükülme noktalarının koordinatlarını bulalım ve fonksiyonun tuhaflığını kullanarak hesaplama sayısını azaltalım: