Grafiklerin dikey ve yatay asimptotları. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları

Tam olarak bu şekilde formüle edilmiştir tipik görev ve grafiğin TÜM asimptotlarının (dikey, eğimli/yatay) bulunmasını içerir. Her ne kadar soruyu sorarken daha kesin olmak gerekirse, asimptotların varlığına yönelik araştırmalardan bahsediyoruz (sonuçta hiç olmayabilir).

Basit bir şeyle başlayalım:

örnek 1

Çözüm rahatlıkla iki noktaya ayrılabilir:

1) Öncelikle dikey asimptotların olup olmadığını kontrol ederiz. Payda sıfıra gider ve bu noktada fonksiyonun sonsuz bir süreksizliğe maruz kaldığı ve düz çizginin denklem tarafından verilen, fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur. Ancak böyle bir sonuca varmadan önce tek taraflı sınırları bulmak gerekir:

Bir fonksiyonun sürekliliği makalesinde de benzer şekilde üzerinde durduğum hesaplama tekniğini size hatırlatıyorum. Kırılma noktaları. Limit işaretinin altındaki ifadede yerine koyarız. Payda ilginç bir şey yok:
.

Ancak paydada ortaya çıkıyor sonsuz küçük negatif bir sayı :
sınırın kaderini belirler.

Soldaki limit sonsuzdur ve prensip olarak dikey bir asimptotun varlığı hakkında bir karara varmak zaten mümkündür. Ancak tek taraflı limitlere sadece bunun için ihtiyaç yoktur, aynı zamanda bir fonksiyonun grafiğinin NASIL konumlandırıldığını ANLAMAYA ve onu DOĞRU BİR ŞEKİLDE oluşturmaya YARDIMCI OLURLAR. Bu nedenle sağ taraftaki limiti de hesaplamamız gerekir:

Sonuç: Tek taraflı limitler sonsuzdur; bu, düz çizginin, fonksiyonun grafiğinin 'deki dikey asimptotu olduğu anlamına gelir.

İlk sınır sonlu Bu, "konuşmaya devam etmenin" ve ikinci sınırı bulmanın gerekli olduğu anlamına gelir:

İkinci sınır da sonlu.

Böylece asimptotumuz:

Sonuç: Denklemin belirttiği düz çizgi, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Yatay asimptotu bulmak için basitleştirilmiş bir formül kullanabilirsiniz:

Sonlu bir limit varsa, o zaman düz çizgi fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Fonksiyonun pay ve paydasının aynı büyüme düzeyinde olduğunu fark etmek kolaydır, bu da aranan limitin sonlu olacağı anlamına gelir:

Cevap :

Duruma göre çizim yapmaya gerek yok ama eğer bir fonksiyon araştırmasının ortasındaysak hemen taslak üzerinde bir eskiz yaparız:

Bulunan üç limite dayanarak, fonksiyonun grafiğinin nasıl konumlandırılabileceğini kendiniz bulmaya çalışın. Hiç zor mu? 5-6-7-8 noktayı bulun ve çizim üzerinde işaretleyin. Ancak bu fonksiyonun grafiği, bir temel fonksiyonun grafiğinin dönüşümleri kullanılarak oluşturulmuştur ve yukarıdaki makaledeki Örnek 21'i dikkatle inceleyen okuyucular, bunun nasıl bir eğri olduğunu kolaylıkla tahmin edebilirler.

Örnek 2

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Sürecin uygun şekilde iki noktaya bölündüğünü hatırlatmama izin verin: dikey asimptotlar ve eğik asimptotlar. Örnek çözümde yatay asimptot basitleştirilmiş bir şema kullanılarak bulunur.

Pratikte kesirli-rasyonel fonksiyonlarla en sık karşılaşılır ve hiperboller üzerinde eğitim aldıktan sonra görevi karmaşıklaştıracağız:

Örnek 3

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: Bir, iki ve bitti:

1) Dikey asimtotlar sonsuz süreksizlik noktalarındadır, dolayısıyla paydanın sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmeniz gerekir. İkinci dereceden denklemi çözelim:

Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki gerçek kökü vardır ve iş önemli ölçüde artar =)

Tek taraflı limitleri daha da bulmak için ikinci dereceden üç terimliÇarpanlara ayırmak uygundur:
(Kısa gösterim için “eksi” ilk parantez içine dahil edilmiştir). Güvenli tarafta olmak için parantezleri zihinsel olarak veya taslak üzerinde açarak kontrol edelim.

Fonksiyonu formda yeniden yazalım.

Bu noktada tek taraflı limitleri bulalım:

Ve bu noktada:

Dolayısıyla düz çizgiler, söz konusu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotlarıdır.

2) Eğer fonksiyona bakarsanız O zaman limitin sonlu olacağı ve yatay bir asimptotumuz olacağı oldukça açıktır. Kısaca varlığını gösterelim:

Dolayısıyla düz çizgi (apsis ekseni) bu fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Cevap :

Bulunan limitler ve asimptotlar fonksiyonun grafiği hakkında birçok bilgi sağlar. Aşağıdaki gerçekleri dikkate alarak çizimi zihinsel olarak hayal etmeye çalışın:

Grafiğin kendi versiyonunu taslağınıza çizin.

Elbette bulunan sınırlar grafiğin görünümünü net bir şekilde belirlemez ve hata yapabilirsiniz, ancak alıştırmanın kendisi sırasında paha biçilmez bir yardım sağlayacaktır. tam araştırma işlevler Doğru resim dersin sonundadır.

Örnek 4

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Örnek 5

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bunlar bağımsız çözüme yönelik görevlerdir. Her iki grafik de yine yatay asimptotlara sahiptir ve bunlar hemen şu şekilde tespit edilir: aşağıdaki işaretler: Örnek 4'te paydanın büyüme sırası payın büyüme sırasından daha büyüktür ve Örnek 5'te pay ve payda aynı büyüme düzeyindedir. Örnek çözümde, ilk fonksiyon tam olarak eğik asimptotların varlığı açısından, ikincisi ise limit boyunca incelenir.

Benim öznel izlenimime göre yatay asimptotlar, "gerçekten eğik" olanlardan belirgin şekilde daha yaygındır. Uzun zamandır beklenen genel durum:

Örnek 6

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: Türün klasiği:

1) Payda pozitif olduğundan fonksiyon sayı doğrusu boyunca süreklidir ve düşey asimptot yoktur. …İyi mi? Doğru kelime değil - mükemmel! 1 No'lu nokta kapalı.

2) Eğik asimptotların varlığını kontrol edelim:

İlk sınır sonlu, o halde devam edelim. “Sonsuz eksi sonsuz” belirsizliğini ortadan kaldırmak için ikinci limiti hesaplarken ifadeyi ortak bir paydaya indirgeriz:

İkinci sınır da sonlu dolayısıyla söz konusu fonksiyonun grafiğinin eğik bir asimptotu vardır:

Çözüm :

Böylece, fonksiyonun grafiği sonsuz yakın düz bir çizgiye yaklaşır:

Orijinde eğik asimptotuyla kesiştiğine ve bu tür kesişme noktalarının oldukça kabul edilebilir olduğuna dikkat edin - sonsuzda "her şeyin normal olması" önemlidir (aslında asimptotlardan bahsettiğimiz yer burasıdır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: Yorumlanacak özel bir şey yok, o yüzden resmileştireceğim yaklaşık örnek son çözüm:

1) Dikey asimptotlar. Gelin noktayı keşfedelim.

Düz çizgi, grafiğin dikey asimptotudur.

2) Eğik asimptotlar:

Düz çizgi, grafiğin eğik asimptotudur.

Cevap :

Bulunan tek taraflı limitler ve asimptotlar, bu fonksiyonun grafiğinin neye benzeyeceğini yüksek bir güvenle tahmin etmemizi sağlar. Dersin sonunda doğru çizim.

Örnek 8

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bu bağımsız çözüme bir örnektir; bazı limitlerin hesaplanmasında kolaylık sağlamak için payı paydaya, terime bölebilirsiniz. Yine sonuçlarınızı analiz ederken bu fonksiyonun grafiğini çizmeye çalışın.

Açıkçası, "gerçek" eğik asimptotların sahipleri bunların grafikleridir. kesirli rasyonel fonksiyonlar Burada payın en yüksek derecesi paydanın en yüksek derecesinden bir büyüktür. Daha fazlaysa artık eğik bir asimptot olmayacaktır (örneğin, ).

Ancak hayatta başka mucizeler de olur:

Örnek 9

Çözüm: Fonksiyon tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir, yani dikey asimptot yoktur. Ama eğilimli olanlar da olabilir. Kontrol ediyoruz:

Üniversitede benzer bir fonksiyonla nasıl karşılaştığımı hatırlıyorum ve bunun eğik bir asimptotu olduğuna inanamadım. Ta ki ikinci limiti hesaplayana kadar:

Açıkça söylemek gerekirse, burada iki belirsizlik var: ve, ancak öyle ya da böyle, limitler hakkındaki makalenin 5-6 Örneklerinde tartışılan çözüm yöntemini kullanmanız gerekir. artan karmaşıklık. Formülü kullanmak için eşlenik ifadeyle çarpıp bölüyoruz:

Cevap :

Belki de en popüler eğik asimptot.

Şimdiye kadar sonsuzluk "tek fırçayla kesilmişti" ama bir fonksiyonun grafiğinin şu noktada ve noktada iki farklı eğik asimptotu olduğu da oluyor:

Örnek 10

Bir fonksiyonun grafiğini asimptotların varlığı açısından inceleyin

Çözüm: Köklü ifade pozitiftir, bu da tanım kümesinin herhangi bir gerçel sayı olduğu ve dikey çubukların olamayacağı anlamına gelir.

Eğik asimptotların var olup olmadığını kontrol edelim.

Eğer “x” “eksi sonsuza” doğru yöneliyorsa, o zaman:
(altına “X” girerken Kare kök paydanın olumsuzluğunu kaybetmemek için eksi işareti eklemek gerekir)

Alışılmadık görünüyor ama burada belirsizlik "sonsuzluk eksi sonsuzluk"tur. Pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarpın:

Dolayısıyla düz çizgi grafiğin eğik asimptotudur.

“Artı sonsuzluk” ile her şey daha önemsizdir:

Ve düz çizgi .

Cevap :

Eğer ;
, Eğer .

direnemiyorum grafik görüntü:


Bu, abartının dallarından biridir.

Asimptotların potansiyel varlığının başlangıçta fonksiyonun tanım alanıyla sınırlandırılması alışılmadık bir durum değildir:

Örnek 11

Bir fonksiyonun grafiğini asimptotların varlığı açısından inceleyin

Çözüm: tabii ki bu nedenle yalnızca fonksiyonun grafiğinin bulunduğu sağ yarı düzlemi dikkate alıyoruz.

1) Fonksiyon aralıkta süreklidir; bu, eğer dikey bir asimptot mevcutsa, bunun yalnızca ordinat ekseni olabileceği anlamına gelir. Fonksiyonun noktanın yakınındaki davranışını inceleyelim sağda:

Lütfen burada HİÇBİR belirsizlik olmadığını unutmayın (bu tür durumlar, Limitleri çözme yöntemleri makalesinin başında vurgulanmıştır).

Dolayısıyla, düz çizgi (koordinat ekseni), fonksiyonun grafiğinin .'deki dikey asimptotudur.

2) Eğik asimptot üzerine bir çalışma şu şekilde yapılabilir: tam şema, ancak L'Hopital Kuralları makalesinde şunu öğrendik: doğrusal fonksiyon Daha yüksek sipariş logaritmik büyümeden daha fazla, bu nedenle: (Aynı dersteki Örnek 1'e bakın).

Sonuç: x ekseni, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Cevap :

Eğer ;
, Eğer .

Netlik sağlamak için çizim:

Görünüşte benzer bir fonksiyonun hiç asimptotu olmaması ilginçtir (dileyenler bunu kontrol edebilir).

İki son örnekler kendi kendine çalışma için:

Örnek 12

Bir fonksiyonun grafiğini asimptotların varlığı açısından inceleyin

Dikey asimptotları kontrol etmek için önce fonksiyonun tanım tanım kümesini bulmanız, ardından "şüpheli" noktalarda bir çift tek taraflı limit hesaplamanız gerekir. Fonksiyon "artı" ve "eksi" sonsuzda tanımlandığından eğik asimptotlar da hariç tutulmaz.

Örnek 13

Bir fonksiyonun grafiğini asimptotların varlığı açısından inceleyin

Ancak burada yalnızca eğik asimptotlar olabilir ve yönler ayrı ayrı dikkate alınmalıdır.

Umarım doğru asimptotu bulmuşsundur =)

Sana başarılar diliyorum!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2:Çözüm :
. Tek taraflı limitleri bulalım:

Dümdüz fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur .
2) Eğik asimptotlar.

Dümdüz .
Cevap :

ÇizimÖrnek 3'e:

Örnek 4:Çözüm :
1) Dikey asimptotlar. Fonksiyon bir noktada sonsuz bir kesintiye uğrar . Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Not: Sonsuz küçük bir negatif sayının çift üssü, sonsuz küçük bir pozitif sayıya eşittir: .

Dümdüz fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur.
2) Eğik asimptotlar.


Dümdüz (apsis ekseni), fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur. .
Cevap :

Abartı denir yer noktalarda, odak adı verilen iki noktaya olan mesafe farkı sabit bir değerdir (bu sabit pozitif olmalı ve odaklar arasındaki mesafeden küçük olmalıdır).

Bu sabiti 2a ile gösterelim, odaklar arasındaki uzaklığı da § 3'teki gibi koordinat eksenlerini seçelim. keyfi nokta abartı.

Hiperbolün tanımı gereği

Eşitliğin sağ tarafında eğer artı işaretini ve eğer ise eksi işaretini seçmeniz gerekir.

Son eşitlik şu şekilde yazılabileceğinden:

Bu, seçilen koordinat sistemindeki hiperbolün denklemidir.

Bu denklemdeki radikallerden kendimizi kurtararak (§ 3'teki gibi) denklemi en basit şekline indirgeyebiliriz.

İlk radikalin aktarılması Sağ Taraf eşitlik ve her iki tarafın karesi alındığında, bariz dönüşümlerden sonra şunu elde ederiz:

Bir kez daha eşitliğin her iki tarafının karesi alınarak azaltma yapılır. benzer üyeler ve bölerek Ücretsiz Üye, şunu elde ederiz:

Çünkü değer pozitiftir. Bunu aracılığıyla belirtmek, yani varsaymak

aldık kanonik denklem abartı.

Bir hiperbolün biçimini inceleyelim.

1) Hiperbolün simetrileri. Denklem (3) yalnızca geçerli koordinatların karelerini içerdiğinden, koordinat eksenleri hiperbolün simetri eksenleridir (elips için benzer bir ifadeye bakın). Odakların bulunduğu hiperbolün simetri eksenine odak ekseni denir. Simetri eksenlerinin kesişme noktasına (simetrinin merkezi) hiperbolün merkezi denir. Denklem (3) ile verilen hiperbol için odak ekseni Ox ekseni ile çakışır ve merkez orijindir.

2) Simetri eksenleriyle kesişme noktaları. Hiperbolün simetri eksenleriyle - hiperbolün köşeleriyle kesişme noktalarını bulalım. Denklemde varsayarsak, hiperbolün eksenle kesişme noktalarının apsisini buluruz

Sonuç olarak noktalar hiperbolün köşeleridir (Şekil 51); aralarındaki mesafe 2a'dır. Oy ekseni ile kesişme noktalarını bulmak için denklemi koyarız. Bu noktaların koordinatlarını belirlemek için denklemi elde ederiz.

yani y için sanal değerler elde ettik; bu, Oy ekseninin hiperbollerle kesişmediği anlamına gelir.

Buna göre hiperbolle kesişen simetri eksenine denir. gerçek eksen simetri (odak ekseni), hiperbolle kesişmeyen simetri eksenine sanal simetri ekseni denir. Denklem (3) ile verilen bir hiperbol için gerçek simetri ekseni eksendir, hayali simetri ekseni ise hiperbolün köşelerini birleştiren parçaya ve uzunluğuna (2a) gerçek eksen denir. hiperbol. Bir hiperbolün sanal simetri ekseninde OB parçalarını ve b uzunluğunu, O merkezinin her iki tarafına çizersek, o zaman parçaya ve uzunluğuna hiperbolün hayali ekseni denir. a ve b niceliklerine sırasıyla hiperbolün gerçel ve sanal yarı eksenleri denir.

3) Abartı biçimi. Bir hiperbolün biçimini incelerken şunu dikkate almak yeterlidir: pozitif değerler x ve y, çünkü eğri koordinat eksenlerine göre simetrik olarak konumlandırılmıştır.

Denklem (3)'ten 1'in a'dan şuna değişebileceği sonucu çıktığı için: a'dan arttığında Y de 0'dan 0'a artar. Eğri Şekil 2'de gösterilen şekle sahiptir. 51. Düz çizgilerle sınırlanan şeridin dışında yer alır ve iki ayrı koldan oluşur. Bu dallardan birinin herhangi bir M noktası için (sağ dal), başka bir dalın herhangi bir M noktası için (sol dal).

4) Bir hiperbolün asimptotları. Hiperbolün türünü daha net bir şekilde hayal etmek için, onunla yakından ilişkili iki düz çizgiyi, yani asimptotları düşünün.

X ve y'nin pozitif olduğunu varsayarak hiperbolün denklemini (3) y ordinatına göre çözeriz:

Denklemi bir düz çizginin denklemiyle karşılaştıralım, sırasıyla bu düz çizgi üzerinde ve hiperbol üzerinde bulunan ve aynı apsise sahip karşılık gelen iki noktayı çağıralım (Şekil 51). Açıkçası, karşılık gelen noktaların koordinatlarının Y - y farkı, aralarındaki mesafeyi ifade eder, yani.

Sınırsız bir artışla MN mesafesinin (öldürme) sıfıra doğru yöneldiğini gösterelim. Aslında,

Sadeleştirmeden sonra şunu elde ederiz:

Son formülden apsisin sınırsız artmasıyla MN mesafesinin azaldığını ve sıfıra doğru yöneldiğini görüyoruz. Birinci çeyrekte hiperbol boyunca hareket eden M noktası sonsuza doğru hareket ettiğinde, düz çizgiye olan mesafesinin azaldığı ve sıfıra doğru yöneldiği sonucu çıkar. M noktası üçüncü çeyrekte bir hiperbol boyunca hareket ettiğinde de aynı durum meydana gelecektir (O ​​orijinine göre simetri nedeniyle).

Son olarak, hiperbolün Oy eksenine göre simetrisinden dolayı, düz çizgiyle simetrik olarak konumlandırılmış ikinci bir düz çizgi elde edeceğiz; bu çizgiye, hiperbol boyunca hareket ederken ve sonsuza doğru uzaklaşırken M noktası da süresiz olarak yaklaşacaktır ( ikinci ve dördüncü çeyrek).

Bu iki düz çizgiye hiperbolün asimptotları denir ve gördüğümüz gibi aşağıdaki denklemlere sahiptirler:

Açıkçası, hiperbolün asimptotları, bir tarafı Ox eksenine paralel ve 2a'ya eşit, diğer tarafı Oy eksenine paralel ve eşit ve merkezi Ox eksenine paralel olan bir dikdörtgenin köşegenleri boyunca yerleştirilmiştir. koordinatların kökeni (bkz. Şekil 51).

Denklemini kullanarak bir hiperbol çizerken, önce asimptotlarının oluşturulması önerilir.

Eşkenar hiperbol. Bir hiperbol durumunda buna eşkenar denir; denklemi (3)'ten elde edilir ve şu forma sahiptir:

Açıkçası, bir eşkenar hiperbol için asimptotların açısal katsayıları şu şekilde olacaktır: Sonuç olarak, bir eşkenar hiperbolün asimptotları birbirine diktir ve simetri eksenleri arasındaki açıları ikiye böler.

Bir, bir, iki, üç ya da sonsuz sayıda değil. Örnekler için fazla uzağa gitmeyeceğiz, hatırlayalım temel işlevler. Bir parabol, bir kübik parabol ve bir sinüs dalgasının asimptotu yoktur. üstel grafik, logaritmik fonksiyon benzersiz bir asimptotu vardır. Arktanjant ve arkkotanjant bunlardan iki taneye sahiptir ve teğet ve kotanjant sonsuz sayıdadır. Bir grafiğin hem yatay hem de dikey asimptotlara sahip olması alışılmadık bir durum değildir. Abartı, seni her zaman sevecek.

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulmak ne anlama gelir?

Bu, denklemlerini bulmak ve problem gerektiriyorsa düz çizgiler çizmek anlamına gelir. Süreç, bir fonksiyonun sınırlarını bulmayı içerir.

Grafiğin dikey asimptotu, kural olarak, fonksiyonun sonsuz süreksizliği noktasında bulunur. Çok basit: Eğer fonksiyon bir noktada sonsuz bir süreksizliğe maruz kalırsa, o zaman denklemle belirtilen düz çizgi grafiğin dikey asimptotu olur.

Not: Girişin tamamen ikisine atıfta bulunmak için kullanıldığını lütfen unutmayın. farklı kavramlar. Bir noktanın mı yoksa bir doğrunun denkleminin mi ima edildiği bağlama bağlıdır.

Dolayısıyla bir noktada dikey bir asimptotun varlığını tespit etmek için tek taraflı limitlerden en az birinin sonsuz olduğunu göstermek yeterlidir. Çoğu zaman bu, fonksiyonun paydasının olduğu noktadır. sıfıra eşit. Esasen, halihazırda dikey asimptotları bulduk. son örnekler Fonksiyonun sürekliliği dersi. Ancak bazı durumlarda yalnızca tek taraflı bir sınır vardır ve eğer sonsuzsa, o zaman yine dikey asimptotu sevin ve tercih edin. En basit örnek: ve ordinat ekseni.

Yukarıdakilerden şu da çıkıyor apaçık gerçek: Eğer fonksiyon sürekli açıksa dikey asimptot yoktur. Nedense aklıma bir parabol geldi. Gerçekten de, burada düz bir çizgiyi nereye “yapıştırabilirsiniz”? ...evet... anlıyorum... Freud Amca'nın takipçileri histerik hale geldi =)

Konuşmadaki ifade Genel dava yanlış: dolayısıyla fonksiyon sayı doğrusunda tanımlanmamıştır ancak asimptotlardan tamamen yoksundur.

Bir fonksiyonun grafiğinin eğimli asimptotları

Eğik (olarak özel durum- yatay) asimptotlar, fonksiyonun argümanı "artı sonsuza" veya "eksi sonsuza" eğilimliyse çizilebilir. Bu nedenle bir fonksiyonun grafiğinde 2'den fazla eğik asimptot bulunamaz. Örneğin, bir üstel fonksiyonun grafiğinin tek bir yatay asimptotu vardır ve arktanjantın grafiğinin bu türden iki asimptotu vardır ve bunlar da farklıdır.

Nasıl eklenir matematiksel formüller web sitesine mi?

Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Sadeliğin yanı sıra bu evrensel yöntem web sitesinin görünürlüğünü artırmaya yardımcı olacak arama motorları. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.

Sitenizde sürekli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, görüntüleyen özel bir JavaScript kütüphanesi olan MathJax'i kullanmanızı öneririm. matematiksel gösterim MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanan web tarayıcılarında.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, MathJax komut dosyasını sitenize hızlı bir şekilde bağlayabilirsiniz. doğru an uzak bir sunucudan otomatik olarak yükleme (sunucu listesi); (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenden dolayı geçici olarak kullanılamaz duruma gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). Bu kadar. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal şuna göre inşa edilir: belli bir kural sınırsız sayıda ardışık olarak uygulanır. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.

Bir Menger süngeri oluşturmak için yinelemeli algoritma oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27'ye bölünür. eşit küpler. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.

Çoğu durumda, önce eğrinin asimptotlarını oluşturursanız bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak daha kolaydır.

Tanım 1. Asimptotlar, değişken artı sonsuza veya eksi sonsuzluğa eğilim gösterdiğinde, bir fonksiyonun grafiğinin keyfi olarak yakından yaklaştığı düz çizgilerdir.

Tanım 2. Düz bir çizgiye, bir fonksiyonun grafiğinin asimptotu denir. değişken nokta M fonksiyonun bu doğruya kadar olan grafiği, nokta sonsuza kadar uzaklaştıkça sıfıra yönelir M orijinden fonksiyon grafiğinin herhangi bir dalı boyunca.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğik.

Tanım . Dümdüz X = A dır-dir fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu, eğer nokta X = A bu fonksiyon için ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır.

Tanımdan şu sonuç çıkıyor: düz çizgi X = A fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur F(X) koşullardan en az birinin karşılanması durumunda:

Bu durumda fonksiyon F(X) sırasıyla hiç tanımlanamayabilir, X ≥ A Ve X ≤ A .

Yorum:

Örnek 1. Bir fonksiyonun grafiği sen=n X dikey bir asimptotu vardır X= 0 (yani eksenle çakışıyor) Oy) tanım alanının sınırında, çünkü x sağdan sıfıra doğru yönelirken fonksiyonun limiti eksi sonsuza eşittir:

(yukarıdaki resim).

Örnek 2. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Örnek 3. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

If (argüman olarak bir fonksiyonun limiti artı veya eksi sonsuza doğru belirli bir değere eşitse) B), O sen = B – Yatay asimptotçarpık sen = F(X) (X artı sonsuza doğru eğilim gösterdiğinde sağ, X eksi sonsuza doğru eğilim gösterdiğinde sol ve X artı veya eksi sonsuza doğru eğilim gösterdiğinde sınırlar eşitse iki taraflı).

Örnek 5. Bir fonksiyonun grafiği

en A> 1 yatay asimpototu bıraktı sen= 0 (yani eksenle çakışıyor) Öküz), çünkü “x” eksi sonsuza doğru gittiği için fonksiyonun limiti sıfırdır:

"x" artı sonsuza eğilim gösterdiğinden fonksiyonun limiti sonsuza eşit olduğundan eğrinin sağ yatay asimptotu yoktur:

Dikey ve yatay asimptotlar Yukarıda incelediğimiz eksenler koordinat eksenlerine paralel olduğundan bunları oluşturmak için yalnızca ihtiyacımız vardı. belli bir sayı- Asimptotun içinden geçtiği apsis veya ordinat ekseni üzerindeki bir nokta. Eğik bir asimptot için daha büyük bir eğime ihtiyaç vardır kçizginin eğim açısını ve serbest terimi gösteren Bçizginin orijinin ne kadar üstünde veya altında olduğunu gösterir. Analitik geometriyi ve ondan düz bir çizginin denklemlerini unutmamış olanlar, eğik bir asimptot için açısal katsayılı bir düz çizginin denklemini bulduklarını fark edeceklerdir. Eğik bir asimptotun varlığı, az önce bahsedilen katsayıların bulunduğu aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem. Eğriyi yapmak için sen = F(X) bir asimptotu vardı sen = kx + B var olmaları için gerekli ve yeterli sonlu sınırlar k Ve B Değişken eğiliminde olduğundan söz konusu fonksiyonun X artı sonsuza ve eksi sonsuza:

(1)

(2)

Bu şekilde bulunan sayılar k Ve B ve eğik asimptot katsayılarıdır.

İlk durumda (x artı sonsuza doğru eğilim gösterdiği için) sağa eğimli bir asimptot elde edilir, ikinci durumda (x eksi sonsuza doğru eğilim gösterdiği için) bir sola eğik asimptot elde edilir. Sağ eğik asimptot Şekil 2'de gösterilmektedir. aşağıdan.

Eğik bir asimptot için denklemi bulurken, X'in hem artı sonsuza hem de eksi sonsuza olan eğilimini hesaba katmak gerekir. Bazı fonksiyonlar için, örneğin kesirli rasyonel olanlar için, bu sınırlar çakışır, ancak birçok fonksiyon için bu sınırlar farklıdır ve bunlardan yalnızca biri mevcut olabilir.

Limitler çakışıyorsa ve x artı sonsuza ve eksi sonsuzluğa yöneliyorsa, düz çizgi sen = kx + B eğrinin iki taraflı asimptotudur.

Asimptotu tanımlayan limitlerden en az biri ise sen = kx + B, mevcut değilse, fonksiyonun grafiğinin eğik bir asimptotu yoktur (ancak dikey bir asimptotu olabilir).

Yatay asimptotun olduğunu görmek kolaydır. sen = B eğikliğin özel bir durumudur sen = kx + B en k = 0 .

Bu nedenle, herhangi bir yönde bir eğrinin yatay bir asimptotu varsa, o zaman bu yönde eğimli bir asimptot yoktur ve bunun tersi de geçerlidir.

Örnek 6. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Fonksiyon sayı doğrusu dışında tüm sayı doğrusunda tanımlanmıştır. X= 0, yani

Bu nedenle kırılma noktasında X= 0 eğrinin dikey bir asimptotu olabilir. Aslında, x soldan sıfıra doğru giderken fonksiyonun limiti artı sonsuza eşittir:

Buradan, X= 0 – bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu.

Bu fonksiyonun grafiğinin yatay bir asimptotu yoktur, çünkü x artı sonsuza doğru fonksiyonun limiti artı sonsuza eşittir:

Eğik bir asimptotun varlığını bulalım:

Sonlu sınırları var k= 2 ve B= 0. Dümdüz sen = 2X bu fonksiyonun grafiğinin iki yönlü eğik asimptotudur (örnek içindeki şekil).

Örnek 7. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Fonksiyonun bir kesme noktası vardır X= −1 . Tek taraflı limitleri hesaplayalım ve süreksizliğin tipini belirleyelim:

Çözüm: X= −1 ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır, dolayısıyla düz çizgi X= −1 bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur.

Eğik asimptotları arıyoruz. Çünkü bu fonksiyon- kesirli-rasyonel, ve noktasındaki sınırlar çakışacaktır. Böylece, düz çizgi - eğik asimptotu denklemde değiştirmek için katsayıları buluyoruz:

Bulunan katsayıları düz çizgi denkleminde yerine koymak eğim eğik asimptot denklemini elde ederiz:

sen = −3X + 5 .

Şekilde fonksiyonun grafiği bordo renkle, asimptotlar ise siyah renkle gösterilmiştir.

Örnek 8. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Bu fonksiyon sürekli olduğundan grafiğinin dikey asimptotu yoktur. Eğik asimptotları arıyoruz:

.

Dolayısıyla bu fonksiyonun grafiğinin asimptotu vardır. sen= 0'dır ve 'de asiptodu yoktur.

Örnek 9. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. İlk önce dikey asimptotları ararız. Bunu yapmak için fonksiyonun tanım tanım kümesini buluyoruz. Eşitsizlik ve olduğunda bir fonksiyon tanımlanır. Değişkenin işareti X işaretiyle eşleşir. Bu nedenle eşdeğer eşitsizliği düşünün. Bundan fonksiyonun tanım alanını elde ederiz: . Dikey bir asimptot yalnızca fonksiyonun tanım bölgesinin sınırında olabilir. Ancak X= 0 dikey bir asimptot olamaz çünkü fonksiyon şurada tanımlıdır: X = 0 .

Sağdan limiti göz önünde bulundurun (soldan limit yoktur):

.

Nokta X= 2 ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır, yani düz çizgi X= 2 - bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu.

Eğik asimptotları arıyoruz:

Bu yüzden, sen = X+ 1 - bu fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotu. Eğik bir asimptot arıyoruz:

Bu yüzden, sen = −X− 1 - eğik asimptot .

Örnek 10. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Bir fonksiyonun bir tanım alanı vardır . Bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu yalnızca tanım kümesinin sınırında olabileceğinden, fonksiyonun tek taraflı limitlerini .