Belirli integral. Bir şeklin alanı nasıl hesaplanır

Uygulamalara geçelim integral hesabı. Bu derste tipik ve en yaygın görevi analiz edeceğiz. – bir düzlem şeklinin alanını hesaplamak için belirli bir integralin nasıl kullanılacağı. Sonunda anlam arıyorum yüksek matematik- onu bulabilirler mi? Asla bilemezsin. Gerçek hayatta, temel fonksiyonları kullanarak bir yazlık arsaya yaklaşmanız ve belirli bir integral kullanarak alanını bulmanız gerekecektir.

Malzemeye başarılı bir şekilde hakim olmak için şunları yapmalısınız:

1) Anlayın belirsiz integral en azından ortalama düzeyde. Bu nedenle aptallar önce dersi okumalı Olumsuz.

2) Newton-Leibniz formülünü uygulayabilir ve belirli integrali hesaplayabilir. Sayfadaki belirli integrallerle sıcak, dostane ilişkiler kurabilirsiniz. Belirli integral. Çözüm örnekleri.

Aslında bir şeklin alanını bulmak için belirsiz ve belirli integral hakkında bu kadar bilgi sahibi olmanıza gerek yok. "Belirli bir integral kullanarak alanı hesaplama" görevi her zaman bir çizim oluşturmayı içerir, çok daha fazlası güncel sorunçizim konusundaki bilginiz ve becerileriniz olacaktır. Bu bakımdan ana grafiklerin hafızanızı tazelemesinde fayda var. temel işlevler ve en azından düz bir çizgi, parabol ve hiperbol oluşturabilmeli. Bu, kullanılarak yapılabilir (çoğu için gereklidir) metodolojik materyal ve grafiklerin geometrik dönüşümleri üzerine makaleler.

Aslında herkes belirli bir integral kullanarak alan bulma işine okuldan beri aşinadır ve biz de bundan daha ileri gitmeyeceğiz. okul müfredatı. Bu makale hiç mevcut olmayabilir, ancak gerçek şu ki sorun, bir öğrencinin nefret ettiği bir okuldan muzdarip olduğu ve yüksek matematik dersinde şevkle ustalaştığı 100 vakadan 99'unda ortaya çıkıyor.

Malzemeler bu çalıştayın Basitçe, ayrıntılı olarak ve minimum düzeyde teoriyle sunulmuştur.

Şununla başlayalım: kavisli yamuk.

Eğrisel yamuk isminde düz şekil, eksenle sınırlı, düz çizgiler ve bu aralıkta işareti değişmeyen parça üzerinde sürekli olan bir fonksiyonun grafiği. Bu rakamın bulunmasına izin verin daha düşük değil x ekseni:

Daha sonra eğrisel bir yamuğun alanı sayısal olarak belirli bir integrale eşittir. Herhangi bir belirli integralin (var olan) çok iyi bir geometrik anlamı vardır. sınıfta Belirli integral. Çözüm örnekleri Belirli bir integralin bir sayı olduğunu söylemiştim. Şimdi bir şeyi daha belirtmenin zamanı geldi faydalı gerçek. Geometri açısından belirli integral ALAN'dır.

Yani, belirli integral (varsa) geometrik olarak belirli bir şeklin alanına karşılık gelir. Örneğin belirli integrali düşünün. İntegral eksenin üzerinde bulunan düzlemde bir eğri tanımlar (dileyenler çizim yapabilir) ve belirli integralin kendisi sayısal olarak alana eşit karşılık gelen kavisli yamuk.

Örnek 1

Bu tipik bir atama ifadesidir. İlk ve en önemli ançözümler - çizim. Ayrıca çizimin yapılması gerekir SAĞ.

Bir çizim oluştururken aşağıdaki sırayı öneririm: Başta tüm düz çizgileri (varsa) oluşturmak daha iyidir ve yalnızca Daha sonra– paraboller, hiperboller, diğer fonksiyonların grafikleri. Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak daha karlı nokta nokta, teknoloji ile nokta nokta inşaatşurada bulunabilir referans materyali Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Orada dersimiz için de çok yararlı materyaller bulabilirsiniz - nasıl hızlı bir şekilde parabol oluşturulacağı.

Bu problemde çözüm şu şekilde görünebilir.
Çizimi çizelim (denklemin ekseni tanımladığını unutmayın):

Kavisli bir yamuktan çıkmayacağım, alanın ne olduğu burada belli hakkında konuşuyoruz. Çözüm şu şekilde devam ediyor:

Segment üzerinde fonksiyonun grafiği bulunur eksenin üstünde, Bu yüzden:

Cevap:

Belirli integrali hesaplamada ve Newton-Leibniz formülünü uygulamada zorluk çekenler , derse bakın Belirli integral. Çözüm örnekleri.

Görev tamamlandıktan sonra çizime bakıp cevabın gerçek olup olmadığını anlamak her zaman faydalıdır. İÇİNDE bu durumdaÇizimdeki hücre sayısını "gözle" sayıyoruz - yaklaşık 9 olacak, doğru gibi görünüyor. Diyelim ki 20 birim kare cevabını alırsak, bir yerde bir hata yapıldığı açıktır - 20 hücrenin söz konusu rakama, en fazla bir düzine sığmadığı açıktır. Cevap olumsuzsa, görev de yanlış çözülmüştür.

Örnek 2

Şeklin alanını hesaplayın, çizgilerle sınırlı, , ve eksen

Bu bir örnektir bağımsız karar. Eksiksiz çözüm ve dersin sonunda cevap.

Kavisli yamuk bulunursa ne yapmalı aksın altında mı?

Örnek 3

Çizgilerle ve koordinat eksenleriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Bir çizim yapalım:

Kavisli bir yamuk bulunuyorsa aksın altında(veya en azından daha yüksek değil verilen eksen), o zaman alanı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:
Bu durumda:

Dikkat! İki tür görev karıştırılmamalıdır:

1) Sizden belirli bir integrali herhangi bir değer olmadan çözmeniz istenirse geometrik anlamı, o zaman negatif olabilir.

2) Belirli bir integral kullanarak bir şeklin alanını bulmanız istenirse alan her zaman pozitiftir! Bu nedenle az önce tartışılan formülde eksi görünüyor.

Uygulamada, çoğu zaman şekil hem üst hem de alt yarı düzlemde bulunur ve bu nedenle en basitinden okul sorunları Daha anlamlı örneklere geçelim.

Örnek 4

Çizgilerle sınırlanan bir düzlem şeklinin alanını bulun.

Çözüm: Öncelikle çizimi tamamlamanız gerekiyor. Genel olarak konuşursak, alan problemlerinde çizim oluştururken en çok çizgilerin kesişme noktalarıyla ilgileniriz. Parabol ile düz çizginin kesişme noktalarını bulalım. Bu iki şekilde yapılabilir. İlk yöntem analitiktir. Denklemi çözüyoruz:

Bu, entegrasyonun alt sınırının olduğu anlamına gelir üst sınır entegrasyon
Mümkünse bu yöntemi kullanmamak daha iyidir..

Nokta nokta çizgi çizmek çok daha karlı ve hızlı oluyor ve entegrasyonun sınırları “kendiliğinden” ortaya çıkıyor. Çeşitli grafikler için noktadan noktaya oluşturma tekniği yardımda ayrıntılı olarak tartışılmaktadır. Temel fonksiyonların grafikleri ve özellikleri. Yine de, analitik yöntemÖrneğin, grafik oldukça büyükse veya ayrıntılı yapı entegrasyon sınırlarını ortaya koymuyorsa (kesirli veya irrasyonel olabilirler) bazen limit bulmanın kullanılması gerekir. Ve biz de böyle bir örneği ele alacağız.

Görevimize dönelim: Önce düz bir çizgi, sonra da bir parabol çizmek daha mantıklıdır. Çizimi yapalım:

Noktasal inşa ederken entegrasyonun sınırlarının çoğunlukla "otomatik olarak" belirlendiğini tekrar ediyorum.

Ve şimdi çalışma formülü: Segment üzerinde sürekli bir fonksiyon varsa büyük veya eşit bazı sürekli fonksiyon, sonra şeklin alanı, programlarla sınırlı Verilen fonksiyonlar ve düz çizgiler , aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada artık şeklin nerede bulunduğunu düşünmenize gerek yok - eksenin üstünde veya eksenin altında ve kabaca konuşursak, Hangi grafiğin DAHA YÜKSEK olduğu önemlidir(başka bir grafiğe göre), ve hangisi AŞAĞIDA.

Söz konusu örnekte, parabolün segment üzerinde düz çizginin üzerinde yer aldığı ve bu nedenle çıkarmanın gerekli olduğu açıktır.

Tamamlanan çözüm şöyle görünebilir:

İstenilen şekil üstte bir parabol ve altta düz bir çizgi ile sınırlıdır.
Buna göre segmentte karşılık gelen formül:

Cevap:

Aslında okul formülü alt yarı düzlemdeki eğrisel bir yamuğun alanı için (bakınız basit örnek No. 3) – özel durum formüller . Eksen denklemle belirtildiğinden ve fonksiyonun grafiği bulunduğundan daha yüksek değil eksenler, o zaman

Şimdi kendi çözümünüz için birkaç örnek

Örnek 5

Örnek 6

Şeklin çizgilerle sınırlanan alanını bulun.

Belirli bir integral kullanarak alan hesaplamayı içeren problemleri çözerken bazen komik bir olay olur. Çizim doğru yapılmış, hesaplar doğru ama dikkatsizlikten... yanlış şeklin alanı bulundu, bu, mütevazi hizmetkarınızın birkaç kez işleri batırmasının aynısıydı. Burada gerçek durum hayattan:

Örnek 7

, , , çizgileriyle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın.

Çözüm: Öncelikle bir çizim yapalım:

...Eh, çizim berbat çıktı ama her şey okunaklı görünüyor.

Alanı bulmamız gereken şekil mavi gölgeli(duruma dikkatlice bakın - rakam ne kadar sınırlıdır!). Ancak pratikte, dikkatsizlik nedeniyle, gölgeli bir şeklin alanını bulmanız gereken bir "aksaklık" sıklıkla ortaya çıkar. yeşil!

Bu örnek aynı zamanda bir şeklin alanını iki belirli integral kullanarak hesaplaması açısından da faydalıdır. Gerçekten mi:

1) Eksenin üstündeki parçada düz bir çizgi grafiği vardır;

2) Eksenin üstündeki parçada bir hiperbol grafiği vardır.

Bu nedenle alanların eklenebileceği (ve eklenmesi gerektiği) oldukça açıktır, bu nedenle:

Cevap:

Başka bir anlamlı göreve geçelim.

Örnek 8

Çizgilerle sınırlanan bir şeklin alanını hesaplayın,
Denklemleri “okul” formunda sunalım ve nokta nokta çizim yapalım:

Çizimden üst limitimizin “iyi” olduğu açıkça görülüyor: .
Peki alt sınır nedir? Bunun bir tam sayı olmadığı açık, ama nedir? Belki ? Ancak çizimin mükemmel bir doğrulukla yapıldığının garantisi nerede, pekala ortaya çıkabilir... Veya kök. Grafiği yanlış oluşturursak ne olur?

Bu gibi durumlarda harcamanız gerekir ekstra zaman ve entegrasyonun sınırlarını analitik olarak netleştirin.

Düz bir çizgi ile bir parabolün kesişme noktalarını bulalım.
Bunu yapmak için denklemi çözüyoruz:

,

Gerçekten mi, .

Diğer çözüm önemsizdir, asıl mesele, ikamelerde ve işaretlerde kafanızın karışmamasıdır; buradaki hesaplamalar en basit değildir.

Segmentte karşılık gelen formüle göre:

Cevap:

Dersi bitirmek için iki zor göreve daha bakalım.

Örnek 9

Çizgilerle sınırlanan şeklin alanını hesaplayın , ,

Çözüm: Hadi tasvir edelim bu rakamçizim üzerinde.

Lanet olsun, programı imzalamayı unuttum ve üzgünüm, resmi yeniden yapmak istemedim. Çizim günü değil kısacası bugün o gün =)

Nokta nokta inşaat için bilmeniz gerekenler dış görünüş sinüzoidler (ve genellikle bilmek faydalıdır) tüm temel fonksiyonların grafikleri), bazı sinüs değerlerinin yanı sıra, bunlar da bulunabilir. trigonometrik tablo. Bazı durumlarda (bu durumda olduğu gibi), grafiklerin ve entegrasyon sınırlarının temelde doğru bir şekilde gösterilmesi gereken şematik bir çizim oluşturmak mümkündür.

Burada integralin sınırlarıyla ilgili bir sorun yok; bunlar doğrudan "x"in sıfırdan "pi"ye değişmesi koşulundan kaynaklanıyor. Bir karar daha verelim:

Segmentte, fonksiyonun grafiği eksenin üzerinde bulunur, bu nedenle:

Dünyanın nasıl ölçüleceğine dair bilgi eski zamanlarda ortaya çıktı ve yavaş yavaş geometri biliminde şekillendi. İLE Yunan dili Bu kelime “arazi araştırması” olarak çevrilmiştir.

Dünyanın düz bir bölümünün uzunluk ve genişlik olarak ölçüsü alandır. Matematikte genellikle belirtilir Latince harf S (İngilizce “kare” - “alan”, “kare” kelimesinden) veya Yunan mektubuσ (sigma). S, bir düzlem üzerindeki bir şeklin alanını veya bir cismin yüzey alanını belirtir ve σ alandır enine kesit Fizikte teller. Bunlar ana sembollerdir, ancak başkaları da olabilir, örneğin malzemelerin mukavemeti alanında A, profilin kesit alanıdır.

Hesaplama formülleri

Bölgeyi bilmek basit rakamlar, daha karmaşık parametreleri bulabilirsiniz. Eski matematikçiler bunları kolayca hesaplamak için kullanılabilecek formüller geliştirdiler. Bu tür şekiller üçgen, dörtgen, çokgen, dairedir.

Karmaşık bir düzlem şeklinin alanını bulmak için üçgen, yamuk veya dikdörtgen gibi birçok basit şekle bölünür. Daha sonra matematiksel yöntemler Bu şeklin alanı için bir formül türetin. Benzer bir yöntem sadece geometride değil aynı zamanda matematiksel analiz Eğrilerle sınırlanan şekillerin alanlarını hesaplamak için.

Üçgen

En basit şekil olan bir üçgenle başlayalım. Dikdörtgen, ikizkenar ve eşkenardırlar. Herhangi birini alalım ABC üçgeni kenarları AB=a, BC=b ve AC=c (∆ ABC) olan. Bölgesini bulmak için iyi bilinenleri hatırlayın okul kursu sinüs ve kosinüslerin matematik teoremleri. Tüm hesapları bir kenara bırakıp, şu noktaya geliyoruz: aşağıdaki formüller:

S=√ - Herkesin bildiği Heron formülü, burada p=(a+b+c)/2 üçgenin yarı çevresidir;
S=a h/2, burada h, a kenarına indirilen yüksekliktir;
S=a b (sin γ)/2; burada γ, a ve b kenarları arasındaki açıdır;
S=a b/2, eğer ∆ ABC dikdörtgen ise (burada a ve b bacaklardır);
S=b² (sin (2 β))/2, eğer ∆ ABC ikizkenar ise (burada b "kalçalardan" biridir, β üçgenin "kalçaları" arasındaki açıdır);
S=a² √¾, eğer ∆ ABC eşkenar ise (burada a üçgenin bir kenarıdır).

Dörtgen

AB=a, BC=b, CD=c, AD=d olan bir ABCD dörtgeni olsun. Rastgele bir 4-genin S alanını bulmak için, onu çapraz olarak alanları S1 ve S2 olan iki üçgene bölmeniz gerekir. genel durum eşit değil.

Daha sonra bunları hesaplamak ve eklemek için formülleri kullanın, yani S=S1+S2. Bununla birlikte, eğer 4-gon belirli bir sınıfa aitse, alanı önceden bilinen formüller kullanılarak bulunabilir:

S=(a+c) h/2=e h, eğer tetragon bir yamuk ise (burada a ve c tabanlardır, e ise orta hat yamuk, h - yamuğun tabanlarından birine indirilen yükseklik;
S=a h=a b sin φ=d1 d2 (sin φ)/2, eğer ABCD bir paralelkenar ise (burada φ a ve b kenarları arasındaki açıdır, h a kenarına düşen yüksekliktir, d1 ve d2 köşegenlerdir);
S=a b=d²/2, eğer ABCD bir dikdörtgense (d bir köşegendir);
S=a² sin φ=P² (sin φ)/16=d1 d2/2, eğer ABCD bir eşkenar dörtgen ise (a eşkenar dörtgenin kenarıdır, φ açılarından biridir, P çevredir);
ABCD bir kare ise S=a²=P²/16=d²/2.

Çokgen

Bir n-gon'un alanını bulmak için matematikçiler onu en basit parçalara ayırırlar. eşit rakamlar-üçgenler, her birinin alanını bulun ve sonra bunları ekleyin. Ancak çokgen normal sınıfına aitse şu formülü kullanın:

S=a n h/2=a² n/=P²/, burada n çokgenin köşe (veya kenar) sayısıdır, a n-gon'un kenarıdır, P çevresidir, h kısa çizgidir, yani a Çokgenin merkezinden kenarlarından birine 90° açıyla çizilen parça.

Daire

Bir daire mükemmel bir çokgendir sonsuz sayı partiler. Kenar sayısı n sonsuza uzanan çokgenin alanı için formülde sağdaki ifadenin limitini hesaplamamız gerekiyor. Bu durumda çokgenin çevresi, dairemizin sınırı olacak R yarıçaplı bir dairenin uzunluğuna dönüşecek ve P=2 π R'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi yukarıdaki formülde yerine koyun. Alacağız:

S=(π² R² cos (180°/n))/(n sin (180°/n)).

Bu ifadenin limitini n→∞ olarak bulalım. Bunu yapmak için, n→∞ için lim (cos (180°/n)) cos 0°=1'e eşit olduğunu (lim sınırın işaretidir) ve n→∞ için lim = lim'in şu olduğunu hesaba katarız: 1/π'ye eşit (biz tercüme ettik) derece ölçüsüπ rad=180° ilişkisini kullanarak bir radyana dönüştürdü ve ilk dikkate değer olanı uyguladı limit limiti(sin x)/x=1, x→∞'da). Elde edilen değerleri S'nin son ifadesine değiştirerek şu sonuca ulaşırız: bilinen formül:

S=π² R² 1 (1/π)=π R².

Ölçü birimleri

Sistemik ve sistemik olmayan ölçü birimleri kullanılır. Sistem birimleri SI'ya (System International) aittir. Bu bir metrekaredir (metrekare, m²) ve bundan türetilen birimler: mm², cm², km².

Milimetre kare (mm²) cinsinden, örneğin elektrik mühendisliğindeki tellerin kesit alanı santimetre kare (cm²) cinsinden ölçülür - bir kirişin kesiti yapısal mekanik, metrekare (m²) cinsinden - apartmanlar veya evler, kilometre kare (km²) cinsinden - coğrafyadaki bölgeler.

Ancak bazen örgü, ar (a), hektar (ha) ve dönüm (ac) gibi sistemik olmayan ölçü birimleri kullanılır. Aşağıdaki ilişkileri sunalım:

1 yüz metrekare=1 a=100 m²=0,01 hektar;
1 ha=100 a=100 dönüm=10000 m²=0,01 km²=2,471 ac;
1 ac = 4046,856 m² = 40,47 a = 40,47 dönüm = 0,405 hektar.

Konuyla ilgili ders: "Üçgenin, dikdörtgenin, karenin alanını belirleme formülleri"

Ek malzemeler
Değerli kullanıcılarımız yorumlarınızı, yorumlarınızı, dileklerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller antivirüs programı ile kontrol edilmiştir.

5. sınıf için Integral çevrimiçi mağazasında eğitim yardımcıları ve simülatörler
I.I. Zubareva ve A.G. Mordkovich'in ders kitabı için simülatör
G.V. Dorofeev ve L.G Peterson'un ders kitabı için simülatör.

Bir şeklin alanının tanımı ve kavramı

Bir şeklin alanının ne olduğunu daha iyi anlamak için şekli düşünün.
Bu keyfi rakam 12 küçük kareye bölünmüştür. Her karenin bir kenarı 1 cm olup, her karenin alanı 1 santimetre karedir ve şu şekilde yazılır: 1cm2.

O zaman şeklin alanı 12 santimetre karedir. Matematikte alan Latin harfi S ile gösterilir.
Bu, şeklimizin alanının şu olduğu anlamına gelir: S şekli = 12 cm2.

Şeklin alanı onu oluşturan tüm küçük karelerin alanına eşittir!

Çocuklar, unutmayın!
Alan uzunluk birimi kare cinsinden ölçülür. Alan birimleri:
1. Kilometre kare- km 2 (alanlar çok büyük olduğunda, örneğin bir ülke veya deniz).
2. Metrekare- m2 (bir arsa veya dairenin alanını ölçmek için oldukça uygundur).
3. Santimetre kare- cm 2 (genellikle matematik derslerinde bir deftere şekiller çizerken kullanılır).
4. Milimetre kare - mm 2.

Bir üçgenin alanı

İki tür üçgeni ele alalım: dik açılı ve keyfi.

Dik üçgenin alanını bulmak için tabanın uzunluğunu ve yüksekliğini bilmeniz gerekir. Dik üçgende yüksekliğin yerini kenarlardan biri alır. Bu nedenle üçgenin alan formülünde yükseklik yerine kenarlardan birini değiştiriyoruz.
Örneğimizde kenarlar 7 cm ve 4 cm'dir. Üçgenin alanını hesaplama formülü şu şekilde yazılmıştır:
S dikdörtgen ABC üçgeni= BC * SA: 2

ABC dik üçgeninin S'si = 7 cm * 4 cm: 2 = 14 cm2

Şimdi keyfi bir üçgen düşünün.

Böyle bir üçgen için yüksekliği tabana kadar çizmeniz gerekir.
Örneğimizde yükseklik 6 cm, taban ise 8 cm'dir. Önceki örnekte olduğu gibi alanı aşağıdaki formülü kullanarak hesaplıyoruz.
S keyfi üçgen ABC = BC * h: 2.

Verilerimizi formülde yerine koyalım ve şunu elde edelim:
Rastgele bir ABC üçgeninin S'si = 8 cm * 6 cm: 2 = 24 cm2.

Dikdörtgenin ve karenin alanı

Kenar uzunlukları 5 cm ve 8 cm olan bir ABCD dikdörtgeni alın.

Bir dikdörtgenin alanını hesaplama formülü şu şekilde yazılmıştır:
S dikdörtgeni ABCD = AB * BC.

S dikdörtgeni ABCD = 8 cm * 5 cm = 40 cm2.

Şimdi karenin alanını hesaplayalım. Dikdörtgen ve üçgenden farklı olarak karenin alanını bulmak için yalnızca bir kenarını bilmeniz gerekir. Örneğimizde ABCD karesinin bir kenarı 9 cm'dir. S kare ABCD = AB * BC = AB 2.

Verilerimizi formülde yerine koyalım ve şunu elde edelim:
S kare ABCD = 9 cm * 9 cm = 81 cm2.

Kare geometrik şekil - sayısal karakteristik bu şeklin boyutunu gösteren geometrik bir şekil (yüzeyin bu şeklin kapalı konturuyla sınırlanan kısmı). Alanın büyüklüğü, içerdiği birim karelerin sayısıyla ifade edilir.

Üçgen alan formülleri

Bir üçgenin yan ve yüksekliğe göre alanı formülü
Bir üçgenin alanı Bir üçgenin bir kenarının uzunluğu ile bu kenara çizilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına eşittir
Üç tarafa ve çevrel dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül
Üç tarafa ve yazılı dairenin yarıçapına dayalı bir üçgenin alanı için formül
Bir üçgenin alanıüçgenin yarı çevresi ile yazılı dairenin yarıçapının çarpımına eşittir.

Kare alan formülleri

Kenar uzunluğuna göre karenin alanı formülü
Kare alan kenar uzunluğunun karesine eşittir.
Köşegen uzunluğu boyunca bir karenin alanı için formül
Kare alan köşegen uzunluğunun karesinin yarısına eşittir.
S= 1 2
2

Dikdörtgen alan formülü

Dikdörtgenin alanı

Paralelkenar alan formülleri

Kenar uzunluğuna ve yüksekliğine dayalı bir paralelkenarın alanı için formül
Paralelkenarın alanı
İki tarafa ve aralarındaki açıya dayalı bir paralelkenarın alanı için formül
Paralelkenarın alanı kenarlarının uzunluklarının çarpımı ile aralarındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
a b günah α

Eşkenar dörtgen alanı için formüller

Kenar uzunluğu ve yüksekliğine göre eşkenar dörtgen alanı formülü
Bir eşkenar dörtgenin alanı kendi tarafının uzunluğu ile bu tarafa indirilen yüksekliğin uzunluğunun çarpımına eşittir.
Kenar uzunluğuna ve açıya dayalı bir eşkenar dörtgen alanı formülü
Bir eşkenar dörtgenin alanı kendi kenarının uzunluğunun karesi ile eşkenar dörtgenin kenarları arasındaki açının sinüsünün çarpımına eşittir.
Köşegen uzunluklarına dayalı bir eşkenar dörtgen alanı formülü
Bir eşkenar dörtgenin alanı köşegenlerinin uzunluklarının çarpımının yarısına eşittir.

Yamuk alan formülleri

Heron'un yamuk formülü
S yamuğun alanı olduğunda,
- yamuk tabanlarının uzunlukları,
- yamuğun kenarlarının uzunlukları,

Günlük hayatımızda alan gibi bir kavramla uğraşmak zorundayız. Yani örneğin bir ev inşa ederken miktarını hesaplamak için onu bilmeniz gerekir. gerekli malzeme. Boyut Bahçe arsası aynı zamanda alanla da karakterize edilecektir. Bu tanım olmadan bir apartman dairesinde tadilat bile yapılamaz. Bu nedenle dikdörtgenin alanının nasıl bulunacağı sorusu çok sık gündeme geliyor ve sadece okul çocukları için önemli değil.

Bilmeyenler için dikdörtgen düz bir şekildir. zıt taraflar eşit ve açıları 90°'dir. Matematikte alanı belirtmek için kullanırız İngilizce mektup S. Ölçülmektedir birim kareler: metre, santimetre vb.

Şimdi dikdörtgenin alanı nasıl bulunur sorusuna detaylı bir cevap vermeye çalışacağız. Bu değeri belirlemenin birkaç yolu vardır. Çoğu zaman genişlik ve uzunluğu kullanarak alanı belirleme yöntemiyle karşılaşırız.

Genişliği b ve uzunluğu k olan bir dikdörtgen alalım. Belirli bir dikdörtgenin alanını hesaplamak için genişliği uzunlukla çarpmanız gerekir. Bütün bunlar şu şekilde görünecek bir formül biçiminde temsil edilebilir: S = b * k.

Şimdi bu yönteme bakalım spesifik örnek. 2 metre genişliğinde ve 7 metre uzunluğunda bir bahçe arsasının alanının belirlenmesi gerekmektedir.

S = 2 * 7 = 14 m2

Matematikte, özellikle de matematikte, çoğu durumda dikdörtgenin uzunluğunu veya genişliğini bilmediğimiz için alanı başka yollarla belirlememiz gerekir. Aynı zamanda bilinen başka nicelikler de mevcuttur. Bu durumda dikdörtgenin alanı nasıl bulunur?

Köşegenin uzunluğunu ve dikdörtgenin herhangi bir kenarıyla köşegeni oluşturan açılardan birini biliyorsak, o zaman bu durumda alanı hatırlamamız gerekecek. iki eşit dik üçgenler. O halde belirlenen değere dönelim. Öncelikle açının kosinüsünü belirlemeniz gerekir. Ortaya çıkan değeri köşegen uzunluğuyla çarpın. Sonuç olarak dikdörtgenin kenarlarından birinin uzunluğunu elde ederiz. Benzer şekilde, ancak sinüs tanımını kullanarak ikinci tarafın uzunluğunu belirleyebilirsiniz. Şimdi bir dikdörtgenin alanı nasıl bulunur? Evet çok basit, elde edilen değerleri çarpın.

Formül formunda şöyle görünecektir:

S = cos(a) * sin(a) * d2, burada d köşegenin uzunluğudur

Bir dikdörtgenin alanını belirlemenin başka bir yolu da içine yazılan dairedir. Dikdörtgenin kare olması durumunda kullanılır. Kullanmak bu yöntem Bilmem gerek Bir dikdörtgenin alanı bu şekilde nasıl hesaplanır? Tabii ki formüle göre. Bunu kanıtlamayacağız. Ve şuna benziyor: S = 4 * r2, burada r yarıçaptır.

Yarıçap yerine yazılı dairenin çapını biliyoruz. O zaman formül şöyle görünecek:

S=d2, burada d çaptır.

Kenarlardan biri ve çevresi biliniyorsa, bu durumda dikdörtgenin alanı nasıl bulunur? Bunu yapmak için bir seri yapmak gerekir. basit hesaplamalar. Bildiğimiz gibi bir dikdörtgenin karşılıklı kenarları eşittir, dolayısıyla bilinen uzunluğun ikiyle çarpımı çevre değerinden çıkarılmalıdır. Sonucu ikiye bölün ve ikinci tarafın uzunluğunu bulun. O zaman standart teknik her iki tarafı da çarpmak ve dikdörtgenin alanını elde etmektir. Formül formunda şöyle görünecektir:

S=b* (P - 2*b), burada b kenar uzunluğu, P ise çevredir.

Gördüğünüz gibi bir dikdörtgenin alanı belirlenebilir çeşitli şekillerde. Her şey, değerlendirmeden önce bildiğimiz miktarlara bağlıdır. bu sorun. Tabii ki, en son matematik yöntemlerine hayatta neredeyse hiç karşılaşılmıyor, ancak okuldaki birçok problemin çözümünde faydalı olabilirler. Belki bu makale sorunlarınızı çözmek için faydalı olacaktır.