Fonksiyona izin ver y =F(X) aralıkta süreklidir [ a, b] Bilindiği üzere böyle bir fonksiyon maksimum ve minimum değerlerine bu segmentte ulaşmaktadır. Fonksiyon bu değerleri de alabilir iç nokta bölüm [ a, b] veya segmentin sınırında.
Bir fonksiyonun segment üzerindeki en büyük ve en küçük değerlerini bulmak için [ a, b] gerekli:
1) bul kritik noktalar aralıktaki işlevler ( a, b);
2) bulunan kritik noktalarda fonksiyonun değerlerini hesaplayın;
3) segmentin uçlarındaki fonksiyonun değerlerini hesaplayın, yani X=A ve x = B;
4) fonksiyonun hesaplanan tüm değerlerinden en büyüğünü ve en küçüğünü seçin.
Örnek. Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma
segmentte.
Kritik noktaları bulma:
Bu noktalar segmentin içinde yer alır; sen(1) = ‒ 3; sen(2) = ‒ 4; sen(0) = ‒ 8; sen(3) = 1;
bu noktada X= 3 ve bu noktada X= 0.
Dışbükeylik ve bükülme noktası için bir fonksiyonun incelenmesi.
İşlev sen = F (X) isminde dışbükey arada (A, B) grafiği bu aralığın herhangi bir noktasında çizilen teğetin altında bulunuyorsa ve denirse aşağı dışbükey (içbükey) grafiği tanjantın üzerinde yer alıyorsa.
Dışbükeyliğin yerini içbükeyliğin aldığı veya bunun tersinin gerçekleştiği noktaya ne ad verilir? dönüm noktası.
Dışbükeylik ve bükülme noktasını incelemek için algoritma:
1. İkinci türden kritik noktaları, yani ikinci türevin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktaları bulun.
2. Sayı doğrusu üzerinde kritik noktaları aralıklara bölerek çizin. Her aralığın ikinci türevinin işaretini bulun; eğer ise fonksiyon yukarıya doğru dışbükeydir, eğer ise fonksiyon aşağıya doğru dışbükeydir.
3. İkinci türden bir kritik noktadan geçerken işaret değişirse ve bu noktada ikinci türev sıfıra eşitse, bu nokta bükülme noktasının apsisidir. Ordinatını bulun.
Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları. Asimptotlar için bir fonksiyonun incelenmesi.
Tanım. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotuna denir dümdüz, grafikteki herhangi bir noktadan bu çizgiye olan mesafenin, grafikteki nokta başlangıç noktasından süresiz olarak hareket ettikçe sıfıra doğru gitmesi özelliğine sahiptir.
Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğimli.
Tanım. Düz çizgiye denir dikey asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) fonksiyonun bu noktadaki tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşitse, yani
fonksiyonun süreksizlik noktası nerede yani tanım alanına ait değil.
Örnek.
D ( sen) = (‒ ∞; 2) (2; + ∞)
X= 2 – kırılma noktası.
Tanım. Dümdüz y =A isminde yatay asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) eğer
Örnek.
|
X | |||
|
sen |
Tanım. Dümdüz y =kx +B (k≠ 0) denir eğik asimptot fonksiyon grafikleri y = f(x) nerede
Fonksiyonları incelemek ve grafik oluşturmak için genel şema.
Fonksiyon Araştırma Algoritmasıy = f(x) :
1. Fonksiyonun tanım kümesini bulun D (sen).
2. Grafiğin koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını bulun (eğer mümkünse) X= 0 ve sen = 0).
3. Fonksiyonun düzgünlüğünü ve tekliğini inceleyin ( sen (‒ X) = sen (X) ‒ parite; sen(‒ X) = ‒ sen (X) ‒ garip).
4. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.
5. Fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulun.
6. Fonksiyonun ekstremumunu bulun.
7. Fonksiyon grafiğinin dışbükeylik (içbükeylik) aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.
8. Yapılan araştırmaya dayanarak fonksiyonun grafiğini oluşturunuz.
Örnek. Fonksiyonu keşfedin ve grafiğini oluşturun.
1) D (sen) =
X= 4 – kırılma noktası.
2) Ne zaman X = 0,
(0; ‒ 5) – ile kesişme noktası ah.
Şu tarihte: sen = 0,
3)
sen(‒
X)=
işlev genel görünüm(ne çift ne de tek).
4) Asimptotları inceliyoruz.
a) dikey
yatay
c) eğik asimptotları bulun;
‒eğik asimptot denklemi
5) Bu denklemde fonksiyonun monotonluk aralıklarını bulmak gerekli değildir.
6)
Bu kritik noktalar, fonksiyonun tüm tanım alanını (˗∞; ˗2), (˗2; 4), (4; 10) ve (10; +∞) aralığına böler. Elde edilen sonuçları aşağıdaki tablo şeklinde sunmak uygundur.
Pratikte bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerini hesaplamak için türevi kullanmak oldukça yaygındır. Bu eylemi, maliyetleri nasıl en aza indireceğimizi, karı nasıl artıracağımızı, üretim üzerindeki optimum yükü nasıl hesaplayacağımızı vb. çözdüğümüzde, yani belirlememiz gereken durumlarda gerçekleştiririz. optimum değer herhangi bir parametre. Bu tür sorunları doğru bir şekilde çözmek için en büyük ve en büyük şeyin ne olduğunu iyi anlamanız gerekir. en küçük değer işlevler.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Tipik olarak bu değerleri belirli bir x aralığı içinde tanımlarız; bu da fonksiyonun tüm alanına veya bir kısmına karşılık gelebilir. Bir segment [a; b ] ve açık aralık (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), sonsuz aralık (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) veya sonsuz aralık - ∞ ; bir , (- ∞ ; bir ] , [ bir ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .
Bu yazımızda size en büyük ve en küçük değeri açık bir şekilde nasıl hesaplayacağınızı anlatacağız. verilen fonksiyon tek değişkenli y=f(x) y = f (x) .
Temel tanımlar
Her zaman olduğu gibi temel tanımların formülasyonuyla başlayalım.
Tanım 1
Belirli bir x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en büyük değeri, m a x y = f (x 0) x ∈ X değeridir; bu, herhangi bir x x ∈ X değeri için, x ≠ x 0, f (x) eşitsizliğini yapar ≤ f(x) geçerli 0) .
Tanım 2
Belirli bir x aralığında y = f (x) fonksiyonunun en küçük değeri, m ben n x ∈ X y = f (x 0) değeridir; bu, herhangi bir x ∈ X değeri için x ≠ x 0, f(X f eşitsizliğini yapar) (x) ≥ f(x0) .
Bu tanımlar oldukça açıktır. Daha da basit olarak şunu söyleyebiliriz: Bir fonksiyonun en büyük değeri onun en büyük değeridir. büyük değer apsis x 0'da bilinen bir aralıkta ve en küçüğü aynı aralıkta x 0'da kabul edilen en küçük değerdir.
Tanım 3
Durağan noktalar, türevinin 0 olduğu bir fonksiyonun argümanının değerleridir.
Durağan noktaların ne olduğunu neden bilmemiz gerekiyor? Bu soruyu cevaplamak için Fermat teoremini hatırlamamız gerekiyor. Bundan, durağan bir noktanın, türevlenebilir fonksiyonun ekstremumunun bulunduğu bir nokta olduğu sonucu çıkar (yani, onun yerel minimum veya maksimum). Sonuç olarak, fonksiyon belirli bir aralıkta tam olarak durağan noktalardan birinde en küçük veya en büyük değeri alacaktır.
Bir fonksiyon, kendisinin tanımlandığı ve birinci türevinin bulunmadığı noktalarda da en büyük veya en küçük değeri alabilir.
Bu konuyu incelerken ortaya çıkan ilk soru şudur: Her durumda, bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini belirleyebilir miyiz? bu bölüm? Hayır, belirli bir aralığın sınırları tanım alanının sınırlarıyla çakıştığında veya sonsuz bir aralıkla ilgileniyorsak bunu yapamayız. Belirli bir segmentteki veya sonsuzdaki bir fonksiyonun sonsuz küçük veya sonsuz büyük değerler alması da mümkündür. Bu durumlarda en büyük ve/veya en küçük değeri belirlemek mümkün değildir.
Bu noktalar grafiklerde gösterildikten sonra daha da netleşecektir:
İlk şekil bize [ - 6 ; 6].
İkinci grafikte belirtilen durumu detaylı olarak inceleyelim. Segmentin değerini [ 1 ; 6 ] ve fonksiyonun en büyük değerinin apsisin aralığın sağ sınırında olduğu noktada, en küçüğünün ise aralığın sağ sınırında elde edileceğini buluyoruz. sabit nokta.
Üçüncü şekilde noktaların apsisleri doğru parçasının sınır noktalarını temsil etmektedir [-3; 2]. Belirli bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerine karşılık gelirler.
Şimdi dördüncü resme bakalım. Burada fonksiyon m a xy'yi (en büyük değer) ve mi n y'yi (en küçük değer) açık aralıktaki (- 6; 6) sabit noktalarda alır.
[ 1 ; 6), o zaman üzerinde fonksiyonun en küçük değerine durağan bir noktada ulaşılacağını söyleyebiliriz. En büyük değer bizim için bilinmiyor olacak. Eğer x = 6 aralığa aitse fonksiyon maksimum değerini x'in 6'ya eşit olduğu noktada alabilir. Bu tam olarak grafik 5'te gösterilen durumdur.
Grafik 6'da en düşük değer bu fonksiyon(- 3; 2 ] aralığının sağ sınırında elde edilir ve en büyük değer hakkında kesin sonuçlara varamayız.
Şekil 7'de fonksiyonun apsisi 1'e eşit olan sabit bir noktada m a xy'ye sahip olacağını görüyoruz. Fonksiyon minimum değerine c aralığının sınırında ulaşacaktır. sağ taraf. Eksi sonsuzda fonksiyon değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır.
x ∈ 2 aralığını alırsak; + ∞ ise verilen fonksiyonun ne en küçük ne de en büyük değeri almayacağını göreceğiz. Eğer x 2'ye yöneliyorsa, o zaman fonksiyonun değerleri eksi sonsuza yönelecektir, çünkü x = 2 düz çizgisi şu şekildedir: dikey asimptot. Eğer apsis artı sonsuza eğilim gösteriyorsa, o zaman fonksiyon değerleri asimptotik olarak y = 3'e yaklaşacaktır. Bu tam olarak Şekil 8'de gösterilen durumdur.
Bu paragrafta, belirli bir segmentteki bir fonksiyonun en büyük veya en küçük değerini bulmak için yapılması gereken eylemlerin sırasını sunacağız.
- Öncelikle fonksiyonun tanım tanım kümesini bulalım. Koşulda belirtilen segmentin koşula dahil olup olmadığını kontrol edelim.
- Şimdi bu parçada yer alan ve birinci türevin bulunmadığı noktaları hesaplayalım. Çoğu zaman argümanları modül işareti altında yazılan fonksiyonlarda veya güç fonksiyonlarıüssü kesirli rasyonel bir sayıdır.
- Daha sonra verilen segmentte hangi sabit noktaların düşeceğini öğreneceğiz. Bunu yapmak için, fonksiyonun türevini hesaplamanız, ardından onu 0'a eşitlemeniz ve ortaya çıkan denklemi çözmeniz ve ardından uygun kökleri seçmeniz gerekir. Tek bir durağan nokta bulamazsak veya verilen segmente girmiyorsa bir sonraki adıma geçiyoruz.
- Verilen durağan noktalarda (varsa) veya birinci türevin bulunmadığı noktalarda (varsa) fonksiyonun hangi değerleri alacağını belirleriz veya x = a ve değerlerini hesaplarız. x = b.
- 5. Artık en büyüğünü ve en küçüğünü seçmemiz gereken bir dizi fonksiyon değerimiz var. Bunlar bulmamız gereken fonksiyonun en büyük ve en küçük değerleri olacak.
Sorunları çözerken bu algoritmanın nasıl doğru şekilde uygulanacağını görelim.
Örnek 1
Durum: y = x 3 + 4 x 2 fonksiyonu verilmiştir. Segmentlerdeki en büyük ve en küçük değerlerini belirleyin [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; -1] .
Çözüm:
Belirli bir fonksiyonun tanım tanım kümesini bularak başlayalım. Bu durumda, herkesten çok olacak gerçek sayılar 0 hariç. Başka bir deyişle, D(y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Koşulda belirtilen her iki segment de tanım alanı içinde olacaktır.
Şimdi fonksiyonun türevini kesir türevi kuralına göre hesaplıyoruz:
y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3
Bir fonksiyonun türevinin doğru parçalarının her noktasında bulunacağını öğrendik [ 1 ; 4 ] ve [ - 4 ; -1] .
Şimdi fonksiyonun durağan noktalarını belirlememiz gerekiyor. Bunu x 3 - 8 x 3 = 0 denklemini kullanarak yapalım. Tek bir gerçek kökü vardır, o da 2'dir. Fonksiyonun durağan bir noktası olacak ve ilk segmente düşecektir [1; 4].
Birinci parçanın uçlarındaki ve bu noktada fonksiyonun değerlerini hesaplayalım; x = 1, x = 2 ve x = 4 için:
y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4
m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3, x = 1'de elde edilecektir ve en küçük m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y(2) = 3 – x = 2'de.
İkinci bölüm tek bir durağan nokta içermediğinden, yalnızca verilen bölümün uçlarındaki fonksiyon değerlerini hesaplamamız gerekir:
y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3
Bunun anlamı m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Cevap: Segment için [ 1 ; 4 ] - m a x y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , m ben n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 , [ - 4 ; - 1 ] - m a x y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 1) = 3 , m ben n y x ∈ [ - 4 ; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .
Resme bakınız:
Çalışmadan önce bu yöntem, tek taraflı limiti ve sonsuzdaki limiti nasıl doğru bir şekilde hesaplayacağınızı gözden geçirmenizi ve bunları bulmanın temel yöntemlerini öğrenmenizi tavsiye ederiz. Açık veya sonsuz bir aralıkta bir fonksiyonun en büyük ve/veya en küçük değerini bulmak için aşağıdaki adımları sırayla uygulayın.
- Öncelikle verilen aralığın verilen fonksiyonun tanım kümesinin bir alt kümesi olup olmayacağını kontrol etmeniz gerekir.
- İstenilen aralıkta yer alan ve birinci türevin bulunmadığı tüm noktaları belirleyelim. Genellikle argümanın modül işareti içine alındığı fonksiyonlarda ve kesirli kuvvet fonksiyonlarında ortaya çıkarlar. rasyonel gösterge. Bu noktalar eksikse bir sonraki adıma geçebilirsiniz.
- Şimdi hangi durağan noktaların verilen aralığa düşeceğini belirleyelim. Öncelikle türevi 0'a eşitliyoruz, denklemi çözüyoruz ve uygun kökleri seçiyoruz. Tek bir durağan noktamız yoksa veya verilen aralığa girmiyorlarsa hemen gideriz. diğer eylemler. Aralık türüne göre belirlenirler.
- Aralık [ a ; b) ise fonksiyonun değerini x = a noktasında ve tek taraflı hesaplamamız gerekir. limit limiti x → b - 0 f(x) .
- Aralık (a; b ] biçimindeyse, o zaman fonksiyonun değerini x = b noktasında ve tek taraflı limit lim x → a + 0 f(x)'de hesaplamamız gerekir.
- Aralık (a; b) biçimindeyse, tek taraflı limitleri lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x) hesaplamamız gerekir.
- Aralık şu şekildeyse [ a ; + ∞), o zaman x = a noktasındaki değeri ve artı sonsuz lim x → + ∞ f(x) noktasındaki limiti hesaplamamız gerekir.
- Aralık (- ∞ ; b ] gibi görünüyorsa, x = b noktasındaki değeri ve eksi sonsuzdaki limiti lim x → - ∞ f(x) hesaplarız.
- Eğer - ∞ ise; b ise tek taraflı limiti lim x → b - 0 f(x) ve eksi sonsuzdaki limiti lim x → - ∞ f(x) dikkate alırız
- Eğer - ∞ ise; + ∞ , sonra eksi ve artı sonsuzun limitlerini dikkate alırız lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .
- Sonunda elde edilen fonksiyon değerlerine ve limitlere dayanarak bir sonuç çıkarmanız gerekiyor. Burada birçok seçenek mevcut. Dolayısıyla, tek taraflı limit eksi sonsuza veya artı sonsuza eşitse, fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri hakkında hiçbir şey söylenemeyeceği hemen anlaşılır. Aşağıda bunlardan birine bakacağız tipik örnek. Detaylı Açıklamalar neyin ne olduğunu anlamanıza yardımcı olacaktır. Gerekirse malzemenin ilk kısmındaki Şekil 4 - 8'e dönebilirsiniz.
Koşul: verilen fonksiyon y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . - ∞ ; aralıklarındaki en büyük ve en küçük değerini hesaplayın; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2) , [ 1 ; 2) , 2 ; + ∞ , [ 4 ; + ∞) .
Çözüm
Öncelikle fonksiyonun tanım tanım kümesini buluyoruz. Kesirin paydası şunları içerir: ikinci dereceden üç terimli 0'a gitmemesi gereken:
x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)
Koşulda belirtilen tüm aralıkların ait olduğu fonksiyonun tanım tanım kümesini elde ettik.
Şimdi fonksiyonun türevini alalım ve şunu elde edelim:
y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 " = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6 " (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2
Sonuç olarak, bir fonksiyonun türevleri tüm tanım alanı boyunca mevcuttur.
Durağan noktaları bulmaya geçelim. Fonksiyonun türevi x = - 1 2'de 0 olur. Bu (- 3 ; 1 ] ve (- 3 ; 2) aralıklarında yer alan durağan bir noktadır.
Fonksiyonun (- ∞ ; - 4 ] aralığı için x = - 4'teki değerini ve eksi sonsuzdaki limitini hesaplayalım:
y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1
3 e 1 6 - 4 > - 1 olduğundan, m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4 olduğu anlamına gelir. Bu, denklemin en küçük değerini benzersiz bir şekilde belirlememize izin vermez. Fonksiyonun eksi sonsuzda asimptotik olarak yaklaştığı nokta bu değer olduğundan, yalnızca -1'in altında bir kısıtlama olduğu sonucuna varabiliriz.
İkinci aralığın özelliği, içinde tek bir sabit noktanın veya tek bir katı sınırın bulunmamasıdır. Sonuç olarak fonksiyonun ne en büyük değerini ne de en küçük değerini hesaplayamayız. Limiti eksi sonsuzda tanımladıktan sonra ve argüman sol tarafta -3'e doğru gittiğinden, yalnızca bir değer aralığı elde ederiz:
lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Bu, fonksiyon değerlerinin - 1 aralığında yer alacağı anlamına gelir; +∞
Fonksiyonun üçüncü aralıktaki en büyük değerini bulmak için, eğer x = 1 ise, x = - 1 2 sabit noktasındaki değerini belirleriz. Ayrıca argümanın sağ tarafta -3'e doğru yöneldiği durum için tek taraflı limiti de bilmemiz gerekecek:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y(1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4
Fonksiyonun en büyük değeri m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 noktasında alacağı ortaya çıktı. En küçük değeri ise belirleyemeyiz. Bildiğimiz her şey -4'e kadar bir alt sınırın varlığıdır.
(- 3 ; 2) aralığı için, önceki hesaplamanın sonuçlarını alın ve sol tarafta 2'ye yönelirken tek taraflı limitin neye eşit olduğunu bir kez daha hesaplayın:
y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4
Bu, m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4 olduğu ve en küçük değerin belirlenemediği ve fonksiyonun değerlerinin aşağıdan - 4 sayısı ile sınırlandırıldığı anlamına gelir. .
Önceki iki hesaplamada elde ettiğimiz sonuçlara dayanarak şunu söyleyebiliriz: [ 1 ; 2) Fonksiyon x = 1 noktasında en büyük değeri alacaktır ancak en küçüğünü bulmak imkansızdır.
(2 ; + ∞) aralığında fonksiyon ne en büyük ne de en küçük değere ulaşmayacaktır; - 1 aralığından değerler alacaktır; + ∞ .
lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1
Fonksiyonun değerinin x = 4'te neye eşit olacağını hesapladıktan sonra m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 ve artı sonsuzda verilen fonksiyon y = - 1 düz çizgisine asimptotik olarak yaklaşacaktır.
Her hesaplamada elde ettiğimiz sonuçları verilen fonksiyonun grafiğiyle karşılaştıralım. Şekilde asimptotlar noktalı çizgilerle gösterilmiştir.
Bir fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini bulma konusunda size anlatmak istediklerimiz bu kadardı. Verdiğimiz eylem dizileri, gerekli hesaplamaları olabildiğince hızlı ve basit bir şekilde yapmanıza yardımcı olacaktır. Ancak, öncelikle fonksiyonun hangi aralıklarla azalacağını ve hangi aralıklarla artacağını bulmanın genellikle yararlı olduğunu ve ardından daha fazla sonuç çıkarabileceğinizi unutmayın. Bu şekilde fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini daha doğru bir şekilde belirleyebilir ve elde edilen sonuçları doğrulayabilirsiniz.
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Sevgili dostlar! Türevle ilgili görev grubu görevleri içerir - koşul bir fonksiyonun grafiğini verir, bu grafikte birkaç nokta vardır ve soru şudur:
Türev hangi noktada en büyük (en küçük) olur?
Kısaca tekrarlayalım:
Bir noktadaki türev şuna eşittir: eğim geçen teğetGrafikteki bu nokta.
senteğetin küresel katsayısı teğete eşit bu teğetin eğim açısı.
*Bu, teğet ile x ekseni arasındaki açıyı ifade eder.
1. Artan fonksiyon aralıklarında türevin pozitif değer.
2. Düşüş aralıklarında türevin negatif değer.
Aşağıdaki taslağı göz önünde bulundurun:
1,2,4 noktalarında, bu noktalar azalan aralıklara ait olduğundan fonksiyonun türevi negatif bir değere sahiptir.
3,5,6 noktalarında fonksiyonun türevi pozitif bir değere sahiptir çünkü bu noktalar artan aralıklara aittir.
Gördüğünüz gibi türevin anlamı ile ilgili her şey açık, yani grafiğin belirli bir noktasında hangi işarete sahip olduğunu (pozitif veya negatif) belirlemek hiç de zor değil.
Üstelik bu noktalarda zihinsel olarak teğetler oluşturursak, 3, 5 ve 6 numaralı noktalardan geçen düz çizgilerin oX ekseni 0 ila 90 o arasında değişen açılar oluşturduğunu, 1, 2 ve 4 numaralı noktalardan geçen düz çizgilerin de oluştuğunu görürüz. oX ekseninde açılar 90 o ile 180 o arasında değişir.
*İlişki açıktır: artan fonksiyonların aralıklarına ait noktalardan geçen teğetler oX ekseni ile oluşur keskin köşeler Azalan fonksiyonların aralıklarına ait noktalardan geçen teğetler, oX ekseni ile geniş açı oluşturur.
Şimdi önemli soru!
Türevin değeri nasıl değişir? Sonuçta, teğet farklı noktalar grafikler sürekli fonksiyon formlar farklı açılar grafiğin hangi noktasından geçtiğine bağlıdır.
*Ya da konuşuyorum basit bir dille teğet sanki “yatay” veya “dikey” olarak konumlandırılmıştır. Bakmak:
Düz çizgiler, oX ekseni ile 0 ila 90 o arasında değişen açılar oluşturur
Düz çizgiler, oX ekseni ile 90° ile 180° arasında değişen açılar oluşturur
Bu nedenle herhangi bir sorunuz varsa:
- Grafikte verilen noktalardan hangisinde türev en küçük değere sahiptir?
- Grafikte verilen noktalardan hangisinde türev en büyük değere sahiptir?
o zaman cevap vermek için teğet açısının tanjantının değerinin 0 ila 180 o aralığında nasıl değiştiğini anlamak gerekir.
*Daha önce de belirtildiği gibi, fonksiyonun bir noktadaki türevinin değeri, teğetin oX eksenine olan eğim açısının tanjantına eşittir.
Teğet değeri aşağıdaki gibi değişir:
Düz çizginin eğim açısı 0°'den 90°'ye değiştiğinde, tanjantın ve dolayısıyla türevinin değeri de buna göre 0'dan +∞'a değişir;
Düz çizginin eğim açısı 90°'den 180°'ye değiştiğinde, tanjantın ve dolayısıyla türevinin değeri buna göre -∞'dan 0'a değişir.
Bu, teğet fonksiyonun grafiğinden açıkça görülebilir:
Basit bir ifadeyle:
0° ila 90° arası teğet eğim açısında
0 o'ya ne kadar yakın olursa, türevin değeri de o kadar büyük olur ve sıfıra yakın olur (pozitif tarafta).
Açı 90°'ye ne kadar yakınsa türev değeri +∞'a doğru o kadar artacaktır.
90° ila 180° arası teğet eğim açısı ile
90o'ya yaklaştıkça türev değeri –∞'a doğru azalacaktır.
Açı 180°'ye ne kadar yakın olursa türevin değeri de o kadar büyük olur ve sıfıra yakın olur (negatif tarafta).
317543. Şekilde y = fonksiyonunun grafiği gösterilmektedir. F(X) ve noktalar işaretlendi–2, –1, 1, 2. Bu noktalardan hangisinde türev en büyüktür? Lütfen cevabınızda bu noktayı belirtin.
Dört noktamız var: bunlardan ikisi fonksiyonun azaldığı aralıklara (bunlar –1 ve 1 noktalarıdır) ve ikisi fonksiyonun arttığı aralıklara (bunlar –2 ve 2 noktalarıdır) aittir.
Hemen -1 ve 1 noktalarında türevin negatif bir değere sahip olduğu ve -2 ve 2 noktalarında pozitif bir değere sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Bu nedenle bu durumda-2 ve 2 noktalarını analiz edip bunlardan hangisinin en büyük değere sahip olacağını belirlemek gerekir. Belirtilen noktalardan geçen teğetleri oluşturalım:
Düz çizgi a ile apsis ekseni arasındaki açının tanjantının değeri şu şekilde olacaktır: daha büyük değer b doğrusu ile bu eksen arasındaki açının tanjantı. Bu, türevin –2 noktasındaki değerinin en büyük olacağı anlamına gelir.
Cevap vereceğiz sonraki soru: Hangi noktada –2, –1, 1 veya 2 türevi en negatiftir? Lütfen cevabınızda bu noktayı belirtin.
Türev, azalan aralıklara ait noktalarda negatif değer alacağından -2 ve 1 noktalarını ele alalım. Bunlardan geçen teğetleri oluşturalım:
Bunu görüyoruz geniş açı düz çizgi b ile oX ekseni arasında 180'e "daha yakın" O dolayısıyla tanjantı, a düz çizgisi ile OX ekseninin oluşturduğu açının tanjantından büyük olacaktır.
Böylece x = 1 noktasında türevin değeri en büyük negatif olacaktır.
317544. Şekil y = fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. F(X) ve noktalar işaretlendi–2, –1, 1, 4. Bu noktalardan hangisinde türev en küçüktür? Lütfen cevabınızda bu noktayı belirtin.
Dört noktamız var: bunlardan ikisi fonksiyonun azaldığı aralıklara (bunlar -1 ve 4 noktalarıdır) ve ikisi fonksiyonun arttığı aralıklara (bunlar -2 ve 1 noktalarıdır) aittir.
Hemen -1 ve 4 noktalarında türevin negatif bir değere sahip olduğu, -2 ve 1 noktalarında ise pozitif bir değere sahip olduğu sonucuna varabiliriz. Dolayısıyla bu durumda –1 ve 4 numaralı noktaları analiz ederek bunlardan hangisinin en küçük değere sahip olacağını belirlemek gerekir. Belirtilen noktalardan geçen teğetleri oluşturalım:
A düz çizgisi ile apsis ekseni arasındaki açının tanjantının değeri, b düz çizgisi ile bu eksen arasındaki açının tanjantının değerinden büyük olacaktır. Bu, türevin x = 4 noktasındaki değerinin en küçük olacağı anlamına gelir.
Cevap: 4
Umarım size yazı miktarıyla "aşırı yükleme" yapmamışımdır. Aslında her şey çok basit, sadece türevin özelliklerini anlamanız gerekiyor. geometrik anlamı ve açının tanjantının 0'dan 180 o'ya nasıl değiştiğini.
1. Öncelikle bu noktalardaki (+ veya -) türevin işaretlerini belirleyin ve gerekli noktalar(sorulan soruya bağlı olarak).
2. Bu noktalarda teğetler oluşturun.
3. Tangesoid grafiğini kullanarak açıları şematik olarak işaretleyin veİskender.
Not: Siteyi sosyal ağlarda anlatırsanız sevinirim.
Bazen B15 problemlerinde türev bulmanın zor olduğu “kötü” fonksiyonlar olabilir. Daha önce bu yalnızca örnek testler sırasında oluyordu, ancak artık bu görevler o kadar yaygın ki, gerçek Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken artık göz ardı edilemeyecekler.
Bu durumda diğer teknikler işe yarar; bunlardan biri monoton.
Bir f(x) fonksiyonunun, eğer bu parçanın herhangi bir x1 ve x2 noktası için aşağıdakiler geçerliyse, parça üzerinde monoton olarak artan olduğu söylenir:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) < f (x 2).
Bir f(x) fonksiyonunun, eğer bu parçanın herhangi bir x1 ve x2 noktası için aşağıdakiler geçerliyse, parça üzerinde monoton olarak azalan olduğu söylenir:
x 1< x 2 ⇒ f (x 1) > f ( x 2).
Başka bir deyişle, artan bir fonksiyon için x ne kadar büyükse f(x) o kadar büyük olur. Azalan bir fonksiyon için bunun tersi doğrudur: x ne kadar büyükse, az f(x).
Örneğin, a tabanı > 1 ise logaritma monoton olarak artar ve 0 ise monoton olarak azalır.< a < 1. Не забывайте про область kabul edilebilir değerler logaritma: x > 0.
f (x) = log a x (a > 0; a ≠ 1; x > 0)
Aritmetik karenin (ve yalnızca karenin değil) kökü, tüm tanım alanı boyunca monoton bir şekilde artar:
Üstel fonksiyon logaritmaya benzer şekilde davranır: a > 1 olduğunda artar ve 0 olduğunda azalır< a < 1. Но в отличие от логарифма, показательная функция определена для всех чисел, а не только для x > 0:
f (x) = a x (a > 0)
Son olarak dereceler negatif gösterge. Bunları kesirli olarak yazabilirsiniz. Monotonluğun kırıldığı bir kırılma noktası var.
Tüm bu işlevler hiçbir zaman saf haliyle bulunmaz. Türevi hesaplamayı zorlaştıran polinomları, kesirleri ve diğer saçmalıkları eklerler. Bu durumda ne olacağına bakalım.
Parabolün köşe koordinatları
Çoğu zaman işlev argümanı şununla değiştirilir: ikinci dereceden üç terimli y = ax 2 + bx + c formundadır. Grafiği, ilgilendiğimiz standart bir paraboldür:
- Bir parabolün dalları yukarıya (a > 0 için) ya da aşağıya (a) gidebilir.< 0). Задают направление, в котором функция может принимать бесконечные значения;
- Bir parabolün tepe noktası, ikinci dereceden bir fonksiyonun, bu fonksiyonun minimumunu (a > 0 için) veya maksimumunu (a) aldığı uç noktasıdır.< 0) значение.
En çok ilgi çeken şey parabolün tepe noktası apsisi aşağıdaki formülle hesaplanır:
Böylece ikinci dereceden fonksiyonun uç noktasını bulduk. Fakat eğer orijinal fonksiyon monoton ise, onun için x 0 noktası da bir ekstrem nokta olacaktır. Böylece temel kuralı formüle edelim:
İkinci dereceden bir üç terimlinin ekstrem noktaları ve karmaşık fonksiyon dahil olduğu örtüşmektedir. Bu nedenle ikinci dereceden bir trinomial için x 0'ı arayabilir ve fonksiyonu unutabilirsiniz.
Yukarıdaki mantıktan hangi noktaya varacağımız belirsizliğini koruyor: maksimum veya minimum. Ancak görevler, bunun önemli olmaması için özel olarak tasarlanmıştır. Kendiniz karar verin:
- Sorun bildiriminde herhangi bir bölüm yoktur. Bu nedenle f(a) ve f(b) hesaplamasına gerek yoktur. Geriye yalnızca uç noktaları dikkate almak kalıyor;
- Ancak böyle tek bir nokta var - bu, koordinatları kelimenin tam anlamıyla sözlü olarak ve herhangi bir türev olmadan hesaplanan parabol x 0'ın tepe noktasıdır.
Böylece sorunun çözümü büyük ölçüde basitleştirilmiştir ve yalnızca iki adıma indirgenmiştir:
- y = ax 2 + bx + c parabolünün denklemini yazın ve şu formülü kullanarak tepe noktasını bulun: x 0 = −b /2a ;
- Bu noktada orijinal fonksiyonun değerini bulun: f (x 0). Hayır ise ek koşullar hayır, cevap bu olacak.
İlk bakışta bu algoritma ve mantığı karmaşık görünebilir. Bu tür kuralların düşüncesizce uygulanması hatalarla dolu olduğundan, kasıtlı olarak "çıplak" bir çözüm şeması yayınlamıyorum.
Gerçek sorunlara bakalım deneme Birleşik Devlet Sınavı matematikte - bu tekniğin en sık bulunduğu yer burasıdır. Aynı zamanda birçok B15 sorununun bu şekilde neredeyse sözlü hale gelmesini de sağlayacağız.
Kökün altında duruyor ikinci dereceden fonksiyon y = x 2 + 6x + 13. Bu fonksiyonun grafiği, a = 1 > 0 katsayısı nedeniyle yukarıya doğru dallanan bir paraboldür.
Parabolün tepe noktası:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 1) = −6/2 = −3
Parabolün dalları yukarı doğru yönlendirildiğinden, x 0 = −3 noktasında y = x 2 + 6x + 13 fonksiyonu minimum değerini alır.
Kök monoton olarak artar, bu da x 0'ın tüm fonksiyonun minimum noktası olduğu anlamına gelir. Sahibiz:
Görev. Fonksiyonun en küçük değerini bulun:
y = log 2 (x 2 + 2x + 9)
Logaritma altında yine ikinci dereceden bir fonksiyon vardır: y = x 2 + 2x + 9. Grafik yukarıya doğru dallanan bir paraboldür, çünkü a = 1 > 0.
Parabolün tepe noktası:
x 0 = −b /(2a ) = −2/(2 1) = −2/2 = −1
Yani x 0 = −1 noktasında ikinci dereceden fonksiyon minimum değerini alır. Ancak y = log 2 x fonksiyonu monotondur, dolayısıyla:
y min = y (−1) = log 2 ((−1) 2 + 2 · (−1) + 9) = ... = log 2 8 = 3
Üs ikinci dereceden y = 1 − 4x − x 2 fonksiyonunu içerir. Tekrar yazalım normal biçim: y = −x 2 − 4x + 1.
Açıkçası, bu fonksiyonun grafiği aşağıya doğru dallanan bir paraboldür (a = −1< 0). Поэтому вершина будет точкой максимума:
x 0 = −b /(2a ) = −(−4)/(2 · (−1)) = 4/(−2) = −2
Orijinal fonksiyon üsteldir, monotondur, dolayısıyla en büyük değer bulunan x 0 = −2 noktasında olacaktır:
Dikkatli bir okuyucu muhtemelen kök ve logaritmanın izin verilen değerleri aralığını yazmadığımızı fark edecektir. Ancak bu gerekli değildi: içeride değerleri her zaman pozitif olan fonksiyonlar var.
Bir fonksiyonun etki alanından elde edilen sonuçlar
Bazen sadece parabolün tepe noktasını bulmak B15 Problemini çözmek için yeterli değildir. Aradığınız değer yalan olabilir bölümün sonunda ve hiç de uç noktada değil. Sorun hiçbir şekilde bir segmenti göstermiyorsa şuraya bakın: kabul edilebilir değerler aralığı orijinal işlev. Yani:
Lütfen tekrar unutmayın: sıfır kökün altında olabilir, ancak asla bir kesrin logaritması veya paydasında olamaz. Bunun belirli örneklerle nasıl çalıştığını görelim:
Görev. Fonksiyonun en büyük değerini bulun:
Kökün altında yine ikinci dereceden bir fonksiyon var: y = 3 − 2x − x 2 . Grafiği bir paraboldür ancak a = −1 olduğundan dallara ayrılır< 0. Значит, парабола уходит на минус бесконечность, что недопустимо, поскольку арифметический karekök negatif bir sayı mevcut değildir.
İzin verilen değer aralığını (APV) yazıyoruz:
3 − 2x − x 2 ≥ 0 ⇒ x 2 + 2x − 3 ≤ 0 ⇒ (x + 3)(x − 1) ≤ 0 ⇒ x ∈ [−3; 1]
Şimdi parabolün tepe noktasını bulalım:
x 0 = −b /(2a ) = −(−2)/(2 · (−1)) = 2/(−2) = −1
x 0 = −1 noktası ODZ segmentine aittir ve bu iyidir. Şimdi fonksiyonun değerini x 0 noktasında ve ODZ'nin uçlarında hesaplıyoruz:
y(−3) = y(1) = 0
Böylece 2 ve 0 rakamlarını elde ettik. Bizden en büyüğünü bulmamız isteniyor - bu 2 rakamı.
Görev. Fonksiyonun en küçük değerini bulun:
y = log 0,5 (6x − x 2 − 5)
Logaritmanın içinde ikinci dereceden bir y = 6x − x 2 − 5 fonksiyonu vardır. Bu, dalları aşağıya doğru olan bir paraboldür, ancak logaritmada olamaz negatif sayılar ODZ'yi yazıyoruz:
6x − x 2 − 5 > 0 ⇒ x 2 − 6x + 5< 0 ⇒ (x − 1)(x − 5) < 0 ⇒ x ∈ (1; 5)
Lütfen unutmayın: eşitsizlik katıdır, dolayısıyla uçlar ODZ'ye ait değildir. Bu, logaritmayı, parçanın uçlarının bize oldukça iyi uyduğu kökten ayırır.
Parabolün tepe noktasını arıyoruz:
x 0 = −b /(2a ) = −6/(2 · (−1)) = −6/(−2) = 3
Parabolün tepe noktası ODZ'ye göre uyar: x 0 = 3 ∈ (1; 5). Ancak doğru parçasının sonlarıyla ilgilenmediğimiz için fonksiyonun değerini yalnızca x 0 noktasında hesaplıyoruz:
y min = y (3) = log 0,5 (6 3 − 3 2 − 5) = log 0,5 (18 − 9 − 5) = log 0,5 4 = −2
Bazen B14 problemlerinde türev bulmanın zor olduğu “kötü” fonksiyonlar bulunur. Daha önce bu yalnızca örnek testler sırasında oluyordu, ancak artık bu görevler o kadar yaygın ki, gerçek Birleşik Devlet Sınavına hazırlanırken artık göz ardı edilemeyecekler. Bu durumda diğer teknikler işe yarar, bunlardan biri monotonluktur. Tanım Bir f(x) fonksiyonunun, bu parçanın herhangi bir x 1 ve x 2 noktası için aşağıdakiler geçerliyse, parça üzerinde monoton olarak artan olduğu söylenir: x 1
Tanım. Bir f(x) fonksiyonunun, bu parçanın herhangi bir x 1 ve x 2 noktası için aşağıdakiler geçerliyse, parça üzerinde monoton olarak azalan olduğu söylenir: x 1 f (x 2). Başka bir deyişle, artan bir fonksiyon için x ne kadar büyükse f(x) o kadar büyük olur. Azalan bir fonksiyon için bunun tersi doğrudur: x ne kadar büyükse, f(x) o kadar küçüktür.
Örnekler. Logaritma, a tabanı > 1 ise monoton olarak artar ve 0 0 ise monoton olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0) 1 ve 0 0 ise monoton olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> 1 ve 0 0 ise monoton olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0 ; a 1; x > 0)"> 1 ve 0 0 ise monoton olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)" title="Examples . Logaritma a tabanı > 1 ise monoton olarak artar ve 0 0 ise monoton olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> title="Örnekler. Logaritma, a tabanı > 1 ise monoton olarak artar ve 0 0 ise monoton olarak azalır. f (x) = log a x (a > 0; a 1; x > 0)"> !}
Örnekler. Üstel fonksiyon logaritmaya benzer şekilde davranır: a > 1 olduğunda artar ve 0 0 olduğunda azalır: 1 ve 0'da azalır 0:"> 1 ve 0'da azalır 0:"> 1 ve 0'da azalır 0:" title="Örnekler. Üstel fonksiyon logaritmaya benzer şekilde davranır: a > 1 boyunca artar ve 0 0 için azalır:"> title="Örnekler. Üstel fonksiyon logaritmaya benzer şekilde davranır: a > 1 olduğunda artar ve 0 0 olduğunda azalır:"> !}
0) veya aşağı (a 0) veya aşağı (a 9) Parabolün tepe noktasının koordinatları Çoğu zaman, fonksiyonun argümanı, formun kare trinomialiyle değiştirilir. Grafiği, dallarla ilgilendiğimiz standart bir paraboldür: Parabolün dalları yukarıya doğru gidebilir (örneğin, a > 0) veya aşağı (a 0) veya en büyüğü (a 0) veya aşağı (a 0) veya aşağı (a 0) veya en büyük (a 0) veya aşağı (a 0) veya aşağı (a title="(! LANG: Bir parabolün tepe noktasının koordinatları Çoğu zaman, fonksiyonun argümanının yerini ikinci dereceden bir trinomial formu alır. Grafiği, dallarla ilgilendiğimiz standart bir paraboldür: Bir parabolün dalları yukarıya doğru gidebilir (a > 0 için) veya aşağı (a
Sorun bildiriminde herhangi bir bölüm yoktur. Bu nedenle f(a) ve f(b) hesaplamasına gerek yoktur. Geriye yalnızca uç noktaları dikkate almak kalıyor; Ancak böyle tek bir nokta var - koordinatları tam anlamıyla sözlü olarak ve herhangi bir türev olmadan hesaplanan parabol x 0'ın tepe noktası.
Böylece problemin çözümü büyük ölçüde basitleştirilmiştir ve sadece iki adıma iner: Parabolün denklemini yazın ve şu formülü kullanarak tepe noktasını bulun: Orijinal fonksiyonun bu noktadaki değerini bulun: f (x 0). Ek koşullar yoksa cevap bu olacaktır.
0. Parabolün tepe noktası: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="Fonksiyonun en küçük değerini bulun: Çözüm: Kökün altında: İkinci dereceden bir fonksiyon Bu fonksiyon parabolünün yukarı dallanmış grafiği, a katsayısı = 1 > 0 olduğundan. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" class="link_thumb"> 18 !} Fonksiyonun en küçük değerini bulun: Çözüm: Kökün altında ikinci dereceden bir fonksiyon var. Bu fonksiyonun grafiği, a = 1 > 0 olduğundan yukarıya doğru dallanan bir paraboldür. Parabolün tepe noktası: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> 0. Parabolün tepe noktası: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3" title="En küçük değeri bulun Fonksiyonun çözümü: Çözüm: Kökün altında ikinci dereceden bir fonksiyon var. Bu fonksiyonun grafiği, a = 1 > 0 olduğundan yukarıya doğru dallanan bir paraboldür. Parabolün tepe noktası: x 0 = b/(2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> title="Fonksiyonun en küçük değerini bulun: Çözüm: Kökün altında ikinci dereceden bir fonksiyon var. Bu fonksiyonun grafiği, a = 1 > 0 olduğundan yukarıya doğru dallanan bir paraboldür. Parabolün tepe noktası: x 0 = b/. (2a) = 6/(2 1) = 6/2 = 3"> !}
Fonksiyonun en küçük değerini bulun: Çözüm Logaritma altında ikinci dereceden fonksiyon yine parabolün grafiğinde yukarı doğru dallar vardır. a = 1 > 0. Parabolün tepe noktası: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parabolün tepesi: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> 0. Parabolün tepe noktası: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1" title="En küçük değeri bulun Fonksiyonun çözümü: Çözüm Logaritma altında yine ikinci dereceden bir fonksiyondur. a = 1 > 0 olduğundan parabolün grafiği yukarı doğru dallara sahiptir. Parabolün tepe noktası: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> title="Fonksiyonun en küçük değerini bulun: Çözüm Logaritma altında ikinci dereceden fonksiyon yine parabolün grafiğinde yukarı doğru dallar vardır. a = 1 > 0. Parabolün tepe noktası: x 0 = b/(2a) = 2/(2 1) = 2/2 = 1"> !}
Fonksiyonun en büyük değerini bulun: Çözüm: Üs ikinci dereceden bir fonksiyon içeriyor Bunu normal formda yeniden yazalım: Açıkçası, bu fonksiyonun grafiği bir paraboldür, aşağı doğru dallanır (a = 1) 
Fonksiyonun tanım kümesinden elde edilen sonuçlar Bazen Problem B14'ü çözmek için parabolün tepe noktasını bulmak yeterli değildir. İstenilen değer, segmentin sonunda olabilir ve hiçbir şekilde ekstremum noktada olmayabilir. Sorun hiç bir segment belirtmiyorsa orijinal fonksiyonun izin verilen değer aralığına bakarız. Yani:
0 2. Aritmetik karekök yalnızca Negatif olmayan sayılar: 3. Kesrin paydası sıfır olmamalıdır:" title="1. Logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetik kare kök yalnızca negatif olmayan sayılardan oluşur: 3. Kesirin paydası sıfıra eşit olmamalıdır:" class="link_thumb"> 26 !} 1. Logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılardan oluşur: 3. Kesirin paydası sıfır olmamalıdır: 0 2. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılarda bulunur: 3. Bir kesrin paydası sıfıra eşit olmamalıdır: "> 0 2. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılarda bulunur: 3. Payda bir kesrin sıfıra eşit olmaması gerekir: "> 0 2. Aritmetikte karekök yalnızca negatif olmayan sayılardan oluşur: 3. Kesrin paydası sıfır olmamalıdır:" title="1. The logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetik karenin kökü yalnızca negatif olmayan sayılardan oluşur: 3. Kesirin paydası sıfıra eşit olmamalıdır:"> title="1. Logaritmanın argümanı pozitif olmalıdır: y = log a f (x) f (x) > 0 2. Aritmetik karekök yalnızca negatif olmayan sayılardan oluşur: 3. Kesirin paydası sıfır olmamalıdır:"> !}
Çözüm Kökün altında yine ikinci dereceden bir fonksiyon var. Grafiği bir paraboldür, ancak a = 1 olduğundan dallar aşağıya doğru yönlendirilmiştir. Şimdi parabolün tepe noktasını buluyoruz: x 0 = b/(2a) = (2)/(2 · (1)) = 2/( 2) = 1 Nokta x 0 = 1 ODZ segmentine aittir ve bu iyidir. Şimdi fonksiyonun değerini x 0 noktasında ve ODZ'nin uçlarında hesaplıyoruz: y(3) = y(1) = 0 Böylece 2 ve 0 sayılarını elde ettik. en büyük sayı 2. Cevap: 2
Lütfen unutmayın: eşitsizlik katıdır, dolayısıyla uçlar ODZ'ye ait değildir. Bu, logaritmayı, parçanın uçlarının bize oldukça iyi uyduğu kökten ayırır. Parabolün tepe noktasını arıyoruz: x 0 = b/(2a) = 6/(2 · (1)) = 6/(2) = 3 Parabolün tepe noktası ODZ'ye uyar: x 0 = 3 ( 1; 5). Ancak doğru parçasının sonlarıyla ilgilenmediğimiz için fonksiyonun değerini yalnızca x 0 noktasında hesaplıyoruz:
Y min = y(3) = log 0,5 (6 ) = = log 0,5 (18 9 5) = log 0,5 4 = 2 Cevap: -2
