Tek terimlilerin toplanması ve çıkarılması. Video dersi “Tek terimli aritmetik işlemler

Slayt 3

Slayt 4

Aşama 1: “Tekrar öğrenmenin anasıdır” Kelimeyi deşifre edin: CEBİR Arapça “Al” - jebra kelimesinden (“restorasyon” olarak çevrilir)

Slayt 5

Slayt 6

1. Tek terimli sayı ve alfabetik faktörlerin toplamıdır. 2. Tüm sayılar, herhangi bir değişken, değişkenlerin kuvvetleri de tek terimli sayı olarak kabul edilir. 3. Standart formda yazılan bir monomiyalin gerçek faktörüne monomun katsayısı denir. 4. Cebirsel ifade, kuvvetleri yükseltilmiş sayıların ve değişkenlerin ürünü olan doğal gösterge, monom olarak adlandırılır

Slayt 7

5. Monomdaki tüm harflerin üslerinin toplamına monom derecesi denir. 6. Sadece katsayıları aynı olan veya birbirinden farklı olan terimlere benzer terimler denir. 7. Aynı değişkenlerden oluşan iki tek terimliye benzer tek terimli denir. 8. Tek terimlilerin eklenmesi sonucunda bir tek terimli elde edilir.

Slayt 8

9. Tüm sayısal faktörlerin çarpıldığı ve çarpımlarının ilk sıraya yerleştirildiği, aynı harf tabanına sahip mevcut tüm kuvvetlerin çarpıldığı ve farklı harf tabanına sahip tüm kuvvetlerin çarpıldığı bir monom, standart formdaki bir monom olarak adlandırılır. 10. Başına “+” işareti gelen parantezleri açmak için, parantez içindeki her terimin işareti korunarak parantezler çıkarılmalıdır. 11. Başına “-” işareti gelen parantezleri açtığımızda parantezler atlanır ve parantez içindeki elemanların işaretleri ters çevrilir.

Slayt 9

Slayt 10

Hatayı bulun:

Slayt 11

Yazılı tek terimlilerden benzer olanları seçin ve toplamlarını bulun:

Slayt 12

A D U G S I

Slayt 13

İlk aşama hazırlanıyor matematiksel model. (SMM) Yolun tamamı x km olsun, ilk gün yürüdük İkinci gün yürüdük

Slayt 14

Üçüncü gün 25 km kaldığı için matematiksel bir model elde ediyoruz: İkinci aşama derlenmiş model ile çalışmaktır. RMM

Slayt 15

2. RMM Aşama 3: Sorunun cevabı: (OVZ) Yolun uzunluğunu x olarak aldık yani 55 km'ye eşit. Cevap: Yolun uzunluğu 55 km'dir.

Slayt 16

AZ D U G S I

Slayt 17

“Kitap kitaptır ama beyninizi hareket ettirin” No. 292 No. 293

Bu derste tek terimlinin ne olduğunu, yani tek terimlinin standart biçimini hatırlayacağız ve benzer tek terimlilerin tanımını vereceğiz. Benzer tek terimlileri farklı olanlardan ayırmayı öğrenelim. Benzer tek terimlileri toplama ve çıkarma kurallarını formüle edelim. Çözmeyi öğrenelim tipik görevler toplama ve çıkarma kullanarak.

Ders:Monomiyaller. Tek terimlilerde aritmetik işlemler

Ders:Tek terimlileri toplama ve çıkarma

Monom adı verilen şeyi ve monomlarla hangi işlemlerin yapılabileceğini hatırlayalım. Bir monom, sayıların ve kuvvetlerin çarpımıdır. İki örneğe bakalım:

Her iki ifade de tek terimlidir ve toplama veya çıkarma işlemine geçmeden önce bunları standart forma getirmek gerekir:

Tek terimliyi standart forma indirgemek için önce şunu elde etmeniz gerektiğini hatırlayın: sayısal katsayı, tüm sayısal faktörleri çarpıyoruz ve ardından karşılık gelen kuvvetleri çarpıyoruz.

İki tek terimlimizi eklemenin mümkün olup olmadığını öğrenelim - hayır, bu mümkün değil, çünkü yalnızca aynı harf kısmına sahip olan tek terimlileri, yani yalnızca benzer tek terimlileri ekleyebilirsiniz. Yani benzer ve benzer olmayan tek terimlileri birbirinden ayırmayı öğrenmeliyiz.

Benzer tek terimli örneklerine bakalım:

Tek terimliler ve harf kısımları aynı olduğundan benzerdirler -

Bir örnek daha. Bir tek terimli ve bir tek terimli yazalım. İkinci tek terime kesinlikle herhangi bir sayısal katsayı atayabilir ve birinciye benzer bir tek terim elde edebiliriz. Örneğin bir katsayı seçelim ve iki benzer tek terimli elde edelim: ve

Aşağıdaki örneği düşünün. İlk monomiyal, katsayısı bire eşit. Şimdi bunun harf kısmını yazalım ve buna örneğin , isteğe bağlı bir sayısal katsayı ekleyelim. İki benzer tek terimlimiz var: ve .

Hadi yapalım çözüm: Benzer tek terimlilerin harf kısmı aynı olup, bu tür tek terimlilerin toplanması ve çıkarılması mümkündür.

Şimdi benzer olmayan tek terimlilere örnekler veriyoruz:

VE ; bu monomların farklı harf kısımları vardır, içlerindeki a değişkeni şu şekilde temsil edilir: farklı dereceler, yani tek terimliler benzer değil

Başka bir örnek: ve tek terimlileri de benzer değildir; a değişkeninin harf kısımları farklıdır.

Üçüncü monom çiftini ele alalım: ve aynı zamanda benzer değiller.

Şimdi benzer tek terimlilerin toplamına bakalım; bunu yapmak için bir örnek yapalım:

İki tek terimli ekleyin:

Bu tek terimlilerin benzer olduğu açıktır, çünkü harf kısımlarının aynı olduğunu fark etmek kolaydır, ancak matematiksel olarak monomların benzerliği, harf kısmını başka bir harfle değiştirerek kanıtlanabilir ve her iki monom için de bu harf dönerse aynı çıkarsa, tek terimliler benzerdir. Bir örneğe geçerek ilk tek terimliyi ? ile değiştirelim. Daha sonra ikinci monomialde aynı harf kısmını şununla değiştiririz:

Bu iki ifadeyi topladığımızda şunu elde ederiz. Şimdi orijinal değişkenlere dönelim - cevaptaki t değişkenini değiştirin, son cevabı elde ederiz:

Şimdi formüle edelim tek terimli ekleme kuralı:

Benzer tek terimlilerin toplamını elde etmek için katsayılarını toplamak ve harf kısmını orijinal terimlerle aynı şekilde eklemek gerekir.

Örneklere bakalım:

2)

1 numaralı örnek hakkında yorum yapın: önce monomların katsayılarının toplamını sonuca yazıyoruz, yani daha sonra değişmez kısmı değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz, yani

2 numaralı örnek hakkında yorum yapın: İlk örneğe benzer şekilde, önce katsayıların toplamını yazıyoruz, yani harf kısmını değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz - .

Konusuna geçelim tek terimlileri çıkarma kuralı. Örnekleri düşünün:

Bu tür tek terimlileri çıkarma kuralı, toplama kuralına benzer: Harf kısmını değişiklik yapmadan yeniden yazıyoruz, katsayıları çıkarıyoruz ve bunları doğru sırayla çıkarıyoruz. Örneğimiz için:

Hadi yapalım çözüm: Herhangi bir tek terimliyi ekleyip çıkarabilirsiniz, ancak yalnızca benzer olanları; bunu yapmak için harf kısmını orijinal biçiminde yeniden yazarak katsayılarını eklemeniz veya çıkarmanız gerekir. Benzer olmayan tek terimli sayılar eklenemez veya çıkarılamaz.

Artık benzer tek terimlileri toplama ve çıkarma algoritmasını bildiğimizden, bazı tipik problemleri çözebiliriz.

Basitleştirme görevleri:

Ifadeyi basitleştir:

İlk tek terimli standart bir biçimde yazılmıştır, artık basitleştirilemez, ikinci ve üçüncü standart bir biçimde değildir; bu, ifadeleri tek terimlilerle basitleştirirken ilk eylemin, ona indirgenebilecek tek terimlileri azaltmak olduğu anlamına gelir. standart bir forma dönüştürülür.

O halde ikinci ve üçüncü tek terimlileri standart forma getirelim:

Gerçekleştirilen dönüşümleri dikkate alarak orijinal ifadeyi yeniden yazalım:

Her üç monom için de aynı harf kısmını görüyoruz, yani benzerler, yani toplama ve çıkarma hakkımız var. Kurala göre yerine getireceğiz gerekli eylemler katsayılarla değiştirin ve değişmez kısmı değişiklik yapmadan yeniden yazın:

Var ters problem . Bir monomial verilir. Bir monomluyu tek terimlilerin toplamı olarak temsil edin.

Toplamını verdiğimiz şekliyle tüm monomlar aynı harf kısmına sahip olacaktır ve bu da verilen monom ile aynı olacaktır - . Örneğin tek terimlimizi iki terimin toplamı olarak düşünelim. Bunu yapmak için katsayıyı bir toplam olarak düşünelim.

Tek terimlilerle tanışmamıza aşağıdaki makaledeki materyalle devam edelim: uygulamaya bakalım temel eylemler toplama ve çıkarma gibi tek terimlilerle. Bu eylemlerin hangi durumlarda yapılması gerektiğini ve sonunda ne vereceklerini düşünelim; Toplama ve çıkarma kuralını formüle edelim ve bunu standart problemleri çözmek için uygulayalım.

Tek terimlilerin eklenmesi ve çıkarılmasının sonucu

Tek terimlilerin toplanması ve çıkarılmasını polinomlarla yapılan işlemlere dayanarak inceleyeceğiz, çünkü genel olarak tek terimlilerin eklenmesi veya çıkarılmasının sonucu bir polinomdur ve yalnızca özel durumlarda bir tek terimlidir.

Başka bir deyişle, bir dizi tek terimli üzerinde toplama ve çıkarma işlemleri ancak kısıtlamalarla yapılabilir. Doğal sayıların çıkarılmasıyla bir benzetme yaparak bunun ne anlama geldiğini açıklığa kavuşturalım. Doğal sayılar kümesinde, çıkarma işlemi de bir sınırlamayla dikkate alınır: sonucun doğal sayı haline gelmesi için çıkarma işlemi yalnızca şemaya göre yapılmalıdır: daha büyük bir sayıdan doğal sayı az.

Bu başka bir mesele Hakkında konuşuyoruz doğal sayılar da dahil olmak üzere tamsayılar kümesi hakkında: burada çıkarma işlemi kısıtlama olmaksızın gerçekleştirilir.

İki tek terimli sayının toplanması veya çıkarılması söz konusu olduğunda da aynı şey uygulanabilir. Sonuçta bir tek terimli elde etmek için, bir dizi tek terimli üzerinde toplama veya çıkarma işlemi bir kısıtlama ile gerçekleştirilebilir: orijinal eklenen veya çıkarılan tek terimlilerin benzer terimler olması gerekir (bu durumda bunlara benzer tek terimli denir) veya bunlardan birinin sıfır olması gerekir . Diğer durumlarda eylemlerin sonucu artık tek terimli değildir.

Ancak tüm tek terimlileri içeren polinomlar kümesinde, tek terimlilerin toplanması ve çıkarılması, polinomların toplanması ve çıkarılmasının özel bir durumu olarak incelenir. Bu durumda, eylemlerin sonuçları bir polinom (veya bir tek terim) olduğundan, eylemler yukarıdaki kısıtlamalar olmadan değerlendirilir. özel durum polinom).

Tek terimlileri toplama ve çıkarma kuralı

Tek terimlileri bir dizi eylem biçiminde toplama ve çıkarma kuralını formüle edelim:

Tanım 1

İki tek terimliyi toplama veya çıkarma işlemini gerçekleştirmek için şunları yapmalısınız:

• göreve bağlı olarak monomların toplamını veya farkını yazın: monomlar parantez içine alınmalı ve aralarına sırasıyla artı veya eksi işareti konulmalıdır;
• parantez içindeki monomlar mevcutsa standart olmayan form bunları standart bir forma getirin;
• parantezleri açın;
• Varsa benzer terimleri verin ve sıfıra eşit olan terimleri eleyin.

Şimdi problemleri çözmek için belirtilen kuralı uygulayalım.

Tek terimlilerin toplanması ve çıkarılması örnekleri

Verilen monomlar 8x Ve − 3x. Toplama ve çıkarma işlemlerini yapmak gerekir.

Çözüm

1. Ekleme işlemini gerçekleştirelim. Orijinal tek terimlileri parantez içine alıp aralarına artı işareti koyarak toplamı yazalım: (8 x) + (− 3 x). Parantez içindeki tek terimlilerin standart bir formu vardır; bu, kural algoritmasının ikinci adımının atlanabileceği anlamına gelir. Bir sonraki adım parantezleri açmaktır: 8 x - 3 x ve ardından benzer terimleri sunuyoruz: 8 x − 3 x = (8 − 3) x = 5 x.

Çözümü kısaca şu şekilde yazalım: (8 x) + (− 3 x) = 8 x − 3 x = 5 x.

1. Çıkarma işlemini de aynı şekilde yapalım: (8 x) - (− 3 x) = 8 x + 3 x = 11 x.

Cevap: (8 x) + (− 3 x) = 5 x Ve (8 x) - (− 3 x) = 11 x.

Tek terimlilerden birinin sıfır olduğu bir örneği ele alalım.

Örnek 2

Tek terimli - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 ile x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y tek terimli arasındaki farkı bulmak gerekir.

Çözüm

Kurallara göre algoritmaya göre hareket ediyoruz. Farkı yazalım: - 5 · x 3 · 2 3 · 0 · x · z 2 - x · 2 3 · y 5 · z · - 3 8 · x · y. Parantez içindeki tek terimlileri standart forma getiririz ve şunu elde ederiz: 0 - - 1 4 · x 2 · y 6 · z. Bize şu ifade biçimini verecek parantezleri açalım: 0 + 1 4 · x 2 · y 6 · z, sıfır ekleme özelliğinden dolayı aynı şekilde 1 4 · x 2 · y'ye eşit olacaktır. 6 ·z.

Böylece, Kısa notçözüm şu şekilde olacak:

5 x 3 2 3 0 x z 2 - x 2 3 y 5 z - 3 8 x y = = 0 - - 1 4 x 2 y 6 z = 1 4 · x 2 · y 6 · z

Cevap:- 5 x 3 2 3 0 x z 2 - x 2 3 y 5 z - 3 8 x y = 1 4 x 2 y 6 z

Ele alınan örnekler, toplama ve çıkarma sonucunda tek terimlileri verdi. Ancak daha önce de belirtildiği gibi, Genel dava toplama ve çıkarma işleminin sonucu bir polinomdur.

Örnek 3

Verilen monomlar − 9xz3 Ve − 13 x y z. Toplamlarını bulmak gerekiyor.

Çözüm

Tutarı yazıyoruz: (− 9 x z 3) + (− 13 x y z). Monomların standart bir formu vardır, bu nedenle parantezleri genişletiyoruz: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z . Ortaya çıkan ifadede benzer terimler yok, verecek bir şeyimiz yok, bu da ortaya çıkan ifadenin hesaplama sonucu olacağı anlamına geliyor: − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z.

Cevap: (− 9 · x · z 3) + (− 13 · x · y · z) = − 9 · x · z 3 − 13 · x · y · z.

Aynı şema üç veya daha fazla tek terimlilerin toplanması veya çıkarılması için de geçerlidir.

Örnek 4

Bir örneğin çözülmesi gerekiyor: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2.

Çözüm

Verilen tüm monomların standart bir formu vardır ve benzerdir. Hadi verelim benzer üyeler toplama ve çıkarma yaparak sayısal katsayılar ve harf kısmını orijinal olarak bırakarak: 0 , 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2 , 7 · a 3 · b 2 = = (0 , 2 + 7 − 3 − 2 , 7) bir 3 b 2 = 1, 5 bir 3 b 2

Cevap: 0, 2 · a 3 · b 2 + 7 · a 3 · b 2 − 3 · a 3 · b 2 − 2, 7 · a 3 · b 2 = 1, 5 · a 3 · b 2.

Örnek 5

Tek terimler verilmiştir: 5, − 3 a, 15 a, − 0, 5 x z 4, − 12 a, − 2 ve 0,5xz4. Toplamlarını bulmak gerekiyor.

Çözüm

Miktarını yazalım: (5) + (− 3 a) + (15 a) + (− 0,5 x z 4) + (− 12 a) + (− 2) + (0,5 x z 4 ). Parantezlerin genişletilmesi sonucunda şunu elde ederiz: 5 − 3 · a + 15 · a − 0 , 5 · x · z 4 − 12 · a − 2 + 0 , 5 · x · z 4. Benzer terimleri gruplayalım: (5 − 2) + (− 3 a + 15 a − 12 a) + (− 0,5 x z 4 + 0,5 x z 4) ve bunları listeleyelim: 3 + 0 + 0 = 3

Cevap: (5) + (− 3 a) + (15 a) + (− 0,5 x z 4) + (− 12 a) + (− 2) + (0,5 x z 4 ) = 3.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Tek terimlilerin eklenmesi veya bir tek terimlinin diğerinden çıkarılması yalnızca tek terimlilerin benzer olması durumunda mümkündür. Tek terimlilerin benzer olmaması durumunda bu durumda tek terimlilerin toplamı toplam, çıkarma işlemi ise fark olarak yazılabilir.

Benzer tek terimler

Benzer tek terimler- aynı harflerden oluşan ancak farklı veya aynı katsayılara (sayısal faktörler) sahip olabilen monomlar. Benzer tek terimlilerdeki aynı harflerin olması gerekir aynı göstergeler derece. Aynı harfin farklı tek terimlilerdeki dereceleri çakışmıyorsa, bu tür tek terimlilere benzer denemez:

5ab 2 ve -7 ab 2 - benzer monomlar

5A 2 B ve 5 ab - benzer tek terimli değil

Benzer tek terimlilerdeki harf sırasının aynı olmayabileceğini lütfen unutmayın. Ayrıca, monomlar basitleştirilebilecek bir ifade biçiminde de temsil edilebilir, bu nedenle, bu monomların benzer olup olmadığını belirlemeye başlamadan önce, monomları standart bir forma getirmeye değer. Örneğin iki tek terimliyi ele alalım:

5papaz ve -7 B 2 A

Her iki monom da standart olmayan formda olduğundan benzer olup olmadıklarını belirlemek kolay olmayacaktır. Bunu öğrenmek için tek terimlileri standart forma indirgeyelim:

5ab 2 ve -7 ab 2

Artık bu tek terimlilerin benzer olduğu hemen anlaşılıyor.

Yalnızca işaretleri farklı olan iki benzer monomime denir zıt. Örneğin:

5A 2 M.Ö ve -5 A 2 M.Ö- zıt tek terimliler.

Benzer tek terimlilerin azaltılması benzer tek terimlileri içeren bir ifadenin bunları toplayarak basitleştirilmesidir. Benzer tek terimlilerin eklenmesi, benzer terimleri azaltma kurallarına göre gerçekleştirilir.

Tek terimlilerin eklenmesi

Tek terimli eklemek için ihtiyacınız olan:

1. Tüm terimleri arka arkaya yazarak bir toplam oluşturun
2. Benzer terimleri getirmek için bunun için ihtiyacınız var:

Örnek 1. Tek terimlileri ekle 12 ab, -4A 2 B ve -5 ab.

Çözüm: Tek terimlilerin toplamını yapalım:

12ab + (-4A 2 B) + (-5ab)

12ab - 4A 2 B - 5ab

Şimdi terimler arasında benzer tek terimlilerin olup olmadığını tespit etmemiz ve varsa azaltma yapmamız gerekiyor:

12ab - 4A 2 B - 5ab = (12 + (-5))ab - 4A 2 B = 7ab - 4A 2 B

Örnek 2. Tek terimlileri ekle 5 A 2 M.Ö ve -5 A 2 M.Ö.

Çözüm: Tek terimlilerin toplamını yapalım:

5A 2 M.Ö + (-5A 2 M.Ö)

Parantezleri genişletelim:

5A 2 M.Ö - 5A 2 M.Ö

Bu iki tek terimli zıttır, yani yalnızca işaret bakımından farklılık gösterirler. Bu, sayısal faktörlerini toplarsak sıfır elde edeceğimiz anlamına gelir:

5A 2 M.Ö - 5A 2 M.Ö = (5 - 5)A 2 M.Ö = 0A 2 M.Ö = 0

Buradan, zıt tek terimlileri toplarken sonuç sıfırdır.

Genel kural monomların eklenmesi:

Birkaç tek terimli eklemek için, tüm terimleri işaretlerini koruyarak arka arkaya yazmalı, negatif tek terimlileri parantez içine alıp azaltma yapmalısınız. benzer terimler(benzer tek terimler).

Tek terimlileri çıkarma

Tek terimlileri çıkarmak için yapmanız gerekenler:

1. Tüm monomları - (eksi) işaretiyle ayırarak birbiri ardına yazarak farkı oluşturun.
2. Tüm monomları standart forma getirin
3. İfadede yer alıyorlarsa parantezleri genişletin
4. Benzer tek terimlileri azaltın, yani:
   1. sayısal faktörlerini ekleyin
   2. Ortaya çıkan katsayıdan sonra harf faktörlerini değişiklik yapmadan ekleyin

Örnek. Tek terimlilerin farkını bulun 8 ab 2 , -5A 2 B Ve - ab 2 .

Çözüm: Tek terimlilerin farkını oluşturalım:

8ab 2 - (-5A 2 B) - (-ab 2)

Tüm monomiyaller standart formdadır. Böylece parantezleri açmaya başlayabilirsiniz. Parantez açma kurallarına bakın.

8ab 2 + 5A 2 B + ab 2

Şimdi monomlar arasında benzerlerinin olup olmadığını tespit etmemiz ve varsa azaltma yapmamız gerekiyor:

8ab 2 + 5A 2 B + ab 2 = (8 + 1)ab 2 + 5A 2 B = 9ab 2 + 5A 2 B

Tek terimlileri çıkarmanın genel kuralı:

Bir tek terimliyi diğerinden çıkarmak için, çıkan tek terimliyi eksiye ekleyin zıt işaret ve benzer tek terimlileri azaltın.