Teorem Vieta teoreminin tersidir. İkinci dereceden denklemleri tamamla

François Viet, 1540 yılında Fransa'nın Fontenay-le-Comte'sinde doğdu. Eğitim almış bir avukat. Avukatlıkla yoğun bir şekilde ilgilendi ve 1571'den 1584'e kadar Kral George III ve George IV'ün danışmanıydı. Ama her şey senin boş zaman tüm boş zamanlarını matematik ve astronomiye adadı. 1584 yılında görevden alınmasından sonra özellikle matematik alanında yoğun bir şekilde çalışmaya başladı. kraliyet mahkemesi. Viet, hem eski hem de çağdaş matematikçilerin çalışmalarını ayrıntılı olarak inceledi.

François Viète esasen yeni bir cebir yarattı. Alfabetik sembolizmi buna dahil etti. Ana fikirleri “Analitik Sanata Giriş” çalışmasında sunulmaktadır. Şöyle yazdı: "Tüm matematikçiler cebir ve almucabalalarının altında eşsiz hazinelerin saklı olduğunu biliyorlardı, ancak onları nasıl bulacaklarını bilmiyorlardı: En zor olduğunu düşündükleri problemler, sanatımızın yardımıyla tamamen kolayca çözülüyor."

Aslında hepimiz çözmenin ne kadar kolay olduğunu biliyoruz. ikinci dereceden denklemler. Bunları çözmek için hazır formüller var. F. Vieta'dan önce, her ikinci dereceden denklemin çözümü, çok uzun sözlü argümanlar ve açıklamalar şeklinde, oldukça hantal eylemler şeklinde kendi kurallarına göre gerçekleştiriliyordu. Denklemin kendisi bile modern biçim bunu yazamadım. Bu aynı zamanda oldukça uzun ve karmaşık bir süreç gerektiriyordu. sözlü açıklama. Denklem çözme tekniklerinde uzmanlaşmak yıllar aldı. Genel kurallar modern olanlara benzer ve dahası, denklemleri çözmek için formüller yoktu. Sabit oranlar harflerle gösterilmemiştir. İfadeleri yalnızca belirli ifadelerle değerlendirdik sayısal katsayılar.

Viet cebire harf sembollerini dahil etti. Vieta'nın yeniliğinden sonra kuralları formüller halinde yazmak mümkün hale geldi. Doğru, Viet hala kelimelerle üslü sayıları gösteriyordu ve bu, bazı sorunların çözümünde bazı zorluklar yarattı. Vieta'nın zamanında sayıların temini hâlâ sınırlıydı. François Viète, çalışmalarında birinci dereceden dördüncü dereceye kadar denklem çözme teorisini çok detaylı bir şekilde özetledi.

Vieta'nın en büyük başarısı, keyfi bir denklemin indirgenmiş formunun denklem katsayıları ve kökleri arasındaki ilişkiyi keşfetmesiydi. doğal derece. Vieta'nın indirgenmiş ikinci dereceden denklem için ünlü teoremini çok iyi biliyoruz: "İndirgenmiş ikinci dereceden bir denklemin köklerinin toplamı, buradan alınan ikinci katsayıya eşittir." karşıt işaret ve bu denklemin köklerinin çarpımı serbest terime eşittir.” Bu teorem, ikinci dereceden denklemlerin çözümünün doğruluğunu sözlü olarak kontrol etmenize ve en basit durumlarda denklemlerin köklerini bulmanıza olanak tanır.

Ayrıca Viète'in Avrupa'da π sayısının ilk analitik (bir formül kullanarak) temsilini verdiğini unutmayın.

Viet 1603'te 63 yaşında öldü.

Vieta'nın teoremi.

Köklerin toplamı ikinci dereceden üç terimli x2 + px + q, zıt işaretli ikinci katsayısı p'ye eşittir ve çarpım, serbest terim q'ya eşittir.

Kanıt.

x1 ve x2 ikinci dereceden üç terimli x2 + px + q'nun farklı kökleri olsun. Vieta teoremi aşağıdaki ilişkilerin geçerli olduğunu belirtir: x1 + x2 = –p x1 x2 = q

Bunu kanıtlamak için, köklerin her birini ikinci dereceden üç terimli ifadenin yerine koyalım. İki doğru sayısal eşitlik elde ederiz: x12 + px1 + q = 0 x22 + px2 + q = 0

Bu eşitlikleri birbirinden çıkaralım. x12 – x22 + p (x1 – x2) = 0 elde ederiz

Kareler farkını genişletelim ve aynı zamanda ikinci terimi sağ tarafa taşıyalım:

(x1 – x2) (x1 + x2) = –p (x1 – x2)

Koşul gereği x1 ve x2 kökleri farklı olduğundan x1 – x2 ≠ 0 olur ve eşitliği x1 – x2'ye bölebiliriz. Teoremin ilk eşitliğini elde ederiz: x1 + x2 = –p

İkinciyi ispatlamak için p katsayısı yerine yukarıda yazılan eşitliklerden birini (örneğin birincisini) yerine eşit bir sayı – (x1 + x2) koyalım: x12 – (x1 + x2) x1 + q = 0

Dönüştürme sol taraf, şunu elde ederiz: x12 – x12 – x2 x1 + q = 0 x1 x2 = q, kanıtlanması gereken de budur.

İndirgenmemiş ikinci dereceden denklem durumunda ax2 + bx + c = 0: x1+x2 = x1x2 =

Teorem, teoremin tersi Vieta.

Eğer x1+x2 = ve x1x2 = eşitlikleri sağlanırsa, x1 ve x2 sayıları ikinci dereceden ax2 + bx + c = 0 denkleminin kökleri olur.

Kanıt.

x1+x2 = ve x1x2 = eşitliğinden x2 + x + =x2 - (x1+x2)x + x1x2 sonucu çıkar.

Ama x2 - (x1+x2)x + x1x2 = (x-x1)(x-x2) ve dolayısıyla x2 + x + = (x-x1)(x-x2).

Buradan x1 ve x2'nin x2 + x + = 0 denkleminin kökleri olduğu ve dolayısıyla ax2 + bx + c = 0 denklemlerinin olduğu sonucu çıkar.

Vieta teoreminin uygulanması.

Vieta teoremi 8. sınıfta ikinci dereceden denklemlerin köklerini bulmak için kullanılıyor. Bu teoremin kullanım kapsamını, örneğin 9-11. Sınıflardaki denklem sistemlerini çözmek ve ikinci dereceden denklemlerin ve köklerinin incelenmesiyle ilgili problemleri çözmek için genişletebilirsiniz. Bu, zamanı azaltır ve sistemin çözümünü kolaylaştırır.

Denklem sistemini çözün:

Köklerinin toplamı 5 ve çarpımlarının 6 olduğu ikinci dereceden bir denklemin x ve y köklerinin olduğunu varsayarsak, iki sistemden oluşan bir küme elde ederiz.

Cevap: (2;3), (3;2).

Öğrenciler bu çözme yöntemine hızla hakim olurlar ve bunu zevkle kullanırlar. Ayrıca sistemleri karmaşıklaştırabilir ve çalışırken bu tekniği kullanabilirsiniz. çeşitli konular 10-11.sınıflarda.

Denklem sistemini çözün:

x > 0 y > 0 koşulu altında şunu elde ederiz:

ve bazı indirgenmiş ikinci dereceden denklemlerin kökleri olsun, o zaman bu sistem iki sistemin birleşimine eşdeğerdir

Popülasyonun ikinci sisteminin çözümü yoktur; birincinin çözümü x=9,y=4 çiftidir.

Cevap: (9;4).

Aşağıda Vieta teoremi kullanılarak çözülebilecek denklem sistemleri bulunmaktadır.

Cevap: (65;3),(5;63).

Cevap: (23;11),(7;27).

Cevap: (4;729),(81;4096).

Cevap: (2;2).

5. x + y =12 Cevap: (8;4),(4;8).

Cevap: (9;4),(4;9).

Benzer denklem sistemleri öğretmenin kendisi tarafından derlenebilir veya buna öğrenciler de dahil edilebilir, bu da konuya olan ilginin gelişmesine katkıda bulunur.

Sözlü çözüm görevleri.

İkinci dereceden denklemleri çözmeden köklerini bulun.

1. x2 - 6x + 8 = 0 Cevap: 2;4.

2. x2 – 5x – 6 = 0 Cevap: -1;6.

3. x2 + 2x - 24 = 0 Cevap: -6;4.

4. x2 + 9x + 14 = 0 Cevap: -7;-2.

5. x2 – 7x + 10 = 0 Cevap: 2;5.

6. 2x2 + 7x + 5 = 0 Cevap: -2,5;-1.

Vieta teoreminin kullanıldığı problemleri ele alalım.

9x²+18x-8=0 denklemini çözmeden, x1³+x2³'yi bulun; burada x1,x2 onun kökleridir.

9x²+18x-8=0 │:9 x²+2x-=0

1) Ayırıcı sıfırdan büyük, D>0, yani x1, x2 gerçek köklerdir.

Vieta teoremine göre şu şekildedir: x1+x2=-2 x1∙x2= -

3) x1³+x2³ ifadesini dönüştürün: x1³+x2³=(x1+x2)(x1²-x1 x2 +x2²)= (x1+x2)(x1²+2x1 x2 +x2² -2x1 x2 –

X1 x2)=(x1+x2)((x1 +x2)²-3x1 x2).

Ortaya çıkan formülde bildiğimiz değerleri yerine koyalım ve cevaba ulaşalım:

2((-2)²-3(-))= -2(4+)= -2∙= -

9x²-18(k-1)x-8k+24=0,x2 =2x1 denkleminde k'nin hangi değeri.

9x²-18(k-1)x -8k+24=0 │:9 x²-2(k-1)x -k+=0 x2=2x1.

Vieta teoremine göre: x1∙x2= -k x1+ x2=2(k-1), iki denklemden oluşan bir sistem elde ettik ve x2 yerine 2x1 koyduk.

2x12=-k│:2 x1²=-k

3x1=2(k-1)│:3 x1=k-

Ortaya çıkan denklemleri karşılaştıralım:

İkinci dereceden denklemi çözelim ve k'yi bulalım:

D=b²-4ac D=+=+=()² x1;x2= k1;k2= k1=2 k2=-1

Cevap: k1=-1 ve k2=2 ile.

x1;x2 ikinci dereceden x²+13x-17=0 denkleminin kökleri olsun. Kökleri 2-x1 ve 2-x2 sayıları olacak bir denklem oluşturun.

x²+13x-17=0 denklemini düşünün.

1) Diskriminant D>0, yani x1; x2 gerçek köklerdir.

Vieta teoremine göre: x1 +x2 = -13 x1 x2 = -17

3) 2-x2 ve 2-x2 sayılarını bu sistemde yerine koyun.

(2-x1)+(2-x2)= -13 2-x1+2-x2 =-13 x1+x2 =17

(2-x1)·(2-x2)= -17 4-2x1-2x2+x1x =-17 -2(x1+x2) +x1x2 =-21 x1+x2 =17 x1 + x2 =17

2 17+x1 x2 = -21 x1x2 =13

Dolayısıyla Vieta teoremi uygulandığında istenen denklem x²-17x+13=0 olur.

Cevap: x²-17x+13=0.

İkinci dereceden ax2+bx+c=0 denklemi verildiğinde, x2>x1,x1>0,x2 ise b ve c'nin işaretleri nelerdir?

x2 x1 olduğundan b>0,c sonucu çıkar

Cevap: b>0,с

6) İkinci dereceden ax2+bx+c=0 denklemi verildiğinde, x1 0,x2>0 ise b ve c'nin işaretleri nelerdir?

Vieta teoremine göre: x1+x2=-b x1∙x2=c

x1>0, x2>0 ve x2>x1 olduğundan b 0 sonucu çıkar.

Şunun için görevler: bağımsız karar.

1) 2x²-3x-11=0 denklemini çözmeden +'yı bulun; burada x1;x2 kökleridir.

2) + ifadesinin değerini bulun; burada x1;x2, x²-18x+11=0 trinomialinin kökleridir.

3) x²-7x-46=0 ikinci dereceden denklemin kökleri x1;x2 olsun.

Kökleri sayı olan ikinci dereceden bir denklem yazın

2x1 +x2 ve 2x2 +x1.

Cevap: 9x2-21x-481=0

4) k'nin hangi tamsayı değeri denklemin köklerinden biridir?

4x²-(3k+2)x+(k²-1)=0 saniyenin üç katından az mı?

Cevap: k=2.

5) İkinci dereceden ax2+bx+c=0 denklemi verildiğinde, x1 0 ise b ve c'nin işaretleri nelerdir?

Vieta teoremi

Yaratıcı çalışmaöğrenci 8. sınıf

Belediye eğitim kurumu "Novokievskaya ortaokulu"

Lukanina Kirill

Başkan: Kryzhanovskaya V.I.

Ben Giriş. Tarihsel bilgi.

II Ana bölüm

1. 
   F. Vieta'nın biyografisinden sayfalar
2. 
   Bilimsel faaliyetler:

B) ters teorem

1. 
   Denklem çözme örnekleri
2. 
   Pratik çalışma
3. 
   Bazı özel durumlar denklem çözme

III Sonuç. Ayette Vieta teoremi

IV Kullanılan referanslar
Şiirde söylenmeye haklı olarak layık

Köklerin özelliklerine ilişkin Vieta teoremi.

Tarihsel arka plan

İkinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişki ilk olarak ünlü Fransız bilim adamı Francois Viète tarafından kurulmuştur.

François Viète mesleği avukattı ve uzun yıllar kralın danışmanı olarak çalıştı. Ve matematik onun sadece hobisi olmasına rağmen, sıkı çalışması sayesinde bu konuda harika sonuçlar elde etti.

1951'de tanıttı harf atamaları Denklemlerdeki bilinmeyenlerin katsayıları ve özellikleri için.

Vieta birçok keşif yaptı; kendisi en çok Vieta teoremi adı verilen ikinci dereceden bir denklemin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkinin kurulmasına değer verdi.

Formun başlangıcı

Formun sonu

Bu yetenekli ve üretken bilim insanının çalışmalarının yalnızca bir kısmı Vieta'nın yaşamı boyunca yayınlandı. Ana yazısı: “ Analitik Sanata Giriş"()), bunu kapsamlı bir incelemenin başlangıcı olarak değerlendirdi, ancak devam edecek zamanı yoktu. Bilim adamının şiddetli bir ölümle öldüğüne dair bazı göstergeler var.

Vieta'nın çalışmalarının doğrudan uygulanması, ağır ve hantal sunum nedeniyle çok zorlaştı. Bu nedenle henüz tam olarak yayımlanamamıştır. Az ya da çok tam toplantı Wirth'in çalışmaları 1646'da Leiden'de Hollandalı matematikçi van Scooten tarafından "Vieta'nın Matematiksel Çalışmaları" başlığı altında yayınlandı. G. G. Zeiten, Vieta'nın eserlerini okumanın, onun büyük bilgi birikiminin her yerde parıldadığı incelikli biçimi nedeniyle zorlaştığını belirtti ve çok sayıda onun tarafından icat edildi ve hiç kök salmadı Yunanca terimler. Bu nedenle, sonraki tüm matematikle ilişkili olarak çok önemli olan etkisi nispeten yavaş yayıldı.

MATEMATİK BAŞARILARI
Son derece matematik üzerine makaleler yazdı zor dil, dolayısıyla dağıtım kazanamadılar. Vieth'in eserleri ölümünden sonra Leiden'deki matematik profesörü F. Schooten tarafından toplandı. Vieta'nın çalışmalarında cebir şöyle olur: genel bilim sembolik gösterime dayalı cebirsel denklemler hakkında. Viet, yalnızca bilinmeyenleri değil aynı zamanda verilen miktarları, yani karşılık gelen denklemlerin katsayılarını da harflerle belirten ilk kişiydi. Bu sayede ilk defa denklemlerin özellikleri ve köklerinin ifade edilmesi mümkün hale geldi. genel formüller, ve kendileri cebirsel ifadelerÜzerinde eylemlerin gerçekleştirilebileceği nesnelere dönüştürülür. Viet, 2., 3. ve 4. derece denklemleri çözmek için tek tip bir yöntem geliştirdi ve yeni yöntemçözümler kübik denklem, verilmiş trigonometrik çözüm indirgenemez durumda 3. dereceden denklemler, önerilen çeşitli rasyonel dönüşümler kökler, denklemlerin (Vieta formülleri) kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkiyi kurdu. Sayısal katsayılı denklemlerin yaklaşık çözümü için Vieth, daha sonra I. Newton tarafından geliştirilen yönteme benzer bir yöntem önerdi. Vieta'nın trigonometrideki başarıları - komple çözüm Verilen üç elemandan bir düzlem veya küresel üçgenin tüm elemanlarını belirleme problemleri, sinпх ve cosпх'un cos x ve sinx'in kuvvetlerindeki önemli açılımları. Çoklu yayın sinüs ve kosinüs formülünü bilmek, Viet'in matematikçi A. Roomen tarafından önerilen 45. derece denklemi çözmesini sağladı; Viète, bu denklemin çözümünün açının 45 eşit parçaya bölünmesine indirgendiğini ve 23 parçanın bulunduğunu gösterdi. pozitif kökler bu denklem. Vieth, Apollonius'un problemini bir cetvel ve pusula kullanarak çözdü.

Bilimsel faaliyetler

Tüm matematikçiler cebirlerinin altında... eşsiz hazinelerin saklı olduğunu biliyorlardı ama onları nasıl bulacaklarını bilmiyorlardı; En zor olduğunu düşündükleri görevler, sanatımızın yardımıyla düzinelerce kolayca çözülüyor, bu nedenle en çok temsil ediyor doğru yol Matematiksel araştırma için.

Viet baştan sona sunumu iki bölüme ayırıyor: genel kanunlar ve bunların somut sayısal uygulamaları. Yani önce sorunları çözer. genel görünüm ve ancak o zaman yol açar sayısal örnekler. Genel bölümde, yalnızca daha önce karşılaşılan bilinmeyenleri değil, aynı zamanda diğer tüm bilinmeyenleri de harflerle belirtir. parametreler, bunun için "terimini icat etti" ihtimaller"(gerçekten: tanıtım). Vieth bunun için yalnızca büyük harfler kullandı; bilinmeyenler için sesli harfler, katsayılar için ünsüzler.

Viet, çeşitli cebirsel dönüşümleri serbestçe uygular; örneğin, değişkenleri değiştirmek veya bir ifadeyi denklemin başka bir bölümüne aktarırken bir ifadenin işaretini değiştirmek. O zamanki durumu dikkate aldığımızda bunu belirtmekte fayda var. şüpheli tutumİle negatif sayılar. Viet'in üsleri hala sözlü olarak yazılıyor.

Vietnam'ın diğer başarıları:

• 
  ünlü " Vieta'nın formülleri» oranlar için polinom nasıl çalışır? kökler;
• 
  yeni trigonometrik yöntem indirgenemez çözümler kübik denklem, aynı zamanda açı üçlemesi için de geçerlidir;
• 
  sonsuz çarpımın ilk örneği:

• 
  ilk dört derecenin denklem teorisinin tam analitik sunumu;
• 
  uygulama fikri aşkın işlevler bir karara cebirsel denklemler;
• 
  orijinal yöntem cebirsel denklemlerin sayısal katsayılarla yaklaşık çözümü.

Vieta formülleri

Formülasyon

(her kök, çokluğuna karşılık gelen sayıda alınır), daha sonra katsayılar şu şekilde ifade edilir: simetrik polinomlar köklerden, yani:

Başka bir deyişle (− 1) k A k mümkün olan tüm ürünlerin toplamına eşittir k kökler.

Polinomun baş katsayısı ise Vieta formülünü uygulamak için önce tüm katsayıları bölmek gerekir. A 0 (bu, polinomun köklerinin değerini etkilemez). Bu durumda Vieta'nın formülü tüm katsayıların en büyüğüne oranı için bir ifade verir. Vieta'nın son formülünden, eğer bir polinomun kökleri tam sayı ise, o zaman bunlar yine tam sayı olan serbest teriminin bölenleridir.

Kanıt

Nerede sağ taraf bir polinomdur çarpanlara ayrılmış.

Sağ tarafın elemanları çarpıldıktan sonra katsayılar eşit derece X Vieta'nın formüllerine göre her iki kısımda da eşit olmalıdır.

Örnekler

İkinci dereceden denklem

İndirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı X 2 + piksel + Q= 0 katsayıya eşittir P zıt işaretle alındığında köklerin çarpımı serbest terime eşittir Q:

İÇİNDE genel durum(indirgenmemiş ikinci dereceden denklem için balta 2 + bx + C = 0):

8. sınıfta cebir üzerine pratik çalışma.

Konu: “Vieta teoremi”

Hedef:İkinci dereceden bir denklemin kökleri ile katsayıları arasında bağlantı kurar.

Çalışmanın amacı:İkinci dereceden denklem ve kökleri.

İşin gerçekleştirilmesi için gerekli bilgi, yetenek ve beceriler:

(yani öğrencilere bir şey sunmadan önce hatırlanması ve tekrarlanması gerekenler) bu iş):

• 
  tam ikinci dereceden denklem kavramı;
• 
  ikinci dereceden bir üç terimliyi genel biçimde yazma yeteneği;
• 
  ikinci dereceden bir denklemi çözmek için algoritma (hem tam hem de indirgenmiş);
• 
  İkinci dereceden bir denklemin kökleri için genel formülü (tam ve indirgenmiş) yazma becerisi.

Azaltılmış ikinci dereceden denklemler.

1.1. Denklemleri çözün:

A) x 2 + 4x + 3 = 0;

B) x 2 – 10x – 24 = 0.

1.2. Tabloyu doldurun:

1.3. Her denklemin köklerinin toplamını ve çarpımını katsayılarıyla karşılaştırın.

1.4. Hipotez: Yukarıdaki ikinci dereceden denklemin kökleri ile katsayıları arasında nasıl bir bağlantı fark ettiniz? Sembolleri kullanarak yazın.

1.5. Hipotez testi: Yukarıdaki ikinci dereceden denklemi genel formda yazın (x 2 + px + q = 0).

1.6. Verilen ikinci dereceden denklemin köklerinin genel formülünü yazın.

(X 1 = ; X 2 = )

1.7. İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamını bulun.

1.8. İkinci dereceden denklemin köklerinin çarpımını bulun.

1.9. Bir sonuç çıkarmak

Ek soru.

Denklemi çözerek sonuçlarınızı kontrol edin: x 2 – 12x + 36 = 0.

2. İkinci dereceden denklemleri tamamlayın.

2.1. Denklemleri çözün:

A) 6x2 – 5x – 1 = 0;

B) 5 x 2 + 9 x + 4 = 0.

2.1. Tabloyu doldurun:

2.4. Hipotez:İkinci dereceden tam bir denklemin kökleri ile katsayıları arasında nasıl bir bağlantı fark ettiniz? Bunu sembollerle yazın.

2.5. Hipotez testi: ikinci dereceden denklemin tamamını genel formda yazın

(ax 2 + bx + c = 0).

2.6. İkinci dereceden tam bir denklemin köklerinin genel formülünü yazın.

(X 1 =; X 2 =)

2.7. İkinci dereceden denklemin köklerinin toplamını bulun.

2.8. İkinci dereceden denklemin köklerinin çarpımını bulun.

2.9. Bir sonuç çıkarmak: elde edilen sonucu belirtin. Not defterinize yazın.

(Sonuçta ortaya çıkan ifadeye Vieta teoremi denir)

Ek soru.

Şu denklemi çözerek sonuçlarınızı kontrol edin: -2x 2 + 8x + 3 = 0.

Ek görev.

Aşağıdaki ikinci dereceden denklemlerin köklerinin toplamını ve çarpımını bulun:

A) x 2 – 5x + 6 = 0;

B) 3x2 – 4x – 2 = 0;

B) x 2 – 6x + 24 = 0;

D) 6x2 – 5x = 0.

2. Vieta teoremini kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerinin doğru bulunup bulunmadığını kontrol edin.

Vieta teoreminin tersini kullanarak ikinci dereceden denklemin köklerini bulun:

a) x 2 + 11x – 12 = 0; b) 2x2 + 9x + 8 = 0; c) -3x 2 – 6x = 0; d) x 2 – 6 = 0.

İkinci dereceden denklemlerin çözümünde özel durumlar

balta 2 +bx + c = 0

1. a+b+c =0 ise x 1 = 1, x 2 =

2. eğer a-b+c =0, (veya a+c=b) ise x 1 = -1, x 2 = -

Örneğin: 3x 2 + 5x – 8 = 0 3 + 5 – 8 = 0 x 1 = 1 x 2 =

X 2 + 2x + 3 = 0 -1 +3 = 2 x 1 = -1 x 2 = 3

Sözlü olarak çözün:

3x 2 – 2x – 1 = 0 3x 2 – 5x – 8 = 0

X 2 – 3x + 2 = 0 4x 2 + 7x + 3 = 0

2002х 2 – 2003х + 1 = 0

Önce “eksi” yazalım,
Onun yanında P yarıda,
"Artı-eksi" radikal işareti,
Çocukluğumuzdan beri bize tanıdık geliyor.

Temelde dostum,
Her şey boşa çıkıyor:
P yarım ve kare
Eksi güzel Q.

• 
  İtibaren " Bebek monitörleri"(başka bir seçenek):

Ve kökün altında çok faydalıdır
yarım P karesi
eksi Q- ve işte çözümler,
yani denklemin kökleri.

Şiirde söylenmeye haklı olarak layık

Köklerin özelliklerine ilişkin Vieta teoremi.

Hangisi daha iyi, tutarlı bir şekilde şunu söyleyin:

Kökleri çarpıyorsunuz ve kesir hazır:

Pay c, payda a,

Ve köklerin toplamı da bir kesirdir

Eksili kesir de olsa ne sorun

Pay içeride, payda a'dır.
Kullanılan literatür:

1. 
   Genç bir matematikçinin ansiklopedik sözlüğü.

1. 
   Matematik. Referans materyalleri. V.A.Gusev, A.G.Mordkovich. M. "Aydınlanma" 1986
2. 
   Okulda matematiğin tarihi. GI Glazer

1. 
   Cebir 8. sınıf. Düzenleyen: S.A. Telyakovsky

Belediye yönetimi eğitim kurumu

"Ochkurovskaya ikincil ortaokul»

Nikolayevski belediye bölgesi Volgograd bölgesi

Vieta teoremi

Tamamlayan: Onoprienko Kristina,

8. sınıf öğrencisi

MKOU "Ochkurovskaya Ortaokulu"

Nikolaevski bölgesi

Başkan: E.A.

İle. Oçkurovka

2015

İçindekiler

Giriş………………………………………………………………………………………… ……3

Ana bölüm

1.Tarihsel arka plan……………………………………………………….4

2. Vieta teoreminin ispatı…………………………………………………………..6

3. Vieta teoremi kullanılarak çözülen bir denklem bloğunun derlenmesi……………….8

4. Simülatörün yapımı………………………………………………………10

Çözüm

Projenin pratik önemi……………………………………... 12

Sonuçlar……………………………………………………………………………….13

Bilgi kaynaklarının listesi……………………….………………………...14

Başvuru……………………………………………………………………..15

Şiirde söylenmeye haklı olarak layık

Köklerin özelliklerine ilişkin Vieta teoremi.
Hangisi daha iyi, söyle bana, şöyle bir tutarlılık:
Kökleri çarptığınızda kesir hazır!
Pay c, payda a'dır.
Ve kesrin köklerinin toplamı da eşittir.
Eksi kesirle bile ne sorun!
Payda B , paydada a.

giriiş

Proje konusunun alaka düzeyi: Vieta teoremini kullanmak, ikinci dereceden denklemleri sözlü olarak çözmek için benzersiz bir tekniktir. Ders kitabında Vieta teoremi kullanılarak çözülebilecek çok az ikinci dereceden denklem vardır. Sınıf arkadaşlarım ve ben hata yaparız.

Nesne araştırma cebir derslerinde ikinci dereceden denklemleri çözmenin ayrılmaz bir parçası olarak Vieta teoremidir.

Araştırma konusu – İkinci dereceden denklemleri çözme becerisini güçlendirmek için Vieta teoremi ve bir denklem bloğu derlemek.

Hipotez: Bir simülatör kullanarak Vieta teoremini kullanarak denklemleri doğru şekilde çözmeyi öğrenebileceğinizi önerdim.

Proje hedefi : Vieta teoremi kullanılarak çözülen denklemlerin bir simülatörü oluşturun.

Görevler:

• Vieta teoreminin keşfinin tarihini öğrenmek;

  kare katsayılarının bağımlılığı üzerine bir çalışma yürütmek

denklem ve çarpım ve köklerinin toplamı.

• Vieta teoremini kanıtlamayı öğrenin;

  Vieta teoremini kullanarak çözülebilecek denklemleri bağımsız olarak oluşturun

  kağıt üzerinde bir denklem bloğu çizin ve elektronik biçimde bir simülatör oluşturun

  sınıf arkadaşlarınıza Vieta teoremini kullanarak denklem çözmeleri için bir simülatör sunun

Yöntemler :

sonuçların karşılaştırılması bağımsız çalışma proje öncesi ve eğitim sonrasında ikinci dereceden denklemlerin Vieta teoremini kullanarak çözülmesi

çalışma ve analiz elektronik kaynaklar ve edebiyat

bir denklem bloğu ve bir simülatör derleme konusunda bağımsız çalışma

1.Tarihsel bilgiler

Francois Viet, 1540 yılında Fransa'nın güneyinde küçük Fanteney-le-Comte kasabasında doğdu.

Viet'in babası bir savcıydı. Oğul babasının mesleğini seçti ve avukat oldu ve Poitou'daki üniversiteden mezun oldu. 1560 yılında yirmi yaşında bir avukat kariyerine başladı. memleket ancak üç yıl sonra asil Huguenot ailesi de Parthenay'da hizmet etmeye gitti. Evin sahibinin sekreteri ve on iki yaşındaki kızı Catherine'in öğretmeni oldu. Genç avukatın matematiğe olan ilgisini uyandıran şey öğretmenlikti.

Öğrenci büyüyüp evlendiğinde Viet ailesinden ayrılmadı ve onunla birlikte Avrupa'nın önde gelen matematikçilerinin başarılarını öğrenmesinin daha kolay olduğu Paris'e taşındı. Sorbonne'un önde gelen profesörlerinden Ramus ile iletişim kurdu ve İtalya'nın en büyük matematikçisi Raphael Bombelli ile dostane yazışmalar sürdürdü.

1571'de Vietnam'a geçti kamu hizmeti, parlamentonun danışmanı ve ardından Fransa Kralı III. Henry'nin danışmanı oldu.

1580'de Henry III Viet'i, ona ülkedeki emirlerin uygulanmasını kontrol etme ve büyük feodal beylerin emirlerini askıya alma hakkı veren önemli bir haraççı görevine atadı.

1584'te Guise'lerin ısrarı üzerine Vieta görevden alındı ​​​​ve Paris'ten ihraç edildi. Huzur ve rahatlama bulan bilim adamı, her türlü problemi çözmesine olanak sağlayacak kapsamlı bir matematik yaratmayı hedef olarak belirledi.

Viet, araştırmasının programını özetledi ve ortak bir kavramla birleştirilen ve farklı dillerde yazılmış incelemeleri listeledi. matematik dili 1591 yılında yayınlanan ünlü “Analitik Sanata Giriş”te yeni harf cebiri. Viet, yaklaşımının temelini tür lojistiği olarak adlandırdı; sayılar, miktarlar ve ilişkiler arasında açıkça ayrım yaparak bunları belirli bir "tür" sistemi altında topladı. Bu sistem, örneğin değişkenleri, bunların köklerini, kareleri, küpleri, kare-kareleri vb. içeriyordu. Bu türler için Viet, onları adlandırarak özel sembolizm verdi. büyük harflerle Latin alfabesi. Bilinmeyen miktarlar için sesli harfler, değişkenler için ise ünsüz harfler kullanıldı.

Viète, sembollerle işlem yaparak karşılık gelen herhangi bir niceliğe uygulanabilecek bir sonuç elde edilebileceğini, yani problemi genel bir biçimde çözebileceğini gösterdi. Bu, cebirin gelişiminde radikal bir değişimin başlangıcını işaret ediyordu: Gerçek hesaplama mümkün hale geldi.

Bir polinomun katsayıları ile kökleri arasındaki bağlantıyı kuran ünlü teorem 1591'de yayımlandı. Artık Vieta adını taşıyor ve yazarın kendisi bunu şu şekilde formüle etti: "Eğer B + D çarpı A, eksi A'nın karesi BD'ye eşitse, o zaman A eşittir B ve eşittir D."

"Geometriye İlaveler" adlı incelemesinde belirli bir yaratmaya çalıştı. geometrik cebirÜçüncü ve dördüncü derece denklemlerin geometrik yöntemlerle çözülmesi. Viet, üçüncü ve dördüncü dereceden herhangi bir denklemin çözülebileceğini savundu. geometrik yöntem bir açının üçe bölünmesi veya iki ortalama orantılı açının oluşturulması yoluyla.

Yüzyıllar boyunca matematikçiler astronomi, mimari ve jeodezinin ihtiyaçlarının gerektirdiği şekilde üçgenlerin çözümü sorunuyla ilgilendiler. Viet açıkça formüle eden ilk kişiydi. sözlü biçim kosinüs teoremi, ancak eşdeğerleri MÖ 1. yüzyıldan beri ara sıra kullanılıyor. Daha önce zorluğuyla bilinen, verilen iki kenarı ve karşıt açılardan birini kullanarak bir üçgeni çözme durumu, Vieta'dan kapsamlı bir analiz aldı. Vieta'ya derin bir cebir bilgisi kazandırdı büyük faydalar. Üstelik cebire olan ilgisi başlangıçta trigonometri ve astronomiye yönelik uygulamalardan kaynaklandı. Cebirin her yeni uygulaması trigonometri alanında yeni araştırmalara ivme kazandırdığı gibi, elde edilen trigonometrik sonuçlar da kaynak olmuştur. önemli başarılar cebir. Özellikle Vieta, çoklu yayların sinüsleri (veya akorları) ve kosinüsleri için ifadelerin türetilmesinden sorumludur.

Fransa'nın bazı saray mensuplarının anılarında, Viet'in evli olduğuna, mülkün tek varisi olan bir kızı olduğuna ve ardından Viet'e Seigneur de la Bigautier denildiğine dair bir gösterge var. Mahkeme haberlerinde Letual Markisi şunları yazdı: “... 14 Şubat 1603 Bay Viet, haraççı, adam büyük akıl ve muhakeme ve en çok biri bilim adamları matematikçiler yüzyıl Paris'te öldü. Altmış yaşın üzerindeydi."

2. Vieta teoreminin kanıtı

3. Bir denklem bloğunun ve elektronik simülatörün derlenmesi

X 2 + 17x - 38 = 0,

X 2 - 16x + 4 = 0,

3x 2 + 8x - 15 = 0,

7x 2 + 23x + 5 = 0,

X 2 + 2x - 3 = 0,

X 2 + 12x + 32 = 0,

X 2 - 7x + 10 = 0,

X 2 - 2x - 3= 0,

X 2 + 12x + 32 = 0,

2x 2 - 11x + 15 = 0,

3x 2 + 3x - 18 = 0,

2x 2 - 7x + 3 = 0,

X 2 + 17x - 18 = 0,

X 2 - 17x - 18 = 0,

X 2 - 11x + 18 = 0,

X 2 + 7x - 38 = 0,

X 2 - 9x + 18 = 0,

X 2 - 13x + 36 = 0,

X 2 - 15x + 36 = 0,

X 2 - 5x - 36 = 0.

X 2 + x – 2 = 0

X 2 + 2x – 3 =0

X 2 - 3x + 2 =0

X 2 - x – 2 = 0

X 2 - 2x – 3 =0

X 2 - 3x – 4 = 0

X 2 +17 X -18=0

X 2 + 23 X – 24=0

X 2 – 39x-40 =0

X 2 – 37x – 38=0

X 2 – 3x – 10 = 0

X 2 – 5x + 3 = 0

X 2 + 8 x – 11 = 0

X 2 + 6x + 5 = 0

X 2 – X – 12 = 0

X 2 + 5 X + 6 = 0

X 2 + 3 X – 10 = 0

X 2 – 8 X– 9 = 0

X 2 + x – 56 = 0

X 2 – 19x + 88 = 0

X 2 – 4x – 4 = 0

X 2 -15x+14=0

X 2 +8x+7=0

X 2 +9x+20=0

X 2 +18x -11 = 0

X 2 +27x – 24 = 0

5x 2 +10x – 3 = 0

3x 2 - 16x +9 = 0

X 2 +18x -11 = 0

X 2 +27x – 24 = 0

4x-21=0

4x-21=0

X 2 -15x+56=0

X 2 -4x-60=0

X 2 +5x+6=0

2x-3=0

X 2 +18x+81=0

X-20=0

X 2 +4x+21=0

X 2 -10x-24=0

X 2 + x-56=0

X 2 -x-56=0

X 2 +3x+2=0

X 2 +5x-6=0

X 2 -18x+81=0

X 2 -9x+20=0

X 2 -5 X +6=0

X 2 -4x-21=0

X 2 - 7x+6=0

X 2 -15x+56=0

X 2 – 3x + 2 = 0

X 2 – 4x + 3 = 0

X 2 – 2x + 4 = 0

X 2 – 2x + 5 = 0

X 2 – 2x + 6 = 0

X 2 – 11x + 24 = 0

X 2 + 11x – 30 = 0

X 2 + x – 12 = 0

X 2 – 6x + 8 = 0

X 2 – 15x + 14 = 0

X 2 – 15x + 14 = 0

X 2 + 4 x -21 =0

X 2 + x – 42 =0

X 2 – x – 20 =0

X 2 + 4 x -32=0

X 2 - 2x – 35 =0

X 2 + x - 20 =0

X 2 + 7 x + 10 =0

X 2 - x - 6=0

X 2 + 2x+0 =0

X 2 + 6x+0 =0

X 2 + 3x - 18=0

X 2 + 5 x -24=0

X 2 - 2 x - 24=0

X 2 – 15x + 14 = 0

X 2 + 8x + 7 =0

X 2 + 9x – 20=0

X 2 – 6x – 7 = 0

X 2





4. Projenin pratik önemi

8.sınıf cebir derslerinde ve OGE final tekrarında uygulama

Sonuçlar:

Çalışmamın sonucu, Vieta teoremi kullanılarak çözülebilecek ikinci dereceden denklemlerden oluşan bir bloktur.

Kendimi işe kaptırdım, en kolay yol ikinci dereceden denklemler oluşturmaktı; ücretsiz üyeçarpım tablosu kullanılarak bulunur. Artık sadece Vieta teoremini kullanarak bir denklemin köklerini doğru bir şekilde bulmakla kalmıyorum, aynı zamanda bunu herhangi bir ikinci dereceden denklemin çözümünü kontrol ederken de uyguluyorum.

Simülatörü kullanarak sınıf arkadaşlarım ve ben ikinci dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmeyi öğrendik.

Bilgi kaynaklarının listesi:

1. Referanslar

   1. Cebir 8. sınıf: ders kitabı eğitim kurumları. G.V.Dorofeev, S.B.

      8. sınıf için cebir üzerine didaktik materyaller. V.I.Zhokhov, Yu.N.Makarychev, N.G ​​Mindyuk. M.: Eğitim, 2000.

      Matematik.8. sınıf: didaktik materyaller“Matematik 8. Cebir” ders kitabına / ed. G. V. Dorofeeva. – M.: Bustard, 2012\

      Durum son sertifika. 9. sınıf. Matematik. Tematik test görevleri./L.D. Lappo, MA Popov/-M.: Sınav Yayınevi, 2011

      Planlanan sonuç

      1. Bilgilendirici

      Bilgilerin toplanması, analizi

      Literatür Çalışması

      Projenin teorik kısmı için materyal

      2. Organizasyonel

      Analiz, genelleme

      Bir denklem bloğunun geliştirilmesi

      İş için malzeme

      3. Teknolojik aşama

      Denklemlerin seçimi

      Simülatör oluşturma

      Simülatör

      4. Son

      Deneyimin genelleştirilmesi

      Yapılan işle ilgili sonuçlar, projenin tasarımı

      Proje. Koleksiyon tasarımı. Ana sınıf. Yarışmaya katılım.

Belediye bütçeli eğitim kurumu

“Ortaokul No. 64”, Bryansk

Şehir bilimsel ve pratik konferansı

"Bilime ilk adımlar"

İlmi araştırma çalışması

"Üçüncü ve dördüncü derece denklemler için Viete teoremi"

Matematik

Tamamlayan: 11b sınıfı öğrencisi

Shanov Ilya Alekseevich

Bilimsel süpervizör:

matematik öğretmeni,

Fizik ve Matematik Adayı bilimler

Bykov Sergey Valentinoviç

Bryansk 2012

Giriş………………………………………………………………………………… 3

Amaçlar ve hedefler ……………………………………………………… 4

Kısa bilgi tarihsel arka plan ………………………………………… 4

İkinci dereceden denklem…………………………………………………. 5

Kübik denklem……………………………………………………………. 6

Dördüncü dereceden denklem ………………………………………… 7

Pratik kısım………………………………………………………. 9

Referanslar…………………………………………………… 12

Ek ……………………………………………………………… 13

giriiş

Cebirin Temel Teoremi, bir alanın cebirsel olarak kapalı olduğunu, başka bir deyişle, alan üzerinde (genel olarak) karmaşık katsayılara sahip, n dereceli tam olarak n denklem olduğunu belirtir. karmaşık kökler. Üçüncü dereceden denklemler Cordano formülü ile çözülür. Ferrari yöntemini kullanan dördüncü derece denklemler. Ayrıca cebir teorisinde kanıtlanmıştır ki eğer denklemin kökü ise aynı zamanda bu denklemin köküdür. Kübik bir denklem için aşağıdaki durumlar mümkündür:

üç kök de gerçektir;

iki kök karmaşıktır, biri gerçektir.

Bundan, herhangi bir kübik denklemin en az bir gerçek kökü olduğu sonucu çıkar.

Dördüncü dereceden bir denklem için:

Dört kök de farklıdır.

İki kök gerçek, ikisi karmaşıktır.

Dört kökün tümü karmaşıktır.

Bu çalışma Vieta teoreminin kapsamlı bir çalışmasına ayrılmıştır: formülasyonu, kanıtı ve bu teoremi kullanarak problemlerin çözümü.

Yapılan çalışmayla 11.sınıf öğrencilerine yardımcı olmak amaçlanıyor. Birleşik Devlet Sınavını geçmek ve daha basit ve daha basit olanlara kayıtsız olmayan genç matematikçiler için etkili yöntemlerçözümler çeşitli alanlar matematik.

Bu çalışmanın ekinde, üzerinde çalıştığım yeni materyalin bağımsız olarak çözülmesi ve pekiştirilmesi için bir dizi problem sağlanmıştır.

Bu konu göz ardı edilemez çünkü matematik için, genel olarak bilim açısından, öğrenciler ve bu tür problemleri çözmekle ilgilenenler için önemlidir.

Çalışmanın amaç ve hedefleri:

Üçüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini edinin.

Üçüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini kanıtlayın.

Dördüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini elde edin.

Dördüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin bir benzerini kanıtlayın.

Bu soruların pratik problemlerin çözümüne uygulanmasını düşünün.

• Bu teoremin uygulamasının pratik olduğundan emin olun.

Derinleştir matematik bilgisi Denklem çözme alanında.

Matematiğe ilginizi geliştirin.

Kısa tarihsel arka plan

Şiirde söylenmeye haklı olarak layık

Köklerin özellikleri üzerine VIETTE TEOREMİ...

FRANCOIS VIET (1540-1603) - Fransız matematikçi. Mesleği gereği bir avukat. 1591'de yalnızca bilinmeyen miktarlar için değil aynı zamanda denklem katsayıları için de harf tanımlamaları yaptı; Bu sayede ilk defa denklemlerin özellikleri ve köklerinin genel formüllerle ifade edilmesi mümkün hale geldi. 2., 3. ve 4. derece denklemlerin çözümü için tek tip bir yöntem oluşturmaktan sorumluydu. Keşifler arasında Viète'in kendisi özellikle denklemlerin kökleri ve katsayıları arasındaki ilişkinin kurulmasına çok değer verdi. Denklemlerin yaklaşık çözümü için sayısal katsayılar Vieth, Newton'un sonraki yöntemine benzer bir yöntem önerdi. Trigonometride François Viète, düz veya küresel bir üçgenin tüm elemanlarını üç veriden belirleme problemine eksiksiz bir çözüm verdi ve cos'un önemli açılımlarını buldu. nx ve günah nxçünkü cos'un güçleri X ve günah X.İlk kez sonsuz eserleri düşündü. Vieta'nın eserleri zor bir dille yazılmıştı ve bu nedenle kendi dönemlerinde hak ettiklerinden daha az dağıtıldı. .

İkinci dereceden denklem

Öncelikle programda öğrendiğimiz Vieta'nın ikinci derece denklem formüllerini hatırlayalım. okul kursu eğitim.

T
Vieta teoremiikinci dereceden denklem için (8. sınıf)

e
eğer ve ikinci dereceden bir denklemin kökleri ise o zaman

yani indirgenmiş ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı ters işaretli ikinci katsayıya, köklerin çarpımı ise serbest terime eşittir.

Ayrıca teoremi hatırlayın, Vieta teoreminin tersi:

Eğer sayılar - P Ve Qöyle mi

o zaman ve denklemin kökleridir

Vieta teoremi, kare trinomiyalin köklerini bilmeden, bunların toplamını ve çarpımını, yani en basit simetrik ifadeleri kolayca hesaplayabilmemiz açısından dikkat çekicidir.

Vieta teoremi kare bir trinomiyalin tüm köklerini tahmin etmenize olanak sağlar.

kübik denklem

Şimdi doğrudan Vieta teoremini kullanarak kübik denklemin formülasyonuna ve çözümüne geçelim.

Formülasyon

İLE
Her yerde bulunan denklem, formun üçüncü dereceden bir denklemidir

Nerede bir ≠ 0.

Eğer bir = 1, bu durumda denkleme indirgenmiş kübik denklem denir:

Yani denklem için bunu kanıtlamamız gerekiyor.

aşağıdaki teorem doğrudur:

N
kökleri büyütmek verilen denklem, Daha sonra

Kanıt

Bir polinom hayal edelim

dönüşümleri gerçekleştirelim:

Yani bunu anlıyoruz

İki polinom ancak ve ancak karşılık gelen güçlerdeki katsayıları eşitse eşittir.

Bu şu anlama geliyor

Q.E.D.

Şimdi teoremi düşünün, üçüncü dereceden bir denklem için Vieta teoreminin tersi.

F
formülasyon

e
sayılar bu şekilde ise

Dördüncü derece denklem

Şimdi dördüncü derece denklem için Vieta teoremini kullanarak dördüncü derece denklem kurup çözmeye geçelim.

Formülasyon

sen
dördüncü derecenin denklemi - formun bir denklemi

G
de bir ≠ 0.

e
eğer bir = 1, o zaman denklem indirgenmiş olarak adlandırılır

VE
denklem için bunu kanıtlayalım

İle
aşağıdaki teorem doğrudur: Verilen denklemin köklerine izin verin, o zaman

Kanıt

Bir polinom hayal edelim

dönüşümleri gerçekleştirelim:

Yani bunu anlıyoruz

Bunu biliyoruz iki polinom ancak ve ancak karşılık gelen güçlerdeki katsayıları eşitse eşittir.

Bu şu anlama geliyor

Q.E.D.

Teoremi düşünün, dördüncü derece denklem için Vieta teoreminin tersi.

Formülasyon

Rakamlar bu şekilde ise

o zaman bu sayılar denklemin kökleridir

Pratik kısım

Şimdi üçüncü ve dördüncü derece denklemler için Vieta teoremlerini kullanarak problemlerin çözümlerine bakalım.

Görev No.1

Cevap: 4, -4.

Görev No.2

Cevap: 16, 24.

Bu denklemleri çözmek için sırasıyla Cardano formüllerini ve Ferrari yöntemini kullanabiliriz ancak Vieta teoremini kullanarak bu denklemlerin köklerinin toplamını ve çarpımını biliyoruz.

Görev No.3

Köklerin toplamının 6, köklerin eşleştirilmiş çarpımının 3 ve çarpımının -4 olduğu biliniyorsa üçüncü dereceden bir denklem oluşturun.

Hadi bir denklem kuralım, şunu elde ederiz

Görev No.4

Köklerin toplamının eşit olduğu biliniyorsa üçüncü dereceden bir denklem yazın 8 , köklerin çift çarpımı eşittir 4 , çarpımın üç katı eşittir 12 ve ürün 20 .

Çözüm: Vieta formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

Hadi bir denklem kuralım, şunu elde ederiz

Vieta teoremini kullanarak köklerini kullanarak kolayca denklemler oluşturduk. Bu en çok rasyonel yol bu sorunları çözmek.

Sorun #5

burada a, b, c Heron formülleridir.

Parantezleri açıp ifadeyi dönüştürelim, şunu elde ederiz:

Z
Radikal ifadenin şöyle olduğuna dikkat edin: kübik ifade. Karşılık gelen kübik denklem için Vieta teoremini kullanalım, o zaman şunu elde ederiz:

Z

Şunu elde ettiğimizi bilerek:

Bu problemin çözümünden Vieta teoreminin aşağıdaki problemlere uygulanabilir olduğu açıktır: farklı alanlar matematik.

Çözüm

Bu yazıda üçüncü ve dördüncü dereceden denklemleri Vieta teoremini kullanarak çözmenin bir yöntemi araştırıldı. Çalışmada elde edilen formüllerin kullanımı kolaydır. Çalışma sırasında, bazı durumlarda bu yöntemin üçüncü ve dördüncü derece denklemler için sırasıyla Cordano formülü ve Ferrari yönteminden daha etkili olduğu ortaya çıktı.

Vieta teoremi pratikte uygulandı. Yeni malzemenin daha iyi pekiştirilmesine yardımcı olan bir dizi sorun çözüldü.

Bu çalışma benim için çok ilginç ve öğreticiydi. Matematik bilgimi derinleştirdikten sonra birçok ilginç şey keşfettim ve bu araştırmadan keyif aldım.

Ancak denklem çözme alanındaki araştırmam henüz bitmedi. Gelecekte, Vieta teoremini kullanarak n'inci dereceden bir denklemin çözümünü çalışmayı planlıyorum.

derin şükranlarımı sunmak istiyorum bilimsel süpervizör, fiziksel ve matematik bilimleri adayı ve böyle bir olasılık sıradışı araştırma ve çalışmaya sürekli dikkat.

Referanslar

Vinogradov I.M. Matematik ansiklopedisi. M., 1977.

V. B. Lidsky, L. V. Ovsyannikov, A. N. Tulaikov, M. I. Shabunin. Şunun için görevler: ilköğretim matematik, Fizmatlit, 1980.