Belirli bir $x_0$ noktasındaki $y = f(x)$ fonksiyonunun türevi, bir fonksiyonun artışının, argümanının karşılık gelen artışına oranının sınırıdır, ancak argümanın sıfıra yönelmesi koşuluyla:

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Türev alma işlemi türevi bulma işlemidir.

Bazı türevlerin tablosu temel işlevler

Farklılaşmanın temel kuralları

1. Toplamın (farkın) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ fonksiyonunun türevini bulun

Bir toplamın (farkın) türevi, türevlerin toplamına (farkına) eşittir.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Ürünün türevi

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ türevini bulun

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Bölümün türevi

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ türevini bulun

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Karmaşık bir fonksiyonun türevi, dış fonksiyonun türevi ile iç fonksiyonun türevinin çarpımına eşittir

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Türevin fiziksel anlamı

Eğer maddi bir nokta doğrusal olarak hareket ediyorsa ve $x(t)$ yasasına göre koordinatı zamana bağlı olarak değişiyorsa, o zaman anlık hız Belirli bir noktanın fonksiyonun türevine eşittir.

Nokta, $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ yasasına göre koordinat çizgisi boyunca hareket eder; burada $x(t)$, $t$ anındaki koordinattır. Zamanın hangi noktasında noktanın hızı 12$'a eşit olacak?

1. Hız $x(t)$'ın türevidir, o halde türevini bulalım verilen fonksiyon

$v(t) = x"(t) = 1,5 2t -3 = 3t -3$

2. Zamanın hangi noktasında $t$ hızın $12$'a eşit olduğunu bulmak için denklemi oluşturup çözüyoruz:

Türevin geometrik anlamı

Koordinat eksenlerine paralel olmayan bir doğrunun denkleminin $y = kx + b$ biçiminde yazılabileceğini hatırlayın; burada $k$ doğrunun eğimidir. Katsayı $k$ teğete eşit düz çizgi ile $Ox$ ekseninin pozitif yönü arasındaki eğim açısı.

$f(x)$ fonksiyonunun $x_0$ noktasındaki türevi şuna eşittir: eğim Belirli bir noktada grafiğe $k$ teğet:

Bu nedenle genel bir eşitlik oluşturabiliriz:

$f"(x_0) = k = tanα$

Şekilde $f(x)$ fonksiyonuna teğet artar, dolayısıyla $k > 0$ katsayısı artar. $k > 0$ olduğundan, $f"(x_0) = tanα > 0$ olur. Teğet ile $Ox$ pozitif yönü arasındaki $α$ açısı dardır.

Şekilde $f(x)$ fonksiyonuna teğet azalıyor, dolayısıyla $k katsayısı< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Şekilde $f(x)$ fonksiyonunun teğeti $Ox$ eksenine paraleldir, bu nedenle katsayı $k = 0$, dolayısıyla $f"(x_0) = tan α = 0$ olur. $f "(x_0) = 0$ olan $x_0$ noktasına gelin, denir ekstremum.

Şekil $y=f(x)$ fonksiyonunun bir grafiğini ve apsis $x_0$ noktasında çizilen bu grafiğe bir teğetini göstermektedir. $f(x)$ fonksiyonunun $x_0$ noktasındaki türevinin değerini bulun.

Grafiğe teğet artar, dolayısıyla $f"(x_0) = tan α > 0$

$f"(x_0)$'ı bulmak için $Ox$ ekseninin teğeti ile pozitif yönü arasındaki eğim açısının tanjantını buluyoruz. Bunu yapmak için $ABC$ üçgenine teğet oluşturuyoruz.

$BAC$ açısının tanjantını bulalım. (Teğetsel dar açı V dik üçgen ilişki denir karşı bacak yandaki bacağa.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0,25

$f"(x_0) = tg BAC = 0,25$

Cevap: 0,25$

Türev aynı zamanda artan ve azalan fonksiyonların aralıklarını bulmak için de kullanılır:

Bir aralıkta $f"(x) > 0$ ise, $f(x)$ fonksiyonu bu aralıkta artıyor demektir.

Eğer $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Şekil $y = f(x)$ fonksiyonunun grafiğini göstermektedir. $х_1,х_2,х_3...х_7$ noktaları arasında fonksiyonun türevinin negatif olduğu noktaları bulun.

Yanıt olarak bu noktaların sayısını yazın.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

İçerik öğeleri

Türev, teğet, ters türev, fonksiyon ve türevlerin grafikleri.

Türev\(f(x)\) fonksiyonu \(x_0\) noktasının bir komşuluğunda tanımlanmış olsun.

\(f\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasındaki türevi limit denir

\(f"(x_0)=\lim_(x\rightarrow x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

eğer bu sınır mevcutsa.

Bir fonksiyonun bir noktadaki türevi, bu fonksiyonun belirli bir noktadaki değişim oranını karakterize eder.

Türev tablosu

Farklılaşma kuralları\(f\) ve \(g\), \(x\) değişkenine bağlı fonksiyonlardır; \(c\) bir sayıdır.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\left(\dfrac(f)(g)\right)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - karmaşık bir fonksiyonun türevi

Türevin geometrik anlamı Bir çizginin denklemi- eksene paralel olmayan \(Oy\) \(y=kx+b\) şeklinde yazılabilir. Bu denklemdeki \(k\) katsayısına denir düz bir çizginin eğimi. Teğete eşittir eğim açısı bu düz çizgi.

Düz açı- \(Ox\) ekseninin pozitif yönü ile bu düz çizgi arasındaki yönde ölçülen açı pozitif açılar(yani \(Ox\) ekseninden \(Oy\) eksenine en az dönüş yönünde).

\(f(x)\) fonksiyonunun \(x_0\) noktasındaki türevi, fonksiyonun grafiğine bu noktadaki teğetin eğimine eşittir: \(f"(x_0)=\tg\ alfa.\)

Eğer \(f"(x_0)=0\), o zaman \(f(x)\) fonksiyonunun grafiğinin \(x_0\) noktasındaki teğeti \(Ox\) eksenine paraleldir.

Teğet denklem

\(f(x)\) fonksiyonunun grafiğine \(x_0\ noktasındaki teğetin denklemi):

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Fonksiyonun monotonluğu Bir fonksiyonun türevi aralığın her noktasında pozitifse, bu aralıkta fonksiyon artar.

Bir fonksiyonun türevi aralığın tüm noktalarında negatifse, o zaman fonksiyon bu aralıkta azalır.

Minimum, maksimum ve dönüm noktaları pozitif Açık negatif bu noktada \(x_0\), \(f\) fonksiyonunun maksimum noktasıdır.

Eğer \(f\) fonksiyonu \(x_0\) noktasında sürekli ise ve bu fonksiyonun \(f"\) türevinin değeri şu şekilde değişir: negatif Açık pozitif bu noktada \(x_0\), \(f\) fonksiyonunun minimum noktasıdır.

\(f"\) türevinin sıfıra eşit olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. kritik noktalar fonksiyonlar \(f\).

\(f(x)\) fonksiyonunun tanım kümesinin iç noktaları, burada \(f"(x)=0\) minimum, maksimum veya bükülme noktaları olabilir.

Türevin fiziksel anlamı Eğer maddi bir nokta doğrusal olarak hareket ediyorsa ve \(x=x(t)\) yasasına göre koordinatı zamana bağlı olarak değişiyorsa, bu noktanın hızı koordinatın zamana göre türevine eşittir:

Hızlanma maddi nokta bu noktanın hızının zamana göre türevine eşittir:

\(a(t)=v"(t).\)

Giriş seviyesi

Bir fonksiyonun türevi. Kapsamlı Kılavuz (2019)

Tepelik bir alandan geçen düz bir yol düşünelim. Yani yukarı aşağı gidiyor ama sağa sola dönmüyor. Eksen yol boyunca yatay ve dikey olarak yönlendirilirse, yol çizgisi bazı sürekli fonksiyonların grafiğine çok benzer olacaktır:

Eksen belli bir seviyede sıfır rakımdır; yaşamda deniz seviyesini öyle kullanırız.

Böyle bir yolda ilerlerken aynı zamanda yukarı veya aşağı da hareket ediyoruz. Şunu da söyleyebiliriz: argüman değiştiğinde (apsis ekseni boyunca hareket), fonksiyonun değeri de değişir (ordinat ekseni boyunca hareket). Şimdi yolumuzun "dikliğini" nasıl belirleyeceğimizi düşünelim mi? Bu nasıl bir değer olabilir? Çok basit: Belirli bir mesafeye doğru ilerlerken yüksekliğin ne kadar değişeceği. Nitekim yolun farklı kesimlerinde, (x ekseni boyunca) bir kilometre ileriye doğru ilerleyerek, yükselecek veya alçalacağız. farklı miktarlar deniz seviyesine göre metre (koordinat ekseni boyunca).

İlerlemeyi gösterelim (“delta x” okuyun).

Yunanca harf (delta), matematikte "değişim" anlamına gelen bir önek olarak yaygın olarak kullanılır. Yani bu nicelikteki bir değişikliktir, bir değişikliktir; peki o nedir? Doğru, büyüklükte bir değişiklik.

Önemli: Bir ifade tek bir bütündür, tek bir değişkendir. “Delta”yı asla “x”ten veya başka bir harften ayırmayın!

Yani örneğin .

Böylece yatay olarak ileriye doğru ilerledik. Yolun çizgisini fonksiyonun grafiğiyle karşılaştırırsak yükselişi nasıl gösteririz? Kesinlikle, . Yani ilerledikçe daha da yükseliriz. Değerin hesaplanması kolaydır: Başlangıçta yüksekteysek ve hareket ettikten sonra kendimizi yüksekte bulursak, o zaman. Eğer bitiş noktası

ilkinden daha düşük olduğu ortaya çıktı, negatif olacak - bu, yükseldiğimiz değil alçaldığımız anlamına geliyor.

Tekrar "diklik" konusuna dönelim: Bu, bir birim mesafe ileri gidildiğinde yüksekliğin ne kadar (dik) arttığını gösteren bir değerdir:

Yolun bir bölümünde bir kilometre ileri gidildiğinde yolun bir kilometre yukarıya çıktığını varsayalım. O halde bu yerdeki eğim eşittir. Peki ya yol m ileri giderken km düşerse? O halde eğim eşittir.

Yani bizim mantığımıza göre buradaki eğimin neredeyse sıfıra eşit olduğu ortaya çıkıyor ki bu kesinlikle doğru değil. Kilometrelerce uzakta çok şey değişebilir. Dikliğin daha yeterli ve doğru bir şekilde değerlendirilmesi için daha küçük alanların dikkate alınması gerekir. Örneğin bir metre hareket ettikçe yükseklikteki değişimi ölçerseniz sonuç çok daha doğru olacaktır. Ancak bu doğruluk bile bizim için yeterli olmayabilir - sonuçta yolun ortasında bir direk varsa onu kolayca geçebiliriz. O halde hangi mesafeyi seçmeliyiz? Santimetre? Milimetre? Daha azı daha fazladır!

İÇİNDE gerçek hayat Mesafeleri en yakın milimetreye kadar ölçmek fazlasıyla yeterlidir. Ancak matematikçiler her zaman mükemmellik için çabalarlar. Bu nedenle kavram icat edildi sonsuz küçük yani mutlak değer isimlendirebileceğimiz herhangi bir sayıdan küçüktür. Örneğin şöyle diyorsunuz: trilyonuncu! Ne kadar az? Ve bu sayıyı -'ye bölerseniz daha da az olacaktır. Ve benzeri. Bir niceliğin sonsuz küçük olduğunu yazmak istersek şöyle yazarız: (“x sıfıra doğru gider” şeklinde okuruz). Anlamak çok önemli bu sayının sıfır olmadığını! Ama buna çok yakın. Bu, ona bölebileceğiniz anlamına gelir.

Sonsuz küçük kavramının karşısındaki kavram sonsuz büyüktür (). Muhtemelen eşitsizlikler üzerinde çalışırken bununla zaten karşılaşmışsınızdır: bu sayı, aklınıza gelebilecek herhangi bir sayıdan modülo daha büyüktür. Eğer en büyüğünü bulursan olası sayılar, bunu ikiyle çarpın ve daha da fazlasını elde edin. Ve hala sonsuzluk Dahası ne olacak? Aslında sonsuz büyük ve sonsuz küçük birbirinin tersidir, yani at ve tam tersi: at.

Şimdi yolumuza geri dönelim. İdeal olarak hesaplanan eğim, yolun sonsuz küçük bir bölümü için hesaplanan eğimdir, yani:

Sonsuz küçük bir yer değiştirmeyle yükseklikteki değişimin de sonsuz küçük olacağını not ediyorum. Ama size sonsuz küçüklüğün şu anlama gelmediğini hatırlatmama izin verin: sıfıra eşit. Sonsuz küçük sayıları birbirine bölerseniz oldukça fazla sonuç elde edebilirsiniz. normal numara, Örneğin, . Yani küçük bir değer diğerinden tam olarak kat daha büyük olabilir.

Bütün bunlar ne için? Yol, diklik... Araba rallisine gitmiyoruz ama matematik öğretiyoruz. Ve matematikte her şey tamamen aynıdır, yalnızca farklı adlandırılır.

Türev kavramı

Bir fonksiyonun türevi, argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranıdır.

Kademeli olarak matematikte değişim diyorlar. Bağımsız değişkenin () eksen boyunca hareket ettikçe ne ölçüde değiştiğine denir argüman artışı Eksen boyunca bir mesafe kadar ileriye doğru hareket edildiğinde fonksiyonun (yüksekliğin) ne kadar değiştiğine denir. fonksiyon artışı ve belirlenir.

Yani bir fonksiyonun türevi ne zamana oranıdır. Türevi fonksiyonla aynı harfle, yalnızca sağ üstte bir asal sayıyla veya basitçe belirtiriz. Şimdi bu gösterimleri kullanarak türev formülünü yazalım:

Yol benzetmesinde olduğu gibi burada fonksiyon arttığında türev pozitif, azaldığında ise negatif olur.

Türev sıfıra eşit olabilir mi? Kesinlikle. Örneğin düz yatay bir yolda gidiyorsak diklik sıfırdır. Ve bu doğru, yükseklik hiç değişmiyor. Türev ile aynı: türev sabit fonksiyon(sabitler) sıfıra eşittir:

çünkü böyle bir fonksiyonun artışı herhangi biri için sıfıra eşittir.

Tepe örneğini hatırlayalım. Segmentin uçlarını birlikte düzenlemenin mümkün olduğu ortaya çıktı farklı taraflar uçlardaki yükseklik aynı olacak, yani bölüm eksene paralel olacak şekilde üstten:

Ancak büyük segmentler yanlış ölçümün işaretidir. Segmentimizi kendine paralel olarak yukarı kaldıracağız, sonra uzunluğu azalacak.

Sonunda tepeye sonsuz derecede yaklaştığımızda, parçanın uzunluğu sonsuz derecede küçük olacaktır. Ancak aynı zamanda eksene paralel kalmıştır, yani uçlarındaki yükseklik farkı sıfıra eşittir (eğiliminde değildir ancak eşittir). Yani türev

Bu şu şekilde anlaşılabilir: En tepede durduğumuzda, sola veya sağa doğru küçük bir kayma, boyumuzu ihmal edilebilecek kadar değiştirir.

Ayrıca tamamen cebirsel bir açıklama da var: Tepe noktasının solunda fonksiyon artar ve sağında azalır. Daha önce öğrendiğimiz gibi, bir fonksiyon arttığında türevi pozitif, azaldığında ise negatif olur. Ancak atlamalar olmadan sorunsuz bir şekilde değişir (çünkü yol eğimini hiçbir yerde keskin bir şekilde değiştirmez). Bu nedenle negatif ile negatif arasında pozitif değerler mutlaka bulunması gerekir. Tepe noktasında, fonksiyonun ne arttığı ne de azaldığı yer olacaktır.

Aynı durum çukur (soldaki fonksiyonun azaldığı, sağdaki fonksiyonun arttığı alan) için de geçerlidir:

Artışlar hakkında biraz daha.

Bu yüzden argümanı büyüklük olarak değiştiriyoruz. Hangi değerden değişiyoruz? Şimdi bu (tartışma) ne hale geldi? Herhangi bir noktayı seçebiliriz ve şimdi oradan dans edeceğiz.

Koordinatı olan bir nokta düşünün. İçindeki fonksiyonun değeri eşittir. Sonra aynı artışı yapıyoruz: koordinatı artırıyoruz. Şimdi argüman ne? Çok kolay: . Şimdi fonksiyonun değeri nedir? Argüman nereye giderse fonksiyon da oraya gider: . Peki ya fonksiyon artışı? Yeni bir şey yok: Bu hala fonksiyonun değişme miktarıdır:

Artışları bulma alıştırması yapın:

1. Bağımsız değişkenin artışının eşit olduğu bir noktada fonksiyonun artışını bulun.
2. Aynı şey bir noktada fonksiyon için de geçerlidir.

Çözümler:

İÇİNDE farklı noktalar aynı argüman artışıyla, fonksiyon artışı farklı olacaktır. Bu, her noktadaki türevin farklı olduğu anlamına gelir (bunu en başta tartıştık - yolun dikliği farklı noktalarda farklıdır). Bu nedenle bir türev yazarken hangi noktada olduğunu belirtmeliyiz:

Güç fonksiyonu.

Güç fonksiyonu, argümanın bir dereceye kadar (mantıklı, değil mi?) geçerli olduğu bir fonksiyondur.

Üstelik - herhangi bir ölçüde: .

En basit durum- bu durumda üs:

Bir noktadaki türevini bulalım. Türevin tanımını hatırlayalım:

Yani argüman 'dan 'a değişir. Fonksiyonun artışı nedir?

Artış şudur. Ancak herhangi bir noktadaki bir fonksiyon argümanına eşittir. Bu yüzden:

Türev şuna eşittir:

Türevi şuna eşittir:

b) Şimdi düşünün ikinci dereceden fonksiyon (): .

Şimdi şunu hatırlayalım. Bu, artışın değerinin ihmal edilebileceği anlamına gelir, çünkü bu son derece küçüktür ve bu nedenle diğer terimin arka planına göre önemsizdir:

Böylece başka bir kural bulduk:

c) Mantıksal seriye devam ediyoruz: .

Bu ifade farklı şekillerde basitleştirilebilir: toplamın küpünün kısaltılmış çarpımı formülünü kullanarak ilk parantezi açın veya küp farkı formülünü kullanarak ifadenin tamamını çarpanlara ayırın. Önerilen yöntemlerden herhangi birini kullanarak bunu kendiniz yapmaya çalışın.

Böylece aşağıdakileri elde ettim:

Ve şunu bir kez daha hatırlayalım. Bu, aşağıdakileri içeren tüm terimleri ihmal edebileceğimiz anlamına gelir:

Şunu alıyoruz: .

d) Büyük kuvvetler için de benzer kurallar elde edilebilir:

e) Bu kuralın, tamsayı bile olmayan, keyfi bir üssü olan bir kuvvet fonksiyonu için genelleştirilebileceği ortaya çıktı:

Kural şu ​​şekilde formüle edilebilir: "Derece bir katsayı olarak öne çıkarılır ve ardından azaltılır."

Bu kuralı daha sonra kanıtlayacağız (neredeyse en sonunda). Şimdi birkaç örneğe bakalım. Fonksiyonların türevini bulun:

1. (iki şekilde: formülle ve türev tanımını kullanarak - fonksiyonun artışını hesaplayarak);

1. . İster inanın ister inanmayın, bu bir güç işlevidir. “Bu nasıl?” gibi sorularınız varsa. Derece nerede?”, “” konusunu hatırlayın!
   Evet, evet, kök de bir derecedir, yalnızca kesirlidir: .
   Yani bizim karekök- bu sadece göstergeli bir derecedir:
   .
   Yakın zamanda öğrenilen formülü kullanarak türevi arıyoruz:

   Bu noktada yine belirsizleşirse “” konusunu tekrarlayın!!! (derece hakkında negatif gösterge)

2. . Şimdi üs:

   Ve şimdi tanım üzerinden (henüz unuttunuz mu?):
   ;
   .
   Şimdi her zamanki gibi aşağıdakileri içeren terimi ihmal ediyoruz:
   .

3. . Önceki vakaların kombinasyonu: .

Trigonometrik fonksiyonlar.

Burada yüksek matematikten bir olguyu kullanacağız:

İfade ile.

Kanıtı enstitünün ilk yılında öğreneceksiniz (ve oraya ulaşmak için Birleşik Devlet Sınavını iyi bir şekilde geçmeniz gerekir). Şimdi bunu grafiksel olarak göstereceğim:

Fonksiyon mevcut olmadığında grafikteki noktanın kesildiğini görüyoruz. Ama değere ne kadar yakınsa fonksiyon da o kadar yakın demektir.

Ek olarak, bir hesap makinesi kullanarak bu kuralı kontrol edebilirsiniz. Evet, evet, utanmayın, bir hesap makinesi alın, henüz Birleşik Devlet Sınavında değiliz.

O halde deneyelim: ;

Hesap makinenizi Radyan moduna geçirmeyi unutmayın!

vesaire. Ne kadar az olursa o kadar çok olduğunu görüyoruz. daha yakın değer ile ilişki

a) Fonksiyonu düşünün. Her zamanki gibi, artışını bulalım:

Sinüs farkını çarpıma dönüştürelim. Bunu yapmak için şu formülü kullanıyoruz (“” konusunu hatırlayın): .

Şimdi türev:

Bir değişiklik yapalım: . O halde sonsuz küçük için aynı zamanda sonsuz küçüktür: . için ifade şu şekli alır:

Şimdi de bunu şu ifadeyle hatırlıyoruz. Ve ayrıca, toplamda sonsuz küçük bir miktar (yani, at) ihmal edilebilirse ne olur?

Yani anlıyoruz sonraki kural:sinüsün türevi kosinüse eşittir:

Bunlar temel (“tablo”) türevlerdir. İşte tek bir listedeler:

Daha sonra bunlara birkaç tane daha ekleyeceğiz, ancak bunlar en sık kullanıldıkları için en önemlileridir.

Pratik:

1. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun;
2. Fonksiyonun türevini bulun.

Çözümler:

1. Öncelikle türevini bulalım genel görünüm ve ardından değerini değiştirin:
   ;
   .
2. Burada buna benzer bir şeyimiz var güç fonksiyonu. Onu kendine getirmeye çalışalım
   normal görünümlü:
   .
   Harika, artık formülü kullanabilirsiniz:
   .
   .
3. . Eeeeee.....Bu nedir????

Tamam haklısın, bu tür türevleri nasıl bulacağımızı henüz bilmiyoruz. Burada çeşitli fonksiyon türlerinin bir kombinasyonu var. Onlarla çalışmak için birkaç kural daha öğrenmeniz gerekir:

Üs ve doğal logaritma.

Matematikte, herhangi biri için türevi aynı zamanda fonksiyonun değerine eşit olan bir fonksiyon vardır. Buna "üs" denir ve üstel bir fonksiyondur

Bu fonksiyonun temeli bir sabittir; sonsuzdur ondalık yani irrasyonel bir sayı (gibi). Buna “Euler sayısı” denir, bu nedenle harfle gösterilir.

Yani kural:

Hatırlanması çok kolay.

Neyse fazla uzağa gitmeyelim hemen bakalım ters fonksiyon. Hangi fonksiyonun tersi üstel fonksiyon? Logaritma:

Bizim durumumuzda taban sayıdır:

Böyle bir logaritma (yani tabanlı bir logaritma) "doğal" olarak adlandırılır ve bunun için özel bir gösterim kullanırız: onun yerine yazarız.

Neye eşittir? Elbette.

Doğal logaritmanın türevi de çok basittir:

Örnekler:

1. Fonksiyonun türevini bulun.
2. Fonksiyonun türevi nedir?

Cevaplar: Katılımcı ve doğal logaritma- fonksiyonlar türev açısından benzersiz derecede basittir. Başka herhangi bir tabana sahip üstel ve logaritmik fonksiyonların farklı bir türevi olacaktır ve bunu daha sonra analiz edeceğiz. hadi kuralları gözden geçirelim farklılaşma.

Farklılaşma kuralları

Neyin kuralları? Yine yeni bir dönem mi, yine mi?...

Farklılaşma türevi bulma işlemidir.

Hepsi bu. Bu sürece tek kelimeyle başka ne diyebilirsiniz? Türev değil... Matematikçiler diferansiyele bir fonksiyonun aynı artışı adını verirler. Bu terim Latince diferansiyelden gelir - farklılık. Burada.

Tüm bu kuralları türetirken iki işlevi kullanacağız, örneğin ve. Ayrıca artışları için formüllere de ihtiyacımız olacak:

Toplamda 5 kural bulunmaktadır.

Sabit türev işaretinden çıkarılır.

Eğer - bazı sabit sayı(sabit), o zaman.

Açıkçası, bu kural aynı zamanda şu fark için de işe yarar: .

Hadi kanıtlayalım. Bırakın ya da daha basit.

Örnekler.

Fonksiyonların türevlerini bulun:

1. bir noktada;
2. bir noktada;
3. bir noktada;
4. noktada.

Çözümler:

1. (türev her noktada aynıdır, çünkü bu doğrusal fonksiyon, Unutma?);

Ürünün türevi

Burada her şey benzer: hadi girelim yeni özellik ve artışını bulun:

Türev:

Örnekler:

1. Fonksiyonların türevlerini bulun ve;
2. Fonksiyonun bir noktadaki türevini bulun.

Çözümler:

Üstel bir fonksiyonun türevi

Artık bilginiz, yalnızca üstel sayıları değil, herhangi bir üstel fonksiyonun türevini nasıl bulacağınızı öğrenmek için yeterlidir (bunun ne olduğunu henüz unuttunuz mu?).

Peki, bazı sayılar nerede?

Fonksiyonun türevini zaten biliyoruz, o yüzden fonksiyonumuzu yeni bir temele taşımaya çalışalım:

Bunun için kullanacağız basit kural: . Daha sonra:

İşe yaradı. Şimdi türevi bulmaya çalışın ve bu fonksiyonun karmaşık olduğunu unutmayın.

İşe yaradı mı?

İşte, kendinizi kontrol edin:

Formülün üssün türevine çok benzediği ortaya çıktı: olduğu gibi aynı kalıyor, yalnızca bir sayı olan ancak değişken olmayan bir faktör ortaya çıktı.

Örnekler:
Fonksiyonların türevlerini bulun:

Cevaplar:

Bu sadece hesap makinesi olmadan hesaplanamayan, yani artık yazılamayan bir sayıdır. basit biçimde. Bu nedenle cevapta bu formda bırakıyoruz.

Logaritmik bir fonksiyonun türevi

Burada da durum benzer: Doğal logaritmanın türevini zaten biliyorsunuz:

Bu nedenle, farklı bir tabana sahip keyfi bir logaritma bulmak için, örneğin:

Bu logaritmayı tabana indirmemiz gerekiyor. Logaritmanın tabanını nasıl değiştirirsiniz? Umarım bu formülü hatırlarsınız:

Ancak şimdi onun yerine şunu yazacağız:

Payda basitçe bir sabittir (değişkeni olmayan sabit bir sayı). Türev çok basit bir şekilde elde edilir:

Üstel türevleri ve logaritmik fonksiyonlar Birleşik Devlet Sınavında neredeyse hiç görünmezler, ancak onları bilmekten zarar gelmez.

Karmaşık bir fonksiyonun türevi.

Ne oldu " karmaşık fonksiyon"? Hayır, bu bir logaritma değil, arktanjant da değil. Bu fonksiyonların anlaşılması zor olabilir (gerçi logaritmayı zor buluyorsanız, "Logaritmalar" konusunu okuyun ve sorun yaşamazsınız), ancak matematiksel açıdan "karmaşık" kelimesi "zor" anlamına gelmez.

Küçük bir taşıma bandı hayal edin: iki kişi oturuyor ve bazı nesnelerle bazı eylemler yapıyor. Örneğin, ilki bir çikolatayı bir ambalaj kağıdına sarar ve ikincisi onu bir kurdele ile bağlar. Sonuç, kompozit bir nesnedir: bir kurdele ile sarılmış ve bağlanmış bir çikolata çubuğu. Çikolata yemek için adımların tersini uygulamanız gerekir. ters sıra.

Benzer bir matematiksel işlem hattı oluşturalım: önce bir sayının kosinüsünü bulacağız, sonra da elde edilen sayının karesini alacağız. Yani bize bir sayı veriliyor (çikolata), ben onun kosinüsünü buluyorum (paketleyici) ve sonra elde ettiğimin karesini alıyorsunuz (bunu bir kurdele ile bağlıyorsunuz). Ne oldu? İşlev. Bu, karmaşık bir fonksiyonun bir örneğidir: değerini bulmak için, ilk eylemi doğrudan değişkenle gerçekleştirdiğimizde ve ardından ilk eylemin sonucuyla ikinci bir eylemi gerçekleştirdiğimizde.

Aynı adımları ters sırada da kolaylıkla yapabiliriz: önce bunun karesini alırsınız, sonra da ortaya çıkan sayının kosinüsünü ararım: . Sonucun neredeyse her zaman farklı olacağını tahmin etmek kolaydır. Önemli Özellik Karmaşık işlevler: Eylemlerin sırası değiştiğinde işlev de değişir.

Başka bir deyişle, karmaşık bir fonksiyon, argümanı başka bir fonksiyon olan bir fonksiyondur: .

İlk örnek için, .

İkinci örnek: (aynı şey). .

En son yaptığımız eylem çağrılacak "harici" işlev ve buna göre ilk gerçekleştirilen eylem "dahili" işlev(bunlar resmi olmayan isimlerdir, bunları yalnızca materyali basit bir dille açıklamak için kullanıyorum).

Hangi fonksiyonun harici ve hangisinin dahili olduğunu kendiniz belirlemeye çalışın:

Cevaplar:İç ve dış fonksiyonları ayırmak değişkenleri değiştirmeye çok benzer: örneğin bir fonksiyonda

1. İlk önce hangi eylemi gerçekleştireceğiz? İlk önce sinüsü hesaplayalım ve ancak ondan sonra küpünü alalım. Bu, bunun dahili bir fonksiyon olduğu, ancak harici bir fonksiyon olduğu anlamına gelir.
   Ve asıl işlev bunların bileşimidir: .
2. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
3. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
4. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .
5. Dahili: ; harici: .
   Muayene: .

Değişkenleri değiştirip bir fonksiyon elde ediyoruz.

Şimdi çikolatamızı çıkarıp türevini arayacağız. Prosedür her zaman tersidir: önce dış fonksiyonun türevini ararız, sonra sonucu iç fonksiyonun türeviyle çarparız. ile ilgili olarak orijinal örnekşuna benziyor:

Başka bir örnek:

O halde nihayet resmi kuralı formüle edelim:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

Basit görünüyor, değil mi?

Örneklerle kontrol edelim:

Çözümler:

1) Dahili: ;

Harici: ;

2) Dahili: ;

(şimdiye kadar kesmeye çalışmayın! Kosinüsün altından hiçbir şey çıkmaz, hatırladınız mı?)

3) Dahili: ;

Harici: ;

Bunun üç seviyeli karmaşık bir işlev olduğu hemen anlaşılıyor: sonuçta, bu zaten kendi içinde karmaşık bir işlev ve biz de ondan kökü çıkarıyoruz, yani üçüncü eylemi gerçekleştiriyoruz (çikolatayı bir ambalaja koyun) ve evrak çantasında bir kurdeleyle). Ancak korkmanıza gerek yok: Bu işlevi yine de her zamanki gibi aynı sırayla "paketinden çıkaracağız": sondan itibaren.

Yani, önce kökü, sonra kosinüsü ve ancak o zaman parantez içindeki ifadeyi farklılaştırıyoruz. Daha sonra hepsini çarpıyoruz.

Bu gibi durumlarda eylemlerin numaralandırılması uygundur. Yani, bildiklerimizi hayal edelim. Bu ifadenin değerini hesaplamak için işlemleri hangi sırayla gerçekleştireceğiz? Bir örneğe bakalım:

Eylem ne kadar geç gerçekleştirilirse, o kadar “harici” olacaktır. karşılık gelen fonksiyon. Eylem sırası öncekiyle aynıdır:

Burada yuvalama genellikle 4 seviyelidir. Hareket tarzını belirleyelim.

1. Radikal ifade. .

2. Kök. .

3. Sinüs. .

4. Kare. .

5. Hepsini bir araya getirmek:

TÜREV. ANA ŞEYLER HAKKINDA KISACA

Bir fonksiyonun türevi- argümanın sonsuz küçük bir artışı için fonksiyonun artışının argümanın artışına oranı:

Temel türevler:

Farklılaşma kuralları:

Sabit türev işaretinden çıkarılır:

Toplamın türevi:

Ürünün türevi:

Bölümün türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevi:

Karmaşık bir fonksiyonun türevini bulma algoritması:

1. “İç” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
2. “Harici” fonksiyonu tanımlayıp türevini buluyoruz.
3. Birinci ve ikinci noktaların sonuçlarını çarpıyoruz.