સમય વિરુદ્ધ મુસાફરીના માર્ગનો ગ્રાફ. સમાન રેખીય ગતિ

આલેખનનો ઉપયોગ એક જથ્થા પર બીજા પર નિર્ભરતા બતાવવા માટે થાય છે. આ કિસ્સામાં, એક જથ્થામાં ફેરફાર એક અક્ષ પર પ્લોટ કરવામાં આવે છે, અને અન્ય જથ્થામાં ફેરફાર અન્ય અક્ષ પર પ્લોટ કરવામાં આવે છે. રેક્ટીલીનિયર યુનિફોર્મ ગતિમાં, શરીરની ગતિ સતત રહે છે, ફક્ત સમય અને મુસાફરી કરેલ અંતર, જે તેના પર નિર્ભર છે, બદલાય છે. તેથી, આવી ચળવળ માટે સૌથી વધુ રસ એ સમયસર માર્ગની અવલંબનને પ્રતિબિંબિત કરતો ગ્રાફ છે.

જ્યારે કોઈ એક અક્ષ પર આવો ગ્રાફ બનાવવો સંકલન વિમાનસમય (t) માં ફેરફાર નોંધવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 1s, 2s, 3s, વગેરે. આને x-અક્ષ રહેવા દો. બીજી ધરી પર (માં આ કિસ્સામાં y) મુસાફરી કરેલ અંતરમાં ફેરફાર નોંધવામાં આવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, 10m, 20m, 30m, વગેરે.

સંકલન પ્રણાલીના મૂળને ગતિના મૂળ તરીકે લેવામાં આવે છે. આ તે પ્રારંભિક બિંદુ છે કે જ્યાં સમયનો સમયગાળો ખસેડવામાં પસાર થાય છે શૂન્ય બરાબર, અને મુસાફરી કરેલ અંતર પણ શૂન્ય છે. સમય ગ્રાફ વિરુદ્ધ પાથ પરનો આ પ્રથમ બિંદુ છે.

આગળ, ગ્રાફનો બીજો બિંદુ કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર જોવા મળે છે. આ કરવા માટે, આપેલ સમય માટે, આ સમય દરમિયાન માર્ગની મુસાફરી કરવામાં આવે છે. જો શરીરની ગતિ 30 m/s છે, તો તે કોઓર્ડિનેટ્સ (1; 30) અથવા (2; 60) અને તેથી વધુ સાથે એક બિંદુ હોઈ શકે છે.

બીજા બિંદુને ચિહ્નિત કર્યા પછી, બે બિંદુઓ દ્વારા એક કિરણ દોરો (પ્રથમ મૂળ છે). કિરણનું મૂળ કોઓર્ડિનેટ્સનું મૂળ છે. આ કિરણ એ રેક્ટીલીનિયર સમાન ગતિ માટેના સમય વિરુદ્ધ પાથનો ગ્રાફ છે. બીમનો કોઈ અંત નથી, જેનો અર્થ છે કે પાથ પર જેટલો લાંબો સમય વિતાવવામાં આવે છે, તેટલું લાંબું અંતર મુસાફરી કરે છે.

સામાન્ય રીતે, તેઓ કહે છે કે સમય વિરુદ્ધ પાથનો ગ્રાફ એ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે.

સાબિત કરવા માટે કે ગ્રાફ એક સીધી રેખા છે, અને, ચાલો કહીએ, નહીં તૂટેલી લાઇન, તમે કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર બિંદુઓની શ્રેણી બનાવી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, જો ઝડપ 5 કિમી/કલાક હોય, તો કોઓર્ડિનેટ પ્લેન પર પોઈન્ટ (1; 5), (2; 10), (3; 15), (4; 20) ચિહ્નિત કરી શકાય છે. પછી તેમને એકબીજા સાથે શ્રેણીમાં જોડો. તમે જોશો કે તે સીધું હશે.

શરીરની ગતિ જેટલી વધારે છે, તેટલી ઝડપે મુસાફરી કરેલ અંતર વધે છે. જો સમાન સંકલન પ્લેન પર આપણે બે શરીરો માટે સમયસર પાથની અવલંબન દોરીએ છીએ વિવિધ ઝડપે, પછી શરીરનો ગ્રાફ જે ઝડપથી આગળ વધે છે તે હશે મોટો કોણસમય અક્ષની સકારાત્મક દિશા સાથે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો એક શરીર 10 કિમી/કલાકની ઝડપે આગળ વધે છે, અને બીજું - 20 કિમી/કલાક, તો પછી સંકલન પ્લેન પર તમે એક શરીર માટે પોઈન્ટ (1; 10) અને (1; 20) માટે ચિહ્નિત કરી શકો છો. અન્ય તે સ્પષ્ટ છે કે બીજો બિંદુ સમય અક્ષથી આગળ છે, અને તેના દ્વારા સીધી રેખા પ્રથમ શરીર માટે ચિહ્નિત બિંદુ દ્વારા સીધી રેખા કરતા મોટો કોણ બનાવે છે.

રેક્ટીલીનિયર યુનિફોર્મ ગતિ માટેના સમય વિરુદ્ધ પાથના ગ્રાફનો ઉપયોગ ઝડપથી પસાર થયેલા સમયને શોધવા માટે કરી શકાય છે જાણીતું મૂલ્યપ્રવાસ કરેલ માર્ગ અથવા જાણીતા સમય પરનો માર્ગ. આ કરવા માટે, તમારે મૂલ્યમાંથી લંબ રેખા દોરવાની જરૂર છે સંકલન અક્ષ, જે ગ્રાફ સાથે છેદતા પહેલા જાણીતું છે. આગળ, પરિણામી આંતરછેદ બિંદુથી, અન્ય અક્ષ પર લંબ દોરો, ત્યાંથી ઇચ્છિત મૂલ્ય મેળવો.

સમય વિરુદ્ધ પાથના આલેખ ઉપરાંત, તમે પાથ વિરુદ્ધ ઝડપ અને ઝડપ વિરુદ્ધ સમયના ગ્રાફનું પ્લોટ બનાવી શકો છો. જો કે, રેક્ટીલીનિયર યુનિફોર્મ ગતિમાં ગતિ સ્થિર હોવાથી, આ આલેખ પાથ અથવા સમયની અક્ષની સમાંતર સીધી રેખાઓ છે અને જાહેર કરેલ ગતિના સ્તરે પસાર થાય છે.

સૂચનાઓ

ફંક્શન f(x) = |x| ધ્યાનમાં લો. શરૂ કરવા માટે, આ એક સહી વિનાનું મોડ્યુલસ છે, એટલે કે, ફંક્શન g(x) = x નો ગ્રાફ. આ આલેખ મૂળમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે અને આ સીધી રેખા અને x-અક્ષની હકારાત્મક દિશા વચ્ચેનો કોણ 45 ડિગ્રી છે.

મોડ્યુલસ બિન-નકારાત્મક જથ્થો હોવાથી, એબ્સીસા અક્ષની નીચેનો ભાગ તેની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબિત હોવો જોઈએ. ફંક્શન g(x) = x માટે, આપણે શોધીએ છીએ કે આવા મેપિંગ પછીનો ગ્રાફ V. આ જેવો દેખાશે નવું શેડ્યૂલઅને ફંકશનનું ગ્રાફિકલ અર્થઘટન હશે f(x) = |x|.

વિષય પર વિડિઓ

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો

ફંક્શનના મોડ્યુલસનો ગ્રાફ ક્યારેય 3જી અને 4થા ક્વાર્ટરમાં રહેશે નહીં, કારણ કે મોડ્યુલસ નકારાત્મક મૂલ્યો લઈ શકતું નથી.

ઉપયોગી સલાહ

જો ફંક્શનમાં ઘણા મોડ્યુલો હોય, તો તેને ક્રમિક રીતે વિસ્તૃત કરવાની જરૂર છે અને પછી એકબીજાની ટોચ પર સ્ટેક કરવાની જરૂર છે. પરિણામ ઇચ્છિત ગ્રાફ હશે.

સ્ત્રોતો:

મોડ્યુલો સાથે ફંક્શનનો ગ્રાફ કેવી રીતે બનાવવો

ગતિશાસ્ત્રની સમસ્યાઓ જેમાં તમારે ગણતરી કરવાની જરૂર છે ઝડપ, સમયઅથવા એકસરખા અને સચોટ રીતે ફરતા શરીરનો માર્ગ જે અંદર મળે છે શાળા અભ્યાસક્રમબીજગણિત અને ભૌતિકશાસ્ત્ર. તેમને હલ કરવા માટે, સમાન કરી શકાય તેવા શરત જથ્થામાં શોધો. જો સ્થિતિને વ્યાખ્યાયિત કરવાની જરૂર હોય સમયજાણીતી ઝડપે, નીચેની સૂચનાઓનો ઉપયોગ કરો.

તમને જરૂર પડશે

- પેન;
- નોંધો માટે કાગળ.

સૂચનાઓ

સૌથી સરળ કેસ એ આપેલ ગણવેશ સાથે એક શરીરની હિલચાલ છે ઝડપયુ. શરીરે કેટલું અંતર કાપ્યું છે તે જાણી શકાય છે. રસ્તામાં શોધો: t = S/v, કલાક, જ્યાં S એ અંતર છે, v એ સરેરાશ છે ઝડપસંસ્થાઓ

બીજો ચાલુ છે આગામી ટ્રાફિકટેલ એક કાર બિંદુ A થી બિંદુ B તરફ આગળ વધે છે ઝડપ 50 કિમી/કલાક. એક મોપેડ સાથે એ ઝડપ 30 કિમી/કલાક. બિંદુ A અને B વચ્ચેનું અંતર 100 કિમી છે. શોધવાની જરૂર છે સમયજેના દ્વારા તેઓ મળશે.

મીટિંગ પોઈન્ટ K ને લેબલ કરો. કારનું અંતર AK x કિમી થવા દો. પછી મોટરસાયકલ ચાલકનો રસ્તો 100 કિમીનો હશે. સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓમાંથી તે તેને અનુસરે છે સમયરસ્તા પર, એક કાર અને મોપેડ સમાન અનુભવ ધરાવે છે. સમીકરણ બનાવો: x/v = (S-x)/v’, જ્યાં v, v’ – અને મોપેડ. ડેટાને બદલીને, સમીકરણ ઉકેલો: x = 62.5 km. હવે સમય: t = 62.5/50 = 1.25 કલાક અથવા 1 કલાક 15 મિનિટ.

પાછલા સમીકરણ જેવું જ એક સમીકરણ બનાવો. પરંતુ આ કિસ્સામાં સમયમોપેડનો મુસાફરીનો સમય કાર કરતા 20 મિનિટ વધુ ઝડપી હશે. ભાગોને સમાન કરવા માટે, અભિવ્યક્તિની જમણી બાજુથી એક કલાકનો ત્રીજો ભાગ બાદ કરો: x/v = (S-x)/v’-1/3. x – 56.25 શોધો. ગણતરી કરો સમય: t = 56.25/50 = 1.125 કલાક અથવા 1 કલાક 7 મિનિટ 30 સેકન્ડ.

ચોથું ઉદાહરણ એક દિશામાં શરીરની હિલચાલ સાથે સંકળાયેલી સમસ્યા છે. એક કાર અને મોપેડ એ જ ગતિએ પોઈન્ટ A થી આગળ વધી રહ્યા છે તે જાણીતું છે કે કાર અડધા કલાક પછી નીકળી હતી. શું પછી સમયશું તે મોપેડ પકડી લેશે?

આ કિસ્સામાં, વાહનો દ્વારા મુસાફરી કરવામાં આવેલ અંતર સમાન હશે. દો સમયકાર x કલાકની મુસાફરી કરશે, પછી સમયમોપેડની મુસાફરી x+0.5 કલાકની હશે. તમારી પાસે સમીકરણ છે: vx = v’(x+0.5). અવેજી દ્વારા સમીકરણ ઉકેલો અને x – 0.75 કલાક અથવા 45 મિનિટ શોધો.

પાંચમું ઉદાહરણ - એક કાર અને મોપેડ એ જ દિશામાં સમાન ગતિએ આગળ વધી રહ્યા છે, પરંતુ મોપેડ ડાબી બિંદુ B, બિંદુ A થી 10 કિમી દૂર સ્થિત છે, અડધા કલાક પહેલા. શું પછી ગણતરી સમયસ્ટાર્ટ થયા પછી, કાર મોપેડ સાથે પકડશે.

કાર દ્વારા અંતર 10 કિમી વધુ છે. આ તફાવતને મોટરસાયકલ સવારના પાથમાં ઉમેરો અને અભિવ્યક્તિના ભાગોને સમાન કરો: vx = v’(x+0.5)-10. ઝડપના મૂલ્યોને બદલીને અને તેને હલ કરવાથી, તમને મળશે: t = 1.25 કલાક અથવા 1 કલાક 15 મિનિટ.

સ્ત્રોતો:

ટાઈમ મશીનની ઝડપ કેટલી છે

સૂચનાઓ

પાથના એક વિભાગ સાથે એકસરખી રીતે ફરતા શરીરની સરેરાશની ગણતરી કરો. આવા ઝડપગણતરી કરવા માટે સૌથી સરળ છે, કારણ કે તે સમગ્ર સેગમેન્ટમાં બદલાતું નથી ચળવળઅને સરેરાશની બરાબર છે. આ ફોર્મમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે: Vрд = Vср, જ્યાં Vрд – ઝડપયુનિફોર્મ ચળવળ, અને વાવ - સરેરાશ ઝડપ.

સરેરાશની ગણતરી કરો ઝડપસમાનરૂપે ધીમી (સમાન રીતે પ્રવેગક) ચળવળઆ ક્ષેત્રમાં, જેના માટે પ્રારંભિક અને અંતિમ ઉમેરવા જરૂરી છે ઝડપ. પરિણામને બે વડે વિભાજીત કરો, જે સરેરાશ છે ઝડપયુ. આને સૂત્ર તરીકે વધુ સ્પષ્ટ રીતે લખી શકાય છે: Vср = (Vн + Vк)/2, જ્યાં Vн રજૂ કરે છે

« ભૌતિકશાસ્ત્ર - 10મું ધોરણ"

તે કેવી રીતે અલગ છે? સમાન ગતિએકસરખી ત્વરિત થી?
રૂટ શેડ્યૂલ કેવી રીતે અલગ છે? સમાન રીતે ઝડપી ગતિસમાન ગતિ માટે પાથ ગ્રાફમાંથી?
કોઈપણ ધરી પર વેક્ટરનું પ્રક્ષેપણ શું છે?

એકસમાન રેક્ટીલીનિયર ગતિના કિસ્સામાં, તમે સમય વિરુદ્ધ કોઓર્ડિનેટ્સના ગ્રાફ પરથી ઝડપ નક્કી કરી શકો છો.

વેગ પ્રક્ષેપણ સંખ્યાત્મક રીતે સીધી રેખા x(t) ના એબ્સીસા અક્ષ તરફના ઝોકના કોણના સ્પર્શક સમાન છે. તદુપરાંત, ઝડપ જેટલી વધારે છે, તેટલો ઝોકનો કોણ વધારે છે.

રેક્ટિલિનિયર એકસરખી ત્વરિત ગતિ.

આકૃતિ 1.33 સમય વિરુદ્ધ પ્રવેગકના પ્રક્ષેપણના આલેખ બતાવે છે ત્રણ અલગબિંદુની સરખી રીતે પ્રવેગિત ગતિ માટેના પ્રવેગક મૂલ્યો. તે એબ્સીસા અક્ષની સમાંતર સીધી રેખાઓ છે: a x = const. આલેખ 1 અને 2 ચળવળને અનુરૂપ છે જ્યારે પ્રવેગક વેક્ટર OX અક્ષ સાથે નિર્દેશિત થાય છે, ગ્રાફ 3 - જ્યારે પ્રવેગક વેક્ટર OX અક્ષની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્દેશિત થાય છે.

એકસરખી પ્રવેગક ગતિ સાથે, વેગ પ્રક્ષેપણ રેખીય રીતે સમય પર આધાર રાખે છે: υ x = υ 0x + a x t. આકૃતિ 1.34 દર્શાવેલ માટે આ નિર્ભરતાના આલેખ બતાવે છે ત્રણ કેસ. આ કિસ્સામાં, બિંદુની પ્રારંભિક ગતિ સમાન છે. ચાલો આ ગ્રાફનું વિશ્લેષણ કરીએ.

પ્રવેગકનું પ્રક્ષેપણ ગ્રાફ પરથી સ્પષ્ટ છે કે, કરતાં વધુ પ્રવેગકબિંદુઓ, ટી અક્ષ તરફ સીધી રેખાના ઝોકનો કોણ જેટલો મોટો છે અને તે મુજબ, ઝોકના કોણની સ્પર્શક વધારે છે, જે પ્રવેગનું મૂલ્ય નક્કી કરે છે.

સમાન સમયગાળા દરમિયાન, વિવિધ પ્રવેગ સાથે, ઝડપ વિવિધ મૂલ્યોમાં બદલાય છે.

મુ હકારાત્મક મૂલ્યસમાન સમયગાળા દરમિયાન પ્રવેગનું પ્રક્ષેપણ, કેસ 2 માં વેગનું પ્રક્ષેપણ કેસ 1 કરતા 2 ગણું વધુ ઝડપથી વધે છે. જ્યારે નકારાત્મક મૂલ્ય OX અક્ષ પર પ્રવેગક પ્રક્ષેપણ, વેગ પ્રક્ષેપણ મોડ્યુલો કેસ 1 ના સમાન મૂલ્યમાં બદલાય છે, પરંતુ ઝડપ ઘટે છે.

કેસ 1 અને 3 માટે, વેગ મોડ્યુલસના ગ્રાફ વિરુદ્ધ સમય સમાન હશે (ફિગ. 1.35).

સમય વિરુદ્ધ ઝડપના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને (આકૃતિ 1.36), આપણે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સમાં ફેરફાર શોધીએ છીએ. આ ફેરફાર આંકડાકીય રીતે છાંયેલા ટ્રેપેઝોઇડના વિસ્તારની બરાબર છે, આ કિસ્સામાં 4 s Δx = 16 m માં સંકલનમાં ફેરફાર.

અમને કોઓર્ડિનેટ્સમાં ફેરફાર જોવા મળ્યો. જો તમારે કોઈ બિંદુનું સંકલન શોધવાની જરૂર હોય, તો તમારે તેને મળેલી સંખ્યામાં ઉમેરવાની જરૂર છે પ્રારંભિક મૂલ્ય. અંદર આવવા દો પ્રારંભિક ક્ષણસમય x 0 = 2 m, પછી બિંદુના સંકલનનું મૂલ્ય આ ક્ષણે 4 સે ની બરાબર સમય 18 મીટર છે આ કિસ્સામાં, વિસ્થાપન મોડ્યુલ પાથ સમાનબિંદુ દ્વારા પસાર થાય છે, અથવા તેના કોઓર્ડિનેટ્સમાં ફેરફાર, એટલે કે 16 મી.

જો ચળવળ એકસરખી રીતે ધીમી હોય, તો પછી પસંદ કરેલ સમય અંતરાલ દરમિયાન બિંદુ અટકી શકે છે અને પ્રારંભિક એકની વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધવાનું શરૂ કરી શકે છે. આકૃતિ 1.37 આવી હિલચાલ માટે સમયસર વેગ પ્રક્ષેપણની અવલંબન દર્શાવે છે. આપણે જોઈએ છીએ કે 2 સેકન્ડની બરાબર સમયે, વેગની દિશા બદલાય છે. કોઓર્ડિનેટમાં ફેરફાર આંકડાકીય રીતે સમાન હશે બીજગણિત રકમછાયાવાળા ત્રિકોણના વિસ્તારો.

આ વિસ્તારોની ગણતરી કરીને, આપણે જોઈએ છીએ કે સંકલનમાં ફેરફાર -6 મીટર છે, જેનો અર્થ છે કે OX અક્ષની વિરુદ્ધ દિશામાં, બિંદુ પસાર થાય છે. લાંબું અંતરઆ ધરીની દિશામાં કરતાં.

ચોરસ ઉપરઆપણે વત્તા ચિહ્ન અને વિસ્તાર સાથે ટી અક્ષ લઈએ છીએ હેઠળટી અક્ષ, જ્યાં વેગ પ્રક્ષેપણ નકારાત્મક છે, ઓછા ચિહ્ન સાથે.

જો સમયની પ્રારંભિક ક્ષણે કોઈ ચોક્કસ બિંદુની ગતિ 2 m/s જેટલી હોય, તો 6 સેકંડની ક્ષણે તેનું સંકલન આ કિસ્સામાં બિંદુના વિસ્થાપનના મોડ્યુલસની બરાબર છે 6 મીટરની બરાબર છે - કોઓર્ડિનેટ્સમાં ફેરફારનું મોડ્યુલસ. જો કે, આ બિંદુથી પ્રવાસ કરેલ માર્ગ 10 મીટર જેટલો છે - આકૃતિ 1.38 માં બતાવેલ છાંયેલા ત્રિકોણના ક્ષેત્રોનો સરવાળો.

ચાલો સમયસર બિંદુના x કોઓર્ડિનેટની અવલંબનનું કાવતરું કરીએ. એક સૂત્ર (1.14) મુજબ, સમય વિરુદ્ધ સંકલનનો વળાંક - x(t) - એક પેરાબોલા છે.

જો બિંદુ ઝડપે આગળ વધે છે, જેનો આલેખ વિરૂદ્ધ સમય આકૃતિ 1.36 માં દર્શાવેલ છે, તો પેરાબોલાની શાખાઓ x > 0 (આકૃતિ 1.39) થી ઉપર તરફ નિર્દેશિત થાય છે. આ આલેખ પરથી આપણે બિંદુનું સંકલન, તેમજ કોઈપણ સમયે ઝડપ નક્કી કરી શકીએ છીએ. તેથી, 4 સેકન્ડના બરાબર સમયે, બિંદુનું સંકલન 18 મીટર છે.

સમયની પ્રારંભિક ક્ષણ માટે, બિંદુ A પર વળાંક તરફ સ્પર્શક દોરવાથી, અમે α 1 ના ઝોકના કોણની સ્પર્શક નક્કી કરીએ છીએ, જે સંખ્યાત્મક રીતે પ્રારંભિક ઝડપની બરાબર છે, એટલે કે 2 m/s.

બિંદુ B પર ઝડપ નક્કી કરવા માટે, આ બિંદુએ પેરાબોલાને સ્પર્શક દોરો અને કોણ α 2 ની સ્પર્શક નક્કી કરો. તે 6 ની બરાબર છે, તેથી ઝડપ 6 m/s છે.

સમય વિરુદ્ધ પાથનો ગ્રાફ સમાન પેરાબોલા છે, પરંતુ મૂળમાંથી દોરવામાં આવ્યો છે (ફિગ. 1.40). આપણે જોઈએ છીએ કે સમય જતાં માર્ગ સતત વધે છે, ચળવળ એક દિશામાં થાય છે.

જો બિંદુ ઝડપે આગળ વધે છે, તો પ્રક્ષેપણનો ગ્રાફ જેની વિરુદ્ધ સમય આકૃતિ 1.37 માં દર્શાવેલ છે, તો પછી પેરાબોલાની શાખાઓ નીચે તરફ નિર્દેશિત થાય છે, કારણ કે x< 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.

સમય t = 2 s ની ક્ષણથી શરૂ કરીને, ઝોકના કોણની સ્પર્શક નકારાત્મક બને છે, અને તેનું મોડ્યુલ વધે છે, આનો અર્થ એ છે કે બિંદુ પ્રારંભિક એકની વિરુદ્ધ દિશામાં આગળ વધે છે, જ્યારે ચળવળની ગતિનું મોડ્યુલ વધે છે.

ડિસ્પ્લેસમેન્ટ મોડ્યુલ સમયની અંતિમ અને પ્રારંભિક ક્ષણો પર બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સ વચ્ચેના તફાવતના મોડ્યુલ જેટલું છે અને 6 મીટર જેટલું છે.

આકૃતિ 1.42 માં દર્શાવવામાં આવેલ સમય વિરુદ્ધ બિંદુ દ્વારા મુસાફરી કરેલ અંતરનો ગ્રાફ સમય વિરુદ્ધ વિસ્થાપનના ગ્રાફથી અલગ છે (જુઓ આકૃતિ 1.41).

ગતિની દિશાને ધ્યાનમાં લીધા વિના, બિંદુ દ્વારા મુસાફરી કરેલ માર્ગ સતત વધે છે.

ચાલો વેગ પ્રક્ષેપણ પર બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબન મેળવીએ. ઝડપ υx = υ 0x + a x t, તેથી

x 0 = 0 અને x > 0 અને υ x > υ 0x ના કિસ્સામાં, કોઓર્ડિનેટ વિરુદ્ધ ઝડપનો આલેખ એ પેરાબોલા છે (ફિગ. 1.43).

આ કિસ્સામાં, પ્રવેગક વધારે હશે, પેરાબોલાની શાખા ઓછી ઢાળવાળી હશે. આ સમજાવવું સરળ છે, કારણ કે જેટલો પ્રવેગ વધારે છે, ઓછા પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતી વખતે જેટલી ઝડપ વધે છે તેટલી જ ઝડપ વધારવા માટે બિંદુએ જેટલું ઓછું અંતર કાપવું જોઈએ.

કિસ્સામાં એક્સ< 0 и υ 0x >0 વેગ પ્રક્ષેપણ ઘટશે. ચાલો સમીકરણ (1.17)ને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ જ્યાં a = |a x |. આ સંબંધનો આલેખ નીચે તરફ નિર્દેશિત શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા છે (ફિગ. 1.44).

ગતિશીલ ચળવળ.

સમય વિરુદ્ધ વેગ પ્રક્ષેપણના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, તમે કોઈપણ પ્રકારની હિલચાલ માટે કોઈપણ સમયે બિંદુના સંકલન અને પ્રવેગક પ્રક્ષેપણને નિર્ધારિત કરી શકો છો.

આકૃતિ 1.45 માં બતાવ્યા પ્રમાણે બિંદુના વેગના પ્રક્ષેપણને સમય પર આધાર રાખવા દો. તે સ્પષ્ટ છે કે 0 થી t 3 ના સમયના અંતરાલમાં X અક્ષ સાથે બિંદુની હિલચાલ ચલ પ્રવેગ સાથે થઈ હતી. ટી 3 ની બરાબર સમયની ક્ષણથી શરૂ કરીને, ચળવળ એકસમાન છે સતત ગતિυ Dx. આલેખ મુજબ, આપણે જોઈએ છીએ કે જે પ્રવેગ સાથે બિંદુ ખસેડ્યું તે સતત ઘટી રહ્યું હતું (બિંદુ B અને C પર સ્પર્શકના ઝોકના કોણની તુલના કરો).

સમય t 1 દરમિયાન બિંદુના x કોઓર્ડિનેટમાં ફેરફાર સંખ્યાત્મક રીતે વિસ્તારની બરાબર છે વક્ર ટ્રેપેઝોઇડ OABt 1, સમય t 2 માટે - વિસ્તાર OACt 2, વગેરે. જેમ આપણે સમય વિરુદ્ધ વેગ પ્રક્ષેપણના ગ્રાફ પરથી જોઈ શકીએ છીએ, તમે કોઈપણ સમયગાળા દરમિયાન શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સમાં ફેરફાર નક્કી કરી શકો છો.

સમય વિરુદ્ધ કોઓર્ડિનેટ્સના ગ્રાફ પરથી, તમે સમયના આપેલ બિંદુને અનુરૂપ બિંદુ પર વક્રના સ્પર્શકની સ્પર્શકની ગણતરી કરીને સમયના કોઈપણ બિંદુએ ઝડપનું મૂલ્ય નક્કી કરી શકો છો. આકૃતિ 1.46 થી તે અનુસરે છે કે t 1 સમયે વેગ પ્રક્ષેપણ હકારાત્મક છે. t 2 થી t 3 ના સમય અંતરાલમાં, ઝડપ શૂન્ય છે, શરીર ગતિહીન છે. t 4 સમયે ઝડપ પણ શૂન્ય છે (બિંદુ D પર વળાંકની સ્પર્શક x-અક્ષની સમાંતર છે). પછી વેગ પ્રક્ષેપણ નકારાત્મક બને છે, બિંદુની ગતિની દિશા વિરુદ્ધમાં બદલાય છે.

જો સમય વિરુદ્ધ વેગ પ્રક્ષેપણનો ગ્રાફ જાણીતો હોય, તો તમે બિંદુના પ્રવેગને નિર્ધારિત કરી શકો છો, અને પ્રારંભિક સ્થિતિને જાણીને, કોઈપણ સમયે શરીરના સંકલનને નિર્ધારિત કરી શકો છો, એટલે કે, ગતિશાસ્ત્રની મુખ્ય સમસ્યાને હલ કરો. સમય વિરુદ્ધ કોઓર્ડિનેટ્સના ગ્રાફ પરથી, કોઈ એક સૌથી મહત્વપૂર્ણ નક્કી કરી શકે છે ગતિશીલ લાક્ષણિકતાઓચળવળ - ઝડપ. વધુમાં, સૂચવેલ ગ્રાફ્સમાંથી તમે પસંદ કરેલ અક્ષ સાથે ચળવળનો પ્રકાર નક્કી કરી શકો છો: સમાન, સાથે સતત પ્રવેગકઅથવા ચલ પ્રવેગક સાથે ચળવળ.

3. આકૃતિ 4.6 ને ધ્યાનમાં લો.
a) ગ્રાફ પરના કયા બિંદુઓ પર સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ સૌથી મોટો છે?

ત્વરિત અને સરેરાશ ઝડપ

ઓછામાં ઓછું?

2. સરેરાશ ઝડપ

vav = l/t. (1)

5. શોધો:

c) શાશાની સરેરાશ ઝડપ.

6. શોધો:

b) શાશાની સરેરાશ ઝડપ.

વિશ્લેષણ પ્રેક્ટિસ ટેસ્ટભૌતિકશાસ્ત્રમાં ઇન્ટરનેટ ઓલિમ્પિયાડ 2008/2009

11મા ધોરણ. ગતિશાસ્ત્ર

પ્રશ્ન નંબર 1

આકૃતિમાં પ્રસ્તુત ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, ચળવળની શરૂઆત પછી ત્રણ સેકન્ડ પછી સાયકલ સવારની ઝડપ નક્કી કરો.

ઉકેલ.

આકૃતિ સમય વિરુદ્ધ પાથનો ગ્રાફ બતાવે છે. આલેખ એક સીધી રેખા છે, જેનો અર્થ છે કે સાઇકલ સવાર એકસરખી રીતે આગળ વધે છે. ચાલો આલેખ પરથી નક્કી કરીએ કે સાઇકલ સવાર દ્વારા નિશ્ચિત સમયગાળામાં કવર કરવામાં આવેલ અંતર. ઉદાહરણ તરીકે, 3 સેકન્ડમાં સાઇકલ સવારની ઝડપ V = L/t = 9/3 = 3 m/s છે.

પ્રશ્ન નંબર 2

રાહદારી અને સાયકલ સવાર એક જ સમયે એકબીજા તરફ આગળ વધવા લાગ્યા. તેમની ઝડપ અનુક્રમે V1 = અને V2 = ની બરાબર છે. જો તેમની વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર L = હોય તો મીટિંગ સુધી હિલચાલનો સમય નક્કી કરો.

ઉકેલ.

ચાલો રાહદારી સંદર્ભ ફ્રેમ V12 = V1 + V2 = 6 + 30 = 36 km/h = 10 m/s માં સાઇકલ સવારની ઝડપ નક્કી કરીએ. તેથી, રાહદારી અને સાયકલ સવાર 10 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે એકબીજાની નજીક આવે છે, પછી તેઓ મળે ત્યાં સુધી તેમનો મુસાફરીનો સમય t = L/V12 = 700/10 = 70 s છે.

પ્રશ્ન નંબર 3

કાર 5 સે. માટે 15 મીટર/સેકન્ડની ઝડપે આગળ વધી રહી હતી. આ સમય દરમિયાન તેણે કેટલી મુસાફરી કરી?

ઉકેલ.

કાર એકસરખી રીતે આગળ વધી, તેથી મુસાફરી કરેલ અંતર L = Vt = 155 = 75 મીટર છે.

પ્રશ્ન નંબર 4

ઊભી રીતે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલો બોલ તેની મૂળ સ્થિતિમાં પાછો ફરે છે. આકૃતિ તેની ઝડપ વિરુદ્ધ સમયનો ગ્રાફ બતાવે છે. બોલ કયા સમયે પહોંચ્યો મહત્તમ ઊંચાઈ?

ઉકેલ.

આ ક્ષણે જ્યારે બોલ તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે, ત્યારે તેની ઝડપ શૂન્ય છે. આકૃતિમાં પ્રસ્તુત ગ્રાફ અનુસાર, અમે નક્કી કરીએ છીએ કે બોલની ઝડપ t = 2 s સમયે શૂન્ય છે.

પ્રશ્ન નંબર 5

ઉપરોક્તમાંથી કયો જથ્થો વેક્ટર જથ્થો છે?

(બધી વેક્ટર જથ્થાને ટિક કરો)

ઉકેલ.

આ જથ્થાઓમાંથી, વેગ, પ્રવેગ અને વિસ્થાપન એ વેક્ટર જથ્થા છે. પાથ એ સ્કેલર જથ્થો છે.

પ્રશ્ન નંબર 6

રમતવીર સ્ટેડિયમ ટ્રેક સાથે 400 મીટરનું અંતર દોડ્યો અને પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછો ફર્યો. એથ્લેટ દ્વારા મુસાફરી કરેલ પાથ L અને તેની હિલચાલ Sનું મોડ્યુલ નક્કી કરો.

ઉકેલ.

રમતવીર દ્વારા મુસાફરી કરવામાં આવેલ અંતર L = 400 મીટર છે ડિસ્પ્લેસમેન્ટ મોડ્યુલ S = 0 છે, કારણ કે એથ્લેટ તે સ્થાને પાછો ફર્યો જ્યાંથી તેણે આગળ વધવાનું શરૂ કર્યું.

પ્રશ્ન નંબર 7

આકૃતિમાં બતાવ્યા પ્રમાણે બિંદુ 1 થી બિંદુ 2 તરફ ખસેડતી વખતે શરીરની સીધી અને એકસરખી રીતે ગતિશીલ ગતિ બદલાઈ જાય છે. પાથના આ વિભાગ પર પ્રવેગક વેક્ટર કઈ દિશા ધરાવે છે?

ઉકેલ.

તે આકૃતિ પરથી જોઈ શકાય છે કે શરીરના વેગનું મોડ્યુલસ જેમ જેમ તે આગળ વધે છે તેમ ઘટે છે, જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગક વેક્ટર ચળવળ તરફ, એટલે કે, ડાબી તરફ નિર્દેશિત થાય છે.

પ્રશ્ન નંબર 8

સમય વિરુદ્ધ વેગ મોડ્યુલસના આલેખનો ઉપયોગ કરીને, t = 2 s સમયે એક રેક્ટિલિનરી રીતે ફરતા શરીરના પ્રવેગને નિર્ધારિત કરો.

ઉકેલ.

ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, અમે સમયના નિશ્ચિત બિંદુએ શરીરની ગતિમાં ફેરફાર નક્કી કરીએ છીએ. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ બે સેકન્ડમાં શરીરની ગતિ 6 m/s (V0 = 3 m/s થી Vt = 9 m/s સુધી) બદલાઈ. પ્રવેગક a = (Vt – V0) / t = 6/2 = 3 m/s2.

પ્રશ્ન નંબર 9

જ્યારે કાર પાંચ સેકન્ડ માટે સમાન પ્રવેગક ગતિએ આગળ વધે છે, ત્યારે તેની ઝડપ 10 થી 15 m/s સુધી વધે છે. શા માટે મોડ્યુલસ સમાન છેકારની પ્રવેગકતા?

ઉકેલ.

કારનું પ્રવેગક a = (Vt – V0) / t= (15 – 10)/5 = 5/5 = 1 m/s2.

પ્રશ્ન નંબર 10

કાર સતત પ્રવેગક a = 1 m/s2 સાથે આરામથી શરૂ થાય છે. ચળવળની પ્રથમ દસ સેકન્ડમાં કાર કેટલી દૂર જાય છે?

ઉકેલ.

કાર પ્રારંભિક ગતિ વિના એકસરખી રીતે ઝડપી ગતિ કરે છે - મુસાફરી કરેલ અંતર L = at2/2 = 1102/2 = 50 m છે.

પ્રશ્ન નંબર 11

એક તરાપો 3 કિમી/કલાકની ઝડપે નદીની નીચે એકસરખી રીતે તરે છે. રાફ્ટર 4 કિમી/કલાકની ઝડપે આખા તરાપા તરફ આગળ વધે છે. કિનારા સાથે સંકળાયેલ સંદર્ભ ફ્રેમમાં રાફ્ટરની ઝડપ કેટલી છે?

ઉકેલ.

કિનારા સાથે સંકળાયેલ સંદર્ભ ફ્રેમમાં રાફ્ટરની ઝડપ

પ્રશ્ન નંબર 12

હેલિકોપ્ટર સતત ગતિએ ઊભી રીતે વધે છે. હેલિકોપ્ટર બોડી સાથે સંકળાયેલ રેફરન્સ ફ્રેમમાં હેલિકોપ્ટર રોટર બ્લેડના અંતે એક બિંદુનો માર્ગ શું છે?

ઉકેલ.

કલ્પના કરો કે તમે હેલિકોપ્ટરના કોકપીટમાં છો, એટલે કે, તમે હેલિકોપ્ટરના શરીરની તુલનામાં ગતિહીન છો. આ કિસ્સામાં, તમે જોઈ શકો છો કે હેલિકોપ્ટર રોટર પરનો કોઈપણ બિંદુ વર્તુળનું વર્ણન કરે છે.

પ્રશ્ન નંબર 13

આકૃતિમાં પ્રસ્તુત કાયદા અનુસાર શરીર X ધરી સાથે ફરે છે, જ્યાં x મીટરમાં સંકલન છે, t એ સેકન્ડમાં સમય છે. શરીરના પ્રવેગક મોડ્યુલસ નક્કી કરો.

ઉકેલ.

માં રેક્ટીલીનિયર સમાન રીતે પ્રવેગિત ગતિ માટે સમયસર કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબન માટેનું સમીકરણ સામાન્ય દૃશ્ય X(t) = X0 + V0xt + aht2/2 સ્વરૂપ ધરાવે છે, જ્યાં X0 એ પ્રારંભિક સંકલન છે, અને V0x અને ah એ X અક્ષ પર પ્રારંભિક વેગ અને પ્રવેગના અંદાજો છે.

t2 સમાવિષ્ટ શબ્દોની સમાનતા કરતા, આપણે akht2/2 = –4.5t2 મેળવીએ છીએ. પ્રવેગકનું પ્રક્ષેપણ aх = –9 m/s2, અને પ્રવેગક મોડ્યુલ a= 9 m/s2 માંથી ક્યાંથી આવે છે.

પ્રશ્ન નંબર 14

આકૃતિ વેગ મોડ્યુલસ વિરુદ્ધ ચાર સંસ્થાઓ માટેના સમયના આલેખ બતાવે છે. આમાંથી કયું શરીર (અથવા કયા શરીર) સૌથી દૂરની મુસાફરી કરી છે?

ઉકેલ.

આકૃતિ સમય વિરુદ્ધ ગતિશીલ શરીરની ગતિના આલેખ બતાવે છે. જેમ જાણીતું છે, શરીર દ્વારા પ્રવાસ કરવામાં આવેલો માર્ગ એ વેગ ગ્રાફ હેઠળ આવેલો વિસ્તાર છે. આકૃતિ પરથી તે સ્પષ્ટ થાય છે કે આકૃતિ મહત્તમ વિસ્તારશરીર 4 માટે આલેખ હેઠળ આવેલું છે. આનો અર્થ એ છે કે 0 થી t0 ના સમયગાળા દરમિયાન શરીર 4 એ સૌથી લાંબુ અંતર કાપ્યું છે.

પ્રશ્ન નંબર 15

શરીર સીધી રેખામાં આગળ વધે છે. આકૃતિ શરીરની ગતિ વિરુદ્ધ સમયનો ગ્રાફ દર્શાવે છે. કયા સમયે અંતરાલ(ઓ) પ્રવેગક પ્રક્ષેપણ નકારાત્મક છે?

ઉકેલ.

ચાલો ગ્રાફનું વિશ્લેષણ કરીએ:

1. 0 થી 1 સેકન્ડના સમયગાળા દરમિયાન, શરીરની ગતિ સ્થિર છે, તેથી કુહાડી = 0;

2. 1s થી 2s ના સમયગાળા દરમિયાન, શરીરની ગતિ ઘટે છે, તેથી પ્રવેગકનું પ્રક્ષેપણ એહ છે< 0;

3. 2s થી 3s ના સમય અંતરાલમાં શરીર આરામ કરે છે, તેથી કુહાડી = 0;

4. 3s થી 4s ના સમય અંતરાલમાં, શરીરની ગતિ વધે છે, તેથી પ્રવેગક કુહાડીનું પ્રક્ષેપણ > 0.

તેથી, 1s થી 2s ના સમય અંતરાલ પર પ્રવેગક પ્રક્ષેપણ નકારાત્મક છે.

પ્રશ્ન નંબર 16

20 m/s ની પ્રારંભિક ગતિ સાથે આગળ વધતી કાર 5 s માટે a = 2 m/s2 ના સતત પ્રવેગ સાથે વેગ આપે છે. આ સમય દરમિયાન તેણે કેટલી મુસાફરી કરી?

ઉકેલ.

પાથની ગણતરી કરવા માટે, તમે L = V0t + at2/2 = 205 + 252/2 = સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો.

ગ્રાફમાંથી સરેરાશ ઝડપ કેવી રીતે શોધવી

1. તાત્કાલિક ઝડપ

આ ફકરામાં આપણે વિચારણા કરીશું અસમાન ચળવળ. જો કે, આ કિસ્સામાં આપણે રેક્ટીલિનિયર યુનિફોર્મ ગતિ વિશે જે જાણીએ છીએ તેની જરૂર પડશે.

આકૃતિ 4.1 પ્રવેગક કારની સ્થિતિ દર્શાવે છે સીધો હાઇવે 1 સે.ના સમય અંતરાલ સાથે. તીર પાછળના વ્યુ મિરર તરફ નિર્દેશ કરે છે, જેની સ્થિતિ આપણે વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈશું.

આપણે જોઈએ છીએ કે સમયના સમાન અંતરાલમાં કાર પસાર થાય છે અલગ અલગ રીતે, એટલે કે, તે અસમાન રીતે ફરે છે.

ચાલો હવે ક્રમિક સમય અંતરાલોને 20 ગણો ઘટાડી - 0.05 સે - અને અડધા સેકન્ડ માટે કારની સ્થિતિમાં ફેરફારનું નિરીક્ષણ કરીએ (આ કરવું મુશ્કેલ નથી, ઉદાહરણ તરીકે, વિડિઓ રેકોર્ડિંગનો ઉપયોગ કરીને).

આકૃતિ 4.2માં ગડબડ ન થાય તે માટે, તે 0.5 સેકન્ડના સમય અંતરાલ સાથે કારની માત્ર બે સ્થિતિ દર્શાવે છે. 0.05 સે.ના અંતરાલ પર વાહનની અનુગામી સ્થિતિ તેના પાછળના વ્યુ મિરરની સ્થિતિ દ્વારા ચિહ્નિત કરવામાં આવે છે (લાલ રંગમાં બતાવવામાં આવે છે).

આપણે જોઈએ છીએ કે જ્યારે ક્રમિક સમાન સમય અંતરાલ પૂરતા પ્રમાણમાં નાના હોય છે, ત્યારે આ સમયના અંતરાલોમાં કાર દ્વારા આવરી લેવામાં આવતા અંતર વ્યવહારીક રીતે સમાન હોય છે. આનો અર્થ એ છે કે આટલા ટૂંકા ગાળામાં કારની હિલચાલ સારી સચોટતા સાથે રેક્ટિલિનિયર અને સમાન ગણી શકાય.

તે તારણ આપે છે કે આ નોંધપાત્ર મિલકતકોઈપણ હિલચાલ (વક્રીલીનિયર પણ) ધરાવે છે: જો આપણે તેને પૂરતા ટૂંકા ગાળામાં Δt ધ્યાનમાં લઈએ, તો તે રેક્ટિલિનિયર યુનિફોર્મ ચળવળ જેવું જ છે! અને શું? ઓછું અંતરસમય, વધુ સમાનતા.

જો સમયની આ ક્ષણ અંતરાલ Δt માં હોય તો પૂરતા ટૂંકા ગાળામાં શરીરની ગતિને સમય t ની આપેલ ક્ષણે તેની ગતિ કહેવામાં આવે છે. અને તેનું વધુ સચોટ નામ છે ત્વરિત ગતિ.

સમય અંતરાલ Δt કેટલો નાનો હોવો જોઈએ જેથી આ અંતરાલ દરમિયાન શરીરની હિલચાલને રેક્ટિલિનિયર અને સમાન ગણી શકાય, તે શરીરની હિલચાલની પ્રકૃતિ પર આધારિત છે.

કારના પ્રવેગકના કિસ્સામાં, આ એક સેકન્ડનો અપૂર્ણાંક છે. અને, ઉદાહરણ તરીકે, સૂર્યની આસપાસ પૃથ્વીની હિલચાલને સારી ચોકસાઈ સાથે દિવસ દરમિયાન પણ રેક્ટિલિનિયર અને સમાન ગણી શકાય, જો કે આ સમય દરમિયાન પૃથ્વી અવકાશમાં અઢી મિલિયન કિલોમીટરથી વધુ ઉડે છે!

1. આકૃતિ 4.2 નો ઉપયોગ કરીને, કારની તાત્કાલિક ગતિ નક્કી કરો. કારની લંબાઈ 5 મીટર લો.

કારની ત્વરિત ગતિનું મૂલ્ય સ્પીડોમીટર (ફિગ. 4.3) દ્વારા બતાવવામાં આવે છે.

સમય વિરુદ્ધ કોઓર્ડિનેટ્સના ગ્રાફમાંથી તાત્કાલિક ઝડપ કેવી રીતે શોધવી

આકૃતિ 4.4 સીધા હાઇવે પર આગળ વધતી કાર માટેના સમય વિરુદ્ધ કોઓર્ડિનેટ્સનો ગ્રાફ દર્શાવે છે.

આપણે જોઈએ છીએ કે તે અસમાન રીતે આગળ વધે છે, કારણ કે સમય વિરુદ્ધ તેના કોઓર્ડિનેટ્સનો ગ્રાફ એક વળાંક છે, સીધી રેખા સેગમેન્ટ નથી.

ચાલો બતાવીએ કે આ આલેખમાંથી કોઈપણ સમયે કારની ત્વરિત ગતિ કેવી રીતે નક્કી કરવી - કહો, t = 3 s (ગ્રાફ પરનો બિંદુ).

આ કરવા માટે, આવા ટૂંકા ગાળામાં કારની હિલચાલને ધ્યાનમાં લો કે જે દરમિયાન તેની હિલચાલ રેખીય અને સમાન ગણી શકાય.

આકૃતિ 4.5 ગ્રાફનો તે વિભાગ બતાવે છે જે આપણને દસ ગણા વધારામાં રસ લે છે (જુઓ, ઉદાહરણ તરીકે, સમયનો સ્કેલ).

આપણે જોઈએ છીએ કે આલેખનો આ વિભાગ સીધી રેખા સેગમેન્ટ (લાલ સેગમેન્ટ) થી વ્યવહારીક રીતે અસ્પષ્ટ છે. 0.1 સેકન્ડના ક્રમિક સમાન સમયના અંતરાલોમાં, કાર લગભગ સમાન અંતરની મુસાફરી કરે છે - દરેક 1 મીટર.

2. t = 3 s ની ક્ષણે કારની ત્વરિત ગતિ કેટલી છે?

ડ્રોઇંગના પાછલા સ્કેલ પર પાછા ફરતા, આપણે જોઈશું કે લાલ સીધી રેખા, જેની સાથે ગ્રાફનો એક નાનો વિભાગ વ્યવહારીક રીતે એકરુપ છે, તે સમયે આપેલ ક્ષણે સમય પર સંકલનની અવલંબનના ગ્રાફ સાથે સ્પર્શક છે (ફિગ 4.6).

તેથી, શરીરની ત્વરિત ગતિને સ્પર્શકના કોણીય ગુણાંક દ્વારા સંકલન વિરુદ્ધ સમયના આલેખ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે: વધુ ઢાળસ્પર્શક, શરીરની ગતિ જેટલી વધારે છે. (સમય પર સંકલનની અવલંબનના આલેખ માટે સ્પર્શકનો ઉપયોગ કરીને ત્વરિત ગતિ નક્કી કરવાની વર્ણવેલ પદ્ધતિ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની વિભાવના સાથે સંકળાયેલી છે. તમે આ વિભાવનાનો અભ્યાસ “બીજગણિત અને આયલિસની શરૂઆત” કોર્સમાં કરશો. ”) અને ગ્રાફના તે બિંદુઓ પર જ્યાં સ્પર્શકનો ઝોકનો કોણ શૂન્ય છે, ત્યાં સમય અક્ષ tની સમાંતર એક સ્પર્શક છે, શરીરની ત્વરિત ગતિ શૂન્ય છે.

3. આકૃતિ 4.6 ને ધ્યાનમાં લો.
b) કારની હિલચાલની પ્રથમ 6 સેકન્ડ દરમિયાન તેની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તાત્કાલિક ગતિ શોધો.

2. સરેરાશ ઝડપ

ઘણી સમસ્યાઓ મુસાફરી કરેલ અંતર સાથે સંકળાયેલ સરેરાશ ઝડપનો ઉપયોગ કરે છે:

vav = l/t. (1)

આ રીતે વ્યાખ્યાયિત સરેરાશ ઝડપ એક સ્કેલર જથ્થો છે, કારણ કે પાથ છે સ્કેલર જથ્થો. (કેટલીકવાર, મૂંઝવણ ટાળવા માટે, તેને સરેરાશ ગ્રાઉન્ડ સ્પીડ કહેવામાં આવે છે.)

ઉદાહરણ તરીકે, જો કોઈ કાર ત્રણ કલાક માટે શહેરની આસપાસ 120 કિમી ચલાવે છે (તે જ સમયે તે વેગ આપી શકે છે, બ્રેક કરી શકે છે અને આંતરછેદ પર અટકી શકે છે), તો તેની સરેરાશ ઝડપ 40 કિમી પ્રતિ કલાક છે.

4. જો ટ્રાફિક અટકી જવાને કારણે કારની સરેરાશ ઝડપ કેટલી ઘટશે? કુલ સમયઆંદોલન 1 કલાક વધશે?

ટ્રાફિકના બે વિભાગો પર સરેરાશ ઝડપ

ઘણી સમસ્યાઓમાં, શરીરની હિલચાલને બે ક્ષેત્રોમાં ગણવામાં આવે છે, જેમાંના દરેકમાં હલનચલન સમાન ગણી શકાય. આ કિસ્સામાં, વ્યાખ્યા અનુસાર સરેરાશ ઝડપ(1), અમે લખી શકીએ છીએ:

vav = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)

જ્યાં l1 અને t1 એ પ્રથમ વિભાગ માટે પાથ અને સમય છે, અને બીજા માટે l2 અને t2 છે. ચાલો ઉદાહરણો જોઈએ.
શાશા 15 કિમી/કલાકની ઝડપે સાઇકલ પર ગામથી નીકળી અને એક કલાક સુધી સવારી કરી. અને પછી બાઇક તૂટી પડી, અને શાશા 5 કિમી/કલાકની ઝડપે બીજા એક કલાક સુધી ચાલી.

5. શોધો:
એ) સમગ્ર ચળવળ દરમિયાન શાશા દ્વારા મુસાફરી કરાયેલ પાથ;
b) શાશાની હિલચાલનો કુલ સમય;
c) શાશાની સરેરાશ ઝડપ.

ધ્યાનમાં લેવાયેલા કિસ્સામાં, સરેરાશ ઝડપ એ ઝડપના અંકગણિત સરેરાશની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું છે કે જેમાં શાશા સવારી અને ચાલતી હતી. શું આ હંમેશા વાજબી છે? ચાલો વિચાર કરીએ આગામી ઉદાહરણ.
શાશાને એક કલાક માટે 15 કિમી/કલાકની ઝડપે સાઇકલ ચલાવવા દો અને પછી તે જ અંતર 5 કિમી/કલાકની ઝડપે પગપાળા ચાલવા દો.

6. શોધો:
એ) શાશા પગપાળા ચાલતો રસ્તો;
b) સમગ્ર ચળવળ દરમિયાન શાશા દ્વારા પ્રવાસ કરાયેલ માર્ગ;
c) શાશાની હિલચાલનો કુલ સમય;
b) શાશાની સરેરાશ ઝડપ.

આ કેસને જોતાં, તમે જોશો કે આ વખતે સરેરાશ ગતિ ડ્રાઇવિંગ અને ચાલવાની ગતિની અંકગણિત સરેરાશ જેટલી નથી. અને જો તમે વધુ નજીકથી જોશો, તો તમે જોશો કે બીજા કિસ્સામાં સરેરાશ ઝડપ પ્રથમ કરતા ઓછી છે. શા માટે?

7. પ્રથમ અને બીજા કેસમાં શાશાએ જે સમયગાળા દરમિયાન વાહન ચલાવ્યું અને ચાલ્યું તેની તુલના કરો.

ચાલો ઉપર ચર્ચા કરેલી પરિસ્થિતિઓનો સારાંશ આપીએ.

ચાલો આપણે સૌપ્રથમ એ કિસ્સાને ધ્યાનમાં લઈએ કે જ્યારે શરીર સમાન સમયગાળા માટે જુદી જુદી ઝડપે આગળ વધે છે.

ચળવળના સમગ્ર સમયના પહેલા ભાગમાં શરીરને v1 ની ઝડપે અને બીજા ભાગમાં v2 ઝડપે ખસેડવા દો. શું સમગ્ર વિભાગમાં હલનચલનની સરેરાશ ઝડપ શોધવાનું શક્ય છે જો ન તો હલનચલનનો કુલ સમય કે સમગ્ર હિલચાલ દરમિયાન શરીર દ્વારા મુસાફરી કરવામાં આવેલ અંતર જાણી શકાય?

તમે આ કરી શકો છો: આ કરવા માટે, અમે જરૂરી તમામ જથ્થાઓ માટે સંકેતો રજૂ કરીએ છીએ, પછી ભલે તે જાણીતા હોય કે અજાણ્યા હોય. ઘણી સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે આ એક સામાન્ય તકનીક છે.

ચાલો ચળવળના સમગ્ર સમયને t દ્વારા, સમગ્ર પાથને l દ્વારા, અને l1 અને l2 દ્વારા ચળવળના સમયના પહેલા અને બીજા ભાગમાં આવરી લેવાયેલા માર્ગોને અનુક્રમે દર્શાવીએ.

8. v1, v2 અને t ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો:
a) l1 અને l2; b) એલ; c) સરેરાશ ઝડપ.

આ પ્રશ્નોના જવાબો શોધીને, તમે જાણી શકશો કે શું સામાન્ય કેસવિધાન: જો શરીર સમાન સમયગાળા માટે અલગ-અલગ ગતિ સાથે બે વિભાગોમાં ફરે છે, તો સમગ્ર માર્ગ સાથે તેની સરેરાશ ગતિ બે વિભાગોમાં ગતિની ગતિના અંકગણિત સરેરાશ જેટલી છે.

ચાલો હવે તે કેસને ધ્યાનમાં લઈએ જ્યારે શરીર પાથના પહેલા અને બીજા ભાગમાં જુદી જુદી ઝડપે આગળ વધે છે.

હવે શરીરને સમગ્ર પાથના પહેલા ભાગમાં v1 ઝડપે અને બીજા ભાગમાં v2 ઝડપે આગળ વધવા દો. ચાલો આપણે ફરીથી ટી દ્વારા હલનચલનનો સંપૂર્ણ સમય, l દ્વારા સમગ્ર માર્ગ અને સમય અંતરાલ જે દરમિયાન શરીર પ્રથમ અને બીજા વિભાગમાં ખસેડ્યું તે અનુક્રમે t1 અને t2 દ્વારા સૂચવવામાં આવશે.

9. v1, v2 અને l ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો:
a) t1 અને t2; b) t; c) સરેરાશ ઝડપ.

આ પ્રશ્નોના જવાબો આપીને, તમે શોધી શકશો કે શું નિવેદન સામાન્ય કિસ્સામાં સાચું છે: જો શરીર બે વિસ્તારોમાં ખસેડવામાં આવે સમાન લંબાઈજુદી જુદી ઝડપ સાથે, તો પછી સમગ્ર પાથ સાથે તેની સરેરાશ ઝડપ આ ગતિના અંકગણિત સરેરાશ જેટલી નથી.

10. સાબિત કરો કે શરીરની સરેરાશ ગતિ જે સમાન લંબાઈના બે વિભાગોમાં જુદી જુદી ઝડપે ખસેડે છે તે સમાન સમયગાળા માટે સમાન ગતિ સાથે બે વિભાગોમાં ખસેડવામાં આવે તેના કરતા ઓછી છે.
ચાવી. દરેક બે કેસ માટે, પ્રથમ અને બીજા વિભાગમાં ઝડપના સંદર્ભમાં સરેરાશ ઝડપ વ્યક્ત કરો અને પરિણામી અભિવ્યક્તિઓની તુલના કરો.

11. પાથના પ્રથમ વિભાગ પર શરીર v1 ઝડપ સાથે અને બીજા ભાગમાં - ઝડપ v2 સાથે. જો હિલચાલની સરેરાશ ઝડપ v1 અને v2 ના અંકગણિત સરેરાશ સમાન હોય તો આ વિભાગોની લંબાઈનો ગુણોત્તર શું છે?

વધારાના પ્રશ્નો અને કાર્યો

12. સમગ્ર સમયના ત્રીજા ભાગ માટે, ટ્રેન v1 ની ઝડપે અને બાકીનો સમય v2 ની ઝડપે મુસાફરી કરી.
a) ટ્રેન દ્વારા મુસાફરી કરેલ અંતર v1, v2 અને સમગ્ર મુસાફરી સમય t માં દર્શાવો.
b) ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપને v1 અને v2 ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો.
c) શોધો સંખ્યાત્મક મૂલ્યસરેરાશ ઝડપ v1 = 60 km/h, v2 = 90 km/h.

13. કારે સમગ્ર અંતરના ત્રણ ચતુર્થાંશ ઝડપ v1 અને મુસાફરીનો બાકીનો ભાગ v2 ઝડપે પસાર કર્યો.
a) કારની હિલચાલના સમગ્ર સમયને v1, v2 અને સમગ્ર પ્રવાસ l ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરો.
b) કારની સરેરાશ ઝડપને v1 અને v2 ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો.
c) v1 = 80 km/h, v2 = 100 km/h પર સરેરાશ ઝડપનું આંકડાકીય મૂલ્ય શોધો.

14. કાર 60 કિમી/કલાકની ઝડપે 2 કલાક દોડી. આ પછી કેટલા સમય પછી તેણે 80 કિમી/કલાકની ઝડપે મુસાફરી કરવી જોઈએ જેથી કરીને સમગ્ર પ્રવાસમાં તેની સરેરાશ ઝડપ 66.7 કિમી/કલાકની બરાબર થઈ જાય?

15. તમારી નોટબુકમાં (કોષો દ્વારા) સમયસર કારના કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબનનો ગ્રાફ ટ્રાન્સફર કરો, જે આકૃતિ 4.4 માં દર્શાવેલ છે. ધ્યાનમાં લો કે કાર એક્સ-અક્ષ સાથે આગળ વધી રહી છે.
a) ગ્રાફિકલી 6 સે માટે સરેરાશ ઝડપ નક્કી કરો.
b) સ્પર્શરેખાનો ઉપયોગ કરીને, કારની ત્વરિત ગતિ તેની સરેરાશ ઝડપ 6 સે.થી વધુ જેટલી હતી તે લગભગ કેટલા ક્ષણોમાં નક્કી કરો.

16. શરીર x અક્ષ સાથે ફરે છે. સમયસર શરીરના કોઓર્ડિનેટ્સની અવલંબન x = 0.2 * t2 સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.
a) પ્રથમ 6 સેકન્ડ માટે અનુકૂળ સ્કેલ અને પ્લોટ x(t) પસંદ કરો.
b) આ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, સમયની તે ક્ષણ શોધો કે જેમાં શરીરની ત્વરિત ગતિ ચળવળના સમગ્ર સમયની સરેરાશ ઝડપ જેટલી હતી.

§ 12. સમય વિરુદ્ધ પાથનો આલેખ.

જો બિંદુની હિલચાલનો માર્ગ જાણીતો હોય, તો પછી વીતેલા સમય અંતરાલ પર બિંદુ દ્વારા પસાર કરાયેલા પાથની અવલંબન આપે છે. સંપૂર્ણ વર્ણનઆ ચળવળ. અમે જોયું છે કે સમાન ગતિ માટે આવી અવલંબન સૂત્રના સ્વરૂપમાં આપી શકાય છે (9.2). સમયના વ્યક્તિગત બિંદુઓ વચ્ચેના અને વચ્ચેના સંબંધને કોષ્ટકના સ્વરૂપમાં પણ ઉલ્લેખિત કરી શકાય છે જેમાં સમય અવધિના અનુરૂપ મૂલ્યો અને મુસાફરી કરેલ અંતર હોય છે. ચાલો આપણે આપીએ કે કેટલીક સમાન ગતિની ગતિ 2 m/s છે. આ કિસ્સામાં ફોર્મ્યુલા (9.2) ફોર્મ ધરાવે છે. ચાલો આવી ચળવળના માર્ગ અને સમયનું કોષ્ટક બનાવીએ:

એક જથ્થાની બીજા પરની અવલંબન ઘણીવાર ફોર્મ્યુલા અથવા કોષ્ટકો સાથે નહીં, પરંતુ આલેખ સાથે દર્શાવવા માટે અનુકૂળ હોય છે જે પરિવર્તનનું ચિત્ર વધુ સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવે છે. ચલોઅને ગણતરીઓને સરળ બનાવી શકે છે. ચાલો પ્રશ્નમાં હિલચાલ માટે સમય વિરુદ્ધ મુસાફરી કરેલ અંતરનો ગ્રાફ બનાવીએ. આ કરવા માટે, બે પરસ્પર લંબરૂપ સીધી રેખાઓ લો - સંકલન અક્ષો; અમે તેમાંથી એકને (એબ્સિસા અક્ષ) સમય અક્ષ અને બીજાને (ઓર્ડિનેટ અક્ષ) પાથ અક્ષ કહીશું. ચાલો સમય અંતરાલ અને માર્ગો દર્શાવવા માટે ભીંગડા પસંદ કરીએ અને અક્ષોના આંતરછેદના બિંદુને પ્રારંભિક ક્ષણ તરીકે અને માર્ગ પરના પ્રારંભિક બિંદુ તરીકે લઈએ. ચાલો વિચારણા હેઠળની હિલચાલ માટે મુસાફરી કરેલ સમય અને અંતરના મૂલ્યોને અક્ષો પર કાવતરું કરીએ (ફિગ. 18). સમયની ક્ષણોમાં મુસાફરી કરેલા અંતરના મૂલ્યોને "બાંધવા" માટે, અમે અક્ષો પરના અનુરૂપ બિંદુઓથી અક્ષો પર લંબ દોરીએ છીએ (ઉદાહરણ તરીકે, બિંદુઓ 3 s અને 6 m). કાટખૂણે આંતરછેદનું બિંદુ બંને જથ્થાઓને એક સાથે અનુરૂપ છે: પાથ અને ક્ષણ, અને આ રીતે "બંધન" પ્રાપ્ત થાય છે. સમાન બાંધકામ સમયના અન્ય કોઈપણ બિંદુઓ અને અનુરૂપ પાથ માટે કરી શકાય છે, દરેક આવા સમયની જોડી માટે મેળવીને - પાથ ગ્રાફ પરના એક બિંદુને મૂલ્ય આપે છે. ફિગ માં.

સમયગાળા માટે શરીરની સરેરાશ ગતિ ગ્રાફ પરથી નક્કી કરો

18 ટેબલની બંને પંક્તિઓને પોઈન્ટની એક પંક્તિ સાથે બદલીને, આવા બાંધકામ બનાવવામાં આવે છે. જો આવા બાંધકામ સમયસર તમામ બિંદુઓ માટે હાથ ધરવામાં આવે, તો પછી વ્યક્તિગત બિંદુઓને બદલે, એક નક્કર રેખા પ્રાપ્ત થશે (આકૃતિમાં પણ બતાવેલ છે). આ રેખાને પાથ વિરુદ્ધ સમય ગ્રાફ અથવા ટૂંકમાં, પાથ ગ્રાફ કહેવામાં આવે છે.

ચોખા. 18. 2 m/s ની ઝડપે સમાન ગતિના માર્ગનો ગ્રાફ

ચોખા. 19. કસરત માટે 12.1

અમારા કિસ્સામાં, પાથનો ગ્રાફ સીધી રેખા બન્યો. તે બતાવી શકાય છે કે સમાન ગતિના માર્ગનો ગ્રાફ હંમેશા સીધી રેખા હોય છે; અને ઊલટું: જો સમય વિરુદ્ધ પાથનો આલેખ સીધી રેખા હોય, તો હિલચાલ સમાન છે.

એક અલગ ઝડપ માટે બાંધકામનું પુનરાવર્તન કરતા, અમે શોધીએ છીએ કે ઊંચી ઝડપ માટેના ગ્રાફ પોઈન્ટ નીચી ઝડપ માટેના અનુરૂપ ગ્રાફ પોઈન્ટ કરતાં ઊંચા છે (ફિગ. 20). આમ, સમાન ગતિની ગતિ જેટલી વધારે છે, તેટલી જ વધારે છે સીધી રેખા ગ્રાફપાથ, એટલે કે સમય ધરી સાથે તે જેટલો મોટો કોણ બનાવે છે.

ચોખા. 20. 2 અને 3 m/s ની ઝડપ સાથે સમાન હલનચલનના માર્ગના આલેખ

ચોખા. 21. ફિગમાં સમાન ચળવળનો ગ્રાફ. 18, એક અલગ સ્કેલ પર દોરવામાં આવે છે

ગ્રાફનો ઢોળાવ, અલબત્ત, માત્ર ઝડપના આંકડાકીય મૂલ્ય પર જ નહીં, પણ સમય અને લંબાઈના ભીંગડાની પસંદગી પર પણ આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં બતાવેલ ગ્રાફ. 21 ફિગમાં આલેખની જેમ સમાન હિલચાલ માટે પાથ વિરુદ્ધ સમય આપે છે. 18, જો કે તે એક અલગ ઢોળાવ ધરાવે છે. અહીંથી તે સ્પષ્ટ છે કે જો તે સમાન સ્કેલ પર દોરવામાં આવે તો જ આલેખના ઢોળાવ દ્વારા હલનચલનની તુલના કરવી શક્ય છે.

પાથ ગ્રાફની મદદથી તમે સરળતાથી હલ કરી શકો છો વિવિધ કાર્યોચળવળ વિશે. ઉદાહરણ તરીકે ફિગમાં. 18 ડેશેડ લાઇન નીચેની સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે જરૂરી બાંધકામો દર્શાવે છે આ ચળવળની: a) 3.5 સેકન્ડમાં મુસાફરી કરેલો રસ્તો શોધો; b) આકૃતિમાં 9 મીટરની મુસાફરી કરવામાં જે સમય લાગે છે તે શોધો ગ્રાફિકલી(ડેશ્ડ લીટીઓ) જવાબો મળ્યા: a) 7 મી; b) 4.5 સે.

યુનિફોર્મનું વર્ણન કરતા આલેખ પર રેક્ટીલીનિયર ચળવળ, તમે પાથને બદલે ઓર્ડિનેટ સાથે મૂવિંગ પોઈન્ટના કોઓર્ડિનેટને પ્લોટ કરી શકો છો. આ વર્ણન દર્શાવે છે મહાન તકો. ખાસ કરીને, તે અક્ષની તુલનામાં ચળવળની દિશાને અલગ પાડવાનું શક્ય બનાવે છે. વધુમાં, સમયની ઉત્પત્તિને શૂન્ય ગણીને, સમયની અગાઉની ક્ષણોમાં બિંદુની હિલચાલ દર્શાવવી શક્ય છે, જેને નકારાત્મક ગણવી જોઈએ.

ચોખા. 22. સમાન ગતિ સાથે હલનચલનના આલેખ, પરંતુ મૂવિંગ પોઈન્ટની વિવિધ પ્રારંભિક સ્થિતિઓ પર

ચોખા. 23. સાથે અનેક હલનચલનનો આલેખ નકારાત્મક ગતિ

ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં. 22 સીધી રેખા I એ 4 m/s (એટલે કે ધરીની દિશામાં) ની ધન ગતિએ થતો ગતિનો ગ્રાફ છે અને પ્રારંભિક ક્ષણે ગતિશીલ બિંદુ સંકલન m સાથેના બિંદુ પર હતું, તે જ આકૃતિ ગતિનો ગ્રાફ બતાવે છે જે સમાન ગતિ સાથે થાય છે, પરંતુ જે પ્રારંભિક ક્ષણે ગતિશીલ બિંદુ સંકલન (લાઇન II) સાથેના બિંદુ પર હોય છે. સીધું. III એ કેસને અનુરૂપ છે જ્યારે ક્ષણે ગતિશીલ બિંદુ સંકલન m સાથેના બિંદુ પર હતું છેલ્લે, સીધી રેખા IV એ કિસ્સામાં હલનચલનનું વર્ણન કરે છે જ્યારે મૂવિંગ પોઈન્ટ ક્ષણે c.

આપણે જોઈએ છીએ કે ચારેય આલેખનો ઢોળાવ સમાન છે: ઢોળાવ માત્ર ગતિશીલ બિંદુની ઝડપ પર આધાર રાખે છે, તેના પર નહીં. પ્રારંભિક સ્થિતિ. જ્યારે પ્રારંભિક સ્થિતિ બદલાય છે, ત્યારે સમગ્ર આલેખને યોગ્ય અંતરે ઉપર અથવા નીચે અક્ષની સાથે સમાંતર સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે.

નકારાત્મક ઝડપે થતી હિલચાલનો આલેખ (એટલે કે, દિશામાં વિરુદ્ધ દિશામાંઅક્ષ) ફિગમાં બતાવેલ છે. 23. તેઓ સીધા, નીચે તરફ વળેલા છે. આવી હિલચાલ માટે, બિંદુનું સંકલન સમય જતાં ઘટે છે.

12.3. ઝડપે આગળ વધતા બિંદુ માટેનો પાથ ગ્રાફ ઓર્ડિનેટ અક્ષ પરના સેગમેન્ટને કાપી નાખે છે. સમયનું અંતર સમય પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે? પ્રારંભિક બિંદુ? આ સંબંધ માટે સૂત્ર લખો.

12.4. ઝડપે આગળ વધી રહેલ બિંદુ આ ક્ષણે પ્રારંભિક બિંદુથી થોડા અંતરે છે.

અંતર સમય પર કેવી રીતે આધાર રાખે છે?

12.5. બિંદુ, ધરીની સાથે એકસરખી રીતે આગળ વધે છે, અનુક્રમે s અને s ની ક્ષણોમાં m અને m સમન્વય ધરાવે છે. ગ્રાફિકલી શોધો કે બિંદુ કઇ ક્ષણે કોઓર્ડિનેટના મૂળમાંથી પસાર થયું હતું અને પ્રારંભિક ક્ષણે સંકલન શું હતું. ધરી પર વેગનું પ્રક્ષેપણ શોધો.

12.6. પાથ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, જો પ્રથમ કાર 40 કિમી/કલાકની ઝડપે આગળ વધી રહી હોય, તો એ પોઈન્ટ A થી નીકળતી કાર ક્યારે અને કયા અંતરે એ પોઈન્ટ A ને છોડીને બીજી કાર પ્રથમ પછી 20 મિનિટ પછી એ જ બિંદુને છોડતી બીજી કાર દ્વારા આગળ નીકળી જશે તે શોધો. , અને બીજો 40 કિમી/કલાકની ઝડપે 60 કિમી/કલાકની ઝડપે આગળ વધી રહ્યો છે.

12.7. ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, એકબીજાથી 100 કિમીના અંતરે સ્થિત બિંદુઓ A અને B પરથી 40 અને 60 કિમી/કલાકની ઝડપે એકબીજા તરફ એકસાથે છોડીને કાર ક્યાં અને ક્યારે મળશે તે શોધો.

પાથ આલેખ એવા કિસ્સાઓ માટે પણ બાંધી શકાય છે કે જેમાં શરીર ચોક્કસ સમયગાળા માટે એકસરખી રીતે આગળ વધે છે, પછી એકસરખી રીતે પરંતુ અન્ય સમયગાળા માટે અલગ ગતિએ ચાલે છે, પછી ફરીથી ગતિમાં ફેરફાર કરે છે, વગેરે. ઉદાહરણ તરીકે, ફિગમાં. 26 એક ગતિ ગ્રાફ બતાવે છે જેમાં શરીર પ્રથમ કલાક દરમિયાન 20 કિમી/કલાકની ઝડપે, બીજા કલાક દરમિયાન 40 કિમી/કલાકની ઝડપે અને ત્રીજા કલાક દરમિયાન 15 કિમી/કલાકની ઝડપે ગતિ કરે છે.

વ્યાયામ:12.8. હલનચલન માટેના પાથનો ગ્રાફ બનાવો જેમાં, સતત કલાકના અંતરાલોમાં, શરીરની ઝડપ 10, -5, 0, 2, -7 કિમી/કલાક હોય. શરીરનું કુલ વિસ્થાપન શું છે?

1. સમય વિરુદ્ધ ઝડપના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને રસ્તો શોધવો

ચાલો બતાવીએ કે તમે સમય વિરુદ્ધ ગતિના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને શરીર દ્વારા મુસાફરી કરેલ પાથ કેવી રીતે શોધી શકો છો.

ચાલો શરૂઆતથી જ શરૂ કરીએ સરળ કેસ- સમાન ચળવળ. આકૃતિ 6.1 v(t) નો ગ્રાફ બતાવે છે - ઝડપ વિરુદ્ધ સમય. તે સમયના આધારની સમાંતર સીધી રેખાના સેગમેન્ટનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે, કારણ કે સમાન ગતિ સાથે ગતિ સતત હોય છે.

આ ગ્રાફ હેઠળ બંધાયેલ આકૃતિ એક લંબચોરસ છે (તે આકૃતિમાં છાંયો છે). તેનું ક્ષેત્રફળ સંખ્યાત્મક રીતે ઝડપ v અને ચળવળ t ના ગુણાંક જેટલું છે. બીજી બાજુ, ઉત્પાદન vt એ શરીર દ્વારા પસાર કરાયેલા માર્ગની બરાબર છે. તેથી, સમાન ગતિ સાથે

સંખ્યાત્મક રીતે વિસ્તાર સમાનઝડપ વિરુદ્ધ સમયના ગ્રાફ હેઠળ બંધ આકૃતિ.

ચાલો હવે બતાવીએ કે અસમાન ગતિમાં પણ આ નોંધપાત્ર ગુણધર્મ છે.

ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, ઝડપ વિરુદ્ધ સમયનો ગ્રાફ આકૃતિ 6.2 માં બતાવેલ વળાંક જેવો દેખાય.

ચાલો માનસિક રીતે ચળવળના સમગ્ર સમયને આવા નાના અંતરાલોમાં વિભાજિત કરીએ કે તે દરેક દરમિયાન શરીરની હિલચાલ લગભગ સમાન ગણી શકાય (આ વિભાજન આકૃતિ 6.2 માં ડેશેડ રેખાઓ દ્વારા બતાવવામાં આવ્યું છે).

પછી આવા દરેક અંતરાલ દરમિયાન મુસાફરી કરેલ પાથ આંકડાકીય રીતે ગ્રાફના અનુરૂપ ગઠ્ઠા હેઠળના આકૃતિના ક્ષેત્રફળની બરાબર છે. તેથી, સમગ્ર પાથ સમગ્ર ગ્રાફ હેઠળ સમાયેલ આંકડાઓના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. (અમે જે તકનીકનો ઉપયોગ કર્યો તે આધાર છે અભિન્ન કલન, જેની મૂળભૂત બાબતો તમે "ગાણિતિક વિશ્લેષણની શરૂઆત" કોર્સમાં અભ્યાસ કરશો.)

2. રેક્ટિલિનિયર એકસરખી ત્વરિત ગતિ દરમિયાન પાથ અને વિસ્થાપન

ચાલો હવે ઉપર વર્ણવેલ પદ્ધતિને લાગુ કરીએ જે રેક્ટીલિનિયર સમાન પ્રવેગિત ગતિનો માર્ગ શોધવા માટે છે.

શરીરની પ્રારંભિક ગતિ શૂન્ય છે

ચાલો x અક્ષને શરીરના પ્રવેગની દિશામાં દિશામાન કરીએ. પછી ax = a, vx = v. આથી,

આકૃતિ 6.3 v(t) નો ગ્રાફ બતાવે છે.

1. આકૃતિ 6.3 નો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે પ્રારંભિક ગતિ વિના એકસરખી રીતે પ્રવેગિત ગતિના કિસ્સામાં, પાથ l એ પ્રવેગક મોડ્યુલ a અને સૂત્ર દ્વારા ચળવળના સમયના સંદર્ભમાં વ્યક્ત થાય છે.

મુખ્ય નિષ્કર્ષ:

પ્રારંભિક ગતિ વિના એકસરખી રીતે પ્રવેગિત ગતિમાં, શરીર દ્વારા મુસાફરી કરવામાં આવેલું અંતર ચળવળના સમયના વર્ગના પ્રમાણસર હોય છે.

આ રીતે, સમાન ગતિશીલ ગતિ સમાન ગતિથી નોંધપાત્ર રીતે અલગ પડે છે.

આકૃતિ 6.4 બે શરીર માટેના સમય વિરુદ્ધ પાથના આલેખ બતાવે છે, જેમાંથી એક એકસરખી રીતે આગળ વધે છે, અને બીજો પ્રારંભિક ગતિ વિના સમાન રીતે વેગ આપે છે.

2. આકૃતિ 6.4 જુઓ અને પ્રશ્નોના જવાબ આપો.
a) એકસમાન પ્રવેગક સાથે ફરતા શરીરનો ગ્રાફ કયો રંગ છે?
b) આ શરીરનું પ્રવેગ શું છે?
c) જ્યારે તેઓ સમાન માર્ગને આવરી લે છે ત્યારે આ ક્ષણે શરીરની ગતિ કેટલી છે?
ડી) કયા સમયે શરીરના વેગ સમાન હોય છે?

3. ઉપડ્યા પછી, કારે પ્રથમ 4 સેકન્ડમાં 20 મીટરનું અંતર કાપ્યું હતું કે કારની ગતિ રેખીય અને એકસરખી રીતે ઝડપી હોય છે. કારના પ્રવેગકની ગણતરી કર્યા વિના, કાર કેટલી દૂર જશે તે નક્કી કરો:
a) 8 સેકન્ડમાં? b) 16 સેકન્ડમાં? c) 2 સેકન્ડમાં?

ચાલો હવે સમયસર વિસ્થાપન sx ના પ્રક્ષેપણની અવલંબન શોધીએ. આ કિસ્સામાં, x અક્ષ પર પ્રવેગકનું પ્રક્ષેપણ ધન છે, તેથી sx = l, ax = a. આમ, સૂત્ર (2) થી તે નીચે મુજબ છે:

sx = axt2/2. (3)

સૂત્રો (2) અને (3) ખૂબ સમાન છે, જે ક્યારેક ઉકેલવામાં ભૂલો તરફ દોરી જાય છે સરળ કાર્યો. હકીકત એ છે કે વિસ્થાપન પ્રક્ષેપણ મૂલ્ય નકારાત્મક હોઈ શકે છે. જો x અક્ષ ડિસ્પ્લેસમેન્ટની વિરુદ્ધ નિર્દેશિત હોય તો આવું થશે: પછી sx< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. આકૃતિ 6.5 ચોક્કસ શરીર માટે મુસાફરીના સમય અને વિસ્થાપન પ્રક્ષેપણના આલેખ બતાવે છે. ડિસ્પ્લેસમેન્ટ પ્રોજેક્શન ગ્રાફ કયો રંગ છે?

શરીરની પ્રારંભિક ગતિ શૂન્ય નથી

ચાલો યાદ કરીએ કે આ કિસ્સામાં સમય પર વેગ પ્રક્ષેપણની નિર્ભરતા સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે.

vx = v0x + axt, (4)

જ્યાં v0x એ x અક્ષ પર પ્રારંભિક વેગનું પ્રક્ષેપણ છે.

જ્યારે v0x > 0, ax > 0 હોય ત્યારે અમે કેસને વધુ ધ્યાનમાં લઈશું. આ કિસ્સામાં, અમે ફરીથી એ હકીકતનો લાભ લઈ શકીએ છીએ કે પાથ સંખ્યાત્મક રીતે વેગ વિરુદ્ધ સમય ગ્રાફ હેઠળની આકૃતિના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે. (પ્રારંભિક વેગ અને પ્રવેગકના પ્રક્ષેપણ માટે ચિહ્નોના અન્ય સંયોજનો જાતે જ ધ્યાનમાં લો: પરિણામ સમાન હશે. સામાન્ય સૂત્ર (5).

આકૃતિ 6.6 v0x > 0, ax > 0 માટે vx(t) નો ગ્રાફ બતાવે છે.

5. આકૃતિ 6.6 નો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે પ્રારંભિક ગતિ સાથે એકસરખી રીતે પ્રવેગિત ગતિના કિસ્સામાં, વિસ્થાપનનું પ્રક્ષેપણ

sx = v0x + axt2/2.

આ સૂત્ર તમને સમયસર શરીરના x કોઓર્ડિનેટની અવલંબન શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. ચાલો યાદ કરીએ (સૂત્ર (6), § 2 જુઓ) કે શરીરના સંકલન x એ સંબંધ દ્વારા તેના વિસ્થાપન sx ના પ્રક્ષેપણ સાથે સંબંધિત છે.

જ્યાં x0 એ શરીરનું પ્રારંભિક સંકલન છે. આથી,

x = x0 + sx, (6)

સૂત્રો (5), (6)માંથી આપણે મેળવીએ છીએ:

x = x0 + v0xt + axt2/2. (7)

6. x અક્ષ સાથે ફરતા ચોક્કસ શરીર માટે સમયસર સંકલનની અવલંબન SI એકમોમાં x = 6 – 5t + t2 સૂત્ર દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
a) શરીરનું પ્રારંભિક સંકલન શું છે?
b) x-અક્ષ પર પ્રારંભિક વેગનું પ્રક્ષેપણ શું છે?
c) x-અક્ષ પર પ્રવેગકનું પ્રક્ષેપણ શું છે?
d) સમય વિરુદ્ધ x સંકલનનો ગ્રાફ દોરો.
e) સમય વિરુદ્ધ અંદાજિત વેગનો ગ્રાફ દોરો.
f) કઈ ક્ષણે શરીરની ગતિ શૂન્ય જેટલી હોય છે?
g) શું શરીર પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછા આવશે? જો એમ હોય, તો કયા સમયે (ઓ) સમયે?
h) શું શરીર મૂળમાંથી પસાર થશે? જો એમ હોય, તો કયા સમયે (ઓ) સમયે?
i) સમય વિરુદ્ધ વિસ્થાપન પ્રક્ષેપણનો ગ્રાફ દોરો.
j) સમય વિરુદ્ધ અંતરનો ગ્રાફ દોરો.

3. પાથ અને ઝડપ વચ્ચેનો સંબંધ

સમસ્યાઓ હલ કરતી વખતે, પાથ, પ્રવેગક અને વેગ (પ્રારંભિક v0, અંતિમ v, અથવા બંને) વચ્ચેના સંબંધોનો વારંવાર ઉપયોગ થાય છે. ચાલો આ સંબંધો મેળવીએ. ચાલો પ્રારંભિક ગતિ વિના ચળવળ સાથે પ્રારંભ કરીએ. સૂત્ર (1)માંથી આપણે ચળવળના સમય માટે મેળવીએ છીએ:

ચાલો આ અભિવ્યક્તિને પાથ માટે સૂત્ર (2) માં બદલીએ:

l = at2/2 = a/2(v/a)2 = v2/2a. (9)

મુખ્ય નિષ્કર્ષ:

પ્રારંભિક ગતિ વિના એકસરખી પ્રવેગક ગતિમાં, શરીર દ્વારા મુસાફરી કરવામાં આવેલું અંતર ચોરસના પ્રમાણસર હોય છે અંતિમ ગતિ.

7. સ્ટાર્ટ કર્યા પછી, કારે 40 મીટરના અંતરે 10 મીટર/સેકન્ડની ઝડપ પકડી. કારના પ્રવેગકની ગણતરી કર્યા વિના, નિર્ધારિત કરો કે જ્યારે તેની ગતિ બરાબર હતી ત્યારે ગતિની શરૂઆતથી કાર કેટલી દૂર સુધી મુસાફરી કરે છે: a) 20 m/s? b) 40 m/s? c) 5 m/s?

રિલેશનશિપ (9) એ યાદ રાખીને પણ મેળવી શકાય છે કે પાથ સંખ્યાની દૃષ્ટિએ સમય વિરુદ્ધ ઝડપના ગ્રાફ હેઠળ બંધ આકૃતિના વિસ્તારની બરાબર છે (ફિગ. 6.7).

આ વિચારણા તમને આગામી કાર્ય સાથે સરળતાથી સામનો કરવામાં મદદ કરશે.

8. આકૃતિ 6.8 નો ઉપયોગ કરીને, સાબિત કરો કે જ્યારે સતત પ્રવેગ સાથે બ્રેક મારવામાં આવે છે, ત્યારે શરીર સંપૂર્ણ સ્ટોપ સુધી lт = v02/2a અંતરની મુસાફરી કરે છે, જ્યાં v0 એ શરીરની પ્રારંભિક ગતિ છે, a એ પ્રવેગક મોડ્યુલસ છે.

બ્રેકિંગના કિસ્સામાં વાહન(કાર, ટ્રેન) સંપૂર્ણ સ્ટોપ સુધીના અંતરને બ્રેકિંગ અંતર કહેવામાં આવે છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: પ્રારંભિક ઝડપ v0 પર બ્રેકિંગ અંતર અને એ જ પ્રવેગક a સાથે સ્ટેન્ડસ્ટિલથી સ્પીડ v0 સુધીના પ્રવેગ દરમિયાન મુસાફરી કરેલું અંતર સમાન છે.

9. ડ્રાય ડામર પર ઈમરજન્સી બ્રેકિંગ દરમિયાન, કારની પ્રવેગકતા 5 m/s2 ના સંપૂર્ણ મૂલ્યમાં બરાબર છે. પ્રારંભિક ઝડપે કારનું બ્રેકિંગ અંતર કેટલું છે: a) 60 કિમી/કલાક (શહેરમાં મહત્તમ પરવાનગી ઝડપ); b) 120 કિમી/કલાક? જ્યારે પ્રવેગક મોડ્યુલ 2 m/s2 હોય ત્યારે બર્ફીલા પરિસ્થિતિઓ દરમિયાન સૂચવેલ ઝડપે બ્રેકિંગ અંતર શોધો. વર્ગખંડની લંબાઈ સાથે તમને મળેલા બ્રેકીંગ અંતરની તુલના કરો.

10. આકૃતિ 6.9 અને ટ્રેપેઝોઈડના ક્ષેત્રફળને તેની ઊંચાઈ અને પાયાના સરવાળાના અડધા ભાગ દ્વારા દર્શાવતા સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સાબિત કરો કે રેક્ટીલીનિયર સમાન ત્વરિત ગતિ માટે:
a) l = (v2 – v02)/2a, જો શરીરની ગતિ વધે છે;
b) l = (v02 – v2)/2a, જો શરીરની ઝડપ ઘટે.

11. સાબિત કરો કે વિસ્થાપનના અનુમાન, પ્રારંભિક અને અંતિમ વેગ, તેમજ પ્રવેગક સંબંધ દ્વારા સંબંધિત છે

sx = (vx2 – v0x2)/2ax (10)

12. 200 મીટરના પાથ પરની એક કાર 10 m/s થી 30 m/s ની ઝડપે ઝડપી.
a) કાર કેટલી ઝડપથી આગળ વધી રહી હતી?
b) કારને મુસાફરી કરવામાં કેટલો સમય લાગ્યો? ઉલ્લેખિત પાથ?
c) કારની સરેરાશ ઝડપ કેટલી છે?

વધારાના પ્રશ્નો અને કાર્યો

13. ચાલતી ટ્રેનમાંથી છેલ્લી કારને જોડવામાં આવે છે, ત્યારબાદ ટ્રેન એકસરખી રીતે આગળ વધે છે, અને જ્યાં સુધી તે સંપૂર્ણ સ્ટોપ પર ન આવે ત્યાં સુધી કાર સતત પ્રવેગ સાથે આગળ વધે છે.
a) ટ્રેન અને કેરેજ માટે સમય વિરુદ્ધ ઝડપના એક ડ્રોઇંગ ગ્રાફ પર દોરો.
b) કાર સ્ટોપ સુધીનું અંતર કેટલી વાર કાપે છે? ઓછી રીતએક જ સમયે ટ્રેનમાં મુસાફરી કરી?

14. સ્ટેશન છોડ્યા પછી, ટ્રેને થોડા સમય માટે એકસરખી રીતે વેગ આપ્યો, પછી 1 મિનિટ માટે - એકસરખી રીતે 60 કિમી/કલાકની ઝડપે, જે પછી તે આગલા સ્ટેશન પર ન અટકી ત્યાં સુધી ફરી એકસરખી રીતે વેગ આપ્યો. પ્રવેગક અને બ્રેકીંગ દરમિયાન પ્રવેગક મોડ્યુલો અલગ હતા. ટ્રેને સ્ટેશનો વચ્ચેનું અંતર 2 મિનિટમાં કાપ્યું.
a) સમયના કાર્ય તરીકે ટ્રેનની ગતિના પ્રક્ષેપણનો યોજનાકીય ગ્રાફ દોરો.
b) આ ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, સ્ટેશનો વચ્ચેનું અંતર શોધો.
c) જો ટ્રેન રૂટના પ્રથમ સેક્શનમાં વેગ આપે અને બીજા ભાગમાં ધીમી પડે તો તે કેટલા અંતરની મુસાફરી કરશે? તેની મહત્તમ ઝડપ કેટલી હશે?

15. શરીર x અક્ષ સાથે એકસરખી રીતે ગતિ કરે છે. પ્રારંભિક ક્ષણે તે કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ પર હતું, અને તેની ગતિનું પ્રક્ષેપણ 8 m/s બરાબર હતું. 2 સે પછી, શરીરનું સંકલન 12 મીટર બન્યું.
a) શરીરના પ્રવેગનું પ્રક્ષેપણ શું છે?
b) vx(t) નો આલેખ બનાવો.
c) SI એકમોમાં x(t) અવલંબન દર્શાવતું સૂત્ર લખો.
ડી) શું શરીરની ગતિ શૂન્ય હશે? જો હા, તો કયા સમયે?
e) શું શરીર બીજી વખત 12 મીટર સંકલન સાથે બિંદુની મુલાકાત લેશે? જો હા, તો કયા સમયે?
f) શું શરીર પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછું આવશે? જો એમ હોય તો, કયા સમયે, અને કેટલું અંતર મુસાફરી કરવામાં આવશે?

16. દબાણ પછી, બોલ રોલ અપ કરે છે વળેલું વિમાન, જે પછી તે પ્રારંભિક બિંદુ પર પાછા ફરે છે. પુશ પછી t1 અને t2 સમયાંતરે બે વખત પ્રારંભિક બિંદુથી બોલ b ના અંતરે હતો. દડો ઝોકવાળા વિમાનની સાથે પ્રવેગની સમાન તીવ્રતા સાથે ઉપર અને નીચે ખસ્યો.
a) x-અક્ષને વળાંકવાળા સમતલ સાથે ઉપર તરફ દિશામાન કરો, બોલની પ્રારંભિક સ્થિતિના બિંદુ પર મૂળ પસંદ કરો અને નિર્ભરતા x(t) ને વ્યક્ત કરતું સૂત્ર લખો, જેમાં બોલ v0 ના પ્રારંભિક વેગના મોડ્યુલસનો સમાવેશ થાય છે. અને બોલના પ્રવેગકનું મોડ્યુલસ a.
b) આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને અને હકીકત એ છે કે t1 અને t2 સમયે બોલ પ્રારંભિક બિંદુથી b ના અંતરે હતો, બે અજ્ઞાત v0 અને a સાથે બે સમીકરણોની સિસ્ટમ બનાવો.
c) સમીકરણોની આ સિસ્ટમને હલ કર્યા પછી, v0 અને a ને b, t1 અને t2 ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરો.
d) b, t1 અને t2 ની દ્રષ્ટિએ બોલ દ્વારા મુસાફરી કરેલ સમગ્ર માર્ગને વ્યક્ત કરો.
e) b = 30 cm, t1 = 1s, t2 = 2s માટે v0, a અને l ની સંખ્યાત્મક કિંમતો શોધો.
f) vx(t), sx(t), l(t) ના પ્લોટ ગ્રાફ.
g) sx(t) ના ગ્રાફનો ઉપયોગ કરીને, તે ક્ષણ નક્કી કરો જ્યારે બોલનું વિસ્થાપન મોડ્યુલસ મહત્તમ હતું.

1. તાત્કાલિક ઝડપ

આ વિભાગમાં આપણે અસમાન ગતિને ધ્યાનમાં લઈશું. જો કે, આ કિસ્સામાં આપણે રેક્ટીલિનિયર યુનિફોર્મ ગતિ વિશે જે જાણીએ છીએ તેની જરૂર પડશે.

આકૃતિ 4.1 એ 1 સેકન્ડના સમય અંતરાલ સાથે સીધા હાઇવે પર પ્રવેગક કારની સ્થિતિ દર્શાવે છે. તીર પાછળના વ્યુ મિરર તરફ નિર્દેશ કરે છે, જેની સ્થિતિ આપણે વધુ વિગતવાર ધ્યાનમાં લઈશું.

આપણે જોઈએ છીએ કે સમયના સમાન અંતરાલમાં કાર જુદા જુદા રસ્તાઓ પર મુસાફરી કરે છે, એટલે કે, તે અસમાન રીતે આગળ વધે છે.

તે તારણ આપે છે કે કોઈપણ હિલચાલ (વક્રીલીનિયર પણ) આ નોંધપાત્ર ગુણધર્મ ધરાવે છે: જો આપણે તેને પૂરતા ટૂંકા ગાળા Δt માટે ધ્યાનમાં લઈએ, તો તે રેક્ટીલીનિયર યુનિફોર્મ હિલચાલ જેવું જ છે! તદુપરાંત, સમયનો સમયગાળો જેટલો ઓછો છે, સમાનતા વધારે છે.

જો સમયની આ ક્ષણ અંતરાલ Δt માં હોય તો પૂરતા ટૂંકા ગાળામાં શરીરની ગતિને સમય t ની આપેલ ક્ષણે તેની ગતિ કહેવામાં આવે છે. અને તેનું વધુ સચોટ નામ ત્વરિત ગતિ છે.

1. આકૃતિ 4.2 નો ઉપયોગ કરીને, કારની તાત્કાલિક ગતિ નક્કી કરો. કારની લંબાઈ 5 મીટર લો.

કારની ત્વરિત ગતિનું મૂલ્ય સ્પીડોમીટર (ફિગ. 4.3) દ્વારા બતાવવામાં આવે છે.

સમય વિરુદ્ધ કોઓર્ડિનેટ્સના ગ્રાફમાંથી તાત્કાલિક ઝડપ કેવી રીતે શોધવી

2. t = 3 s ની ક્ષણે કારની ત્વરિત ગતિ કેટલી છે?

તેથી, શરીરની ત્વરિત ગતિને સ્પર્શકના કોણીય ગુણાંક અને સમય વિરુદ્ધ સંકલનના ગ્રાફ દ્વારા નક્કી કરી શકાય છે: સ્પર્શકનો કોણીય ગુણાંક જેટલો મોટો, શરીરની ઝડપ જેટલી વધારે છે. (સમય પર સંકલનની અવલંબનના આલેખ માટે સ્પર્શકનો ઉપયોગ કરીને ત્વરિત ગતિ નક્કી કરવાની વર્ણવેલ પદ્ધતિ ફંક્શનના વ્યુત્પન્નની વિભાવના સાથે સંકળાયેલી છે. તમે આ વિભાવનાનો અભ્યાસ “બીજગણિત અને આયલિસની શરૂઆત” કોર્સમાં કરશો. ”) અને ગ્રાફના તે બિંદુઓ પર જ્યાં સ્પર્શકનો ઝોકનો કોણ શૂન્ય છે, ત્યાં સમય અક્ષ tની સમાંતર એક સ્પર્શક છે, શરીરની ત્વરિત ગતિ શૂન્ય છે.

3. આકૃતિ 4.6 ને ધ્યાનમાં લો.
a) ગ્રાફ પરના કયા બિંદુઓ પર સ્પર્શકના ઝોકનો કોણ સૌથી મોટો છે? ઓછામાં ઓછું?
b) કારની હિલચાલની પ્રથમ 6 સેકન્ડ દરમિયાન તેની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તાત્કાલિક ગતિ શોધો.

2. સરેરાશ ઝડપ

ઘણી સમસ્યાઓ મુસાફરી કરેલ અંતર સાથે સંકળાયેલ સરેરાશ ઝડપનો ઉપયોગ કરે છે:

vav = l/t. (1)

આ રીતે વ્યાખ્યાયિત સરેરાશ ગતિ એ એક સ્કેલર જથ્થો છે, કારણ કે પાથ એક સ્કેલર જથ્થો છે. (કેટલીકવાર, મૂંઝવણ ટાળવા માટે, તેને સરેરાશ ગ્રાઉન્ડ સ્પીડ કહેવામાં આવે છે.)

4. જો ટ્રાફિક બંધ થવાને કારણે ડ્રાઇવિંગનો કુલ સમય 1 કલાક વધે તો કારની સરેરાશ ઝડપ કેટલી ઘટશે?

ટ્રાફિકના બે વિભાગો પર સરેરાશ ઝડપ

ઘણી સમસ્યાઓમાં, શરીરની હિલચાલને બે ક્ષેત્રોમાં ગણવામાં આવે છે, જેમાંના દરેકમાં હલનચલન સમાન ગણી શકાય. આ કિસ્સામાં, સરેરાશ ઝડપ (1) ની વ્યાખ્યા અનુસાર, આપણે લખી શકીએ છીએ:

vav = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)

ધ્યાનમાં લેવાયેલા કિસ્સામાં, સરેરાશ ઝડપ એ ઝડપના અંકગણિત સરેરાશની બરાબર હોવાનું બહાર આવ્યું છે કે જેમાં શાશા સવારી અને ચાલતી હતી. શું આ હંમેશા વાજબી છે? નીચેના ઉદાહરણનો વિચાર કરો.
શાશાને એક કલાક માટે 15 કિમી/કલાકની ઝડપે સાઇકલ ચલાવવા દો અને પછી તે જ અંતર 5 કિમી/કલાકની ઝડપે પગપાળા ચાલવા દો.

ચાલો ઉપર ચર્ચા કરેલી પરિસ્થિતિઓનો સારાંશ આપીએ.

8. v1, v2 અને t ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો:
a) l1 અને l2; b) એલ; c) સરેરાશ ઝડપ.

આ પ્રશ્નોના જવાબો મળ્યા પછી, તમે જાણશો કે નિવેદન સામાન્ય કિસ્સામાં સાચું છે કે કેમ: જો શરીર સમાન સમયગાળા માટે જુદી જુદી ગતિ સાથે બે વિભાગોમાં ખસેડવામાં આવે છે, તો પછી સમગ્ર માર્ગ પર તેની સરેરાશ ગતિ સમાન છે. બે વિભાગોમાં ગતિની ગતિનો અંકગણિત સરેરાશ.

9. v1, v2 અને l ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો:
a) t1 અને t2; b) t; c) સરેરાશ ઝડપ.

આ પ્રશ્નોના જવાબો આપીને, તમે જાણી શકશો કે સામાન્ય કિસ્સામાં વિધાન સાચું છે કે કેમ: જો કોઈ શરીર જુદી જુદી ગતિ સાથે સમાન લંબાઈના બે વિભાગો પર આગળ વધે છે, તો સમગ્ર માર્ગ સાથે તેની સરેરાશ ગતિ આના અંકગણિત સરેરાશ જેટલી નથી. ઝડપ

વધારાના પ્રશ્નો અને કાર્યો

12. સમગ્ર સમયના ત્રીજા ભાગ માટે, ટ્રેન v1 ની ઝડપે અને બાકીનો સમય v2 ની ઝડપે મુસાફરી કરી.
a) ટ્રેન દ્વારા મુસાફરી કરેલ અંતર v1, v2 અને સમગ્ર મુસાફરી સમય t માં દર્શાવો.
b) ટ્રેનની સરેરાશ ઝડપને v1 અને v2 ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો.
c) v1 = 60 km/h, v2 = 90 km/h પર સરેરાશ ઝડપનું આંકડાકીય મૂલ્ય શોધો.

કારે સમગ્ર અંતરના ત્રણ ચતુર્થાંશ ભાગ v1 ની ઝડપે અને મુસાફરીનો બાકીનો ભાગ v2 ની ઝડપે પસાર કર્યો.
a) કારની હિલચાલના સમગ્ર સમયને v1, v2 અને સમગ્ર પ્રવાસ l ની દ્રષ્ટિએ વ્યક્ત કરો.
b) કારની સરેરાશ ઝડપને v1 અને v2 ના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરો.
c) v1 = 80 km/h, v2 = 100 km/h પર સરેરાશ ઝડપનું આંકડાકીય મૂલ્ય શોધો.