સ્ટાન્ડર્ડ ઇન્ટિગ્રલ્સ. ઘાતાંકીય કાર્યો અને હાઇપરબોલિક કાર્યોના સંકલન

આ પૃષ્ઠ પર તમને મળશે:

1. વાસ્તવમાં, એન્ટિડેરિવેટિવ્સનું ટેબલ - તે પીડીએફ ફોર્મેટમાં ડાઉનલોડ કરી શકાય છે અને પ્રિન્ટ કરી શકાય છે;

2. આ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કેવી રીતે કરવો તેના પર વિડિઓ;

3. વિવિધ પાઠ્યપુસ્તકો અને પરીક્ષણોમાંથી એન્ટિડેરિવેટિવની ગણતરી કરવાના ઉદાહરણોનો સમૂહ.

વિડિઓમાં જ, અમે ઘણી સમસ્યાઓનું વિશ્લેષણ કરીશું જ્યાં તમારે ફંક્શન્સના એન્ટિડેરિવેટિવ્સની ગણતરી કરવાની જરૂર છે, ઘણી વખત ખૂબ જટિલ હોય છે, પરંતુ સૌથી અગત્યનું, તે પાવર ફંક્શન નથી. ઉપર સૂચિત કોષ્ટકમાં સારાંશ આપેલા તમામ કાર્યો હૃદયથી જાણતા હોવા જોઈએ, જેમ કે ડેરિવેટિવ્ઝ. તેમના વિના, ઇન્ટિગ્રલ્સનો વધુ અભ્યાસ અને વ્યવહારિક સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે તેમની એપ્લિકેશન અશક્ય છે.

આજે આપણે એન્ટિડેરિવેટિવ્સનો અભ્યાસ કરવાનું ચાલુ રાખીએ છીએ અને થોડી વધુ તરફ આગળ વધીએ છીએ જટિલ વિષય. જો માં છેલ્લી વખતઅમે માત્ર પાવર ફંક્શન્સ અને થોડી વધુ જટિલ રચનાઓમાંથી એન્ટિડેરિવેટિવ્સને ધ્યાનમાં લીધા, પરંતુ આજે આપણે ત્રિકોણમિતિ અને ઘણું બધું વિશ્લેષણ કરીશું.

મેં છેલ્લા પાઠમાં કહ્યું તેમ, એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ, ડેરિવેટિવ્ઝથી વિપરીત, કોઈપણ પ્રમાણભૂત નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ક્યારેય "સરળ" રીતે ઉકેલાતા નથી. તદુપરાંત, ખરાબ સમાચાર એ છે કે, ડેરિવેટિવથી વિપરીત, એન્ટિડેરિવેટિવને બિલકુલ ધ્યાનમાં લેવામાં આવશે નહીં. જો આપણે ચોક્કસ લખીએ રેન્ડમ કાર્યઅને તેનું વ્યુત્પન્ન શોધવાનો પ્રયાસ કરો, તો આ ખૂબ જ છે ઉચ્ચ સંભાવનાઅમે સફળ થઈશું, પરંતુ આ કિસ્સામાં એન્ટિડેરિવેટિવ લગભગ ક્યારેય ગણવામાં આવશે નહીં. પરંતુ સારા સમાચાર છે: પ્રાથમિક કાર્યો તરીકે ઓળખાતા કાર્યોનો એકદમ મોટો વર્ગ છે, જેનાં એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરવી ખૂબ જ સરળ છે. અને અન્ય તમામ વધુ જટિલ રચનાઓ કે જે તમામ પ્રકારના પરીક્ષણો, સ્વતંત્ર પરીક્ષણો અને પરીક્ષાઓ પર આપવામાં આવે છે, હકીકતમાં, સરવાળો, બાદબાકી અને અન્ય સરળ ક્રિયાઓ દ્વારા આ પ્રાથમિક કાર્યોની બનેલી છે. આવા કાર્યોના પ્રોટોટાઇપ્સની લાંબા સમયથી ગણતરી કરવામાં આવી છે અને વિશિષ્ટ કોષ્ટકોમાં સંકલિત કરવામાં આવી છે. તે આ કાર્યો અને કોષ્ટકો છે જેની સાથે આપણે આજે કામ કરીશું.

પરંતુ અમે હંમેશની જેમ, પુનરાવર્તન સાથે પ્રારંભ કરીશું: ચાલો યાદ રાખીએ કે એન્ટિડેરિવેટિવ શું છે, શા માટે તેમાંના ઘણા બધા છે અને તેમને કેવી રીતે વ્યાખ્યાયિત કરવું સામાન્ય દૃશ્ય. આ કરવા માટે, મેં બે સરળ સમસ્યાઓ પસંદ કરી.

સરળ ઉદાહરણો ઉકેલવા

ઉદાહરણ #1

ચાલો તરત જ નોંધ લઈએ કે $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ અને સામાન્ય રીતે $\text( )\!\!\pi\ ની હાજરી !\!\ text( )$ તરત જ અમને સંકેત આપે છે કે ફંક્શનનું જરૂરી એન્ટિડેરિવેટિવ ત્રિકોણમિતિ સાથે સંબંધિત છે. અને, ખરેખર, જો આપણે કોષ્ટક જોઈએ, તો આપણને મળશે કે $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ એ $\text(arctg)x$ કરતાં વધુ કંઈ નથી. તો ચાલો તેને લખીએ:

શોધવા માટે, તમારે નીચે લખવાની જરૂર છે:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )) (3)+C\]

ઉદાહરણ નંબર 2

અહીં પણ અમે વાત કરી રહ્યા છીએઓ ત્રિકોણમિતિ કાર્યો. જો આપણે ટેબલ પર નજર કરીએ, તો ખરેખર, આ થાય છે:

અમારે એન્ટીડેરિવેટિવ્સના સમગ્ર સમૂહમાંથી તે શોધવાની જરૂર છે જે દર્શાવેલ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)+C\]

ચાલો છેલ્લે તેને લખીએ:

તે સરળ છે. એકમાત્ર સમસ્યાએન્ટીડેરિવેટિવ્સની ગણતરી કરવી છે સરળ કાર્યો, તમારે એન્ટિડેરિવેટિવ્સનું કોષ્ટક શીખવાની જરૂર છે. જો કે, તમારા માટે વ્યુત્પન્ન કોષ્ટકનો અભ્યાસ કર્યા પછી, મને લાગે છે કે આ કોઈ સમસ્યા નહીં હોય.

ઘાતાંકીય કાર્ય ધરાવતી સમસ્યાઓનું નિરાકરણ

શરૂ કરવા માટે, ચાલો નીચેના સૂત્રો લખીએ:

\[(e)^(x)\to ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

ચાલો જોઈએ કે આ બધું વ્યવહારમાં કેવી રીતે કાર્ય કરે છે.

ઉદાહરણ #1

જો આપણે કૌંસના સમાવિષ્ટો પર ધ્યાન આપીએ, તો આપણે જોશું કે એન્ટિડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાં ચોરસમાં $(e)^(x))$ માટે આવી કોઈ અભિવ્યક્તિ નથી, તેથી આ ચોરસનો વિસ્તાર કરવો આવશ્યક છે. આ કરવા માટે, અમે સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

ચાલો દરેક શબ્દો માટે એન્ટિડેરિવેટિવ શોધીએ:

\[(e)^(2x))=((\left(((e)^(2)) \right))^(x))\to \frac(((\left(((e))^ (2)) \right))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[(e)^(-2x))=((\left(((e)^(-2)) \જમણે))^(x))\to \frac((\left(((e) )^(-2)) \જમણે))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

હવે ચાલો તમામ શબ્દોને એક જ અભિવ્યક્તિમાં એકત્રિત કરીએ અને સામાન્ય એન્ટિડેરિવેટિવ મેળવીએ:

ઉદાહરણ નંબર 2

આ વખતે ડિગ્રી મોટી છે, તેથી સંક્ષિપ્ત ગુણાકાર સૂત્ર તદ્દન જટિલ હશે. તો ચાલો કૌંસ ખોલીએ:

ચાલો હવે આ રચનામાંથી અમારા સૂત્રનું એન્ટિડેરિવેટિવ લેવાનો પ્રયાસ કરીએ:

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આદિકાળમાં ઘાતાંકીય કાર્યત્યાં કંઈ જટિલ અથવા અલૌકિક નથી. તે બધાની ગણતરી કોષ્ટકો દ્વારા કરવામાં આવે છે, પરંતુ સચેત વિદ્યાર્થીઓ કદાચ જોશે કે એન્ટિડેરિવેટિવ $((e)^(2x))$ એ $((a)^(x))$ કરતાં માત્ર $((e)^(x))$ ની ઘણી નજીક છે. )^(x ))$. તેથી કદાચ ત્યાં વધુ છે ખાસ નિયમ, જે એન્ટીડેરિવેટિવ $((e)^(x))$ ને જાણીને $((e)^(2x))$ શોધવાની પરવાનગી આપે છે? હા, આવો નિયમ છે. અને, વધુમાં, તે એન્ટિડેરિવેટિવ્સના ટેબલ સાથે કામ કરવાનો એક અભિન્ન ભાગ છે. હવે અમે એ જ અભિવ્યક્તિઓનો ઉપયોગ કરીને તેનું વિશ્લેષણ કરીશું જેની સાથે અમે હમણાં જ ઉદાહરણ તરીકે કામ કર્યું છે.

એન્ટિડેરિવેટિવ્સના ટેબલ સાથે કામ કરવાના નિયમો

ચાલો આપણું કાર્ય ફરીથી લખીએ:

અગાઉના કિસ્સામાં, અમે ઉકેલવા માટે નીચેના સૂત્રનો ઉપયોગ કર્યો:

\[(a)^(x)\to \frac(((a)^(x)))(\operatorname(lna))\]

પરંતુ હવે ચાલો તેને થોડી અલગ રીતે કરીએ: ચાલો યાદ કરીએ કે $((e)^(x))\to ((e)^(x))$ કયા આધારે. મેં પહેલેથી જ કહ્યું તેમ, કારણ કે વ્યુત્પન્ન $((e)^(x))$ એ $((e)^(x))$ કરતાં વધુ કંઈ નથી, તેથી તેનું એન્ટિડેરિવેટિવ સમાન $((e)^ સમાન હશે. (x))$. પરંતુ સમસ્યા એ છે કે અમારી પાસે $(e)^(2x))$ અને $((e)^(-2x))$ છે. હવે ચાલો $((e)^(2x))$ નું વ્યુત્પન્ન શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ:

\[((\left(((e)^(2x)) \right)^(\prime))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

ચાલો આપણું બાંધકામ ફરીથી લખીએ:

\[(\left(((e)^(2x)) \right)^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[(e)^(2x))=((\left(\frac((e)^(2x)))(2) \જમણે))^(\prime ))\]

આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે આપણે એન્ટીડેરિવેટિવ $((e)^(2x))$ શોધીએ છીએ ત્યારે આપણને નીચે મુજબ મળે છે:

\[(e)^(2x)\to \frac(((e)^(2x)))(2)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, અમને પહેલા જેવું જ પરિણામ મળ્યું છે, પરંતુ અમે $((a)^(x))$ શોધવા માટે ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કર્યો નથી. હવે આ મૂર્ખ લાગે છે: જ્યારે પ્રમાણભૂત સૂત્ર હોય ત્યારે ગણતરીઓ શા માટે જટિલ બનાવવી? જો કે, થોડી વધુ જટિલ અભિવ્યક્તિઓતમે જોશો કે આ તકનીક ખૂબ અસરકારક છે, એટલે કે. એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટે ડેરિવેટિવ્ઝનો ઉપયોગ કરવો.

વોર્મ-અપ તરીકે, ચાલો એ જ રીતે $((e)^(2x))$ નું એન્ટિડેરિવેટિવ શોધીએ:

\[(\left(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[(e)^(-2x))=((\left(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \જમણે))^(\prime ))\]

ગણતરી કરતી વખતે, આપણું બાંધકામ નીચે મુજબ લખવામાં આવશે:

\[(e)^(-2x))\to -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[(e)^(-2x))\to -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

અમને બરાબર એ જ પરિણામ મળ્યું, પરંતુ એક અલગ રસ્તો અપનાવ્યો. તે આ માર્ગ છે, જે હવે અમને થોડો વધુ જટિલ લાગે છે, જે ભવિષ્યમાં વધુ જટિલ એન્ટિડેરિવેટિવ્સની ગણતરી કરવા અને કોષ્ટકોનો ઉપયોગ કરવા માટે વધુ અસરકારક સાબિત થશે.

ધ્યાન આપો! આ ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ બિંદુ: એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ, ડેરિવેટિવ્ઝની જેમ, સમૂહ ગણી શકાય વિવિધ રીતે. જો કે, જો બધી ગણતરીઓ અને ગણતરીઓ સમાન હોય, તો જવાબ એક જ હશે. અમે હમણાં જ $(e)^(-2x))$ ના ઉદાહરણમાં આ જોયું છે - એક તરફ, અમે આ એન્ટિડેરિવેટિવની "રાઇટ થ્રુ" ગણતરી કરી, વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને અને બીજી તરફ ટ્રાન્સફોર્મેશનનો ઉપયોગ કરીને તેની ગણતરી કરી, અમને યાદ છે કે $ ((e)^(-2x))$ ને $((\left((e)^(-2)) \right))^(x))$ તરીકે રજૂ કરી શકાય છે અને પછી જ અમે તેનો ઉપયોગ કર્યો ફંક્શન $(a)^(x))$ માટે એન્ટિડેરિવેટિવ. જો કે, તમામ પરિવર્તનો પછી, પરિણામ અપેક્ષા મુજબ જ આવ્યું.

અને હવે જ્યારે આપણે આ બધું સમજીએ છીએ, ત્યારે કંઈક વધુ નોંધપાત્ર તરફ આગળ વધવાનો સમય છે. હવે અમે બે સરળ બાંધકામોનું વિશ્લેષણ કરીશું, પરંતુ તેમને હલ કરતી વખતે ઉપયોગમાં લેવાતી તકનીક એ ટેબલમાંથી પડોશી એન્ટિડેરિવેટિવ્સ વચ્ચે ફક્ત "ચાલવા" કરતાં વધુ શક્તિશાળી અને ઉપયોગી સાધન છે.

સમસ્યાનું નિરાકરણ: ​​કાર્યનું એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવું

ઉદાહરણ #1

ચાલો અંશમાં રહેલી રકમને ત્રણ અલગ-અલગ અપૂર્ણાંકમાં વિભાજીત કરીએ:

આ એકદમ કુદરતી અને સમજી શકાય તેવું સંક્રમણ છે - મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓને તેની સાથે કોઈ સમસ્યા નથી. ચાલો આપણી અભિવ્યક્તિને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ:

હવે ચાલો આ સૂત્ર યાદ કરીએ:

અમારા કિસ્સામાં અમને નીચેના મળશે:

આ તમામ ત્રણ-માળના અપૂર્ણાંકોથી છુટકારો મેળવવા માટે, હું નીચે મુજબ કરવાનું સૂચન કરું છું:

ઉદાહરણ નંબર 2

અગાઉના અપૂર્ણાંકથી વિપરીત, છેદ એ ઉત્પાદન નથી, પરંતુ રકમ છે. આ કિસ્સામાં, આપણે હવે આપણા અપૂર્ણાંકને અનેકના સરવાળામાં વિભાજિત કરી શકતા નથી સરળ અપૂર્ણાંક, પરંતુ તમારે કોઈક રીતે એ સુનિશ્ચિત કરવાનો પ્રયાસ કરવાની જરૂર છે કે અંશમાં લગભગ સમાન અભિવ્યક્તિ છેદ છે. IN આ કિસ્સામાંઆ કરવા માટે તે એકદમ સરળ છે:

આ સંકેત, જેને ગાણિતિક ભાષામાં "શૂન્ય ઉમેરવું" કહેવામાં આવે છે, તે અમને ફરીથી અપૂર્ણાંકને બે ટુકડાઓમાં વિભાજીત કરવાની મંજૂરી આપશે:

હવે આપણે જે શોધી રહ્યા હતા તે શોધીએ:

આટલી બધી ગણતરીઓ છે. માં કરતાં દેખીતી મોટી જટિલતા હોવા છતાં અગાઉનું કાર્ય, ગણતરીની રકમ પણ નાની હોવાનું બહાર આવ્યું છે.

ઉકેલની ઘોંઘાટ

અને આ તે છે જ્યાં ટેબ્યુલર એન્ટિડેરિવેટિવ્સ સાથે કામ કરવાની મુખ્ય મુશ્કેલી રહે છે, આ બીજા કાર્યમાં ખાસ કરીને નોંધનીય છે. હકીકત એ છે કે કોષ્ટક દ્વારા સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય તેવા કેટલાક ઘટકોને પસંદ કરવા માટે, આપણે ખરેખર શું શોધી રહ્યા છીએ તે જાણવાની જરૂર છે, અને તે આ તત્વોની શોધમાં છે કે એન્ટિડેરિવેટિવ્સની સંપૂર્ણ ગણતરી સમાવે છે.

બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, માત્ર એન્ટીડેરિવેટિવ્ઝના ટેબલને યાદ રાખવું પૂરતું નથી - તમારે એવું કંઈક જોવા માટે સક્ષમ બનવાની જરૂર છે જે હજી અસ્તિત્વમાં નથી, પરંતુ આ સમસ્યાના લેખક અને કમ્પાઈલરનો અર્થ શું છે. તેથી જ ઘણા ગણિતશાસ્ત્રીઓ, શિક્ષકો અને પ્રોફેસરો સતત દલીલ કરે છે: "એન્ટિડેરિવેટિવ્સ અથવા એકીકરણ શું લે છે - શું તે માત્ર એક સાધન છે કે તે વાસ્તવિક કલા છે?" વાસ્તવમાં, મારા અંગત મતે, એકીકરણ એ કળા જ નથી - તેમાં કંઈ ઉત્કૃષ્ટ નથી, તે માત્ર પ્રેક્ટિસ અને વધુ પ્રેક્ટિસ છે. અને પ્રેક્ટિસ કરવા માટે, ચાલો ત્રણ વધુ ગંભીર ઉદાહરણો હલ કરીએ.

અમે વ્યવહારમાં એકીકરણની તાલીમ આપીએ છીએ

કાર્ય નંબર 1

ચાલો નીચેના સૂત્રો લખીએ:

\[(x)^(n)\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\to \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\to \text(arctg)x\]

ચાલો નીચે લખીએ:

સમસ્યા નંબર 2

ચાલો તેને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખીએ:

કુલ એન્ટિડેરિવેટિવ સમાન હશે:

સમસ્યા નંબર 3

આ કાર્યની મુશ્કેલી એ છે કે, ઉપરના અગાઉના કાર્યોથી વિપરીત, ત્યાં કોઈ ચલ નથી $x$, એટલે કે. નીચે જે છે તેના જેવું ઓછામાં ઓછું કંઈક મેળવવા માટે શું ઉમેરવું કે બાદબાકી કરવી તે અમને સ્પષ્ટ નથી. જો કે, હકીકતમાં, આ અભિવ્યક્તિ અગાઉના બાંધકામોમાંથી કોઈપણ અભિવ્યક્તિ કરતાં પણ સરળ માનવામાં આવે છે, કારણ કે આ કાર્યનીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

તમે હવે પૂછી શકો છો: શા માટે આ કાર્યો સમાન છે? ચાલો તપાસીએ:

ચાલો તેને ફરીથી લખીએ:

ચાલો આપણી અભિવ્યક્તિને થોડું રૂપાંતરિત કરીએ:

અને જ્યારે હું મારા વિદ્યાર્થીઓને આ બધું સમજાવું છું, ત્યારે લગભગ હંમેશા એક જ સમસ્યા ઊભી થાય છે: પ્રથમ કાર્ય સાથે બધું વધુ કે ઓછું સ્પષ્ટ છે, બીજા સાથે તમે તેને નસીબ અથવા અભ્યાસ દ્વારા પણ આકૃતિ કરી શકો છો, પરંતુ તમે કેવા પ્રકારની વૈકલ્પિક ચેતના કરો છો? ત્રીજા ઉદાહરણને હલ કરવા માટે તેની જરૂર છે? ખરેખર, ગભરાશો નહીં. છેલ્લી એન્ટિડેરિવેટિવની ગણતરી કરતી વખતે અમે જે ટેકનિકનો ઉપયોગ કર્યો તેને "ફંક્શનનું તેના સૌથી સરળમાં વિઘટન" કહેવામાં આવે છે, અને આ એક ખૂબ જ ગંભીર તકનીક છે, અને તેના માટે એક અલગ વિડિઓ પાઠ સમર્પિત કરવામાં આવશે.

આ દરમિયાન, હું અમે હમણાં જે અભ્યાસ કર્યો છે તેના પર પાછા ફરવાનો પ્રસ્તાવ મૂકું છું, એટલે કે, ઘાતાંકીય કાર્યો અને તેમની સામગ્રી સાથેની સમસ્યાઓને કંઈક અંશે જટિલ બનાવે છે.

એન્ટિડેરિવેટિવ ઘાતાંકીય કાર્યોને ઉકેલવા માટે વધુ જટિલ સમસ્યાઓ

કાર્ય નંબર 1

ચાલો નીચેની નોંધ કરીએ:

\[(2)^(x)\cdot ((5)^(x))=((\left(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

આ અભિવ્યક્તિનું એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવા માટે, ફક્ત પ્રમાણભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરો - $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

અમારા કિસ્સામાં, એન્ટિડેરિવેટિવ આના જેવું હશે:

અલબત્ત, અમે હમણાં જ ઉકેલેલી ડિઝાઇનની તુલનામાં, આ એક સરળ લાગે છે.

સમસ્યા નંબર 2

ફરીથી, તે જોવાનું સરળ છે કે આ કાર્યને સરળતાથી બે અલગ-અલગ શબ્દોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે - બે અલગ અપૂર્ણાંક. ચાલો ફરીથી લખીએ:

ઉપર વર્ણવેલ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને આ દરેક શબ્દોના એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવાનું બાકી છે:

પાવર ફંક્શન્સની તુલનામાં ઘાતાંકીય કાર્યોની સ્પષ્ટ વધુ જટિલતા હોવા છતાં, ગણતરીઓ અને ગણતરીઓનું એકંદર વોલ્યુમ ઘણું સરળ બન્યું.

અલબત્ત માટે જાણકાર વિદ્યાર્થીઓઆપણે હમણાં જે ચર્ચા કરી છે (ખાસ કરીને આપણે અત્યાર સુધી જે ચર્ચા કરી છે તેની પૃષ્ઠભૂમિ સામે) પ્રાથમિક અભિવ્યક્તિઓ જેવી લાગે છે. જો કે, આજના વિડિયો પાઠ માટે આ બે સમસ્યાઓ પસંદ કરતી વખતે, મેં તમને બીજી જટિલ અને અત્યાધુનિક તકનીક કહેવાનો ધ્યેય નક્કી કર્યો ન હતો - હું તમને ફક્ત એટલું જ બતાવવા માંગુ છું કે તમે મૂળ કાર્યોને પરિવર્તિત કરવા માટે પ્રમાણભૂત બીજગણિત તકનીકોનો ઉપયોગ કરવાથી ડરશો નહીં. .

"ગુપ્ત" તકનીકનો ઉપયોગ કરીને

નિષ્કર્ષમાં, હું બીજી રસપ્રદ તકનીક જોવા માંગુ છું, જે, એક તરફ, આજે આપણે મુખ્યત્વે જેની ચર્ચા કરી છે તેના અવકાશની બહાર જાય છે, પરંતુ, બીજી બાજુ, તે, પ્રથમ, બિલકુલ જટિલ નથી, એટલે કે. શિખાઉ વિદ્યાર્થીઓ પણ તેમાં નિપુણતા મેળવી શકે છે, અને બીજું, તે ઘણી વાર તમામ પ્રકારના પરીક્ષણો અને પરીક્ષણોમાં જોવા મળે છે. સ્વતંત્ર કાર્ય, એટલે કે એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકના જ્ઞાન ઉપરાંત તેનું જ્ઞાન ખૂબ જ ઉપયોગી થશે.

કાર્ય નંબર 1

દેખીતી રીતે, આપણી સમક્ષ જે છે તે કંઈક ખૂબ જ સમાન છે પાવર કાર્ય. આ કિસ્સામાં આપણે શું કરવું જોઈએ? ચાલો તેના વિશે વિચારીએ: $x-5$ એ $x$ થી ઘણું અલગ નથી - તેઓએ હમણાં જ $-5$ ઉમેર્યા. ચાલો તેને આ રીતે લખીએ:

\[(x)^(4)\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[(\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

ચાલો $((\left(x-5 \right))^(5))$ નું વ્યુત્પન્ન શોધવાનો પ્રયાસ કરીએ:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

તે આમાંથી નીચે મુજબ છે:

\[((\left(x-5 \right))^(4))=((\left(\frac((\left(x-5 \right))^(5)))(5) \ જમણે))^(\પ્રાઈમ))\]

કોષ્ટકમાં આવી કોઈ કિંમત નથી, તેથી આપણે હવે આ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીને જાતે મેળવ્યું છે પ્રમાણભૂત સૂત્રપાવર ફંક્શન માટે એન્ટિડેરિવેટિવ. ચાલો આ રીતે જવાબ લખીએ:

સમસ્યા નંબર 2

ઘણા વિદ્યાર્થીઓ કે જેઓ પ્રથમ સોલ્યુશન જુએ છે તેઓ વિચારી શકે છે કે બધું ખૂબ જ સરળ છે: ફક્ત $x$ ને પાવર ફંક્શનમાં રેખીય અભિવ્યક્તિ સાથે બદલો, અને બધું જ સ્થાને આવી જશે. કમનસીબે, બધું એટલું સરળ નથી, અને હવે આપણે આ જોઈશું.

પ્રથમ અભિવ્યક્તિ સાથે સામ્યતા દ્વારા, અમે નીચે લખીએ છીએ:

\[(x)^(9)\to \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime))=10\cdot ((\left(4-3x \જમણે)) ^(9))\cdot ((\left(4-3x \જમણે))^(\prime))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \જમણે)) ^(9))\]

અમારા વ્યુત્પન્ન પર પાછા ફરીને, અમે લખી શકીએ છીએ:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime))=-30\cdot ((\left(4-3x \જમણે) )^(9))\]

\[(\left(4-3x \જમણે))^(9))=((\left(\frac((\left(4-3x \right))^(10)))(-30) \જમણે))^(\પ્રાઈમ))\]

આ તરત જ નીચે મુજબ છે:

ઉકેલની ઘોંઘાટ

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: જો છેલ્લી વખતે અનિવાર્યપણે કંઈપણ બદલાયું નથી, તો પછી બીજા કિસ્સામાં, $-10$ ને બદલે, $-30$ દેખાયા. $-10$ અને $-30$ વચ્ચે શું તફાવત છે? દેખીતી રીતે, $-3$ ના પરિબળ દ્વારા. પ્રશ્ન: તે ક્યાંથી આવ્યું? નજીકથી જોતાં, તમે જોઈ શકો છો કે તે વ્યુત્પન્નની ગણતરીના પરિણામે લેવામાં આવ્યું હતું જટિલ કાર્ય— જે ગુણાંક $x$ હતો તે નીચે એન્ટિડેરિવેટિવમાં દેખાય છે. આ ખૂબ જ છે મહત્વપૂર્ણ નિયમ, જેની મેં શરૂઆતમાં આજના વિડીયો ટ્યુટોરીયલમાં ચર્ચા કરવાની યોજના નહોતી કરી, પરંતુ તેના વિના ટેબ્યુલર એન્ટીડેરીવેટીવ્સની રજૂઆત અધૂરી રહેશે.

તો ચાલો તેને ફરીથી કરીએ. આપણું મુખ્ય પાવર ફંક્શન રહેવા દો:

\[(x)^(n)\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

હવે, $x$ ને બદલે, ચાલો સમીકરણ $kx+b$ ને બદલીએ. પછી શું થશે? આપણે નીચેના શોધવાની જરૂર છે:

\[((\left(kx+b \right))^(n))\to \frac((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1) \જમણે)\cdot k)\]

આપણે કયા આધારે આ દાવો કરીએ છીએ? ખૂબ જ સરળ. ચાલો ઉપર લખેલા બાંધકામનું વ્યુત્પન્ન શોધીએ:

\[(\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\left(kx+b \right))^(n))\]

આ એ જ અભિવ્યક્તિ છે જે મૂળ અસ્તિત્વમાં છે. આમ, આ સૂત્ર પણ સાચું છે, અને તેનો ઉપયોગ એન્ટિડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકને પૂરક બનાવવા માટે થઈ શકે છે, અથવા આખું ટેબલ યાદ રાખવું વધુ સારું છે.

"ગુપ્ત: તકનીકમાંથી નિષ્કર્ષ:

• બંને કાર્યો કે જે આપણે હમણાં જ જોયા છે, તે હકીકતમાં, ડિગ્રીને વિસ્તૃત કરીને કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ એન્ટિડેરિવેટિવ્સમાં ઘટાડી શકાય છે, પરંતુ જો આપણે વધુ કે ઓછા પ્રમાણમાં ચોથી ડિગ્રીનો સામનો કરી શકીએ, તો હું નવમી ડિગ્રીને પણ ધ્યાનમાં લઈશ નહીં. જાહેર કરવાની હિંમત કરી.
• જો આપણે સત્તાઓનું વિસ્તરણ કરીશું, તો આપણને આટલી ગણતરીઓ મળશે સરળ કાર્યઅમારી પાસેથી અપૂરતું ઉધાર લેશે મોટી સંખ્યામાંસમય
• તેથી જ આવી સમસ્યાઓ, જેમાં રેખીય અભિવ્યક્તિઓ હોય છે, તેને "હેડલોંગ" હલ કરવાની જરૂર નથી. જલદી તમે એક એન્ટિડેરિવેટિવ જોશો કે જે ટેબલમાં માત્ર $kx+b$ અભિવ્યક્તિની હાજરીથી અલગ પડે છે, તરત જ ઉપર લખેલ ફોર્મ્યુલા યાદ રાખો, તેને તમારા ટેબલ એન્ટિડેરિવેટિવમાં બદલો, અને બધું ખૂબ જ બહાર આવશે. ઝડપી અને સરળ.

સ્વાભાવિક રીતે, આ તકનીકની જટિલતા અને ગંભીરતાને લીધે, અમે ભવિષ્યના વિડિયો પાઠોમાં ઘણી વખત તેના વિચારણા પર પાછા આવીશું, પરંતુ આટલું જ આજ માટે છે. હું આશા રાખું છું કે આ પાઠ ખરેખર એવા વિદ્યાર્થીઓને મદદ કરશે કે જેઓ એન્ટિડેરિવેટિવ્સ અને એકીકરણને સમજવા માગે છે.

પ્રિન્સિપલ ઇન્ટિગ્રલ્સ કે જે દરેક વિદ્યાર્થીએ જાણવું જોઈએ

સૂચિબદ્ધ અવિભાજ્ય આધાર છે, મૂળભૂત બાબતોનો આધાર. આ સૂત્રો ચોક્કસપણે યાદ રાખવા જોઈએ. જ્યારે વધુ ગણતરી જટિલ સંકલનતમારે તેનો સતત ઉપયોગ કરવો પડશે.

કૃપા કરીને ચૂકવણી કરો ખાસ ધ્યાનસૂત્રો (5), (7), (9), (12), (13), (17) અને (19). સંકલન કરતી વખતે તમારા જવાબમાં મનસ્વી સતત C ઉમેરવાનું ભૂલશો નહીં!

અચળનું અવિભાજ્ય

પાવર ફંક્શનને એકીકૃત કરવું

વાસ્તવમાં, આપણી જાતને ફક્ત સૂત્રો (5) અને (7) સુધી મર્યાદિત કરવું શક્ય હતું, પરંતુ આ જૂથમાંથી બાકીના અભિન્ન ઘટકો એટલી વાર આવે છે કે તેમના પર થોડું ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

ઘાતાંકીય કાર્યો અને હાઇપરબોલિક કાર્યોના સંકલન

અલબત્ત, સૂત્ર (8) (કદાચ યાદ રાખવા માટે સૌથી અનુકૂળ) તરીકે ગણી શકાય ખાસ કેસસૂત્રો (9). ના પૂર્ણાંકો માટે સૂત્રો (10) અને (11). હાયપરબોલિક સાઈનઅને હાઇપરબોલિક કોસાઇનફોર્મ્યુલા (8) માંથી સરળતાથી ઉતરી આવ્યા છે, પરંતુ આ સંબંધોને યાદ રાખવું વધુ સારું છે.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના મૂળભૂત સંકલન

વિદ્યાર્થીઓ ઘણીવાર ભૂલ કરે છે કે તેઓ સૂત્રો (12) અને (13) માં ચિહ્નોને ગૂંચવતા હોય છે. યાદ રાખવું કે સાઈનનું વ્યુત્પન્ન કોસાઈન સમાન છે, કેટલાક કારણોસર ઘણા લોકો માને છે કે sinx કાર્યો cosx ની બરાબર. આ સાચું નથી! સાઈનનું ઈન્ટિગ્રલ "માઈનસ કોસાઈન" બરાબર છે, પરંતુ કોસેક્સનું ઈન્ટિગ્રલ "માત્ર સાઈન" બરાબર છે:

∫ પાપ x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 પાપ 2 x d x = − c t g x + C (15)

વ્યસ્ત ત્રિકોણમિતિ વિધેયોને ઘટાડતા ઇન્ટિગ્રલ્સ

સૂત્ર (16), આર્ક્ટેંજેન્ટ તરફ દોરી જાય છે, એ કુદરતી રીતે a=1 માટે સૂત્ર (17) નો વિશેષ કેસ છે. તેવી જ રીતે, (18) એ (19) નો વિશેષ કેસ છે.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

વધુ જટિલ ઇન્ટિગ્રલ

આ સૂત્રો યાદ રાખવાની પણ સલાહ આપવામાં આવે છે. તેઓ ઘણી વાર ઉપયોગમાં લેવાય છે, અને તેમનું આઉટપુટ ખૂબ કંટાળાજનક છે.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln |
x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln |
x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

એકીકરણના સામાન્ય નિયમો 1) બે કાર્યોના સરવાળાનું અવિભાજ્યસરવાળો સમાન

અનુરૂપ પૂર્ણાંકો: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) બે કાર્યોના તફાવતનું અવિભાજ્ય

તફાવત સમાન અનુરૂપ પૂર્ણાંકો: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26) 3) અવિભાજ્ય ચિહ્નમાંથી સ્થિરાંક લઈ શકાય છે: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

તે જોવાનું સરળ છે કે મિલકત (26) ફક્ત ગુણધર્મો (25) અને (27) નું સંયોજન છે.

4) જટિલ કાર્યનું અભિન્ન અંગ, જો આંતરિક કાર્યરેખીય છે: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

અહીં F(x) ફંક્શન f(x) માટે એન્ટિડેરિવેટિવ છે. મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: આ સૂત્ર ત્યારે જ કામ કરે છે જ્યારે આંતરિક કાર્ય Ax + B હોય.

મહત્વપૂર્ણ: અસ્તિત્વમાં નથી સાર્વત્રિક સૂત્રબે કાર્યોના ઉત્પાદનના અવિભાજ્ય માટે, તેમજ અપૂર્ણાંકના સંકલન માટે:

∫ f (x) g (x) d x = ?

ચાલો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ (25) અને (26) (ફંક્શનના સરવાળા અથવા તફાવતનો અભિન્ન ભાગ અનુરૂપ પૂર્ણાંકોના સરવાળા અથવા તફાવત જેટલો છે. આપણે મેળવીએ છીએ: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

ચાલો યાદ રાખીએ કે અવિભાજ્ય ચિહ્ન (સૂત્ર (27)) માંથી સ્થિરાંક લઈ શકાય છે. અભિવ્યક્તિ સ્વરૂપમાં રૂપાંતરિત થાય છે

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e ​​x d x + 12 ∫ 1 d x

હવે ચાલો મૂળભૂત પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીએ. આપણે સૂત્રો (3), (12), (8) અને (1) લાગુ કરવાની જરૂર પડશે. ચાલો પાવર ફંક્શન, સાઈન, ઘાતાંકીય અને અચલ 1 ને એકીકૃત કરીએ. અંતમાં એક આર્બિટરી કોન્સ્ટન્ટ C ઉમેરવાનું ભૂલશો નહીં:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

પછી પ્રાથમિક પરિવર્તનોઅમને અંતિમ જવાબ મળે છે:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

તમારી જાતને ભિન્નતા સાથે પરીક્ષણ કરો: લો પરિણામી કાર્યનું વ્યુત્પન્નઅને ખાતરી કરો કે તે મૂળ સંકલિત અભિવ્યક્તિ સમાન છે.

પૂર્ણાંકોનું સારાંશ કોષ્ટક

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln |

x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) ∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | (x + x 2 − a 2 | + C (a > 0), આ લિંક પરથી ઇન્ટિગ્રલ્સનું કોષ્ટક (ભાગ II) ડાઉનલોડ કરોજો તમે યુનિવર્સિટીમાં અભ્યાસ કરી રહ્યાં છો, જો તમને મુશ્કેલીઓ હોય તો ઉચ્ચ ગણિતગાણિતિક વિશ્લેષણ

રેખીય બીજગણિત

, સંભાવના સિદ્ધાંત, આંકડા), જો તમને યોગ્ય શિક્ષકની સેવાઓની જરૂર હોય, તો પૃષ્ઠ પર જાઓઅને એકીકરણ પદ્ધતિઓ. રકમ અથવા તફાવતને એકીકૃત કરવાનો નિયમ. અવિભાજ્ય ચિહ્નની બહાર સતત ખસેડવું. વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ. ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટે ફોર્મ્યુલા. સમસ્યા હલ કરવાનું ઉદાહરણ.

એકીકરણની ચાર મુખ્ય પદ્ધતિઓ નીચે સૂચિબદ્ધ છે.

1) રકમ અથવા તફાવતને એકીકૃત કરવાનો નિયમ.
.
અહીં અને નીચે u, v, w એ ઈન્ટીગ્રેશન વેરીએબલ x ના ફંક્શન છે.

2) અવિભાજ્ય ચિહ્નની બહાર સતત ખસેડવું.
c એ x થી અચળ સ્વતંત્ર રહેવા દો.

3) પછી તે અભિન્ન ચિહ્નમાંથી બહાર લઈ શકાય છે.
વેરિયેબલ રિપ્લેસમેન્ટ પદ્ધતિ.
ચાલો અનિશ્ચિત અભિન્ન ગણીએ. જો આપણે આવા ફંક્શન શોધી શકીએ φ(x)
,
x થી, તેથી
.

4) પછી, ચલ t = φ(x) ને બદલીને, આપણી પાસે છે
,
ભાગો દ્વારા એકીકરણ માટે ફોર્મ્યુલા.

જ્યાં u અને v એકીકરણ ચલના કાર્યો છે.અલ્ટીમેટ ગોલ અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકોની ગણતરીનો અર્થ થાય છે, રૂપાંતરણો દ્વારા, આપેલ અવિભાજ્યને સરળ અવિભાજ્યમાં ઘટાડવું, જેને ટેબ્યુલર ઇન્ટિગ્રલ કહેવામાં આવે છે. ટેબલ ઇન્ટિગ્રલ દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છેપ્રાથમિક કાર્યો દ્વારા.
જાણીતા સૂત્રો

ઇન્ટિગ્રલ્સનું કોષ્ટક જુઓ >>>

ઉદાહરણ

અનિશ્ચિત પૂર્ણાંકની ગણતરી કરો

ઉકેલ
અમે નોંધીએ છીએ કે સંકલન એ ત્રણ શબ્દોનો સરવાળો અને તફાવત છે:
, અને . 1 .

પદ્ધતિ લાગુ 5, 4, અને 2 આગળ, અમે નોંધીએ છીએ કે નવા અવિભાજ્યના અવિભાજ્યને સ્થિરાંકો વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે 2 .

, અનુક્રમે. પદ્ધતિ લાગુ
.
પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાં આપણે સૂત્ર શોધીએ છીએ 2 ધારવું n =

, આપણે પ્રથમ અભિન્ન શોધીએ છીએ.
.
ચાલો ફોર્મમાં બીજા અવિભાજ્યને ફરીથી લખીએ

અમે તે નોંધીએ છીએ. પછી.
.
ચાલો ત્રીજી પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ. આપણે ચલ t = φ બદલીએ છીએ

(x) = લોગ x પૂર્ણાંકોના કોષ્ટકમાં આપણે સૂત્ર શોધીએ છીએત્યારથી

એકીકરણ ચલ
.
પછી કોઈપણ અક્ષર દ્વારા સૂચિત કરી શકાય છે
ચાલો ફોર્મમાં ત્રીજા અવિભાજ્યને ફરીથી લખીએ
અમે ભાગો સૂત્ર દ્વારા એકીકરણ લાગુ કરીએ છીએ.
;
;

;
;
.

ચાલો મૂકીએ. પછીવધુ માં પ્રારંભિક સામગ્રીવ્યુત્પન્ન શોધવાનો પ્રશ્ન ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યો હતો અને તેના વિવિધ કાર્યક્રમો: ગણતરી

ઢાળ

ગ્રાફ માટે સ્પર્શક, ઑપ્ટિમાઇઝેશન સમસ્યાઓ હલ કરવી, એકવિધતા અને આત્યંતિકતા માટેના કાર્યોનો અભ્યાસ કરવો. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arcctg))\nolimits)$

આકૃતિ 1.

અગાઉના જાણીતા પાથ સાથે વ્યુત્પન્નનો ઉપયોગ કરીને $s(t)$ ફંક્શન દ્વારા વ્યક્ત કરાયેલ, ત્વરિત વેગ $v(t)$ શોધવાની સમસ્યાને પણ ધ્યાનમાં લેવામાં આવી હતી. ત્વરિત ગતિ$v(t)$ એ પાથ ફંક્શન $s(t)$ના વ્યુત્પન્ન તરીકે જોવા મળે છે: $v(t)=s’(t)$. તેથી, નક્કી કરવા માટે વ્યસ્ત સમસ્યા, એટલે કે, પાથની ગણતરી કરવા માટે, તમારે એક ફંક્શન શોધવાની જરૂર છે જેનું ડેરિવેટિવ સ્પીડ ફંક્શન જેટલું હશે. પરંતુ આપણે જાણીએ છીએ કે પાથનું વ્યુત્પન્ન ગતિ છે, એટલે કે: $s’(t) = v(t)$. વેગ એ પ્રવેગક સમય સમયની બરાબર છે: $v=at$. તે નક્કી કરવું સરળ છે કે ઇચ્છિત પાથ ફંક્શનમાં ફોર્મ હશે: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. પરંતુ આ તદ્દન સંપૂર્ણ ઉકેલ નથી. સંપૂર્ણ ઉકેલફોર્મ હશે: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, જ્યાં $C$ અમુક સ્થિર છે. આવું શા માટે છે તેની આગળ ચર્ચા કરવામાં આવશે. હમણાં માટે, ચાલો મળેલ ઉકેલની સાચીતા તપાસીએ: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+0 =at=v(t)$.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે ઝડપ પર આધારિત માર્ગ શોધવાનો છે ભૌતિક અર્થએન્ટિડેરિવેટિવ

પરિણામી ફંક્શન $s(t)$ એ ફંક્શન $v(t)$નું એન્ટિડેરિવેટિવ કહેવાય છે. તદ્દન રસપ્રદ અને અસામાન્ય નામ, તે નથી. તેમાં ઘણો અર્થ છે જે સારને સમજાવે છે આ ખ્યાલઅને તેની સમજણ તરફ દોરી જાય છે. તમે જોશો કે તેમાં "પ્રથમ" અને "ઇમેજ" બે શબ્દો છે. તેઓ પોતાના માટે બોલે છે. એટલે કે, આ તે ફંક્શન છે જે આપણી પાસેના ડેરિવેટિવ માટે પ્રારંભિક છે. અને આ ડેરિવેટિવનો ઉપયોગ કરીને આપણે ફંક્શન શોધી રહ્યા છીએ જે શરૂઆતમાં હતું, “first”, “first image”, એટલે કે, antiderivative. તેને કેટલીકવાર આદિમ કાર્ય અથવા એન્ટિડેરિવેટિવ પણ કહેવામાં આવે છે.

જેમ આપણે પહેલેથી જ જાણીએ છીએ તેમ, વ્યુત્પન્ન શોધવાની પ્રક્રિયાને ભેદભાવ કહેવામાં આવે છે. અને એન્ટિડેરિવેટિવ શોધવાની પ્રક્રિયાને એકીકરણ કહેવામાં આવે છે. એકીકરણની ક્રિયા એ ભિન્નતાની ક્રિયાનો વ્યસ્ત છે. વાતચીત પણ સાચી છે.

વ્યાખ્યા.ચોક્કસ અંતરાલ પર ફંક્શન $f(x)$ માટે એન્ટિડેરિવેટિવ એ ફંકશન $F(x)$ છે જેનું વ્યુત્પન્ન આ ફંક્શન $f(x)$ જેટલું છે જે ઉલ્લેખિત અંતરાલમાંથી તમામ $x$ માટે છે: $F' (x)=f (x)$.

કોઈને પ્રશ્ન હોઈ શકે છે: વ્યાખ્યામાં $F(x)$ અને $f(x)$ ક્યાંથી આવ્યા, જો શરૂઆતમાં આપણે $s(t)$ અને $v(t)$ વિશે વાત કરતા હોઈએ. મુદ્દો એ છે કે $s(t)$ અને $v(t)$ ફંક્શન નોટેશનના ખાસ કિસ્સા છે, જે આ કિસ્સામાં છે ચોક્કસ અર્થ, એટલે કે, તે અનુક્રમે સમયનું કાર્ય અને ગતિનું કાર્ય છે. તે $t$ ચલ સાથે સમાન છે - તે સમય સૂચવે છે. અને $f$ અને $x$ એ અનુક્રમે ફંક્શન અને ચલના સામાન્ય હોદ્દાનો પરંપરાગત પ્રકાર છે. એન્ટિડેરિવેટિવ $F(x)$ ના સંકેત પર વિશેષ ધ્યાન આપવું યોગ્ય છે. સૌ પ્રથમ, $F$ મૂડી છે. એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ નિયુક્ત કરવામાં આવે છે મોટા અક્ષરોમાં. બીજું, અક્ષરો સમાન છે: $F$ અને $f$. એટલે કે, ફંક્શન $g(x)$ માટે એન્ટિડેરિવેટિવને $G(x)$ દ્વારા, $z(x)$ માટે – $Z(x)$ દ્વારા સૂચવવામાં આવશે. નોટેશનને ધ્યાનમાં લીધા વિના, એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન શોધવા માટેના નિયમો હંમેશા સમાન હોય છે.

ચાલો થોડા ઉદાહરણો જોઈએ.

ઉદાહરણ 1.સાબિત કરો કે ફંક્શન $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ એ $f(x)=\cos5x$ ફંક્શનનું એન્ટિડેરિવેટિવ છે.

આ સાબિત કરવા માટે, અમે વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીશું, અથવા તેના બદલે હકીકત એ છે કે $F'(x)=f(x)$, અને ફંક્શન $F(x)$: $F'(x)=(નું વ્યુત્પન્ન શોધીશું. \frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. આનો અર્થ એ છે કે $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ એ $f(x)=\cos5x$ નું એન્ટિડેરિવેટિવ છે. Q.E.D.

ઉદાહરણ 2.નીચેના એન્ટિડેરિવેટિવ્સને અનુરૂપ કયા કાર્યો શોધો: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

જરૂરી કાર્યો શોધવા માટે, ચાલો તેમના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરીએ:
a) $F’(z)=(\tg z)’=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)’ = \cos l$.

ઉદાહરણ 3.$f(x)=0$ માટે એન્ટિડેરિવેટિવ શું હશે?
ચાલો વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીએ. ચાલો વિચારીએ કે કયા ફંક્શનનું ડેરિવેટિવ $0$ જેટલું હોઈ શકે છે. ડેરિવેટિવ્ઝના કોષ્ટકને યાદ કરતાં, આપણે શોધી કાઢીએ છીએ કે કોઈપણ સ્થિરાંકમાં આવું વ્યુત્પન્ન હશે. અમે શોધીએ છીએ કે અમે જે એન્ટિડેરિવેટિવ શોધી રહ્યા છીએ તે છે: $F(x)= C$.

પરિણામી ઉકેલ ભૌમિતિક અને ભૌતિક રીતે સમજાવી શકાય છે. ભૌમિતિક રીતે, તેનો અર્થ એ છે કે $y=F(x)$ ગ્રાફની સ્પર્શક આ ગ્રાફના દરેક બિંદુ પર આડી છે અને તેથી, $Ox$ અક્ષ સાથે એકરુપ છે. ભૌતિક રીતે તે હકીકત દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે કે એક બિંદુ ઝડપ ધરાવે છે શૂન્ય બરાબર, સ્થાને રહે છે, એટલે કે, તે જે માર્ગે ગયો છે તે અપરિવર્તિત છે. તેના આધારે, આપણે નીચેનું પ્રમેય ઘડી શકીએ.

પ્રમેય. (કાર્યોની સ્થિરતાની નિશાની). જો અમુક અંતરાલ પર $F’(x) = 0$ હોય, તો આ અંતરાલ પરનું કાર્ય $F(x)$ સ્થિર છે.

ઉદાહરણ 4.એ નક્કી કરો કે કયા ફંક્શન્સ a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, જ્યાં $a$ અમુક સંખ્યા છે.
એન્ટિડેરિવેટિવની વ્યાખ્યાનો ઉપયોગ કરીને, અમે નિષ્કર્ષ પર આવીએ છીએ કે આ સમસ્યાને ઉકેલવા માટે અમને આપવામાં આવેલા એન્ટિડેરિવેટિવ ફંક્શન્સના ડેરિવેટિવ્ઝની ગણતરી કરવાની જરૂર છે. ગણતરી કરતી વખતે, યાદ રાખો કે સ્થિરાંકનું વ્યુત્પન્ન, એટલે કે, કોઈપણ સંખ્યા, શૂન્યની બરાબર છે.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\left(\frac(x^7)(7) - 3\જમણે)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)’ = x^6$.

આપણે શું જોઈએ છીએ? કેટલાક વિવિધ કાર્યો એ એક જ કાર્યના આદિમ છે. આ સૂચવે છે કે કોઈપણ ફંક્શનમાં અસંખ્ય એન્ટિડેરિવેટિવ્સ હોય છે, અને તેમની પાસે $F(x) + C$ સ્વરૂપ હોય છે, જ્યાં $C$ એ મનસ્વી સ્થિરાંક છે. એટલે કે, એકીકરણની કામગીરી ભિન્નતાની કામગીરીથી વિપરીત બહુમૂલ્યવાળી છે. આના આધારે, ચાલો એક પ્રમેય ઘડીએ જે એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝની મુખ્ય મિલકતનું વર્ણન કરે છે.

પ્રમેય. (એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝની મુખ્ય મિલકત). $F_1$ અને $F_2$ ફંક્શનને રહેવા દો એન્ટિડેરિવેટિવ કાર્યોઅમુક અંતરાલ પર $f(x)$. પછી આ અંતરાલમાંથી તમામ મૂલ્યો માટે નીચેની સમાનતા સાચી છે: $F_2=F_1+C$, જ્યાં $C$ અમુક સ્થિર છે.

ઉપલબ્ધતાની હકીકત અનંત સંખ્યાએન્ટિડેરિવેટિવ્સ ભૌમિતિક રીતે અર્થઘટન કરી શકાય છે. ઉપયોગ કરીને સમાંતર ટ્રાન્સફર$Oy$ અક્ષ સાથે, એક બીજા પાસેથી $f(x)$ માટે કોઈપણ બે એન્ટિડેરિવેટિવ્સના ગ્રાફ મેળવી શકે છે. આ છે ભૌમિતિક અર્થએન્ટિડેરિવેટિવ

એ હકીકત પર ધ્યાન આપવું ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે કે સતત $C$ પસંદ કરીને તમે ખાતરી કરી શકો છો કે એન્ટિડેરિવેટિવનો ગ્રાફ ચોક્કસ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

આકૃતિ 3.

ઉદાહરણ 5.$f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ ફંક્શન માટે એન્ટિડેરિવેટિવ શોધો, જેનો ગ્રાફ $(3; 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
ચાલો પહેલા $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$ માટે તમામ એન્ટિડેરિવેટિવ્સ શોધીએ.
આગળ, આપણે એક નંબર C શોધીશું જેના માટે $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ બિંદુ $(3; 1)$માંથી પસાર થશે. આ કરવા માટે, અમે બિંદુના કોઓર્ડિનેટ્સને ગ્રાફ સમીકરણમાં બદલીએ છીએ અને તેને $C$ માટે હલ કરીએ છીએ:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
અમે $y=\frac(x^3)(9)+x-5$ આલેખ મેળવ્યો, જે એન્ટિડેરિવેટિવ $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$ને અનુરૂપ છે.

એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝનું કોષ્ટક

ડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટેના સૂત્રોનું કોષ્ટક તૈયાર કરી શકાય છે.

તમે નીચે પ્રમાણે કોષ્ટકની શુદ્ધતા ચકાસી શકો છો: જમણી સ્તંભમાં સ્થિત એન્ટિડેરિવેટિવ્સના દરેક સેટ માટે, વ્યુત્પન્ન શોધો, પરિણામે સંબંધિત કાર્યો, ડાબી કૉલમમાં ઊભા.

એન્ટિડેરિવેટિવ્ઝ શોધવા માટેના કેટલાક નિયમો

જેમ તમે જાણો છો, ઘણા કાર્યોમાં વધુ છે જટિલ દેખાવ, એન્ટીડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ છે તેના બદલે, અને આ કોષ્ટકમાંથી ફંક્શન્સના સરવાળા અને ઉત્પાદનોના કોઈપણ મનસ્વી સંયોજનને રજૂ કરી શકે છે. અને અહીં પ્રશ્ન ઊભો થાય છે: આવા કાર્યોના એન્ટિડેરિવેટિવ્સની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. ઉદાહરણ તરીકે, કોષ્ટકમાંથી આપણે જાણીએ છીએ કે $x^3$, $\sin x$ અને $10$ ના એન્ટિડેરિવેટિવ્સની ગણતરી કેવી રીતે કરવી. ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ એન્ટિડેરિવેટિવ $x^3-10\sin x$ની ગણતરી કેવી રીતે કરી શકે? આગળ જોતાં, એ નોંધવું યોગ્ય છે કે તે $\frac(x^4)(4)+10\cos x$ ની બરાબર હશે.
1. જો $F(x)$ એ $f(x)$ માટે એન્ટિડેરિવેટિવ છે, $g(x)$ માટે $G(x)$, તો $f(x)+g(x)$ માટે એન્ટિડેરિવેટિવ હશે $ F(x)+G(x)$ ની બરાબર.
2. જો $F(x)$ એ $f(x)$ માટે એન્ટીડેરિવેટિવ છે અને $a$ એ કોન્સ્ટન્ટ છે, તો $af(x)$ માટે એન્ટીડેરિવેટિવ $aF(x)$ છે.
3. જો $f(x)$ માટે એન્ટિડેરિવેટિવ $F(x)$ છે, $a$ અને $b$ સ્થિર છે, તો $\frac(1)(a) F(ax+b)$ એ એન્ટિડેરિવેટિવ છે $f (ax+b)$ માટે.
પ્રાપ્ત નિયમોનો ઉપયોગ કરીને આપણે એન્ટિડેરિવેટિવ્સના કોષ્ટકને વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ.

ઉદાહરણ 5.આ માટે એન્ટિડેરિવેટિવ્સ શોધો:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.