માટે પ્રમાણીકરણબાંધવામાં આવેલા ત્રિકોણની ગુણવત્તા માટે, અમે બે પ્રકારના માપદંડોને વ્યાખ્યાયિત કરીશું: ટોપોલોજીકલ અને ભૌમિતિક.

ટોપોલોજીકલ માપદંડ પર આધારિત છે નજીકના પડોશીઓસમૂહમાંથી પોઈન્ટ. IN આદર્શ રીતેબિંદુને દ્વિ-પરિમાણીય પ્રદેશ માટે 6 પડોશીઓ અને ત્રિ-પરિમાણીય પ્રદેશ માટે 12 પડોશીઓ છે. અમે ફોર્મ્યુલા (1) નો ઉપયોગ કરીને ટોપોલોજીકલ અંદાજ મેળવીએ છીએ, જ્યાં - કુલ જથ્થોવિસ્તારના બિંદુઓ, - આંતરિક બિંદુ સાથે ગૂંથેલા પડોશી બિંદુઓની ડિગ્રી અથવા સંખ્યા.

ભૌમિતિક માપદંડ ડિઝાઇન ત્રિકોણાકાર તત્વની આસપાસના અંકિત અને પરિમાણિત વર્તુળો વચ્ચેના તફાવત પર આધારિત છે. આપણે સૂત્ર (2) નો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક અંદાજ મેળવીએ છીએ, જ્યાં ત્રિકોણની સંખ્યા છે, અંકિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે, પરિક્રમિત વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.

ત્રિકોણ બનાવવા માટે અલ્ગોરિધમ્સ

ત્રિકોણ બનાવવા માટે મોટી સંખ્યામાં અલ્ગોરિધમ્સ છે. તેઓ શ્રમ તીવ્રતા, કમ્પ્યુટર પર અમલીકરણની જટિલતા અને બાંધકામ માટેના અભિગમોમાં ભિન્ન છે. એલ્ગોરિધમ્સ વિશે વધુ માહિતી એ.વી.ના પુસ્તકમાં મળી શકે છે. સ્કવોર્ટ્સોવા. ચાલો કેટલાક અલ્ગોરિધમ્સ જોઈએ.

પ્રસ્તાવિત કરવા માટે પ્રથમ પૈકી એક લોભી અલ્ગોરિધમત્રિકોણનું બાંધકામ. Delaunay ત્રિકોણને લોભી કહેવામાં આવે છે જો તે લોભી અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને બનાવવામાં આવે છે. તેના કેટલાક સુધારાઓ સાથે લોભી અલ્ગોરિધમની જટિલતા છે. આટલી ઊંચી શ્રમ તીવ્રતાને લીધે, તેનો વ્યવહારમાં લગભગ ક્યારેય ઉપયોગ થતો નથી. ચાલો એલ્ગોરિધમને સ્ટેપ બાય સ્ટેપ જોઈએ:

પગલું 1.સ્ત્રોત પોઈન્ટની જોડીને જોડતા તમામ સંભવિત સેગમેન્ટ્સની યાદી જનરેટ કરવામાં આવે છે અને સેગમેન્ટની લંબાઈ દ્વારા સૉર્ટ કરવામાં આવે છે.

પગલું 2.સૌથી ટૂંકી સાથે શરૂ કરીને, વિભાગોને ત્રિકોણમાં ક્રમિક રીતે દાખલ કરવામાં આવે છે. જો કોઈ સેગમેન્ટ અગાઉ દાખલ કરેલા અન્ય સેગમેન્ટ્સ સાથે છેદતું નથી, તો તે શામેલ કરવામાં આવે છે, અન્યથા તે કાઢી નાખવામાં આવે છે.

નોંધ કરો કે જો તમામ સંભવિત સેગમેન્ટ્સની લંબાઈ જુદી જુદી હોય, તો આ અલ્ગોરિધમનું પરિણામ અસ્પષ્ટ છે, અન્યથા તે સમાન લંબાઈના સેગમેન્ટ્સને દાખલ કરવાના ક્રમ પર આધારિત છે.

પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમનોપર આધારિત છે સરળ વિચારઆંશિક રીતે બાંધવામાં આવેલા ડેલૌનેય ત્રિકોણમાં પોઈન્ટનો ક્રમિક ઉમેરો. જટિલતા આ અલ્ગોરિધમનોત્રિકોણ શોધવાની જટિલતાનો સમાવેશ થાય છે, જેમાં આગલા પગલા પર એક બિંદુ ઉમેરવામાં આવે છે, નવા ત્રિકોણ બનાવવાની જટિલતા, તેમજ પડોશીઓની જોડીની અસંતોષકારક તપાસના પરિણામે ત્રિકોણ માળખાના અનુરૂપ પુનર્નિર્માણની જટિલતા. Delaunay સ્થિતિની પરિપૂર્ણતા માટે પરિણામી ત્રિકોણના ત્રિકોણ. ચાલો એલ્ગોરિધમને સ્ટેપ બાય સ્ટેપ જોઈએ:

પગલું 1.અમે પ્રથમ ત્રણ પ્રારંભિક બિંદુઓ પર એક ત્રિકોણ બનાવીએ છીએ.

પગલું 2.અન્ય તમામ બિંદુઓ માટેના ચક્રમાં આપણે 3-5 પગલાંઓ કરીએ છીએ.

પગલું 3.આગળનો ith પોઈન્ટ નીચે પ્રમાણે પહેલાથી બાંધેલા ત્રિકોણ માળખામાં ઉમેરવામાં આવે છે. પ્રથમ, બિંદુ સ્થાનિક છે, એટલે કે. ત્યાં એક ત્રિકોણ છે (અગાઉ બાંધેલું) જેમાં આગળનો મુદ્દો આવે છે. અથવા, જો બિંદુ ત્રિકોણની અંદર ન આવે, તો ત્રિકોણ ત્રિકોણની સરહદ પર સ્થિત છે, જે આગામી બિંદુની સૌથી નજીક છે.

પગલું 4.જો કોઈ બિંદુ અગાઉ દાખલ કરેલ ત્રિકોણ નોડ પર પડે છે, તો આવા બિંદુને સામાન્ય રીતે કાઢી નાખવામાં આવે છે, અન્યથા તે બિંદુ ત્રિકોણમાં નવા નોડ તરીકે દાખલ કરવામાં આવે છે. તદુપરાંત, જો બિંદુ કોઈ ધાર પર પડે છે, તો તે બે નવામાં વિભાજિત થાય છે, અને ધારને અડીને આવેલા બંને ત્રિકોણને પણ બે નાનામાં વહેંચવામાં આવે છે. જો કોઈ બિંદુ ત્રિકોણની અંદર સખત રીતે આવે છે, તો તે ત્રણ નવામાં વિભાજિત થાય છે. જો બિંદુ ત્રિકોણની બહાર આવે છે, તો પછી એક અથવા વધુ ત્રિકોણ બાંધવામાં આવે છે.

પગલું 5.નવા મેળવેલા ત્રિકોણની સ્થાનિક તપાસ ડેલૌનેય સ્થિતિના પાલન માટે કરવામાં આવે છે અને જરૂરી પુનઃનિર્માણ કરવામાં આવે છે.

નવા ત્રિકોણ બનાવતી વખતે, બે પરિસ્થિતિઓ શક્ય છે: ઉમેરાયેલ બિંદુ કાં તો ત્રિકોણની અંદર અથવા તેની બહાર પડે છે. પ્રથમ કિસ્સામાં, નવા ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે અને અલ્ગોરિધમ દ્વારા કરવામાં આવતી ક્રિયાઓની સંખ્યા નિશ્ચિત કરવામાં આવે છે. બીજામાં, વર્તમાન ત્રિકોણની બહાર વધારાના ત્રિકોણ બાંધવા જરૂરી છે, અને તેમની સંખ્યા, સૌથી ખરાબ કિસ્સામાં, સમાન હોઈ શકે છે? 3. જો કે, અલ્ગોરિધમના તમામ પગલાઓ દરમિયાન વધુ ત્રિકોણ ઉમેરવામાં આવશે નહીં, જ્યાં - કુલ સંખ્યાપ્રારંભિક બિંદુઓ. તેથી, બંને કિસ્સાઓમાં, ત્રિકોણ બાંધવામાં ખર્ચવામાં આવેલ કુલ સમય છે.

સાંકળ અલ્ગોરિધમનોત્રિકોણ રચવા માટેના પ્રથમ અસરકારક ગાણિતીક નિયમોમાંનું એક પ્લેનર ગ્રાફના નિયમિતકરણ અને મોનોટોન બહુકોણના ત્રિકોણની પ્રક્રિયા પર આધારિત છે. આ અલ્ગોરિધમની જટિલતા એ છે કે પ્રારંભિક સેગમેન્ટ્સની સંખ્યા ક્યાં છે. ચાલો એલ્ગોરિધમને સ્ટેપ બાય સ્ટેપ જોઈએ:

પગલું 1.પ્રારંભિક માળખાકીય સેગમેન્ટના સમૂહમાંથી આપણે કનેક્ટેડ પ્લેનર ગ્રાફ (આકૃતિ 4,a) બનાવીએ છીએ.

પગલું 2.ગ્રાફ નિયમિત કરવામાં આવે છે, એટલે કે. નવી ધારો ઉમેરવામાં આવે છે જે અન્યને છેદતી નથી, જેથી ગ્રાફનો દરેક શિરોબિંદુ તેની ઉપર અને તેની નીચે એક શિરોબિંદુને અડીને બને. વર્ટિકલ ફ્લેટ સ્વીપિંગનો ઉપયોગ કરીને નિયમિતકરણ બે પાસમાં કરવામાં આવે છે. નીચેથી ઉપર તરફના પ્રથમ પાસમાં, બધા શિરોબિંદુઓ ક્રમિક રીતે જોવા મળે છે જેમાંથી ઉપર તરફ લઈ જતી કોઈ ધાર બહાર આવતી નથી. ઉદાહરણ તરીકે, (આકૃતિ 4, b) માં આ શિરોબિંદુ B છે. વહન દ્વારા આડી રેખા, અમને ગ્રાફ AD અને EF ની સૌથી નજીકની કિનારીઓ મળે છે જેને તે ડાબી અને જમણી બાજુએ છેદે છે. પછી ચતુર્ભુજ DEHG માં આપણે સૌથી નીચો શિરોબિંદુ શોધીએ છીએ અને તેમાં B માંથી એક ધાર દોરીએ છીએ. આ પગલાના પરિણામે, પ્લેનર ગ્રાફનો દરેક પ્રદેશ એકવિધ બહુકોણ બની જાય છે.

પગલું 3.ગ્રાફના દરેક ક્ષેત્રને ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરવું આવશ્યક છે. આ કરવા માટે, તમે બે ત્રિકોણના બિન-બહિર્મુખ મર્જિંગ માટે અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરી શકો છો (આકૃતિ 4, ડી).

આકૃતિ 4. સાંકળ ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમના સંચાલનની યોજના: a) - પ્રારંભિક સેગમેન્ટ્સ; b - ગ્રાફ રેગ્યુલરાઇઝેશનનો બોટમ-અપ પેસેજ; c) - ઉપરથી નીચે સુધીનો માર્ગ; d) - એકવિધ બહુકોણનું ત્રિકોણ

સાંકળવાળા અલ્ગોરિધમનો અમલ કરવા માટે, ડેટા સ્ટ્રક્ચર્સનો ઉપયોગ કરવો શ્રેષ્ઠ છે જેમાં કિનારીઓ સ્પષ્ટ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે, જેમ કે "ડબલ એજીસ" અથવા "નોડ્સ, એજ અને ત્રિકોણ".

સાંકળ અલ્ગોરિધમનો ગેરલાભ એ છે કે પરિણામી ત્રિકોણના સ્વરૂપ વિશે અગાઉથી કશું કહી શકાતું નથી. આ શ્રેષ્ઠ ત્રિકોણ નથી, લોભી નથી, અને અવરોધિત ડેલૌનાય ત્રિકોણ નથી. સાંકળ અલ્ગોરિધમ ખૂબ લાંબા વિસ્તરેલ ત્રિકોણ પેદા કરી શકે છે.

પરિણામી ત્રિકોણની ગુણવત્તામાં સુધારો કરવા માટે, તમે નજીકના ત્રિકોણની તમામ જોડીને તપાસી શકો છો જે ડેલૌનેય સ્થિતિ માટે માળખાકીય ધારથી અલગ નથી અને, જો જરૂરી હોય તો, પુનઃનિર્માણ કરો. પરિણામ પ્રતિબંધો સાથે Delaunay ત્રિકોણ હશે.

TEPLOV A.A., સ્નાતક, MSTU નામ આપવામાં આવ્યું N.E. બૌમન, વિભાગ " સોફ્ટવેરકમ્પ્યુટર અને માહિતી ટેકનોલોજી", મોસ્કો, [ઇમેઇલ સુરક્ષિત]

માયકોવ કે.એ., ડોકટર ઓફ ટેક્નિકલ સાયન્સ, પ્રોફેસર, મોસ્કો સ્ટેટ ટેકનિકલ યુનિવર્સિટીનું નામ N.E. બૌમન, ડિપાર્ટમેન્ટ ઓફ કોમ્પ્યુટર સોફ્ટવેર એન્ડ ઇન્ફોર્મેશન ટેક્નોલોજીસ, મોસ્કો, [ઇમેઇલ સુરક્ષિત]

સંશોધિત અલ્ગોરિધમનો
Delaunay ત્રિકોણ

પરિણામો આપવામાં આવે છે તુલનાત્મક વિશ્લેષણઉચ્ચ પ્રદર્શન અને ઓછા સંસાધન વપરાશ સાથે Delaunay ત્રિકોણ પદ્ધતિઓ. અનુગામી આધુનિકીકરણ માટે પ્રોટોટાઇપની પસંદગી વાસ્તવિક સમયમાં ગતિશીલ ત્રિ-પરિમાણીય વસ્તુઓના નિર્માણના સંબંધમાં વ્યવહારિક રીતે જરૂરી વિગતો સાથે પ્રમાણિત છે. વિતરણ ઘનતા અનુસાર ત્રિકોણ બિંદુઓની શ્રેણીના અંતરાલ પાર્ટીશન માટે એક અલ્ગોરિધમ પ્રસ્તાવિત છે, જે હાર્ડવેર અમલીકરણમાં ભૂલોને ટાળવા માટે પરવાનગી આપે છે. સૂચિત વિશ્લેષણ સંશોધિત અલ્ગોરિધમ Delaunay ત્રિકોણ

પરિચય

આપેલ સ્તરની વિગત સાથે ડાયનેમિક 3D ઑબ્જેક્ટ બનાવવાના સંસાધનની તીવ્રતા નક્કી કરતા તબક્કાઓમાંથી એક ત્રિકોણ છે. વ્યવહારમાં, ત્રિકોણ પદ્ધતિનો પ્રોટોટાઇપ નક્કી કરવાની જરૂર છે જે ઉચ્ચ પ્રદર્શન અને ઓછી સંસાધન તીવ્રતાની જરૂરિયાતને સંતોષે છે, ચોક્કસ વર્ગની સમસ્યાઓ માટે અનુગામી ફેરફાર સાથે.

ઉકેલવા માટેના કાર્યોનું સેટિંગ

અજ્ઞાત વિતરણ કાયદા સાથે પોઈન્ટના અનુરૂપ સમૂહ દ્વારા વર્ણવેલ 3D ઑબ્જેક્ટ્સને મોડેલ કરવાની જરૂરિયાત દ્વારા સંખ્યાબંધ વ્યવહારિક સમસ્યાઓ દર્શાવવામાં આવે છે. ઉદાહરણ સમાન કાર્યોપર્વતમાળા અથવા જટિલ અને અનિયમિત સપાટીની રચનાઓનું મોડેલિંગ છે, જેની ઊંચાઈઓ અગાઉ રિમોટ સેન્સિંગ દ્વારા મેળવવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં, ત્રિકોણની ઉચ્ચતમ "ચોક્કસતાની ડિગ્રી" સુનિશ્ચિત કરીને, બિંદુઓના મૂળ સમૂહ પર ત્રિકોણ કરવું જરૂરી છે, જે સરવાળાના લઘુત્તમ મૂલ્ય સાથે "પાતળા" ત્રિકોણના નિર્માણને બાકાત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે. ઘેરાયેલા વર્તુળોની ત્રિજ્યાની.

ત્રિકોણની "નિયમિતતાની ડિગ્રી" ની સમસ્યા ત્રિકોણ દ્વારા હલ થાય છે જે ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષે છે.

જાણીતા ડેલૌનેય ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમ્સને નીચેની ચાર શ્રેણીઓમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સ, મર્જિંગ અલ્ગોરિધમ્સ, ટુ-પાસ અલ્ગોરિધમ્સ અને સ્ટેપવાઇઝ; મુખ્ય લક્ષણો ઉલ્લેખિત ગાણિતીક નિયમોનીચે ચર્ચા કરવામાં આવી છે.

Delaunay ત્રિકોણ બનાવવા માટે પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સ

પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સ આંશિક રીતે બાંધવામાં આવેલા ડેલૌનેય ત્રિકોણમાં પોઈન્ટનો ક્રમિક ઉમેરણ અમલમાં મૂકે છે. પુનરાવર્તિત Delaunay અલ્ગોરિધમ્સની જટિલતાને O(N2) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે, અને કેસ માટે સમાન વિતરણબિંદુઓ - O(N) . પુનરાવર્તિત Delaunay અલ્ગોરિધમ્સના ગેરફાયદા છે મોટી સંખ્યામાંપુનરાવર્તિત લૂપ્સ, સ્રોત ડેટાની રચના પર સૉર્ટિંગ અલ્ગોરિધમની અવલંબન, તેમજ દરેક લૂપમાં ડેલૉનાય સ્થિતિ તપાસવાની જરૂરિયાત. પુનરાવર્તિત Delaunay અલ્ગોરિધમ્સના ફાયદા અમલીકરણની સરળતા અને હાઇ સ્પીડ પસંદગી છે કાર્યક્ષમ અલ્ગોરિધમનોઇનપુટ ડેટાના ચોક્કસ સેટના આધારે વર્ગીકરણ.

મર્જ કરીને Delaunay ત્રિકોણ બનાવવા માટેના અલ્ગોરિધમ્સ

મર્જ અલ્ગોરિધમ્સ પોઈન્ટના મૂળ સમૂહના વિભાજનને સંખ્યાબંધ સબસેટમાં અમલમાં મૂકે છે, જેમાં સંખ્યાબંધ ઉકેલોના અનુગામી મર્જ સાથે ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે. મર્જિંગ એલ્ગોરિધમ્સની સરેરાશ જટિલતા O(N) છે. મર્જિંગ એલ્ગોરિધમ્સ નિરર્થકતા દ્વારા વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે, જે "સાંકડી" પટ્ટાઓ માટે બહિર્મુખ વિસ્તારો બનાવવાની જરૂરિયાત દ્વારા નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, અને પરિણામે, લાંબા, "સાંકડા" ત્રિકોણની રચના, મર્જ કરતી વખતે ફરીથી બનાવવામાં આવે છે. મર્જર એલ્ગોરિધમ્સ ઉચ્ચ પ્રદર્શન ધરાવે છે, જે તેમના વ્યવહારુ લાભને નિર્ધારિત કરે છે.

Delaunay ત્રિકોણ બનાવવા માટે બે-પાસ અલ્ગોરિધમ્સ

ટુ-પાસ એલ્ગોરિધમ્સની ફાયદાકારક વિશેષતા એ છે કે પ્રથમ ચક્રમાં ડેલૌનાય સ્થિતિને ધ્યાનમાં લીધા વિના ચોક્કસ ત્રિકોણ બનાવવામાં આવે છે, જે ડેલૌનાય સ્થિતિ અનુસાર બીજા તબક્કામાં સંશોધિત થાય છે. બે-પાસ અલ્ગોરિધમ્સની જટિલતા સરેરાશ O(N) છે, અને ઓછામાં ઓછા અનુકૂળ કિસ્સામાં - O(N 2) . બે-પાસ ડેલૌનેય અલ્ગોરિધમનો ગેરલાભ એ જરૂરી છે મોટી માત્રામાંદરેક લેન માટે પ્રકારો. તે જ સમયે, આ અલ્ગોરિધમ ઉચ્ચ પ્રદર્શન દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે, કારણ કે આગળનો ત્રિકોણ જે ત્રિકોણમાં આવે છે તે ડેલૌનાય સ્થિતિના સંતોષ માટે તપાસવામાં આવતો નથી, જેને નોંધપાત્ર હાર્ડવેર સંસાધનોની જરૂર છે.

Delaunay ત્રિકોણ બનાવવા માટે સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ અલ્ગોરિધમ્સ

સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ કન્સ્ટ્રક્શન એલ્ગોરિધમ્સ માત્ર ત્રિકોણ અમલમાં મૂકે છે જે અંતિમ ત્રિકોણમાં ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષે છે અને તેથી પુનઃનિર્માણની જરૂર નથી. પોઈન્ટની મોટી સાંદ્રતા સાથે, સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સેલ્યુલર અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ અવ્યવહારુ છે. આ અલ્ગોરિધમની જટિલતા સરેરાશ O(N) છે, અને સૌથી ખરાબ કિસ્સામાં - O(N 2).

Delaunay ત્રિકોણમાં ફેરફાર કરવા માટે પ્રોટોટાઇપ પસંદ કરી રહ્યા છીએ

વાસ્તવિક સમયમાં ડાયનેમિક 3D ઑબ્જેક્ટ્સ બનાવવાની સમસ્યાના વ્યવહારુ લક્ષણો, ઉચ્ચ પ્રદર્શન અને ઓછી સંસાધન તીવ્રતા તરીકે ડેલૌનેય ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમ્સ માટેની આવી આવશ્યકતાઓને નિર્ધારિત કરે છે. ઉપરોક્ત પૃથ્થકરણ પરિણામો પરથી નીચે મુજબ, ગણવામાં આવેલ અલ્ગોરિધમ્સ આ જરૂરિયાતોને પૂર્ણપણે સંતોષતા નથી. તેથી, એક અલ્ગોરિધમ બનાવવાની જરૂર છે કે જે ત્રિકોણ વિસ્તારના વિભાજન પર નિર્ભર ન હોય કે જે ત્રિકોણના જ બિંદુઓ ધરાવે છે, અને વર્તમાન ત્રિકોણને મૂળ ત્રિકોણમાં ઉમેરવાની દરેક પુનરાવૃત્તિ પર ડેલૌનેય સ્થિતિ તપાસવાની જરૂર નથી. .

તુલનાત્મક વિશ્લેષણના ઉપરોક્ત પરિણામો પરથી તે અનુસરે છે કે બે-પાસ ડેલૌનેય ત્રિકોણ ગાણિતીક નિયમો, ખાસ કરીને ટુ-પાસ ચાહક અલ્ગોરિધમ, માત્ર ઉચ્ચ પ્રદર્શન અને ઓછી સંસાધન તીવ્રતાના માપદંડને આંશિક રીતે સંતોષે છે.

જો કે, અલ્ગોરિધમ્સ આ પ્રકારનાજ્યારે રીઅલ-ટાઇમ કાર્યોને લાગુ પડતું હોય ત્યારે પ્રદર્શન સુધારવા માટે ફેરફારની જરૂર છે. બે-પાસ ચાહક અલ્ગોરિધમ પોઈન્ટના સમૂહનું કેન્દ્ર નક્કી કરવા માટે નિરર્થક છે. OX અથવા OY નો ઉપયોગ કરીને સમૂહના બિંદુ કેન્દ્રના સંકલનને નિર્ધારિત કરતી વખતે, મોટી સંખ્યામાં બિંદુઓ સાથે, અંકગણિત સરેરાશના મૂલ્યની ગણતરી કરવી અયોગ્ય છે, અને જ્યારે મોટા મૂલ્યોબિંદુઓના કોઓર્ડિનેટ્સ, ડેટા ઓવરફ્લો થઈ શકે છે, જે ભૂલ અથવા પ્રોગ્રામ ક્રેશમાં પરિણમશે. તેથી, ત્રિકોણ બિંદુઓના તમામ મૂલ્યોને X અક્ષ સાથે અંતરાલોમાં Δx 1, Δx 2, Δx 3 ... Δx n અને Y અક્ષ સાથે Δy 1, Δy 2, Δy 3 માં વિભાજીત કરવાની સલાહ આપવામાં આવે છે. ... Δy n. X અને Y અક્ષો સાથે સંબંધિત અંતરાલો સાથે જોડાયેલા બિંદુઓની સંખ્યા નક્કી કરવી પણ જરૂરી છે.

• x c - સમૂહ બિંદુના કેન્દ્રનું x-સંકલન;
• Δх હું - i-th અંતરાલ X ધરી પર;
• X મહત્તમ - મહત્તમ મૂલ્યબધા ત્રિકોણ બિંદુઓ વચ્ચે X અક્ષ સાથે;
• X મિનિટ - બધા ત્રિકોણ બિંદુઓ વચ્ચે X અક્ષ સાથે લઘુત્તમ મૂલ્ય;

• y c - સમૂહ બિંદુના કેન્દ્રનું y-સંકલન;
• n i – i-th અંતરાલ પર પોઈન્ટની સંખ્યા;
• Y અક્ષ પર Δy i – i-th અંતરાલ;
• Y મહત્તમ - બધા ત્રિકોણ બિંદુઓ વચ્ચે Y અક્ષ સાથે મહત્તમ મૂલ્ય;
• Y મિનિટ - બધા ત્રિકોણ બિંદુઓ વચ્ચે Y અક્ષ સાથેનું લઘુત્તમ મૂલ્ય.

ત્રિકોણના અનુગામી તબક્કા ક્લાસિક ચાહક અલ્ગોરિધમનો અનુસાર અમલમાં મૂકવામાં આવે છે. વિકસિત સંશોધિત ચાહક આકારના ડેલૌનેય ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમનો આકૃતિ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યો છે. 1.

પ્રસ્તુત યોજનામાં સૌથી વધુ શ્રમ-સઘન તબક્કાઓ બહિર્મુખમાં ત્રિકોણને વર્ગીકૃત કરવા અને બાંધવાના તબક્કા છે. મર્જિંગ અલ્ગોરિધમને સોર્ટિંગ અલ્ગોરિધમ તરીકે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું, અને ગ્રેહામ અલ્ગોરિધમને બહિર્મુખ ત્રિકોણ બનાવવા માટે અલ્ગોરિધમ તરીકે પસંદ કરવામાં આવ્યું હતું. બંને અલ્ગોરિધમ્સ કામ કરે છે સ્વીકાર્ય સમયઅને તેમના પ્રતિનિધિઓમાં વ્યવહારિક દ્રષ્ટિએ સૌથી વધુ પસંદ કરવામાં આવે છે.

સંશોધિત ચાહક આકારના ડેલૌનેય ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમનું વિશ્લેષણ

ફિગમાં બતાવેલ એકમાંથી. ડાયાગ્રામનો 1 બતાવે છે કે સંશોધિત ચાહક અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણ બનાવવા માટેનું સમય મૂલ્ય અભિવ્યક્તિ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

• T 1 , T 2 – અનુક્રમે X અને Y અક્ષો સાથે અંતરાલોની શ્રેષ્ઠ સંખ્યાની ગણતરી માટે સમય મૂલ્યો;
• T 3 , T 4 - ગણતરીના સમયના મૂલ્યો X મિનિટ અને X મહત્તમ, અનુક્રમે;
• T 5 , T 6 – ગણતરીના સમયના મૂલ્યો અનુક્રમે Y મિનિટ અને Y મહત્તમ;
• T 7 , T 8 - અનુક્રમે X અને Y અક્ષો સાથે અંતરાલ મૂલ્યોની ગણતરી માટે સમય મૂલ્યો;
• T 9 – બિંદુ A(X c ,Y c) ને સંબંધિત એરેના દરેક બિંદુના ધ્રુવીય કોણની ગણતરી માટે સમય મૂલ્ય;
• T 10 - બિંદુ A(X c ,Y c) ના સાપેક્ષ ધ્રુવીય કોણ દ્વારા તમામ બિંદુઓને મર્જ કરીને વર્ગીકરણ સમયનું મૂલ્ય;
• T 11 – એરેના દરેક બિંદુથી બિંદુ A(X c ,Y c) સુધીની ધાર બાંધવા માટેનું સમય મૂલ્ય;
• T 12 – બહિર્મુખ ત્રિકોણ પૂર્ણ કરવા માટે સમય મૂલ્ય;
• T 13 – ત્રિકોણ પુનઃનિર્માણ સમયનું મૂલ્ય જે ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષે છે;
• n – બિંદુ સંકલન મૂલ્યોની શ્રેણી.

ચાલો દરેક સમયની અવલંબનને અલગથી ધ્યાનમાં લઈએ.

X અને Y અક્ષ સાથે અંતરાલોની શ્રેષ્ઠ સંખ્યા નક્કી કરતી વખતે, અમે સ્ટર્જના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ, જે મુજબ અંતરાલો n ની સંખ્યા આ રીતે નક્કી કરવામાં આવે છે:

• N એ જથ્થાના અવલોકનોની કુલ સંખ્યા છે;
• [x] - આખો ભાગસંખ્યાઓ x.

તે સ્પષ્ટ છે કે સમય અવલંબન T 1 અને T 2 ની સતત રજૂઆત c 1 અને c 2 છે.

X min , X max , Y min , Y max મૂલ્યો નક્કી કરવાના તબક્કે સ્યુડોકોડ આના જેવો દેખાશે:

Xmin ← એમ

i માટે ← 1 થી લંબાઈ(M) – 1

જો Xmin › M[i]

Xmin ← M[i]

Xmax ← એમ

i માટે ← 1 થી લંબાઈ(M) – 1

જો Xmax< M[i]

Xmax ← M[i]

યમીન ← એમ

i માટે ← 1 થી લંબાઈ(M) – 1

જો Ymin › M[i]

Ymin ← M[i]

Ymax ← એમ

i માટે ← 1 થી લંબાઈ(M) – 1

જો Ymax< M[i]

Ymax ← M[i]

ઉપરોક્ત સ્યુડો-કોડમાંથી તે સ્પષ્ટપણે દેખાય છે કે મહત્તમ શોધવાનો સમય અથવા ન્યૂનતમ મૂલ્યમૂલ્યો x અથવા y ધરાવે છે રેખીય અવલંબન O(N), તેથી, T 3 (n), T 4 (n), T 5 (n), T 6 (n), અનુક્રમે સમય લાક્ષણિકતા O(N) ધરાવે છે.

X અક્ષ સાથે અંતરાલોના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટેની રેખાકૃતિ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 2.

ઉપર પ્રસ્તુત રેખાકૃતિમાંથી, O(N) ની રેખીય સમય અવલંબન પણ દૃશ્યમાન છે, કારણ કે બિંદુ એરેના મૂલ્યોના કોઓર્ડિનેટ્સનો સંપૂર્ણ સમૂહ મૂલ્યો નક્કી કરવામાં સામેલ છે. Y અક્ષ સાથે અંતરાલોના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટેની યોજનામાં સમાન માળખું અને સમય લાક્ષણિકતાઓ છે, તેથી, T 7 (n) અને T 8 (n) માટે સમય અવલંબન ફોર્મ O(N) ધરાવે છે.

બિંદુઓના પ્રારંભિક એરે માટે ધ્રુવીય કોણ મૂલ્યો નક્કી કરવા માટેની યોજના ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 3.

સ્યુડોકોડ તરીકે આ યોજનાઆના જેવો દેખાશે:

પોઈન્ટ થી પોઈન્ટ માટે

# જો બિંદુ 1 લી અને 4 થી ક્વાર્ટર વચ્ચે સંકલન અક્ષ પર આવેલું છે

જો point.x ≥ Xc અને point.y = Yc

બિંદુ.કોણ ← 0

# જો બિંદુ પ્રથમ ક્વાર્ટરમાં સખત રીતે આવેલું હોય

અન્યથા જો point.x > Xc અને point.y > Yc

ફાઉન્ડેશન ← |point.x – Xc|

Point.angle ← arctg(લંબ/પાયો)

# જો બિંદુ 1 લી અને 2 જી ક્વાર્ટર વચ્ચે સંકલન અક્ષ પર આવેલું છે

બાકી જો point.x = Xc અને point.y > Yc

બિંદુ.કોણ ← p/2

# જો બિંદુ બીજા ક્વાર્ટરમાં સખત રીતે આવેલું હોય

અન્યથા જો point.x< Xc and point.y >Yc

ફાઉન્ડેશન ← |point.y – Yc|

Point.angle ← p/2 + arctg(લંબ/પાયો)

# જો બિંદુ II અને III ક્વાર્ટર વચ્ચે સંકલન અક્ષ પર આવેલું છે

જો બિંદુ.x< Xc and point.y = Yc

બિંદુ.કોણ ← પૃષ્ઠ

# જો બિંદુ ત્રીજા ક્વાર્ટરમાં સખત રીતે આવેલું હોય

જો બિંદુ.x< Xc and point.y >Yc

ફાઉન્ડેશન ← |point.x – Xc|

લંબ ← |point.y – Yc|

બિંદુ.કોણ ← p + આર્ક્ટન(લંબ/પાયો)

# જો બિંદુ III અને IV ક્વાર્ટર વચ્ચે સંકલન અક્ષ પર આવેલું છે

જો point.x = Xc અને point.y< Yc

બિંદુ.કોણ ← 3p/2

# જો બિંદુ IV ક્વાર્ટરમાં સખત રીતે આવેલું હોય

જો point.x > Xc અને point.y< Yc

ફાઉન્ડેશન ← |point.y – Yc|

લંબ ← |point.x – Xc|

Point.angle ← 3p/2 + arctg(લંબ/પાયો)

દેખીતી રીતે, બિંદુ કોઓર્ડિનેટ્સના મૂળ એરે માટે ધ્રુવીય ખૂણાના મૂલ્યો નક્કી કરવા માટે સમયની લાક્ષણિકતા O(N) સ્વરૂપ ધરાવે છે, તેથી, T 9 (n) = O(N).

માં બતાવ્યા પ્રમાણે, મર્જ સૉર્ટ O(N) ની સમય અવલંબન ધરાવે છે, તેથી T 10 (n) = O(NlnN).

મૂળ એરેના બિંદુઓને જોડતી ધાર બાંધવા માટેની રેખાકૃતિ ફિગમાં બતાવવામાં આવી છે. 4.

ઉપરોક્ત સર્કિટનો સ્યુડોકોડ આના જેવો દેખાશે:

i માટે ← 0 થી લંબાઈ (પોઇન્ટ્સ) – 1

દોરો(Xc,Yc,Points[i].x, Points[i].y)

સમયનો પ્રતિભાવ પણ રેખીય છે, તેથી T 11 (n) = O(N).

બહિર્મુખમાં પરિણામી ત્રિકોણની પૂર્ણતા ગ્રેહામના અલ્ગોરિધમ અનુસાર હાથ ધરવામાં આવે છે. પ્રક્રિયાનો ઇનપુટ ડેટા એ પોઈન્ટ Q નો સમૂહ છે, જ્યાં |Q|≥3. તે ફંક્શનને Top(S) કહે છે, જે તેના સમાવિષ્ટોને બદલ્યા વિના સ્ટેક Sની ટોચ પરના બિંદુને પરત કરે છે. વધુમાં, ફંક્શન NextToTop(S) નો પણ ઉપયોગ થાય છે, જે સ્ટેક S માં સ્થિત એક બિંદુ આપે છે, જે ટોચના બિંદુની નીચે એક સ્થાન આપે છે; સ્ટેક S યથાવત રહે છે.

ગ્રેહામ(Q)

ચાલો p 0 એ ન્યૂનતમ સંકલન સાથે Q સમૂહમાંથી એક બિંદુ છે.

ચાલો ‹p 1 , p 2 ,...,p N › – સમૂહ Q ના બિંદુઓ, સૉર્ટ કરેલ

ધ્રુવીય કોણ વધારવાના ક્રમમાં.

દબાણ(p 0 ,S)

દબાણ(p 1 ,S)

i=2 થી N do માટે

જ્યારે બિન્દુ NextToTop(S), Top(S) અને pi દ્વારા રચાયેલ કોણ,

બિન-ડાબે વળાંક બનાવો

# જ્યારે આ દ્વારા રચાયેલી તૂટેલી રેખા સાથે આગળ વધવું

# બિંદુઓ, ચળવળ સીધી અથવા જમણી તરફ કરવામાં આવે છે

ડૂ પૉપ(એસ)

દબાણ(pi,S)

પરત એસ

ગ્રેહામ પ્રક્રિયાનો ચાલી રહેલ સમય O(NlnN) છે, જ્યાં N= લંબાઈ(Q). તે બતાવવાનું સરળ છે કે જ્યારે લૂપમાં O(N) સમય લાગશે, અને ધ્રુવીય ખૂણાને સૉર્ટ કરવામાં O(NlnN) સમય લાગશે, જે ગ્રેહામ પ્રક્રિયાના સામાન્ય એસિમ્પ્ટોટિક વર્તનને સૂચિત કરે છે, તેથી, T 12 (n) = O (NlnN).

ત્રિકોણના પુનઃનિર્માણની સમયની લાક્ષણિકતા જે ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષે છે, જેમ કે માં બતાવ્યા પ્રમાણે, એક રેખીય અવલંબન O(N) ધરાવે છે, આમ T 13 (n) = O(N).

જો આપણે તમામ જોવા મળેલી સમય લાક્ષણિકતાઓને અભિવ્યક્તિ (3) માં બદલીએ, તો પરિણામી સમય અવલંબન આના જેવું દેખાશે:

T(n) = c 1 +c 2 +O(N)+O(N)+O(N)+O(N)+O(N)+O(N)+O(N)+ +O(NlnN) )+O(N)+O(NlnN)+O(N)

T(n) = O(NlnN)

આયોજિત સૈદ્ધાંતિક વિશ્લેષણસંશોધિત ડેલૌનેય ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમના સમયની લાક્ષણિકતાઓ સૂચિત અલ્ગોરિધમની કાર્યક્ષમતા અને ઉચ્ચ પ્રદર્શનની પુષ્ટિ કરે છે.

તારણો

વ્યવહારીક રીતે લોકપ્રિય ડેલૌનેય ત્રિકોણ ગાણિતીક નિયમોના તુલનાત્મક વિશ્લેષણના પરિણામે, તે દર્શાવવામાં આવ્યું છે કે ધ્યાનમાં લેવામાં આવેલી પદ્ધતિઓ અગાઉથી વાસ્તવિક સમયમાં ગતિશીલ ત્રિ-પરિમાણીય વસ્તુઓના નિર્માણ માટેની જરૂરિયાતોને સંતોષતી નથી. અમુક હદ સુધીવિગતવાર, અને તેથી, તેમના ફેરફારની વ્યવહારિક જરૂરિયાત છે. ચાહક ટુ-પાસ ડેલૌનેય ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમનો ફેરફાર પ્રસ્તાવિત છે, કાર્યાત્મક લક્ષણજે સંશોધિત ડેલૌનેય ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમના સમયના લક્ષણોનું વિશ્લેષણ કરવામાં આવ્યું છે. બહાર ઉલ્લેખિત ગણતરીઓસામૂહિક બિંદુના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ નક્કી કરતી વખતે તમને પૉઇન્ટની વિશાળ શ્રેણી પર પ્રભાવને નોંધપાત્ર રીતે સુધારવાની મંજૂરી આપે છે અને ડેટા ઓવરફ્લો ટાળે છે, અને તેથી સૉફ્ટવેર અમલીકરણમાં ભૂલો.

1. નુટ ડી.ઇ. પ્રોગ્રામિંગની કળા. વોલ્યુમ 1. મૂળભૂત ગાણિતીક નિયમો. – એમ.: વિલિયમ્સ, 2008. – 680 પૃષ્ઠ.
2. નુટ ડી.ઇ. પ્રોગ્રામિંગની કળા. વોલ્યુમ 3. સૉર્ટિંગ અને સર્ચિંગ. – એમ.: વિલિયમ્સ, 2008. – 800 પૃષ્ઠ.
3. મેન્ડેલબ્રોટ B. પ્રકૃતિની ખંડિત ભૂમિતિ. – એમ.: કોમ્પ્યુટર સંશોધન સંસ્થા, 2002. – 656 પૃષ્ઠ.
4. Skvortsov A.V. Delaunay ત્રિકોણ અને તેની અરજી. - ટોમ્સ્ક: પબ્લિશિંગ હાઉસ ટોમ્સ્ક યુનિવર્સિટી, 2002. - 128 પૃષ્ઠ.
5. સ્કવોર્ટ્સોવ એ.વી. રેખીય સમયમાં ડેલૌનાય ત્રિકોણનું નિર્માણ. – ટોમ્સ્ક: ટોમ્સ્ક યુનિવર્સિટી પબ્લિશિંગ હાઉસ, 1999. – P.120-126.
6. સ્કવોર્ટ્સોવ એ.વી., મિર્ઝા એન.એસ. ત્રિકોણ બનાવવા અને વિશ્લેષણ કરવા માટેના અલ્ગોરિધમ્સ. – ટોમ્સ્ક: ટોમ્સ્ક યુનિવર્સિટી પબ્લિશિંગ હાઉસ, 2006. – 168 પૃષ્ઠ.
7. થોમસ એચ. કોર્મન, ચાર્લ્સ આઈ. લીસેરોન, રોનાલ્ડ એલ. રિવેસ્ટ, ક્લિફોર્ડ સ્ટેઈન. અલ્ગોરિધમ્સ: બાંધકામ અને વિશ્લેષણ, 3જી આવૃત્તિ.: અનુવાદ. અંગ્રેજીમાંથી – એમ.: વિલિયમ્સ, 2013. – 1328 પૃષ્ઠ.
8. શૈદુરોવ વી.વી. મલ્ટિગ્રીડ મર્યાદિત તત્વ પદ્ધતિઓ. – એમ.: નૌકા, 1989. – 288 પૃષ્ઠ.
9. સ્ટર્જ એચ. (1926). વર્ગ-અંતરાલની પસંદગી. જે. આમેર. આંકડાશાસ્ત્રી. એસો., 21, 65-66.

મુખ્ય શબ્દો:વર્ચ્યુઅલ રિયાલિટી, આપેલ બિંદુઓની શ્રેણી પર ત્રિકોણ, ડેલૌનેય ત્રિકોણ, ગતિશીલ ત્રિ-પરિમાણીય વસ્તુઓનું નિર્માણ.

સંશોધિત ડેલૌનાયનું ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમ

ટેપ્લોવ એ.એ., સ્નાતક, MSTU બૌમન, "સોફ્ટવેર અને માહિતી તકનીકી વિભાગ", મોસ્કો, [ઇમેઇલ સુરક્ષિત]

માઇકોવ કે.એ., ડોકટર ઓફ ટેકનિકલ સાયન્સ, પ્રોફેસર, MSTU બૌમન, "સોફ્ટવેર એન્ડ ઇન્ફોર્મેશન ટેક્નોલોજીસ" વિભાગ, મોસ્કો, [ઇમેઇલ સુરક્ષિત]

અમૂર્ત:ઉચ્ચ પ્રદર્શન અને ઓછા સંસાધન વપરાશ સાથે ડેલૌનાયના ત્રિકોણની વર્ચ્યુઅલ રીતે લોકપ્રિય પદ્ધતિઓના તુલનાત્મક વિશ્લેષણના પરિણામો આ લેખમાં વર્ણવવામાં આવ્યા છે. ચોક્કસ ડિગ્રી સાથે વાસ્તવિક સમયમાં ગતિશીલ 3-D ઑબ્જેક્ટ્સ બનાવવાના ઉદ્દેશ્ય સાથે વધુ આધુનિકીકરણ માટેની પદ્ધતિની પસંદગી વાજબી છે. ડેલૌનાયના ત્રિકોણના ફાઇબરવાળા બે-પાસ અલ્ગોરિધમના મુખ્ય તબક્કાઓમાંના એકમાં ફેરફાર કરવામાં આવ્યો છે. અલ્ગોરિધમનો પ્રસ્તાવ છે માટેવિતરણની ઘનતા અનુસાર ત્રિકોણના સેલ એરેનું અંતરાલ પાર્ટીશન, હાર્ડવેર અમલીકરણમાં ભૂલોને ટાળવા માટે પરવાનગી આપે છે.

કીવર્ડ્સ:વર્ચ્યુઅલ રિયાલિટી, આપેલ સેલ એરે પર ત્રિકોણ, ડેલૌનેયનું ત્રિકોણ, ગતિશીલ 3-ડી ઑબ્જેક્ટનું નિર્માણ.

અવકાશી ડેલૌનાય ત્રિકોણ

બિન-ઓવરલેપિંગ ત્રિકોણનું નેટવર્ક બનાવવાનું કાર્ય એ મૂળભૂત બાબતોમાંનું એક છે કોમ્પ્યુટેશનલ ભૂમિતિઅને વ્યાપકપણે ઉપયોગમાં લેવાય છે મશીન ગ્રાફિક્સઅને ભૌગોલિક માહિતી સિસ્ટમોસપાટી મોડેલિંગ અને અવકાશી સમસ્યાઓ ઉકેલવા માટે.

બિન-ઓવરલેપિંગ ત્રિકોણનું નેટવર્ક બનાવવાની સમસ્યા સૌપ્રથમ 1934 માં કામમાં ઊભી થઈ હતી. સોવિયત ગણિતશાસ્ત્રી B. N. Delaunay, જેમણે અનુરૂપ શરતો ઘડી હતી.

ગણિતમાં, આપેલ બિંદુઓમાંથી ત્રિકોણ બાંધવાનું કાર્ય એ છે કે તેઓને એકબીજા સાથે જોડાયેલા ન હોય તેવા ભાગો દ્વારા જોડીમાં જોડવાનું કાર્ય છે જેથી ત્રિકોણનું નેટવર્ક રચાય. તેના મુખ્ય ઘટકો છે (ફિગ. 5.3): ગાંઠો (ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ), કિનારીઓ (બાજુઓ) અને ચહેરાઓ (ત્રિકોણ પોતે). બાંધવામાં આવેલ ત્રિકોણ બહિર્મુખ (જો તે મોડેલિંગ વિસ્તારને આવરી લેતો લઘુત્તમ બહુકોણ હોય), બિન-બહિર્મુખ (જો ત્રિકોણ બહિર્મુખ ન હોય તો) અને શ્રેષ્ઠ (જો બધી ધારની લંબાઈનો સરવાળો ન્યૂનતમ હોય તો) હોઈ શકે છે.

આવા ત્રિકોણના નેટવર્કને ડેલૌનેય ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે જો તે અમુક શરતોને સંતોષે છે:

મૂળ બિંદુઓમાંથી કોઈ પણ ત્રિકોણ (ફિગ. 5.3);

ત્રિકોણ બહિર્મુખ છે અને ઉપર ઘડવામાં આવેલી ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષે છે;

તમામ ત્રિકોણના લઘુત્તમ ખૂણાઓનો સરવાળો એ તમામ સંભવિત ત્રિકોણમાંથી મહત્તમ છે;

ત્રિકોણની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળોની ત્રિજ્યાનો સરવાળો તમામ સંભવિત ત્રિકોણમાં ન્યૂનતમ છે.

ડેલૌનાય ત્રિકોણ બનાવવા માટે ઉપરોક્ત માપદંડોમાંથી પ્રથમ, જેને પરિપત્ર કહેવાય છે, તે મુખ્ય પૈકી એક છે અને સામાન્ય ચહેરાવાળા ત્રિકોણની કોઈપણ જોડી માટે તપાસવામાં આવે છે. માપદંડનું ગાણિતિક અર્થઘટન ફિગમાંથી અનુસરે છે. 5.3:

(5.2)

Delaunay ત્રિકોણ બનાવવાની ઘણી રીતો છે, જે સૌથી વધુ લોકપ્રિય છે તાજેતરમાંત્રિકોણ જાળી બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ. રાહત મોડલ બનાવવા માટે ઘણી GIS સિસ્ટમોમાં તેનો ઉપયોગ થાય છે.

જ્યારે દ્વિ-પરિમાણીય અવકાશ પર લાગુ કરવામાં આવે છે, ત્યારે તે નીચે પ્રમાણે ઘડવામાં આવે છે: એકબીજા સાથે જોડાયેલા બિન-ઓવરલેપિંગ ત્રિકોણની સિસ્ટમ સૌથી નાની પરિમિતિ ધરાવે છે જો રચના ત્રિકોણ (ફિગ. 5.4) ની આસપાસ વર્ણવેલ કોઈપણ વર્તુળોની અંદર કોઈ પણ શિરોબિંદુ ન આવે.

ચોખા. 5.4. Delaunay ત્રિકોણ

આનો અર્થ એ છે કે આવા ત્રિકોણ સાથેના પરિણામી ત્રિકોણ સમભુજની શક્ય તેટલી નજીક છે, અને વિપરીત શિરોબિંદુમાંથી પરિણામી ત્રિકોણની દરેક બાજુ અનુરૂપ અર્ધ-વિમાનના તમામ સંભવિત બિંદુઓથી મહત્તમ કોણ પર દૃશ્યમાન છે. આ બરાબર શ્રેષ્ઠ ત્રિકોણ છે જેની ધાર સાથે સામાન્ય રીતે કરવામાં આવે છે રેખીય પ્રક્ષેપઆઇસોલાઇન્સ બનાવવા માટે.

Delaunay ત્રિકોણ બનાવવા માટે ઘણા અલ્ગોરિધમ નીચેના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરે છે.

પ્રમેય 1. ડેલૌનેય ત્રિકોણ સમાન બિંદુઓની સિસ્ટમનો ઉપયોગ કરીને અન્ય કોઈપણ ત્રિકોણમાંથી મેળવી શકાય છે, અનુક્રમે પડોશીઓની જોડીને ફરીથી ગોઠવીને ત્રિકોણ ABCઅને BCD, જે ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષતા નથી, ત્રિકોણ ABD અને ACD (ફિગ. 5.5) ની જોડીમાં.

ચોખા. 5.5.. ત્રિકોણનું પુનઃનિર્માણ જે ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષતા નથી

આ પુનઃનિર્માણ કામગીરીને ઘણીવાર ફ્લિપ કહેવામાં આવે છે. આ પ્રમેયતમને ક્રમિક રીતે Delaunay ત્રિકોણ બનાવવાની પરવાનગી આપે છે, પ્રથમ અમુક ત્રિકોણ બાંધીને, અને પછી તેને Delaunay સ્થિતિના અર્થમાં ક્રમિક રીતે સુધારે છે. અડીને આવેલા ત્રિકોણની જોડી માટે ડેલૉનાય સ્થિતિ તપાસતી વખતે, તમે વ્યાખ્યાનો સીધો ઉપયોગ કરી શકો છો, પરંતુ કેટલીકવાર ઉપર સૂચિબદ્ધ શરતોના આધારે અન્ય પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે.

આ પરિસ્થિતિઓમાં, સમગ્ર ત્રિકોણની કુલ લાક્ષણિકતા દેખાય છે (ન્યૂનતમ ખૂણાઓનો સરવાળો અથવા ત્રિજ્યાનો સરવાળો), જેને ઑપ્ટિમાઇઝ કરીને કોઈ ડેલૌનેય ત્રિકોણ મેળવી શકે છે.

ઉપર સૂચવ્યા મુજબ, ત્રિકોણ બાંધતી વખતે કરવામાં આવતી સૌથી મહત્વપૂર્ણ કામગીરીમાંની એક છે ડેલૌનેય સ્થિતિની તપાસ કરવી. આપેલ જોડીત્રિકોણ ડેલૌનાય ત્રિકોણની વ્યાખ્યા અને તેને અનુરૂપ પરિસ્થિતિઓના આધારે, સામાન્ય રીતે વ્યવહારમાં ઘણી ચકાસણી પદ્ધતિઓનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે:

- પરિપત્ર સમીકરણ દ્વારા તપાસો;

- પૂર્વ-ગણતરીવાળા વર્તુળ સાથે તપાસો;

- વિરોધી ખૂણાઓનો સરવાળો તપાસો;

- વિરોધી ખૂણાઓના સરવાળાની સંશોધિત તપાસ.

ઘણી પ્રણાલીઓ પ્રી-કમ્પ્યુટેડ સર્કલ સાથે ટેસ્ટ કરે છે. પૂર્વ-ગણતરી કરેલા વર્તુળો દ્વારા ચકાસણી અલ્ગોરિધમનો મુખ્ય વિચાર દરેક બાંધવામાં આવેલા ત્રિકોણ માટે કેન્દ્ર અને તેની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળના ત્રિજ્યાની પૂર્વ ગણતરી કરવાનો છે, ત્યારબાદ ડેલૌનેય સ્થિતિ તપાસવાથી કેન્દ્ર સુધીના અંતરની ગણતરી કરવામાં ઘટાડો થશે. આ વર્તુળની અને ત્રિજ્યા સાથે પરિણામની તુલના. આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળનું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા r , , , r 2 = (b 2 + c 2 - 4аd)/4а 2 તરીકે શોધી શકાય છે, જ્યાં મૂલ્યો a, b, c, dસૂત્રો દ્વારા નિર્ધારિત (5.3)

(5.3)

આ વર્તુળના સમીકરણ માટે બીજી એન્ટ્રી છે:

(5.5.)

(5.6)

પછી માટે Delaunay શરત ત્યારે જ સંતુષ્ટ થશે જ્યારે અન્ય કોઈપણ ત્રિકોણ બિંદુ માટે તે હશે:

(x 0 – x C) 2 + (y 0 – y C) 2 ≥ r 2 . (5.7)

હાલમાં, Delaunay ત્રિકોણ બનાવવા માટે ઘણા અલ્ગોરિધમ્સ છે. ઘણા જાણીતા અલ્ગોરિધમ્સ Delaunay triangulation ની વ્યાખ્યા તરીકે ઉપયોગ કરો ગૌણ લક્ષણત્રિકોણ તેથી, આવા અલ્ગોરિધમ્સમાં નીચેની નબળાઈઓ નોંધવામાં આવે છે:

- એલ્ગોરિધમ્સ સતત ગણતરી કરેલ ત્રિકોણમિતિ કાર્યોનો ઉપયોગ કરે છે, જે પ્રક્રિયાને નાટકીય રીતે ધીમું કરે છે;

– પોઈન્ટ અને બેઝ સેગમેન્ટ વચ્ચેના સંબંધનો અભ્યાસ કરતી વખતે, ખૂબ જ નાના ખૂણા ઉભા થાય છે અને ઉપયોગ કરતી વખતે ત્રિકોણમિતિ કાર્યોકોમ્પ્યુટરમાં ડેટા રજૂઆતોની મર્યાદિત ચોકસાઈને કારણે ઓર્ડર અદૃશ્ય થઈ જવાનો અને વિભાજનનો સતત ભય રહેલો છે.

સૌથી પ્રખ્યાત સોફ્ટવેર ઉત્પાદનોત્રિકોણ બનાવવા માટે મુખ્ય, પ્રાથમિક સિદ્ધાંત તરીકે ખાલી બોલ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને ડેલૌનેય ત્રિકોણ રચો. અલ્ગોરિધમ આના જેવો દેખાય છે:

- બિંદુઓનો સંપૂર્ણ સમૂહ ત્રિકોણમાં વહેંચાયેલો છે, એટલે કે. ત્રણ બિંદુઓના સંયોજનો બનાવવામાં આવે છે;

- દરેક સંયોજન માટે, પરિમાણિત વર્તુળ અને તેના કેન્દ્રના કોઓર્ડિનેટ્સ જોવા મળે છે;

- જો વર્તમાન સંયોજનના વર્તુળની અંદર એક પણ બિંદુ બાકી ન હોય, તો પછી આ સંયોજન ત્રિકોણ છે - ડેલૌનાય ત્રિકોણનો ભાગ.

આ અલ્ગોરિધમના ફાયદાઓમાં શામેલ છે:

- ત્રિકોણમિતિ કાર્યોના ઉપયોગનો અભાવ, જે બાંધકામ પ્રક્રિયાને ધીમું કરતું નથી;

- ડેલૌનાય ત્રિકોણનું સીધું બાંધકામ, કોઈપણ પ્રારંભિક બાંધકામો વિના;

- તમામ ગણતરીઓ અને પરિવર્તનની સરળતા;

– પરિણામે, ત્રિકોણ ગ્રીડ વ્યક્તિગત રેખાઓને બદલે ઘણા ત્રિકોણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

આ રીતે બાંધવામાં આવેલ ત્રિકોણ છે ભૌમિતિક આધારઆઇસોલાઇન્સ બનાવવા માટે.

Delaunay ત્રિકોણ બનાવવા માટેના અલ્ગોરિધમ્સને સંખ્યાબંધ જૂથોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે, જે ઉપયોગમાં લેવાતા ઇનપુટ ડેટાના બંધારણમાં, કોમ્પ્યુટેશનલ કામગીરીનું પ્રમાણ, પ્રારંભિક જગ્યા વગેરેમાં ભિન્ન છે. ચાલો તેમાંથી કેટલાકને ધ્યાનમાં લઈએ.

મર્જિંગ એલ્ગોરિધમ્સમાં સ્ત્રોત બિંદુઓના સમૂહને સબસેટમાં વિભાજીત કરવા, તેમાંથી દરેક પર ત્રિકોણ બાંધવા અને પછી તેમને એક નેટવર્કમાં જોડવાનો સમાવેશ થાય છે. આમાંના એક અલ્ગોરિધમનો સાર નીચે મુજબ આવે છે.

મૂળ બિંદુઓનો સમૂહ વિભાજિત થયેલ છે ઊભી રેખાઓબે અથવા વધુ ભાગોમાં, જે પછી તેમાંથી દરેકને આડી અને ઊભી રેખાઓ દ્વારા લગભગ સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે. પરિણામે, પ્રારંભિક બિંદુઓનો સમગ્ર વિસ્તાર ત્રણ અથવા ચાર બિંદુઓ (ફિગ. 2.4) ના આદિકાળમાં વિભાજિત થાય છે, જેની સાથે એક અથવા બે ત્રિકોણ બાંધવામાં આવે છે.

આ ત્રિકોણને એક નેટવર્કમાં ભેળવીને બે બેઝલાઈન બનાવીને કરવામાં આવે છે (P 0 P 1 અને P 2 P 3, ચોખા. 5.7.a), પર કેન્દ્રિત ચલ ત્રિજ્યાના વર્તુળો દોરવા લંબ દ્વિભાજકઆધારરેખા સુધી (ફિગ. 5.7, b), વર્તુળ પર પડતા નોડ માટે શોધો (બિંદુ એ, ચોખા. 5.7. c) અને નવા ત્રિકોણનું નિર્માણ (P 0 P 1 A).આ કિસ્સામાં, હાલના ત્રિકોણને કાઢી નાખવાની જરૂર પડી શકે છે (ઉદાહરણ તરીકે, P 0 AB).

પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સ ડેલૌનેય માપદંડ અનુસાર તેના એક સાથે સુધારણા અને પુનઃનિર્માણ સાથે આંશિક રીતે બાંધવામાં આવેલા ત્રિકોણમાં ક્રમિક રીતે પોઈન્ટ ઉમેરવાના વિચાર પર આધારિત છે. IN સામાન્ય દૃશ્યતેઓ ઘણા પગલાંઓ સમાવે છે અને પ્રથમ ત્રણ પ્રારંભિક બિંદુઓ પર ત્રિકોણ બાંધવા અને આગળના બિંદુ મૂકવા માટે ઘણા વિકલ્પોની શોધ કરવા માટે નીચે ઉકાળે છે. ખાસ કરીને, મોડેલિંગ વિસ્તારની સીમાની બહાર, હાલના નોડ અથવા ધાર પર, બાંધેલા ત્રિકોણની અંદર, વગેરે માટે વિકલ્પો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે. આમાંના દરેક વિકલ્પોમાં ચોક્કસ કામગીરી કરવાનો સમાવેશ થાય છે: ધારને બે ભાગમાં વિભાજીત કરવી, ચહેરા પર ત્રણ, વગેરે; જે પછી પરિણામી ત્રિકોણને ડેલૌનેય સ્થિતિ અને જરૂરી પુનઃનિર્માણ માટે ચકાસવામાં આવે છે.

ટુ-પાસ અલ્ગોરિધમ્સમાં પ્રથમ કેટલાક ત્રિકોણનું નિર્માણ, ડેલૌનેય શરતોને અવગણીને અને પછી આ શરતો અનુસાર તેનું પુનઃનિર્માણ સામેલ છે. અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરવાનું ઉદાહરણ ફિગમાં બતાવવામાં આવ્યું છે. 5.8.

બનાવેલ રાહત મોડેલને વાસ્તવિકની નજીક લાવવા માટે, તેના રેખીય અને ક્ષેત્રને ધ્યાનમાં લેવા અને પ્રદર્શિત કરવા માટે તેમાં વધારાના ઘટકો દાખલ કરવામાં આવે છે. માળખાકીય તત્વો. આવા વધારાના તત્વો એ માળખાકીય રેખાઓ છે જેનો વ્યાપકપણે ટોપોગ્રાફીમાં ઉપયોગ થાય છે જે "રાહત હાડપિંજર" ને વ્યાખ્યાયિત કરે છે: વોટરશેડ, થલવેગ્સ, પટ્ટાઓ, ખડકો, પાદરીઓ, તળાવો, કોતરો, દરિયાકિનારો, સીમાઓ કૃત્રિમ રચનાઓઅને અન્ય, જેની સંપૂર્ણતા, ડેલૌનાય ત્રિકોણનું માળખું બનાવે છે. આ બ્રેકલાઇન્સ ત્રિકોણમાં ત્રિકોણની કિનારીઓ તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે, આ રીતે મોડેલિંગ પ્રાપ્ત થાય છે. વાસ્તવિક તત્વોસામાન્ય અસમાનતાની પૃષ્ઠભૂમિ સામે રાહત પૃથ્વીની સપાટી. આવી કિનારીઓને સ્ટ્રક્ચરલ (નિશ્ચિત, નૉન-કોન્ફિગરેબલ) કહેવામાં આવે છે, અન્ય ત્રિકોણની કિનારીઓને છેદતી નથી અને પછીથી બદલાતી નથી.

બ્રેકલાઈનને ધ્યાનમાં લઈને સપાટીના મોડેલના નિર્માણની સમસ્યાને અવરોધિત ડેલૌનાય ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે જો ડેલૌનાય સ્થિતિઓ અડીને આવેલા ત્રિકોણની કોઈપણ જોડી માટે સંતુષ્ટ હોય કે જે બ્રેકલાઈન દ્વારા અલગ ન હોય. સૌથી અસરકારક રીત, સંશોધકો માને છે, પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમનો ઉપયોગ કરીને આવા ત્રિકોણનું નિર્માણ કરવું છે.

Delaunay ત્રિકોણ બનાવવા માટેના અલ્ગોરિધમ્સ નોડ્સના કોઓર્ડિનેટ્સની વાસ્તવિક અથવા પૂર્ણાંક રજૂઆત સાથે અમલમાં મૂકવામાં આવે છે, જે પ્રક્રિયાની ઝડપ અને ચોકસાઈને નોંધપાત્ર રીતે વધારી શકે છે, પરંતુ મેચિંગ નોડ્સને શોધવા અને બાકાત રાખવાની સમસ્યાઓને જન્મ આપે છે.

ટીઆઈએન મોડેલ સરળતાથી ગાંઠો ખસેડીને, નવા દાખલ કરીને, અસ્તિત્વમાંનાને કાઢી નાખીને, એક અથવા ઘણી ધારની સ્થિતિ બદલીને, નવી માળખાકીય રેખાઓ રજૂ કરીને, વગેરે દ્વારા સરળતાથી સંપાદિત થાય છે. આવા ફેરફારો હંમેશા અડીને આવેલા ત્રિકોણના નાના જૂથને અસર કરે છે, તેને ફરીથી બનાવવાની જરૂર નથી. સમગ્ર નેટવર્ક અને કર્સરને અનુરૂપ તત્વ પર નિર્દેશ કરીને ઓન લાઇન હાથ ધરવામાં આવે છે.

ચોકસાઈ વિશે:

લાક્ષણિક રાહત તત્વો (ઉદાહરણ તરીકે, વોટરશેડ અને થલવેગ્સ) પર પિકેટ્સ મૂકીને, અમે ગાબડાંમાં નાના તત્વોને અવગણીએ છીએ. ત્રિકોણની આવી કિનારીઓ સાથે સમોચ્ચ રેખાઓ1 બનાવતી વખતે, એક ભૂલ થાય છે, જે ભૂપ્રદેશની અસમાનતા અને ભૂપ્રદેશના ઝોકના કોણ પર આધાર રાખે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સરેરાશ ભૂલરાહત સર્વેક્ષણ 2 થી 10 ડિગ્રીના સપાટીના ઝોકના ખૂણા પર રાહત વિભાગના 1/3 કરતા વધુ ન હોવું જોઈએ. તે ગણતરી કરી શકાય છે કે 0.5 મીટરના રાહત વિભાગ સાથે, ચૂકી ગયેલ અસમાનતાનું મહત્તમ મૂલ્ય (એટલે ​​​​કે, અડીને આવેલા પિકેટ્સમાંથી પસાર થતી સીધી રેખામાંથી પૃથ્વીની સપાટીનું વિચલન) (0.5/3) *cos10° થી વધુ ન હોવું જોઈએ. =0.16 મી.

ખસેડવામાં આવી રહેલી માટીના જથ્થાને નિર્ધારિત કરવાની ચોકસાઈ માટે, રાહતની વિગતો દ્વારા કબજે કરાયેલ વિસ્તાર કે જે ધ્યાનમાં લેવામાં આવ્યો નથી તે પણ મહત્વપૂર્ણ છે. ચાલો કહીએ કે પિકેટની બે જોડી વચ્ચે 20x20 મીટરના ચોરસમાં એક નળાકાર બહિર્મુખતા છે મહત્તમ ઊંચાઈ 0.15 મી. ગણતરી કરવી સરળ છે કે આપેલ સપાટીને માત્ર બે ત્રિકોણ સાથે રજૂ કરતી વખતે તેને ધ્યાનમાં ન લેવાથી લગભગ 40 m3 ની ભૂલ થશે. એટલું નહીં, પરંતુ 1 હેક્ટરના પ્લોટ માટે, જે ટેકરી અથવા ઢોળાવના ઉપરના (સામાન્ય રીતે બહિર્મુખ) ભાગ પર સ્થિત છે, તમને 40 * 25 = 1000 m3 વધારાની માટી મળે છે. જો તમે પિકેટ્સ બમણી વાર લો (એટલે ​​કે દર 10 મીટર), તો ભૂલ ચાર ગણી ઘટશે અને હેક્ટર દીઠ 250 m3 જેટલી થશે. આ પરિબળને અગાઉથી ધ્યાનમાં લઈ શકાય છે, ત્યારથી હકારાત્મક સ્વરૂપોસપાટ ભૂપ્રદેશમાં સામાન્ય રીતે બહિર્મુખ આકાર હોય છે, જ્યારે નકારાત્મકમાં અંતર્મુખ આકાર હોય છે. જો સર્વે કરવા માટેના વિસ્તારમાં રાહત અંગેનો અંદાજિત ડેટા હોય, તો સપાટીની વક્રતાની ત્રિજ્યા અને પિકેટની આવશ્યક ઘનતા સમોચ્ચ રેખાઓ અથવા વ્યક્તિગત ઊંચાઈના મૂલ્યો પરથી સરળતાથી ગણતરી કરી શકાય છે.

મૂળભૂત વ્યાખ્યાઓ અને ગુણધર્મો

ત્રિકોણ એ એક પ્લેનર ગ્રાફ છે જેના આંતરિક પ્રદેશો બધા ત્રિકોણ છે.

ગુણધર્મો:

· ડેલૌનાય ત્રિકોણ સમાન પોઈન્ટના સમૂહ માટે વોરોનોઈ ડાયાગ્રામને એક-થી-એકને અનુરૂપ છે.

· પરિણામે: જો કોઈ ચાર બિંદુઓ એક જ વર્તુળ પર ન હોય, તો ડેલૌનાય ત્રિકોણ અનન્ય છે.

· ડેલૌનેય ત્રિકોણ બધા બાંધેલા ત્રિકોણના તમામ ખૂણાઓ વચ્ચે લઘુત્તમ કોણને મહત્તમ કરે છે, તેથી "પાતળા" ત્રિકોણને ટાળે છે.

· ડેલૌનેય ત્રિકોણ અંકિત ગોળાઓની ત્રિજ્યાના સરવાળાને મહત્તમ કરે છે.

· ડેલૌનેય ત્રિકોણ અલગ ડિરિચલેટ કાર્યાત્મકને ઘટાડે છે.

· ડેલૌનેય ત્રિકોણ લઘુત્તમ આસપાસના ગોળાની મહત્તમ ત્રિજ્યાને ઘટાડે છે.

· પ્લેન પરના ડેલૌનેય ત્રિકોણમાં તમામ સંભવિત ત્રિકોણમાં ત્રિકોણની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળોની ત્રિજ્યાનો લઘુત્તમ સરવાળો હોય છે.

આકૃતિ 1. ત્રિકોણ.

બહિર્મુખ ત્રિકોણ એ એક ત્રિકોણ છે જેના માટે તમામ ત્રિકોણને ઘેરતો લઘુત્તમ બહુકોણ બહિર્મુખ છે. એક ત્રિકોણ જે બહિર્મુખ નથી તેને બિન-બહિર્મુખ કહેવાય છે.

આપેલ દ્વિ-પરિમાણીય બિંદુઓના સમૂહમાંથી ત્રિકોણ બાંધવાની સમસ્યાને જોડાણ સમસ્યા કહેવામાં આવે છે આપેલ પોઈન્ટબિન-છેદેલા ભાગો જેથી ત્રિકોણ રચાય.

જો આપેલ ત્રિકોણ બિંદુઓમાંથી કોઈ પણ બાંધેલા ત્રિકોણની ફરતે ઘેરાયેલા વર્તુળની અંદર ન આવે તો ત્રિકોણને ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષવા માટે કહેવામાં આવે છે.

ત્રિકોણને ડેલૌનાય ત્રિકોણ કહેવામાં આવે છે જો તે બહિર્મુખ હોય અને ડેલૌનેય સ્થિતિને સંતોષે.

આકૃતિ 2. Delaunay ત્રિકોણ.

Delaunay ખાલી બોલ પદ્ધતિ. સામાન્ય કિસ્સામાં બાંધકામ

ચાલો ખાલી બોલનો ઉપયોગ કરીએ, જેને આપણે ખસેડીશું, તેનું કદ બદલીશું જેથી તે સિસ્ટમ (A) ના બિંદુઓને સ્પર્શ કરી શકે, પરંતુ હંમેશા ખાલી રહે.

તો, ચાલો આપણે પોઈન્ટ્સ (A) ની સિસ્ટમમાં ખાલી ડેલૌનેય બોલ મૂકીએ. જો તમે પૂરતો નાનો બોલ પસંદ કરો તો આ હંમેશા શક્ય છે. ચાલો તેની ત્રિજ્યા વધારવાનું શરૂ કરીએ, બોલના કેન્દ્રને સ્થાને રાખીને. અમુક સમયે બોલની સપાટી સિસ્ટમ (A) ના અમુક બિંદુ i ને મળે છે. આ ચોક્કસપણે થશે, કારણ કે આપણી સિસ્ટમમાં કોઈ અનંત મોટી ખાલી જગ્યાઓ નથી. આપણે ખાલી બોલની ત્રિજ્યા વધારવાનું ચાલુ રાખીશું જેથી તે બિંદુ i તેની સપાટી પર રહે. આ કરવા માટે, તમારે બિંદુ i થી બોલનું કેન્દ્ર ખસેડવું પડશે. વહેલા કે પછી બોલ તેની સપાટી સાથે સિસ્ટમના બીજા બિંદુ સુધી પહોંચશે (A).

ફિગ.3

ડેલૌનાય સિમ્પ્લેક્સ ગાબડા અથવા ઓવરલેપ વિના જગ્યા ભરે છે.

કોઈપણ સિમ્પ્લેક્સના વર્ણવેલ ક્ષેત્રમાં સિસ્ટમના અન્ય બિંદુઓ તેની અંદર હોતા નથી.

ચાલો આ બિંદુ જે. ચાલો આપણા બોલની ત્રિજ્યા વધારવાનું ચાલુ રાખીએ, બંને બિંદુઓને તેની સપાટી પર રાખીને. જેમ જેમ બોલ વધશે, તે સિસ્ટમના ત્રીજા બિંદુ, બિંદુ k સુધી પહોંચશે. IN દ્વિ-પરિમાણીય કેસઅમારું "ખાલી વર્તુળ" આ ક્ષણે ઠીક કરવામાં આવશે, એટલે કે. વર્તુળને ખાલી રાખીને તેની ત્રિજ્યાને વધુ વધારવી અશક્ય બની જશે. તે જ સમયે, અમે ત્રણ બિંદુઓ (i, j, k) ના પ્રાથમિક દ્વિ-પરિમાણીય રૂપરેખાંકનને ઓળખીએ છીએ, ચોક્કસ ત્રિકોણને વ્યાખ્યાયિત કરીએ છીએ, જેની વિશિષ્ટતા એ છે કે તેના પરિઘની અંદર સિસ્ટમ (A) ના અન્ય કોઈ બિંદુઓ નથી. IN ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાબોલ ત્રણ બિંદુઓ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત નથી. ચાલો તેની સપાટી પર મળેલા ત્રણેય બિંદુઓને રાખીને તેની ત્રિજ્યા વધારવાનું ચાલુ રાખીએ. જ્યાં સુધી બોલની સપાટી સિસ્ટમના ચોથા બિંદુ l ને પૂર્ણ ન કરે ત્યાં સુધી આ શક્ય બનશે. આ પછી, ખાલી બોલની હિલચાલ અને વૃદ્ધિ અશક્ય બની જશે. મળેલા ચાર બિંદુઓ (i,j,k,l) ​​ટેટ્રેહેડ્રોનના શિરોબિંદુઓને વ્યાખ્યાયિત કરે છે, જે એ હકીકત દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે કે તેના ઘેરાયેલા વલયની અંદર સિસ્ટમ (A) ના અન્ય કોઈ બિંદુઓ નથી. આવા ટેટ્રાહેડ્રોનને ડેલૌનાય સિમ્પ્લેક્સ કહેવામાં આવે છે.

ગણિતમાં સિમ્પ્લેક્સ કહેવાય છે સૌથી સરળ આકૃતિઆપેલ પરિમાણની જગ્યામાં: ટેટ્રાહેડ્રોન - ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યામાં; ત્રિકોણ - બે પરિમાણમાં. સિસ્ટમના એક મનસ્વી ત્રણ (ચાર) બિંદુઓ કે જે એક જ પ્લેનમાં રહેતા નથી તે હંમેશા ચોક્કસ સિમ્પ્લેક્સને વ્યાખ્યાયિત કરે છે. જો કે, જો તેનો વર્ણવેલ ગોળો ખાલી હોય તો જ તે Delaunay સિમ્પ્લેક્સ હશે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, Delaunay સરળતાઓ સિસ્ટમ (A) માં પોઈન્ટના ત્રિપુટી (ચતુર્ભુજ)ની વિશેષ પસંદગી દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.

અમે એક Delaunay સિમ્પ્લેક્સ બનાવ્યું છે, પરંતુ ખાલી બોલને જુદી જુદી જગ્યાએ મૂકીને અને તે જ પ્રક્રિયાને પુનરાવર્તિત કરીને, અમે અન્યને વ્યાખ્યાયિત કરી શકીએ છીએ. એવું જણાવવામાં આવ્યું છે કે સિસ્ટમ (A) ના તમામ Delaunay સરળતાઓનો સમૂહ ઓવરલેપ અને ગાબડા વગર જગ્યા ભરે છે, એટલે કે. જગ્યાના વિભાજનને અમલમાં મૂકે છે, પરંતુ આ વખતે ટેટ્રાહેડ્રોનમાં. આ પાર્ટીશન કહેવાય છે Delaunay ટાઇલીંગ(ફિગ. 3).

ડેલૌનાય ત્રિકોણની અરજી

યુક્લિડિયન અવકાશમાં ડેલૌનાય ત્રિકોણનો ઉપયોગ ઘણીવાર થાય છે. યુક્લિડિયન લઘુત્તમ ફેલાયેલું વૃક્ષ ડેલૌનેય ત્રિકોણ પર આવેલું હોવાની ખાતરી આપવામાં આવે છે, તેથી કેટલાક અલ્ગોરિધમ્સ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરે છે. ઉપરાંત, ડેલૌનાય ત્રિકોણ દ્વારા, યુક્લિડિયન પ્રવાસી સેલ્સમેનની સમસ્યા લગભગ હલ થાય છે.

2D પ્રક્ષેપમાં, ડેલૌનેય ત્રિકોણ પ્લેનને શક્ય તેટલા જાડા ત્રિકોણમાં વિભાજિત કરે છે, જે ખૂબ તીક્ષ્ણ અને ખૂબ જ સ્થૂળ ખૂણાઓને ટાળે છે. આ ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને, તમે બનાવી શકો છો, ઉદાહરણ તરીકે, દ્વિરેખીય પ્રક્ષેપ.

જીઓઇન્ફોર્મેટિક્સમાં વારંવાર આવતી બીજી સમસ્યા એ ઢોળાવના એક્સપોઝરનું નિર્માણ છે. અહીં મુખ્ય દિશા દ્વારા ઢોળાવની પ્રબળ દિશાઓ નક્કી કરવી અને સપાટીને એવા પ્રદેશોમાં વિભાજીત કરવી જરૂરી છે કે જેમાં ચોક્કસ દિશા પ્રભુત્વ ધરાવે છે. સપાટીના આડા વિસ્તારો માટે એક્સપોઝર નક્કી કરવાનો કોઈ અર્થ નથી, જે વિસ્તારો આડા છે અથવા થોડો ઢોળાવ ધરાવે છે તે અલગ પ્રદેશમાં ફાળવવામાં આવે છે, ઉદાહરણ તરીકે<5 о. По странам света деление обычно выполняется на 4, 8 или 16 частей.

ફિગ.4.

ઢોળાવના સંસર્ગની ગણતરી કરવાની સમસ્યાનો ઉપયોગ સામાન્ય રીતે પૃથ્વીની રોશનીનું વિશ્લેષણ કરવા માટે થાય છે. આ સંદર્ભમાં, ઘણીવાર સૂર્યની વર્તમાન સ્થિતિને પણ ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર હોય છે, એટલે કે. એક્સપોઝરની ગણતરી સામાન્યથી ત્રિકોણ અને સૂર્યની દિશા વચ્ચેની દિશા તરીકે કરવામાં આવે છે.

આમ, દરેક ત્રિકોણ ત્રિકોણને ચોક્કસ પ્રદેશ સાથે જોડાયેલા સિદ્ધાંત અનુસાર વર્ગીકૃત કરી શકાય છે. આ પછી, તમારે ફક્ત પ્રદેશ પસંદગી અલ્ગોરિધમનો કૉલ કરવાની જરૂર છે.

વ્યાખ્યાન માળખું વ્યાખ્યાઓ એપ્લિકેશનના ક્ષેત્રો એપ્લિકેશનના ક્ષેત્રો ડેલૌનાય ત્રિકોણના ગુણધર્મો ડેલૌનાય ત્રિકોણના ગુણધર્મો ડેલૌનાય ત્રિકોણ બાંધવા માટેની પદ્ધતિઓ ડેલૌનાય ત્રિકોણ બાંધવા માટેની પદ્ધતિઓ પગલું-દર-પગલાં ઇનપુટ પદ્ધતિઓ પગલું-દર-પગલા ઇનપુટ પદ્ધતિઓ પગલું-દર-પગલાં ઇનપુટ પદ્ધતિઓ સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ પદ્ધતિ -બાય-સ્ટેપ સેમ્પલિંગ પદ્ધતિઓ વિઘટન પદ્ધતિઓ વિઘટન પદ્ધતિઓ સ્કેનિંગ પદ્ધતિઓ સ્કેનિંગ પદ્ધતિઓ બે-પાસ પદ્ધતિઓ બે-પાસ પદ્ધતિઓ

ત્રિકોણ ત્રિકોણ એ એક પ્લેનર ગ્રાફ છે જેના આંતરિક પ્રદેશો બધા ત્રિકોણ છે. ત્રિકોણ એ એક પ્લેનર ગ્રાફ છે જેના આંતરિક પ્રદેશો બધા ત્રિકોણ છે. શબ્દ "ત્રિકોણ" શબ્દ છે "ત્રિકોણ" એ આલેખ છે; આલેખ ગ્રાફ બાંધકામ પ્રક્રિયા. ગ્રાફ બાંધકામ પ્રક્રિયા. બિંદુ S ના સમૂહ માટે ત્રિકોણ સમસ્યા એ ત્રિકોણ ગ્રાફ મેળવવા માટે સમૂહ S ના તમામ બિંદુઓને અસંબંધિત ભાગો સાથે જોડવાની સમસ્યા છે. બિંદુ S ના સમૂહ માટે ત્રિકોણ સમસ્યા એ ત્રિકોણ ગ્રાફ મેળવવા માટે સમૂહ S ના તમામ બિંદુઓને અસંબંધિત ભાગો સાથે જોડવાની સમસ્યા છે. ત્રિકોણની વ્યાખ્યા પોઈન્ટનો સમૂહ S

શ્રેષ્ઠ ત્રિકોણ એ આલેખની તમામ ધારની લંબાઈના લઘુત્તમ સરવાળા સાથેનું ત્રિકોણ છે. શ્રેષ્ઠ ત્રિકોણ એ આલેખની તમામ ધારની લંબાઈના લઘુત્તમ સરવાળા સાથેનું ત્રિકોણ છે. ! એક લોકપ્રિય, પરંતુ ખૂબ જ સમય માંગી લેતી સમસ્યા O(2 n)! વ્યવહારમાં, શ્રેષ્ઠ ત્રિકોણનો ઉપયોગ થાય છે: "લોભી" ત્રિકોણ O(N 2 *logN) "લોભી" ત્રિકોણ O(N 2 *logN) Delaunay triangulation O(N*logN) Delaunay triangulation O(N*logN) ) વ્યાખ્યા શ્રેષ્ઠ ત્રિકોણ

Delaunay triangulation (DT(S)) એક બહિર્મુખ ત્રિકોણ છે જે Delaunay સ્થિતિને સંતોષે છે: Delaunay triangulation (DT(S)) એક બહિર્મુખ ત્રિકોણ છે જે Delaunay સ્થિતિને સંતોષે છે: આલેખના કોઈપણ શિરોબિંદુઓ આસપાસના પરિઘની અંદર ન આવવા જોઈએ. તેના કોઈપણ ત્રિકોણ. ગ્રાફના કોઈપણ શિરોબિંદુઓ તેના કોઈપણ ત્રિકોણની આસપાસના વર્તુળની અંદર ન આવવા જોઈએ. ડેલૌનાય ત્રિકોણની વ્યાખ્યા ડેલૌનાય સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે ડેલૌનાય સ્થિતિ સંતુષ્ટ નથી B.N. Delaunay()

અન્ય વીજી સમસ્યાઓમાં ડેલૌનેય ત્રિકોણનો ઉપયોગ અન્ય વીજી સમસ્યાઓમાં પોઈન્ટ્સના સમૂહનો ન્યૂનતમ વ્યાપ પોઈન્ટના સમૂહનો ન્યૂનતમ વ્યાપ ઝોન) મહત્તમ ખાલી વર્તુળ શોધવું મહત્તમ ખાલી વર્તુળ શોધવું, વગેરે , ઔદ્યોગિક મોડેલો, રમતોમાં મોડેલો, GIS માં રાહતો, શિલ્પો, ઔદ્યોગિક .મોડેલ, રમતોમાં મોડેલો, મોડેલોનું સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણ Isolines, Isoclines, FEM મોડેલોનું સંખ્યાત્મક વિશ્લેષણ. Isolines, Isoclins, FEM.

કોઈપણ બહિર્મુખ ત્રિકોણના ગુણધર્મો 1. n બિંદુઓના સમૂહ માટે જેમાંથી m આંતરિક ત્રિકોણ ત્રિકોણની સંખ્યા = n + m – 2 ત્રિકોણ ત્રિકોણની સંખ્યા = n + m – 2 ત્રિકોણ ધારની સંખ્યા 3n – 6 ત્રિકોણ ધારની સંખ્યા 3n – 6 ઉદાહરણ: પોઈન્ટ (n) – 13 પોઈન્ટ્સ (n) – 13 આંતરિક (m) – 4 આંતરિક (m) – 4 ત્રિકોણ – 15 = ત્રિકોણ – 15 = ધાર – 26 3*13-6 = 33 ધાર – 26 3 *13-6 = 33

ડેલૌનાય ત્રિકોણના ગુણધર્મો 2. ડેલૌનાય ત્રિકોણમાં તમામ સંભવિત ત્રિકોણ વચ્ચેના તમામ ત્રિકોણના લઘુત્તમ ખૂણાઓનો મહત્તમ સરવાળો હોય છે. 3. ડેલૌનાય ત્રિકોણમાં તમામ સંભવિત ત્રિકોણમાં ત્રિકોણની આસપાસ વર્ણવેલ વર્તુળોની ત્રિજ્યાનો લઘુત્તમ સરવાળો છે. Delaunay triangulation NOT Delaunay triangulation

Delaunay ત્રિકોણ બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઇનપુટ પદ્ધતિઓ સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઇનપુટ પદ્ધતિઓ પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સ () પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સ () સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સેમ્પલિંગ પદ્ધતિઓ સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સેમ્પલિંગ પદ્ધતિઓ ડાયરેક્ટ (સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ) બાંધકામ અલ્ગોરિધમ્સ (3) ડાયરેક્ટ (સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ) કન્સ્ટ્રક્શન એલ્ગોરિધમ્સ (3) વિઘટન પદ્ધતિઓ વિઘટન પદ્ધતિઓ અલ્ગોરિધમ્સને મર્જ કરો (2 ) અલ્ગોરિધમ્સ મર્જ કરો (2) સ્કેનિંગ પદ્ધતિઓ સ્કેનિંગ પદ્ધતિઓ પોઈન્ટ ઉમેરવાના બદલાયેલા ક્રમ સાથે પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સ (1.4) સાથે પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સ પોઈન્ટ ઉમેરવાનો બદલાયેલો ક્રમ (1.4) ટુ-પાસ અલ્ગોરિધમ્સ (4) ટુ-પાસ એલ્ગોરિધમ્સ (4)

સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઇનપુટ પદ્ધતિઓ પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સ () ડેલૌનેય ત્રિકોણ બનાવવા માટે પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સની સામાન્ય યોજના 1. પ્રથમ ત્રણ બિંદુઓ પર એક ત્રિકોણ બનાવો 2. સેટ S 3 ના બાકીના તમામ બિંદુઓ p i દ્વારા લૂપ કરો. બિંદુની સૌથી નજીક ત્રિકોણ t j શોધો વર્તમાન ત્રિકોણનો p i 4. જો બિંદુ p i ત્રિકોણ t j ની બહાર હોય, તો નજીકની ધાર પર ત્રિકોણ બનાવો. 5. જો બિંદુ p i ત્રિકોણ t j ની અંદર હોય, તો ત્રિકોણને ત્રણ ભાગમાં વહેંચો. 6. જો બિંદુ p i એક ધાર પર હોય, તો પછી અડીને આવેલા ત્રિકોણને જોડીમાં વિભાજીત કરો. 7. જો પડોશીઓ માટે Delaunay સ્થિતિનું ઉલ્લંઘન થાય છે, તો પછી પડોશી ત્રિકોણ ફરીથી બનાવો. ત્રિકોણ શોધને ઝડપી બનાવવા માટેના વિકલ્પો: ત્રિકોણ અનુક્રમણિકા (વૃક્ષો) – O(લોગ n) ત્રિકોણ અનુક્રમણિકા (વૃક્ષો) – O(લોગ એન) ત્રિકોણ કેશીંગ (મેશ) – O(ઓ) ત્રિકોણ કેશીંગ (મેશ) – O(ઓ)

સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સેમ્પલિંગની પદ્ધતિઓ ડાયરેક્ટ (સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ) કન્સ્ટ્રક્શન માટે અલ્ગોરિધમ્સ (3) જે પહેલાથી જ બાંધવામાં આવ્યું છે તેને રિબિલ્ડ કર્યા વિના તરત જ જરૂરી ત્રિકોણ બનાવો. ડેલૌનાય ત્રિકોણના સીધા બાંધકામ માટે એલ્ગોરિધમ્સની સામાન્ય યોજના બિનપ્રોસેસ કરેલ ધારના સ્ટેકનો ઉપયોગ કરવો અનુકૂળ છે. 1. બિંદુઓના સમૂહના બહિર્મુખ હલની કોઈપણ ધાર q શોધો. 2. ધાર q ને કાચી ધારના સ્ટેકમાં દબાણ કરો. 3. કાચા કિનારીઓનો સ્ટેક ખાલી ન થાય ત્યાં સુધી લૂપ કરો. 4. સ્ટેકમાંથી પોપ એજ v. 5. કિનારી v માટે, એક બિંદુ p શોધો જે Delaunay સ્થિતિ (Delaunay પાડોશી) ને સંતોષે છે 6. જો Delaunay પાડોશી p મળે, તો 7. કિનારી v થી બિંદુ p સુધીનો ત્રિકોણ બનાવો. 8. નવા ત્રિકોણની નવી કિનારીઓને કાચી ધારના સ્ટેક પર દબાણ કરો. Delaunay પડોશી શોધને વેગ આપવા માટેના વિકલ્પો: k-D-ટ્રી સાથે પોઈન્ટ ઈન્ડેક્સીંગ - O(log n) ઈન્ડેક્સીંગ પોઈન્ટ with a k-D-ટ્રી - O(log n) પોઈન્ટનું સેલ્યુલર ઈન્ડેક્સીંગ - O(c) પોઈન્ટનું સેલ્યુલર ઈન્ડેક્સીંગ - O(c) )

લોભી Delaunay ત્રિકોણ અલ્ગોરિધમની પ્રક્રિયા

વિઘટન પદ્ધતિઓ અલ્ગોરિધમ્સને મર્જ કરો (2) સબસેટમાં પાર્ટીશન, સ્વતંત્ર પ્રક્રિયા, પરિણામો મર્જ કરો. મર્જિંગ એલ્ગોરિધમ્સની સામાન્ય યોજના 0. જો સેટ S માં 3 થી વધુ પોઈન્ટ ન હોય, તો સીધું જ બાંધો અન્યથા 1. પોઈન્ટ S ના સમૂહને લગભગ સમાન સબસેટમાં વિભાજીત કરો. 1. પોઈન્ટ S ના સમૂહને લગભગ સમાન સબસેટમાં વિભાજીત કરો. 2. સબસેટ્સ માટે ત્રિકોણનું બાંધકામ. 2. સબસેટ્સ માટે ત્રિકોણનું બાંધકામ. 3. પરિણામી ત્રિકોણને એકમાં મર્જ કરો. 3. પરિણામી ત્રિકોણને એકમાં મર્જ કરો. ઉપગણોમાં વિભાજન કરવાની પદ્ધતિઓ ઓર્થોગોનલ સીધી રેખાઓ ઓર્થોગોનલ સીધી રેખાઓ બહિર્મુખ હલના વ્યાસ દ્વારા બહિર્મુખ હલના વ્યાસ દ્વારા પટ્ટાઓ પટ્ટાઓ

મર્જિંગ એલ્ગોરિધમ્સ (2) ત્રિકોણને મર્જ કરવા માટેની પદ્ધતિઓ “કાઢી નાખો અને બનાવો” (બાંધકામ પહેલાં તપાસો) “કાઢી નાખો અને બનાવો” (બાંધકામ પહેલાં તપાસો) “બિલ્ડ અને ફરીથી બનાવો” (બાંધકામ પછી તપાસો) “બિલ્ડ અને ફરીથી બનાવો” (બાંધકામ પછી તપાસો) “ બિલ્ડ, રિબિલ્ડિંગ" (બાંધકામ દરમિયાન તપાસો) "બિલ્ડ, રિબિલ્ડિંગ" (બાંધકામ દરમિયાન તપાસો)

પોઈન્ટ ઉમેરવાના સંશોધિત ક્રમ સાથે પુનરાવર્તિત પદ્ધતિઓની સામાન્ય યોજના 1. પોઈન્ટ ગોઠવો (ઈવેન્ટ પોઈન્ટ્સની સૂચિ બનાવો) 2. તમામ ઘટના બિંદુઓ દ્વારા ચક્ર સ્કેન કરો 3. દરેક બિંદુ p i માટે, પહેલાના ત્રિકોણ પર ત્રિકોણ બનાવો. 4. જો પડોશીઓ માટે Delaunay સ્થિતિનું ઉલ્લંઘન થાય છે, તો પછી પડોશી ત્રિકોણ ફરીથી બનાવો. સ્કેનિંગ પદ્ધતિઓ પોઈન્ટ ઉમેરવાના સંશોધિત ક્રમ સાથે પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ્સ (1.4)

સ્કેનિંગ પદ્ધતિઓ ઇવેન્ટ પોઈન્ટ ઓર્ડર કરવા માટેની પદ્ધતિઓ રેક્ટીલીનિયર રેક્ટીલીનિયર ધ્રુવીય (ગોળાકાર, પંખા આકારની) ધ્રુવીય (ગોળાકાર, પંખાના આકારની) સ્ટ્રાઈપ સ્ક્વેર સ્ક્વેર હિલ્બર્ટ વક્ર દ્વારા હિલ્બર્ટ વળાંક દ્વારા ઝેડ-કોડ દ્વારા ઝેડ-કોડ લક્ષ્યો: તરત જ મહત્તમ બનાવો સારા ત્રિકોણ તરત જ મહત્તમ સારા ત્રિકોણ બનાવો લેન ફેરફારોની સંખ્યા ઓછી કરો લેન ફેરફારોની સંખ્યા ઓછી કરો

ડેલૌનાય ત્રિકોણ પદ્ધતિની સારાંશ લાક્ષણિકતાઓ ત્રિકોણ પદ્ધતિ સરેરાશ સમય સૌથી ખરાબ સમયે સેકન્ડ/ટી અમલીકરણની સરળતા. સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઇનપુટ મેથડ્સ સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ ઇનપુટ મેથડ ઇટરેટિવ એલ્ગોરિધમ્સ () ઇટરરેટિવ એલ્ગોરિધમ્સ ()O(n)- O(n 3/2) O(n 2) 1.5-9.2 2-5 સ્ટેપ-બાય સ્ટેપ સેમ્પલિંગ પદ્ધતિઓ સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સેમ્પલિંગ પદ્ધતિઓ સીધી બાંધકામ પદ્ધતિ (3) સીધી બાંધકામ પદ્ધતિ (3) O(n)- O(n 2) O(n 2) -2 વિઘટન પદ્ધતિઓ વિઘટન પદ્ધતિઓ વિઘટન પદ્ધતિઓ (2) મર્જ પદ્ધતિઓ (2) 2) O(n)- O(nlogn) O (nlogn)- O(n 2) 2.5-4.52-3 સ્કેનિંગ પદ્ધતિઓ સ્કેનિંગ પદ્ધતિઓ પોઈન્ટ ઉમેરવાના બદલાયેલા ક્રમ સાથે પુનરાવર્તિત (1.4) પોઈન્ટ ઉમેરવાના બદલાયેલા ક્રમ સાથે પુનરાવર્તિત ( 1.4)O(n) O(n 2) 1 ,9-5,34-5 ટુ-પાસ પદ્ધતિઓ (4) ટુ-પાસ પદ્ધતિઓ (4) O(n) - O(n 2) O(nlogn)- O (n 2) 2.2-15.41-5 Skvortsov ભલામણ કરે છે: ગતિશીલ કેશીંગ સાથે પુનરાવર્તિત અલ્ગોરિધમ

આજે તે શું છે? Delaunay ત્રિકોણ વિશે! વ્યાખ્યા વ્યાખ્યા એપ્લિકેશનના ક્ષેત્રો એપ્લિકેશનના ક્ષેત્રો ડેલૌનાય ત્રિકોણના ગુણધર્મો ડેલૌનાય ત્રિકોણના ગુણધર્મો ડેલૌનાય ત્રિકોણ બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ ડેલૌનેય ત્રિકોણ બનાવવા માટેની પદ્ધતિઓ પગલું-દર-પગલાં ઇનપુટ પદ્ધતિઓ પગલું-દર-પગલું ઇનપુટ પદ્ધતિઓ પગલું-દર-પગલું ઇનપુટ પદ્ધતિઓ પગલું-દર-પગલાં-નમૂના લેવાની પદ્ધતિ -સ્ટેપ સેમ્પલિંગ પદ્ધતિઓ વિઘટન પદ્ધતિઓ વિઘટન પદ્ધતિઓ સ્કેનિંગ પદ્ધતિઓ સ્કેનિંગ પદ્ધતિઓ બે-પાસ પદ્ધતિઓ બે-પાસ પદ્ધતિઓ