Pengaruh sifat proses acak pada pemodelan. cara ke-1

6.1. TEKNIK PEMODELAN STOKASTIK

Konsep "acak" adalah salah satu konsep paling mendasar baik dalam matematika maupun matematika kehidupan sehari-hari. Pemodelan proses acak- arah paling kuat di zaman modern pemodelan matematika.

Suatu peristiwa disebut acak jika peristiwa tersebut tidak dapat diprediksi secara pasti. Keacakan mengelilingi dunia kita dan paling sering dimainkan peran negatif dalam hidup kita. Namun, ada keadaan di mana keacakan bisa bermanfaat.

DI DALAM perhitungan yang rumit, bila hasil yang diinginkan bergantung pada hasil dari banyak faktor, model, dan pengukuran, jumlah penghitungan dapat dikurangi sebesar nilai acak angka penting. Dari teori evolusi dapat disimpulkan bahwa keacakan memanifestasikan dirinya sebagai sesuatu yang konstruktif, faktor positif. Secara khusus, seleksi alam menerapkan semacam metode coba-coba, memilih dalam proses perkembangan individu-individu dengan sifat-sifat organisme yang paling sesuai. Lebih lanjut, keacakan terwujud dalam beragamnya hasil, sehingga memberikan fleksibilitas dalam respons penduduk terhadap perubahan lingkungan eksternal.

Berdasarkan hal di atas, masuk akal untuk menempatkan keacakan sebagai dasar metode untuk memperoleh solusi melalui trial and error, melalui pencarian acak.

Perhatikan di atas, berikan contohnya pemodelan simulasi- permainan "Kehidupan", pada dasarnya sudah kami miliki model stokastik. Pada bagian ini kita akan membahas metodologi pemodelan tersebut secara lebih rinci.

Jadi, biarkan nilai beberapa parameter masukan dalam model fungsional didefinisikan hanya dalam arti probabilistik. Dalam hal ini, gaya bekerja dengan model berubah secara signifikan.

Setelah dipertimbangkan secara serius, kata “distribusi probabilitas”, “keandalan”, “ sampel statistik", "proses acak", dll.

Dalam pemodelan matematika komputer dari proses acak, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa himpunan yang disebut nomor acak, memenuhi hukum distribusi yang diberikan. Faktanya, angka-angka ini dihasilkan oleh komputer algoritma tertentu, yaitu mereka tidak sepenuhnya acak, jika hanya karena ketika program dimulai ulang dengan parameter yang sama, urutannya akan berulang; angka-angka seperti itu disebut “acak semu”.

Pertama-tama mari kita pertimbangkan pembangkitan angka-angka yang kemungkinan besar terdistribusi secara merata pada segmen tertentu. Kebanyakan program penghasil angka acak menghasilkan urutan di mana angka sebelumnya digunakan untuk mencari angka berikutnya. Yang pertama adalah nilai awal. Semua pembangkit bilangan acak menghasilkan barisan yang berulang setelah sejumlah suku tertentu, yang disebut periode, yang berhubungan dengan panjang terbatas dari kata mesin. Metode yang paling sederhana dan umum adalah metode residu, atau metode kongruen linier, yang menggunakan bilangan acak berikutnya XN didefinisikan dengan "pemetaan"

Di mana A, Dengan, M - bilangan asli, mod - yang disebut fungsi pembagian modulo (sisa pembagian satu bilangan dengan modulo lainnya). Periode terbesar yang mungkin dari sensor (7,69) adalah sama dengan T; Namun, itu tergantung pada A Dan Dengan. Jelas apa periode yang lebih lama, semakin baik; Namun, sungguh yang terhebat M dibatasi oleh bit grid komputer. Bagaimanapun, digunakan di tugas tertentu sampel bilangan acak harus lebih pendek dari periodenya, jika tidak maka masalah akan diselesaikan secara salah. Perhatikan bahwa generator biasanya menghasilkan relasi DIV_ADBLOCK304">

Pertanyaan tentang keacakan urutan terbatas angka-angkanya jauh lebih kompleks daripada yang terlihat pada pandangan pertama. Ada beberapa kriteria statistik untuk keacakan, namun semuanya tidak memberikan jawaban yang lengkap. Jadi, bilangan pseudorandom yang dihasilkan secara berurutan mungkin tidak tampak seragam sempurna, tetapi cenderung membentuk kelompok (yaitu berkorelasi). Salah satu uji keseragaman adalah dengan membagi segmen tersebut M bagian yang sama - "keranjang", dan menempatkan setiap nomor acak baru di "keranjang" yang sesuai. Hasilnya adalah histogram di mana tinggi setiap kolom sebanding dengan jumlah angka acak di “keranjang” (Gbr. 7.54).

Beras. 7.54. Tampilan histogram untuk angka-angka yang terdistribusi secara merata pada suatu segmen dengan sampel yang cukup besar

Jelas bahwa dengan sejumlah besar pengujian, ketinggian kolom harus hampir sama. Namun, kriteria ini diperlukan namun tidak cukup; misalnya, ia “tidak memperhatikan” periodisitas yang sangat singkat sekalipun, untuk pengguna yang tidak terlalu menuntut, kemampuan sensor bilangan acak (generator) yang dibangun di sebagian besar bahasa pemrograman biasanya sudah cukup. Jadi di PASCAL ada fungsi acak yang nilainya merupakan bilangan acak dari suatu rentang, mudah untuk mendapatkan bilangan dari interval sembarang [ a, b].

X = a + (b - a)∙r.

Lagi distribusi yang kompleks sering dibangun menggunakan distribusi seragam. Di sini kami hanya akan menyebutkan satu metode Neumann yang cukup universal (sering juga disebut metode seleksi-penolakan), yang didasarkan pada pertimbangan geometris sederhana. Mari kita asumsikan bahwa perlu untuk menghasilkan bilangan acak dengan beberapa fungsi distribusi yang dinormalisasi f(x) pada interval [ a, b]. Mari perkenalkan hal positif fungsi tertentu perbandingan w(X) seperti yang w(X)= konstanta dan w(x) >F(X) pada [ a, b] (biasanya w(X) sama nilai maksimum F(X) pada [ a, b]). Karena luasnya dibawah kurva f(x) sama untuk interval [ x, x + dx] kemungkinan terkena X Selama interval ini, prosedur trial and error dapat diikuti. Kami menghasilkan dua angka acak yang menentukan kemungkinan koordinat yang sama dalam persegi panjang ABCD menggunakan sensor bilangan acak yang terdistribusi merata:

x = a + (b - a)∙r, y = w∙r

dan jika titik M(x, kamu) tidak berada di bawah kurva f(x), kita buang, dan jika kena, kita tinggalkan (Gbr. 7.55). Dalam hal ini, himpunan koordinat X dari poin yang tersisa ternyata terdistribusi sesuai dengan kepadatan probabilitas f(x).

Beras. 7.55. Metode seleksi-penolakan. Fungsi w(X) = F maks

Metode ini bukan yang paling efektif untuk sejumlah distribusi, namun bersifat universal, sederhana dan mudah dipahami. Ini efektif ketika fungsi perbandingan w(X) dekat dengan f(x). Perhatikan bahwa tidak ada yang memaksa kita untuk mengambil w(X)= const sepanjang seluruh interval [ a, b]. Jika f(x) memiliki “sayap” yang jatuh dengan cepat, maka lebih bijaksana untuk mengambilnya w(X) sebagai fungsi langkah.

6.2. PEMODELAN PROSES ACAK PADA SISTEM ANTRIAN

Siapa yang tidak mengantri dan tidak sabar bertanya-tanya apakah dia bisa melakukan pembelian (atau membayar sewa, naik komidi putar, dll.) dalam waktu yang tersedia? Atau, saat mencoba menelepon saluran bantuan dan mendapat bunyi bip pendek beberapa kali, Anda menjadi gugup dan mengevaluasi apakah saya dapat tersambung atau tidak? Dari permasalahan “sederhana” tersebut, di awal abad ke-20 munculah permasalahan yang sangat ilmu yang sulit- teori mengantri, menggunakan peralatan teori probabilitas dan statistik matematika, persamaan diferensial dan metode numerik. Pendirinya adalah seorang ilmuwan Denmark yang mempelajari masalah fungsi pertukaran telepon.

Belakangan ternyata begitu ilmu baru memiliki banyak saluran ke dalam urusan ekonomi dan militer. organisasi produksi, biologi dan ekologi; Puluhan buku dan ribuan artikel majalah telah ditulis di dalamnya.

Pemodelan komputer dalam menyelesaikan permasalahan antrian. diimplementasikan dalam bentuk metode pengujian statistik (metode Monte Carlo), meskipun bukan yang utama dalam teori antrian, namun berperan di dalamnya peran penting. Garis utama di dalamnya adalah memperoleh hasil analisis, yaitu disajikan dengan rumus. Namun, kemungkinannya metode analitis sangat terbatas, sedangkan metode pengujian statistik bersifat universal dan sangat mudah dipahami (setidaknya tampaknya demikian).

Tugas umum: mengantri ke satu “penjual”. Mari kita pertimbangkan salah satu soal paling sederhana di kelas ini. Ada toko dengan satu penjual, di mana pelanggan masuk secara acak. Jika penjual ada waktu luang, ia segera mulai melayani pembeli; jika ada beberapa pembeli, maka akan terjadi antrian.

Berikut adalah tugas serupa:

Perbaikan area armada kendaraan bermotor dan bus yang keluar jalur karena kerusakan;

Ruang gawat darurat dan pasien yang datang membuat janji karena cedera (yaitu tanpa sistem janji temu);

Pertukaran telepon dengan satu pintu masuk (atau satu operator telepon) dan pelanggan yang mengantri ketika pintu masuk sedang sibuk (sistem seperti itu kadang-kadang dipraktikkan);

pelayan jaringan lokal dan komputer pribadi di tempat kerja yang mengirim pesan ke server yang mampu menerima dan memproses tidak lebih dari satu pesan dalam satu waktu.

Untuk kejelasan, kita akan berbicara tentang toko, pelanggan dan penjual. Mari kita pertimbangkan permasalahan-permasalahan yang timbul di sini yang patut kita terima penelitian matematika dan ternyata, sangat serius.

Jadi masukan dari permasalahan ini adalah proses acak pelanggan datang ke toko. Ini adalah “Markovian”, yaitu interval antara kedatangan sepasang pembeli berturut-turut adalah kejadian acak independen yang didistribusikan menurut hukum tertentu. Sifat sebenarnya dari hukum ini hanya dapat ditentukan melalui banyak pengamatan; Sebagai fungsi kepadatan probabilitas model yang paling sederhana, kita dapat mengambil distribusi ekuiprobabilitas dalam rentang waktu dari 0 hingga beberapa T - interval maksimum yang mungkin antara kedatangan dua pelanggan berturut-turut. Dengan distribusi ini, peluang terjadinya 1 menit, 3 menit, atau 8 menit antara kedatangan dua pelanggan adalah sama (jika T > 8).

Pemodelan proses acak adalah arah yang paling kuat dalam pemodelan matematika modern.

Suatu peristiwa disebut acak jika peristiwa tersebut tidak dapat diprediksi secara pasti. Keacakan mengelilingi dunia kita dan sering kali memainkan peran negatif dalam kehidupan kita. Namun, ada keadaan di mana keacakan bisa bermanfaat. Dalam perhitungan yang kompleks, dimana hasil yang diinginkan bergantung pada hasil dari banyak faktor, model, dan pengukuran, besaran perhitungan dapat dikurangi dengan menggunakan nilai acak angka penting.

Dalam pemodelan probabilistik, berbagai metode digunakan untuk memecahkan masalah berbagai bidang. Area penerapan metode probabilistik tercantum di bawah ini.

Metode pemodelan statistik: menyelesaikan masalah nilai batas fisika matematika, menyelesaikan sistem persamaan aljabar linier, inversi matriks dan metode grid untuk menyelesaikan sistem yang mereduksinya persamaan diferensial, perhitungan integral berganda, penyelesaian persamaan integral, soal fisika nuklir, dinamika gas, filtrasi, rekayasa panas.

Metode pemodelan simulasi: pemodelan sistem antrian, tugas sistem kendali otomatis, sistem kendali otomatis dan sistem kendali proses, masalah keamanan informasi, pemodelan situasi permainan yang kompleks dan sistem dinamis.

Metode pendekatan stokastik: algoritma berulang untuk memecahkan masalah estimasi statistik.

Metode pencarian acak: memecahkan masalah optimasi sistem tergantung pada jumlah besar parameter, menemukan ekstrem dari suatu fungsi dari sejumlah besar variabel.

Metode lain: metode pengenalan pola probabilistik, model adaptasi, pelatihan dan pembelajaran mandiri.

Dalam pemodelan matematika komputer dari proses acak, seseorang tidak dapat melakukannya tanpa kumpulan bilangan acak yang memenuhi hukum distribusi tertentu. Faktanya, angka-angka ini dihasilkan oleh komputer dengan menggunakan algoritma tertentu, yaitu. mereka tidak sepenuhnya acak, jika hanya karena ketika program dimulai ulang dengan parameter yang sama, urutannya akan berulang; angka-angka seperti itu disebut "acak semu".

Untuk pengguna yang tidak terlalu menuntut, kemampuan sensor bilangan acak (generator) yang terpasang pada sebagian besar bahasa pemrograman biasanya sudah cukup. Jadi, dalam bahasa Pascal ada fungsi acak yang nilainya berupa bilangan acak dari rentang tersebut. Penggunaannya biasanya didahului dengan penggunaan prosedur pengacakan, yang berfungsi untuk “mengatur” sensor terlebih dahulu, yaitu menerima urutan nomor acak yang berbeda untuk setiap panggilan ke sensor. Untuk permasalahan yang penyelesaiannya memerlukan urutan tidak berkorelasi yang sangat panjang, maka permasalahan tersebut menjadi lebih rumit dan membutuhkan non-standar

1. Fitur pemodelan simulasi sistem produksi

Untuk analisis sistem produksi, yang sangat kompleks, beragam, tidak mempunyai gambaran matematis yang lengkap, dan juga melalui beberapa tahapan perancangan, implementasi dan pengembangan, tidak mungkin membangun model matematika yang memadai, baik logis maupun numerik. Di sini wajar untuk menggunakan metode pemodelan simulasi.

Sistem ini dapat digambarkan secara jelas dengan sekumpulan nilai parameter produksi yang merupakan karakteristik dari setiap keadaan tertentu. Jika nilai-nilai tersebut dimasukkan ke dalam komputer, maka perubahannya selama proses komputasi dapat diartikan sebagai simulasi peralihan sistem dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Berdasarkan asumsi tersebut, simulasi dapat dipandang sebagai representasi dinamis dari suatu sistem dengan memindahkannya dari satu keadaan ke keadaan lain sesuai dengan aturan operasi karakteristiknya.

Saat mensimulasikan sistem produksi, perubahan keadaannya terjadi pada saat-saat tertentu. Konsep utama simulasi sistem dalam hal ini adalah menampilkan perubahan keadaannya dari waktu ke waktu. Jadi, faktor penentu di sini adalah identifikasi dan deskripsi yang jelas tentang keadaan sistem yang dimodelkan.

Model simulasi memungkinkan, tanpa menggunakan ketergantungan analitis atau ketergantungan fungsional lainnya, untuk menampilkan objek kompleks yang terdiri dari elemen-elemen heterogen yang di antaranya terdapat berbagai hubungan. Manusia juga bisa dimasukkan dalam model ini.

Tanpa komplikasi mendasar, model tersebut dapat mencakup aliran deterministik dan stokastik (materi dan informasi). Dengan menggunakan simulasi, Anda dapat menampilkan hubungan antara stasiun kerja, aliran material dan produk, kendaraan, dan personel.

Terlepas dari keuntungan nyata tersebut, terutama karena luasnya dan keserbagunaan penerapannya, metode ini mengabaikan keberadaan koneksi logis, yang mengecualikan kemungkinan optimasi lengkap dari solusi yang diperoleh dengan menggunakan model ini. Hanya kemungkinan memilih yang terbaik dari opsi yang dilihat yang dijamin.

Dalam prakteknya, pemodelan simulasi dalam banyak kasus nyata adalah satu-satunya metode penelitian yang mungkin. Setelah mengembangkan model simulasi, eksperimen komputer dilakukan terhadap model tersebut, yang memungkinkan penarikan kesimpulan tentang perilaku sistem produksi.

Kemunculan dan pengembangan metode pemodelan simulasi komputer juga dimungkinkan sebagai hasil dari pengembangan metode pengujian statistik, yang memungkinkan untuk mensimulasikan peristiwa dan proses acak yang menempati tempat besar dalam produksi nyata.

Dalam menyusun model simulasi dan menggunakannya untuk memodelkan objek yang diteliti, perlu diselesaikan beberapa masalah yang saling terkait. Ini termasuk:

analisis sistem yang disimulasikan dan persiapan deskripsi formalnya, termasuk identifikasi informasi dan struktur logis sistem, identifikasi komponen-komponennya, pemilihan parameter yang mengkarakterisasi keadaan komponen-komponen ini, pengembangan model komputer suatu sistem yang mampu mereproduksi perilakunya, merencanakan eksperimen untuk mengungkap peristiwa dalam model komputer yang mencerminkan peristiwa dalam sistem yang disimulasikan;

pengembangan metodologi eksperimen statistik komputer, termasuk pembangkitan bilangan acak atau pseudo-acak, simulasi berbagai peristiwa acak, pemrosesan data statistik;

melakukan eksperimen komputer sebenarnya pada model simulasi, termasuk mengelola parameter dan variabel model selama dipelajari di komputer.

Telah dijelaskan di atas berbagai metode pemodelan proses acak, yang terutama mempertimbangkan sisi fundamental dari masalah. Bagian ini menyajikan hasil penggunaan metode ini untuk memodelkan proses normal stasioner dengan tipe fungsi korelasi yang umum. Pada saat yang sama, segala sesuatu yang diperlukan telah dilakukan pekerjaan persiapan dan algoritma pemodelan sederhana yang cocok untuk penggunaan langsung diperoleh. Selain itu juga diberikan contoh implementasi praktis algoritma pemodelan.

Dalam tabel 2.2 jenis fungsi korelasi dan spektrum energi dari proses yang disimulasikan dan algoritma yang sesuai diberikan. Penjelasan yang diperlukan diberikan di bawah ini.

Tabel 2.2.

Lanjutan tabel 2.2.

Lanjutan tabel 2.2.

Lanjutan tabel 2.2.

Suatu proses acak kontinu normal stasioner tertentu dengan fungsi korelasi digambarkan pada komputer digital sebagai barisan diskrit dari nilainya yang berhubungan dengan waktu , dimana merupakan langkah pengambilan sampel dan merupakan argumen bilangan bulat. Semua algoritme yang dibahas di sini dirancang untuk mendapatkan implementasi proses acak simulasi yang diskrit dan tidak terbatas waktu pada komputer digital. Semua algoritma ini didasarkan pada prinsip mengubah barisan bilangan acak independen yang terdistribusi normal dengan parameter (0, 1) (white noise diskrit) menjadi barisan yang berkorelasi menurut hukum

Proses acak dengan fungsi korelasi, ditempatkan pada tabel di bawah No. 1-5, termasuk dalam kelas proses acak dengan kerapatan spektral rasional. Untuk memodelkan proses seperti itu, cara yang paling mudah adalah penggunaan persamaan perbedaan (§ 2.3), yang mengarah pada algoritma yang tidak memiliki kesalahan metodologis dan direduksi menjadi hubungan pengulangan sederhana. Algoritma No. 1-5 diperoleh dengan menggunakan metode ini.

Algoritma No. 1 dan 2 untuk proses pemodelan dengan fungsi korelasi eksponensial dan eksponensial-kosinus telah dibahas di § 2.3 dan tidak memerlukan penjelasan.

Algoritma No. 2-5 adalah sama dan hanya berbeda dalam nilai parameter, yang penentuannya dalam setiap kasus tertentu direduksi menjadi perhitungan menggunakan rumus yang diberikan dalam Tabel. 2.2. Saat menurunkan ekspresi untuk menghitung parameter rumus berulang dalam algoritma No. 3-5, transformasi yang dibahas dalam § 2.3 menggunakan contoh fungsi korelasi eksponensial-kosinus digunakan: kepadatan spektral barisan untuk setiap jenis fungsi korelasi ditulis menurut (2.51), penjumlahan deret tak hingga yang bersesuaian pada kedua arah dilakukan menurut tabel satu sisi transformasi diskrit Laplace, dan faktorisasi pembilang rasional pecahan yang dihasilkan fungsi spektral dilakukan dengan memfaktorkan polinomial (polinomial memiliki ordo tidak lebih tinggi dari yang kedua) dan kemudian menggunakan akar polinomial menurut ekspresi (2.61) dan (2.62). Penyebut fungsi spektral secara otomatis difaktorkan.

Untuk mensimulasikan proses acak No. 6-8, yang tidak termasuk dalam kelas proses dengan kerapatan spektral rasional, metode penjumlahan geser digunakan sebagai yang paling efektif dalam dalam hal ini.

Menurut algoritma No. 6-8, barisan tersebut diperoleh dengan metode penjumlahan geser barisan dengan bobot. Ekspresi koefisien bobot diperoleh dengan mengintegrasikan spektrum energi proses menggunakan rumus (2.12). Diasumsikan bahwa frekuensi pengambilan sampel untuk proses acak No. 6 [suatu proses dengan spektrum seragam dalam pita] lebih besar dari atau sama dengan dan . Mengenai proses No. 7, 8 diasumsikan frekuensi samplingnya cukup tinggi sehingga batas atas dalam integral (2.12) dapat diambil sama dengan tak terhingga. Oleh karena itu, ekspresi koefisien dalam algoritma No. 7, 8 harus digunakan ketika . Mengganti batas berhingga dengan batas tak terhingga dalam hal ini memungkinkan untuk mereduksi integral tipe (2.12) menjadi integral tabel.

Algoritma No. 6-8 merupakan perkiraan, namun dengan meningkatkan parameter, kesalahan metodologis dapat diabaikan. Dengan nilai yang dipilih dan kesalahan metode ini mudah diperkirakan dengan mengkonversikan koefisien bobot. Contoh penghitungan koefisien dan penghitungan kesalahan metode untuk proses acak dengan fungsi korelasi No. 8 diberikan sebelumnya pada § 2.2. Paragraf yang sama memberikan penjelasan tentang algoritma untuk memodelkan proses acak No. 9 [lihat. algoritma (2.48)].

Algoritma diberikan dalam tabel. 2.2 menjadi sasaran pengujian praktis. Verifikasi dilakukan dengan mengembangkan pada komputer digital implementasi proses acak yang disimulasikan dengan panjang 1000 sampel pada dan pada nilai-nilai yang diberikan parameter dan . Dari realisasi tersebut, fungsi korelasi sampel dihitung dan dibandingkan dengan fungsi korelasi yang diberikan. Nomor acak independen awal dihasilkan sesuai dengan program standar sensor nomor acak normal untuk komputer digital M-20.

Selama produksi nilai awal implementasi proses acak No. 1-5 as diambil nilai sampel bilangan acak normal independen dengan parameter (0, 1).

Pada Gambar. 2.5 ditampilkan bagian awal implementasi dengan panjang 400 sampel dari beberapa proses acak dari tabel. 2.2; Untuk kemudahan implementasi, mereka ditampilkan sebagai garis yang berkesinambungan. Di samping implementasinya diperlihatkan fungsi korelasi yang diberikan (garis padat) beserta fungsi korelasi yang dihitung pada komputer digital menggunakan implementasi tersebut (garis putus-putus). Grafik ditandai dengan angka yang sama dengan fungsi korelasi pada tabel. 2.2. Nilai parameter dan . dipilih sehingga interval korelasi untuk semua proses yang disimulasikan kira-kira sama. Gambar tersebut menunjukkan kesesuaian yang baik antara fungsi korelasi yang ditentukan dan fungsi korelasi sampel.

Proses acak dengan fungsi korelasi No. 2 bersifat non-diferensiasi, sehingga implementasinya tidak semulus empat implementasi proses acak terdiferensiasi lainnya.

Antara implementasi No. 2 dan 3, serta antara implementasi No. 6, 7, terdapat kesamaan tertentu, yang dijelaskan oleh fakta bahwa implementasi tersebut dibentuk pada komputer digital dengan mentransformasikan implementasi diskrit yang sama. kebisingan putih.

Pada awal implementasi No. 2, 3 terlihat emisi negatif yang cukup besar. Pencilan ini merupakan hasil distorsi bagian awal proses simulasi akibat proses transien. Benar-benar, kondisi awal dipilih sehingga hanya proses acak No. 1 dan No. 5-9 yang stasioner sejak awal.

Untuk menghilangkan proses sementara ketika memodelkan proses acak No. 2-4, ketika menghitung nilai awalnya, alih-alih bilangan acak independen, seperti yang diasumsikan di atas, perlu untuk mengambil vektor acak empat dimensi dengan korelasi matriks

Sebagai kesimpulan, kami menunjukkan beberapa teknik yang memungkinkan kami memperluas kelas proses acak normal stasioner yang disimulasikan melalui transformasi sederhana dari algoritma yang dibahas di atas.

Diketahui, misalnya, ketika menjumlahkan beberapa proses acak normal stasioner yang independen, maka akan terbentuk proses acak normal stasioner, fungsi korelasi yang sama dengan jumlah fungsi korelasi suku-suku tersebut. Jadi, jika fungsi korelasi suatu proses adalah penjumlahan dari dua atau lebih fungsi korelasi dari tabel. 2.2, maka implementasi diskrit dari proses ini dapat dibentuk dengan menjumlahkan dua atau lebih implementasi independen yang diperoleh dengan menggunakan algoritma di atas. Jika, misalnya, fungsi korelasi dari proses yang disimulasikan berbentuk

kemudian algoritma untuk menghasilkan implementasi diskritnya akan ditulis dalam bentuk

Ini adalah proses acak

dimana , ubah implementasi dan menjadi implementasi proses acak dengan fungsi korelasi (2.83).

Untuk menghitung diskrit fungsi trigonometri dan disarankan menggunakan algoritma recurrent (1.3), maka algoritma (2.84) akan ditulis dalam bentuk

Informasi singkat

Proses acak yang dipelajari dengan pemodelan simulasi (metode Monte Carlo) mencakup, khususnya, proses yang terkait dengan pembentukan dan pelayanan antrian (yang disebut proses mengantri). Tugas paling sederhana di kelas ini adalah ini. Terdapat sistem antrian dengan satu pusat pelayanan (toko dengan satu tenaga penjualan, tempat perbaikan armada kendaraan, IGD dengan satu dokter, sentral telepon dengan satu input, server dengan satu saluran input, dll). Klien menggunakan layanan sistem secara acak (dengan fungsi yang diberikan distribusi periode waktu antar kedatangan). Jika sistemnya gratis, sistem akan segera mulai melayani klien, jika tidak, sistem akan menempatkannya dalam antrian. Durasi layanan untuk setiap klien adalah variabel acak dengan hukum distribusi yang diketahui.

Dalam menyelesaikan masalah ini, perlu untuk menjawab pertanyaan seperti “apa fungsi distribusi probabilitas waktu tunggu pelanggan dalam antrian?” “berapa waktu henti sistem yang menunggu klien?”, “jika fungsi-fungsi ini sendiri sulit ditentukan, lalu apa yang paling karakteristik penting(yaitu ekspektasi matematis, varians, dll.)?

Dasar dari tugas ini adalah proses acak klien memasuki sistem layanan. Interval antara kedatangan pasangan klien yang berurutan adalah kejadian acak independen yang didistribusikan menurut hukum tertentu. Sifat sebenarnya dari hukum ini hanya dapat ditentukan melalui banyak pengamatan; Sebagai fungsi kepadatan probabilitas model yang paling sederhana, kita dapat mengambil distribusi ekuiprobabilitas dalam rentang waktu dari 0 hingga beberapa T - interval maksimum yang mungkin antara kedatangan dua pelanggan berturut-turut. Dengan distribusi ini, peluang terjadinya 1 menit, 3 menit, atau 8 menit antara kedatangan dua pelanggan adalah sama (jika T> 8 menit).

Distribusi seperti itu tentu saja tidak realistis; Pada kenyataannya, untuk sebagian besar proses antrian, fungsi distribusi tumbuh T= 0, mempunyai maksimum pada nilai tertentu t = τ dan menurun dengan cepat pada nilai besar T, itu. memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 7.6.

Tentu saja, Anda bisa memilih banyak fungsi dasar, memiliki penampilan seperti ini secara kualitatif. Dalam teori antrian, keluarga fungsi Poisson banyak digunakan

Di mana λ - beberapa konstan P - bilangan bulat sewenang-wenang.

Fungsi (35) mempunyai maksimum pada x = hal/λ dan dinormalisasi.

Proses acak kedua dalam masalah ini, yang sama sekali tidak berhubungan dengan yang pertama, ditentukan oleh urutan kejadian acak - durasi layanan untuk setiap pelanggan. Distribusi probabilitas durasi layanannya sama tampilan berkualitas, seperti pada kasus sebelumnya.

Misalnya pada tabel di kolom A nomor acak dicatat - interval antara kedatangan klien (dalam menit), di kolom DI DALAM - nomor acak - durasi layanan (dalam menit). Dianggap pasti maksimal= 10 dan b maks= 5.

Beras. .6. Representasi skema kepadatan probabilitas distribusi waktu antara kemunculan pelanggan dalam sistem antrian

Tentu saja, dari tabel singkat ini tidak mungkin untuk menentukan hukum distribusi mana yang diterima untuk besaran A Dan DI DALAM. Kolom selebihnya disediakan untuk kemudahan analisis; angka-angka yang termasuk di dalamnya ditemukan dengan perhitungan dasar. Kolom C menunjukkan waktu bersyarat kedatangan klien; D- saat dimulainya pelayanan; E - akhir layanan; F- lamanya waktu yang dihabiskan klien dalam sistem secara keseluruhan; G- waktu yang dihabiskan dalam antrean menunggu layanan; N - waktu yang dihabiskan oleh sistem untuk menunggu klien (jika tidak ada). Lebih mudah untuk mengisi tabel secara horizontal, berpindah dari baris ke baris. Karena awal pelayanan klien berikutnya ditentukan baik oleh waktu kedatangannya, jika sistem tidak sibuk, atau oleh waktu keberangkatan klien sebelumnya, kami hadir untuk kenyamanan rumus yang sesuai(di dalamnya Saya= 1, 2, 3, ...):

c 1 = 0, c i+1 = c i + a i+1 ; d 1 = 0, d i+1 = maks(c i+l, e i);(36a)

e 1 = b 1 e saya = d saya + b saya ; f saya = e saya + c saya ; g 1 = 0; g i+1 = f i+1 + b i+1 jam 1 = 0; h i+1 = d i+1 - e i(36b)

Jadi, mengingat kumpulan angka acak di kolom A dan B, klien harus berdiri dalam antrean (kolom G), dan sistem menganggur menunggu klien (kolom N).

Saat memodelkan sistem jenis ini, pertanyaan pertama yang muncul adalah, berapa waktu rata-rata Anda harus mengantri? Tampaknya mudah untuk menjawabnya - Anda hanya perlu menemukannya

(37)

dalam beberapa rangkaian tes. Demikian pula, Anda dapat menemukan nilai rata-rata h . Lebih sulit menjawab pertanyaan tentang keandalan hasil; Untuk melakukan ini, Anda perlu melakukan beberapa rangkaian pengujian dan penggunaan metode standar statistik matematika (pemrosesan menggunakan distribusi Student seringkali tepat).

Lagi pertanyaan sulit- apa distribusi variabel acak G Dan N untuk distribusi variabel acak tertentu A Dan DI DALAM? Anda dapat mencoba mendapatkan jawaban kualitatif dengan membuat histogram yang sesuai berdasarkan hasil simulasi. Kemudian dibuat beberapa hipotesis tentang jenis distribusi dan satu atau lebih kriteria statistik digunakan untuk menguji keandalan hipotesis tersebut.

Memiliki fungsi distribusi (walaupun empiris, tetapi cukup dapat diandalkan), adalah mungkin untuk menjawab pertanyaan apa pun tentang sifat proses mengantri. Misalnya: berapa kemungkinan menunggu lebih lama T menit? Jawabannya akan didapat jika kita mencari perbandingan luasnya trapesium melengkung, dibatasi oleh jadwal kepadatan distribusi, lurus x = t Dan kamu=0 luas keseluruhan gambar.

Pertanyaan keamanan

1. Apa yang dimaksud dengan “proses acak”?

2. Apa prinsip komputer untuk menghasilkan bilangan acak yang terdistribusi seragam?

3. Bagaimana cara memperoleh barisan bilangan acak dengan hukum distribusi Poisson?

4. Apa yang dimaksud dengan “sistem antrian”? Berikan contoh.

5. Apa metode Monte Carlo untuk menghitung luas angka datar? volume benda?

6. Contoh proses acak apa yang dapat Anda berikan?

Topik untuk esai

1. Prinsip komputer menghasilkan barisan bilangan acak dan kriteria statistik menentukan sifat-sifat barisan.

2. Metode pengolahan statistik hasil yang diperoleh dari pemodelan komputer dari proses acak.

Subjek seminar

Memperoleh urutan angka acak dengan diberikan oleh undang-undang distribusi.

Pekerjaan laboratorium

1. Saat melakukan pekerjaan ini, perlu untuk menghasilkan barisan panjang bilangan pseudorandom dengan hukum distribusi probabilitas tertentu. Hal ini dapat didasarkan pada sensor standar bilangan acak yang terdistribusi secara seragam, dibangun ke dalam sistem pemrograman yang diterapkan, menggunakan salah satu prosedur untuk mengubah barisan ini menjadi barisan dengan hukum distribusi yang diinginkan (misalnya, prosedur “kegagalan seleksi”) .

2. Salah satu tugas utama dalam memodelkan proses acak adalah menemukan ciri-ciri variabel acak yang menjadi objek pemodelan. Ciri utama tersebut adalah fungsi distribusi. Kemunculannya dapat dinilai secara kualitatif dari histogram yang dibangun selama simulasi, dan hipotesis tentangnya bentuk fungsional periksa menggunakan salah satu kriteria standar yang digunakan dalam statistik matematika(misalnya, kriteria % 2). Namun, hal ini tidak selalu disarankan, terutama jika masalahnya hanya memerlukan penentuan beberapa karakteristik variabel acak - paling sering nilai rata-rata dan varians. Mereka dapat ditemukan tanpa memodelkan fungsi distribusi itu sendiri. Pada saat yang sama evaluasi statistik keandalan hasil adalah wajib.

3. Hasil simulasi sebaiknya ditampilkan di layar komputer dalam bentuk berikut: berupa tabel nilai dari nilai yang dihitung (biasanya dalam beberapa sampel), dalam bentuk histogram sebaran variabel acak dibangun selama simulasi.

4. Disarankan, jika memungkinkan, untuk menemani pemodelan simulasi dengan tampilan visual dari proses terkait di layar komputer (proses pembentukan antrian, lahir dan hilangnya objek dalam masalah pemodelan populasi, dll.).

Perkiraan waktu penyelesaian 16 jam.

Tugas ke pekerjaan laboratorium

Lakukan simulasi proses acak yang ditentukan dan evaluasi keandalan hasil yang diperoleh dengan menggunakan kriteria statistik.

Opsi tugas

Pilihan 1

Simulasikan antrian di toko dengan satu penjual berdasarkan hukum distribusi yang dapat dipersamakan dari variabel acak yang dijelaskan di atas: kedatangan pelanggan dan durasi layanan (untuk serangkaian parameter tetap tertentu). Didapatkan ciri-ciri yang stabil: nilai rata-rata antrian pembeli dan waktu menganggur penjual selama menunggu kedatangan pembeli. Nilai keandalannya. Menilai sifat fungsi distribusi besaran G Dan H.

Pilihan 2

Lakukan pemodelan yang sama dengan hukum Poisson tentang distribusi probabilitas peristiwa masukan: kedatangan pelanggan dan durasi layanan (untuk serangkaian parameter tetap tertentu).

Pilihan 3

Lakukan pemodelan yang sama berdasarkan hukum normal distribusi probabilitas peristiwa masukan: kedatangan pelanggan dan durasi layanan (untuk serangkaian parameter tetap tertentu).

Pilihan 4

Dalam sistem yang dibahas di atas, situasi kritis mungkin muncul ketika antrian bertambah tanpa batas seiring berjalannya waktu. Faktanya, jika pelanggan sangat sering memasuki toko (atau penjual terlalu lambat), antrian mulai bertambah, dan dalam sistem ini dengan terakhir kalinya krisis pelayanan akan datang.

Buatlah hubungan antar besaran (maks, bmax), mencerminkan batas yang ditentukan situasi kritis, dengan kemungkinan distribusi kejadian masukan yang sama.

Pilihan 5

Di antar kota sentral telepon dua operator telepon melayani antrian pesanan yang sama. Pesanan selanjutnya dilayani oleh operator telepon yang pertama kali tersedia. Jika keduanya sedang sibuk pada saat pesanan diterima, panggilan dibatalkan dan Anda perlu menelepon lagi. Modelkan prosesnya, dengan mempertimbangkan aliran masukan sebagai Poisson.

Opsi 6

Simulasikan situasi yang dijelaskan dalam versi sebelumnya, tetapi asumsikan bahwa jika pada saat mencoba melakukan pemesanan kedua operator telepon sedang sibuk, maka akan terbentuk antrian.

Pilihan 7

Biarkan pertukaran telepon dengan satu input digunakan sistem konvensional: jika pelanggan sedang sibuk, maka antrian tidak terbentuk dan harus menelepon lagi. Simulasikan situasinya: tiga pelanggan mencoba menelepon pemilik nomor yang sama dan, jika berhasil, berbicara dengannya selama beberapa waktu (durasi acak). Berapa probabilitas seseorang yang mencoba menelepon tidak dapat melakukannya? waktu tertentu T?

Opsi 8

Simulasikan situasi yang dijelaskan dalam versi sebelumnya, tetapi asumsikan bahwa jika pada saat upaya untuk menghubungi telepon pelanggan sedang sibuk, antrian akan terbentuk.

Pilihan 9

Hanya ada satu dokter yang bekerja di ruang gawat darurat. Durasi pengobatan seorang pasien dan interval waktu antara penerimaan pasien adalah variabel acak yang didistribusikan menurut hukum Poisson. Menurut tingkat keparahan cedera, pasien dibagi menjadi tiga kategori; penerimaan pasien dari kategori apa pun - peristiwa acak dengan distribusi probabilitas yang sama. Dokter pertama-tama merawat pasien dengan cedera paling parah (sesuai urutan penerimaannya), kemudian, jika tidak ada, pasien dengan cedera sedang (sesuai urutan penerimaannya), dan baru kemudian - pasien dengan cedera ringan. Modelkan proses dan perkirakan waktu tunggu rata-rata dalam antrian untuk pasien dari setiap kategori.

Opsi 10

Simulasikan situasi yang dijelaskan dalam versi sebelumnya, dengan ketentuan bahwa dua dokter bekerja di ruang gawat darurat, dan pasien dibagi menjadi dua kategori, bukan tiga.

Opsi 11

Seorang penenun melayani sekelompok alat tenun, melakukan intervensi jangka pendek sesuai kebutuhan, yang durasinya merupakan variabel acak. Berapa kemungkinan downtime pada dua mesin sekaligus? Berapa lama rata-rata downtime satu mesin?

Opsi 12

Simulasikan situasi yang dijelaskan pada versi sebelumnya, jika sekelompok alat tenun dilayani secara bersama-sama oleh dua orang penenun.

Opsi 13

DI DALAM Armada kendaraan bermotor kota memiliki dua zona perbaikan. Satu - melayani perbaikan pendek dan durasi rata-rata, yang lainnya - jangka menengah dan panjang (yaitu, perbaikan jangka menengah dapat dilakukan oleh masing-masing zona). Ketika kerusakan terjadi, kendaraan dikirim ke armada; interval waktu antara pengiriman - acak nilai racun. Durasi perbaikan adalah variabel acak dengan hukum biasa distribusi. Modelkan sistem yang dijelaskan. Berapa waktu tunggu rata-rata untuk kendaraan yang memerlukan perbaikan jangka pendek, jangka menengah, dan jangka panjang?

Opsi 14

Menerapkan model simulasi pemodelan statistik untuk memecahkan masalah Buffon (abad XVIII). Penulis secara analitis menemukan bahwa jika pada suatu bidang digambarkan oleh garis-garis sejajar, jarak antara keduanya aku, melempar jarum secara acak aku, maka peluang jarum melewati paling sedikit satu garis lurus ditentukan oleh rumus .

Tugas ini memberikan jalan definisi simulasi angka P. Memang benar jika L = 2l, Itu . Selama simulasi, lakukan perhitungan ini.

Opsi 15

Kembangkan model jalan acak satu dimensi (model “pemabuk”). Jalan tersebut ditentukan menurut aturan: jika bilangan acak dari ruas tersebut kurang dari 0,5, maka diambil langkah ke kanan sejauh jarak tertentu. H, jika tidak - kiri. Distribusi bilangan acak diasumsikan memiliki kemungkinan yang sama.

Selesaikan masalahnya: berapa peluang perjalanan tersebut menjauh dari titik awal N tangga?

Opsi 16

DI DALAM kondisi masalah dari versi sebelumnya, dapatkan jawaban atas pertanyaan: berapa probabilitas "pemabuk" kembali setelahnya N melangkah masuk titik awal?

Opsi 17

Sebuah titik mengembara secara acak pada bidang di sepanjang simpul kotak persegi dengan kemampuan untuk melakukannya probabilitas yang sama langkah kiri-kanan-atas-bawah dengan langkah tetap (dalam satu gerakan). Pergerakan terjadi secara tertutup volume persegi panjang, dan setelah kontak dengan dinding terjadi bayangan cermin dari dia.

Selama simulasi, jawablah pertanyaan: bagaimana frekuensi kunjungan ke setiap node berhubungan dengan jarak dari node tersebut ke node tempat pergerakan dimulai.

Opsi 18

Modelkan situasi yang sama seperti pada tugas opsi 17, dengan syarat area pengembaraan tidak terbatas dan jawab pertanyaan yang diajukan.

Opsi 19

Simulasikan penerbangan seekor lebah. Pada lahan datar (pembukaan) tanaman madu tumbuh secara acak dengan konsentrasi tertentu (per 1 m2). Di tengahnya ada sarang tempat seekor lebah terbang keluar. Seekor lebah dapat terbang dari satu tanaman ke tanaman lainnya, tetapi kemungkinan memilih berkurang secara monoton seiring bertambahnya jarak antar tanaman (menurut beberapa hukum). Berapa peluang seekor lebah mengunjungi tanaman tertentu di suatu tempat jumlah yang ditentukan penerbangan dasar?

Opsi 20

Menerapkan model datar gerak Brown N partikel dalam persegi panjang. Anggaplah partikel sebagai bola dengan ukuran terbatas. Dampak partikel satu sama lain dan pada dinding harus dimodelkan sebagai elastis mutlak. Tentukan dalam model ini ketergantungan tekanan gas pada dinding pada jumlah partikel.

Opsi 21

Mengembangkan secara rinci dan menerapkan model pencampuran (difusi) gas dalam bejana tertutup. DI DALAM momen awal waktu, masing-masing gas menempati setengah bejana. Dengan menggunakan model ini, pelajari ketergantungan laju difusi pada berbagai parameter masukan.

Opsi 22

Terapkan model simulasi sistem “predator-prey” sesuai skema berikut.

“Pulau” berukuran 20x20 ini dihuni oleh kelinci liar, serigala, dan serigala betina. Ada beberapa perwakilan dari setiap spesies. Kelinci pada setiap momen waktu dengan probabilitas 1/9 yang sama berpindah ke salah satu dari delapan kotak tetangga (dengan pengecualian area terbatas garis pantai) atau hanya duduk tak bergerak. Setiap kelinci mempunyai peluang 0,2 untuk berubah menjadi dua kelinci. Setiap serigala betina bergerak secara acak hingga kelinci yang diburunya berada di salah satu dari delapan kotak yang berdekatan. Jika serigala betina dan kelinci berada di kotak yang sama, serigala betina memakan kelinci dan mendapat satu poin. Jika tidak, dia kehilangan 0,1 poin.

Serigala dan serigala betina dengan poin nol akan mati. Pada saat awal, semua serigala dan serigala betina memiliki 1 poin. Serigala berperilaku seperti serigala betina sampai semua kelinci di alun-alun tetangga menghilang; kemudian, jika serigala betina berada di salah satu dari delapan kotak terdekat, serigala akan mengejarnya.

Jika serigala dan serigala betina berada dalam satu kotak dan tidak ada kelinci yang bisa dimakan, mereka akan menghasilkan keturunan dengan jenis kelamin acak.

Amati perubahan populasi selama periode waktu tertentu. Pantau bagaimana perubahan parameter model mempengaruhi evolusi populasi.

Opsi 23

Untuk memodelkan proses penyebaran infeksi kurap pada suatu area kulit sebesar itu N X p(p- ganjil) sel.

Diasumsikan bahwa sel kulit asli yang terinfeksi adalah sel sentral. Pada setiap interval waktu, sel yang terinfeksi dapat menginfeksi sel sehat di sekitarnya dengan probabilitas 0,5. Setelah enam unit waktu, sel yang terinfeksi menjadi kebal terhadap infeksi, kekebalan yang dihasilkan bertahan selama empat unit waktu berikutnya, dan kemudian sel tersebut menjadi sehat. Selama simulasi proses yang dijelaskan, keluaran keadaan saat ini area kulit yang disimulasikan pada setiap interval waktu, mencatat sel-sel yang terinfeksi, resisten terhadap infeksi, dan sehat.

Amati bagaimana perubahan ukuran lahan dan kemungkinan infeksi mempengaruhi hasil simulasi.

Opsi 24

Mengembangkan secara rinci dan menerapkan model distribusi polutan lingkungan partikel suatu zat yang dipancarkan ke atmosfer oleh cerobong asap pabrik (misalnya abu hasil pembakaran batu bara di pembangkit listrik). Anggaplah gerak suatu partikel terdiri dari dua komponen: in bidang horizontal- di bawah pengaruh hembusan angin yang tidak disengaja, secara vertikal - di bawah pengaruh gravitasi.

Bacaan lebih lanjut

1. Bailey N. Metode statistik dalam biologi: Terjemahan. dari bahasa Inggris - M.: sakit, 1962.

2. Gnedenko B.V., Kovalenko I.N. Pengantar teori antrian. - M.: Nauka, 1966.

3. Saati T. Unsur-unsur teori antrian dan penerapannya: Trans. dari bahasa Inggris - M.: Burung hantu. radio, 1991.

4. Shannon R. Pemodelan simulasi sistem - seni dan sains: Terjemahan. dari bahasa Inggris - M.: Mir, 1978.

Tes untuk Bab 7

Mari kita pertimbangkan algoritma untuk memodelkan proses normal stasioner dan proses acak Markov. Proses ini banyak digunakan sebagai model matematika berbagai macam proses nyata yang terjadi dalam sistem teknis yang kompleks. Di bawah ini kami menyajikan beberapa definisi dan konsep penting yang diadopsi dalam kerangka korelasi dan teori spektral fungsi acak.

Fungsi acak adalah fungsi dari argumen non-acak t, yang untuk setiap nilai tetap dari argumen tersebut adalah variabel acak. Fungsi acak waktu ditelepon proses acak. Fungsi acak koordinat titik-titik dalam ruang disebut bidang acak. Tampilan spesifik, yang diterima oleh suatu proses acak sebagai hasil pengalaman, disebut realisasi (lintasan) dari proses acak tersebut. Semua realisasi yang diperoleh dari proses acak merupakan kumpulan realisasi. Nilai realisasi pada waktu tertentu (bagian waktu) disebut nilai sesaat dari proses acak.

Mari kita perkenalkan notasi berikut: X(t) - proses acak; xi (t) - implementasi proses ke-i X(t); x i (t j) - nilai sesaat dari proses X(t), sesuai dengan implementasi ke-i pada momen ke-j. Himpunan nilai sesaat yang bersesuaian dengan nilai implementasi berbeda pada momen waktu yang sama t j akan disebut barisan ke-j dari proses X(t) dan dilambangkan dengan x(t j). Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan bahwa argumen dari proses acak dapat berupa waktu dan nomor implementasi. Dalam hal ini, dua pendekatan untuk mempelajari sifat-sifat proses acak adalah sah: yang pertama didasarkan pada analisis serangkaian implementasi, yang kedua beroperasi dengan serangkaian urutan - bagian waktu. Ada tidaknya ketergantungan nilai-nilai karakteristik probabilistik dari suatu proses acak terhadap waktu atau jumlah implementasi menentukan hal tersebut sifat mendasar proses, seperti stasioneritas dan ergodisitas. Tidak bergerak prosesnya disebut karakteristik probabilistik yang tidak bergantung pada waktu. Ergodik adalah proses yang karakteristik probabilistiknya tidak bergantung pada jumlah implementasi.

Proses acak disebut normal(atau proses Gaussian), jika satu dimensi dan hukum dua dimensi distribusi setiap bagiannya normal. Karakteristik komprehensif dari proses acak normal adalah ekspektasi matematis dan fungsi korelasinya. Untuk proses acak normal stasioner, MOF adalah konstan, dan fungsi korelasi hanya bergantung pada selisih momen waktu yang diambil ordinat dari proses acak tersebut ( =t 2 -t 1). Untuk proses acak stasioner, dengan deviasi ordinat proses acak yang cukup besar X(t 2) darinya harapan matematis mx pada waktu t 2 praktis tidak bergantung pada nilai deviasi ini pada waktu t 1 . Dalam hal ini fungsi korelasi K(t) yang memberikan nilai momen hubungan antara X(t 2) dan X(t 1) akan cenderung nol. Oleh karena itu, K() dapat berkurang secara monoton, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.2, atau memiliki bentuk seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.3. Suatu fungsi dari bentuk (Gbr. 2.2.), sebagai suatu peraturan, didekati dengan ekspresi:

(2.38)

dan fungsi bentuk (Gbr. 2.3.) - dengan ekspresi:

Gambar.2.2. Gambar.2.3.

Stabilitas proses acak stasioner dalam waktu memungkinkan kita untuk mengganti argumen - waktu - dengan beberapa variabel tambahan, yang dalam banyak aplikasi memiliki dimensi frekuensi. Penggantian ini memungkinkan Anda menyederhanakan perhitungan secara signifikan dan mencapai kejelasan hasil yang lebih baik. Fungsi yang dihasilkan (S()) disebut kerapatan spektral dari proses acak stasioner dan saling terkait dengan fungsi korelasi transformasi terbalik Fourier:

(2.42)

(2.43)

Ada normalisasi kerapatan spektral lainnya, misalnya:

(2.44)

Berdasarkan transformasi Fourier, mudah untuk memperoleh, misalnya, untuk proses acak dengan K(t) berbentuk (2.38):

(2.45)

Proses acak stasioner, yang kerapatan spektralnya konstan (S(w)=S=const), disebut stasioner kebisingan putih. Fungsi korelasi white noise stasioner sama dengan nol untuk semua, yang berarti bahwa dua bagiannya tidak berkorelasi.

Masalah pemodelan proses acak normal stasioner (SNSP) dapat dirumuskan sebagai masalah menemukan suatu algoritma yang memungkinkan diperolehnya implementasi diskrit dari proses ini pada komputer. Proses X(t) diganti dengan akurasi tertentu dengan proses terkait X(nDt) dengan waktu diskrit t n = nDt (Dt adalah langkah pengambilan sampel proses, n adalah argumen bilangan bulat). Hasilnya, proses acak x(t) akan diasosiasikan dengan barisan acak:

xk [n]=xk (nDt), (2.46)

dimana k adalah nomor implementasi.

Jelasnya, anggota sembarang dari barisan acak x(nDt) dapat dianggap sebagai fungsi acak dari bilangannya, yaitu. argumen bilangan bulat n dan, dengan demikian, mengecualikan Dt dari pertimbangan, yang diperhitungkan saat menulis (2.46). Selain itu, untuk membedakan argumen bilangan bulat dari argumen yang terus berubah, argumen tersebut diapit dalam tanda kurung siku.

Urutan acak sering disebut proses acak diskrit atau deret waktu.

Diketahui bahwa menambah fungsi acak variabel non-acak tidak mengubah nilai fungsi korelasi. Oleh karena itu, dalam praktiknya, proses acak terpusat sangat sering dimodelkan (MOR sama dengan nol), dari mana seseorang selalu dapat berpindah ke proses nyata dengan menambahkan MOR ke anggota barisan acak yang mensimulasikan proses acak.

Untuk barisan acak, fungsi korelasi dan kerapatan spektral dihitung dari ketergantungan:

(2.47)

(2.48)

Mengurangi proses acak menjadi urutan acak pada dasarnya berarti menggantinya dengan vektor multidimensi. Oleh karena itu, metode pemodelan vektor acak yang dipertimbangkan, secara umum, cocok untuk memodelkan proses acak yang ditentukan dalam interval waktu terbatas. Namun, untuk proses acak normal stasioner masih ada lagi metode yang efektif konstruksi algoritma pemodelan. Mari kita pertimbangkan dua metode yang paling banyak digunakan dalam praktik.