Kelionės kelio ir laiko grafikas. Tolygus linijinis judėjimas

Grafikas naudojamas norint parodyti vieno dydžio priklausomybę nuo kito. Šiuo atveju vieno dydžio pokytis vaizduojamas vienoje ašyje, o kito dydžio pokytis – kitoje ašyje. Tiesiai vienodai judant, kūno greitis išlieka pastovus, kinta tik laikas ir nueitas kelias, priklausomai nuo jo. Todėl didžiausią susidomėjimą tokiam judėjimui kelia grafikas, atspindintis kelio priklausomybę nuo laiko.

Kuriant tokį grafiką vienoje iš ašių koordinačių plokštuma pažymimas laiko pokytis (t). Pavyzdžiui, 1s, 2s, 3s ir tt Tebūnie tai x ašis. Kitoje ašyje (in šiuo atveju y ) pažymimas nuvažiuoto atstumo pokytis. Pavyzdžiui, 10 m, 20 m, 30 m ir kt.

Koordinačių sistemos pradžia laikoma judėjimo pradžia. Tai yra pradžios taškas, nuo kurio juda laikas lygus nuliui, o nuvažiuotas atstumas taip pat lygus nuliui. Tai pirmasis taškas kelio ir laiko grafike.

Toliau koordinačių plokštumoje randamas antrasis grafiko taškas. Norėdami tai padaryti, tam tikrą laiką nustatoma, kad kelias yra nueitas per tą laiką. Jei kūno greitis yra 30 m/s, tai tai gali būti taškas su koordinatėmis (1; 30) arba (2; 60) ir pan.

Pažymėjus antrąjį tašką, nubrėžkite spindulį per du taškus (pirmasis yra pradžia). Spindulio pradžia yra koordinačių pradžia. Šis spindulys yra tiesinio vienodo judėjimo kelio ir laiko grafikas. Spindulėlis neturi galo, o tai reiškia, kad kuo ilgesnis laikas praleidžiamas kelyje, tuo ilgesnis atstumas.

Apskritai jie sako, kad kelio ir laiko grafikas yra tiesi linija, einanti per koordinačių pradžią.

Įrodyti, kad grafikas yra tiesi, o, tarkime, ne nutrūkusi linija, koordinačių plokštumoje galite sukurti taškų seriją. Pavyzdžiui, jei greitis yra 5 km/h, tai koordinačių plokštumoje gali būti pažymėti taškai (1; 5), (2; 10), (3; 15), (4; 20). Tada sujunkite juos nuosekliai vienas su kitu. Pamatysite, kad jis bus tiesus.

Kuo didesnis kūno greitis, tuo greičiau didėja nuvažiuotas atstumas. Jei toje pačioje koordinačių plokštumoje nubrėžiame dviejų kūnų, judančių kartu, kelio priklausomybę nuo laiko skirtingu greičiu, tada greičiau judančio kūno grafikas turės didesnis kampas su teigiama laiko ašies kryptimi.

Pavyzdžiui, jei vienas kūnas juda 10 km/h greičiu, o antrasis - 20 km/h, tai koordinačių plokštumoje galima pažymėti taškus (1; 10) vienam kūnui ir (1; 20) kitas. Akivaizdu, kad antrasis taškas yra toliau nuo laiko ašies, o tiesė per jį sudaro didesnį kampą nei tiesė per tašką, pažymėtą pirmajam kūnui.

Tiesinio vienodo judėjimo kelio ir laiko grafikai gali būti naudojami norint greitai rasti prabėgusį laiką žinoma vertė nueitas kelias arba kelias per žinomą laiką. Norėdami tai padaryti, iš vertės turite nubrėžti statmeną liniją koordinačių ašis, kuris žinomas prieš susikertant su grafiku. Tada iš gauto susikirtimo taško nubrėžkite statmeną kitai ašiai, taip gaudami norimą vertę.

Be kelio ir laiko grafikų, galite sudaryti kelio ir greičio bei greičio ir laiko diagramas. Tačiau, kadangi tiesiame tolygiame judėjime greitis yra pastovus, šie grafikai yra tiesės, lygiagrečios kelio arba laiko ašims ir einančios deklaruoto greičio lygiu.

Instrukcijos

Apsvarstykite funkciją f(x) = |x|. Pirmiausia tai yra neženklinis modulis, tai yra funkcijos g(x) = x grafikas. Šis grafikas yra tiesi linija, einanti per pradžią, o kampas tarp šios tiesės ir teigiamos x ašies krypties yra 45 laipsniai.

Kadangi modulis yra neneigiamas dydis, dalis, kuri yra žemiau abscisių ašies, turi būti atspindėta jos atžvilgiu. Funkcijos g(x) = x atveju randame, kad grafikas po tokio atvaizdavimo atrodys kaip V. Tai naujas tvarkaraštis ir bus grafinis funkcijos f(x) = |x| interpretavimas.

Video tema

Atkreipkite dėmesį

Funkcijos modulio grafikas niekada nebus 3 ir 4 ketvirčiuose, nes modulis negali turėti neigiamų verčių.

Naudingi patarimai

Jei funkciją sudaro keli moduliai, juos reikia išplėsti nuosekliai ir sudėti vieną ant kito. Rezultatas bus norimas grafikas.

Šaltiniai:

kaip nubraižyti funkciją su moduliais

Kinematikos uždaviniai, kuriuose reikia skaičiuoti greitis, laiko arba tolygiai ir tiesia linija judančių kūnų, kurie susitinka mokyklos kursas algebra ir fizika. Norėdami juos išspręsti, suraskite sąlygoje dydžius, kuriuos galima išlyginti. Jei sąlygą reikia apibrėžti laikožinomu greičiu, vadovaukitės toliau pateiktomis instrukcijomis.

Jums reikės

- rašiklis;
- popierius užrašams.

Instrukcijos

Paprasčiausias atvejis yra vieno kūno judėjimas su tam tikra uniforma greitis Yu. Atstumas, kurį kūnas nukeliavo, yra žinomas. Raskite kelyje: t = S/v, valanda, kur S yra atstumas, v yra vidurkis greitis kūnai.

Antrasis įjungtas priešpriešinio eismo tel. Automobilis juda iš taško A į tašką B su greitis 50 km/val. Mopedas su a greitis 30 km/val. Atstumas tarp taškų A ir B yra 100 km. Reikia surasti laiko per kurį jie susitiks.

Pažymėkite susitikimo tašką K. Tegul automobilio atstumas AK yra x km. Tada motociklininko kelias bus 100 km. Iš probleminių sąlygų matyti, kad laiko Kelyje automobilis ir mopedas turi tą pačią patirtį. Sudarykite lygtį: x/v = (S-x)/v’, kur v, v’ – ir mopedas. Pakeitę duomenis, išspręskite lygtį: x = 62,5 km. Dabar laiko: t = 62,5/50 = 1,25 valandos arba 1 valanda 15 minučių.

Sukurkite lygtį, panašią į ankstesnę. Tačiau šiuo atveju laiko mopedo kelionė bus 20 minučių ilgesnė nei automobilio. Norėdami išlyginti dalis, iš dešinės išraiškos pusės atimkite trečdalį valandos: x/v = (S-x)/v’-1/3. Rasti x – 56,25. Apskaičiuokite laiko: t = 56,25/50 = 1,125 valandos arba 1 valanda 7 minutės 30 sekundžių.

Ketvirtasis pavyzdys yra problema, susijusi su kūnų judėjimu viena kryptimi. Iš taško A vienodais greičiais juda automobilis ir mopedas. Žinoma, kad automobilis išvažiavo po pusvalandžio. Po ko laiko ar jis pasivys mopedą?

Tokiu atveju transporto priemonių nuvažiuotas atstumas bus toks pat. Leiskite laiko tada automobilis važiuos x val laiko mopedo kelionė bus x+0,5 val. Turite lygtį: vx = v'(x+0,5). Išspręskite lygtį pakeisdami , ir raskite x – 0,75 valandos arba 45 minutės.

Penktas pavyzdys – automobilis ir mopedas važiuoja vienodais greičiais ta pačia kryptimi, tačiau mopedas iš taško B, esančio 10 km nuo taško A, išvažiavo pusvalandžiu anksčiau. Paskaičiuok po ko laiko Po starto automobilis pasivys mopedą.

Automobiliu nuvažiuojamas atstumas 10 km didesnis. Pridėkite šį skirtumą prie motociklininko kelio ir išlyginkite išraiškos dalis: vx = v’(x+0.5)-10. Pakeitę greičio reikšmes ir ją išsprendę, gausite: t = 1,25 valandos arba 1 valanda 15 minučių.

Šaltiniai:

koks yra laiko mašinos greitis

Instrukcijos

Apskaičiuokite kūno, vienodai judančio kelio atkarpoje, vidurkį. Tokie greitis yra lengviausia apskaičiuoti, nes jis nesikeičia visame segmente judėjimas ir lygus vidurkiui. Tai galima išreikšti tokia forma: Vрд = Vср, kur Vрд – greitis uniforma judėjimas, o Vav – vidutinis greitis.

Apskaičiuokite vidurkį greitis vienodai lėtas (tolygiai pagreitintas) judėjimasšioje srityje, kuriai būtina pridėti pradinį ir galutinį greitis. Padalinkite rezultatą iš dviejų, tai yra vidurkis greitis Yu. Tai galima aiškiau parašyti kaip formulę: Vср = (Vн + Vк)/2, kur Vн reiškia

« Fizika – 10 kl.

Kuo skiriasi? vienodas judesys nuo tolygiai pagreitinta?
Kuo skiriasi maršruto grafikas? tolygiai pagreitintas judėjimas iš vienodo judėjimo kelio grafiko?
Kokia yra vektoriaus projekcija į bet kurią ašį?

Vienodo tiesinio judėjimo atveju greitį galite nustatyti pagal koordinačių ir laiko grafiką.

Greičio projekcija skaitine prasme lygi tiesės x(t) polinkio kampo prie abscisių ašies liestinei. Be to, kuo didesnis greitis, tuo didesnis pasvirimo kampas.

Tiesus tolygiai pagreitintas judėjimas.

1.33 paveiksle pavaizduoti pagreičio ir laiko projekcijos grafikai trys skirtingi pagreičio vertės tiesiam tolygiai pagreitėjusiam taško judėjimui. Tai tiesios linijos, lygiagrečios abscisių ašiai: a x = const. 1 ir 2 grafikai atitinka judėjimą, kai pagreičio vektorius nukreiptas išilgai OX ašies, 3 grafikas - kai pagreičio vektorius nukreiptas priešinga kryptimi OX ašiai.

Esant tolygiai pagreitėjusiam judėjimui, greičio projekcija tiesiškai priklauso nuo laiko: υ x = υ 0x + a x t. 1.34 paveiksle pavaizduoti nurodytos priklausomybės grafikai trys atvejai. Šiuo atveju pradinis taško greitis yra toks pat. Išanalizuokime šį grafiką.

Pagreičio projekcija Iš grafiko aišku, kad, nei didesnis pagreitis taškais, tuo didesnis tiesės pasvirimo kampas į t ašį ir atitinkamai didesnis pasvirimo kampo liestinė, kuri lemia pagreičio reikšmę.

Per tą patį laikotarpį, esant skirtingiems pagreičiams, greitis pasikeičia į skirtingas reikšmes.

At teigiama vertė pagreičio projekcija per tą patį laikotarpį, greičio projekcija 2 atveju padidėja 2 kartus greičiau nei 1 atveju. neigiama reikšmė pagreičio projekcija į OX ašį, greičio projekcijos modulis pasikeičia į tokią pat reikšmę kaip ir 1 atveju, tačiau greitis mažėja.

1 ir 3 atvejais greičio modulio ir laiko grafikai bus vienodi (1.35 pav.).

Naudodami greičio ir laiko grafiką (1.36 pav.), randame taško koordinačių pokytį. Šis pokytis yra skaitiniu požiūriu lygus užtamsintos trapecijos plotui, šiuo atveju koordinatės pokytis per 4 s Δx = 16 m.

Radome koordinačių pasikeitimą. Jei reikia rasti taško koordinatę, tuomet ją reikia pridėti prie rasto skaičiaus pradinė vertė. Įleisti pradžios momentas laikas x 0 = 2 m, tada taško koordinatės reikšmė in šiuo metu laikas lygus 4 s yra lygus 18 m Šiuo atveju poslinkio modulis lygus keliui pravažiuotas taškas, arba jo koordinačių pasikeitimas, t.y 16 m.

Jei judėjimas yra vienodai lėtas, taškas per pasirinktą laiko intervalą gali sustoti ir pradėti judėti priešinga kryptimi nei pradinis. 1.37 paveiksle parodyta tokio judėjimo greičio projekcijos priklausomybė nuo laiko. Matome, kad laiku, lygiu 2 s, pasikeičia greičio kryptis. Koordinačių pokytis skaitine prasme bus lygus algebrinė suma nuspalvintų trikampių plotai.

Apskaičiavę šiuos plotus matome, kad koordinatės pokytis yra -6 m, tai reiškia, kad priešinga OX ašiai kryptimi taškas praėjo ilgesnis atstumas nei šios ašies kryptimi.

Kvadratas baigta imame t ašį su pliuso ženklu ir plotą pagal t ašis, kurioje greičio projekcija yra neigiama, su minuso ženklu.

Jei pradiniu laiko momentu tam tikro taško greitis buvo lygus 2 m/s, tai jo koordinatė laiko momentu lygi 6 s Taško poslinkio modulis šiuo atveju yra lygus -4 m taip pat lygus 6 m – koordinačių kitimo moduliui. Tačiau šiuo tašku nueitas kelias lygus 10 m – 1.38 pav. pavaizduotų nuspalvintų trikampių plotų sumai.

Nubraižykime taško x koordinatės priklausomybę nuo laiko. Pagal vieną iš formulių (1.14) koordinatės ir laiko kreivė – x(t) – yra parabolė.

Jei taškas juda greičiu, kurio grafikas laiko atžvilgiu parodytas 1.36 pav., tai parabolės šakos nukreiptos aukštyn, nes a x > 0 (1.39 pav.). Iš šio grafiko bet kuriuo metu galime nustatyti taško koordinatę, taip pat greitį. Taigi, tuo metu, lygiu 4 s, taško koordinatė yra 18 m.

Pradiniam laiko momentui, brėždami kreivės liestinę taške A, nustatome polinkio kampo liestinę α 1, kuri skaitine prasme yra lygi pradiniam greičiui, ty 2 m/s.

Norėdami nustatyti greitį taške B, šiame taške nubrėžkite parabolės liestinę ir nustatykite kampo α 2 liestinę. Jis lygus 6, todėl greitis yra 6 m/s.

Kelio ir laiko grafikas yra ta pati parabolė, bet nubrėžta iš pradžios (1.40 pav.). Matome, kad kelias laikui bėgant nuolat didėja, judėjimas vyksta viena kryptimi.

Jei taškas juda greičiu, kurio projekcijos ir laiko grafikas parodytas 1.37 pav., tai parabolės šakos nukreiptos žemyn, nes a x< 0 (рис. 1.41). При этом моменту времени, равному 2 с, соответствует вершина параболы. Касательная в точке В параллельна оси t, угол наклона касательной к этой оси равен нулю, и скорость также равна нулю. До этого момента времени тангенс угла наклона касательной уменьшался, но был положителен, движение точки происходило в направлении оси ОХ.

Pradedant nuo laiko momento t = 2 s, polinkio kampo liestinė tampa neigiama, o jos modulis didėja, tai reiškia, kad taškas juda priešinga pradinei kryptimi, o judėjimo greičio modulis didėja.

Poslinkio modulis lygus skirtumo tarp taško koordinačių galutiniu ir pradiniu laiko momentu moduliui ir lygus 6 m.

Tašku nuvažiuoto atstumo ir laiko grafikas, parodytas 1.42 pav., skiriasi nuo poslinkio ir laiko grafiko (žr. 1.41 pav.).

Nepriklausomai nuo greičio krypties, taško nueitas kelias nuolat didėja.

Išveskime taško koordinačių priklausomybę nuo greičio projekcijos. Greitis υx = υ 0x + a x t, taigi

Esant x 0 = 0 ir x > 0 ir υ x > υ 0x, koordinatės ir greičio grafikas yra parabolė (1.43 pav.).

Šiuo atveju, kuo didesnis pagreitis, tuo mažesnė bus parabolės šaka. Tai lengva paaiškinti, nes kuo didesnis pagreitis, tuo mažesnis atstumas, kurį taškas turi nuvažiuoti, kad greitis padidėtų tiek pat, kiek judant mažesniu pagreičiu.

Jei x< 0 и υ 0x >0 greičio projekcija sumažės. Perrašykime lygtį (1.17) tokia forma, kur a = |a x |. Šio ryšio grafikas yra parabolė, kurios šakos nukreiptos žemyn (1.44 pav.).

Pagreitintas judėjimas.

Naudodami greičio projekcijos ir laiko grafikus, galite nustatyti taško koordinates ir pagreičio projekciją bet kuriuo metu bet kokio tipo judėjimui.

Tegul taško greičio projekcija priklauso nuo laiko, kaip parodyta 1.45 pav. Akivaizdu, kad laiko intervale nuo 0 iki t 3 taško judėjimas išilgai X ašies įvyko kintamu pagreičiu. Pradedant nuo laiko momento, lygaus t 3, judėjimas yra vienodas su pastovus greitisυ Dx. Pagal grafiką matome, kad pagreitis, kuriuo taškas judėjo, nuolat mažėjo (palyginkite liestinės polinkio kampą taškuose B ir C).

Taško x koordinatės pokytis per laiką t 1 skaitine prasme lygus plotui lenkta trapecija OABt 1, laikui t 2 - plotas OACt 2 ir tt Kaip matome iš greičio projekcijos ir laiko grafiko, galite nustatyti kūno koordinačių kitimą per bet kurį laikotarpį.

Iš koordinačių ir laiko grafiko galite nustatyti greičio vertę bet kuriuo momentu, apskaičiuodami kreivės liestinės tašką, atitinkantį tam tikrą laiko tašką. Iš 1.46 paveikslo matyti, kad momentu t 1 greičio projekcija yra teigiama. Laiko intervale nuo t 2 iki t 3 greitis lygus nuliui, kūnas nejudantis. Laike t 4 greitis taip pat lygus nuliui (kreivės liestinė taške D yra lygiagreti x ašiai). Tada greičio projekcija tampa neigiama, taško judėjimo kryptis pasikeičia į priešingą.

Jei žinomas greičio projekcijos ir laiko grafikas, galite nustatyti taško pagreitį, o taip pat, žinodami pradinę padėtį, bet kuriuo metu nustatyti kūno koordinatę, t.y. išspręsti pagrindinę kinematikos problemą. Iš koordinačių ir laiko grafiko galima nustatyti vieną iš svarbiausių kinematinės charakteristikos judėjimas – greitis. Be to, iš nurodytų grafikų galite nustatyti judėjimo pagal pasirinktą ašį tipą: vienodas, su nuolatinis pagreitis arba judėjimas su kintamu pagreičiu.

3. Apsvarstykite 4.6 pav.
a) Kuriuose grafiko taškuose liestinės polinkio kampas yra didžiausias?

Momentinis ir vidutinis greitis

mažiausiai?

2. Vidutinis greitis

vav = l/t. (1)

5. Rasti:

c) Sašos vidutinis greitis.

6. Rasti:

b) Sašos vidutinis greitis.

Analizė praktikos testas Internetinė fizikos olimpiada 2008/2009 m

11 klasė. Kinematika

Klausimas Nr.1

Paveiksle pateiktu grafiku nustatykite dviratininko greitį praėjus trims sekundėms nuo judėjimo pradžios.

Sprendimas.

Paveikslėlyje parodytas kelio ir laiko grafikas. Grafikas yra tiesi linija, o tai reiškia, kad dviratininkas judėjo tolygiai. Naudodami grafiką nustatome dviratininko įveiktą atstumą per fiksuotą laikotarpį. Pavyzdžiui, per 3 s dviratininkas įveikė 9 m. Dviratininko greitis yra V = L / t = 9/3 = 3 m/s.

Klausimas Nr.2

Pėsčiasis ir dviratininkas vienu metu pradėjo judėti vienas kito link. Jų greičiai lygūs atitinkamai V1 = ir V2 = . Nustatykite judėjimo laiką iki susitikimo, jei pradinis atstumas tarp jų yra L = .

Sprendimas.

Nustatykime dviratininko greitį pėsčiųjų atskaitos sistemoje V12 = V1 + V2 = 6 + 30 = 36 km/h = 10 m/s. Taigi, pėsčiasis ir dviratininkas artėja vienas prie kito 10 m/s greičiu, tada jų kelionės laikas iki susitikimo yra t = L / V12 = 700/10 = 70 s.

Klausimas Nr.3

Automobilis 5 s važiavo 15 m/s greičiu. Kiek toli jis nukeliavo per tą laiką?

Sprendimas.

Automobilis judėjo tolygiai, todėl nuvažiuotas atstumas L = Vt = 155 = 75 m.

Klausimas Nr.4

Vertikaliai į viršų išmestas rutulys grįžta į pradinę padėtį. Paveikslėlyje parodytas jo greičio ir laiko grafikas. Kuriuo momentu kamuolys pasiekė maksimalus aukštis?

Sprendimas.

Tuo metu, kai kamuolys pasiekia maksimalų aukštį, jo greitis lygus nuliui. Pagal paveiksle pateiktą grafiką nustatome, kad rutulio greitis momentu t = 2 s lygus nuliui.

Klausimas Nr.5

Kurie iš aukščiau išvardytų dydžių yra vektoriniai dydžiai?

(Pažymėkite visus vektorių kiekius)

Sprendimas.

Iš išvardytų dydžių greitis, pagreitis ir poslinkis yra vektoriniai dydžiai. Kelias yra skaliarinis dydis.

Klausimas Nr.6

Sportininkas stadiono trasa nubėgo 400 m distanciją ir grįžo į starto vietą. Nustatykite sportininko nueitą kelią L ir jo judėjimo S modulį.

Sprendimas.

Sportininko nuvažiuotas atstumas yra L = 400 m. Poslinkio modulis yra S = 0, nes sportininkas grįžo į tašką, iš kurio pradėjo judėti.

Klausimas Nr.7

Tiesiai ir tolygiai pagreitinto kūno judėjimo greitis pasikeitė judant iš taško 1 į tašką 2, kaip parodyta paveikslėlyje. Kokią kryptį turi pagreičio vektorius šioje kelio atkarpoje?

Sprendimas.

Iš paveikslo matyti, kad kūno greičio modulis jam judant mažėja, o tai reiškia, kad pagreičio vektorius yra nukreiptas į judėjimą, tai yra į kairę.

Klausimas Nr.8

Naudodami greičio modulio kaip laiko funkcijos grafiką, nustatykite tiesia linija judančio kūno pagreitį momentu t = 2 s.

Sprendimas.

Naudodamiesi grafiku nustatome kūno greičio kitimą fiksuotu laiko momentu. Pavyzdžiui, per pirmąsias dvi sekundes kūno greitis pakito 6 m/s (nuo V0 = 3 m/s iki Vt = 9 m/s). Pagreitis a = (Vt – V0) / t = 6/2 = 3 m/s2.

Klausimas Nr.9

Kai automobilis važiuoja vienodu pagreičiu penkias sekundes, jo greitis padidėja nuo 10 iki 15 m/s. Kodėl modulis yra lygus automobilio pagreitis?

Sprendimas.

Automobilio pagreitis a = (Vt – V0) / t= (15 – 10)/5 = 5/5 = 1 m/s2.

Klausimas Nr.10

Automobilis paleidžiamas iš ramybės pastovaus pagreičio a = 1 m/s2. Kiek toli automobilis nuvažiuoja per pirmąsias dešimt judėjimo sekundžių?

Sprendimas.

Automobilis juda tolygiai pagreitintas be pradinio greičio – nuvažiuotas atstumas L = at2/2 = 1102/2 = 50 m.

Klausimas Nr.11

Plaustas tolygiai plaukia upe 3 km/h greičiu. Gegnė per plaustą juda 4 km/h greičiu. Koks gegnės greitis atskaitos rėme, susietas su krantu?

Sprendimas.

Gegnės greitis atskaitos rėme, susijusiame su krantu

Klausimas Nr.12

Sraigtasparnis kyla vertikaliai pastoviu greičiu. Kokia yra taško trajektorija sraigtasparnio rotoriaus mentės gale atskaitos rėme, susietame su sraigtasparnio korpusu?

Sprendimas.

Įsivaizduokite, kad esate sraigtasparnio kabinoje, tai yra, esate nejudantis sraigtasparnio korpuso atžvilgiu. Šiuo atveju matote, kad bet kuris sraigtasparnio rotoriaus taškas apibūdina apskritimą.

Klausimas Nr.13

Kūnas juda išilgai X ašies pagal paveiksle pateiktą dėsnį, kur x – koordinatė metrais, t – laikas sekundėmis. Nustatykite kūno pagreičio modulį.

Sprendimas.

Koordinačių priklausomybės nuo laiko lygtis tiesiniam tolygiai pagreitintam judėjimui į bendras vaizdas turi formą X(t) = X0 + V0xt + aht2/2, kur X0 yra pradinė koordinatė, o V0x ir ah yra pradinio greičio ir pagreičio projekcijos į X ašį.

Sulyginus terminus, kuriuose yra t2, gauname akht2/2 = –4,5t2. Iš kur kyla pagreičio projekcija iš aх = –9 m/s2, o pagreičio modulis a= 9 m/s2.

Klausimas Nr.14

Paveikslėlyje pavaizduoti keturių kūnų greičio modulio ir laiko grafikai. Kuris iš šių kūnų (ar kokių kūnų) nukeliavo toliausiai?

Sprendimas.

Paveiksle pavaizduoti judančių kūnų greičio ir laiko grafikai. Kaip žinoma, kūno nueitas kelias yra plotas, esantis po greičio grafiku. Iš paveikslo aišku, kad pav maksimalus plotas yra po 4 kūno grafiku. Tai reiškia, kad per laikotarpį nuo 0 iki t0 kūnas 4 nukeliavo ilgiausią atstumą.

Klausimas Nr.15

Kūnas juda tiesia linija. Paveikslėlyje parodytas kūno greičio ir laiko grafikas. Kokiu laiko intervalu (-iais) pagreičio projekcija yra neigiama?

Sprendimas.

Išanalizuokime grafiką:

1. per laiko intervalą nuo 0 iki 1 s kūno greitis yra pastovus, todėl ax = 0;

2. per laikotarpį nuo 1s iki 2s kūno greitis mažėja, todėl pagreičio projekcija ah< 0;

3. laiko intervale nuo 2s iki 3s kūnas yra ramybės būsenoje, todėl ax = 0;

4. laiko intervale nuo 3s iki 4s kūno greitis didėja, todėl pagreičio ax projekcija > 0.

Taigi, pagreičio projekcija yra neigiama per laiko intervalą nuo 1 s iki 2 s.

Klausimas Nr.16

Automobilis, judantis pradiniu 20 m/s greičiu, 5 s įsibėgėja pastoviu pagreičiu a = 2 m/s2. Kiek toli jis nukeliavo per tą laiką?

Sprendimas.

Norėdami apskaičiuoti kelią, galite naudoti formulę L = V0t + at2/2 = 205 + 252/2 = .

Kaip iš grafiko rasti vidutinį greitį

1. Momentinis greitis

Šioje pastraipoje mes apsvarstysime netolygus judėjimas. Tačiau šiuo atveju mums reikės to, ką žinome apie tiesinį vienodą judėjimą.

4.1 paveiksle parodytos greitėjančio automobilio padėtys tiesus greitkelis su 1 s laiko intervalu. Rodyklė nukreipta į galinio vaizdo veidrodį, kurio padėtį nagrinėsime toliau išsamiau.

Matome, kad vienodais laiko tarpais automobilis pravažiuoja skirtingais būdais, tai yra, juda netolygiai.

Dabar nuoseklius laiko intervalus sumažinkime 20 kartų – iki 0,05 s – ir pusę sekundės stebėkime automobilio padėties pasikeitimą (tai nesunku padaryti, pavyzdžiui, naudojant vaizdo įrašymą).

Kad netrukdytų 4.2 pav., jame rodomos tik dvi automobilio padėtys su 0,5 s laiko intervalu. Viena po kitos einančios transporto priemonės padėtys 0,05 s intervalais pažymėtos galinio vaizdo veidrodėlio padėtimi (rodoma raudonai).

Matome, kad kai vienas po kito einantys vienodi laiko intervalai yra pakankamai maži, tai per šiuos laiko intervalus automobilio įveikiami atstumai yra praktiškai vienodi. Tai reiškia, kad automobilio judėjimas per tokį trumpą laiką gali būti laikomas tiesiu ir vienodu su geru tikslumu.

Pasirodo, kad šis nepaprastas turtas bet koks judesys (net ir kreivinis) turi: jei svarstysime per pakankamai trumpą laiko tarpą Δt, jis labai panašus į tiesinį tolygų judėjimą! Ir ką? mažesnis tarpas laiku, tuo didesnis panašumas.

Kūno greitis per pakankamai trumpą laiko tarpą vadinamas jo greičiu tam tikru laiko momentu t, jei šis laiko momentas yra intervale Δt. Ir tikslesnis jo pavadinimas momentinis greitis.

Kiek trumpas turi būti laiko intervalas Δt, kad per šį intervalą kūno judėjimas būtų laikomas tiesiu ir vienodu, priklauso nuo kūno judėjimo pobūdžio.

Automobilio pagreičio atveju tai yra sekundės dalis. Ir, pavyzdžiui, Žemės judėjimą aplink Saulę galima labai tiksliai laikyti tiesiniu ir vienodu net ir dieną, nors Žemė per tą laiką kosmose nuskrenda daugiau nei pustrečio milijono kilometrų!

1. Naudodamiesi 4.2 pav., nustatykite momentinį automobilio greitį. Paimkite automobilio ilgį 5 m.

Automobilio momentinio greičio reikšmę parodo spidometras (4.3 pav.).

Kaip rasti momentinį greitį iš koordinačių ir laiko grafiko

4.4 paveiksle parodytas automobilio, važiuojančio tiesia greitkeliu, koordinačių ir laiko grafikas.

Matome, kad jis juda netolygiai, nes jo koordinačių ir laiko grafikas yra kreivė, o ne tiesi atkarpa.

Parodykime, kaip iš šio grafiko nustatyti momentinį automobilio greitį bet kuriuo laiko momentu – tarkime, esant t = 3 s (taškas grafike).

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite automobilio judėjimą per tokį trumpą laikotarpį, per kurį jo judėjimas gali būti laikomas linijiniu ir vienodu.

4.5 paveiksle parodyta grafiko dalis, kuri mus domina dešimteriopai padidėjus (žr., pavyzdžiui, laiko skalę).

Matome, kad ši grafiko atkarpa praktiškai nesiskiria nuo tiesios atkarpos (raudonos atkarpos). Iš eilės vienodais laiko intervalais po 0,1 s automobilis nuvažiuoja beveik vienodus atstumus – po 1 m.

2. Koks momentinis automobilio greitis momentu t = 3 s?

Grįžę prie ankstesnio brėžinio mastelio, pamatysime, kad raudona tiesė, su kuria praktiškai sutapo nedidelė grafiko atkarpa, yra koordinatės priklausomybės nuo laiko grafiko liestinė tam tikru laiko momentu (pav. 4.6).

Taigi, momentinis kūno greitis gali būti vertinamas pagal koordinatės ir laiko grafiko liestinės kampinį koeficientą: tuo daugiau nuolydis tangentas, tuo didesnis kūno greitis. (Aprašytas momentinio greičio nustatymo metodas, naudojant koordinatės priklausomybės nuo laiko grafiko liestinę, siejamas su funkcijos išvestinės samprata. Šią sąvoką studijuosite kurse „Algebra ir aialis pradžia. ) O tuose grafiko taškuose, kur liestinės polinkio kampas lygus nuliui, tada yra liestinė, lygiagreti laiko ašiai t, momentinis kūno greitis lygus nuliui.

3. Apsvarstykite 4.6 pav.
b) Raskite didžiausią ir mažiausią momentinį automobilio greitį per pirmąsias 6 jo judėjimo sekundes.

2. Vidutinis greitis

Daugelis problemų naudoja vidutinį greitį, susijusį su nuvažiuotu atstumu:

vav = l/t. (1)

Tokiu būdu apibrėžtas vidutinis greitis yra skaliarinis dydis, nes kelias yra skaliarinis dydis. (Kartais, siekiant išvengti painiavos, jis vadinamas vidutiniu važiavimo greičiu.)

Pavyzdžiui, jei automobilis 120 km važiavo po miestą tris valandas (tuo pačiu metu galėjo įsibėgėti, stabdyti ir sustoti sankryžose), tai jo vidutinis greitis yra 40 km/val.

4. Kiek sumažės ką tik minėto automobilio vidutinis greitis, jei dėl eismo sustojimų? viso laiko judėjimas padidės 1 valanda?

Vidutinis greitis dviejose eismo atkarpose

Daugelyje problemų kūno judėjimas nagrinėjamas dviejose srityse, kurių kiekvienoje judėjimas gali būti laikomas vienodu. Šiuo atveju pagal apibrėžimą vidutinis greitis(1), galime rašyti:

vav = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)

kur l1 ir t1 yra pirmosios atkarpos kelias ir laikas, o antrosios – l2 ir t2. Pažiūrėkime į pavyzdžius.
Sasha dviračiu išvažiavo iš kaimo 15 km/h greičiu ir važiavo valandą. Ir tada sugedo dviratis, ir Sasha dar valandą ėjo 5 km/h greičiu.

5. Rasti:
a) Sasha nueitas kelias viso judėjimo metu;
b) bendras Sašos judėjimo laikas;
c) Sašos vidutinis greitis.

Nagrinėjamu atveju vidutinis greitis pasirodė lygus greičių, kuriais Sasha važiavo ir ėjo, aritmetiniam vidurkiui. Ar tai visada sąžininga? Pasvarstykime sekantis pavyzdys.
Leiskite Sašai valandą važiuoti dviračiu 15 km/h greičiu, o paskui tą patį atstumą nueiti pėsčiomis 5 km/h greičiu.

6. Rasti:
a) kelias, kuriuo Sasha ėjo pėsčiomis;
b) Sašos nueitas kelias viso judėjimo metu;
c) bendras Sašos judėjimo laikas;
b) Sašos vidutinis greitis.

Žvelgdami į šį atvejį pamatysite, kad šį kartą vidutinis greitis nėra lygus važiavimo ir ėjimo greičių aritmetiniam vidurkiui. O dar atidžiau pažvelgę pastebėsite, kad antruoju atveju vidutinis greitis mažesnis nei pirmuoju. Kodėl?

7. Palyginkite laiko periodus, per kuriuos Sasha vairavo ir ėjo pirmuoju ir antruoju atveju.

Apibendrinkime aukščiau aptartas situacijas.

Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai kūnas vienodą laiką judėjo skirtingu greičiu.

Tegul kūnas juda greičiu v1 pirmąją viso judėjimo laiko pusę, o antrąją pusę greičiu v2. Ar galima rasti vidutinį judėjimo greitį visoje atkarpoje, jei nėra žinomas nei bendras judėjimo laikas, nei kūno nuvažiuotas atstumas per visą judėjimą?

Galite: norėdami tai padaryti, įvedame visų mums reikalingų kiekių žymes, neatsižvelgiant į tai, ar jie žinomi, ar nežinomi. Tai yra įprasta daugelio problemų sprendimo technika.

Visą judėjimo laiką pažymėkime t, visą kelią – l, o kelius, nueitus per pirmąją ir antrąją judėjimo laiko pusę, atitinkamai – l1 ir l2.

8. Išreikškite v1, v2 ir t:
a) l1 ir l2; b) l; c) vidutinis greitis.

Suradę atsakymus į šiuos klausimus sužinosite, ar bendras atvejis teiginys: jei kūnas judėjo dviem atkarpomis skirtingais greičiais vienodą laiką, tai jo vidutinis greitis per visą kelią yra lygus judėjimo greičių abiejose atkarpose aritmetiniam vidurkiui.

Dabar panagrinėkime atvejį, kai kūnas judėjo skirtingu greičiu pirmoje ir antroje kelio pusėje.

Dabar leiskite kūnui judėti pirmąją viso kelio pusę greičiu v1, o antrąją pusę greičiu v2. Visą judėjimo laiką vėl pažymėkime t, visą kelią – l, o laiko intervalai, per kuriuos kūnas judėjo pirmoje ir antroje atkarpoje, bus atitinkamai pažymėti t1 ir t2.

9. Išreikškite v1, v2 ir l:
a) t1 ir t2; b) t; c) vidutinis greitis.

Atsakydami į šiuos klausimus sužinosite, ar teisingas teiginys bendruoju atveju: jei kūnas judėjo dviejose srityse vienodo ilgio su skirtingais greičiais, tada jo vidutinis greitis visame kelyje nėra lygus šių greičių aritmetiniam vidurkiui.

10. Įrodykite, kad kūno, judėjusio dviem vienodo ilgio atkarpomis skirtingais greičiais, vidutinis greitis yra mažesnis nei tuo atveju, jei jis judėtų dviem atkarpomis vienodais greičiais vienodus laiko tarpus.
Užuomina. Kiekvienu iš dviejų atvejų išreikškite vidutinį greitį greičiais pirmoje ir antroje dalyse ir palyginkite gautas išraiškas.

11. Pirmoje tako atkarpoje kūnas judėjo greičiu v1, o antroje – greičiu v2. Koks yra šių atkarpų ilgių santykis, jei vidutinis judėjimo greitis yra lygus v1 ir v2 aritmetiniam vidurkiui?

Papildomi klausimai ir užduotys

12. Trečdalį viso laiko traukinys važiavo v1 greičiu, likusį laiką v2 greičiu.
a) Išreikškite traukinio nuvažiuotą atstumą v1, v2 ir visu kelionės laiku t.
b) Išreikškite vidutinį traukinio greitį v1 ir v2.
c) Rasti skaitinė reikšmė vidutinis greitis, kai v1 = 60 km/h, v2 = 90 km/h.

13. Automobilis tris ketvirtadalius viso atstumo nuvažiavo v1 greičiu, o likusią kelionės dalį – v2 greičiu.
a) Išreikškite visą automobilio judėjimo laiką v1, v2 ir visu nuvažiuotu atstumu l.
b) Išreikškite vidutinį automobilio greitį v1 ir v2.
c) Raskite vidutinio greičio skaitinę reikšmę, kai v1 = 80 km/h, v2 = 100 km/h.

14. Automobilis važiavo 2 valandas 60 km/h greičiu. Kiek laiko po to jis turi važiuoti 80 km/h greičiu, kad jo vidutinis greitis per visą kelionę būtų lygus 66,7 km/h?

15. Perkelkite į savo bloknotą (pagal langelius) automobilio koordinačių priklausomybės nuo laiko grafiką, pavaizduotą 4.4 pav. Apsvarstykite, kad automobilis juda išilgai x ašies.
a) Grafiškai nustatykite vidutinį 6 s greitį.
b) Naudodami liestinę nustatykite, kokiomis maždaug laiko akimirkomis automobilio momentinis greitis buvo lygus jo vidutiniam greičiui per 6 s.

16. Kūnas juda išilgai x ašies. Kūno koordinačių priklausomybė nuo laiko išreiškiama formule x = 0,2 * t2.
a) Pasirinkite patogią skalę ir nubrėžkite x(t) pirmąsias 6 s.
b) Naudodamiesi šiuo grafiku, raskite laiko momentą, kuriuo momentinis kūno greitis buvo lygus viso judėjimo laiko vidutiniam greičiui.

§ 12. Kelio ir laiko grafikai.

Jei žinoma taško judėjimo trajektorija, tai taško einamo kelio priklausomybė nuo praėjusio laiko intervalo pilnas aprašymasšis judėjimas. Matėme, kad vienodam judėjimui tokią priklausomybę galima pateikti formulės (9.2) forma. Ryšys tarp atskirų laiko taškų ir tarp jų taip pat gali būti nurodytas lentelės, kurioje yra atitinkamos laikotarpio ir nuvažiuoto atstumo reikšmės, pavidalu. Sakykime, kad kokio nors vienodo judėjimo greitis yra 2 m/s. Formulė (9.2) šiuo atveju turi formą . Padarykime tokio judėjimo kelio ir laiko lentelę:

Vieno dydžio priklausomybę nuo kito dažnai patogu pavaizduoti ne formulėmis ar lentelėmis, o grafikais, kurie aiškiau parodo pokyčio vaizdą kintamieji ir gali palengvinti skaičiavimus. Sukurkime atitinkamo judėjimo nuvažiuoto atstumo ir laiko grafiką. Norėdami tai padaryti, paimkite dvi viena kitai statmenas tiesias linijas - koordinačių ašis; Vieną iš jų (abscisių ašį) vadinsime laiko ašimi, o kitą (ordinačių ašį) – kelio ašimi. Laiko intervalams ir takams vaizduoti parinksime mastelius ir pradiniu momentu bei trajektorijos pradžios tašku imkime ašių susikirtimo tašką. Ant ašių nubraižykime laiko ir nuvažiuoto atstumo reikšmes nagrinėjamam judėjimui (18 pav.). Norėdami „susieti“ nuvažiuoto atstumo reikšmes su laiko momentais, iš atitinkamų ašių taškų (pavyzdžiui, 3 s ir 6 m) nubrėžiame statmenas ašims. Statmenų susikirtimo taškas vienu metu atitinka abu dydžius: kelią ir momentą, ir tokiu būdu pasiekiamas „surišimas“. Tą pačią konstrukciją galima atlikti bet kokiems kitiems laiko taškams ir atitinkamiems takams, kiekvienai tokiai laiko kelio porai gaunant po vieną tašką grafike. Fig.

Iš grafiko nustatykite vidutinį kūno greitį tam tikrais laikotarpiais

18 daroma tokia konstrukcija, pakeičiant abi lentelės eilutes viena taškų eile. Jei tokia konstrukcija būtų atlikta visiems laiko taškams, vietoj atskirų taškų būtų gauta ištisinė linija (taip pat parodyta paveikslėlyje). Ši linija vadinama kelio ir laiko grafiku arba, trumpai tariant, kelio grafiku.

Ryžiai. 18. Tolygaus judėjimo 2 m/s greičiu kelio grafikas

Ryžiai. 19. Už pratimą 12.1

Mūsų atveju kelio grafikas pasirodė tiesi linija. Galima parodyti, kad tolygaus judėjimo kelio grafikas visada yra tiesi; ir atvirkščiai: jei kelio ir laiko grafikas yra tiesi linija, tada judėjimas yra tolygus.

Kartodami kitokio greičio konstrukciją, pastebime, kad didesnio greičio grafiko taškai yra aukščiau nei atitinkami mažesnio greičio grafiko taškai (20 pav.). Taigi, kuo didesnis tolygaus judėjimo greitis, tuo statesnis tiesios linijos grafikas kelią, t. y. kuo didesnį kampą jis sudaro su laiko ašimi.

Ryžiai. 20. Vienodų judesių 2 ir 3 m/s greičių kelio grafikai

Ryžiai. 21. To paties judėjimo grafikas kaip pav. 18, nupieštas kitokiu masteliu

Grafiko nuolydis, žinoma, priklauso ne tik nuo skaitinės greičio reikšmės, bet ir nuo laiko bei ilgio skalių pasirinkimo. Pavyzdžiui, diagrama, parodyta fig. 21 parodytas kelias ir laikas tam pačiam judėjimui, kaip ir diagramoje Fig. 18, nors turi skirtingą nuolydį. Iš čia aišku, kad judesius galima lyginti pagal grafikų nuolydį tik tada, kai jie nubraižyti toje pačioje skalėje.

Naudodami kelio grafikus galite lengvai išspręsti skirtingos užduotys apie judėjimą. Pavyzdžiui, pav. 18 punktyrinių linijų rodo konstrukcijas, reikalingas toliau išvardytoms problemoms išspręsti šio judėjimo: a) rasti kelią, nueitą per 3,5 s; b) raskite laiką, per kurį reikia nuvažiuoti 9 m grafiškai(punktyrinėmis linijomis) rasti atsakymai: a) 7 m; b) 4,5 s.

Ant grafikų, apibūdinančių uniformą tiesus judesys, judančio taško koordinatę galite nubraižyti išilgai ordinatės, o ne kelio. Šis aprašymas atskleidžia puikias galimybes. Visų pirma, tai leidžia atskirti judėjimo kryptį ašies atžvilgiu. Be to, laikant laiko pradžią nuliu, galima parodyti taško judėjimą ankstesniais laiko momentais, kurie turėtų būti laikomi neigiamais.

Ryžiai. 22. Judesių grafikai tuo pačiu greičiu, bet skirtingose pradinėse judančio taško padėtyse

Ryžiai. 23. Kelių judesių grafikai su neigiami greičiai

Pavyzdžiui, pav. 22 tiesė I – tai judėjimo, vykstančio teigiamu 4 m/s greičiu (t.y. ašies kryptimi), grafikas, o pradiniu momentu judantis taškas buvo taške, kurio koordinatė m Paveikslėlyje parodytas judesio, kuris vyksta tuo pačiu greičiu, bet kuriuo pradiniu momentu judesio taškas yra taške su koordinate (II linija), grafikas. Tiesiai. III atitinka atvejį, kai judantis taškas buvo taške, kurio koordinatė yra m. Galiausiai tiesė IV apibūdina judėjimą tuo atveju, kai judantis taškas turėjo koordinatę momentu c.

Matome, kad visų keturių grafikų nuolydžiai yra vienodi: nuolydis priklauso tik nuo judančio taško greičio, o ne nuo jo pradinė padėtis. Keičiant pradinę padėtį, visas grafikas tiesiog perkeliamas lygiagrečiai sau išilgai ašies aukštyn arba žemyn atitinkamu atstumu.

Neigiamais greičiais (t. y. kryptimi) vykstančių judesių grafikai priešinga kryptimi ašis) parodyta fig. 23. Jie tiesūs, pasvirę žemyn. Tokiems judesiams taško koordinatė laikui bėgant mažėja.

12.3. Taško, judančio greičiu, kelio grafikas nupjauna atkarpą ordinačių ašyje. Kaip atstumas nuo laiko priklauso nuo laiko? pradžios taškas? Parašykite šio ryšio formulę.

12.4. Taškas, judantis greičiu, šiuo metu yra nutolęs nuo pradinio taško.

Kaip atstumas priklauso nuo laiko?

12.5. Taškas, tolygiai judantis išilgai ašies, turėjo atitinkamai m ir m koordinates laiko momentais s ir s. Grafiškai raskite, kuriuo momentu taškas praėjo per koordinačių pradžią ir kokia koordinatė buvo pradiniu momentu. Raskite greičio projekciją į ašį.

12.6. Naudodami kelio grafiką raskite, kada ir kokiu atstumu nuo taško A iš taško A išvažiuojantį automobilį aplenks antras automobilis, išvažiuojantis iš to paties taško praėjus 20 minučių po pirmojo, jei pirmasis automobilis važiuoja 40 km/h greičiu. , o antrasis juda 40 km/h greičiu 60 km/h greičiu.

12.7. Naudodami grafiką raskite, kur ir kada susidurs transporto priemonės, išvažiuodamos viena į kitą 40 ir 60 km/h greičiu iš taškų A ir B, esančių 100 km atstumu vienas nuo kito.

Kelio grafikus taip pat galima sudaryti tiems atvejams, kai kūnas tam tikrą laiką juda tolygiai, po to juda tolygiai, bet skirtingu greičiu kitą laikotarpį, tada vėl keičia greitį ir pan. Pavyzdžiui, pav. 26 parodytas judėjimo grafikas, kuriame pirmą valandą kūnas judėjo 20 km/h greičiu, antrą valandą – 40 km/h, o trečią valandą – 15 km/h greičiu.

Pratimas:12.8. Sudarykite judėjimo kelio grafiką, kuriame nuosekliais valandiniais intervalais kūno greitis buvo 10, -5, 0, 2, -7 km/h. Koks yra bendras kūno poslinkis?

1. Kelio radimas naudojant greičio ir laiko grafiką

Parodykime, kaip galite rasti kūno nuvažiuotą kelią, naudodami greičio ir laiko grafiką.

Pradėkime nuo pat pradžių paprastas atvejis– vienodas judėjimas. 6.1 paveiksle parodytas v(t) – greičio ir laiko grafikas. Tai yra tiesės atkarpa, lygiagreti laiko pagrindui, nes tolygiai judant greitis yra pastovus.

Paveikslėlis, esantis po šiuo grafiku, yra stačiakampis (paveiksle jis užtamsintas). Jo plotas skaitine prasme lygus greičio v ir judėjimo laiko t sandaugai. Kita vertus, sandauga vt yra lygi kelio l, kurią kerta kūnas. Taigi, vienodu judesiu

skaitiniu būdu lygus plotui paveikslas, esantis po greičio ir laiko grafiku.

Dabar parodykime, kad netolygus judėjimas taip pat turi šią nuostabią savybę.

Tegul, pavyzdžiui, greičio ir laiko grafikas atrodo kaip kreivė, parodyta 6.2 pav.

Visą judėjimo laiką mintyse suskirstykime į tokius mažus intervalus, kad per kiekvieną iš jų kūno judėjimą būtų galima laikyti beveik vienodu (šis padalijimas 6.2 pav. parodytas punktyrinėmis linijomis).

Tada per kiekvieną tokį intervalą nuvažiuotas kelias yra skaitiniu požiūriu lygus figūros plotui po atitinkamu grafiko vienetu. Todėl visas kelias yra lygus figūrų, esančių po visu grafiku, plotui. (Pagrindas yra mūsų naudojama technika integralinis skaičiavimas, kurio pagrindus mokysitės kurse „Matematinės analizės užuomazgos“.)

2. Kelias ir poslinkis tiesiojo tolygiai pagreitinto judėjimo metu

Dabar taikykime aukščiau aprašytą metodą, kad surastume kelią į tiesinį tolygiai pagreitintą judėjimą.

Pradinis kūno greitis lygus nuliui

Nukreipkime x ašį kūno pagreičio kryptimi. Tada ax = a, vx = v. Vadinasi,

6.3 paveiksle parodytas v(t) grafikas.

1. Naudodamiesi 6.3 pav., įrodykite, kad esant tiesiniam tolygiai pagreitintam judėjimui be pradinio greičio, kelias l išreiškiamas pagreičio moduliu a ir judėjimo laiku t formule.

Pagrindinė išvada:

Esant tiesiam tolygiai pagreitėjusiam judėjimui be pradinio greičio, kūno nuvažiuotas atstumas yra proporcingas judėjimo laiko kvadratui.

Tokiu būdu tolygiai pagreitintas judėjimas labai skiriasi nuo vienodo judėjimo.

6.4 paveiksle pavaizduoti dviejų kūnų kelio ir laiko grafikai, kurių vienas juda tolygiai, o kitas tolygiai įsibėgėja be pradinio greičio.

2. Pažvelkite į 6.4 pav. ir atsakykite į klausimus.
a) Kokios spalvos yra vienodu pagreičiu judančio kūno grafikas?
b) Koks šio kūno pagreitis?
c) Kokie yra kūnų greičiai tuo momentu, kai jie įveikė tą patį kelią?
d) Kuriuo laiko momentu kūnų greičiai yra lygūs?

3. Išvykęs automobilis per pirmąsias 4 s įveikė 20 m atstumą. Neskaičiuodami automobilio pagreičio, nustatykite, kiek toli automobilis nuvažiuos:
a) per 8 s? b) per 16 s? c) per 2 s?

Dabar suraskime poslinkio sx projekcijos priklausomybę nuo laiko. Šiuo atveju pagreičio projekcija į x ašį yra teigiama, taigi sx = l, ax = a. Taigi iš (2) formulės seka:

sx = axt2/2. (3)

Formulės (2) ir (3) yra labai panašios, todėl kartais atsiranda klaidų sprendžiant paprastos užduotys. Faktas yra tas, kad poslinkio projekcijos vertė gali būti neigiama. Taip atsitiks, jei x ašis nukreipta priešinga poslinkiui: tada sx< 0. А путь отрицательным быть не может!

4. 6.5 paveiksle pavaizduoti tam tikro kūno kelionės laiko ir poslinkio projekcijos grafikai. Kokios spalvos yra poslinkio projekcijos grafikas?

Pradinis kūno greitis nėra lygus nuliui

Prisiminkime, kad šiuo atveju greičio projekcijos priklausomybė nuo laiko išreiškiama formule

vx = v0x + axt, (4)

čia v0x yra pradinio greičio projekcija į x ašį.

Toliau nagrinėsime atvejį, kai v0x > 0, ax > 0. Šiuo atveju vėl galime pasinaudoti tuo, kad kelias skaitine prasme lygus figūros plotui po greičio ir laiko grafiku. (Pats apsvarstykite kitus pradinio greičio ir pagreičio projekcijos ženklų derinius: rezultatas bus toks pat bendroji formulė (5).

6.6 paveiksle parodytas vx(t) grafikas, kai v0x > 0, ax > 0.

5. Naudodamiesi 6.6 pav., įrodykite, kad esant tiesiniam tolygiai pagreitintam judėjimui pradiniu greičiu, poslinkio projekcija

sx = v0x + axt2/2.

Ši formulė leidžia rasti kūno x koordinatės priklausomybę nuo laiko. Prisiminkime (žr. formulę (6), § 2), kad kūno koordinatė x yra susijusi su jo poslinkio sx projekcija ryšiu

kur x0 yra pradinė kūno koordinatė. Vadinasi,

x = x0 + sx, (6)

Iš (5), (6) formulių gauname:

x = x0 + v0xt + axt2/2. (7)

6. Tam tikro kūno, judančio x ašimi, koordinatės priklausomybė nuo laiko išreiškiama SI vienetais formule x = 6 – 5t + t2.
a) Kokia yra pradinė kūno koordinatė?
b) Kokia pradinio greičio projekcija į x ašį?
c) Kokia yra pagreičio projekcija x ašyje?
d) Nubraižykite x koordinatės ir laiko grafiką.
e) Nubraižykite projektuojamo greičio ir laiko grafiką.
f) Kuriuo momentu kūno greitis lygus nuliui?
g) Ar kūnas grįš į pradinį tašką? Jei taip, kuriuo (-iais) laiko momentu (-iais)?
h) Ar kūnas praeis per pradinę vietą? Jei taip, kuriuo (-iais) laiko momentu (-iais)?
i) Nubraižykite poslinkio projekcijos ir laiko grafiką.
j) Nubraižykite atstumo ir laiko grafiką.

3. Kelio ir greičio ryšys

Sprendžiant uždavinius dažnai naudojami ryšiai tarp kelio, pagreičio ir greičio (pradinis v0, galutinis v arba abu). Išveskime šiuos santykius. Pradėkime nuo judėjimo be pradinio greičio. Iš (1) formulės gauname judėjimo laiką:

Pakeiskime šią išraišką kelio formule (2):

l = at2/2 = a/2(v/a)2 = v2/2a. (9)

Pagrindinė išvada:

tiesiame tolygiai pagreitintame judėjime be pradinio greičio, kūno nuvažiuotas atstumas yra proporcingas kvadratui galutinis greitis.

7. Išvykęs automobilis 40 m atstumu padidino 10 m/s greitį. Neskaičiuojant automobilio pagreičio, nustatykite, kiek toli nuo judėjimo pradžios nuvažiavo automobilis, kai jo greitis buvo lygus: a) 20 m/s? b) 40 m/s? c) 5 m/s?

Santykį (9) taip pat galima gauti prisiminus, kad kelias skaitine prasme yra lygus figūros, esančios po greičio ir laiko grafiku (6.7 pav.), plotui.

Šis svarstymas padės lengvai susidoroti su kita užduotimi.

8. Naudodamiesi 6.8 pav., įrodykite, kad stabdant pastoviu pagreičiu, kūnas nuvažiuoja atstumą lт = v02/2a iki visiško sustojimo, kur v0 – pradinis kūno greitis, a – pagreičio modulis.

Stabdymo atveju transporto priemonė(automobilyje, traukinyje) nuvažiuotas atstumas iki visiško sustojimo vadinamas stabdymo keliu. Atkreipkite dėmesį: stabdymo kelias esant pradiniam greičiui v0 ir greitėjimo metu nuvažiuotas atstumas nuo sustojimo iki greičio v0 su tuo pačiu pagreičiu a yra vienodi.

9. Avarinio stabdymo metu ant sauso asfalto automobilio pagreitis absoliučia reikšme lygus 5 m/s2. Koks yra automobilio stabdymo kelias važiuojant pradiniu greičiu: a) 60 km/h (didžiausias leistinas greitis mieste); b) 120 km/h? Raskite stabdymo kelią esant nurodytam greičiui ledo sąlygomis, kai pagreičio modulis yra 2 m/s2. Palyginkite rastą stabdymo kelią su klasės ilgiu.

10. Naudodami 6.9 pav. ir formulę, išreiškiančią trapecijos plotą per jos aukštį ir pusę pagrindų sumos, įrodykite, kad tiesiniam tolygiai pagreitintam judėjimui:
a) l = (v2 – v02)/2a, jei kūno greitis didėja;
b) l = (v02 – v2)/2a, jei kūno greitis mažėja.

11. Įrodykite, kad poslinkio, pradinio ir galutinio greičio, taip pat pagreičio projekcijos yra susijusios ryšiu

sx = (vx2 – v0x2) / 2ax (10)

12. Automobilis 200 m kelionėje įsibėgėjo nuo 10 m/s iki 30 m/s.
a) Kaip greitai važiavo automobilis?
b) Kiek laiko užtruko keliauti automobiliu? nurodytas kelias?
c) Koks vidutinis automobilio greitis?

Papildomi klausimai ir užduotys

13. Paskutinis vagonas atkabinamas nuo važiuojančio traukinio, po kurio traukinys juda tolygiai, o vagonas juda pastoviu pagreičiu, kol visiškai sustoja.
a) Ant vieno brėžinio nubraižykite traukinio ir vagono greičio ir laiko grafikus.
b) Kiek kartų atstumą įveikia automobilis iki stotelės? mažiau būdas keliavo traukiniu per tą patį laiką?

14. Traukinys, išvažiavęs iš stoties, kurį laiką važiavo tolygiai įsibėgėjęs, po to 1 minutę – tolygiai 60 km/h greičiu, po to vėl tolygiai įsibėgėjo, kol sustojo kitoje stotyje. Pagreičio moduliai greitėjimo ir stabdymo metu buvo skirtingi. Atstumą tarp stočių traukinys įveikė per 2 minutes.
a) Nubraižykite traukinio greičio projekcijos, kaip laiko funkcijos, scheminį grafiką.
b) Naudodamiesi šiuo grafiku raskite atstumą tarp stočių.
c) Kokį atstumą nuvažiuotų traukinys, jei pirmoje maršruto atkarpoje pagreitėtų, o antroje – sulėtintų? Koks būtų didžiausias jo greitis?

15. Kūnas juda tolygiai pagreitintas išilgai x ašies. Pradiniu momentu jis buvo koordinačių pradžioje, o jo greičio projekcija buvo lygi 8 m/s. Po 2 s kūno koordinatė tapo 12 m.
a) Kokia yra kūno pagreičio projekcija?
b) Nubraižykite vx(t) grafiką.
c) Parašykite formulę, išreiškiančią priklausomybę x(t) SI vienetais.
d) Ar kūno greitis bus lygus nuliui? Jei taip, kokiu metu?
e) Ar kūnas aplankys tašką, kurio koordinatė yra 12 m, antrą kartą? Jei taip, kokiu metu?
f) Ar kūnas grįš į pradinį tašką? Jei taip, tai kokiu momentu ir koks bus nuvažiuotas atstumas?

16. Po stūmimo kamuolys rieda aukštyn pasvirusi plokštuma, po kurio jis grįžta į pradinį tašką. Rutulys buvo atstumu b nuo pradinio taško du kartus laiko intervalais t1 ir t2 po stūmimo. Rutulys judėjo aukštyn ir žemyn palei pasvirusią plokštumą tuo pačiu pagreičiu.
a) Nukreipkite x ašį į viršų išilgai pasvirusios plokštumos, pasirinkite pradinę rutulio padėtį ir parašykite formulę, išreiškiančią priklausomybę x(t), kuri apima rutulio pradinio greičio modulį v0 ir modulį. rutulio pagreičio a.
b) Naudodami šią formulę ir tai, kad rutulys buvo atstumu b nuo pradžios taško momentais t1 ir t2, sukurkite dviejų lygčių sistemą su dviem nežinomaisiais v0 ir a.
c) Išsprendę šią lygčių sistemą, v0 ir a išreikškite b, t1 ir t2 terminais.
d) Išreikškite visą rutulio nueitą kelią l dydžiais b, t1 ir t2.
e) Raskite v0, a ir l skaitines reikšmes, kai b = 30 cm, t1 = 1s, t2 = 2s.
f) Nubraižykite vx(t), sx(t), l(t) grafikus.
g) Naudodami sx(t) grafiką nustatykite momentą, kai rutulio poslinkio modulis buvo didžiausias.

1. Momentinis greitis

Šiame skyriuje apžvelgsime netolygus judėjimas. Tačiau šiuo atveju mums reikės to, ką žinome apie tiesinį vienodą judėjimą.

4.1 paveiksle pavaizduotos greitėjančio automobilio padėtys tiesiame greitkelyje su 1 s laiko intervalu. Rodyklė nukreipta į galinio vaizdo veidrodį, kurio padėtį nagrinėsime toliau išsamiau.

Matome, kad vienodais laiko intervalais automobilis važiuoja skirtingais keliais, tai yra juda netolygiai.

Pasirodo, kad bet koks judėjimas (net ir kreivinis) turi šią nuostabią savybę: jei svarstysime jį per pakankamai trumpą laikotarpį Δt, tai labai panašu į tiesinį tolygų judėjimą! Be to, kuo trumpesnis laikotarpis, tuo didesnis panašumas.

Kūno greitis per pakankamai trumpą laiko tarpą vadinamas jo greičiu tam tikru laiko momentu t, jei šis laiko momentas yra intervale Δt. O tikslesnis jo pavadinimas – momentinis greitis.

Kiek trumpas turi būti laiko intervalas Δt, kad per šį intervalą kūno judėjimas būtų laikomas tiesiu ir vienodu, priklauso nuo kūno judėjimo pobūdžio.

1. Naudodamiesi 4.2 pav., nustatykite momentinį automobilio greitį. Paimkite automobilio ilgį 5 m.

Automobilio momentinio greičio reikšmę parodo spidometras (4.3 pav.).

Kaip rasti momentinį greitį iš koordinačių ir laiko grafiko

4.4 paveiksle parodytas automobilio, važiuojančio tiesia greitkeliu, koordinačių ir laiko grafikas.

Matome, kad jis juda netolygiai, nes jo koordinačių ir laiko grafikas yra kreivė, o ne tiesi atkarpa.

Parodykime, kaip iš šio grafiko nustatyti momentinį automobilio greitį bet kuriuo laiko momentu – tarkime, esant t = 3 s (taškas grafike).

Norėdami tai padaryti, apsvarstykite automobilio judėjimą per tokį trumpą laikotarpį, per kurį jo judėjimas gali būti laikomas linijiniu ir vienodu.

4.5 paveiksle parodyta grafiko dalis, kuri mus domina dešimteriopai padidėjus (žr., pavyzdžiui, laiko skalę).

2. Koks momentinis automobilio greitis momentu t = 3 s?

Taigi, momentinis kūno greitis gali būti vertinamas pagal koordinatės ir laiko grafiko liestinės kampinį koeficientą: kuo didesnis liestinės kampinis koeficientas, tuo didesnis kūno greitis. (Aprašytas momentinio greičio nustatymo metodas, naudojant koordinatės priklausomybės nuo laiko grafiko liestinę, siejamas su funkcijos išvestinės samprata. Šią sąvoką studijuosite kurse „Algebra ir aialis pradžia. ) O tuose grafiko taškuose, kur liestinės polinkio kampas lygus nuliui, tada yra liestinė, lygiagreti laiko ašiai t, momentinis kūno greitis lygus nuliui.

3. Apsvarstykite 4.6 pav.
a) Kuriuose grafiko taškuose liestinės polinkio kampas yra didžiausias? mažiausiai?
b) Raskite didžiausią ir mažiausią momentinį automobilio greitį per pirmąsias 6 jo judėjimo sekundes.

2. Vidutinis greitis

Daugelis problemų naudoja vidutinį greitį, susijusį su nuvažiuotu atstumu:

vav = l/t. (1)

Tokiu būdu apibrėžtas vidutinis greitis yra skaliarinis dydis, nes kelias yra skaliarinis dydis. (Kartais, siekiant išvengti painiavos, jis vadinamas vidutiniu važiavimo greičiu.)

Pavyzdžiui, jei automobilis 120 km važiavo po miestą tris valandas (tuo pačiu metu galėjo įsibėgėti, stabdyti ir sustoti sankryžose), tai jo vidutinis greitis yra 40 km/val.

4. Kiek sumažės ką tik paminėto automobilio vidutinis greitis, jei bendras vairavimo laikas dėl eismo sustojimų pailgės 1 val.

Vidutinis greitis dviejose eismo atkarpose

Daugelyje problemų kūno judėjimas nagrinėjamas dviejose srityse, kurių kiekvienoje judėjimas gali būti laikomas vienodu. Šiuo atveju pagal vidutinio greičio apibrėžimą (1) galime parašyti:

vav = (l1 + l2)/(t1 + t2), (2)

5. Rasti:
a) Sasha nueitas kelias viso judėjimo metu;
b) bendras Sašos judėjimo laikas;
c) Sašos vidutinis greitis.

Nagrinėjamu atveju vidutinis greitis pasirodė lygus greičių, kuriais Sasha važiavo ir ėjo, aritmetiniam vidurkiui. Ar tai visada sąžininga? Apsvarstykite toliau pateiktą pavyzdį.
Leiskite Sašai valandą važiuoti dviračiu 15 km/h greičiu, o paskui tą patį atstumą nueiti pėsčiomis 5 km/h greičiu.

6. Rasti:
a) kelias, kuriuo Sasha ėjo pėsčiomis;
b) Sašos nueitas kelias viso judėjimo metu;
c) bendras Sašos judėjimo laikas;
b) Sašos vidutinis greitis.

7. Palyginkite laiko periodus, per kuriuos Sasha vairavo ir ėjo pirmuoju ir antruoju atveju.

Apibendrinkime aukščiau aptartas situacijas.

Pirmiausia panagrinėkime atvejį, kai kūnas vienodą laiką judėjo skirtingu greičiu.

Galite: norėdami tai padaryti, įvedame visų mums reikalingų kiekių žymes, neatsižvelgiant į tai, ar jie žinomi, ar nežinomi. Tai yra įprasta daugelio problemų sprendimo technika.

Visą judėjimo laiką pažymėkime t, visą kelią – l, o kelius, nueitus per pirmąją ir antrąją judėjimo laiko pusę, atitinkamai – l1 ir l2.

8. Išreikškite v1, v2 ir t:
a) l1 ir l2; b) l; c) vidutinis greitis.

Radę atsakymus į šiuos klausimus, sužinosite, ar teisingas teiginys bendruoju atveju: jei kūnas judėjo dviem atkarpomis skirtingais greičiais vienodą laiką, tai jo vidutinis greitis visame kelyje yra lygus judėjimo greičių dviejose atkarpose aritmetinis vidurkis.

Dabar panagrinėkime atvejį, kai kūnas judėjo skirtingu greičiu pirmoje ir antroje kelio pusėje.

9. Išreikškite v1, v2 ir l:
a) t1 ir t2; b) t; c) vidutinis greitis.

Atsakydami į šiuos klausimus sužinosite, ar teisingas teiginys bendruoju atveju: jei kūnas judėjo per dvi vienodo ilgio atkarpas skirtingais greičiais, tai jo vidutinis greitis visame kelyje nėra lygus šių aritmetiniam vidurkiui. greičius.

11. Pirmoje tako atkarpoje kūnas judėjo greičiu v1, o antroje – greičiu v2. Koks yra šių atkarpų ilgių santykis, jei vidutinis judėjimo greitis yra lygus v1 ir v2 aritmetiniam vidurkiui?

Papildomi klausimai ir užduotys

12. Trečdalį viso laiko traukinys važiavo v1 greičiu, likusį laiką v2 greičiu.
a) Išreikškite traukinio nuvažiuotą atstumą v1, v2 ir visu kelionės laiku t.
b) Išreikškite vidutinį traukinio greitį v1 ir v2.
c) Raskite vidutinio greičio skaitinę reikšmę, kai v1 = 60 km/h, v2 = 90 km/h.

Tris ketvirtadalius viso atstumo automobilis nuvažiavo v1 greičiu, o likusią kelionės dalį – v2 greičiu.
a) Išreikškite visą automobilio judėjimo laiką v1, v2 ir visu nuvažiuotu atstumu l.
b) Išreikškite vidutinį automobilio greitį v1 ir v2.
c) Raskite vidutinio greičio skaitinę reikšmę, kai v1 = 80 km/h, v2 = 100 km/h.

14. Automobilis važiavo 2 valandas 60 km/h greičiu. Kiek laiko po to jis turi važiuoti 80 km/h greičiu, kad jo vidutinis greitis per visą kelionę būtų lygus 66,7 km/h?