Racionaliųjų lygčių sprendimo taisyklės. Racionalios lygtys

« Racionalios lygtys su daugianariais“ yra viena iš dažniausiai pasitaikančių temų testo užduotys Vieningas valstybinis matematikos egzaminas. Dėl šios priežasties verta juos pakartoti ypatingas dėmesys. Daugelis studentų susiduria su problema rasti diskriminantą, perkelti rodiklius iš dešinės pusės į kairę ir suvesti lygtį į bendras vardiklis, todėl sunku atlikti tokias užduotis. Racionalių lygčių sprendimas ruošiantis vieningam valstybiniam egzaminui mūsų svetainėje padės greitai susidoroti su bet kokio sudėtingumo problemomis ir sėkmingai išlaikyti testą.

Norėdami sėkmingai pasiruošti vieningajam matematikos egzaminui, rinkitės švietimo portalą Shkolkovo!

Norėdami sužinoti nežinomųjų skaičiavimo taisykles ir lengvai gauti teisingus rezultatus, naudokite mūsų internetinę paslaugą. Shkolkovo portalas yra unikali platforma, kurioje yra viskas, ko reikia pasiruošti Vieningo valstybinio egzamino medžiaga. Mūsų mokytojai susistemino ir pristatė į suprantama forma Visi matematines taisykles. Be to, kviečiame moksleivius išbandyti savo jėgas sprendžiant standartines racionaliąsias lygtis, kurių pagrindas nuolat atnaujinamas ir plečiamas.

Norint efektyviau pasiruošti bandymams, rekomenduojame vadovautis mūsų specialus metodas ir pradėkite kartodami taisykles ir sprendimus paprastos užduotys, palaipsniui pereinant prie sudėtingesnių. Taigi, absolventas galės labiausiai išryškinti save sunkiomis temomis ir sutelkti dėmesį į jų tyrimą.

Pradėkite ruoštis paskutiniam išbandymui su Shkolkovo šiandien, o rezultatai netruks laukti! Pasirinkite labiausiai lengvas pavyzdys iš siūlomų. Jei greitai įvaldėte posakį, pereikite prie daugiau sunki užduotis. Taip galite patobulinti savo žinias iki USE matematikos uždavinių sprendimo specializuotu lygiu.

Mokytis gali ne tik absolventai iš Maskvos, bet ir moksleiviai iš kitų miestų. Pavyzdžiui, skirkite porą valandų per dieną studijuodami mūsų portale ir labai greitai galėsite susidoroti su bet kokio sudėtingumo lygtimis!

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai svetainėje pateikiate užklausą, galime surinkti įvairios informacijos, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalius pasiūlymus, akcijas ir kitus renginius bei artėjančius renginius.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Šiame straipsnyje aš jums parodysiu septynių tipų racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmai, kuris keičiant kintamuosius gali būti sumažintas iki kvadratinio. Daugeliu atvejų transformacijos, lemiančios pakeitimą, yra labai nereikšmingos, ir gana sunku apie jas atspėti savarankiškai.

Kiekvienam lygties tipui paaiškinsiu, kaip joje pakeisti kintamąjį, o tada parodysiu išsamų sprendimą atitinkamame vaizdo įrašo vadove.

Jūs turite galimybę toliau spręsti lygtis patys, o tada patikrinti savo sprendimą vaizdo pamokoje.

Taigi pradėkime.

1 . (x-1) (x-7) (x-4) (x+2) = 40

Atkreipkite dėmesį, kad kairėje lygties pusėje yra keturių skliaustų sandauga, o dešinėje - skaičius.

1. Sugrupuokime skliaustus po du, kad laisvųjų terminų suma būtų vienoda.

2. Padauginkite juos.

3. Įveskime kintamojo kaitą.

Savo lygtyje pirmąjį skliaustą sugrupuosime su trečiuoju, o antrąjį su ketvirtuoju, nes (-1)+(-4)=(-7)+2:

Šiuo metu kintamojo pakeitimas tampa akivaizdus:

Gauname lygtį

Atsakymas:

2 .

Šio tipo lygtis yra panaši į ankstesnę su vienu skirtumu: dešinėje lygties pusėje yra skaičiaus ir sandauga. Ir tai išspręsta visiškai kitaip:

1. Sugrupuojame skliaustus po du, kad laisvųjų terminų sandauga būtų vienoda.

2. Padauginkite kiekvieną skliaustų porą.

3. Iš kiekvieno faktoriaus išimame x.

4. Padalinkite abi lygties puses iš .

5. Įvedame kintamojo kaitą.

Šioje lygtyje pirmąjį skliaustą sugrupuojame su ketvirtuoju, o antrąjį su trečiuoju, nes:

Atkreipkite dėmesį, kad kiekviename skliaustelyje yra ir koeficientas laisvas narys identiški. Iš kiekvieno skliausto išimkime veiksnį:

Kadangi x=0 nėra pradinės lygties šaknis, abi lygties puses padalijame iš . Mes gauname:

Gauname lygtį:

Atsakymas:

3 .

Atkreipkite dėmesį, kad abiejų trupmenų vardikliai yra kvadratiniai trinariai, kurių pirmaujantis koeficientas ir laisvasis terminas yra vienodi. Išimkime x iš skliausto, kaip ir antrojo tipo lygtyje. Mes gauname:

Kiekvienos trupmenos skaitiklį ir vardiklį padalykite iš x:

Dabar galime įvesti kintamąjį pakeitimą:

Gauname kintamojo t lygtį:

4 .

Atkreipkite dėmesį, kad lygties koeficientai yra simetriški centrinės atžvilgiu. Ši lygtis vadinama grąžinamas .

Norėdami tai išspręsti,

1. Padalinkite abi lygties puses iš (Tai galime padaryti, nes x=0 nėra lygties šaknis.) Gauname:

2. Sugrupuokime terminus taip:

3. Kiekvienoje grupėje iš skliaustų išimkime bendrą veiksnį:

4. Pristatykime pakeitimą:

5. Išreikškite per t išraišką:

Iš čia

Gauname t lygtį:

Atsakymas:

5. Homogeninės lygtys.

Su lygtimis, kurios turi vienalytę struktūrą, galima susidurti sprendžiant eksponentinę, logaritminę ir trigonometrines lygtis, todėl jūs turite mokėti jį atpažinti.

Homogeninės lygtys turi tokią struktūrą:

Šioje lygybėje A, B ir C yra skaičiai, o kvadratas ir apskritimas žymi identiškas išraiškas. Tai yra, kairėje homogeninės lygties pusėje yra monomijų suma, tas pats laipsnis(V šiuo atveju monomijų laipsnis yra 2), o laisvo termino nėra.

Norėdami nuspręsti vienalytė lygtis, padalinkite abi puses iš

Dėmesio! Dalijant dešinę ir kairę lygties puses iš išraiškos, kurioje yra nežinomasis, galite prarasti šaknis. Todėl reikia patikrinti, ar išraiškos, kuria dalijame abi lygties puses, šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Eikime pirmu keliu. Gauname lygtį:

Dabar pristatome kintamąjį pakeitimą:

Supaprastinkime išraišką ir gaukime bikvadratinė lygtis palyginti su t:

Atsakymas: arba

7 .

Ši lygtis turi tokią struktūrą:

Norėdami tai išspręsti, turite pasirinkti visą kvadratą kairėje lygties pusėje.

Norėdami pasirinkti visą kvadratą, turite pridėti arba atimti du kartus sandaugą. Tada gauname sumos arba skirtumo kvadratą. Tai labai svarbu norint sėkmingai pakeisti kintamąjį.

Pradėkime surasdami dvigubai didesnį produktą. Tai bus raktas į kintamojo pakeitimą. Mūsų lygtyje du kartus sandauga yra lygi

Dabar išsiaiškinkime, ką mums patogiau turėti - sumos kvadratą ar skirtumą. Pirmiausia apsvarstykime išraiškų sumą:

Puiku! Ši išraiška lygi dvigubai sandaugai. Tada, norėdami gauti sumos kvadratą skliausteliuose, turite pridėti ir atimti dvigubą sandaugą:

Kalbėkime toliau apie sprendžiant lygtis. Šiame straipsnyje mes išsamiai aptarsime racionalios lygtys ir racionaliųjų lygčių su vienu kintamuoju sprendimo principus. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokio tipo lygtys vadinamos racionaliosiomis, apibrėžkime visas racionaliąsias ir trupmenines racionaliąsias lygtis ir pateikime pavyzdžių. Toliau gausime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmus ir, žinoma, apsvarstysime sprendimus tipiniai pavyzdžiai su visais reikalingais paaiškinimais.

Puslapio naršymas.

Remdamiesi nurodytais apibrėžimais, pateikiame keletą racionalių lygčių pavyzdžių. Pavyzdžiui, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , yra racionalios lygtys.

Iš pateiktų pavyzdžių aišku, kad racionalios lygtys, kaip ir kitų tipų lygtys, gali būti su vienu kintamuoju arba su dviem, trimis ir pan. kintamieji. Tolesnėse pastraipose kalbėsime apie racionaliųjų lygčių sprendimą su vienu kintamuoju. Dviejų kintamųjų lygčių sprendimas ir juos didelis skaičius nusipelno ypatingo dėmesio.

Be to, kad racionalios lygtys dalijamos iš nežinomų kintamųjų skaičiaus, jos taip pat skirstomos į sveikuosius ir trupmeninius. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Racionalioji lygtis vadinama visa, jei jo kairioji ir dešinioji pusės yra sveikųjų skaičių racionalios išraiškos.

Apibrėžimas.

Jei bent viena iš racionaliosios lygties dalių yra trupmeninė išraiška, tada ši lygtis vadinama trupmeniškai racionalus(arba trupmeninis racionalus).

Aišku, kad visose lygtyse nėra dalybos iš kintamojo, priešingai, trupmeninėse racionaliosiose lygtyse būtinai yra dalijimas iš kintamojo (arba kintamojo vardiklyje). Taigi 3 x+2=0 ir (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– tai ištisos racionalios lygtys, abi jų dalys yra vientisos išraiškos. A ir x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 yra trupmeninių racionaliųjų lygčių pavyzdžiai.

Baigdami šį klausimą, atkreipkime dėmesį į tai, kad iki šiol žinomos tiesinės ir kvadratinės lygtys yra ištisos racionalios lygtys.

Spręsti visas lygtis

Vienas iš pagrindinių ištisų lygčių sprendimo būdų yra jas sumažinti iki lygiaverčių algebrines lygtis. Tai visada galima padaryti atliekant tokias lygiavertes lygties transformacijas:

• pirma, išraiška iš dešinės pradinės sveikųjų skaičių lygties pusės perkeliama į kairę pusę su priešingas ženklas gauti nulį dešinėje pusėje;
• po to kairėje lygties pusėje gaunama standartinis vaizdas.

Rezultatas yra algebrinė lygtis, kuri yra lygiavertė pradinei sveikųjų skaičių lygčiai. Taigi daugiausia paprasti atvejai ištisų lygčių sprendimas redukuojamas į tiesinių arba kvadratinių lygčių sprendimą, ir in bendras atvejis– išspręsti n laipsnio algebrinę lygtį. Kad būtų aiškumo, pažvelkime į pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Raskite visos lygties šaknis 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Sprendimas.

Visos šios lygties sprendinį sumažinkime iki ekvivalentinės algebrinės lygties sprendinio. Norėdami tai padaryti, pirmiausia perkeliame išraišką iš dešinės pusės į kairę, todėl gauname lygtį 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Ir, antra, kairėje pusėje suformuotą išraišką paverčiame standartinės formos polinomu, užpildydami būtiną: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x −9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Taigi pradinės sveikųjų skaičių lygties sprendinys sumažinamas iki sprendinio kvadratinė lygtis x 2 −5 x−6=0 .

Apskaičiuojame jo diskriminantą D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ji yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis, kurias randame naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę:

Kad būtume visiškai tikri, padarykime tai tikrinant rastas lygties šaknis. Pirmiausia patikriname šaknį 6, pakeiskite ją vietoj kintamojo x pradinėje sveikojo skaičiaus lygtyje: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, kuris yra tas pats, 63=63. Tai galiojanti skaitinė lygtis, todėl x=6 iš tikrųjų yra lygties šaknis. Dabar mes patikriname šaknį −1, turime 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, iš kur, 0=0 . Esant x=−1 pradinė lygtis taip pat virto tikrąja skaitine lygybe, todėl x=−1 taip pat yra lygties šaknis.

Atsakymas:

6 , −1 .

Čia taip pat reikėtų pažymėti, kad terminas „visos lygties laipsnis“ yra susijęs su visos lygties vaizdavimu algebrinės lygties pavidalu. Pateikiame atitinkamą apibrėžimą:

Apibrėžimas.

Visos lygties galia vadinamas ekvivalentinės algebrinės lygties laipsniu.

Pagal šį apibrėžimą visa ankstesnio pavyzdžio lygtis turi antrąjį laipsnį.

Tai galėjo būti visų racionalių lygčių sprendimo pabaiga, jei ne vienas dalykas…. Kaip žinoma, aukštesnio nei antrojo laipsnio algebrinių lygčių sprendimas yra susijęs su dideliais sunkumais, o aukštesnio nei ketvirtojo laipsnio lygtims nėra bendrosios formulėsšaknys. Todėl išspręsti visas trečiosios, ketvirtosios ir daugiau lygtis aukšti laipsniai Dažnai tenka griebtis kitų sprendimo būdų.

Tokiais atvejais požiūris į ištisas racionalias lygtis, pagrįstas faktorizavimo metodas. Tokiu atveju laikomasi šio algoritmo:

• pirma, jie užtikrina, kad dešinėje lygties pusėje būtų nulis, kad tai padarytų, jie perkelia išraišką iš dešinės visos lygties pusės į kairę;
• tada gauta išraiška kairėje pusėje pateikiama kaip kelių veiksnių sandauga, leidžianti pereiti prie kelių paprastesnių lygčių rinkinio.

Pateiktas algoritmas, skirtas išspręsti visą lygtį per faktorizavimą, reikalauja išsamaus paaiškinimo naudojant pavyzdį.

Pavyzdys.

Išspręskite visą lygtį (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Sprendimas.

Pirmiausia, kaip įprasta, išraišką perkeliame iš dešinės pusės į kairę lygties pusę, nepamirštant pakeisti ženklo, gauname (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Čia visiškai akivaizdu, kad nepatartina gautos lygties kairiosios pusės transformuoti į standartinės formos daugianarį, nes taip bus gauta ketvirtojo formos laipsnio algebrinė lygtis. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, kurio sprendimas yra sunkus.

Kita vertus, akivaizdu, kad gautos lygties kairėje pusėje galime x 2 −10 x+13 , taip pateikdami ją kaip sandaugą. Turime (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Gauta lygtis yra lygi originaliai visai lygčiai ir, savo ruožtu, gali būti pakeista dviejų kvadratinių lygčių rinkiniu x 2 −10·x+13=0 ir x 2 −2·x−1=0. Jų šaknų radimas pagal žinomos formulėsšaknys per diskriminantą nėra sunku, šaknys yra lygios. Jie yra norimos pradinės lygties šaknys.

Atsakymas:

Taip pat naudinga sprendžiant visas racionalias lygtis naujo kintamojo įvedimo metodas. Kai kuriais atvejais tai leidžia pereiti prie lygčių, kurių laipsnis yra mažesnis už pradinės visos lygties laipsnį.

Pavyzdys.

Raskite tikrąsias racionalios lygties šaknis (x 2 +3 x+1) 2 +10 = -2 (x 2 +3 x -4).

Sprendimas.

Visą šią racionalią lygtį redukuoti į algebrinę lygtį, švelniai tariant, nėra labai gera mintis, nes tokiu atveju prireiks išspręsti ketvirtojo laipsnio lygtį, kuri neturi racionalios šaknys. Todėl teks ieškoti kito sprendimo.

Čia nesunku pastebėti, kad galite įvesti naują kintamąjį y ir juo pakeisti išraišką x 2 +3·x. Šis pakeitimas veda į visą lygtį (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , kuri, perkėlus išraišką −2·(y−4) į kairę pusę ir vėliau pakeitus išraišką ten suformuota, redukuojama į kvadratinę lygtį y 2 +4·y+3=0. Šios lygties y=−1 ir y=−3 šaknis rasti nesunku, pavyzdžiui, jas galima pasirinkti remiantis teorema, atvirkštine Vietos teoremai.

Dabar pereiname prie antrosios naujo kintamojo įvedimo metodo dalies, tai yra, prie atvirkštinio pakeitimo. Atlikę atvirkštinį keitimą, gauname dvi lygtis x 2 +3 x=−1 ir x 2 +3 x=−3, kurias galima perrašyti į x 2 +3 x+1=0 ir x 2 +3 x+3 =0. Naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę, randame pirmosios lygties šaknis. O antroji kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, nes jos diskriminantas yra neigiamas (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Atsakymas:

Apskritai, kai susiduriame su ištisomis aukštų laipsnių lygtimis, visada turime būti pasirengę ieškoti nestandartinis metodas arba dirbtiniu būdu joms išspręsti.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Pirma, bus naudinga suprasti, kaip išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis formos , kur p(x) ir q(x) yra sveikosios racionalios išraiškos. Ir tada parodysime, kaip kitų trupmeniškai racionalių lygčių sprendinį redukuoti į nurodyto tipo lygčių sprendinį.

Vienas iš lygties sprendimo būdų yra pagrįstas kitas pareiškimas: skaitinė trupmena u/v , kur v yra ne nulis skaičius (kitaip susidursime su , kuris yra neapibrėžtas), yra lygus nuliui tada ir tik tada, jei jo skaitiklis lygus nuliui, tai yra, tada ir tik tada, kai u = 0. Remiantis šiuo teiginiu, lygties sprendimas sumažinamas iki dviejų sąlygų p(x)=0 ir q(x)≠0.

Ši išvada atitinka toliau pateiktą trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti trupmeninę racionaliąją formos lygtį, jums reikia

• išspręsti visą racionaliąją lygtį p(x)=0 ;
• ir patikrinkite, ar kiekvienos rastos šaknies sąlyga q(x)≠0 tenkinama, o
• jei tiesa, tai ši šaknis yra pradinės lygties šaknis;
• jei ji netenkinama, tai ši šaknis yra pašalinė, tai yra, ji nėra pradinės lygties šaknis.

Pažiūrėkime į paskelbto algoritmo panaudojimo pavyzdį sprendžiant trupmeninę racionaliąją lygtį.

Pavyzdys.

Raskite lygties šaknis.

Sprendimas.

Tai trupmeninė racionali lygtis, kurios formos p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Pagal šio tipo trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą pirmiausia reikia išspręsti lygtį 3 x−2=0. Tai tiesinė lygtis, kurios šaknis x=2/3.

Belieka patikrinti šią šaknį, tai yra patikrinti, ar ji tenkina sąlygą 5 x 2 −2≠0. Išraiškoje 5 x 2 −2 vietoj x pakeičiame skaičių 2/3 ir gauname . Sąlyga įvykdyta, todėl x=2/3 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas:

2/3 .

Galite išspręsti trupmeninę racionaliąją lygtį iš šiek tiek kitos padėties. Ši lygtis yra lygiavertė sveikojo skaičiaus lygčiai p(x)=0 pradinės lygties kintamajame x. Tai yra, galite laikytis to trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas :

• išspręsti lygtį p(x)=0 ;
• rasti kintamojo x ODZ;
• įleisti šaknis, priklausančias vietovei priimtinos vertės, – tai norimos pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys.

Pavyzdžiui, naudodamiesi šiuo algoritmu išspręskime trupmeninę racionaliąją lygtį.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Pirmiausia išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2 −2·x−11=0. Jo šaknis galima apskaičiuoti naudojant lyginio antrojo koeficiento šaknies formulę, kurią turime D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Ir.

Antra, randame pradinės lygties kintamojo x ODZ. Jį sudaro visi skaičiai, kurių x 2 +3·x≠0, kuris yra toks pat kaip x·(x+3)≠0, iš kur x≠0, x≠−3.

Belieka patikrinti, ar pirmame žingsnyje rastos šaknys yra įtrauktos į ODZ. Akivaizdu, kad taip. Todėl pradinė trupmeninė racionali lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad šis metodas yra pelningesnis nei pirmasis, jei ODZ lengva rasti, ir ypač naudingas, jei, pavyzdžiui, lygties p(x) = 0 šaknys yra neracionalios arba racionalios, bet su gana dideliu skaitikliu ir /arba vardiklis, pavyzdžiui, 127/1101 ir −31/59. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais norint patikrinti sąlygą q (x)≠0, reikės didelių skaičiavimo pastangų, o pašalines šaknis lengviau pašalinti naudojant ODZ.

Kitais atvejais, sprendžiant lygtį, ypač kai lygties šaknys p(x) = 0 yra sveikieji skaičiai, naudingiau naudoti pirmąjį iš pateiktų algoritmų. Tai yra, patartina iš karto rasti visos lygties p(x)=0 šaknis, o tada patikrinti, ar joms tenkinama sąlyga q(x)≠0, o ne rasti ODZ, o tada spręsti lygtį. p(x)=0 šiame ODZ. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais dažniausiai lengviau patikrinti, nei surasti DZ.

Siekdami iliustruoti nurodytus niuansus, panagrinėkime dviejų pavyzdžių sprendimą.

Pavyzdys.

Raskite lygties šaknis.

Sprendimas.

Pirma, suraskime visos lygties šaknis (2 x–1) (x–6) (x 2–5 x+14) (x+1) = 0, sudarytas naudojant trupmenos skaitiklį. Kairė pusėšios lygties sandauga, o dešinioji ranka lygi nuliui, todėl pagal lygčių sprendimo faktorizavimo metodą ši lygtis yra lygi keturių lygčių rinkiniui 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0, x+1=0. Trys iš šių lygčių yra tiesinės, o viena – kvadratinė, jas galime išspręsti. Iš pirmosios lygties randame x=1/2, iš antrosios - x=6, iš trečiosios - x=7, x=−2, iš ketvirtosios - x=−1.

Turint rastas šaknis, gana lengva patikrinti, ar pradinės lygties kairėje pusėje esančios trupmenos vardiklis išnyksta, tačiau nustatyti ODZ, priešingai, nėra taip paprasta, nes tam turėsite išspręsti penktojo laipsnio algebrinė lygtis. Todėl atsisakysime ODZ paieškos ir patikrinsime šaknis. Norėdami tai padaryti, mes juos pakeičiame po vieną, o ne kintamąjį x išraiškoje x 5 –15 x 4 +57 x 3 –13 x 2 +26 x+112, gautus po pakeitimo, ir palyginkite juos su nuliu: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 –15·6 4 +57·6 3 –13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 –15,7 4 +57,7 3 –13,7 2 +26,7+112=0;
(−2) 5 −15 · (−2) 4 +57 · (−2) 3 −13 · (−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 · (−1) 4 +57 · (−1) 3 −13 · (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Taigi, 1/2, 6 ir –2 yra norimos pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys, o 7 ir –1 yra pašalinės šaknys.

Atsakymas:

1/2 , 6 , −2 .

Pavyzdys.

Raskite trupmeninės racionalios lygties šaknis.

Sprendimas.

Pirma, suraskime lygties šaknis (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Ši lygtis yra lygi dviejų lygčių rinkiniui: kvadratinė 5 x 2 −7 x−1=0 ir tiesinė x−2=0. Naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę randame dvi šaknis, o iš antrosios lygties gauname x=2.

Patikrinti, ar vardiklis eina į nulį esant rastoms x reikšmėms, yra gana nemalonu. O nustatyti kintamojo x leistinų verčių diapazoną pradinėje lygtyje yra gana paprasta. Todėl veiksime per ODZ.

Mūsų atveju pradinės trupmeninės racionalios lygties kintamojo x ODZ susideda iš visų skaičių, išskyrus tuos, kuriems tenkinama sąlyga x 2 +5·x−14=0. Šios kvadratinės lygties šaknys yra x=−7 ir x=2, iš kurių darome išvadą apie ODZ: ji susideda iš visų x tokių, kad .

Belieka patikrinti, ar rastos šaknys ir x=2 priklauso priimtinų reikšmių diapazonui. Šaknys priklauso, todėl jos yra pradinės lygties šaknys, o x=2 nepriklauso, todėl tai yra pašalinė šaknis.

Atsakymas:

Taip pat bus naudinga atskirai pasilikti prie atvejų, kai trupmeninėje racionaliojoje formos lygtyje skaitiklyje yra skaičius, tai yra, kai p(x) vaizduojamas kokiu nors skaičiumi. Tuo pačiu metu

• jei šis skaičius yra ne nulis, tai lygtis neturi šaknų, nes trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai jos skaitiklis lygus nuliui;
• jei šis skaičius lygus nuliui, tada lygties šaknis yra bet koks skaičius iš ODZ.

Pavyzdys.

Sprendimas.

Kadangi trupmenos skaitiklyje kairėje lygties pusėje yra skaičius, kuris nėra nulis, tai bet kurio x atveju šios trupmenos reikšmė negali būti lygi nuliui. Vadinasi, duota lygtis neturi šaknų.

Atsakymas:

jokių šaknų.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Trupmenos skaitiklyje, esančiame kairėje šios trupmeninės racionalios lygties pusėje, yra nulis, todėl šios trupmenos reikšmė yra lygi nuliui bet kuriam x, kuriam ji yra prasminga. Kitaip tariant, šios lygties sprendimas yra bet kokia x reikšmė iš šio kintamojo ODZ.

Belieka nustatyti šį priimtinų verčių diapazoną. Tai apima visas x reikšmes, kurių x 4 +5 x 3 ≠0. Lygties x 4 +5 x 3 =0 sprendiniai yra 0 ir -5, nes ši lygtis yra lygi lygčiai x 3 (x+5)=0, o savo ruožtu yra lygiavertė dviejų lygčių x deriniui 3 =0 ir x +5=0, iš kur šios šaknys matomos. Todėl norimas priimtinų verčių diapazonas yra bet kuris x, išskyrus x=0 ir x=−5.

Taigi trupmeninėje racionaliojoje lygtyje yra be galo daug sprendinių, kurie yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį ir minus penkis.

Atsakymas:

Galiausiai atėjo laikas pakalbėti apie trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimą savavališkas tipas. Jas galima parašyti kaip r(x)=s(x), kur r(x) ir s(x) yra racionalios išraiškos, o bent viena iš jų yra trupmeninė. Žvelgiant į ateitį, tarkime, kad jų sprendimas priklauso nuo mums jau žinomos formos lygčių sprendimo.

Yra žinoma, kad perkėlus terminą iš vienos lygties dalies į kitą su priešingu ženklu gaunama lygiavertė lygtis, todėl lygtis r(x)=s(x) yra lygiavertė lygčiai r(x)−s(x) )=0.

Taip pat žinome, kad bet koks , identiškai lygus šiai išraiškai, yra įmanomas. Taigi, racionaliąją išraišką kairėje lygties r(x)−s(x)=0 pusėje visada galime paversti identiškai lygia formos racionalia trupmena.

Taigi mes pereiname nuo pradinės trupmeninės racionalios lygties r(x)=s(x) prie lygties, o jos sprendimas, kaip sužinojome aukščiau, redukuojamas iki lygties p(x)=0 išsprendimo.

Bet čia reikia atsižvelgti į tai, kad pakeitus r(x)−s(x)=0 į , o po to p(x)=0, kintamojo x leistinų reikšmių diapazonas gali išsiplėsti. .

Vadinasi, pradinė lygtis r(x)=s(x) ir lygtis p(x)=0, kurią gavome, gali pasirodyti nelygios ir išsprendę lygtį p(x)=0, galime gauti šaknis. kurios bus pašalinės pradinės lygties r(x)=s(x) šaknys. Galite nustatyti ir neįtraukti pašalinių šaknų atsakyme atlikdami patikrinimą arba patikrindami, ar jie priklauso pradinės lygties ODZ.

Apibendrinkime šią informaciją trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas r(x)=s(x). Norint išspręsti trupmeninę racionaliąją lygtį r(x)=s(x) , reikia

• Gaukite nulį dešinėje, perkeldami išraišką iš dešinės pusės su priešingu ženklu.
• Atlikite operacijas su trupmenomis ir daugianariais kairėje lygties pusėje, taip paversdami ją racionalia formos trupmena.
• Išspręskite lygtį p(x)=0.
• Identifikuokite ir pašalinkite pašalines šaknis, o tai daroma pakeičiant jas į pradinę lygtį arba patikrinant jų priklausomybę pradinės lygties ODZ.

Siekiant didesnio aiškumo, parodysime visą trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo grandinę:
.

Pažvelkime į kelių pavyzdžių sprendimus su išsamiu sprendimo proceso paaiškinimu, kad paaiškintume pateiktą informacijos bloką.

Pavyzdys.

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį.

Sprendimas.

Veiksime pagal ką tik gautą sprendimo algoritmą. Ir pirmiausia perkeliame terminus iš dešinės lygties pusės į kairę, todėl pereiname prie lygties.

Antrame etape turime paversti trupmeninę racionaliąją išraišką gautos lygties kairėje pusėje į trupmenos formą. Norėdami tai padaryti, atliekame liejimą racionalios trupmenosį bendrą vardiklį ir supaprastinkite gautą išraišką: . Taigi mes prieiname prie lygties.

Kitame žingsnyje turime išspręsti lygtį −2·x−1=0. Randame x=−1/2.

Belieka patikrinti, ar rastas skaičius yra −1/2 pašalinė šaknis pradinė lygtis. Norėdami tai padaryti, galite patikrinti arba rasti pradinės lygties kintamojo x VA. Parodykime abu būdus.

Pradėkime nuo patikrinimo. Pradinėje lygtyje vietoj kintamojo x pakeičiame skaičių −1/2 ir gauname tą patį, −1=−1. Pakeitimas suteikia teisingą skaitinę lygybę, todėl x=−1/2 yra pradinės lygties šaknis.

Dabar parodysime, kaip paskutinis algoritmo taškas atliekamas per ODZ. Pradinės lygties priimtinų reikšmių diapazonas yra visų skaičių, išskyrus −1 ir 0, rinkinys (esant x = −1 ir x = 0 trupmenų vardikliai išnyksta). Šaknis x=−1/2, rasta ankstesniame žingsnyje, priklauso ODZ, todėl x=−1/2 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas:

−1/2 .

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite lygties šaknis.

Sprendimas.

Turime išspręsti trupmeninę racionaliąją lygtį, pereikime prie visų algoritmo žingsnių.

Pirma, perkeliame terminą iš dešinės pusės į kairę, gauname .

Antra, transformuojame kairėje pusėje suformuotą išraišką: . Dėl to gauname lygtį x=0.

Jo šaknis akivaizdi – ji lygi nuliui.

Ketvirtajame žingsnyje belieka išsiaiškinti, ar rasta šaknis yra pašalinis iš pradinės trupmeninės racionalios lygties. Kai ji pakeičiama į pradinę lygtį, gaunama išraiška. Akivaizdu, kad tai nėra prasmės, nes jame yra dalijimas iš nulio. Iš čia darome išvadą, kad 0 yra pašalinė šaknis. Todėl pradinė lygtis neturi šaknų.

7, kuris veda į lygtį. Iš to galime daryti išvadą, kad kairiosios pusės vardiklio išraiška turi būti lygi dešiniosios pusės vardiklyje, tai yra. Dabar iš abiejų trigubo pusių atimame: . Pagal analogiją, iš kur ir toliau.

Patikrinimas rodo, kad abi rastos šaknys yra pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys.

Atsakymas:

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. 14 val. 1 dalis. Vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų/ A. G. Mordkovičius. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.

Šiai lygčiai supaprastinti naudojamas mažiausias bendras vardiklis.Šis metodas naudojamas, kai negalite parašyti pateiktos lygties su vienu racionali išraiška kiekvienoje lygties pusėje (ir naudokite kryžminį daugybos metodą). Šis metodas naudojamas, kai pateikiama racionali lygtis su 3 ar daugiau trupmenų (jei dvi trupmenos, geriau naudoti kryžminį dauginimą).