Paskelbimo data: 2016-03-23

Trumpas aprašymas: ...

LYGČIŲ SPRENDIMO PAVYZDŽIAI NAUDOJANT KAI KURIUS ORIGINALUS METODUS.

1
. Iracionaliųjų lygčių sprendimas.

1.1.1 Išspręskite lygtį .

Atkreipkite dėmesį, kad x ženklai po radikalu yra skirtingi. Supažindinkime su užrašu

, .

Tada

Atlikime abiejų lygties pusių sudėtį.

Ir mes turime lygčių sistemą

Nes a + b = 4, tada

Taigi: 9 – x = 8  x = 1. Atsakymas: x = 1.

1.1.2. Išspręskite lygtį .

Įveskime tokį žymėjimą: , ; , .

Priemonės:

Pridėjus kairę ir dešinę lygčių puses po termino, gauname .

Ir mes turime lygčių sistemą

a + b = 2, , , ,

Grįžkime prie lygčių sistemos:

, .

Išsprendę (ab) lygtį, gauname ab = 9, ab = -1 (-1 pašalinė šaknis, nes , .).

Ši sistema neturi sprendinių, o tai reiškia, kad pradinė lygtis taip pat neturi sprendinio.

Atsakymas: nėra sprendimų.

Įveskime žymėjimą , kur . Tada,.

, ,

Panagrinėkime tris atvejus:

1) . 2) . 3) .

A + 1 - a + 2 = 1, a - 1 - a + 2 = 1, a - 1 + a - 2 = 1, a = 1, 1  [ 0;1). [1; 2). a = 2.

Sprendimas: [ 1 ; 2].

Jeigu , Tai , , .

Atsakymas: .

1.2. Kairiosios ir dešiniosios pusės įvertinimo metodas (majorantinis metodas).

Pagrindinis metodas yra funkcijos ribos nustatymo metodas.

Majorization – funkcijos ribinių taškų radimas. M – majorante.

Jei turime f(x) = g(x) ir ODZ yra žinomas, ir jei

, , Tai

ODZ: .

Pasvarstykime dešinėje pusėje lygtys

Supažindinkime su funkcija. Grafas yra parabolė, kurios viršūnė A(3; 2).

Nai mažesnė vertė funkcija y(3) = 2, tai yra.

Pažvelkime į kairę lygties pusę.

Supažindinkime su funkcija. Naudojant išvestinę, nesunku rasti funkcijos, kuri diferencijuojama x  (2; 4), maksimumą.

At ,

X=3.

G` + -

2 3 4

g(3) = 2.

Turime .

Kaip rezultatas, tada

Sukurkime lygčių sistemą, pagrįstą aukščiau pateiktomis sąlygomis:

Išspręsdami pirmąją sistemos lygtį, gauname x = 3. Pakeitę šią reikšmę į antrąją lygtį, įsitikiname, kad x = 3 yra sistemos sprendimas.

Atsakymas: x = 3.

1.3. Funkcijos monotoniškumo taikymas.

1.3.1. Išspręskite lygtį:

Apie DZ: , nes .



Yra žinoma, kad didėjančių funkcijų suma yra didėjanti funkcija. yra didėjanti funkcija. Dešinė pusė yra tiesinė funkcija (k=0). Grafinis aiškinimas rodo, kad yra tik viena šaknis. Raskime jį pasirinkdami, turime x = 1.

Įrodymas:

Tarkime, kad šaknis x 1 yra didesnė už 1, tada

Nes x 1 > 1,

Darome išvadą, kad didesnių už vieną šaknų nėra.

Panašiai galima įrodyti, kad nėra mažiau nei viena šaknų.

Tai reiškia, kad x=1 yra vienintelė šaknis.

Atsakymas: x = 1.

1.3.2. Išspręskite lygtį:

Apie DZ: [ 0,5; +), nes

tie. .

Transformuokime lygtį, Kairė pusė yra didėjanti funkcija (didėjančių funkcijų sandauga), dešinė – tiesinė funkcija (k = 0). Geometrinė interpretacija

rodo, kad pradinė lygtis turi turėti vieną šaknį, kurią galima rasti pasirinkus, x = 7.

Egzaminas:

Galima įrodyti, kad nėra kitų šaknų (žr. pavyzdį aukščiau).

Atsakymas: x = 7.

Kairės ir dešinės pusės įvertinimo metodas. 2 2.1.1. Išspręskite lygtį: log 2 (2x - x 2 + 15) = x

- 2x + 5.

Pateiksime kairiosios lygties pusės įvertinimą.

2x - x 2 + 15 = - (x 2 - 2x - 15) = - ((x 2 - 2x + 1) - 1 - 15) = - (x - 1) 2 + 16  16.

Tada žurnalas 2 (2x - x 2 + 15)  4.

Įvertinkime dešinę lygties pusę.

x 2 - 2x + 5 = (x 2 - 2x + 1) - 1 + 5 = (x - 1) 2 + 4  4.

Pradinė lygtis gali turėti sprendimą tik tada, kai abi pusės yra lygios keturioms.

Reiškia

Atsakymas: x = 1. Už.

2.1.2. savarankiškas darbas

2.1.3. rąstas 4 (6x - x 2 + 7) = x 2 - 6x + 11 Atsakymas: x = 3.

2.1.4. rąstas 5 (8x - x 2 + 9) = x 2 - 8x + 18 Atsakymas: x = 6.

2.1.5. rąstas 4 (2x - x 2 + 3) = x 2 - 2x + 2 Atsakymas: x = 1.

rąstas 2 (6x - x 2 - 5) = x 2 - 6x + 11 Atsakymas: x = 3.

2.2. Naudojant funkcijos monotoniškumą, pasirenkant šaknis. 2 2.2.1. Išspręskite lygtį: log 2 (2x - x 2 + 15) = x

(2x - x

Padarykime pakeitimą 2x - x 2 + 15 = t, t>0. Tada x 2 - 2x + 5 = 20 - t, o tai reiškia

log 2 t = 20 - t .

Funkcija y = log 2 t didėja, o funkcija y = 20 - t mažėja. Geometrinė interpretacija leidžia suprasti, kad pradinė lygtis turi vieną šaknį, kurią nesunku rasti pasirinkus t = 16.

Išsprendę lygtį 2x - x 2 + 15 = 16, mes nustatome, kad x = 1.

Reiškia

Patikrindami įsitikiname, kad pasirinkta vertė yra teisinga.

2.3. Kai kurios „įdomios“ logaritminės lygtys. .

2.3.1. Išspręskite lygtį

ODZ: (x – 15) cosx > 0.

, , ,

Pereikime prie lygties

Pereikime prie lygiavertės lygties

(x - 15) (cos 2 x - 1) = 0,

x - 15 = 0 arba cos 2 x = 1,

x = 15. cos x = 1 arba cos x = -1, x = 2

 k, k Z . x =  + 2 l, l Z.

Patikrinkime rastas reikšmes pakeisdami jas į ODZ.

1) jei x = 15, tada (15 - 15) cos 15 > 0,

x = 15 nėra lygties šaknis.

2) jei x = 2  k, k Z, tada (2  k - 15) l > 0,

2 k > 15, atkreipkite dėmesį, kad 15  5 . Turime

k > 2,5, k  Z,

k = 3, 4, 5, … .

3) jei x =  + 2 l, l Z, tada ( + 2 l - 15) (- 1) > 0,

 + 2  l< 15,

2 l< 15 -  , заметим, что 15  5  .

Turime: l< 2,

l = 1, 0, -1, -2,….

Atsakymas: x = 2  k (k = 3,4,5,6,...); x =  +2 1(1 = 1,0, -1,- 2,…).

3. Trigonometrinės lygtys.

3.1. Kairiosios ir dešiniosios lygties pusių įvertinimo metodas.

4.1.1. Išspręskite lygtį cos3x cos2x = -1.

Pirmas būdas..

0,5 (kain x+ cos 5 x) = -1, cos x+ cos 5 x = -2.

Kadangi cos x - 1, cos 5 x - 1, darome išvadą, kad cos x+ cos 5 x> -2, iš čia

vadovaujasi lygčių sistema

c os x = -1,

cos 5 x = - 1.

Išsprendę lygtį cos x= -1, gauname X=  + 2 k, kur k Z.

Šios vertybės X taip pat yra sprendimai cos lygtys 5x= -1, nes

cos 5 x= cos 5 ( + 2  k) = cos ( + 4  + 10  k) = -1.

Taigi, X=  + 2 k, kur k Z yra visi sistemos sprendiniai, todėl pradinė lygtis.

Atsakymas: X=  (2k + 1), k Z.

Antras būdas.

Galima parodyti, kad pradinė lygtis reiškia sistemų rinkinį

cos 2 x = - 1,

cos 3 x = 1.

cos 2 x = 1,

cos 3 x = - 1.

Išsprendę kiekvieną lygčių sistemą, randame šaknų sąjungą.

Atsakymas: x = (2  k + 1), k Z.

Savarankiškam darbui.

Išspręskite lygtis:

3.1.2. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = 7. Atsakymas: sprendimų nėra.

3.1.3. 2 cos 3x + 4 sin x/2 = -8. Atsakymas: nėra sprendimų.

3.1.4. 3 cos 3x + cos x = 4. Atsakymas: x = 2 k, k Z.

3.1.5. sin x sin 3 x = -1. Atsakymas: x = /2 +  k, k Z.

3.1.6. cos 8 x + nuodėmė 7 x = 1. Atsakymas: x = m, m Z; x = /2 + 2  n, n Z.

Realūs skaičiai. Realiųjų skaičių aproksimacija baigtinėmis dešimtainėmis trupmenomis.

Tikrasis ar tikras skaičius - matematinė abstrakcija, kuris atsirado dėl poreikio matuoti geometrinius ir fiziniai kiekiai supantį pasaulį, taip pat atlikti tokias operacijas kaip šaknų ištraukimas, logaritmų skaičiavimas, sprendimas algebrines lygtis. Jeigu natūraliuosius skaičius atsirado skaičiavimo procese, racionalūs - iš poreikio operuoti su visumos dalimis, tada realieji skaičiai skirti matuoti nuolatiniai kiekiai. Taigi, išplėtus nagrinėjamų skaičių atsargą, atsirado realiųjų skaičių aibė, kuri, be racionaliųjų skaičių, apima ir kitus elementus, vadinamus neracionalūs skaičiai .

Absoliuti klaida ir jos riba.

Tegul yra kokia nors skaitinė reikšmė ir skaitinė reikšmė, kuris jam priskirtas, laikomas tiksliu, tada pagal apytikslės vertės paklaida skaitinė reikšmė (klaida) suprasti skirtumą tarp tikslios ir apytikslės skaitinės reikšmės reikšmės: . Klaida gali būti teigiama arba neigiama reikšmė. Kiekis vadinamas žinomas apytikslis iki tikslios skaitinio dydžio vertės – bet kurio vietoje naudojamo skaičiaus tikslią vertę. Paprasčiausias kiekybinis paklaidos matas yra absoliuti paklaida. Absoliuti klaida apytikslė reikšmė yra dydis, apie kurį žinoma, kad: Santykinė paklaida ir jos riba.

Aproksimacijos kokybė labai priklauso nuo priimtų matavimo vienetų ir dydžių skalių, todėl patartina koreliuoti kiekio paklaidą ir jo reikšmę, kuriai įvedama santykinės paklaidos sąvoka. Santykinė klaida apytikslė vertė yra dydis, apie kurį žinoma, kad: . Santykinė paklaida dažnai išreiškiama procentais. Naudojimas santykinės klaidos patogus, ypač todėl, kad jie nepriklauso nuo kiekių skalės ir matavimo vienetų.

Iracionalios lygtys

Lygtys, kuriose yra kintamasis po šaknies ženklu, vadinamos neracionaliosiomis. Sprendžiant neracionalias lygtis, gautus sprendinius reikia patikrinti, nes, pavyzdžiui, neteisinga lygybė kvadratuojant gali duoti teisingą lygybę. Tiesą sakant, neteisinga lygybė kvadratu suteikia teisingą lygybę 1 2 = (-1) 2, 1 = 1. Kartais neracionalias lygtis patogiau spręsti naudojant lygiaverčius perėjimus.

Padėkime abi šios lygties puses kvadratu; Po transformacijų gauname kvadratinę lygtį; ir pakeisime.

Sudėtingi skaičiai. Operacijos su kompleksiniais skaičiais.

Kompleksiniai skaičiai yra realiųjų skaičių aibės išplėtimas, paprastai žymimas . Bet koks kompleksinis skaičius gali būti pavaizduotas kaip formali suma x + oi, Kur x Ir y- realūs skaičiai, i - įsivaizduojamas vienetas Sudėtiniai skaičiai sudaro algebriškai uždarą lauką – tai reiškia, kad laipsnio daugianario n su kompleksiniais koeficientais turi tiksliai n sudėtingos šaknys, tai yra, pagrindinė algebros teorema yra teisinga. Tai viena iš pagrindinių plataus jo naudojimo priežasčių kompleksiniai skaičiai V matematiniai tyrimai. Be to, kompleksinių skaičių naudojimas leidžia patogiai ir kompaktiškai suformuluoti daugelį matematiniai modeliai, naudojamas matematinė fizika ir viduje gamtos mokslai- elektrotechnika, hidrodinamika, kartografija, kvantinė mechanika, svyravimų teorija ir daugelis kitų.

Palyginimas a + bi = c + di reiškia tai a = c Ir b = d(du kompleksiniai skaičiai yra lygūs tada ir tik tada, kai jų tikroji ir menamoji dalys yra lygios).

Papildymas ( a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i .

Atimtis ( a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d) i .

Daugyba

Skaitmeninė funkcija. Funkcijos nustatymo metodai

Matematikoje skaitinė funkcija yra funkcija, kurios apibrėžimo ir reikšmių sritys yra poaibiai skaičių rinkiniai- paprastai realiųjų skaičių rinkinys arba kompleksinių skaičių rinkinys.

Žodinis: su natūrali kalba Igrek lygus visa dalis nuo x. Analitinė: naudojimas analitinė formulė f (x) = x !

Grafika Naudojant grafą Funkcijos grafiko fragmentas.

Lentelinė: reikšmių lentelės naudojimas

Pagrindinės funkcijos savybės

1) Funkcijų sritis ir funkcijų diapazonas . Funkcijos domenas x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) pasiryžusi.

Funkcijų diapazonas y, kurią funkcija priima. IN elementarioji matematika funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.2 ) Nulinė funkcija) Funkcijos monotoniškumas . Funkcijų didinimas Sumažėjusi funkcija . Netgi funkcija X f(-x) = f(x). Keista funkcija- funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X f (-x) = - f (x. Funkcija vadinama ribotas neribotas .7) Funkcijos periodiškumas. F(x) funkcija – periodiškai funkcijos laikotarpis

Funkcijų grafikai. Paprasčiausios grafikų transformacijos naudojant funkciją

Funkcijos grafikas- taškų, kurių abscisės yra, rinkinys priimtinos vertės argumentas x, o ordinatės yra atitinkamos funkcijos reikšmės y .

Tiesi linija- grafikas tiesinė funkcija y = ax + b. Funkcija y monotoniškai didėja, kai a > 0, ir mažėja, kai a< 0. При b = 0 прямая линия проходит через начало координат т.0 (y = ax - прямая пропорциональность)

Parabolė- funkcijų grafikas kvadratinis trinaris y = ax 2 + bx + c. Turi vertikalioji ašis simetrija. Jei a > 0, turi minimumą, jei a< 0 - максимум. Точки пересечения (если они есть) с осью абсцисс - корни соответствующего kvadratinė lygtis ax 2 + bx +c =0

Hiperbolė- funkcijos grafikas. Kai a > O jis yra I ir III ketvirčiuose, kai a< 0 - во II и IV. Асимптоты - оси координат. Ось симметрии - прямая у = х (а >0) arba y – x (a< 0).

Logaritminė funkcija y = log a x(a > 0)

Trigonometrinės funkcijos. Kurdami trigonometrines funkcijas naudojame radianas kampų matas. Tada funkcija y= nuodėmė x pavaizduotas grafiku (19 pav.). Ši kreivė vadinama sinusoidinė .

Funkcijos grafikas y= cos x parodyta pav. 20; tai taip pat sinusinė banga, atsirandanti judant grafiką y= nuodėmė x palei ašį X paliko iki /2.

Pagrindinės funkcijų savybės. Funkcijų monotoniškumas, lygumas, keistumas, periodiškumas.

Funkcijos domenas ir funkcijos domenas . Funkcijos domenas yra visų galiojančių argumento reikšmių rinkinys x(kintamasis x), kuriai skirta funkcija y = f(x) pasiryžusi.

Funkcijų diapazonas yra visų realių vertybių rinkinys y, kurią funkcija priima.

Elementariojoje matematikoje funkcijos tiriamos tik realiųjų skaičių aibėje.2 ) Nulinė funkcija- argumento reikšmė, kuriai esant funkcijos reikšmė lygi nuliui.3 ) Funkcijos pastovaus ženklo intervalai- tokie argumentų reikšmių rinkiniai, kurių funkcijos reikšmės yra tik teigiamos arba tik neigiamos.4 ) Funkcijos monotoniškumas .

Funkcijų didinimas(tam tikru intervalu) – funkcija, kuriai didesnę vertę argumentas iš šio intervalo atitinka didesnę funkcijos reikšmę.

Sumažėjusi funkcija(tam tikrame intervale) – funkcija, kuriai didesnė argumento reikšmė iš šio intervalo atitinka mažesnę funkcijos reikšmę.5 ) Lyginė (nelyginė) funkcija . Netgi funkcija- funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė f(-x) = f(x). Tvarkaraštis lygi funkcija simetriškas ordinačių ašiai. Keista funkcija- funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra simetriška kilmės atžvilgiu ir bet kuriai X iš apibrėžimo srities lygybė yra teisinga f (-x) = - f (x). Tvarkaraštis nelyginė funkcija simetriškas kilmei.6 ) Ribotos ir neribotos funkcijos. Funkcija vadinama ribotas, jei yra toks teigiamas skaičius M, kad |f (x) | ≤ M visoms x reikšmėms. Jei tokio skaičiaus nėra, tada funkcija yra neribotas .7) Funkcijos periodiškumas. F(x) funkcija – periodiškai, jei yra ne nulis skaičius T, kad bet kuriam x iš funkcijos apibrėžimo srities galioja: f (x+T) = f (x). Tai mažiausias skaičius paskambino funkcijos laikotarpis. Visi trigonometrinės funkcijos yra periodiniai. (Trigonometrinės formulės).

Periodinės funkcijos. Funkcijos pagrindinio laikotarpio nustatymo taisyklės.

Periodinė funkcija- funkcija, kuri pakartoja savo reikšmes po tam tikro ne nulio laikotarpio, tai yra, ji nekeičia savo vertės, kai prie argumento pridedamas fiksuotas nulinis skaičius (taškas). Visos trigonometrinės funkcijos yra periodinės. Yra neištikimi pareiškimai dėl sumos periodines funkcijas: 2 funkcijų suma su palyginamais (netgi pagrindiniais) laikotarpiais T 1 ir T 2 yra funkcija su LCM periodu ( T 1 ,T 2). 2 suma nuolatinės funkcijos su nesuderinamais (netgi pagrindiniais) laikotarpiais yra neperiodinė funkcija. Periodinių funkcijų nėra lygus konstantai, kurių laikotarpiai yra nesuderinami skaičiai.

Galios funkcijų grafikų braižymas.

Maitinimo funkcija. Tai yra funkcija: y = axn, Kur a, n- nuolatinis. At n= 1 gauname tiesioginis proporcingumas : y =kirvis; adresu n = 2 - kvadratinė parabolė ; adresu n = 1 - atvirkštinis proporcingumas arba hiperbolė. Taigi šios funkcijos yra specialūs galios funkcijos atvejai. Žinome, kad bet kurio skaičiaus, išskyrus nulį, nulinė galia yra 1, taigi, kada n = 0 galios funkcija virsta pastovią vertę: y =a, t.y. jo grafikas yra tiesi linija, lygiagreti ašiai X, neįskaitant kilmės (paaiškinkite kodėl?). Visi šie atvejai (su a= 1) parodyta 13 pav. n 0) ir 14 pav. n < 0). Отрицательные значения xčia neapimamos, nuo tada kai kurios funkcijos:

Atvirkštinė funkcija

Atvirkštinė funkcija- funkcija, kuri apverčia šios funkcijos išreikštą priklausomybę. Funkcija yra atvirkštinė funkcijai, jei tenkinamos šios tapatybės: visiems visiems

Funkcijos riba taške. Pagrindinės ribos savybės.

N-oji šaknis ir jos savybės.

N-oji skaičiaus šaknis yra skaičius, kurio n-oji laipsnė yra lygi a.

Apibrėžimas: Aritmetinė šaknis Vadinamas n-asis laipsnis nuo skaičiaus a neneigiamas skaičius, kurio n-asis laipsnis yra lygus a.

Pagrindinės šaknų savybės:

Galia su savavališku realiuoju rodikliu ir jo savybėmis.

Teigiamas teigiamas skaičius ir savavališkas realusis skaičius. Skaičius vadinamas laipsniu, skaičius yra laipsnio pagrindas, o skaičius yra rodiklis.

Pagal apibrėžimą jie tiki:

Jei ir - teigiami skaičiai, ir - bet koks realūs skaičiai, tada jie yra sąžiningi šias savybes:

Galios funkcija, jos savybės ir grafikai

Maitinimo funkcija sudėtingas kintamasis f (z) = z n su sveikuoju rodikliu nustatomas naudojant panašios tikrojo argumento funkcijos analitinį tęsinį. Šiuo tikslu naudojama kompleksinių skaičių rašymo eksponentinė forma. laipsnio funkcija su sveikuoju rodikliu yra analitinė visoje kompleksinėje plokštumoje, kaip ir sandauga baigtinis skaičius tapatybės atvaizdavimo atvejai f (z) = z. Pagal unikalumo teoremą šių dviejų kriterijų pakanka gautos analitinės tęsinio unikalumui. Naudodamiesi šiuo apibrėžimu, galime iš karto daryti išvadą, kad sudėtingo kintamojo galios funkcija labai skiriasi nuo tikrojo atitikmens.

Tai yra formos , funkcija. Svarstomi šie atvejai:

A). Jei, tada. Tada, ; jei skaičius lyginis, tada funkcija lyginė (ty visų akivaizdoje); jei skaičius yra nelyginis, tada funkcija yra nelyginė (ty visų akivaizdoje).

Eksponentinė funkcija, jos savybės ir grafikai

Eksponentinė funkcija - matematinė funkcija.

Realiu atveju laipsnio pagrindas yra tam tikras neneigiamas realus skaičius, o funkcijos argumentas yra tikrasis eksponentas.

Teoriškai sudėtingos funkcijos svarstė daugiau bendras atvejis, kai argumentas ir rodiklis gali būti savavališkas kompleksinis skaičius.

Pačioje bendras vaizdas - u v Leibnicas pristatė 1695 m

Ypač vertas dėmesio atvejis, kai skaičius e veikia kaip laipsnio pagrindas. Tokia funkcija vadinama eksponentine (tikra arba kompleksine).

Savybės ; ; .

Eksponentinės lygtys.

Pereikime tiesiai prie eksponentinių lygčių. Norint apsispręsti eksponentinė lygtis reikia naudoti tokią teoremą: Jei laipsniai yra vienodi, o bazės lygios, teigiamos ir skiriasi nuo vieneto, tai jų eksponentai yra lygūs. Įrodykime šią teoremą: Tegu a>1 ir a x =a y.

Įrodykime, kad šiuo atveju x=y. Tarkime, priešingai nei reikia įrodyti, t.y. Tarkime, kad x>y arba kad x<у. Тогда получим по свойству показательной функции, что либо a х taip. Abu šie rezultatai prieštarauja teoremos sąlygoms. Todėl x = y, ką ir reikėjo įrodyti.

Teorema įrodyta ir tuo atveju, kai 0 0 ir a≠1.

Eksponentinės nelygybės

Formos (ar mažesnės) nelygybės ties a(x) >0 ir sprendžiami remiantis eksponentinės funkcijos savybėmis: už 0 < а (х) < 1 kai lyginant f(x) Ir g(x) pasikeičia nelygybės ženklas ir kada a(x) > 1– yra išsaugotas. Sunkiausias atvejis a(x)< 0 . Čia galime pateikti tik bendrą nurodymą: nustatyti, kokiomis vertėmis X rodikliai f(x) Ir g(x) bus sveikieji skaičiai ir pasirinkite iš jų tuos, kurie atitinka sąlygą. Galiausiai, jei galioja pradinė nelygybė a(x) = 0 arba a(x) = 1(pvz., kai nelygybės nėra griežtos), tuomet reikia atsižvelgti ir į šiuos atvejus.

Logaritmai ir jų savybės

Skaičiaus logaritmas b remiantis a (iš graikų λόγος - „žodis“, „ryšys“ ir ἀριθμός - „skaičius“) yra apibrėžiamas kaip galios, iki kurios turi būti pakelta bazė, rodiklis. a norėdami gauti numerį b. Pavadinimas:. Iš apibrėžimo matyti, kad įrašai ir yra lygiaverčiai. Pavyzdys: , nes. Savybės

Pagrindinė logaritminė tapatybė:

Logaritminė funkcija, jos savybės ir grafikai.

Logaritminė funkcija yra formos funkcija f (x) = žurnalas a x, apibrėžta adresu

Taikymo sritis:

Bet kurios logaritminės funkcijos grafikas eina per tašką (1; 0)

Logaritminės funkcijos išvestinė yra lygi:

Logaritminės lygtys

Lygtis, kurioje yra kintamasis po logaritminiu ženklu, vadinama logaritmine. Paprasčiausias logaritminės lygties pavyzdys yra lygtis log a x = b (kur a > 0, a 1). Jo sprendimas x = a b .

Lygčių sprendimas remiantis logaritmo apibrėžimu, pvz., lygtis. log a x = b (a > 0, a 1) turi sprendimą x = a b .

Potencavimo metodas. Potencijomis turime omenyje perėjimą nuo lygybės, kurioje yra logaritmų, į lygybę, kurioje jų nėra:

Jeigu log a f (x) = log a g (x), Tai f(x) = g(x), f(x)>0 ,g(x)>0 ,a > 0 , a 1 .

Metodas logaritminei lygčiai redukuoti į kvadratinę.

Abiejų lygties pusių logaritmų gavimo metodas.

Metodas logaritmams sumažinti iki tos pačios bazės.

Logaritminės nelygybės.

Nelygybė, kurioje kintamasis yra tik po logaritminiu ženklu, vadinama logaritmine: log a f (x) > log a g (x).

Sprendžiant logaritmines nelygybes reikia atsižvelgti į bendrąsias nelygybių savybes, logaritminės funkcijos monotoniškumo savybę ir jos apibrėžimo sritį. Nelygybė log a f (x) > log a g (x) lygiavertis sistemai f (x) > g (x) > 0, jei a > 1 ir sistema 0 < f (x) < g (x) при 0 < а < 1 .

Kampų ir lankų radianinis matavimas. Sinusas, kosinusas, tangentas, kotangentas.

Laipsnio matas. Čia yra matavimo vienetas laipsnis (žymėjimas ) - Tai vieno pilno apsisukimo pluošto pasukimas 1/360. Taigi visas sijos sukimasis yra 360. Vienas laipsnis susideda iš 60 minučių ( jų pavadinimas „); vieną minutę – atitinkamai iš 60 sekundės ( yra pažymėtos ").

Radianinis matas. Kaip žinome iš planimetrijos (žr. pastraipą „Lanko ilgis“ skyriuje „Geometrinė taškų vieta. Apskritimas ir apskritimas“), lanko ilgis l, spindulys r ir atitinkamas centrinis kampas yra susiję su ryšiu: =l/r.

Ši formulė yra kampų radianinio matavimo apibrėžimo pagrindas. Taigi, jei l = r, tada = 1, ir sakome, kad kampas  yra lygus 1 radianui, kuris žymimas: = 1 džiaugiuosi. Taigi, turime tokį radiano matavimo vieneto apibrėžimą:

Radianas yra centrinis kampas kurių lanko ilgis ir spindulys lygūs(A m B = AO, 1 pav.). Taigi, Kampo radianinis matas yra lanko, nubrėžto savavališku spinduliu ir uždengto tarp šio kampo kraštinių, ilgio ir lanko spindulio santykis.

Smailių kampų trigonometrinės funkcijos gali būti apibrėžtos kaip stačiojo trikampio kraštinių ilgių santykis.

Sinusas:

Kosinusas:

Liestinė:

Kotangentas:

Skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Apibrėžimas .

x sinusas yra skaičius, lygus kampo sinusui x radianais. Skaičiaus x kosinusas yra skaičius, lygus kampo kosinusui x radianais .

Kitos trigonometrinės skaitinio argumento funkcijos apibrėžiamos panašiai X .

Vaiduoklių formulės.

Sudėjimo formulės. Dvigubo ir pusės argumentų formulės.

Dvigubas.

( ; .

Trigonometrinės funkcijos ir jų grafikai. Pagrindinės trigonometrinių funkcijų savybės.

Trigonometrinės funkcijos- elementariųjų funkcijų tipas. Paprastai jie apima sinusas (nuodėmė x), kosinusas (cos x), liestinė (tg x), kotangentas (ctg x), Paprastai trigonometrinės funkcijos apibrėžiamos geometriškai, tačiau jas galima apibrėžti analitiškai per eilių sumas arba kaip tam tikrų diferencialinių lygčių sprendinius, o tai leidžia išplėsti šių funkcijų apibrėžimo sritį iki kompleksinių skaičių.

Funkcija y sinx jos savybes ir grafą

Savybės:

2. E (y) = [-1; 1].

3. Funkcija y = sinx yra nelyginė, nes pagal trigonometrinio kampo sinuso apibrėžimą nuodėmė (- x)= - y/R = - sinx, kur R yra apskritimo spindulys, y yra taško ordinatė (pav.).

4. T = 2l – mažiausias teigiamas periodas. tikrai,

sin(x+p) = sinx.

su jaučio ašimi: sinx= 0; x = pn, nОZ;

su Oy ašimi: jei x = 0, tai y = 0,6. Ženklų pastovumo intervalai:

sinx > 0, jei xО (2pn; p + 2pn), nОZ;

sinx< 0 , jei xО (p + 2pn; 2p+pn), nОZ.

Sinuso ženklai ketvirčiais

y > 0 pirmojo ir antrojo ketvirčių kampams a.

adresu< 0 для углов ее третьей и четвертой четвертей.

7. Monotonijos intervalai:

y = sinx didėja kiekviename intervale [-p/2 + 2pn; p/2 + 2pn],

nÎz ir mažėja kiekviename intervale , nÎz.

8. Funkcijos ekstremumai ir ekstremumai:

xmax= p/2 + 2pn, nÎz; y maks = 1;

ymax= - p/2 + 2pn, nÎz; ymin = - 1.

Funkcijų savybės y = cosx ir jos tvarkaraštis:

Savybės:

2. E (y) = [-1; 1].

3. Funkcija y = cosx- lygus, nes pagal trigonometrinio kampo kosinuso apibrėžimą cos (-a) = x/R = cosa trigonometriniame apskritime (pav.)

4. T = 2p – mažiausias teigiamas periodas. tikrai,

cos(x+2pn) = cosx.

5. Susikirtimo taškai su koordinačių ašimis:

su Ox ašimi: cosx = 0;

x = p/2 + pn, nÎZ;

su Oy ašimi: jei x = 0, tai y = 1.

6. Ženklų pastovumo intervalai:

cosx > 0, jei xО (-p/2+2pn; p/2 + 2pn), nОZ;

cosx< 0 , jei xО (p/2 + 2pn; 3p/2 + 2pn), nОZ.

Tai įrodoma trigonometriniame apskritime (pav.). Kosinuso ženklai ketvirčiais:

x > 0 pirmojo ir ketvirtojo ketvirčių kampams a.

x< 0 для углов a второй и третей четвертей.

7. Monotonijos intervalai:

y = cosx didėja kiekviename intervale [-p + 2pn; 2pn],

nÎz ir mažėja kiekviename intervale , nÎz.

Funkcijų savybės y = tgx ir jo grafikas: savybės -

1. D (y) = (xÎR, x ¹ p/2 + pn, nÎZ).

3. Funkcija y = tgx – nelyginė

tgx > 0

tgx< 0 xО (-p/2 + pn; pn), nОZ.

Žiūrėkite ketvirčių liestinės ženklų paveikslą.

6. Monotonijos intervalai:

y = tgx kiekvienu intervalu didėja

(-p/2 + pn; p/2 + pn),

7. Funkcijos ekstremumai ir ekstremumai:

8. x = p/2 + pn, nÎz – vertikalios asimptotės

Funkcijų savybės y = ctgx ir jos tvarkaraštis:

Savybės:

1. D (y) = (xÎR, x ¹ pn, nÎZ). 2. E (y) = R.

3. Funkcija y = ctgx- keista.

4. T = p – mažiausias teigiamas periodas.

5. Ženklų pastovumo intervalai:

ctgx > 0 xО (pn; p/2 + pn;), nОZ;

ctgx< 0 xО (-p/2 + pn; pn), nОZ.

Kotangentinių ženklų pagal ketvirčius žr.

6. Funkcija adresu= ctgx didėja kiekviename intervale (pn; p + pn), nÎZ.

7. Funkcijos ekstremumo taškai ir ekstremumai y = ctgx Nr.

8. Funkcijų grafikas y = ctgx yra liestinė, gautas paslinkus grafiką y = tgx išilgai Ox ašies į kairę iš p/2 ir padauginus iš (-1) (pav.)

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos, jų savybės ir grafikai

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos (apskritimo funkcijos , lanko funkcijos) – matematinės funkcijos, kurios yra atvirkštinės trigonometrinėms funkcijoms. Šešios funkcijos paprastai klasifikuojamos kaip atvirkštinės trigonometrinės funkcijos: arcsine , lanko kosinusas , arctangentas ,arckotangai. Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos pavadinimas sudaromas iš atitinkamos trigonometrinės funkcijos pavadinimo, pridedant priešdėlį „arc-“ (iš lat. lankas- lankas). Taip yra dėl to, kad geometriškai atvirkštinės trigonometrinės funkcijos reikšmė gali būti susieta su tam tikrą atkarpą atitinkančio vienetinio apskritimo lanko ilgiu (arba kampu, aprėpiančiu šį lanką). Retkarčiais užsienio literatūroje tokie užrašai kaip sin −1 vartojami arcsinui ir pan.; tai laikoma ne visai teisinga, nes gali kilti painiavos su funkcijos pakėlimu į laipsnį −1. Pagrindinis santykis

Funkcija y=arcsinX, jos savybės ir grafikai.

Arčinas numeriai mšis kampas vadinamas x, kuriai skirta funkcija y= nuodėmė x y= arcsin x griežtai didėja. (funkcija nelyginė).

Funkcija y=arccosX, jos savybės ir grafikai.

lanko kosinusas numeriai mšis kampas vadinamas x, kuriam

Funkcija y= cos x yra ištisinė ir apribota visoje skaičių tiesėje. Funkcija y= arckos x griežtai mažėja. cos (arccos x) = x adresu arccos (cos y) = y adresu D(Arccos x) = [− 1; 1], (domenas), E(Arccos x) = . (reikšmių diapazonas). „Arccos“ funkcijos savybės (funkcija yra simetriška taško atžvilgiu

Funkcija y=arctgX, jos savybės ir grafikai.

Arktangentas numeriai m yra kampas α, kuriam funkcija yra ištisinė ir ribojama išilgai visos realiosios linijos. Funkcija griežtai didėja.

adresu

Arctg funkcijos savybės

Funkcija y=arcctg, jos savybės ir grafikai.

Arkotangentas numeriai mšis kampas vadinamas x, kuriam

Funkcija yra ištisinė ir apribota išilgai visos skaičių linijos.

Funkcija griežtai mažėja. 0 val< y < π Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки bet kokiam x .

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys.

Apibrėžimas. Wada lygtys sin x = a ; cos x = a ; įdegis x = a ; ctg x = a, Kur x

Ypatingi trigonometrinių lygčių atvejai

Apibrėžimas. Wada lygtys sin x = a ; cos x = a ; įdegis x = a ; ctg x = a, Kur x- vadinamas kintamuoju aR paprasčiausias trigonometrines lygtis.

Trigonometrinės lygtys

Stereometrijos aksiomos ir jų pasekmės

Pagrindinės figūros erdvėje: taškai, linijos ir plokštumos. Pagrindinės taškų, tiesių ir plokštumų savybės, susijusios su jų santykine padėtimi, išreiškiamos aksiomomis.

A1. Per bet kuriuos tris taškus, kurie nėra toje pačioje tiesėje, eina plokštuma ir tik viena. A2. Jei du tiesės taškai yra plokštumoje, tai visi tiesės taškai yra šioje plokštumoje

komentuoti. Jei tiesė ir plokštuma turi tik vieną bendrą tašką, tada sakoma, kad jos susikerta.

A3. Jei dvi plokštumos turi bendrą tašką, tai jos turi bendrą tiesę, kurioje yra visi bendri šių plokštumų taškai.

	A ir susikerta išilgai tiesės a.

1 išvada. Plokštuma eina per tiesią liniją ir ne ant jos esantį tašką, ir tik viena plokštuma. 2 išvada. Plokštuma eina per dvi susikertančias linijas ir tik vieną.

Santykinė dviejų linijų padėtis erdvėje

Dvi eilutės, pateiktos lygtimis

susikerta taške.

Tiesės ir plokštumos lygiagretumas.

Apibrėžimas 2.3 Tiesė ir plokštuma vadinamos lygiagrečiomis, jei jos neturi bendrų taškų. Jei tiesė a lygiagreti plokštumai α, tada parašykite a || α. 2.4 teorema Tiesės ir plokštumos lygiagretumo bandymas. Jei tiesė už plokštumos yra lygiagreti kokiai nors plokštumos linijai, tai ši linija yra lygiagreti pačiai plokštumai. Įrodymas Tegu b α, a || b ir a α (2.2.1 brėžinys). Įrodinėjimą atliksime prieštaravimu. Tegul a nėra lygiagreti α, tada tiesė a kerta plokštumą α tam tikrame taške A. Be to, A b, nes a || b. Pagal kreivinių linijų kriterijų, linijos a ir b yra pasvirusios. Priėjome prieštaravimą. 2.5 teorema Jei plokštuma β eina per tiesę a, lygiagrečią plokštumai α ir kerta šią plokštumą išilgai tiesės b, tai b || a. Įrodymas Iš tiesų, linijos a ir b nėra iškreiptos, nes yra β plokštumoje. Be to, šios eilutės neturi bendrų taškų, nes a || α. Apibrėžimas 2.4 Tiesė b kartais vadinama plokštumos β pėdsaku plokštumoje α.

Tiesių linijų kirtimas. Linijų kirtimo ženklas

Tiesės vadinamos susikertančiomis, jei įvykdoma ši sąlyga: Jei įsivaizduosime, kad viena iš tiesių priklauso savavališkai plokštumai, tai kita tiesė kirs šią plokštumą taške, nepriklausančiam pirmajai tiesei. Kitaip tariant, dvi tiesės trimatėje Euklido erdvėje susikerta, jei nėra plokštumos, kurioje jos būtų. Paprasčiau tariant, dvi linijos erdvėje, kurios neturi bendrų taškų, bet nėra lygiagrečios.

Teorema (1): Jei viena iš dviejų tiesių yra tam tikroje plokštumoje, o kita tiesė kerta šią plokštumą taške, kuris nėra ant pirmosios tiesės, tada šios tiesės susikerta.

(2) teorema: per kiekvieną iš dviejų pasvirųjų tiesių eina plokštuma, lygiagreti kitai tiesei, ir, be to, tik viena.

Teorema (3): Jei dviejų kampų kraštinės yra atitinkamai išlygintos, tada tokie kampai yra lygūs.

Linijų lygiagretumas. Lygiagrečių plokštumų savybės.

Lygiagrečios (kartais lygiakraščio) tiesės vadinamos tiesėmis, kurios yra toje pačioje plokštumoje ir arba sutampa, arba nesikerta. Kai kuriuose mokyklos apibrėžimuose sutampančios linijos nėra laikomos lygiagrečiomis. Savybės Lygiagretumas yra dvejetainis ekvivalentiškumo santykis, todėl visą tiesių rinkinį padalija į lygiagrečių viena kitai linijų klases. Per bet kurį tašką galite nubrėžti tiksliai vieną tiesią liniją, lygiagrečią nurodytai. Tai išskirtinė Euklido geometrijos savybė kitose geometrijose skaičius 1 pakeičiamas kitais (Lobačevskio geometrijoje yra bent dvi tokios tiesės) 2 lygiagrečios erdvės linijos yra toje pačioje plokštumoje. b Kai 2 lygiagrečios tiesės susikerta su trečiąja, vadinama sekantas: Sekantas būtinai kerta abi tieses. Susikertant susidaro 8 kampai, kurių kai kurios būdingos poros turi specialius pavadinimus ir savybes: Gulėti skersai kampai lygūs. Aktualus kampai lygūs. Vienašalis kampai pridedami iki 180°.

Tiesės ir plokštumos statmena.

Vadinama tiesė, kertanti plokštumą statmenaiši plokštuma, jei ji statmena kiekvienai tiesei, kuri yra šioje plokštumoje ir eina per susikirtimo tašką.

TIESĖS IR PLOKŠTUMA STAPETUMO ŽENKLAS.

Jei tiesė, kertanti plokštumą, yra statmena dviem šios plokštumos tiesėms, einančioms per šios tiesės ir plokštumos susikirtimo tašką, tai ji yra statmena plokštumai.

1. STATYMO TIESIO IR PLOKŠTUMO NUOSAVYBĖ .

Jei plokštuma yra statmena vienai iš dviejų lygiagrečių tiesių, tai ji taip pat yra statmena ir kitai.

2. STATYMO TIESIO IR PLOKŠTUMO NUOSAVYBĖ .

Dvi tiesės, statmenos tai pačiai plokštumai, yra lygiagrečios.

Trijų statmenų teorema

Leiskite AB- statmena plokštumai α, A.C.- linkęs ir c- tiesi linija α plokštumoje, einanti per tašką C ir statmenai projekcijai B.C.. Padarykime tiesioginį CK lygiagrečiai linijai AB. Tiesiai CK yra statmena plokštumai α (nes lygiagreti AB), taigi bet kuri šios plokštumos tiesė, todėl CK statmena tiesei linijai c AB Ir CK plokštuma β (lygiagrečios tiesės apibrėžia plokštumą ir tik vieną). Tiesiai c statmena dviem susikertančioms tiesėms, esančioms β plokštumoje, tai yra B.C. pagal būklę ir CK pagal konstrukciją reiškia, kad jis yra statmenas bet kuriai tiesei, priklausančiai šiai plokštumai, tai reiškia, kad ji yra statmena tiesei A.C. .

Trijų statmenų teoremos atvirkštinė

Jei tiesė, nubrėžta plokštumoje per pasvirosios pagrindą, yra statmena pasvirusiajai, tai ji taip pat yra statmena jos projekcijai.

Leiskite AB- statmenai plokštumai a , AC- linkęs ir Su- tiesi linija plokštumoje a, einantis per pasvirusio pagrindą SU. Padarykime tiesioginį SK, lygiagrečiai linijai AB. Tiesiai SK statmenai plokštumai a(pagal šią teoremą, nes ji yra lygiagreti AB), taigi bet kuri šios plokštumos tiesė, todėl SK statmena tiesei linijai Su. Nubrėžkime lygiagrečias linijas AB Ir SK lėktuvas b(lygiagrečios linijos apibrėžia plokštumą ir tik vieną). Tiesiai Su statmenos dviem tiesioms linijoms, esančioms plokštumoje b, Šis AC pagal būklę ir SK pagal konstrukciją reiškia, kad jis yra statmenas bet kuriai tiesei, priklausančiai šiai plokštumai, o tai reiškia, kad ji yra statmena tiesei Saulė. Kitaip tariant, projekcija Saulė statmena tiesei linijai Su, guli lėktuve a .

Statmenas ir įstrižas.

Statmenas, nuleistas nuo tam tikro taško tam tikroje plokštumoje, yra atkarpa, jungianti duotą tašką su plokštumos tašku ir esanti ant plokštumai statmenos tiesės. Šio atkarpos galas, esantis plokštumoje, vadinamas statmens pagrindas .

Pasviręs Iš tam tikro taško į tam tikrą plokštumą nubrėžta atkarpa, jungianti duotą tašką su plokštumos tašku, kuris nėra statmenas plokštumai. Atkarpos, esančios plokštumoje, pabaiga vadinama pasviręs pagrindas. Atkarpa, jungianti statmeno pagrindus su pasvirusiu, nubrėžtu iš to paties taško, vadinamas įstriža projekcija .

1 apibrėžimas. Statmenas duotai tiesei yra tam tikrai tiesei statmena linijos atkarpa, kurios vienas iš jos galų yra jų susikirtimo taške. Atkarpos, esančios ant nurodytos tiesės, galas vadinamas statmens pagrindu.

2 apibrėžimas. Nuolydis, nubrėžtas nuo nurodyto taško iki nurodytos linijos, vadinamas atkarpa, jungiančia šį tašką su bet kuriuo tiesės tašku, kuris nėra statmens, numesto iš to paties taško į nurodytą tiesę, pagrindas. AB yra statmena plokštumai α.

AC – įstrižinė, CB – projekcija.

C yra nuožulniojo pagrindas, B yra statmens pagrindas.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos.

Kampas tarp tiesės ir plokštumos Bet koks kampas tarp tiesės ir jos projekcijos į šią plokštumą vadinamas.

Dvikampis kampas.

Dvikampis kampas- erdvinis geometrinė figūra, kurią sudaro dvi pusplokštumos, kylančios iš vienos tiesios linijos, taip pat erdvės dalis, kurią riboja šios pusiau plokštumos. Puslėktuvai vadinami briaunos dvikampis kampas, o jų bendra tiesė yra kraštas. Matuojami dvikampiai kampai tiesinis kampas, tai yra kampas, sudarytas susikirtus dvibriauniam kampui su jo briaunai statmena plokštuma. Kiekvienas daugiakampis, taisyklingas ar netaisyklingas, išgaubtas ar įgaubtas, turi dvikampį kiekviename krašte.

Dviejų plokštumų statmena.

PLOKŠTUMŲ STAMETUMO ŽENKLAS.

Jei plokštuma eina per tiesę, statmeną kitai plokštumai, tai šios plokštumos yra statmenos.

1.1 Iracionalios lygtys

Neretai randamos neracionalios lygtys stojamieji egzaminai matematikoje, nes su jų pagalba lengva diagnozuoti žinias apie tokias sąvokas kaip lygiavertės transformacijos, apibrėžimo sritis ir kt. Iracionalių lygčių sprendimo metodai dažniausiai grindžiami galimybe pakeisti (naudojant kai kurias transformacijas) ir racionalioji lygtis racionalioji, kuri yra arba lygiavertė pradinei iracionaliajai lygčiai, arba yra jos pasekmė. Dažniausiai abi lygties pusės pakeliamos ta pačia galia. Lygiavertiškumas nepažeidžiamas, kai abi dalys yra įmontuotos nelyginis laipsnis. Priešingu atveju būtina patikrinti rastus sprendinius arba įvertinti abiejų lygties pusių ženklą. Tačiau yra ir kitų metodų, kurie gali būti veiksmingesni sprendžiant neracionalias lygtis. Pavyzdžiui, metodas trigonometrinis pakeitimas.

1 pavyzdys: Išspręskite lygtį

Nuo tada. Todėl galime įdėti . Lygtis įgaus formą

Tada padėkime kur

Atsakymas: .

Algebrinis sprendimas

Nuo tada . Reiškia, , todėl galite išplėsti modulį

Atsakymas: .

Spręsti lygtį algebriškai reikia gerų įgūdžių. tapatybės transformacijos ir kompetentingas lygiaverčių perėjimų tvarkymas. Tačiau apskritai abu sprendimo būdai yra lygiaverčiai.

2 pavyzdys: Išspręskite lygtį

Sprendimas naudojant trigonometrinį pakaitalą

Lygties apibrėžimo sritis suteikiama nelygybe, kuri yra lygiavertė sąlygai, tada. Todėl galite įdėti. Lygtis įgaus formą

Nuo tada. Atidarykime vidinį modulį

Padėkime , Tada

Sąlygą tenkina dvi reikšmės ir .

Atsakymas: .

Algebrinis sprendimas

Pastatykime pirmosios populiacijos sistemos lygtį kvadratu ir gaukime

Tebūnie tada. Lygtis bus perrašyta kaip

Patikrinę nustatome, kad tai yra šaknis, tada padaliję daugianarį iš dvinario gauname dešiniosios lygties pusės išskaidymą į veiksnius

Pereikime nuo kintamojo prie kintamojo, gauname

Būklė atitinka dvi vertybes

Pakeitę šias reikšmes į pradinę lygtį, pamatysime, kad tai yra šaknis.

Panašiu būdu išspręsdami pradinės aibės antrosios sistemos lygtį, pastebime, kad ji taip pat yra šaknis.

Atsakymas: .

Jei ankstesniame pavyzdyje algebrinis sprendimas ir sprendimas naudojant trigonometrinį pakeitimą buvo lygiaverčiai, tada in šiuo atveju sprendimas pakeitimu yra pelningesnis. Spręsdami lygtį naudodami algebrą, turite išspręsti dviejų lygčių aibę, ty du kartus padalyti kvadratu. Po šios nelygios transformacijos gauname dvi ketvirtojo laipsnio lygtis su neracionaliais koeficientais, kurias galima pašalinti pakeitimu. Kitas sunkumas yra rasti sprendinius, pakeičiant juos į pradinę lygtį.

3 pavyzdys: Išspręskite lygtį

Sprendimas naudojant trigonometrinį pakaitalą

Nuo tada. Atminkite, kad neigiama nežinomo reikšmė negali būti problemos sprendimas. Iš tiesų, paverskime pradinę lygtį į formą

Kairėje lygties pusėje skliausteliuose esantis koeficientas yra teigiamas, dešinioji lygties pusė taip pat yra teigiama, todėl koeficientas kairėje lygties pusėje negali būti neigiamas. Štai kodėl, tada, todėl galite įdėti Pradinė lygtis bus perrašyta kaip

Nuo tada ir . Lygtis įgaus formą

Tegul . Pereikime nuo lygties prie lygiavertės sistemos

Skaičiai ir yra kvadratinės lygties šaknys

Algebrinis sprendimas Padėkime kvadratu abi lygties puses

Pristatome pakaitalą , tada lygtis bus parašyta forma

Antroji šaknis yra nereikalinga, todėl apsvarstykite lygtį

Nuo tada.

Šiuo atveju algebrinis sprendimas in techniškai paprastesnis, bet būtina atsižvelgti į pateiktą sprendimą naudojant trigonometrinį pakeitimą. Taip yra visų pirma dėl nestandartinio paties pakeitimo pobūdžio, kuris griauna stereotipą, kad naudoti trigonometrinį pakeitimą galima tik tada, kai. Pasirodo, trigonometrinis pakeitimas taip pat randa pritaikymą. Antra, sunku išspręsti trigonometrinę lygtį , kuris sumažinamas įvedant pakaitalą lygčių sistemoje. Tam tikra prasme šis pakeitimas taip pat gali būti laikomas nestandartiniu, o susipažinimas su juo leidžia praturtinti savo sprendimo būdų ir metodų arsenalą. trigonometrines lygtis.

4 pavyzdys: Išspręskite lygtį

Sprendimas naudojant trigonometrinį pakaitalą

Kadangi kintamasis gali būti bet koks tikrosios vertybės, padėkime . Tada

Nes .

Pradinė lygtis, atsižvelgiant į atliktas transformacijas, įgis formą

Kadangi padalijame abi lygties puses iš , gauname

Leiskite , Tada . Lygtis įgaus formą

Atsižvelgiant į pakeitimą , gauname dviejų lygčių aibę

Išspręskime kiekvieną aibės lygtį atskirai.

Negali būti sinuso reikšmė, nes bet kuriai argumento vertei.

Nes ir dešinioji pradinės lygties pusė yra teigiama, tada . Iš ko išplaukia, kad .

Ši lygtis neturi šaknų, nes .

Taigi pradinė lygtis turi vieną šaknį

Algebrinis sprendimas

Ši lygtis gali būti lengvai „paverstas“ į racionalią aštuntojo laipsnio lygtį, padalijus abi pradinės lygties puses kvadratu. Rasti gautos racionalios lygties šaknis sunku, ir tai būtina turėti aukštas laipsnis išradingumas susidoroti su užduotimi. Todėl patartina žinoti kitą, ne tokį tradicinį, sprendimo būdą. Pavyzdžiui, I. F. Šarygino pasiūlytas pakaitalas.

Padėkime , Tada

Transformuokime dešinę lygties pusę :

Atsižvelgiant į transformacijas, lygtis įgaus formą

Tada pristatykime pakeitimą

Antroji šaknis yra nereikalinga, todėl ir .

Jei lygties sprendimo idėja nėra žinoma iš anksto , tada standartinį sprendinį išspręsti abiejų lygties pusių kvadratu yra problemiška, nes gaunama aštuntojo laipsnio lygtis, kurios šaknis rasti itin sunku. Sprendimas naudojant trigonometrinį pakeitimą atrodo sudėtingas. Gali būti sunku rasti lygties šaknis, jei nepastebite, kad ji yra abipusė. Šios lygties sprendimas įvyksta naudojant algebros aparatą, todėl galime sakyti, kad siūlomas sprendimas yra kombinuotas. Jame informacija iš algebros ir trigonometrijos veikia kartu vienam tikslui – gauti sprendimą. Be to, norint išspręsti šią lygtį, reikia atidžiai apsvarstyti du atvejus. Sprendimas pakeitimu yra techniškai paprastesnis ir gražesnis nei naudojant trigonometrinį pakeitimą. Patartina, kad mokiniai išmanytų šį pakeitimo būdą ir naudotų jį problemoms spręsti.

Pabrėžiame, kad trigonometrinio pakeitimo naudojimas problemoms spręsti turi būti sąmoningas ir pagrįstas. Patartina naudoti pakeitimą tais atvejais, kai sprendimas kitu būdu yra sunkesnis arba visiškai neįmanomas. Pateiksime kitą pavyzdį, kurį, skirtingai nei ankstesnis, galima lengviau ir greičiau išspręsti naudojant standartinį metodą.