Vieningas 2019 m. valstybinių egzaminų tvarkaraštis oficialus FIPI – pakoreguota visų dalykų lentelė aukštųjų mokyklų studentams. Vieningo valstybinio egzamino laikymo tvarka nustatoma pagal pagrindines ir rezervines dienas. Abiturientams, sėkmingai neišlaikiusiems egzamino, taip pat numatyti papildomi egzaminai rudens laikotarpis . Grafiko koregavimas Vieningo valstybinio egzamino vykdymas Vyksta 2019 m Federalinis institutas pedagoginiai matmenys pagal patvirtintus standartus ir metodus, dėl kurių susidaro galutinis ir oficialus galutinis tvarkaraščio variantas. Naujausi pakeitimai Vieningas valstybinių egzaminų tvarkaraštis

-2019FIPI skelbiami likus 2 mėnesiams iki egzamino pradžios. Jei vieningo valstybinio egzamino dienos sutampa, studentas privalo atvykti laikyti egzamino rezervo dieną. Taip pat rezervuota data naudojama neatvykus dėl pateisinamos priežasties ar ligos. Jei per vieningą valstybinį egzaminą buvo nustatyti pažeidimai, turite pateikti skundą tiesiogiai pristatymo punkto komisijai. Tokiu atveju studentų grupės rezultatai gali būti atšaukti, o perėmimas suplanuotas rezervinei dienai. Jeigu rezervo dieną pažeidimas kartojamas, sprendimas pakartotinai išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą

priimtas regiono centras, arba nukeltas į rugsėjį. Iki šiol dvigubų pažeidimų precedentų nebuvo.

• Išankstinis vieningo valstybinio egzamino išlaikymas 2019 m. numatytas tiems, kurie:
• pašauktas į kariuomenę;
• Įstoja į užsienio universitetą;
• Siunčiamas gydytis;

Lapai sporto varžyboms, olimpinėms žaidynėms, varžyboms;

2019-06-05 – socialinės studijos.

2019-06-07 – fizikoje ir literatūroje.

2019-06-09 – rusų kalba.

2019-06-13 – anglų, vokiečių, biologijos.

2019.06.19 – chemija ir istorija.

2019-09-05 – rusų kalba.

2019-09-08 – matematika.

Rezervinės dienos

2019-04-10 – istorija, anglų kalba, informatika, geografija.

2019-04-12 – fizika, biologija, literatūra, socialiniai mokslai, vokiečių ir kitos užsienio kalbos.

2019-04-14 – Rusų kalba ir matematika.

2019-06-20 – geografija ir informatika.

2019-06-21 – literatūra, chemija, fizika. Socialinėse studijose.

2019-06-22 – iš biologijos, užsienio kalbos, istorijos. .

2019-06-23 – kartojimas anglų kalba.

2019-06-28 – matematika, abu lygiai (profesinis ir pagrindinis).

2019-06-29 – rusų kalba.

2019-09-16 – visos prekės.

Šis tvarkaraštis yra preliminarus; pakeitimai gali būti padaryti prieš išleidžiant galutinę patvirtintą versiją. Pakeitimai daromi dėl egzamino laikymo taisyklių koregavimų, taip pat pagal Švietimo ministerijos rekomendacijas.

. Net ir su trumpomis pertraukėlėmis smegenys gali pamiršti svarbias logines grandines.

FIPI 2019 m. vieningo valstybinio egzamino tvarkaraštis rodo, kad jau sausio mėnesį būtina pradėti intensyvų pasiruošimą. Kiekvienas mūsų šalies moksleivis privalo laikyti vieningus testus. valstybinius egzaminus , kurie parodo mokykloje įgytų žinių lygį ir tampa pagrindu tolesnė plėtra išsilavinimas – priėmimas į universitetą. Tokiam svarbiam renginiui reikia ilgai ruoštis, todėl kiekvienas studentas stengiasi iš anksto išsiaiškinti tvarkaraštį 2017.

Vieningi valstybiniai egzaminai

Vieningo valstybinio egzamino 2017 ypatumai Iki 2017 m. testai buvo pagrindinė žinių patikrinimo forma. 2016 m. uniforma testo klausimai

Pirma, dviem privalomi egzaminai pridedamas trečdalis – tai turėtų tapti istorija. Tiesa, trečiojo daikto pavadinimas dar nėra tvirtai nusistovėjęs, bet pradžioje mokslo metusši informacija jau bus paskelbta viešai. Tai reiškia, kad turėsite mokytis rusų kalbos, matematikos ir, greičiausiai, istorijos - tiksliau, tai bus žinoma Vieningo valstybinio egzamino data 2017.

Antra, RAO ( Rusijos akademijaŠvietimas) primygtinai reikalauja įvesti taškų skalė rašinio pažymiai. Į šiandien Rašinys buvo vertinamas tik pagal du kriterijus: įskaitytas arba neišlaikytas. Tai, anot Rusijos švietimo akademijos atstovų, neigiamai veikia studentų žinias ir suteikia pranašumų tiems studentams, kurie tiesiog tingi studijuoti literatūrą - gauti „laiką“ esė yra daug lengviau nei „A“. “.

Trečia, toliau Vieningo valstybinio egzamino rezultatai Taip pat turės įtakos pažymoje esantys pažymiai. Kuo didesni balai už mokykliniai dalykai, tuo aukščiau galutinis pažymys valstybiniam egzaminui.

Ketvirta, jei surinkti taškai nepasieks slenksčio lygio, studentams bus suteikta galimybė dar du kartus perlaikyti vieningą valstybinį egzaminą. Taip pat bus galima kartoti, jei mokinys dėl kokių nors priežasčių nebus patenkintas surinktais taškais.

Taip toliau Vieningas valstybinis egzaminas moksleiviams Taip pat reikia laikyti vieną pasirenkamąjį egzaminą. Juos galima vartoti kelis kartus, kol rezultatas bus patenkinamas.

Vieningo valstybinio egzamino datos 2017 m

Vieningų valstybinių egzaminų tvarkaraštis 2017 m. susideda iš dviejų dalių – ankstyvojo ir pagrindinio.

Ankstyvas vieningo valstybinio egzamino išlaikymo laikotarpis

• Geografija, informatika ir IKT

• Rusų kalba / privalomas dalykas

• istorija, chemija

• matematika / privalomas dalykas

• Geografija, literatūra

• užsienio kalbų(žodinis egzaminas)

• užsienio kalbos, biologija, fizika

• socialiniai mokslai, literatūra

Nuo kitos savaitės pradedamas rezervuoti visų į Vieningų valstybinių egzaminų sąrašą įtrauktų egzaminų laikas.

• rezervas: geografija, chemija, informatika ir IKT, užsienio kalbos (žodinė), istorija

• rezervas: užsienio kalbos, literatūra, fizika, socialiniai mokslai, biologija

• rezervas: rusų kalba, matematika B, P

• Užsienio kalba, istorija, socialiniai mokslai (atsargas)

• Užsienio kalba (žodžiu), geografija, fizika, biologija (atsargas).

Tačiau norint pasinaudoti teise į ankstyvas pristatymas Ne kiekvienas studentas skuba laikyti egzaminą. Todėl dauguma studentų susidomės antruoju 2017 m. vieningų valstybinių egzaminų tvarkaraščio skyriumi – pagrindiniu laikotarpiu.

• Geografija, informatika ir IKT

• matematika B

• matematika P

• socialinis mokslas

• fizika, literatūra

• rusų kalba

• užsienio kalbos, biologija

• užsienio kalbos (žodžiu)

• užsienio kalbos (žodžiu)

• chemija, istorija

Vieningo valstybinio egzamino rezervinės dienos prasideda antradienį.

• rezervas: geografija, informatika ir IRT

• rezervas: literatūra, chemija, fizika, socialiniai mokslai

• rezervas: biologija, istorija užsienio kalbos

• rezervas: užsienio kalbos

• rezervas: matematika B, matematika P

• rezervas: rusų kalba

• rezervas: visiems dalykams

Papildomas laikotarpis (rugsėjo mėn.)

Vieningų valstybinių egzaminų perlaikymas 2017 m

Be pagrindinių ir rezervinių dienų, pačiame Vieningojo valstybinio egzamino procese numatytas ir trečiasis laikotarpis – perlaikymas. Teisę perlaikyti turi kiekvienas mokinys – tiek nepasiekęs minimalaus slenksčio, tiek tiesiog norintis pagerinti savo rezultatus ir surinkti daugiau taškų. Tiesa, tobulėti savo lygį reikės nepaprasto pasitikėjimo savo jėgų ir žinių.

Vieningo valstybinio egzamino perlaikymas paprastai vyksta rugsėjo mėnesį, dažniausiai pirmoje mėnesio pusėje. Tačiau galimo perėmimo grafikas bus žinomas tik 2017 m. rugpjūčio mėn.

Papildomi taškai

Už egzaminų balus galima pridėti papildomų taškų. Taigi, 10 taškų galima pridėti prie:

• pažymėjimui su tik A;
• už mokyklinių dalykų olimpiadose laimėtus prizus;
• už pasiekimus sporte.

Svarstant galimą balų pridėjimą, verta iš anksto pagalvoti apie vieningo valstybinio egzamino laikymą: dalyvauti visų dalykų, ne tik specializuotų, olimpiadose ir konkursuose; kelti savo žinių lygį, siekti puikių pažymių; dalyvauti sportinis gyvenimas mokyklos.

a) Ar yra baigtinė aritmetinė progresija, susidedanti iš penkių natūraliuosius skaičius, kad šios progresijos didžiausių ir mažiausių dalių suma būtų lygi 99?

b) Baigtinė aritmetinė progresija susideda iš šešių natūraliųjų skaičių. Didžiausio ir mažiausio šios progresijos narių suma yra 9. Raskite visus skaičius, sudarančius šią progresiją.

c) Vidutinis aritmetiniai terminai baigtinė aritmetinė progresija, susidedanti iš natūraliųjų skaičių, yra 6,5. Kuris didžiausias skaičius nariai gali būti šioje pažangoje?

Sprendimas.

a) Pirmosios ir penktosios šios progresijos narių suma yra 2 a + 4d ir yra lyginis skaičius. Kadangi 99 yra nelyginis skaičius, 5 natūraliųjų skaičių baigtinės aritmetinės progresijos didžiausių ir mažiausių narių suma negali būti lygi 99.

b) Šios progresijos pirmosios ir šeštos narių suma yra 2 a + 5d= 9. Nuo to laiko d d- gaunamas natūralusis skaičius d= 1. Tada a= 2. Ieškomi skaičiai: 2, 3, 4, 5, 6, 7.

c) Progresijos aritmetinis vidurkis yra lygus pusei jos kraštutinių narių sumos, todėl gauname, kad natūralieji skaičiai nuo 1 iki 12 sudaro progresiją, kurios narių aritmetinis vidurkis yra lygus 6,5, o skaičius. terminai yra 12. Todėl didžiausias galimas kiekis skaičiai yra 12.

Atsakymas: a) ne; b) 2, 3, 4, 5, 6, 7; c)12.

Šaltinis: Vieningas valstybinis egzaminas - 2014. Pagrindinė banga.

Dans n

a) Ar visų šių skaičių suma gali būti lygi 10?

n, jei visų pateiktų skaičių suma mažesnė už 1000?

n, jei visų pateiktų skaičių suma yra 129.

Sprendimas.

a) Taip, gali. Skaičiai 1, 2, 3, 4 sudaro aritmetinę progresiją, o jų suma yra 10.

b) Aritmetinės progresijos narių sumai yra teisinga ši nelygybė:

Taigi, kur rasime Aritmetinės progresijos 1, 2, ..., 44 suma lygi 990 n lygi 44.

c) Aritmetinės progresijos narių sumai galioja:

Taigi, skaičius yra skaičiaus 258 daliklis. Taigi, kadangi mes nustatome, kad arba 3 ir 6 narių progresai, kurių suma yra 129, yra: pavyzdžiui, 42, 43, 44 ir 19, 20, 21, 22, 23, 24.

Atsakymas: a) taip; b) 44; c) 3, 6.

Šaltinis: Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 2013-04-23. Ankstyvoji banga. 901 variantas.

a 1 , a 2 , ..., a 7 Tiksliai trys skaičiai dalijasi iš 100?

a 1 , a 2 , ..., a 49 Tiksliai 11 skaičių dalijasi iš 100?

n a 1 , a 2 , ..., a 2n daugiau 100 kartotinių nei tarp skaičių a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n ?

Sprendimas.

a) Tinkamas pavyzdys yra progresija, kurios pirmasis narys yra 50 ir skirtumas 50. Iš pirmųjų septynių jo narių (50, 100, 150, 200, 250, 300, 350) lygiai trys dalijasi iš 100.

b) Pažymėkime pagal d a 1 , a 2 , ..., a n d- natūralusis skaičius. Leiskite m Ir n- natūraliuosius skaičius, m > n, gcd ( d, 100) žymi didžiausią bendras daliklis skaičių d ir 100. Turime

Todėl skirtumas a m − a n dalijasi iš 100 tada ir tik tada, kai skirtumas m − n a 1 , a 2 , ..., a n, ... yra 100 kartotiniai, tai yra terminai su skaičiais, kurių forma yra kur q p k a 1 , a 2 , ..., a n, ... lygiai vienas dalinsis iš 100. Jei tada tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 49 bus bent 12 skaičių, kurie yra 100 kartotiniai. Jei tada tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 49 bus ne daugiau kaip 10 skaičių, dalijamų iš 100. Tai reiškia, kad nėra progresijos, kurioje tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 49 Yra lygiai 11 skaičių, kurie dalijasi iš 100.

c) Pažymėkite [ x] sveikoji skaičiaus dalis x x k nuoseklūs progresavimo terminai a 1 , a 2 , ..., a n, ... lygiai vienas dalinsis iš 100, kur d

Taigi, tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 2n Daugiau jokių skaičių nebus 100 kartotinių. Taip pat tarp skaičių a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n ne mažesni kaip skaičiai bus 100 kartotiniai. Nelygybė tenkinama tada ir tik tada, kai ši lygybė tenkinama. Tada skirtumas tarp skaičių ir yra mažesnis už 1. Gauname, kad ir Reiškia ir Kadangi skaičius k neviršija 100, iš to seka, kad apsvarstykite progresą su pirmuoju nariu 69 ir skirtumu 1. Tada tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 132 lygiai du dalijasi iš 100 ( a 32 = 100 ir a 132 = 200). Tarp skaičių a 133 , a 134 , ..., a 330 lygiai vienas dalijasi iš 100 ( a 232 = 300). Šis pavyzdys tai rodo n gali būti 66.

Atsakymas: a) Taip, pavyzdžiui, progresija 50, 100, 150, 200, 250, 300, 350, ...; b) ne; c) 66.

a) Ar yra tokia progresija, kurioje tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 7 Lygiai trys skaičiai dalijasi iš 36?

b) Ar yra tokia progresija, kurioje tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a Ar 30 lygiai 9 skaičiai dalijasi iš 36?

c) Kuriems didžiausias natūralus n gali pasirodyti, kad tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 2n daugiau 36 kartotinių nei tarp skaičių a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n ?

Sprendimas.

a) Tinkamas pavyzdys yra progresija su pirmuoju nariu 18 ir skirtumu 18. Iš pirmųjų septynių jo narių (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126) lygiai trys dalijasi iš 36.

b) Pažymėkime pagal d aritmetinės progresijos skirtumas a 1 , a 2 , ..., a n, .... Iš sąlygos išplaukia, kad d- natūralusis skaičius. Leiskite m Ir n- natūraliuosius skaičius, m > n, gcd ( d, 36) žymi didžiausią bendrąjį skaičių daliklį d ir 36. Turime

Todėl skirtumas a m − a n dalijasi iš 36 tada ir tik tada, kai skirtumas m − n dalijasi iš Taigi, jei tarp aritmetinės progresijos narių a 1 , a 2 , ..., a n, ... yra 36 kartotiniai, tai yra terminai su skaičiais, kurių forma yra kur q- pirmojo nario skaičius, a kartotinis p eina per visus neneigiamus sveikuosius skaičius. Todėl tarp bet kurių k nuoseklūs progresavimo terminai a 1 , a 2 , ..., a n, ... lygiai vienas dalinsis iš 36. Jei tada tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 30 bus bent 10 skaičių, kurie yra 36 kartotiniai. Jei tada tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 30 bus ne daugiau kaip 8 skaičiai, dalinami iš 36. Tai reiškia, kad tarp skaičių nėra progresijos a 1 , a 2 , ..., a 30 Lygiai 9 skaičiai dalijasi iš 36.

c) Pažymėkite [ x] sveikoji skaičiaus dalis x- didžiausias sveikasis skaičius, neviršijantis x. Pagal tai, kas buvo įrodyta b punkte tarp bet kurių k nuoseklūs progresavimo terminai a 1 , a 2 , ..., a n, ...būtent vienas bus dalinamas iš 36, kur d- aritmetinės progresijos skirtumas.

Taigi, tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 2n Daugiau jokių skaičių nebus 36 kartotiniai. Taip pat tarp skaičių a 2n + 1 , a 2n + 2 , ..., a 5n 36 kartotiniai bus ne mažesni už skaičius. Nelygybė tenkinama tada ir tik tada, kai ši lygybė tenkinama. Tada skirtumas tarp skaičių ir yra mažesnis už 1. Gauname, kad ir Reiškia ir Kadangi skaičius k neviršija 36, ​​iš to seka, kad laikykime progresą su pirmuoju nariu 27 ir skirtumu 1. Tada tarp skaičių a 1 , a 2 , ..., a 46 lygiai du dalijasi iš 36 ( a 10 = 36 ir a 46 = 72). Tarp skaičių a 47 , a 48 , ..., a 115 lygiai vienas dalijasi iš 36 ( a 82 = 108). Šis pavyzdys tai rodo n gali būti 23.

Atsakymas: a) Taip, pavyzdžiui, progresija 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...; b) ne; c) 23.

· Užduoties prototipas ·

a) gali S lygus 8?

b) Gali S lygus 1?

S.

Sprendimas.

a) Skaičius 8 yra keturių iš eilės einančių aritmetinės progresijos narių suma. Pavyzdžiui, 8 = − 1 + 1 + 3 + 5.

b) Tegul skaičius 1 yra pirmojo suma k aritmetinės progresijos su pirmuoju nariu terminai A ir skirtumas d. Tada

reiškia skaičių k- daliklis 2, kuris prieštarauja sąlygai

c) Bet kuris natūralusis skaičius yra aritmetinės progresijos, susidedančios iš narių, suma. Jei pakeisime visus šios progresijos narius jų priešingybėmis, gausime aritmetinę progresiją, kurią sudaro 2 n narių, kurių suma yra − n.

Ankstesnėje pastraipoje mes tai parodėme S negali būti lygus 1. Panašiai galima parodyti, kad S negali būti lygus −1. Skaičius S gali būti lygus 0, pavyzdžiui, progresijai −1; 0; 1. Taigi, S gali turėti bet kokią sveikojo skaičiaus reikšmę, išskyrus −1 ir 1.

Atsakymas: a) taip; b) ne; c) bet kokios sveikosios reikšmės, išskyrus –1 ir 1.

Šaltinis: Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 2014-05-08. Ankstyvoji banga, rezervo diena. 1 variantas.

a) gali S lygus 9?

b) Gali S lygu 2?

c) Raskite visas vertes, kurias jis gali turėti S.

Sprendimas.

a) Skaičius yra šešių iš eilės einančių aritmetinės progresijos narių suma. Pavyzdžiui,

b) Tegul skaičius yra aritmetinės progresijos su pirmuoju nariu pirmųjų narių ir skirtumo Tada suma

tai reiškia, kad skaičius yra daliklis, o tai prieštarauja sąlygai

c) Bet kuris natūralusis skaičius yra aritmetinės progresijos, susidedančios iš narių, suma. Jei visus šios progresijos narius pakeisime jų priešingybėmis, gausime aritmetinę progresiją, susidedančią iš narių, kurių suma lygi

Ankstesnėje pastraipoje mes parodėme, kad jis negali būti lygus, pavyzdžiui, progresui, išskyrus ir

Atsakymas: a) taip; b) ne; c) bet kokios sveikosios reikšmės, išskyrus ir

Šaltinis: Vieningas valstybinis matematikos egzaminas 2014-05-08. Ankstyvoji banga, rezervo diena. 2 variantas.

· Užduoties prototipas ·

a) Ar yra 5 ilgio aritmetinė progresija, sudaryta iš šios sekos narių?

b) Ar galima sukurti aritmetinę progresiją? begalinis ilgis iš šių skaičių?

c) Ar progresija gali turėti 2013 m. narius?

Sprendimas.

a) Apsvarstykite seką: nesunku pastebėti, kad tai progresas su skirtumu

b) Tegu yra begalinė aritmetinė progresija, kurios visi nariai yra tam tikros sekos nariai. Apibrėžtumo sumetimais tegul pirmasis šios progresijos narys yra lygus, o šios progresijos skirtumas lygus Tada paimame natūralią tokią, kad Tada gauname, kad Tai reiškia, kad mūsų progreso narys yra neigiamas, bet taip negali būti.

c) Apsvarstykite tokią aritmetinę progresiją: ...; Akivaizdu, kad kiekviena iš šių trupmenų yra šios sekos narys.

Atsakymas: a) taip; b) ne; c) taip.

Šaltinis: A. Larinas: Mokymų variantas Nr.22.

a) Ar yra progresijų, kurioms ir yra skirtingi natūralūs skaičiai?

b) Ar yra progresijų, kurioms ir yra skirtingi natūralieji skaičiai?

c) Kuris mažiausia vertė gali paimti trupmeną, jei tai žinoma, ir yra skirtingi natūralūs skaičiai.

Sprendimas.

a) Tinkamas pavyzdys yra progresijos ir atitinkamai. Šioms pažangoms turime ir

b) Tarkime, kad tokios progresijos egzistuoja. Tada vienas iš skaičių arba yra ne mažesnis nei 1, o antrasis didesnis už 1. Tai reiškia arba ir , Taigi, naudodamiesi aritmetinės progresijos savybėmis gauname:

Priėjome prieštaravimą.

c) Pažymėkime ir aritmetinių progresijų skirtumus ir atitinkamai. Iš sąlygos išplaukia, kad skaičiai yra ir natūralūs, ir sveikieji skaičiai, o ne lygus nuliui. Turime:

Trupmenų ir vardikliai yra teigiami, o šių trupmenų skaitikliai turi tas pats ženklas. Tai reiškia, kad skaičiai ir turi tą patį ženklą, tai yra arba , arba Abiem atvejais gauname, kad

Jei progresijos ir yra progresijos ir atitinkamai, tada ir Šis pavyzdys rodo, kad mažiausia įmanoma trupmenos reikšmė yra

Atsakymas: a) taip, pavyzdžiui, ir atitinkamai; b) ne; c) 2.

· Užduoties prototipas ·

Didėjančios aritmetinės progresijos susideda iš natūraliųjų skaičių.

a) Ar yra tokios progresijos, kurioms ?

b) Ar yra tokios progresijos, kurioms ?

c) Kuris didžiausia vertė gali priimti darbą, jei ?

Sprendimas.

a) Tinkamas pavyzdys yra progresijos ir atitinkamai. Šioms pažangoms mes turime

b) Pažymėkime ir aritmetinių progresijų skirtumus ir atitinkamai. Tada

Jei , tada priėjome prieštaravimą, nes pagal sąlygą ir

c) Kaip ir anksčiau, atitinkamai žymime ir aritmetinių progresijų skirtumus ir. Tada pagal sąlygą ir tai, kas buvo įrodyta punkte b, turime: Taigi,

Jei progresija ir yra progresija ir atitinkamai, tada

Šis pavyzdys rodo, kad didžiausia galima produkto vertė yra

Atsakymas: a) taip, pavyzdžiui, ir atitinkamai; b) ne; c) 98.

Dans nįvairūs natūralieji skaičiai, sudarantys aritmetinę progresiją

a) Ar visų šių skaičių suma gali būti lygi 14?

b) Kokia yra didžiausia vertė n, jei visų pateiktų skaičių suma mažesnė už 900?

c) Surask viską galimas vertes n, jei visų pateiktų skaičių suma yra 123.

Sprendimas.

a) Taip, gali. Skaičiai 2, 3, 4, 5 sudaro aritmetinę progresiją, jų suma lygi 14.

b) Tegul a- pirmasis narys, d- skirtumas, n- progresijos narių skaičius, tada jų suma yra lygi Kad narių skaičius būtų didžiausias, pirmasis narys ir skirtumas turi būti mažiausi. Tegul jie lygūs 1, tada pagal sąlygą Didžiausias natūralus sprendimasši nelygybė n= 41. Šis rezultatas gaunamas progresuojant

c) Aritmetinės progresijos terminų sumai turime:

Taigi progresijos terminų skaičius n yra skaičiaus 246 daliklis. Jei tada kairėje pusėje didesnis nei 246: taigi, kadangi mes nustatome, kad arba egzistuoja trijų ir šešių narių progresai, kurių suma yra 123: pavyzdžiui, 40, 41, 42 ir 3, 10, 17, 24, 31, 38.

Darbo tipas: 11

Būklė

Natašai reikia pagaminti 300 popierinių kranų. Kiekvieną dieną ji padaro tiek pat gervių, kiek daugiau nei praėjusią dieną. Pirmą dieną Nataša pagamino 6 gerves. Kiek kranų buvo pagaminta paskutinę dieną, jei visas darbas truko 15 dienų?

Sprendimas

Tai išplaukia iš sąlygos, kad popierinių „gervių“ kas dieną padaugėjo tiek pat. Kasdien pagaminamų popierinių „gervių“ skaičius sudaro aritmetinę progresiją, kur pirmasis progresijos narys yra lygus 6. Pagal aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulę turime

a_1+a_2+a_3+...+a_(15)= \frac(a_1+a_(15))(2)\cdot15= 300,

6+a_(15)=40,

a_(15)=40-6=34.

Paskutinę dieną Nataša pagamino 34 popierinius „gerves“

Atsakymas

Darbo tipas: 11
Tema: Aritmetika ir geometrinės progresijos

Būklė

Kolijai reikia pasodinti 350 rožių krūmų. Kasdien jis pasodina tiek pat krūmų daugiau nei praėjusią dieną. Pirmą dieną pasodino 8 rožių krūmus. Kiek krūmų buvo pasodinta paskutinę dieną, jei visi darbai truko 20 dienų?

Sprendimas

Tai išplaukia iš sąlygos, kad kiekvieną dieną pasodintų rožių krūmų skaičius didėjo tiek pat. Kasdien pasodintų rožių skaičius sudaro aritmetinę progresiją, o pirmasis terminas yra 8. Naudodami aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulę, gauname a_1+a_2+a_3+...+a_(20)= \frac(a_1+a_(20))(2)\cdot20= 350,

8+a_(20)=35,

a_(20)=35-8=27.

Paskutinę dieną Kolya pasodino 27 rožių krūmus.

Atsakymas

Šaltinis: „Matematika. Pasirengimas vieningam valstybiniam egzaminui 2017 m. Profilio lygis“ Red. F. F. Lysenko, S. Kulabukhova.

Darbo tipas: 11
Tema: Aritmetinė ir geometrinė progresija

Būklė

Plytininkas turi iškloti 320 m2 plytelių. Jei per dieną jis paklos 6 m2 daugiau nei planuota, darbai bus baigti 12 dienų anksčiau. Nustatykite, kiek kvadratinių metrų plytelių per dieną plytelių klojėjas planuoja kloti.

Pradinis lygis

Aritmetinė progresija. Išsami teorija su pavyzdžiais (2019 m.)

Skaičių seka

Taigi, atsisėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:
Galite rašyti bet kokius skaičius, o jų gali būti tiek, kiek norite (mūsų atveju jų yra). Kad ir kiek skaičių berašytume, visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir taip iki paskutinio, tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys:

Skaičių seka
Pavyzdžiui, mūsų seka:

Priskirtas numeris būdingas tik vienam sekos numeriui. Kitaip tariant, sekoje nėra trijų sekundžių skaičių. Antrasis skaičius (kaip ir antrasis) visada yra tas pats.
Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Mūsų atveju:

Tarkime, kad turime skaičių seka, kuriame gretimų skaičių skirtumas yra vienodas ir lygus.
Pavyzdžiui:

ir tt
Ši skaičių seka vadinama aritmetine progresija.
Terminą „progresacija“ romėnų autorius Boethius įvedė dar VI amžiuje ir jis buvo suprantamas plačiau. plačiąja prasme, kaip begalinė skaičių seka. Pavadinimas „aritmetika“ buvo perkeltas iš ištisinių proporcijų teorijos, kurią tyrinėjo senovės graikai.

Tai skaičių seka, kurios kiekvienas narys yra lygus ankstesniam, pridėtam prie to paties skaičiaus. Šis skaičius vadinamas aritmetinės progresijos skirtumu ir yra žymimas.

Pabandykite nustatyti, kurios skaičių sekos yra aritmetinė progresija, o kurios ne:

a)
b)
c)
d)

Supratai? Palyginkime savo atsakymus:
Is aritmetinė progresija - b, c.
Ar ne aritmetinė progresija - a, d.

Grįžkime prie duotosios progresijos () ir pabandykime rasti jos nario reikšmę. Egzistuoja du būdas jį rasti.

1. Metodas

Progresijos skaičių galime pridėti prie ankstesnės reikšmės, kol pasieksime tąjį progresijos narį. Gerai, kad neturime daug ką apibendrinti – tik trys vertybės:

Taigi aprašytos aritmetinės progresijos narys yra lygus.

2. Metodas

O kas, jei mums reikėtų rasti progresijos tosios nario vertę? Sumavimas užtruktų ne vieną valandą, ir tai nėra faktas, kad nesuklystume sudėdami skaičius.
Žinoma, matematikai sugalvojo būdą, kaip nebūtina pridėti aritmetinės progresijos skirtumo prie ankstesnės reikšmės. Atidžiau pažvelkite į nupieštą paveikslėlį... Tikrai jau pastebėjote tam tikrą raštą, būtent:

Pavyzdžiui, pažiūrėkime, iš ko susideda šios aritmetinės progresijos n-ojo nario reikšmė:


Kitaip tariant:

Pabandykite tokiu būdu patys rasti tam tikros aritmetinės progresijos nario vertę.

Ar paskaičiavai? Palyginkite savo užrašus su atsakymu:

Atkreipkite dėmesį, kad gavote lygiai tokį patį skaičių kaip ir ankstesniame metode, kai prie ankstesnės reikšmės nuosekliai pridėjome aritmetinės progresijos terminus.
Pabandykime „nuasmeninti“ šią formulę- Atveskime ją pas ją bendras vaizdas ir gauname:

Aritmetinė progresija gali didėti arba mažėti.

Didėja- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra didesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Mažėjantis- progresija, kurioje kiekviena paskesnė terminų reikšmė yra mažesnė už ankstesnę.
Pavyzdžiui:

Išvestinė formulė naudojama skaičiuojant terminus tiek didėjančiais, tiek mažėjančiais aritmetinės progresijos nariais.
Patikrinkime tai praktiškai.
Pateikiame aritmetinę progresiją, kurią sudaro šie skaičiai: Patikrinkime, koks bus šios aritmetinės progresijos skaičius, jei jį apskaičiuoti naudosime savo formule:

Nuo tada:

Taigi, esame įsitikinę, kad formulė veikia tiek mažėjant, tiek didėjant aritmetinei progresijai.
Pabandykite patys rasti šios aritmetinės progresijos angą ir angą.

Palyginkime rezultatus:

Aritmetinės progresijos savybė

Sudėtingukime uždavinį – išvesime aritmetinės progresijos savybę.
Tarkime, kad mums suteikiama tokia sąlyga:
- aritmetinė progresija, raskite reikšmę.
Lengva, sakai ir pradedi skaičiuoti pagal jau žinomą formulę:

Tegu tada:

Visiškai tiesa. Pasirodo, pirmiausia randame, tada pridedame prie pirmojo skaičiaus ir gauname tai, ko ieškome. Jei progresija vaizduojama mažomis reikšmėmis, tame nėra nieko sudėtingo, bet kas, jei sąlygoje mums pateikiami skaičiai? Sutikite, yra galimybė padaryti klaidą skaičiavimuose.
Dabar pagalvokite, ar įmanoma išspręsti šią problemą vienu žingsniu naudojant bet kokią formulę? Žinoma, taip, ir tai dabar pabandysime atskleisti.

Reikalingą aritmetinės progresijos narį pažymėkime taip, kaip mums žinoma jo radimo formulė – tai ta pati formulė, kurią išvedėme pradžioje:
, Tada:

• ankstesnis progresavimo terminas yra:
• kitas progresavimo terminas yra:

Apibendrinkime ankstesnes ir paskesnes progreso sąlygas:

Pasirodo, kad ankstesnių ir paskesnių progresijos narių suma yra dviguba tarp jų esančio progresijos nario reikšmė. Kitaip tariant, rasti progresijos nario reikšmę, atsižvelgiant į žinomą ankstesnį ir nuoseklios vertės, turite juos sudėti ir padalyti iš.

Teisingai, mes gavome tą patį numerį. Apsaugokime medžiagą. Apskaičiuokite progreso vertę patys, tai visai nėra sunku.

Gerai padaryta! Jūs žinote beveik viską apie progresą! Belieka išsiaiškinti tik vieną formulę, kurią, pasak legendos, nesunkiai išvedė vienas didžiausių visų laikų matematikų, „matematikų karalius“ – Carlas Gaussas...

Kai Carlui Gausui buvo 9 metai, mokytojas, užsiėmęs kitų klasių mokinių darbų tikrinimu, klasėje uždavė tokią užduotį: „Apskaičiuokite visų natūraliųjų skaičių sumą nuo iki (pagal kitus šaltinius iki) imtinai“. Įsivaizduokite mokytojo nuostabą, kai vienas jo mokinys (tai buvo Karlas Gaussas) po minutės teisingai atsakė į užduotį, o dauguma drąsuolio klasės draugų po ilgų skaičiavimų gavo neteisingą rezultatą...

Jaunasis Carlas Gaussas pastebėjo tam tikrą modelį, kurį taip pat galite lengvai pastebėti.
Tarkime, kad turime aritmetinę progresiją, susidedančią iš -ųjų narių: Turime rasti šių aritmetinės progresijos narių sumą. Žinoma, galime rankiniu būdu susumuoti visas reikšmes, bet kas, jei užduočiai reikia rasti jos terminų sumą, kaip ieškojo Gaussas?

Pavaizduokime mums duotą progresą. Atidžiai apžiūrėkite paryškintus skaičius ir pabandykite su jais atlikti įvairius matematinius veiksmus.


Ar bandėte? Ką pastebėjai? Teisingai! Jų sumos yra lygios

Dabar pasakykite man, kiek tokių porų iš viso yra mums pateiktoje progresijoje? Žinoma, lygiai pusė visų skaičių, tai yra.
Remdamiesi tuo, kad dviejų aritmetinės progresijos narių suma yra lygi, o panašios poros yra lygios, gauname, kad bendra suma yra lygus:
.
Taigi bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Kai kuriose problemose mes nežinome laipsnio, bet žinome progresijos skirtumą. Pabandykite pakeisti th nario formulę į sumos formulę.
ką gavai?

Gerai padaryta! Dabar grįžkime prie uždavinio, kuris buvo užduotas Carlui Gaussui: patys apskaičiuokite, kam lygi skaičių, prasidedančių nuo th, suma ir skaičių, prasidedančių nuo th, suma.

Kiek gavai?
Gaussas nustatė, kad terminų suma yra lygi, o terminų suma. Ar taip nusprendėte?

Tiesą sakant, aritmetinės progresijos terminų sumos formulę dar III amžiuje įrodė senovės graikų mokslininkas Diofantas, ir per tą laiką sąmojingi žmonės visapusiškai pasinaudojo aritmetinės progresijos savybėmis.
Pavyzdžiui, įsivaizduokite Senovės Egiptas ir labiausiai didelio masto statyba tą kartą – piramidės statyba... Paveiksle pavaizduota viena jos pusė.

Sakysite, kur čia progresas? Atidžiai pažiūrėkite ir suraskite smėlio blokų skaičių kiekvienoje piramidės sienos eilutėje.


Kodėl gi ne aritmetinė progresija? Apskaičiuokite, kiek blokų reikia vienai sienai pastatyti, jei prie pagrindo dedamos blokinės plytos. Tikiuosi, neskaičiuosite judindami pirštu per monitorių, pamenate paskutinę formulę ir viską, ką sakėme apie aritmetinę progresiją?

IN šiuo atveju Progresas atrodo taip: .
Aritmetinės progresijos skirtumas.
Aritmetinės progresijos narių skaičius.
Pakeiskime savo duomenis į paskutines formules (blokų skaičių apskaičiuokite 2 būdais).

1 būdas.

2 metodas.

O dabar galite apskaičiuoti monitoriuje: palyginkite gautas vertes su mūsų piramidėje esančių blokų skaičiumi. Supratai? Puiku, jūs įvaldėte aritmetinės progresijos n-ųjų narių sumą.
Žinoma, jūs negalite statyti piramidės iš blokų prie pagrindo, bet iš? Pabandykite apskaičiuoti, kiek smėlio plytų reikia norint pastatyti sieną su tokia sąlyga.
Ar susitvarkei?
Teisingas atsakymas yra blokai:

Treniruotės

Užduotys:

1. Maša įgauna formą vasarai. Kiekvieną dieną ji padidina pritūpimų skaičių. Kiek kartų Maša darys pritūpimus per savaitę, jei pritūpimus padarė per pirmąją treniruotę?
2. Kokia yra visų nelyginių skaičių suma.
3. Laikydami rąstus, medkirčiai sukrauna juos taip, kad kiekvienas viršutinis sluoksnis yra vienu rąstu mažiau nei ankstesniame. Kiek rąstų yra viename mūre, jei mūro pamatas yra rąstai?

Atsakymai:

1. Apibrėžkime aritmetinės progresijos parametrus. Šiuo atveju
   (savaitės = dienos).

   Atsakymas: Per dvi savaites Maša turėtų daryti pritūpimus kartą per dieną.

2. Pirmas nelyginis skaičius, paskutinis skaičius.
   Aritmetinės progresijos skirtumas.
   Nelyginių skaičių skaičius yra pusė, tačiau patikrinkime šį faktą naudodami formulę, skirtą aritmetinės progresijos namui rasti:

   Skaičiuose yra nelyginių skaičių.
   Pakeiskime turimus duomenis į formulę:

   Atsakymas: Visų nelyginių skaičių suma yra lygi.

3. Prisiminkime problemą dėl piramidžių. Mūsų atveju a , nes kiekvienas viršutinis sluoksnis sumažinamas vienu rąstu, tada iš viso yra krūva sluoksnių, tai yra.
   Pakeiskime duomenis į formulę:

   Atsakymas: Mūre yra rąstų.

Apibendrinkime

1. - skaičių seka, kurioje gretimų skaičių skirtumas yra vienodas ir lygus. Jis gali didėti arba mažėti.
2. Formulės radimas Trečiasis aritmetinės progresijos narys rašomas formule - , kur yra skaičių skaičius progresijoje.
3. Aritmetinės progresijos narių savybė- - kur yra einančių skaičių skaičius.
4. Aritmetinės progresijos narių suma galima rasti dviem būdais:
   
   , kur yra reikšmių skaičius.

ARITMETINĖ PROGRESIJA. VIDURIO LYGIS

Skaičių seka

Susėskime ir pradėkime rašyti keletą skaičių. Pavyzdžiui:

Galite rašyti bet kokius skaičius ir jų gali būti tiek, kiek norite. Bet visada galime pasakyti, kuris pirmas, kuris antras ir t.t., tai yra, galime juos sunumeruoti. Tai yra skaičių sekos pavyzdys.

Skaičių seka yra skaičių rinkinys, kiekvienam iš kurių galima priskirti unikalų numerį.

Kitaip tariant, kiekvienas skaičius gali būti susietas su tam tikru natūraliu skaičiumi ir unikaliu. Ir mes nepriskirsime šio numerio jokiam kitam numeriui iš šio rinkinio.

Skaičius su skaičiumi vadinamas sekos nariu.

Paprastai visą seką vadiname kokia nors raide (pvz.,), ir kiekvienas šios sekos narys yra ta pati raidė, kurios indeksas yra lygus šio nario skaičiui: .

Labai patogu, jei sekos d-asis narys gali būti nurodytas kokia nors formule. Pavyzdžiui, formulė

nustato seką:

Ir formulė yra tokia seka:

Pavyzdžiui, aritmetinė progresija yra seka (pirmasis narys čia yra lygus, o skirtumas yra). Arba (, skirtumas).

n-ojo termino formulė

Formulę vadiname pasikartojančia, kurioje, norint sužinoti terminą, reikia žinoti ankstesnį ar kelis ankstesnius:

Norėdami, pavyzdžiui, pagal šią formulę rasti progresijos th narį, turėsime apskaičiuoti ankstesnius devynis. Pavyzdžiui, leiskite. Tada:

Na, ar dabar aišku, kokia yra formulė?

Kiekvienoje eilutėje pridedame, padauginus iš tam tikro skaičiaus. Kurią? Labai paprasta: tai yra dabartinio nario skaičius, atėmus:

Dabar daug patogiau, tiesa? Mes tikriname:

Spręskite patys:

Aritmetinėje progresijoje raskite n-ojo nario formulę ir suraskite šimtąjį narį.

Sprendimas:

Pirmasis terminas yra lygus. Koks skirtumas? Štai kas:

(Štai kodėl jis vadinamas skirtumu, nes yra lygus nuoseklių progresijos narių skirtumui).

Taigi, formulė:

Tada šimtasis narys yra lygus:

Kokia yra visų natūraliųjų skaičių suma nuo iki?

Pasak legendos, puikus matematikas Karlas Gaussas, būdamas 9 metų berniukas, šią sumą apskaičiavo per kelias minutes. Pastebėjo, kad suma pirmojo ir paskutinė data yra lygi, antrojo ir priešpaskutinio suma vienoda, trečio ir 3 nuo galo suma yra vienoda ir pan. Kiek tokių porų iš viso yra? Teisingai, lygiai pusė visų skaičių, tai yra. Taigi,

Bendra bet kurios aritmetinės progresijos pirmųjų narių sumos formulė bus tokia:

Pavyzdys:
Raskite visų sumą dviženklius skaičius, kartotiniai.

Sprendimas:

Pirmasis toks skaičius yra šis. Kiekvienas paskesnis skaičius gaunamas pridedant prie ankstesnio skaičiaus. Taigi mus dominantys skaičiai sudaro aritmetinę progresiją su pirmuoju nariu ir skirtumu.

Šios progresijos termino formulė:

Kiek terminų yra progresijoje, jei jie visi turi būti dviženkliai?

Labai lengva:.

Paskutinis progresavimo terminas bus lygus. Tada suma:

Atsakymas:.

Dabar spręskite patys:

1. Kiekvieną dieną sportininkas nubėga daugiau metrų nei praėjusią dieną. Kiek iš viso kilometrų jis nubėgs per savaitę, jei pirmą dieną nubėgo km m?
2. Dviratininkas kasdien nuvažiuoja daugiau kilometrų nei praėjusią dieną. Pirmą dieną nukeliavo km. Kiek dienų jam reikia važiuoti, kad įveiktų kilometrą? Kiek kilometrų jis nuvažiuos per paskutinę kelionės dieną?
3. Kasmet tiek pat mažėja šaldytuvo kaina parduotuvėje. Nustatykite, kiek kasmet sumažėjo šaldytuvo kaina, jei pardavimui už rublius, o po šešerių metų jis buvo parduotas už rublius.

Atsakymai:

1. Čia svarbiausia atpažinti aritmetinę progresiją ir nustatyti jos parametrus. Šiuo atveju (savaitės = dienos). Turite nustatyti pirmųjų šios progresijos sąlygų sumą:
   .
   Atsakymas:
2. Čia pateikiama: , reikia rasti.
   Akivaizdu, kad reikia naudoti tą pačią sumos formulę kaip ir ankstesnė užduotis:
   .
   Pakeiskite reikšmes:

   Šaknis akivaizdžiai netelpa, tad atsakymas toks.
   Apskaičiuokime nueitą kelią per paskutinę dieną, naudodami antrojo termino formulę:
   (km).
   Atsakymas:

3. Duota:. Rasti:.
   Tai negali būti paprasčiau:
   (trinti).
   Atsakymas:

ARITMETINĖ PROGRESIJA. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Tai skaičių seka, kurioje skirtumas tarp gretimų skaičių yra vienodas ir lygus.

Aritmetinė progresija gali būti didėjanti () ir mažėjanti ().

Pavyzdžiui:

Aritmetinės progresijos n-ojo nario radimo formulė

parašytas pagal formulę, kur yra einančių skaičių skaičius.

Aritmetinės progresijos narių savybė

Tai leidžia lengvai rasti progresijos narį, jei žinomi jo kaimyniniai nariai – kur yra skaičių skaičius progresijoje.

Aritmetinės progresijos narių suma

Yra du būdai sužinoti sumą:

Kur yra reikšmių skaičius.

Kur yra reikšmių skaičius.