Kas yra x kosinusas? Pagrindinės trigonometrijos formulės

Šiame straipsnyje mes išsamiai apžvelgsime. Pagrindinės trigonometrinės tapatybės yra lygybės, kurios nustato ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento ir leidžia rasti bet kurią iš šių trigonometrinių funkcijų per žinomą kitą.

Iškart išvardinkime pagrindines trigonometrines tapatybes, kurias analizuosime šiame straipsnyje. Surašykime jas į lentelę, o žemiau pateiksime šių formulių išvestį ir pateiksime reikiamus paaiškinimus.

Puslapio naršymas.

Ryšys tarp vieno kampo sinuso ir kosinuso

Kartais jie kalba ne apie pagrindines trigonometrines tapatybes, išvardytas aukščiau esančioje lentelėje, o apie vieną vienintelį pagrindinė trigonometrinė tapatybė malonus . Šio fakto paaiškinimas yra gana paprastas: lygybės gaunamos iš pagrindinės trigonometrinės tapatybės, padalijus abi jos dalis atitinkamai iš ir iš lygybių. Ir išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Apie tai plačiau pakalbėsime tolesnėse pastraipose.

tai yra ypatingas susidomėjimas būtent reiškia lygybę, kuriai buvo suteiktas pagrindinės trigonometrinės tapatybės pavadinimas.

Prieš įrodydami pagrindinį trigonometrinį tapatumą, pateikiame jo formuluotę: vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma yra identiškai lygi vienetui. Dabar įrodykime.

Pagrindinė trigonometrinė tapatybė labai dažnai naudojama, kai transformacija trigonometrinės išraiškos . Tai leidžia vieno kampo sinuso ir kosinuso kvadratų sumą pakeisti vienu. Ne mažiau dažnai naudojama pagrindinė trigonometrinė tapatybė atvirkštine tvarka: vienetas pakeičiamas bet kurio kampo sinuso ir kosinuso kvadratų suma.

Tangentas ir kotangentas per sinusą ir kosinusą

Tapatybės, jungiančios liestinę ir kotangentą su vieno matymo kampo sinusu ir kosinusu ir iš karto išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų. Iš tiesų, pagal apibrėžimą sinusas yra y ordinatė, kosinusas yra x abscisė, liestinė yra ordinatės ir abscisės santykis, tai yra, , o kotangentas yra abscisių ir ordinačių santykis, ty .

Dėl tokio tapatybių akivaizdumo ir Tangentas ir kotangentas dažnai apibrėžiami ne per abscisių ir ordinačių santykį, o per sinuso ir kosinuso santykį. Taigi kampo liestinė yra sinuso ir šio kampo kosinuso santykis, o kotangentas yra kosinuso ir sinuso santykis.

Baigiant šią pastraipą, reikia pažymėti, kad tapatybės ir vyksta visiems kampams, kuriuose į juos įtrauktos trigonometrinės funkcijos turi prasmę. Taigi formulė galioja bet kuriai , išskyrus (kitaip vardiklis turės nulį, o dalybos iš nulio neapibrėžėme), o formulė - visiems , skiriasi nuo , kur z yra bet kuris .

Ryšys tarp liestinės ir kotangento

Dar akivaizdžiau trigonometrinė tapatybė nei ankstesni du, yra tapatybė, jungianti vieno formos kampo liestinę ir kotangentą . Akivaizdu, kad jis galioja bet kokiems kampams, išskyrus , kitaip nei liestinė, nei kotangentas nėra apibrėžti.

Formulės įrodymas labai paprasta. Pagal apibrėžimą ir iš kur . Įrodinėjimas galėjo būti atliktas kiek kitaip. Kadangi , Tai .

Taigi, to paties kampo, kuriuo jie turi prasmę, liestinė ir kotangentas yra .

Trigonometrija – pjūvis matematikos mokslas, kuriame nagrinėjamos trigonometrinės funkcijos ir jų panaudojimas geometrijoje. Trigonometrijos raida prasidėjo dar senais laikais senovės Graikija. Viduramžiais Artimųjų Rytų ir Indijos mokslininkai labai prisidėjo prie šio mokslo plėtros.

Šis straipsnis skirtas pagrindinės sąvokos ir trigonometrijos apibrėžimai. Jame aptariami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimai: sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas. Jų reikšmė paaiškinama ir iliustruojama geometrijos kontekste.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Iš pradžių trigonometrinių funkcijų, kurių argumentas yra kampas, apibrėžimai buvo išreikšti kraštinių santykiais stačiakampis trikampis.

Trigonometrinių funkcijų apibrėžimai

Kampo sinusas (sin α) yra kojos, esančios priešingos šiam kampui, santykis su hipotenuze.

Kampo kosinusas (cos α) - gretimos kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė (t g α) - santykis priešinga kojaį gretimą.

Kampo kotangentas (c t g α) – gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis.

Šie apibrėžimai pateikti stačiojo trikampio smailiam kampui!

Pateikime iliustraciją.

IN trikampis ABC su stačiu kampu C kampo A sinusu lygus santykiui koja BC iki hipotenuzės AB.

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimai leidžia apskaičiuoti šių funkcijų reikšmes iš žinomų trikampio kraštinių ilgių.

Svarbu atsiminti!

Sinuso ir kosinuso reikšmių diapazonas yra nuo -1 iki 1. Kitaip tariant, sinusas ir kosinusas turi reikšmes nuo -1 iki 1. Tangento ir kotangento verčių diapazonas yra visa skaičių eilutė, tai yra, šios funkcijos gali įgyti bet kokias reikšmes.

Aukščiau pateikti apibrėžimai taikomi smailiesiems kampams. Trigonometrijoje įvedama sukimosi kampo sąvoka, kurios reikšmė, skirtingai nuo smailaus kampo, neapsiriboja nuo 0 iki 90 laipsnių. Sukimosi kampas laipsniais arba radianais išreiškiamas bet kokiu realiu skaičiumi nuo – ∞ iki + ∞.

IN šiame kontekste Galite apibrėžti savavališko dydžio kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą. Įsivaizduokime vieneto ratas centruotas Dekarto koordinačių sistemos pradžioje.

Pradinis taškas A su koordinatėmis (1, 0) sukasi aplink vienetinio apskritimo centrą tam tikru kampu α ir eina į tašką A 1. Apibrėžimas pateiktas taško A 1 (x, y) koordinatėmis.

Sukimosi kampo sinusas (sin).

Sukimosi kampo α sinusas yra taško A 1 (x, y) ordinatė. sin α = y

Sukimosi kampo kosinusas (cos).

Sukimosi kampo α kosinusas yra taško A 1 (x, y) abscisė. cos α = x

Sukimosi kampo liestinė (tg).

Sukimosi kampo α liestinė yra taško A 1 (x, y) ordinatės ir jo abscisės santykis. t g α = y x

Sukimosi kampo kotangentas (ctg).

Sukimosi kampo α kotangentas yra taško A 1 (x, y) abscisių ir jo ordinatės santykis. c t g α = x y

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiam sukimosi kampui. Tai logiška, nes taško abscisė ir ordinatė po pasukimo gali būti nustatomos bet kokiu kampu. Kitokia situacija yra su tangentu ir kotangentu. Liestinė neapibrėžta, kai taškas po pasukimo eina į tašką, kurio abscisės nulinės (0, 1) ir (0, - 1). Tokiais atvejais liestinės t g α = y x išraiška tiesiog neturi prasmės, nes joje yra dalijimas iš nulio. Panaši situacija ir su kotangentu. Skirtumas tas, kad kotangentas neapibrėžiamas tais atvejais, kai taško ordinatė eina į nulį.

Svarbu atsiminti!

Sinusas ir kosinusas yra apibrėžti bet kokiems kampams α.

Liestinė apibrėžta visiems kampams, išskyrus α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangentas apibrėžiamas visiems kampams, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Sprendžiant praktiniais pavyzdžiais nesakyk „sukimosi kampo sinusas α“. Žodžiai „sukimosi kampas“ tiesiog praleisti, o tai reiškia, kad iš konteksto jau aišku, apie ką kalbama.

Skaičiai

O kaip su skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimu, o ne sukimosi kampu?

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė, kotangentas

Skaičiaus sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas t yra skaičius, kuris yra atitinkamai lygus sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui in t radianas.

Pavyzdžiui, skaičiaus 10 sinusas π lygus sinusui sukimosi kampas 10 π rad.

Yra ir kitas skaičiaus sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento nustatymo būdas. Pažvelkime į tai atidžiau.

bet kas realus skaičius t vienetinio apskritimo taškas yra susietas su centru stačiakampės Dekarto koordinačių sistemos pradžioje. Sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas nustatomi per šio taško koordinates.

Apskritimo pradžios taškas yra taškas A su koordinatėmis (1, 0).

Teigiamas skaičius t

Neigiamas skaičius t atitinka tašką, į kurį eis pradžios taškas, jei jis juda aplink apskritimą prieš laikrodžio rodyklę ir eis keliu t.

Dabar, kai nustatytas ryšys tarp skaičiaus ir apskritimo taško, pereiname prie sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo.

Sine (nuodėmė) iš t

Skaičiaus sinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatė t. sin t = y

Kosinusas (cos) iš t

Skaičiaus kosinusas t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško abscisė t. cos t = x

t liestinė (tg).

Skaičiaus liestinė t- skaičių atitinkančio vienetinio apskritimo taško ordinatės ir abscisių santykis t. t g t = y x = sin t cos t

Naujausi apibrėžimai atitinka šios pastraipos pradžioje pateiktą apibrėžimą ir jam neprieštarauja. Taškas ant apskritimo, atitinkančio skaičių t, sutampa su tašku, į kurį eina pradžios taškas, pasukus kampu t radianas.

Kampinio ir skaitinio argumento trigonometrinės funkcijos

Kiekviena kampo α reikšmė atitinka tam tikrą šio kampo sinuso ir kosinuso reikšmę. Kaip ir visi kampai α, išskyrus α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) atitinka tam tikrą liestinės reikšmę. Kotangentas, kaip nurodyta aukščiau, apibrėžiamas visiems α, išskyrus α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Galime sakyti, kad sin α, cos α, t g α, c t g α yra kampo alfa funkcijos arba kampinio argumento funkcijos.

Panašiai galime kalbėti apie sinusą, kosinusą, tangentą ir kotangentą kaip skaitinio argumento funkcijas. Kiekvienas tikrasis skaičius t atitinka tam tikrą skaičiaus sinuso arba kosinuso reikšmę t. Visi skaičiai, išskyrus π 2 + π · k, k ∈ Z, atitinka liestinės reikšmę. Kotangentas taip pat apibrėžiamas visiems skaičiams, išskyrus π · k, k ∈ Z.

Pagrindinės trigonometrijos funkcijos

Sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas yra pagrindinės trigonometrinės funkcijos.

Iš konteksto paprastai aišku, kuris trigonometrinės funkcijos argumentas ( kampo argumentas arba skaitinis argumentas) turime reikalų.

Grįžkime prie pačioje pradžioje pateiktų apibrėžimų ir alfa kampo, kuris yra diapazone nuo 0 iki 90 laipsnių. Trigonometriniai apibrėžimai sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas visiškai atitinka geometriniai apibrėžimai, pateikta naudojant stačiojo trikampio kraštinių santykius. Parodykime.

Paimkite vienetinį apskritimą, kurio centras yra stačiakampyje Dekarto sistema koordinates Pradinį tašką A (1, 0) pasukime iki 90 laipsnių kampu ir iš gauto taško A 1 (x, y) nubrėžkime statmeną abscisei. Gautame stačiakampyje kampas A 1 O H lygus kampui posūkis α, kojos ilgis O H lygus taško A 1 (x, y) abscisei. Priešingos kampo kojos ilgis yra lygus taško A 1 (x, y) ordinatėms, o hipotenuzės ilgis yra lygus vienetui, nes tai yra vienetinio apskritimo spindulys.

Pagal geometrijos apibrėžimą kampo α sinusas yra lygus priešingos pusės ir hipotenuzės santykiui.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Tai reiškia, kad stačiojo trikampio smailaus kampo sinuso nustatymas pagal kraštinių santykį yra tolygus sukimosi kampo α sinuso nustatymui, kai alfa yra intervale nuo 0 iki 90 laipsnių.

Panašiai galima parodyti kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimų atitiktį.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Paprasčiausias sprendimas trigonometrines lygtis.

Sprendžiant bet kokio sudėtingumo trigonometrines lygtis galiausiai reikia išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis. Ir šioje geriausias pagalbininkas vėl pasirodo, kad tai trigonometrinis apskritimas.

Prisiminkime kosinuso ir sinuso apibrėžimus.

Kampo kosinusas yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio sukimąsi tam tikru kampu, abscisė (ty koordinatė išilgai ašies).

Kampo sinusas yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio sukimąsi tam tikru kampu, ordinatė (ty koordinatė išilgai ašies).

Teigiama judėjimo kryptis išilgai trigonometrinis ratas Atsižvelgiama į judėjimą prieš laikrodžio rodyklę. 0 laipsnių (arba 0 radianų) pasukimas atitinka tašką su koordinatėmis (1; 0)

Šiuos apibrėžimus naudojame paprastoms trigonometrinėms lygtims išspręsti.

1. Išspręskite lygtį

Šią lygtį tenkina visos sukimosi kampo reikšmės, atitinkančios apskritimo taškus, kurių ordinatė yra lygi .

Ordinačių ašyje pažymėkime tašką su ordinatėmis:

Vykdykime horizontali linija lygiagrečiai x ašiai, kol susikerta su apskritimu. Gauname du taškus, gulinčius ant apskritimo ir turinčius ordinatę. Šie taškai atitinka sukimosi kampus radianais:

Jei mes, palikdami tašką, atitinkantį sukimosi kampą radianais, apeisime pilnas ratas, tada pateksime į tašką, atitinkantį sukimosi kampą radianui ir turintį tą pačią ordinatę. Tai yra, šis sukimosi kampas taip pat atitinka mūsų lygtį. Galime padaryti tiek „tuščiosios eigos“ apsisukimų, kiek norime, grįždami į tą patį tašką, ir visos šios kampų reikšmės patenkins mūsų lygtį. „Tuščiosios eigos“ apsisukimų skaičius bus pažymėtas raide (arba). Kadangi mes galime padaryti šias revoliucijas tiek teigiamai, tiek viduje neigiama kryptis, (arba ) gali turėti bet kokią sveikojo skaičiaus reikšmę.

Tai yra pirmoji sprendimų serija pradinė lygtis turi formą:

, , - sveikųjų skaičių rinkinys (1)

Panašiai antroji sprendimų serija turi tokią formą:

, Kur,. (2)

Kaip jau galėjote atspėti, ši sprendimų serija pagrįsta tašku apskritime, atitinkančiu sukimosi kampą .

Šios dvi sprendimų serijos gali būti sujungtos į vieną įrašą:

Jei imsime (ty net) šiame įraše, tada gausime pirmąją sprendimų seriją.

Jei imsime (ty nelyginį) šiame įraše, gausime antrą sprendinių seriją.

2. Dabar išspręskime lygtį

Kadangi tai yra vienetinio apskritimo taško abscisė, gauta pasukus kampu, tašką pažymime abscise ašyje:

Vykdykime vertikali linija lygiagrečiai ašiai, kol susikerta su apskritimu. Gausime du taškus, gulėdami ant apskritimo ir turėdami abscisę. Šie taškai atitinka sukimosi kampus radianais. Prisiminkite, kad judant pagal laikrodžio rodyklę gauname neigiamą sukimosi kampą:

Užrašykime dvi sprendimų serijas:

,

,

(Į norimą tašką patenkame eidami iš pagrindinio pilno rato, tai yra.

Sujungkime šias dvi serijas į vieną įrašą:

3. Išspręskite lygtį

Liestinė eina per tašką, kurio koordinatės (1,0) yra lygiagrečios OY ašiai

Pažymime jame tašką, kurio ordinatė lygi 1 (ieškome kampų liestinės, lygios 1):

Sujungkime šį tašką prie koordinačių pradžios tiesia linija ir pažymėkime tiesės susikirtimo taškus su vienetiniu apskritimu. Tiesios linijos ir apskritimo susikirtimo taškai atitinka sukimosi kampus ir:

Kadangi taškai, atitinkantys mūsų lygtį atitinkančius sukimosi kampus, yra vienas nuo kito radianų atstumu, sprendimą galime parašyti taip:

4. Išspręskite lygtį

Kotangentų linija eina per tašką, kurio vieneto apskritimo koordinatės yra lygiagrečios ašiai.

Kotangentų eilutėje pažymėkime tašką abscise -1:

Sujungkime šį tašką su tiesės pradžios tašku ir tęskime tol, kol susikirs su apskritimu. Ši tiesi linija kirs apskritimą taškuose, kurie atitinka sukimosi kampus į ir radianais:

Kadangi šie taškai yra atskirti vienas nuo kito atstumu, lygiu , Tada bendras sprendimasŠią lygtį galime parašyti taip:

Pateiktuose pavyzdžiuose, iliustruojančiuose paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimą, naudojome lentelės reikšmės trigonometrinės funkcijos.

Tačiau jei dešinėje lygties pusėje yra ne lentelės reikšmė, tada reikšmę pakeičiame bendruoju lygties sprendiniu:

SPECIALIEJI SPRENDIMAI:

Pažymėkime apskritimo, kurio ordinatė lygi 0, taškus:

Pažymėkime vieną tašką apskritime, kurio ordinatė yra 1:

Pažymėkime vieną tašką apskritime, kurio ordinatė lygi -1:

Kadangi įprasta nurodyti reikšmes, artimiausias nuliui, sprendimą rašome taip:

Pažymėkime apskritimo, kurio abscisė lygi 0, taškus:

5.
Pažymėkime vieną tašką apskritime, kurio abscisė lygi 1:

Pažymime vieną tašką apskritime, kurio abscisė lygi -1:

Ir šiek tiek sudėtingesni pavyzdžiai:

1.

Sinusas lygus vienam, jei argumentas lygus

Mūsų sinuso argumentas yra lygus, todėl gauname:

Abi lygybės puses padalinkite iš 3:

Atsakymas:

2.

Kosinusas lygus nuliui, jei kosinuso argumentas yra lygus

Mūsų kosinuso argumentas yra lygus , todėl gauname:

Išreikškime , norėdami tai padaryti, pirmiausia judame į dešinę su priešingu ženklu:

Supaprastinkime dešinę pusę:

Padalinkite abi puses iš -2:

Atkreipkite dėmesį, kad ženklas prieš terminą nesikeičia, nes k gali turėti bet kokią sveikojo skaičiaus reikšmę.

Atsakymas:

Ir galiausiai žiūrėkite vaizdo pamoką „Šaknų pasirinkimas trigonometrinėje lygtyje naudojant trigonometrinis ratas"

Tai baigia mūsų pokalbį apie paprastų trigonometrinių lygčių sprendimą. Kitą kartą pakalbėsime, kaip apsispręsti.

Sinuso (), kosinuso (), liestinės (), kotangento () sąvokos yra neatsiejamai susijusios su kampo sąvoka. Norėdami tai gerai suprasti, iš pirmo žvilgsnio, sudėtingos sąvokos(kurie sukelia siaubą daugeliui moksleivių), ir norėdami įsitikinti, kad „velnias nėra toks baisus, kaip jis nupieštas“, pradėkime nuo pat pradžių ir supraskime kampo sąvoką.

Kampo samprata: radianas, laipsnis

Pažiūrėkime į paveikslėlį. Vektorius tam tikru dydžiu „pasuko“ taško atžvilgiu. Taigi šio sukimosi matas pradinės padėties atžvilgiu bus kampe.

Ką dar reikia žinoti apie kampo sąvoką? Na, kampo vienetai, žinoma!

Kampas tiek geometrijoje, tiek trigonometrijoje gali būti matuojamas laipsniais ir radianais.

Vadinamas (vieno laipsnio) kampas centrinis kampas apskritime, remiantis apskritimo lanku, lygiu apskritimo daliai. Taigi visas apskritimas susideda iš apskritimo lankų „gabalų“ arba apskritimo aprašytas kampas yra lygus.

Tai yra, aukščiau pateiktame paveikslėlyje parodytas kampas, lygus, tai yra, šis kampas remiasi apskritimo lanku, kurio dydis yra apskritimas.

Kampas radianais yra centrinis apskritimo kampas, sudarytas iš apskritimo lanko, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui. Na, ar sugalvojai? Jei ne, tada išsiaiškinkime tai iš piešinio.

Taigi, paveikslėlyje parodytas kampas lygus radianui ty šis kampas remiasi į apskritimo lanką, kurio ilgis lygus apskritimo spinduliui (ilgis lygus ilgiui arba spinduliui lygus ilgiui lankai). Taigi, lanko ilgis apskaičiuojamas pagal formulę:

Kur yra centrinis kampas radianais.

Na, žinodamas tai, ar galite atsakyti, kiek radianų yra apskritimo aprašytame kampe? Taip, tam reikia atsiminti apskritimo formulę. Štai jis:

Na, dabar suderinkime šias dvi formules ir išsiaiškinkime, kad apskritimu aprašytas kampas yra lygus. Tai yra, koreliuodami vertę laipsniais ir radianais, mes tai gauname. Atitinkamai,. Kaip matote, skirtingai nei "laipsniai", žodis "radianas" yra praleistas, nes matavimo vienetas paprastai yra aiškus iš konteksto.

Kiek yra radianų? Teisingai!

Supratai? Tada eikite į priekį ir pataisykite:

Turite sunkumų? Tada žiūrėk atsakymai:

Statusis trikampis: sinusas, kosinusas, liestinė, kampo kotangentas

Taigi, mes išsiaiškinome kampo sąvoką. Bet kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, mums padės stačiakampis trikampis.

Kaip vadinamos stačiojo trikampio kraštinės? Teisingai, hipotenuzė ir kojos: hipotenuzė yra pusė, esanti priešais stačią kampą (mūsų pavyzdyje tai yra pusė); kojos yra dvi likusios pusės ir (gretimos stačiu kampu), ir, jei atsižvelgsime į kojas kampo atžvilgiu, tada koja yra gretima, o koja yra priešinga. Taigi, dabar atsakykime į klausimą: kas yra kampo sinusas, kosinusas, tangentas ir kotangentas?

Kampo sinusas- tai yra priešingos (tolimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo kosinusas- tai yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo liestinė- tai priešingos (tolimos) pusės ir gretimos (artimos) santykis.

Mūsų trikampyje.

Kampo kotangentas- tai gretimos (artimos) kojos ir priešingos (toli) santykis.

Mūsų trikampyje.

Šie apibrėžimai yra būtini prisiminti! Kad būtų lengviau atsiminti, kurią koją į ką padalyti, turite tai aiškiai suprasti liestinė Ir kotangentas sėdi tik kojos, o hipotenuzė atsiranda tik viduje sinusas Ir kosinusas. Ir tada jūs galite sugalvoti asociacijų grandinę. Pavyzdžiui, šis:

Kosinusas→lietimas→lietimas→gretima;

Kotangentas→lietimas→lietimas→gretima.

Visų pirma, reikia atsiminti, kad sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas, nes trikampio kraštinių santykiai nepriklauso nuo šių kraštinių ilgių (tuo pačiu kampu). Netikite manimi? Tada įsitikinkite, žiūrėdami į paveikslėlį:

Apsvarstykite, pavyzdžiui, kampo kosinusą. Pagal apibrėžimą iš trikampio: , bet kampo kosinusą galime apskaičiuoti iš trikampio: . Matote, kraštinių ilgiai skirtingi, bet vieno kampo kosinuso reikšmė vienoda. Taigi sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmės priklauso tik nuo kampo dydžio.

Jei suprantate apibrėžimus, eikite į priekį ir sutvirtinkite juos!

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytam trikampiui randame.

Na, ar gavai? Tada pabandykite patys: apskaičiuokite tą patį kampą.

Vienetinis (trigonometrinis) apskritimas

Suprasdami laipsnių ir radianų sąvokas, laikėme apskritimą, kurio spindulys lygus. Toks ratas vadinamas vienišas. Tai bus labai naudinga studijuojant trigonometriją. Todėl pažvelkime į tai šiek tiek išsamiau.

Kaip matote, duotas ratas sukonstruota Dekarto koordinačių sistemoje. Apskritimo spindulys lygus vienetui, o apskritimo centras yra pradžioje, pradinė padėtis Spindulio vektorius fiksuojamas išilgai teigiamos ašies krypties (mūsų pavyzdyje tai yra spindulys).

Kiekvienas apskritimo taškas atitinka du skaičius: ašies koordinatę ir ašies koordinatę. Kas yra šie koordinačių skaičiai? Ir apskritai, ką jie turi bendro su nagrinėjama tema? Norėdami tai padaryti, turime atsiminti apie svarstomą stačiakampį trikampį. Viršuje esančiame paveikslėlyje galite pamatyti du ištisus stačiuosius trikampius. Apsvarstykite trikampį. Jis yra stačiakampis, nes yra statmenas ašiai.

Kam lygus trikampis? tai tiesa. Be to, mes žinome, kad yra vieneto apskritimo spindulys, o tai reiškia . Pakeiskime šią reikšmę kosinuso formulėje. Štai kas nutinka:

Kam lygus trikampis? Na žinoma! Pakeiskite spindulio reikšmę į šią formulę ir gaukite:

Taigi, ar galite pasakyti, kokias koordinates turi apskritimui priklausantis taškas? Na, niekaip? Ką daryti, jei jūs tai suprantate ir esate tik skaičiai? Kurią koordinatę ji atitinka? Na, žinoma, koordinatės! O kokią koordinatę tai atitinka? Teisingai, koordinatės! Taigi, laikotarpis.

Kas tada yra ir kas yra lygūs? Teisingai, naudokime atitinkamus liestinės ir kotangento apibrėžimus ir gaukime, kad a.

O jei kampas didesnis? Pavyzdžiui, kaip šiame paveikslėlyje:

Kas pasikeitė šiame pavyzdyje? Išsiaiškinkime. Norėdami tai padaryti, vėl pasukite į stačiakampį trikampį. Apsvarstykite statųjį trikampį: kampas (kaip greta kampo). Kokios yra kampo sinuso, kosinuso, tangento ir kotangento reikšmės? Taip, mes laikomės atitinkamų trigonometrinių funkcijų apibrėžimų:

Na, kaip matote, kampo sinuso reikšmė vis tiek atitinka koordinatę; kampo kosinuso reikšmė – koordinatė; ir atitinkamų santykių liestinės ir kotangento reikšmės. Taigi šie santykiai taikomi bet kokiam spindulio vektoriaus pasukimui.

Jau buvo minėta, kad pradinė spindulio vektoriaus padėtis yra išilgai teigiamos ašies krypties. Iki šiol mes sukome šį vektorių prieš laikrodžio rodyklę, bet kas atsitiks, jei pasuksime jį pagal laikrodžio rodyklę? Nieko nepaprasto, taip pat gausite tam tikros vertės kampą, bet tik jis bus neigiamas. Taigi, sukdami spindulio vektorių prieš laikrodžio rodyklę, gauname teigiami kampai , o sukant pagal laikrodžio rodyklę - neigiamas.

Taigi, mes žinome, kad visas spindulio vektoriaus apsisukimas aplink apskritimą yra arba. Ar galima pasukti spindulio vektorių į arba į? Na, žinoma, galite! Todėl pirmuoju atveju spindulio vektorius sudarys vieną pilnas apsisukimas ir sustoja arba padėtyje.

Antruoju atveju, tai yra, spindulio vektorius padarys tris pilnus apsisukimus ir sustos padėtyje arba.

Taigi iš aukščiau pateiktų pavyzdžių galime daryti išvadą, kad kampai, kurie skiriasi arba (kur yra bet koks sveikas skaičius), atitinka tą pačią spindulio vektoriaus padėtį.

Žemiau esančiame paveikslėlyje parodytas kampas. Tas pats vaizdas atitinka kampą ir pan. Šį sąrašą galima tęsti neribotą laiką. Visi šie kampai gali būti parašyti pagal bendrą formulę arba (kur yra bet koks sveikasis skaičius)

Dabar, žinodami pagrindinių trigonometrinių funkcijų apibrėžimus ir naudodami vieneto apskritimą, pabandykite atsakyti, kokios yra reikšmės:

Štai vieneto ratas, kuris jums padės:

Turite sunkumų? Tada išsiaiškinkime. Taigi mes žinome, kad:

Iš čia nustatome taškų koordinates, atitinkančias tam tikrus kampo matmenis. Na, pradėkime iš eilės: kampas ties atitinka tašką su koordinatėmis, todėl:

Neegzistuoja;

Be to, laikydamiesi tos pačios logikos, sužinome, kad kampai atitinka atitinkamai taškus su koordinatėmis. Tai žinant, nesunku nustatyti trigonometrinių funkcijų reikšmes atitinkamuose taškuose. Pirmiausia išbandykite patys, o tada patikrinkite atsakymus.

Atsakymai:

Neegzistuoja

Neegzistuoja

Neegzistuoja

Neegzistuoja

Taigi galime sudaryti tokią lentelę:

Nereikia atsiminti visų šių vertybių. Pakanka prisiminti vienetinio apskritimo taškų koordinačių ir trigonometrinių funkcijų reikšmių atitikimą:

Tačiau kampų trigonometrinių funkcijų reikšmės ir, pateiktos toliau esančioje lentelėje, reikia atsiminti:

Nebijokite, dabar parodysime vieną pavyzdį gana paprasta atsiminti atitinkamas reikšmes:

Norint naudoti šį metodą, labai svarbu atsiminti visų trijų kampo matmenų sinuso reikšmes (), taip pat kampo liestinės reikšmę. Žinant šias vertes, gana paprasta atkurti visą lentelę - kosinuso reikšmės perkeliamos pagal rodykles, tai yra:

Žinodami tai, galite atkurti reikšmes. Skaitiklis „ “ atitiks, o vardiklis „ “. Kotangentinės vertės perkeliamos pagal paveikslėlyje nurodytas rodykles. Jei tai suprasite ir atsimenate diagramą su rodyklėmis, pakaks atsiminti visas lentelės reikšmes.

Apskritimo taško koordinatės

Ar įmanoma apskritime rasti tašką (jo koordinates), žinant apskritimo centro koordinates, jo spindulį ir sukimosi kampą?

Na, žinoma, galite! Išmeskime bendroji formulė rasti taško koordinates.

Pavyzdžiui, priešais mus yra apskritimas:

Mums duota, kad taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško koordinates, gautas sukant tašką laipsniais.

Kaip matyti iš paveikslo, taško koordinatė atitinka atkarpos ilgį. Atkarpos ilgis atitinka apskritimo centro koordinatę, tai yra lygus. Atkarpos ilgį galima išreikšti naudojant kosinuso apibrėžimą:

Tada mes turime tai taško koordinatei.

Naudodami tą pačią logiką randame taško y koordinatės reikšmę. Taigi,

Taigi, į bendras vaizdas Taškų koordinatės nustatomos pagal formules:

Apskritimo centro koordinatės,

Apskritimo spindulys,

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas.

Kaip matote, mūsų svarstomo vieneto apskritimo formulės yra žymiai sumažintos, nes centro koordinatės yra lygios nuliui, o spindulys yra lygus vienetui:

Na, pabandykime šias formules praktikuodami surasti taškus apskritime?

1. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.

2. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.

3. Raskite vienetinio apskritimo taško koordinates, gautas sukant tašką į.

4. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško, gauto pasukus pradinį spindulio vektorių, koordinates.

5. Taškas yra apskritimo centras. Apskritimo spindulys lygus. Reikia rasti taško, gauto pasukus pradinį spindulio vektorių, koordinates.

Sunku rasti apskritimo taško koordinates?

Išspręskite šiuos penkis pavyzdžius (arba išmokite juos išspręsti) ir išmoksite juos rasti!

1.

Galite tai pastebėti. Bet mes žinome, kas atitinka visišką revoliuciją pradžios taškas. Taigi norimas taškas bus toje pačioje padėtyje kaip ir sukant. Tai žinodami randame reikiamas taško koordinates:

2. Vieneto apskritimo centras yra taške, o tai reiškia, kad galime naudoti supaprastintas formules:

Galite tai pastebėti. Mes žinome, kas atitinka du pilnus pradinio taško apsisukimus. Taigi norimas taškas bus toje pačioje padėtyje kaip ir sukant. Tai žinodami randame reikiamas taško koordinates:

Sinusas ir kosinusas yra lentelės reikšmės. Prisimename jų reikšmes ir gauname:

Taigi norimas taškas turi koordinates.

3. Vieneto apskritimo centras yra taške, o tai reiškia, kad galime naudoti supaprastintas formules:

Galite tai pastebėti. Pavaizduokime nagrinėjamą pavyzdį paveikslėlyje:

Spindulys sudaro kampus, lygius ašiai ir su ja. Žinant, kad kosinuso ir sinuso lentelės reikšmės yra lygios, ir nustačius, kad kosinusas čia yra neigiama vertė, o sinusas yra teigiamas, turime:

Daugiau informacijos panašių pavyzdžių yra suprantami studijuojant temoje trigonometrinių funkcijų mažinimo formules.

Taigi norimas taškas turi koordinates.

4.

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas (pagal sąlygą)

Norėdami nustatyti atitinkamus sinuso ir kosinuso ženklus, sudarome vienetinį apskritimą ir kampą:

Kaip matote, vertė, tai yra, yra teigiama, o vertė, tai yra, yra neigiama. Žinodami atitinkamų trigonometrinių funkcijų lentelių reikšmes, gauname, kad:

Pakeiskime gautas reikšmes į savo formulę ir suraskime koordinates:

Taigi norimas taškas turi koordinates.

5. Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame formules bendra forma, kur

Apskritimo centro koordinatės (mūsų pavyzdyje

Apskritimo spindulys (pagal sąlygą)

Vektoriaus spindulio sukimosi kampas (pagal sąlygą).

Pakeiskime visas reikšmes į formulę ir gaukime:

ir - lentelės reikšmės. Prisiminkime ir pakeiskime juos į formulę:

Taigi norimas taškas turi koordinates.

SANTRAUKA IR PAGRINDINĖS FORMULĖS

Kampo sinusas yra priešingos (tolimosios) kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo kosinusas yra gretimos (artimos) kojos ir hipotenuzės santykis.

Kampo liestinė yra priešingos (tolimosios) pusės ir gretimos (artimos) pusės santykis.

Kampo kotangentas yra gretimos (artimos) pusės ir priešingos (tolimosios) pusės santykis.

Pavyzdžiai:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2 = -0,416…\)

Argumentas ir prasmė

Smailiojo kampo kosinusas

Smailiojo kampo kosinusas galima nustatyti naudojant statųjį trikampį – jis lygus gretimos kojos ir hipotenuzės santykiui.

Pavyzdys :

1) Pateikiame kampą ir turime nustatyti šio kampo kosinusą.

2) Užbaikime bet kurį statųjį trikampį šiuo kampu.

3) Išmatavus, būtinų vakarėlių, galime apskaičiuoti kosinusą.

Skaičiaus kosinusas

Skaičių apskritimas leidžia nustatyti bet kurio skaičiaus kosinusą, tačiau paprastai randate skaičių kosinusą, kažkaip susijusį su: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Pavyzdžiui, skaičiaus \(\frac(π)(6)\) kosinusas bus lygus \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . O skaičiui \(-\)\(\frac(3π)(4)\) jis bus lygus \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (apytiksliai \ (-0 ,71\)).

Kitų praktikoje dažnai pasitaikančių skaičių kosinusą žr.

Kosinuso reikšmė visada yra diapazone nuo \(-1\) iki \(1\). Šiuo atveju kosinusą galima apskaičiuoti absoliučiai bet kokiam kampui ir skaičiui.

Bet kurio kampo kosinusas

Skaičių apskritimo dėka galite nustatyti ne tik smailiojo kampo, bet ir bukojo, neigiamo ir net didesnio nei \(360°\) kosinusą (visa apsisukimas). Kaip tai padaryti, vieną kartą pamatyti lengviau nei \(100\) kartų išgirsti, todėl pažiūrėkite į paveikslėlį.

Dabar paaiškinimas: tarkime, kad turime nustatyti kampo kosinusą KOA Su laipsnio matas\(150°\). Taško sujungimas APIE su apskritimo centru ir šonu Gerai– su \(x\) ašimi. Po to atidėkite \(150°\) prieš laikrodžio rodyklę. Tada taško ordinatės A parodys mums šio kampo kosinusą.

Jei mus domina kampas su laipsniu, pavyzdžiui, \(-60°\) (kampas KOV), darome tą patį, bet nustatome \(60°\) pagal laikrodžio rodyklę.

Ir galiausiai kampas yra didesnis nei \(360°\) (kampas CBS) - viskas panašu į kvailą, tik pasukę pagal laikrodžio rodyklę visą apsisukimą, einame į antrą ratą ir „gauname laipsnių trūkumą“. Tiksliau, mūsų atveju kampas \(405°\) vaizduojamas kaip \(360° + 45°\).

Nesunku atspėti, kad norint nubrėžti kampą, pavyzdžiui, \(960°\), reikia padaryti du posūkius (\(360°+360°+240°\)), o norint nubrėžti kampą \(2640 °\) - visos septynios.

Kaip galėtumėte pakeisti ir skaičiaus kosinusą, ir kosinusą savavališkas kampas apibrėžiamas beveik identiškai. Pasikeičia tik taško suradimo būdas apskritime.

Kosinuso ženklai ketvirčiais

Naudojant kosinuso ašį (tai yra abscisių ašį, paveiksle paryškintą raudonai), nesunku nustatyti kosinusų ženklus išilgai skaitinio (trigonometrinio) apskritimo:

Kai ašies reikšmės yra nuo \(0\) iki \(1\), kosinusas turės pliuso ženklą (I ir IV ketvirčiai – žalia zona),
- kai ašies reikšmės yra nuo \(0\) iki \(-1\), kosinusas turės minuso ženklą (II ir III ketvirčiai - purpurinė sritis).

Ryšys su kitomis trigonometrinėmis funkcijomis:

Lygties \(\cos⁡x=a\) sprendimas

Lygties \(\cos⁡x=a\) sprendimas, kur \(a\) yra skaičius, ne didesnis nei \(1\) ir ne mažesnis kaip \(-1\), t.y. \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Jei \(a>1\) arba \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Išspręskime lygtį naudodami skaičių apskritimą. Norėdami tai padaryti:
1) Pastatykime ašis.
2) Sukonstruokime apskritimą.
3) Ant kosinuso ašies (ašis \(y\)) pažymėkite tašką \(\frac(1)(2)\) .
4) Per šį tašką nubrėžkite statmeną kosinuso ašiai.
5) Pažymėkite statmens ir apskritimo susikirtimo taškus.
6) Pasižymime šių taškų reikšmes: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Užrašykite visas reikšmes, atitinkančias šiuos taškus, naudodami formulę \(x=t+2πk\), \(k∈Z\):
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Atsakymas: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Funkcija \(y=\cos(x)\)

Jei kampus radianais nubraižome išilgai \(x\) ašies, o kosinuso reikšmes, atitinkančias šiuos kampus išilgai \(y\) ašies, gausime tokį grafiką:

Šis grafikas vadinamas ir turi šias savybes:

Apibrėžimo sritis yra bet kokia x reikšmė: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- reikšmių diapazonas – nuo ​​\(-1\) iki \(1\) imtinai: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
– lyginis: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
– periodinis su tašku \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- susikirtimo taškai su koordinačių ašimis:
abscisių ašis: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), kur \(n ϵ Z\)
Y ašis: \((0;1)\)
- ženklo pastovumo intervalai:
funkcija yra teigiama intervalais: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), kur \(n ϵ Z\)
funkcija yra neigiama intervaluose: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), kur \(n ϵ Z\)
- didėjimo ir mažėjimo intervalai:
funkcija didėja intervalais: \((π+2πn;2π+2πn)\), kur \(n ϵ Z\)
funkcija mažėja intervalais: \((2πn;π+2πn)\), kur \(n ϵ Z\)
- funkcijos maksimumai ir minimumai:
funkcija turi didžiausią reikšmę \(y=1\) taškuose \(x=2πn\), kur \(n ϵ Z\)
funkcija turi mažiausią reikšmę \(y=-1\) taškuose \(x=π+2πn\), kur \(n ϵ Z\).