Sveiki, Mieli draugai! Šiandien pažvelgsime į užduotį iš C dalies. Tai dviejų lygčių sistema. Lygtys gana savotiškos. Čia yra sinusas ir kosinusas, taip pat yra šaknų. Reikalingas gebėjimas spręsti kvadratines ir paprastas problemas. Pateiktoje užduotyje jie detalūs sprendimai nėra pateiktos, jau turėtumėte tai padaryti. Naudodamiesi pateiktomis nuorodomis galite peržiūrėti atitinkamą teoriją ir praktines užduotis.

Pagrindinis sunkumas panašių pavyzdžių yra tai, kad reikia lyginti gautus sprendimus su rastu apibrėžimo sritimi čia galima lengvai suklysti dėl neatidumo.

Sistemos sprendimas visada yra skaičių x ir y pora (-os), parašyta (x;y).Gavę atsakymą būtinai patikrinkite.Jums pateikiami trys būdai, ne, o trys samprotavimo keliai, kuriais galite pasirinkti. Asmeniškai man artimiausia trečioji. Pradėkime:

Išspręskite lygčių sistemą:

PIRMAS KELIAS!

Raskime lygties apibrėžimo sritį. Yra žinoma, kad radikali išraiška turi neneigiamą reikšmę:

Apsvarstykite pirmąją lygtį:

1. Jis lygus nuliui, kai x = 2 arba x = 4, bet 4 radianai nepriklauso (3) išraiškos apibrėžimui.

*4 radianų (229,188 0) kampas yra trečiajame ketvirtyje, kuriame sinuso reikšmė yra neigiama. Štai kodėl

Lieka tik šaknis x = 2.

Apsvarstykite antrąją x = 2 lygtį.

Esant šiai x reikšmei, išraiška 2 – y – y 2 turi būti lygi nuliui, nes

Išspręskime 2 – y – y 2 = 0, gauname y = – 2 arba y = 1.

Atkreipkite dėmesį, kad y = – 2 cos y šaknis neturi sprendimo.

*Trečiajame ketvirtyje yra –2 radianų (– 114,549 0) kampas, o jame kosinuso reikšmė yra neigiama.

Todėl lieka tik y = 1.

Taigi sistemos sprendimas bus pora (2;1).

2. Pirmoji lygtis taip pat lygi nuliui, kai cos y = 0, tai yra

Tačiau atsižvelgiant į rastą apibrėžimo sritį (2), gauname:

Apsvarstykite antrąją šio y lygtį.

Išraiška 2 – y – y 2 su y = – Pi/2 nėra lygi nuliui, o tai reiškia, kad tam, kad ji turėtų sprendimą, turi būti įvykdyta ši sąlyga:

Mes nusprendžiame:

Atsižvelgdami į rastą apibrėžimo sritį (1), gauname tai

Taigi, sistemos sprendimas yra dar viena pora:

ANTRAS BŪDAS!

Raskime išraiškos apibrėžimo sritį:

Yra žinoma, kad posakis po šaknimi turi neneigiamą reikšmę.
Išsprendę nelygybę 6x – x 2 + 8 ≥ 0, gauname 2 ≤ x ≤ 4 (2 ir 4 yra radianai).

Apsvarstykite 1 atvejį:

Tegu x = 2 arba x = 4.

Jei x = 4, tai sin x< 0. Если х = 2, то sin x > 0.

Atsižvelgiant į tai, kad sin x ≠ 0, paaiškėja, kad šiuo atveju antroje sistemos lygtyje 2 – y – y 2 = 0.

Išspręsdami lygtį nustatome, kad y = – 2 arba y = 1.

Analizuodami gautas reikšmes galime teigti, kad x = 4 ir y = – 2 nėra šaknys, nes gauname sin x< 0 и cos y < 0 соответственно, а выражение стоящее под корнем должно быть ≥ 0 (то есть числом неотрицательным).

Matyti, kad x = 2 ir y = 1 yra įtraukti į apibrėžimo sritį.

Taigi sprendimas yra pora (2;1).

Panagrinėkime 2 atvejį:

Tegu dabar 2< х < 4, тогда 6х – х 2 + 8 > 0. Remdamiesi tuo, galime daryti išvadą, kad pirmoje lygtyje cos y turėtų būti lygus nuliui.

Išspręsdami lygtį, gauname:

Antroje lygtyje, kai randama išraiškos apibrėžimo sritis:

Mes gauname:

2 – y – y 2 ≥ 0

– 2 ≤ y ≤ 1

Iš visų sprendimų cos lygtys y = 0 tenkina tik šią sąlygą:

At duota vertė y, išraiška 2 – y – y 2 ≠ 0. Todėl antrajame nuodėmės lygtis x bus lygus nuliui, gauname:

Iš visų šios lygties sprendinių intervalas 2< х < 4 принадлежит только

Tai reiškia, kad sistemos sprendimas bus kita pora:

*Ne iš karto radome apibrėžimo sritį visoms sistemoje esančioms išraiškoms, pažvelgėme į išraišką iš pirmosios lygties (2 atvejai), o tada pakeliui nustatėme rastų sprendinių atitikimą nustatytai apibrėžimo sričiai. Mano nuomone, tai nėra labai patogu, pasirodo kažkaip painu.

TREČIASIS KELIAS!

Jis panašus į pirmąjį, tačiau yra skirtumų. Taip pat pirmiausia randama išraiškų apibrėžimo sritis. Tada pirmoji ir antroji lygtys sprendžiamos atskirai, o tada randamas sistemos sprendimas.

Raskime apibrėžimo sritį. Yra žinoma, kad radikali išraiška turi neneigiamą reikšmę:

Išsprendę nelygybę 6х – x 2 + 8 ≥ 0 gauname 2 ≤ x ≤ 4 (1).

2 ir 4 reikšmės yra radianai, 1 radianas, kaip žinome, ≈ 57,297 0

Laipsniais apytiksliai galime parašyti 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0.

Išsprendę nelygybę 2 – y – y 2 ≥ 0 gauname – 2 ≤ y ≤ 1 (2).

Laipsniais galime rašyti – 114.549 0 ≤ y ≤ 57.297 0 .

Išsprendę nelygybę sin x ≥ 0 gauname, kad

Išsprendę nelygybę cos y ≥ 0 gauname, kad

Yra žinoma, kad sandauga yra lygi nuliui, kai vienas iš veiksnių yra lygus nuliui (o kiti nepraranda savo reikšmės).

Apsvarstykite pirmąją lygtį:

Reiškia

Cos y = 0 sprendimas yra:

Sprendimas 6x – x 2 + 8 = 0 yra x = 2 ir x = 4.

Apsvarstykite antrąją lygtį:

Reiškia

Sin x = 0 sprendimas yra toks:

2 – y – y 2 = 0 lygties sprendimas yra y = – 2 arba y = 1.

Dabar, atsižvelgdami į apibrėžimo sritį, paanalizuokime

gautos vertės:

Kadangi 114,549 0 ≤ x ≤ 229,188 0, tada šis segmentas yra tik vienas lygties sprendimas sin x = 0, tai x = Pi.

Kadangi – 114,549 0 ≤ y ≤ 57,297 0, tai šiame segmente yra tik vienas lygties sprendinys cos y = 0, tai yra

Apsvarstykite šaknis x = 2 ir x = 4.

Teisingai!

Taigi, sistemos sprendimas bus dvi skaičių poros:

* Čia, atsižvelgdami į rastą apibrėžimo sritį, išskyrėme visas gautas reikšmes, kurios jai nepriklausė, ir tada išnagrinėjome visas galimų porų parinktis. Toliau patikrinome, kurie iš jų yra sistemos sprendimas.

Rekomenduoju iš karto pačioje pradžioje spręsti lygtis, nelygybes, jų sistemas, jei yra šaknys, logaritmai, trigonometrinės funkcijos, būtinai raskite apibrėžimo sritį. Žinoma, yra pavyzdžių, kai lengviau išspręsti iš karto, o tada tiesiog patikrinti sprendimą, tačiau tai yra santykinė mažuma.

Tai viskas. Sėkmės tau!

Šiame praktinė pamoka bus svarstomi keli tipinių pavyzdžių, kuriuose demonstruojami sprendimo būdai trigonometrines lygtis ir jų sistemos.

Ši pamoka padės jums pasiruošti atlikti vieną iš užduočių tipų B5 ir C1.

Pasirengimas vieningam valstybiniam matematikos egzaminui

Eksperimentuokite

10 pamoka. Trigonometrinės funkcijos. Trigonometrinės lygtys ir jų sistemos.

Praktika

Pamokos santrauka

Pagrindinę pamokos dalį skirsime trigonometrinių lygčių ir sistemų sprendimui, bet pradėsime nuo užduočių apie trigonometrinių funkcijų savybes, kurios nesusijusios su lygčių sprendimu. Apsvarstykite galimybę apskaičiuoti trigonometrinių funkcijų periodą naudojant sudėtingus argumentus.

Užduotis Nr.1. Apskaičiuokite funkcijų periodą a) ; b) .

Naudokime paskaitoje pateiktas formules.

a) funkcijai laikotarpis . Mūsų atveju, t.y. .

b) Dėl funkcijos laikotarpis . Pas mus, nes argumentą galima pavaizduoti ne tik padalijus iš trijų, bet ir padauginus iš . Kitos operacijos su funkcija (dauginimas iš , pridėjimas 1) neturi įtakos argumentui, todėl mums neįdomu.

Mes tai gauname

Atsakymas. A) ; b) .

Pereikime prie pagrindinės praktikos dalies ir pradėkime spręsti trigonometrines lygtis. Patogumui panagrinėsime tų pačių pavyzdžių sprendimą, kurį minėjome paskaitoje, kai išvardijome pagrindinius lygčių tipus.

2 užduotis. Išspręskite lygtį: a) ; b) ; V); G) .

Norėdami rasti tokių lygčių šaknis, naudojame bendrųjų sprendinių formules.

Norėdami apskaičiuoti lanko funkcijos reikšmes, naudojame lanko liestinės keistumą ir trigonometrinių funkcijų verčių lentelę, kurią išsamiai aptarėme ankstesnėje pamokoje. Toliau apie šiuos veiksmus atskirai nenagrinėsime.

d) Sprendžiant lygtį norėčiau parašyti naudojant bendrą formulę, kad , bet to padaryti negalima. Čia iš esmės svarbu patikrinti kosinusų reikšmių diapazoną, kuris tikrinamas lygties sprendimo pradžioje.

Kadangi , kuris nepatenka į funkcijos reikšmių diapazoną, todėl lygtis neturi sprendinių.

Svarbu nepainioti prasmės su lentelės vertė kosinusas, būk atsargus!

komentuoti. Gana dažnai trigonometrines lygtis ir sistemas sprendžiant uždavinius reikia nurodyti ne bendrą sprendimą, demonstruojantį begalinę šaknų šeimą, o pasirinkti tik keletą iš jų, esančių tam tikroje reikšmių diapazone. Atlikime šiuos veiksmus naudodami atsakymo į tašką „c“ pavyzdį.

Papildoma užduotis į tašką „c“. Nurodykite intervalui priklausančių lygties šaknų skaičių ir surašykite jas.

Mes jau žinome bendrą sprendimą:

Norint nurodyti nurodytam intervalui priklausančias šaknis, jos turi būti išrašomos po vieną, pakeičiant konkrečias vertybes parametras. Mes pakeisime sveikuosius skaičius, pradedant nuo , nes Mus domina šaknys iš diapazono, kuris yra artimas nuliui.

Pakeitus gauname daugiau didesnę vertęšaknį, todėl nėra prasmės to daryti. Dabar pakeiskime neigiamas reikšmes:

Nėra prasmės jį pakeisti dėl tų pačių priežasčių. Todėl radome vienintelę lygties šaknį, kuri priklauso nurodytam diapazonui.

Atsakymas. ; nurodytame diapazone yra viena lygties šaknies reikšmė.

Panašią lygčių šaknų reikšmių paieškos klausimo formuluotę galima rasti ir kitų tipų užduotyse. Reikiamų šaknų paieška visada bus atliekama vienodai. Kartais šiam tikslui vaizduojamas trigonometrinis apskritimas. Pabandykite nubrėžti apskritime lygčių šaknis iš taškų „a“ ir „b“, kurie patenka į diapazoną.

Užduotis Nr.3. Išspręskite lygtį.

Naudokime šaknų paieškos metodą naudodami trigonometrinis ratas, kaip buvo parodyta paskaitoje.

Nubrėžiame taškus ant apskritimo, atitinkančio kampus, kuriais . Yra tik vienas toks kampas.

Pirmoji kampo reikšmė, atitinkanti nurodytą tašką - taškas yra ant spindulio, kuris yra pradžia. Toliau, norėdami vėl patekti į tą patį tašką, bet su skirtinga kampo verte, turite pridėti prie pirmosios rastos šaknies ir gauti kitą šaknį . Norėdami gauti kitą šaknį, turite atlikti tą pačią operaciją ir pan.

Taigi galime nurodyti bendrą sprendimą, kuris parodys, kad norint gauti visas lygties šaknis, prie pirmosios reikšmės reikia pridėti bet kokį sveikąjį skaičių kartų:

Prisiminkime, kad formos lygtis galima išspręsti panašiai:

4 užduotis. Išspręskite lygtį .

Sudėtingo argumento buvimas nekeičia fakto, kad lygtis iš tikrųjų yra pati paprasčiausia, o požiūris į sprendimą išlieka toks pat. Tiesiog dabar tai veikia kaip argumentas. Įrašome į formulę bendras sprendimas:

5 problema. Išspręskite lygtį .

Svarbiausia užkirsti kelią tipiška klaida ir nesumažinkite abiejų lygties pusių , nes tokiu atveju prarasime lygties, atitinkančios , šaknis. Kompetentingas sprendimo būdas apima visų posakių perkėlimą į vieną pusę ir bendro faktoriaus pridėjimą.

Šiame etape būtina atsiminti, kad jei sandauga yra lygi nuliui, tai įmanoma, jei vienas iš veiksnių yra lygus nuliui arba kitas. Taigi mūsų lygtis virsta lygčių rinkiniu:

Pirmąją lygtį išsprendžiame kaip ypatingas atvejis paprasčiausia lygtis. Padarykite tai patys, mes surašysime galutinį rezultatą. Antroje lygtyje atliksime veiksmus, kad sudėtume jį į paprasčiausią formą su sudėtingu argumentu ir išspręstume ją naudodami bendrą šaknų formulę.

Atkreipkite dėmesį į šį niuansą – įrašydami bendroji formulė antrosios lygties šaknys naudojame kitą parametrą "". Taip yra dėl to, kad mes sprendžiame nepriklausomų lygčių rinkinį ir jų neturėtų būti bendrieji parametrai. Dėl to gauname dvi nepriklausomas sprendimų šeimas.

Atsakymas. ; .

6 problema. Išspręskite lygtį.

Norėdami supaprastinti, mes naudosime trigonometrinių funkcijų sandaugos pavertimo į sumą formulę

Pasinaudokime kosinuso paritetu ir panaikinkime tą patį terminą abiejose lygties pusėse.

Perkelkime viską į vieną pusę ir naudokime kosinusų skirtumo formulę, kad gautume funkcijų sandaugą, kuri bus lygi nuliui. Tam pritaikykime formulę .

Sumažinkime abi lygties puses:

Mes sumažinome lygtį iki produkto formos, kurią gavome ankstesniame pavyzdyje. Siūlome tai išsiaiškinti patiems. Nurodykime galutinį atsakymą.

Iš esmės tai yra galutinis atsakymas. Tačiau kompaktiškiau jį galima parašyti kaip vieną sprendimų šeimą, o ne du. Pirmajame sprendime yra visi dalių ketvirčiai, o antrajame yra visos dalių pusės, tačiau pusės įtraukiamos į ketvirčius, nes pusė yra du ketvirčiai. Taigi antroji šaknų šeima yra įtraukta į pirmąją, o galutinį atsakymą galima apibūdinti pirmąja sprendimų šeima.

Norėdami geriau suprasti šiuos argumentus, pabandykite nubraižyti gautas šaknis trigonometriniame apskritime.

Atsakymas. arba .

Mes pažvelgėme į vieną lygtį naudodami trigonometrinių funkcijų transformacijas, tačiau jų yra labai daug, taip pat transformacijų tipų. Universalaus naudojimo lygtis trigonometrinis pakeitimas, kurio pavyzdžio nepateikėme ankstesnėje pamokoje, apsvarstysime išanalizavę pakeitimo metodą.

Problema Nr.7. Išspręskite lygtį.

IN šiuo atveju Pirmiausia turite pabandyti sumažinti lygtį iki vienos trigonometrinės funkcijos. Nes yra lengvai išreiškiamas naudojant trigonometrinį vienetą, lygtį galime lengvai redukuoti į sinusus.

Pakeiskime išraišką į mūsų lygtį:

Kadangi viskas sumažinta iki vienos funkcijos, galime atlikti pakeitimą: .

Gauta kvadratinė lygtis, kurią nesunku išspręsti bet kokiu jums patogiu būdu, pavyzdžiui, naudojant Vietos teoremą lengva gauti, kad:

Pirmoji lygtis neturi sprendinių, nes sinuso vertė yra anapus galiojantis plotas.

Siūlome patiems išspręsti antrąją lygtį, nes... Tai yra specialūs paprasčiausių lygčių atvejai, kuriuos jau svarstėme. Užrašykime jo šaknis:

Atsakymas. .

Problema Nr.8. Išspręskite lygtį.

Šioje lygtyje sprendimo metodai, kuriuos jau svarstėme, nėra iš karto matomi. Tokiais atvejais turėtumėte pabandyti pritaikyti universalaus trigonometrinio pakeitimo formules, kurios padės sumažinti lygtį iki vienos funkcijos.

Naudokime formules: ir , kurios paves visą lygtį į .

Dabar aišku, kad galima atlikti pakeitimą.

Sudėkime trupmenas ir padauginkime abi lygties puses iš vardiklio, nes jis nelygus nuliui.

Lygtį sumažinome iki jau anksčiau aptartos formos, t.y. į veiksnių sandaugą, kuri yra lygi nuliui.

Atlikime atvirkštinį pakeitimą:

Abi gautas sprendimų šeimas galima lengvai sujungti į vieną:

Atsakymas. .

Problema Nr.9. Išspręskite lygtį. Atsakyme nurodykite tik šaknis, kurios yra kartotiniai.

Nurodyta lygtis tampa sudėtingesnė redukavus į sinusus arba kosinusus, kaip norėtųsi naudojant trigonometrinio vieneto formulę. Todėl naudojamas kitas metodas.

Nurodytą lygtį pavadinome vienarūše, taip vadinamos lygtys, kuriose, perstačius nežinomas funkcijas ar kintamuosius, niekas nepasikeis. Sukeiskite sinusą ir kosinusą ir pamatysite, kad tai yra mūsų atvejis.

Homogeninės lygtys sprendžiamos abi puses padalijus iš didžiausios funkcijos laipsnio. Mūsų atveju tai yra arba arba. Išsirenkame labiausiai patinkantį ir iš jo padalijame abi lygties puses. Paimkime, pavyzdžiui, tai. Tokiu atveju būtina patikrinti, ar tokio dalybos metu neprarasime šaknų, atitinkančių , t.y. . Norėdami tai padaryti, pirmiausia pakeiskite pradinę lygtį.

Kadangi tapatybės negavome, mūsų lygties šaknys neatitiks.

Dabar galime saugiai padalinti iš:

Lygtį sumažinome iki pakeitimo, ir šis sprendimo būdas jau buvo svarstytas. Kaip sakoma, „išpilkime vandenį iš virdulio“ ir sumažinkime problemą iki to, kas jau žinoma. Spręskite toliau patys. Mes nurodysime galutinį atsakymą:

Kadangi problemos teiginyje privalome nurodyti tik kelias šaknis, kaip atsakymą parašysime tik pirmąją sprendimų šeimą.

10 problema. Išspręskite lygtį .

Ši lygtis stebina tuo, kad joje yra du nežinomieji, tačiau, kaip žinome, ją galima išspręsti bendras atvejis tokia lygtis neįmanoma. Kita problema yra ta, kad ši lygtis iš esmės skiriasi nuo visų anksčiau aptartų, nes jame esantis nežinomasis yra ne tik trigonometrinės funkcijos argumente.

Norėdami tai išspręsti, atkreipkime dėmesį į funkcijų, kurios yra vienodos kairėje ir dešinėje, savybes. Tiksliau, mus domina, kokiomis vertybėmis šios funkcijos apsiriboja.

Mes žinome kosinuso verčių diapazoną:

Kvadratinės funkcijos atveju:

Iš to galime daryti išvadą, kad šios išraiškos gali turėti tik vieną bendrą reikšmę, kai kiekvienas iš jų lygus 1. Gauname lygčių sistemą:

Abi lygtys yra nepriklausomos ir turi po vieną kintamąjį, todėl jas galima nesunkiai išspręsti naudojant mums jau žinomus metodus.

Žinoma, šis metodas nėra akivaizdus, ​​o užduotis yra susijusi su užduotimis padidėjęs sudėtingumas. Šis metodas kartais vadinamas „mini-max“, nes minimumo lygybė ir maksimali vertė funkcijas.

Dabar atskirai apsvarstysime trigonometrinių lygčių sistemų sprendimo būdus. Jų sprendimo būdai yra standartiniai, tiesiog naudosime trigonometrinių funkcijų transformacijų formules. Pažvelkime į dažniausiai pasitaikančius tokių sistemų tipus.

11 problema. Išspręskite lygčių sistemą .

Išsprendžiame pakeitimo metodu, išreiškiame, pavyzdžiui, iš paprastesnės tiesinės lygties ir pakeičiame ją antrąja lygtimi:

Antroje lygtyje vartojame kas yra sinuso periodas, t.y. jį galima nuimti, ir sinusą nelyginė funkcija, t.y. iš jo išimamas minusas.

Pagal papildymo formulę harmonines vibracijas antrą lygtį sumažiname iki vienos trigonometrinės funkcijos. Išbandykite šias konversijas patys.

Pakeiskime gautą sprendimą į išraišką:

Šiuo atveju abiem sprendimų šeimoms naudojame tą patį parametrą, nes jie priklauso vienas nuo kito.

Paprastų trigonometrinių lygčių sistemos.

12 problema. Išspręskite lygčių sistemą .

Abi lygtys sistemoje yra ypatingi paprasčiausių lygčių atvejai, mes žinome, kaip jas išspręsti, ir sistema greitai redukuojasi į tiesinę.

Abiejų lygčių parametrai skiriasi, nes lygtis sprendėme nepriklausomai vienas nuo kito ir kintamieji dar nebuvo išreikšti vienas per kitą.

Dabar apsispręskime linijinė sistema naudodamiesi pakeitimo arba pridėjimo metodu, kaip norite, atlikite šiuos veiksmus patys. Nurodykime galutinį rezultatą.

Atkreipkite dėmesį į sistemos sprendimo įrašymą, kai kintamieji vienu metu priklauso nuo dviejų parametrų. Norint išrašyti skaitinės reikšmėsŠiuo atveju paeiliui pakeičiamos visos viena nuo kitos nepriklausančių parametrų sveikosios reikšmės.

Šioje praktinėje pamokos dalyje apžvelgėme kelis tipinius pavyzdžius, kuriuose demonstravome trigonometrinių lygčių ir jų sistemų sprendimo būdus.

Sprendžiant daugelį matematines problemas , ypač tų, kurie įvyksta iki 10 klasės, aiškiai apibrėžta atliekamų veiksmų, kurie leis pasiekti tikslą, tvarka. Tokios problemos apima, pavyzdžiui, tiesines ir kvadratines lygtis, tiesines ir kvadratinės nelygybės, trupmenines lygtis ir lygtys, kurios redukuoja į kvadratines. Kiekvienos iš paminėtų problemų sėkmingo sprendimo principas yra toks: reikia nustatyti, kokio tipo problema yra sprendžiama, prisiminti reikiamą veiksmų seką, kuri leis pasiekti norimą rezultatą, t.y. atsakykite ir atlikite šiuos veiksmus.

Akivaizdu, kad sėkmė ar nesėkmė sprendžiant konkrečią problemą daugiausia priklauso nuo to, kaip teisingai nustatytas sprendžiamos lygties tipas, kaip teisingai atkurta visų jos sprendimo etapų seka. Žinoma, tokiu atveju būtina turėti įgūdžių atlikti identiškas transformacijas ir skaičiavimus.

Situacija kitokia su trigonometrines lygtis. Visiškai nesunku nustatyti, kad lygtis yra trigonometrinė. Sunkumai iškyla nustatant veiksmų seką, kuri leistų gauti teisingą atsakymą.

Autorius išvaizda lygtį kartais sunku nustatyti jos tipą. O nežinant lygties tipo iš kelių dešimčių trigonometrinių formulių išsirinkti tinkamą beveik neįmanoma.

Norėdami išspręsti trigonometrinę lygtį, turite pabandyti:

1. visas į lygtį įtrauktas funkcijas nukreipkite į „tuo pačiu kampu“;
2. suvesti lygtį į „identiškas funkcijas“;
3. koeficientas kairėje lygties pusėje ir kt.

Pasvarstykime pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo metodai.

I. Redukcija į paprasčiausias trigonometrines lygtis

Sprendimo schema

1 veiksmas. Išreikškite trigonometrinę funkciją žinomais komponentais.

2 veiksmas. Raskite funkcijos argumentą naudodami formules:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ЄZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Є Z.

įdegis x = a; x = arctan a + πn, n Є Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Є Z.

3 veiksmas. Raskite nežinomą kintamąjį.

Pavyzdys.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Sprendimas.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Є Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Є Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Є Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Є Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

Atsakymas: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Є Z.

II. Kintamasis pakeitimas

Sprendimo schema

1 veiksmas. Sumažinkite lygtį iki algebrinė forma palyginti su viena iš trigonometrinių funkcijų.

2 veiksmas. Gautą funkciją pažymėkite kintamuoju t (jei reikia, įveskite t apribojimus).

3 veiksmas. Užrašykite ir išspręskite gautą algebrinę lygtį.

4 veiksmas. Atlikite atvirkštinį pakeitimą.

5 veiksmas. Išspręskite paprasčiausią trigonometrinę lygtį.

Pavyzdys.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Sprendimas.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Tegul sin (x/2) = t, kur |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 arba e = -3/2, netenkina sąlygos |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Є Z;

x = π + 4πn, n Є Z.

Atsakymas: x = π + 4πn, n Є Z.

III. Lygčių eilės mažinimo metodas

Sprendimo schema

1 veiksmas. Pakeiskite duota lygtis tiesinis, naudojant laipsnio mažinimo formules:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

2 veiksmas. Išspręskite gautą lygtį naudodami I ir II metodus.

Pavyzdys.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Sprendimas.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Є Z;

x = ±π/6 + πn, n Є Z.

Atsakymas: x = ±π/6 + πn, n Є Z.

IV. Homogeninės lygtys

Sprendimo schema

1 veiksmas. Sumažinkite šią lygtį iki formos

a) a sin x + b cos x = 0 ( vienalytė lygtis pirmas laipsnis)

arba į vaizdą

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

2 veiksmas. Padalinkite abi lygties puses iš

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

ir gaukite tan x lygtį:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

3 veiksmas. Išspręskite lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Sprendimas.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4 (sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Tegul tg x = t, tada

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 arba t = -4, o tai reiškia

tg x = 1 arba tg x = -4.

Iš pirmosios lygties x = π/4 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties x = -arctg 4 + πk, kЄZ.

Atsakymas: x = π/4 + πn, n Є Z; x = -arctg 4 + πk, k Є Z.

V. Lygties transformavimo naudojant trigonometrines formules metodas

Sprendimo schema

1 veiksmas. Naudojant visokias trigonometrines formules, sumažinkite šią lygtį iki lygties, išspręstos I, II, III, IV metodais.

2 veiksmas. Išspręskite gautą lygtį žinomais metodais.

Pavyzdys.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Sprendimas.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 arba 2cos x + 1 = 0;

Iš pirmosios lygties 2x = π/2 + πn, n Є Z; iš antrosios lygties cos x = -1/2.

Turime x = π/4 + πn/2, n Є Z; iš antrosios lygties x = ±(π – π/3) + 2πk, k Є Z.

Dėl to x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Atsakymas: x = π/4 + πn/2, n Є Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Є Z.

Gebėjimas ir įgūdžiai spręsti trigonometrines lygtis yra labai svarbu, jų kūrimas reikalauja didelių pastangų tiek iš mokinio, tiek iš mokytojo pusės.

Daugelis stereometrijos, fizikos ir kt. uždavinių yra susiję su trigonometrinių lygčių sprendimu. Tokių problemų sprendimo procesas įkūnija daugybę žinių ir įgūdžių, įgyjamų studijuojant trigonometrijos elementus.

Trigonometrinės lygtys imtis svarbi vieta matematikos mokymo ir apskritai asmenybės ugdymo procese.

Vis dar turite klausimų? Nežinote, kaip išspręsti trigonometrines lygtis?
Norėdami gauti pagalbos iš dėstytojo, užsiregistruokite.
Pirma pamoka nemokama!

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.

54-55 pamokos. Trigonometrinių lygčių sistemos ( pasirenkama veikla)

Tikslas: apsvarstyti labiausiai tipiškos sistemos trigonometrines lygtis ir jų sprendimo būdus.

I. Pamokų temos ir tikslo perteikimas

II. Apimtos medžiagos kartojimas ir konsolidavimas

1. Atsakymai į klausimus apie namų darbai(neišspręstų problemų analizė).

2. Medžiagos įsisavinimo stebėjimas (savarankiškas darbas).

1 variantas

Išspręskite nelygybę:

2 variantas

Išspręskite nelygybę:

III. Naujos medžiagos mokymasis

Egzaminuose trigonometrinių lygčių sistemos yra daug rečiau nei trigonometrinės lygtys ir nelygybės. Nėra aiškios trigonometrinių lygčių sistemų klasifikacijos. Todėl sąlygiškai suskirstysime juos į grupes ir apsvarstysime būdus, kaip šias problemas išspręsti.

1. Paprasčiausios lygčių sistemos

Tai apima sistemas, kuriose arba viena iš lygčių yra tiesinė, arba sistemos lygtys gali būti išspręstos nepriklausomai viena nuo kitos.

1 pavyzdys

Išspręskime lygčių sistemą

Kadangi pirmoji lygtis yra tiesinė, iš jos išreiškiame kintamąjįir pakeiskite antrąja lygtimi:Mes naudojame redukcijos formulę ir pagrindinę trigonometrinė tapatybė. Gauname lygtį arba Įveskime naują kintamąjį t = nuodėmė u. Turime kvadratinę lygtį 3 t 2 - 7 t + 2 = 0, kurio šaknys t 1 = 1/3 ir t 2 = 2 (netinka, nes nuodėmė y ≤ 1). Grįžkime į seną nežinomybę ir gaukime lygtį nuodėmingas = 1/3, kurio sprendimasDabar lengva rasti nežinomąjį:Taigi, lygčių sistema turi sprendinius kur n ∈ Z.

2 pavyzdys

Išspręskime lygčių sistemą

Sistemos lygtys yra nepriklausomos. Todėl galime užrašyti kiekvienos lygties sprendinius. Mes gauname:Sudėkime ir atimkime šios sistemos lygtis po termino tiesines lygtis ir rasti:kur

Atkreipkite dėmesį, kad dėl lygčių nepriklausomumo, ieškant x - y ir x + y, reikia nurodyti skirtingus sveikuosius skaičius n ir k. Jei vietoj k taip pat buvo tiekiamas n , tada sprendimai atrodytų taip:Tokiu atveju jis būtų prarastas begalinis rinkinys sprendimus ir, be to, būtų ryšys tarp kintamųjų x ir y: x = 3y (o tikrovėje nėra). Pavyzdžiui, nesunku tai patikrinti šią sistemą turi sprendinį x = 5π ir y = n (pagal gautas formules), kuris kada k = n neįmanoma rasti. Taigi būk atsargus.

2. Tipo sistemos

Tokios sistemos redukuojamos iki paprasčiausių pridedant ir atimant lygtis. Šiuo atveju gauname sistemasarba Atkreipkite dėmesį į akivaizdų apribojimą: Ir Pats tokių sistemų sprendimas nesukelia jokių sunkumų.

3 pavyzdys

Išspręskime lygčių sistemą

Pirmiausia transformuokime antrąją sistemos lygtį naudodami lygybę Mes gauname: Pirmąją lygtį pakeiskime šios trupmenos skaitikliu:ir išreikšti Dabar turime lygčių sistemąSudėkime ir atimkime šias lygtis. Turime: arbaUžrašykime šios paprasčiausios sistemos sprendimus:Sudėjus ir atėmus šias tiesines lygtis, gauname:

3. Tipo sistemos

Tokios sistemos gali būti laikomos paprasčiausiomis ir atitinkamai išspręstos. Tačiau yra ir kitas būdas tai išspręsti: paverskite trigonometrinių funkcijų sumą į sandaugą ir naudokite likusią lygtį.

4 pavyzdys

Išspręskime lygčių sistemą

Pirma, mes transformuojame pirmąją lygtį naudodami kampų sinusų sumos formulę. Mes gauname:Naudodami antrąją lygtį, turime:kur Užrašykime šios lygties sprendinius:Atsižvelgdami į antrąją šios sistemos lygtį, gauname tiesinių lygčių sistemąIš šios sistemos mes randame Tokius sprendimus patogu rašyti daugiau racionali forma. Viršutiniams ženklams turime:žemesniems ženklams -

4. Tipo sistemos

Visų pirma, reikia gauti lygtį, kurioje yra tik vienas nežinomasis. Norėdami tai padaryti, pavyzdžiui, išreikškime iš vienos lygties sin y, nuo kito - cos u. Padėkime šiuos santykius kvadratu ir sudėkime. Tada gauname trigonometrinę lygtį, kurioje yra nežinomas x. Išspręskime šią lygtį. Tada, naudodami bet kurią šios sistemos lygtį, gauname nežinomo y nustatymo lygtį.

5 pavyzdys

Išspręskime lygčių sistemą

Parašykime sistemą formojePadėkime kiekvieną sistemos lygtį kvadratu ir gausime:Sudėkime šios sistemos lygtis: arba Naudodamiesi pagrindine trigonometrine tapatybe, rašome lygtį formoje arba Šios lygties sprendimai cos x = 1/2 (tada ) ir cos x = 1/4 (iš kur ), kur n, k ∈ Z . Atsižvelgiant į ryšį tarp nežinomųjų cos y = 1 – 3 cos x, gauname: cos x = 1/2 cos y = -1/2; jei cos x = 1/4 cos y = 1/4. Reikia atsiminti, kad sprendžiant lygčių sistemą buvo atliktas kvadratas ir ši operacija galėjo lemti pašalinės šaknys. Todėl būtina atsižvelgti į pirmąją šios sistemos lygtį, iš kurios išplaukia, kad kiekiai nuodėmė x ir nuodėmė y turi turėti tą patį ženklą.

Atsižvelgdami į tai, gauname šios lygčių sistemos sprendiniusIr kur n, m, k, l ∈ Z . Šiuo atveju, kai nežinomas x ir y, vienu metu pasirenkami viršutiniai arba apatiniai ženklai.

Ypatingu atvejusistema gali būti išspręsta trigonometrinių funkcijų sumą (arba skirtumą) paverčiant sandauga ir padalijant lygtis iš termino.

6 pavyzdys

Išspręskime lygčių sistemą

Kiekvienoje lygtyje funkcijų sumą ir skirtumą paverčiame sandauga ir kiekvieną lygtį padaliname iš 2. Gauname:Kadangi nei vienas koeficientas kairėje lygčių pusėje nėra lygus nuliui, lygčių terminą dalijame iš termino (pavyzdžiui, antrąjį iš pirmojo). Mes gauname:kur Pakeiskime rastą vertępavyzdžiui, pirmoje lygtyje:Atsižvelgkime į tai Tada kur

Gavome tiesinių lygčių sistemąSudėję ir atimdami šios sistemos lygtis, randameIr kur n, k ∈ Z.

5. Sistemos, išspręstos pakeičiant nežinomuosius

Jei sistemoje yra tik dvi trigonometrinės funkcijos arba ji gali būti sumažinta iki šios formos, tada patogu naudoti nežinomųjų pakeitimą.

7 pavyzdys

Išspręskime lygčių sistemą

Kadangi ši sistema apima tik dvi trigonometrines funkcijas, pristatome naujus kintamuosius a = tan x ir b = sin u. Gauname algebrinių lygčių sistemąIš pirmosios lygties išreiškiame = b + 3 ir pakeiskite antruoju:arba Šios kvadratinės lygties šaknys b 1 = 1 ir b 2 = -4. Atitinkamos reikšmės yra a1 = 4 ir a2 = -1. Grįžkime prie senų nežinomųjų. Gauname dvi paprastų trigonometrinių lygčių sistemas:

a) jos sprendimas kur n, k ∈ Z.

b) neturi sprendimų, nes sin y ≥ -1.

8 pavyzdys

Išspręskime lygčių sistemą

Antrąją sistemos lygtį paverskime taip, kad joje būtų tik funkcijos sin x ir cos u. Norėdami tai padaryti, naudojame redukcijos formules. Mes gauname:(kur ) Ir (Tada ). Antroji sistemos lygtis yra tokia: arba Gavome trigonometrinių lygčių sistemąPristatykime naujus kintamuosius a = sin x ir b = cos u. Turime simetrišką lygčių sistemą vienintelis sprendimas kurios a = b = 1/2. Grįžkime prie senų nežinomųjų ir gaukime pati paprasčiausia sistema trigonometrines lygtis kurio sprendimas kur n, k ∈ Z.

6. Sistemos, kurioms svarbios lygčių ypatybės

Beveik sprendžiant bet kurią lygčių sistemą, pasitelkiama viena ar kita jos ypatybė. Visų pirma, vienas iš labiausiai bendrosios technikos sisteminiai sprendimai - tapatybės transformacijos, leidžianti gauti lygtį, kurioje yra tik vienas nežinomasis. Transformacijų pasirinkimą, žinoma, lemia sistemos lygčių specifika.

9 pavyzdys

Išspręskime sistemą

Atkreipkime dėmesį į kairiąsias lygčių puses, pavyzdžiui, įNaudodami redukcijos formules paverčiame ją funkcija su argumentu π/4 + x. Mes gauname:Tada lygčių sistema atrodo taip:Norėdami pašalinti kintamąjį x, lygčių skaičių padauginame iš termino ir gauname:arba 1 = sin 3 2у, iš kur sin 2у = 1. Randame Ir Patogu atskirai nagrinėti lyginių ir nelyginių reikšmių atvejus n. Netgi n (n = 2 k, kur k ∈ Z) Tada iš pirmosios šios sistemos lygties gauname:kur m ∈ Z. Dėl keistų Tada iš pirmosios lygties turime:Taigi, ši sistema turi sprendimų

Kaip ir lygčių atveju, gana dažnai egzistuoja lygčių sistemos, kuriose reikšmingą vaidmenį atlieka ribotas sinuso ir kosinuso funkcijų pobūdis.

10 pavyzdys

Išspręskime lygčių sistemą

Pirmiausia transformuojame pirmąją sistemos lygtį:arba arba arba arba Atsižvelgdami į ribotą sinusinės funkcijos pobūdį, matome, kad kairėje pusėje lygtys yra bent 2 ir dešinėje pusėje ne daugiau kaip 2. Todėl tokia lygtis yra lygiavertė sąlygoms sin 2 2x = 1 ir sin 2 y = 1.

Antrąją sistemos lygtį įrašome į formą sin 2 y = 1 - cos 2 z arba sin 2 y = sin 2 z, o tada sin 2 z = 1. Gavome paprastų trigonometrinių lygčių sistemąNaudodamiesi laipsnio mažinimo formule, rašome sistemą į formąarba Tada

Žinoma, sprendžiant kitas trigonometrinių lygčių sistemas, reikia atkreipti dėmesį ir į šių lygčių ypatybes.

Atsisiųsti medžiagą

Visą medžiagos tekstą rasite atsisiunčiamame faile.
Puslapyje yra tik medžiagos fragmentas.

Baigti darbai

LAIPSNIO DARBAI

Jau daug kas praėjo ir dabar esate absolventas, jei, žinoma, baigiamąjį darbą rašote laiku. Bet gyvenimas yra toks dalykas, kad tik dabar tau tampa aišku, kad, nustojęs būti studentu, tu prarasi visus studentiškus džiaugsmus, kurių daugelio niekada nebandei, viską atidėliodamas ir atidėdamas vėlesniam laikui. O dabar, užuot pasivyjęs, dirbate su baigiamuoju darbu? Yra puikus sprendimas: atsisiųskite reikiamą baigiamąjį darbą iš mūsų svetainės – ir jūs akimirksniu turėsite daug laisvo laiko!
Disertacijos sėkmingai apgintos pirmaujančiuose Kazachstano Respublikos universitetuose.
Darbo kaina nuo 20 000 tenge

KURSINIAI DARBAI

Kursinis projektas yra pirmasis rimtas praktinis darbas. Būtent nuo kursinio darbo rašymo prasideda pasiruošimas tobulėjimui. diplominiai projektai. Jei mokinys išmoksta teisingai pateikti temos turinį kurso projektas ir teisingai surašyti, tada ateityje jis neturės problemų nei rašydamas ataskaitas, nei surašydamas tezes, nei su kitų įgyvendinimu praktines užduotis. Siekiant padėti studentams rašyti tokio pobūdžio studentų darbus ir išsiaiškinti klausimus, kylančius jį rengiant, iš tikrųjų buvo sukurta ši informacinė skiltis.
Darbo kaina nuo 2500 tenge

MAGISTRUOTIS

Šiuo metu aukštesnėje švietimo įstaigos Kazachstane ir NVS šalyse aukštojo mokslo lygis yra labai paplitęs profesinis išsilavinimas, kuri po bakalauro – magistro laipsnio. Magistrantūros programoje studentai mokosi turėdami tikslą įgyti magistro laipsnį, kuris daugumoje pasaulio šalių pripažįstamas labiau nei bakalauro laipsnis, taip pat pripažįstamas užsienio darbdavių. Studijų magistrantūroje rezultatas – gynimas magistro baigiamasis darbas.
Pateiksime Jums naujausią analitinę ir tekstinę medžiagą, į kainą įeina 2 mokslinius straipsnius ir abstrakčiai.
Darbo kaina nuo 35 000 tenge

PRAKTIKOS ATASKAITOS

Atlikus bet kokios rūšies studentų praktiką (mokomąją, gamybinę, prieš baigiamąją), reikalinga ataskaita. Šis dokumentas bus patvirtinimas praktinis darbas studentas ir praktikos įvertinimo formavimo pagrindas. Paprastai, norint surašyti praktikos ataskaitą, reikia rinkti ir analizuoti informaciją apie įmonę, atsižvelgti į organizacijos, kurioje atliekama praktika, struktūrą, darbo režimą, sukaupti kalendorinis planas ir apibūdinkite savo praktinė veikla.
Padėsime surašyti praktikos ataskaitą, atsižvelgdami į konkrečios įmonės veiklos specifiką.