dažnai paimkite skaičių e = 2,718281828 . Logaritmai, pagrįsti šia baze, vadinami natūralus. Atliekant skaičiavimus natūraliais logaritmais, įprasta operuoti su ženklu ln, ne žurnalas; o skaičius 2,718281828 , apibrėžiantys pagrindą, nenurodomi.
Kitaip tariant, formuluotė atrodys taip: natūralusis logaritmas numeriai X- tai eksponentas, iki kurio reikia pakelti skaičių e gauti x.
Taigi, ln(7 389...)= 2, nuo e 2 =7,389... . Natūralusis paties skaičiaus logaritmas e= 1, nes e 1 =e, o vienybės natūralusis logaritmas lygus nuliui, nes e 0 = 1.
Pats skaičius e apibrėžia monotoninės sekos ribą
tai paskaičiavo e = 2,7182818284... .
Gana dažnai, norint užfiksuoti numerį atmintyje, reikiamo skaičiaus skaitmenys susiejami su kokia nors neįvykusia data. Pirmųjų devynių skaičiaus skaitmenų įsiminimo greitis e po kablelio padidės, jei pastebėsite, kad 1828-ieji yra Levo Tolstojaus gimimo metai!
Šiandien jų užtenka pilni stalai natūralūs logaritmai.
Natūralaus logaritmo grafikas(funkcijos y =ln x) yra eksponentinės grafiko pasekmė veidrodinis vaizdas santykinai tiesus y = x ir turi tokią formą:
Natūralų logaritmą galima rasti kiekvienam teigiamam realus skaičius a kaip plotas po kreive y = 1/x iš 1 į a.
Elementarus šios formuluotės pobūdis, atitinkantis daugelį kitų formulių, kuriose dalyvauja natūralusis logaritmas, buvo pavadinimo „natūralus“ susidarymo priežastis.
Jei analizuosite natūralusis logaritmas, kaip tikroji tikrojo kintamojo funkcija, tada jis veikia atvirkštinė funkcijaį eksponentinę funkciją, kuri redukuoja iki tapatybių:
e ln(a) =a (a>0)
ln(e a) =a
Analogiškai su visais logaritmais natūralusis logaritmas paverčia daugybą į sudėjimą, o padalijimą į atimtį:
ln(xy) = ln(x) + ln(y)
ln(x/y)= lnx - lny
Logaritmą galima rasti kiekvienai teigiamai bazei, kuri nėra lygi vienetui, ne tik už e, tačiau kitų bazių logaritmai skiriasi tik nuo natūralaus logaritmo pastovus daugiklis, ir paprastai apibrėžiami natūralaus logaritmo prasme.
Išanalizavęs natūralaus logaritmo grafikas, matome, kad jis egzistuoja teigiamas vertes kintamasis x. Jis monotoniškai didėja savo apibrėžimo srityje.
At x → 0 natūraliojo logaritmo riba yra minus begalybė ( -∞ ).At x → +∞ natūralaus logaritmo riba yra plius begalybė ( + ∞ ). Laisvėje x Logaritmas didėja gana lėtai. Bet kokia galios funkcija xa su teigiamu eksponentu a didėja greičiau nei logaritmas. Natūralus logaritmas yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl ji neturi ekstremalių.
Naudojimas natūralūs logaritmai labai racionalus praeinant aukštoji matematika. Taigi logaritmo naudojimas yra patogus ieškant atsakymo į lygtis, kuriose nežinomieji rodomi kaip eksponentai. Natūralių logaritmų naudojimas skaičiavimuose leidžia labai supaprastinti didelis skaičius matematines formules. Logaritmai iki pagrindo e yra sprendžiant reikšmingą skaičių fizinių problemų ir natūraliai įeina matematinis aprašymas atskiri cheminiai, biologiniai ir kiti procesai. Taigi logaritmai naudojami skilimo konstantai apskaičiuoti žinomam pusinės eliminacijos laikui arba skilimo laikui apskaičiuoti sprendžiant radioaktyvumo problemas. Jie koncertuoja vadovaujantis vaidmuo daugelyje matematikos šakų ir praktiniai mokslai, jie kreipiasi į finansų sritį, kad išspręstų didelis skaičius užduotys, įskaitant skaičiavimus sudėtines palūkanas.
Pagrindinės natūraliojo logaritmo, grafiko, apibrėžimo srities, reikšmių rinkinio, pagrindinių formulių, išvestinės, integralo, išplėtimo savybės galios serija ir funkcijos ln x vaizdavimas naudojant kompleksinius skaičius.
Apibrėžimas
Natūralus logaritmas yra funkcija y = ln x, atvirkščiai eksponentinis, x = e y , ir yra logaritmas pagal skaičių e: ln x = log e x.
Natūralusis logaritmas plačiai naudojamas matematikoje, nes jo išvestinė yra paprasčiausia: (ln x)′ = 1/x.
Remiantis apibrėžimai, natūraliojo logaritmo pagrindas yra skaičius e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.
Funkcijos y = grafikas ln x.
Natūralaus logaritmo grafikas (funkcijos y = ln x) gaunamas iš eksponentinė grafika veidrodinis atspindys tiesės y = x atžvilgiu.
Natūralusis logaritmas apibrėžiamas teigiamoms kintamojo x reikšmėms.
Jis monotoniškai didėja savo apibrėžimo srityje. 0 Ties x →
natūraliojo logaritmo riba yra minus begalybė (-∞). Kaip x → + ∞, natūraliojo logaritmo riba yra plius begalybė (+ ∞). Didelio x logaritmas didėja gana lėtai. Bet koks galios funkcija
x a su teigiamu eksponentu a auga greičiau nei logaritmas.
Apibrėžimo sritis, reikšmių rinkinys, ekstremumai, padidėjimas, sumažėjimas
Natūralusis logaritmas yra monotoniškai didėjanti funkcija, todėl jis neturi ekstremalių. Pagrindinės natūraliojo logaritmo savybės pateiktos lentelėje.
ln x reikšmės
ln 1 = 0
Pagrindinės natūraliųjų logaritmų formulės
Formulės, išplaukiančios iš atvirkštinės funkcijos apibrėžimo:
Pagrindinė logaritmų savybė ir jos pasekmės
Bazės pakeitimo formulė
Bet koks logaritmas gali būti išreikštas natūraliais logaritmais naudojant bazinę pakeitimo formulę:
Šių formulių įrodymai pateikti skyriuje "Logaritmas".
Atvirkštinė funkcija
Natūralaus logaritmo atvirkštinė vertė yra eksponentas.
Jei, tada
Jei, tada.
Išvestinė ln x
Natūralaus logaritmo išvestinė:
.
Modulio x natūraliojo logaritmo išvestinė:
.
N-osios eilės vedinys:
.
Išvestinės formulės >>>
Integralinis
Skaičiuojamas integralas integravimas dalimis :
.
Taigi,
Išraiškos naudojant kompleksinius skaičius
Apsvarstykite kompleksinio kintamojo z funkciją:
.
Išreikškime kompleksinį kintamąjį z per modulį r ir argumentas φ
:
.
Naudodami logaritmo savybes, turime:
.
Arba
.
Argumentas φ nėra vienareikšmiškai apibrėžtas. Jei įdėsite
, kur n yra sveikas skaičius,
tai bus tas pats skaičius skirtingiems n.
Todėl natūralusis logaritmas, kaip sudėtingo kintamojo funkcija, nėra vienareikšmė funkcija.
Galios serijos išplėtimas
Kai plėtra vyksta:
Naudota literatūra:
I.N. Bronšteinas, K.A. Semendyaev, Matematikos vadovas inžinieriams ir kolegijų studentams, „Lan“, 2009 m.
Visai neblogai, tiesa? Kol matematikai ieško žodžių, kad pateiktų ilgą ir painų apibrėžimą, pažvelkime į šį paprastą ir aiškų apibrėžimą.
Skaičius e reiškia augimą
Skaičius e reiškia nuolatinį augimą. Kaip matėme ankstesniame pavyzdyje, pavyzdys leidžia susieti palūkanas ir laiką: 3 metai, kai augimas 100 %, yra tas pats, kas 1 metai 300 %, darant prielaidą, kad „sudėtinės palūkanos“.
Galite pakeisti bet kokias procentines ir laiko vertes (50% 4 metams), tačiau patogumui geriau nustatyti 100% procentą (pasirodo, kad 100% 2 metams). Perėję prie 100%, galime sutelkti dėmesį tik į laiko komponentą:
e x = e procentai * laikas = e 1,0 * laikas = e laikas
Akivaizdu, kad e x reiškia:
- kiek padidės mano indėlis po x laiko vienetų (darant prielaidą, kad 100 % nuolatinis augimas).
- pavyzdžiui, po 3 laiko intervalų gausiu e 3 = 20,08 karto daugiau „daiktų“.
e x yra mastelio koeficientas, rodantis, iki kokio lygio mes išaugsime per x laiko tarpą.
Natūralus logaritmas reiškia laiką
Natūralusis logaritmas yra atvirkštinis e, išgalvotas priešingybės terminas. Kalbant apie keistenybes; lotyniškai jis vadinamas logarithmus naturali, taigi ir santrumpa ln.
O ką reiškia ši inversija ar priešingybė?
- e x leidžia mums pakeisti laiką ir gauti augimą.
- ln(x) leidžia mums paimti augimą arba pajamas ir sužinoti, kiek laiko reikia jiems generuoti.
Pavyzdžiui:
- e 3 lygus 20.08. Po trijų laikotarpių turėsime 20,08 karto be to kur pradėjome.
- ln(08/20) būtų maždaug 3. Jeigu Jus domina augimas 20,08 karto, Jums reikės 3 laiko periodų (vėlgi, darant prielaidą, kad 100% nuolatinis augimas).
Vis dar skaitai? Natūralusis logaritmas rodo laiką, reikalingą norint pasiekti norimą lygį.
Šis nestandartinis logaritminis skaičius
Ar perėjote logaritmus? keistos būtybės. Kaip jiems pavyko daugybą paversti sudėjimu? O padalijimas į atimtį? Pažiūrėsim.
Kam lygus ln(1)? Intuityviai kyla klausimas: kiek turėčiau laukti, kad gaučiau 1x daugiau nei turiu?
Nulis. Nulis. Visai ne. Kartą jau turite. Nereikia daug laiko pereiti iš 1 lygio į 1 lygį.
- ln(1) = 0
Gerai, ką apie trupmeninė vertė? Kiek laiko užtruks, kol turėsime 1/2 turimo kiekio? Žinome, kad esant 100 % nuolatiniam augimui, ln(2) reiškia laiką, kurio reikia dvigubai. Jeigu mes atsukime laiką atgal(t. y. palaukite neigiamą laiką), tada gausime pusę to, ką turime.
- ln(1/2) = -ln(2) = -0,693
Logiška, tiesa? Jei grįšime atgal (laiką atgal) iki 0,693 sekundės, rasime pusę turimos sumos. Apskritai galite apversti trupmeną ir paimti neigiama vertė: ln(1/3) = -ln(3) = -1,09. Tai reiškia, kad jei grįšime laiku atgal iki 1,09 karto, rasime tik trečdalį dabartinio skaičiaus.
Gerai, o kaip su neigiamo skaičiaus logaritmu? Kiek laiko užtrunka, norint „užauginti“ bakterijų koloniją nuo 1 iki -3?
Tai neįmanoma! Jūs negalite gauti neigiamo bakterijų skaičiaus, ar ne? Galite gauti maksimalų (er...minimumą) nulį, bet niekaip negalite gauti neigiamo skaičiaus iš šių mažų būtybių. Neigiamas bakterijų skaičius tiesiog neturi prasmės.
- ln(neigiamas skaičius) = neapibrėžtas
„Neapibrėžta“ reiškia, kad nėra laiko, kurį reikėtų laukti, kad gautumėte neigiamą reikšmę.
Logaritminis daugyba yra tiesiog linksma
Kiek laiko užtruks, kad išaugtų keturis kartus? Žinoma, galite tiesiog paimti ln(4). Bet tai per paprasta, mes eisime kitu keliu.
Galite galvoti apie keturgubą augimą kaip padvigubėjimą (reikia ln(2) laiko vienetų), o paskui vėl padvigubėjimą (reikalauja dar ln(2) laiko vienetų):
- Laikas augti 4 kartus = ln(4) = laikas padvigubėti ir vėl padvigubėti = ln(2) + ln(2)
Įdomu. Bet koks augimo tempas, tarkime, 20, gali būti laikomas padvigubėjimu iškart po 10 kartų padidėjimo. Arba augimas 4 kartus, o paskui 5 kartus. Arba patrigubinti ir tada padidinti 6,666 karto. Matote modelį?
- ln(a*b) = ln(a) + ln(b)
A ir B logaritmas yra log(A) + log(B). Šie santykiai iš karto turi prasmę, kai žiūrima į augimą.
Jei jus domina 30x augimas, galite palaukti ln(30) vienu prisėdimu arba palaukti ln(3), kol padvigubės, o paskui dar ln(10) 10x. Galutinis rezultatas tas pats, todėl, žinoma, laikas turi išlikti pastovus (ir išlieka).
O padalijimas? Tiksliau, ln(5/3) reiškia: kiek laiko užtruks, kol išaugs 5 kartus ir tada gaus 1/3?
Puiku, augimas 5 kartus yra ln(5). Padidinimas 1/3 karto užtruks -ln(3) laiko vienetų. Taigi,
- ln(5/3) = ln(5) – ln(3)
Tai reiškia: leiskite jam augti 5 kartus, o tada „grįžkite atgal“ iki to momento, kai liks tik trečdalis to kiekio, taigi gausite 5/3 augimo. Apskritai pasirodo
- ln(a/b) = ln(a) – ln(b)
Tikiuosi, kad keista logaritmų aritmetika jums pradeda suprasti: augimo tempų dauginimas tampa augimo laiko vienetų pridėjimu, o dalijimas - laiko vienetų atėmimu. Nereikia mokytis atmintinai taisyklių, stenkitės jas suprasti.
Natūralaus logaritmo naudojimas savavališkam augimui
Na, žinoma, – sakote jūs, – viskas gerai, jei augimas yra 100 %, bet kaip dėl 5 %, kuriuos gaunu?
Jokių problemų. „Laikas“, kurį apskaičiuojame su ln(), iš tikrųjų yra palūkanų normos ir laiko derinys, tas pats X iš e x lygties. Kad būtų paprasčiau, nusprendėme nustatyti 100 % procentą, bet galime laisvai naudoti bet kokius skaičius.
Tarkime, kad norime pasiekti 30 kartų didesnį augimą: paimkite ln(30) ir gaukite 3,4 Tai reiškia:
- e x = aukštis
- e 3,4 = 30
Akivaizdu, kad ši lygtis reiškia, kad „100% grąža per 3,4 metų suteikia 30 kartų didesnį augimą“. Šią lygtį galime parašyti taip:
- e x = e norma*laikas
- e 100% * 3,4 metų = 30
Galime pakeisti „statymo“ ir „laiko“ reikšmes, kol norma * laikas išlieka 3,4. Pavyzdžiui, jei mus domina 30 kartų augimas, kiek laiko turėsime laukti su 5% palūkanų norma?
- ln(30) = 3,4
- norma * laikas = 3,4
- 0,05 * laikas = 3,4
- laikas = 3,4 / 0,05 = 68 metai
Aš motyvuoju taip: "ln(30) = 3,4, taigi, esant 100% augimui, tai užtruks 3,4 metų. Jei padvigubinsiu augimo tempą, reikiamo laiko bus perpus sumažintas“.
- 100 % 3,4 metų = 1,0 * 3,4 = 3,4
- 200 % per 1,7 metų = 2,0 * 1,7 = 3,4
- 50 % 6,8 metų = 0,5 * 6,8 = 3,4
- 5 % virš 68 metų = 0,05 * 68 = 3,4.
Puiku, tiesa? Natūralųjį logaritmą galima naudoti su bet kokia palūkanų norma ir laiku, nes jų sandauga išlieka pastovi. Kintamąsias reikšmes galite perkelti tiek, kiek norite.
Puikus pavyzdys: septyniasdešimt dviejų taisyklė
Septyniasdešimt dviejų taisyklė yra matematinė technika, leidžianti įvertinti, kiek laiko prireiks, kol jūsų pinigai padvigubės. Dabar mes tai išvesime (taip!), be to, bandysime suprasti jo esmę.
Kiek laiko užtruks padvigubinti savo pinigus su 100% metinėmis palūkanomis?
Oi. Nepertraukiamo augimo atveju naudojome natūralų logaritmą, o dabar jūs kalbate apie metinį sudėtį? Ar tokia formulė netaps netinkama tokiam atvejui? Taip, taip bus, bet tikrosioms palūkanų normoms, tokioms kaip 5%, 6% ar net 15%, skirtumas tarp metinio sudėties ir nuolatinio augimo bus nedidelis. Taigi apytikslis įvertinimas veikia, um, apytiksliai, todėl apsimesime, kad turime visiškai nenutrūkstamą kaupimą.
Dabar klausimas paprastas: kaip greitai galite padvigubinti augimą 100%? ln(2) = 0,693. Prireikia 0,693 laiko vienetų (mūsų atveju metų), kad padvigubėtų mūsų suma nuolat didėjant 100%.
Taigi, ką daryti, jei palūkanų norma yra ne 100%, o tarkim 5% ar 10%?
Lengvai! Kadangi statymo * laikas = 0,693, mes padvigubiname sumą:
- norma * laikas = 0,693
- laikas = 0,693 / statymas
Pasirodo, jei augimas yra 10%, tai užtruks 0,693 / 0,10 = 6,93 metų, kad padvigubėtų.
Norėdami supaprastinti skaičiavimus, padauginkime abi puses iš 100, tada galime pasakyti „10“, o ne „0,10“:
- laikas padvigubinti = 69,3 / statymas, kur statymas išreiškiamas procentais.
Dabar laikas padvigubinti 5%, 69,3 / 5 = 13,86 metų. Tačiau 69,3 nėra pats patogiausias dividendas. Išsirinkime artimą skaičių 72, kurį patogu dalinti iš 2, 3, 4, 6, 8 ir kitų skaičių.
- laikas padvigubinti = 72 / statymas
kuri yra septyniasdešimt dviejų taisyklė. Viskas uždengta.
Jei reikia rasti laiko trigubai, galite naudoti ln(3) ~ 109.8 ir gauti
- laikas iki trigubo = 110 / statymas
Kas yra kitas naudinga taisyklė. „72 taisyklė“ taikoma palūkanų normų augimui, populiacijos augimui, bakterijų kultūroms ir viskam, kas auga eksponentiškai.
Kas toliau?
Tikiuosi, kad natūralus logaritmas dabar jums yra prasmingas – jis parodo laiką, per kurį bet koks skaičius išauga eksponentinis augimas. Manau, kad tai vadinama natūraliu, nes e yra universalus augimo matas, todėl galima atsižvelgti į ln universaliu būdu nustatyti, kiek laiko reikia augti.
Kiekvieną kartą, kai pamatysite ln(x), prisiminkite „laiką, kurio reikia X kartų augti“. Būsimame straipsnyje aprašysiu e ir ln kartu, kad orą užpildytų gaivus matematikos kvapas.
Papildymas: Natūralusis logaritmas e
Greita viktorina: kas yra ln(e)?
- matematikos robotas pasakys: kadangi jie apibrėžiami kaip atvirkštiniai vienas kitam, akivaizdu, kad ln(e) = 1.
- suprantantis asmuo: ln(e) – tai, kiek kartų reikia išaugti „e“ kartų (apie 2,718). Tačiau pats skaičius e yra augimo matas 1 koeficientu, taigi ln(e) = 1.
Pagalvok aiškiai.
2013 m. rugsėjo 9 dLogaritmas duotas numeris vadinamas eksponentu, į kurį turi būti pakeltas kitas skaičius, vadinamas pagrindu logaritmas, kad gautumėte šį skaičių. Pavyzdžiui, 10 bazinis 10 logaritmas yra 2. Kitaip tariant, 10 turi būti padalytas kvadratu, kad gautumėte 100 (10 2 = 100). Jeigu n- duotas numeris, b– bazė ir l– tada logaritmas b l = n. Skaičius n dar vadinamas baziniu antilogaritmu b numeriai l. Pavyzdžiui, antilogaritmas nuo 2 iki 10 bazės yra lygus 100. Tai galima parašyti ryšių žurnalo forma b n = l ir antilog b l = n.
Pagrindinės logaritmų savybės:
Bet koks teigiamas skaičius, išskyrus vienybę, gali būti logaritmų pagrindas, bet, deja, paaiškėja, kad jei b Ir n yra racionalieji skaičiai, tada retais atvejais yra toks racionalus skaičius l, Ką b l = n. Tačiau galima nustatyti neracionalus skaičius l Pavyzdžiui, 10 l= 2; tai neracionalus skaičius l galima apytiksliai apskaičiuoti bet kokiu reikiamu tikslumu racionalūs skaičiai. Pasirodo, kad pateiktame pavyzdyje l yra apytiksliai lygus 0,3010, o šį 2 bazinio 10 logaritmo aproksimaciją galima rasti keturženklėse lentelėse dešimtainiai logaritmai. 10 bazinių logaritmų (arba 10 bazinių logaritmų) taip dažnai naudojami skaičiavimai, kad jie vadinami įprastas logaritmus ir parašyta kaip log2 = 0,3010 arba log2 = 0,3010, nenurodant logaritmo pagrindo. Logaritmai iki pagrindo e, transcendentinis skaičius, apytiksliai lygus 2,71828, yra vadinami natūralus logaritmus. Jų daugiausia galima rasti darbuose apie matematinė analizė ir jo taikymas įvairių mokslų. Natūralūs logaritmai taip pat rašomi aiškiai nenurodant pagrindo, o naudojant specialų žymėjimą ln: pavyzdžiui, ln2 = 0,6931, nes e 0,6931 = 2.
Naudojant įprastų logaritmų lenteles.
Taisyklingasis skaičiaus logaritmas yra eksponentas, iki kurio reikia pakelti 10, kad gautume nurodytą skaičių. Kadangi 10 0 = 1, 10 1 = 10 ir 10 2 = 100, iš karto gauname, kad log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 ir t.t. sveikųjų skaičių laipsniams didinti 10. Taip pat 10 –1 = 0,1, 10 –2 = 0,01 ir todėl log0,1 = –1, log0,01 = –2 ir kt. visiems sveikiesiems skaičiams neigiamų galių 10. Įprasti likusių skaičių logaritmai yra tarp skaičiaus 10 artimiausių sveikųjų laipsnių logaritmų; log2 turi būti nuo 0 iki 1, log20 turi būti nuo 1 iki 2, o log0.2 turi būti nuo -1 iki 0. Taigi logaritmas susideda iš dviejų dalių: sveikojo skaičiaus ir dešimtainis, esantis tarp 0 ir 1. Sveikoji dalis vadinama charakteristika logaritmas ir nustatomas pagal patį skaičių, trupmeninė dalis paskambino mantisa ir galima rasti iš lentelių. Be to, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. 2 logaritmas yra 0,3010, taigi log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Panašiai log0.2 = log(2о10) = log2 – log10 = (log2) – 1 = 0.3010 – 1. Atėmus gauname log0.2 = – 0.6990. Tačiau log0.2 patogiau pavaizduoti kaip 0.3010 – 1 arba kaip 9.3010 – 10; galima suformuluoti ir bendroji taisyklė: visi skaičiai, gauti iš tam tikro skaičiaus padauginus iš laipsnio 10, turi tą pačią mantisą, lygią mantisai duotas numeris. Daugumoje lentelių pateikiamos skaičių mantisos intervale nuo 1 iki 10, nes visų kitų skaičių mantisas galima gauti iš pateiktų lentelėje.
Daugumoje lentelių logaritmai pateikiami su keturiais arba penkiais po kablelio, nors yra septynženklių lentelių ir lentelių su dar didesniu simbolių skaičiumi. Lengviausias būdas išmokti naudotis tokiomis lentelėmis yra pavyzdžiai. Norėdami rasti log3.59, visų pirma pažymime, kad skaičius 3.59 yra tarp 10 0 ir 10 1, taigi jo charakteristika yra 0. Lentelėje randame skaičių 35 (kairėje) ir eilute pereiname į stulpelis, kurio viršuje yra skaičius 9; šio stulpelio ir 35 eilutės sankirta yra 5551, taigi log3,59 = 0,5551. Rasti skaičiaus su keturiais mantisą reikšmingi skaičiai, būtina griebtis interpoliacijos. Kai kuriose lentelėse interpoliaciją palengvina proporcijos, pateiktos paskutiniuose devyniuose stulpeliuose kiekvieno lentelių puslapio dešinėje. Dabar suraskime log736.4; skaičius 736,4 yra tarp 10 2 ir 10 3, todėl jo logaritmo charakteristika yra 2. Lentelėje randame eilutę, kurios kairėje yra 73 ir stulpelį 6. Šios eilutės ir šio stulpelio sankirtoje yra skaičių 8669. Tarp tiesinių dalių randame 4 stulpelį 73 eilutės ir 4 stulpelio sankirtoje yra skaičius 2. Pridėjus 2 prie 8669, gauname mantisą – ji lygi 8671. Taigi log736.4. = 2,8671.
Natūralūs logaritmai.
Natūralių logaritmų lentelės ir savybės yra panašios į įprastų logaritmų lenteles ir savybes. Pagrindinis skirtumas tarp abiejų yra tas, kad natūralaus logaritmo sveikoji dalis nėra reikšminga nustatant padėtį kablelis, todėl skirtumas tarp mantisos ir charakteristikos nevaidina ypatingo vaidmens. Natūralūs skaičių logaritmai 5,432; 54,32 ir 543,2 yra atitinkamai lygūs 1,6923; 3,9949 ir 6,2975. Ryšys tarp šių logaritmų taps akivaizdus, jei atsižvelgsime į jų skirtumus: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; paskutinis numeris yra ne kas kita, kaip natūralusis skaičiaus 10 logaritmas (parašytas taip: ln10); log543,2 – log5,432 = 4,6052; paskutinis skaičius yra 2ln10. Bet 543,2 = 10ґ54,32 = 10 2ґ5,432. Taigi pagal tam tikro skaičiaus natūralųjį logaritmą a galite rasti skaičių natūralius logaritmus, lygus produktams numeriai a bet kokiam laipsniui n skaičiai 10 jei į ln a pridėkite ln10 padaugintą iš n, t.y. ln( aґ10n) = žurnalas a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Pavyzdžiui, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Todėl natūraliųjų logaritmų lentelėse, kaip ir paprastųjų logaritmų lentelėse, dažniausiai būna tik skaičių logaritmai nuo 1 iki 10. Natūraliųjų logaritmų sistemoje galima kalbėti apie antilogaritmus, bet dažniau kalbama apie eksponentinę funkciją arba laipsnį. Jeigu x= žurnalas y, Tai y = e x, Ir y vadinamas eksponentu x(dėl tipografinio patogumo jie dažnai rašo y= exp x). Rodiklis atlieka skaičiaus antilogaritmo vaidmenį x.
Naudodami dešimtainių ir natūraliųjų logaritmų lenteles galite kurti logaritmų lenteles bet kokia baze, išskyrus 10 ir e. Jei žurnalas b a = x, Tai b x = a, todėl užsiregistruokite c b x= žurnalas c a arba xžurnalas c b= žurnalas c a, arba x= žurnalas c a/log c b= žurnalas b a. Todėl naudojant šią inversijos formulę iš bazinės logaritmų lentelės c logaritmų lenteles galite sudaryti bet kurioje kitoje bazėje b. Daugiklis 1/log c b paskambino perėjimo modulis nuo pagrindo cį bazę b. Niekas netrukdo, pavyzdžiui, naudoti inversijos formulę arba pereiti iš vienos logaritmų sistemos į kitą, rasti natūralius logaritmus įprastų logaritmų lentelėje arba atlikti atvirkštinį perėjimą. Pavyzdžiui, log105.432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923 / 2,3026 = 1,6923ґ0,4343 = 0,7350. Skaičius 0,4343, iš kurio reikia padauginti natūralųjį tam tikro skaičiaus logaritmą, kad gautume paprastą logaritmą, yra perėjimo prie įprastų logaritmų sistemos modulis.
Specialūs stalai.
Logaritmai iš pradžių buvo išrasti taip, kad, naudojant jų savybes, log ab= žurnalas a+ žurnalas b ir žurnalas a/b= žurnalas a– žurnalas b, produktus paverskite sumomis, o dalinius – skirtumais. Kitaip tariant, jei log a ir žurnalas b yra žinomi, tada sudėti ir atimti galime nesunkiai rasti sandaugos logaritmą ir koeficientą. Tačiau astronomijoje taip dažnai duotomis vertybėmisžurnalas a ir žurnalas b reikia rasti žurnalą ( a + b) arba žurnalas ( a – b). Žinoma, pirmiausia būtų galima rasti iš logaritmų lentelių a Ir b, tada atlikite nurodytą sudėjimą arba atimtį ir vėl atsivertę lenteles suraskite reikiamus logaritmus, tačiau tokiai procedūrai reikėtų remtis lenteles tris kartus. Z. Leonelli 1802 metais paskelbė lenteles vadinamųjų. Gauso logaritmai– sumų ir skirtumų sudėjimo logaritmai – tai leido apsiriboti viena prieiga prie lentelių.
1624 metais I. Kepleris pasiūlė lenteles proporcingi logaritmai, t.y. skaičių logaritmai a/x, Kur a– kai kurie teigiami pastovus. Šias lenteles daugiausia naudoja astronomai ir navigatoriai.
Proporciniai logaritmai ties a= 1 yra vadinami kolaritmus ir naudojami skaičiuojant, kai tenka spręsti sandaugas ir koeficientus. Skaičiaus klogaritmas n lygus logaritmui abipusis skaičius; tie. colog n= log1/ n= – žurnalas n. Jei log2 = 0,3010, tai colog2 = – 0,3010 = 0,6990 – 1. Kologaritmų naudojimo pranašumas yra tas, kad skaičiuojant reiškinių logaritmo reikšmę, pvz. pq/r triguba teigiamų dešimtainių skaičių žurnalo suma p+ žurnalas q+odekolas r yra lengviau rasti nei mišrios sumos ir skirtumo žurnalas p+ žurnalas q– žurnalas r.
Istorija.
Principas, kuriuo grindžiama bet kokia logaritmų sistema, buvo žinomas labai ilgą laiką ir gali būti atsektas iki senovės Babilono matematikos (apie 2000 m. pr. Kr.). Tais laikais interpoliacija tarp lentelės reikšmės visa teigiami laipsniai skaičiuojant sudėtines palūkanas buvo naudojami sveikieji skaičiai. Daug vėliau Archimedas (287–212 m. pr. Kr.) panaudojo 10 8 galias, kad surastų viršutinė riba smėlio grūdelių, reikalingų visiškai užpildyti tuomet žinomą Visatą, skaičius. Archimedas atkreipė dėmesį į eksponentų savybę, kuria grindžiamas logaritmų efektyvumas: galių sandauga atitinka eksponentų sumą. Viduramžių pabaigoje ir moderniosios eros pradžioje matematikai vis labiau ėmė nagrinėti geometrinės ir aritmetinės progresijos ryšį. M. Stiefel savo esė Sveikųjų skaičių aritmetika(1544) pateikė skaičiaus 2 teigiamų ir neigiamų galių lentelę:
Stiefelis pastebėjo, kad dviejų skaičių suma pirmoje eilutėje (rodiklio eilutėje) yra lygi dviejų rodikliui, atitinkančiam dviejų atitinkamų skaičių sandaugą apatinėje eilutėje (rodiklio eilutėje). Ryšium su šia lentele Stiefel suformulavo keturias taisykles, lygias keturioms šiuolaikinės taisyklės operacijos su eksponentais arba keturios logaritmų veiksmų taisyklės: suma viršutinėje eilutėje atitinka sandaugą apatinėje eilutėje; atimtis viršutinėje eilutėje atitinka padalijimą apatinėje eilutėje; daugyba viršutinėje eilutėje atitinka eksponenciją apatinėje eilutėje; padalijimas viršutinėje eilutėje atitinka įsišaknijimą apatinėje eilutėje.
Matyt, taisyklės, panašios į Stiefelio taisykles, paskatino J. Naperį savo darbe oficialiai įvesti pirmąją logaritmų sistemą. Nuostabios logaritmų lentelės aprašymas, išleistas 1614 m. Tačiau Napier mintys buvo užimtos produktų konvertavimo į sumas problema, nes daugiau nei dešimt metų iki jo darbo paskelbimo Napier gavo žinių iš Danijos, kad Tycho Brahe observatorijoje jo padėjėjai turi metodą, kuris padarė galima produktus konvertuoti į sumas. Napier gautame pranešime aptartas metodas buvo pagrįstas trigonometrinių formulių, pvz., naudojimo
todėl Naperio lenteles daugiausia sudarė logaritmai trigonometrinės funkcijos. Nors bazės sąvoka nebuvo aiškiai įtraukta į Napier pasiūlytą apibrėžimą, logaritmų sistemos bazei lygiavertį vaidmenį jo sistemoje atliko skaičius (1 – 10 –7)ґ10 7, apytiksliai lygus 1/ e.
Nepriklausomai nuo Naperio ir beveik kartu su juo, logaritmų sistemą, gana panašaus tipo, išrado ir paskelbė J. Bürgi Prahoje, išleistą 1620 m. Aritmetinės ir geometrinės progresijos lentelės. Tai buvo antilogaritmų pagal bazę lentelės (1 + 10 –4) ґ10 4, gana geras skaičiaus apytikslis. e.
Naperio sistemoje skaičiaus 10 7 logaritmas buvo laikomas nuliu, o skaičiams mažėjant logaritmai didėjo. Kai G. Briggsas (1561–1631) lankėsi Napieryje, abu sutiko, kad būtų patogiau kaip bazę naudoti skaičių 10 ir paimti vieno logaritmą. lygus nuliui. Tada, padidėjus skaičiams, jų logaritmai padidėtų. Taigi gavome moderni sistema dešimtainiai logaritmai, kurių lentelę Briggsas paskelbė savo darbe Logaritminė aritmetika(1620). Logaritmai iki pagrindo e, nors ir ne visai tie, kuriuos pristatė „Naper“, dažnai vadinami „Naper's“. Sąvokas „charakteristika“ ir „mantisa“ pasiūlė Briggsas.
Pirmieji galiojantys logaritmai istorinių priežasčių naudojo apytiksles skaičių 1/ e Ir e. Kiek vėliau natūralių logaritmų idėja buvo pradėta sieti su hiperbolės plotų tyrimu. xy= 1 (1 pav.). XVII amžiuje buvo parodyta, kad šios kreivės apribotas plotas, ašis x ir ordinatės x= 1 ir x = a(1 pav. ši sritis padengta storesniais ir retesniais taškais) didėja aritmetinė progresija, Kada a padidėja geometrinė progresija. Kaip tik ši priklausomybė atsiranda operacijų su eksponentais ir logaritmais taisyklėse. Dėl to Naperio logaritmai buvo vadinami „hiperboliniais logaritmais“.
Logaritminė funkcija.
Buvo laikas, kai logaritmai buvo laikomi tik skaičiavimo priemone, tačiau XVIII amžiuje, daugiausia dėl Eulerio darbų, ši koncepcija susiformavo. logaritminė funkcija. Tokios funkcijos grafikas y= žurnalas x, kurio ordinatės didėja aritmetine progresija, o abscisės didėja geometrine progresija, parodyta fig. 2, A. Atvirkštinės arba eksponentinės (eksponentinės) funkcijos grafikas y = e x, kurio ordinatės didėja geometrinėje progresijoje, o abscisės didėja aritmetinėje progresijoje, atitinkamai parodytos fig. 2, b. (Kreivės y= žurnalas x Ir y = 10x savo forma panaši į kreives y= žurnalas x Ir y = e x.) Taip pat buvo pasiūlyti alternatyvūs logaritminės funkcijos apibrėžimai, pvz.
kpi ; ir, panašiai, natūralūs skaičiaus -1 logaritmai yra kompleksiniai skaičiai tipai (2 k + 1)pi, Kur k– sveikasis skaičius. Panašūs teiginiai galioja bendriesiems logaritmams ar kitoms logaritmų sistemoms. Be to, logaritmų apibrėžimas gali būti apibendrintas naudojant Eulerio tapatybes, įtraukiant sudėtingus kompleksinių skaičių logaritmus.
Alternatyvų logaritminės funkcijos apibrėžimą pateikia funkcinė analizė. Jeigu f(x) – nuolatinė funkcija realus skaičius x, turintis šias tris savybes: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), tai f(x) yra apibrėžiamas kaip skaičiaus logaritmas x remiantis b. Šis apibrėžimas turi daug privalumų, palyginti su šio straipsnio pradžioje pateiktu apibrėžimu.
Programos.
Logaritmai iš pradžių buvo naudojami tik skaičiavimams supaprastinti, o ši programa vis dar yra viena iš svarbiausių. sandaugų, koeficientų, laipsnių ir šaknų skaičiavimą palengvina ne tik platus publikuotų logaritmų lentelių prieinamumas, bet ir vadinamųjų naudojimas. slydimo taisyklė– skaičiavimo įrankis, kurio veikimo principas pagrįstas logaritmų savybėmis. Liniuotė aprūpinta logaritminėmis skalėmis, t.y. atstumas nuo 1 iki bet kurio skaičiaus x pasirinktas lygus log x; Perkeliant vieną skalę kitos atžvilgiu, galima nubraižyti logaritmų sumas arba skirtumus, o tai leidžia tiesiogiai iš skalės nuskaityti atitinkamų skaičių sandaugas arba dalinius. Pasinaudokite skaičių vaizdavimu logaritminė forma leidžia ir kt. logaritminis popierius grafikams braižyti (popierius su logaritminėmis skalėmis, atspausdintomis ant abiejų koordinačių ašių). Jei funkcija tenkina formos laipsnio dėsnį y = kxn, tada ji logaritminis grafikas atrodo kaip tiesi linija, nes žurnalas y= žurnalas k + nžurnalas x– logo atžvilgiu tiesinė lygtis y ir žurnalas x. Priešingai, jei kokios nors funkcinės priklausomybės logaritminis grafikas atrodo kaip tiesė, tai ši priklausomybė yra galios dėsnis. Puslogaritminis popierius (kuriame yra ordinačių ašis logaritminė skalė, o abscisių ašis yra vienoda skalė) yra patogus tais atvejais, kai reikia nustatyti eksponentines funkcijas. Formos lygtys y = kb rx atsiranda, kai tam tikras kiekis, pavyzdžiui, populiacija, kiekis radioaktyviosios medžiagos arba banko likutis, mažėja arba didėja proporcingai turimiems šiuo metu gyventojų skaičius, radioaktyvioji medžiaga arba pinigai. Jei tokia priklausomybė nubraižyta ant pusiau logaritminio popieriaus, grafikas atrodys kaip tiesi linija.
Logaritminė funkcija atsiranda dėl įvairių natūralių formų. Gėlės saulėgrąžų žiedynuose išsidėstę logaritminėmis spiralėmis, o moliuskų kevalai susisukę. Nautilus, kalnų avių ragai ir papūgos snapai. Visos šios natūralios formos gali būti kreivės, žinomos kaip logaritminė spiralė, pavyzdžiai, nes in poliarinė sistema koordinates, jos lygtis turi formą r = ae bq, arba ln r= žurnalas a + bq. Tokią kreivę apibūdina judantis taškas, kurio atstumas nuo ašigalio didėja geometrine progresija, o jo spindulio vektoriumi aprašomas kampas didėja aritmetine progresija. Tokios kreivės, taigi ir logaritminės funkcijos, paplitimą gerai iliustruoja tai, kad ji atsiranda tokioje toli ir visiškai įvairiose srityse, kaip ekscentrinio kumštelio kontūras ir kai kurių vabzdžių, skrendančių link šviesos, trajektorija.
