C 35 racionaliosios lygtys. Kaip išspręsti racionalią lygtį

Mes jau išmokome spręsti kvadratines lygtis. Dabar išplėskime tiriamus metodus į racionaliąsias lygtis.

Kas atsitiko racionali išraiška? Mes jau susidūrėme su šia koncepcija. Racionalios išraiškos yra išraiškos, sudarytos iš skaičių, kintamųjų, jų galių ir matematinių operacijų simbolių.

Atitinkamai, racionalios lygtys yra lygtys, kurių forma: , kur - racionalios išraiškos.

Anksčiau mes svarstėme tik tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į tiesines. Dabar panagrinėkime tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į kvadratines.

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Trupmena lygi 0 tada ir tik tada, kai jos skaitiklis lygus 0, o vardiklis nelygus 0.

Gauname tokią sistemą:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis. Prieš spręsdami visus jo koeficientus padalinkime iš 3. Gauname:

Gauname dvi šaknis: ; .

Kadangi 2 niekada nelygu 0, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Kadangi nė viena iš aukščiau gautos lygties šaknų nesutampa su neteisingos vertės kintamieji, kurie buvo gauti sprendžiant antrąją nelygybę, jie abu yra šios lygties sprendiniai.

Atsakymas:.

Taigi, suformuluokime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą:

1. Perkelkite visus terminus į kairę pusę, kad dešinėje pusėje būtų 0.

2. Transformuokite ir supaprastinkite kairę pusę, sumažinkite visas trupmenas iki bendras vardiklis.

3. Gautą trupmeną prilyginkite 0, naudodami šį algoritmą: .

4. Užrašykite tas šaknis, kurios buvo gautos pirmoje lygtyje, ir tenkinkite antrąją nelygybę atsakyme.

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

2 pavyzdys

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas

Pačioje pradžioje visas sąlygas perkelkime į kairėje pusėje, kad 0 liktų dešinėje.

Dabar priveskime kairę lygties pusę į bendrą vardiklį:

Ši lygtis yra lygiavertė sistemai:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis.

Šios lygties koeficientai: . Apskaičiuojame diskriminantą:

Gauname dvi šaknis: ; .

Dabar išspręskime antrąją nelygybę: veiksnių sandauga nėra lygi 0 tada ir tik tada, kai nė vienas iš veiksnių nėra lygus 0.

Turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Pastebime, kad iš dviejų pirmosios lygties šaknų tinka tik viena – 3.

Atsakymas:.

Šioje pamokoje prisiminėme, kas yra racionalioji išraiška, taip pat išmokome spręsti racionaliąsias lygtis, kurios redukuoja į kvadratines lygtis.

Kitoje pamokoje pažvelgsime į racionaliąsias lygtis kaip modelius realias situacijas, taip pat apsvarstykite judėjimo užduotis.

Nuorodos

1. Bašmakovas M.I. Algebra, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2004 m.
2. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt., Algebra, 8. 5 leid. - M.: Švietimas, 2010 m.
3. Nikolskis S.M., Potapovas M.A., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra, 8 klasė. Pamoka skirta švietimo įstaigų. - M.: Švietimas, 2006 m.

1. Festivalis pedagoginės idėjos "Atvira pamoka" ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Namų darbai

Mes jau išmokome spręsti kvadratines lygtis. Dabar išplėskime tiriamus metodus į racionaliąsias lygtis.

Kas yra racionali išraiška? Mes jau susidūrėme su šia koncepcija. Racionalios išraiškos yra išraiškos, sudarytos iš skaičių, kintamųjų, jų galių ir matematinių operacijų simbolių.

Atitinkamai, racionalios lygtys yra lygtys, kurių forma: , kur - racionalios išraiškos.

Anksčiau mes svarstėme tik tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į tiesines. Dabar panagrinėkime tas racionalias lygtis, kurias galima redukuoti į kvadratines.

1 pavyzdys

Išspręskite lygtį:.

Sprendimas:

Trupmena lygi 0 tada ir tik tada, kai jos skaitiklis lygus 0, o vardiklis nelygus 0.

Gauname tokią sistemą:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis. Prieš spręsdami visus jo koeficientus padalinkime iš 3. Gauname:

Gauname dvi šaknis: ; .

Kadangi 2 niekada nelygu 0, turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Kadangi nė viena iš aukščiau gautos lygties šaknų nesutampa su neteisingomis kintamojo reikšmėmis, gautomis sprendžiant antrąją nelygybę, jos abi yra šios lygties sprendiniai.

Atsakymas:.

Taigi, suformuluokime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą:

1. Perkelkite visus terminus į kairę pusę, kad dešinėje pusėje būtų 0.

2. Transformuokite ir supaprastinkite kairę pusę, suveskite visas trupmenas į bendrą vardiklį.

3. Gautą trupmeną prilyginkite 0, naudodami šį algoritmą: .

4. Užrašykite tas šaknis, kurios buvo gautos pirmoje lygtyje, ir tenkinkite antrąją nelygybę atsakyme.

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

2 pavyzdys

Išspręskite lygtį: .

Sprendimas

Pačioje pradžioje perkeliame visus terminus į kairę, kad 0 liktų dešinėje.

Dabar priveskime kairę lygties pusę į bendrą vardiklį:

Ši lygtis yra lygiavertė sistemai:

Pirmoji sistemos lygtis yra kvadratinė lygtis.

Šios lygties koeficientai: . Apskaičiuojame diskriminantą:

Gauname dvi šaknis: ; .

Dabar išspręskime antrąją nelygybę: veiksnių sandauga nėra lygi 0 tada ir tik tada, kai nė vienas iš veiksnių nėra lygus 0.

Turi būti įvykdytos dvi sąlygos: . Pastebime, kad iš dviejų pirmosios lygties šaknų tinka tik viena – 3.

Atsakymas:.

Šioje pamokoje prisiminėme, kas yra racionalioji išraiška, taip pat išmokome spręsti racionaliąsias lygtis, kurios redukuoja į kvadratines lygtis.

Kitoje pamokoje pažvelgsime į racionalias lygtis kaip realių situacijų modelius, taip pat apžvelgsime judėjimo problemas.

Nuorodos

1. Bašmakovas M.I. Algebra, 8 klasė. - M.: Švietimas, 2004 m.
2. Dorofejevas G.V., Suvorova S.B., Bunimovičius E.A. ir kt., Algebra, 8. 5 leid. - M.: Švietimas, 2010 m.
3. Nikolskis S.M., Potapovas M.A., Rešetnikovas N.N., Ševkinas A.V. Algebra, 8 klasė. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms. - M.: Švietimas, 2006 m.

1. Pedagoginių idėjų festivalis „Atvira pamoka“ ().
2. School.xvatit.com ().
3. Rudocs.exdat.com ().

Namų darbai

Pirmiau pateiktą lygtį pristatėme § 7. Pirmiausia prisiminkime, kas yra racionali išraiška. tai - algebrinė išraiška, sudarytas iš skaičių ir kintamojo x, naudojant sudėties, atimties, daugybos, dalybos ir eksponencijos didinimo su natūraliuoju rodikliu operacijas.

Jei r(x) yra racionalioji išraiška, tai lygtis r(x) = 0 vadinama racionalia lygtimi.

Tačiau praktikoje patogiau naudoti kiek platesnį sąvokos „racionalioji lygtis“ aiškinimą: tai lygtis, kurios formos h(x) = q(x), kur h(x) ir q(x) yra racionalios išraiškos.

Iki šiol negalėjome išspręsti jokios racionalios lygties, o tik tokią, kuri dėl įvairių transformacijų ir samprotavimų buvo sumažinta iki tiesinė lygtis. Dabar mūsų galimybės yra daug didesnės: galėsime išspręsti racionalią lygtį, kuri redukuojasi ne tik iki tiesinės
mu, bet ir į kvadratinę lygtį.

Prisiminkime, kaip anksčiau sprendėme racionaliąsias lygtis, ir pabandykime suformuluoti sprendimo algoritmą.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Sprendimas. Perrašykime lygtį į formą

Šiuo atveju, kaip įprasta, pasinaudojame tuo, kad lygybės A = B ir A - B = 0 išreiškia tą patį ryšį tarp A ir B. Tai leido perkelti terminą į kairę lygties pusę su priešingas ženklas.

Transformuokime kairę lygties pusę. Turime

Prisiminkime lygybės sąlygas trupmenomis nulis: tada ir tik tada, kai vienu metu tenkinami du santykiai:

1) trupmenos skaitiklis lygus nuliui(a = 0); 2) trupmenos vardiklis skiriasi nuo nulio).
Kairėje lygties (1) pusėje esančios trupmenos skaitiklį prilyginę nuliui, gauname

Belieka patikrinti, ar įvykdyta antroji aukščiau nurodyta sąlyga. Ryšys reiškia (1) lygčiai, kad . Reikšmės x 1 = 2 ir x 2 = 0,6 atitinka nurodytus ryšius ir todėl yra (1) lygties šaknys, o kartu ir pateiktos lygties šaknys.

1) Transformuokime lygtį į formą

2) Transformuokime kairę šios lygties pusę:

(tuo pačiu metu pasikeitė ženklai skaitiklyje ir
trupmenomis).
Taigi, už duota lygtisįgauna formą

3) Išspręskite lygtį x 2 - 6x + 8 = 0. Raskite

4) Dėl rastų verčių patikrinkite sąlygos įvykdymą . Skaičius 4 tenkina šią sąlygą, o skaičius 2 – ne. Tai reiškia, kad 4 yra pateiktos lygties šaknis, o 2 yra pašalinė šaknis.
ATSAKYMAS: 4.

2. Racionaliųjų lygčių sprendimas įvedant naują kintamąjį

Naujo kintamojo įvedimo metodas yra jums pažįstamas, mes jį naudojome ne kartą. Pavyzdžiais parodykime, kaip jis naudojamas sprendžiant racionaliąsias lygtis.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį x 4 + x 2 - 20 = 0.

Sprendimas. Įveskime naują kintamąjį y = x 2 . Kadangi x 4 = (x 2) 2 = y 2, tada duota lygtis galima perrašyti į formą

y 2 + y - 20 = 0.

Tai kvadratinė lygtis, kurios šaknis galima rasti naudojant žinomus formules; gauname y 1 = 4, y 2 = - 5.
Bet y = x 2, o tai reiškia, kad problema buvo sumažinta iki dviejų lygčių sprendimo:
x 2 = 4; x 2 = -5.

Iš pirmosios lygties matome, kad antroji lygtis neturi šaknų.
Atsakymas:.
Formos ax 4 + bx 2 + c = 0 lygtis vadinama bikvadratine lygtimi ("bi" yra du, t. y. savotiška "dviguba kvadratinė" lygtis). Ką tik išspręsta lygtis buvo tiksliai bikvadratinė. Bet koks bikvadratinė lygtis sprendžiama taip pat, kaip lygtis iš 3 pavyzdžio: įveskite naują kintamąjį y = x 2, išspręskite gautą kvadratinę lygtį kintamojo y atžvilgiu ir grįžkite prie kintamojo x.

4 pavyzdys. Išspręskite lygtį

Sprendimas. Atkreipkite dėmesį, kad ta pati išraiška x 2 + 3x čia pasirodo du kartus. Tai reiškia, kad prasminga įvesti naują kintamąjį y = x 2 + 3x. Tai leis mums perrašyti lygtį paprastesne ir malonesne forma (tai iš tikrųjų yra naujos įvedimo tikslas kintamasis- ir supaprastinti įrašymą
tampa aiškesnė, o lygties struktūra tampa aiškesnė):

Dabar naudokite algoritmą racionaliajai lygčiai išspręsti.

1) Perkelkime visus lygties narius į vieną dalį:

= 0
2) Transformuokite kairę lygties pusę

Taigi, mes transformavome pateiktą lygtį į formą

3) Iš lygties - 7y 2 + 29y -4 = 0 randame (jūs ir aš jau išsprendėme gana daug kvadratinių lygčių, todėl tikriausiai neverta visada vadovėlyje pateikti išsamių skaičiavimų).

4) Patikrinkime rastas šaknis naudodami 5 sąlygą (y - 3) (y + 1). Abi šaknys atitinka šią sąlygą.
Taigi naujojo kintamojo y kvadratinė lygtis išspręsta:
Kadangi y = x 2 + 3x, o y, kaip nustatėme, įgyja dvi reikšmes: 4 ir , vis tiek turime išspręsti dvi lygtis: x 2 + 3x = 4; x 2 + Zx = . Pirmosios lygties šaknys yra skaičiai 1 ir - 4, antrosios lygties šaknys yra skaičiai

Nagrinėjamuose pavyzdžiuose naujo kintamojo įvedimo būdas, kaip mėgsta sakyti matematikai, buvo adekvatus situacijai, tai yra, gerai ją atitiko. Kodėl? Taip, nes ta pati išraiška aiškiai pasirodė lygtyje kelis kartus ir buvo priežastis priskirti šią išraišką naujas laiškas. Bet taip nutinka ne visada, kai kada naujas kintamasis „atsiranda“ tik transformacijos proceso metu. Kaip tik tai atsitiks kitame pavyzdyje.

5 pavyzdys. Išspręskite lygtį
x(x-1)(x-2)(x-3) = 24.
Sprendimas. Turime
x(x - 3) = x 2 - 3x;
(x - 1) (x - 2) = x 2 -Зx+2.

Tai reiškia, kad pateiktą lygtį galima perrašyti į formą

(x 2 - 3x) (x 2 + 3x + 2) = 24

Dabar „pasirodė“ naujas kintamasis: y = x 2 - 3x.

Jos pagalba lygtį galima perrašyti į formą y (y + 2) = 24 ir tada y 2 + 2y - 24 = 0. Šios lygties šaknys yra skaičiai 4 ir -6.

Grįžtant prie pradinio kintamojo x gauname dvi lygtis x 2 - 3x = 4 ir x 2 - 3x = - 6. Iš pirmosios lygties randame x 1 = 4, x 2 = - 1; antroji lygtis neturi šaknų.

ATSAKYMAS: 4, - 1.

Paprasčiau tariant, tai lygtys, kurių vardiklyje yra bent vienas kintamasis.

Pavyzdžiui:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Pavyzdys Ne trupmeninės racionalios lygtys:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Kaip sprendžiamos trupmeninės racionalios lygtys?

Svarbiausia atsiminti trupmenines racionaliąsias lygtis – jose reikia įrašyti. Ir suradę šaknis, būtinai patikrinkite jų leistinumą. Priešingu atveju gali atsirasti pašalinių šaknų, o visas sprendimas bus laikomas neteisingu.

Trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas:

Užsirašykite ir „išspręskite“ ODZ.

Padauginkite kiekvieną lygties narį iš bendro vardiklio ir atšaukite gautas trupmenas. Vardikliai išnyks.

Parašykite lygtį neatplėšdami skliaustų.

Išspręskite gautą lygtį.

Patikrinkite rastas šaknis su ODZ.

Savo atsakyme užrašykite šaknis, kurios išlaikė testą 7 veiksme.

Neįsimink algoritmo, 3-5 išspręstas lygtis ir ji įsimins savaime.

Pavyzdys . Nuspręskite trupmeninė racionalioji lygtis \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Sprendimas:

Atsakymas: \(3\).

Pavyzdys . Raskite trupmeninės racionalios lygties šaknis \(=0\)

Sprendimas:

Atsakymas: \(\frac(1)(2)\).

Kalbėkime toliau apie sprendžiant lygtis. Šiame straipsnyje mes išsamiai aptarsime racionalios lygtys ir racionaliųjų lygčių su vienu kintamuoju sprendimo principus. Pirmiausia išsiaiškinkime, kokio tipo lygtys vadinamos racionaliosiomis, apibrėžkime visas racionaliąsias ir trupmenines racionaliąsias lygtis ir pateikime pavyzdžių. Toliau gausime racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmus ir, žinoma, apsvarstysime sprendimus tipinių pavyzdžių su visais reikalingais paaiškinimais.

Puslapio naršymas.

Remdamiesi nurodytais apibrėžimais, pateikiame keletą racionalių lygčių pavyzdžių. Pavyzdžiui, x=1, 2·x−12·x 2 ·y·z 3 =0, , yra racionalios lygtys.

Iš pateiktų pavyzdžių aišku, kad racionalios lygtys, kaip ir kitų tipų lygtys, gali būti su vienu kintamuoju arba su dviem, trimis ir pan. kintamieji. Tolesnėse pastraipose kalbėsime apie racionaliųjų lygčių sprendimą su vienu kintamuoju. Dviejų kintamųjų lygčių sprendimas ir juos didelis skaičius nusipelno ypatingo dėmesio.

Be to, kad racionalios lygtys dalijamos iš nežinomų kintamųjų skaičiaus, jos taip pat skirstomos į sveikuosius ir trupmeninius. Pateiksime atitinkamus apibrėžimus.

Apibrėžimas.

Racionalioji lygtis vadinama visa, jei jo kairioji ir dešinioji pusės yra sveikųjų skaičių racionalios išraiškos.

Apibrėžimas.

Jei bent viena iš racionaliosios lygties dalių yra trupmeninė išraiška, tada ši lygtis vadinama trupmeniškai racionalus(arba trupmeninis racionalus).

Aišku, kad visose lygtyse nėra dalybos iš kintamojo, priešingai, trupmeninėse racionaliosiose lygtyse būtinai yra dalijimas iš kintamojo (arba kintamojo vardiklyje). Taigi 3 x+2=0 ir (x+y)·(3·x 2 −1)+x=−y+0,5– tai ištisos racionalios lygtys, abi jų dalys yra vientisos išraiškos. A ir x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 yra trupmeninių racionaliųjų lygčių pavyzdžiai.

Baigdami šį klausimą, atkreipkime dėmesį į tai, kad iki šiol žinomos tiesinės ir kvadratinės lygtys yra ištisos racionalios lygtys.

Spręsti visas lygtis

Vienas iš pagrindinių ištisų lygčių sprendimo būdų yra jas sumažinti iki lygiaverčių algebrines lygtis. Tai visada galima padaryti atliekant tokias lygiavertes lygties transformacijas:

• pirma, išraiška iš dešinės pradinės sveikųjų skaičių lygties pusės perkeliama į kairę pusę su priešingu ženklu, kad būtų gautas nulis dešinėje;
• po to kairėje lygties pusėje gaunama standartinis vaizdas.

Rezultatas yra algebrinė lygtis, kuri yra lygiavertė pradinei sveikųjų skaičių lygčiai. Taigi daugiausia paprasti atvejai ištisų lygčių sprendimas redukuojamas į tiesinių arba kvadratinių lygčių sprendimą, ir in bendras atvejis– išspręsti n laipsnio algebrinę lygtį. Kad būtų aiškumo, pažvelkime į pavyzdžio sprendimą.

Pavyzdys.

Raskite visos lygties šaknis 3·(x+1)·(x−3)=x·(2·x−1)−3.

Sprendimas.

Visos šios lygties sprendinį sumažinkime iki ekvivalentinės algebrinės lygties sprendinio. Norėdami tai padaryti, pirmiausia perkeliame išraišką iš dešinės pusės į kairę, todėl gauname lygtį 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3=0. Ir, antra, kairėje pusėje suformuotą išraišką paverčiame standartinės formos polinomu, užpildydami būtiną: 3·(x+1)·(x−3)−x·(2·x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x −9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Taigi pradinės sveikųjų skaičių lygties sprendimas redukuojamas iki kvadratinės lygties x 2 −5·x−6=0.

Apskaičiuojame jo diskriminantą D=(−5) 2 −4·1·(−6)=25+24=49, ji yra teigiama, o tai reiškia, kad lygtis turi dvi realias šaknis, kurias randame naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę:

Kad būtume visiškai tikri, padarykime tai tikrinant rastas lygties šaknis. Pirmiausia patikriname šaknį 6, pakeiskite ją vietoj kintamojo x pradinėje sveikojo skaičiaus lygtyje: 3·(6+1)·(6−3)=6·(2·6−1)−3, kuris yra tas pats, 63=63. Tai galiojanti skaitinė lygtis, todėl x=6 iš tikrųjų yra lygties šaknis. Dabar mes patikriname šaknį −1, turime 3·(−1+1)·(−1−3)=(−1)·(2·(−1)−1)−3, iš kur, 0=0 . Esant x=−1 pradinė lygtis taip pat virto tikrąja skaitine lygybe, todėl x=−1 taip pat yra lygties šaknis.

Atsakymas:

6 , −1 .

Čia taip pat reikėtų pažymėti, kad terminas „visos lygties laipsnis“ yra susijęs su visos lygties vaizdavimu algebrinės lygties pavidalu. Pateikiame atitinkamą apibrėžimą:

Apibrėžimas.

Visos lygties galia vadinamas ekvivalentinės algebrinės lygties laipsniu.

Pagal šį apibrėžimą visa ankstesnio pavyzdžio lygtis turi antrąjį laipsnį.

Tai galėjo būti visų racionalių lygčių sprendimo pabaiga, jei ne vienas dalykas…. Kaip žinoma, aukštesnio nei antrojo laipsnio algebrinių lygčių sprendimas yra susijęs su dideliais sunkumais, o aukštesnio nei ketvirtojo laipsnio lygtims nėra bendrosios formulėsšaknys. Todėl išspręsti visas trečiosios, ketvirtosios ir daugiau lygtis aukšti laipsniai Dažnai tenka griebtis kitų sprendimo būdų.

Tokiais atvejais požiūris į ištisas racionalias lygtis, pagrįstas faktorizavimo metodas. Tokiu atveju laikomasi šio algoritmo:

• Pirma, jie užtikrina, kad dešinėje lygties pusėje būtų nulis, kad tai padarytų, jie perkelia išraišką iš dešinės visos lygties pusės į kairę;
• tada gauta išraiška kairėje pusėje pateikiama kaip kelių veiksnių sandauga, leidžianti pereiti prie kelių paprastesnių lygčių rinkinio.

Pateiktas algoritmas, skirtas išspręsti visą lygtį per faktorizavimą, reikalauja išsamaus paaiškinimo naudojant pavyzdį.

Pavyzdys.

Išspręskite visą lygtį (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Sprendimas.

Pirmiausia, kaip įprasta, išraišką perkeliame iš dešinės pusės į kairę lygties pusę, nepamirštant pakeisti ženklo, gauname (x 2 −1)·(x 2 −10·x+13)− 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Čia visiškai akivaizdu, kad nepatartina gautos lygties kairiosios pusės transformuoti į standartinės formos daugianarį, nes taip bus gauta ketvirtojo formos laipsnio algebrinė lygtis. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, kurio sprendimas yra sunkus.

Kita vertus, akivaizdu, kad gautos lygties kairėje pusėje galime x 2 −10 x+13 , taip pateikdami ją kaip sandaugą. Turime (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Gauta lygtis yra lygi originaliai visai lygčiai ir, savo ruožtu, gali būti pakeista dviejų kvadratinių lygčių rinkiniu x 2 −10·x+13=0 ir x 2 −2·x−1=0. Jų šaknų radimas pagal žinomos formulėsšaknys per diskriminantą nėra sunku, šaknys yra lygios. Jie yra norimos pradinės lygties šaknys.

Atsakymas:

Taip pat naudinga sprendžiant visas racionalias lygtis naujo kintamojo įvedimo metodas. Kai kuriais atvejais tai leidžia pereiti prie lygčių, kurių laipsnis yra mažesnis už pradinės visos lygties laipsnį.

Pavyzdys.

Raskite tikrąsias racionalios lygties šaknis (x 2 +3 x+1) 2 +10 = -2 (x 2 +3 x -4).

Sprendimas.

Visą šią racionalią lygtį redukuoti į algebrinę lygtį, švelniai tariant, nėra labai gera idėja, nes tokiu atveju prireiks išspręsti ketvirtojo laipsnio lygtį, kuri neturi racionalios šaknys. Todėl teks ieškoti kito sprendimo.

Čia nesunku pastebėti, kad galite įvesti naują kintamąjį y ir juo pakeisti išraišką x 2 +3·x. Šis pakeitimas veda į visą lygtį (y+1) 2 +10=−2·(y−4) , kuri, perkėlus išraišką −2·(y−4) į kairę pusę ir vėliau pakeitus išraišką ten suformuota, redukuojama į kvadratinę lygtį y 2 +4·y+3=0. Šios lygties y=−1 ir y=−3 šaknis rasti nesunku, pavyzdžiui, jas galima pasirinkti remiantis teorema, atvirkštine Vietos teoremai.

Dabar pereiname prie antrosios naujo kintamojo įvedimo metodo dalies, tai yra, prie atvirkštinio pakeitimo. Atlikę atvirkštinį keitimą, gauname dvi lygtis x 2 +3 x=−1 ir x 2 +3 x=−3, kurias galima perrašyti į x 2 +3 x+1=0 ir x 2 +3 x+3 =0. Naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę, randame pirmosios lygties šaknis. O antroji kvadratinė lygtis neturi realių šaknų, nes jos diskriminantas yra neigiamas (D=3 2 −4·3=9−12=−3 ).

Atsakymas:

Apskritai, kai susiduriame su ištisomis aukštų laipsnių lygtimis, visada turime būti pasirengę ieškoti nestandartinis metodas arba dirbtiniu būdu joms išspręsti.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Pirma, bus naudinga suprasti, kaip išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis formos , kur p(x) ir q(x) yra sveikosios racionalios išraiškos. Ir tada parodysime, kaip kitų trupmeniškai racionalių lygčių sprendinį redukuoti į nurodyto tipo lygčių sprendinį.

Vienas iš lygties sprendimo būdų yra pagrįstas kitas pareiškimas: skaitinė trupmena u/v , kur v yra ne nulis skaičius (kitaip susidursime su , kuris yra neapibrėžtas), yra lygus nuliui tada ir tik tada, kai jo skaitiklis lygus nuliui, tai yra tada ir tik tada, kai u=0 . Remiantis šiuo teiginiu, lygties sprendimas sumažinamas iki dviejų sąlygų p(x)=0 ir q(x)≠0.

Ši išvada atitinka toliau pateiktą trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas. Norėdami išspręsti trupmeninę racionaliąją formos lygtį, jums reikia

• išspręsti visą racionaliąją lygtį p(x)=0 ;
• ir patikrinkite, ar tenkinama kiekvienos rastos šaknies sąlyga q(x)≠0, o
• jei tiesa, tai ši šaknis yra pradinės lygties šaknis;
• jei ji netenkinama, tai ši šaknis yra pašalinė, tai yra, ji nėra pradinės lygties šaknis.

Pažiūrėkime į paskelbto algoritmo panaudojimo pavyzdį sprendžiant trupmeninę racionaliąją lygtį.

Pavyzdys.

Raskite lygties šaknis.

Sprendimas.

Tai trupmeninė racionali lygtis, kurios formos p(x)=3·x−2, q(x)=5·x 2 −2=0.

Pagal šio tipo trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmą pirmiausia reikia išspręsti lygtį 3 x−2=0. Tai tiesinė lygtis, kurio šaknis x=2/3.

Belieka patikrinti šią šaknį, tai yra patikrinti, ar ji tenkina sąlygą 5 x 2 −2≠0. Išraiškoje 5 x 2 −2 vietoj x pakeičiame skaičių 2/3 ir gauname . Sąlyga įvykdyta, todėl x=2/3 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas:

2/3 .

Galite išspręsti trupmeninę racionaliąją lygtį iš šiek tiek kitos padėties. Ši lygtis yra lygiavertė sveikojo skaičiaus lygčiai p(x)=0 pradinės lygties kintamajame x. Tai yra, galite laikytis to trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas :

• išspręsti lygtį p(x)=0 ;
• rasti kintamojo x ODZ;
• įleisti šaknis, priklausančias vietovei priimtinos vertės, – tai norimos pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys.

Pavyzdžiui, naudodamiesi šiuo algoritmu išspręskime trupmeninę racionaliąją lygtį.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Pirmiausia išsprendžiame kvadratinę lygtį x 2 −2·x−11=0. Jo šaknis galima apskaičiuoti naudojant lyginio antrojo koeficiento šaknies formulę, kurią turime D 1 =(−1) 2 −1·(−11)=12, Ir.

Antra, randame pradinės lygties kintamojo x ODZ. Jį sudaro visi skaičiai, kurių x 2 +3·x≠0, kuris yra toks pat kaip x·(x+3)≠0, iš kur x≠0, x≠−3.

Belieka patikrinti, ar pirmame žingsnyje rastos šaknys yra įtrauktos į ODZ. Akivaizdu, kad taip. Todėl pradinė trupmeninė racionali lygtis turi dvi šaknis.

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad šis metodas yra pelningesnis nei pirmasis, jei ODZ lengva rasti, ir ypač naudingas, jei, pavyzdžiui, lygties p(x) = 0 šaknys yra neracionalios arba racionalios, bet su gana dideliu skaitikliu ir /arba vardiklis, pavyzdžiui, 127/1101 ir −31/59. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais norint patikrinti sąlygą q (x)≠0, reikės didelių skaičiavimo pastangų, o pašalines šaknis lengviau pašalinti naudojant ODZ.

Kitais atvejais, sprendžiant lygtį, ypač kai lygties šaknys p(x) = 0 yra sveikieji skaičiai, naudingiau naudoti pirmąjį iš pateiktų algoritmų. Tai yra, patartina iš karto rasti visos lygties p(x)=0 šaknis, o tada patikrinti, ar joms tenkinama sąlyga q(x)≠0, o ne rasti ODZ, o tada spręsti lygtį. p(x)=0 šiame ODZ. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais dažniausiai lengviau patikrinti, nei surasti DZ.

Siekdami iliustruoti nurodytus niuansus, panagrinėkime dviejų pavyzdžių sprendimą.

Pavyzdys.

Raskite lygties šaknis.

Sprendimas.

Pirma, suraskime visos lygties šaknis (2 x–1) (x–6) (x 2–5 x+14) (x+1) = 0, sudarytas naudojant trupmenos skaitiklį. Kairė pusėšios lygties sandauga, o dešinioji ranka lygi nuliui, todėl pagal lygčių sprendimo faktorizavimo metodą ši lygtis yra lygi keturių lygčių rinkiniui 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0, x+1=0. Trys iš šių lygčių yra tiesinės, o viena – kvadratinė, jas galime išspręsti. Iš pirmosios lygties randame x=1/2, iš antrosios - x=6, iš trečiosios - x=7, x=−2, iš ketvirtosios - x=−1.

Radus šaknis, gana lengva patikrinti, ar pradinės lygties kairėje pusėje esančios trupmenos vardiklis išnyksta, tačiau nustatyti ODZ, priešingai, nėra taip paprasta, nes tam turėsite išspręsti penktojo laipsnio algebrinė lygtis. Todėl atsisakysime ODZ paieškos ir patikrinsime šaknis. Norėdami tai padaryti, mes juos pakeičiame po vieną, o ne kintamąjį x išraiškoje x 5 –15 x 4 +57 x 3 –13 x 2 +26 x+112, gautus po pakeitimo, ir palyginkite juos su nuliu: (1/2) 5 −15·(1/2) 4 + 57·(1/2) 3 −13·(1/2) 2 +26·(1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 –15·6 4 +57·6 3 –13·6 2 +26·6+112= 448≠0 ;
7 5 -15,7 4 +57,7 3 -13,7 2 +26,7 + 112=0;
(−2) 5 −15 · (−2) 4 +57 · (−2) 3 −13 · (−2) 2 + 26·(−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 · (−1) 4 +57 · (−1) 3 −13 · (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Taigi, 1/2, 6 ir –2 yra norimos pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys, o 7 ir –1 yra pašalinės šaknys.

Atsakymas:

1/2 , 6 , −2 .

Pavyzdys.

Raskite trupmeninės racionalios lygties šaknis.

Sprendimas.

Pirma, suraskime lygties šaknis (5 x 2 −7 x−1) (x−2)=0. Ši lygtis yra lygi dviejų lygčių rinkiniui: kvadratinė 5 x 2 −7 x−1=0 ir tiesinė x−2=0. Naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę randame dvi šaknis, o iš antrosios lygties gauname x=2.

Patikrinti, ar vardiklis eina į nulį esant rastoms x reikšmėms, yra gana nemalonu. O nustatyti kintamojo x leistinų verčių diapazoną pradinėje lygtyje yra gana paprasta. Todėl veiksime per ODZ.

Mūsų atveju pradinės trupmeninės racionalios lygties kintamojo x ODZ susideda iš visų skaičių, išskyrus tuos, kuriems tenkinama sąlyga x 2 +5·x−14=0. Šios kvadratinės lygties šaknys yra x=−7 ir x=2, iš kurių darome išvadą apie ODZ: ji susideda iš visų x tokių, kad .

Belieka patikrinti, ar rastos šaknys ir x=2 priklauso priimtinų reikšmių diapazonui. Šaknys priklauso, todėl jos yra pradinės lygties šaknys, o x=2 nepriklauso, todėl tai yra pašalinė šaknis.

Atsakymas:

Taip pat bus naudinga atskirai pasilikti prie atvejų, kai trupmeninėje racionaliojoje formos lygtyje skaitiklyje yra skaičius, tai yra, kai p(x) vaizduojamas kokiu nors skaičiumi. Tuo pačiu metu

• jei šis skaičius yra ne nulis, tai lygtis neturi šaknų, nes trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai jos skaitiklis yra lygus nuliui;
• jei šis skaičius lygus nuliui, tada lygties šaknis yra bet koks skaičius iš ODZ.

Pavyzdys.

Sprendimas.

Kadangi trupmenos skaitiklyje kairėje lygties pusėje yra skaičius, kuris nėra nulis, tai bet kurio x atveju šios trupmenos reikšmė negali būti lygi nuliui. Todėl ši lygtis neturi šaknų.

Atsakymas:

jokių šaknų.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtį.

Sprendimas.

Trupmenos skaitiklyje, esančiame kairėje šios trupmeninės racionalios lygties pusėje, yra nulis, todėl šios trupmenos reikšmė yra lygi nuliui bet kuriam x, kuriam ji yra prasminga. Kitaip tariant, šios lygties sprendimas yra bet kokia x reikšmė iš šio kintamojo ODZ.

Belieka nustatyti šį priimtinų verčių diapazoną. Tai apima visas x reikšmes, kurių x 4 +5 x 3 ≠0. Lygties x 4 +5 x 3 =0 sprendiniai yra 0 ir -5, nes ši lygtis yra lygi lygčiai x 3 (x+5)=0, o savo ruožtu yra lygiavertė dviejų lygčių x deriniui 3 =0 ir x +5=0, iš kur šios šaknys matomos. Todėl norimas priimtinų verčių diapazonas yra bet kuris x, išskyrus x=0 ir x=−5.

Taigi trupmeninėje racionaliojoje lygtyje yra be galo daug sprendinių, kurie yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį ir minus penkis.

Atsakymas:

Galiausiai atėjo laikas pakalbėti apie trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimą savavališkas tipas. Jas galima parašyti kaip r(x)=s(x), kur r(x) ir s(x) yra racionalios išraiškos, o bent viena iš jų yra trupmeninė. Žvelgiant į ateitį, tarkime, kad jų sprendimas priklauso nuo mums jau žinomos formos lygčių sprendimo.

Yra žinoma, kad perkėlus terminą iš vienos lygties dalies į kitą su priešingu ženklu gaunama lygiavertė lygtis, todėl lygtis r(x)=s(x) yra lygiavertė lygčiai r(x)−s(x) )=0.

Taip pat žinome, kad bet koks , identiškai lygus šiai išraiškai, yra įmanomas. Taigi, racionaliąją išraišką kairėje lygties r(x)−s(x)=0 pusėje visada galime paversti identiškai lygia formos racionalia trupmena.

Taigi mes pereiname nuo pradinės trupmeninės racionalios lygties r(x)=s(x) prie lygties, o jos sprendimas, kaip sužinojome aukščiau, redukuojamas iki lygties p(x)=0 išsprendimo.

Bet čia reikia atsižvelgti į tai, kad pakeitus r(x)−s(x)=0 į , o po to p(x)=0, kintamojo x leistinų reikšmių diapazonas gali išsiplėsti. .

Vadinasi, pradinė lygtis r(x)=s(x) ir lygtis p(x)=0, kurią gavome, gali pasirodyti nelygios ir išsprendę lygtį p(x)=0, galime gauti šaknis. kurios bus pašalinės pradinės lygties r(x)=s(x) šaknys. Galite nustatyti ir neįtraukti pašalinių šaknų atsakyme atlikdami patikrinimą arba patikrindami, ar jie priklauso pradinės lygties ODZ.

Apibendrinkime šią informaciją trupmeninės racionalios lygties sprendimo algoritmas r(x)=s(x). Norint išspręsti trupmeninę racionaliąją lygtį r(x)=s(x) , reikia

• Gaukite nulį dešinėje, perkeldami išraišką iš dešinės pusės su priešingu ženklu.
• Atlikite operacijas su trupmenomis ir daugianariais kairėje lygties pusėje, taip paversdami ją racionalia formos trupmena.
• Išspręskite lygtį p(x)=0.
• Identifikuokite ir pašalinkite pašalines šaknis, o tai daroma pakeičiant jas į pradinę lygtį arba patikrinant jų priklausomybę pradinės lygties ODZ.

Siekiant didesnio aiškumo, parodysime visą trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo grandinę:
.

Pažvelkime į kelių pavyzdžių sprendimus su išsamiu sprendimo proceso paaiškinimu, kad paaiškintume pateiktą informacijos bloką.

Pavyzdys.

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį.

Sprendimas.

Veiksime pagal ką tik gautą sprendimo algoritmą. Ir pirmiausia perkeliame terminus iš dešinės lygties pusės į kairę, todėl pereiname prie lygties.

Antrame etape turime paversti trupmeninę racionaliąją išraišką gautos lygties kairėje pusėje į trupmenos formą. Norėdami tai padaryti, atliekame liejimą racionalios trupmenosį bendrą vardiklį ir supaprastinkite gautą išraišką: . Taigi mes prieiname prie lygties.

Kitame žingsnyje turime išspręsti lygtį −2·x−1=0. Randame x=−1/2.

Belieka patikrinti, ar rastas skaičius yra −1/2 pašalinė šaknis pradinė lygtis. Norėdami tai padaryti, galite patikrinti arba rasti pradinės lygties kintamojo x VA. Parodykime abu būdus.

Pradėkime nuo patikrinimo. Pradinėje lygtyje vietoj kintamojo x pakeičiame skaičių −1/2 ir gauname tą patį, −1=−1. Pakeitimas suteikia teisingą skaitinę lygybę, todėl x=−1/2 yra pradinės lygties šaknis.

Dabar parodysime, kaip paskutinis algoritmo taškas atliekamas per ODZ. Pradinės lygties priimtinų reikšmių diapazonas yra visų skaičių, išskyrus −1 ir 0, rinkinys (esant x = −1 ir x = 0 trupmenų vardikliai išnyksta). Ankstesniame žingsnyje rasta šaknis x=−1/2 priklauso ODZ, todėl x=−1/2 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas:

−1/2 .

Pažvelkime į kitą pavyzdį.

Pavyzdys.

Raskite lygties šaknis.

Sprendimas.

Turime išspręsti trupmeninę racionaliąją lygtį, pereikime prie visų algoritmo žingsnių.

Pirma, perkeliame terminą iš dešinės pusės į kairę, gauname .

Antra, transformuojame kairėje pusėje suformuotą išraišką: . Dėl to gauname lygtį x=0.

Jo šaknis akivaizdi – ji lygi nuliui.

Ketvirtajame žingsnyje belieka išsiaiškinti, ar rasta šaknis yra pašalinis iš pradinės trupmeninės racionalios lygties. Kai ji pakeičiama į pradinę lygtį, gaunama išraiška. Akivaizdu, kad tai nėra prasmės, nes jame yra dalijimas iš nulio. Iš čia darome išvadą, kad 0 yra pašalinė šaknis. Todėl pradinė lygtis neturi šaknų.

7, kuris veda į lygtį. Iš to galime daryti išvadą, kad kairiosios pusės vardiklio išraiška turi būti lygi dešiniosios pusės vardiklyje, tai yra. Dabar iš abiejų trigubo pusių atimame: . Pagal analogiją, iš kur ir toliau.

Patikrinimas rodo, kad abi rastos šaknys yra pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys.

Atsakymas:

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.