Inercinės jėgos mechaninėje sistemoje. Inercijos jėgos formulė

Nustačius, kad atskiri taškai Niutono absoliučioje erdvėje nėra fizinė tikrovė, dabar turime paklausti: kas lieka rėmuose

apskritai ši koncepcija? Belieka taip: visų kūnų pasipriešinimas pagreičiui turi būti aiškinamas niutono prasme kaip absoliučios erdvės veikimas. Traukinį pajudinti lokomotyvas įveikia inercijos pasipriešinimą. Sviedinys, griaunantis sieną, savo griaunančią galią įgyja iš inercijos. Inercijos veiksmas atsiranda kaskart, kai atsiranda pagreičių, o pastarieji yra ne kas kita, kaip greičio pokyčiai absoliučioje erdvėje (galime naudoti paskutinę išraišką, nes greičio pokytis visose inercinėse sistemose yra vienodo dydžio). Taigi koordinačių sistemos, kurios pačios juda su pagreičiu inercinių sistemų atžvilgiu, nėra lygiavertės nei pastarosioms, nei viena kitai. Žinoma, tokiose sistemose galima nustatyti mechanikos dėsnius, bet jie įgis daugiau sudėtinga forma. Netgi trajektorija laisvas kūnas pasirodo nebevienodas ir netiesinis pagreitintoje sistemoje (žr. skyrių p. 59). Pastarasis gali būti išreikštas teiginiu, kad pagreitintoje sistemoje, be realių jėgų, yra ir tariamųjų, arba inercinių, jėgų. Kūną, kurio neveikia tikrosios jėgos, vis dar veikia šios inercinės jėgos, todėl jo judėjimas yra bendras atvejis pasirodo esantis netolygus ir netiesinis. Pavyzdžiui, automobilis, kuris pradeda judėti ar stabdo, reprezentuoja tokią pagreitintą sistemą. Visi žino, kaip traukinys pradeda ar sustoti; tai ne kas kita, kaip inercinės jėgos, apie kurią kalbame, veikimas.

Išsamiai panagrinėkime šį reiškinį, naudodamiesi sistemos, judančios tiesiai su pagreičiu, pavyzdžiu. Jei išmatuosime kūno pagreitį tokios judančios sistemos atžvilgiu, tada jo pagreitis absoliučios erdvės atžvilgiu bus akivaizdžiai didesnis pagal pagrindinį dėsnį. mechanika šioje erdvėje turi formą

Jei tai parašysime formoje

tada galime sakyti, kad pagreitintoje sistemoje yra įvykdytas Niutono formos judėjimo dėsnis, būtent

išskyrus tai, kad dabar reikia įdėti K kaip jėgą, kuri yra lygi

kur K yra tikroji jėga ir yra tariama jėga arba inercijos jėga.

Taigi ši jėga veikia laisvą kūną. Jo veikimą galima iliustruoti su tokiais motyvais: žinome, kad gravitacija Žemėje – gravitacijos jėga – nustatoma pagal formulę G = mg, kur nuolatinis pagreitis, dėl gravitacijos. Inercijos jėga šiuo atveju veikia kaip gravitacija; Minuso ženklas reiškia, kad inercinė jėga yra nukreipta priešingai nei atskaitos sistemos, kuri naudojama kaip pagrindas, pagreitiui. Matomumo dydis gravitacinis pagreitis y sutampa su atskaitos rėmo pagreičiu. Taigi laisvo kūno judėjimas kadre yra tiesiog tokio tipo judėjimas, kurį žinome kaip kritimą arba mesto kūno judėjimą.

Šis ryšys tarp inercinių jėgų pagreitintose sistemose ir gravitacijos jėgos čia vis dar atrodo šiek tiek dirbtinis. Tiesą sakant, tai buvo nepastebėta du šimtus metų. Tačiau jau šiame etape turime pabrėžti, kad tai yra Einšteino pagrindas bendroji teorija reliatyvumo.

Tiriant klausimą, kas yra inercijos jėga (SI), dažnai kyla nesusipratimų, dėl kurių atsiranda pseudomokslinių atradimų ir paradoksų. Išsiaiškinkime šį klausimą, taikant mokslinis požiūris ir viską, kas pasakyta, pateisina patvirtinančiomis formulėmis.

Inercijos jėga mus supa visur. Žmonės pastebėjo jo apraiškas senovėje, bet negalėjo to paaiškinti. Galilėjus jį rimtai ištyrė, o tada išgarsėjo. Dėl plataus jo aiškinimo tapo įmanomos klaidingos hipotezės. Tai gana natūralu, nes mokslininkas padarė prielaidą, o mokslo sukauptų žinių šioje srityje dar nebuvo.

Niutonas teigė, kad natūrali visų materialių objektų savybė yra galimybė būti tiesioje būsenoje arba ramybės būsenoje, su sąlyga, kad jie nepasirodo esantys. išorinis poveikis.

Remkimės šiuolaikinės žinios„Išplėskime“ šią prielaidą. Galilėjus Galilėjus taip pat pastebėjo, kad inercijos jėga yra tiesiogiai susijusi su gravitacija (trauka). O natūralūs traukiantys objektai, kurių įtaka akivaizdi, yra planetos ir žvaigždės (dėl jų masės). Ir kadangi jie turi rutulio formą, tai nurodė Galilėjus. Tačiau Niutonas šiuo metu visiškai ignoruojamas.

Dabar žinoma, kad visa Visata yra persmelkta įvairaus intensyvumo gravitacinių linijų. Gravitacinės spinduliuotės egzistavimas yra netiesiogiai patvirtintas, nors matematiškai neįrodytas. Vadinasi, inercijos jėga visada atsiranda dalyvaujant gravitacijai. Niutonas taip pat neatsižvelgė į tai, darydamas „natūralios nuosavybės“ prielaidą.

Tikslingiau pereiti nuo kito apibrėžimo - nurodyta jėga yra, kurios vertė yra judančio kūno masės (m) ir jo pagreičio (a) sandauga. Vektorius nukreiptas prieš pagreitį, tai yra:

čia F, a yra jėgos vektorių ir gauto pagreičio reikšmės; m - judančio kūno masė (arba matematinė

Fizika ir mechanika siūlo du tokio poveikio pavadinimus: Coriolis ir perdavimo inercinė jėga (PTI). Abu terminai yra lygiaverčiai. Skirtumas tas, kad pirmasis variantas yra visuotinai priimtas ir naudojamas mechanikos kursuose. Kitaip tariant, lygybė yra tiesa:

F kor = F per = m*(-a kor) = m*(-a per),

kur F yra Koriolio jėga; F per - nešiojama inercijos jėga; a kor ir a per yra atitinkami pagreičio vektoriai.

PSI sudaro trys komponentai: inercija, transliacinis SI ir sukimasis. Jei su pirmuoju paprastai nėra sunkumų, kitus du reikia paaiškinti. Transliacinę inercijos jėgą lemia visos sistemos pagreitis, palyginti su bet kokia inercine sistema, atliekant transliacinį judėjimą. Atitinkamai, trečiasis komponentas atsiranda dėl pagreičio, atsirandančio kūno sukimosi metu. Tuo pačiu metu šios trys jėgos gali egzistuoti nepriklausomai, nepriklausančios PSI. Jiems visiems atstovauja tas pats pagrindinė formulė F = m*a, o skirtumai yra tik pagreičio tipe, kuris, savo ruožtu, priklauso nuo judėjimo tipo. Taigi jie yra ypatingas inercijos atvejis. Kiekvienas iš jų dalyvauja skaičiuojant teorinį absoliutus pagreitis materialus kūnas (taškas) fiksuotoje atskaitos sistemoje (nematomas stebėjimui iš neinercinės sistemos).

PSI būtina tiriant problemą santykinis judėjimas, kadangi kuriant kūno judėjimo neinercinėje sistemoje formules reikia atsižvelgti ne tik į kitas žinomos jėgos, bet ir ją (F kor arba F per).

Neinercinė atskaitos sistema yra sistema, judanti pagreitintu greičiu, palyginti su inercine.

Niutono dėsniai galioja tik inercinėse atskaitos sistemose. Todėl visi iki šiol svarstyti klausimai buvo susiję su inercinėmis sistemomis. Tačiau praktikoje dažnai tenka susidurti su neinercinėmis atskaitos sistemomis. Išsiaiškinkime, kaip tokiose sistemose turėtų būti parašytas pagrindinis dinamikos dėsnis. Pirmiausia panagrinėkime materialaus taško judėjimą inercinėje atskaitos sistemoje:

Pristatykime ne ką kitą, tik ją inercinė sistema nuoroda ir sutinka skambinti pirmajam stacionariam, o antrajam mobiliajam:

Remiantis pagreičio pridėjimo teorema:

Iš čia perrašome:

Matome, kad neinercinėje atskaitos sistemoje taško pagreitį lemia ne tik jėga ir masė m, bet ir paties judančio atskaitos rėmelio judėjimo pobūdį.

– fiktyvios jėgos (jos atsiranda ne dėl kūnų sąveikos, o susijusios su neinercinės sistemos pagreitėjusiu judėjimu inercinės atžvilgiu) arba inercinės jėgos.

Inercinėse atskaitos sistemose vienintelė pagreitinto materialaus taško judėjimo priežastis yra jėgos, veikiančios iš materialūs kūnai. Neinercinėse sistemose pagreitinto judėjimo priežastis taip pat yra inercinės jėgos, nesusijusios su jokia sąveika.

Reikia pabrėžti, kad inercinės jėgos turi realų poveikį taškui, esančiam judančioje koordinačių sistemoje, nes jos įtraukiamos į judesio lygtį. Pavyzdys: žmogaus judėjimas vežime, kai vežimas važiuoja pastoviu greičiu.

,

.

Dabar leiskite automobiliui sulėtinti greitį:

.

Taigi, inercinių jėgų įvedimas leidžia patogiai suformuluoti pagrindinius santykinio judėjimo mechanikos dėsnius ir suteikia jiems šiek tiek aiškumo.

Panagrinėkime du ypatingus atvejus.

Tegul materialus taškas atlieka tolygų tiesinį judėjimą judančios koordinačių sistemos atžvilgiu, tada atsižvelgdamas į
gauname:

.

Taigi, tikrosios jėgos yra subalansuotos inercijos jėgų.

Tegul materialusis taškas yra ramybės būsenoje judančios koordinačių sistemos atžvilgiu:

Tada
,

Kaip jau minėta, Niutono dėsniai tenkinami tik inercinėse atskaitos sistemose. Vadinami atskaitos rėmai, judantys inercinės sistemos atžvilgiu su pagreičiu nneinercinis. Neinercinėse sistemose Niutono dėsniai, paprastai kalbant, nebegalioja. Tačiau jiems gali būti taikomi ir dinamikos dėsniai, jei, be jėgų, kurias sukelia kūnų poveikis vienas kitam, įtraukiame ir ypatingos rūšies jėgas – vadinamąsias. inercijos jėgos.

Jei atsižvelgsime į inercijos jėgas, tai antrasis Niutono dėsnis galios bet kuriai atskaitos sistemai: kūno masės ir pagreičio sandauga nagrinėjamoje atskaitos sistemoje yra lygi visų jėgų, veikiančių atraminę sistemą, sumai. duotas kūnas (įskaitant inercines jėgas). Inercijos jėgos kartu jie turi būti tokie, kad kartu su jėgomis , sukeltos kūnų įtakos vienas kitam, jie suteikė kūnui pagreitį , kurią turi neinercinėse atskaitos sistemose, t.y.

(1)

Nes
(yra kūno pagreitis inerciniame rėme), tada

Inercines jėgas sukelia pagreitintas atskaitos sistemos judėjimas išmatuotos sistemos atžvilgiu, todėl bendruoju atveju reikia atsižvelgti į šiuos šių jėgų pasireiškimo atvejus:

1) inercinės jėgos pagreitinto atskaitos sistemos transliacinio judėjimo metu;

2) inercinės jėgos, veikiančios kūną ramybės būsenoje besisukančioje atskaitos sistemoje;

3) inercinės jėgos, veikiančios kūną, judantį besisukančioje atskaitos sistemoje.

Panagrinėkime šiuos atvejus.

1. Inercinės jėgos pagreitinto atskaitos sistemos transliacinio judėjimo metu. Tegu masės rutuliuką T. Kai vežimėlis stovi arba juda tolygiai ir tiesia linija, rutulį laikantis sriegis užima vertikalią padėtį ir veikia gravitacijos jėga
yra subalansuotas sriegio reakcijos jėgos .

Jei vežimėlis paleidžiamas į priekį su pagreičiu , tada siūlas pradės nukrypti nuo vertikalios nugaros iki tokio kampo α iki gaunamos jėgos
nesuteiks rutulio pagreičio, lygaus . Taigi gaunama jėga nukreiptas į vežimėlio pagreitį ir stabiliam rutulio judėjimui (dabar rutulys juda kartu su vežimėliu su pagreičiu ) yra lygus
, kur
,T. Tai yra, kuo didesnis vežimėlio pagreitis, tuo didesnis sriegio nukrypimo nuo vertikalės kampas.

Atsižvelgiant į atskaitos rėmą, susietą su pagreitintu judančiu vežimėliu, rutulys yra ramybėje, o tai įmanoma, jei jėga , kuri yra ne kas kita, kaip inercijos jėga, nes rutulio neveikia jokios kitos jėgos. Taigi,

(2)

Inercinių jėgų pasireiškimas transliacinio judėjimo metu stebimas kasdieniuose reiškiniuose. Pavyzdžiui, traukiniui padidinus greitį, traukinio kryptimi sėdintis keleivis, veikiamas inercijos, prispaudžiamas prie sėdynės atlošo. Priešingai, traukiniui stabdant, inercinė jėga nukreipta į priešinga pusė, o keleivis pasitraukia nuo sėdynės atlošo. Šios jėgos ypač pastebimos staiga stabdant traukinį. Inercinės jėgos pasireiškia perkrovomis, atsirandančiomis erdvėlaivio paleidimo ir stabdymo metu.

2. Inercinės jėgos, veikiančios kūną ramybės būsenoje besisukančioje atskaitos sistemoje. Leiskite diskui tolygiai suktis kampiniu greičiu ω (ω =konst) aplinkui vertikalioji ašis, einantis per jo centrą. Ant disko, skirtingais atstumais nuo sukimosi ašies, sumontuotos švytuoklės (rutuliai, kurių masė m). Kai švytuoklės sukasi kartu su disku, rutuliai tam tikru kampu nukrypsta nuo vertikalės.

Inercinėje atskaitos sistemoje, susietoje, pavyzdžiui, su patalpa, kurioje sumontuotas diskas, rutulys tolygiai sukasi spindulio apskritimu. R(atstumas nuo besisukančio rutulio centro iki sukimosi ašies). Vadinasi, jį veikia jėga, kurios modulis yra lygus F=mω 2 R o jėga nukreipta statmenai disko sukimosi ašiai. Tai gaunama gravitacijos jėga
ir sriegio įtempimas :
. Kai nustatomas rutulio judėjimas, tada
, kur
,T. y., švytuoklės sriegių įlinkio kampai bus didesni, tuo didesni ilgesnis atstumas R nuo rutulio centro iki disko sukimosi ašies ir kuo didesnis kampinis sukimosi greitis ω .

Atsižvelgiant į atskaitos sistemą, susietą su besisukančiu disku, rutulys yra ramybės būsenoje, o tai įmanoma, jei jėga yra subalansuotas lygia ir priešinga jėga, nukreipta į jį , kuri yra ne kas kita, kaip inercijos jėga, nes rutulio neveikia jokios kitos jėgos. Jėga , paskambino išcentrinė inercijos jėga, yra nukreiptas horizontaliai nuo disko sukimosi ašies ir jo modulis lygus

F ts =mω 2 R (3)

Pavyzdžiui, keleivius judančiose transporto priemonėse posūkyje, pilotus, atliekantys akrobatinius manevrus, veikia išcentrinės inercijos jėgos; išcentrinės inercinės jėgos naudojamos visuose išcentriniuose mechanizmuose: siurbliuose, separatoriuose ir kt., kur jos pasiekia milžiniškas vertes. Projektuojant greitai besisukančių mašinų dalis (rotorius, lėktuvo sraigtus ir kt.), imamasi specialių priemonių išcentrinėms inercijos jėgoms subalansuoti.

Iš (3) formulės matyti, kad išcentrinė inercijos jėga, veikianti kūnus besisukančiuose atskaitos rėmuose spindulio kryptimi nuo sukimosi ašies priklauso nuo kampinis greitis sukimasis ω atskaitos ir spindulio sistemos R, bet nepriklauso nuo kūnų greičio besisukančių atskaitos sistemų atžvilgiu. Vadinasi, išcentrinė inercijos jėga veikia besisukančiose atskaitos sistemose visus kūnus, esančius baigtiniu atstumu nuo sukimosi ašies, nepaisant to, ar jie šiame rėme yra ramybės būsenoje (kaip mes manėme iki šiol), ar juda jo atžvilgiu. su tam tikru greičiu.

3. Inercinės jėgos, veikiančios kūną, judantį besisukančioje atskaitos sistemoje. Tegul kamuolys turi masę T juda pastoviu greičiu išilgai tolygiai besisukančio disko spindulio (). Jei diskas nesisuka, rutulys, nukreiptas išilgai spindulio, juda radialine tiesia linija ir atsitrenkia į tašką A, jei diskas pasukamas rodyklės nurodyta kryptimi, tada rutulys rieda išilgai kreivės OB, ir jo greitis disko atžvilgiu keičia savo kryptį. Tai įmanoma tik tuo atveju, jei rutulį veikia statmena greičiui jėga .

D Norėdami priversti rutulį riedėti išilgai besisukančio disko išilgai spindulio, mes naudojame strypą, standžiai pritvirtintą išilgai disko spindulio, ant kurio rutulys juda be trinties tolygiai ir tiesia linija greičiu. .

Kai rutulys nukrypsta, strypas jį veikia tam tikra jėga . Palyginti su disku (sukamuoju atskaitos rėmu), rutulys juda tolygiai ir tiesia linija, o tai galima paaiškinti tuo, kad jėga yra subalansuotas rutulį veikiančios inercijos jėgos , statmenai greičiui . Ši jėga vadinama Koriolio inercinė jėga.

Galima parodyti, kad Koriolio jėga

(4)

Vektorius statmenai greičio vektoriams kūno ir kampinio sukimosi greičio atskaitos sistema pagal dešiniojo varžto taisyklę.

SU Koriolio jėga veikia tik kūnus, judančius besisukančio atskaitos rėmo atžvilgiu, pavyzdžiui, Žemės atžvilgiu. Todėl šių jėgų veikimas paaiškina daugybę Žemėje stebimų reiškinių. Taigi, jei kūnas šiauriniame pusrutulyje juda į šiaurę, jį veikianti Koriolio jėga, kaip matyti iš (4) išraiškos, bus nukreipta į dešinę judėjimo krypties atžvilgiu, t. y. kūnas šiek tiek nukryps į rytus. Jei kūnas juda į pietus, Koriolio jėga taip pat veikia į dešinę žiūrint judėjimo kryptimi, ty kūnas nukryps į vakarus. Todėl šiauriniame pusrutulyje stipresnė dešiniųjų upių krantų erozija; dešinieji bėgiai geležinkelio bėgiai judant susidėvi greičiau nei kairieji ir pan. Panašiai galima parodyti, kad pietiniame pusrutulyje Koriolio jėga, veikianti judančius kūnus, bus nukreipta į kairę judėjimo krypties atžvilgiu.

Koriolio jėgos dėka ant Žemės paviršiaus krintantys kūnai nukrypsta į rytus (60° platumoje šis nuokrypis, krentant iš 100 m aukščio, turėtų būti 1 cm). Fuko švytuoklės, kuri vienu metu buvo vienas iš Žemės sukimosi įrodymų, elgesys yra susijęs su Koriolio jėga. Jei šios jėgos nebūtų, tai šalia Žemės paviršiaus siūbuojančios švytuoklės svyravimo plokštuma liktų nepakitusi (žemės atžvilgiu). Koriolio jėgų veikimas lemia svyravimo plokštumos sukimąsi vertikalia kryptimi.

,

kur inercijos jėgos pateiktos (2) – (4) formulėmis.

Dar kartą atkreipkime dėmesį į tai sukeliamos inercinės jėgos ne kūnų sąveika, bet pagreitintas atskaitos sistemos judėjimas . Todėl jie nepaklūsta trečiajam Niutono dėsniui, nes jei inercijos jėga veikia bet kurį kūną, tai jam nėra priešingos jėgos. Du pagrindiniai mechanikos principai, pagal kuriuos pagreitį visada sukelia jėga, o jėgą visada sukelia kūnų sąveika, tuo pačiu metu nėra tenkinami atskaitos sistemose, judančiose su pagreičiu.

Bet kurio kūno, esančio neinercinėje atskaitos sistemoje, inercinės jėgos yra išorinės; todėl čia nėra uždarų sistemų. Tai reiškia, kad neinercinėse atskaitos sistemose impulso, energijos ir kampinio momento išsaugojimo dėsniai neįvykdomi. Taigi inercinės jėgos veikia tik neinercinėse sistemose. Inercinėse atskaitos sistemose tokių jėgų nėra.

Kyla klausimas apie inercinių jėgų „realumą“ ar „fiktyvumą“. Niutono mechanikoje, pagal kurią jėga yra kūnų sąveikos rezultatas, inercinės jėgos gali būti vertinamos kaip „išgalvotos“, „dingstančios“ inercinėse atskaitos sistemose. Tačiau galima ir kitokia interpretacija. Kadangi kūnų sąveika vykdoma per jėgų laukus, inercinės jėgos yra laikomos smūgiais, kuriuos kūnus veikia kai kurie realūs jėgos laukai, ir tada jie gali būti laikomi „realiais“. Nepriklausomai nuo to, ar inercinės jėgos laikomos „fiktyviomis“, ar „tikromis“, daugelis aukščiau paminėtų reiškinių gali būti paaiškinti inercinėmis jėgomis.

Inercinės jėgos, veikiančios kūnus neinercinėje atskaitos sistemoje, yra proporcingos jų masėms ir, jei kiti dalykai yra vienodi, suteikia šiems kūnams vienodus pagreičius. Todėl „inercinių jėgų lauke“ šie kūnai juda lygiai taip pat, jei tik pradinės sąlygos yra vienodos. Tą pačią savybę turi kūnai, veikiami gravitacinio lauko jėgų.

Tam tikromis sąlygomis negalima atskirti inercijos ir gravitacijos jėgų. Pavyzdžiui, kūnų judėjimas tolygiai pagreitintame lifte vyksta lygiai taip pat, kaip ir stacionariame lifte, kabančiame vienodame gravitacijos lauke. Joks lifto viduje atliktas eksperimentas negali atskirti vienodo gravitacinio lauko nuo vienodas laukas inercinės jėgos.

Gravitacijos jėgų ir inercinių jėgų analogija grindžiama gravitacinių jėgų ir inercinių jėgų lygiavertiškumo principu (Einšteino lygiavertiškumo principas): fiziniai reiškiniai gravitaciniame lauke atsiranda lygiai taip pat, kaip ir atitinkamame inercinių jėgų lauke, jei abiejų laukų stiprumai atitinkamuose erdvės taškuose sutampa, o kitos pradinės sąlygos nagrinėjamiems kūnams yra vienodos. Šis principas yra bendrosios reliatyvumo teorijos pagrindas.

Inercijos jėgos ir pagrindinis mechanikos dėsnis

Bernikovas Vasilijus Ruslanovičius,

inžinierius.

Pratarmė

Vidinės jėgos kai kuriais atvejais yra išvaizdos priežastis išorinės jėgos, prijungtas prie sistemos , , , . Inercijos jėgos visada yra išorinės bet kokios judančios materialių kūnų sistemos atžvilgiu, , , . Inercijos jėgos veikia taip pat, kaip ir sąveikos jėgos, jos yra gana realios, gali atlikti darbą, suteikti pagreitį, , , . Kadangi mechanikoje buvo daug teorinių prielaidų apie galimybę naudoti inercines jėgas kaip transliacines kuriant konstrukcijas, jos nedavė teigiamo rezultato. Galima pastebėti tik keletą gerai žinomų konstrukcijų, kurių efektyvumas naudojant inercines jėgas yra mažas: Tolchino inertsoidas, Frolovo sūkurinė skysčio varomoji jėga, Tornsono varomoji jėga. Lėtas inercinių varomųjų mechanizmų vystymasis paaiškinamas fundamentalių stoka teorinis pagrindimas pastebėtas poveikis. Remiantis įprastomis klasikinėmis koncepcijomis fizinė mechanikaŠiame darbe sukurtas teorinis pagrindas naudoti inercines jėgas kaip transliacines.

§1. Pagrindinis mechanikos dėsnis ir jo pasekmės.

Panagrinėkime jėgų ir pagreičių transformacijos į dėsnius įvairios sistemos atgalinis skaičiavimas. Pasirinkime savavališkai stacionarią inercinę atskaitos sistemą ir sutikime, kad judėjimas jos atžvilgiu būtų absoliutus. Tokioje atskaitos sistemoje pagrindinė judesio lygtis yra materialus taškas yra lygtis, išreiškianti antrąjį Niutono dėsnį.

m w abs = F, (1.1)

Kur F– kūnų sąveikos jėga.

Judančio atskaitos rėmo ramybės būsenoje esantis kūnas yra įtraukiamas į jo judėjimą stacionarios atskaitos sistemos atžvilgiu. Šis judėjimas vadinamas nešiojamu. Kūno judėjimas atskaitos sistemos atžvilgiu vadinamas santykiniu. Absoliutus kūno judėjimas susideda iš jo santykinių ir nešiojamų judesių. Neinercinėse atskaitos sistemose (atskaitos sistemose, judančiose su pagreičiu), pagreičio transformacijos dėsnis judėjimas į priekį turi tokią formą

w abs = w rel +w juosta (1.2)

Atsižvelgdami į (1.1) jėgoms, rašome santykinio judėjimo lygtį materialiam taškui atskaitos sistemoje, judančiame transliaciniu pagreičiu

mw rel = F – mw juosta, (1.3)

Kur mw per yra transliacinė inercijos jėga, atsirandanti ne dėl kūnų sąveikos, o dėl pagreitėjusio atskaitos sistemos judėjimo. Kūnų judėjimas veikiant inercinėms jėgoms yra panašus į judėjimą išoriniuose jėgų laukuose [2, p.359]. Sistemos masės centro impulsą [3, p. 198] galima keisti keičiant vidinį sukimosi impulsą arba vidinį transliacinį impulsą. Inercijos jėgos visada yra išorinės [2, p.359] bet kokios judančios materialių kūnų sistemos atžvilgiu.

Tarkime, kad atskaitos sistema visiškai savavališkai juda stacionarios atskaitos sistemos atžvilgiu. Šį judėjimą galima suskirstyti į dvi dalis: judėjimas pirmyn greičiu v O, vienodas greitis pradžios judėjimas ir sukamasis judėjimas aplink momentinę ašį, einantis per šią pradžią. Pažymime šio sukimosi kampinį greitį w, ir atstumą nuo judančios atskaitos sistemos pradžios iki judančio taško joje r. Be to, judantis taškas turi greitį judančio atskaitos rėmo atžvilgiu v rel. Tada absoliutaus pagreičio [2, p.362] ryšys yra žinomas

w abs = w rel - 2[ v rel w] + (d v o /dt) - w 2 r ^ + [ (d su dt) r] ,. (1.4)

Kur r ^ - spindulio vektoriaus komponentas r, statmena momentinei sukimosi ašiai. Suplanuokime kitą laiką santykinis pagreitisį kairę pusę, o absoliutus į dešinėje pusėje ir viską padauginus iš kūno masės, gauname pagrindinę santykinio judėjimo jėgų lygtį [2, p. 364] savavališkai judančiame atskaitos rėme

mw rel = mw abs + 2m[ v rel w] - m(d v o /dt) + mw 2 r ^ – m[ (d su dt) r] . (1.5)

Arba atitinkamai

mw rel = F + F k + F n + F ts + F f, (1,6)

Kur: F– kūnų sąveikos jėga; F k – Koriolio inercinė jėga; F n – slinkimo inercijos jėga; F c – išcentrinė inercijos jėga; F f – fazinė inercijos jėga.

Kūnų sąveikos jėgos kryptis F sutampa su kūno pagreičio kryptimi. Koriolio inercinė jėga F k nukreipta pagal radialinio ir kampinio greičio vektorinę sandaugą, tai yra statmena abiem vektoriams. Transliacinė inercijos jėga F n nukreiptas priešingai kūno pagreičiui. Išcentrinė inercijos jėga F q nukreiptas išilgai spindulio nuo kūno sukimosi centro. Fazinė inercijos jėga F f nukreipta priešinga kampinio pagreičio ir spindulio sandaugai nuo sukimosi centro statmenai šiems vektoriams.

Taigi, norint nustatyti kūno judėjimo trajektoriją bet kurios atskaitos sistemos atžvilgiu, pakanka žinoti inercijos ir sąveikos jėgų dydį ir kryptį.

Be inercijos ir kūnų sąveikos jėgų, yra jėgos kintama masė, kurios yra inercinių jėgų veikimo pasekmė. Panagrinėkime antrąjį Niutono dėsnį diferencine forma [2, p.77]

d P/dt = ∑ F, (1.7)

Kur: P– kūnų sistemos impulsas; ∑ F– išorinių jėgų suma.

Yra žinoma, kad kūnų sistemos impulsas bendruoju atveju priklauso nuo laiko ir atitinkamai yra lygus

P(t) = m(t) v(t), (1,8)

čia: m(t) – kūnų sistemos masė; v(t) – kūnų sistemos greitis.

Kadangi greitis yra sistemos koordinačių išvestinė laiko atžvilgiu, tada

v(t) = d r(t)/dt, (1,9)

Kur r– spindulio vektorius.

Toliau laikysime masės, greičio ir spindulio vektoriaus priklausomybę nuo laiko. Pakeitę (1.9) ir (1.8) į (1.7), gauname

d(m(d r/dt))/dt = ∑ F. (1.10)

Paskelkime masę m po diferencialiniu ženklu [1, p.295], tada

d [ (d(m r)/dt) – r(dm/dt)]/dt = ∑ F.

Skirtumo išvestinė lygi išvestinių skirtumui

d [ (d(m r)/dt) ] dt – d [ r(dm/dt) ] /dt =∑ F.

Atlikime detalų kiekvieno termino diferencijavimą pagal gaminių diferencijavimo taisykles

m(d 2 r/dt 2) + (dm/dt)(d r/dt) + (dm/dt)(d r/dt) +

+ r(d 2 m/dt 2) – r(d 2 m/dt 2)- (dm/dt) (d r/dt) = ∑ F. (1.11)

Atnešam panašių narių ir parašykite (1.11) lygtį tokia forma

m(d 2 r/dt 2) = ∑ F- (dm/dt) (d r/dt). (1.12)

Dešinėje (1.12) lygties pusėje yra visų išorinių jėgų suma. Paskutinis narys vadinamas kintamos masės jėga, tai yra

F pm = - (dm/dt) (d r/dt).

Taigi prie išorinių jėgų pridedama dar viena išorinė jėga – kintamos masės jėga. Išraiška pirmame skliauste dešinėje lygties pusėje (1.13) yra masės kitimo greitis, o antrajame skliauste esanti išraiška – dalelių atsiskyrimo (prisirišimo) greitis. Taigi ši jėga veikia, kai kūnų sistemos masė (reaktyvioji jėga) [2, p. 120] keičiasi dalelėms atsiskiriant (prisirišant) atitinkamu greičiu šios kūnų sistemos atžvilgiu. (1.12) lygtis yra Meshchersky lygtis [2, p.120], minuso ženklas rodo, kad lygtis buvo gauta darant prielaidą, kad veiksmas vidines jėgas(dalelių atskyrimas). Kadangi (1.12) lygtis buvo gauta darant prielaidą, kad kūnų sistemos impulsas kinta veikiant vidinių jėgų, generuojančių išorines, tiksli matematinis metodas, todėl jį išvedant, išraiškoje (1.11) atsirado dar dvi jėgos, kurios nedalyvauja keičiant kūnų sistemos impulsą, nes sudėjus panašius terminus jos sumažėja. Perrašykime lygtį (1.11), atsižvelgdami į lygtį (1.13), neatšaukdami panašių terminų taip

m(d 2 r/dt 2) + r(d 2 m/dt 2) + (dm/dt) (d r/dt) = ∑ F + F pm + r(d 2 m/dt 2) + (dm/dt) (d r/dt). (1.14)

Priešpaskutinį išraiškos narį (1.14) pažymėkime F m , o paskutinis per F d, tada

m(d 2 r/dt 2) + r(d 2 m/dt 2) + (dm/dt) (d r/dt) = ∑ F + F pm + F m+ F d. (1,15)

Nuo stiprybės F m nedalyvauja impulso pokytyje, tada jį galima užrašyti kaip atskirą lygtį

F m = r(d 2 m/dt 2). (1,16)

Panagrinėkime fizinę lygties (1.16) prasmę, todėl ją perrašysime tokia forma

r = F m/(d 2 m/dt 2). (1,17)

Jėgos ir pagreitinto masės augimo tam tikrame tūryje santykis yra pastovi reikšmė arba tam tikros rūšies medžiagos užimama erdvė apibūdinama minimaliu tūriu. Jėga F m yra statinis ir atlieka slėgio funkciją.

Jėga F d taip pat nedalyvauja keičiant kūnų sistemos impulsą, todėl parašykime ją kaip atskirą lygtį ir apsvarstykime jos fizinę reikšmę

F d = (dm/dt) (d r/dt).

Jėga F(1,18) d yra slėgio jėga, kurią veikia medžiaga skystyje arba dujinė būsena į supančią erdvę. Jam būdingas dalelių, kurios suteikia slėgį tam tikra kryptimi, skaičius, masė ir greitis. Reikėtų pažymėti, kad slėgio jėga F į supančią erdvę. Jam būdingas dalelių, kurios suteikia slėgį tam tikra kryptimi, skaičius, masė ir greitis. Reikėtų pažymėti, kad slėgio jėga d sutampa su kintamos masės jėga PM ir jų diferenciacija atliekama tik siekiant nustatyti veiksmo pobūdį. Taigi (1.15) lygtis visiškai apibūdina materijos būseną. Tai yra, atsižvelgiant į (1.15) lygtį, galime daryti išvadą, kad medžiaga apibūdinama masė kaip inercijos matas, mažiausia erdvė, kurią tam tikras medžiagos kiekis gali užimti nepakeisdamas savo savybių, ir medžiagos daromas slėgis. skystos ir dujinės būsenos aplinkinėje erdvėje.

§2. Inercinių jėgų ir kintamos masės veikimo charakteristikos.

Transliacinis pagreitintas kūno judėjimas vyksta veikiant jėgai pagal antrąjį Niutono dėsnį. Tai yra, kūno greičio pokytis įvyksta esant pagreičiui ir jėgai, sukėlusiai šį pagreitį.

Išcentrinės inercinės jėgos naudojimas transliaciniam judėjimui yra įmanomas tik padidinus šių jėgų šaltinių linijinį greitį, nes pagreitėjus sistemos judėjimui, šaltinių inercinės jėgos didėja judėjimo greičio kryptimi. sistema mažėja, kol jie visiškai išnyksta. Be to, inercinių jėgų laukas turi būti netolygus ir turėti maksimali vertė sistemos dalyje transliacinio judėjimo kryptimi.

Apsvarstykite kūno (2.1 pav.), kurio masė m, judėjimą spindulio R apskritimu.

Ryžiai. 2.1.

Išcentrinė jėga Fμ, kuriuo kūnas spaudžia apskritimą, nustatoma pagal formulę

F q = m ω 2 R. (2.1)

Naudodami žinomą ryšį ω = v /R, kur v yra kūno tiesinis greitis, statmenas spinduliui R, formulę (2.1) užrašome tokia forma.

F c = m v 2 / R. (2.2)

Išcentrinė jėga veikia spindulio kryptimi R. Dabar akimirksniu nutraukkime ratą, kuriuo juda kūnas. Patirtis rodo, kad kūnas skris tangentiškai linijinio greičio kryptimi v, o ne išcentrinės jėgos kryptimi. Tai yra, nesant atramos, išcentrinė jėga akimirksniu išnyksta.

Tegul kūnas, kurio masė yra m, juda išilgai puslankio elemento (2.2 pav.), kurio spindulys R, o puslankis juda pagreičiu w П statmenu skersmeniui.

Ryžiai. 2.2.

Tolygiai judant kūnui (tiesinis greitis nesikeičia pagal dydį) ir pagreitėjus puslankiui, puslankio formos atrama akimirksniu išnyksta ir išcentrinė jėga bus lygi nuliui. Jei kūnas juda su teigiamu tiesiniu pagreičiu, tada jis pasivys puslankį ir veiks išcentrinė jėga. Raskime kūno tiesinį pagreitį w, kuriuo veikia išcentrinė jėga, tai yra, spaudžia puslankį. Norėdami tai padaryti, laikas, kurį kūnas praleidžia liestinėje trajektorijoje, kol susikerta su punktyrine linija, lygiagrečia skersmeniui ir nubrėžta per tašką B (2.2 pav.), turi būti mažesnė arba lygi laikui, praleistam puslankiu kryptis statmena skersmeniui. Tegul pradiniai kūno ir puslankio greičiai lygūs nuliui ir prabėgęs laikas vienodas, tada kūno įveiktas kelias S AC

S AC = w t 2 /2, (2.3)

o puslankiu S AB nueitas kelias bus

S AB = w P t 2 /2. (2.4)

Lygtį (2.3) padalinę iš (2.4) gauname

S AC / S AB = w / w P.

Tada kūno pagreitis w, atsižvelgiant į akivaizdų ryšį S AC / S AB = 1/ cosΨ

w = w П /cosΨ, (2.5)

kur 0 £ Ψ £ π/2.

Taigi kūno pagreičio projekcija apskritimo elemente tam tikra kryptimi (2.2 pav.) visada turi būti didesnė arba lygi sistemos pagreičiui ta pačia kryptimi, kad būtų išlaikyta veikianti išcentrinė jėga. Tai yra, išcentrinė jėga veikia kaip transliacinė jėga varomoji jėga tik esant teigiamam pagreičiui, keičiant kūno linijinio greičio dydį sistemoje

Panašiai gaunamas ir antrojo puslankio ketvirčio santykis (2.3 pav.).

Ryžiai. 2.3.

Tik kelias, kurį kūnas eina išilgai liestinės, prasidės nuo taško puslankiu, judančio su pagreičiu, kol susikirs su punktyrine linija, lygiagrečia skersmeniui ir einančia per tašką A pradinė padėtis puslankiai. Kampas šiuo atveju nustatomas pagal intervalą π/2 ³ Ψ ³ 0.

Sistemoje, kurioje kūnas ratu juda tolygiai arba su lėtėjimu, išcentrinė jėga nesukels sistemos transliacinio pagreitinto judėjimo, nes kūno linijinis pagreitis bus lygus nuliui arba kūnas atsiliks nuo pagreitinto judėjimo. sistema.

Jei kūnas sukasi kampiniu greičiu ω ir tuo pačiu greičiu artėja prie apskritimo centro v, tada atsiranda Koriolio jėga

F k = 2m [ v ω]. (2.6)

Tipiškas trajektorijos elementas parodytas 2.4 pav.

Ryžiai. 2.4.

Visos formulės (2.3), (2.4), (2.5) ir išvados, kaip išlaikyti veikiančios cirkuliuojančios terpės išcentrinę jėgą, bus teisingos ir Koriolio jėgai, nes pagreitėjus sistemos judėjimui kūnas juda su teigiamu tiesiniu pagreičiu. žengs koja kojon su sistemos pagreičiu ir atitinkamai judės kartu kreivinė trajektorija, o ne išilgai liestinės linijos, kai nėra Koriolio jėgos. Kreivė turi būti padalinta į dvi dalis. Pirmoje kreivės pusėje (4 pav.) kampas keičiasi nuo pradinio taško iki apačios intervale -π/2 £ Ψ £ π/2, o antroje pusėje nuo apatinio taško iki centro apskritimas π/2 ³ Ψ ³ 0. Panašiai, kūnui sukant ir kartu jį pašalinant (2.5 pav.) iš centro, Koriolio jėga veikia kaip transliacinė, kai kūno tiesinis greitis yra teigiamas.

Ryžiai. 2.5.

Kampų intervalas pirmoje pusėje nuo apskritimo centro iki apatinio taško yra 0 £ Ψ £ π/2, o antroje pusėje nuo apatinio taško iki galutinio taško π/2 ³ Ψ ³ -π/2 .

Panagrinėkime transliacinę inercijos jėgą F n (2.6 pav.), kuri nustatoma pagal formulę

F n = -m w,(2.7)

Kur w– kūno pagreitis.

Ryžiai. 2.6.

Esant teigiamam kūno pagreičiui, jis veikia prieš judėjimą, o esant neigiamam pagreičiui (lėtėjimui) – kūno judėjimo kryptimi. Kai pagreičio arba lėtėjimo elementas (2.6 pav.) veikia sistemą, su kuria elementai yra sujungti, elemento kūno pagreitis absoliučia reikšme turi būti akivaizdžiai didesnis už sistemos pagreičio modulį, kurį sukelia slenksčio jėga. kūno inercija. Tai yra, inercijos transliacinė jėga veikia kaip varomoji jėga, esant teigiamam ar neigiamam pagreičiui.

Fazinė inercijos jėga F f (inercinė jėga, kurią sukelia netolygus sukimasis) nustatoma pagal formulę

Fφ = -m [(d ω /dt) R]. (2.8)

Tegul spindulys R statmena kampinio greičio vektoriui ω , tada skaliarinėje formoje formulė (2.8) įgauna formą

F f = -m (dω/dt)R. (2.9)

Esant teigiamam kampiniam kūno pagreičiui (1.7 pav.), jis veikia prieš judėjimą, o esant neigiamam kampiniam pagreičiui (lėtėjimui) – kūno judėjimo kryptimi.

Ryžiai. 2.7.

Naudodami žinomą ryšį ω = v /R, kur v yra kūno tiesinis greitis, statmenas spinduliui R, formulę (2.9) užrašome tokia forma.

F f = -m (dv/dt). (2.10)

Kadangi dv/dt =w, kur w yra kūno tiesinis pagreitis, tada (2.10) lygtis įgauna formą

F f = -m w (2,11)

Taigi formulė (2.11) yra panaši į (2.7) transliacinės inercinės jėgos formulę, tik pagreitis w turi būti skaidomas į lygiagrečius α II ir statmenus α ┴ komponentus (2.8 pav.) puslankio elemento skersmens atžvilgiu.

Ryžiai. 2.8.

Akivaizdu, kad statmenas pagreičio komponentas w ┴ sukuria sukimo momentą, nes viršutinėje puslankio dalyje jis nukreiptas į kairę, o apatinėje - į dešinę. Lygiagreti pagreičio dedamoji w II sukuria inercijos F fII transliacinę jėgą, nes ji nukreipta į viršutinę ir apatinę puslankio dalis viena kryptimi, sutampančia su kryptimi w II.

F fII = -m w II. (2.12)

Naudodami ryšį w II = w cosΨ, gauname

F ФII = -m w cosΨ, (2.13)

kur kampas Ψ yra intervale -π/2 £ Ψ £ π/2.

Taigi slenkamojo judėjimo fazinės inercijos jėgos elementui apskaičiuoti gaunama formulė (2.13). Tai yra, fazės inercijos jėga veikia kaip varomoji jėga, esant teigiamam arba neigiamam tiesiniam pagreičiui.

Taigi buvo nustatyti keturi transliacinės inercinės jėgos elementai: išcentrinis, Coriolis, transliacinis, fazinis. Prisijungimas atskiri elementai tam tikru būdu galima derinti transliacinės inercijos varomosios jėgos sistemas.

Apsvarstykite kintamos masės jėgą, apibrėžtą formule

F pm = - (dm/dt) (d r/dt).

(2.14)

Kadangi dalelių atsiskyrimo (prisirišimo) greitis kūnų sistemos atžvilgiu lygus u r=d

/dt, (2,15)

F tada (2.14) lygtį užrašome taip Kadangi dalelių atsiskyrimo (prisirišimo) greitis kūnų sistemos atžvilgiu lygus pm = -

(dm/dt). (2.16) Kadangi dalelių atsiskyrimo (prisirišimo) greitis kūnų sistemos atžvilgiu lygus(2.16) lygtyje kintamoji masės jėga yra jėgos, kurią sukuria atskiriančioji dalelė, kai jos greitis keičiasi nuo nulio iki Kadangi dalelių atsiskyrimo (prisirišimo) greitis kūnų sistemos atžvilgiu lygus arba vertė, kurią sukuria jungiančios dalelės keičiantis jos greičiui nuo F iki nulio. Taigi kintamos masės jėga veikia dalelių pagreičio arba lėtėjimo momentu, tai yra inercijos transliacinė jėga, bet apskaičiuojama pagal kitus parametrus. Atsižvelgiant į tai, kas parašyta aukščiau, reikia patikslinti Ciolkovskio formulės išvedimą. Perrašome lygtį (1.12) skaliarine forma ir nustatome ∑

= 0, tada (2.17)

m(d 2 r/dt 2) = - (dm/dt)(dr/dt).

Nuo sistemos pagreičio

d 2 r/dt 2 = dv/dt,

kur v yra sistemos greitis, tada (2.17) lygtis, atsižvelgiant į (2.15) lygtį, bus

m(dv/dt) = - (dm/dt)u. (2.18)

Padauginus lygtį (2.17) iš dt gauname

mdv = -udm, (2.19) y., žinant didžiausią dalelių atskyrimo greitį u = u O, kurį laikome pastoviu, galime nustatyti iš pradinių m O ir galutinių masių m santykio. galutinis greitis

sistemos v (2.20)

m O /m = e v/uo . (2.21)

Lygtis (2.21) yra Ciolkovskio lygtis.

§3. Išcentrinės inercijos jėgos cirkuliuojančios terpės kontūras.

Panagrinėkime terpės cirkuliaciją išilgai toro (3.1 pav.), kurio vidutinis spindulys R, judančiu kampiniu greičiu ω centro O atžvilgiu. . Išcentrinės jėgos, veikiančios taškinį srauto elementą, kurio masė ∆m, modulis bus lygus

∆ F= ∆m ω 2 R.

Bet kurioje žiedo dalyje identiški elementai išcentrinė jėga bus tokio paties dydžio ir nukreipta radialiai nuo centro, ištempdama žiedą. Išcentrinė jėga nepriklauso nuo sukimosi krypties.

Ryžiai. 3.1.

Dabar apskaičiuokime bendrą išcentrinę jėgą, veikiančią statmenai viršutinio puslankio skersmeniui (3.2 pav.). Akivaizdu, kad kryptimi nuo skersmens vidurio statmena projekcija jėga bus didžiausia, palaipsniui mažėjanti link puslankio kraštų, dėl kreivės simetrijos vidurio linijos atžvilgiu. Be to, lygiagrečiai skersmeniui veikiančių išcentrinių jėgų projekcijų rezultatas bus lygus nuliui, nes jos yra lygios ir priešingos kryptimi.

Ryžiai. 3.2.

Užrašykime elementariąją išcentrinės jėgos, veikiančios taškinę atkarpą, turinčią masę, funkciją ∆ m ir ilgis ∆ ℓ:

∆ F= ∆ m ω 2 R. (3.1)

Taškinio elemento masė lygi srauto tankiui, padaugintam iš jo tūrio

∆ m=ρ ∆ V. (3.2)

Pusės toro ilgis išilgai vidurinės linijos

kur π yra skaičius pi.

Pusės toro tūris

V = π 2 Rr 2 = πR π r 2 = ℓ π r 2 ,

kur r yra toro vamzdžio spindulys.

Elementariam tomui rašome

∆ V= ∆ ℓ π r 2 .

Yra žinoma, kad ratui

∆ ℓ = R ∆ Ψ,

∆ V = π r 2 R ∆ Ψ. (3.3)

Pakeitę išraišką (3.3) į (3.2), gauname:

∆ m = ρ π r 2 R ∆ Ψ. (3.4)

Dabar pakeiskime (3.4) į (3.1), tada

∆ F= ρ π r 2 ω 2 R 2 ∆ Ψ.

Veikianti išcentrinė jėga statmena kryptis(2 pav.)

∆ F┴ = ∆ Fcos((π/2)- Ψ).

Žinoma, kad cos((π/2)- Ψ)=sin Ψ, tada

∆ F┴ = ∆ F sin Ψ.

Pakeiskime vertę ∆ F gauname

∆ F┴ = ρ π r 2 ω 2 R 2 sin Ψ ∆ Ψ.

Raskime bendrą išcentrinę jėgą, veikiančią statmena kryptimi intervale nuo 0 iki Ψ

F ┴ = ∫ ρ π r 2 ω 2 R 2 sin ΨdΨ.

Integruokime šią išraišką, tada gausime

F ┴ = - ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.5)

Tarkime, kad cirkuliuojančios terpės pagreitis w yra dešimt kartų didesnis pagreitis sistema w c, tai yra

Šiuo atveju pagal (2.5) formulę gauname

Apskaičiuokime inercinių jėgų veikimo kampą radianais

Ψ ≈ 0,467 π,

kuris atitinka 84 laipsnių kampą.

Taigi inercijos jėgų veikimo kampinis diapazonas yra

0 £ Ψ £ 84° kairėje kontūro pusėje ir simetriškai 96° £ Ψ £ 180° dešinėje kontūro pusėje. Tai yra, nebuvimo intervalas aktyvios jėgos inercija visoje grandinėje yra apie 6,7% (realiai cirkuliuojančios terpės pagreitis yra daug didesnis nei sistemos pagreitis, todėl veikiančių inercijos jėgų nebuvimo intervalas bus mažesnis nei 1% ir gali būti ignoruojamas). Norint nustatyti bendrą išcentrinę jėgą šiuose kampų intervaluose, pakanka pirmąjį intervalą pakeisti formule (3.5) ir dėl simetrijos padauginti iš 2 gauname

F ┴ = - 2ρ π r 2 ω 2 R 2 cosΨ│. (3.6)

Atlikę paprastus skaičiavimus gauname

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 ω 2 R 2 .

Yra žinoma, kad kampinis greitis

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 v 2 .

Kadangi cirkuliuojanti terpė turi judėti su pagreičiu, kad veiktų inercinė jėga, linijinį greitį išreikšime pagreičiu, darydami prielaidą, kad pradinis greitis lygus nuliui

F ┴ = 1,8 ρ π r 2 (w t) 2 . (3.8)

Vidutinė vertė teigiamo pagreičio metu, kurią laikome pastovia, bus

F ┴CP = ((1,8ρ π r 2 w 2)/t) ∫t 2 dt.

Po skaičiavimų gauname

F ┴SR = 0,6ρ π r 2 w 2 t 2 . (3.9).

Taip buvo nustatytas cirkuliuojančios terpės kontūras, iš kurio galima suformuoti uždarą grandinę ir susumuoti jų išcentrines jėgas.

Padarykime uždarą keturių skirtingų sekcijų kontūrų grandinę (3.3 pav.): du viršutiniai R spindulio kontūrai, atkarpa S, ir du apatiniai spindulio kontūrai R1, atkarpa S1, nepaisydami briaunų efektų, kai cirkuliuojanti terpė pereina iš vienos sekcijos į kitas. Tegul S< S 1 и радиус

R 1< R. Плотность циркулирующей среды одинакова. Тогда согласно уравнению неразрывности отношение скоростей потока в разных сечениях обратно пропорционально их сечениям, то есть

v/v 1 = S 1 / S = r 1 2 /r 2, (3.10)

čia r 1 ir r yra atitinkamos sekcijos cirkuliuojančios terpės srauto spinduliai.

Be to, užrašykite akivaizdų greičių ir pagreičių ryšį

v/v 1 = w/w 1. (3.11)

Raskime apatinio kontūro terpės pagreitį, naudodami (3.10) ir (3.11) lygtis skaičiavimams

w 1 = w r 2 / r 1 2 . (3.12)

Dabar pagal (3.9) lygtį nustatome apatinio kontūro išcentrinę jėgą, atsižvelgdami į (3.12) lygtį ir atlikę skaičiavimus gauname

F ┴CP1 = 0,6 ρ π r 1 2 w 1 2 = 0,6 ρ π r 2 w 2 t 2 (r 2 / r 1 2) = F ┴CP (r 2 / r 1 2) (3,13)

Lyginant viršutinio kontūro (3.9) ir apatinio kontūro (3.13) išcentrinės jėgos išraišką, išplaukia, kad jos skiriasi dydžiu (r 2 / r 1 2).

Tai yra, kai r< r 1 центробежная сила верхнего контура больше, чем нижнего.

Ryžiai. 3.3.

Išcentrinių jėgų, veikiančių du kontūrus viršutinėje pusplokštumoje (viršutinės ir apatinės pusės plokštumos riba pažymėta plona linija), atstumas nukreiptas priešingai nei išcentrinių jėgų, veikiančių du kontūrus apatinėje pusėje. - lėktuvas. Akivaizdu, kad bendra F C išcentrinė jėga veiks ta kryptimi, kaip parodyta 3.3 paveiksle, laikykime šią kryptį teigiama. Apskaičiuokime bendrą išcentrinę jėgą F

F C = 2 F ┴SR - 2F ┴SR1 = 1,2ρ π r 2 w 2 t 2 (1- (r 2 / r 1 2)) (3,14)

Kaip matome, bendra išcentrinė jėga priklauso nuo srauto tankio, priešingų kontūrų skerspjūvių ir srauto pagreičio. Bendra išcentrinė jėga nepriklauso nuo kontūrų spindulio. Sistemoje, kurioje cirkuliuojanti terpė juda tolygiai arba lėtėja išilgai perimetro, išcentrinė jėga nesukels laipsniško pagreitinto sistemos judėjimo.

Taip buvo nustatytas pagrindinis cirkuliuojančios terpės kontūras ir galimybė panaudoti skirtingų sekcijų cirkuliuojančios terpės kontūrus tam tikra kryptimi išcentrinei jėgai sumuoti ir bendram veikiamos uždaros kūnų sistemos impulsui pakeisti. parodyta vidinių jėgų sukeliamų išorinių inercinių jėgų.

Tegul r = 0,025 m; r 1 = 0,05 m; ρ = 1000 kg/m 3; w = 5 m/s 2, t = 1s, tada teigiamo pagreičio metu vidutinė vertė bendroji išcentrinė jėga F C.≈ 44N.

§4. Koriolio inercinės jėgos cirkuliuojančios terpės kontūras.

Yra žinoma, kad Koriolio inercinė jėga atsiranda, kai m masės kūnas sukasi apskritime ir kartu juda radialiai ir yra statmenas kampiniam greičiui. ω ir radialinio judėjimo greitį v. Koriolio jėgos kryptis F sutampa su kryptimi vektorinis produktas formulėje F= 2m[ vw].

Ryžiai. 4.1.

4.1 paveiksle parodyta Koriolio jėgos kryptis, kai kūnas sukasi apskritimu prieš laikrodžio rodyklę ir juda radialiai link apskritimo centro per pirmą pusę ciklo. ir 4.2 pav. parodyta Koriolio jėgos kryptis, kai kūnas sukasi apskritime, taip pat prieš laikrodžio rodyklę, ir radialiai juda iš apskritimo centro per antrąjį pusciklą.

Ryžiai. 4.2.

Sujungkime kairę kūno judesio dalį 4.1 pav. ir dešinę 4.2 pav. tada gauname pav. 4.3 kūno judėjimo trajektorijos per laikotarpį variantas.

Ryžiai. 4.3.

Panagrinėkime cirkuliuojančios terpės (skysčio) judėjimą vamzdžiais, išlenktais pagal trajektoriją. Kairiosios ir dešiniosios kreivių Koriolio jėgos veikia 180 laipsnių kampu radialine kryptimi, kai juda iš taško B į tašką O atitinkamai į kairę ir į dešinę, atsižvelgiant į kairiosios Koriolio jėgos komponentus ir dešinės kreivės F|

| lygiagrečios tiesei AC kompensuoja viena kitą, nes jos yra identiškos, priešingos krypties ir simetriškos X ašies atžvilgiu Kairiosios ir dešiniosios kreivės F^, statmenos tiesei AC, simetriški komponentai sumuojasi, nes. jie nukreipti ta pačia kryptimi. Apskaičiuokime Koriolio jėgos, veikiančios išilgai X ašies kairėje trajektorijos pusėje, dydį. Kadangi sudarant trajektorijos lygtį parodo

sunki užduotis

, tada ieškome sprendimo, kaip apytiksliu metodu rasti Koriolio jėgą. Tegul v yra pastovus visoje trajektorijoje skysčio greitis. Radialinis greitis v r ir tiesinis sukimosi greitis v l pagal greičio lygiagretainio teoremą išreiškiame (3 pav.) per greitį v ir kampą α

v r = v cosα, v l = v sinα.

Judėjimo trajektorija (4.3 pav.) sudaryta atsižvelgiant į tai, kad taške B radialinis greitis v r lygus nuliui, o tiesinis greitis v l lygus v. Apskritimo O centre, kurio spindulys Ro, radialinis greitis v p lygus v, o tiesinis greitis v l lygus nuliui, o liestinės trajektorija apskritimo centre yra statmena liestinės trajektorijai pradžioje (B taškas). Spindulys monotoniškai mažėja nuo Ro iki nulio. Kampas α keičiasi nuo 90° taške B iki 0° apskritimo centre. Tada iš grafinių konstrukcijų pasirenkame trajektorijos ilgį 1/4 apskritimo ilgio spinduliu R 0. Dabar galite apskaičiuoti skysčio masę naudodami toro tūrio formulę. Tai reiškia, kad cirkuliuojančios terpės masė bus lygi 1/4 toro masės, kurio vidutinis spindulys R 0 ir vamzdžio vidinis spindulys r

m = ρπ 2 r 2 R 0 /2, (4.1)

kur ρ yra skysčio tankis.

Koriolio jėgos projekcijos modulis kiekviename trajektorijos taške į X ašį randamas pagal formulę

F^ = 2m v р ср ω ср cos b , (4.2)

v р ср = 1 / (0 - π/2) ∫ v cos α dα = 2 v / π. (4.3)

Vidutinis kampinis greitis bus lygus

ω av = (1/ ((v π /2Rо) - v Ro))) ∫ ω dω = (v /2Rо) ((π /2.) +1). (4.4)

Apatinė integralo kampinio greičio riba (4.4) formulėje nustatoma in pradžios taškas B. Akivaizdu, kad tai lygu v / Ro. Viršutinė integralo reikšmė apibrėžiama kaip santykio riba

ℓim (v l /R) = ℓim (v sinα /R), (4.5)

v l ® 0 α ® 0

R® 0 R® 0

kur R yra srovės spindulys.

Naudokime gerai žinomą kelių kintamųjų funkcijų ribų nustatymo metodą: funkcija vsinα /R taške (R = 0, α = 0) bet kurioje tiesėje R = kα. kilmė turi ribą. Šiuo atveju nėra ribos, bet yra riba tam tikrai linijai. Raskime koeficientą k tiesės, einančios per pradžią, lygtyje.

Esant α = 0 ® R= 0, kai α = π /2 ® R= Ro (3 pav.), vadinasi, = 2Ro/π, tada formulė (5) paverčiama forma, apimančia pirmąją reikšmingą ribą

ℓim (v π sinα /2Ro α) = (v π/2Ro) ℓim sinα/α = v π/2Ro. (4.6)

α® 0 α® 0

Dabar gautą reikšmę iš (4.1), (4.3) ir (4.4) formulių pakeičiame į (4.2) ir gauname

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) cos b .

Raskime Koriolio jėgos projekcijų sumą intervale (-90° £ b £ 90° ) kairiajai kreivei.

90°

F^ = ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1) ∫ cos b db = 2 ρ π r 2 v 2 ((π /2.) +1).

90°

Galutinė Koriolio jėgos projekcijų suma kairėje ir dešinėje kreiviuose

∑F^ = 4ρ r 2 v 2 ((π /2.) +1). (4.7)

Pagal santykį (3.7) perrašome (4.7) lygtį į formą

∑F^ = 4ρ r 2 (w t) 2 ((π /2.) +1). (4.8)

Apskaičiuokime vidutinę Koriolio jėgos vertę laikui bėgant, darydami prielaidą, kad pagreitis yra pastovus

Fк = ∑F^ ср = 4ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1) / t) ∫t 2 dt.

Po skaičiavimų gauname

Fк ≈ 1,3ρ r 2 w 2 ((π /2.) +1)t 2 . (4.9)

Tegul r = 0,02m; w = 5m/s2; ρ = 1000kg/m3; t = 1c, tada bendra vidutinė Koriolio inercinė jėga teigiamo cirkuliuojančios terpės pagreičio metu bus Fк ≈ 33N.

Apskritimo centre trajektorijoje yra linksnis (4.3 pav.), kurį, norint supaprastinti skaičiavimus, galima interpretuoti kaip mažo spindulio puslankį. Aiškumo dėlei trajektoriją padalinkime į dvi dalis ir į apatinę dalį įterpkime puslankį ir viršutinė dalis tiesia linija, kaip parodyta 4.4 pav., ir nukreipti cirkuliuojančią terpę per vamzdį, kurio spindulys yra r, išlenktą pagal trajektorijos formą.

Ryžiai. 4.4.

Formulėje (3.5) nustatome kampą Ψ = 180°, tada bendrą išcentrinę jėgą Fc, veikiančią statmena cirkuliuojančios terpės grandinei

Fts = 2 ρπ r 2 v 2 . (4.10)

Taigi, išcentrinė jėga nepriklauso nuo spindulio R, o priklauso tik nuo integravimo kampo (žr. (3.5) formulę) esant pastoviam srauto tankiui ρ, spinduliui r ir cirkuliuojančios terpės greičiui v kiekviename taške. trajektorija. Kadangi spindulys R gali būti bet koks, galime daryti išvadą, kad bet kuriai išgaubtai kreivei, kurios briaunos statmenos tiesei AOB (3.2 pav.), išcentrinė jėga bus nustatyta išraiška (4.10). Reikėtų pažymėti, kad kiekviena išgaubtos kreivės briauna gali būti statmena savo linijai, kuri yra lygiagreti ir nėra toje pačioje tiesėje.

Išcentrinių jėgų, veikiančių prieš X ašies kryptį, projekcijų suma (4 pav.), atsirandančių puslankiu ir dviejose išgaubtos kreivės pusėse (tiesė neprisideda prie išcentrinės jėgos), virš trūkinės linijos ir projekcijos, veikiančios išilgai X ašies, atsirandančios dviejose išgaubtose kreivėse po trūkine linija, yra kompensuojamos, nes jos yra vienodos ir nukreiptos priešingomis kryptimis. Taigi. išcentrinė jėga neprisideda prie judėjimo į priekį.

§5. Kietojo kūno sukimosi sistemos. Išcentrinės inercijos jėgos.

1. Savojo strypų kampinio greičio vektorius yra statmenas strypo masės centro kampinio greičio vektoriui ir strypų bendrosios sukimosi ašies spinduliui.

Transliacinio judėjimo energija gali būti paversta energija sukamasis judėjimas ir atvirkščiai. Apsvarstykite porą priešingų ℓ ilgio strypų su vienodos masės taškiniais svoriais galuose, tolygiai besisukančių aplink savo masės centrą ir aplink bendras centras Apie spindulį R su kampinis greitis ω (5.1 pav.): pusė strypo apsisukimo vienu apsisukimu aplink bendrą ašį. Tegul R³ ℓ/2. Norint išsamiai aprašyti procesą, pakanka atsižvelgti į sukimąsi kampų diapazone 0£ α £ π/2. Išdėstykime jėgas, veikiančias lygiagrečiai X ašiai, einančias per bendrą centrą O, ir strypų padėtį kampuα = 45 laipsniai, X ašies ir bendrosios sukimosi ašies plokštumoje, kaip parodyta 5.1 paveiksle.

Ryžiai. 5.1.

Kampas α yra susijęs su dažniu ω ir laiku t pagal ryšį

α = ωt/2, (5.1.1)

kadangi per vieną apsisukimą aplink bendrą ašį įvyksta pusė strypo apsisukimo. Akivaizdu, kad išcentrinės jėgos inercija Nuo centro nutolusių krovinių bus daugiau nei šalia esančių. Išcentrinių jėgų projekcijos inercija X ašyje bus

Ft1 = mω 2 (R – (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.2)

Ft2 = mω 2 (R + (ℓ/2) cos α) sin 2α (5.1.3)

Ft3 = - mω 2 (R + (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.4)

Ft4 = – mω 2 (R – (ℓ/2) sin α) sin 2α (5.1.5)

Užrašykime išcentrinės jėgos skirtumą inercija , veikiantis nuotoliniu būdu. Išcentrinės jėgos skirtumas inercija antrajai apkrovai

Ft2-1 = mω 2 ℓ cosα sin2α. (5.1.6)

Išcentrinės jėgos skirtumas inercija trečiajai apkrovai

Ft3-4 = - mω 2 ℓ sinα sin2α. (5.1.7)

Vidutinė išcentrinių jėgų skirtumo reikšmė inercija už pusę apsisukimo tai bus

Fav ц2-1 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ cosα sin2αdα = 4mω 2 ℓ/3 π » 0,4 mω 2 ℓ, (5.1.8)

Fav c3-4 = (1/(π/2))∫mω 2 ℓ sinα sin2αdα = -4mω 2 ℓ/3 π » -0,4mω 2 ℓ. (5.1.9)

Gavome dvi priešingas ir vienodo dydžio išcentrines jėgas inercija, kurios yra išorinės. Todėl jie gali būti pavaizduoti kaip du identiški kūnai begalybėje (neįtraukti į sistemą), vienu metu sąveikaujantys su sistema: antroji apkrova traukia sistemą link pirmojo kūno, o trečioji apkrova stumia sistemą toliau nuo antrojo kūno.

Vidutinė priverstinio poveikio sistemai jėgos vertė per pusę apsisukimo išilgai X ašies yra lygi traukos jėgų Fav c2-1 ir atstūmimo Fav c3-4 iš išorinių kūnų sumai.

Fп = | Mėgstamiausias c2-1 | + | Mėgstamiausias c3-4 | = 0,8 mω 2 ℓ. (5.1.10)

Dviejų strypų sistemos, esančios vertikalioje plokštumoje, sukimo momentui eliminuoti (5.2 pav.), reikia naudoti kitą priešingų strypų porą, sinchroniškai besisukančių toje pačioje plokštumoje priešinga kryptimi.

Ryžiai. 5.2.

Kad pašalintume sistemos sukimo momentą išilgai bendros ašies su centru O, naudojame tą pačią keturių strypų porą, bet besisukančių priešinga kryptimi bendros ašies atžvilgiu (5.3 pav.).

Ryžiai. 5.3.

Galiausiai keturių porų besisukančių strypų sistemai (5.3 pav.) traukos jėga bus

Ft = 4Fp = 3,2 mω 2 ℓ. (5.1.11)

Tegul m = 0,1 kg; ω =2 πf, kur f = 10 aps./s.; ℓ = 0,5 m, tada Ft ≈ 632 N.

2. Savojo strypų kampinio greičio vektorius yra statmenas strypo masės centro kampinio greičio vektoriui ir lygiagretus strypų bendrosios sukimosi ašies spinduliui.

Panagrinėkime porą priešingų strypų, statmenų vienas kitam, ilgio ℓ su vienodos masės taškinėmis apkrovomis galuose, tolygiai besisukančių aplink savo masės centrą ir aplink bendrą centrą O, kurio spindulys R. kampinis greitis ω (5.4 pav.): pusė strypo apsisukimo vienam apsisukimui aplink bendrą ašį.

Ryžiai. 5.4.

Skaičiavimui pasirenkame tik m1 ir m2, nes m3 ir m4 sprendimas yra panašus. Nustatykime apkrovų kampinius greičius bendro centro O atžvilgiu. Apkrovų tiesinio greičio, palyginti su savo masės centru, projekcijų moduliai, lygiagrečiai sukimosi plokštumai bendro centro O atžvilgiu, bus ( 5.5 pav.)

v1 = v2 = (ωℓ/4) sin (Ψ/2), (5.2.1)

kur Ψ = ωt.

Pagal absoliučią vertę parinksime šių greičių liestinės projekcijas statmenai spinduliams r1 ir r2 atitinkamai santykyje su centru O gauname

v1R = v2R = (ωℓ/4) nuodėmė ( Ψ /2) cosb, (5.2.2)

cosb= R /r1 = R /r2 =R/Ö (R 2 + (ℓ 2 /4) cos 2 (Ψ /2)), (5.2.3)

R – atstumas nuo centro O iki krovinių masės centro, r1, r2 – atstumas nuo krovinių iki centro O, o r1 = r2.

Ryžiai. 5.5.

Apkrovų tiesinio greičio bendro centro O atžvilgiu moduliai, neatsižvelgiant į jų linijinį greitį, palyginti su jų pačių masės centru, bus

vR1 = ω r1, (5.2.4)

vR2 = ω r2. (5.2.5)

Raskime kiekvienos apkrovos bendrą kampinį greitį, palyginti su bendrąja sukimosi ašimi, atsižvelgdami į tai, kad tiesiniai greičiai pirmajai apkrovai yra priešingomis kryptimis, o antrosios – vienodi, tada

ω 1 = (vR1 - v1R)/r1 = ω [ 1– (ℓR sin (Ψ/2)) / 4 (R 2 + (ℓ 2 /4) cos 2 (Ψ/2)) ] , (5.2.6)

ω 2 = (vR2 + v2R)/r2 = ω [ 1+ (ℓR] . (5.2.7)

Atitinkamai, išcentrinės jėgos bus

F 1 = mω 1 2 r1

F 2 = mω 2 2 r2

Arba išsamiai

F 1 = mω 2 [ (1– (ℓR sin(Ψ/2))/4(R2 +(ℓ 2/4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 + (ℓ 2 /4) cos 2 (Ψ/2)), (5.2.8)

F 2 = mω 2 [ (1+ (ℓR sin(Ψ/2))/4(R2 +(ℓ 2/4)cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (R 2 + (ℓ 2 /4) cos 2 (Ψ/2)). (5.2.9)

Apsvarstykime variantą, kada ℓ = 4R. Šiuo atveju, kadaΨ=180° kampinis pirmosios apkrovos dažnis ω 1 = 0 ir ji nekeičia krypties, antroji apkrova turi ω 2 = 2ω (5.6 pav.).

Ryžiai. 5.6.

Pereikime prie išcentrinių jėgų X ašies kryptimi nustatymo, kai ℓ= 4R

F 1 = mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)– sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)), (5.2.10)

F 2 = mω 2 R [ (1+ 4cos 2 (Ψ/2)+ sin(Ψ/2))/(1+4cos 2 (Ψ/2)) ] 2 Ö (1 + 4cos 2 (Ψ/2)). (5.2.11)

Reikėtų pažymėti, kad didėjant kampuiΨ nuo 0 iki 180 ° taškeΨ = b = 60 ° išcentrinės jėgos projekcija F 2 keičia ženklą iš neigiamo į teigiamą.

Pirma, mes pridedame vidutines projekcijos į X ašį pirmosios apkrovos išcentrinės jėgos reikšmes ir vidutinę antrosios projekcijos vertę kampo intervale

0 £ Ψ 60 svarų° , atsižvelgiant į ženklus, nes jie yra priešingos krypties

F CP 1-2 = (1/(π /3))∫ (F 1 sin( b+Ψ) - F 2 sin( b-Ψ))dΨ ≈ 0,6 mω 2 R, (5.2.12)

Kur b = arccos(1/ Ö (1 +4 cos 2 (Ψ /2))) nustatoma pagal (5.2.3) formulę.

Išcentrinė jėga F CP 1-2 formulėje (5.2.12) yra teigiamas, tai yra, nukreiptas išilgai X ašies. Dabar pridėkime vienodai nukreiptą vidutinę projekcijos į X ašį pirmosios apkrovos išcentrinės jėgos vertę ir vidutinę antrosios projekcijos vertę kampo intervale 60° £ Ψ £180°

F CP 1+2 = (1/(π-(π/3)))∫(F 1 sin(Ψ + b)+ F 2 sin(Ψ- b))dΨ ≈ 1,8 mω 2 R, (5.2.13)

Vidutinė reikšmė intervale 0° £ Ψ £180° aišku, kad bus

F CP = (F CP 1-2 + 2F CP 1+2)/3 ≈ 1,4 mω 2 R. (5.2.14)

M3 ir m4 vidutinė išcentrinės jėgos projekcijos į X ašį vertė bus tokia pati, bet veiks priešinga kryptimi.

F T = 4 F CP = 5,6 mω 2 R. (5.2.15)

Tegul m = 0,1 kg; ω =2 πf, kur f = 10 aps./s.; ℓ = 4R, kur R = 0,1 m, tada F T ≈ 220N.

3. Pats strypų kampinio greičio vektorius yra lygiagretus ir identiškai nukreiptas su strypo masės centro, besisukančio apie bendrą ašį, kampinio greičio vektoriumi.

Panagrinėkime porą priešingų strypų, gulinčių ℓ ilgio vandens plokštumoje su vienodos masės taškinėmis apkrovomis galuose, tolygiai besisukančių aplink savo masės centrą ir aplink bendrą centrą O, kurio spindulys R. kampinis greitis ω (5.7 pav.): pusė strypo apsisukimo vienam apsisukimui aplink bendrą ašį.

Ryžiai. 5.7.

Panašiai kaip ir ankstesniu atveju, skaičiavimui pasirenkame tik m1 ir m2, nes m3 ir m4 sprendimas yra panašus. Apytikslis įvertinimas mes sukursime veikiančias inercines jėgas esant ℓ = 2R, naudodami vidutines kampinio greičio reikšmes centro O atžvilgiu, taip pat vidutines atstumo nuo apkrovų iki centro O vertes. Akivaizdu, kad kampinis pirmosios apkrovos greitis pradžioje bus 1,5ω, antrosios – 0,5ω, o po pusės apsisukimo abu turi ω. Atstumas nuo pirmojo svarelio iki centro O pradžioje yra 2R nuo antrojo svarelio 0, o po pusės apsisukimo nuo kiekvieno RÖ 2.

Ryžiai. 5.8.

Be to, intervale 0° £ Ψ £36° (5.8 pav.) išcentrinės jėgos sumuojasi X ašies kryptimi, intervale 36° £ Ψ £72° (5.8 pav., 5.9 pav.) antrojo jėga atimama iš pirmojo kūno jėgos ir jų skirtumas veikia išilgai X ašies, intervale 72° £ Ψ £90° (5.9 pav.) jėgos sumuojasi ir veikia priešingai nei X ašis.

Ryžiai. 5.9.

Nustatykime vidutines kampinio greičio ir apkrovų spindulių vertes per pusę apsisukimo.

Vidutinis pirmosios apkrovos kampinis greitis

ω CP 1 = (ω + 0,5ω + ω) / 2 = 1,25ω. (5.3.1)

Antrosios apkrovos vidutinis kampinis greitis

ω CP 2 = (ω – 0,5ω + ω)/2 = 0,75ω. (5.3.2)

Vidutinis pirmosios apkrovos spindulys

R CP 1 = (2R + R Ö 2)/2 = R(2 + Ö 2)/2.(5.3.3)

Vidutinis antrosios apkrovos spindulys

R CP 2 =(0 + R Ö 2)/2 = (RÖ 2)/2.(5.3.4)

Pirmąją apkrovą veikiančios išcentrinės jėgos projekcija X ašies kryptimi bus

F 1 = mω 2 SR 1 R SR 1 cos(Ψ /2)sin2Ψ » 2,67mω 2 R cos(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.5)

Antrąją apkrovą veikiančios išcentrinės jėgos projekcija X ašies kryptimi bus

F 2 = mω 2 SR 2 R SR 2 sin(Ψ /2)sin2Ψ » 0,4mω 2 R sin(Ψ /2)sin2Ψ. (5.3.6)

° £ Ψ £36° bus

0,2π

F CP 1 + 2 = (1/0,2 π) ∫ (F 1 + F 2) dΨ » 1,47 mω 2 R. (5.3.7)

Vidutinė skirtumo tarp pirmosios ir antrosios apkrovos išcentrinių jėgų projekcijų vertė intervale 36° £ Ψ £72° bus

0,4π

F CP 1–2 = (1/0,2 π) ∫(F 1 – F 2) dΨ » 1,95 mω 2 R. (5.3.8)

0,2π

Vidutinė pirmosios ir antrosios apkrovos išcentrinių jėgų projekcijų sumos vertė intervale 72° £ Ψ £90° bus

0,5π

F CP- (1 + 2) = - (1/0,1 π) ∫(F 1 + F 2)dΨ » -3,72 mω 2 R. (5.3.9)

0,4π

Vidutinė pirmosios ir antrosios apkrovos išcentrinių jėgų projekcijų sumos vertė intervale 0° £ Ψ £90° bus

F CP = (2F CP 1 + 2 + 2F CP 1 – 2 + F CP- (1 + 2))/5 » 0,62 mω 2 R. (5.3.10)

Panašiai apskaičiuojama ir trečiosios ir ketvirtosios apkrovų išcentrinių jėgų projekcijų suma.

Norint pašalinti sukimo momentą, reikia naudoti kitą strypų porą, tačiau besisukančių priešinga kryptimi savo masės centro ir bendros sukimosi ašies atžvilgiu, tada galutinė traukos jėga bus

F T = 4F CP = 2,48 mω 2 R. (5.3.11)

Tegul m = 0,1 kg; ω =2 πf, kur f = 10 aps./s.; R = 0,25 m, tada F T ≈ 245N.

§6. Fazinė inercijos jėga.

Norėdami įgyvendinti inercijos fazinę jėgą kaip transliacinę jėgą, naudojame dviejų alkūnių keturių jungčių šarnyrinę jungtį, kad vienodą variklio sukimąsi paverstume netolygiu apkrovų sukimu pagal tam tikrą režimą, optimizuodami apkrovų judėjimo pobūdį. už efektyvus naudojimas inercijos jėgos ir atitinkamas pasirinkimas santykinė padėtis apkrovų, kompensuoti atvirkštinį impulsą

Keturių strypų šarnyrinė jungtis bus dvigubai sukama, jei atstumas nuo centro iki centro yra AG (6.1 pav.) bus mažesnis už bet kurios judančios grandies ilgį, o atstumo nuo centro iki centro ir didžiausios judančios grandies ilgio suma bus mažesnė už kitų dviejų grandžių ilgių sumą.

Ryžiai. 6.1.

VG jungtis (svirtis), ant kurios pritvirtinama m masės apkrova, yra varomas švaistiklis ant fiksuoto veleno G, o AB jungtis yra pirmaujanti. Link A yra variklio velenas. BV jungtis yra švaistiklis. Švaistiklio ir pavaros švaistiklio ilgių santykis parenkamas taip, kad pasiekus apkrovą kraštutinis taškas D tarp švaistiklio ir pavaros švaistiklio buvo stačiu kampu, kuris užtikrina maksimalus efektyvumas. Tada tolygiai sukant variklio veleną A varomuoju švaistikliu AB kampiniu greičiu w, švaistiklis BV perduoda judesį varomam švaistikliui VG, jį sulėtindamas. Taigi apkrova sulėtėja nuo taško E iki taško D išilgai viršutinio puslankio. Šiuo atveju inercinė jėga veikia krovinio judėjimo kryptimi. Panagrinėkime apkrovos judėjimą priešingu puslankiu (6.2 pav.), kur švaistiklis, tiesdamas, pagreitina apkrovą.

Ryžiai. 6.2.

Šiuo atveju inercinė jėga veikia prieš apkrovos judėjimo kryptį, sutampa su inercinės jėgos kryptimi pirmajame puslankiu. Integruota varomoji grandinė parodyta 6.3 pav.

Ryžiai. 6.3.

Varomieji švaistikliai AB ir A¢ B¢ yra standžiai sujungti tiesia linija ant variklio veleno, o varomieji švaistikliai (svirtys) sukasi vienas nuo kito ant nejudančio veleno. Viršutinės ir apatinės apkrovos inercijos jėgų išilginės sudedamosios dalys, nukreiptos nuo taško E iki taško D, sumuojasi, užtikrindamos judėjimą į priekį. Atvirkštinio impulso nėra, nes svoriai sukasi ta pačia kryptimi ir vidutiniškai yra simetriškai priešingi.

Įvertinkime efektyviąją fazės inercijos jėgą.

Tegu AB = BV = r, GV = R.

Tarkime, kad kraštutinėje dešinėje padėtyje kampas Ψ tarp spindulio R ir vidurio linija DE lygus 0° (6.4 pav.) ir

r + r – AG = R, (6 .1)

o taip pat kraštinėje kairėje padėtyje Ψ =180° (6.5 pav.) kampu

Р ABC = 90°. (6,2)

Tada, remiantis šiomis sąlygomis, nesunku nustatyti, ar prielaidos tenkinamos toliau nurodytoms reikšmėms

r = 2R/(2+Ö 2), (6.3)

AG = (3 - 2Ö 2)R. (6 .4)

Dabar nustatykime kampinius greičius kraštutinėje dešinėje ir kairėje padėtyse. Akivaizdu, kad teisingoje padėtyje AG ir GW kampiniai greičiai sutampa ir yra lygūs w.

Ryžiai. 6.4.

Kairėje padėtyje GW kampinis greitis w akivaizdžiai bus lygus

w GW = (180° / 225° )w . (6,5)

Kampinio greičio ∆w prieaugis per laiką ∆t = 225° /w = 5π/4w bus

∆w = w GW - w = - 0,2w. (6,6)

Leiskite kampinis pagreitis tada bus vienodai lėtas

dω/dt = ∆w /∆t = - 0,16w 2 / π. (6,7)

Fazinės inercijos jėgos (2.8) formulę naudokime skaliarine forma

F f = -m [(dω/dt)R] = 0,16 mw 2 R/ π. (6.8)

Ryžiai. 6.5.

Fazinės inercijos jėgos projekcija ED kryptimi bus

F fED = 0,16 mw 2 RsinΨ/π. (6.9)

Vidutinė fazinės inercijos jėgos projekcijos vertė per pusę ciklo

F CP = 0,16 mω 2 R/ π 2) ∫ sinΨdΨ = 0,32 mω 2 R/ π 2 . (6.10)

Dviejų apkrovų atveju (6.3 pav.) jėga padvigubėja. Norint pašalinti sukimo momentą, reikia pritaikyti kitą svarmenų porą, bet sukasi priešinga kryptimi. Galiausiai keturių krovinių traukos jėga bus

F T = 4F CP = 1,28 mω 2 R/ π 2. (6.11)

Tegul m = 0,1 kg; ω =2 πf, kur f = 10 aps./s.; R = 0,5 m, tada F T = 25,6 N.

§7. Giroskopas. Koriolis ir išcentrinė inercinė jėga.

Pasvarstykime svyruojantis judesys apkrova su mase m išilgai puslankio (7.1 pav.) spinduliu R su linijinis greitis v. Inercijos išcentrinė jėga Fc, veikianti m masės apkrovą, bus lygi m v 2 /R, nukreipta radialiai nuo centro O. Išcentrinės jėgos projekcija į X ašį bus lygi

F c׀׀ = (m v 2 /R) sin α.

(7.1) Krovinys turi judėti pagreičiu w v = wt, tada

F c׀׀ = (m w 2 t 2 /R) sin α, (7.2)

kur t yra laikas.

Ryžiai. 7.1.

Dėl apkrovos inercijos puslankio kraštuose atsiranda atvirkštinis impulsas, kuris neleidžia sistemai judėti į priekį X ašies kryptimi.

Yra žinoma, kad veikiamas giroskopo ašies kryptį keičiančios jėgos, Koriolio jėgos įtakoje jis precesuoja, ir šis judėjimas yra be inercijos. Tai yra, akimirksniu pritaikius jėgą, kuri keičia sukimosi ašies kryptį, giroskopas akimirksniu pradeda precesuoti ir lygiai taip pat akimirksniu sustoja, kai ši jėga išnyksta. Vietoj apkrovos naudojame giroskopą, besisukantį kampiniu greičiu ω. Dabar pritaikykime jėgą F, statmeną giroskopo sukimosi ašiai (7.2 pav.) ir paveikti ašį taip, kad laikiklis su giroskopu atliktų be inercijos svyruojantį judesį (priespaudus) tam tikrame sektoriuje (optimaliu atveju su galutinė vertėα = 180°). Momentinis laikiklio precesijos su giroskopu sustojimas ir jos atsinaujinimas priešinga kryptimi įvyksta, kai jėgos F kryptis pasikeičia į priešingą. Taigi, įvyksta svyruojantis, be inercijos laikiklio judėjimas su giroskopu, kuris pašalina atvirkštinį impulsą, kuris neleidžia judėti į priekį išilgai X ašies.

Ryžiai. 7.2.

Precesijos kampinis greitis

dα /dt = M / I Z ω, (7.3)

čia: M – jėgos momentas; I Z – giroskopo inercijos momentas; ω – giroskopo kampinis greitis.

Jėgos momentas (darant prielaidą, kad ℓ yra statmena F)

M = ℓ F, (7.4)

čia: ℓ – atstumas nuo jėgos F taikymo taško iki giroskopo inercijos centro; F – jėga, veikiama giroskopo ašyje.

Pakeitę (7.4) į (7.3), gauname

dα /dt = ℓ F / I Z ω, (7.5)

Dešinėje formulės (7.5) pusėje komponentai ℓ, I Z, Laikome ω konstanta, o jėga F, priklausomai nuo laiko t, kinta pagal gabalinį tiesinį dėsnį (7.3 pav.).

Ryžiai. 7.3.

Yra žinoma, kad linijinis greitis yra susijęs su kampiniu greičiu tokiu ryšiu

v = R(dα/dt). (7.6)

Diferencijuodami (7.6) formulę pagal laiką, gauname pagreitį

w = R (d 2 α / dt 2). (7.7)

Formulę (7.5) pakeitę formule (7.7) gauname

w = (R ℓ/IZω ) (dF/dt). (7.8)

Taigi pagreitis priklauso nuo jėgos F kitimo greičio, dėl kurios išcentrinė jėga yra veiksminga sistemos judėjimui į priekį.

Reikėtų pažymėti, kad esant dideliam kampiniam greičiui ω ir dα /dt<< ω , возникающий гироскопический момент уравновешивает момент силы F, поэтому движения в направлении воздействия этой силы не происходит .

Išcentrinės jėgos Fc ┴ statmenai projekcijai kompensuoti naudojame antrą panašų giroskopą, kuris sinchroniškai atlieka svyruojantį judesį antifazėje su pirmuoju giroskopu (7.4 pav.). Išcentrinės jėgos Fc ┴ projekcija prie antrojo giroskopo bus nukreipta priešinga projekcijai pirmajame. Akivaizdu, kad statmenos dedamosios Fc ┴ bus kompensuotos, o lygiagrečios dedamosios Fc׀׀ bus pridėtos.

Ryžiai. 7.4.

Jei giroskopų svyravimo sektorius yra ne didesnis kaip puslankis, tada priešinga išcentrinė jėga neatsiras, sumažinant išcentrinę jėgą X ašies kryptimi.

Norint pašalinti įrenginio sukimo momentą, atsirandantį dėl priverstinio giroskopo ašies sukimosi, reikia sumontuoti dar vieną porą tų pačių giroskopų, kurių ašys sukasi priešinga kryptimi. Poromis esančių laikiklių su giroskopais, kurių ašys sukasi viena kryptimi, virpesių judėjimo sektoriai turi būti nukreipti simetriškai viena kryptimi su laikiklių su giroskopais sektoriais, kurių ašys sukasi kita kryptimi (1 pav.). 7.5).

Ryžiai. 7.5.

Apskaičiuokime vidutinę išcentrinės jėgos projekcijos Fп׀׀ vienam giroskopui (7.2 pav.) ant laikiklio, svyruojančio puslankiu sektoriuje nuo 0 iki π, vertę ir pažymėkime Fп

Fп = (1/ π) ∫ (m w 2 t 2 / R) sin α dα = 2m w 2 t 2 / Rπ. (7,9)

Keturių giroskopų ant laikiklių vidutinė transliacijos jėgos Fп vertė kiekvienam pusciklui bus tokia:

Fп = 8 m w 2 t 2 / Rπ. (7.10)

Tegul laikiklio masė yra daug mažesnė už giroskopo masę, o giroskopo masė m = 1 kg. Pagreitis w = 5 m/s 2, o giroskopo pagreitis yra eilės tvarka didesnis už sistemos pagreitį, tuomet galime nekreipti dėmesio į nedidelį intervalą, kai centre neveikia išcentrinė jėga. Greičio didėjimo laikas t = 1s. Laikiklio spindulys (ilgis) R = 0,5 m. Tada pagal formulę (7.10) transliacijos jėga bus Fп = 8∙ 1∙ 5 2 ∙1 2 /0,5 π ≈ 127N.

Literatūra

1. Vygodsky M. Ya Aukštosios matematikos vadovas, 14 leid. – M.: Ursa Major LLC, APP „Dzhangar“, 2001, 864 p.

2. Sivukhin D.V. Bendrasis fizikos kursas. T.1. Mechanika. 5 leidimas, stereot. – M.: FIZMATLIT., 2010, 560 p.

3. Shipovas G.I. Fizinio vakuumo teorija. Teorija, eksperimentai ir technologijos. 2 leid., – M.: Nauka, 1996, 456 p.

4.Olkovskis I.I. Teorinės mechanikos kursas fizikams: Vadovėlis. 4 leidimas, ištrintas. – Sankt Peterburgas: leidykla „Lan“, 2009, 576 p.

5. Fizikos vadovas inžinieriams ir universiteto studentams / B.M. Yavorsky, A.A. Lebedev. – 8-asis leidimas, pataisytas. ir korr. – M.: Onyx Publishing House LLC, Mir and Education leidykla, 2008, 1056 p.

6. Khaikin S.E. Fiziniai mechanikos pagrindai, 2 leid., red. ir papildomas Studijų vadovas. Pagrindinė fizinės ir matematinės literatūros redakcija. M.: Nauka, 1971, 752 p.

7. Zorichas V.A. Matematinė analizė. 1 dalis. Red. 2-oji, rev. ir papildomas M.: FAZIS, 1997, 554 p.

8. Aleksandrovas N.V. ir Jaškinas A.Ya. Bendrosios fizikos kursas. Mechanika. Vadovėlis vadovas fizikos ir matematikos ištęstinių studijų studentams. fak. ped. Inst. M., „Švietimas“, 1978, 416 p.

9. Geronimus Ya L. Teorinė mechanika (esė apie pagrindinius principus): Naukos leidyklos fizinės ir matematinės literatūros pagrindinis leidimas, 1973, 512 p.

10. Teorinės mechanikos kursas: vadovėlis / A.A., V.M. Nikiforova. – 15 leid., ištrintas. – M.: KNORUS, 2010, 608 p.

11. Turyshev M.V. „Dėl uždarų sistemų judėjimo arba kokiomis sąlygomis neįvykdomas impulso išsaugojimo įstatymas“, „Gamtos ir technikos mokslai“, Nr. 3(29), 2007, ISSN 1684-2626.

12. Yzerman M.A. Klasikinė mechanika: vadovėlis. – 2-asis leidimas, pataisytas. – M.: Mokslas. Pagrindinė fizinės ir matematinės literatūros redakcija, 1980, 368 p.

13. Yavorsky V.M., Pinsky A.A. Fizikos pagrindai: vadovėlis. 2 tomuose T.1. Mechanika, molekulinė fizika. Elektrodinamika / Red. Yu.I.Dika. – 5 leid., stereot. – M.: FIZMATLIT. 2003. – 576 p.

14. Kittel Ch., Knight V., Ruderman M. Mechanika: Studijų vadovas: Trans. iš anglų kalbos/Red. A.I. Šalnikova ir A.S. – 3 leidimas, red. – M.: Mokslas. Pagrindinė fizinės ir matematinės literatūros redakcija. 1983. – (Berklio fizikos kursas, 1 tomas). – 448s.

15. Tolchin V.N., Inertsoidas, Inercinės jėgos kaip transliacinio judėjimo šaltinis. Permė. Permės knygų leidykla, 1977, 99 p.

16. Frolovas A.V. Sūkurinis variklis, „Nauja energija“, Nr. 3 (18), 2004, ISSN 1684-7288.

17.Bernikovas V.R. Kai kurios pasekmės iš pagrindinio mechanikos įstatymo „Aspirantų ir doktorantų mokslinių publikacijų žurnalas“, Nr. 5 (71), 2012, ISSN 1991-3087.

18.Bernikovas V.R. Inercinės jėgos ir pagreitis, „Mokslinė perspektyva“, Nr. 4, 2012, ISSN 2077-3153.

19.Bernikovas V.R. Inercinės jėgos ir jų taikymas, „Aspirantų ir doktorantų mokslinių publikacijų žurnalas“, Nr. 11 (65), 2011, ISSN 1991-3087.

Panagrinėkime vežimėlį su pritvirtintu laikikliu, prie kurio ant sriegio pakabintas rutulys (5.1 pav.). Kai vežimėlis yra ramybėje arba juda be pagreičio, sriegis yra vertikalus, o gravitacijos jėga m g yra subalansuotas sriegio reakcijos F r. Jei dabar vežimėlį įvesime į linijinį judėjimą su pagreičiu A = A, sriegis nukryps nuo vertikalės tokiu kampu, kad susidariusi jėga m g Ir F r,. davė kamuoliui pagreitį, lygų A in:

m A in =m g + F r. (5.6)

Atsižvelgiant į atskaitos rėmą, susietą su vežimėliu, rutulys yra ramybėje, nepaisant to, kad gaunama jėga m g Ir F r skiriasi nuo nulio. Rutulio pagreičio trūkumas šio atskaitos rėmo atžvilgiu gali būti formaliai paaiškinamas tuo, kad, be jėgų m g Ir F r iš viso lygus m A in , rutulį veikia inercinė jėga F in = –m A in. Galutiniu atveju gauname tą pačią (5.6) lygtį.

m a=m g + F r.+ F in =m g + F r. –m A in = 0, (5,7)

Ryžiai. 5.1. 5 pav. 2. 5.3 pav.

Inercinių jėgų įvedimas leidžia aprašyti kūnų judėjimą bet kuriose (ir inercinėse, ir neinercinėse) atskaitos sistemose naudojant tas pačias judėjimo lygtis.

Tačiau reikia suprasti, kad inercinės jėgos negali būti prilygintos jėgoms, kurias sukelia pagrindinės sąveikos, pavyzdžiui, gravitacinės ir elektromagnetinės jėgos arba tamprumo ir trinties jėgos. Visos šios jėgos atsiranda dėl kitų kūnų poveikio kūnui. Inercines jėgas lemia atskaitos sistemos, kurioje nagrinėjami mechaniniai reiškiniai, savybės.

Inercinių jėgų įvedimas iš esmės nėra būtinas. Iš esmės bet koks judėjimas visada gali būti vertinamas atsižvelgiant į inercinę atskaitos sistemą. Tačiau praktikoje dažnai domina kūnų judėjimas neinercinių atskaitos sistemų atžvilgiu, pavyzdžiui, žemės paviršiaus atžvilgiu. Inercinių jėgų naudojimas leidžia išspręsti atitinkamą problemą tiesiogiai, susijusią su tokia atskaitos sistema, kuri dažnai pasirodo daug paprastesnė nei judėjimo svarstymas inercinėje sistemoje.

Būdinga inercinių jėgų savybė yra jų proporcingumas kūno masei. Dėl šios savybės inercijos jėgos pasirodo panašios į gravitacijos jėgas. Įsivaizduokime, kad esame uždaroje kabinoje, nutolusioje nuo visų išorinių kūnų, kuri juda su pagreičiu g kryptimi, kurią kviesime „aukštyn“ (5.3 pav.). Tada visi kūnai, esantys salone, elgsis taip, lyg juos veiktų inercinė jėga F in = –m g. Visų pirma, spyruoklė, prie kurios galo pakabintas m masės kūnas, išsitemps taip, kad tamprumo jėga subalansuotų inercinę jėgą –m g. Tačiau tie patys reiškiniai būtų stebimi, jei kabina stovėtų ir būtų netoli Žemės paviršiaus. Neturint galimybės „pažvelgti“ už salono ribų, jokie eksperimentai salone neleistų nustatyti, kas sukelia jėgą –m g– pagreitintas kabinos judėjimas arba Žemės gravitacinio lauko veikimas. Tuo remdamiesi jie kalba apie inercijos ir gravitacijos jėgų lygiavertiškumą (vienodame gravitaciniame lauke). Šis lygiavertiškumas yra Einšteino bendrosios reliatyvumo teorijos (GTR) pagrindas.