Сэдвийг судалж байхдаа сургуулийн курсТа шийдвэрлэх арга барилыг эзэмшсэний үндсэн дээр тодорхой хэмжээний асуудлыг сонгож, оюутнууд аливаа асуудлыг түвшинд шийдвэрлэх боломжтой болно. програм хангамжийн шаардлагасудалж буй сэдвээр. Би сургуулийн математикийн хичээлийн бие даасан сэдвүүдийн харилцан хамаарлыг харах боломжийг танд олгох асуудлыг авч үзэхийг санал болгож байна. Тиймээс эмхэтгэсэн даалгаврын систем нь үр дүнтэй арга хэрэгсэлдавталт, ерөнхийлөлт, системчилэл боловсролын материалоюутнуудыг шалгалтанд бэлтгэх үед.

Шалгалтанд тэнцэх нь илүүц байх болно нэмэлт мэдээлэлгурвалжны зарим элементийн тухай. Гурвалжны медианы шинж чанарууд болон эдгээр шинж чанаруудыг ашиглаж болох асуудлыг шийдвэрлэхэд анхаарч үзье. Санал болгож буй ажлууд нь түвшний ялгааны зарчмыг хэрэгжүүлдэг. Бүх даалгавруудыг нөхцөлт байдлаар түвшинд хуваана (даалгавар бүрийн дараа түвшинг хаалтанд зааж өгсөн болно).

Гурвалжны медианы зарим шинж чанарыг эргэн санацгаая

Үл хөдлөх хөрөнгө 1. Гурвалжны медиан гэдгийг батал ABC, оройноос нь зурсан А, талуудын нийлбэрийн талаас бага ABТэгээд А.С..

Баталгаа

https://pandia.ru/text/80/187/images/image002_245.gif" alt="$\displaystyle (\frac(AB + AC)(2))$" width="90" height="60">.!}

Үл хөдлөх хөрөнгө 2. Медиан гурвалжинг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваана.

Баталгаа

ABC гурвалжны В оройноос BD медиан ба BE өндрийг зуръя..gif" alt="Area." width="82" height="46">!}

BD сегмент нь медиан тул

Q.E.D.

https://pandia.ru/text/80/187/images/image008_96.gif" alt="Median" align="left" width="196" height="75 src=">!} Үл хөдлөх хөрөнгө 4. Гурвалжны медианууд гурвалжинг 6 тэнцүү гурвалжинд хуваана.

Баталгаа

ABC гурвалжны медианууд хуваагдах зургаан гурвалжин тус бүрийн талбай ABC гурвалжны талбайтай тэнцүү болохыг баталцгаая. Үүнийг хийхийн тулд жишээлбэл, AOF гурвалжинг авч үзээд А оройноос BF шулуун руу перпендикуляр AK-ыг буулгана.

2-р өмчийн улмаас,

https://pandia.ru/text/80/187/images/image013_75.gif" alt="Median" align="left" width="105" height="132 src=">!}

Үл хөдлөх хөрөнгө 6. Дундаж зөв гурвалжин, оройноос нь зурсан зөв өнцөг, гипотенузын хагастай тэнцүү байна.

Баталгаа

https://pandia.ru/text/80/187/images/image015_62.gif" alt="Median" width="273" height="40 src="> что и требовалось доказать.!}

Үр дагавар:1. Тэгш өнцөгт гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв нь гипотенузын дунд байрладаг.

2. Гурвалжинд голч нь зурсан талын уртын хагастай тэнцүү бол энэ гурвалжин тэгш өнцөгт байна.

ДААЛГАВАР

Дараагийн асуудал бүрийг шийдвэрлэхдээ батлагдсан шинж чанаруудыг ашигладаг.

№1 Сэдвүүд: Медианыг хоёр дахин нэмэгдүүлэх. Хэцүү байдал: 2+

Параллелограммын тэмдэг, шинж чанар Анги: 8,9

Нөхцөл байдал

Медианы үргэлжлэл дээр А.М.гурвалжин ABCцэг тутамд Мсегментийг хойшлуулсан М.Д., тэнцүү А.М.. Дөрвөн өнцөгт гэдгийг батал ABDC- параллелограмм.

Шийдэл

Параллелограммын нэг тэмдгийг ашиглая. Дөрвөн өнцөгтийн диагональууд ABDCцэг дээр огтлолцоно Ммөн үүнийг хагасаар хуваана, тиймээс дөрвөлжин ABDC- параллелограмм.

1. Медиан гурвалжинг тэнцүү талбайтай хоёр гурвалжинд хуваана.

2. Гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог ба энэ нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваана. Энэ цэгийг нэрлэдэг хүндийн төвгурвалжин.

3. Гурвалжинг бүхэлд нь медиануудаараа тэнцүү зургаан гурвалжинд хуваана.

Гурвалжны биссектрисын шинж чанарууд

1. Өнцгийн биссектриса нь байршилэнэ өнцгийн талуудаас ижил зайд байгаа цэгүүд.

2. Гурвалжны дотоод өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг зэргэлдээх талуудтай пропорциональ хэрчмүүдэд хуваана: .

3. Гурвалжны биссектриссуудын огтлолцох цэг нь энэ гурвалжинд бичээстэй тойргийн төв юм.

Гурвалжингийн өндрийн шинж чанарууд

1. Тэгш өнцөгт гурвалжинд тэгш өнцөгтийн оройгоос татсан өндрийг анхны гурвалжинтай төстэй хоёр гурвалжинд хуваана.

2. Б хурц гурвалжинтүүний хоёр өндөр ижил төстэй таслагдсан гурвалжин.

Үл хөдлөх хөрөнгө перпендикуляр биссектрисгурвалжин

1. Хэсэгт перпендикуляр биссектрисын цэг бүр нь энэ хэрчмийн төгсгөлүүдээс ижил зайд байна. Эсрэг заалт нь бас үнэн юм: сегментийн төгсгөлөөс ижил зайд байгаа цэг бүр нь перпендикуляр биссектриса дээр байрладаг.

2. Гурвалжны хажуу тал руу татсан перпендикуляр биссектрисын огтлолцлын цэг нь энэ гурвалжны эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм.

Гурвалжингийн дунд шугамын шинж чанар

Гурвалжны дунд шугам нь түүний аль нэг талтай параллель бөгөөд энэ талын хагастай тэнцүү байна.

Гурвалжны ижил төстэй байдал

Хоёр гурвалжин төстэйдараах зүйлсийн аль нэг нь үнэн бол дараах нөхцөлүүд, дуудсан ижил төстэй шинж тэмдэг:

· нэг гурвалжны хоёр өнцөг нь нөгөө гурвалжны хоёр өнцөгтэй тэнцүү;

· нэг гурвалжны хоёр тал нь нөгөө гурвалжны хоёр талтай пропорциональ байх ба эдгээр талуудын үүсгэсэн өнцөг нь тэнцүү;

· Нэг гурвалжны гурван тал нь нөгөө гурвалжны гурван талтай тус тус пропорциональ байна.

IN ижил төстэй гурвалжинхаргалзах шугамууд (өндөр, медиан, биссектриса гэх мэт) пропорциональ байна.

Синусын теорем

Косинусын теорем

a 2= б 2+ в 2- 2МЭӨ cos

Гурвалжингийн талбайн томъёо

1. Чөлөөт гурвалжин

a, b, c -талууд; - талуудын хоорондох өнцөг аТэгээд б; - хагас периметр; R-хязгаарлагдмал тойргийн радиус; r-бичээстэй тойргийн радиус; S-дөрвөлжин; h a -зурсан өндөр тал а.

S = аа а

S = ab sin

С = pr

2. Зөв гурвалжин

а, б -хөл; в-гипотенуз; h c -хажуу тийш татсан өндөр в.

S = ch c S = ab

3. Тэгш талт гурвалжин

Дөрвөн өнцөгт

Параллелограммын шинж чанарууд

· эсрэг талууд тэнцүү;

· эсрэг өнцөг нь тэнцүү;

· диагональуудыг огтлолцох цэгээр хагасаар хуваасан;

· нэг талтай зэргэлдээх өнцгийн нийлбэр нь 180°;

Диагональуудын квадратуудын нийлбэр нь бүх талын квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

d 1 2 +d 2 2 =2(a 2 +b 2).

Дөрвөн өнцөгт нь параллелограмм юм, хэрэв:

1. Түүний эсрэг талын хоёр тал нь тэнцүү ба параллель байна.

2. Эсрэг талууд хосоороо тэнцүү байна.

3. Эсрэг өнцөгхосоороо тэнцүү.

4. Диагональууд нь огтлолцох цэгээр хагасаар хуваагдана.

Трапецын шинж чанарууд

· түүнийг дунд шугамсуурьтай зэрэгцээ, тэдгээрийн хагас нийлбэртэй тэнцүү;

· хэрэв трапецын тэгш өнцөгт байвал түүний диагональууд тэнцүү, суурийн өнцөг нь тэнцүү байна;

· Хэрэв трапецын тэгш өнцөгт хэлбэртэй бол түүнийг тойруулан тойрог дүрсэлж болно;

· Хэрэв суурийн нийлбэр нь талуудын нийлбэртэй тэнцүү бол түүнд тойрог бичиж болно.

Тэгш өнцөгтийн шинж чанарууд

Диагональууд тэнцүү байна.

Параллелограмм нь тэгш өнцөгт юм, хэрэв:

1. Түүний нэг өнцөг нь шулуун байна.

2. Түүний диагональууд тэнцүү байна.

Ромбын шинж чанарууд

· параллелограммын бүх шинж чанар;

Диагональ нь перпендикуляр;

Диагональууд нь түүний өнцгийн биссектрис юм.

1. Дараах тохиолдолд параллелограмм нь ромб мөн.

2. Үүний хоёр зэргэлдээ талуудтэнцүү байна.

3. Түүний диагональууд перпендикуляр байна.

4. Диагональуудын нэг нь түүний өнцгийн биссектрис юм.

Дөрвөлжингийн шинж чанарууд

· талбайн бүх өнцөг зөв;

· квадратын диагональууд нь тэнцүү, харилцан перпендикуляр, огтлолцох цэг нь квадратын булангуудыг хоёр хувааж, хоёр хуваана.

Тэгш өнцөгт нь ромбын шинж чанартай бол дөрвөлжин юм.

Үндсэн томъёо

1. Аливаа гүдгэр дөрвөн өнцөгт
г 1,d 2 -диагональ; - тэдгээрийн хоорондох өнцөг; S-дөрвөлжин.

S = d 1 г 2 нүгэл

Гурвалжин - гурван талтай олон өнцөгт, эсвэл хаалттай эвдэрсэн шугамгурван холбоостой, эсвэл нэг шулуун дээр хэвтдэггүй гурван цэгийг холбосон гурван сегментээс үүссэн дүрс (1-р зургийг үз).

Үндсэн элементүүд гурвалжин abc

Оргилууд - A, B, C цэгүүд;

Намууд – оройнуудыг холбосон a = BC, b = AC ба c = AB сегментүүд;

Өнцөг – α, β, γ гурван хос талаас үүссэн. Өнцөг нь ихэвчлэн оройнуудын адил A, B, C үсгээр тодорхойлогддог.

Гурвалжны хажуу талуудаас үүссэн, түүний дотоод талбайд хэвтэж буй өнцгийг дотоод өнцөг гэж нэрлэх ба түүнтэй зэргэлдээх өнцгийг гурвалжны зэргэлдээх өнцөг гэнэ (2, х 534).

Гурвалжны өндөр, медиан, биссектриса, дунд шугам

Гурвалжин дахь үндсэн элементүүдээс гадна сонирхолтой шинж чанартай бусад сегментүүдийг авч үздэг: өндөр, медиан, биссектрис, дунд шугам.

Өндөр

Гурвалжингийн өндөр- эдгээр нь гурвалжны оройгоос эсрэг тал руу унасан перпендикуляр юм.

Өндөрийг зурахын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) гурвалжны аль нэг талыг агуулсан шулуун шугам зурах (хэрэв өндрийг оройноос нь зурсан бол) хурц өнцөгмохоо гурвалжинд);

2) зурсан шугамын эсрэг талд байрлах оройгоос энэ шугам хүртэлх цэгээс 90 градусын өнцөг үүсгэн сегментийг зур.

Өндөр нь гурвалжны талтай огтлолцох цэгийг нэрлэдэг өндөр суурь (2-р зургийг үз).

Гурвалжингийн өндрийн шинж чанарууд

Тэгш өнцөгт гурвалжинд тэгш өнцөгтийн оройгоос татсан өндрийг анхны гурвалжинтай төстэй хоёр гурвалжинд хуваана.

Цочмог гурвалжинд түүний хоёр өндөр нь ижил төстэй гурвалжингуудыг таслав.

Хэрэв гурвалжин хурц байвал өндрийн бүх суурь нь гурвалжны талуудад хамаарах ба мохоо гурвалжинхоёр өндөр нь талуудын үргэлжлэл дээр унадаг.

Хурц гурвалжны гурван өндөр нь нэг цэгт огтлолцдог бөгөөд энэ цэгийг нэрлэдэг ортоцентр гурвалжин.

Медиан

Медианууд(Латин mediana - "дунд") - эдгээр нь гурвалжны оройг эсрэг талын дундын цэгүүдтэй холбосон сегментүүд юм (3-р зургийг үз).

Медианыг бий болгохын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) хажуугийн дунд хэсгийг олох;

2) гурвалжны хажуугийн дунд байгаа цэгийг эсрэг талын оройтой хэрчимтэй холбоно.

Гурвалжны медианы шинж чанарууд

Медиан нь гурвалжинг тэнцүү талбайтай хоёр гурвалжинд хуваана.

Гурвалжны медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог бөгөөд энэ нь оройноос нь тоолоход тус бүрийг 2:1 харьцаагаар хуваадаг. Энэ цэгийг нэрлэдэг хүндийн төв гурвалжин.

Гурвалжинг бүхэлд нь медиануудаараа тэнцүү зургаан гурвалжинд хуваана.

Биссектрис

Биссектрис(Латин хэлнээс bis - хоёр удаа, seko - зүсэгдсэн) нь гурвалжин доторх шулуун шугамын хэсгүүд бөгөөд түүний өнцгийг хоёр хуваасан (4-р зургийг үз).

Бисектрис байгуулахын тулд та дараах алхмуудыг хийх ёстой.

1) өнцгийн оройноос гарч буй туяаг байгуулж, хоёр тэнцүү хэсэгт (өнцгийн биссектриса) хуваах;

2) гурвалжны өнцгийн биссектрисын эсрэг талтай огтлолцох цэгийг олох;

3) гурвалжны оройг эсрэг талын огтлолцлын цэгтэй холбосон сегментийг сонгоно.

Гурвалжны биссектрисын шинж чанарууд

Гурвалжны өнцгийн биссектриса нь эсрэг талыг харьцаагаар хуваана харьцаатай тэнцүү байнахоёр зэргэлдээ тал.

Биссекторууд дотоод булангуудгурвалжингууд нэг цэг дээр огтлолцдог. Энэ цэгийг бичээстэй тойргийн төв гэж нэрлэдэг.

Дотоод болон гадаад өнцгийн биссектриса нь перпендикуляр байна.

Гурвалжны гадна талын өнцгийн биссектриса нь эсрэг талын суналтыг огтолж байвал ADBD=ACBC болно.

Нэг дотоод ба хоёрын биссектриса гадаад булангуудгурвалжингууд нэг цэг дээр огтлолцдог. Энэ цэг нь энэ гурвалжны гурван тойргийн аль нэгний төв юм.

Гадаад өнцгийн биссектриса нь гурвалжны эсрэг талтай параллель биш бол гурвалжны хоёр дотоод ба нэг гадаад өнцгийн биссектрисагийн суурь нь нэг шулуун дээр оршино.

Гурвалжны гадаад өнцгүүдийн биссектрис параллель биш бол эсрэг талууд, тэгвэл тэдгээрийн суурь нь нэг шулуун шугам дээр байна.

Элсэлтийн түвшин

Медиан. Харааны хөтөч (2019)

1. Медиан гэж юу вэ?

Энэ бол маш энгийн!

Гурвалжин ав:

Түүний нэг тал дээр дунд хэсгийг нь тэмдэглээрэй.

Мөн эсрэг талын орой руу холбогдоорой!

Үүссэн шугам мөн медиан байна.

2. Медианы шинж чанарууд.

Юу сайн шинж чанаруудмедиан байна уу?

1) Гурвалжин байна гэж төсөөлөөд үз дээ тэгш өнцөгт.Ийм зүйл байдаг, тийм үү?

Яагаад??? Тэгш өнцөг нь үүнтэй ямар холбоотой вэ?

Анхааралтай ажиглацгаая. Зүгээр л гурвалжин биш, гэхдээ ... тэгш өнцөгт. Яагаад гэж та асууж байна уу?

Гэхдээ та дэлхий дээр алхаж байна - энэ нь дугуй байгааг харж байна уу? Үгүй, мэдээжийн хэрэг, үүнийг хийхийн тулд дэлхийг сансраас харах хэрэгтэй. Тиймээс бид "сансар огторгуйгаас" зөв гурвалжинг хардаг.

Диагональ зуръя:

Тэгш өнцөгтийн диагональуудыг та санаж байна уу тэнцүүТэгээд хуваалцахуулзвар цэг хагаст? (Хэрэв санахгүй байгаа бол сэдвийг харна уу)

Энэ нь хоёр дахь диагональ тал нь биднийх гэсэн үг юм дундаж. Диагональууд нь тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хагас нь мэдээжийн хэрэг. Үүнийг л бид авах болно

Бид энэ мэдэгдлийг батлахгүй, гэхдээ үүнд итгэхийн тулд өөрөө бодоорой: өөр параллелограмм үнэхээр байдаг уу? тэнцүү диагональтэгш өнцөгтөөс өөр? Мэдээж үгүй! Энэ нь зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжинд медиан тал талтай тэнцүү байж болно гэсэн үг юм.

Энэ өмч нь асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн тусалдаг болохыг харцгаая.

Энд, даалгавар:
Хажуу тал руу; . Дээд талаас нь зурсан дундаж. Хэрвээ олоорой.

Өө! Та Пифагорын теоремыг хэрэглэж болно! Ямар агуу болохыг харж байна уу? Хэрэв бид үүнийг мэдэхгүй байсан бол дундажтал талтай тэнцүү

Бид Пифагорын теоремыг ашигладаг:

2) Тэгээд одоо бид зөвхөн нэг биш, харин бүхэл бүтэн байцгаая гурван медиан! Тэд хэрхэн биеэ авч явдаг вэ?

Маш их санаж байна чухал баримт:

Хэцүү үү? Зургийг харна уу:

Медиан ба нэг цэг дээр огтлолцоно.

Тэгээд….(бид үүнийг нотолж байна, гэхдээ одоохондоо санаж байна!):

• - хоёр дахин их;
• - хоёр дахин их;
• - хоёр дахин их.

Та ядарсан хэвээр байна уу? Асаалттай дараагийн жишээхангалттай хүч байна уу? Одоо бид ярьсан бүх зүйлээ хэрэгжүүлэх болно!

Даалгавар: Гурвалжинд нэг цэг дээр огтлолцдог медианууд байдаг. Хэрвээ олоорой

Пифагорын теоремыг ашиглан олъё:

Одоо медиануудын огтлолцох цэгийн талаарх мэдлэгээ хэрэгжүүлцгээе.

Үүнийг тодорхойлъё. Сегмент, а. Хэрэв бүх зүйл тодорхойгүй бол зургийг хар.

Бид үүнийг аль хэдийн олж мэдсэн.

гэсэн үг, ; .

Асуудалд бид сегментийн талаар асууж байна.

Бидний тэмдэглэгээнд.

Хариулах: .

Танд таалагдсан уу? Одоо медианы талаарх мэдлэгээ өөрөө хэрэгжүүлэхийг хичээгээрэй!

МЕДИАН. ДУНД ТҮВШИН

1. Дундаж тал нь талыг хагасаар хуваана.

Ингээд л болоо юу? Эсвэл тэр өөр зүйлийг хагасаар хуваадаг болов уу? Үүнийг төсөөлөөд үз дээ!

2. Теорем: Медиан талбайг хагасаар хуваана.

Яагаад? Хамгийн ихийг санацгаая энгийн хэлбэргурвалжны талбай.

Мөн бид энэ томъёог хоёр удаа хэрэглэнэ!

Хараач, медиан нь хоёр гурвалжинд хуваагддаг: ба. Гэхдээ! Тэд ижил өндөртэй -! Зөвхөн энэ өндөрт энэ нь хажуу тийш унадаг бөгөөд - үргэлжлэл талд. Гайхалтай нь энэ нь бас тохиолддог: гурвалжин нь өөр, гэхдээ өндөр нь ижил байна. Одоо бид томъёог хоёр удаа хэрэглэнэ.

Энэ юу гэсэн үг вэ? Зургийг хар. Үнэн хэрэгтээ энэ теоремд хоёр мэдэгдэл байдаг. Та үүнийг анзаарсан уу?

Эхний мэдэгдэл:медианууд нэг цэг дээр огтлолцдог.

Хоёр дахь мэдэгдэл:Дундаж цэгийн огтлолцлын цэгийг оройноос эхлэн тоолох харьцаагаар хуваана.

Энэ теоремын нууцыг тайлахыг хичээцгээе.

Цэгүүдийг холбоцгооё. Юу болсон бэ?

Одоо өөр дунд шугам зуръя: дундыг нь тэмдэглэ - цэг тавь, дундыг нь тэмдэглэ - цэг тавь.

Одоо - дунд шугам. Тэр нь

1. зэрэгцээ;

Ямар нэгэн давхцлыг анзаарсан уу? Аль аль нь зэрэгцээ байна. Тэгээд, мөн.

Үүнээс юу гарах вэ?

1. зэрэгцээ;

Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн параллелограммын хувьд!

Энэ нь параллелограмм гэсэн үг юм. Тэгэхээр яах вэ? Параллелограммын шинж чанарыг санацгаая. Жишээлбэл, параллелограммын диагональуудын талаар та юу мэдэх вэ? Энэ нь зөв, тэд огтлолцох цэгийг хагасаар хуваадаг.

Зургийг дахин харцгаая.

Өөрөөр хэлбэл, медианыг цэгээр гурван тэнцүү хэсэгт хуваана. Тэгээд яг адилхан.

Энэ нь хоёр медианыг харьцааны цэгээр тусгаарласан гэсэн үг юм.

Гурав дахь медиан юу болох вэ? Эхлэл рүүгээ буцаж орцгооё. Өө, аймшиг?! Үгүй ээ, одоо бүх зүйл хамаагүй богино байх болно. Медианыг хаяж, медиануудыг хийцгээе.

Одоо бид медиануудтай яг ижил үндэслэлийг хийсэн гэж төсөөлөөд үз дээ. Тэгээд яах вэ?

Дундаж нь медианыг яг адилхан хуваах болно: харьцаагаар, цэгээс тоолох.

Гэхдээ цэгээс нь тоолбол түүнийг харьцаагаар хуваах хэрчим дээр хэдэн цэг байж болох вэ?

Мэдээжийн хэрэг, зөвхөн нэг! Мөн бид үүнийг аль хэдийн харсан - энэ бол гол зүйл юм.

Эцэст нь юу болсон бэ?

Медиан гарцаагүй давсан! Гурван медиан бүгдээрээ дамжин өнгөрчээ. Тэгээд бүгд дээрээс нь тоолж, хандлагаар хуваагдсан.

Тиймээс бид теоремыг шийдсэн (баталсан). Шийдэл нь гурвалжин дотор байрлах параллелограмм болж хувирав.

4. Дундаж уртын томъёо

Хэрэв талууд нь мэдэгдэж байгаа бол медианы уртыг хэрхэн олох вэ? Танд энэ хэрэгтэй гэдэгт итгэлтэй байна уу? нээцгээе аймшигтай нууц: Энэ томъёо нь тийм ч ашигтай биш юм. Гэсэн хэдий ч бид үүнийг бичих болно, гэхдээ бид үүнийг батлахгүй (хэрэв та нотлох баримтыг сонирхож байвал дараагийн шатыг үзнэ үү).

Яагаад ийм зүйл болсныг бид яаж ойлгох вэ?

Анхааралтай ажиглацгаая. Зүгээр л гурвалжин биш, харин тэгш өнцөгт.

Тиймээс тэгш өнцөгтийг авч үзье.

Манай гурвалжин энэ тэгш өнцөгтийн яг тал хувь гэдгийг та анзаарсан уу?

Диагональ зурцгаая

Тэгш өнцөгтийн диагональууд тэнцүү бөгөөд огтлолцох цэгийг хоёр хуваадаг гэдгийг та санаж байна уу? (Хэрэв санахгүй байгаа бол сэдвийг харна уу)
Гэхдээ диагональуудын нэг нь бидний гипотенуз юм! Энэ нь диагональуудын огтлолцох цэг нь гипотенузын дунд байна гэсэн үг юм. Манайх гэдэг байсан.

Энэ нь хоёр дахь диагональын тал нь манай медиан гэсэн үг юм. Диагональууд нь тэнцүү бөгөөд тэдгээрийн хагас нь мэдээжийн хэрэг. Үүнийг л бид авах болно

Түүнээс гадна энэ нь зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжинд л тохиолддог!

Бид энэ мэдэгдлийг батлахгүй, гэхдээ үүнд итгэхийн тулд та өөрөө бодоорой: тэгш өнцөгтөөс бусад ижил диагональ бүхий параллелограмм байна уу? Мэдээж үгүй! Энэ нь зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжинд медиан тал талтай тэнцүү байж болно гэсэн үг юм. Энэ өмч нь асуудлыг шийдвэрлэхэд хэрхэн тусалдаг болохыг харцгаая.

Энд даалгавар байна:

Хажуу тал руу; . Дундаж цэгийг оройноос нь зурсан. Хэрвээ олоорой.

Өө! Та Пифагорын теоремыг хэрэглэж болно! Ямар агуу болохыг харж байна уу? Хэрэв бид медиан тал тал гэдгийг мэдээгүй бол зөвхөн тэгш өнцөгт гурвалжинд, бид энэ асуудлыг шийдэх ямар ч арга байхгүй. Тэгээд одоо бид чадна!

Бид Пифагорын теоремыг ашигладаг:

МЕДИАН. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

1. Дундаж тал нь талыг хагасаар хуваана.

2. Теорем: медиан нь талбайг хагасаар хуваана

4. Дундаж уртын томъёо

Эсрэг теорем:хэрвээ медиан нь хажуугийн хагастай тэнцүү бол гурвалжин тэгш өнцөгт байх ба энэ медиан нь гипотенуз руу татагдана.

За ингээд сэдэв дууслаа. Хэрэв та эдгээр мөрүүдийг уншиж байгаа бол энэ нь таныг маш дажгүй гэсэн үг юм.

Учир нь хүмүүсийн ердөө 5% нь өөрөө ямар нэг зүйлийг эзэмших чадвартай байдаг. Хэрэв та дуустал нь уншсан бол та энэ 5% -д байна!

Одоо хамгийн чухал зүйл.

Та энэ сэдвээр онолыг ойлгосон. Би давтан хэлье, энэ бол зүгээр л супер! Та үе тэнгийнхнийхээ дийлэнх олонхоос аль хэдийн илүү болсон.

Асуудал нь энэ нь хангалтгүй байж магадгүй юм ...

Юуны төлөө?

Учир нь амжилттай дуусгахУлсын нэгдсэн шалгалт, коллежид төсвөөр элсэх, ХАМГИЙН ЧУХАЛ насан туршдаа.

Би чамайг юунд ч итгүүлэхгүй, нэг л зүйлийг хэлье...

Хүлээн авсан хүмүүс сайн боловсрол, хүлээн аваагүй хүмүүсээс хамаагүй их орлого олдог. Энэ бол статистик.

Гэхдээ энэ нь гол зүйл биш юм.

Хамгийн гол нь тэд ИЛҮҮ АЗ ЖАРГАЛТАЙ байдаг (ийм судалгаанууд байдаг). Магадгүй тэдний өмнө илүү их нээлттэй байгаа болохоор тэр байх илүү их боломжуудтэгээд амьдрал илүү гэрэл гэгээтэй болох уу? Мэдэхгүй...

Гэхдээ өөрийнхөөрөө бод...

Улсын нэгдсэн шалгалтанд бусдаас илүү байж, эцэст нь... аз жаргалтай байхын тулд юу хэрэгтэй вэ?

ЭНЭ СЭДВИЙН АСУУДЛЫГ ШИЙДВЭРЭЭР ГАРАА АВНА.

Шалгалтын үеэр танаас онол асуухгүй.

Танд хэрэгтэй болно цаг хугацааны эсрэг асуудлыг шийдвэрлэх.

Хэрэв та тэдгээрийг шийдэж амжаагүй бол (МАШ ИХ!) Та хаа нэгтээ тэнэг алдаа гаргах нь дамжиггүй, эсвэл зүгээр л цаг зав гарахгүй.

Энэ нь спорттой адил юм - баттай ялахын тулд та үүнийг олон удаа давтах хэрэгтэй.

Хүссэн газраасаа цуглуулгаа олоорой зайлшгүй шийдэл бүхий, нарийвчилсан шинжилгээ мөн шийд, шийд, шийд!

Та бидний даалгавруудыг (заавал биш) ашиглаж болно, бид мэдээж санал болгож байна.

Бидний даалгавруудыг илүү сайн ашиглахын тулд та одоо уншиж байгаа YouClever сурах бичгийн ашиглалтын хугацааг уртасгахад туслах хэрэгтэй.

Яаж? Хоёр сонголт байна:

1. Энэ нийтлэл дэх бүх далд ажлуудын түгжээг тайлах - 299 рубль.
2. Сурах бичгийн бүх 99 нийтлэл дэх бүх далд даалгаврын хандалтыг нээнэ үү - 999 рубль.

Тийм ээ, бидний сурах бичигт ийм 99 өгүүлэл байгаа бөгөөд тэдгээрт байгаа бүх даалгаврууд болон далд текстүүдийг шууд нээх боломжтой.

Хоёр дахь тохиолдолд бид танд өгөх болносимулятор "Бүх түвшний нарийн төвөгтэй байдлын хувьд сэдэв бүрийн шийдэл, хариулт бүхий 6000 асуудал." Энэ нь ямар ч сэдвээр асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байх болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ нь зүгээр л симулятор биш, бүхэл бүтэн сургалтын хөтөлбөр юм. Шаардлагатай бол та ҮНЭГҮЙ ашиглах боломжтой.

Сайтын оршин тогтнох бүх хугацаанд бүх текст, хөтөлбөрт хандах боломжтой.

Тэгээд эцэст нь ...

Хэрэв танд бидний даалгавар таалагдахгүй бол бусдыг хайж олоорой. Зөвхөн онол дээр бүү зогс.

“Ойлголоо”, “Би шийдэж чадна” гэдэг бол огт өөр чадвар юм. Танд хоёулаа хэрэгтэй.

Асуудлыг хайж олоод шийдээрэй!

Анхаарна уу. IN энэ хичээлгарлаа онолын материалууд"Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь медиан" сэдвээр геометрийн асуудлыг шийдвэрлэх. Хэрэв та энд байхгүй геометрийн асуудлыг шийдэх шаардлагатай бол энэ талаар форум дээр бичээрэй. Хичээл бараг л нэмэгдэнэ.

Тэгш өнцөгт гурвалжны медианы шинж чанарууд

Медианыг тодорхойлох

• Гурвалжны медианууд нэг цэгт огтлолцох ба энэ цэгээр өнцгийн оройноос эхлэн тоолоход 2:1 харьцаатай хоёр хэсэгт хуваагдана. Тэдний огтлолцох цэгийг гурвалжны хүндийн төв гэж нэрлэдэг (энэ цэгийг тодорхойлоход "төв" гэсэн нэр томъёог харьцангуй ховор тохиолдолд ашигладаг).
• Медиан нь гурвалжинг хоёр тэнцүү хэмжээтэй гурвалжинд хуваана.
• Гурвалжинг гурван медианаар тэнцүү зургаан гурвалжинд хуваана.
• Илүү том талгурвалжин нь жижиг медиантай тохирч байна.

Шийдвэрлэх санал болгож буй геометрийн асуудлууд нь дараахь зүйлийг голчлон ашигладаг тэгш өнцөгт гурвалжны медианы шинж чанарууд.

• Тэгш өнцөгт гурвалжны хөл дээр унасан медиануудын квадратуудын нийлбэр нь гипотенуз дээр унасан медианы таван квадраттай тэнцүү байна (Формула 1)
• Медиан нь тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз хүртэл буурсан гипотенузын хагастай тэнцүү(Формула 2)
• Тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын медиан нь тойргийн радиустай тэнцүү байнаөгөгдсөн тэгш өнцөгт гурвалжин (Формула 2)
• Гипотенуз руу буурсан медиан нь хөлийн квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуурын хагастай тэнцүү(Формула 3)
• Гипотенуз руу унасан медиан нь хөлний уртыг хоёр синусаар хуваасантай тэнцүү байна. эсрэг талхурц өнцөг (Формула 4)
• Гипотенуз руу буулгасан дундаж нь хөлний уртыг хөлтэй зэргэлдээх хурц өнцгийн хоёр косинусаар хуваасантай тэнцүү байна (Формула 4)
• Тэгш өнцөгт гурвалжны талуудын квадратуудын нийлбэр нь түүний гипотенуз руу унасан медианы найман квадраттай тэнцүү байна (Формула 5)

Томъёо дахь тэмдэглэгээ:

а, б- тэгш өнцөгт гурвалжны хөл

в- тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенуз

Хэрэв бид гурвалжинг ABC гэж тэмдэглэвэл

BC = А

(энэ нь a,b,c талууд- харгалзах өнцгүүдийн эсрэг байна)

м а- хөл рүү татсан голч а

м б- хөл рүү татсан голч b

м в - тэгш өнцөгт гурвалжны медиан, бүхий гипотенуз руу татсан

α (альфа)- CAB-ийн эсрэг талын өнцөг a

Тэгш өнцөгт гурвалжин дахь медианы тухай асуудал

Хөл рүү татсан тэгш өнцөгт гурвалжны медианууд нь 3 см ба 4 см-тэй тэнцүү байна. Гурвалжны гипотенузыг ол

Шийдэл

Асуудлыг шийдэж эхлэхээсээ өмнө тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузын урт ба түүн дээр буулгасан медиануудын харьцаанд анхаарлаа хандуулъя. Үүнийг хийхийн тулд 2, 4, 5-р томъёо руу шилжье тэгш өнцөгт гурвалжин дахь медианы шинж чанарууд. Эдгээр томьёо нь гипотенуз ба медиануудын харьцааг 1-ээс 2 болгон бууруулж байгааг тодорхой зааж өгсөн байдаг. Тиймээс ирээдүйн тооцоололд хялбар болгох үүднээс (энэ нь шийдлийн зөв байдалд ямар ч байдлаар нөлөөлөхгүй, харин илүү их болгоно) тохиромжтой), бид AC ба BC хөлний уртыг x ба y хувьсагчаар 2x ба 2y (x ба y биш) гэж тэмдэглэнэ.

ADC тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Асуудлын дагуу C өнцөг зөв, АС хөл нь ABC гурвалжин, CD хөл нь нийтлэг байдаг хагастай тэнцүүМедианы шинж чанарын дагуу BC. Дараа нь Пифагорын теоремын дагуу

AC 2 + CD 2 = AD 2

AC = 2x, CD = y (медиан нь хөлийг хоёр тэнцүү хэсэгт хуваадаг тул), дараа нь
4х 2 + у 2 = 9

Үүний зэрэгцээ EBC тэгш өнцөгт гурвалжинг авч үзье. Мөн асуудлын нөхцөлийн дагуу тэгш өнцөгт С-тэй, BC хөл нь анхны ABC гурвалжны ВС хөлтэй нийтлэг, EC хөл нь медианы шинж чанараараа анхны гурвалжны АС хөлийн талтай тэнцүү байна. ABC.
Пифагорын теоремын дагуу:
EC 2 + BC 2 = BE 2

EC = x (медиан нь хөлийг хагасаар хуваадаг) тул BC = 2y, тэгвэл
x 2 + 4y 2 = 16

ABC, EBC, ADC гурвалжингууд хоорондоо холбоотой байдаг нийтлэг талууд, тэгвэл олж авсан тэгшитгэл хоёулаа бие биетэйгээ холбоотой байна.
Үүссэн тэгшитгэлийн системийг шийдье.
4х 2 + у 2 = 9
x 2 + 4y 2 = 16