Аль энгийн олон талтуудын бүх диагональууд хоорондоо тэнцүү вэ? Олон талт

Олон талт

Олон талт- энэ бол гадаргуу нь хязгаарлагдмал тооны хавтгай олон өнцөгтөөс бүрдэх бие юм. Полиэдрон гэж нэрлэдэг гүдгэр, хэрэв энэ нь түүний гадаргуу дээрх хавтгай олон өнцөгт бүрийн хавтгайн нэг талд хэвтэж байвал. Ерөнхий хэсэгийм хавтгай ба гүдгэр олон өнцөгтийн гадаргууг гэнэ ирмэг.
Доорх зурагт зүүн талд гүдгэр бус олон талт дүрс харагдаж байна; баруун талд байгаа зурган дээр - гүдгэр.

Гүдгэр олон өнцөгтийн нүүр нь хавтгай гүдгэр олон өнцөгтүүд. Нүүрний хажуу талууд гэж нэрлэгддэг олон өнцөгтийн ирмэгүүд, мөн нүүрний оройнууд нь байна олон өнцөгтийн оройнууд.

Призм

Призмнь өөр өөр хавтгайд хэвтэж, давхцаж буй хоёр хавтгай олон өнцөгтөөс бүрдсэн олон өнцөгт юм зэрэгцээ шилжүүлэг, мөн эдгээр олон өнцөгтүүдийн харгалзах цэгүүдийг холбосон бүх сегментүүд (зураг харна уу). Олон өнцөгт гэж нэрлэдэг призмийн үндэс, мөн харгалзах оройнуудыг холбосон сегментүүд нь байна призмийн хажуугийн ирмэгүүд.

Тэмдэглэл: .
Хажуугийн гадаргууПризм нь параллелограммуудаас тогтдог. Тэд тус бүр нь суурийн харгалзах талууд болох хоёр талтай, нөгөө хоёр нь хажуугийн хавирга юм. Призмийн суурь нь тэнцүү бөгөөд дотор нь байрладаг зэрэгцээ хавтгайнууд. Призмийн хажуугийн ирмэгүүд нь параллель ба тэнцүү байна. Призмийн өндөртүүний суурийн хавтгай хоорондын зай гэж нэрлэдэг.
Нэг нүүрэнд хамаарахгүй призмийн хоёр оройг холбосон хэрчмийг гэнэ призм диагональ. (Зураг дээр - өндөр ба диагональ.)
Диагональ хэсгүүд- эдгээр нь нэг нүүрэнд хамаарахгүй хоёр хажуугийн ирмэгээр дамжин өнгөрч буй хавтгайн призмийн хэсгүүд юм (зураг харна уу).

Призмийг нэрлэдэг шууд, хэрэв түүний хажуугийн ирмэг нь суурьтай перпендикуляр байвал. Үгүй бол призмийг дуудна налуу.
Шулуун призмийн хажуугийн нүүр нь тэгш өнцөгт, шулуун призмийн өндөр нь хажуугийн ирмэгтэй тэнцүү, диагональ хэсгүүд нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй байна.
Хажуугийн гадаргуупризмийн хажуугийн гадаргуугийн талбайн нийлбэр юм. Бүтэн гадаргуупризмүүдхажуугийн гадаргуу ба суурийн талбайн нийлбэртэй тэнцүү байна.
Теорем 1. Шулуун призмийн хажуугийн гадаргуу нь суурийн периметр ба өндрийн үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл хажуугийн ирмэгийн урт.
Призмийн перпендикуляр хэсэгбид уг хэсгийг призмийн хажуугийн ирмэгтэй перпендикуляр хавтгай гэж нэрлэх болно (энэ нь призмийн бүх хажуугийн ирмэгүүдэд перпендикуляр байна гэсэн үг).
Теорем 2. Хажуугийн гадаргуу налуу призмхажуугийн ирмэг ба перпендикуляр огтлолын периметрийн уртын үржвэртэй тэнцүү байна.
Зураг дээр перпендикуляр хэсгийг харуулж байна.
С b = Х ⋅ Пүндсэн;
С n = С b + 2 Сүндсэн
С b = л ⋅ П ter;
С n = С b + 2 Сүндсэн

Мэдээжийн хэрэг, энэ теорем нь шулуун призмийн хувьд үнэн байх болно, учир нь перпендикуляр хэсэг нь призмийн суурийн хавтгайтай параллель хавтгайгаар огтлолцох болно.
Анхаарна уу: хэрэв тодорхой олон өнцөгт нь призмийн перпендикуляр хэсэг бол түүний дотоод булангуудхаргалзах хажуугийн нүүрний хоорондох хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг юм.
Шулуун призмийн хувьд хажуугийн нүүрний хоорондох хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг нь шууд суурийн өнцөг болно.
Жишээ
Зураг нь шулуун призмийг харуулж байна.

- нүүрний хоорондох хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг ба .
Призмийг нэрлэдэг зөв, Хэрэв:
энэ нь дээр тулгуурладаг ердийн олон өнцөгт;
призм нь шулуун байна.

Параллелепипед

Параллелепипед бол суурь дээрээ параллелограммтай призм юм.
Параллелепипедийн бүх нүүр нь параллелограмм юм.
Нийтлэг оройгүй параллелепипедийн нүүрийг нэрлэдэг эсрэг.
Теорем 1. Параллелепипедийн эсрэг талын нүүрнүүд параллель ба тэнцүү байна.
Параллелепипед нь түүний аль нэгийг нь үндэс болгон авч үзэх бүх тохиолдолд параллелепипед хэвээр байна (зураг харна уу).
Теорем 2. Параллелепипедийн диагональууд нэг цэгт огтлолцох ба огтлолцох цэгээр хагаст хуваагдана.
Үүнээс үзэхэд параллелепипедийн диагональуудын огтлолцох цэг нь түүний тэгш хэмийн төв юм.
Анхаарна уу: баруун параллелепипеддөрвөн диагональ, хосоороо бие биетэйгээ тэнцүү.
Зураг дээр; .
Энэ нь налуу хүмүүсийн шинж чанараас үүдэлтэй, учир нь - суурийн хавтгайд перпендикуляр түвшин ABCD.

Хэрэв баруун параллелепипедийн хоёр диагональ гарч ирвэл хөрш оргилууд, тэгвэл тэдгээрийн хамгийн том нь суурийн том диагональ руу проекц, өөрөөр хэлбэл эсрэг талд байрлах параллелограммын диагональ юм. мохоо өнцөг. Тэгэхээр, хэрэв дээрх зурагт бид өнцгийг авч үзвэл ABCтэнэг, бид үүнийг авах болно, .
Суурь нь тэгш өнцөгт хэлбэртэй тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг тэгш өнцөгт параллелепипед(зураг харна уу).

Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт бөгөөд тэдгээрийг гурван хос тэнцүү тэнцүү болгон хувааж болно. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн дурын нүүрийг түүний үндэс гэж үзэж болно. Үүнийг бодоход хэзээ зэрэгцээ загвардурын параллелограммыг дурын параллелограммаар дүрсэлж болно тэгш өнцөгт параллелепипедийн дүрс нь ямар ч зөв параллелепипедийн дүрсээс ямар ч ялгаагүй;
Зэрэгцээ бус ирмэгүүдийн уртыг нэрлэдэг шугаман хэмжээсүүдтэгш өнцөгт параллелепипедийн (хэмжилт).
Теорем 3. Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх диагональууд тэнцүү байна. Диагональ квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнатүүний гурван хэмжээст квадратууд.
Тэгш өнцөгт параллелепипедийн бүх хоёр өнцөгт өнцөг нь зөв өнцөг юм.
Тэгш өнцөгт параллелепипед гурван хос тэнцүү диагональ хэсэгтэй. Эдгээр хэсэг бүр нь тэгш өнцөгт (зураг харна уу).

Хос хэсэг бүр диагональуудын огтлолцлын цэгүүдийг дайран өнгөрөх шулуун шугамын дагуу огтлолцоно эсрэг нүүр царай. Эдгээр цэгүүдийн хоорондох сегментүүд нь параллель бөгөөд тэгш өнцөгт параллелепипедийн ирмэгүүдийн аль нэгтэй тэнцүү байна.
Тэгш өнцөгт гурвалжин нь тэгш өнцөгт параллелепипедийн диагональ, хажуугийн нүүрний диагональ ба суурийн хажуугаар үүсдэг (зураг харна уу). Тухайлбал, .

Тэгш өнцөгт параллелепипед нь тэгш хэмийн төвтэй байдаг - энэ нь түүний диагональуудын огтлолцох цэг юм.
Мөн тэгш хэмийн төвөөр нүүрэн талдаа параллель гүйдэг гурван тэгш хэмийн хавтгайтай.
Бүх ирмэгүүд нь тэнцүү тэгш өнцөгт параллелепипед гэж нэрлэгддэг шоо.
Ямар ч онгоц диагональ хэсэгкуб нь түүний тэгш хэмийн хавтгай юм. Тиймээс шоо нь есөн тэгш хэмийн хавтгайтай байна.
Бидний авч үзсэн зураг дээр харьцангуй байрлалбаруун параллелепипедийн зарим элементүүд:

- хажуугийн нүүрний диагональ ба суурийн хавтгай хоорондын өнцөг ( - перпендикуляр, - налуу, CD- төсөөлөл).
- баруун параллелепипедийн диагональ ба суурийн хавтгай хоорондын өнцөг ( - перпендикуляр, - налуу, АС- төсөөлөл).
- хажуугийн нүүрний диагональ налуугийн өнцөг ( МЭ- перпендикуляр, - ташуу, - проекц).
Зөв параллелепипед байг (зураг харна уу), хаана ABCD- ромб Суурийн диагональ дундуур дайран өнгөрөх хавтгайгаар түүний зүсэлтийг зуръя Б.Дба дээд.

Хөндлөн огтлолын хувьд бид тэгш өнцөгт гурвалжинг олж авдаг.
- суурь ба огтлолын хавтгайн хоорондох хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг. ромбын диагональуудын шинж чанарын дагуу - перпендикуляр, - ташуу, CO- төсөөлөл. Гурван перпендикулярын теоремын дагуу: .

Пирамид

Пирамидхавтгай олон өнцөгт - пирамидын суурь, суурийн хавтгайд ороогүй цэг - пирамидын орой ба пирамидын оройг суурийн цэгүүдтэй холбосон бүх сегментээс бүрдсэн олон өнцөгт гэж нэрлэдэг. . Пирамидын оройг суурийн оройтой холбосон сегментүүдийг нэрлэдэг хажуугийн хавирга.
Пирамидын өндөр- пирамидын оройноос суурийн хавтгай хүртэл доошилсон перпендикуляр.
Пирамид гэж нэрлэдэг n-нүүрс, хэрэв түүний суурь бол n-гон. Гурвалжин пирамид гэж бас нэрлэдэг тетраэдр. Пирамидын хажуугийн нүүр- гурвалжин. Түүний оргилуудын нэг нь пирамидын орой юм эсрэг тал- пирамидын суурийн тал.
Зураг дээр SO- пирамидын өндөр. Дараа нь - хажуугийн ирмэг ба суурийн хавтгай хоорондын өнцөг ( SO- перпендикуляр, SA- налуу, О.А- төсөөлөл).

Пирамидын өндрийн сууринаас (цэг А) суурийн хажуу талд перпендикуляр зурах (жишээлбэл, А.Э). Энэ перпендикулярын суурь (цэг Ф) пирамидын дээд хэсэгт холбоно (цэг С). Гурван перпендикулярын теоремын дагуу: . ( SO- перпендикуляр, SP- налуу, OF- төсөөлөл, барилга байгууламжаар.) Тиймээс, - хажуугийн нүүрний хавтгай хоорондын хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг ASEба суурийн хавтгай.
Пирамидын асуудлыг шийдэхийн тулд түүний өндрийн суурь хаана байгааг олж мэдэх нь маш чухал юм.
1. Хэрэв дор хаяж нэг нь байвал дараах нөхцөлүүд:
пирамидын бүх хажуугийн ирмэгүүд тэнцүү;
бүх хажуугийн хавирга нь үндсэн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу;
бүх хажуугийн хавирга нь пирамидын өндөртэй тэнцүү өнцөг үүсгэдэг;
Хажуугийн бүх ирмэгүүд нь өндрийн сууринаас ижил зайд байрладаг бол пирамидын өндрийн суурь нь пирамидын суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн тойргийн төв юм.
Хажуугийн хавирга л, өндөр Хба радиус РТойргийн суурийн эргэн тойронд хүрээлэгдсэн нь тэгш өнцөгт гурвалжин үүсгэдэг.

Энэ тохиолдолд хажуугийн гадаргууг томъёогоор олж болно, хаана л- хажуугийн ирмэгийн урт, , ... - орой дээрх хавтгай өнцөг.
2. Дараах нөхцлөөс дор хаяж нэг нь хангагдсан бол:
Бүгд хажуугийн нүүрнүүдижил өнцгөөр суурийн хавтгайд налуу;
бүх хажуугийн нүүр нь ижил өндөртэй;
хажуугийн нүүрний өндөр нь пирамидын өндөртэй тэнцүү өнцөг үүсгэдэг;
хажуугийн нүүр нь өндрийн сууринаас ижил зайд, дараа нь өндрийн суурь нь пирамидын сууринд сийлсэн тойргийн төвд байрладаг.
Зураг дээр - тэгш өнцөгт, - дотор нь бичээстэй тойргийн радиус ABCDEF;

- пирамидын өндөр, SP- хажуугийн нүүрний өндөр;
- хажуугийн нүүр ба суурийн хавтгай хоорондын хоёр талт өнцгийн шугаман өнцөг;
ТУХАЙ- сууринд бичсэн тойргийн төв, өөрөөр хэлбэл биссектрисын огтлолцлын цэг. ABCDEF.
Энэ тохиолдолд.
3. Хэрэв хажуугийн ирмэг нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал энэ ирмэг нь пирамидын өндөр (зураг харна уу).

Энэ тохиолдолд Тэгээд - хажуугийн хавирганы налуу өнцөг SVТэгээд SCсуурийн хавтгайд тус тус . байна шугаман өнцөгхажуугийн нүүрний хоорондох хоёр талт өнцөг S.A.C.Тэгээд С.Б.А..
4. Хэрэв хажуугийн нүүр нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал (зураг харна уу) пирамидын өндөр нь энэ нүүрний өндөртэй тэнцүү байх болно ("Хэрэв хоёрын аль нэгэнд нь шулуун шугам хэвтэж байвал" теоремын дагуу. перпендикуляр хавтгайнууд, тэдгээрийн огтлолцлын шугамтай перпендикуляр, дараа нь хоёр дахь хавтгайд перпендикуляр байна").
5. Хоёр хажуугийн нүүр нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байвал пирамидын өндөр нь тэдгээрийн нийтлэг хажуугийн ирмэг болно.

Пирамидын өндрийн суурийн хоорондох зай

Пирамидын өндрийн суурийн хажуугийн ирмэг хүртэлх зай нь цэгээс унасан перпендикуляр юм. ТУХАЙэнэ ирмэг дээр (зураг харна уу). Анхаарна уу: , гэхдээ зураг дээр шулуун байх ёсгүй: зэрэгцээ дизайн хийх үед өнцөг хадгалагдахгүй.
OF- өндрийн сууриас хажуугийн ирмэг хүртэлх зай С.Э.;
АСААЛТТАЙ- өндрийн сууриас хажуугийн ирмэг хүртэлх зай A.S.B.(Энэ зайг доороос илүү дэлгэрэнгүй харна уу).

, ирмэгийн хоорондох өнцөг хаана байна С.Э.ба суурийн хавтгай.

Өндөрт суурийн хажуугийн ирмэг хүртэлх зай

, тэгвэл гурван перпендикулярын теоремоор үзье. Тиймээс, ABхавтгайд перпендикуляр SOK. Тиймээс хэрэв , тэгвэл АСААЛТТАЙхавтгайд перпендикуляр A.S.B..
.
Пирамид гэж нэрлэдэг зөв, хэрэв түүний суурь нь ердийн олон өнцөгт бөгөөд өндрийн суурь нь олон өнцөгтийн төвтэй давхцаж байвал. Тэнхлэг ердийн пирамидөндрийг агуулсан шулуун шугам гэж нэрлэдэг. Ердийн пирамидын хажуугийн ирмэг нь тэнцүү, хажуугийн нүүр нь тэнцүү байна тэгш өнцөгт гурвалжин. Пирамидын оройноос зурсан хажуугийн нүүрний өндрийг гэж нэрлэдэг апотем. Энэ нь хажуугийн нүүрний биссектриса ба медиан бөгөөд тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Теорем. Ердийн пирамидын хажуугийн гадаргуу нь суурийн периметр ба апотемийн үржвэртэй тэнцүү байна.
; ,
Хаана Р- суурь периметр, А- суурь тал, л- үгийн урт.
Зөв гурвалжин пирамид
Ердийн гурвалжин пирамидын ёроолд дүрслэгдсэн ижил талт гурвалжин байдаг дурын гурвалжин(зураг харна уу).

Төв нь өндөр ба медиануудын аль аль нь болох биссектрисын огтлолцох цэг юм. Зэрэгцээ загварт медианыг медианаар дүрсэлсэн. Тиймээс бид суурийн хоёр медианыг байгуулна. Тэдний огтлолцох цэг нь пирамидын өндрийн суурь юм. Бид өндрийг дүрсэлж, пирамидын дээд хэсгийг суурийн оройтой холбоно. Бид хажуугийн хавиргыг авдаг.
Зураг дээр: - хажуугийн хавирганы суурийн хавтгайд хазайх өнцөг (бүх хавирганы хувьд ижил); - хажуугийн нүүрний суурийн хавтгайд налуу өнцөг (бүх нүүрний хувьд ижил).
Let .
Дараа нь; ; ;
; ; .
Тиймээс, .
; .
Онгоц тэнхлэгийн хэсэг A.S.D.нь ердийн гурвалжин пирамидын тэгш хэмийн хавтгай юм.
Энэ хавтгай нь суурийн ба ирмэгийн хавтгайд перпендикуляр байна BSC.
Пирамидын огтлолцох ирмэгүүд ( С.А.Тэгээд МЭӨ, С.Б.Тэгээд А.С., С.С.Тэгээд AB) перпендикуляр байна. Хэрэв бол АСААЛТТАЙЭнэ нь өндрийн сууринаас зөвхөн анатема хүртэл төдийгүй хажуугийн нүүр хүртэлх зай юм BSC.
.
Зөв дөрвөлжин пирамид
Ердийн дөрвөлжин пирамидын суурь дээр дурын параллелограмм хэлбэрээр дүрслэгдсэн дөрвөлжин байрладаг. Түүний төв нь диагональуудын огтлолцох цэг юм. Энэ цэг нь пирамидын өндрийн суурь юм.
Талбайн хажуу талыг нь тавь А(зураг харна уу).
Дараа нь;
;
;
;
.

Анхаарна уу: , , тэр нь .
Зэрэгцээ дизайнтай бол параллелизм хадгалагдана.
; .
Өндрийн ёроолоос хажуугийн ирмэг хүртэлх зай:
; .

Ердийн зургаан өнцөгт пирамид
Зөв дээр үндэслэсэн зургаан өнцөгт пирамидердийн зургаан өнцөгт байрладаг (зураг харна уу). Түүний төв нь диагональуудын огтлолцох цэг юм. Энэ цэг нь пирамидын өндрийн суурь юм.
Дараа нь;
Ердийн зургаан өнцөгтийн хажуу талыг байг А.
;
;

.
; .

Таслагдсан пирамид
Пирамидаар таславХэрэв пирамидаас суурьтай параллель хавтгайгаар тусгаарлагдвал ижил оройтой пирамид хэвээр үлдэх олон өнцөгт гэж нэрлэдэг.
Теорем. Пирамидын суурьтай параллель, түүнтэй огтлолцсон хавтгай ижил төстэй пирамидыг таслав.
Анхаарна уу: Зүссэн пирамидыг зөв дүрслэхийн тулд та эх хувилбарын зургаас эхлэх ёстой бүрэн пирамид(зураг харна уу).

Таслагдсан пирамидын суурь - ижил төстэй олон өнцөгтүүд. Хажуугийн нүүр нь трапец хэлбэртэй байдаг. - тайрсан пирамидын өндөр, хажуугийн нүүрний өндөр - хажуугийн ирмэгийг суурийн хавтгайд (ямар ч) хазайлтын өнцөг - доод суурийн хавтгайд хажуугийн нүүрний налуу өнцөг.
Тогтмол таслагдсан пирамид- энэ бол ердийн пирамидаас авсан таслагдсан пирамид юм.
Түүний хажуугийн хавирга нь ижил өнцгөөр суурийн хавтгайтай тэнцүү бөгөөд налуу байна. Түүний хажуугийн нүүр нь хэвтээ трапецтай тэнцүү бөгөөд доод суурийн хавтгайд ижил өнцгөөр налуу байна. Пирамидын хажуугийн гадаргуугийн өндрийг нэрлэдэг апотемууд.
Энгийн тайрсан пирамидын хажуугийн гадаргуу нь суурийн болон апотемийн периметрийн нийлбэрийн хагасын үржвэртэй тэнцүү байна.
, Хаана П n ба Пв - харгалзах суурийн периметрүүд, л- үг.
Зурган дээр зүссэн пирамидтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэхэд маш хэрэгтэй тоонуудыг харуулав.
;
.

;

- тэгш өнцөгт трапец.
- таслагдсан пирамидын өндөр.
- хажуугийн ирмэгийн өндөр.

Таслагдсан пирамид нь тогтмол байх тохиолдолд сегментүүд О.Д.ба хүрээлэгдсэн тойргийн радиусууд ба OFба - доод ба дээд суурийн бичээстэй тойргийн радиусууд.

Ердийн олон талт

Гүдгэр олон өнцөгтийг нэрлэдэг зөв, хэрэв түүний нүүр нь ижил тооны талтай ердийн олон талт хэлбэртэй бөгөөд олон өнцөгтийн орой бүр ижил тооны ирмэгтэй бол.
Ердийн гүдгэр олон талт таван төрөл байдаг. ердийн тетраэдр, шоо, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
1. Ердийн тетраэдр нь энгийн гурвалжин хэлбэртэй нүүртэй; Орой бүр гурван давхцсан ирмэгтэй. Тетраэдр бол бүх ирмэгүүд нь тэнцүү гурвалжин хэлбэртэй пирамид юм.
2. Кубын бүх нүүр нь дөрвөлжин хэлбэртэй; Орой бүр гурван давхцсан ирмэгтэй. Шоо - тэгш өнцөгт параллелепипед тэнцүү ирмэгүүд.
3. Октаэдрийн нүүр нь тогтмол гурвалжин юм. Түүний орой бүр дөрвөн давхцсан ирмэгтэй.
4. Додекаэдрүүдийн нүүрнүүд нь тогтмол таван өнцөгт бөгөөд түүний орой бүр дээр гурван ирмэг нь давхцдаг.
5. Икосаэдрийн нүүрнүүд нь ердийн гурвалжин юм. Түүний орой бүр дээр таван ирмэг нь давхцдаг.
Зургууд нь жишээг харуулж байна ердийн олон талтнэрстэй.

Диагональолон өнцөгт (олон өнцөгт) -д зэргэлдээгүй хоёр оройг холбосон сегмент, өөрөөр хэлбэл олон өнцөгтийн нэг талд (олон өнцөгтийн нэг ирмэг) хамаарахгүй оройг хэлнэ.

Олон талт хэлбэрээрНүүрний диагональ (хавтгай олон өнцөгт гэж тооцогддог) болон нүүрний хил хязгаараас давсан орон зайн диагональуудын хооронд ялгаа бий. Гурвалжин нүүртэй олон өнцөгт нь зөвхөн орон зайн диагональтай байдаг.

Диагональ тоолох

Диагональ байхгүйХавтгай дээрх гурвалжин ба огторгуй дахь тетраэдрийн хувьд эдгээр дүрсүүдийн бүх оройнууд нь хоёр талдаа (ирмэгүүд) хосоороо холбогдсон байдаг.

Диагональуудын тоо НОлон өнцөгтийг дараах томъёогоор хялбархан тооцоолж болно.

N = n·(n - 3)/2,

Хаана n- олон өнцөгтийн оройн тоо. Энэ томъёог ашигласнаар үүнийг олоход хялбар байдаг

гурвалжин нь 0 диагональтай
тэгш өнцөгт нь 2 диагональтай
таван өнцөгт нь 5 диагональтай
зургаан өнцөгт нь 9 диагональтай
Найман өнцөгт нь 20 диагональтай
12 өнцөгт нь 54 диагональтай
24 өнцөгт нь 252 диагональтай

Оройн тоотой олон өнцөгтийн диагональуудын тоо nЗөвхөн олон өнцөгт орой бүр дээр нийлдэг тохиолдолд тооцоолоход хялбар ижил тоохавирга к. Дараа нь та томъёог ашиглаж болно:

N=n· (n - k - 1)/2,

Энэ нь орон зайн болон нүүрний диагональуудын нийт тоог өгдөг. Эндээс бид үүнийг олж чадна

тетраэдр (n=4, k=3) 0 диагональтай
октаэдр (n=6, k=4) 3 диагональтай (бүгд орон зайн)
шоо (n=8, k=3) нь 16 диагональтай (12 нүүр, 4 орон зайн)
Икосаэдр (n=12, k=5) нь 36 диагональтай (бүх орон зайн)
Додекаэдр (n=20, k=3) нь 160 диагональтай (25 нүүр, 135 орон зайн)

Хэрэв олон өнцөгтийн өөр өөр орой дээр нэгдэж байвал өөр тоохавирга, тооцоо нь мэдэгдэхүйц төвөгтэй болж, тохиолдол бүрт тус тусад нь хийх ёстой.

Ижил диагональтай дүрсүүд

Онгоцонд-тэй хоёр энгийн олон өнцөгт байдаг бүх диагональууд тэнцүү байнаөөр хоорондоо. Энэ дөрвөлжинТэгээд ердийн таван өнцөгт. Квадрат нь төвд тэгш өнцөгт огтлолцсон хоёр ижил диагональтай. Энгийн таван өнцөгт нь таван ижил диагональтай бөгөөд тэдгээр нь нийлээд таван хошуут одны (пентаграм) хэв маягийг бүрдүүлдэг.

Цорын ганц энгийн олон өнцөгт бүх диагональууд тэнцүү байнаөөр хоорондоо - ердийн октаэдр октаэдрон. Энэ нь гурван диагональтай бөгөөд тэдгээр нь төвд перпендикуляр хос хосоор огтлолцдог. Октаэдрийн бүх диагональууд нь орон зайн шинж чанартай байдаг (найман тал нь гурвалжин нүүртэй тул нүүрний диагональгүй).

Октаэдрээс гадна өөр нэг ердийн олон өнцөгт байдаг бүх орон зайн диагональууд тэнцүү байнаөөр хоорондоо. Энэ шоо (гексаэдр). Шоо нь дөрвөн ижил орон зайн диагональтай бөгөөд тэдгээр нь мөн төв хэсэгт огтлолцдог. Кубын дигоналуудын хоорондох өнцөг нь arccos(1/3) ≈ 70.5° (зэргэлдээх орой руу татсан хос диагоналын хувьд) эсвэл arccos(-1/3) ≈ 109.5° (хос диагональуудын хувьд бус) байна. -зэргэлдээх оройнууд).

ru.wikipedia.org - Википедиа: Диагональ
dic.academic.ru - олон өнцөгтийн нүүр ба орон зайн диагональ хоорондын ялгааг харуулсан зураг

Олон өнцөгт нь хавтгай дээрх хамгийн энгийн дүрс байдагтай адил олон өнцөгтүүд нь сансар огторгуйн хамгийн энгийн биетүүд юм. Бид өдөр бүр олон талт дүрсийг хардаг: шүдэнзний хайрцаг, ном, өрөө, олон давхар байшин (хэвтээ дээвэртэй) - тэгш өнцөгт параллелепипедүүд; сүүний уут-тетраэдр эсвэл параллелепипед; талбартай харандаа, самар нь призмийн тухай ойлголтыг өгдөг (гэхдээ параллелепипед нь мөн дөрвөлжин призм юм). Олон архитектурын байгууламжуудэсвэл тэдгээрийн хэсгүүд нь пирамид эсвэл таслагдсан пирамидууд юм - алдартай Египетийн пирамидууд эсвэл Кремлийн цамхагууд ийм хэлбэртэй байдаг. Зураг дээрх "байшин" гэх мэт олон талт хэлбэрүүд. 1 ба Зураг дээрх "дугуй байшин". 2, байхгүй тусгай нэрс. Цэвэр геометрийн үүднээс авч үзвэл полиэдрон нь хавтгай олон өнцөгтүүд - нүүрээр хязгаарлагдах орон зайн нэг хэсэг юм. Нүүрний талууд ба оройг олон өнцөгтийн ирмэг ба орой гэж нэрлэдэг. Нүүр царай нь олон талт гадаргуу гэж нэрлэгддэг гадаргууг үүсгэдэг. Зурагт үзүүлсэн шиг олон талт дүрсүүдийг авч үзэхээс хасах. 3-ыг ихэвчлэн олон талт гэж нэрлэдэггүй тул олон талт гадаргуу дээр дараахь хязгаарлалтыг ихэвчлэн тавьдаг.

1) ирмэг бүр нь зэргэлдээ гэж нэрлэгддэг хоёр, зөвхөн хоёр нүүрний нийтлэг тал байх ёстой;

2) хоёр нүүр бүрийг дараалсан зэргэлдээх нүүрний гинжээр холбож болно;

3) орой бүрийн хувьд энэ оройтой зэргэлдээх нүүрний өнцгүүд нь тодорхой олон өнцөгт өнцгийг хязгаарлах ёстой.

Полиэдрон нь түүний аль нэг талынх нь хавтгайн нэг талд байрладаг бол түүнийг гүдгэр гэж нэрлэдэг. Энэ нөхцөл нь нөгөө хоёртой тэнцүү байна: 1) олон өнцөгтийн аль ч хоёр цэгийн төгсгөлийн цэгүүд бүхий сегмент нь бүхэлдээ олон өнцөгт дотор байрладаг, 2) олон өнцөгтийг хэд хэдэн хагас орон зайн огтлолцол хэлбэрээр дүрсэлж болно.

Аливаа гүдгэр олон өнцөгтийн хувьд Эйлерийн томьёо хүчинтэй (Топологийг үз), В орой, Р ирмэг ба Г-ийн хоорондох холболтыг тогтооно.

Гүдгэр бус олон талтуудын хувьд энэ хамаарал ерөнхийдөө үнэн биш, жишээ нь Зураг дээр үзүүлсэн олон талт гадаргуугийн хувьд. 2; , , Тийм учраас . Энэ тоог олон өнцөгтийн Эйлерийн шинж чанар гэж нэрлэдэг бөгөөд тэнцүү байж болно . Эйлерийн шинж чанар нь ойролцоогоор хэлэхэд, олон талт "нүх"-ийг харуулдаг. Нүхний тоо (эсвэл).

Полиэдрагийн оройн тоогоор (өнцөг, тал) хамгийн энгийн ангилал нь үр дүнгүй юм. Хамгийн энгийн олон талт - дөрвөлжин эсвэл тетраэдрүүд нь үргэлж дөрвөн гурвалжин нүүрээр хязгаарлагддаг. Гэхдээ пентаэдрон аль хэдийн бүрэн байж болно янз бүрийн төрөл, жишээ нь: дөрвөлжин пирамид нь дөрвөн гурвалжин, нэг дөрвөн өнцөгт (Зураг 4,а), гурвалжин призм нь хоёр гурвалжин, гурван дөрвөн өнцөгтөөр хязгаарлагддаг (Зураг 4,б). Таван оройн бүтцийн жишээ бол дөрвөлжин пирамид ба гурвалжин хоёр талт (Зураг 4, в) юм.

Бидний эргэн тойрон дахь дэлхийн хамгийн түгээмэл олон талтнууд нь мэдээжийн хэрэг тусгай нэртэй байдаг. Тэгэхээр -гональ пирамид нь суурь ба хажуу талдаа -гонтой байдаг гурвалжин нүүр, гурвалжны нийтлэг орой дээр нийлэх (Зураг 4,а, энд); -өнцгийн призм нь хоёр тэнцүү, зэрэгцээ, ижил байрлалтай -gons - суурь - ба параллелограммууд - суурийн харгалзах талуудыг холбосон хажуугийн нүүрээр хязгаарлагддаг (Зураг 4, б, хаана).

Пирамид ба призмийн хоорондох завсрын байрлалыг жижиг пирамидуудыг таслах замаар пирамидуудаас олж авсан тайрсан пирамидууд эзэлдэг. суурьтай зэрэгцээонгоц (Зураг 5). Талстуудын байгалийн хэлбэрүүдийн дотроос хоёр пирамидаас бүрдсэн хоёр талст буюу бипирамидууд байдаг. нийтлэг үндэслэл(Зураг 4, в). Архимед мөн авч үзсэн -гональ антипризм, хоёр зэрэгцээгээр хязгаарлагдсан, гэхдээ бие биенээсээ харьцангуй эргэдэг -гональ ба тэдгээрийг холбосон, Зураг дээр үзүүлсэн шиг. 6, -гурвалжин (хэрэв антипризм том бол энэ нь анхдагч хүрд шиг харагдаж байна - Зураг 6).

Олон өнцөгтүүдийн нэгэн адил олон өнцөгтийг тэгш хэмийн зэрэглэлээр нь ангилдаг. Пирамидуудын дунд ердийнх нь ялгагдана: тэдгээрийн сууринд ердийн олон өнцөгт байрладаг бөгөөд өндөр нь дээд талаас суурийн хавтгайд татсан перпендикуляр нь пирамидын суурийн төвд унадаг.

Параллелограммын аналог нь параллелепипед юм; параллелограммын нэгэн адил параллелепипед нь тэгш хэмийн төвтэй бөгөөд үүнд дөрвөн диагональ (нэг нүүрэнд хамаарахгүй оройг холбосон хэсгүүд) огтлолцож, хоёр хуваагддаг. Зөв призмүүдсуурин дээр тэдгээрийн төвийг дайран өнгөрөх шулуун нь суурийн хавтгайд перпендикуляр байхаар байрлуулсан ердийн олон өнцөгтүүдтэй. Ердийн -өнцгийн эсрэг призмийн суурь нь ижил аргаар байрласан байх ёстой, гэхдээ зөвхөн нэг суурийг нөгөөтэйгөө харьцангуй өнцгөөр эргүүлэх ёстой. Бүх ердийн полиэдрүүд нь маш олон тооны бие даасан хослолуудтай байдаг - олон өнцөгтийг өөрөө өөрчилдөг эргэлт ба тэгш хэмтэй байдаг. Бүх бие даасан хослолууд, түүний дотор ижил төстэй зүйлүүд нь олон өнцөгтийн тэгш хэмийн бүлгийг бүрдүүлдэг. Ихэвчлэн олон талт хэлбэртэй байдаг нэг талстыг талстографийн тэгш хэмийн бүлгээр ангилдаг.

Дээр дурдсан олон талтуудын тэгш хэм, тогтмол байдал нь бүрэн гүйцэд биш - тэдгээр нь тэгш бус нүүртэй, олон өнцөгт өнцөгтэй байж болно. Үл хамаарах зүйл бол гурван олон талт: энгийн тетраэдр нь дөрвөн өнцөгт хүрээлэгдсэн, тэгш ирмэгтэй, ердийн гурвалжин пирамид юм. тогтмол гурвалжин(Зураг 7,а); шоо, эсвэл ердийн зургаан өнцөгт, - тогтмол дөрвөлжин призмтэнцүү ирмэгтэй, зургаан квадратаар хязгаарлагдсан (Зураг 7, b); эцэст нь, октаэдр нь найман тогтмол гурвалжингаар хязгаарлагддаг, тэнцүү ирмэг бүхий ердийн дөрвөлжин диэдр юм (Зураг 7c); Октаэдрийг мөн адил ирмэгтэй ердийн гурвалжин антипризм гэж тодорхойлж болно. Дурын ердийн пирамид, призм, хоёр талт ба антипризмээс ялгаатай нь тетраэдр, шоо, октаэдр нь тэдгээрийн аль ч хоёр нүүрийг (мөн аль ч хоёр олон өнцөгт өнцгийг) бүхэл бүтэн олон өнцөгтийг өөртөө тохируулах замаар нэгтгэж болно. Үүнээс гадна тэдгээрийн олон талт өнцөг нь тогтмол, i.e. тэгш хавтгай ба тэнцүү хоёр талт өнцөгтэй байна.

Хавтгай дээрх ердийн олон өнцөгтүүдийн нэгэн адил ердийн олон өнцөгтийг "ерөнхийдөө" гэж тодорхойлж болно: эдгээр нь ижил тэгш олон өнцөгтүүдээр хүрээлэгдсэн, тэгш өнцөгт олон өнцөгттэй гүдгэр олон өнцөгтүүд юм. Дээр дурдсан ердийн тетраэдр, шоо, октаэдр гэсэн гурван төрлийн ердийн полиэдрээс гадна хоёр төрлийн ердийн полиэдрүүд байдаг: додекаэдр (додекаэдр) ба икосаэдр (20-эдрон) нь 12 тогтмолоор хязгаарлагддаг. таван өнцөгт ба 20 энгийн гурвалжин - Зураг. 8,а,б. Эдгээр хоёр полиэдрүүд нь шоо ба тетраэдртэй адилхан хоорондоо холбоотой байдаг (Шоо-г үзнэ үү): Додекаэдрын нүүрний төвүүд нь икосаэдрын оройнууд юм - зураг. 9, - ба эсрэгээр.

Зөвхөн таван жинхэнэ тогтмол олон талт олон өнцөгт байдаг нь үнэхээр гайхмаар зүйл юм - эцэст нь хавтгай дээр хязгааргүй олон тооны тогтмол олон өнцөгтүүд байдаг.

Бүх ердийн олон өнцөгтийг эрт дээр үеэс мэддэг байсан Эртний Грек, мөн Евклидийн алдарт "Элементүүд"-ийн сүүлчийн XIII номыг тэдэнд зориулав. Эдгээр олон талтуудыг ихэвчлэн Платоны хатуу биетүүд гэж нэрлэдэг - агуу хүмүүсийн өгсөн ертөнцийн идеалист дүр төрхөөр эртний Грекийн сэтгэгчПлатон, тэдгээрийн дөрөв нь дөрвөн элементийг дүрсэлсэн: тетраэдр - гал, шоо - дэлхий, икосаэдр - ус ба октаэдр - агаар; тав дахь олон талт, додекаэдр нь бүх ертөнцийг бэлгэддэг - Латинаар үүнийг quinta essentia ("тав дахь мөн чанар") гэж нэрлэж эхэлсэн. Тетраэдр, шоо, октаэдрийг зөв олоход хэцүү байсангүй, ялангуяа эдгээр хэлбэрүүд нь байгалийн талстуудтай байдаг тул жишээлбэл: шоо бол ширээний давсны нэг талст (NaCl), октаэдр бол калийн нэг талст юм. alum . Эртний Грекчүүд пиритийн талстыг (хүхрийн пирит FeS) судалж үзээд додекаэдр хэлбэрийг олж авсан гэсэн таамаглал байдаг. Додекаэдртэй бол икосаэдр барих нь тийм ч хэцүү биш юм: аль хэдийн дурьдсанчлан түүний оройнууд нь додекаэдрийн арван хоёр нүүрний төвүүд байх болно - Зураг. 9.

Диагональ тоолох

Диагональуудын тоо НОлон өнцөгтийг дараах томъёогоор хялбархан тооцоолж болно.

N = n·(n - 3)/2,

Хаана n- олон өнцөгтийн оройн тоо. Энэ томъёог ашигласнаар үүнийг олоход хялбар байдаг

гурвалжин нь 0 диагональтай
тэгш өнцөгт нь 2 диагональтай
таван өнцөгт нь 5 диагональтай
зургаан өнцөгт нь 9 диагональтай
Найман өнцөгт нь 20 диагональтай
12 өнцөгт нь 54 диагональтай
24 өнцөгт нь 252 диагональтай

Оройн тоотой олон өнцөгтийн диагональуудын тоо nЗөвхөн олон өнцөгтийн орой бүрт ижил тооны ирмэгүүд нийлдэг тохиолдолд тооцоолоход хялбар к. Дараа нь та томъёог ашиглаж болно:

N=n· (n - k - 1)/2,

Энэ нь орон зайн болон нүүрний диагональуудын нийт тоог өгдөг. Эндээс бид үүнийг олж чадна

тетраэдр (n=4, k=3) 0 диагональтай
октаэдр (n=6, k=4) 3 диагональтай (бүгд орон зайн)
шоо (n=8, k=3) нь 16 диагональтай (12 нүүр, 4 орон зайн)
Икосаэдр (n=12, k=5) нь 36 диагональтай (бүх орон зайн)
Додекаэдр (n=20, k=3) нь 160 диагональтай (25 нүүр, 135 орон зайн)

Хэрэв олон өнцөгтийн өөр өөр оройд янз бүрийн тооны ирмэгүүд нийлбэл тооцоо нь мэдэгдэхүйц төвөгтэй болж, тохиолдол бүрт тус тусад нь хийх ёстой.

Ижил диагональтай дүрсүүд

ru.wikipedia.org - Википедиа: Диагональ
dic.academic.ru - олон өнцөгтийн нүүр ба орон зайн диагональ хоорондын ялгааг харуулсан зураг

Бялуу, бялуу, бялуу гэсэн үгсийн онцлох зүйл хаана байна
Бялуу, торта, бялуу (Итали torta) - амтат боовны бялуу, эрэгтэй. төрөл; олон тооны - бялуу. Бүх тохиолдолд ганц бие болон олон тооЭнэ үгийн тодотгол нь хаашаа ч хөдөлдөггүй, үргэлж эхний О дээр: надад бялуу хайч, энэ бялуунд ямар нэгэн зүйл дутуу байна, бялуу авахаар дэлгүүр гүйж оч, энэ талх нарийн боовны дэлгүүрт бүх зүйл бий.

Нэг гол гишүүн - сэдэвтэй ямар өгүүлбэрүүд байдаг вэ?
Бүх зүйл орос хэл дээр энгийн өгүүлбэрүүдугаасаа дүрмийн үндэсхоёр хэсэгтэй, нэг хэсэгтэй гэсэн хоёр төрөлд хуваагддаг. 1. Сэдвийн болон өгүүлбэрийн аль аль нь орсон өгүүлбэрийг хоёр гишүүнт өгүүлбэр гэнэ: Алтан төгөл хус модыг няцаав. хөгжилтэй хэл. 2. Нэг хэсэг өгүүлбэрзөвхөн агуулсан өгүүлбэрүүд юм

Хэрэв таны хүүхэд хүйтэн байвал яах вэ
Хүүхэд яагаад их алхах хэрэгтэй вэ? Цэвэр агаар-д шаардлагатай зөв ажиллагаабиеийн бүх чухал систем, түүний дотор хүүхдийн хөгжилд онцгой ач холбогдолтой тархи. Цэвэр агаар нь уушгийг тоос, харшил үүсгэгчээс цэвэрлэж, улмаар хамрын салст бүрхэвч, дээд хэсгийн үйл ажиллагааг сайжруулдаг. амьсгалын зам. Явган явах үед нэмэлт эрчим хүчний зарцуулалт

Хумсанд суурь лакыг хэрхэн зөв түрхэх вэ
Хумсны файлын төрлүүд. Хумсны файлыг хэрхэн сонгох вэ. Хумсаа эрүүл харагдуулахгүй, хугарахгүй байхын тулд зөв файл сонгох нь маш чухал юм. Та хумсныхаа бүтцээс хамаарч хумсны файл сонгох хэрэгтэй. Төмөр хумсны файлуудыг хэрэглэхийг зөвлөдөггүй. Хумсны файлын суурь нь өөрөө резин эсвэл картон байх ёстой. Хэрэв таны хумс бат бөх байвал элс эсвэл индранил төрлийн багаж ашиглаж болно. Хэрэв таны хумс хэврэг бол

Интернет дээр та Киров мужийн Дотоод хэргийн яамны Замын хөдөлгөөний аюулгүй байдлын улсын хяналтын газарт өргөдөл, гомдол, санал гаргаж болно.
Та өргөдөл, гомдол, саналыг ОХУ-ын Дотоод хэргийн яамны Замын хөдөлгөөний хяналтын улсын байцаагчид gibdd.ru албан ёсны вэбсайтын Өргөдөл хүлээн авах хэсэгт оруулах боломжтой. Бүрэлдэхүүн хэсгийн замын хөдөлгөөний хяналтын улсын байцаагчид өргөдөл, гомдол, санал гаргах. Оросын Холбооны УлсЭдгээр хэлтсийн албан ёсны вэбсайтаас олж болно. 01 Бүгд Найрамдах Адыгей улсын Дотоод хэргийн яамны Замын хөдөлгөөний аюулгүй байдлын улсын байцаагчийн хэлтэс 02 Замын хөдөлгөөний аюулгүй байдлын улсын байцаагчийн хэлтэс

Ямар төрлийн бууз байдаг, яаж хоол хийх вэ
Сонгодог банш Татсан үхрийн мах - 350 гр гахайн мах - 150 гр сонгино - 1 ширхэг. том (эсвэл 2 дунд) цөцгий - 50 гр ус - 50 гр давс, чинжүү Татсан мах хийж, үрж жижиглэсэн сонгино, цөцгий, давс, чинжүү нэмээд ус нэмээд бүх татсан махыг сайтар хутгана. Үйлдвэрлэлийн т

Карт гэж юу вэ
Карт - соронзон бус материалаар хийсэн хөдлөх диск эсвэл цагираг соронзон луужинтойргийн эргэн тойронд жигд тархсан хуваагдалтай. Өөрөөр хэлбэл, карт нь хөдөлгөөнгүй маркертай харьцуулахад эргэлддэг масштаб юм. Эргэдэг масштабтай луужинг голчлон далайн болон голын флот. Газар дээр ихэвчлэн өөр загварыг ашигладаг

2008 оны хуанли хаанаас олох вэ
2008 оны хуанли бүхий сайтуудын холбоосыг доороос үзнэ үү: oboi2008.easytask.biz - 2008 оны хуанли. Таны ширээний компьютер дээрх зургийн ханын цаас. Уран сайхны гэрэл зургууд 1024×768 ба 1280×1024 хэмжээтэй, давхардсан хуанлитай darena.ru - хамгийн энгийн нь

Да Хон Пао гэж юу вэ
Да Хон Пао - "Том улаан дээл", хад хятад цай, Фужиан мужийн баруун хойд хэсэгт, Вуйи ууланд үйлдвэрлэгддэг. Хатаасан навчны өнгөний дагуу цай нь burgundy болон хүрэн өнгөтэй байна ногоон сүүдэр, баялаг, чихэрлэг амттай. Дараа нь шар айраг исгэх үед цайны амт, өнгө, үнэр өөрчлөгддөг: эхлээд

Мандариныг хэрхэн сонгох вэ
Эдгээр нарлаг, баяр баясгалантай жимс нь зах, дэлгүүрт гарч ирдэг намрын сүүлмөн тэдэнтэй хамт авч яв сайхан сэтгэл, эрч хүч, витамин, хамгийн чухал нь баяр ёслолын мэдрэмж. Мандариныг эрт дээр үеэс өвлийн амралт, шинэ жил, зул сарын баяртай хүчтэй холбож ирсэн. Зул сарын гацуур мод эсвэл нарсны сарвууны үнэртэй хамт шинэхэн жимсний анхилуун үнэр нь байшинг баяр ёслол, тайтгарлын мэдрэмжээр дүүргэдэг.

Полиэдрүүд нь геометрийн салбарт чухал байр суурь эзэлдэг төдийгүй энд бас байдаг өдөр тутмын амьдралхүн бүр. -ээс эхлээд янз бүрийн олон өнцөгт хэлбэрээр зохиомлоор бүтээсэн гэр ахуйн эд зүйлсийг дурдахгүй байх шүдэнзний хайрцагмөн архитектурын элементүүдээр төгсдөг, шоо (давс), призм (болор), пирамид (шеелит), октаэдр (алмаз) гэх мэт талстууд мөн байгальд байдаг.

Олон өнцөгтийн тухай ойлголт, геометрийн олон өнцөгтийн төрлүүд

Геометр нь шинжлэх ухааны хувьд шинж чанар, шинж чанарыг судалдаг стереометрийн хэсгийг агуулдаг эзэлхүүнтэй биетүүд, хэний тал нь байна гурван хэмжээст орон зайХязгаарлагдмал хавтгай (нүүр) -ээс бүрддэгийг "олон талт" гэж нэрлэдэг. Нүүрний тоо, хэлбэрээрээ ялгаатай олон талт олон янзын төрөл байдаг.

Гэсэн хэдий ч бүх олон талт нь нийтлэг шинж чанартай байдаг:

Эдгээр нь бүгд 3 салшгүй бүрэлдэхүүн хэсэгтэй: нүүр (олон өнцөгтийн гадаргуу), орой (нүүрний уулзвар дээр үүссэн булангууд), ирмэг (зургийн тал эсвэл хоёр нүүрний уулзвар дээр үүссэн сегмент). ).
Олон өнцөгтийн ирмэг бүр хоорондоо зэргэлдээ орших хоёр, зөвхөн хоёр нүүрийг холбодог.
Гүдгэр гэдэг нь бие нь аль нэг нүүр нь хэвтэж буй онгоцны зөвхөн нэг талд бүрэн байрладаг гэсэн үг юм. Дүрэм нь олон өнцөгтийн бүх нүүрэнд хамаарна. Стереометрийн хувьд ийм геометрийн дүрсийг гүдгэр олон талт гэж нэрлэдэг. Үл хамаарах зүйл бол ердийн олон талтуудын дериватив болох одтой олон өнцөгт юм. геометрийн биетүүд.

Олон өнцөгтийг дараахь байдлаар хувааж болно.

Дараах ангиллуудаас бүрдэх гүдгэр полиэдрийн төрлүүд: энгийн эсвэл сонгодог (призм, пирамид, параллелепипед), ердийн (мөн Платоны хатуу биет гэж нэрлэдэг), хагас жигд (өөр нэр нь Архимедийн хатуу биетүүд).
Гүдгэр бус олон талт (од).

Призм ба түүний шинж чанарууд

Стереометр нь геометрийн нэг салбар болох гурван хэмжээст дүрсүүдийн шинж чанар, олон өнцөгтийн төрлийг (тэдгээрийн призм) судалдаг. Призм нь параллелограмм хэлбэртэй зэрэгцээ хавтгайд байрлах хоёр бүрэн ижил нүүртэй (тэдгээрийг мөн суурь гэж нэрлэдэг) n-р тооны хажуугийн нүүртэй геометрийн бие юм. Хариуд нь призм нь хэд хэдэн сорттой бөгөөд үүнд дараахь олон талт төрлүүд орно.

Параллелепипед - суурь нь параллелограмм бол үүсдэг - 2 хос тэнцүү олон өнцөгт эсрэг талын булангуудба хоёр хос конгруент эсрэг талууд.
суурьтай перпендикуляр хавиргатай.
ирмэг ба суурийн хооронд шууд бус өнцөг (90-ээс бусад) байгаагаар тодорхойлогддог.
Ердийн призм нь тэгш хажуугийн нүүр хэлбэртэй суурьтай байдаг.

Призмийн үндсэн шинж чанарууд:

Тохиромжтой суурь.
Призмийн бүх ирмэгүүд хоорондоо тэнцүү ба параллель байна.
Бүх хажуугийн нүүр нь параллелограмм хэлбэртэй байдаг.

Пирамид

Пирамид нь нэг суурь ба нэг цэг дээр холбогдсон гурвалжин нүүрний n-ээс бүрдэх геометрийн бие юм - орой. Хэрэв пирамидын хажуугийн нүүрийг заавал гурвалжингаар дүрсэлсэн бол сууринд гурвалжин олон өнцөгт, дөрвөлжин, таван өнцөгт гэх мэт хязгааргүй байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Энэ тохиолдолд пирамидын нэр нь суурийн олон өнцөгттэй тохирно. Жишээлбэл, хэрэв пирамидын ёроолд гурвалжин байвал энэ нь дөрвөлжин гэх мэт.

Пирамидууд нь конус хэлбэртэй олон өнцөгт юм. Энэ бүлгийн олон талт төрлүүдэд дээр дурдсан зүйлсээс гадна дараахь төлөөлөгчдийг багтаасан болно.

суурин дээрээ ердийн олон өнцөгт хэлбэртэй, өндрийг нь сууринд нь сийлсэн эсвэл тойруулан хүрээлэгдсэн тойргийн төв рүү тусгав.
Хажуугийн ирмэгүүдийн аль нэг нь суурьтай тэгш өнцөгт огтлолцох үед тэгш өнцөгт пирамид үүсдэг. Энэ тохиолдолд энэ ирмэгийг пирамидын өндөр гэж нэрлэж болно.

Пирамидын шинж чанарууд:

Бүх зүйл тохиолдолд хажуугийн хавиргаПирамидууд нь тэнцүү (ижил өндөртэй), дараа нь бүгд суурьтай ижил өнцгөөр огтлолцдог бөгөөд суурийн эргэн тойронд та пирамидын дээд хэсгийн проекцтой давхцаж байгаа төвтэй тойрог зурж болно.
Хэрэв пирамидын ёроолд жирийн олон өнцөгт байрладаг бол бүх хажуугийн ирмэгүүд нь хоорондоо нийцэж, нүүр нь ижил өнцөгт гурвалжин болно.

Ердийн олон өнцөгт: олон талтуудын төрөл ба шинж чанарууд

Стереометрийн хувьд онцгой газартуйлын тэнцүү нүүртэй геометрийн биетүүдийг эзэлдэг бөгөөд тэдгээрийн орой дээр ижил тооны ирмэгүүд холбогдсон байдаг. Эдгээр биеийг Платоны хатуу биетүүд буюу ердийн олон талт биетүүд гэж нэрлэдэг. Эдгээр шинж чанаруудтай зөвхөн таван төрлийн полиэдр байдаг.

Тетраэдр.
Хэксаэдр.
Октаэдр.
Додекаэдр.
Икосаэдр.

Тогтмол polyhedra нь эртний Грекийн гүн ухаантан Платоноос нэрлэгдсэн бөгөөд тэрээр эдгээр геометрийн биетүүдийг бүтээлдээ дүрсэлж, тэдгээрийг байгалийн элементүүд болох газар, ус, гал, агаартай холбосон байдаг. Тав дахь дүрсийг Орчлон ертөнцийн бүтэцтэй ижил төстэй байдлаар шагнасан. Түүний бодлоор байгалийн элементийн атомууд ердийн олон талт хэлбэртэй байдаг. Тэдний хамгийн сэтгэл татам шинж чанар болох тэгш хэмийн ачаар эдгээр геометрийн биетүүд эртний математикч, философичид төдийгүй бүх цаг үеийн архитектор, зураач, уран барималчдын сонирхлыг их татдаг байв. Үнэмлэхүй тэгш хэмтэй зөвхөн 5 төрлийн полиэдра байгаа нь үндсэн олдвор гэж тооцогддог байсан бөгөөд тэдгээр нь бурханлаг зарчимтай холбоотой байв.

Гексаэдр ба түүний шинж чанарууд

Зургаан өнцөгт хэлбэрээр Платоныг залгамжлагчид дэлхийн атомын бүтэцтэй ижил төстэй гэж үзсэн. Мэдээжийн хэрэг, одоогийн байдлаар энэ таамаглалыг бүрэн няцаасан боловч энэ нь орчин үеийн хүмүүсийн оюун санааг татахад саад болохгүй. алдартай дүрүүдтүүний гоо зүй.

Геометрийн хувьд шоо гэж нэрлэгддэг зургаан өнцөгтийг параллелепипедийн онцгой тохиолдол гэж үздэг бөгөөд энэ нь эргээд призмийн нэг төрөл юм. Үүний дагуу кубын шинж чанарууд нь хоорондоо холбоотой бөгөөд цорын ганц ялгаа нь кубын бүх нүүр ба булангууд хоорондоо тэнцүү байна. Үүнээс дараах шинж чанарууд гарч ирнэ.

Кубын бүх ирмэгүүд хоорондоо тохирч, хоорондоо параллель хавтгайд байрладаг.
Бүх нүүрнүүд нь ижил квадратууд (тэдгээрийн 6 нь шоо байдаг), тэдгээрийн аль нэгийг нь суурь болгон авч болно.
Бүх хоорондын өнцөг нь 90-тэй тэнцүү байна.
Орой бүр тэнцүү тооны ирмэгтэй, тухайлбал 3.
Куб нь тэгш хэмийн төв гэж нэрлэгддэг зургаан өнцөгтийн диагональуудын огтлолцох цэг дээр огтлолцдог 9-тэй.

Тетраэдр

Тетраэдр нь гурвалжин хэлбэртэй тэнцүү нүүртэй тетраэдр бөгөөд орой тус бүр нь гурван нүүрний холболтын цэг юм.

Ердийн тетраэдрийн шинж чанарууд:

Тетраэдрийн бүх нүүр - энэ нь тетраэдрийн бүх нүүр нь хоорондоо тохирч байна гэсэн үг юм.
Суурь нь зөвөөр илэрхийлэгддэг тул геометрийн дүрс, энэ нь байна тэнцүү талууд, тэгвэл тетраэдрийн нүүрнүүд ижил өнцгөөр нийлдэг, өөрөөр хэлбэл бүх өнцөг нь тэнцүү байна.
Орой тус бүрийн хавтгайн өнцгийн нийлбэр нь 180 байна, учир нь бүх өнцөг нь тэнцүү тул ердийн тетраэдрийн аль ч өнцөг нь 60 байна.
Орой бүрийг эсрэг талын (ортоцентр) нүүрний өндрүүдийн огтлолцлын цэг хүртэл төсөөлдөг.

Октаэдр ба түүний шинж чанарууд

Тогтмол олон талтуудын төрлийг тайлбарлахдаа наймалж, суурин дээр наасан хоёр дөрвөлжин ердийн пирамид хэлбэрээр дүрсэлж болох октаэдр гэх мэт объектыг тэмдэглэх нь зүйтэй.

Октаэдроны шинж чанарууд:

Геометрийн биеийн нэр нь түүний нүүрний тоог илэрхийлдэг. Октаэдр нь 8 конгруентаас бүрдэнэ тэгш талт гурвалжин, орой бүр дээр ижил тооны нүүр нийлдэг, тухайлбал 4.
Октаэдрийн бүх нүүрнүүд тэнцүү тул түүний интерфэйсийн өнцөг нь мөн тэнцүү бөгөөд тус бүр нь 60-тай тэнцүү бөгөөд аль ч оройн хавтгайн өнцгийн нийлбэр нь 240 байна.

Додекаэдр

Хэрэв бид геометрийн биеийн бүх нүүрийг ердийн таван өнцөгт гэж төсөөлвөл бид хоёр талт буюу 12 олон өнцөгт дүрсийг авна.

Додекаэдрын шинж чанарууд:

Орой бүр дээр гурван нүүр огтлолцдог.
Бүх нүүр нь тэнцүү бөгөөд ижил ирмэгийн урттай, мөн ижил талбайтай.
Додекаэдр нь 15 тэнхлэг ба тэгш хэмийн хавтгайтай бөгөөд тэдгээрийн аль нэг нь нүүрний орой ба түүний эсрэг талын ирмэгийн дундуур дамждаг.

Икосаэдр

Додекаэдрээс дутахааргүй сонирхолтой, икосаэдр дүрс нь 20 ижил нүүртэй гурван хэмжээст геометрийн бие юм. Ердийн 20-эдроны шинж чанаруудын дунд дараахь зүйлийг тэмдэглэж болно.

Икосаэдрийн бүх нүүр нь тэгш өнцөгт гурвалжин юм.
Олон өнцөгтийн орой бүрт таван нүүр нийлдэг ба нийлбэр зэргэлдээ булангууддээд тал нь 300.
Икосаэдр нь додекаэдр шиг 15 тэнхлэг ба эсрэг талын нүүрний дунд цэгүүдийг дайран өнгөрдөг тэгш хэмийн хавтгайтай.

Хагас тэгш өнцөгт олон өнцөгтүүд

Платоны хатуу биетүүдээс гадна гүдгэр олон талтуудын бүлэгт Архимедийн хатуу биетүүд багтдаг бөгөөд тэдгээр нь тайрагдсан ердийн олон талт биетүүд юм. Энэ бүлгийн олон талт төрлүүд нь дараахь шинж чанартай байдаг.

Геометр биетүүд хэд хэдэн төрлийн хос тэнцүү нүүртэй байдаг, жишээлбэл: таслагдсан тетраэдрердийн тетраэдр шиг 8 нүүртэй, харин Архимедийн хатуу биетийн хувьд 4 нүүртэй байх болно. гурвалжин хэлбэртэйба 4 - зургаан өнцөгт.
Нэг оройн бүх өнцөг нь тэнцүү байна.

Олон талт од

Геометрийн биетүүдийн эзэлхүүний бус төрлүүдийн төлөөлөгчид нь нүүр нь бие биетэйгээ огтлолцдог одны олон талт дүрсүүд юм. Тэдгээрийг хоёр энгийн нэгтгэх замаар үүсгэж болно гурван хэмжээст биетүүдэсвэл тэдгээрийн ирмэгийг үргэлжлүүлсний үр дүнд.

Тиймээс ийм одтой олон талтуудыг: октаэдр, додекаэдр, икосаэдр, кубоктаэдр, икозидодекаэдр зэрэг одтой хэлбэрүүд гэж нэрлэдэг.