Алга болсон тоологч эсвэл хуваагчийг хэрхэн зөв олох вэ. Зөв ба буруу бутархай

Энгийн математикийн дүрэмболон техник, хэрэв тэдгээрийг байнга ашиглахгүй бол хамгийн хурдан мартагддаг. Нэр томьёо ой санамжаас бүр ч хурдан арилдаг.

Эдгээр энгийн үйлдлүүдийн нэг бол хувиргах явдал юм зөв бутархайзөв рүү оруулах буюу өөрөөр хэлбэл холимог.

Буруу бутархай

Тоолуур (шугам дээрх тоо) нь хуваагчаас (шугам доорх тоо) их буюу тэнцүү байхыг буруу бутархай гэнэ. Энэ бутархайг бутархай нэмэх эсвэл бутархайг бүхэл тоогоор үржүүлэх замаар олж авна. Математикийн дүрмийн дагуу ийм бутархайг зөв болгон хувиргах ёстой.

Зөв бутархай

Бусад бүх бутархайг зөв гэж нэрлэдэг гэж үзэх нь логик юм. Хатуу тодорхойлолт: тоологч нь байгаа бутархай хуваагчаас бага. Нэг хэсэг бүхэл хэсэгзаримдаа холимог гэж нэрлэдэг.

Бутархай бутархайг зөв бутархай болгон хувиргах

• Эхний тохиолдол: тоологч ба хуваагч нь хоорондоо тэнцүү байна. Ийм бутархайг хөрвүүлсний үр дүн нь нэг юм. Гуравны гурав, нэг зуун хорин таван зуун хорин тавны аль нь ч хамаагүй. Үндсэндээ ийм бутархай нь тоог өөрөө хуваах үйлдлийг илэрхийлдэг.

• Хоёр дахь тохиолдол: тоологч нь хуваагчаас их байна. Энд та тоог үлдэгдэлтэй хуваах аргыг санах хэрэгтэй.
  Үүнийг хийхийн тулд хуваарьт үлдэгдэлгүй хуваагдах хүртэгчийн утгад хамгийн ойр байгаа тоог олох хэрэгтэй. Жишээлбэл, танд арван есөн гуравны нэг хэсэг байна. Ихэнх ойрын дугааргуравт хувааж болох нь арван найм. Энэ бол зургаа. Одоо гарсан тоог тоологчоос хас. Бид нэгийг авдаг. Энэ бол үлдсэн хэсэг. Хөрвүүлсний үр дүнг бичнэ үү: зургаан бүтэн ба гуравны нэг.

Гэхдээ бутархайг багасгахын өмнө зөв төрөл, та үүнийг богиносгож болох эсэхийг шалгах хэрэгтэй.
Хэрэв тоологч ба хуваагч нь нийтлэг хүчин зүйлтэй бол та бутархайг багасгаж болно. Энэ нь хоёулаа үлдэгдэлгүй хуваагдах тоо юм. Хэрэв хэд хэдэн ийм хуваагч байгаа бол хамгийн томыг нь олох хэрэгтэй.
Жишээлбэл, бүх тэгш тоонууд ийм нийтлэг хуваагчтай байдаг - хоёр. Арван зургаагийн арван хоёрын бутархай нь өөр нэг нийтлэг хуваагчтай - дөрөв. Энэ хамгийн том хуваагч. Тоолуур ба хуваагчийг дөрөв хуваа. Бууруулах үр дүн: гуравны дөрөв. Одоо практик болгон энэ бутархайг зөв бутархай болгон хувирга.

Бид сургуульд сурч эхлэхээсээ хамаагүй эрт амьдралдаа бутархайтай тааралддаг. Хэрэв бид бүхэл бүтэн алимыг хагас болгон хуваасан бол бид жимсний хагасыг авна. Үүнийг дахин таслацгаая - энэ нь ¼ болно. Эдгээр нь бутархай юм. Тэгээд бүх зүйл энгийн мэт санагдсан. Насанд хүрсэн хүний ​​хувьд. Хүүхдийн хувьд (ба энэ сэдэвтөгсгөлд нь сурч эхэлнэ бага сургууль) хийсвэр математикийн ойлголтуудЭнэ нь аймшигтай ойлгомжгүй хэвээр байгаа бөгөөд багш зөв бутархай ба буруу бутархай, энгийн ба аравтын бутархай гэж юу болох, тэдгээртэй ямар үйлдлүүд хийж болох, хамгийн чухал нь энэ бүхэн юунд хэрэгтэйг тодорхой тайлбарлах ёстой.

Ямар төрлийн бутархай байдаг вэ?

Танилцаж байна шинэ сэдэвсургуульд эхэлдэг энгийн бутархай. Тэдгээрийг дээд ба доор гэсэн хоёр тоог тусгаарлах хэвтээ шугамаар амархан танина. Дээд талыг нь тоологч, доод хэсгийг хуваагч гэж нэрлэдэг. Буруу, зөв ​​энгийн бутархай бичих жижиг үсгийн сонголт байдаг - ташуу зураасаар, жишээлбэл: ½, 4/9, 384/183. Энэ сонголт нь шугамын өндөр хязгаарлагдмал, "хоёр давхар" бүртгэлийн маягтыг ашиглах боломжгүй үед ашиглагддаг. Яагаад? Тийм ээ, учир нь энэ нь илүү тохиромжтой. Бид үүнийг хэсэг хугацааны дараа харах болно.

Энгийн бутархайгаас гадна аравтын бутархай байдаг. Тэдгээрийг ялгах нь маш энгийн: хэрэв нэг тохиолдолд хэвтээ эсвэл налуу зураас ашигладаг бол нөгөө тохиолдолд тоонуудын дарааллыг тусгаарлахад таслал ашигладаг. Жишээ авч үзье: 2.9; 163.34; 1.953. Бид тоог зааглахдаа цэг таслалыг зориуд ашигласан. Тэдний эхнийх нь "хоёр цэг есөн" гэж унших болно.

Шинэ ойлголтууд

Энгийн бутархай руу буцъя. Тэд хоёр төрлөөр ирдэг.

Зөв бутархайн тодорхойлолт нь дараах байдалтай байна: энэ нь хуваагч нь хуваагчаас бага бутархай юм. Энэ яагаад чухал вэ? Бид одоо харах болно!

Та хэд хэдэн алимтай, хоёр дахин хуваасан. Нийт - 5 хэсэг. Та "хоёр хагас" эсвэл "таван хагас" алимтай юу гэж хэлэх вэ? Мэдээжийн хэрэг, эхний сонголт нь илүү байгалийн сонсогдож байгаа бөгөөд бид үүнийг найзуудтайгаа ярилцахдаа ашиглах болно. Гэхдээ хэрэв хүн бүр хэдэн жимс авахыг тооцоолох шаардлагатай бол, хэрэв компанид таван хүн байвал бид 5/2 тоог бичиж, 5-д хуваана - математикийн үүднээс энэ нь илүү тодорхой болно. .

Тиймээс зөв ба буруу бутархайг нэрлэх дүрэм нь ийм байна: хэрэв бүхэл хэсгийг бутархайгаар (14/5, 2/1, 173/16, 3/3) ялгаж чадвал энэ нь жигд бус байна. Хэрэв ½, 13/16, 9/10-ын жишээн дээр үүнийг хийх боломжгүй бол энэ нь зөв байх болно.

Бутархайн үндсэн шинж чанар

Бутархайн хуваагч ба хуваагчийг нэгэн зэрэг үржүүлж эсвэл ижил тоогоор хуваавал түүний утга өөрчлөгдөхгүй. Төсөөлөөд үз дээ: тэд бялууг 4 тэнцүү хэсэг болгон хувааж, танд нэгийг өгсөн. Тэд нэг бялууг найман хэсэг болгон хувааж, танд хоёрыг өгсөн. Энэ үнэхээр чухал уу? Эцсийн эцэст ¼ ба 2/8 нь ижил зүйл юм!

Бууруулах

Математикийн сурах бичгүүдийн бодлого, жишээнүүдийн зохиогчид бичихэд төвөгтэй боловч товчилсон бутархайг санал болгож, оюутнуудыг төөрөгдүүлэхийг эрмэлздэг. Зөв бутархайн жишээ энд байна: 167/334, энэ нь маш "аймар" мэт санагдаж байна. Гэхдээ бид үүнийг ½ гэж бичиж болно. 334 тоо нь 167-д үлдэгдэлгүйгээр хуваагддаг - энэ үйлдлийг хийсний дараа бид 2-ыг авна.

Холимог тоо

Буруу бутархайг хэлбэрээр илэрхийлж болно холимог тоо. Энэ нь бүхэл хэсгийг урагш авчирч, хэвтээ шугамын түвшинд бичих явдал юм. Үнэн хэрэгтээ илэрхийлэл нь нийлбэр хэлбэртэй байна: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 гэх мэт.

Бүхэл хэсгийг нь гаргахын тулд тоологчийг хуваагчаар хуваах хэрэгтэй. Үлдсэн хуваалтыг дээд талд, мөрний дээгүүр, бүх хэсгийг илэрхийллийн өмнө бичнэ. Тиймээс бид бүтцийн хоёр хэсгийг авна: бүхэл нэгж + зөв бутархай.

Үүнийг хэрэгжүүлэх боломжтой урвуу ажиллагаа- үүнийг хийхийн тулд та бүхэл хэсгийг хуваагчаар үржүүлж, үр дүнгийн утгыг тоологч дээр нэмэх хэрэгтэй. Ямар ч төвөгтэй зүйл байхгүй.

Үржүүлэх, хуваах

Хачирхалтай нь бутархайг үржүүлэх нь нэмэхээс хялбар байдаг. Шаардлагатай бүх зүйл бол хэвтээ шугамыг сунгах явдал юм: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Хуваах үед бүх зүйл бас энгийн: та бутархайг хөндлөн чиглэлд үржүүлэх хэрэгтэй: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Бутархай нэмэх

Хэрэв та нэмэх шаардлагатай бол юу хийх эсвэл тэдгээрийн хуваагч нь өөр өөр тоо? Үржүүлэхтэй адил зүйл хийх нь ажиллахгүй - энд та зөв бутархайн тодорхойлолт ба түүний мөн чанарыг ойлгох хэрэгтэй. Нэр томъёог нийтлэг хуваагч руу авчрах шаардлагатай, өөрөөр хэлбэл хоёр бутархайн доод хэсэг нь ижил тоотой байх ёстой.

Үүнийг хийхийн тулд та бутархайн үндсэн шинж чанарыг ашиглах хэрэгтэй: хоёр хэсгийг ижил тоогоор үржүүлнэ. Жишээлбэл, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Нөхцөлүүдийг багасгахын тулд аль хуваагчийг хэрхэн сонгох вэ? Энэ нь бутархайн хуваагч дахь хоёр тооны үржвэр болох хамгийн бага тоо байх ёстой: 1/3 ба 1/9-ийн хувьд энэ нь 9 байх болно; ½ ба 1/7 - 14-ийн хувьд, учир нь бага үнэ цэнэ, 2 ба 7-д үлдэгдэлгүй хуваагддаг, байхгүй.

Хэрэглээ

Тэд юуны төлөө вэ? буруу бутархай? Эцсийн эцэст, бүхэл бүтэн хэсгийг нэн даруй сонгож, холимог тоо авах нь илүү тохиромжтой бөгөөд үүнийг дуусгах болно! Хэрэв та хоёр бутархайг үржүүлэх эсвэл хуваах шаардлагатай бол жигд бус хэсгийг ашиглах нь илүү ашигтай байдаг.

Авцгаая дараагийн жишээ: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Энэ нь огтлох зүйл огт байхгүй юм шиг санагдаж байна. Гэхдээ эхний хаалтанд нэмэх үр дүнг буруу бутархай гэж бичвэл яах вэ? Харах: (37/17) / (37/68)

Одоо бүх зүйл байрандаа орно! Бүх зүйл тодорхой болохуйц жишээг бичье: (37*68) / (17*37).

Тоолуур ба хуваагч дахь 37-г цуцалъя, эцэст нь дээд ба доод хэсгийг 17-д хуваая. Та зөв ба буруу бутархайн үндсэн дүрмийг санаж байна уу? Бид хуваагч болон хуваагчийг нэгэн зэрэг хийвэл ямар ч тоогоор үржүүлж, хувааж болно.

Тиймээс бид хариултыг авах болно: 4. Жишээ нь төвөгтэй мэт санагдсан боловч хариулт нь зөвхөн нэг тоог агуулдаг. Энэ нь математикт ихэвчлэн тохиолддог. Хамгийн гол нь айх хэрэггүй, энгийн дүрмийг дагаж мөрдөх явдал юм.

Нийтлэг алдаа

Хэрэгжүүлэхдээ оюутан нийтлэг алдаануудын нэгийг амархан гаргаж чаддаг. Ихэнхдээ тэдгээр нь анхаарал болгоомжгүй байдлаас болж, заримдаа судлагдсан материал нь толгойдоо зөв хадгалагдаагүй байгаатай холбоотой байдаг.

Ихэнхдээ тоологч дахь тоонуудын нийлбэр нь түүний бие даасан бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг багасгахыг хүсдэг. Жишээн дээр хэлье: (13 + 2) / 13, хаалтгүй (хэвтээ шугамаар) бичсэн, олон оюутнууд туршлагагүйн улмаас 13-ыг дээр болон доороос нь зурсан байна. Гэхдээ ямар ч тохиолдолд үүнийг хийх ёсгүй, учир нь энэ бол бүдүүлэг алдаа юм! Хэрэв нэмэхийн оронд үржүүлэх тэмдэг байсан бол бид хариултанд 2-ын тоог авах болно, гэхдээ нэмэх үед аль нэг нөхцөлтэй үйлдэл хийхийг зөвшөөрдөггүй, зөвхөн бүхэл нийлбэрээр.

Залуус ч гэсэн бутархайг хуваахдаа алдаа гаргадаг. Хоёр зөвийг авъя бууруулж болохгүй бутархайба бие биенээ хуваана: (5/6) / (25/33). Сурагч үүнийг хольж, үүссэн илэрхийлэлийг (5*25) / (6*33) гэж бичиж болно. Гэхдээ энэ нь үржүүлэхэд тохиолдох болно, гэхдээ бидний тохиолдолд бүх зүйл арай өөр байх болно: (5*33) / (6*25). Бид боломжтой зүйлийг багасгаж, хариулт нь 11/10 байх болно. Бид үүссэн буруу бутархайг аравтын бутархай гэж бичнэ - 1.1.

Хаалт

Аль ч тохиолдолд үүнийг санаарай математик илэрхийллүүдүйл ажиллагааны дарааллыг үйл ажиллагааны тэмдгүүдийн тэргүүлэх чиглэл, хаалт байгаа эсэхээр тодорхойлно. Бусад бүх зүйл тэнцүү, үйлдлийн дарааллыг зүүнээс баруун тийш тоолно. Энэ нь бутархайн хувьд бас үнэн юм - тоологч эсвэл хуваагч дахь илэрхийлэлийг энэ дүрмийн дагуу нарийн тооцдог.

Эцсийн эцэст энэ нь нэг тоог нөгөөд хуваах үр дүн юм. Хэрэв тэдгээр нь жигд хуваагдаагүй бол энэ нь бутархай болно - энэ бол бүх зүйл.

Компьютер дээр бутархайг хэрхэн бичих вэ

Стандарт хэрэгслүүд нь хоёр "давхарга" -аас бүрдэх бутархай үүсгэхийг үргэлж зөвшөөрдөггүй тул оюутнууд заримдаа янз бүрийн заль мэх хийдэг. Жишээлбэл, тэд тоологч болон хуваагчийг Paint график засварлагч руу хуулж, хооронд нь нааж, хооронд нь зурдаг. хэвтээ шугам. Мэдээжийн хэрэг, илүү хялбар сонголт байдаг бөгөөд энэ нь маш их зүйлийг өгдөг нэмэлт функцууд, энэ нь ирээдүйд танд хэрэгтэй болно.

Microsoft Word програмыг нээнэ үү. Дэлгэцийн дээд хэсэгт байрлах самбаруудын нэгийг "Оруулах" гэж нэрлэдэг - үүн дээр дарна уу. Баруун талд, цонхны хаах, багасгах дүрс байрладаг талд "Формула" товчлуур байна. Энэ бол яг бидэнд хэрэгтэй зүйл юм!

Хэрэв та энэ функцийг ашиглавал дэлгэцэн дээр аль нэгийг ашиглаж болох тэгш өнцөгт хэсэг гарч ирнэ математикийн тэмдэг, гар дээр байхгүй, мөн сонгодог хэлбэрээр бутархай бичнэ. Өөрөөр хэлбэл, тоологч ба хуваагчийг хэвтээ шугамаар хуваана. Ийм зөв бутархай бичихэд маш амархан байгаад та гайхах байх.

Математик сур

Хэрэв та 5-6-р ангид суралцаж байгаа бол удалгүй математикийн мэдлэг (бутархай тоотой ажиллах чадварыг оруулаад) шаардлагатай болно. сургуулийн хичээлүүд. Физикийн бараг бүх асуудалд, хими, геометр, тригонометрийн бодисын массыг хэмжихдээ та бутархайгүйгээр хийж чадахгүй. Удалгүй та цаасан дээр илэрхийлэл бичихгүйгээр оюун ухаандаа бүх зүйлийг тооцоолж сурах болно, гэхдээ улам бүр нэмэгдэнэ нарийн төвөгтэй жишээнүүд. Тиймээс зөв бутархай гэж юу болох, түүнтэй хэрхэн ажиллах талаар суралцаарай сургалтын хөтөлбөр, гэрийн даалгавраа цаг тухайд нь хийвэл амжилтанд хүрнэ.

Энгийн бутархайг \textit (зөв) ба \textit (буруу) бутархай гэж хуваадаг. Энэ хуваалт нь тоологч ба хуваагч хоёрын харьцуулалт дээр суурилдаг.

Зөв бутархай

Зөв бутархайЭнгийн бутархайг $\frac(m)(n)$ гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнд тоологч нь хуваагчаас бага, өөрөөр хэлбэл. $м

Жишээ 1

Жишээлбэл, $\frac(1)(3)$, $\frac(9)(123)$, $\frac(77)(78)$, $\frac(378567)(456298)$ бутархайнууд зөв байна. , тэгэхээр яаж тус бүрд нь зөв бутархайн тодорхойлолтыг хангасан хуваагчаас бага байна.

Бутархайг нэгтэй харьцуулах үндсэн дээр зөв бутархай гэсэн тодорхойлолт байдаг.

зөв, нэгээс бага бол:

Жишээ 2

Жишээ нь $\frac(6)(13)$ энгийн бутархай зөв учир нь $\frac(6)(13) нөхцөл хангагдсан

Буруу бутархай

Буруу бутархайнь энгийн бутархай $\frac(m)(n)$ бөгөөд түүний тоологч нь эсвэл -ээс их байна. хуваагчтай тэнцүү байна, өөрөөр хэлбэл $м\ge n$.

Жишээ 3

Жишээлбэл, $\frac(5)(5)$, $\frac(24)(3)$, $\frac(567)(113)$, $\frac(100001)(100000)$ бутархайнууд жигд бус байна. , тэгэхээр яаж тэдгээрийн тус бүр дэх тоологч нь хуваагчаас их буюу тэнцүү байх нь буруу бутархайн тодорхойлолтод нийцдэг.

Бутархай бутархайн тодорхойлолтыг нэгтэй харьцуулан авч үзье.

Энгийн бутархай $\frac(m)(n)$ байна буруу, хэрэв энэ нь нэгтэй тэнцүү эсвэл түүнээс их бол:

\[\frac(m)(n)\ge 1\]

Жишээ 4

Жишээ нь, энгийн бутархай $\frac(21)(4)$ буруу байна, учир нь $\frac(21)(4) >1$ нөхцөл хангагдсан;

энгийн бутархай $\frac(8)(8)$ буруу байна, учир нь $\frac(8)(8)=1$ нөхцөл хангагдсан.

Бутархай бутархай гэсэн ойлголтыг нарийвчлан авч үзье.

Жишээ болгон $\frac(7)(7)$ буруу бутархайг авч үзье. Энэ бутархайн утга нь долоон тэнцүү хэсэгт хуваагдсан объектын долоон хэсгийг авах явдал юм. Тиймээс бэлэн байгаа долоон хувьцаанаас объектыг бүхэлд нь бүрдүүлж болно. Тэдгээр. $\frac(7)(7)$ буруу бутархайг дүрсэлдэг бүхэл бүтэн сэдэвболон $\frac(7)(7)=1$. Тиймээс, тоологч нь хуваагчтай тэнцүү байх буруу бутархай нь нэг бүхэл объектыг дүрсэлсэн бөгөөд ийм бутархайг $1$ натурал тоогоор сольж болно.

$\frac(5)(2)$ - эдгээр таван секундын хэсгээс та $2$ бүхэл объект (нэг бүхэл бүтэн объект $2$ хэсгээс бүрдэх бөгөөд хоёр бүхэл объектыг бүтээхэд танд хэрэгтэй) нь ойлгомжтой. $2+2=4$ хувьцаа) ба нэг секундын хувьцаа үлдэнэ. Өөрөөр хэлбэл, $\frac(5)(2)$ буруу бутархай нь объектын $2$-ыг, энэ объектын эзлэх хувийг $\frac(1)(2)$ гэж тодорхойлдог.

$\frac(21)(7)$ -- хорин нэгийн долооны хэсгээс та $3$ бүхэл объект хийж болно (тус бүрд $7$-ийн хувьцаатай $3$ объект). Тэдгээр. $\frac(21)(7)$ бутархай нь $3$ бүхэл объектыг дүрсэлдэг.

Үзсэн жишээнүүдээс дүгнэж болно дараагийн гаралт: Тоолуур нь хуваарьт хуваагддаг бол буруу бутархайг натурал тоогоор сольж болно (жишээлбэл, $\frac(7)(7)=1$ ба $\frac(21)(7)=3$), эсхүл натурал тоо ба зөв бутархай бутархайн нийлбэр нь хэрэв хүртэгч нь хуваарьт бүрэн хуваагдахгүй бол (жишээлбэл, $\ \frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$). Ийм учраас ийм бутархайг нэрлэдэг буруу.

Тодорхойлолт 1

Бутархай бутархайг натурал тоо ба зөв бутархайн нийлбэр (жишээлбэл, $\frac(5)(2)=2+\frac(1)(2)$) хэлбэрээр илэрхийлэх үйл явцыг гэнэ. бүхэл хэсгийг буруу бутархайгаас салгах.

Буруу бутархайтай ажиллахдаа ажиглаж болно ойр холболттэдгээрийн хооронд болон холимог тоо.

Бутархай бутархайг ихэвчлэн холимог тоо гэж бичдэг - бүхэл тоо ба бутархай хэсгээс бүрдэх тоо.

Бутархай бутархайг холимог тоогоор бичихийн тулд та хуваагчийг үлдэгдэлтэй хуваах ёстой. Хуваагч нь холимог тооны бүхэл хэсэг, үлдсэн хэсэг нь бутархай хэсгийн хуваагч, хуваагч нь бутархай хэсгийн хуваагч байх болно.

Жишээ 5

$\frac(37)(12)$ буруу бутархайг холимог тоогоор бич.

Шийдэл.

Тоолуурыг үлдэгдэлтэй хуваагчаар хуваана:

\[\frac(37)(12)=37:12=3\ (үлдэгдэл\ 1)\] \[\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)\]

Хариулах.$\frac(37)(12)=3\frac(1)(12)$.

Холимог тоог буруу бутархай болгон бичихийн тулд та хуваагчийг бүхэл тоогоор үржүүлж, гарсан үржвэрт бутархай хэсгийн тоог нэмж, үр дүнг бутархайн тоонд бичих хэрэгтэй. Бутархай бутархайн хуваагч нь холимог тооны бутархай хэсгийн хуваагчтай тэнцүү байна.

Жишээ 6

$5\frac(3)(7)$ холимог тоог буруу бутархай хэлбэрээр бич.

Шийдэл.

Хариулах.$5\frac(3)(7)=\frac(38)(7)$.

Холимог тоо ба зөв бутархайг нэмэх

Холимог тооны нэмэгдэл$a\frac(b)(c)$ ба зөв бутархай$\frac(d)(e)$ нь өгөгдсөн холимог тооны бутархай хэсгийг өгөгдсөн бутархайд нэмэх замаар гүйцэтгэнэ.

Жишээ 7

Тохирох бутархай $\frac(4)(15)$ ба холимог тоо $3\frac(2)(5)$ нэмнэ.

Шийдэл.

Холимог тоо ба зөв бутархайг нэмэх томъёог ашиглая:

\[\frac(4)(15)+3\frac(2)(5)=3+\зүүн(\frac(2)(5)+\frac(4)(15)\баруун)=3+\ зүүн(\frac(2\cdot 3)(5\cdot 3)+\frac(4)(15)\баруун)=3+\frac(6+4)(15)=3+\frac(10)( 15)\]

\textit(5) тоонд хуваах замаар бид $\frac(10)(15)$ бутархайг багасгаж болохыг тодорхойлж чадна. Бууруулах үйлдлийг хийж, нэмэхийн үр дүнг олцгооё.

Тэгэхээр $\frac(4)(15)$ зөв бутархай ба холимог тоо $3\frac(2)(5)$-г нэмсний үр дүн $3\frac(2)(3)$ болно.

Хариулт:$3\frac(2)(3)$

Холимог тоо ба буруу бутархайг нэмэх

Бутархай бутархай болон холимог тоонуудыг нэмэхХолимог хоёр тоог нэмэхэд хүргэдэг бөгөөд үүний тулд бүх хэсгийг буруу бутархайгаас тусгаарлахад хангалттай.

Жишээ 8

Холимог тоо $6\frac(2)(15)$ ба буруу бутархай $\frac(13)(5)$-ын нийлбэрийг тооцоол.

Шийдэл.

Эхлээд $\frac(13)(5)$ буруу бутархайгаас бүхэл тоог гаргаж авъя:

Хариулт:$8\frac(11)(15)$.

Бүх шинжлэх ухааны хатан хаан болох математикийг судалж байхдаа хүн бүр хэзээ нэгэн цагт бутархайтай тулгардаг. Хэдийгээр энэ ойлголт (бутархайн төрлүүд эсвэл тэдгээртэй хийсэн математикийн үйлдлүүд гэх мэт) огтхон ч төвөгтэй биш боловч үүнийг анхааралтай авч үзэх хэрэгтэй, учир нь бодит амьдралЭнэ нь сургуулиас гадуур маш их хэрэг болно. Тиймээс, бутархайн тухай мэдлэгээ сэргээцгээе: тэдгээр нь юу вэ, тэдгээр нь юунд зориулагдсан, тэдгээр нь ямар төрөл байдаг, тэдэнтэй хэрхэн өөр өөр зүйл хийх талаар арифметик үйлдлүүд.

Эрхэмсэг фракц: энэ юу вэ

Математикийн бутархай нь тоонууд бөгөөд тус бүр нь нэгжийн нэг буюу хэд хэдэн хэсгээс бүрддэг. Ийм бутархайг энгийн эсвэл энгийн гэж нэрлэдэг. Дүрмээр бол тэдгээрийг хэвтээ эсвэл ташуу зураасаар тусгаарласан хоёр тоогоор бичдэг бөгөөд үүнийг "бутархай" шугам гэж нэрлэдэг. Жишээ нь: ½, ¾.

Эдгээр тоонуудын дээд буюу эхнийх нь тоологч (тооноос хэдэн хэсэг авсныг харуулдаг), доод буюу хоёр дахь нь хуваагч (нэгж хэдэн хэсэгт хуваагдаж байгааг харуулдаг).

Бутархайн хэсэг нь үнэндээ хуваах тэмдгийн үүрэг гүйцэтгэдэг. Жишээлбэл, 7:9=7/9

Уламжлал ёсоор энгийн бутархай нь нэгээс бага байдаг. Харин аравтын бутархай үүнээс том байж болно.

Бутархай нь юунд зориулагдсан вэ? Бүх зүйлд тийм, учир нь бодит ертөнцБүх тоо бүхэл тоо биш. Жишээлбэл, цайны газарт сургуулийн хоёр охин хамтдаа нэг амттай шоколад худалдаж авсан. Тэд амттангаа хуваалцах гэж байтал нэг найзтайгаа уулзаж, бас түүнийг дайлахаар шийджээ. Гэсэн хэдий ч одоо шоколадны баар нь 12 квадратаас бүрддэгийг харгалзан зөв хуваах шаардлагатай байна.

Эхлээд охид бүх зүйлийг тэнцүү хуваахыг хүсч, дараа нь тус бүр дөрвөн ширхэг авах болно. Гэвч бодсоны эцэст тэд найздаа шоколадны 1/3 биш, харин 1/4-ийг нь дайлахаар шийджээ. Сургуулийн охид бутархайг сайн судлаагүй тул ийм нөхцөлд хоёр хуваахад маш хэцүү 9 ширхэгтэй болно гэдгийг тэд тооцоогүй. Энэ маш энгийн жишээ нь тооны хэсгийг зөв олох нь ямар чухал болохыг харуулж байна. Гэхдээ амьдралд ижил төстэй тохиолдлуудилүү их.

Бутархайн төрлүүд: энгийн ба аравтын бутархай

Бүгд математикийн бутархайэнгийн ба аравтын бутархай гэсэн хоёр том ангилалд хуваагддаг. Тэдний эхнийх нь онцлог шинж чанаруудыг өмнөх догол мөрөнд тайлбарласан тул одоо хоёр дахь хэсэгт анхаарлаа хандуулах нь зүйтэй юм.

Аравтын тоо гэдэг нь таслалаар тусгаарлан зураас, зураасгүй бичгээр бичдэг тооны бутархайн байрлалын тэмдэглэгээ юм. Жишээ нь: 0.75, 0.5.

Үнэн хэрэгтээ аравтын бутархай нь энгийн бутархайтай адилхан боловч түүний хуваагч нь үргэлж нэг, дараа нь тэг байдаг - иймээс түүний нэр.

Таслалаас өмнөх тоо нь бүхэл тоо бөгөөд түүний дараах бүх зүйл бутархай болно. Би үүнд дуртай энгийн бутархайаравтын тоо руу хөрвүүлэх боломжтой. Тиймээс өмнөх жишээнд заасан аравтын бутархайг ердийн байдлаар бичиж болно: ¾ ба ½.

Аравтын бутархай ба энгийн бутархай аль аль нь эерэг эсвэл сөрөг байж болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Хэрэв тэдгээрийн өмнө "-" тэмдэг байвал, өгөгдсөн бутархайсөрөг, хэрэв "+" бол эерэг.

Энгийн бутархайн дэд төрлүүд

Ийм төрлийн энгийн бутархай хэсгүүд байдаг.

Аравтын бутархайн дэд төрлүүд

Энгийн бутархайгаас ялгаатай нь аравтын бутархай нь зөвхөн 2 төрөлд хуваагддаг.

• Эцсийн - аравтын бутархайн дараа хязгаарлагдмал (хязгаарлагдмал) цифртэй байдаг тул энэ нэрийг авсан: 19.25.
• Хязгааргүй бутархай гэдэг нь аравтын бутархайн дараа хязгааргүй тооны оронтой тоо юм. Жишээлбэл, 10-ыг 3-т хуваахад үр дүн гарна хязгааргүй бутархай 3,333…

Бутархай нэмэх

Бутархай тоогоор янз бүрийн арифметик зохицуулалт хийх нь арай илүү хэцүү байдаг энгийн тоонууд. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та үндсэн дүрмийг ойлгож байгаа бол тэдгээрийн тусламжтайгаар ямар ч жишээг шийдвэрлэх нь хэцүү биш байх болно.

Жишээ нь: 2/3+3/4. Тэдний хувьд хамгийн бага нийтлэг үржвэр нь 12 байх тул энэ тоо нь хуваагч бүрт байх шаардлагатай. Үүнийг хийхийн тулд бид эхний бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 4-ээр үржүүлбэл 8/12 болж, бид хоёр дахь гишүүнтэй ижил зүйлийг хийдэг, гэхдээ зөвхөн 3 - 9/12-оор үржүүлнэ. Одоо та жишээг хялбархан шийдэж чадна: 8/12+9/12= 17/12. Үүссэн бутархай нь буруу нэгж байна, учир нь тоологч нь хуваагчаас их байна. Үүнийг 17:12 = 1 ба 5/12-т хуваах замаар зөв холимог болгон хувиргах боломжтой бөгөөд үүнийг хийх ёстой.

Холимог бутархай нэмэх үед үйлдлүүдийг эхлээд бүхэл тоогоор, дараа нь бутархайгаар гүйцэтгэдэг.

Хэрэв жишээнд аравтын бутархай ба ердийн бутархай байгаа бол хоёуланг нь энгийн болгож, дараа нь ижил хуваагч руу авчирч, нэмэх шаардлагатай. Жишээ нь 3.1+1/2. 3.1 тоог ингэж бичиж болно холимог фракц 3 ба 1/10 эсвэл буруу - 31/10. Нийтлэг хуваагчНөхцөлүүдийн хувьд 10 байх тул та 1/2-ын хүртэгч ба хуваагчийг 5-аар үржүүлэх хэрэгтэй, та 5/10-ийг авна. Дараа нь та бүгдийг хялбархан тооцоолж болно: 31/10+5/10=35/10. Хүлээн авсан үр дүн нь буруу бууруулж болох фракц бөгөөд бид үүнийг багасгадаг хэвийн харагдах байдал, 5-аар багасгах: 7/2 = 3 ба 1/2, эсвэл аравтын бутархай - 3.5.

2 аравтын бутархай нэмэхдээ аравтын бутархайн араас ижил тооны цифр байх нь чухал. Хэрэв тийм биш бол та зүгээр л нэмэх хэрэгтэй шаардлагатай тоо хэмжээтэг, учир нь аравтын бутархайн хувьд үүнийг өвдөлтгүйгээр хийх боломжтой. Жишээлбэл, 3.5+3.005. Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд эхний тоон дээр 2 тэг нэмээд дараа нь нэг нэгээр нь нэмэх хэрэгтэй: 3.500+3.005=3.505.

Бутархайг хасах

Бутархайг хасахдаа нэмэхийн адил хийх ёстой: нийтлэг хуваагч болгон бууруулж, нэг тоологчийг нөгөөгөөс хасч, шаардлагатай бол үр дүнг холимог бутархай болгон хувиргана.

Жишээ нь: 16/20-5/10. Нийтлэг хуваагч нь 20 байх болно. Та хоёр дахь бутархайг энэ хуваагч руу хоёр хэсгийг нь 2-оор үржүүлээд 10/20 гарна. Одоо та жишээг шийдэж болно: 16/20-10/20= 6/20. Гэхдээ энэ үр дүн нь бууруулж болох бутархайд хамаарах тул хоёр талыг 2-оор хуваах нь зүйтэй бөгөөд үр дүн нь 3/10 байна.

Бутархайг үржүүлэх

Бутархайг хуваах, үржүүлэх - илүү их энгийн алхамууднэмэх, хасахаас илүү. Үнэн хэрэгтээ эдгээр ажлыг гүйцэтгэхдээ нийтлэг зүйл хайх шаардлагагүй болно.

Бутархайг үржүүлэхийн тулд та хоёр тоологчийг нэг нэгээр нь, дараа нь хуваагчийг хоёуланг нь үржүүлэх хэрэгтэй. Хэрэв фракц нь бууруулж болох хэмжигдэхүүн байвал үр дүнг бууруулна.

Жишээ нь: 4/9x5/8. Ээлжлэн үржүүлсний дараа үр дүн нь 4x5/9x8=20/72 болно. Энэ бутархайг 4-өөр багасгаж болох тул жишээн дээрх эцсийн хариулт нь 5/18 байна.

Бутархайг хэрхэн хуваах вэ

Бутархайг хуваах нь бас энгийн үйлдэл бөгөөд үнэндээ энэ нь тэдгээрийг үржүүлэхэд хүргэдэг. Нэг бутархайг нөгөөд хуваахын тулд хоёр дахь хэсгийг эргүүлж, эхнийх нь үржүүлэх хэрэгтэй.

Жишээлбэл, 5/19 ба 5/7 бутархайг хуваах. Жишээг шийдэхийн тулд та хоёр дахь бутархайн хуваагч ба хуваагчийг сольж, үржүүлэх хэрэгтэй: 5/19x7/5=35/95. Үр дүнг 5-аар бууруулж болно - энэ нь 7/19 болж хувирна.

Хэрэв та бутархайг анхны тоонд хуваах шаардлагатай бол техник нь арай өөр байна. Эхлээд та энэ тоог буруу бутархай гэж бичиж, дараа нь ижил схемийн дагуу хуваах хэрэгтэй. Жишээлбэл, 2/13: 5-ыг 2/13: 5/1 гэж бичих хэрэгтэй. Одоо та 5/1-ийг эргүүлж, үүссэн бутархайг үржүүлэх хэрэгтэй: 2/13x1/5= 2/65.

Заримдаа та холимог бутархайг хуваах хэрэгтэй. Та тэдгээрийг бүхэл тоогоор харьцах хэрэгтэй: тэдгээрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, хуваагчийг эргүүлж, бүгдийг үржүүл. Жишээлбэл, 8 ½: 3. Бүх зүйлийг буруу бутархай болгон хувирга: 17/2: 3/1. Үүний дараа 3/1 эргүүлэх ба үржүүлэх: 17/2x1/3= 17/6. Одоо та буруу бутархайг зөв болгон хувиргах хэрэгтэй - 2 бүхэл ба 5/6.

Тиймээс, бутархай гэж юу болох, тэдгээрийн тусламжтайгаар янз бүрийн арифметик үйлдлүүдийг хэрхэн хийж болохыг олж мэдсэнийхээ дараа та үүнийг мартахгүй байхыг хичээх хэрэгтэй. Эцсийн эцэст хүмүүс аливаа зүйлийг нэмэхээсээ илүү хэсэг болгон хуваах хандлагатай байдаг тул та үүнийг зөв хийх чадвартай байх хэрэгтэй.

Зөв бутархай

Квартал

1. Эмх цэгцтэй байдал. аТэгээд бТэдгээрийн хоорондох гурван харилцааны зөвхөн нэгийг нь ялгах боломжийг олгодог дүрэм байдаг: "< », « >"эсвэл " = ". Энэ дүрмийг гэж нэрлэдэг захиалгын дүрэмба дараах байдлаар томьёолно: хоёр сөрөг бус тоо ба хоёр бүхэл тоотой ижил харьцаагаар хамааралтай ба ; хоёр эерэг бус тоонууд аТэгээд бнь сөрөг бус хоёр тоотой ижил хамаарлаар холбогдсон ба ; хэрэв гэнэт асөрөг биш, гэхдээ б- тэгвэл сөрөг а > б.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Бутархай нэмэхНэмэлт үйл ажиллагаа. аТэгээд бАливаа рационал тоонуудын хувьд гэж нэрлэгддэг зүйл байдаг нэгтгэх дүрэмв нэгтгэх дүрэм. Үүний зэрэгцээ тоо өөрөө дуудсанхэмжээ аТэгээд бтоо ба -аар тэмдэглэгдэх ба ийм тоог олох үйл явцыг гэнэнийлбэр .
3. . Дүгнэлтийн дүрэм нь дараах хэлбэртэй байна.Нэмэлт үйл ажиллагаа. аТэгээд бАливаа рационал тоонуудын хувьд Үржүүлэх үйл ажиллагаа.үржүүлэх дүрэм нэгтгэх дүрэмв нэгтгэх дүрэм. Үүний зэрэгцээ тоо өөрөө , энэ нь тэдэнд ямар нэг оновчтой тоог өгдөгхэмжээ аТэгээд бажил ба -аар тэмдэглэдэг ба ийм тоог олох үйл явцыг мөн нэрлэдэгүржүүлэх .
4. . Үржүүлэх дүрэм дараах байдалтай байна.Захиалгын харилцааны шилжилт хөдөлгөөн. а , бТэгээд нэгтгэх дүрэмДурын рационал тоонуудын хувьд аХэрэв бТэгээд бХэрэв нэгтгэх дүрэмбага аХэрэв нэгтгэх дүрэм, Тэр а, мөн хэрэв бТэгээд б, мөн хэрэв нэгтгэх дүрэмбага а, мөн хэрэв нэгтгэх дүрэмтэнцүү байна
5. . 6435">Нэмэх солих чадвар. Рационал нэр томьёоны газрыг өөрчлөхөд нийлбэр өөрчлөгдөхгүй. Нэмэлтийн холбоо.Захиалга
6. гурав нэмнэоновчтой тоо нь үр дүнд нөлөөлөхгүй.
7. Тэг байгаа эсэх.Нэмэх үед бусад бүх рационал тоог хадгалдаг 0 рационал тоо байдаг.
8. Эсрэг тоо байгаа эсэх.Аливаа рационал тоо нь эсрэг рационал тоотой байдаг бөгөөд энэ тоо нь нэмэхэд 0 болно.
9. Үржүүлэхийн шилжих чадвар.Рационал хүчин зүйлсийн байршлыг өөрчлөх нь бүтээгдэхүүнийг өөрчлөхгүй.
10. Үржүүлэхийн холбоо.Үржүүлэхэд бусад бүх рационал тоог хадгалдаг 1 рационал тоо байдаг.
11. Харилцан тоо байгаа эсэх.Аливаа рационал тоо нь урвуу рационал тоотой бөгөөд үүнийг үржүүлэхэд 1 болно.
12. Нэмэхтэй харьцуулахад үржүүлгийн тархалт.Үржүүлэх үйлдлийг нэмэх үйлдэлтэй хуваарилах хуулиар зохицуулдаг.
13. Нэмэх үйлдэлтэй дарааллын харьцааны холболт.Зүүн тийш болон баруун тал оновчтой тэгш бус байдалТа ижил оновчтой тоог нэмж болно.
14. /зураг/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0">Архимедийн аксиом. аЯмар ч оновчтой тоо а, та тэдгээрийн нийлбэр нь хэтэрсэн маш олон нэгж авч болно

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Нэмэлт шинж чанарууд

Рационал тоонд хамаарах бусад бүх шинж чанаруудыг үндсэн шинж чанарууд гэж ялгадаггүй, учир нь ерөнхийдөө бүхэл тооны шинж чанарууд дээр шууд үндэслэхээ больсон боловч өгөгдсөн үндсэн шинж чанарууд дээр үндэслэн эсвэл математикийн зарим объектын тодорхойлолтоор шууд нотлогдож болно. . Ийм нэмэлт шинж чанарууд зөндөө бий. Энд зөвхөн цөөн хэдэн зүйлийг жагсаах нь утга учиртай юм.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Олонлогийн тоолох чадвар

Рационал тоонуудын дугаарлалт Рационал тоонуудын тоог тооцоолохын тулд та тэдгээрийн багцын үндсэн байдлыг олох хэрэгтэй. Рационал тооны багц нь тоолж болдог гэдгийг батлахад хялбар байдаг. Үүнийг хийхийн тулд рационал тоонуудыг тоолох, өөрөөр хэлбэл рационал болон натурал тооны олонлогуудын хоорондох ялгааг бий болгох алгоритмыг өгөхөд хангалттай.Эдгээр алгоритмуудын хамгийн энгийн нь иймэрхүү харагдаж байна. Энгийн бутархайн төгсгөлгүй хүснэгтийг тус бүр дээр нь эмхэтгэсэн би- тус бүр дэх мөр Рационал тоонуудын тоог тооцоолохын тулд та тэдгээрийн багцын үндсэн байдлыг олох хэрэгтэй. Рационал тооны багц нь тоолж болдог гэдгийг батлахад хялбар байдаг. Үүнийг хийхийн тулд рационал тоонуудыг тоолох, өөрөөр хэлбэл рационал болон натурал тооны олонлогуудын хоорондох ялгааг бий болгох алгоритмыг өгөхөд хангалттай. j бибутархай байрласан багана. Тодорхой байхын тулд энэ хүснэгтийн мөр, багануудыг нэгээс эхлэн дугаарласан гэж үздэг. Хүснэгтийн нүдийг , хаана гэж тэмдэглэнэ

- нүд байрлах хүснэгтийн эгнээний дугаар, ба

- баганын дугаар.

Үүссэн хүснэгтийг дараах албан ёсны алгоритмын дагуу "могой" ашиглан хөндлөн гулдуулна. Эдгээр дүрмүүдийг дээрээс доош хайж, эхний тохирол дээр үндэслэн дараагийн байрлалыг сонгоно.. Өөрөөр хэлбэл, 1/1 бутархайг 1-ийн тоонд, 2/1-ийг 2-ын тоонд хуваарилдаг гэх мэт. Зөвхөн бууруулж болохгүй бутархайг дугаарлана гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй. Бутархайн хуваагч ба хуваагчийн хамгийн их нийтлэг хуваагч нь нэгтэй тэнцүү байх нь бууралтгүй байдлын албан ёсны шинж тэмдэг юм.

Энэ алгоритмын дагуу бид бүх эерэг рационал тоог тоолж болно. Энэ нь эерэг рационал тооны багцыг тоолж болно гэсэн үг юм. Рационал тоо бүрд эсрэгээр нь оноож өгснөөр эерэг ба сөрөг рационал тоонуудын хоорондын ялгааг тогтооход хялбар байдаг. Тэр. сөрөг рационал тооны олонлогийг мөн тоолох боломжтой. Тэдний нэгдэл нь мөн тоолж болох олонлогийн шинж чанараар тоологддог. Рационал тооны олонлогийг мөн тоолж болох олонлогийн төгсгөлтэй олонлогийн нэгдэл гэж тооцдог.

Рационал тооны олонлогийг тоолох тухай мэдэгдэл нь зарим нэг төөрөгдөл үүсгэж болзошгүй, учир нь эхлээд харахад энэ нь натурал тоонуудын багцаас хамаагүй өргөн юм шиг санагддаг. Үнэн хэрэгтээ энэ нь тийм биш бөгөөд бүх оновчтой тоог тоолоход хангалттай натурал тоонууд байдаг.

Рационал тоо дутагдалтай

Ийм гурвалжны гипотенузыг ямар ч хэлбэрээр илэрхийлэх боломжгүй оновчтой тоо

Маягтын рационал тоо 1 / nтомоор nдур мэдэн бага хэмжээгээр хэмжиж болно. Энэ баримтыг бий болгодог төөрөгдүүлсэн сэтгэгдэлРационал тоог дурын геометрийн зайг хэмжихэд ашиглаж болно. Энэ нь үнэн биш гэдгийг харуулахад хялбар байдаг.

Пифагорын теоремоос бид тэгш өнцөгт гурвалжны гипотенузыг түүний хөлийн квадратуудын нийлбэрийн квадрат язгуураар илэрхийлдэг гэдгийг бид мэднэ. Тэр. ижил хажуугийн гипотенузын урт зөв гурвалжиннэгж хөлтэй нь квадрат нь 2-той тэнцүү тоо юм.

Хэрэв бид тоог ямар нэг рационал тоогоор илэрхийлж болно гэж үзвэл ийм бүхэл тоо байна ммөн ийм натурал тоо n, тэр нь , мөн бутархай нь буурах боломжгүй, өөрөөр хэлбэл тоонууд мТэгээд n- харилцан энгийн.

Хэрэв бол , өөрөөр хэлбэл м 2 = 2n 2. Тиймээс тоо м 2 нь тэгш, гэхдээ хоёрын үржвэр сондгой тоосондгой, энэ нь тоо өөрөө гэсэн үг юм мбас жигд. Тэгэхээр натурал тоо байна к, ийм тоо мхэлбэрээр төлөөлж болно м = 2к. Тооны квадрат мэнэ утгаараа м 2 = 4к 2, гэхдээ нөгөө талаас м 2 = 2n 2 гэдэг нь 4 гэсэн үг к 2 = 2n 2, эсвэл n 2 = 2к 2. Өмнөх дугаарт үзүүлсэн шиг м, энэ нь тоо гэсэн үг n- тэр ч байтугай м. Гэхдээ хоёулаа хоёр хуваагдсан тул тэдгээр нь харьцангуй анхдагч биш юм. Үүний үр дүнд гарсан зөрчил нь оновчтой тоо биш гэдгийг баталж байна.