$\frac63$ бутархайг авч үзье. $\frac63 =6:3 = 2$ тул түүний утга нь 2 байна. Тоолуур ба хуваагчийг 2-оор үржүүлбэл юу болох вэ? $ \ frac63 \ дахин 2 = \ frac (12) (6) $. Мэдээжийн хэрэг, бутархайн утга өөрчлөгдөөгүй тул $\frac(12)(6)$ y нь 2-той тэнцүү байна. тоо ба хуваагчийг үржүүлэх 3-аар $\frac(18)(9)$, эсвэл 27-оор $\frac(162)(81)$, эсвэл 101-ээр $\frac(606)(303)$ авна. Эдгээр тохиолдлууд тус бүрт бид хуваагчийг хуваах замаар олж авах бутархайн утга нь 2. Энэ нь өөрчлөгдөөгүй гэсэн үг юм.
Бусад фракцуудын хувьд ижил загвар ажиглагдаж байна. Хэрэв $\frac(120)(60)$ (2-той тэнцүү) бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 2-т (үр дүн нь $\frac(60)(30)$), 3-т (үр дүн нь $\frac(40)(20) $), эсвэл 4-ээр (үр дүн $\frac(30)(15)$) гэх мэтээр хэлбэл, тухайн тохиолдол бүрт бутархайн утга өөрчлөгдөхгүй бөгөөд 2-той тэнцүү байна.
Энэ дүрэм нь тэнцүү биш бутархайд мөн хамаарна бүхэл тоо.
$\frac(1)(3)$ бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг 2-оор үржүүлбэл $\frac(2)(6)$, өөрөөр хэлбэл бутархайн утга өөрчлөгдөөгүй болно. Тэгээд уг нь бялуугаа 3 хуваагаад нэгийг нь авах юм уу, 6 хуваагаад 2 хуваагаад авчихвал аль алинд нь ижил хэмжээтэй бялуу авна. Тиймээс $\frac(1)(3)$ болон $\frac(2)(6)$ тоонууд ижил байна. Ерөнхий дүрмийг томъёолъё.
Аливаа бутархайн хуваагч ба хуваагчийг бутархайн утгыг өөрчлөхгүйгээр ижил тоогоор үржүүлж, хувааж болно.
Энэ дүрэм нь маш ашигтай болж хувирдаг. Жишээлбэл, энэ нь зарим тохиолдолд олон тооны үйлдлээс зайлсхийх боломжийг олгодог боловч үргэлж биш юм.
Жишээлбэл, бид $\frac(126)(189)$ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 63-т хувааж, $\frac(2)(3)$ бутархайг гаргаж авах боломжтой бөгөөд үүнийг тооцоолоход илүү хялбар байдаг. Өөр нэг жишээ. Бид $\frac(155)(31)$ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 31-д хувааж $\frac(5)(1)$ буюу 5-ыг авч болно, учир нь 5:1=5.
Энэ жишээн дээр бид анх удаа тааралдсан хуваагч нь 1 байх бутархай. Ийм фракцууд тоглодог чухал үүрэгтооцооллын үеэр. Ямар ч тоог 1-д хувааж болох бөгөөд түүний утга өөрчлөгдөхгүй гэдгийг санах нь зүйтэй. Өөрөөр хэлбэл, $\frac(273)(1)$ нь 273-тай тэнцүү; $\frac(509993)(1)$ нь 509993 гэх мэт. Тиймээс бүхэл тоо бүрийг 1 хуваарьтай бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болох тул бид тоог хуваах шаардлагагүй.
Хугарагч нь 1 байх ийм бутархайнуудын хувьд та мөн адил хийж болно арифметик үйлдлүүд, бусад бүх бутархайн адил: $\frac(15)(1)+\frac(15)(1)=\frac(30)(1)$, $\frac(4)(1) \times \frac ( 3)(1)=\frac(12)(1)$.
Бүхэл тоогоор ажиллах нь илүү тохиромжтой тул шугаман доорх нэгжтэй бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлбэл ямар сайн болохыг та асууж магадгүй юм. Гэхдээ бүхэл тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх нь бүхэл тоо болон бүхэл тоонуудын аль алинтай нь харьцахдаа янз бүрийн үйлдлүүдийг илүү үр дүнтэй гүйцэтгэх боломжийг бидэнд олгодог. бутархай тоо. Жишээлбэл, сурах -ээр бутархайг нэмнэ өөр өөр хуваагч . Бид $\frac(1)(3)$ болон $\frac(1)(5)$ нэмэх хэрэгтэй гэж бодъё.
Бид зөвхөн хуваагч нь тэнцүү бутархайг нэмж болно гэдгийг мэднэ. Энэ нь бид бутархайг хуваагч нь тэнцүү байх хэлбэрт хэрхэн бууруулах талаар сурах хэрэгтэй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд бид бутархайн тоо ба хуваагчийг утгыг нь өөрчлөхгүйгээр ижил тоогоор үржүүлж чадна гэсэн баримтыг дахин шаардах болно.
Эхлээд $\frac(1)(3)$ бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 5-аар үржүүлнэ. Бид $\frac(5)(15)$ авна, бутархайн утга өөрчлөгдөөгүй. Дараа нь бид $\frac(1)(5)$ бутархайн хүртэгч ба хуваагчийг 3-аар үржүүлнэ. Бид $\frac(3)(15)$ авна, дахиад бутархайн утга өөрчлөгдөөгүй. Тиймээс $\frac(1)(3)+\frac(1)(5)=\frac(5)(15)+\frac(3)(15)=\frac(8)(15)$.
Одоо бүхэл болон бутархай хэсгүүдийг агуулсан тоог нэмэхэд энэ системийг ашиглахыг хичээцгээе.
Бид $3 + \frac(1)(3)+1\frac(1)(4)$ нэмэх хэрэгтэй. Эхлээд бүх нэр томъёог бутархай болгон хувиргаж аваад: $\frac31 + \frac(1)(3)+\frac(5)(4)$. Одоо бид бүх бутархайг нийтлэг хуваагчтай болгох хэрэгтэй, үүний тулд бид эхний бутархайн хуваагч ба хуваагчийг 12, хоёр дахь бутархайг 4, гурав дахь хэсгийг 3-аар үржүүлнэ. Үүний үр дүнд бид $\frac(36) авна. )(12) + \frac(4 )(12)+\frac(15)(12)$ нь $\frac(55)(12)$-тай тэнцүү байна. Хэрэв та салахыг хүсч байвал буруу бутархай, үүнийг бүхэл болон бутархайгаас бүрдэх тоо болгон хувиргаж болно: $\frac(55)(12) = \frac(48)(12)+\frac(7)(12)$ эсвэл $4\frac(7) )( 12)$.
Зөвшөөрөгдсөн бүх дүрэм журам бутархайтай үйлдлүүд, бидний дөнгөж судалсан нь сөрөг тоонуудын хувьд ч хүчинтэй. Тэгэхээр -1: 3-ыг $\frac(-1)(3)$, 1: (-3)-ыг $\frac(1)(-3)$ гэж бичиж болно.
Сөрөг тоог эерэг тоонд хуваах, эерэг тоог сөрөг тоонд хуваах хоёулаа сөрөг тоонууд гарах тул хоёуланд нь хариулт нь сөрөг тоо байх болно. Тэр нь
$(-1) : 3 = \frac(1)(3)$ эсвэл $1: (-3) = \frac(1)(-3)$. Ингэж бичихдээ хасах тэмдэг нь тоологч эсвэл хуваагчийг тусад нь биш харин бүхэл бутархайг илэрхийлнэ.
Нөгөө талаас (-1) : (-3) $\frac(-1)(-3)$ гэж бичиж болох ба сөрөг тоог сөрөг тоонд хуваахад эерэг тоо гарах тул $\frac (-1 )(-3)$-г $+\frac(1)(3)$ гэж бичиж болно.
Нэмэх ба хасах сөрөг бутархайэерэг бутархайг нэмэх, хасахтай ижил аргаар явуулна. Жишээлбэл, $1- 1\frac13$ гэж юу вэ? Хоёр тоог бутархайгаар илэрхийлээд $\frac(1)(1)-\frac(4)(3)$-г авъя. Бутархайг нийтлэг хуваагч руу аваачиж $\frac(1 \times 3)(1 \times 3)-\frac(4)(3)$, өөрөөр хэлбэл $\frac(3)(3)-\ frac(4) (3)$, эсвэл $-\frac(1)(3)$.
- Бид 7-г хуваагчаар (2) үржүүлбэл 14 болно.
- 14 дээр нэмнэ дээд хэсэг(1), 15 гарч ирдэг,
- ба хуваагчийг орлуулна.
- үр дүн нь 15/2.
- Бутархай зөв, өөрөөр хэлбэл. тоологч хуваагчаас бага. Дараа нь даалгаврын дараа олж авсан холимог тоо нь хариулт болно.
- Бутархай нь буруу, өөрөөр хэлбэл. тоологч нь хуваагчаас их байна. Дараа нь бага зэрэг хувиргах шаардлагатай. Буруу бутархайг холимог тоо болгон хувиргах, өөрөөр хэлбэл бүхэл хэсгийг тусгаарлах ёстой. Үүнийг дараах байдлаар хийдэг.
Бутархайд бүхэл тоог нэмэхийн тулд хэд хэдэн үйлдэл, эс тэгвээс тооцоолол хийхэд хангалттай.
Жишээлбэл, танд 7 байна - та үүнийг 1/2 бутархай дээр нэмэх хэрэгтэй.
Бид дараах байдлаар ажиллана.
Ийм энгийн аргаар та бүхэл тоог бутархайд нэмж болно.
Бүхэл тоог бутархайгаас тусгаарлахын тулд тоологчийг хуваагчаар, үлдсэн хэсгийг нь хуваах хэрэгтэй - тэгээд бутархай байх болно.
Энгийн бутархайд бүхэл тоо нэмэх үйлдл нь төвөгтэй биш бөгөөд заримдаа бүрэлдэх үйл явцыг хамардаг. холимог фракц, аль нь бүхэл хэсэгбутархай хэсгийн зүүн талд байрлуулсан, жишээлбэл, ийм бутархай холилдох болно:
Гэсэн хэдий ч ихэнхдээ бутархайд бүхэл тоог нэмэхэд хүртэгч нь хуваагчаас их байх буруу бутархай болдог. Энэ үйлдлийг дараах байдлаар гүйцэтгэнэ: бүхэл тоог нэмж буй бутархайтай ижил хуваагчтай буруу бутархай хэлбэрээр дүрсэлж, дараа нь хоёр бутархайн тоог нэмдэг. Жишээлбэл, энэ нь иймэрхүү харагдах болно:
5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8
Би үүнийг маш энгийн гэж бодож байна.
Жишээлбэл, бид 1/4 бутархай байна (энэ нь 0.25-тай ижил, өөрөөр хэлбэл бүхэл тооны дөрөвний нэг).
Мөн энэ улиралд та ямар ч бүхэл тоог нэмж болно, жишээ нь 3. Та авах болно гурав ба дөрөвний нэг:
3.25. Эсвэл бутархай хэлбэрээр үүнийг дараах байдлаар илэрхийлнэ: 3 1/4
Энэ жишээн дээр үндэслэн та ямар ч бүхэл тоо бүхий бутархайг нэмж болно.
Та бүхэл тоог 10 (6/10) хуваарьтай бутархай болгох хэрэгтэй. Дараа нь одоо байгаа бутархайг 10 (35=610) нийтлэг хуваагч руу аваачна. За, үйлдлийг өмнөх шигээ хий энгийн бутархай 610+610=1210 нийт 12.
Үүнийг хийх хоёр арга бий.
1). Бутархайг бүхэл тоо болгон хувиргаж, нэмэх боломжтой. Жишээлбэл, 1/2 нь 0.5; 1/4 нь 0.25; 2/5 нь 0.4 гэх мэт.
4/5 бутархай нэмэх шаардлагатай 5 бүхэл тоог авна. Бутархайг өөрчилье: 4/5 нь 4-ийг 5-д хуваавал 0.8 болно. 0.8-ыг 5-д нэмээд бид 5.8 буюу 5 4/5-ыг авна.
2). Хоёр дахь арга: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.
Бутархай нэмэх нь математикийн энгийн үйлдэл бөгөөд жишээлбэл, бүхэл тоо 3 ба 1/7 бутархайг нэмэх хэрэгтэй. Энэ хоёр тоог нэмэхийн тулд нэг хуваагчтай байх ёстой тул гурвыг долоогоор үржүүлээд тэр тоонд хуваахад 21/7+1/7, хуваагч нэг, 21, 1-ийг нэмбэл 22/7 гэсэн хариу гарна. .
Зүгээр л энэ бутархайд бүхэл тоог нэмээд 6 + 1/2 = 6 1/2 хэрэгтэй гэж үзье. Хэрэв энэ нь аравтын бутархай бол та үүнийг дараах байдлаар хийж болно: 6+1.2=7.2.
Бутархай болон бүхэл тоог нэмэхийн тулд бүхэл тоон дээр бутархайг нэмж, хэлбэрээр бичих хэрэгтэй нийлмэл тоожишээлбэл, бүхэл тоо бүхий энгийн бутархайг нэмэхэд бид дараахийг авна: 1/2 +3 =3 1/2; нэмэх үед аравтын: 0,5 +3 =3,5.
Бутархай нь өөрөө бүхэл тоо биш, учир нь түүний тоо хэмжээ нь түүнд хүрэхгүй тул бүхэл тоог энэ бутархай болгон хувиргах шаардлагагүй болно. Тиймээс бүхэл тоо нь бүхэл тоо хэвээр үлдэж, бүрэн утгыг бүрэн харуулж, түүнд бутархайг нэмж, дараагийн бүтэн цэгийг нэмэхээс өмнө энэ бүхэл тоо хэр их дутагдаж байгааг харуулдаг.
Эрдмийн жишээ.
10 + 7/3 = 10 бүхэл ба 7/3.
Хэрэв мэдээж бүхэл тоонууд байгаа бол тэдгээрийг бүхэл тоогоор нийлнэ.
12 + 5 7/9 = 17 ба 7/9.
Энэ нь аль бүхэл тоо, аль бутархайгаас хамаарна.
Хэрэв Хоёр нэр томъёо эерэг байна, энэ бутархайг бүхэл тоонд нэмэх хэрэгтэй. Үр дүн нь холимог тоо байх болно. Үүнээс гадна 2 тохиолдол байж болно.
Тохиолдол 1.
4/9 + 10 = 10 4/9 (арван цэгийн дөрөвний ес).
Тохиолдол 2.
Үүний дараа та буруу бутархайн бүх хэсгийг бүхэл тоонд нэмж, үр дүнд нь нэмэх хэрэгтэй. бутархай хэсэг. Үүнтэй адилаар холимог тообүхэлд нь нэмсэн.
1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 цэгийн дөрөвний гурав).
2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 оноо нэг).
Нөхцөлүүдийн аль нэг нь эсвэл хоёуланг нь байвал сөрөг, дараа нь бид өөр эсвэл өөр тоогоор нэмэх дүрмийн дагуу нэмэлтийг гүйцэтгэдэг ижил шинж тэмдэг. Бүхэл тоо нь тухайн тоо болон 1-ийн харьцаагаар илэрхийлэгдэх ба дараа нь тоологч болон хуваагч хоёулаа тоогоор үржүүлнэ. хуваагчтай тэнцүү байнабүхэл тоог нэмсэн бутархай.
3) 1/5 + (-2)= 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (хасах 1 онооны тавны дөрөв).
4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (хасах 8 оноо гуравны нэг).
Сэтгэгдэл.
Уулзсаны дараа сөрөг тоонууд, тэдэнтэй үйлдлүүдийг судлахдаа 6-р ангийн сурагчид сөрөг бутархай дээр эерэг бүхэл тоог нэмэх нь хасахтай адил гэдгийг ойлгох хэрэгтэй. натурал тообутархай. Энэ үйлдлийг дараах байдлаар гүйцэтгэх нь мэдэгдэж байна:
Үнэн хэрэгтээ бутархай болон бүхэл тоог нэмэхийн тулд одоо байгаа бүхэл тоог бутархай болгон хувиргахад л хангалттай бөгөөд үүнийг хийх нь лийрийг устгахтай адил хялбар юм. Та зүгээр л бутархайн хуваагчийг (жишээнд) аваад бүхэл тооны хуваагч болгоход хангалттай бөгөөд үүнийг хуваагчаар үржүүлж, хуваах жишээг энд үзүүлэв.
2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3
Ахиллес яст мэлхийгээс арав дахин хурдан гүйж, түүнээс мянган алхмын ард байна гэж бодъё. Ахиллес энэ зайд гүйхэд шаардагдах хугацаанд яст мэлхий нэг чиглэлд зуун алхам мөлхөх болно. Ахиллес зуун алхам гүйхэд яст мэлхий дахиад арван алхам мөлхдөг гэх мэт. Энэ үйл явц эцэс төгсгөлгүй үргэлжлэх бөгөөд Ахиллес яст мэлхийг хэзээ ч гүйцэхгүй.
Энэ үндэслэл нь дараагийн бүх үеийнхний хувьд логик цочрол болсон. Аристотель, Диоген, Кант, Гегель, Гильберт... Тэд бүгд нэг талаараа Зеногийн апориа гэж үзсэн. Цочрол маш хүчтэй байсан тул " ... өнөөдрийг хүртэл хэлэлцүүлэг үргэлжилж байгаа бөгөөд шинжлэх ухааны нийгэмлэг парадоксуудын мөн чанарын талаар нэгдсэн саналд хүрч чадаагүй байна ... асуудлыг судлахад оролцсон; математик шинжилгээ, олонлогын онол, шинэ физик болон философийн хандлага; Тэдгээрийн аль нь ч асуудлыг шийдэх нийтээр хүлээн зөвшөөрөгдсөн шийдэл болсонгүй ..."[Википедиа, "Зеногийн апориа". Хүн бүр хууртагдаж байгааг ойлгодог, гэхдээ хууран мэхлэлт юунаас бүрддэгийг хэн ч ойлгодоггүй.
Математикийн үүднээс авч үзвэл, Зено өөрийн апориадаа хэмжигдэхүүнээс -д шилжихийг тодорхой харуулсан. Энэ шилжилт нь байнгын бус хэрэглээг илэрхийлдэг. Миний ойлгож байгаагаар хувьсах хэмжлийн нэгжийг ашиглах математикийн аппарат хараахан боловсруулагдаагүй эсвэл Зеногийн апорид ашиглагдаагүй байна. Ердийн логикоо ашиглах нь биднийг урхинд оруулдаг. Бид сэтгэхүйн инерцийн улмаас цаг хугацааны тогтмол нэгжийг харилцан хамааралтай үнэ цэнэд ашигладаг. ХАМТ физик цэгАхиллес яст мэлхийг гүйцэх тэр мөчид цаг хугацаа бүрэн зогстол удааширч байгаа мэт харагдана. Хэрэв цаг хугацаа зогсвол Ахиллес яст мэлхийг гүйцэж чадахгүй.
Хэрэв бид ердийн логикоо эргүүлбэл бүх зүйл байрандаа орно. Ахиллес хамт гүйдэг тогтмол хурд. Түүний замын дараагийн хэсэг бүр өмнөхөөсөө арав дахин богино байна. Үүний дагуу үүнийг даван туулахад зарцуулсан хугацаа өмнөхөөсөө арав дахин бага байна. Хэрэв бид энэ нөхцөлд "хязгааргүй" гэсэн ойлголтыг ашиглавал "Ахиллес яст мэлхийг хязгааргүй хурдан гүйцэх болно" гэж хэлэх нь зөв байх болно.
Энэ логик урхинаас хэрхэн зайлсхийх вэ? Байна уу тогтмол нэгжүүдцаг хэмжигдэхүүн болон явах хэрэггүй харилцан. Зеногийн хэлээр энэ нь дараах байдалтай байна.
Ахиллес мянган алхам гүйхэд яст мэлхий нэг зүгт зуун алхам мөлхөх болно. Эхнийхтэй тэнцэх дараагийн хугацааны интервалд Ахиллес дахиад мянган алхам гүйж, яст мэлхий зуун алхам мөлхөх болно. Одоо Ахиллес яст мэлхийнээс найман зуун алхмын өмнө байна.
Энэ хандлага нь бодит байдлыг ямар ч логик парадоксгүйгээр хангалттай дүрсэлдэг. Гэхдээ тийм биш бүрэн шийдэласуудлууд. Эйнштейний гэрлийн хурдыг үл тоомсорлодог тухай мэдэгдэл нь Зеногийн "Ахиллес ба яст мэлхий" апориатай тун төстэй юм. Бид энэ асуудлыг судалж, дахин бодож, шийдвэрлэх шаардлагатай хэвээр байна. Мөн шийдлийг хязгааргүй олон тоогоор бус хэмжилтийн нэгжээр хайх ёстой.
Зеногийн өөр нэг сонирхолтой апориа нь нисдэг сумны тухай өгүүлдэг.
Нисдэг сум цаг мөч бүрт амарч, цаг мөч бүрт амарч байдаг тул хөдөлгөөнгүй байдаг.
Энэ апорид логик парадоксҮүнийг маш энгийнээр даван туулж болно - цаг мөч бүрт нисдэг сум сансар огторгуйн өөр өөр цэгүүдэд амарч байдаг бөгөөд энэ нь үнэндээ хөдөлгөөн юм гэдгийг тодруулахад хангалттай. Энд бас нэг зүйлийг анхаарах хэрэгтэй. Зам дээрх машины нэг гэрэл зургаас түүний хөдөлгөөний баримт, түүнд хүрэх зайг тодорхойлох боломжгүй юм. Машин хөдөлж байгаа эсэхийг тодорхойлохын тулд цаг хугацааны өөр өөр цэгээс нэг цэгээс авсан хоёр гэрэл зураг хэрэгтэй боловч тэдгээрийн хоорондох зайг тодорхойлж чадахгүй. Машин хүртэлх зайг тодорхойлохын тулд та хоёр гэрэл зураг авах хэрэгтэй өөр өөр цэгүүднэг цагт орон зай, гэхдээ тэдгээрээс хөдөлгөөний баримтыг тодорхойлох боломжгүй (мэдээжийн хэрэг, тооцоололд нэмэлт мэдээлэл шаардлагатай хэвээр байгаа тул тригонометр танд туслах болно). Миний онцлохыг хүссэн зүйл онцгой анхаарал, цаг хугацааны хоёр цэг, сансар огторгуйн хоёр цэг нь судалгаа хийх өөр өөр боломжийг олгодог тул андуурч болохгүй өөр зүйл юм.
2018 оны 7-р сарын 4, Лхагва гараг
Багц ба олон багцын ялгааг Википедиа дээр маш сайн дүрсэлсэн байдаг. Харцгаая.
Таны харж байгаагаар "ижил олонлогт хоёр ижил элемент байх боломжгүй" боловч хэрэв олонлогт ижил элементүүд байгаа бол ийм олонлогийг "олон олонлог" гэж нэрлэдэг. Ийм утгагүй логик мэдрэмжтэй амьтадхэзээ ч ойлгохгүй. Энэ бол "бүрэн" гэдэг үгнээс оюун ухаангүй ярьдаг тоть, сургасан сармагчингийн түвшин юм. Математикчид энгийн сургагч багшийн үүрэг гүйцэтгэж, утгагүй санаагаа бидэнд номлодог.
Эрт урьд цагт гүүрийг барьсан инженерүүд гүүрний туршилт хийж байхдаа гүүрэн доор завинд сууж байжээ. Хэрэв гүүр нурсан бол дунд зэргийн инженер өөрийн бүтээлийн нуранги дор нас баржээ. Хэрвээ гүүр ачааллыг даах чадвартай бол авъяаслаг инженер бусад гүүрүүдийг барьсан.
Математикчид "намайг хуга, би гэрт байна" гэсэн хэллэгийн ард яаж нуугдаж байгаагаас үл хамааран "математик судлал" хийсвэр ойлголтууд", тэднийг бодит байдалтай салшгүй холбодог нэг хүйн бий. Энэ хүйн бол мөнгө. Өргөдөл гаргах. математикийн онолматематикчдад өөрсдөд нь тавьдаг.
Бид математикийн хичээлийг маш сайн сурсан, одоо цалингаа өгөөд кассанд сууж байна. Тэгэхээр нэг математикч мөнгөө авахаар манайд ирдэг. Бид түүнд бүх дүнг тоолж, өөр өөр овоолго хэлбэрээр ширээн дээр тавьж, ижил мөнгөн дэвсгэртийг оруулав. Дараа нь бид овоо бүрээс нэг дэвсгэрт авч, математикчдаа түүний "математикийн цалин" -ыг өгнө. Ижил элементгүй олонлог нь олонлогтой тэнцүү биш гэдгийг нотлох үед л үлдсэн үнэт цаасыг хүлээн авна гэдгийг математикчдад тайлбарладаг. ижил элементүүд. Эндээс л зугаа цэнгэл эхэлдэг.
Юуны өмнө, депутатуудын логик ажиллах болно: "Үүнийг бусдад хэрэглэж болно, гэхдээ надад биш!" Дараа нь тэд ижил мөнгөн дэвсгэртүүд өөр өөр үнэт цаасны дугаартай байдаг тул тэдгээрийг ижил элемент гэж үзэх боломжгүй гэж биднийг тайвшруулж эхэлнэ. За, цалингаа зоосоор тоолъё - зоосон дээр ямар ч тоо байхгүй. Энд математикч физикийг сандарч санаж эхэлнэ: өөр өөр зоосон мөнгө дээр байдаг өөр өөр тоо хэмжээшавар, болор бүтэцМөн зоос бүрийн атомын зохион байгуулалт нь өвөрмөц...
Одоо надад хамгийн их байна сонирхолтой асуулт: олон олонлогийн элементүүд олонлогийн элементүүд болон эсрэгээр хувирах шугам хаана байх вэ? Ийм шугам байхгүй - бүх зүйлийг бөө нар шийддэг, шинжлэх ухаан энд хэвтэхэд ойрхон ч биш юм.
Энд хар. Бид ижил талбайтай хөлбөмбөгийн цэнгэлдэхүүдийг сонгодог. Талбайн талбайнууд ижил байна - энэ нь бид олон багцтай гэсэн үг юм. Гэхдээ эдгээр ижил цэнгэлдэх хүрээлэнгүүдийн нэрийг харвал нэр нь өөр учраас олон гарч ирнэ. Таны харж байгаагаар ижил элементүүдийн багц нь олонлог ба олон багц юм. Аль нь зөв бэ? Тэгээд энд математикч-бөө-хурц хүн ханцуйнаасаа бүрээ гаргаж ирээд багц эсвэл олон багцын тухай ярьж эхлэв. Ямар ч байсан тэр бидний зөв гэдэгт итгүүлэх болно.
Орчин үеийн бөө нар олонлогийн онолыг бодит байдалтай уялдуулан хэрхэн ажилладагийг ойлгохын тулд нэг олонлогийн элементүүд нөгөө олонлогийн элементүүдээс юугаараа ялгаатай вэ гэсэн нэг асуултад хариулахад хангалттай. Би та нарт "нэг бүхэл бүтэн биш гэж төсөөлж болохуйц" эсвэл "ганц бүхэлдээ төсөөлшгүй" зүйлгүйгээр харуулах болно.
2018 оны 3-р сарын 18, Ням гараг
Тооны цифрүүдийн нийлбэр гэдэг нь математикт огт хамааралгүй бөөгийн хэнгэрэгтэй бүжиг юм. Тийм ээ, математикийн хичээл дээр бид тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олж, түүнийгээ ашиглахыг заадаг, гэхдээ тэд бөө учраас үр хойчдоо ур чадвар, мэргэн ухааныг зааж сургах, эс бөгөөс бөө нар зүгээр л үхэх болно.
Танд нотлох баримт хэрэгтэй байна уу? Википедиа нээгээд "Тооны цифрүүдийн нийлбэр" гэсэн хуудсыг хайж олоод үзээрэй. Тэр байхгүй. Аливаа тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олох томьёо математикт байдаггүй. Эцсийн эцэст тоо бол бидний тоо бичдэг график тэмдэг бөгөөд математикийн хэлээр даалгавар нь иймэрхүү сонсогддог: "Аливаа тоог илэрхийлэх график тэмдгийн нийлбэрийг ол." Математикчид энэ асуудлыг шийдэж чадахгүй ч бөө нар амархан шийдэж чадна.
Тоонуудын нийлбэрийг олохын тулд юу хийж, яаж хийхийг олж мэдье өгсөн дугаар. Ингээд 12345 тоотой болцгооё. Энэ тооны цифрүүдийн нийлбэрийг олохын тулд юу хийх хэрэгтэй вэ? Бүх алхамуудыг дарааллаар нь авч үзье.
1. Цаасан дээр тоог бич. Бид юу хийсэн бэ? Бид энэ тоог график тооны тэмдэг болгон хөрвүүлсэн. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.
2. Үүссэн нэг зургийг хэд хэдэн зураг болгон хайчилж, бие даасан тоонуудыг агуулна. Зургийг тайрах нь математикийн үйлдэл биш юм.
3. График тэмдэгтүүдийг тоо болгон хувиргах. Энэ бол математикийн үйлдэл биш юм.
4. Үүссэн тоонуудыг нэмнэ. Одоо энэ бол математик.
12345 тооны цифрүүдийн нийлбэр нь 15. Математикчдын хэрэглэдэг бөө нараас авсан “зүсэх, оёх дамжаа” юм. Гэхдээ энэ нь бүгд биш юм.
Математикийн үүднээс авч үзвэл ямар тооны системд тоо бичих нь хамаагүй. Тэгэхээр, in өөр өөр системүүдТооцооллын хувьд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр байх болно. Математикийн хувьд тооны системийг тухайн тооны баруун талд байрлах доод тэмдэгтээр заадаг. ХАМТ их тоо 12345 Би толгойгоо хуурмааргүй байна, тухай нийтлэлээс 26 дугаарыг харцгаая. Энэ тоог хоёртын, наймтын, аравтын, арван зургаатын тооллын системд бичье. Бид алхам бүрийг микроскопоор харахгүй. Үр дүнг харцгаая.
Таны харж байгаагаар янз бүрийн тооны системд ижил тооны цифрүүдийн нийлбэр өөр өөр байдаг. Энэ үр дүн нь математиктай ямар ч холбоогүй юм. Хэрэв та тэгш өнцөгтийн талбайг метр, сантиметрээр тодорхойлсон бол огт өөр үр дүн гарахтай адил юм.
Тэг нь бүх тооны системд адилхан харагддаг бөгөөд цифрүүдийн нийлбэр байдаггүй. Энэ бол үүнийг батлах өөр нэг үндэслэл юм. Математикчдад зориулсан асуулт: математикт тоо биш зүйлийг яаж тодорхойлдог вэ? Математикчдын хувьд тооноос өөр юу ч байхгүй гэж үү? Би үүнийг бөө нарт зөвшөөрч болох ч эрдэмтдэд зөвшөөрөөгүй. Бодит байдал зөвхөн тоон дээр тогтдоггүй.
Хүлээн авсан үр дүнг тооллын систем нь тоонуудын хэмжүүрийн нэгж гэдгийг нотлох баримт гэж үзэх ёстой. Эцсийн эцэст бид өөр өөр хэмжүүр бүхий тоонуудыг харьцуулж болохгүй. Хэрэв ижил хэмжигдэхүүнийг хэмжих өөр өөр нэгжтэй ижил үйлдэл нь тэдгээрийг харьцуулсны дараа өөр өөр үр дүнд хүргэдэг бол энэ нь математиктай ямар ч холбоогүй болно.
Жинхэнэ математик гэж юу вэ? Энэ нь математикийн үйлдлийн үр дүн нь тоон хэмжээ, ашигласан хэмжүүрийн нэгж, энэ үйлдлийг хэн гүйцэтгэж байгаагаас хамаарахгүй байх үед юм.
Өө! Энэ эмэгтэйчүүдийн бие засах газар биш гэж үү?
- Залуу эмэгтэй! Энэ бол сүнснүүдийг тэнгэрт өргөгдсөнийхөө ариун байдлыг судлах лаборатори юм! Дээрээс нь гал болон дээш сум. Өөр ямар бие засах газар вэ?
Эмэгтэй... Дээд талын гэрэлт цагираг, доош сум нь эрэгтэй.
Хэрэв дизайны урлагийн ийм бүтээл таны нүдний өмнө өдөрт хэд хэдэн удаа анивчдаг бол
Дараа нь та машиндаа гэнэт хачин дүрсийг олж хараад гайхах зүйл алга.
Би хувьдаа баас хийж буй хүнд хасах дөрвөн градусыг харахыг хичээдэг (нэг зураг) (хэд хэдэн зургийн найрлага: хасах тэмдэг, дөрөв, градусын тэмдэглэгээ). Тэгээд би энэ охиныг тэнэг гэж бодохгүй байна, үгүй физикийн мэдлэгтэй. Тэр зүгээр л нэг хэвшмэл ойлголттой байдаг график зургууд. Үүнийг математикчид бидэнд байнга заадаг. Энд нэг жишээ байна.
1А нь "хасах дөрвөн градус" эсвэл "нэг а" биш юм. Энэ нь "баасан хүн" буюу арван зургаатын тооллын "хорин зургаа" гэсэн тоо юм. Энэ тооны системд байнга ажилладаг хүмүүс тоо, үсгийг нэг график тэмдэг болгон автоматаар хүлээн авдаг.
Бутархай нь энгийн тоонууд, тэдгээрийг мөн нэмж хасах боломжтой. Гэвч тэдгээр нь хуваагчийг агуулсан байдаг тул илүү нарийн төвөгтэй дүрэмбүхэл тооноос илүү.
Хоёр бутархай байх үед хамгийн энгийн тохиолдлыг авч үзье ижил хуваагч. Дараа нь:
Ижил хуваагчтай бутархайг нэмэхийн тулд тэдгээрийн тоог нэмж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.
Ижил хуваагчтай бутархайг хасахын тулд эхний бутархайгаас хоёр дахь бутархайг хасаад дахин хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээх хэрэгтэй.
Илэрхийлэл бүрийн дотор бутархайн хуваагч тэнцүү байна. Бутархайг нэмэх, хасахын тодорхойлолтоор бид дараахь зүйлийг олж авна.
Таны харж байгаагаар энэ нь тийм ч төвөгтэй зүйл биш юм: бид зүгээр л тоологчдыг нэмж эсвэл хасдаг, тэгээд л болоо.
Гэхдээ ийм байдалд ч гэсэн энгийн үйлдлүүдхүмүүс алдаа гаргаж чаддаг. Хамгийн их мартагддаг зүйл бол хуваагч өөрчлөгддөггүй. Жишээлбэл, тэдгээрийг нэмэхэд тэд бас нэмж эхэлдэг бөгөөд энэ нь үндсэндээ буруу юм.
зайлуул муу зуршилХуваарилагчдыг нэмэх нь маш энгийн. Хасахдаа ижил зүйлийг туршиж үзээрэй. Үүний үр дүнд хуваагч нь тэг болж, бутархай нь (гэнэт!) утгаа алдах болно.
Тиймээс, нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: нэмэх, хасах үед хуваагч өөрчлөгдөхгүй!
Олон хүмүүс хэд хэдэн сөрөг бутархай нэмэхэд алдаа гаргадаг. Тэмдгүүдийн хувьд төөрөгдөл байдаг: хасахыг хаана, нэмэхийг хаана тавих вэ.
Мөн энэ асуудлыг шийдвэрлэхэд маш хялбар байдаг. Бутархайн тэмдгийн өмнөх хасахыг үргэлж тоологч руу шилжүүлж болно гэдгийг санахад хангалттай - мөн эсрэгээр. Мэдээжийн хэрэг, хоёр энгийн дүрмийг мартаж болохгүй:
- Дээрээс нь хасах нь хасах өгдөг;
- Хоёр сөрөг нь эерэг болгодог.
Энэ бүгдийг тодорхой жишээн дээр авч үзье.
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Эхний тохиолдолд бүх зүйл энгийн, гэхдээ хоёр дахь тохиолдолд бид бутархайн тоологчдод хасах зүйлийг оруулав.
Хэрэв хуваагч нь өөр байвал яах вэ
Та өөр хуваагчтай бутархайг шууд нэмж болохгүй. Наад зах нь энэ арга надад мэдэгдэхгүй байна. Гэсэн хэдий ч хуваагч нь ижил байхын тулд анхны бутархайг үргэлж дахин бичиж болно.
Бутархайг хөрвүүлэх олон арга бий. Эдгээрийн гурвыг "Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулах" хичээл дээр авч үзсэн тул бид энд ярихгүй. Зарим жишээг харцгаая:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Эхний тохиолдолд бид "загалмайн" аргыг ашиглан бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруулна. Хоёрдугаарт бид ҮОХ-г хайх болно. 6 = 2 · 3 гэдгийг анхаарна уу; 9 = 3 · 3. Эдгээр өргөтгөлийн сүүлийн хүчин зүйлүүд тэнцүү бөгөөд эхнийх нь харьцангуй анхдагч байна. Тиймээс LCM(6, 9) = 2 3 3 = 18.
Бутархай нь бүхэл тоотой бол яах вэ
Би та нарт таалагдаж чадна: бутархайд өөр өөр хуваагч байх нь хамгийн чухал зүйл биш юм агуу муу. Маш их илүү олон алдаабүхэл тоон хэсгийг бутархай нөхцлөөр тусгаарлах үед үүсдэг.
Мэдээжийн хэрэг, ийм бутархайн хувьд өөрийн нэмэх, хасах алгоритмууд байдаг боловч тэдгээр нь нэлээд төвөгтэй бөгөөд шаарддаг. урт хугацааны судалгаа. Илүү сайн ашиглах энгийн диаграм, доор өгөгдсөн:
- Бүхэл тоо агуулсан бүх бутархайг буруу бутархай болгон хөрвүүлнэ. Бид дээр дурдсан дүрмийн дагуу тооцоолсон ердийн нэр томъёог (өөр өөр хуваагчтай ч гэсэн) олж авдаг;
- Үнэн хэрэгтээ үүссэн бутархайнуудын нийлбэр эсвэл зөрүүг тооцоол. Үүний үр дүнд бид хариултыг бараг олох болно;
- Хэрэв энэ нь даалгаварт шаардагдах бүх зүйл бол бид гүйцэтгэнэ урвуу хувиргалт, өөрөөр хэлбэл Бид бүхэл бүтэн хэсгийг тодруулснаар буруу бутархайгаас салдаг.
руу шилжих дүрэм буруу бутархай"Тоон бутархай гэж юу вэ" хичээл дээр бүхэл бүтэн хэсгийг тодруулах талаар дэлгэрэнгүй тайлбарласан болно. Хэрэв та санахгүй байгаа бол давтахаа мартуузай. Жишээ нь:
Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:
Энд бүх зүйл энгийн. Илэрхийлэл бүрийн доторх хуваагч нь тэнцүү тул бүх бутархайг буруу болгон хувиргаж, тоолоход л үлддэг. Бидэнд:
Тооцооллыг хялбарчлахын тулд би сүүлийн жишээн дэх зарим тодорхой алхмуудыг алгассан.
Хоёрын тухай жижиг тэмдэглэл хамгийн сүүлийн үеийн жишээнүүд, энд бүхэл хэсгийг тодруулсан бутархайг хасна. Хоёрдахь бутархайн өмнөх хасах нь зөвхөн бүхэл хэсгийг нь биш харин бүхэлд нь хасна гэсэн үг юм.
Энэ өгүүлбэрийг дахин уншаад, жишээнүүдийг харж, бодоод үзээрэй. Үүнийг эхлэгчид хүлээн зөвшөөрдөг асар их хэмжээалдаанууд. Тэд ийм даалгавар өгөх дуртай туршилтууд. Удахгүй хэвлэгдэх энэ хичээлийн тестүүд дээр та тэдэнтэй хэд хэдэн удаа таарах болно.
Дүгнэлт: ерөнхий тооцооны схем
Дүгнэж хэлэхэд би өгөх болно ерөнхий алгоритм, энэ нь танд хоёр ба түүнээс дээш бутархайн нийлбэр эсвэл зөрүүг олоход тусална:
- Хэрэв нэг буюу хэд хэдэн бутархай бүхэл тоотой бол эдгээр бутархайг буруу болгон хөрвүүлэх;
- Бүх бутархайг өөрт тохирсон ямар нэгэн байдлаар нийтлэг хуваагч руу аваач (мэдээжийн хэрэг, асуудлын зохиолчид үүнийг хийгээгүй бол);
- Үүссэн тоог ижил хуваагчтай бутархайг нэмэх, хасах дүрмийн дагуу нэмэх, хасах;
- Боломжтой бол үр дүнг богиносгох хэрэгтэй. Хэрэв бутархай буруу байвал хэсгийг бүхэлд нь сонгоно.
Хариултыг бичихийн өмнө асуудлын төгсгөлд хэсгийг бүхэлд нь тодруулах нь дээр гэдгийг санаарай.
Янз бүрийн хуваагчтай бутархайг нэмэх дүрэм маш энгийн.
Янз бүрийн хуваагчтай бутархайг үе шаттайгаар нэмэх дүрмийг авч үзье.
1. Хуваагчийн LCM (хамгийн бага нийтлэг үржвэр)-ийг ол. Үүссэн LCM нь бутархайн нийтлэг хуваагч байх болно;
2. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон багасгах;
3. Нийтлэг хуваагч болгон бууруулсан бутархайг нэмнэ.
Асаалттай энгийн жишээЯнз бүрийн хуваагчтай бутархайг нэмэх дүрмийг хэрхэн хэрэглэхийг сурцгаая.
Жишээ
Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмэх жишээ.
Өөр өөр хуваагчтай бутархайг нэмнэ үү:
| 1 | + | 5 |
|---|---|---|
| 6 | 12 |
Бид алхам алхмаар шийдэх болно.
1. Хуваагчийн LCM (хамгийн бага нийтлэг үржвэр)-ийг ол.
12 тоо нь 6-д хуваагддаг.
Эндээс бид 12 нь 6 ба 12 тоонуудын хамгийн бага нийтлэг үржвэр гэж дүгнэж байна.
Хариулт: 6 ба 12-ын тоо 12 байна.
LCM(6, 12) = 12
Үүссэн LCM нь 1/6 ба 5/12 гэсэн хоёр бутархайн нийтлэг хуваагч болно.
2. Бутархайг нийтлэг хуваагч болгон бууруул.
Бидний жишээнд зөвхөн эхний бутархайг 12-ын нийтлэг хуваагч болгон багасгах шаардлагатай, учир нь хоёр дахь бутархай нь 12-ын хуваагчтай байна.
Хуваацгаая нийтлэг хуваагчЭхний бутархайн хуваагч руу 12:
2 нь нэмэлт үржүүлэгчтэй.
Эхний бутархайн (1/6) тоологч ба хуваагчийг 2-ын нэмэлт хүчин зүйлээр үржүүлнэ.
