Өгөгдсөн цэг дэх $y = f(x)$ функцийн дериватив нь $x_0$ нь функцийн өсөлтийг түүний аргументийн харгалзах өсөлттэй харьцуулсан харьцааны хязгаар бөгөөд сүүлийнх нь тэг байх хандлагатай байна.

$f"(x_0)=(lim)↙(△x→0)(△f(x_0))/(△x)$

Ялгаварлах гэдэг нь деривативыг олох үйл ажиллагаа юм.

Заримын деривативын хүснэгт үндсэн функцууд

Ялгах үндсэн дүрмүүд

1. нийлбэрийн дериватив (ялгаа) нь деривативуудын нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна.

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

$f(x)=3x^5-cosx+(1)/(x)$ функцийн уламжлалыг ол.

Нийлбэрийн дериватив (ялгаа) нь деривативуудын нийлбэртэй (ялгаа) тэнцүү байна.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ((1)/(x))" = 15x^4 + sinx - (1)/(x^2)$

2. Бүтээгдэхүүний дериватив

$(f(x) g(x)"= f"(x) g(x)+ f(x) g(x)"$

$f(x)=4x cosx$ деривативыг ол

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Хэсгийн дериватив

$((f(x))/(g(x)))"=(f"(x) g(x)-f(x) g(x)")/(g^2(x)) $

$f(x)=(5x^5)/(e^x)$ деривативыг ол

$f"(x)=((5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)")/((e^x)^2)=(25x^4·e^x- 5x^5 e^x)/((e^x)^2)$

4. Цогц функцийн дериватив нь гадаад функцийн дериватив ба дотоод функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.

$f(g(x))"=f"(g(x)) g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Деривативын физик утга

Хэрэв материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлж, координат нь хугацаанаас хамаарч $x(t)$ хуулийн дагуу өөрчлөгдвөл агшин зуурын хурдөгөгдсөн цэг нь функцийн деривативтай тэнцүү байна.

Цэг нь $x(t)= 1.5t^2-3t + 7$ хуулийн дагуу координатын шугамын дагуу хөдөлдөг бөгөөд $x(t)$ нь $t$ үеийн координат юм. Цаг хугацааны аль үед цэгийн хурд $12$-тэй тэнцэх вэ?

1. Хурд нь $x(t)$-ын дериватив тул деривативыг олъё өгөгдсөн функц

$v(t) = x"(t) = 1.5 2т -3 = 3т -3$

2. $t$ цаг хугацааны ямар үед хурд $12$-тай тэнцэж байсныг олохын тулд бид тэгшитгэлийг үүсгэж шийднэ.

Деривативын геометрийн утга

Координатын тэнхлэгүүдтэй параллель биш шулуун шугамын тэгшитгэлийг $y = kx + b$ хэлбэрээр бичиж болно гэдгийг санаарай, $k$ нь шулуун шугамын налуу юм. Коэффицент $k$ тангенстай тэнцүү$Ox$ тэнхлэгийн шулуун ба эерэг чиглэлийн хоорондох налуугийн өнцөг.

$x_0$ цэг дээрх $f(x)$ функцийн дериватив нь тэнцүү байна налуу$k$ өгөгдсөн цэг дээрх графикт шүргэгч:

Тиймээс бид ерөнхий тэгш байдлыг бий болгож чадна:

$f"(x_0) = k = tanα$

Зураг дээр $f(x)$ функцийн шүргэгч нэмэгдэж байгаа тул коэффициент $k > 0$ байна. $k > 0$ тул $f"(x_0) = tanα > 0$ байна. Шүргэх ба эерэг чиглэл $Ox$ хоёрын хоорондох $α$ өнцөг хурц байна.

Зураг дээр $f(x)$ функцийн шүргэгч буурч байгаа тул $k коэффициент< 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

Зураг дээр $f(x)$ функцийн шүргэгч нь $Ox$ тэнхлэгтэй параллель байна, тиймээс коэффициент $k = 0$, тиймээс $f"(x_0) = tan α = 0$ байна. $f "(x_0) = 0$ гэж нэрлэгддэг $x_0$ цэг экстремум.

Зурагт $y=f(x)$ функцийн график болон $x_0$ абсциссатай цэг дээр зурсан энэ графикт шүргэгчийг харуулав. $x_0$ цэг дээрх $f(x)$ функцийн деривативын утгыг ол.

Графикийн шүргэгч нэмэгдэх тул $f"(x_0) = tan α > 0$ болно.

$f"(x_0)$-г олохын тулд $Ox$ тэнхлэгийн шүргэгч ба эерэг чиглэлийн хоорондох хазайлтын өнцгийн тангенсыг олно. Үүний тулд $ABC$ гурвалжинд шүргэгчийг байгуулна.

$BAC$ өнцгийн тангенсыг олъё. (Тангенциал хурц өнцөгВ зөв гурвалжинхарилцаа гэж нэрлэдэг эсрэг хөлзэргэлдээх хөл рүү.)

$tg BAC = (BC)/(AC) = (3)/(12)= (1)/(4)=$0.25

$f"(x_0) = тг BAC = 0.25$

Хариулт: 0.25 доллар

Дериватив нь функцийн өсөлт ба бууралтын интервалыг олоход хэрэглэгддэг.

Хэрэв интервал дээр $f"(x) > 0$ байвал энэ интервалд $f(x)$ функц нэмэгдэж байна.

Хэрэв $f"(x)< 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

Зурагт $y = f(x)$ функцийн графикийг үзүүлэв. $х_1,х_2,х_3...х_7$ цэгүүдийн дотроос функцийн дериватив сөрөг байх цэгүүдийг ол.

Хариуд нь эдгээр цэгүүдийн тоог бичнэ үү.

\(\DeclareMathOperator(\tg)(tg)\)\(\DeclareMathOperator(\ctg)(ctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arctg)(arctg)\)\(\DeclareMathOperator(\arcctg)(arcctg) \)

Агуулгын элементүүд

Дериватив, шүргэгч, эсрэг дериватив, функцийн график, дериватив.

Дериватив\(x_0\) цэгийн зарим хэсэгт \(f(x)\) функцийг тодорхойл.

\(x_0\) цэг дээрх \(f\) функцийн деривативхязгаар гэж нэрлэдэг

\(f"(x_0)=\lim_(x\баруун сум x_0)\dfrac(f(x)-f(x_0))(x-x_0),\)

хэрэв энэ хязгаар байгаа бол.

Тухайн цэг дэх функцийн дериватив нь тухайн цэг дэх энэ функцийн өөрчлөлтийн хурдыг тодорхойлдог.

Деривативын хүснэгт

Ялгах дүрэм\(f\) ба \(g\) нь \(x\) хувьсагчаас хамаарах функцууд; \(c\) нь тоо юм.

2) \((c\cdot f)"=c\cdot f"\)

3) \((f+g)"= f"+g"\)

4) \((f\cdot g)"=f"g+g"f\)

5) \(\зүүн(\dfrac(f)(g)\баруун)"=\dfrac(f"g-g"f)(g^2)\)

6) \(\left(f\left(g(x)\right)\right)"=f"\left(g(x)\right)\cdot g"(x)\) - цогц функцийн дериватив

Деривативын геометрийн утга Шугамын тэгшитгэл- тэнхлэгтэй параллель биш \(Oy\) \(y=kx+b\) хэлбэрээр бичиж болно. Энэ тэгшитгэл дэх \(k\) коэффициентийг нэрлэнэ шулуун шугамын налуу. Энэ нь шүргэгчтэй тэнцүү байна налуу өнцөгэнэ шулуун шугам.

Шулуун өнцөг- чиглэлд хэмжсэн \(Ox\) тэнхлэгийн эерэг чиглэл ба энэ шулуун шугамын хоорондох өнцөг эерэг өнцөг(өөрөөр хэлбэл \(Ox\) тэнхлэгээс \(Oy\) тэнхлэг хүртэл хамгийн бага эргэлтийн чиглэлд).

\(x_0\) цэг дэх \(f(x)\) функцийн дериватив нь энэ цэг дэх функцийн графиктай шүргэгчийн налуутай тэнцүү байна: \(f"(x_0)=\tg\ альфа.\)

Хэрэв \(f"(x_0)=0\) бол \(x_0\) цэгийн \(f(x)\) функцын графикт шүргэгч нь \(Ox\) тэнхлэгтэй параллель байна.

Тангенсийн тэгшитгэл

\(x_0\) цэг дэх \(f(x)\) функцын графиктай шүргэгчийн тэгшитгэл:

\(y=f(x_0)+f"(x_0)(x-x_0)\)

Функцийн монотон байдалХэрэв функцийн дериватив интервалын бүх цэгүүдэд эерэг байвал энэ интервал дээр функц нэмэгдэнэ.

Хэрэв функцийн дериватив интервалын бүх цэгүүдэд сөрөг байвал энэ интервал дээр функц буурна.

Хамгийн бага, хамгийн их ба гулзайлтын цэгүүд эерэгдээр сөрөгэнэ үед \(x_0\) нь \(f\) функцийн хамгийн их цэг болно.

Хэрэв \(f\) функц нь \(x_0\) цэг дээр тасралтгүй байх ба энэ функцийн деривативын утга \(f"\) өөрчлөгдвөл: сөрөгдээр эерэгэнэ үед \(x_0\) нь \(f\) функцийн хамгийн бага цэг болно.

\(f"\) дериватив тэгтэй тэнцүү эсвэл байхгүй цэгүүдийг дуудна чухал цэгүүд функцууд \(f\).

\(f(x)\) функцийн тодорхойлолтын домэйны дотоод цэгүүд, үүнд \(f"(x)=0\) нь хамгийн бага, хамгийн их эсвэл гулзайлтын цэг байж болно.

Деривативын физик утгаХэрэв материаллаг цэг шулуун шугамаар хөдөлж, координат нь \(x=x(t)\ хуулийн дагуу цаг хугацаанаас хамаарч өөрчлөгдвөл энэ цэгийн хурд нь цаг хугацааны координатын деривативтай тэнцүү байна.

Хурдатгал материаллаг цэгцаг хугацааны хувьд энэ цэгийн хурдны деривативтай тэнцүү байна:

\(a(t)=v"(t).\)

Элсэлтийн түвшин

Функцийн дериватив. Цогц гарын авлага (2019)

Уул толгодоор дамжин өнгөрөх шулуун замыг төсөөлье. Энэ нь дээш доош явдаг боловч баруун, зүүн тийш эргэхгүй. Хэрэв тэнхлэгийг замын дагуу хэвтээ ба босоо чиглэлд чиглүүлсэн бол замын шугам нь зарим тасралтгүй функцын графиктай маш төстэй байх болно.

Тэнхлэг бол амьдралынхаа туршид бид далайн түвшинг ашигладаг тэг өндөр юм.

Ийм замаар урагшлахдаа бид бас дээшээ доошоо хөдөлдөг. Бид бас хэлж болно: аргумент өөрчлөгдөхөд (абсцисса тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн), функцийн утга өөрчлөгдөнө (ординатын тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн). Одоо замынхаа "эгц" байдлыг хэрхэн тодорхойлох талаар бодъё? Энэ ямар үнэ цэнэ байж болох вэ? Энэ нь маш энгийн: тодорхой зайд урагшлахад өндөр нь хэр их өөрчлөгдөх болно. Үнэн хэрэгтээ, замын янз бүрийн хэсэгт нэг километр урагшлах (x тэнхлэгийн дагуу) бид дээшлэх эсвэл унах болно. өөр өөр тоо хэмжээметр далайн түвшинтэй харьцуулахад (ординатын тэнхлэгийн дагуу).

Ахиц дэвшлийг тэмдэглэе ("дельта x" -ийг уншина уу).

Грек үсгийг (дельта) математикт "өөрчлөх" гэсэн утгатай угтвар болгон ашигладаг. Энэ нь - энэ нь тоо хэмжээний өөрчлөлт, - өөрчлөлт; тэгээд юу вэ? Энэ нь зөв, цар хүрээний өөрчлөлт.

Чухал: илэрхийлэл нь нэг бүхэл, нэг хувьсагч юм. "Дельта"-г "x" эсвэл бусад үсгээс хэзээ ч бүү салга!

Энэ нь жишээлбэл, .

Ингээд бид урагшаа, хэвтээгээр, замаар урагшиллаа. Хэрэв бид замын шугамыг функцийн графиктай харьцуулж үзвэл өсөлтийг хэрхэн тэмдэглэх вэ? Мэдээж, . Энэ нь бид урагшлах тусам улам дээшилдэг. Үнэ цэнийг тооцоолоход хялбар байдаг: хэрэв бид эхэндээ өндөрт байсан бол хөдөлсний дараа бид өөрсдийгөө өндөрт олсон бол. Хэрэвтөгсгөлийн цэг

эхнийхээс доогуур болсон, энэ нь сөрөг байх болно - энэ нь бид дээшээ биш харин доошилж байна гэсэн үг юм.

"эгц" рүү буцъя: энэ нь нэг нэгж зайд урагшлахад өндөр нь хэр их (эгц) нэмэгдэж байгааг харуулсан утга юм.

Замын зарим хэсэгт нэг километр урагшлах үед зам нэг километрээр дээшилдэг гэж бодъё. Дараа нь энэ газарт налуу тэнцүү байна. Хэрвээ зам нь м-ээр урагшилж байхдаа км-ээр буурсан уу? Дараа нь налуу нь тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, бидний логикоор бол налуу нь бараг тэгтэй тэнцүү байгаа нь үнэн биш юм. Ердөө километрийн зайд их зүйл өөрчлөгдөж болно. Эгцийг илүү оновчтой, үнэн зөв үнэлэхийн тулд жижиг талбайнуудыг авч үзэх шаардлагатай. Жишээлбэл, хэрэв та нэг метрийг хөдөлгөхөд өндрийн өөрчлөлтийг хэмжих юм бол үр дүн нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Гэхдээ энэ нарийвчлал нь бидэнд хангалтгүй байж магадгүй юм - эцэст нь замын голд шон байгаа бол бид зүгээр л өнгөрч болно. Тэгвэл бид ямар зайг сонгох ёстой вэ? Сантиметр? Миллиметр? Бага нь илүү!

IN бодит амьдралХамгийн ойрын миллиметр хүртэлх зайг хэмжих нь хангалттай юм. Гэхдээ математикчид үргэлж төгс төгөлдөрт тэмүүлдэг. Тиймээс энэ үзэл баримтлалыг зохион бүтээсэн хязгааргүй жижиг, өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утга нь бидний нэрлэж чадах тооноос бага байна. Жишээлбэл, та: нэг их наяд дахь! Хэр бага вэ? Мөн та энэ тоог хуваавал бүр бага байх болно. гэх мэт. Хэрэв бид хэмжигдэхүүнийг хязгааргүй жижиг гэж бичихийг хүсвэл дараах байдлаар бичнэ: (бид "x тэг рүү тэмүүлдэг" гэж уншдаг). Үүнийг ойлгох нь маш чухал юм Энэ тоо тэг биш байна!Гэхдээ маш ойрхон. Энэ нь та үүнийг хувааж болно гэсэн үг юм.

Хязгааргүй жижигийн эсрэг ойлголт нь хязгааргүй том (). Та тэгш бус байдлын талаар ажиллаж байхдаа үүнийг аль хэдийн тааралдсан байх: энэ тоо нь таны бодож байгаа бүх тооноос модулиар их байна. Хэрэв та хамгийн том нь гарч ирсэн бол боломжит тоо, зүгээр л хоёроор үржүүлбэл илүү ихийг авна. Мөн хязгааргүй хэвээр байна үүнээс гаднаюу болох бол. Үнэн хэрэгтээ, хязгааргүй том, хязгааргүй жижиг нь бие биенийхээ урвуу, өөрөөр хэлбэл at, мөн эсрэгээр: at.

Одоо буцаад замдаа орцгооё. Тохиромжтой тооцоолсон налуу нь замын хязгааргүй жижиг сегментийн хувьд тооцоолсон налуу юм, өөрөөр хэлбэл:

Хязгааргүй бага шилжилтийн үед өндрийн өөрчлөлт нь мөн хязгааргүй бага байх болно гэдгийг би тэмдэглэж байна. Гэхдээ хязгааргүй жижиг гэсэн үг биш гэдгийг сануулъя тэгтэй тэнцүү. Хязгааргүй цөөн тоог бие биендээ хуваавал нилээдгүй тоо гарч ирнэ ердийн тоо, Жишээлбэл, . Өөрөөр хэлбэл, нэг жижиг утга нөгөөгөөсөө яг дахин их байж болно.

Энэ бүхэн юуны төлөө вэ? Зам, эгц ... Бид автомашины раллид явахгүй, гэхдээ бид математикийн хичээл зааж байна. Мөн математикт бүх зүйл яг адилхан, зөвхөн өөрөөр нэрлэдэг.

Деривативын тухай ойлголт

Функцийн дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа юм.

Аажмаарматематикт тэд өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Аргумент () тэнхлэгийн дагуу шилжихэд хэр зэрэг өөрчлөгдөхийг нэрлэдэг аргументийн өсөлтмөн тэнхлэгийн дагуу урагшлах үед функц (өндөр) хэр их өөрчлөгдсөнийг нэрлэнэ функцийн өсөлтболон томилогдсон.

Тэгэхээр, функцийн дериватив нь хэзээ ба харьцаа юм. Бид деривативыг функцтэй ижил үсгээр тэмдэглэж, зөвхөн баруун дээд талд байгаа анхны тоогоор тэмдэглэнэ: эсвэл энгийн. Тиймээс эдгээр тэмдэглэгээг ашиглан дериватив томъёог бичье.

Замтай зүйрлэвэл энд функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна.

Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байж чадах уу? Мэдээж. Жишээлбэл, бид тэгш, хэвтээ замаар явж байгаа бол эгц нь тэг байна. Өндөр нь огт өөрчлөгддөггүй нь үнэн. Деривативтай адил: дериватив тогтмол функц(тогтмол) нь тэгтэй тэнцүү:

учир нь ийм функцийн өсөлт нь аль ч үед тэгтэй тэнцүү байна.

Уулын жишээг санацгаая. Сегментийн төгсгөлийг дагуулан зохион байгуулах боломжтой болсон өөр өөр талууддээрээс нь, ингэснээр төгсгөлийн өндөр нь ижил, өөрөөр хэлбэл сегмент нь тэнхлэгтэй параллель байна:

Гэхдээ том сегментүүд нь буруу хэмжилтийн шинж тэмдэг юм. Бид сегментээ өөртэйгээ зэрэгцүүлэн дээшлүүлж, урт нь багасна.

Эцсийн эцэст бид дээд талдаа хязгааргүй ойртох үед сегментийн урт нь хязгааргүй жижиг болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ нь тэнхлэгтэй параллель хэвээр байсан, өөрөөр хэлбэл түүний төгсгөлийн өндрийн зөрүү нь тэгтэй тэнцүү байна (энэ нь хандлагатай байдаггүй, гэхдээ тэнцүү). Тиймээс дериватив

Үүнийг ингэж ойлгож болно: бид хамгийн дээд талд зогсоход зүүн эсвэл баруун тийш бага зэрэг шилжих нь бидний өндрийг үл тоомсорлодог.

Мөн цэвэр алгебрийн тайлбар байдаг: оройн зүүн талд функц нэмэгдэж, баруун талд нь буурдаг. Өмнө нь мэдэж байсанчлан функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна. Гэхдээ энэ нь үсрэлтгүйгээр жигд өөрчлөгддөг (зам нь хаана ч налуугаа огцом өөрчилдөггүй). Тиймээс сөрөг ба хооронд эерэг утгуудзаавал байх ёстой. Энэ нь функц нь нэмэгдэхгүй, буурахгүй байх болно - оройн цэг дээр.

Тэвшийн хувьд ч мөн адил (зүүн талд байгаа функц буурч, баруун талд нэмэгдэх хэсэг):

Нэмэгдлийн талаар бага зэрэг илүү.

Тиймээс бид аргументыг хэмжээ болгон өөрчилдөг. Бид ямар үнэ цэнээс өөрчлөгддөг вэ? Энэ (маргаан) одоо юу болсон бэ? Бид ямар ч цэгийг сонгож болно, одоо бид үүнээс бүжиглэх болно.

Координаттай цэгийг авч үзье. Түүнд байгаа функцын утга тэнцүү байна. Дараа нь бид ижил өсөлтийг хийдэг: бид координатыг нэмэгдүүлнэ. Одоо ямар маргаан байна вэ? Маш амархан:. Функцийн үнэ одоо хэд вэ? Аргумент хаана явна, функц нь мөн адил байна: . Функцийн өсөлтийн талаар юу хэлэх вэ? Шинэ зүйл алга: энэ нь функц өөрчлөгдсөн хэмжээ хэвээр байна:

Өсөлтийг олох дасгал хийх:

1. Аргументийн өсөлт нь тэнцүү байх цэг дэх функцийн өсөлтийг ол.
2. Тухайн цэг дээрх функцэд мөн адил хамаарна.

Шийдэл:

IN өөр өөр цэгүүдижил аргументийн өсөлттэй бол функцийн өсөлт өөр байх болно. Энэ нь цэг бүрийн дериватив нь өөр байна гэсэн үг (бид энэ талаар хамгийн эхэнд ярилцсан - замын эгц байдал өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр байдаг). Тиймээс бид дериватив бичихдээ ямар цэгийг зааж өгөх ёстой:

Эрчим хүчний функц.

Хүчин чадлын функц нь аргумент нь тодорхой хэмжээгээр (логик, тийм үү?) байдаг функц юм.

Түүнээс гадна - ямар ч хэмжээгээр: .

Хамгийн энгийн тохиолдол- энэ үед илтгэгч:

Нэг цэгээс түүний деривативыг олъё. Деривативын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая:

Тиймээс аргумент нь -ээс өөрчлөгдөнө. Функцийн өсөлт хэд вэ?

Өсөлт нь энэ. Гэхдээ аль ч цэг дэх функц нь түүний аргументтай тэнцүү байна. Тийм учраас:

Дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

-ийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

б) Одоо бод квадрат функц (): .

Одоо үүнийг санацгаая. Энэ нь өсөлтийн утгыг үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм, учир нь энэ нь хязгааргүй бага тул нөгөө нэр томъёоны дэвсгэр дээр ач холбогдолгүй болно.

Тиймээс бид өөр нэг дүрмийг гаргаж ирэв:

в) Бид логик цувралыг үргэлжлүүлнэ: .

Энэ илэрхийллийг янз бүрийн аргаар хялбарчилж болно: нийлбэрийн кубыг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан эхний хаалтыг нээх, эсвэл шоо дөрвөлжингийн зөрүүг ашиглан илэрхийллийг бүхэлд нь хүчин зүйл болгон хуваах. Санал болгож буй аргуудын аль нэгийг ашиглан өөрөө хийхийг хичээ.

Тиймээс би дараахь зүйлийг авсан.

Үүнийг дахин санацгаая. Энэ нь бид дараахь зүйлийг агуулсан бүх нэр томъёог үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм.

Бид авна: .

г) Том гүрний хувьд ижил төстэй дүрмийг авч болно:

e) Энэ дүрмийг бүхэл тоо ч биш дурын илтгэгчтэй зэрэглэлийн функцийн хувьд ерөнхийлж болох нь харагдаж байна.

Дүрмийг "зэрэглэлийг коэффициент болгон урагшлуулж, дараа нь -ээр бууруулна" гэсэн үгээр томъёолж болно.

Бид энэ дүрмийг дараа нь батлах болно (бараг эцэст нь). Одоо хэд хэдэн жишээг харцгаая. Функцийн деривативыг ол:

1. (хоёр аргаар: томъёогоор ба деривативын тодорхойлолтыг ашиглан - функцийн өсөлтийг тооцоолох замаар);

1. . Итгэнэ үү үгүй ​​юу, энэ бол хүч чадлын функц юм. Хэрэв танд "Энэ яаж байна вэ? Эрдмийн зэрэг хаана байна?", "" сэдвийг санаарай!
   Тиймээ, язгуур нь бас зэрэг, зөвхөн бутархай: .
   Тэгэхээр манайх квадрат язгуур- энэ бол зүгээр л үзүүлэлттэй зэрэг юм:
   .
   Бид саяхан сурсан томъёог ашиглан деривативыг хайж байна:

   Хэрэв энэ үед дахин ойлгомжгүй болвол “” сэдвийг давтана уу!!! (нь зэрэгтэй байна сөрөг үзүүлэлт)

2. . Одоо экспонент:

   Тэгээд одоо тодорхойлолтоор дамжуулан (та мартаагүй байна уу?):
   ;
   .
   Одоо ердийнхөөрөө бид дараахь зүйлийг агуулсан нэр томъёог үл тоомсорлодог.
   .

3. . Өмнөх тохиолдлуудын хослол: .

Тригонометрийн функцууд.

Энд бид дээд математикийн нэг баримтыг ашиглах болно:

Илэрхийлэлээр.

Та институтын эхний жилдээ нотлох баримтыг сурах болно (мөн тэнд очихын тулд та Улсын нэгдсэн шалгалтыг сайн өгөх хэрэгтэй). Одоо би үүнийг графикаар харуулах болно:

Функц байхгүй үед график дээрх цэг таслагдахыг бид харж байна. Гэхдээ утгад ойртох тусам функц нь "зорилготой" зүйл юм.

Нэмж дурдахад та тооцоолуур ашиглан энэ дүрмийг шалгаж болно. Тийм ээ, тийм ээ, бүү ич, тооны машин ав, бид улсын нэгдсэн шалгалтанд хараахан ороогүй байна.

Ингээд оролдоод үзье: ;

Тооцоологчоо Радиан горимд шилжүүлэхээ бүү мартаарай!

гэх мэт. Бид бага байх тусам илүү ойр үнэ цэнэ-тай харилцах харилцаа

a) Функцийг авч үзье. Ердийнх шиг, түүний өсөлтийг олъё:

Синусын зөрүүг бүтээгдэхүүн болгоё. Үүнийг хийхийн тулд бид томъёог ашигладаг ("" сэдвийг санаарай): .

Одоо дериватив нь:

Сэлгээ хийцгээе: . Тэгвэл хязгааргүй жижигийн хувьд мөн л хязгааргүй жижиг байна: . илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Одоо бид үүнийг илэрхийлэлтэйгээр санаж байна. Мөн түүнчлэн, нийлбэрт хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнийг үл тоомсорлож байвал яах вэ (өөрөөр хэлбэл at).

Тиймээс бид авдаг дараагийн дүрэм:синусын дериватив нь косинустай тэнцүү байна:

Эдгээр нь үндсэн ("хүснэгт") деривативууд юм. Энд тэд нэг жагсаалтад байна:

Дараа нь бид хэд хэдэн зүйлийг нэмж оруулах болно, гэхдээ эдгээр нь ихэвчлэн ашиглагддаг тул хамгийн чухал нь юм.

Дадлага хийх:

1. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг олох;
2. Функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

1. Эхлээд деривативыг олъё ерөнхий үзэл, дараа нь түүний утгыг орлуулна уу:
   ;
   .
2. Энд бид ижил төстэй зүйл байна эрчим хүчний функц. Түүнийг авчрахыг хичээцгээе
   хэвийн харагдах:
   .
   Гайхалтай, одоо та томъёог ашиглаж болно:
   .
   .
3. . Эээээээ.....Энэ юу вэ????

За, таны зөв, бид ийм деривативуудыг хэрхэн олохыг хараахан мэдэхгүй байна. Энд бид хэд хэдэн төрлийн функцийг хослуулсан болно. Тэдэнтэй ажиллахын тулд та хэд хэдэн дүрмийг сурах хэрэгтэй.

Экспонент ба натурал логарифм.

Математикт аль ч утгын дериватив нь тухайн функцийн өөрийн утгатай нэгэн зэрэг тэнцүү байдаг функц байдаг. Үүнийг "экспонент" гэж нэрлэдэг бөгөөд экспоненциал функц юм

Энэ функцийн үндэс нь тогтмол юм - энэ нь хязгааргүй юм аравтын, өөрөөр хэлбэл, иррационал тоо (жишээ нь). Үүнийг "Эйлерийн тоо" гэж нэрлэдэг тул үсгээр тэмдэглэдэг.

Тиймээс, дүрэм:

Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, шууд харцгаая урвуу функц. Аль функцийн урвуу функц экспоненциал функц? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг.

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Үзэсгэлэнд оролцогч болон байгалийн логарифм- функцууд нь деривативын хувьд онцгой энгийн байдаг. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг дараа нь шинжлэх болно. дүрэм журмаар явцгааяялгах.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Ингээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш... Математикчдын дифференциал нь функцийн өсөлттэй ижил байна. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим нь тогтмол тоо(тогтмол), тэгвэл.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь мөн ялгаад ажилладаг: .

Үүнийг баталъя. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (үүнээс хойш дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна шугаман функц, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: орцгооё шинэ онцлогмөн түүний өсөлтийг ол:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн илтгэгчийг бус аливаа экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай (та энэ юу болохыг мартсан уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь руу оруулахыг хичээцгээе.

Үүний тулд бид ашиглах болно энгийн дүрэм: . Дараа нь:

За, бүтсэн. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Энэ нь ажилласан уу?

Энд өөрийгөө шалгана уу:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг цаашид бичих боломжгүй тоо юм. энгийн хэлбэрээр. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба деривативууд логарифм функцуудУлсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч ордоггүй, гэхдээ тэднийг мэдэхэд гэмгүй.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

Юу болсон бэ" нарийн төвөгтэй функц"? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд та урвуу алхамуудыг хийх хэрэгтэй урвуу дараалал.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Чухал онцлогнарийн төвөгтэй функцууд: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгдөнө.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Эхний жишээнд, .

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн эхний гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад шинж чанартай гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. -тай холбоотой анхны жишээЭнэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдээр шалгацгаая:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадаад: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадаад: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц болох нь шууд тодорхой байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг нь үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам "гадаад" байх болно харгалзах функц. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйлдлийн дарааллыг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.