Тоо тодорхойлох e. Бусад толь бичгүүдээс "е тоо" гэж юу болохыг хараарай

"e" тоо бол хүн бүрийн сонссон математикийн хамгийн чухал тогтмолуудын нэг юм. сургуулийн хичээлматематик. Үзэл баримтлалыг нийтэлдэг алдартай танилцуулга, хүмүүнлэгчдийн хувьд хүмүүнлэгчдийн бичсэн, үүнд хүртээмжтэй хэлЭйлерийн тоо яагаад, яагаад байдгийг хэлэх болно.

Бидний мөнгө, Эйлерийн дугаар хоёр юугаараа ижил төстэй вэ?

Дугаар байхад π (pi) маш тодорхой байна геометрийн утгамөн үүнийг эртний математикчид хэрэглэж байсан, дараа нь тоо д(Эйлерийн тоо) харьцангуй саяхан шинжлэх ухаанд зохих байр сууриа эзэлсэн бөгөөд түүний үндэс нь шууд ... санхүүгийн асуудалд ордог.

Мөнгө зохион бүтээснээс хойш маш бага хугацаа өнгөрч, хүмүүс валютыг тодорхой хүүтэй зээлж, зээлж болно гэдгийг ойлгосон. Мэдээжийн хэрэг, "эртний" бизнесмэнүүд "хувь" гэсэн ойлголтыг ашигладаггүй байсан ч тодорхой хугацааны туршид хэмжээ нь тодорхой үзүүлэлтээр нэмэгдэх нь тэдэнд танил байсан.

Зураг дээр: Леонхард Эйлер (1707-1783) дүрс бүхий 10 франкийн мөнгөн дэвсгэрт.

Эндээс Эйлерийн дугаар руу очиход хэтэрхий удаан хугацаа шаардагдах тул бид жилийн 20% -ийн жишээг судлахгүй. Энэ тогтмолын утгын хамгийн нийтлэг бөгөөд тодорхой тайлбарыг ашиглацгаая, үүний тулд бид бага зэрэг төсөөлж, зарим банк бидэнд жилийн 100% хадгаламжинд мөнгө байршуулахыг санал болгож байна гэж төсөөлөх хэрэгтэй.

Бодол-санхүүгийн туршилт

Энэхүү бодлын туршилтын хувьд та ямар ч хэмжээгээр авч болно, үр дүн нь үргэлж ижил байх болно, гэхдээ 1-ээс эхлэн бид тооны эхний ойролцоо утгатай шууд хүрч болно. д. Тиймээс бид банкинд 1 долларын хөрөнгө оруулалт хийвэл жилийн эцэст 2 доллартай болно гэж бодъё.

Гэхдээ энэ нь зөвхөн хүүг жилд нэг удаа капиталжуулсан (нэмсэн) тохиолдолд л болно. Хэрэв тэд жилд хоёр удаа хөрөнгө оруулалт хийвэл яах вэ? Өөрөөр хэлбэл, 50% нь зургаан сар тутамд хуримтлагдах бөгөөд хоёр дахь 50% нь анхны дүнгээс, харин эхний 50% -иар нэмэгдсэн дүнгээс хуримтлагдах болно. Энэ нь бидэнд илүү ашигтай байх болов уу?

Тооны геометрийн утгыг харуулсан визуал инфографик π .

Мэдээж хэрэг болно. Жилд хоёр удаа капиталжуулалт хийснээр зургаан сарын дараа бид дансанд 1.50 доллартай болно. Жилийн эцэс гэхэд 1.50 доллараас 50% -ийг нэмж оруулах болно, өөрөөр хэлбэл нийт дүн 2.25 доллар болно. Сар бүр капиталжуулалт хийвэл юу болох вэ?

Бид сар бүр 100/12% (өөрөөр хэлбэл ойролцоогоор 8.(3)%) зээлэх бөгөөд энэ нь бүр илүү ашигтай байх болно - жилийн эцэс гэхэд бид 2.61 доллартай болно. Ерөнхий томъёожилд дурын тооны капиталжуулалтын нийт дүнг (n) тооцоолохын тулд дараах байдлаар харагдана.

Нийт дүн = 1(1+1/n) n

Эндээс харахад n = 365 утгатай (өөрөөр хэлбэл бидний хүүг өдөр бүр капиталжуулж байвал) бид дараах томъёог авна: 1(1+1/365) 365 = 2.71 доллар. Сурах бичиг, лавлах номноос бид e нь ойролцоогоор 2.71828-тай тэнцүү гэдгийг мэдэж байгаа, өөрөөр хэлбэл бидний гайхалтай хувь нэмрийг өдөр тутмын капиталжуулалтыг харгалзан үзвэл бид аль хэдийн хүрсэн байна. ойролцоо утга e, энэ нь олон тооны тооцоолол хийхэд хангалттай юм.

n-ийн өсөлт хязгааргүй үргэлжлэх боломжтой бөгөөд түүний утга их байх тусам Эйлерийн тоог тодорхой шалтгааны улмаас аравтын бутархай хүртэл тооцоолох боломжтой болно.

Энэ дүрэм нь мэдээж зөвхөн бидний санхүүгийн ашиг сонирхолд хамаарахгүй. Математикийн тогтмолууд нь "мэргэжилтнүүдээс" хол байдаг - тэдгээр нь хэрэглээний талбараас үл хамааран адилхан сайн ажилладаг. Тиймээс, хэрэв та гүн ухвал тэдгээрийг амьдралын бараг бүх хэсэгт олж болно.

Эндээс харахад e тоо нь бүх өөрчлөлтийн хэмжүүр, "байгалийн хэл" юм математик шинжилгээ" Эцсийн эцэст, "матан" нь ялгах, интеграци гэсэн ойлголттой нягт холбоотой бөгөөд эдгээр хоёр үйлдэл нь тоогоор төгс тодорхойлогддог хязгааргүй жижиг өөрчлөлтүүдийг авч үздэг. д .

Эйлерийн тооны өвөрмөц шинж чанарууд

Тоог тооцоолох томъёоны аль нэгийг бүтээх тайлбарын хамгийн ойлгомжтой жишээг авч үзээд. д, үүнтэй шууд холбоотой хэд хэдэн асуултыг товчхон авч үзье. Тэдний нэг нь: Эйлерийн тоо юугаараа өвөрмөц вэ?

Онолын хувьд ямар ч математикийн тогтмол нь өвөрмөц бөгөөд тус бүр өөрийн гэсэн түүхтэй боловч математик анализын байгалийн хэлний нэрийг авах нь нэлээд жинтэй нэхэмжлэл гэдгийг та харж байна.

Эйлер функцийн ϕ(n)-ийн эхний мянган утгууд.

Гэсэн хэдий ч тоо д үүнд шалтгаан бий. y = e x функцийг зурахад тодорхой болно гайхалтай баримт: зөвхөн y нь e x-тэй тэнцүү биш, муруйн градиент ба муруйн доорх талбай нь мөн ижил үзүүлэлттэй тэнцүү байна. Өөрөөр хэлбэл, y-ийн тодорхой утгаас хасах хязгаар хүртэлх муруй доорх талбай.

Өөр ямар ч тоо үүнийг сайрхаж чадахгүй. Бидний хувьд, хүмүүнлэгчдийн хувьд (эсвэл зүгээр л математикч биш) ийм мэдэгдэл бага зэрэг хэлдэг ч математикчид өөрсдөө үүнийг маш чухал гэж үздэг. Яагаад чухал вэ? Бид энэ асуудлыг өөр нэг удаа ойлгохыг хичээх болно.

Логарифм нь Эйлерийн тооны урьдчилсан нөхцөл

Эйлерийн тоо нь натурал логарифмын суурь мөн гэдгийг хэн нэгэн сургуулиас санаж байгаа байх. Энэ нь бүх өөрчлөлтийн хэмжүүр болох түүний мөн чанарт нийцдэг. Гэсэн хэдий ч Эйлер үүнд ямар хамаатай юм бэ? Шударга байхын тулд e-г заримдаа Напиерийн тоо гэж нэрлэдэг боловч Эйлергүйгээр түүх нь логарифмыг дурдаагүй ч бүрэн бус байх болно гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй.

17-р зуунд Шотландын математикч Жон Напиер логарифмыг зохион бүтээсэн нь логарифмыг зохион бүтээсэн нь хамгийн чухал зүйл юм. томоохон үйл явдлуудматематикийн түүх. 1914 онд болсон энэхүү үйл явдлын ойн баяр дээр Лорд Моултон энэ тухай дараах байдлаар ярьжээ.

"Логарифмыг зохион бүтээсэн нь түүнд зориулагдсан юм шинжлэх ухааны ертөнццэнхэрээс ирсэн боолт шиг. Өмнөх ямар ч ажил энэ нээлтэд хүргэсэн, таамаглаж, амлаж байгаагүй. Тэр ганцаараа зогсож, бусад оюун санааны ажлаас юу ч авахгүйгээр, математик сэтгэлгээний аль хэдийн мэдэгдэж байсан чиглэлийг дагахгүйгээр хүний ​​бодлоос гэнэт гарч ирдэг."

Пьер-Симон Лаплас, алдартай Францын математикчМөн одон орон судлаач энэхүү нээлтийн ач холбогдлыг бүр ч эрс илэрхийлжээ: "Логарифмийг зохион бүтээсэн нь шаргуу хөдөлмөрийн цагийг багасгаснаар одон орон судлаачийн амьдралыг хоёр дахин уртасгасан." Юу нь Лапласт тийм их сэтгэгдэл төрүүлсэн бэ? Шалтгаан нь маш энгийн - логарифмууд нь эрдэмтдэд төвөгтэй тооцоололд зарцуулдаг цагийг эрс багасгах боломжийг олгосон.

Ерөнхийдөө логарифмууд нь тооцооллыг хялбаршуулсан-тэдгээрийг нарийн төвөгтэй байдлын хэмжүүрээр нэг шатаар доошлуулсан. Энгийнээр хэлэхэд бид үржүүлэх, хуваахын оронд нэмэх, хасах үйлдлийг хийх ёстой байсан. Мөн энэ нь илүү үр дүнтэй байдаг.

д- натурал логарифмын суурь

Напиер бол логарифмын салбарт анхдагч - тэдний зохион бүтээгч байсан гэдгийг баттай авч үзье. Ядаж тэр дүгнэлтээ эхлээд нийтэлсэн. Энэ тохиолдолд асуулт гарч ирнэ: Эйлерийн гавьяа юу вэ?

Энэ нь энгийн зүйл - түүнийг Непиерийн үзэл суртлын өв залгамжлагч, Шотландын эрдэмтний амьдралын ажлыг логарифмын (логикийг унш) дүгнэлтэд хүргэсэн хүн гэж нэрлэж болно. Сонирхолтой нь, энэ нь боломжтой юу?

Байгалийн логарифм ашиглан бүтээсэн маш чухал графикууд.

Бүр тодруулбал Эйлер натурал логарифмын үндсийг гаргаж авсан бөгөөд одоо тоо гэж нэрлэгддэг дэсвэл Эйлерийн дугаар. Нэмж дурдахад тэрээр шинжлэх ухааны түүхэнд хаа сайгүй "зочилж" чадсан Васягийн мөрөөдөж байснаас олон удаа нэрээ бичжээ.

Харамсалтай нь логарифмтай ажиллах тодорхой зарчмууд нь тусдаа том өгүүллийн сэдэв юм. Амьдралынхаа олон жилийг эмхэтгэх ажилд зориулж буй олон эрдэмтдийн хөдөлмөрийн ачаар одоохондоо хэлэхэд хангалттай. логарифм хүснэгтүүдТооцоологчийн тухай хэн ч сонсож байгаагүй тэр өдрүүдэд шинжлэх ухааны хөгжил асар хурдацтай хөгжиж байв.

Зураг дээр: Жон Напиер - Шотландын математикч, логарифм зохион бүтээгч (1550-1617.)

Энэ нь инээдтэй юм, гэхдээ энэ ахиц дэвшил нь эцсийн эцэст эдгээр хүснэгтүүдийг хуучирсан бөгөөд үүний шалтгаан нь яг ийм төрлийн тооцоолол хийх ажлыг бүрэн хариуцдаг гар тооны машинууд гарч ирсэн явдал байв.

Та ч бас сонссон байх слайдын дүрэм? Нэгэн цагт инженерүүд эсвэл математикчид тэдэнгүйгээр хийж чаддаггүй байсан бол одоо энэ нь бараг астролаб шиг болсон - сонирхолтой хэрэгсэл, гэхдээ өдөр тутмын практикээс илүү шинжлэх ухааны түүхийн хувьд.

Логарифмын суурь байх нь яагаад тийм чухал вэ?

Логарифмын суурь нь ямар ч тоо байж болно (жишээлбэл, 2 эсвэл 10), гэхдээ Эйлерийн тооны өвөрмөц шинж чанараас шалтгаалан суурьтай логарифм дбайгалийн гэж нэрлэдэг. Энэ нь бодит байдлын бүтцэд баригдсан юм шиг - үүнээс зугтах арга байхгүй, тэгэх ч шаардлагагүй, учир нь энэ нь янз бүрийн салбарт ажиллаж буй эрдэмтдийн амьдралыг ихээхэн хөнгөвчилдөг.

Павел Бердовын вэбсайтаас логарифмын мөн чанарын талаар ойлгомжтой тайлбарыг өгье. Суурь руу логарифм амаргаанаас xх тоог авахын тулд а тоог өсгөх шаардлагатай хүч юм. Графикаар үүнийг дараах байдлаар харуулав.

log a x = b, энд a нь суурь, x аргумент, b нь логарифм нь тэнцүү байна.

Жишээлбэл, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (8-ын суурь 2 логарифм нь 2 3 = 8 учраас 3 байна).

Дээр бид логарифмын суурийн дүрс дээр 2-ын тоог харсан ч математикчид энэ дүрд хамгийн чадварлаг жүжигчин бол Эйлерийн тоо гэж хэлдэг. Тэдний үгийг хүлээж авцгаая... Тэгээд өөрсдөө шалгаад үзээрэй.

Дүгнэлт

Дотор нь байгаа нь муу байх дээд боловсролмаш хүчтэй тусгаарлагдсан байгалийн болон хүмүүнлэгийн ухаан. Заримдаа энэ нь хэт их "гажиг" үүсгэдэг бөгөөд физик, математикийн талаар сайн мэддэг хүнтэй өөр сэдвээр ярилцах нь огт сонирхолгүй байдаг.

Үүний эсрэгээр та нэгдүгээр зэрэглэлийн уран зохиолын мэргэжилтэн байж болно, гэхдээ яг тэр үед физик, математикийн талаар огт арчаагүй байх болно. Гэхдээ бүх шинжлэх ухаан өөр өөрийн гэсэн сонирхолтой байдаг.

Бид "Би хүмүүнлэг хүн, гэхдээ би эмчилгээ хийлгэж байна" хэмээх хиймэл хөтөлбөрийн хүрээнд өөрсдийн хязгаарлалтыг даван туулахыг хичээж, танд шинжлэх ухааны сайн мэддэггүй салбараас шинэ зүйлийг сурч, хамгийн чухал нь ойлгоход тусалсан гэж найдаж байна.

Эйлерийн тооны талаар илүү ихийг мэдэхийг хүсч буй хүмүүст бид математикийн мэдлэгээс хол хүн ч гэсэн ойлгох боломжтой хэд хэдэн эх сурвалжийг санал болгож болно: Эли Маор "e: нэг тооны түүх" номондоо ("e: түүхтооны") нь Эйлерийн тооны суурь ба түүхийг нарийвчлан, тодорхой дүрсэлсэн.

Түүнчлэн, энэ нийтлэлийн доор байрлах "Санал болгож буй" хэсгээс та Эйлерийн дугаарыг тодорхой тайлбарлахыг хичээсэн YouTube сувгийн нэр, видео бичлэгийг мэргэжлийн бус хүмүүст ч ойлгомжтой болгох боломжтой.

NUMBER д. Ойролцоогоор 2.718-тай тэнцэх тоо нь математикт ихэвчлэн олддог ба байгалийн шинжлэх ухаан. Жишээлбэл, сүйрлийн үед цацраг идэвхт бодисцаг хугацаа өнгөрсний дараа тбодисын анхны хэмжээ нь тэнцүү хэсэг хэвээр байна э–кт, Хаана к– тухайн бодисын задралын хурдыг тодорхойлдог тоо. Харилцан 1/кТухайн бодисын атомын дундаж наслалт гэж нэрлэгддэг, учир нь атом нь задрахаас өмнө дунджаар 1/ орчим байдаг. к. Утга 0.693/ кцацраг идэвхт бодисын хагас задралын хугацаа гэж нэрлэгддэг, i.e. бодисын анхны хэмжээний тал хувь нь задрах хугацаа; 0.693 тоо нь логтой ойролцоогоор тэнцүү байна д 2, i.e. 2-ын тооны логарифмыг суурь д. Үүний нэгэн адил, хэрэв бактери орвол шим тэжээлийн орчиндахь тоотой пропорциональ хурдаар үржих одоогийн мөч, дараа нь цаг хугацааны дараа т анхны хэмжээбактери Нболж хувирдаг Не кт. Сунгах цахилгаан гүйдэл Iцуваа холболттой энгийн хэлхээнд, эсэргүүцэл Рба индукц Лхуулийн дагуу болдог би = би 0 э–кт, Хаана k = R/L, I 0 - тухайн үеийн одоогийн хүч т= 0. Ижил төстэй томъёонууд нь наалдамхай шингэн дэх стресс сулрах, чийгшүүлэхийг тодорхойлдог соронзон орон. Дугаар 1/ кихэвчлэн амрах цаг гэж нэрлэдэг. Статистикийн хувьд үнэ цэнэ э–ктмагадлалын хувьд цаг хугацааны явцад үүсдэг тдундаж давтамжтай санамсаргүй тохиолдсон үйл явдал байгаагүй кнэгж хугацааны үйл явдлууд. Хэрэв С- хүрээнд оруулсан хөрөнгийн хэмжээ rсалангид интервалаар хуримтлуулахын оронд тасралтгүй хуримтлал бүхий хүү, дараа нь цаг хугацаагаар тхүртэл нэмэгдэнэ Setr/100.

Тооны "бүх нийтийн оршин тогтнох" шалтгаан дЭнэ нь экспоненциал функц эсвэл логарифм агуулсан математик шинжилгээний томьёо нь логарифмуудыг суурь болгон авч үзвэл илүү хялбар бичигддэгт оршино. д, мөн 10 эсвэл бусад суурь биш. Жишээлбэл, лог 10-ын дериватив xтэнцүү (1/ x)лог 10 д, логийн дериватив байхад e xзүгээр л 1/-тэй тэнцүү байна x. Үүний нэгэн адил 2-ын дериватив xтэнцүү 2 xбүртгэл д 2, харин дериватив e xзүгээр л тэнцүү байна e x. Энэ нь тоо гэсэн үг дсуурь гэж тодорхойлж болно б, энэ үед функцийн график у =бүртгэл б хцэг дээр байна x= 1 шүргэгч с налуу, 1-тэй тэнцүү, эсвэл муруй байх үед y = b xорсон x= 0 налуутай шүргэгч 1. Суурийн логарифм днь "байгалийн" гэж нэрлэгддэг ба ln гэж тэмдэглэгдсэн байдаг x. Заримдаа тэдгээрийг "Непьер" гэж нэрлэдэг бөгөөд энэ нь буруу, учир нь үнэндээ Ж.Напиер (1550–1617) өөр суурьтай логарифмуудыг зохион бүтээсэн: тооны Непье логарифм. xтэнцүү 10 7 log 1/ д (x/10 7) .

Төрөл бүрийн зэрэглэлийн хослолууд дМатематикт маш олон удаа тохиолддог тул тэдэнд байдаг тусгай нэрс. Эдгээр нь жишээлбэл, гиперболын функцууд юм

Функцийн график y= ch xкатенарын шугам гэж нэрлэдэг; Энэ нь төгсгөлд нь дүүжлэгдсэн хүнд сунадаггүй утас эсвэл гинжний хэлбэр юм. Эйлерийн томъёо

Хаана би 2 = –1, холбох дугаар дтригонометрийн хамт. Онцгой тохиолдол x = pалдартай харилцаанд хүргэдэг e ip+ 1 = 0, математикийн хамгийн алдартай 5 тоог холбосон.

Экспонентийг , эсвэл гэж тэмдэглэнэ.

Тоо e

Экспонентын зэрэглэлийн үндэс нь тоо e. Энэ иррационал тоо. Энэ нь ойролцоогоор тэнцүү байна
д ≈ 2,718281828459045...

e тоог дарааллын хязгаараар тодорхойлно. Энэ нь гэж нэрлэгддэг зүйл юм хоёр дахь гайхалтай хязгаар:
.

e тоог мөн цуваа хэлбэрээр илэрхийлж болно:
.

Экспоненциал график

Экспоненциал график, y = e x .

График нь экспоненциалыг харуулж байна дтодорхой хэмжээгээр X.
y (x) = e x
Графикаас харахад экспонент нь монотон нэмэгдэж байгааг харуулж байна.

Томъёо

Үндсэн томъёо e зэрэгтэй суурьтай экспоненциал функцтэй адил.

;
;
;

Дурын суурьтай a зэрэгтэй экспоненциал функцийг экспоненциалаар илэрхийлэх:
.

Хувийн үнэт зүйлс

y (x) = e x.
.

Дараа нь

Экспонентын шинж чанарууд д > 1 .

Экспонент нь чадлын суурьтай экспоненциал функцийн шинж чанартай байдаг

Домэйн, утгуудын багц (x) = e xЭкспонент y
бүх x хувьд тодорхойлогдсон.
- ∞ < x + ∞ .
Түүний тодорхойлолтын хүрээ:
0 < y < + ∞ .

Хэт их, нэмэгдэх, буурах

Экспоненциал нь монотон өсөн нэмэгдэж буй функц тул түүнд экстремум байхгүй. Үүний үндсэн шинж чанарыг хүснэгтэд үзүүлэв.

Урвуу функц

Экспонентийн урвуу нь натурал логарифм юм.
;
.

Экспонентийн дериватив

Дериватив дтодорхой хэмжээгээр Xтэнцүү байна дтодорхой хэмжээгээр X :
.
n-р эрэмбийн дериватив:
.
Томьёог гарган авах > > >

Интеграл

Нарийн төвөгтэй тоо

-тай хийсэн үйлдлүүд нийлмэл тооашиглан гүйцэтгэсэн Эйлерийн томъёо:
,
төсөөллийн нэгж хаана байна:
.

Гиперболын функцээр илэрхийлэгдэх илэрхийлэл

; ;
.

Тригонометрийн функцийг ашигласан илэрхийлэл

; ;
;
.

Эрчим хүчний цувралын өргөтгөл

Ашигласан уран зохиол:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Инженер, коллежийн оюутнуудад зориулсан математикийн гарын авлага, "Лан", 2009 он.

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

"Санкт-Петербургийн сургууль" Тете-а-Тете" хувийн боловсролын байгууллага

Математикийн багш Хамгийн дээд ангилал

Тоо e

Энэ дугаар анх гарч ирсэнматематикач холбогдолгүй зүйл шиг. Энэ нь 1618 онд болсон.Напиерийн логарифмын талаарх ажлын хавсралтад натурал логарифмын хүснэгтийг өгсөн. өөр өөр тоо. Гэсэн хэдий ч тэр үеийн логарифмын тухай ойлголт нь суурь гэх зүйлийг агуулаагүй тул эдгээр нь суурийн логарифм гэдгийг хэн ч ойлгосонгүй. Үүнийг бид одоо логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд шаардлагатай тоог олж авахын тулд суурийг өсгөх ёстой. Бид энэ талаар дараа нь эргэж ирнэ. Хавсралт дахь хүснэгтийг зохиогч нь тодорхойлогдоогүй ч Augthred хийсэн байх магадлалтай. Хэдэн жилийн дараа, 1624 онд энэ нь математикийн уран зохиолд дахин гарч ирсэн боловч дахин далд хэлбэрээр гарч ирэв. Энэ жил Бриггс тоон тооцоолол хийсэн аравтын логарифм, гэхдээ тоо нь өөрөө түүний бүтээлд дурдагддаггүй.

Энэ тооны дараагийн харагдах байдал дахин эргэлзээтэй байна. 1647 онд Сент-Винсент гиперболын секторын талбайг тооцоолжээ. Тэр логарифмын холболтыг ойлгосон эсэх нь зөвхөн таах боломжтой боловч тэр ойлгосон ч тэр тоонд хүрч чадахгүй байх магадлал багатай юм. Гюйгенс 1661 онд л адил талт гипербол болон логарифмын хоорондын холбоог ойлгосон. Тэрээр 1-ээс 1 хүртэлх интервал дахь тэгш талт гиперболын тэгш талт гиперболын график доорх талбай 1-тэй тэнцүү болохыг нотолсон. Энэ шинж чанар нь натурал логарифмын үндэс болдог боловч үүнийг тухайн үеийн математикчид ойлгодоггүй байсан ч тэдгээр нь энэ ойлголтод аажмаар ойртож байна.

Гюйгенс 1661 онд дараагийн алхамаа хийсэн. Тэрээр логарифм гэж нэрлэсэн муруйг тодорхойлсон (бидний нэр томъёогоор үүнийг экспоненциал гэж нэрлэх болно). Энэ бол хэлбэрийн муруй юм. Дахин аравтын бутархай логарифм гарч ирэх бөгөөд үүнийг Гюйгенс 17 аравтын оронтой тоо хүртэл нарийвчлалтай гэж үздэг. Гэсэн хэдий ч энэ нь Гюйгенсээс нэг төрлийн тогтмол хэлбэрээр үүссэн бөгөөд тооны логарифмтай холбоогүй байсан (тиймээс тэд дахин дөхсөн боловч тоо нь өөрөө танигдаагүй хэвээр байна).

IN цаашдын ажиллогарифмын хувьд дахин тоо нь тодорхой харагдахгүй байна. Гэсэн хэдий ч логарифмын судалгаа үргэлжилсээр байна. 1668 онд Николаус Меркатор бүтээлээ хэвлүүлжээЛогарифмотехник, цуврал өргөтгөлийг агуулсан. Энэ бүтээлдээ Меркатор эхлээд " нэрийг ашигласан. байгалийн логарифм” суурь логарифмын хувьд. Энэ тоо дахин гарч ирэхгүй нь тодорхой, гэхдээ хаа нэгтээ хажуу тийшээ явах боломжгүй хэвээр байна.

Тоо нь анх удаа логарифмтай холбоотой биш, харин хязгааргүй үржвэртэй холбоотой тодорхой хэлбэрээр гарч ирсэн нь гайхмаар юм. 1683 онд Жейкоб Бернулли олох гэж оролдов

Тэрээр энэ хязгаар нь 2-оос 3-ын хооронд байгааг батлахын тулд бином теоремыг ашигладаг бөгөөд үүнийг бид -ийн эхний ойролцоолсон гэж үзэж болно. Хэдийгээр бид үүнийг -ийн тодорхойлолт гэж үздэг ч энэ нь тоог хязгаар гэж тодорхойлсон анхны тохиолдол юм. Бернулли өөрийн ажил болон логарифмын ажлын хоорондын уялдаа холбоог ойлгоогүй нь ойлгомжтой.

Судалгааны эхэнд логарифмууд нь илтгэгчтэй ямар ч холбоогүй гэдгийг өмнө нь дурдсан. Мэдээжийн хэрэг, тэгшитгэлээс бид үүнийг олж мэдсэн, гэхдээ энэ нь илүү хожуу ойлгох арга юм. Энд бид үнэндээ логарифм гэсэн функцийг хэлж байгаа бол логарифмыг зөвхөн тооцоололд тустай тоо гэж үздэг байсан. Магадгүй Жейкоб Бернулли үүнийг хамгийн түрүүнд ойлгосон байх логарифм функцурвуу экспоненциал юм. Нөгөөтэйгүүр, логарифм ба хүчийг холбосон анхны хүн нь Жеймс Грегори байж магадгүй юм. 1684 онд тэрээр логарифм ба хүч хоорондын холбоог хүлээн зөвшөөрсөн боловч анхных нь биш байж магадгүй юм.

Энэ тоо 1690 онд одоогийн байдлаар гарч ирснийг бид мэднэ. Лейбниц Гюйгенст илгээсэн захидалдаа түүний тэмдэглэгээг ашигласан байдаг. Эцэст нь тэмдэглэгээ гарч ирэв (хэдийгээр энэ нь орчин үеийнхтэй давхцаагүй байсан ч) энэ тэмдэглэгээг хүлээн зөвшөөрөв.

1697 онд Иоганн Бернулли экспоненциал функцийг судалж эхэлжээPrincipia calculi exponentialum seu percurrentium. Энэ ажилд төрөл бүрийн экспоненциал цувааны нийлбэрийг тооцож, тэдгээрийн гишүүнчлэлээр интеграцчилснаар зарим үр дүнг гаргажээ.

Эйлер маш олон зүйлийг танилцуулсан математик тэмдэглэгээ, Юу
Энэ нэршил нь түүнд хамаарах нь гайхах зүйл биш юм. Нэрийнх нь эхний үсэг учраас тэр үсгийг ашигласан гэвэл инээдтэй санагдаж байна. Энэ нь магадгүй "экспоненциал" гэсэн үгнээс авсан биш, зүгээр л энэ нь "а"-ын дараа дараагийн эгшиг бөгөөд Эйлер "а" гэсэн тэмдэглэгээг ажилдаа аль хэдийн ашигласан байдаг. Шалтгаанаас үл хамааран уг тэмдэглэгээ нь 1731 онд Эйлерээс Голдбахад илгээсэн захидалд анх гарч ирсэн. Тэрээр цаашид судлах явцдаа олон нээлт хийсэн боловч 1748 он хүртэл.Introductio in Analysin infinitorum-тай холбоотой бүх санааг бүрэн зөвтгөсөн. Тэр үүнийг харуулсан

Эйлер мөн тооны эхний 18 аравтын оронг олсон:

Гэсэн хэдий ч тэрээр тэдгээрийг хэрхэн олж авсан талаар тайлбарлаагүй байна. Энэ үнэ цэнийг өөрөө тооцсон бололтой. Үнэн хэрэгтээ, хэрэв бид цувралын 20 орчим гишүүн (1) авбал Эйлерийн олж авсан нарийвчлалыг олж авна. Бусдын дунд сонирхолтой үр дүнТүүний ажил нь синус ба косинус ба комплекс функцүүдийн хоорондын холбоог харуулдаг экспоненциал функц, үүнийг Эйлер Мойврын томъёоноос гаргаж авсан.

Эйлер тоонуудыг үргэлжилсэн бутархай болгон задлахыг хүртэл олж, ийм задралын жишээг өгсөн нь сонирхолтой юм. Ялангуяа тэр хүлээн авсан

Эйлер эдгээр бутархайнууд ижил байдлаар үргэлжилж байгааг нотлох баримт өгөөгүй боловч хэрэв ийм нотолгоо байгаа бол энэ нь үндэслэлгүй болохыг нотлох болно гэдгийг тэр мэдэж байсан. Үнэн хэрэгтээ, -ын үргэлжилсэн бутархай нь өгөгдсөн жишээн дээрх 6,10,14,18,22,26, (бид тус бүрдээ 4-ийг нэмдэг)-тэй адилаар үргэлжилсэн бол энэ нь хэзээ ч тасалдахгүй ба (тиймээс) ) оновчтой байж чадаагүй. Энэ бол үндэслэлгүй гэдгийг батлах анхны оролдлого нь ойлгомжтой.

Эхнийх нь нэлээд тооцоолж байна их тооЭнэ тооны аравтын орон нь 1854 онд Шанкс байв. Глайшер Шанксийн тооцоолсон эхний 137 байр зөв байсан ч дараа нь алдаа олсон байна. Шанкс үүнийг засч, 205 аравтын орон авсан. Бодит байдал дээр танд хэрэгтэй
Тооны 200 зөв цифрийг авахын тулд өргөтгөх 120 нөхцөл (1).

1864 онд Бенжамин Пирс бичсэн самбар дээр зогсож байв

Тэрээр лекцэндээ оюутнууддаа: "Ноёд оо, энэ нь юу гэсэн үг болохыг бид өчүүхэн ч мэдэхгүй, гэхдээ энэ нь маш чухал зүйл гэсэн үг гэдэгт итгэлтэй байж болно."

Ихэнх хүмүүс Эйлер энэ тооны үндэслэлгүй болохыг нотолсон гэдэгт итгэдэг. Гэсэн хэдий ч үүнийг 1873 онд Эрмит хийсэн. Энэ тоо нь алгебрийн шинжтэй эсэх асуудал нээлттэй хэвээр байна. Хамгийн сүүлийн үр дүнЭнэ чиглэлд тоонуудын дор хаяж нэг нь трансцендент юм.

Дараа нь бид дараахь зүйлийг тооцоолсон аравтын бутархайтоо. 1884 онд Боорман 346 цифрийг тооцоолсны эхний 187 нь Шэнксийн цифрүүдтэй давхцаж байсан боловч дараагийнх нь ялгаатай байв. 1887 онд Адамс аравтын бутархай логарифмын 272 цифрийг тооцоолжээ.

Хүн бүр тооны геометрийн утгыг мэддэг π нэгж диаметртэй тойргийн урт нь:

Гэхдээ өөр нэг чухал тогтмолын утга энд байна. д, хурдан мартагдах хандлагатай байдаг. Би чамайг мэдэхгүй ч гэсэн 2.7182818284590-тэй тэнцэх тоо яагаад ийм гайхалтай байдгийг санах гэж оролдох бүртээ надад маш их хүчин чармайлт гаргана... (Гэхдээ би энэ утгыг санах ойгоос бичсэн). Тэгээд ой санамжаас минь өөр зүйл алга болохгүйн тулд тэмдэглэл бичихээр шийдлээ.

Тоо дтодорхойлолтоор - функцийн хязгаар y = (1 + 1 / x) xцагт x → ∞:

Энэ тодорхойлолт нь харамсалтай нь тодорхойгүй байна. Энэ хязгаар яагаад гайхалтай байгаа нь тодорхойгүй байна (үүнийг "хоёр дахь гайхалтай" гэж нэрлэдэг ч гэсэн). Бодоод үз дээ, тэд ямар нэгэн болхи функцийг авч, хязгаарыг тооцоолсон. Өөр функц өөр функцтэй байх болно.

Гэхдээ тоо дямар нэг шалтгааны улмаас энэ нь бүхэл бүтэн багцаар гарч ирдэг өөр өөр нөхцөл байдалматематикт.

Миний хувьд гол утгатоо дбусдын зан авираар илчлэгддэг, үүнээс ч илүү сонирхолтой функц, y = к x. Энэ функц нь хэзээ өвөрмөц шинж чанартай байдаг к = д, үүнийг дараах байдлаар графикаар харуулж болно:

0 цэг дээр функц нь утгыг авдаг д 0 = 1. Хэрэв та цэг дээр шүргэгч зурвал x= 0, дараа нь энэ нь шүргэгч 1-тэй өнцгөөр х тэнхлэгт шилжинэ шар гурвалжинхандлага эсрэг хөл 1-ээс зэргэлдээх 1 нь 1-тэй тэнцүү). 1-р цэг дээр функц нь утгыг авдаг д 1 = д. Хэрэв та нэг цэг дээр шүргэгч зурвал x= 1, тэгвэл шүргэгчтэй өнцгөөр өнгөрөх болно д(В ногоон гурвалжинэсрэг талын харьцаа дзэргэлдээх 1 нь тэнцүү байна д). 2-р цэг дээр утга дФункцийн 2 нь түүнд шүргэгчийн налуу өнцгийн тангенстай дахин давхцаж байна. Үүний улмаас шүргэгч нь өөрөө x тэнхлэгийг яг −1, 0, 1, 2 гэх мэт цэгүүдээр огтолж байна.

Бүх функцуудын дунд y = к x(жишээ нь 2 x , 10 x , π xгэх мэт), функц д x- цэг тус бүрийн налуу өнцгийн тангенс нь функцын өөрийн утгатай давхцаж байгаа цорын ганц зүйл. Энэ нь тодорхойлолтоор энэ функцийн утга тус бүрийн цэг дээрх деривативын утгатай давхцаж байна гэсэн үг: ( д x)´ = д x. Зарим шалтгааны улмаас тоо д= 2.7182818284590... хүртэл өсгөх ёстой янз бүрийн зэрэгийм зураг авахын тулд.

Энэ бол миний бодлоор түүний утга учир юм.

Тоонууд π Тэгээд дЭдгээр нь миний дуртай томьёо - Эйлерийн томъёонд багтсан бөгөөд хамгийн чухал 5 тогтмолыг холбодог - тэг, нэг, төсөөллийн нэгж биба үнэн хэрэгтээ тоо π Тэгээд д:

e iπ + 1 = 0

Яагаад 2.7182818284590...-д байдаг вэ? нарийн төвөгтэй зэрэг 3,1415926535...бигэнэт хасах нэгтэй тэнцэх үү? Энэ асуултын хариулт нь энэ тэмдэглэлийн хамрах хүрээнээс хэтэрсэн бөгөөд богино хэмжээний номын агуулгыг бүрдүүлж болох бөгөөд энэ нь тригонометр, хязгаар, цувралын талаархи үндсэн ойлголтыг шаарддаг.

Би энэ томъёоны гоо үзэсгэлэнг үргэлж гайхшруулж байсан. Магадгүй математикт илүү их зүйл байдаг гайхалтай баримтууд, гэхдээ миний түвшний хувьд (Физик-математикийн лицейд С, А цогц дүн шинжилгээих сургуульд) энэ бол хамгийн чухал гайхамшиг юм.