Энэ нь маягтын тоонуудын нэр бөгөөд энд ба - бодит тоо, a нь тусгай төрлийн тоо бөгөөд квадрат нь -тэй тэнцүү, i.e. . Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд нь олон гишүүнтүүдтэй ижил дүрмийн дагуу хийгддэг боловч -ээр солигдоно. Жишээ нь:

;

;

.

Тэгш байдал гэдэг нь ба .

Эртний Грекийн математикчид зөвхөн "бодит" гэж үздэг натурал тоонууд, гэхдээ практик тооцоонд МЭӨ хоёр мянган жилийн . В Эртний ЕгипетТэгээд Эртний ВавилонБутархайг аль хэдийн ашигласан. Дараа нь чухал үе шаттооны тухай ойлголтыг хөгжүүлэхэд сөрөг тоонуудыг нэвтрүүлсэн - үүнийг МЭӨ хоёр зууны үед Хятадын математикчид хийсэн. 3-р зуунд сөрөг тоог ашигласан. МЭ эртний Грекийн математикч Диофант, тэдгээрт ажиллах дүрмийг аль хэдийн мэддэг байсан бөгөөд 7-р зуунд. МЭ Эдгээр тоог Энэтхэгийн эрдэмтэд нарийвчлан судалж, ийм тоог өртэй харьцуулсан байна. Сөрөг тоонуудын тусламжтайгаар тоо хэмжээний өөрчлөлтийг нэгдмэл байдлаар дүрслэх боломжтой болсон. Аль хэдийн 8-р зуунд. МЭ -ийн квадрат язгуур болох нь тогтоогдсон эерэг тооэерэг ба сөрөг гэсэн хоёр утгатай бөгөөд сөрөг тооноос квадрат язгуур гаргаж авах боломжгүй: ийм тоо байхгүй.

16-р зуунд судалгаатай холбоотой куб тэгшитгэлСөрөг тооноос квадрат язгуур гаргаж авах шаардлагатай болсон. Куб тэгшитгэлийг шийдэх томьёо (Алгебрийн тэгшитгэлийг үзнэ үү) нь шоо ба квадрат язгуурыг агуулна. Энэ томьёо нь тэгшитгэл нь нэг бодит язгууртай (жишээлбэл, тэгшитгэлийн хувьд), хэрэв гурван бодит язгууртай бол (жишээлбэл, ), тэмдгийн дор найдвартай ажилладаг. квадрат язгуурсөрөг тоо болсон. Тэгшитгэлийн эдгээр гурван язгуурт хүрэх зам нь сөрөг тооны квадрат язгуурыг гаргаж авах боломжгүй үйлдлээр дамждаг нь тогтоогджээ.

"Нэг эсвэл өөр математикчийн хүсэл зоригоос гадна, тэр байтугай төсөөллийн тоо нь тооцоололд дахин дахин гарч ирдэг бөгөөд тэдгээрийг ашиглахын ашиг тусыг олж илрүүлэхийн хэрээр аажмаар улам бүр түгээмэл болж байна." Ф.Клейн

Үүний үр дүнд үүссэн парадоксыг тайлбарлахын тулд 1545 онд Италийн алгебрч Г.Кардано тоо оруулахыг санал болгов. шинэ мөн чанар. Бодит тоонуудын олонлогт шийдэлгүй тэгшитгэлийн систем нь , хэлбэрийн шийдтэй болохыг харуулсан, та ийм илэрхийлэл дээр энгийн алгебрийн дүрмийн дагуу ажиллахыг зөвшөөрч, ийм илэрхийлэлд ажиллахыг зөвшөөрөх хэрэгтэй. . Кардано ийм хэмжигдэхүүнийг "цэвэр сөрөг", тэр ч байтугай "софист сөрөг" гэж нэрлэж, ашиггүй гэж үзэж, ашиглахгүй байхыг хичээдэг. Үнэн хэрэгтээ ийм тоонуудын тусламжтайгаар хэмжигдэхүүнийг хэмжих үр дүн эсвэл энэ хэмжигдэхүүн дэх өөрчлөлтийг илэрхийлэх боломжгүй юм. Гэхдээ аль хэдийн 1572 онд Италийн алгебр судлаач Р.Бомбеллигийн ном хэвлэгдэн гарсан бөгөөд үүнд ийм тоон дээр арифметик үйлдлүүдийн анхны дүрмийг тогтоож, тэдгээрээс шоо үндсийг гаргаж авсан байдаг. "Төсөөллийн тоо" гэсэн нэрийг 1637 онд нэвтрүүлсэн. Францын математикчболон философич Р.Декарт, 1777 онд 18-р зууны хамгийн агуу математикчдын нэг. – Л.Эйлер эхний үсгийг ашиглахыг санал болгосон Франц үг imaginaire (төсөөлөл) тоог тэмдэглэх ("төсөөллийн" нэгж); Энэ тэмдэг нь К.Гаусын (1831) ачаар нийтийн хэрэглээнд нэвтэрсэн.

17-р зууны үед. Төсөөллийн арифметик шинж чанар, түүнд геометрийн тайлбар өгөх боломжийн талаар хэлэлцүүлэг үргэлжилсэн.

Комплекс тоон дээр үйлдлийн техник аажмаар хөгжсөн. 17-18-р зууны зааг дээр. баригдсан ерөнхий онол 3-р зэргийн язгуурыг эхлээд сөрөг, дараа нь дурын нийлмэл тооноос авна дараах томъёоАнглийн математикч А.Мойвр (1707)

Энэ томъёог ашиглан та олон нумын косинус ба синусуудын тэгш байдлыг гаргаж болно. Л.Эйлер 1748 онд гайхалтай томьёог гаргажээ

,

хамтдаа холбогдсон экспоненциал функцтригонометрийн хамт. Эйлерийн томьёог ашигласнаар та тоог ямар ч нийлмэл зэрэгт хүргэж болно. Жишээлбэл, энэ нь сонирхолтой юм. Та комплекс тоонуудын синус ба косинусыг олж, ийм тооны логарифмыг тооцоолж болно, i.e. нийлмэл хувьсагчийн функцүүдийн онолыг бий болгох.

"Хиймэл бус хэмжигдэхүүнүүдийн зөвхөн алгебрийн хэлбэрүүд, иероглифүүд боловч төсөөллийн хэмжигдэхүүнээр хийсэн тооцооллын үр дүнгийн үнэн зөв гэдэгт хэн ч эргэлздэггүй." П.Карно

18-р зууны төгсгөлд. Францын математикч Ж.Лагранж математик анализ нь төсөөллийн хэмжигдэхүүнээр төвөгтэй байхаа больсон гэж хэлж чадсан. Комплекс тоо ашиглан шугаман бодлогын шийдлийг илэрхийлж сурсан. дифференциал тэгшитгэлтогтмол коэффициентүүдтэй. Ийм тэгшитгэлийг жишээлбэл, хэлбэлзлийн онолд олдог материаллаг цэгтэсвэртэй орчинд. Бүр өмнө нь Швейцарийн математикч Ж.Бернулли интегралыг тооцоолохдоо нийлмэл тоог ашиглаж байжээ.

Хэдийгээр 18-р зууны үед. Олон тооны асуудлыг цогц тоо ашиглан шийдсэн хэрэглээний асуудлууд, зураг зүй, гидродинамик гэх мэттэй холбоотой боловч эдгээр тоонуудын онолын хувьд хатуу логик үндэслэл хараахан гараагүй байна. Иймээс Францын эрдэмтэн П.Лаплас төсөөллийн тооны тусламжтайгаар олж авсан үр дүн нь шууд нотлох баримтаар батлагдсаны дараа л бодит үнэний шинж чанарыг олж авдаг саналууд гэж үздэг.

"Тэнгэрийн биетүүдийн хөдөлгөөний онол". Төгсгөлд нь XVIII - XIX зууны эхэн үе В. нийлмэл тоонуудын геометрийн тайлбарыг олж авсан. Дани Г.Вессел, Франц Ж.Арган, Герман К.Гаусс нар бие даан комплекс тоог цэг болгон дүрслэхийг санал болгосон.координатын хавтгай . Хожим нь тоог цэгээр нь биш, эхнээс нь энэ цэг рүү явж буй вектороор илэрхийлэх нь бүр ч тохиромжтой болох нь тогтоогдсон. Энэхүү тайлбараар нийлмэл тоог нэмэх, хасах нь вектор дээрх ижил үйлдлүүдтэй тохирч байна. Векторыг зөвхөн координат ба -аар нь тодорхойлохоос гадна урт, х тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй үүсгэсэн өнцгөөр нь тодорхойлж болно. Энэ тохиолдолд тоо нь хэлбэрийг авна

, үүнийг комплекс тооны тригонометрийн хэлбэр гэж нэрлэдэг. Уг тоог комплекс тооны модуль гэж нэрлэдэг бөгөөд үүнийг -ээр тэмдэглэнэ. Тоо нь аргумент гэж нэрлэгддэг ба -аар тэмдэглэгдсэн байдаг. Хэрэв бол утга нь тодорхойлогдоогүй, харин -ын үржвэр хүртэл тодорхойлогддог гэдгийг анхаарна уу. Өмнө дурьдсан Эйлерийн томъёо нь тоог (комплекс тооны экспоненциал хэлбэр) хэлбэрээр бичих боломжийг олгодог. Комплекс тоог экспоненциал хэлбэрээр үржүүлэх нь маш тохиромжтой. Энэ нь томъёоны дагуу үйлдвэрлэгддэг

Комплекс тоонуудын геометрийн тайлбар нь нийлмэл хувьсагчийн функцтэй холбоотой олон ойлголтыг тодорхойлох боломжийг олгож, тэдгээрийн хэрэглээний хамрах хүрээг өргөжүүлсэн. Нийлмэл тоо нь хавтгай дээрх вектороор дүрслэгдсэн хэмжигдэхүүнтэй холбоотой олон асуудалд хэрэгтэй болох нь тодорхой болсон: шингэний урсгалыг судлах, уян хатан байдлын онолын асуудлууд.

Орос, Зөвлөлтийн эрдэмтэд нийлмэл хувьсагчийн функцийн онолыг хөгжүүлэхэд асар их хувь нэмэр оруулсан. Н.И.Мушхелишвили уян хатан байдлын онолд, М.В.Келдыш, М.А.Лаврентьев нар аэро- ба гидродинамикийн чиглэлээр, Н.Н.Боголюбов, В.С.Владимиров нар асуудалд хэрэглэх тал дээр ажилласан. квант онолталбайнууд.

Комплекс тооны онолын үндэс.

Тоон багц. Тооны тухай ойлголтыг өргөжүүлэх хэрэгцээ.

Математикийн үндсэн ойлголтуудын нэг бол тооны тухай ойлголт юм. Энэхүү үзэл баримтлал нь хөгжлийн урт замыг туулж, шинэ агуулгаар баяжуулсан.

Түүхээс харахад натурал тоо нь практикт анх бий болж, хэмжигдэхүүнийг тоолох хэрэгсэл болох шинжлэх ухаанд нэвтэрсэн. бие даасан зүйлс. Тэд үүсгэдэг хязгааргүй олонлоггэж тэмдэглэгдсэн байнаН.

Дараа нь сөрөг тоог нэвтрүүлэх шаардлагатай болсон практик үйл ажиллагаахүн (үүргийн тухай ойлголт). Сөрөг бүхэл тоонууд нь натурал болон 0 тоотой хамт хязгааргүй Z олонлогийг бүрдүүлдэг.

Дадлага хийх хэрэгцээ, түүнчлэн математикийн дотоод хэрэгцээ, түүний логик хөгжил, багцын хангалтгүй байдлыг харуулсан рационал тооянз бүрийн асуудлыг шийдвэрлэх.

Жишээлбэл,

Ийм тоог иррациональ гэж нэрлэдэг.

Тиймээс тооны шулуун дээрх цэг бүрт байх ёстой шинэ өргөтгөсөн тооны багц үүсгэх шаардлагатай болсон. тоон утга x хэлбэрийн дурын тэгшитгэл байх болно n = a. Ийм багцыг жинхэнэ эсвэл гэж нэрлэдэг бодит тооР.

Өмнөх багц бүр дараагийн багцад агуулагдаж байна:

Шинжлэх ухаан, практикийн хөгжил нь танилцуулсан R олонлогийн хангалтгүй байдлыг харуулж байна. Энэ олонлог дээр хамгийн энгийн тэгшитгэл шийдэгдэх боломжгүй.

Үүнээс салахын тулд тэмдэглэгээг нэвтрүүлсэн

Үүссэн i тоог төсөөллийн нэгж гэж нэрлэдэг.

Түүхэн мэдээлэл.

1545 - Италийн математикчЖироламо КарданоКуб тэгшитгэлийг шийдэж байхдаа би анх удаа санамсаргүй байдлаар төсөөлөлтэй тоог олж авсан

1748 - Оросын математикчЛеонард Эйлер харьцааг олсон e ix = cos x + i∙sin x

1803 - Францын математикчЛазаре Николас Карнонийлмэл тооны тухай ойлголтыг нэвтрүүлсэн.

1835 - Германы математикчКарл Фридрих Гаусснийлмэл тоо байгааг зөвтгөсөн.

Тодорхойлолт. Төсөөллийн нэгж i квадрат нь -1 тоо юм.

Тодорхойлолт. Цогцолбор тоонь a + i∙b хэлбэрийн тоо бөгөөд a ба b нь бодит тоо юм. a тоог дууддагкомплекс тооны бодит хэсэг, б - нийлмэл тооны төсөөллийн хэсэг. (ГЭХДЭЭ i∙b БИШ!!!)

Хоёр онцгой тохиолдол байдаг:

Тодорхойлолт. Маягт дээр тоо бичихa + i∙b гэж нэрлэдэгнийлмэл тоог бичих алгебрийн хэлбэр.

Тодорхойлолт . Хоёр комплекс тоо гэж нэрлэдэгтэнцүү , хэрэв тэдгээрийн төсөөлөл ба бодит хэсгүүд тэнцүү бол.

Тодорхойлолт . a - i∙b комплекс тоо гэж нэрлэдэгнарийн төвөгтэй коньюгатa + i∙b комплекс тоо руу.

Тодорхойлолт . a + i∙b ба - a - i∙b нийлмэл тоонуудыг дууднаэсрэг.

Комплекс тоон дээрх үйлдлүүд

В алгебрийн хэлбэрбичлэгүүд.

1. Нэмэлт.

Дүрэм . Алгебрийн тэмдэглэгээнд хоёр нийлмэл тоог нэмэхийн тулд тэдгээрийн төсөөлөл болон бодит хэсгүүдийг нэмэх хэрэгтэй.

(a 1 + ib 1 ) + (a 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) + (-2 + 7i) =

2. Хасах.

Дүрэм . Алгебрийн тэмдэглэгээнд хоёр нийлмэл тоог хасахын тулд тэдгээрийн төсөөлөл болон бодит хэсгүүдийг тус тус хасах хэрэгтэй.

(a 1 + ib 1) - (a 2 + ib 2) =

(3 + 5i) - (-2 + 7i) =

3. Үржүүлэх.

Дүрэм . Алгебрийн тэмдэглэгээнд хоёр нийлмэл тоог үржүүлэхийн тулд тэдгээрийг гишүүнээр нь үржүүлж, алгебрийн тэмдэглэгээнд оруулах хэрэгтэй.

(a 1 + ib 1 ) ∙ (a 2 + ib 2 ) =

(3 + 5i) ∙ (-2 + 7i) =

4. Хэлтэс.

Дүрэм . Нэг нийлмэл тоог нөгөөд хуваахын тулд та хоёр тоог хуваагчийн комплекс коньюгатаар үржүүлж, үйлдлүүдийг хийх хэрэгтэй.

Даалгавар.

1. Дараах тоонуудын аль нь тэнцүү вэ?

0.3 + 0.2i

0.3 - 0.2i

0.6 + 0.4i

1. Дараах тоонуудын аль нь бодит вэ? Цэвэр төсөөлөл үү?

2+0i

0+2i

3-5i

4+2i

1. Өгөгдсөн нийлмэл тооны бүх нийлмэл болон эсрэг талыг ол.

Танд сануулъя шаардлагатай мэдээлэлнийлмэл тоонуудын тухай.

Цогцолбор тоохэлбэрийн илэрхийлэл юм а + би, Хаана а, ббодит тоонууд ба би- гэж нэрлэгддэг төсөөллийн нэгж, квадрат нь –1-тэй тэнцүү тэмдэг, өөрөөр хэлбэл би 2 = –1. Тоо адуудсан бодит хэсэг, мөн тоо б - төсөөллийн хэсэгнийлмэл тоо z = а + би. Хэрэв б= 0, дараа нь оронд нь а + 0битэд энгийнээр бичдэг а. Бодит тоо байгаа нь харагдаж байна онцгой тохиолдолнийлмэл тоо.

Комплекс тоон дээрх арифметик үйлдлүүд нь бодит тоонуудтай адил байна: тэдгээрийг бие биендээ нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах боломжтой. Нэмэх, хасах нь дүрмийн дагуу явагдана ( а + би) ± ( в + ди) = (а ± в) + (б ± г)би, үржүүлэх нь дүрмийг дагаж мөрддөг ( а + би) · ( в + ди) = (ac – бд) + (зар + МЭӨ)би(энд үүнийг ашигладаг би 2 = –1). Тоо = а – бидуудсан нарийн төвөгтэй коньюгатруу z = а + би. Тэгш байдал z · = а 2 + б 2 нь нэг цогцолбор тоог өөр (тэг биш) цогцолбор тоогоор хэрхэн хуваахыг ойлгох боломжийг танд олгоно.

(Жишээ нь, .)

Цогцолбор тоо нь тохиромжтой, харааны шинж чанартай байдаг геометрийн дүрслэл: тоо z = а + бикоординаттай вектороор дүрсэлж болно ( а; б) дээр Декарт онгоц(эсвэл бараг ижил зүйл болох цэг - эдгээр координат бүхий векторын төгсгөл). Энэ тохиолдолд хоёр нийлмэл тооны нийлбэрийг харгалзах векторуудын нийлбэр хэлбэрээр дүрсэлсэн (үүнийг параллелограммын дүрмийг ашиглан олж болно). Пифагорын теоремын дагуу координаттай векторын урт ( а; б) -тэй тэнцүү байна. Энэ хэмжээг нэрлэдэг модульнийлмэл тоо z = а + биба | гэж тэмдэглэнэ z|. Энэ векторын x тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй (цагийн зүүний эсрэг тоолно) хийсэн өнцгийг нэрлэнэ маргааннийлмэл тоо zба Arg гэж тэмдэглэгдсэн байна z. Аргумент нь өвөрмөц байдлаар тодорхойлогдоогүй бөгөөд зөвхөн 2-ын үржвэрийг нэмэх хүртэл л болно π радианууд (эсвэл градусаар тооцвол 360 °) - эцсийн эцэст эхийг тойрон ийм өнцгөөр эргүүлэх нь векторыг өөрчлөхгүй нь ойлгомжтой. Харин уртын вектор бол rөнцөг үүсгэдэг φ х тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй бол түүний координат нь ( r cos φ ; rнүгэл φ ). Эндээс л болж байна тригонометрийн тэмдэглэгээнийлмэл тоо: z = |z| · (cos(Arg z) + бинүгэл(Арг z)). Энэ хэлбэрээр нарийн төвөгтэй тоо бичих нь ихэвчлэн тохиромжтой байдаг, учир нь энэ нь тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулдаг. Тригонометрийн хэлбэрээр нийлмэл тоог үржүүлэх нь маш энгийн: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Арг z 2) + бинүгэл(Арг z 1 + Арг z 2)) (хоёр нийлмэл тоог үржүүлэхэд тэдгээрийн модулиудыг үржүүлж, аргументуудыг нэмнэ). Эндээс дагаарай Мойврын томъёонууд: z n = |z|n· (учир нь n· (Арг z)) + бинүгэл( n· (Арг z))). Эдгээр томьёог ашигласнаар нийлмэл тооноос ямар ч түвшний үндсийг гаргаж авахыг сурахад хялбар байдаг. n-р үндэс z тооноос авсан хүч- энэ бол нарийн төвөгтэй тоо w, Юу w n = z. Энэ нь ойлгомжтой , ба , хаана колонлогоос дурын утгыг авч болно (0, 1, ..., n– 1). Энэ нь үргэлж яг байдаг гэсэн үг юм nүндэс nнийлмэл тооны 3-р зэрэг (хавтгай дээр тэдгээр нь ердийн тооны орой дээр байрладаг n-гон).