Хоёрдогч сургалтын явцад болон ахлах сургуульОюутнууд “Бутархай” сэдвийг судалсан. Гэсэн хэдий ч энэ ойлголт нь сургалтын үйл явцад өгөгдсөнөөс хамаагүй өргөн юм. Өнөөдөр бутархай гэсэн ойлголт маш олон удаа тулгардаг бөгөөд хүн бүр ямар ч илэрхийлэл, жишээлбэл, бутархайг үржүүлэхийг тооцоолж чаддаггүй.
Бутархай гэж юу вэ?
Түүхийн хувьд бутархай тоо нь хэмжих хэрэгцээ шаардлагаас үүдэн бий болсон. Дадлагаас харахад сегментийн урт ба тэгш өнцөгт тэгш өнцөгтийн эзэлхүүнийг тодорхойлох жишээнүүд ихэвчлэн байдаг.
Эхний ээлжинд оюутнуудад хувьцааны тухай ойлголт өгдөг. Жишээлбэл, хэрэв та тарвасыг 8 хэсэгт хуваавал хүн бүр тарвасны наймны нэгийг авах болно. Энэ наймны нэг хэсгийг хувьцаа гэж нэрлэдэг.
Аливаа үнийн дүнгийн ½-тэй тэнцэх хувьцааг тал гэж нэрлэдэг; ⅓ - гурав дахь; ¼ - дөрөвний нэг. 5/8, 4/5, 2/4 хэлбэрийн бичлэгийг энгийн бутархай гэж нэрлэдэг. Энгийн бутархайг тоологч ба хуваагч гэж хуваана. Тэдний хооронд бутархай мөр буюу бутархай мөр байна. Бутархай шугамыг хэвтээ эсвэл ташуу шугамаар зурж болно. IN энэ тохиолдолдэнэ нь хуваах тэмдгийг илэрхийлдэг.
Хуваагч нь хэмжигдэхүүн эсвэл объектыг хэдэн тэнцүү хэсэгт хуваахыг илэрхийлдэг; хэчнээн ижил хувьцаа авсан нь тоологч юм. Тоолуурыг бутархай шугамын дээгүүр, хуваагчийг доор нь бичнэ.
Энгийн бутархайг координатын цацраг дээр харуулах нь хамгийн тохиромжтой. Хэрэв нэгж сегментийг 4 тэнцүү хэсэгт хуваасан бол хэсэг бүрийг шошго Латин үсэг, тэгвэл үр дүн нь маш сайн байх болно харааны тусламж. Тэгэхээр А цэг нь нийт дүнгийн 1/4-тэй тэнцэх хувийг харуулж байна нэгж сегмент, мөн В цэг нь энэ сегментийн 2/8 хэсгийг тэмдэглэнэ.
Бутархайн төрлүүд
Бутархай нь энгийн, аравтын бутархай, холимог тоо байж болно. Үүнээс гадна бутархайг зөв ба буруу гэж хувааж болно. Энэ ангилал нь илүү тохиромжтой энгийн бутархай.
Доод зөв бутархайхэний тоологчийг ойлгох хуваагчаас бага. Үүний дагуу буруу бутархай гэдэг нь хуваагч нь хуваагчаас их тоо юм. Хоёр дахь төрлийг ихэвчлэн холимог тоогоор бичдэг. Энэ илэрхийлэл нь бүхэл тоо ба бутархай хэсгээс бүрдэнэ. Жишээлбэл, 1½. 1 - бүхэл хэсэг, ½ - бутархай. Гэсэн хэдий ч, хэрэв та илэрхийлэлтэй зарим заль мэхийг хийх шаардлагатай бол (бутархайг хуваах, үржүүлэх, тэдгээрийг багасгах, хөрвүүлэх) холимог тообуруу бутархай болж хувирдаг.
Зөв бутархай илэрхийлэл нь үргэлж нэгээс бага, буруу нь 1-ээс их буюу тэнцүү байна.
Энэ илэрхийллийн хувьд бид дурын тоог илэрхийлсэн бичлэгийг хэлнэ, бутархай илэрхийллийн хуваагч нь хэд хэдэн тэгтэй нэгээр илэрхийлэгдэх боломжтой. Хэрэв бутархай зөв бол бүхэл хэсэг нь байна аравтын тэмдэглэгээтэгтэй тэнцүү байх болно.
Аравтын бутархай бичихийн тулд эхлээд бүхэл хэсгийг бичиж, таслал ашиглан бутархайгаас салгаж, дараа нь бутархайн илэрхийллийг бичих хэрэгтэй. Аравтын бутархайны дараа тоологч нь хуваарьт тэгтэй ижил тооны тоон тэмдэгт агуулсан байх ёстой гэдгийг санах нь зүйтэй.
Жишээ. 7 21 / 1000 бутархайг аравтын тоогоор илэрхийлнэ.
Бутархай бутархайг холимог тоо болон эсрэгээр нь хувиргах алгоритм
Бодлогын хариултанд буруу бутархай бичих нь буруу тул холимог тоо руу хөрвүүлэх шаардлагатай.
- тоологчийг одоо байгаа хуваагчаар хуваах;
- В тодорхой жишээбүрэн бус quotient - бүхэлд нь;
- үлдэгдэл нь бутархай хэсгийн хуваагч бөгөөд хуваагч өөрчлөгдөхгүй.
Жишээ. Бутархай бутархайг холимог тоо болгон хөрвүүлэх: 47/5.
Шийдэл. 47: 5. Хэсэгчилсэн хэсэг нь 9, үлдсэн нь = 2. Тэгэхээр 47/5 = 9 2/5.
Заримдаа та холимог тоогоор илэрхийлэх хэрэгтэй буруу бутархай. Дараа нь та дараах алгоритмыг ашиглах хэрэгтэй.
- бүхэл хэсэг нь бутархай илэрхийллийн хуваагчаар үржүүлсэн;
- үүссэн бүтээгдэхүүнийг тоологч дээр нэмнэ;
- үр дүн нь тоологч дээр бичигдсэн, хуваагч өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна.
Жишээ. Тоогоор илэрхийлнэ үү холимог хэлбэрбуруу бутархай байдлаар: 9 8/10.
Шийдэл. 9 x 10 + 8 = 90 + 8 = 98 нь тоологч юм.
Хариулах: 98 / 10.
Бутархайг үржүүлэх
Энгийн бутархай дээр янз бүрийн алгебрийн үйлдлүүдийг хийж болно. Хоёр тоог үржүүлэхийн тулд тоологчийг хуваагчтай, хуваагчийг хуваагчтай үржүүлэх хэрэгтэй. Түүнээс гадна өөр өөр хуваагчтай бутархайг үржүүлэх нь бутархайг үржүүлэхээс ялгаагүй юм ижил хуваагч.
Үр дүнг олсны дараа та фракцыг багасгах хэрэгтэй болдог. Үүссэн илэрхийлэлийг аль болох хялбарчлах нь зайлшгүй чухал юм. Мэдээжийн хэрэг, хариултын буруу бутархай нь алдаа гэж хэлж болохгүй, гэхдээ үүнийг зөв хариулт гэж нэрлэхэд хэцүү байдаг.
Жишээ. ½ ба 20/18 гэсэн хоёр энгийн бутархайн үржвэрийг ол.
Жишээнээс харахад бүтээгдэхүүнийг олсны дараа үр дүн нь буурдаг бутархай тэмдэглэгээ. Энэ тохиолдолд тоологч ба хуваагч хоёулаа 4-т хуваагдсан бөгөөд үр дүн нь 5/9 гэсэн хариулт юм.
Аравтын бутархайг үржүүлэх
Аравтын бутархайн үржвэр нь зарчмын хувьд энгийн бутархайн үржвэрээс тэс өөр юм. Тиймээс бутархайг үржүүлэх нь дараах байдалтай байна.
- хоёр аравтын бутархайг нэг дор бичих ёстой бөгөөд ингэснээр хамгийн баруун талын цифрүүд нь нөгөөгийнхөө доор байх ёстой;
- та таслалыг үл харгалзан бичсэн тоог, өөрөөр хэлбэл натурал тоогоор үржүүлэх хэрэгтэй;
- тоо бүрийн аравтын бутархайн дараах цифрүүдийн тоог тоолох;
- үржүүлсний дараа олж авсан үр дүнд аравтын бутархайн дараах хоёр хүчин зүйлийн нийлбэрт байгаа тоон тэмдгийг баруун талаас нь тоолж, тусгаарлах тэмдэг тавих хэрэгтэй;
- Хэрэв бүтээгдэхүүнд цөөн тооны тоо байгаа бол энэ тоог нөхөхийн тулд тэдгээрийн өмнө аль болох олон тэг бичиж, таслал тавьж, бүхэл хэсгийг тэгтэй тэнцүүлэх шаардлагатай.
Жишээ. Хоёр аравтын бутархайн үржвэрийг тооцоол: 2.25 ба 3.6.
Шийдэл.
Холимог бутархайг үржүүлэх
Хоёр холимог бутархайн үржвэрийг тооцоолохын тулд та бутархайг үржүүлэх дүрмийг ашиглах хэрэгтэй.
- холимог тоонуудыг буруу бутархай болгон хувиргах;
- тоологчдын үржвэрийг олох;
- хуваагчийн үржвэрийг олох;
- үр дүнг бичих;
- илэрхийллийг аль болох хялбарчлах.
Жишээ. 4½ ба 6 2/5-ын үржвэрийг ол.
Тоог бутархайгаар үржүүлэх (бутархайг тоогоор)
Хоёр бутархай ба холимог тооны үржвэрийг олохоос гадна бутархайгаар үржүүлэх шаардлагатай даалгавар байдаг.
Тиймээс, бүтээгдэхүүнийг олохын тулд аравтынба натурал тоо, танд хэрэгтэй:
- хамгийн баруун талын цифрүүд нөгөөгөөсөө дээгүүр байхаар тоог бутархайн доор бичнэ үү;
- таслалыг үл харгалзан бүтээгдэхүүнийг олох;
- үр дүнд нь бутархайн аравтын бутархайн дараа байрлах цифрүүдийн тоог баруун талаас нь тоолж, таслал ашиглан бүхэл хэсгийг бутархай хэсгээс тусгаарлана.
Бутархайг тоогоор үржүүлэхийн тулд тоологчийн үржвэрийг ол байгалийн хүчин зүйл. Хэрэв хариулт нь багасгаж болох бутархайг гаргавал түүнийг хөрвүүлэх ёстой.
Жишээ. 5/8 ба 12-ын үржвэрийг тооцоол.
Шийдэл. 5 / 8 * 12 = (5*12) / 8 = 60 / 8 = 30 / 4 = 15 / 2 = 7 1 / 2.
Хариулах: 7 1 / 2.
Өмнөх жишээнээс харахад үр дүнг бууруулж, буруу бутархай илэрхийлэлийг холимог тоо болгон хувиргах шаардлагатай байв.
Бутархайг үржүүлэх нь холимог болон байгалийн хүчин зүйл дэх тооны үржвэрийг олоход хамаарна. Эдгээр хоёр тоог үржүүлэхийн тулд та холимог хүчин зүйлийн бүх хэсгийг тоогоор үржүүлж, тоологчийг ижил утгаар үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй байх ёстой. Шаардлагатай бол үр дүнгийн үр дүнг аль болох хялбарчлах хэрэгтэй.
Жишээ. 9 5/6 ба 9-ийн үржвэрийг ол.
Шийдэл. 9 5 / 6 x 9 = 9 x 9 + (5 x 9) / 6 = 81 + 45 / 6 = 81 + 7 3 / 6 = 88 1 / 2.
Хариулах: 88 1 / 2.
10, 100, 1000 эсвэл 0.1-ийн хүчин зүйлээр үржүүлэх; 0.01; 0.001
Энэ нь өмнөх догол мөрөөс гардаг дараагийн дүрэм. Аравтын бутархайг 10, 100, 1000, 10000 гэх мэтээр үржүүлэхийн тулд аравтын бутархайг баруун тийш нь үржүүлэхийн тулд тухайн хүчин зүйлийн нэгийн дараа тэг байгаа бол тэр хэмжээгээр баруун тийш шилжүүлэх шаардлагатай.
Жишээ 1. 0.065 ба 1000-ын үржвэрийг ол.
Шийдэл. 0.065 x 1000 = 0065 = 65.
Хариулах: 65.
Жишээ 2. 3.9 ба 1000-ын үржвэрийг ол.
Шийдэл. 3.9 x 1000 = 3.900 x 1000 = 3900.
Хариулах: 3900.
Хэрэв та натурал тоо болон 0.1-ийг үржүүлэх шаардлагатай бол; 0.01; 0.001; 0.0001 гэх мэт тохиолдолд та гарсан үржвэрийн таслалыг зүүн тийш нэгээс өмнө тэг байхын хэрээр олон цифрээр зөөх хэрэгтэй. Шаардлагатай бол натурал тооны өмнө хангалттай тооны тэг бичнэ.
Жишээ 1. 56 ба 0.01-ийн үржвэрийг ол.
Шийдэл. 56 x 0.01 = 0056 = 0.56.
Хариулах: 0,56.
Жишээ 2. 4 ба 0.001-ийн үржвэрийг ол.
Шийдэл. 4 x 0.001 = 0004 = 0.004.
Хариулах: 0,004.
Тиймээс, бүтээгдэхүүнийг хайж олох өөр өөр фракцуудүр дүнг тооцоолохоос бусад тохиолдолд хүндрэл учруулах ёсгүй; Энэ тохиолдолд та тооцоолуургүйгээр хийх боломжгүй.
) ба хуваагчийг хуваах (бид бүтээгдэхүүний хуваагчийг авдаг).
Бутархайг үржүүлэх томъёо:
Жишээ нь:
Тоолуур ба хуваагчийг үржүүлж эхлэхээсээ өмнө бутархайг багасгах боломжтой эсэхийг шалгах хэрэгтэй. Хэрэв та бутархайг багасгаж чадвал цаашдын тооцоолол хийхэд хялбар байх болно.
Энгийн бутархайг бутархайд хуваах.
Натурал тоо агуулсан бутархайг хуваах.
Энэ нь харагдаж байгаа шигээ аймшигтай биш юм. Нэмэх үеийн нэгэн адил бид бүхэл тоог хуваарьт нэгтэй бутархай болгон хувиргадаг. Жишээ нь:
Холимог бутархайг үржүүлэх.
Бутархайг үржүүлэх дүрэм (холимог):
- холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргах;
- бутархайн тоо ба хуваагчийг үржүүлэх;
- фракцыг багасгах;
- Хэрэв та буруу бутархай авах юм бол бид буруу бутархайг холимог бутархай болгон хувиргадаг.
Анхаар!Үржүүлэхийн тулд холимог фракцөөр холимог бутархай болгохын тулд эхлээд тэдгээрийг буруу бутархай хэлбэрт шилжүүлж, дараа нь энгийн бутархайг үржүүлэх дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй.
Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэх хоёр дахь арга.
Энгийн бутархайг тоогоор үржүүлэх хоёр дахь аргыг ашиглах нь илүү тохиромжтой байж болох юм.
Анхаар!Бутархайг натурал тоогоор үржүүлэхийн тулд бутархайн хуваагчийг энэ тоонд хувааж, тоологчийг өөрчлөхгүй орхих ёстой.
Дээрх жишээнээс харахад бутархайн хуваагчийг үлдэгдэлгүйгээр натурал тоонд хуваахад энэ сонголтыг ашиглахад илүү тохиромжтой болох нь тодорхой байна.
Олон давхар бутархай.
Ахлах сургуульд гурван давхар (эсвэл түүнээс дээш) фракцууд ихэвчлэн тулгардаг. Жишээ:
Ийм бутархайг ердийн хэлбэрт оруулахын тулд 2 цэгээр хуваахыг ашиглана.
Анхаар!Бутархайг хуваахдаа хуваах дараалал нь маш чухал юм. Болгоомжтой байгаарай, энд төөрөлдөх нь амархан.
Анхаарна уу Жишээ нь:
Нэгийг дурын бутархайд хуваахад үр дүн нь ижил бутархай байх болно, зөвхөн урвуу:
Бутархайг үржүүлэх, хуваах практик зөвлөмжүүд:
1. Бутархай илэрхийлэлтэй ажиллахад хамгийн чухал зүйл бол нарийвчлал, анхааралтай байх явдал юм. Бүх тооцоог анхааралтай, үнэн зөв, төвлөрч, тодорхой хий. Оюуны тооцоонд төөрч байснаас төсөлдөө хэдэн мөр нэмж бичсэн нь дээр.
2. Даалгавруудад янз бүрийн төрөлбутархай - энгийн бутархай хэлбэрт шилжих.
3. Бид бүх бутархайг багасгах боломжгүй болтол нь багасгадаг.
4. Олон давхар бутархай илэрхийллүүдБид тэдгээрийг 2 цэгээр хуваах замаар энгийн хэлбэрт оруулдаг.
5. Нэгжийг толгойдоо бутархайд хувааж, зүгээр л бутархайг эргүүл.
Энгийн бутархай тоо нь 5-р ангийн сурагчидтай анх уулзаж, амьдралынхаа туршид дагалддаг, учир нь өдөр тутмын амьдралд объектыг бүхэлд нь биш, харин тусдаа хэсэг болгон авч үзэх, ашиглах шаардлагатай байдаг. Энэ сэдвийг судалж эхлэх - хувьцаа. Хувьцаа нь тэнцүү хэсэг юм, үүнд энэ эсвэл тэр объект хуваагдана. Эцсийн эцэст, жишээлбэл, бүтээгдэхүүний урт эсвэл үнийг бүхэлд нь тоогоор илэрхийлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг. "Хуваах" - хэсэг болгон хуваах үйл үгнээс үүссэн, араб үндэстэй "бутархай" гэдэг үг нь өөрөө 8-р зуунд орос хэл дээр гарч ирэв.
Бутархай илэрхийлэл нь математикийн хамгийн хэцүү салбар гэж эрт дээр үеэс үздэг. 17-р зуунд математикийн анхны сурах бичгүүд гарч ирэхэд тэдгээрийг "эвдэрсэн тоо" гэж нэрлэдэг байсан нь хүмүүст ойлгоход маш хэцүү байсан.
Орчин үеийн дүр төрхХэсэг нь хэвтээ шугамаар тусгаарлагдсан энгийн бутархай үлдэгдлийг анх Фибоначчи - Пизагийн Леонардо дэвшүүлсэн. Түүний бүтээлүүд 1202 онтой холбоотой. Гэхдээ энэ нийтлэлийн зорилго нь уншигчдад янз бүрийн хуваагчтай холимог бутархайг хэрхэн үржүүлж байгааг энгийн бөгөөд ойлгомжтой тайлбарлах явдал юм.
Өөр өөр хуваагчтай бутархайг үржүүлэх
Эхэндээ үүнийг тодорхойлох нь зүйтэй бутархайн төрлүүд:
- зөв;
- буруу;
- холимог.
Дараа нь та ижил хуваагчтай бутархай тоог хэрхэн үржүүлж байгааг санах хэрэгтэй. Энэ үйл явцын дүрэм нь бие даан томьёолоход хялбар байдаг: үржүүлгийн үр дүн энгийн бутархайижил хуваагчтай нь бутархай илэрхийлэл бөгөөд түүний хуваагч нь тоонуудын үржвэр, хуваагч нь эдгээр бутархайн хуваагчдын үржвэр юм. Энэ нь үнэн хэрэгтээ шинэ хуваагч нь одоо байгаа нэгнийх нь квадрат юм.
Үржүүлэх үед өөр өөр хуваарьтай энгийн бутархайХоёр ба түүнээс дээш хүчин зүйлийн хувьд дүрэм өөрчлөгдөхгүй:
а/б * в/г = a*c / б*д.
Ганц ялгаа нь үүнд л байгаа юм үүссэн тообутархай шугамын доор янз бүрийн тооны үржвэр, мэдээжийн хэрэг нэгийн квадрат байх болно тоон илэрхийлэлнэрлэх боломжгүй.
Жишээнүүдийг ашиглан өөр өөр хуваагчтай бутархайг үржүүлэх талаар авч үзэх нь зүйтэй.
- 8/ 9 * 6/ 7 = 8*6 / 9*7 = 48/ 63 = 16/2 1 ;
- 4/ 6 * 3/ 7 = 2/ 3 * 3/7 <> 2*3 / 3*7 = 6/ 21 .
Жишээ нь бутархай илэрхийллийг багасгах аргыг ашигладаг. Та зөвхөн хуваагч тоонуудын хажууд байгаа тооны тоог багасгаж болно үнэ цэнэтэй үржүүлэгчидТа бутархай шугамын дээр эсвэл доор товчилж болохгүй.
Энгийн хамт бутархай тоо, холимог бутархай гэсэн ойлголт байдаг. Холимог тоо нь бүхэл ба бутархай хэсгээс бүрдэх бөгөөд энэ нь эдгээр тоонуудын нийлбэр юм.
1 4/ 11 =1 + 4/ 11.
Үржүүлэх нь хэрхэн ажилладаг вэ?
Хэд хэдэн жишээг авч үзэх зорилгоор өгсөн.
2 1/ 2 * 7 3/ 5 = 2 + 1/ 2 * 7 + 3/ 5 = 2*7 + 2* 3/ 5 + 1/ 2 * 7 + 1/ 2 * 3/ 5 = 14 + 6/5 + 7/ 2 + 3/ 10 = 14 + 12/ 10 + 35/ 10 + 3/ 10 = 14 + 50/ 10 = 14 + 5=19.
Жишээ нь тоог үржүүлэх аргыг ашигладаг жирийн бутархай хэсэг , энэ үйлдлийн дүрмийг дараах байдлаар бичиж болно.
а* б/в = a*b /в.
Үнэн хэрэгтээ ийм бүтээгдэхүүн нь ижил бутархай үлдэгдлүүдийн нийлбэр бөгөөд нэр томъёоны тоо нь энэ натурал тоог илэрхийлдэг. Онцгой тохиолдол:
4 * 12/ 15 = 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 + 12/ 15 = 48/ 15 = 3 1/ 5.
Тоог бутархай үлдэгдлээр үржүүлэх өөр нэг шийдэл бий. Та зөвхөн хуваагчийг энэ тоогоор хуваах хэрэгтэй:
г* д/е = д/f: d.
Энэ аргыг хуваагчийг үлдэгдэлгүй натурал тоо эсвэл тэдний хэлснээр бүхэл тоонд хуваахад ашиглахад ашигтай байдаг.
Холимог тоог буруу бутархай болгон хувиргаж, өмнө нь тайлбарласан аргаар бүтээгдэхүүнийг гарга.
1 2/ 3 * 4 1/ 5 = 5/ 3 * 21/ 5 = 5*21 / 3*5 =7.
Энэ жишээ нь холимог бутархайг буруу бутархай хэлбэрээр илэрхийлэх аргыг багтаасан бөгөөд үүнийг дараах байдлаар илэрхийлж болно. ерөнхий томъёо:
а бв = a*b+ c / c, энд шинэ бутархайн хуваагч нь бүхэл хэсгийг хуваагчтай үржүүлж, анхны бутархай үлдэгдлийн хүртэгчтэй нэмэх замаар үүсэх ба хуваагч нь ижил хэвээр байна.
Энэ процесс бас ажилладаг урвуу тал. Бүхэл хэсэг ба бутархай үлдэгдлийг салгахын тулд та "булан" ашиглан буруу бутархайн хуваагчийг хуваах хэрэгтэй.
Буруу бутархайг үржүүлэхнийтээр хүлээн зөвшөөрсөн аргаар үйлдвэрлэсэн. Нэг бутархай шугамын доор бичихдээ энэ аргыг ашиглан тоог багасгаж, үр дүнг тооцоолоход хялбар болгохын тулд шаардлагатай бол бутархайг багасгах хэрэгтэй.
Интернэт дээр бүр нарийн төвөгтэй асуудлыг шийдэх олон туслахууд байдаг. математикийн асуудлуудянз бүрийн програмын хувилбаруудад. Хангалттай тоо хэмжээИйм үйлчилгээ нь бутархайг үржүүлэхэд туслахыг санал болгодог өөр өөр тоохуваагчаар - бутархайг тооцоолох онлайн тооцоолуур гэж нэрлэгддэг. Тэд зөвхөн үржүүлээд зогсохгүй энгийн бутархай болон холимог тоогоор бусад энгийн арифметик үйлдлүүдийг гүйцэтгэх чадвартай. Та вэбсайтын хуудсан дээрх тохирох талбаруудыг бөглөж, математикийн үйлдлийн тэмдгийг сонгоод "тооцоолох" дээр дарна уу. Програм нь автоматаар тооцоолдог.
Сэдэв арифметик үйлдлүүдБутархай тоо нь дунд, ахлах ангийн сурагчдын боловсролд хамаатай. Ахлах сургуульд байхдаа тэд хамгийн энгийн зүйлүүдийг авч үзэхээ больсон, гэхдээ бүхэл бутархай илэрхийллүүд, гэхдээ урьд өмнө олж авсан хувиргах дүрэм, тооцооллын талаархи мэдлэгийг анхны хэлбэрээр нь ашигладаг. Сайн сурсан суурь мэдлэгхамгийн амжилттай шийдвэр гаргах бүрэн итгэлийг өгөх нарийн төвөгтэй даалгавар.
Эцэст нь хэлэхэд, Лев Николаевич Толстойн "Хүн бол бутархай хэсэг юм. Өөрийн тоологчийг - гавьяаг нь нэмэгдүүлэх нь хүний эрх мэдэлд байдаггүй ч хэн ч гэсэн хуваагч - өөрийнхөө талаарх үзэл бодлыг бууруулж чаддаг бөгөөд энэ бууралтаар түүний төгс төгөлдөрт ойртдог.
Бутархайг бутархай, бутархайг тоогоор зөв үржүүлэхийн тулд та мэдэх хэрэгтэй энгийн дүрэм. Одоо бид эдгээр дүрмийг нарийвчлан шинжлэх болно.
Энгийн бутархайг бутархайгаар үржүүлэх.
Бутархайг бутархайгаар үржүүлэхийн тулд тоологчдын үржвэр ба эдгээр бутархайн хуваагчийн үржвэрийг тооцоолох хэрэгтэй.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(c)(d) = \frac(a \times c)(b \times d)\\\)
Нэг жишээг харцгаая:
Бид эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайтай үржүүлж, эхний бутархайн хуваагчийг хоёр дахь бутархайтай үржүүлнэ.
\(\frac(6)(7) \times \frac(2)(3) = \frac(6 \times 2)(7 \times 3) = \frac(12)(21) = \frac(4 \ дахин 3) (7 \ дахин 3) = \ frac (4) (7) \\\)
\(\frac(12)(21) = \frac(4 \times 3)(7 \times 3) = \frac(4)(7)\\\) бутархайг 3-аар бууруулсан.
Бутархайг тоогоор үржүүлэх.
Эхлээд дүрмийг санацгаая, дурын тоог бутархай хэлбэрээр илэрхийлж болно \(\bf n = \frac(n)(1)\) .
Үржүүлэхдээ энэ дүрмийг ашиглая.
\(5 \times \frac(4)(7) = \frac(5)(1) \times \frac(4)(7) = \frac(5 \times 4)(1 \times 7) = \frac (20)(7) = 2\frac(6)(7)\\\)
Буруу бутархай \(\frac(20)(7) = \frac(14 + 6)(7) = \frac(14)(7) + \frac(6)(7) = 2 + \frac(6)( 7)= 2\frac(6)(7)\\\)-ийг холимог бутархай болгон хувиргав.
Өөрөөр хэлбэл, Тоог бутархайгаар үржүүлэхдээ бид тоог тоологчоор үржүүлж, хуваагчийг өөрчлөхгүй үлдээнэ.Жишээ:
\(\frac(2)(5) \times 3 = \frac(2 \times 3)(5) = \frac(6)(5) = 1\frac(1)(5)\\\\) \(\bf \frac(a)(b) \times c = \frac(a \times c)(b)\\\)
Холимог бутархайг үржүүлэх.
Холимог бутархайг үржүүлэхийн тулд эхлээд холимог бутархай бүрийг буруу бутархайгаар төлөөлж, дараа нь үржүүлэх дүрмийг ашиглана. Бид хуваагчийг хуваагчаар үржүүлж, хуваагчийг хуваагчаар үржүүлнэ.
Жишээ:
\(2\frac(1)(4) \times 3\frac(5)(6) = \frac(9)(4) \times \frac(23)(6) = \frac(9 \times 23) (4 \times 6) = \frac(3 \times \color(red) (3) \times 23)(4 \times 2 \times \color(red) (3)) = \frac(69)(8) = 8\frac(5)(8)\\\)
Харилцан бутархай ба тоог үржүүлэх.
\(\bf \frac(a)(b)\) бутархай нь a≠0,b≠0 өгөгдсөн \(\bf \frac(b)(a)\) бутархайн урвуу хэсэг юм.
\(\bf \frac(a)(b)\) ба \(\bf \frac(b)(a)\) бутархайг харилцан бутархай гэж нэрлэдэг. Харилцан бутархайн үржвэр нь 1-тэй тэнцүү байна.
\(\bf \frac(a)(b) \times \frac(b)(a) = 1 \\\)
Жишээ:
\(\frac(5)(9) \times \frac(9)(5) = \frac(45)(45) = 1\\\)
Холбогдох асуултууд:
Бутархайг бутархайгаар хэрхэн үржүүлэх вэ?
Хариулт: Энгийн бутархайн үржвэр нь хуваагчийг хуваагчтай, хуваагчийг хуваагчтай үржүүлэх явдал юм. Холимог бутархайн бүтээгдэхүүнийг авахын тулд тэдгээрийг буруу бутархай болгон хувиргаж, дүрмийн дагуу үржүүлэх хэрэгтэй.
Өөр өөр хуваагчтай бутархайг хэрхэн үржүүлэх вэ?
Хариулт: Тэд ижил эсвэл ижил байх нь хамаагүй өөр өөр хуваагчБутархайн хувьд хүртэгчийн үржвэрийг хуваагчтай, хуваагчийг хуваагчтай олох дүрмийн дагуу үржүүлнэ.
Холимог бутархайг хэрхэн үржүүлэх вэ?
Хариулт: Юуны өмнө та холимог бутархайг буруу бутархай болгон хувиргаж, дараа нь үржүүлэх дүрмийг ашиглан бүтээгдэхүүнийг олох хэрэгтэй.
Хэрхэн тоог бутархайгаар үржүүлэх вэ?
Хариулт: бид тоог тоологчтой үржүүлдэг, харин хуваагчийг хэвээр үлдээдэг.
Жишээ №1:
Бүтээгдэхүүнийг тооцоол: a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11)\) b) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) \ )
Шийдэл:
a) \(\frac(8)(9) \times \frac(7)(11) = \frac(8 \times 7)(9 \times 11) = \frac(56)(99)\\\\ \)
б) \(\frac(2)(15) \times \frac(10)(13) = \frac(2 \times 10)(15 \times 13) = \frac(2 \times 2 \times \color( улаан) (5))(3 \times \color(red) (5) \times 13) = \frac(4)(39)\)
Жишээ №2:
Тоон ба бутархайн үржвэрийг тооцоол: a) \(3 \times \frac(17)(23)\) b) \(\frac(2)(3) \times 11\)
Шийдэл:
a) \(3 \times \frac(17)(23) = \frac(3)(1) \times \frac(17)(23) = \frac(3 \times 17)(1 \times 23) = \frac(51)(23) = 2\frac(5)(23)\\\\)
б) \(\frac(2)(3) \times 11 = \frac(2)(3) \times \frac(11)(1) = \frac(2 \times 11)(3 \times 1) = \frac(22)(3) = 7\frac(1)(3)\)
Жишээ №3:
\(\frac(1)(3)\) бутархайн эсрэг бичнэ үү?
Хариулт: \(\frac(3)(1) = 3\)
Жишээ №4:
Хоёр харилцан бутархайн үржвэрийг тооцоол: a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104)\)
Шийдэл:
a) \(\frac(104)(215) \times \frac(215)(104) = 1\)
Жишээ №5:
Харилцан бутархай байж болно:
a) зохих бутархайтай нэгэн зэрэг;
б) нэгэн зэрэг буруу бутархай;
в) нэгэн зэрэг натурал тоонууд?
Шийдэл:
a) эхний асуултанд хариулахын тулд жишээ хэлье. \(\frac(2)(3)\) бутархай нь зөв, урвуу бутархай нь \(\frac(3)(2)\) - буруу бутархайтай тэнцүү байна. Хариулт: үгүй.
б) бутархайн бараг бүх тооллогод энэ нөхцөл хангагдаагүй боловч нэгэн зэрэг буруу бутархай байх нөхцлийг хангасан тоонууд байдаг. Жишээлбэл, буруу бутархай нь \(\frac(3)(3)\), урвуу бутархай нь \(\frac(3)(3)\)-тэй тэнцүү байна. Бид хоёр буруу бутархай авдаг. Хариулт: Тоолуур ба хуваагч тэнцүү байх үед тодорхой нөхцөлд үргэлж байдаггүй.
в) натурал тоонууд нь бидний тоолохдоо ашигладаг тоонууд юм, жишээлбэл, 1, 2, 3, .... Хэрэв бид \(3 = \frac(3)(1)\) тоог авбал урвуу бутархай нь \(\frac(1)(3)\) болно. \(\frac(1)(3)\) бутархай нь натурал тоо биш юм. Хэрэв бид бүх тоогоор дамжвал 1-ээс бусад тооны эсрэг тал нь үргэлж бутархай байна. Хэрэв бид 1-ийн тоог авбал түүний эсрэг бутархай нь \(\frac(1)(1) = \frac(1) болно. )(1) = 1\). 1-р тоо бол натурал тоо юм. Хариулт: Хэрэв энэ нь 1 тоо бол тэдгээр нь зөвхөн нэг тохиолдолд нэгэн зэрэг натурал тоо байж болно.
Жишээ №6:
Холимог бутархайн үржвэрийг хий: a) \(4 \times 2\frac(4)(5)\) b) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7)\ )
Шийдэл:
a) \(4 \times 2\frac(4)(5) = \frac(4)(1) \times \frac(14)(5) = \frac(56)(5) = 11\frac(1) )(5)\\\\ \)
б) \(1\frac(1)(4) \times 3\frac(2)(7) = \frac(5)(4) \times \frac(23)(7) = \frac(115)( 28) = 4\frac(3)(7)\)
Жишээ №7:
Хоёр харилцан болно харилцан тоонэгэн зэрэг холимог тоо байх уу?
Нэг жишээ авч үзье. \(1\frac(1)(2)\) холимог бутархайг авъя, түүнийг ол харилцан бутархай, үүнийг хийхийн тулд үүнийг буруу бутархай болгон хувиргана \(1\frac(1)(2) = \frac(3)(2)\) . Үүний урвуу бутархай нь \(\frac(2)(3)\) -тэй тэнцүү байх болно. \(\frac(2)(3)\) бутархай нь зөв бутархай байна. Хариулт: Харилцан урвуу хоёр бутархай нь нэгэн зэрэг холимог тоо байж болохгүй.
