Хэрэв хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бол. Өргөтгөх хаалт – Мэдлэгийн гипермаркет

Энэ нийтлэлд бид хаалт нээх гэх мэт математикийн хичээлийн ийм чухал сэдвийн үндсэн дүрмийг нарийвчлан авч үзэх болно. Тэдгээрийг ашиглаж буй тэгшитгэлийг зөв шийдэхийн тулд та хаалт нээх дүрмийг мэдэх хэрэгтэй.

Нэмэхдээ хашилтыг хэрхэн зөв нээх вэ

"+" тэмдгийн өмнө байгаа хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү

Энэ нь хамгийн энгийн тохиолдол юм, учир нь хаалтны өмнө нэмэлт тэмдэг байгаа бол хаалт нээх үед тэдгээрийн доторх тэмдгүүд өөрчлөгддөггүй. Жишээ:

(9 + 3) + (1 - 6 + 9) = 9 + 3 + 1 - 6 + 9 = 16.

Өмнөх "-" тэмдгээр хашилтыг хэрхэн өргөжүүлэх вэ

IN энэ тохиолдолдта бүх нэр томъёог хаалтгүйгээр дахин бичих хэрэгтэй, гэхдээ үүний зэрэгцээ тэдгээрийн доторх бүх тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх хэрэгтэй. Тэмдгүүд нь зөвхөн "-" тэмдгээр тэмдэглэгдсэн хаалтуудын нэр томъёоны хувьд өөрчлөгдөнө. Жишээ:

(9 + 3) - (1 - 6 + 9) = 9 + 3 - 1 + 6 - 9 = 8.

Үржүүлэхдээ хашилтыг хэрхэн нээх вэ

Хаалтны өмнө үржүүлэгчийн тоо байна

Энэ тохиолдолд та гишүүн бүрийг хүчин зүйлээр үржүүлж, тэмдгийг өөрчлөхгүйгээр хаалтыг нээх хэрэгтэй. Хэрэв үржүүлэгч нь "-" тэмдэгтэй бол үржүүлэх явцад нэр томъёоны тэмдгүүд эсрэгээр солигдоно. Жишээ:

3 * (1 - 6 + 9) = 3 * 1 - 3 * 6 + 3 * 9 = 3 - 18 + 27 = 12.

Хоёр хашилтыг хооронд нь үржүүлэх тэмдэгтэй хэрхэн нээх вэ

Энэ тохиолдолд та эхний хаалтанд байгаа гишүүн бүрийг хоёр дахь хаалтанд байгаа гишүүн бүрээр үржүүлж үр дүнг нэмэх хэрэгтэй. Жишээ:

(9 + 3) * (1 - 6 + 9) = 9 * 1 + 9 * (- 6) + 9 * 9 + 3 * 1 + 3 * (- 6) + 3 * 9 = 9 - 54 + 81 + 3 - 18 + 27 = 48.

Дөрвөлжин дотор хаалт хэрхэн нээх вэ

Хэрэв хоёр гишүүний нийлбэр эсвэл зөрүүг квадрат болгон авсан бол хаалтыг дараах томьёоны дагуу нээнэ.

(x + y)^2 = x^2 + 2 * x * y + y^2.

Хаалт дотор хасах тохиолдолд томъёо өөрчлөгдөхгүй. Жишээ:

(9 + 3) ^ 2 = 9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2 = 144.

Хэрхэн хашилтыг өөр зэрэгтэй болгох вэ

Хэрэв нэр томъёоны нийлбэр эсвэл зөрүүг жишээлбэл, 3 эсвэл 4-р зэрэглэлд нэмбэл хаалтны хүчийг "дөрвөлжин" болгон хуваах хэрэгтэй. Ижил хүчин зүйлийн хүчийг нэмж, хуваахдаа ногдол ашгийн хүчнээс хувагчийн хүчийг хасна. Жишээ:

(9 + 3) ^ 3 = ((9 + 3) ^ 2) * (9 + 3) = (9 ^ 2 + 2 * 9 * 3 + 3 ^ 2) * 12 = 1728.

3 хаалт хэрхэн нээх

3 хашилтыг нэг дор үржүүлдэг тэгшитгэлүүд байдаг. Энэ тохиолдолд та эхлээд эхний хоёр хаалтны нөхцөлийг үржүүлж, дараа нь энэ үржүүлгийн нийлбэрийг гурав дахь хаалтны нөхцлөөр үржүүлэх хэрэгтэй. Жишээ:

(1 + 2) * (3 + 4) * (5 - 6) = (3 + 4 + 6 + 8) * (5 - 6) = - 21.

Хаалт нээх эдгээр дүрмүүд нь шугаман болон тригонометрийн тэгшитгэлийг шийдвэрлэхэд адил хамаарна.

Одоо бид хаалтанд байгаа илэрхийллийг тоо эсвэл илэрхийллээр үржүүлсэн илэрхийлэлд хаалт нээх рүү шилжих болно. Хаалтанд хасах тэмдэг тавьсан хаалт нээх дүрмийг томъёолъё: хасах тэмдэгтэй хамт хашилтыг орхиж, хаалтанд байгаа бүх нэр томъёоны тэмдгийг эсрэгээр нь сольсон.

Илэрхийллийн хувиргалтын нэг төрөл бол хаалтны өргөтгөл юм. Тоон, үг хэллэгүүдболон хувьсагчтай илэрхийлэлүүдийг хаалт ашиглан хийж болох бөгөөд энэ нь үйлдлийн дарааллыг зааж өгөх, сөрөг тоо агуулсан гэх мэт. Дээр дурдсан илэрхийлэлд тоо, хувьсагчийн оронд ямар ч илэрхийлэл байж болно гэж бодъё.

Хаалт нээхдээ шийдэл бичих онцлогтой холбоотой бас нэг зүйлд анхаарлаа хандуулъя. Өмнөх догол мөрөнд бид нээх хаалт гэж нэрлэгддэг зүйлийг авч үзсэн. Үүнийг хийхийн тулд хаалт нээх дүрэм байдаг бөгөөд бид үүнийг одоо авч үзэх болно. Энэ дүрэм нь эерэг тоонууд нь ихэвчлэн хаалтгүйгээр бичигдсэн байдаг тул хаалт шаардлагагүй байдаг; (−3.7)−(−2)+4+(−9) илэрхийллийг хаалтгүйгээр −3.7+2+4−9 гэж бичиж болно.

Эцэст нь дүрмийн гурав дахь хэсэг нь илэрхийлэлд зүүн талд сөрөг тоог бичих онцлогтой холбоотой юм (үүнийг бид сөрөг тоо бичих хаалтны хэсэгт дурдсан). Та тоо, хасах тэмдэг, хэд хэдэн хос хаалтаас бүрдсэн илэрхийллүүдтэй таарч болно. Хэрэв та хаалтыг нээвэл дотоодоос гадаад руу шилжвэл шийдэл нь дараах байдалтай байна: −(−((−(5))))=−(−((−5)))=−(−(−5) ))=−( 5)=−5.

Хэрхэн хаалт нээх вэ?

Энд тайлбар байна: −(−2 x) нь +2 x ба энэ илэрхийлэл хамгийн түрүүнд ирдэг тул +2 x-г 2 x, −(x2)=−x2, +(−1/ x)=−1 гэж бичиж болно. /x ба −(2 x y2:z)=−2 x y2:z. Хаалт нээх бичмэл дүрмийн эхний хэсэг нь сөрөг тоог үржүүлэх дүрмээс шууд гардаг. Түүний хоёр дахь хэсэг нь өөр өөр тэмдэг бүхий тоог үржүүлэх дүрмийн үр дагавар юм. Бүтээгдэхүүний хаалт нээх жишээнүүд болон өөр өөр тэмдэг бүхий хоёр тооны quotities руу шилжье.

Нээлтийн хаалт: дүрэм, жишээ, шийдэл.

Дээрх дүрэм нь эдгээр үйлдлүүдийн бүхэл бүтэн хэлхээг харгалзан үздэг бөгөөд хаалт нээх үйл явцыг ихээхэн хурдасгадаг. Үүнтэй ижил дүрэм нь нийлбэр ба зөрүү биш хасах тэмдэг бүхий бүтээгдэхүүн ба хэсэгчилсэн илэрхийлэлд хаалт нээх боломжийг танд олгоно.

Энэ дүрмийг хэрэгжүүлэх жишээг авч үзье. Холбогдох дүрмийг өгье. Дээр бид аль хэдийн −(a) ба −(−a) хэлбэрийн илэрхийллүүдтэй тулгарсан бөгөөд тэдгээр нь хаалтгүйгээр −a ба a гэж бичигдсэн байдаг. Жишээлбэл, −(3)=3, ба. Эдгээр нь заасан дүрмийн онцгой тохиолдлууд юм. Одоо нийлбэр эсвэл зөрүүг агуулсан хаалт нээх жишээг харцгаая. Энэ дүрмийг ашиглах жишээг үзүүлье. (b1+b2) илэрхийллийг b гэж тэмдэглэе, үүний дараа хаалтыг өмнөх догол мөрийн илэрхийллээр үржүүлэх дүрмийг ашиглавал (a1+a2)·(b1+b2)=(a1+a2) байна. ·b=(a1·b+a2· b)=a1·b+a2·b.

Индукцаар энэ мэдэгдлийг хаалт бүрт дурын тооны нэр томъёо хүртэл сунгаж болно. Өмнөх догол мөрүүдийн дүрмийг ашиглан үүссэн илэрхийлэлд хаалт нээхэд л үлдэж, эцэст нь бид 1·3·x·y−1·2·x·y3−x·3·x·y+x·-г авна. 2·x·y3.

Математикийн дүрэм бол хаалтны өмнө (+) ба (-) байвал хаалт нээх явдал юм.

Энэ илэрхийлэл нь (2+4), 3 ба (5+7·8) гурван хүчин зүйлийн үржвэр юм. Та хаалтуудыг дараалан нээх хэрэгтэй болно. Одоо бид хаалтыг тоогоор үржүүлэх дүрмийг ашиглавал ((2+4) 3) (5+7 8)=(2 3+4 3) (5+7 8) байна. Суурь нь хаалтанд бичигдсэн зарим илэрхийлэл болох зэрэг төрөл хэлбэрээрхэд хэдэн хаалтны бүтээгдэхүүн гэж үзэж болно.

Жишээ нь (a+b+c)2 илэрхийллийг хувиргая. Эхлээд бид үүнийг хоёр хаалтанд (a+b+c)·(a+b+c) үржвэр болгон бичнэ, одоо хаалтыг хаалтаар үржүүлбэл a·a+a·b+a·c+ гарна. b·a+b· b+b·c+c·a+c·b+c·c.

Хоёр тооны нийлбэр ба зөрүүг нэмэгдүүлэх гэж бас хэлье байгалийн зэрэгНьютоны бином томъёог ашиглах нь зүйтэй. Жишээлбэл, (5+7−3):2=5:2+7:2−3:2. Эхлээд хуваалтыг үржүүлэх замаар сольж, дараа нь бүтээгдэхүүнд хаалт нээхэд тохирох дүрмийг ашиглах нь тийм ч тохиромжтой биш юм.

Жишээнүүдийг ашиглан хаалт нээх дарааллыг ойлгоход л үлддэг. (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7) илэрхийллийг авъя. Бид эдгээр үр дүнг анхны илэрхийлэл болгон орлуулна: (−5)+3·(−2):(−4)−6·(−7)=(−5)+(3·2:4)−(−6· 7) . Зөвхөн хаалтуудыг онгойлгож дуусгахад л үлдэж, үр дүнд нь −5+3·2:4+6·7 байна. Энэ нь тэгш байдлын зүүн талаас баруун тийш шилжих үед хаалт нээгдсэн гэсэн үг юм.

Гурван жишээн дээр бид зүгээр л хашилтыг хассан гэдгийг анхаарна уу. Эхлээд 889 дээр 445-ыг нэмнэ. Энэ үйлдлийг оюун ухаанаар хийж болно, гэхдээ энэ нь тийм ч хялбар биш юм. Хаалтуудыг нээж, өөрчилсөн журам нь тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно гэдгийг харцгаая.

Хэрхэн хашилтыг өөр зэрэгтэй болгох вэ

Дүрэм ба жишээг тайлбарлах. Жишээ авч үзье: . Та илэрхийллийн утгыг 2 ба 5-ыг нэмээд дараа нь гарсан тоог авах замаар олж болно эсрэг тэмдэг. Хаалтанд хоёр биш, гурав ба түүнээс дээш нэр томъёо байвал дүрэм өөрчлөгдөхгүй. Сэтгэгдэл. Тэмдгүүдийг зөвхөн нэр томьёоны өмнө урвуулан бичнэ. Хаалтуудыг нээхийн тулд энэ тохиолдолд хуваарилах шинж чанарыг санах хэрэгтэй.

Хаалтанд байгаа ганц тоонуудын хувьд

Таны алдаа тэмдгүүдэд биш, харин дотор нь байна эвдрэлбутархайтай юу? 6-р ангид байхдаа бид эерэг ба сөрөг тоонууд. Бид жишээ, тэгшитгэлийг хэрхэн шийдэх вэ?

Хаалтанд хэд байгаа вэ? Эдгээр илэрхийллийн талаар та юу хэлж чадах вэ? Мэдээжийн хэрэг, эхний болон хоёр дахь жишээнүүдийн үр дүн ижил байна, энэ нь бид тэдгээрийн хооронд тэнцүү тэмдэг тавьж болно гэсэн үг юм: -7 + (3 + 4) = -7 + 3 + 4. Хаалтанд бид юу хийсэн бэ?

Хаалт нээх дүрэм бүхий слайд 6-г үзүүлэх. Тиймээс, хаалт нээх дүрэм нь жишээг шийдвэрлэх, илэрхийллийг хялбарчлахад тусална. Дараа нь оюутнуудаас хосоороо ажиллахыг хүснэ: тэд сумыг ашиглан хаалт агуулсан илэрхийллийг хаалтгүй харгалзах илэрхийлэлтэй холбох хэрэгтэй.

Слайд 11 Нэгэн цагт Нарлаг хотЗнайка, Дунно хоёр тэдний хэн нь тэгшитгэлийг зөв шийдсэн талаар маргав. Дараа нь оюутнууд хаалт нээх дүрмийг ашиглан тэгшитгэлийг бие даан шийддэг. Тэгшитгэл шийдвэрлэх" Хичээлийн зорилго: боловсролын (сэдвийн мэдлэгийг бататгах: "Хаалт нээх.

Хичээлийн сэдэв: “Хаалт нээх. Энэ тохиолдолд та эхний хаалтанд байгаа гишүүн бүрийг хоёр дахь хаалтанд байгаа гишүүн бүрээр үржүүлж үр дүнг нэмэх хэрэгтэй. Нэгдүгээрт, эхний хоёр хүчин зүйлийг авч, өөр нэг хаалтанд хавсаргаж, эдгээр хаалт дотор аль хэдийн мэдэгдэж байсан дүрмийн дагуу хаалтуудыг нээнэ.

rawalan.freezeet.ru

Нээлтийн хаалт: дүрэм, жишээ (7-р анги)

Хаалтны гол үүрэг нь утгыг тооцоолохдоо үйлдлийн дарааллыг өөрчлөх явдал юм тоон илэрхийллүүд . Жишээ нь, В тоогоор\(5·3+7\) эхлээд үржүүлэх, дараа нь нэмэх нь: \(5·3+7 =15+7=22\). Харин \(5·(3+7)\) илэрхийлэлд эхлээд хаалтанд байгаа нэмэгдлийг, дараа нь үржүүлэхийг тооцоолно: \(5·(3+7)=5·10=50\).

Гэсэн хэдий ч, хэрэв бид харьцаж байгаа бол алгебрийн илэрхийлэлагуулсан хувьсагч- жишээ нь: \(2(x-3)\) - тэгвэл хаалтанд байгаа утгыг тооцоолох боломжгүй, хувьсагч замд байна. Тиймээс, энэ тохиолдолд тохирох дүрмийг ашиглан хаалтуудыг "нээдэг".

Хаалт нээх дүрэм

Хэрэв хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бол хаалтыг зүгээр л арилгаж, доторх илэрхийлэл өөрчлөгдөөгүй хэвээр байна. Өөрөөр хэлбэл:

Математикийн хувьд тэмдэглэгээг богиносгохын тулд илэрхийлэлд хамгийн түрүүнд гарч ирвэл нэмэх тэмдгийг бичихгүй байх заншилтай гэдгийг энд тодруулах шаардлагатай байна. Жишээлбэл, хэрэв бид долоо, гурав гэх мэт хоёр эерэг тоог нэмбэл, долоо нь эерэг тоо ч гэсэн \(+7+3\) биш, зүгээр л \(7+3\) бичнэ. . Үүний нэгэн адил, хэрэв та жишээ нь \((5+x)\) илэрхийлэлийг харвал - үүнийг мэдэж аваарай хаалтны өмнө бичээгүй нэмэх тэмдэг байна.

Жишээ . Хаалтыг онгойлгоод авчир ижил төстэй нэр томъёо: \((x-11)+(2+3x)\).
Шийдэл : \((x-11)+(2+3x)=x-11+2+3x=4x-9\).

Хэрэв хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа бол хаалтыг арилгахад түүний доторх илэрхийллийн гишүүн бүр эсрэгээр тэмдэгээ өөрчилнө.

Хаалтанд байх үед нэмэх тэмдэг (тэд зүгээр л бичээгүй) байсан бөгөөд хаалтыг арилгасны дараа энэ нэмэх нь хасах болж өөрчлөгдсөн гэдгийг тодруулах шаардлагатай.

Жишээ : \(2x-(-7+x)\) илэрхийллийг хялбарчлах.
Шийдэл : хаалт дотор \(-7\) ба \(x\) гэсэн хоёр гишүүн байх ба хаалтын өмнө хасах тэмдэг байна. Энэ нь тэмдгүүд өөрчлөгдөх болно гэсэн үг бөгөөд долоо нь одоо нэмэх, х нь хасах болно. Хаалтыг нээгээд Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна .

Жишээ. Хаалтыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог өгнө үү \(5-(3х+2)+(2+3х)\).
Шийдэл : \(5-(3х+2)+(2+3х)=5-3х-2+2+3х=5\).

Хэрэв хаалтны өмнө хүчин зүйл байвал хаалтын гишүүн бүрийг түүгээр үржүүлнэ, өөрөөр хэлбэл:

Жишээ. \(5(3-x)\) хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү.
Шийдэл : Хаалтанд \(3\) ба \(-x\) байгаа бөгөөд хаалтын өмнө тав байна. Энэ нь хаалтны гишүүн бүрийг \(5\) -аар үржүүлнэ гэсэн үг - Би танд сануулж байна Тоон ба хашилтын хоорондох үржүүлэх тэмдгийг математикт бичээгүй бөгөөд оруулгуудын хэмжээг багасгах болно..

Жишээ. \(-2(-3x+5)\) хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү.
Шийдэл : Өмнөх жишээний адил хаалтанд байгаа \(-3x\) ба \(5\)-г \(-2\) үржүүлнэ.

Сүүлийн нөхцөл байдлыг авч үзэх нь хэвээр байна.

Хаалтыг хаалтаар үржүүлэхдээ эхний хаалтын гишүүн бүрийг хоёр дахь гишүүн бүрээр үржүүлнэ.

Жишээ. \((2-x)(3x-1)\) хаалтуудыг өргөжүүлнэ үү.
Шийдэл : Бидэнд хаалтны бүтээгдэхүүн байгаа бөгөөд үүнийг дээрх томъёог ашиглан нэн даруй өргөтгөх боломжтой. Гэхдээ төөрөлдөхгүйн тулд бүгдийг алхам алхмаар хийцгээе.
Алхам 1. Эхний хаалтыг аваад гишүүн бүрийг хоёр дахь хаалтаар үржүүлнэ:

Алхам 2. Дээр дурдсанчлан хаалт ба хүчин зүйлийн бүтээгдэхүүнүүдийг өргөжүүлнэ үү.
-Эхний эхний зүйл...

Алхам 3. Одоо бид ижил төстэй нэр томъёог үржүүлж танилцуулж байна:

Бүх өөрчлөлтийг нарийвчлан тайлбарлах шаардлагагүй, та тэдгээрийг шууд үржүүлж болно. Гэхдээ хэрэв та хаалт нээж сурч байгаа бол дэлгэрэнгүй бичвэл алдаа гаргах магадлал бага байх болно.

Бүтэн хэсэгт анхаарна уу.Үнэн хэрэгтээ та бүх дөрвөн дүрмийг санах шаардлагагүй, зөвхөн нэгийг нь санах хэрэгтэй: \(c(a-b)=ca-cb\) . Яагаад? Учир нь хэрэв та c-ийн оронд нэгийг орлуулбал \((a-b)=a-b\) дүрмийг авна. Хэрэв бид хасах нэгийг орлуулбал \(-(a-b)=-a+b\) дүрмийг авна. За, хэрэв та c-ийн оронд өөр хаалтанд орвол сүүлчийн дүрмийг авч болно.

Хаалт доторх хаалт

Заримдаа практик дээр бусад хаалт дотор хаалтанд ороход асуудал гардаг. Ийм даалгаврын жишээ энд байна: илэрхийллийг хялбарчлах \(7x+2(5-(3x+y))\).

Ийм даалгавруудыг амжилттай шийдвэрлэхийн тулд танд дараахь зүйлс хэрэгтэй болно.
- хаалтны үүрийг сайтар ойлгох - аль нь аль нь болохыг;
— хаалтуудыг жишээлбэл, дотроос нь эхлэн дараалан нээ.

Хаалтны аль нэгийг нээхэд энэ нь чухал юм Үлдсэн илэрхийлэлд бүү хүр, зүгээр л байгаагаар нь дахин бичиж байна.
Дээр бичсэн даалгаврыг жишээ болгон авч үзье.

Жишээ. Хаалтыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог өгнө үү \(7x+2(5-(3x+y))\).
Шийдэл:

Даалгавраа дотоод хаалт (дотоод хэсэг) онгойлгож эхэлцгээе. Үүнийг өргөжүүлэхийн тулд бид зөвхөн үүнтэй шууд холбоотой зүйлийг л авч үздэг - энэ нь хаалт нь өөрөө ба түүний өмнөх хасах (ногооноор тодруулсан) юм. Бид бусад бүх зүйлийг (тодруулаагүй) өмнөх шигээ дахин бичдэг.

Математикийн асуудлыг онлайнаар шийдвэрлэх

Онлайн тооцоолуур.
Олон гишүүнтийг хялбарчлах.
Олон гишүүнтийг үржүүлэх.

Үүнийг ашиглаж байна математикийн програмта олон гишүүнтийг хялбарчилж болно.
Програм ажиллаж байх үед:
- олон гишүүнтийг үржүүлнэ
- мономиалуудыг нэгтгэн дүгнэнэ (ижил төстэй зүйлийг өгнө)
- хаалт нээнэ
- олон гишүүнтийг зэрэглэлд шилжүүлнэ

Олон гишүүнтийг хялбарчлах програм нь зөвхөн асуудлын хариултыг өгдөг төдийгүй тайлбар бүхий нарийвчилсан шийдлийг өгдөг. Математик ба/эсвэл алгебрийн мэдлэгээ шалгахын тулд шийдвэрлэх үйл явцыг харуулна.

Энэ програм нь оюутнуудад хэрэгтэй байж болох юм дунд сургуулиуд-д бэлтгэж байна туршилтуудболон шалгалтууд, Улсын нэгдсэн шалгалтын өмнө мэдлэгийг шалгахдаа эцэг эхчүүдэд математик, алгебрийн олон асуудлын шийдлийг хянах боломжтой. Эсвэл багш хөлслөх эсвэл шинэ сурах бичиг худалдаж авах нь танд хэтэрхий үнэтэй байж магадгүй юм уу? Эсвэл та үүнийг аль болох хурдан хийхийг хүсч байна уу? гэрийн даалгаварМатематик эсвэл алгебр дээр үү? Энэ тохиолдолд та манай програмуудыг ашиглаж болно нарийвчилсан шийдэл.

Ингэснээр та өөрийн сургалт болон/эсвэл сургалтаа явуулах боломжтой. дүү нарэсвэл эгч нар, харин шийдэж байгаа асуудлын талбарт боловсролын түвшин нэмэгддэг.

Учир нь Асуудлыг шийдэх хүсэлтэй хүмүүс олон байна, таны хүсэлтийг дараалалд орууллаа.
Хэдэн секундын дараа шийдэл доор гарч ирнэ.
Та түр хүлээнэ үү.

Бага зэрэг онол.

Нэг гишүүн ба олон гишүүнтийн үржвэр. Олон гишүүнтийн тухай ойлголт

дунд янз бүрийн илэрхийлэлалгебрт авч үздэг , чухал газармономиалуудын нийлбэрийг эзэлнэ. Ийм илэрхийллийн жишээ энд байна:

Мономитуудын нийлбэрийг олон гишүүнт гэж нэрлэдэг. Олон гишүүнт доторх нэр томъёог олон гишүүнт гишүүн гэж нэрлэдэг. Мономитийг нэг гишүүнээс бүрдсэн олон гишүүнт гэж үзээд нэг гишүүнтийг мөн олон гишүүнт гэж ангилдаг.

Бүх нэр томьёог мономиал хэлбэрээр илэрхийлье стандарт харагдах байдал:

Үүссэн олон гишүүнтэд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье:

Үр дүн нь олон гишүүнт бөгөөд бүх нэр томъёо нь стандарт хэлбэрийн мономиалууд бөгөөд тэдгээрийн дотор ижил төстэй зүйл байдаггүй. Ийм олон гишүүнтийг нэрлэдэг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт.

Учир нь олон гишүүнтийн зэрэгжишиг хэлбэрийн хувьд гишүүдийнхээ бүрэн эрхийг дээд зэргээр авдаг. Ийнхүү хоёр гишүүн гурав дахь зэрэгтэй, гурвалсан гишүүн хоёр дахь зэрэгтэй байна.

Ихэвчлэн нэг хувьсагч агуулсан стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн гишүүнчлэлийн нэр томъёог түүний зэрэглэлийн илтгэгчийн буурах дарааллаар байрлуулдаг. Жишээ нь:

Хэд хэдэн олон гишүүнтийн нийлбэрийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргаж (хялбаршуулж) болно.

Заримдаа олон гишүүнтийн гишүүдийг бүлэг болгон хувааж, бүлэг бүрийг хаалтанд оруулах шаардлагатай болдог. Хаалтанд хаалт хийх нь нээх хаалтны урвуу хувирал учраас томъёолход хялбар байдаг. хаалт нээх дүрэм:

Хэрэв хаалтны өмнө "+" тэмдэг тавьсан бол хаалтанд орсон нэр томъёог ижил тэмдгээр бичнэ.

Хэрэв хаалтны өмнө "-" тэмдэг тавьсан бол хаалтанд орсон нэр томъёог эсрэг тэмдгээр бичнэ.

Мономиаль ба олон гишүүнтийн үржвэрийг хувиргах (хялбарчлах).

Ашиглах замаар хуваарилах өмчүржүүлгийг олон гишүүнт, мономиал ба олон гишүүнтийн үржвэр болгон хувиргаж (хялбаршуулж) болно. Жишээ нь:

Нэг гишүүнт ба олон гишүүнтийн үржвэр нь энэ мономиал ба олон гишүүнтийн гишүүн бүрийн үржвэрүүдийн нийлбэртэй ижил тэнцүү байна.

Энэ үр дүнг ихэвчлэн дүрмээр томъёолдог.

Нэг гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг гишүүнийг олон гишүүнтийн гишүүн бүрээр үржүүлэх ёстой.

Бид энэ дүрмийг нийлбэрээр үржүүлэхийн тулд хэд хэдэн удаа ашигласан.

Олон гишүүнтийн бүтээгдэхүүн. Хоёр олон гишүүнтийн үржвэрийг хувиргах (хялбарчлах).

Ерөнхийдөө хоёр олон гишүүнтийн үржвэр нь нэг олон гишүүнт гишүүн, нөгөө гишүүний гишүүн бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй ижил тэнцүү байна.

Ихэвчлэн дараах дүрмийг ашигладаг.

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө гишүүнийх нь гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх шаардлагатай.

Үржүүлэх товчилсон томъёо. Нийлбэрийн квадратууд, квадратуудын ялгаа ба ялгаа

Зарим илэрхийлэлтэй алгебрийн хувиргалтбусдаас илүү олон удаа тулгардаг. Магадгүй хамгийн түгээмэл илэрхийлэл бол u, өөрөөр хэлбэл нийлбэрийн квадрат, зөрүүний квадрат ба квадратуудын зөрүү юм. Та нар анзаарсан уу, нэрс тодорхойлсон илэрхийллүүдтэд дуусаагүй юм шиг, жишээлбэл, энэ нь мэдээжийн хэрэг, зөвхөн нийлбэрийн квадрат биш, харин a, b-ийн нийлбэрийн квадрат юм. Гэсэн хэдий ч, a ба b-ийн нийлбэрийн квадрат нь дүрмээр бол a, b үсэгний оронд янз бүрийн, заримдаа нэлээд төвөгтэй илэрхийллийг агуулдаг;

Илэрхийллийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргах (хялбаршуулах) боломжтой, үнэндээ та олон гишүүнтийг үржүүлэхэд ийм даалгавартай тулгарсан;

Үүссэн таних тэмдгийг санаж, завсрын тооцоололгүйгээр хэрэглэх нь ашигтай байдаг. Товч үг хэллэг нь үүнд тусална.

- нийлбэрийн квадрат нийлбэртэй тэнцүү байнаквадрат болон бүтээгдэхүүнийг хоёр дахин нэмэгдүүлнэ.

- зөрүүний квадрат нь давхар үржвэргүй квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

- квадратуудын зөрүү нь зөрүү ба нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Эдгээр гурван таних чадвар нь хувиргахдаа зүүн гар талын хэсгүүдийг баруун гараараа сольж, харин эсрэгээр баруун гар талын хэсгүүдийг зүүн гараараа сольж болно. Хамгийн хэцүү зүйл бол харгалзах илэрхийллийг харж, тэдгээрт a, b хувьсагчдыг хэрхэн сольж байгааг ойлгох явдал юм. Үржүүлэхийн товчилсон томъёог ашиглах хэд хэдэн жишээг авч үзье.

Ном (сурах бичиг) Улсын нэгдсэн шалгалтын хураангуйТэгээд OGE тестүүд онлайн тоглоомууд, оньсого График функцууд Зөв бичгийн дүрмийн толь бичигОрос хэлний залуучуудын хэл ярианы толь бичиг Орос сургуулиудын каталог ОХУ-ын дунд боловсролын байгууллагуудын каталог Оросын их дээд сургуулиудын каталог Даалгаврын жагсаалт GCD ба LCM олох Олон гишүүнтийг хялбарчлах (олон гишүүнийг үржүүлэх) Олон гишүүнтийг баганатай олон гишүүнт хуваах Тооцоолол тоон бутархайХувьтай холбоотой асуудлыг шийдвэрлэх Нарийн төвөгтэй тоо: 2-ын системийн нийлбэр, зөрүү, үржвэр, коэффициент шугаман тэгшитгэлхоёртой хувьсагч Шийдэл квадрат тэгшитгэлХоёр гишүүний квадрат болон хүчин зүйлчлэл квадрат гурвалжинТэгш бус байдлыг шийдвэрлэх Тэгш бус байдлын системийг шийдвэрлэх График зурах квадрат функцГрафик зурах бутархай шугаман функцАрифметик бодох ба геометрийн прогрессТригонометрийн шийдэл, экспоненциал, логарифм тэгшитгэлХязгаарын тооцоо, дериватив, шүргэгч интеграл, Эсрэг дериватив шийдэлгурвалжин Вектортой үйлдлийн тооцоо Шулуун ба хавтгайтай үйлдлийн тооцоо Талбай геометрийн хэлбэрүүдГеометрийн дүрсүүдийн периметр Эзлэхүүн геометрийн биетүүдГеометрийн хатуу биетүүдийн гадаргуугийн талбай
Замын хөдөлгөөний нөхцөл байдлын зохион байгуулагч
Цаг агаар - мэдээ - зурхай

www.mathsolution.ru

Хаалтуудыг өргөтгөж байна

Бид алгебрын үндсийг үргэлжлүүлэн судалж байна. IN энэ хичээлБид илэрхийлэлд хашилтыг хэрхэн өргөжүүлэх талаар сурах болно. Хашилтыг тэлэх гэдэг нь илэрхийллээс хашилтыг арилгана гэсэн үг.

Хаалт нээхийн тулд та зөвхөн хоёр дүрмийг цээжлэх хэрэгтэй. At тогтмол хичээлүүдТа хаалтуудыг нээж болно нүдээ анилаа, мөн цээжээр сурах шаардлагатай байсан дүрмийг мартаж болно.

Хаалт нээх эхний дүрэм

Дараах илэрхийллийг анхаарч үзээрэй.

Энэ илэрхийллийн үнэ цэнэ нь 2 . Энэ илэрхийлэлд хашилтыг нээцгээе. Хашилтыг тэлэх гэдэг нь илэрхийллийн утгад нөлөөлөхгүйгээр тэдгээрийг арилгахыг хэлнэ. Энэ нь хаалтнаас салсны дараа илэрхийллийн утга юм 8+(−9+3) хоёртой тэнцүү байх ёстой.

Хаалт нээх эхний дүрэм дараах байдалтай байна.

Хаалт нээх үед хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бол хаалтны хамт энэ нэмэхийг хасна.

Тиймээс бид үүнийг илэрхийллээс харж байна 8+(−9+3) Хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байна. Энэ нэмэхийг хаалтанд оруулахгүй байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, хаалтууд нь тэдний өмнө зогсож байсан нэмэхийн хамт алга болно. Мөн хаалтанд орсон зүйлийг өөрчлөхгүйгээр бичнэ.

8−9+3 . Энэ илэрхийлэлтэнцүү байна 2 , өмнөх хаалттай илэрхийллийн адил тэнцүү байсан 2 .

8+(−9+3) Тэгээд 8−9+3

8 + (−9 + 3) = 8 − 9 + 3

Жишээ 2.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү 3 + (−1 − 4)

Хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бөгөөд энэ нь хаалтны хамт хасагдсан гэсэн үг юм. Хаалтанд байсан зүйл өөрчлөгдөхгүй хэвээр байна:

3 + (−1 − 4) = 3 − 1 − 4

Жишээ 3.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү 2 + (−1)

IN энэ жишээндхаалт нээх нэг төрөл болсон урвуу ажиллагаахасахыг нэмэхээр солих. Үүнийг яаж ойлгох вэ?

Илэрхийлэлээр 2−1 хасах үйлдэл тохиолддог, гэхдээ үүнийг нэмэх замаар сольж болно. Дараа нь бид илэрхийлэлийг авна 2+(−1) . Гэхдээ илэрхийлэлд байгаа бол 2+(−1) хаалтуудыг нээвэл та эх хувийг авна 2−1 .

Тиймээс хаалт нээх эхний дүрмийг зарим хувиргасны дараа илэрхийллийг хялбарчлахад ашиглаж болно. Өөрөөр хэлбэл, хаалтаас салж, илүү хялбар болго.

Жишээлбэл, илэрхийлэлийг хялбаршуулж үзье 2a+a−5b+b .

Энэ илэрхийллийг хялбарчлахын тулд ижил төстэй нэр томъёог өгч болно. Ижил нэр томъёог багасгахын тулд ижил төстэй нөхцлүүдийн коэффициентийг нэмж, үр дүнг нийтлэг үсгээр үржүүлэх хэрэгтэй гэдгийг санаарай.

Илэрхийлэл авсан 3a+(−4b). Энэ илэрхийлэл дэх хашилтыг хасъя. Хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа тул бид хаалт нээх эхний дүрмийг ашигладаг, өөрөөр хэлбэл хаалтуудыг эдгээр хаалтны өмнөх нэмэх тэмдэгтэй хамт орхидог.

Тиймээс илэрхийлэл 2a+a−5b+bхялбаршуулдаг 3a−4b .

Зарим хаалтуудыг онгойлгосны дараа та замдаа бусадтай тааралдаж магадгүй юм. Бид эхнийхтэй адил дүрмийг тэдэнд ашигладаг. Жишээлбэл, дараах илэрхийлэл дэх хаалтуудыг өргөжүүлье.

Хашилтыг нээх хоёр газар байна. Энэ тохиолдолд хаалт нээх эхний дүрэм үйлчилнэ, тухайлбал эдгээр хаалтны өмнөх нэмэх тэмдэгтэй хамт хаалтыг орхих:

2 + (−3 + 1) + 3 + (−6) = 2 − 3 + 1 + 3 − 6

Жишээ 3.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү 6+(−3)+(−2)

Хаалттай хоёр газарт тэдгээрийн өмнө нэмэх тэмдэг тавина. Энд дахин хаалт нээх эхний дүрэм үйлчилнэ.

Заримдаа хаалтанд эхний гишүүнийг тэмдэггүй бичдэг. Жишээлбэл, илэрхийлэлд 1+(2+3−4) эхний нэр томъёог хаалтанд оруулна 2 тэмдэггүй бичсэн. Хаалт болон хаалтны өмнөх нэмэхийг хассаны дараа хоёрын өмнө ямар тэмдэг гарах вэ гэсэн асуулт гарч ирнэ. Хариулт нь өөрөө санал болгож байна - хоёрын өмнө нэмэх зүйл байх болно.

Үнэн хэрэгтээ, хаалтанд байгаа ч гэсэн энэ хоёрын өмнө нэмэх зүйл байгаа боловч бичээгүй тул бид үүнийг олж харахгүй байна. Үүнийг бид аль хэдийн хэлсэн бүрэн бичлэгэерэг тоонууд харагдаж байна +1, +2, +3. Гэхдээ уламжлал ёсоор нэмэх зүйлсийг бичдэггүй тул бидэнд танил болсон эерэг тоонуудыг олж хардаг. 1, 2, 3 .

Тиймээс илэрхийлэл дэх хашилтыг өргөжүүлэх 1+(2+3−4) , та эдгээр хаалтны урд байгаа нэмэх тэмдгийн хамт ердийнхөөрөө хаалтуудыг орхих хэрэгтэй, гэхдээ хаалтанд байсан эхний нэр томъёог нэмэх тэмдэгтэй бичнэ үү:

1 + (2 + 3 − 4) = 1 + 2 + 3 − 4

Жишээ 4.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү −5 + (2 − 3)

Хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа тул бид хаалт нээх эхний дүрмийг хэрэгжүүлдэг, тухайлбал, хаалтуудыг эдгээр хаалтны өмнөх нэмэхийн хамт орхигдуулдаг. Гэхдээ бидний нэмэх тэмдэг бүхий хаалтанд бичсэн эхний нэр томъёо:

−5 + (2 − 3) = −5 + 2 − 3

Жишээ 5.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү (−5)

Хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа боловч өмнө нь өөр тоо, илэрхийлэл байгаагүй тул бичээгүй. Бидний даалгавар бол хаалт нээх эхний дүрмийг ашиглан хаалтыг арилгах явдал юм, тухайлбал энэ нэмэхийн хамт хашилтыг орхих (үл үзэгдэх байсан ч)

Жишээ 6.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү 2a + (−6a + b)

Хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бөгөөд энэ нь хаалтны хамт хасагдсан гэсэн үг юм. Хаалтанд орсон зүйлийг өөрчлөгдөөгүй бичнэ.

2a + (−6a + b) = 2a −6a + b

Жишээ 7.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү 5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d)

Энэ илэрхийлэлд хашилтыг тэлэх шаардлагатай хоёр газар байна. Хоёр хэсэгт хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бөгөөд энэ нь хаалтны хамт хасагдсан гэсэн үг юм. Хаалтанд орсон зүйлийг өөрчлөгдөөгүй бичнэ.

5a + (−7b + 6c) + 3a + (−2d) = 5a −7b + 6c + 3a − 2d

Хаалт нээх хоёр дахь дүрэм

Одоо хаалт нээх хоёр дахь дүрмийг харцгаая. Энэ нь хаалтны өмнө хасах тэмдэгтэй үед хэрэглэгддэг.

Хэрэв хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа бол энэ хасахыг хаалтны хамт орхисон боловч хаалтанд байсан нэр томъёо нь тэмдэгээ эсрэгээр өөрчилдөг.

Жишээлбэл, дараах илэрхийлэлд хашилтыг өргөжүүлье

Хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгааг бид харж байна. Энэ нь та хоёрдахь өргөтгөлийн дүрмийг хэрэгжүүлэх хэрэгтэй, тухайлбал эдгээр хаалтны өмнөх хасах тэмдгийн хамт хаалтуудыг орхих хэрэгтэй гэсэн үг юм. Энэ тохиолдолд хаалтанд байсан нэр томъёо нь тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчилнө.

Бид хаалтгүй илэрхийлэл авсан 5+2+3 . Өмнөх хаалттай илэрхийлэл 10-тай тэнцүү байсан шиг энэ илэрхийлэл 10-тай тэнцүү байна.

Тиймээс илэрхийлэлүүдийн хооронд 5−(−2−3) Тэгээд 5+2+3 Та тэнцүү тэмдэг тавьж болно, учир нь тэдгээр нь ижил утгатай тэнцүү байна:

5 − (−2 − 3) = 5 + 2 + 3

Жишээ 2.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү 6 − (−2 − 5)

Хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа тул бид хаалт нээх хоёрдахь дүрмийг хэрэгжүүлдэг, тухайлбал, хаалтуудыг эдгээр хаалтны өмнөх хасахтай хамт орхидог. Энэ тохиолдолд бид эсрэг тэмдэг бүхий хаалтанд байсан нэр томъёог бичнэ.

6 − (−2 − 5) = 6 + 2 + 5

Жишээ 3.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү 2 − (7 + 3)

Хаалтны өмнө хасах зүйл байгаа тул хаалт нээх хоёрдахь дүрмийг баримтална.

Жишээ 4.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү −(−3 + 4)

Жишээ 5.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү −(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2)

Хашилтыг нээх хоёр газар байна. Эхний тохиолдолд та хаалт нээх хоёр дахь дүрмийг хэрэглэх хэрэгтэй бөгөөд энэ нь илэрхийлэл юм +(−9−2) Та эхний дүрмийг хэрэгжүүлэх хэрэгтэй:

−(−8 − 2) + 16 + (−9 − 2) = 8 + 2 + 16 − 9 − 2

Жишээ 6.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү −(−a − 1)

Жишээ 7.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү −(4a + 3)

Жишээ 8.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү а − (4b + 3) + 15

Жишээ 9.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү 2а + (3b − b) − (3c + 5)

Хашилтыг нээх хоёр газар байна. Эхний тохиолдолд та хаалт нээх эхний дүрмийг баримтлах хэрэгтэй бөгөөд энэ нь илэрхийлэл юм −(3c+5)Та хоёр дахь дүрмийг хэрэгжүүлэх хэрэгтэй:

2a + (3b − b) − (3c + 5) = 2a + 3b − b − 3c − 5

Жишээ 10.Илэрхийлэл дэх хашилтыг дэлгэнэ үү −a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15)

Та хаалт нээх шаардлагатай гурван газар байдаг. Эхлээд та хаалт нээх хоёр дахь дүрмийг, дараа нь эхний, дараа нь хоёр дахь дүрмийг дахин ашиглах хэрэгтэй.

−a − (−4a) + (−6b) − (−8c + 15) = −a + 4a − 6b + 8c − 15

Хаалт нээх механизм

Одоо бидний судалж үзсэн хаалт нээх дүрмийг үржүүлэх тархалтын хууль дээр үндэслэсэн болно.

Үнэндээ хаалт нээхүед процедурыг дуудах нийтлэг үржүүлэгчхаалтанд байгаа гишүүн бүрээр үржүүлнэ. Энэ үржүүлгийн үр дүнд хаалтууд алга болдог. Жишээлбэл, илэрхийлэл дэх хашилтыг өргөжүүлье 3×(4+5)

3 × (4 + 5) = 3 × 4 + 3 × 5

Тиймээс, хэрэв та тоог хаалтанд байгаа илэрхийллээр үржүүлэх (эсвэл хаалтанд байгаа илэрхийллийг тоогоор үржүүлэх) шаардлагатай бол та хэлэх хэрэгтэй. хаалтуудыг нээцгээе.

Гэхдээ үржүүлэхийн тархалтын хууль нь бидний өмнө нь судалсан хаалт нээх дүрэмтэй ямар холбоотой вэ?

Баримт нь аливаа хаалтны өмнө нийтлэг хүчин зүйл байдаг. Жишээн дээр 3×(4+5)нийтлэг хүчин зүйл нь 3 . Мөн жишээн дээр a(b+c)нийтлэг хүчин зүйл нь хувьсагч юм а.

Хэрэв хаалтны өмнө тоо эсвэл хувьсагч байхгүй бол нийтлэг хүчин зүйл нь байна 1 эсвэл −1 , хаалтны өмнө ямар тэмдэг байхаас хамаарна. Хэрэв хаалтны өмнө нэмэх тэмдэг байгаа бол нийтлэг хүчин зүйл нь байна 1 . Хэрэв хаалтны өмнө хасах тэмдэг байвал нийтлэг хүчин зүйл нь байна −1 .

Жишээлбэл, илэрхийлэл дэх хашилтыг өргөжүүлье −(3b−1). Хаалтны өмнө хасах тэмдэг байгаа тул та хаалт нээх хоёр дахь дүрмийг ашиглах хэрэгтэй, өөрөөр хэлбэл хаалтны урд талын хасах тэмдэгтэй хамт хаалтыг орхих хэрэгтэй. Мөн эсрэг тэмдэг бүхий хаалтанд байсан илэрхийлэлийг бичнэ үү.

Бид хаалтуудыг өргөтгөх дүрмийг ашиглан хаалтуудыг өргөтгөсөн. Гэхдээ эдгээр ижил хаалтуудыг үржүүлэх тархалтын хуулийг ашиглан нээж болно. Үүнийг хийхийн тулд эхлээд хаалтанд бичээгүй нийтлэг хүчин зүйл 1-ийг бичнэ үү.

Өмнө нь хаалтны өмнө байсан хасах тэмдэг нь энэ нэгжийг хэлдэг. Одоо та үржүүлгийн тархалтын хуулийг ашиглан хаалт нээж болно. Энэ зорилгоор нийтлэг хүчин зүйл −1 та хаалтанд байгаа гишүүн бүрээр үржүүлж үр дүнг нэмэх хэрэгтэй.

Тохиромжтой болгох үүднээс бид хаалтанд байгаа зөрүүг дараах дүнгээр сольж байна.

−1 (3b −1) = −1 (3b + (−1)) = −1 × 3b + (−1) × (−1) = −3b + 1

шиг сүүлчийн удааБид илэрхийлэлийг авсан −3b+1. Энэ удаад ийм энгийн жишээг шийдвэрлэхэд илүү их цаг зарцуулсан гэдэгтэй хүн бүр санал нийлэх байх. Тиймээс, энэ хичээл дээр ярилцсан хаалт нээхэд бэлэн дүрмийг ашиглах нь илүү ухаалаг хэрэг болно.

Гэхдээ эдгээр дүрмүүд хэрхэн ажилладагийг мэдэх нь гэмтээхгүй.

Энэ хичээлээр бид бас нэг зүйлийг сурсан ижил хувиргалт. Хамтдаа хаалт нээх, хаалтанд ерөнхийдөө гаргаж, ижил төстэй нэр томъёог авчрахын хамт та шийдвэрлэх асуудлын хүрээг бага зэрэг өргөжүүлж болно. Жишээ нь:

Энд та хоёр үйлдлийг хийх хэрэгтэй - эхлээд хаалтуудыг нээж, дараа нь ижил төстэй нэр томъёог авчрах хэрэгтэй. Тиймээс, дарааллаар нь:

1) Хаалтуудыг нээнэ үү:

2) Бид ижил төстэй нэр томъёог танилцуулж байна:

Үүссэн илэрхийлэлд −10б+(−1)та хаалтуудыг өргөжүүлж болно:

Жишээ 2.Дараах илэрхийлэлд хашилтыг нээж, ижил төстэй нэр томъёог нэмнэ үү.

1) Хаалтуудыг нээцгээе:

2) Ижил төстэй нэр томъёог танилцуулъя.Энэ удаад бид цаг хугацаа, орон зайг хэмнэх үүднээс коэффициентийг нийтлэг үсгийн хэсэгт хэрхэн үржүүлж байгааг бичихгүй.

Жишээ 3.Илэрхийлэлийг хялбарчлах 8м+3мгэсэн утгыг олоорой m=−4

1) Эхлээд илэрхийллийг хялбаршуулж үзье. Илэрхийлэлийг хялбарчлахын тулд 8м+3м, та үүнээс нийтлэг хүчин зүйлийг гаргаж болно мхаалтны гадна:

2) Илэрхийллийн утгыг ол м(8+3)цагт m=−4. Үүнийг хийхийн тулд илэрхийлэлд м(8+3)хувьсагчийн оронд мдугаарыг орлуулна уу −4

m (8 + 3) = −4 (8 + 3) = −4 × 8 + (−4) × 3 = −32 + (−12) = −44

Тэгшитгэлийн тэр хэсэг нь хаалт доторх илэрхийлэл юм. Хаалт нээхийн тулд хаалтны өмнөх тэмдгийг харна уу. Хэрэв нэмэх тэмдэг байгаа бол илэрхийлэлд хаалт нээх нь юу ч өөрчлөгдөхгүй: зүгээр л хашилтыг арилгана. Хэрэв хасах тэмдэг байгаа бол хаалтыг нээхдээ хаалтанд байсан бүх тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх ёстой. Жишээлбэл, -(2х-3)=-2х+3.

Хоёр хашилтыг үржүүлэх.
Хэрэв тэгшитгэл нь хоёр хаалтны үржвэрийг агуулж байвал стандарт дүрмийн дагуу хаалтыг өргөжүүлнэ. Эхний хаалтанд байгаа нэр томъёо бүрийг хоёр дахь хаалтанд байгаа гишүүн бүртэй үржүүлнэ. Үр дүнгийн тоог нэгтгэн харуулав. Энэ тохиолдолд хоёр "нэмэх" эсвэл хоёр "хасах" үржвэр нь "нэмэх" гэсэн нэр томъёог өгөх бөгөөд хэрэв хүчин зүйлүүд байгаа бол өөр өөр шинж тэмдэг, дараа нь хасах тэмдэг хүлээн авна.
Ингээд авч үзье.
(5х+1)(3х-4)=5х*3х-5х*4+1*3х-1*4=15х^2-20х+3х-4=15х^2-17х-4.

Хаалт нээх замаар заримдаа илэрхийллийг дээшлүүлдэг. Квадрат болон шоо болгох томъёог цээжээр мэдэж, санаж байх ёстой.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Гурваас их илэрхийлэл бүтээх томъёог Паскалийн гурвалжинг ашиглан хийж болно.

Эх сурвалжууд:

• хашилтын тэлэлтийн томъёо

Хаалтанд оруулсан математик үйлдлүүд нь хувьсагч, илэрхийлэл агуулж болно янз бүрийн зэрэгнарийн төвөгтэй байдал. Ийм илэрхийлэлийг үржүүлэхийн тулд та шийдлийг хайх хэрэгтэй болно ерөнхий үзэл, хаалтуудыг нээж, үр дүнг хялбаршуулна. Хэрэв хаалтанд хувьсагчгүй үйлдлүүд байвал зөвхөн хамт тоон утгууд, дараа нь хаалт нээх шаардлагагүй, учир нь танд компьютер байгаа бол түүний хэрэглэгч маш чухал тооцоолох нөөцөд хандах боломжтой - илэрхийллийг хялбарчлахаас илүү ашиглах нь илүү хялбар байдаг.

Заавар

Хэрэв та үр дүнг ерөнхий хэлбэрээр авахыг хүсвэл нэг хаалтанд байгаа тус бүрийг бусад бүх хаалтны агуулгаар дараалан үржүүлнэ үү. Жишээ нь: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) анхны илэрхийлэлийг ингэж бичнэ. Дараа нь дараалсан үржүүлэх (өөрөөр хэлбэл хаалт нээх) дараах үр дүнг өгнө: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+) 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Илэрхийлэлийг богиносгож үр дүнг хялбаршуулна уу. Жишээлбэл, өмнөх алхамд олж авсан илэрхийллийг дараах байдлаар хялбарчилж болно: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Хэрэв та x-ийг 4.75, өөрөөр хэлбэл (5+4.75)∗(6-4.75)∗(4.75+2)-ийг үржүүлэх шаардлагатай бол тооны машин ашигла. Энэ утгыг тооцоолохын тулд Google эсвэл Nigma хайлтын системийн вэб сайт руу орж, хүсэлтийн талбарт илэрхийллийг анхны хэлбэрээр нь (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2) оруулна. Google 82.265625-ыг товчлуур дээр дарахгүйгээр шууд харуулах боловч Nigma нэг товчлуур дээр дарж сервер рүү өгөгдөл илгээх шаардлагатай болдог.

Энэ хичээлээр та хаалт агуулсан илэрхийллийг хэрхэн хаалтгүй илэрхийлэл болгон хувиргах талаар сурах болно. Та нэмэх, хасах тэмдэг бүхий хаалтуудыг хэрхэн нээх талаар сурах болно. Бид үржүүлгийн тархалтын хуулийг ашиглан хаалт хэрхэн нээхийг санах болно. Үзсэн жишээнүүд нь шинэ болон өмнө нь судлагдсан материалыг нэг цогц болгон холбох боломжийг танд олгоно.

Сэдэв: Тэгшитгэл шийдвэрлэх

Хичээл: Хаалтуудыг өргөжүүлэх

Урд "+" тэмдэг тавьсан хаалтуудыг хэрхэн томруулах вэ. Нэмэлтийн ассоциатив хуулийг ашиглах.

Хэрэв та хоёр тооны нийлбэрийг тоонд нэмэх шаардлагатай бол эхлээд энэ тоонд эхний гишүүнийг нэмж, дараа нь хоёр дахь тоог нэмж болно.

Тэнцүү тэмдгийн зүүн талд хаалттай илэрхийлэл, баруун талд нь хаалтгүй илэрхийлэл байна. Энэ нь тэгш байдлын зүүн талаас баруун тийш шилжих үед хаалт нээгдсэн гэсэн үг юм.

Жишээнүүдийг харцгаая.

Жишээ 1.

Хаалтуудыг нээснээр бид үйлдлийн дарааллыг өөрчилсөн. Энэ нь тоолоход илүү тохиромжтой болсон.

Жишээ 2.

Жишээ 3.

Гурван жишээн дээр бид зүгээр л хашилтыг хассан гэдгийг анхаарна уу. Дүрмийг томъёолъё:

Сэтгэгдэл.

Хэрэв хаалтанд байгаа эхний нэр томъёо нь тэмдэггүй бол нэмэх тэмдэгтэй байх ёстой.

Та жишээг алхам алхмаар дагаж болно. Эхлээд 889 дээр 445-ыг нэмнэ. Энэ үйлдлийг оюун ухаанаар хийж болно, гэхдээ энэ нь тийм ч хялбар биш юм. Хаалтуудыг нээж, өөрчилсөн журам нь тооцооллыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно гэдгийг харцгаая.

Хэрэв та заасан процедурыг дагаж мөрдвөл та эхлээд 512-оос 345-ыг хасч, дараа нь хаалтанд 1345-ыг нэмж оруулснаар бид процедурыг өөрчилж, тооцооллыг ихээхэн хялбаршуулах болно.

Дүрэм ба жишээг тайлбарлах.

Жишээ авч үзье: . Та илэрхийллийн утгыг 2 ба 5-ыг нэмж, эсрэг тэмдэгтэй үр дүнгийн тоог авах замаар олж болно. Бид -7 авдаг.

Нөгөөтэйгүүр, анхны тоонуудын эсрэг тоог нэмснээр ижил үр дүнд хүрч болно.

Дүрмийг томъёолъё:

Жишээ 1.

Жишээ 2.

Хаалтанд хоёр биш, гурав ба түүнээс дээш нэр томъёо байвал дүрэм өөрчлөгдөхгүй.

Жишээ 3.

Сэтгэгдэл. Тэмдгүүдийг зөвхөн нэр томьёоны өмнө урвуулан бичнэ.

Хаалтуудыг нээхийн тулд энэ тохиолдолд хуваарилах шинж чанарыг санах хэрэгтэй.

Эхлээд эхний хаалтыг 2, хоёр дахь хаалтыг 3-аар үржүүлнэ.

Эхний хаалтны өмнө "+" тэмдэг байгаа бөгөөд энэ нь тэмдгүүдийг өөрчлөхгүй байх ёстой гэсэн үг юм. Хоёрдахь тэмдгийн өмнө "-" тэмдэг байгаа тул бүх тэмдгийг эсрэгээр нь өөрчлөх шаардлагатай.

Лавлагаа

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математик 6. - М .: Mnemosyne, 2012.
2. Мерзляк А.Г., Полонский В.В., Якир М.С. Математик 6-р анги. - Гимнази, 2006 он.
3. Депман И.Я., Виленкин Н.Я. Математикийн сурах бичгийн хуудасны ард. - Гэгээрэл, 1989 он.
4. Рурукин А.Н., Чайковский И.В. Математикийн хичээлийн 5-6-р ангийн даалгавар - ZSh MEPhI, 2011 он.
5. Рурукин А.Н., Сочилов С.В., Чайковский К.Г. Математик 5-6. MEPhI захидал харилцааны сургуулийн 6-р ангийн сурагчдад зориулсан гарын авлага. - ZSh MEPhI, 2011 он.
6. Шеврин Л.Н., Гейн А.Г., Коряков И.О., Волков М.В. Математик: 5-6-р ангийн сурах бичиг-ярилцагч ахлах сургууль. Математикийн багшийн номын сан. - Гэгээрэл, 1989 он.

1. Математикийн онлайн тестүүд ().
2. Та 1.2-т заасан зүйлсийг татаж авах боломжтой. ном ().

Гэрийн даалгавар

1. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. Математик 6. - М.: Mnemosyne, 2012. (холбоос 1.2-ыг үзнэ үү)
2. Гэрийн даалгавар: No1254, No1255, No1256 (б, г)
3. Бусад даалгавар: No1258(c), No1248

Алгебрт авч үздэг янз бүрийн илэрхийллүүдийн дунд мономиалуудын нийлбэр чухал байр эзэлдэг. Ийм илэрхийллийн жишээ энд байна:
\(5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)

Мономитуудын нийлбэрийг олон гишүүнт гэж нэрлэдэг. Олон гишүүнт доторх нэр томъёог олон гишүүнт гишүүн гэж нэрлэдэг. Мономитийг нэг гишүүнээс бүрдсэн олон гишүүнт гэж үзээд нэг гишүүнтийг мөн олон гишүүнт гэж ангилдаг.

Жишээлбэл, олон гишүүнт
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 \)
хялбарчилж болно.

Бүх нэр томъёог стандарт хэлбэрийн мономиал хэлбэрээр илэрхийлье.
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0.25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)

Үүссэн олон гишүүнтэд ижил төстэй нэр томъёог үзүүлье:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Үр дүн нь олон гишүүнт бөгөөд бүх нэр томъёо нь стандарт хэлбэрийн мономиалууд бөгөөд тэдгээрийн дотор ижил төстэй зүйл байдаггүй. Ийм олон гишүүнтийг нэрлэдэг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт.

Учир нь олон гишүүнтийн зэрэгжишиг хэлбэрийн хувьд гишүүдийнхээ бүрэн эрхийг дээд зэргээр авдаг. Тиймээс \(12a^2b - 7b\) хоёр гишүүн гурав дахь зэрэгтэй, гурвалсан \(2b^2 -7b + 6\) хоёр дахь зэрэгтэй байна.

Ихэвчлэн нэг хувьсагч агуулсан стандарт хэлбэрийн олон гишүүнтийн гишүүнчлэлийн нэр томъёог түүний зэрэглэлийн илтгэгчийн буурах дарааллаар байрлуулдаг. Жишээ нь:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)

Хэд хэдэн олон гишүүнтийн нийлбэрийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргаж (хялбаршуулж) болно.

Заримдаа олон гишүүнтийн гишүүдийг бүлэг болгон хувааж, бүлэг бүрийг хаалтанд оруулах шаардлагатай болдог. Хаалтанд хаалт хийх нь нээх хаалтны урвуу хувирал учраас томъёолход хялбар байдаг. хаалт нээх дүрэм:

Хэрэв хаалтны өмнө "+" тэмдэг тавьсан бол хаалтанд орсон нэр томъёог ижил тэмдгээр бичнэ.

Хэрэв хаалтны өмнө "-" тэмдэг тавьсан бол хаалтанд орсон нэр томъёог эсрэг тэмдгээр бичнэ.

Мономиаль ба олон гишүүнтийн үржвэрийг хувиргах (хялбарчлах).

Үржүүлэхийн тархалтын шинж чанарыг ашигласнаар та мономиал ба олон гишүүнтийн үржвэрийг олон гишүүнт болгон хувиргаж (хялбарчилж) болно. Жишээ нь:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)

Нэг гишүүнт ба олон гишүүнтийн үржвэр нь энэ мономиал ба олон гишүүнтийн гишүүн бүрийн үржвэрүүдийн нийлбэртэй ижил тэнцүү байна.

Энэ үр дүнг ихэвчлэн дүрмээр томъёолдог.

Нэг гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг гишүүнийг олон гишүүнтийн гишүүн бүрээр үржүүлэх ёстой.

Бид энэ дүрмийг нийлбэрээр үржүүлэхийн тулд хэд хэдэн удаа ашигласан.

Олон гишүүнтийн бүтээгдэхүүн. Хоёр олон гишүүнтийн үржвэрийг хувиргах (хялбарчлах).

Ерөнхийдөө хоёр олон гишүүнтийн үржвэр нь нэг олон гишүүнт гишүүн, нөгөө гишүүний гишүүн бүрийн үржвэрийн нийлбэртэй ижил тэнцүү байна.

Ихэвчлэн дараах дүрмийг ашигладаг.

Олон гишүүнтийг олон гишүүнтээр үржүүлэхийн тулд нэг олон гишүүнт гишүүн бүрийг нөгөө гишүүнийх нь гишүүн бүрээр үржүүлж, үр дүнг нэмэх шаардлагатай.

Үржүүлэх товчилсон томъёо. Нийлбэрийн квадратууд, квадратуудын ялгаа ба ялгаа

Та алгебрийн хувиргалт дахь зарим илэрхийлэлтэй бусдаас илүү олон удаа ажиллах хэрэгтэй болдог. Магадгүй хамгийн нийтлэг илэрхийлэл нь \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ба \(a^2 - b^2 \), өөрөөр хэлбэл нийлбэрийн квадрат, нийлбэрийн квадрат квадратуудын ялгаа ба ялгаа. Эдгээр хэллэгийн нэрс бүрэн бус мэт санагдаж байгааг та анзаарсан, жишээлбэл, \((a + b)^2 \) нь мэдээжийн хэрэг зөвхөн нийлбэрийн квадрат биш, харин a ба b-ийн нийлбэрийн квадрат юм. . Гэсэн хэдий ч, a ба b-ийн нийлбэрийн квадрат нь дүрмээр бол a, b үсэгний оронд янз бүрийн, заримдаа нэлээд төвөгтэй илэрхийллийг агуулдаг;

\((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) хэллэгийг стандарт хэлбэрийн олон гишүүнт болгон хувиргах (хялбаршуулах) боломжтой, үнэндээ та олон гишүүнтийг үржүүлэхэд ийм даалгавартай тулгарсан; :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)

Үүссэн таних тэмдгийг санаж, завсрын тооцоололгүйгээр хэрэглэх нь ашигтай байдаг. Товч үг хэллэг нь үүнд тусална.

\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) - нийлбэрийн квадрат нь квадратуудын нийлбэр ба давхар үржвэртэй тэнцүү байна.

\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - зөрүүний квадрат нь давхар үржвэргүй квадратуудын нийлбэртэй тэнцүү байна.

\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - квадратуудын зөрүү нь зөрүү ба нийлбэрийн үржвэртэй тэнцүү байна.

Эдгээр гурван таних чадвар нь хувиргахдаа зүүн гар талын хэсгүүдийг баруун гараараа сольж, харин эсрэгээр баруун гар талын хэсгүүдийг зүүн гараараа сольж болно. Хамгийн хэцүү зүйл бол харгалзах илэрхийллийг харж, тэдгээрт a, b хувьсагчдыг хэрхэн сольж байгааг ойлгох явдал юм. Үржүүлэхийн товчилсон томъёог ашиглах хэд хэдэн жишээг авч үзье.