ШВЕЦОВ К.И., БЕВЗ Г.П.
ИЛГЭЭЛИЙН МАТЕМАТИКИЙН ГАРЫН АВЛАГА
АРИФМЕТИК, АЛГЕБРА, 1965 он
1. Энгийн гурвын дүрэм. Даалгавруудаас эхлээд пропорциональ хэмжигдэхүүнүүдХамгийн нийтлэг асуудал бол энгийн гурвалсан дүрэм гэж нэрлэгддэг. Эдгээр асуудлуудад гурван тоо өгөгдсөн бөгөөд та дөрөв дэхийг нь пропорциональ тодорхойлох хэрэгтэй.
Бодлого 1. 10 боолт 4 кг жинтэй. Эдгээр боолтны 25 нь хэр жинтэй вэ? Иймэрхүү асуудлыг хэд хэдэн аргаар шийдэж болно.
Шийдэл I (нэгдлийг багасгах замаар).
1) Нэг боолт хэр жинтэй вэ?
4 кг: 10 = 0.4 кг.
2) 25 боолт хэр жинтэй вэ?
0.4 кг · 25 = 10 кг.
Шийдэл II (пропорцын арга). Боолтны жин нь тэдгээрийн тоотой шууд пропорциональ байдаг тул жингийн харьцаа нь хэсгүүдийн (боолт) харьцаатай тэнцүү байна. Хүссэн жинг x үсгээр тэмдэглэснээр бид дараахь харьцааг авна.
X : 4 = 25: 10,
(кг)
Та ингэж маргаж болно: 25 боолт нь 10 боолтоос 2.5 дахин их байна. Тиймээс тэд 4 кг-аас 2.5 дахин хүнд байдаг.
4 кг · 2.5 = 10 кг.
Хариулах. 25 боолт нь 10 кг жинтэй.
Асуудал 2. Эхний араа нь 50 эрг / мин болгодог. Эхний араатай холбогдсон хоёр дахь араа нь 75 эрг / мин болгодог. Эхний дугуйны шүдний тоо 30 бол хоёр дахь дугуйны шүдний тоог ол.
Шийдэл (эв нэгдэл болгон бууруулах замаар). Хоёр торон араа нэг минутын дараа хөдөлнө ижил тоошүд, тиймээс дугуйны эргэлтийн тоо нь шүдний тоотой урвуу пропорциональ байна.
50 илч. - 30 шүд
75 илч. - Xшүд.
X : 30 = 50: 75; 
(шүд).
Та мөн ингэж тайлбарлаж болно: хоёр дахь дугуй нь эхнийхээсээ 1.5 дахин их эргэлт хийдэг (75: 50 = 1.5). Үүний үр дүнд шүд нь эхнийхээсээ 1.5 дахин бага байна.
30: 1.5 = 20 (шүд).
Хариулах. 20 шүд.
2. Цогцолбор гурвалсан дүрэм.Даалгаврууд энэ цувралХэд хэдэн (хоёроос дээш) пропорциональ хэмжигдэхүүнүүдийн харгалзах утгууд нь гурвалсан дүрмийн цогц бодлого гэж нэрлэгддэг үлдсэн хэмжигдэхүүний өгөгдсөн утгуудын өөр цувралд тохирох утгыг олохыг шаарддаг.
Даалгавар. 5 насосоор 3 цагийн дотор 1800 хувин ус соруулжээ. Ийм 4 насос 4 цагийн дотор хичнээн хэмжээний ус шахах вэ?
бид 5. 3 цаг - 1800 цаг
бид 4. 4 цаг - XВед.
1) 1 шахуурга 3 цагийн дотор хэдэн хувин ус гаргасан бэ?
1800: 5 = 360 (хувин).
2) 1 насос 1 цагийн дотор хэдэн хувин ус гаргасан бэ?
360: 3 = 120 (хувин).
3) 4 шахуурга 1 цагийн дотор хичнээн хэмжээний ус шахах вэ?
120 · 4 = 480 (хувин).
4) 4 шахуурга 4 цагийн дотор хичнээн хэмжээний ус шахах вэ?
480 · 4 = 1920 (хувин).
Хариулах. 1920 хувин
Богино шийдэл тоон томъёо:
(хувин).
Даалгавар. 100 тоог 2 ба 3 тоотой шууд пропорциональ хоёр хэсэгт хуваа.
Энэ асуудлыг дараах байдлаар ойлгох хэрэгтэй: 100-ыг хоёр хэсэгт хуваа, ингэснээр эхнийх нь хоёр дахь нь 2-той 3-тай холбоотой байх болно. Хэрэв бид шаардлагатай тоог үсгээр тэмдэглэвэл. X 1 ба X 2 Тэгвэл энэ асуудлыг ингэж томъёолж болно. Хай X 1 ба X 2 тийм
X 1 + X 2 = 100,
X 1: X 2 = 2: 3.
Гуравын дүрэм шийдвэр гаргах дүрэм арифметикийн асуудлууд, хэмжигдэхүүнүүд нь шууд эсвэл урвуу пропорциональ хамааралтай байдаг (Пропорциональ байдлыг үзнэ үү). Техникийн энгийн даалгавартай холбоотой асуудлууд нь хоёр хэмжигдэхүүнтэй холбоотой асуудлуудыг багтаадаг x 1 ба x 2 , хоёр утгатай а 1 , аТэдгээрийн 2, нэг утга бӨөр 1 нь мэдэгдэж байна. Хэмжигдэхүүний хоёр дахь утгыг тодорхойлох шаардлагатай x 2, өөрөөр хэлбэл б 2. Энгийн T.p нь пропорц дээр суурилдаг а 1:б 1 = а 2:б 2 (шууд пропорциональ байдлын хувьд) ба а 1:б 1 =б 2:а 2 (нь урвуу пропорциональ байдал), үүнээс дараах томъёог олж авна. Холбогдох асуудлыг шийдвэрлэхэд нарийн төвөгтэй техникийг ашигладаг n (n> 2) тоо хэмжээ x 1 , x 2 ,..., x n -1 , x n. Энэ тохиолдолд та n- 1 магнитуд x 1 , x 2 ,..., x n-1 хоёр утгыг мэддэг а 1 , а 2 , б 1 , б 2 ,..., л 1 , л 2 ба y x n зөвхөн нэг утгыг мэддэг к 1, бусад - к 2 тодорхойлох. Практикт төвөгтэй техникийн арга бол энгийн техникийн аргыг дараалан хэрэглэх явдал юм. Том Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг. - М .: Зөвлөлтийн нэвтэрхий толь бичиг.
1969-1978
.
Бусад толь бичгүүдээс "Гурвалсан дүрэм" гэж юу болохыг хараарай.
А ба В хэмжигдэхүүнүүд нь тэдгээрийн аль нэг нь нөгөө хэмжигдэхүүний өгөгдсөн утгын хувьд тодорхой утгыг авахаар ийм харилцаатай байна гэж үзье. Хэрэв A = a1-ийн хувьд B = b1, A = a2-ийн хувьд B = b2, хэрэв a1 пропорциональ байвал: a2 = b1: b2 ... ...
гурвын дүрэм- математик. Хэмжигдэхүүнүүд нь шууд болон урвуу пропорциональ байдаг арифметикийн бодлого бодох дүрэм... Олон хэллэгийн толь бичиг
Толь бичигУшакова
1. ДҮРЭМ, дүрэм, харьц. (мэргэжилтэн.). 1. Ажлын зөв эсэхийг шалгахын тулд хана тавихад ашигладаг том модон захирагч (техник.). 2. Гуталчин гутлаа тэгшлэх хамгийн сүүлд (гутал). 3. Буруу нохойн сүүл (ан агнуур). "Тэд бүгд, яг тэнд ... ... Ушаковын тайлбар толь бичиг
Лхагва. хууль, журам, хууль тогтоомж, тухайн тохиолдолд, тодорхой нөхцөл байдалд үйл ажиллагааны үндэслэл. Коллекторын дүрэм, дүрэм. Анхны дүрэмтэмдэглэгээ. Сүм хийдийн дүрэм, дүрэм. Нөхөрлөлийн өмнөх дүрэм, заавар ... ... Далын тайлбар толь бичиг
Агуулга 1 Үндсэн дүрэм 2 Ко бөхийн ... Википедиа
нэвтэрхий толь бичигФ. Брокхаус ба И.А. Ефрон
- (Кристоф Рудольф) Австрийн математикч (1499 1545), Венийн профессор Грамматусын шавь. 1725 онд түүний алгебр гарч ирсэн нь энэ шинжлэх ухааны түүхэнд эрин үе болсон (Behend vund hübsch Rechnung durch die kunst reichen regeln Algebre, тиймээс... ... Нэвтэрхий толь бичиг Ф.А. Брокхаус ба И.А. Ефрон
- (Грек хэлний άριθμος тоо ба τέχνη урлаг гэсэн үгнээс) тодорхой тодорхой хэмжигдэхүүний шинж чанарыг судалдаг математикийн хэсэг; Нарийвчилсан утгаараа арифметик нь тоогоор илэрхийлэгдэх тоон шинжлэх ухаан бөгөөд тоон дээрх үйлдлүүдийг авч үздэг. А.…… Нэвтэрхий толь бичиг Ф.А. Брокхаус ба И.А. Ефрон
Тоо, үйлдлийн талаархи мэдлэгийн талбар тооны багц. Арифметикийн тухай ярихдаа бид тооны тухай ойлголтын гарал үүсэл, хөгжлийн талаархи асуултуудыг авч үзэх, тооцоолох арга, хэрэгсэл, тоонуудын үйлдлийг судлах гэсэн үг юм. өөр өөр шинж чанартай, дүн шинжилгээ …… Математик нэвтэрхий толь бичиг
Хоёр үйл ажиллагааны даалгавруудын дотроос шийдвэрлэх боломжтой бүлэг ажлуудыг ялгаж үздэг эв нэгдэл болгон бууруулах. Ийм асуудлыг шийдэхдээ хүүхдүүд шууд пропорциональ хэмжигдэхүүнүүдийн шинж чанарыг сурах ёстой.
Дараах бодлогыг жишээ болгон авч үзье: Уурын завь 2 цагийн дотор 40 км замыг туулсан. Усан онгоц ижил хурдтайгаар 4 цагийн дотор хэдэн км замыг туулах вэ? Энэ асуудалд эхний цагийн утгатай тохирох хоёр хугацааны утга ба нэг зайны утгыг мэддэг; Хөдөлгөөний хурд өөрчлөгддөггүй нь мэдэгдэж байгаа бөгөөд бид зайны өөр утгыг олох хэрэгтэй.
Ингээд авч үзье янз бүрийн арга замуудЭнэ асуудлын шийдлүүд, зүүн талд шийдлийг, баруун талд түүний үндэслэлийг бичнэ.
Шийдлийн I арга - нэгдмэл байдалд шууд бууруулах арга
Аман шийдвэр
2 цаг - 40 км
1 цаг - 20 км
4 цаг - 80 км
Бичгээр гаргасан шийдвэр
1) 40км: 2 = 20км
2)20км х 4 = 80км
Хоёр утга нь мэдэгдэж байгаа цаг хугацааны тоон утгыг нэгдмэл болгон бууруулна.
At тогтмол хурдцаг 2 дахин багасвал зай 2 дахин багасна, дараа нь 4 дахин нэмэгдэхэд зай 4 дахин нэмэгдэнэ.
Шийдлийн хоёр дахь арга бол эв нэгдэл рүү буцаан бууруулах арга юм.
Аман шийдвэр
40 км - 2 цаг = 120 мин.
1 км - 3 мин.
4 цаг (240 мин.) - 80 км
Бичгээр гаргасан шийдвэр
1) 120 мин. : 40 = 3 мин.
2) 240 мин. : 3 мин. = 80 (км)
Зайны тоон утгыг нэгдмэл болгон бууруулж, нэг утга нь мэдэгдэж, нөгөө нь тодорхойгүй байна.
Тогтмол хурдтайгаар 1 км замыг туулахад 40 км, өөрөөр хэлбэл 3 минут явахаас 40 дахин бага хугацаа шаардагдах бөгөөд хөлөг онгоц 4 цагийн дотор (240 минут) 240 минутаас олон км замыг туулах болно. 3 минутаас илүү.
Шийдлийн гурав дахь арга бол харилцааг олох арга юм.
Асуудлын нөхцөл байдлын товч тайлбар:
2 цаг - 40 км
4 цаг - x
1) 4 цаг: 2 цаг = 2
2) 40 км х 2 = 80 км
Тогтмол хурдтай, цаг хугацаа ихсэх тусам туулсан зам нь ижил хэмжээгээр нэмэгддэг.
Шийдлийн IV арга - олох арга тоон утга тогтмол утга.
Асуудлын нөхцөл байдлын товч тайлбар
2 цаг - 40 км
4 цаг -?
1) 40 км: 2 = 20 км
2) 20 км х 4 = 80 км
Энэ асуудлыг шийдэхдээ IV арга нь I аргатай давхцдаг.
4 цагийн дотор туулсан зайг олохын тулд тухайн зайг харгалзах хугацааны утгад хуваах замаар олсон хурдыг шинэ цагийн утгад үржүүлэх шаардлагатай.
Тогтмол хэмжигдэхүүний тоон утгыг олох аргыг өөр бодлогод хэрэглэцгээе.
Уурын усан онгоц цагт 20 км хурдтайгаар 40 км замыг туулсан. Усан онгоц нэг цагт 30 км цагийн хурдтай хэдэн км замыг туулах вэ?
Шийдэл.Энэ асуудлын нөхцлийн дагуу тогтмол хэмжигдэхүүн нь цаг хугацаа юм.
1) Усан онгоц 40 км замыг хэдэн цаг туулсан бэ?
40 км: 20 км = 2 (цаг)
2) Усан онгоц шинэ хурдаар 2 цагийн дотор хэдэн км замыг туулах вэ?
30 км х 2 - 60 км
Хариулт: 60 км.
Энэ асуудлыг шийдэхдээ тогтмол утгын тоон утгыг олох арга нь шууд бууруулах аргаас нэгдмэл байдалд ялгаатай байдаг. Үүнийг тайлбарласан аргыг аргатай харьцуулан харж болно нэгдмэл байдалд шууд бууруулах.
Бүхэл тоонуудтай үйлдлийн хүрээнд энгийн гурвалсан дүрмийг ашиглан асуудлыг шийдэх нэг буюу өөр аргыг ашиглах боломж нь тоон мэдээллийн шинж чанараас хамаарна. Жишээлбэл, харьцааг олох аргыг зөвхөн хоёрыг илэрхийлсэн тоонууд хэрэглэж болно өөр өөр утгатайижил хэмжигдэхүүн нь бие биенийхээ үржвэр юм.
Эв нэгдэл рүү буцаан бууруулах аргатоо хэмжээ эсвэл цаг хугацааны үл мэдэгдэх утгыг олох шаардлагатай асуудлыг шийдвэрлэхэд ашиглахад тохиромжтой. Тиймээс арифметикийн сурах бичгүүдэд зориулсан анхан шатны ангиудГурвалсан дүрмийн энгийн бодлогуудыг шийдвэрлэх арга замаар нь бүлгээр сонгоно. Үүний зэрэгцээ одоогийн мөрдөж буй хөтөлбөрийн дагуу нэгдмэл байдалд шууд болон урвуу бууруулах аргаар шийдсэн бодлогуудыг II ангилалд, харьцааг олох замаар бодсон бодлогуудыг IV ангилалд ангилдаг.
Харьцааг олох замаар шийддэг хялбар бодлогуудыг сурагчид аль хэдийн шийдэж байгаа II ангид оруулж болно гэж үзэх үндэслэл бий. энгийн даалгаваруудолон харьцуулалт хийх. Одоо байгаа арифметикийн сурах бичгүүдэд тогтмол хэмжигдэхүүний тоон утгыг олох замаар шийддэг асуудал байдаггүй, гэхдээ 2-р ангид аль хэдийн шийдлийг санал болгох нь ашигтай байдаг.
Эдгээр асуудлыг шийдэж сурахдаа үржүүлэх, хуваах энгийн бодлогуудыг шийдвэрлэхийн тулд оюутнуудын урьд нь олж авсан чадварт найдах хэрэгтэй бөгөөд үүнд харилцан уялдаатай гурван хэмжигдэхүүний аль нэгийн утгыг олох, жишээлбэл, зардлыг олох шаардлагатай байдаг. барааны үнэ ба тоо хэмжээгээр, үнэ ба өртгөөр тоо хэмжээ, үнэ - өртөг, тоо хэмжээгээр.
Хүүхдүүдийн хэмжигдэхүүнүүдийн хоорондын харилцааны талаархи сайн мэдлэг нь эв нэгдэл болгон бууруулах аргыг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэхэд үндэс суурь болдог.
Оюутнуудад харилцааг хэрхэн олохыг тайлбарлахын тулд та ашиглаж болно харааны хэрэгсэл(Зураг 22). Асуудлыг шийдье: марк бүхий 2 дугтуй 9 копейкийн үнэтэй. Эдгээр 6 дугтуйны үнэ хэд вэ?
Хосоор нь бүлэглэсэн эдгээр дугтуйны зургийг харахад хос дугтуйны тоог хэд дахин нэмэгдүүлэх нь тэдний үнэ ижил хэмжээгээр нэмэгдэхэд хүргэдэг гэдгийг ойлгоход суралцагчдад тусална.
будаа. 22
Оюутнууд асуулт тавьдаг: 6 дугтуй 2 дугтуйгаас хэдэн удаа их вэ? - 3 дахин их гэсэн хариултыг олоод 6 дугтуйны үнийг 9 копейкээр үржүүлж олоорой. 3-аар.
Даалгавруудыг хамтран авч үзэх ба бие даасан ажилХүүхдүүд шууд асуудлыг урвуу асуудал болгон хувиргах нь тэдгээрийг хэрхэн шийдвэрлэх талаар илүү сайн ойлголттой болоход хувь нэмэр оруулдаг.
Жишээлбэл, 3 аягатай даалгавар нь 6 рубль болно. Эдгээр аяганы 5 нь хэр үнэтэй вэ? хайсан тоог олдсон тоогоор, нэг өгөгдлийг хайж буй тоогоор сольсноор дараах урвуу бодлого болгон хувиргаж болно.
- 5 аяга нь 10 рублийн үнэтэй. Эдгээр аяганаас 3 нь хэр үнэтэй вэ?
- 3 аяга нь 6 рублийн үнэтэй. 10 рублиэр эдгээр аяганаас хэдийг нь худалдаж авах боломжтой вэ?
- 5 аяга нь 10 рублийн үнэтэй. Эдгээр аяганаас хэдийг нь 6 рублиэр худалдаж авах боломжтой вэ?
Анхны асуудлын шийдэл болон хувиргасан эхнийх нь хийгдэж байна нэгдмэл байдалд шууд бууруулах замаар, хоёр дахь болон гурав дахь шийдэл нь юм эв нэгдэл рүү буцаан бууруулах арга.
Пропорц ашиглан шийдсэн бодлогуудыг 5-6-р ангийн арифметикийн хичээлээр судалдаг уламжлалтай. Энэ насанд оюутнууд пропорцийг шийдэж сурах, хоёр практик мэдлэгтэй байх ёстой гэж үздэг. чухал хамаарал- шууд ба урвуу пропорциональ байдал, тэдгээрийг хооронд нь ялгаж, холбогдох асуудлыг шийдэж сурах. Пропорц ба заасан хамаарлыг судлах нь хэрэгцээтэй бараг холбоогүй юм арифметик курсэсвэл 6-р ангид асуудал шийдэж сурах хэрэгцээтэй - шууд ба урвуу пропорциональ байдлын талаархи сурах бичигт пропорциональгүйгээр шийдвэрлэх боломжгүй асуудал байдаггүй. Гэсэн хэдий ч пропорцийг ашиглах нь бий их ач холбогдолматематикийн цаашдын судалгаанд зориулж. 6-р ангийн сурах бичигт хувьтай холбоотой асуудлыг пропорц ашиглан шийдвэрлэхийг санал болгодог. Хэдийгээр бидний бодлоор хувьтай холбоотой асуудлыг шийдэх нь пропорц ашиглах шаардлагагүй юм.
Ядарсан химийн багш нарт хамаатай пропорцтой бодлого бодох аргыг авч үзье. муу мэдлэгхувийн тооцооллын оюутнууд. Энэ нь зөвлөгөөнд ирдэг: бичлэгт
400 груусмал - 100%
20 гр давс - x%
тоон өгөгдлийг хоёр мөрөнд хоёр мөрөнд тусгаарлаж, тэмдэг гарах хүртэл хоёр мөрийг ойртуулна уу.
" = " ба үүссэн пропорцийг шийд:
400 / 20 = 100 /X.
Заримдаа пропорцийг шийдвэрлэх явцад тодорхой заагаагүй байдаг. Жишээлбэл, "Хими дэх 500 асуудал" оюутны гарын авлагад (Просвещение, 1981) богино тэмдэглэлшийдэл:
б) 32 грхүхэр нь 32 г хүчилтөрөгчтэй нийлдэг ба
x g » 8 гр »
x = 32·8/ 32 = 8(г).
V) 32 грхүхэр нь 48 г хүчилтөрөгчтэй нийлдэг ба
x g » 8 гр »
x = 32·8/ 48 = 5.33(г).
Таны харж байгаагаар энд пропорцууд "хөшигний ард" хэвээр үлдэж, оюутнууд тоог "хөндлөн" үржүүлж, хувааж болно. Шийдвэр гаргах энэ аргад буруушаах зүйл байхгүй; үүнийг шийдвэр гаргахдаа ашиглаж болно их тоохимийн хичээл дээрх ижил төстэй даалгаварууд. Үнэн, бид том хэмжээтэй ашиглахгүй ерөнхий хүлээн авалтилэрхий тохиолдолд “b” ба “c” тохиолдолд “≈”-ийн оронд “=” тэмдгийг ашиглана. Гэхдээ хэрэв оюутан хувь хэмжээг ойлгодоггүй, үйлдлийнхээ утгыг тайлбарлаж чадахгүй бол загвар дээр үндэслэн асуудлыг шийдэх нь түүний хөгжилд бага ашиг тустай гэдэгт бид итгэлтэй байна.
Химийн эмч нарт сайн! Тэд шууд пропорциональ байдлыг авч үздэг. Мөн 6-р ангийн сурагчид (ялангуяа багшийн тайлбарыг алдсан хүмүүс) заримдаа гэрээсээ эхний асуудлыг пропорциональгүйгээр шийдвэрлэх аргыг авчирдаг: "тоонуудыг хөндлөн үржүүлье: 20-ыг 100-аар үржүүл, x- 400-аар олж авсан үр дүнг тэнцүүлж, олъё x" Ийм оюутнууд өөрсдийн аргыг илүү энгийн гэж үздэг тул пропорц ашиглахыг заах нь хэцүү байдаг ч "хөндлөн" аргыг ашиглан урвуу пропорциональ байдлын асуудлыг шийдэхийг оролдсоны дараа энэ бэрхшээлийг амархан арилгадаг.
"Хөндлөнгөөр үржүүлж хуваах" дүрэм нь арифметикийн асуудлыг шийдвэрлэхэд ашигладаг байсан дүрэмтэй төстэй гэдгийг анхаарна уу. Энэ нөхцөл байдлыг ашиглаж, асуудлын түүхэнд дахин нэг удаа орцгооё. Гэхдээ эхлээд нэр томъёог тодорхой болгоё.
Эрт дээр үед олон төрлийн асуудлыг шийдэж байсан тусгай дүрэмтэдний шийдвэр. Хоёр хэмжигдэхүүний гурван утгын дөрөв дэхийг олох шаардлагатай шууд ба урвуу пропорциональ байдлын нийтлэг асуудлуудыг гурвалсан дүрмийн бодлого (энгийн гурвалсан дүрэм) гэж нэрлэдэг. Хэрэв гурван хэмжигдэхүүнд таван утгыг өгсөн бөгөөд зургаа дахь утгыг олох шаардлагатай байсан бол дүрмийг тав гэж нэрлэдэг. Үүний нэгэн адил дөрвөн хэмжигдэхүүнд "долоо дахин" гэсэн дүрэм байсан. Эдгээр дүрмийг мөн гурвалсан дүрмийн цогц бодлого гэж нэрлэдэг.
Номынхоо эхний догол мөрийн оршил өгүүлэлд бид гурвалсан дүрэмд багш нарын бараг ид шидийн хандлагыг харуулсан И.Боешенштейн (1514) номын хэсгээс иш татсан бөгөөд материалын танилцуулга нь өөрөө тодорхой илэрхийлэлтэй байдаг. жорын шинж чанар. Дүрэм журмын дагуу сургалт Орос улсад өргөн тархсан байв. Л.Ф.-ийн үеэс асуудал шийдвэрлэхийг заах аргыг тайлбарлахыг хүсч байна. Магнитский, С.И. Шохор-Троцкий "Дунд сургуулийн багш нарт зориулсан арифметикийн арга" номдоо боловсролын байгууллагууд“Эрт үед арифметикийн номууд ямар их дүрэм журамтай байсныг тухайн үеийнхээ хувьд ихэд нэр хүндтэй Леонтий Магнитскийн бүтээлээр дүгнэж болно... Эхний номонд... бүхэл тооны тухай олон дүрмээс гадна болон бутархай тоо, зохиогчийн "ижил төстэй" (одоо гурвалсан гэж нэрлэдэг) гэж нэрлэсэн дүрмийг тогтоожээ... Зохиогч: бүхэл дэх гурвалсан дүрэм, бутархай дахь гурвалсан дүрэм, гурвалсан агшилтын дүрэм, "рефлекс" (урвуу пропорциональ) дүрэм гэж ялгадаг. , тавын дүрэм, "есөн жилийн" дүрэм... , дараа нь эдгээр дүрмийг хэрэгжүүлэх хэлбэрээр тэрээр хэд хэдэн "нийтлэл" -ийг санал болгож байна: гурвалсан арилжааны нийтлэл ("бүхэлдээ" болон "хувьцаа") , Худалдан авалт, борлуулалтын тухай гурвалсан худалдааны нийтлэл, зах зээлд борлуулах хүнсний ногооны гурвалсан худалдааны нийтлэл ба "тэмдэглэгээтэй" (барааны савыг тооцоолох тухай), "худалдан авалт" болон "нэхэмжлэх", "асуулт" -ын тухай. дүрэм, "цаг үеийн асуулт", "гурвалсан дүрмээр бизнес", арилжаа "гурвалсан дүрэм" ...
Цаашид С.И. Шохор-Троцкий "Арифметик" зохиолоос Л.Ф. Магнитскийн бичсэнээс үзэхэд Европын эртний эх сурвалжуудын онцлог шинж чанартай материалыг танилцуулах жорын хэв маяг нь эхнийх нь тодорхой харагдаж байна. Орос сурах бичигарифметикийг хараахан даван туулж чадаагүй байна. Таван давхар дүрмийг хэрэгжүүлэхэд зориулагдсан энэ хэсэгт эхлээд дүрмийн тодорхойлолт, түүнийг хэрэглэх жишээг өгсөн (бодлогын текстийг налуу үсгээр бичсэн), дараа нь хариултыг авах жор; бусад тохиолдолд үүнийг хийхийг зөвлөж байна.
“Тийм тооцоог хийхдээ тав дахин эсвэл таван жагсаалтаас бусад ямар ч тушаал, дүрмээр ойлгох боломжгүй байсан ч гэсэн таван удаа гэсэн дүрэм байдаг ба гурвалсан сэдвийг бас Дүрэмд таван жагсаалт [тоо] орсон бөгөөд зургаа дахь нь зохион бүтээгдсэн тул ...: Хэн нэгэн худалдаачдад нэг жилийн турш зуун рубльтэй байсан бөгөөд тэдэнтэй хамт ердөө 7 рубль олж авсан бөгөөд дахин 5 жилийн турш худалдаачдад 1000 рубль өгсөн.мөн та үүнийг хийж, гурвалсан дүрмийг эхлүүлнэ:
жил жил
100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5
Мөн зүүн гараас авсан хоёр жагсаалтыг, мөн нөгөө гурвыг нь хооронд нь үржүүл баруун гар, мөн бие биенээ дарааллаар нь үржүүлж, үржвэрээ эхний хоёрын үржвэрт хуваа: энд байгаа шиг." [мөн тэнд]
Бид сургалтын үйл явцад ийм төрлийн даалгавруудыг ашиглах боломжийн талаар ярих болно, гэхдээ одоогоор дүрмийн дагуу бид зөв хариултыг авах болно.
(7 1000 5):(100 1) = 350 ( Р.).
S.I-ийн үед. Шохор-Троцкий дүрмийн дагуу асуудлыг шийддэг уламжлалтай хэвээр байна. Тухайн үеийн хамгийн алдартай арифметик сурах бичиг бол А.П. Киселев (1884 онд анхны хэвлэл). Уншигчдад энэхүү сурах бичигт байгаа гурвалсан дүрэмтэй холбоотой асуудлуудтай холбоотой материалыг танилцуулах аргачлалын талаар ойлголттой болохын тулд тухайн үеийн шууд ба урвуу пропорциональ асуудлыг шийдвэрлэхэд сургуулийн сурагчдад заах практикийг төсөөлөх боломжтой болно. , бид энэ сурах бичгийн 9-р хэвлэлээс (1896 .) хэд хэдэн ишлэлийг толилуулж байна. Текст дэх бидний тайлбарууд налуу үсгээр бичигдсэн байдаг.
Гурвалсан энгийн дүрэм.
Энэ дүрэмд үндэслэсэн асуудлыг пропорциональ буюу эв нэгдэлтэй бууруулах аргыг ашиглан шийддэг.
Даалгавар. 8 аршин даавууны үнэ 30 рубль; энэ даавууны 15 аршин хэд вэ?
S o b o f p o r t i o n Үсгээр тэмдэглэе xҮнэ
15 арш. даавуугаар боож, тоонуудыг дараах байдлаар байрлуул.
Аршингийн тоо. Тэдний өртөг.
8 арш. . . . . . . . 30 рубль.
15 ". . . . . . . x »
Даавууны өртөг нь аршины тоотой пропорциональ байдаг тул
x : 30 = 15: 8.
Хаана: x= 30 15/8 = 56 1/4 урэх.
Тэгшитгэлийн R eduction Асуудлыг ийм байдлаар шийдэхийн тулд бид эхлээд 1 аршин хэдэн рублийн үнэтэй болохыг олж мэдээрэй (энэ аргыг нэгдмэл байдалд бууруулах гэж нэрлэдэг). Тодорхой болгохын тулд бид шийдлийн процессыг шугамаар зохион байгуулна.
8 арш. 30 рубль үнэтэй.
1 арш. зардал 30/8 рубль.
8 арш. 30/8 үнэтэй · 15 = 56 1/4 урэх.
Сурах бичигт материалыг танилцуулах нь илүү хялбар болохыг анхаарна уу. Эцсийн эцэст, асуудлыг шийдэх хоёр дахь арга бол үйл ажиллагааны талаархи шийдвэрийн өөр нэг бичлэг юм.
1) 30: 8 = 30/8 (урэх); 2) 30/8 15 = 56 (үрэх)
Ийм маягаар, гэхдээ даавууны өртгийг копейкээр илэрхийлснээр оюутнууд бутархайтай үйлдлүүдийг сурахаас өмнө асуудлыг шийдэж чаддаг байх ёстой. Багасгах бутархайг зориудаар хадгалах замаар нэгдмэл байдалд бууруулах арга нь гурвалсан цогц дүрмийг ашиглан асуудлын шийдлийг танилцуулах, "эцсийн томъёо", сургуулийн сурагчдад эхний нэг хэмжигдэхүүнийг дараалан өөрчлөхийг заах (энд байгаа шиг), мөн дараа нь хэд хэдэн хэмжигдэхүүн (цогц гурвалсан дүрмийн асуудлыг шийдвэрлэх үед).
Мөн урвуу пропорциональ байдлын асуудлыг хоёр аргаар (эхлээд пропорц ашиглан, дараа нь нэгдмэл байдалд оруулан) шийдсэн.
Шууд эсвэл урвуу пропорциональ хоёр хэмжигдэхүүний харгалзах нэг утгыг өгсөн асуудлыг шийдвэрлэх арга зам бөгөөд энэ нь зайлшгүй шаардлагатай. олох, нэг нь шинийг авбал ямар үнэ цэнийг авах вэ өгөгдсөн үнэ цэнэ, дуудсан энгийн гурвалсан дүрэм.
Доорх нь нарийн төвөгтэй гурвалсан дүрмийн асуудал бөгөөд түүний нарийн төвөгтэй байдал нь анхны сургалтын хэрэгцээ шаардлагаас давсан байдаг - энд дөрөв биш харин гурван хэмжигдэхүүнийг авахад хангалттай байх болно (өөрөөр хэлбэл Л.Ф. Магнитский гэх мэт таван дүрмийн бодлогыг авч, мөн "есөн жилийн" хувьд биш) .
Гурвалсан цогц дүрэм.
Даалгавар. 48 хоногийн дотор 18 өрөөг гэрэлтүүлэхийн тулд 120 фунт зарцуулсан. керосин, өрөө бүрт 4 чийдэн шатаж байна. 125 фунт хэдэн өдөр үргэлжлэх вэ? керосин, хэрэв 20 өрөөг гэрэлтүүлж, өрөөнд 3 чийдэнг асаавал?
S o b o f p o r t i o n Энэ даалгаврын өгөгдлийг хоёр мөрөнд оруулъя:
20 "- X» – 125 » – 3 »
Хэрэв бид фунт ба чийдэнгийн тоог өөрчлөхгүй бол (эдгээр утгыг хаалтанд оруулсан) бид олж болно. x 1 - энгийн гурвалсан дүрмийн асуудлыг шийдэх 20 өрөөнд тохирох өдрийн тоо.
18 өрөөтэй - 48 хоног – 120 фунт - 4 чийдэн
20 "- X 1" – 120" – 4"
X 1 = 48·18/20 = 216/5 (өдөр).
20 өрөөтэй – 216/5 хоног – 120 фунт. - 4 чийдэн
20 "- X 2" – 125" – 4"
X 2 = 216·125 / 5·120 = 45 (өдөр).
Одоо 4 чийдэнг 3 чийдэнгээр сольж үзье.
20 өрөөтэй - 45 хоног - 125 фунт. - 4 чийдэн
20 "- X» – 125 » – 3 »
X= 45 4/3 = 60 (өдөр).
Хоёроос дээш тооны өгөгдсөн хэмжигдэхүүн байгаа тохиолдолд ийм асуудлыг шийдэх аргыг нэрлэдэг. нарийн төвөгтэй гурвалсан дүрэм.
Оршил руу нэгж... Тохиромжтой болгох үүднээс өгөгдөл, шаардлагатай тоонуудыг зохион байгуулъя xбаруун талын сүүлчийн баганад байсан:
20" 125" 3" x »
Одоо бид гэрэлтэй бол хэдэн өдөр болохыг олж мэдэв 1 өрөө, тэнд керосин байх болно 1 фунт, өрөө болгонд байх болно 1 чийдэн. Үүнийг бид олж мэдсэн бөгөөд үүнд хүргэдэг 1 аажмаар нэг нөхцөл байдал.
18 өрөөтэй 120 фунт 4 чийдэн 48 хоног
1 » 120 » 4 » 48 18 »
1 » 1 » 4 » 48 18 / 120 »
1 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 »
Одоо бид асуудлын асуултад өгөгдсөн тоонуудаар нэгжүүдийг аажмаар солих болно.
1 өрөө 1 фунт 1 лам. 48·18·4 / 120 хоног.
20 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 20 »
20 » 125 » 1 » 48 18 4 125 / 120 20 »
20 » 125 » 3 » 48 18 4 125 / 120 20 3 »
Үүссэн томъёог багасгаж, тооцоолоход л үлддэг.
ЭЦСИЙН ФОРМУЛ . Хэрэв та нарийн төвөгтэй гурвалсан дүрмийг ашиглан асуудлыг шийдвэрлэх хангалттай чадвартай бол шууд бичиж болно эцсийн томъёоУчир нь x. Үүнийг хэрхэн хийснийг харуулъя. Дээр шийдсэн асуудлыг авч үзье:
18 өрөөтэй - 48 хоног – 120 фунт - 4 чийдэн
20 "- X» – 125 » – 3 »
18 өрөөг гэрэлтүүлсэн бол өдрийн тоо 48 байх болно; ганцхан өрөөг гэрэлтүүлсэн бол 48 хоног байх байсан · 18, 20 өрөөг гэрэлтүүлэх үед өдөр нь 48·18/20 (бусад ижил нөхцөлд) байх ёстой. Энэ өдрийн тоог 120 фунт керосиноор хангах болно; хэрэв 1 фунт керосин байсан бол өдрийн тоо 48·18/20·120 байх ба 125 фунт керосинтэй бол 48·18·125/20·120 байх ёстой. Энэ тооны өдөр 4 чийдэнтэй байх болно; 1 чийдэнтэй бол 48·18·125·4 / 20·120, 3 чийдэнтэй бол:
x = 48 18 125 4 / 120 20 3, эсвэл x= 48·18/20·125/120·4/3.
Дүрэм. Хүссэн тоог авахын тулд ижил хэмжигдэхүүний өгөгдсөн утгыг үлдсэн хэмжигдэхүүний өгөгдсөн утгуудын харьцаагаар дараалан үржүүлэхэд хангалттай бөгөөд хэрэв утга нь шууд байвал шинэ утгыг өмнөхтэй нь харьцуулна. үнэ цэнэ нь эрэлхийлж буй үнэ цэнэтэй, өмнөх үнэ цэнэ нь шинэ утгатай пропорциональ байна.
Энэ дүрмийг санаж, үнэн зөв хэрэгжүүлэх нь тийм ч амар биш байсан бололтой. Эхний хоёр аргыг ашиглан "цогц гурвалсан дүрмийн асуудлыг шийдвэрлэх хангалттай ур чадвартай" эцсийн томъёонд шилжих ёстой байсан гэдгийг анхаарч үзье. Ийм сургалт нь нарийн төвөгтэй, оюутнуудад ашиг тус багатай байсан нь багш, арга зүйчдийн эсэргүүцэлтэй тулгарсан нь гайхмаар зүйл юм. Жишээлбэл, 1921 оны хөдөлмөрийн нэгдсэн сургуулийн долоон жилийн сургуулийн нэг, хоёрдугаар шатны хөтөлбөрт: "Бусад бүх "дүрэм" нь өнгөрсөн үеийн үлдэгдэл, утгагүй зүйл юм. бүр байгалиас заяасан, гэхдээ хиймэл." Мөн цааш нь: "Гурвалсан цогц дүрэм нь утга учиргүй байдлаасаа болж сургуулийн амьдралаас аль эрт хаягдах ёстой байсан зохиомол асуудлуудын цуглуулгыг хамардаг."
Хөтөлбөрийг зохиогчдын ийм хурц ангилалтай хандлага нь даалгавартай нь тийм ч их холбоотой биш (тэдний нөхцөл байдлыг хүүхдийн туршлагад ойртуулж болох юм), харин сургуулийн сурагчдад асуудлыг шийдвэрлэхэд тус болохгүй аргатай холбоотой байсан бололтой. дүрэм журам." Дээрх текстийн хэсгүүдийг A.P-ийн сурах бичгээс авсан болно. Киселев хувьсгалаас өмнөх сурах бичигт бидний сонирхсон материалыг танилцуулах арга зүйн талаар санаа өгдөг. Сурах бичгийн 1938 онд шинэчлэгдсэн хувилбарт гурвалсан цогц дүрмийн асуудлууд хадгалагдан үлдсэн бөгөөд сурах бичгийн нэг хуудаснаас бага зэрэг илүүг ийм нэг асуудлын дүн шинжилгээнд зориулагдсан болохыг анхаарна уу - шууд "долоо дахин" дүрэм. Гэхдээ энд зөвхөн "эцсийн томъёо"-ыг авч үзсэн бөгөөд дүрмийг томъёолоогүй болно. Энэхүү өөрчлөлт нь тухайн төрлийн даалгавруудыг ашиглах асуудлыг шийдэж чадаагүй нь ойлгомжтой.
Зөвхөн энэ төрлийн даалгаврыг ашиглах арга зүйг хялбарчлах замаар л үүнийг сургуулийн практикт байлгах нь ашигтай байх болно. бүхэл бүтэн ангиуламжлалт даалгавар. Бид дараа нь харах болно, тэдгээрийн олонх нь дадлага хийх, хэрэгжүүлэхэд нэлээд ойрхон агуулгатай байж болно бэлтгэл ажилэнгийн гурвалсан дүрмийг ашиглан асуудлыг шийдэж сурах, энгийнээс нийлмэл рүү бодлогын гинж байгуулах нь энэ төрлийн асуудлын хүртээмжийг нэмэгдүүлэх болно. Гэсэн хэдий ч асуулт шийдэгдээгүй хэвээр байна: ийм асуудлыг шийдвэрлэхийг бүх оюутнуудад заах шаардлагатай юу? Үүний хариулт нь бид шийдэж сурах практик үнэ цэнийг юу гэж харж байгаагаас хамаарна үгийн асуудлууд- зөвхөн практикт тулгарч буй бэрхшээлийг шийдвэрлэхэд сургах, эсвэл олон янзын, түүний дотор зохиомол асуудлыг шийдвэрлэх явцад сургуулийн сурагчдын сэтгэлгээг хөгжүүлэх. Боловсролын үйл явцад гурвалсан дүрмийн цогц асуудлыг ашиглах замаар хоёр дахь зорилгодоо хүрэхэд тусална. Мэдээжийн хэрэг, ийм асуудлыг шийдвэрлэх чадвартай байх шаардлагыг бүх оюутнуудад тавьж болохгүй, гэхдээ тэдгээрийн шийдлийн дүн шинжилгээнд оролцох, шууд ба урвуу харьцааг ялгах сургалт нь тус бүрт ашигтай байх болно.
Шууд ба урвуу пропорциональ бодлого ашиглах тухайд орчин үеийн сурах бичиг, дараа нь сурах бичигт Н.Я. Виленкина болон бусад.шууд ба урвуу пропорциональ хамаарал 22-р зүйлд 18 даалгавар багтсан болно. Түүнээс гадна дээжээс эхлээд боловсролын текст, хэмжигдэхүүний харгалзах утгыг аравтын бутархай эсвэл бутархайгаар илэрхийлнэ натурал тоонууд, харьцаа нь бүхэл тоогоор илэрхийлэгдээгүй. Энэ нь суралцахад хэцүү болгодог. Үүнээс гадна асуудлын гуравны нэг нь хувийн асуудал юм. At анхан шатны сургалтПропорцийг хэрэглэхэд бэрхшээлийг салгах нь дээр: пропорцийг тусад нь судлах аравтын бутархайболон хувь. Сурах бичгийн дараагийн догол мөрүүдэд үе үе "пропорциональ" гэсэн асуудлууд гарч ирдэг боловч тэдгээрийн цөөн нь байдаг бөгөөд тэдгээрийн ихэнхийг пропорциональгүйгээр шийдвэрлэхэд хялбар байдаг.
Тиймээс пропорцууд нь 5-6-р ангид математикийн хичээлийг бүхэлд нь судлах явцад сургуулийн сурагчдын ашигладаг асуудлыг шийдвэрлэх аргуудын арсеналыг төдийлөн баяжуулдаггүй бөгөөд нарийн төвөгтэй байдлыг нэмэгдүүлэхгүйгээр шууд ба урвуу пропорциональ даалгаврууд нь хүссэн үр дүнд хүрэхгүй байна. сургуулийн сурагчдын хөгжилд үзүүлэх нөлөө. Нэг төрлийн цөөн тооны энгийн даалгаврын хувьд дахин нэгийг биелүүлэх нь үргэлж боломжгүй байдаг чухал зорилгоСургуулийн хүүхдүүдэд шууд ба урвуу пропорциональ байдлыг сайн ялгаж сургах.
Бид үүнийг шаардахгүй хуучин үешууд ба урвуу пропорциональтай холбоотой асуудлуудыг илүү үр дүнтэй ашигласан. Гэсэн хэдий ч илүү олон төрлийн даалгавар, түүний дотор "цогцолбор гурвалсан дүрэм" дээрх даалгаварууд нь багшид хамгийн хүчирхэг сурагчдыг хөгжүүлэх боломжийг үлдээсэн. Тийм ч учраас багш нар одоо бараг мартагдсан эдгээр даалгавруудыг бүх сурагчид, ялангуяа тэдний хамгийн бэлтгэлтэй ажилдаа ашиглахыг зөвлөж байна. Мэдээжийн хэрэг, бид тэдгээрийг оруулахад хялбар болгоно боловсролын үйл явцтэдгээрийг шийдвэрлэх сургалтын арга зүйд шаардлагатай зохицуулалтыг хийх. Сургуулийн бүх хүүхдүүдэд асуудал гэх мэт асуудлыг шийдвэрлэхийг заахыг бид огт санал болгодоггүй керосин чийдэн, мөн дээр үзүүлсэнтэй яг ижил аргаар. Магадгүй энэ даалгаврыг даалгаврын гинжин хэлхээний хамгийн сүүлчийнх нь болгох ёстой бөгөөд үүнийг шийдснээр оюутан зөвхөн багшийн санал болгож буй шийдлүүдийг ойлгох төдийгүй энгийнээс нарийн төвөгтэй рүү бие даан шилжих боломжтой болно. Ийм ажил нь ижил төвөгтэй асуудлуудыг шийдвэрлэхэд цагийг тэмдэглэхээс илүү ашигтай байх бөгөөд энэ нь оюутнуудад шууд болон урвуу пропорциональ байдлыг ялгахад сайн сургах болно. Бид хаанаас эхлэх ёстой вэ?
Юуны өмнө бид сургуулийн хүүхдүүдэд пропорцийг хэрхэн бодохыг зааж өгөх хэрэгтэй. Тэдгээрийг шийдвэрлэх гол арга нь пропорцын үндсэн шинж чанарт суурилсан байх ёстой. Энэ зорилгодоо хүрсэн тохиолдолд тэдгээрийн шийдлийг хялбарчлахын тулд пропорцын шинж чанарыг ашиглахыг харуулж болно. Жишээлбэл, пропорцийг шийдэх
X/ 5 = 1 / 10 бол та тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талыг 5-аар үржүүлж эсвэл пропорцын дунд гишүүнийг сольж болно.
Хоёрдугаарт, сургуулийн хүүхдүүдэд асуудлын нөхцөлд хоёр хэмжигдэхүүнийг тодорхойлж, тэдгээрийн хоорондын хамаарлын төрлийг тогтоохыг заах шаардлагатай.
Гуравдугаарт, асуудлын нөхцөлийн дагуу хувь хэмжээг хэрхэн гаргахыг зааж өгөх хэрэгтэй.
Тиймээс оюутнууд одоогийн математикийн хөтөлбөрт заасан ур чадварын хамгийн бага хүрээг эзэмших болно. Зөвхөн үүний дараа шийдвэр гаргахад бэлтгэхийн тулд илүү ихийг хийх хэрэгтэй нарийн төвөгтэй даалгаварпропорциональ хэмжигдэхүүн дээр (цогц гурвалсан дүрэм) та оюутнуудад судлагдсан асуудлыг пропорциональгүйгээр шийдэх арга замыг харуулах хэрэгтэй. Асуудлыг шийдье:
– 80 км/цагийн хурдтай ачааны галт тэрэг 720 км замыг туулсан. Аль нь зай явах болноардТэр Үүний зэрэгцээ 60 км/цаг хурдтай суудлын галт тэрэг мөн үү?
Зам нь хөдөлгөөний тогтмол үеийн хурдтай пропорциональ байдаг бөгөөд энэ нь хурдыг 80/60 дахин бууруулахад зам нь 80/60 дахин багасна гэсэн үг юм.
720: 80 / 60 = 540 (км).
Хэрэв хурд нь буураагүй, харин нэмэгдсэн бол хэмжигдэхүүн нь шууд биш, харин урвуу пропорциональ байвал асуудлыг шийдвэрлэхэд ижил аргыг ашигладаг. Мэдээжийн хэрэг, энэ техникийг анх удаа ашиглахаас өмнө шийдвэрлэх үед асуусан асуултууд байх ёстой өмнөх ажлууд: Энэ утга хэд дахин өссөн (буурсан) вэ? Тэдгээрийн эхний хариултыг бүхэл тоогоор, дараа нь хуваах замаар олж авсан бутархайгаар илэрхийлэх ёстой. илүү их үнэ цэнэхэмжээнээс бага. Оюутнууд эхнийх нь харгалзах өөрчлөлтөөр хоёр дахь хэмжигдэхүүний утга хэрхэн өөрчлөгдөхийг тодорхойлж сурсны дараа л эхлээд хоёр хэмжигдэхүүнтэй (гурвалсан дүрэм), дараа нь гурав ба дөрвөн хэмжигдэхүүнтэй (нийлмэл гурвалсан дүрэм) асуудлыг шийдвэрлэхэд шилжиж болно. ).
Гуравдугаар хэсэг
ХАРИЛЦАА БА ХҮРЭЭ.
Пропорциональ ба
ЭВ НЭГДЭЛИЙГ БУУРУУЛАХ АРГААР.
VIII БҮЛЭГ.
§ 50. Цогцолбор гурвалсан дүрэм.
2661. 45 өрлөгчин зургаан өдрийн ажлын хөлсөнд 216 рубль төлсөн; 8 хоног ажилласан 30 өрлөгчин хэдэн төгрөгөөр лаг шавхах ёстой вэ?
2662. 5 насосоор 3 цагийн дотор 1800 хувин ус соруулжээ. 4 ижил насос 4 цагийн дотор хичнээн хэмжээний ус гаргах вэ?
2663. 25 ажилчин 12 хоногт 36 ойч урт суваг ухсан. Нэг ажилчин 15 хүн 10 хоногт хэр урт суваг ухаж чадах вэ?
2664. 12 сарын хугацаанд 100 рублийн капитал нь 6 рублийн ашиг авчирдаг. 8600 рублийн капитал 4 сарын хугацаанд хэр их ашиг авчрах вэ?
2665. Тэгш өнцөгт талбайгаас 40 ойч урт, 30 ой өргөн 2 дөрвөлжин овъёосны 6-н хэсгийг цуглуулсан. Хоёр талбайн тариалалт, хураах нөхцөл ижил байсан бол урт нь 96 ойч, өргөн нь 50 ойчсон өөр талбайгаас хичнээн хэмжээний овъёос хураасан бэ?
2666. 15 хос даашинзны хувьд 1 арш өргөнтэй 45 аршин даавуу ашигласан. 14 вершок. Нөгөө даавуу нь 10 ижил төрлийн даашинзанд 60 аршин байсан бол ямар өргөнтэй байсан бэ?
2667 .18 ажилчин, өдөрт 7 цаг ажиллаж, зарим ажлыг 30 хоногт хийж дуусгаад 201 рубль авчээ. 60 копейк Өдөрт 4 цаг ажилладаг 14 ажилчин бусад ажил гүйцэтгэсний төлөө 67.2 рубль авсан. Хоёр ээлжийн ажилтны нэг цагийн цалин ижил байна гэж үзвэл хоёр дахь ээлжийн ажилчид хэдэн өдөр ажилласныг тодорхойл.
2668. Төмөр замаар 24 верстийн зайд 420 пуд ачаа тээвэрлэхэд 2 рубль төлсөн. 52 копейк. Энэ тооцоогоор Санкт-Петербургээс Москва хүртэл Николаевын төмөр зам дагуу 50 пуд ачаа тээвэрлэхэд 7 рубль төлөх шаардлагатай байв. 61 1/4 коп. Энэ замын уртыг ол.
2669. Парисаас Руэн хүртэл төмөр замаар зорчих 155 2-р зэрэглэлийн зорчигчийн тасалбар 1488 франкийн үнэтэй. 4 км явахад авсан 2-р зэрэглэлийн 10 тасалбарын үнэ 3 франктай тэнцэж, 16 км нь 15 верст гэдгийг мэдэж байгаа тул уртыг верстээр илэрхийлнэ үү. төмөр замПарис, Руэн хоёрын хооронд.
2670. Төмөр утас бэлтгэдэг машины дугуй нь минутанд 60 эргэлт хийдэг бол энэ машин 240 арш үйлдвэрлэх болно. 3 цаг 20 минутын турш утас. Хэрвээ дугуй нь минутанд 41 2/3 эргэлт хийвэл 33 1/8 фонометр утас үйлдвэрлэхэд хэр хугацаа шаардагдах вэ?
2671. Урт нь 125 метр, өргөн нь 0.08 верст тэгш өнцөгт талбайгаас 12 1/2 улаан буудай цуглуулсан; Ийнхүү тооцооллоор зургаагийн ургац авсан байна. Өөр нэг тэгш өнцөгт талбайн урт нь 0.3 (9) верстээс 8 1/3 дөрөвний улаан буудай хурааж авсан нь тавын ургац авсан байна. Хоёр талбайн тариалалтын нөхцөл ижил байсан гэж үзээд хоёр дахь талбайн өргөнийг тодорхойлно.
2672. 5.3 фут урт, 0.8 3 фут өргөн, 2 5/8 инч зузаантай чулуун хавтан нь 4.2 фунт жинтэй. Эхнийхтэй ижил чулуугаар хийсэн өөр нэг хавтан нь 7 фунт 35 фунт жинтэй, 15 инч өргөн, 2 инч зузаантай. Хоёр дахь хавтан хэр урт вэ?
2673 . 2 аршин урт, 1 1/2 инч өргөн, 2/3 инч зузаантай төмөр тууз нь 0.4375 фунт жинтэй. Урт нь 2 фут, өргөн нь 13/7 инч, зузаан нь 0.16666.... фут төмөр тууз хэр жинтэй байх вэ?
2674. Өдөр бүр 12 цаг 30 минут ажилладаг 36 ажилчин барьсан модон байшин 30 хоногийн дотор. 50 хоногт нэг байшин барихын тулд 27 ажилчин өдөрт хэдэн цаг ажиллах ёстой вэ?
2675. Коридорын урт нь 6 метр юм. 2 арш. 9 1/7 инч, 1.4(9) өргөн. ба өндөр 5. (3) ярд (Уард-Англи хэлээр уртын хэмжүүр). Агаар мандлын агаар, коридорт агуулагдах, 17 фунт жинтэй. 34 фунт Коридорын зэргэлдээх өрөөг дүүргэх агаар нь 11.9 фунт жинтэй. 0,58(3) ярд = 0,75 арш, өрөөний өндөр нь 5 5/7 арш, өргөн нь өндрөөсөө 0,945 дахин их гэдгийг мэдэж байгаа тул энэ өрөөний уртыг тооцоол.
2676. 6-р байрны шатыг гэрэлтүүлэхэд зориулагдсан хийн тийрэлтэт онгоцууд, 40 оройн турш шатаж, орой бүр 6 цаг 12 минутын турш хийн компанид 22 рубль төлсөн. 32 копейк. Өөр нэг шатаар 5 эвэр 60 орой шатсан бөгөөд үүний төлөө 27 рубль төлжээ. Орой бүр хоёр дахь шат дээр хий хэдэн цаг шатдаг байсан бэ?
2677 . Орой бүр 7 1/2 цагийн турш асдаг 4 чийдэнгийн хувьд 30 орой 2.25 фунт керосин зарцуулсан. Орой бүр 4 цаг 30 минутын турш ижил төстэй 5 чийдэн асаавал хэдэн орой 1,8 фунт керосин хэрэглэх вэ?
2678 . 32 өрлөгчин өдөр бүр 8 1/2 цаг ажиллаж, 42 хоногийн дотор 10 метр урт, 7 1/2 инч зузаан, 3,5 фут өндөр тоосгон хана босгожээ. Эхнийхтэй ижил хүч чадалтай 40 өрлөгчин өдөрт 6.8 цаг ажиллаж, 15 ойч урт, 0.9375 аршин зузаан, 2 1/2 аршин өндөр тоосгон ханыг хэдэн өдрийн дараа тавих вэ?
2679. Витебск ба Орелын хоорондох шуудангийн замын урт нь 483 верст; Нэг аялагч энэ зайг 7 хоногт туулж, өдөр бүр хотод 10 цаг байж, цагт ижил тооны миль явсан. Өөр нэг аялагч Витебскээс Могилев руу явж, өдөр бүр 12 цаг замд явж, 4 хоногийн дотор аяллаа дуусгав. Эхний аялагч 23 верст явсан тэр үед хоёр дахь аялагч 10 верст явсан нь мэдэгдэж байгаа бол Вицбскээс Могилев хүртэл хэдэн верст байх вэ?
2680. 0.375 аршин урт, 3 инч өргөн, 1 1/2 инч зузаантай тоосго (клинкер) нь 10 фунт 38.4 дамар жинтэй. Урт нь 8.75 инч, өргөн нь 2 1/4 инч, зузаан нь 2 инч, гантиг нь тоосгоноос 1/2 дахин хүнд гэдгийг мэддэг тэгш өнцөгт гантиг хэр их жинтэй вэ?
2681. 25 нэхмэлчин өдөрт 8/3 цаг ажиллаж, 32 хоногт 1 арш өргөн 120 аршин даавуу нэхжээ. 5 1/3 инч. Өдөр бүр 4 цаг 10 минут ажилладаг 40 нэхмэлчин 0,75 аршин өргөнтэй 320 аршин даавууг хэдэн өдрийн дараа нэхэх вэ?
2682. 8 сарын хугацаанд 1200 рублийн капитал нь 40 рублийн ашиг авчирсан; 100 рубль хэдэн цагт вэ. 5 рубль авчрах болно. ирсэн үү?
2683. Капитал 7 1/2 сарын дараа 30,000 рубль нь 1125 рублийн ашиг авчирсан. Энэ хөрөнгийн 100 рубль бүр 1 жилийн дотор хэр их ашиг авчрах вэ?
2684. 10 сарын хугацаанд 24,400 рублийн капитал нь 1,525 рублийн ашиг авчирсан. Эхнийхтэй ижил нөхцөлд гүйлгээнд орсноор 2 1/2 сарын дотор 1250 рублийн ашиг олохын тулд танд хэр их хөрөнгө хэрэгтэй вэ?
2685. Өдөрт 10 цаг ажилладаг 54 ухагч 33 хоногт 124 ойч урт, 1 ойч 2 1/2 аршин өргөн, 6 3/4 фут өндөр далан хийжээ. Өдөр бүр 7 1/2 цаг ажиллаж, 30 хоногт 7 1/3 арштай 0,31 верст урт далан хийх боломжтой болохын тулд хичнээн ухагч авах шаардлагатай вэ? мөн 3 6/7 аршин өндөр үү?
2686. Өдөр бүр 9 цаг 20 минут ажилласан 48 ухагч 55 хоногт 40 1/3 ойч урт, 4 1/2 аршин өргөн, 7 аршин өндөрт шороон хэрэм хийжээ. Босоо амны урт нь 44 метр, өргөн нь 1 метр бол 40 ухагч 64 хоногт 6 цаг 45 минут ажиллахад босоо амыг ямар өндөрт гаргах вэ?
2687 . 6 зуухтай орон сууцыг 2 сар 10 хоног халаахад 14 ойм нарс мод зарцуулсан. Зуух тус бүрээс гаргаж буй дулааны хэмжээ нь эхний байрныхтай ижил байх ёстой, мөн 9 ойн нарс модоор 8 зуухтай орон сууцыг халаахад хэдий хугацаанд 10 ойн хус түлээ хүрэлцэх вэ? 7 1/2 ойн хэмжээтэй хус мод гэж үү?
2688. 2 верст урт, 1 1/2 верст өргөн тэгш өнцөгт талбайгаас 27 ургац хураасан чихрийн нишингэ маш их цуглуулсан тул үйлдвэр үүнээс 937 1/2 пуд элсэн чихэр үйлдвэрлэжээ. Өөр нэг талбайгаас 400 метр өргөн, 18 ургац хураан авсан манжингаас 250 фунт элсэн чихэр гаргаж авсан. Тариалалтын нөхцөл, манжингийн чанар хоёр талбайд ижил байсан гэж үзвэл хоёр дахь талбайн уртыг ол.
2689. 4 бичээч, өдөр бүр 7 1/2 цаг ажиллаж, 15 хоногт 225 хуудас хуулж, хуудас бүрт дунджаар 32 мөр бичсэн байна. Өдөр бүр 5 цаг 20 минут ажиллаад 9 хоногт 64 хуудас цаас хуулж, хуудас бүрт дунджаар 36 мөр байрлуулахын тулд хичнээн бичээч авах шаардлагатай вэ?
2690. 4 1/2 цагийн турш 3 хоолой 1 метрийн урттай усан санг дүүргэсэн. 2 аршин, 1,5 аршин өргөн, 3 2/3 фут гүн. Энэ усан сангийн урт 1 тортог байвал 4 хоолой 5.4 цагийн дотор өөр усан санг ямар гүнд дүүргэх вэ. 2 5/8 фут, өргөн нь 1.2 нуман хаалга, эхний хоолой тус бүр 16 хувин ус зэрэг цутгаж байвал сүүлийн хоолой тус бүр 9 хувин асгах вэ?
2691 . Өдөрт 10 цаг ажилладаг 22 нэхмэлчин 30 хоногт 120 ширхэг цагаан хэрэглэл бэлджээ. Өдөрт 7 1/2 цаг ажиллаад 40 хоногт 300 ширхэг маалинган даавуу бэлдэхийн тулд хичнээн ийм нэхмэлчин хөлслөх шаардлагатай вэ гэвэл тэдгээрийн урт нь 1 1/10 дахин урт байх ёстой. эхнийх, өргөн нь эхнийхүүдийн өргөнөөс 0.8(3) байх ёстой юу?
2692. Тодорхой тооны цэргийг тэжээхийн тулд цэрэг бүрт өдөр бүр 2 1/2 фунт өгвөл 60 хоног хангалттай талх байх болно. Цэргүүдийн тоог өмнөх тооноос 3/8-аар багасгаж, тус бүрийн өдөр тутмын хэсгийг 1,25 фунтээр нэмэгдүүлбэл энэ хангамжийн 3/4 нь хэдэн өдөр үргэлжлэх вэ?
2693. Өдөр бүр 10 цаг 30 минут ажилладаг 15 ажилчин, 12 ажилчин 12 хоногт талбайгаас тариа авчээ. Өдөрт 8,4 цагаар ажилладаг 21 ажилчин, 8 эмэгтэй ажилчин хэдэн өдөр тариагаа хураах вэ гэвэл урт нь эхнийх нь 0,3:1/5, өргөн нь 0,3:1/5-тай тэнцүү байна. эхнийх нь өргөн нь 0, 51: 0.5(6), - хэрэв эрэгтэй хүний хүч чадал нь эмэгтэй хүний хүч чадалтай 0.2(6) : 0.1(9) хамааралтай болохыг мэддэг бол?
2694. Усан сангаас ус шахахын тулд 3 том, 5 жижиг насос суурилуулсан бөгөөд тэдгээр нь хамт ажилласнаар 6 цагийн дотор бүх усыг асгах боломжтой байв. 2 1/2 цагийн дараа тэд хамтарсан үйл ажиллагаа, 2 том насос эвдэрсэн тул тэр даруй 5 жижиг насосоор сольсон. Жижиг шахуурга бүрийн хүч нь том насос бүрийн хүчээр 2 1/2: 4 1/6 байдаг тул усан сангаас ус шахахад нийт хэдэн цаг зарцуулагдсаныг тодорхойл.
2695. Байшингийн ханыг барихад 4215 ширхэг тоосго ашигласан бөгөөд тус бүр нь 10 1/2 инч урт, 5.25 инч өргөн байв. ба 2 5/8 инч зузаантай. Өөр нэг хана барихын тулд тус бүр нь 5 1/2 инч урт, 3 1/3 инч өргөн, 1 1/4 инч зузаантай тоосго ашигласан. Урт нь эхнийхийнхээ уртаас 0.8(3), зузаан нь эхнийхийнхээ зузаанаас 1.1 дахин их, өндөр нь 0.(5) өндөртэй бол эдгээр тоосгоны хэд нь хоёр дахь ханыг барихад ашиглах вэ? анхны хана?
2696. Өдөр бүр 5 цаг хичээллэдэг 25 хүн зарим ажлынхаа 0.(27)-г 15 хоногт хийж чаджээ. Эхний хүмүүстэй нийлж өдөрт 8 1/3 цаг ажиллаад үлдсэн ажлаа 20 хоногт дуусгахын тулд дахиад хэдэн хүн авах шаардлагатай вэ?
