Зарим G мужид тасралтгүй векторын талбар a) k ба битүү чиглэсэн контур L өгье. Тодорхойлолт 1. L битүү контурын дагуу а векторын эргэлтийг гэнэ. шугамын интеграл L контурын дагуу а вектороос 2-р төрөл Энд dr нь урт нь L нумын дифференциалтай тэнцүү, чиглэл нь L-д шүргэлтийн чиглэлтэй давхцаж байгаа вектор юм, op- Зураг. 31 контурын чиг баримжаагаар тодорхойлогддог (Зураг 31); f тэмдэг нь интегралыг ээлжлэн L контурын дагуу авна гэсэн үг. b Жишээ 1. эргэлтийг тооцоол. вектор талбарэллипсийн дагуу L: Эргэлтийн тодорхойлолтоор бид байна Параметрийн тэгшитгэлЭнэ эллипс нь дараах хэлбэртэй байна: , ба, тиймийн тул, . Эдгээр илэрхийллийг (2) томъёонд орлуулснаар бид векторын талбайн эргэлтийг олно. Векторын ротор Стокс теорем Вектор талбайн ротор (хуйлхай) Талбайн роторын инвариант тодорхойлолт Физик утгаталбайн ротор Роторыг тооцоолох дүрэм 8.1. Векторын талбайн ротор (хуйлрал) P, Q, R нь үргэлжилсэн бөгөөд бүх аргументтай нь харгалзах эхний эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай векторын талбарыг авч үзье. Тодорхойлолт 2. "(M) векторын ротор нь rot a тэмдгээр тэмдэглэгдсэн вектор бөгөөд тэгш байдал эсвэл санахад тохиромжтой бэлгэдлийн хэлбэрээр, Энэ тодорхойлогч нь эхний эгнээний элементүүдээр өргөжиж, харин Хоёр дахь эгнээний элементүүдийг гурав дахь эгнээний элементүүдээр үржүүлэх үйлдлүүдийг ялгах үйлдлүүд гэж ойлгодог, жишээлбэл, Тодорхойлолт 3. Хэрэв зарим G домэйнд rot a = 0 байвал домайн дахь в векторын талбар G-ийг эргэлтгүй гэж нэрлэдэг. Жишээ 2. 4-р векторын роторыг ол (3) томъёоны дагуу бид rot a нь вектор тул вектор талбарыг авч үзэж болно - векторын роторын талбар. А векторын координатууд нь хоёр дахь эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай гэж үзвэл rot a векторын дивергенцийг тооцоолно. Бид олж авдаг Тиймээс, векторын эргэлтийн талбар нь соленоид хэлбэртэй байна. Теорем 7 (Стокс). Баримтлагдсан L контурын дагуу а векторын эргэлт нь L контураар дамжсан ямар ч Е гадаргуугаар дамжин өнгөрөх энэ векторын роторын урсгалтай тэнцүү байна. a векторын координатууд нь зарим G мужид тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай байна гэж үздэг. E гадаргууг агуулсан орон зай ба хэвийн n°-ийн нэгж векторын EC G гадаргуу руу чиглэсэн чиглэл нь L контурын чиг баримжаатай зохицсон байх ба ингэснээр нормын төгсгөлөөс эхлэн контурын эргэн тойрон дахь хэлхээ нь өгөгдсөн хэсэгт байна. чиглэл цагийн зүүний эсрэг явж байгаа нь харагдаж байна. Үүнийг харгалзан роторын (3) тодорхойлолтыг ашиглан бид (4) томъёог дараах хэлбэрээр дахин бичнэ: Юуны өмнө гөлгөр гадаргуу E ба түүний L контурыг xOy-ийн D мужид онцгойлон тусгах тохиолдлыг авч үзье. хавтгай ба түүний хил - контур А тус тус (Зураг 32). L контурын чиг баримжаа нь А контурын тодорхой чиглэлийг бий болгодог. Тодорхой байхын тулд бид L контурыг E гадаргуу зүүн тийш чиглүүлж, Е гадаргуу руу чиглэсэн n хэвийн вектор n гэж үзэх болно. тэнхлэг Oz хурц өнцөг 7 (cos 7 >0). E гадаргуугийн тэгшитгэл ба φ(x)y) функц тасралтгүй байх ба gf ба ^ in тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтэй байг. хаалттай талбай D. Е гадаргуу дээр байрлах L шугамыг авч үзье. Иймд энэ гадаргуугийн тэгшитгэлийг ашиглан интеграл тэмдгийн доорх r-г ^(x, y) -ээр сольж болно. А муруйн хувьсах цэгийн координатууд нь L муруйн харгалзах цэгийн координатуудтай тэнцүү тул L дээрх интегралыг А-ын интегралаар сольж болно. Баруун талын интеграл дээр Грийн томъёог хэрэглэцгээе. Одоо бид D муж дээрх интегралаас Е гадаргуу дээрх интеграл руу шилжинэ. dS = cos 7 da тул (8) томъёоноос Е гадаргууд хүрэх n° хэвийн векторыг k илэрхийллээр тодорхойлно гэдгийг олж авна. Эндээс энэ нь тодорхой байна. Иймд (9) тэгш байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно: Е нь бүх гурван координатын хавтгайд өвөрмөц байдлаар тусдаг гөлгөр гадаргуу гэж үзвэл бид векторын талбайн эргэлтийн томъёоны үнэн зөв гэдэгт мөн адил итгэлтэй байна. Векторын ротор Стоксын теорем Векторын талбайн ротор (хуйлхай) Талбайн роторын хувьсах бус тодорхойлолт Талбайн роторын физик утга Роторыг тооцох дүрэм Тэнцвэрүүдийн гишүүнчлэлийг нэмснээр бид Стоксын томъёог ( 5), эсвэл товчхондоо Тайлбар 1. Векторын эргэлтийн талбар нь соленоид хэлбэртэй байдаг тул векторын эргэлтийн урсгал нь L контураар дамжсан E гадаргуугийн төрлөөс хамаардаггүй гэдгийг бид харуулсан. Тайлбар 2 £ гадаргуу нь бүх гурван координатын хавтгайд өвөрмөц байдлаар проекцлагдсан гэсэн таамаглалаар (4) томъёог гаргаж авсан. Хэрэв энэ нөхцөл хангагдаагүй бол бид £-ийг хэсэг болгон хуваадаг заасан нөхцөлханасан, дараа нь бид интегралуудын нэмэлтийг ашиглана. Жишээ 3. Тодорхойлолтыг ашиглан 1) шугамын дагуух векторын эргэлтийг тооцоол; 2) Стоксын теоремын дагуу. 4 1) L шулууныг параметрийн дагуу тодорхойлъё: Дараа нь 2) Ротыг ол: Хавтгайн хэсгийг L контур дээр сунгая. Талбайн роторын инвариант тодорхойлолт Стоксын теоремоос координатын системийн сонголттой холбоогүй талбайн роторын инвариант тодорхойлолтыг олж авч болно. Теорем 8. Роторын аль ч чиглэл рүү проекц нь координатын системийн сонголтоос хамаарахгүй бөгөөд тэнцүү байна. гадаргуугийн нягтПлатформын контурын дагуу а векторын эргэлт, энэ чиглэлд перпендикуляр, Энд (E) хавтгай тавцан, векторт перпендикулярл; 5 - энэ сайтын талбай; L - талбайн контур, контурын тойрог зам нь n векторын төгсгөлөөс цагийн зүүний эсрэг харагдахуйц байхаар чиглэсэн; (E) M гэдэг нь (E) талбай нь rot a векторыг авч үзэх M цэг хүртэл агшиж, энэ талбайн хэвийн вектор n нь үргэлж ижил хэвээр байна гэсэн үг юм (Зураг 33). 4 Эхлээд Стоксын теоремыг a векторын эргэлтэнд (a,dr), дараа нь үр дүнд нь хэрэглэе. давхар интеграл- дундаж утгын теорем: энд (скаляр үржвэрийг платформын (E) Mf дунд цэг дээр авна). (E) талбай нь М цэг рүү татагдах үед A/c дунд цэг нь мөн M цэг рүү чиглэдэг бөгөөд а векторын координатын хэсэгчилсэн деривативуудын таамагласан тасралтгүй байдлын улмаас (тиймээс rot a-ийн тасралтгүй байдал) бид олж авах rot a векторын дурын чиглэл рүү проекц нь координатын системийн сонголтоос хамаардаггүй тул энэ сонголтын хувьд рот вектор өөрөө өөрчлөгддөггүй. Эндээс бид хээрийн роторын инвариант тодорхойлолтыг олж авна: талбайн ротор нь өгөгдсөн цэг дэх хамгийн их гадаргуугийн эргэлтийн нягттай тэнцүү урттай вектор бөгөөд энэ талбарт перпендикуляр чиглэнэ. хамгийн өндөр нягтралэргэлтэнд хүрсэн; энэ тохиолдолд векторын эргэлтийн чиглэл нь баруун шурагны дүрмийн дагуу эргэлт эерэг байх контурын чиглэлтэй тохирч байна. 8.3. Хээрийн роторын физик утга Хатуу биеийг тойрон эргэлдэнэ тогтмол тэнхлэгБи өнцгийн хурдтай ба. Ерөнхий байдлыг алдалгүйгээр бид I тэнхлэг нь Оз тэнхлэгтэй давхцаж байна гэж үзэж болно (Зураг 34). Манай тохиолдолд өнцгийн хурдны вектор нь = wk-тэй тэнцүү байх судлагдсан биеийн цэг M(g) байг.М цэгийн шугаман хурдны в векторыг бодъё.Иймээс вектор орны эргэлт гарна. . Векторын ротор Стокс теорем Векторын талбайн ротор (хуйралт) Талбайн роторын хувьсах бус тодорхойлолт Талбайн роторын физик утга Роторыг тооцоолох дүрэм Тиймээс эргэлтийн хурдны талбайн эргүүлэг. хатууталбайн бүх цэгүүдэд ижил, эргэлтийн тэнхлэгтэй параллель бөгөөд эргэлтийн өнцгийн хурдаас хоёр дахин ихтэй тэнцүү байна. 8.4. Роторыг тооцоолох дүрэм 1. Ротор тогтмол вектор c нь тэг вектортой тэнцүү, 2. Ротор нь тогтмол тоонуудын шугаман шинж чанартай. 3. Бүтээгдэхүүний ротор скаляр функц u(M)-аас a(M) векторыг томъёогоор тооцоолно

Талбар нь дифференциалагдах талбар байг (өөрөөр хэлбэл координатын тэнхлэг дээрх талбайн векторын проекцууд нь дифференциалагдах функцууд юм).

Тодорхойлолт.Эргэлтийн вектор талбар (ялзралтаар тэмдэглэгдсэн ) нь дурын вектор дээрх проекц нь вектор юм
талбайн эргэлтийн харьцааны хязгаар гэж тодорхойлогддог зарим контурын дагуу ( Л), цэг агуулсан М, ба векторт перпендикуляр хавтгайд хэвтэж байна
, энэ контур нь нэг цэг хүртэл агшсан тохиолдолд энэ контураар хязгаарлагдсан бүсийн талбай руу М, мөн бүс нутгийн талбай ( С) тэг рүү чиглэдэг:

. (1.13)

Гурван хэмжээст орон зайд
Декартын тэгш өнцөгт вектор координатаар дамжуулан
дараах байдлаар илэрхийлэгдэнэ.

эсвэл санахад хялбар бэлгэдлийн хэлбэрээр

. (1.15)

Стоксын теорем.Вектор+-ийн координатыг бичье

тасралтгүй ба тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай. Дараа нь векторын талбайн эргэлт хаалттай гогцооны дагуу ( Л) нь дурын гадаргуугаар дамжих талбайн эргүүлгүүдийн урсгалтай тэнцүү ( С), энэ контур дээр сунгасан:

. (1.16)

Контурын чиглэлийг ( Л) ба гадаргуу ( С) нь тууштай байна: контурын эерэг урсгалаар хэвийн байдал нь "хөлөөс толгой руу" чиглэнэ.

Роторын шинж чанар: 1) ;

Тодорхойлолт. 2) . Вектор талбар энэ бүс нутагт irrotational гэж нэрлэдэг (В

), Хэрэв.Жишээ 1.
.

Соронзон орны хүч чадлын талбайн векторын роторыг ол
Шийдэл.Вектор

координат хэлбэрээр:

. (1.15) томъёог ашиглан роторыг тооцоолъё:
Хүчдэлийн талбар

- эргэлтийн талбар.Жишээ 2.
Векторын эргэлтийг тооцоолох
контурын дагуу

1) шууд, 2) Стоксын теоремоор. Р Лшийдвэр. 1) контур (
) – тойргийн радиус , онгоцонд хэвтэж байна z
=3 (5-р зургийг үз). Зурагт үзүүлсэн шиг түүн дээрх чиглэлийг сонгоцгооё. Параметр шугамын тэгшитгэл
, Тэгэхээр ,. Вектор эргэлтэнд зориулагдсан Сбидэнд байна:. 2) Стоксын теоремыг ашиглан эргэлтийг тооцоолохын тулд бид зарим гадаргууг сонгоно ( Л), контур дээр сунгасан ( С).Байгалийн хувьд ( Л) шугамтай тойрог авах ( ) түүний хил. Хэвийн контурын сонгосон чиглэлийн дагуу
тойрог руу тэнцүү авах шаардлагатай
. Роторыг тооцоолъё:
.

.

Стоксын теоремоор

1.
;2.
;3.
;4.
;

5.
.

Бие даан шийдвэрлэх асуудал

6.
; 7.
Хавтгай вектор талбайн вектор шугамыг ол:
;

8.
; 9.
,
;

10.
; 11. ; 12.
;

13.
, Вектор шугамыг олох:
- , Хаана

Хаана

14.
,
;15.
,
.

тогтмол векторууд.

16.
, (СӨгөгдсөн цэгээр дамжин өнгөрөх вектор шугамуудыг ол:
,
.

17.
, (СЭхний төрлийн гадаргуугийн интеграл ашиглан векторын талбайн урсгалыг тооцоол.
): хавтгайгаар хүрээлэгдсэн гурвалжны дээд тал
;

18.
,
): параболоидын гадна тал
, онгоцоор хязгаарлагддаг
;

19.
, (С: дугуй цилиндрийн хажуугийн гадаргуу
, онгоцоор хязгаарлагддаг

20.
, (С): параболоидын хэсгийн гадна тал
): хавтгайгаар хүрээлэгдсэн гурвалжны дээд тал
;

21. , (С, эхний октантад байрладаг;
): конусын нийт гадаргуу , онгоцонд хэвтэж байна= 0;

22.
, (С): параболоидоор хязгаарлагдсан битүү гадаргуу
,
,
,
;

23.
, (Сболон онгоц
.

): хавтгайгаар хүрээлэгдсэн пирамидын бүрэн гадаргуу

24.
, (С): бөмбөрцөг
Бүх гурван координатын хавтгайд проекц хийх аргыг ашиглан урсгалыг тооцоол.

25.
, (С): тойргийн дээд тал нь конус хэлбэртэй зүсэгдсэн

26. , (Сонгоцонд
): координатын хавтгайтай хавтгайг огтлолцох замаар олж авсан гурвалжны дээд тал;
): онгоцны хэсэг .

, тойрогоор хүрээлэгдсэн

27.
, (С, векторын чиглэлд

28.
, (СГаусс-Остроградскийн томъёог ашиглан талбайн урсгалыг тодорхойлно.
,
,
;

29.
, (Сболон онгоц
;

30.
, (С): дурын хэсэгчилсэн гөлгөр хаалттай гадаргуу;
): кубын гадаргуу
): параболоидын хэсэг , онгоцоор таслагдсан; В сөрөг тал;

31.
, (Стэнхлэгүүд
,
,
,

;

32. , (Стэнхлэгүүд
,
;

33. , (С):;

Хавтгай дээрх векторын шугаман интегралыг ол:

36.
эллипсийн дээд тал
цэгээс А(а,0) цэг хүртэл Б(-а,0);

37. a) шулуун сегмент О.Б.; б) параболын нум
; в) параболын нум
; г) тасархай шугам OAB А, Хаана (1.0); г) тасархай шугамХавтгай вектор талбайн вектор шугамыг ол: OCB(0,1);

39. C

(-1, 1) цэгээс (2, 2) цэг хүртэл.

41.
,
Шугамын интегралыг тооцоолох:

44. (1,1,1) цэгээс (4,4,4) цэг хүртэлх шулуун шугамын сегмент;

45. (0,0,0) цэгээс (1,1,1) цэг хүртэлх шулуун шугамын сегмент.
Хурцадмал байдлыг харгалзан үзвэл хүчний талбар. Масс хөдлөх үед талбайн ажлыг олм

,
мушгиа нэг эргэлтийн дагуу
цэгээс Б(цэг хүртэлт

46. =2);
Хүчний талбар нь координатын гарал үүслээс түүнийг хэрэглэх цэг хүртэлх зайтай тэнцүү хэмжээний хүчээр үүсч, координатын гарал үүсэл рүү чиглэнэ. Параболын нумын дагуу нэгж массыг хөдөлгөх талбайн гүйцэтгэсэн ажлыг ол
абсциссагаас
.

абсцисса цэг хүртэл

47. 47-51 бодлогод талбайн эргэлтийг ол.

48.
сөрөг чиглэлд; сөрөг талкоординатын тэнхлэгүүдийн сегментээс үүссэн битүү шугам ТэгээдӨө
,
болон бусад астроид

51. , эхний квадратад хэвтэх;
параболоидын огтлолцлын шугам

52. координатын хавтгайтай (эхний октантад);
Хатуу бие нь тогтмол өнцгийн хурдтайгаар эргэлддэг тэнхлэгийн эргэн тойрондОз . Радиусын тойргийн дагуу шугаман хурдны талбайн эргэлтийг тооцоолР

53. , хэрэв тойргийн хавтгай нь эргэлтийн тэнхлэгт перпендикуляр байвал түүний төв нь эргэлтийн тэнхлэг дээр байрладаг (эргэлтийн чиглэлд эргэлтийг тооцно).
Ажлын талбар олоорой гурван шулуун сегментээс бүрдэх хаалттай шугамын дагуу нэгж массын цэгийг хөдөлгөх үедкоординатын хавтгайнууд

, координатын тэнхлэгүүд дээр нэгдэлтэй тэнцүү сегментүүдийг таслах.

54.
Дараах талбаруудын зөрүүг ол.
. Ямар функцээр

55.
;56.
- болох уу?шугаман хурд
эргэдэг шингэний цэгүүд

57.
- өнцгийн хурд); соронзон орны хүч,,Ж

58.
; 59.
;

60. - байнгын;
Тооцоол

цэг дээр (1,-1,1).

64.
;

Заасан хаалттай гадаргуугаар векторын талбайн урсгалыг ол: 1) шууд, 2) векторын томъёололд Гаусс-Остроградскийн теоремыг ашиглан:

73. 74.

75. 73 ба 74-р асуудалд заасан вектор талбаруудын роторыг тооцоол. Хэрэв вектор координат байвал үүнийг харуул
.

76. 2-р эрэмбийн тасралтгүй хэсэгчилсэн деривативтай бол координатын тэнхлэгүүдийн сегментээс үүссэн битүү шугам Яах вэ гэдгийг харуул
.

77. тогтмол векторууд байна
.

78. тогтмол векторууд байна
.

79. Үүнийг харуул
Вектор талбар гэдгийг харуул

80. эргэлтгүй байна. Шугаман хурдны талбайн ротор гэдгийг харуул
.

81. Эргэдэг хатуу биеийн цэгүүд нь эргэлтийн тэнхлэгтэй параллель чиглэсэн тогтмол вектор бөгөөд түүний хэмжээ нь эргэлтийн өнцгийн хурдаас хоёр дахин их байна.
Функц нь ямар байх ёстой
?

Заасан контурын дагуу талбайн эргэлтийг олоорой: 1) шууд, 2) векторын томъёололд Стокс теоремыг ашиглан:

84.
хавтгайн огтлолцол үүссэн контурын дагуу
координатын хавтгайтай;

15.2. Вектор талбайн онцгой тохиолдлууд. Хоёр дахь дарааллын үйл ажиллагаа

15.2.1. Потенциал вектор талбар

Тодорхойлолт. 2) . ямар нэг скаляр функц байгаа бол боломжит талбар гэж нэрлэдэг
, градиент нь энэ талбарыг бүрдүүлдэг:

. (2.1)

Чиг үүрэг увектор талбайн потенциал гэж нэрлэдэг .

Теорем.Талбайг боломжит байлгахын тулд эргэлтгүй байх шаардлагатай бөгөөд хангалттай.

. (2.2)

Томъёо (2.2) нь вектор талбайн потенциалын шалгуур юм .

Боломжит талбайн шинж чанарууд.

1) талбайн боломжийн тасралтгүй байдлын бүсэд ушугаман интеграл нь интегралын замаас хамаарахгүй бөгөөд боломжит өсөлттэй тэнцүү байна

2) векторын эргэлт (1.9). Талбайн тасралтгүй байдлын мужид бүхэлдээ байрлах аливаа хаалттай контурын дагуу тэгтэй тэнцүү байна:

. (2.4)

3) боломж
(2.3) томъёоны дагуу олно:

, (2.5)

Хаана ( А.М.) – дурын муруй дэд цэгүүд АТэгээд М. Хэрэв зам ( А.М.) координатын тэнхлэгүүдтэй параллель хэрчмүүдээс бүрдсэн тасархай шугам хэлбэрээр авсан (ийм тасархай шугамын тоо нь зургаа), дараа нь потенциалыг олохын тулд потенциалыг илэрхийлэх томъёоны аль нэгийг ашиглаж болно.
тодорхой интегралаар дамжуулан
;
):

Жишээ.Вектор талбар нь боломжит эсэхийг шалгаад түүний потенциалыг ол.

Шийдэл.Зохиоцгооё энэ талбайнболомжийн шалгуур (2.2):

Талбай бол боломж юм. Боломжийг нь олцгооё
(2.6) томъёоны дагуу: хувьд эхлэх цэгоноо авахад тохиромжтой А(0,0,0):
.

Ротор (математик)

Ротор, эсвэл эргүүлэгнь вектор талбар дээрх вектор дифференциал оператор юм.

Томилогдсон

(орос хэл дээрх уран зохиолд) эсвэл

(Англи уран зохиолд),

мөн дифференциал операторыг вектор талбараар вектор үржүүлэх байдлаар:

Энэ операторын тодорхой вектор талбарт хийсэн үйлдлийн үр дүн Фдуудсан талбайн ротор Фэсвэл товчхондоо зүгээр л ротор Фшинэ вектор талбарыг илэрхийлнэ:

Ялзах талбай Ф(вектор ялзралтын урт ба чиглэл Форон зайн цэг бүрт) нь талбайн эргэлтийн бүрэлдэхүүн хэсгийг тодорхой хэмжээгээр тодорхойлдог Фцэг бүрт тус тус.

Зөн совингийн дүрс

Хэрэв v(x,y,z) нь хийн хурдны (эсвэл шингэний урсгалын) талбар юм ялзрах v- урсгалд байрлах маш жижиг, хөнгөн тоосны (эсвэл бөмбөлөгний) өнцгийн хурдны вектортой пропорциональ вектор (мөн хий эсвэл шингэний хөдөлгөөнөөр татагддаг; гэхдээ хэрэв хүсвэл бөмбөгний төвийг засах боломжтой. эргэн тойрондоо чөлөөтэй эргэлдэж чадах л бол).

Тодруулбал ялзрах v = 2 ω , Хаана ω - энэ өнцгийн хурд.

Энэ баримтын энгийн жишээг доороос үзнэ үү.

Энэ зүйрлэлийг нэлээд хатуу томъёолж болно (доороос үзнэ үү). Эргэлтийн үндсэн тодорхойлолтыг (дараагийн догол мөрөнд өгөгдсөн) ийм аргаар олж авсантай тэнцүү гэж үзэж болно.

Математикийн тодорхойлолт

Вектор талбарын буржгар нь чиглэл бүр дээрх проекц нь вектор юм nконтурын дагуух вектор орны эргэлтийн харилцааны хязгаар Л, энэ нь хавтгай талбайн ирмэг Δ С, энэ чиглэлд перпендикуляр, энэ талбайн хэмжээ, талбайн хэмжээ нь тэг болох хандлагатай байгаа бөгөөд талбай өөрөө нэг цэг хүртэл агших үед:

Контурыг гатлах чиглэлийг чиглэл рүү харахад контурыг сонгохоор сонгосон Лцагийн зүүний дагуу алхсан.

Гурван хэмжээст Декарт системроторын координатыг (дээр тодорхойлсон) дараах байдлаар тооцоолно (энд Ф- декартын бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй тодорхой вектор талбарыг илэрхийлдэг ба - декартын координатын нэгж векторууд):

Тохиромжтой болгох үүднээс бид роторыг nabla оператор (зүүн талд) болон вектор талбарын вектор бүтээгдэхүүн болгон албан ёсоор илэрхийлж болно.

(Сүүлийн тэгш байдал нь албан ёсоор илэрхийлэгддэг вектор бүтээгдэхүүнтодорхойлогч болгон).

Холбогдох тодорхойлолтууд

Ротор нь вектор талбар тэгтэй тэнцүүямар ч үед дуудагддаг эргэлтгүй мөн байна боломж. Эдгээр нөхцөл нь бие биедээ шаардлагатай бөгөөд хангалттай байдаг тул эдгээр хоёр нэр томъёо нь практик синоним юм. (Гэсэн хэдий ч энэ нь зөвхөн холбогдсон домэйн дээр тодорхойлсон талбаруудын хувьд үнэн юм).

Боломжийн харилцан нөхцөл байдал ба талбайн эргэлтийн шинж чанарын талаар бага зэрэг дэлгэрэнгүй мэдээллийг доороос үзнэ үү (Үндсэн шинж чанарууд).

Эсрэгээрээ буржгар нь тэгтэй тэнцүү биш талбарыг ихэвчлэн дууддаг эргүүлэг , ийм талбар нь боломжит байж болохгүй.

Ерөнхий ойлголт

Дурын хэмжээсийн орон зайд тодорхойлсон вектор (болон псевдовектор) талбарт хэрэглэсэн роторын хамгийн шууд ерөнхий дүгнэлт нь (зайны хэмжээ нь талбайн векторын хэмжээстэй давхцаж байгаа тохиолдолд) дараах байдалтай байна.

индексүүдтэй хүчний талбар. Масс хөдлөх үед талбайн ажлыг олТэгээд n 1-ээс орон зайн хэмжээс хүртэл.

Үүнийг мөн гадаад бүтээгдэхүүн гэж бичиж болно:

Энэ тохиолдолд ротор нь валентын хоёр дахь тэгш хэмийн эсрэг тензорын талбар юм.

Хэмжээ 3-ын хувьд энэ тензорын Леви-Сивита тэмдэг бүхий эргэлтийг өгдөг ердийн тодорхойлолтДээрх зүйлд өгөгдсөн гурван хэмжээст ротор.

Хоёр хэмжээст орон зайн хувьд хэрэв хүсвэл псевдоскаляр бүтээгдэхүүнтэй ижил төстэй томъёог ашиглаж болно (ийм ротор нь псевдоскаляр байх бөгөөд уламжлалт вектор бүтээгдэхүүний өгөгдсөн хоёр тэнхлэгийн ортогональ тэнхлэгт проекцтой давхцах болно. хэмжээст орон зай - хэрэв бид хоёр хэмжээст орон зайг зарим гурван хэмжээст орон зайд суулгаж, уламжлалт вектор бүтээгдэхүүн нь утга учиртай гэж үзвэл).

Талбайн онол

Мөн гэж нэрлэдэг вектор шинжилгээ. Зарим хүмүүсийн хувьд талбарын онол гэж нэрлэгддэг вектор анализ =) Эцэст нь бид энэ сонирхолтой сэдэв рүү орлоо дээд математикБи хэлийг энгийн гэж нэрлэж зүрхлэхгүй байсан ч дараагийн нийтлэлүүдэд би хоёр зорилгод хүрэхийг хичээх болно.

a) харилцан яриа юу болохыг хүн бүр ойлгохын тулд;

б) ингэснээр "дамми" нар наад зах нь энгийн зүйлийг - ядаж цагийн оюутнуудад санал болгож буй даалгаврын түвшинд шийдэж сурдаг.

Бүх материалыг алдартай хэв маягаар танилцуулах бөгөөд хэрэв танд илүү хатуу хэрэгтэй бол бүрэн мэдээлэл, дараа нь та жишээ нь Фихтенхольцын 3-р боть эсвэл Вики-г үзэж болно.

Тэгээд тэр даруй гарчгийг тайлъя. Онолын хувьд бүх зүйл тодорхой байна гэж би бодож байна - дотор шилдэг уламжлалуудсайтад бид түүний үндсийг задлан шинжилж, практик дээр анхаарлаа төвлөрүүлэх болно. За, "талбар" гэдэг үгийг та юутай холбодог вэ?

Зүлгэн талбай, хөлбөмбөгийн талбай... Илүү их үү? Үйл ажиллагааны талбар, туршилтын талбар. Сайн байцгаана уу хүмүүнлэгүүд! …-аас сургуулийн курс? Цахилгаан орон, соронзон, цахилгаан соронзон..., за. Бидний амьдарч буй дэлхийн таталцлын орон. Гайхалтай! Тэгэхээр талбайн талаар хэн ингэж хэлсэн бэ? хүчинтэйТэгээд нийлмэл тоо? ... зарим мангас энд цугларсан байна! =) Баярлалаа алгебраль хэдийн өнгөрчээ.

Дараагийн хичээлүүдэд бид тодорхой ойлголттой танилцах болно талбайнууд, тодорхой жишээнүүдамьдралаас, бас шийдэж сур сэдэвчилсэн асуудлуудвектор шинжилгээ. Талбайн онолыг таны зөв таамаглаж байгаагаар ой мод, гол мөрөн, нуур, тосгоны байшин байдаг талбарт хамгийн сайн судалдаг бөгөөд би хүн бүрийг зуны халуун дулаан бодит байдалд шумбахыг урьж байна. in сайхан дурсамжууд:

Өнөөдөр авч үзсэн утгаараа талбарууд нь скалярТэгээд вектор, мөн бид тэдний "барилгын материал" -аас эхлэх болно.

Нэгдүгээрт, скаляр. Ихэнхдээ энэ нэр томъёог буруугаар тодорхойлдог тоо. Үгүй ээ, бүх зүйл арай өөр байна: скалярутга тус бүрийг илэрхийлж болох хэмжигдэхүүн юм ганцхан тоо. Физикт урт, өргөн, талбай, эзэлхүүн, нягт, температур гэх мэт олон жишээ бий. скаляр хэмжигдэхүүнүүд. Дашрамд хэлэхэд масс нь бас жишээ юм.

Хоёрдугаарт, вектор. Алгебрийн тодорхойлолттухай хичээл дээр миний хөндсөн вектор шугаман хувиргалтмөн түүний хувийн хувилгаануудын нэг Мэдэхгүй байх нь ердөө боломжгүй юм=) Ердийн векторилэрхийлэгддэг хоёр ба түүнээс дээш тоо(таны координатаар). Нэг хэмжээст векторын хувьд ч гэсэн ганцхан тоо хангалттай биш– учир нь вектор бас чиглэлтэй байдаг. Мөн вектор бол хэрэглээний цэг үнэгүй биш. Векторууд нь физик хүчний талбай, хурд болон бусад олон хэмжигдэхүүнүүдийг тодорхойлдог.

За, одоо та хөнгөн цагаан өргөст хэмх хурааж эхэлж болно.

Скаляр талбар

Хэрэв тус бүрзарим нэг цэг орон зайн хэсгүүднийцтэй тодорхой тоо(илүү олон удаа жинхэнэ), тэгвэл энэ нутагт өгөгдсөн гэж хэлдэг скаляр талбар.

Жишээлбэл, дэлхийгээс гарч буй перпендикулярыг авч үзье цацраг. Ойлгомжтой байхын тулд хүрзээ наа =) Юу скаляр талбаруудБи энэ туяанаас асууж болох уу? Хамгийн түрүүнд санаанд орж ирдэг зүйл өндөр талбар– цацрагийн цэг бүрийг газрын түвшнээс дээш өндрөөр нь тогтоосон үед. Эсвэл жишээ нь талбар атмосферийн даралт - энд цацрагийн цэг бүр тохирч байна тоон утгатухайн цэг дэх атмосферийн даралт.

Одоо нуур руу ойртож, гадаргуу дээр нь онгоц зурцгаая. Хэрэв онгоцны "ус" хэсгийн цэг бүр нуурын гүнтэй холбоотой бол скаляр талбайг өгнө үү. Эдгээр ижил цэгүүдэд та бусад скаляр хэмжигдэхүүнүүдийг, жишээлбэл, усны гадаргуугийн температурыг авч үзэж болно.

Хамгийн чухал өмч скаляр талбар түүнийх хувирамтгай байдалкоординатын системтэй харьцуулахад. Хэрэв орчуулсан бол хүний хэл, дараа нь бид хүрз / нуурыг аль талаас нь харах нь хамаагүй - скаляр талбай (өндөр, гүн, температур гэх мэт)энэ өөрчлөгдөхгүй. Түүнээс гадна скаляр талбайг, жишээ нь, гүнийг өөр гадаргуу дээр, жишээлбэл, тохиромжтой гадаргуу дээр байрлуулж болно тархи, эсвэл шууд дээр усны гадаргуу. Яагаад болохгүй гэж? Нуурын дээгүүр байрлах дэлхийн бөмбөрцгийн цэг бүрт тоо өгөх боломжгүй гэж үү? Би зөвхөн ая тухтай байлгах үүднээс хавтгай байхыг санал болгосон.

Өөр нэг координат нэмье. Гартаа чулуу ав. Энэ чулууны цэг бүрийг түүнд зааж өгч болно физик нягтрал . Дахин хэлэхэд - бид үүнийг ямар координатын системд авч үзэх нь хамаагүй, бид үүнийг гартаа хэрхэн мушгихаас үл хамааран - скаляр нягтын талбар өөрчлөгдөхгүй хэвээр байх болно. Гэсэн хэдий ч зарим хүмүүс энэ баримттай маргаж магадгүй =) Энэ бол философийн чулуу юм.

Цэвэрхэнтэй математикийн цэгалсын хараа (биет болон бусад хувийн утгаас гадуур)скаляр талбарыг манай "ердийн" функцээр тодорхойлдог нэг , хоёр , гуравТэгээд илүү тоо хэмжээхувьсагч. Үүний зэрэгцээ, талбайн онолд эдгээр функцүүдийн уламжлалт шинж чанаруудыг өргөн ашигладаг, тухайлбал тодорхойлолтын домэйн, түвшний шугам ба гадаргуу.

ХАМТ гурван хэмжээст орон зайбүх зүйл төстэй:
– энд орон зайн зөвшөөрөгдөх цэг бүр нь тухайн цэгээс эхлэлтэй вектортой холбоотой байна. "Зөвшөөрөгдөх" нь функцийг тодорхойлох талбараар тодорхойлогддог бөгөөд хэрэв тэдгээр нь тус бүрийг "X", "E", "Z" болгонд тодорхойлсон бол вектор талбарыг бүхэлд нь орон зайд зааж өгнө.

! Тэмдэглэлүүд : векторын талбаруудыг мөн эсвэл үсгээр, тэдгээрийн бүрдэл хэсгүүдийг эсвэл тус тус тэмдэглэнэ.

Дээр дурдсанаас харахад хамгийн багадаа математикийн хувьд скаляр болон векторын орон зайг бүхэлд нь тодорхойлж болох нь тодорхой болсон. Гэсэн хэдий ч зохих ёсоор физик жишээнүүдгэх мэт ойлголтууд байсан тул би болгоомжтой байсан температур, хүндийн хүч(эсвэл бусад) эцэст нь хаа нэгтээогт байхгүй байж болно. Гэхдээ энэ бол аймшигтай байхаа больсон, гэхдээ Шинжлэх ухааны уран зөгнөлт=) Зөвхөн шинжлэх ухааны уран зөгнөлт биш. Учир нь салхи нь дүрмээр бол чулуун дотор үлээдэггүй.

Зарим вектор талбарууд гэдгийг тэмдэглэх нь зүйтэй (ижил хурдны талбарууд)цаг хугацааны явцад хурдан өөрчлөгдөж, улмаар олон физик загварууднэмэлт бие даасан хувьсагчийг авч үзье. Дашрамд хэлэхэд скаляр талбарт мөн адил хамаарна - температур нь үнэндээ цаг хугацааны хувьд "хөлдөөсөн" биш юм.

Гэсэн хэдий ч, математикийн хүрээнд бид өөрсдийгөө гурвалаар хязгаарлах бөгөөд ийм талбарууд "уулзах" үед бид тодорхой цаг хугацааны тогтсон мөч эсвэл тухайн талбар өөрчлөгдөөгүй цаг хугацааг илтгэнэ.

Вектор шугамууд

Хэрэв скаляр талбаруудыг дүрсэлсэн бол шугам ба тэгш гадаргуу, тэгвэл векторын талбайн "хэлбэрийг" тодорхойлж болно вектор шугамууд. Үүнийг олон хүн санаж байгаа байх сургуулийн туршлага: соронзыг цаасан доор байрлуулж, дээр нь байрлуулна (харцгаая!) төмрийн үртэс асгарна, энэ нь зүгээр л талбайн шугамын дагуу "эгнэсэн".

Би үүнийг илүү энгийнээр томъёолохыг хичээх болно: вектор шугамын цэг бүр нь эхлэл юм талбайн векторөгөгдсөн цэг дээр шүргэгч дээр байрладаг:

Мэдээжийн хэрэг, шугамын векторууд ерөнхий тохиолдолөөр өөр урттай тул дээрх зурагт зүүнээс баруун тийш шилжих үед урт нь нэмэгддэг - энд бид жишээлбэл соронз руу ойртож байна гэж таамаглаж болно. Аюулгүй байдлын албанд физик талбаруудвектор шугамуудыг ингэж нэрлэдэг - цахилгаан шугам. Өөр нэг энгийн жишээ бол дэлхийн таталцлын талбар юм: түүний цахилгаан шугамтөлөөлөх туяагаригийн төвд эхлэлтэй, векторууд хүндийн хүчтуяа өөрсдөө шууд байрладаг.

Хурдны талбайн вектор шугамууд гэж нэрлэгддэг одоогийн шугамууд. Дахин төсөөлөөд үз дээ шороон шуурга- тоосны тоосонцор агаарын молекулуудын хамт эдгээр шугамын дагуу хөдөлдөг. Голтой төстэй: шингэний молекулууд (зөвхөн биш) хөдөлдөг замууд - дотор шууд утгаараамөн урсгал шугамууд байдаг. Ерөнхийдөө талбайн онолын олон ойлголтууд нь гидродинамикаас гаралтай бөгөөд бид нэгээс олон удаа тулгарах болно.

Хэрэв "хавтгай" вектор талбарыг тэгээс өөр функцээр өгсөн бол түүний талбарын шугамыг дараахаас олж болно дифференциал тэгшитгэл. Шийдэл өгөгдсөн тэгшитгэлбагц гэр бүлхавтгай дээрх вектор шугамууд. Заримдаа даалгаварт хэд хэдэн ийм шугам зурах шаардлагатай байдаг бөгөөд энэ нь ихэвчлэн хүндрэл учруулдаггүй - бид "tse"-ийн хэд хэдэн тохиромжтой утгыг сонгосон, заримыг нь зурсан. гипербол, болон захиалга.

Орон зайн вектор талбайн нөхцөл байдал илүү сонирхолтой юм. Түүний талбайн шугамууд нь харилцаа холбоогоор тодорхойлогддог . Энд бид шийдэх хэрэгтэй Хоёр дифференциал тэгшитгэлийн систембас хоёр гэр бүлтэй болно орон зайн гадаргуу. Эдгээр гэр бүлийн огтлолцлын шугамууд нь орон зайн вектор шугамууд болно. Хэрэв бүх бүрэлдэхүүн хэсгүүд ("pe", "ku", "er") тэг биш бол техникийн хэд хэдэн шийдэл байдаг. Би эдгээр бүх аргыг авч үзэхгүй. (учир нь нийтлэл нь садар самуун хувь хэмжээгээр өсөх болно), гэхдээ би вектор талбарын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн аль нэг нь тэгтэй тэнцүү байх нийтлэг онцгой тохиолдол дээр анхаарлаа хандуулах болно. Бүх сонголтыг нэг дор жагсаацгаая:

хэрэв , дараа нь системийг шийдэх шаардлагатай;
хэрэв , дараа нь систем;
мөн хэрэв бол .

Зарим шалтгааны улмаас бид удаан хугацаанд дасгал хийгдээгүй байна:

Жишээ 1

Вектор талбайн талбайн шугамуудыг ол

Шийдэл: энэ асуудалд бид шийддэг систем:

Утга нь маш энгийн. Хэрэв функц нь нуурын гүний скаляр талбарыг зааж өгсөн бол харгалзах вектор функц нь олонлогийг тодорхойлно. эрх чөлөөгүйвекторууд, тус бүр нь чиглэлийг заадаг хурдан өсөлтнэг цэгийн доод хэсэг ба энэ өсөлтийн хурд.

Хэрэв функц нь орон зайн тодорхой бүсийн скаляр температурын талбарыг зааж өгсөн бол харгалзах вектор талбар нь чиглэл, хурдыг тодорхойлдог. хамгийн хурдан халаалтэнэ хэсгийн бүх цэгт орон зай.

Генералыг харцгаая математикийн асуудал:

Жишээ 3

Скаляр талбар ба цэг өгөгдсөн. Шаардлагатай:

1) скаляр талбайн градиент функцийг зохиох;

Аль нь тэнцүү байна боломжит зөрүү .

Өөрөөр хэлбэл, боломжит талбарт зөвхөн эхний ба төгсгөлийн цэгмаршрут. Хэрэв эдгээр цэгүүд давхцаж байвал хаалттай контурын дагуух хүчний нийт ажил тэгтэй тэнцүү байх болно.

Газраас өд түүж гарааны цэгт хүргэцгээе. Энэ тохиолдолд бидний хөдөлгөөний замнал дахин дур зоргоороо байна; та үзэгээ унагаж, дахин авч болно гэх мэт.

Эцсийн үр дүн яагаад тэг болсон бэ?

Өд "а" цэгээс "б" цэг хүртэл унасан уу? Унав. Таталцлын хүч энэ ажлыг гүйцэтгэсэн.

Үзэг нь "а" цэгийг буцааж оносон уу? Ойлголоо. Энэ нь яг адилхан ажил хийсэн гэсэн үг таталцлын эсрэг, мөн ямар "адал явдал", ямар хүчээр хамаагүй - салхи түүнийг эргүүлж байсан ч хамаагүй.

Анхаарна уу : Физикийн хувьд хасах тэмдэг нь эсрэг чиглэлийг илэрхийлдэг.

Тиймээс хүчний хийсэн нийт ажил тэг болно.

Би дээр дурьдсанчлан хөдөлмөрийн бие махбодийн болон энгийн ойлголт нь өөр өөр байдаг. Энэ ялгаа нь өд байтугай тоосго ч биш, жишээлбэл төгөлдөр хуурыг сайн ойлгоход тусална :)

Хамтдаа төгөлдөр хуураа өргөж, шатаар доошлуул. Гудамжинд чир. Хүссэн хэмжээгээрээ, хаана ч хамаагүй. Хэрэв хэн ч тэнэгийг дуудсан бол багажийг буцааж авчир. Та ажиллаж байсан уу? Мэдээж. Долоо дахь хөлс хүртэл. Гэхдээ физикийн үүднээс авч үзвэл ямар ч ажил хийгээгүй.

"Боломжийн зөрүү" гэсэн хэллэг нь боломжит электростатик талбайн талаар илүү их ярихыг хүсч байгаа боловч уншигчдыг цочирдуулах нь ямар нэгэн байдлаар хүмүүнлэг биш юм =) Түүнээс гадна тоо томшгүй олон жишээ бий, учир нь ямар ч градиент талбар нь боломжит, үүнээс хэдэн арван зоос байдаг.

Гэхдээ "арван хэдэн төгрөг" гэж хэлэхэд амархан: энд бидэнд вектор талбар өгөгдсөн - боломжтой эсэхийг яаж тодорхойлох вэ?

Вектор талбайн ротор

Эсвэл түүнийг эргүүлэгбүрэлдэхүүн хэсэг бөгөөд үүнийг мөн вектороор илэрхийлдэг.

Дахин өдийг гартаа авч, голын эрэг дагуу болгоомжтой хөвж явуулцгаая. Туршилтын цэвэр байдлын үүднээс бид үүнийг төвтэй харьцуулахад нэгэн төрлийн, тэгш хэмтэй гэж үзэх болно. Тэнхлэг дээшээ наалддаг.

Ингээд авч үзье вектор талбародоогийн хурд, мөн өдний төв байрладаг усны гадаргуу дээрх тодорхой цэг.

Хэрэв орвол энэ үедүзэг нь цагийн зүүний эсрэг эргэлддэг, дараа нь бид үүнийг гарч байгаа зүйлтэй тааруулна эрх чөлөөгүйдээш чиглэсэн вектор. Үүний зэрэгцээ үзэг хэдий чинээ хурдан эргэлдэнэ, төдий чинээ энэ вектор уртасна, ... яагаад ч юм надад нарны хурц туяанд маш хар юм шиг санагддаг... Хэрэв эргэлт цагийн зүүний дагуу явбал вектор доошоо "харна". Хэрэв үзэг огт эргэхгүй бол вектор нь тэг болно.

Уулзах - энэ бол роторын вектор вектор хурдны талбар, энэ нь шингэний "эргэлдэх" чиглэлийг тодорхойлдог энэ үедТэгээд өнцгийн хурдүзэг эргүүлэх (гэхдээ гүйдлийн чиглэл эсвэл хурд биш!).

Голын бүх цэгүүд эргэлдэх вектортой ("усан доорх" цэгүүдийг оруулаад) нь тодорхой байна. одоогийн хурдны вектор талбарБид шинэ вектор талбарыг тодорхойлсон!

Хэрэв вектор талбар нь функцээр өгөгдсөн бол түүний роторын талбар нь дараах байдлаар өгөгдөнө вектор функц:

Түүнээс гадна, хэрэв векторууд роторын талбайголууд нь том хэмжээтэй бөгөөд чиглэлээ өөрчлөх хандлагатай байдаг, энэ нь бид ороомог, тайван бус голын тухай ярьж байна гэсэн үг биш юм. (жишээ рүү буцах). Энэ нөхцөл байдлыг шулуун суваг дээр ажиглаж болно - жишээлбэл, дунд хэсэгт хурд өндөр, эрэг орчмоор бага байх үед. Энэ нь үзэгний эргэлтийг бий болгодог өөр өөр хурдтайгүйдэлВ хөршодоогийн шугамууд.

Нөгөө талаас, хэрэв роторын векторууд богино байвал энэ нь "ороомог" уулын гол байж болно! оруулах нь чухал юм зэргэлдээх одоогийн шугамуудгүйдлийн өөрөө хурд (хурдан эсвэл удаан)бага зэрэг ялгаатай байв.

Эцэст нь бид дээр тавьсан асуултанд хариулъя: ямар ч үед боломжит талбартүүний ротор нь тэг байна:

Өөрөөр хэлбэл, тэг вектор.

Боломжит талбар гэж бас нэрлэдэг эргэлтгүйталбар.

Мэдээжийн хэрэг "хамгийн тохиромжтой" урсгал байдаггүй, гэхдээ үүнийг ихэвчлэн ажиглаж болно хурдны талбарголууд боломжит ойрхон байдаг - тэд тайван хөвдөг янз бүрийн зүйл and don’t spin, ...чи бас энэ зургийг танилцуулсан уу? Гэсэн хэдий ч тэд маш хурдан, муруйгаар сэлж чаддаг, дараа нь удааширч, дараа нь хурдасдаг - гүйдлийн хурд нь гүйдлийн хурдтай байх нь чухал юм. зэргэлдээх одоогийн шугамууд хадгалагдаж байсан тогтмол.

Мэдээжийн хэрэг, бидний мөнх бус таталцлын талбар. Дараагийн туршилтын хувьд ямар ч нэлээд хүнд болон нэгэн төрлийн объектжишээлбэл, битүү ном, задлаагүй лааз шар айраг, дашрамд хэлэхэд, далавчаа хүлээсэн тоосго =) Түүний үзүүрийг гараараа чимхэж, дээш өргөж, сайтар суллана. чөлөөт уналт. Энэ нь эргэхгүй. Хэрэв тийм бол энэ нь таны "хувийн хүчин чармайлт" эсвэл таны авсан тоосго буруу байсан. Залхуурах хэрэггүй бөгөөд энэ баримтыг шалгаарай! Зүгээр л цонхоор юу ч бүү хая, энэ нь өд биш болсон

Үүний дараагаар цэвэр ухамсарТэгээд тонус нэмэгдсэнбуцаж очиж болох уу практик даалгавар:

Жишээ 5

Вектор талбар нь боломжит гэдгийг харуулж, түүний потенциалыг ол

Шийдэл: нөхцөл нь талбайн боломжийг шууд илэрхийлдэг бөгөөд бидний даалгавар бол энэ баримтыг нотлох явдал юм. Роторын функц эсвэл тэдний хэлснээр өгөгдсөн талбайн роторыг олцгооё.

Тохиромжтой болгохын тулд бид талбайн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг бичнэ.

тэгээд тэднийг хайж эхэлцгээе хэсэгчилсэн дериватив- тэдгээрийг зүүнээс баруун тийш "эргэдэг" дарааллаар "ангилах" нь тохиромжтой:
- Тэгээд шуудүүнийг шалгана уу (тэг бус үр дүн гарсан тохиолдолд нэмэлт ажил хийхээс зайлсхийх). Үргэлжлүүлье: