Энэ нийтлэлд бид нарийн төвөгтэй функц гэх мэт математикийн чухал ойлголтын талаар ярилцаж, деривативыг хэрхэн олох талаар сурах болно. нарийн төвөгтэй функц.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олж сурахаасаа өмнө нийлмэл функцийн тухай ойлголт, энэ нь юу болох, "юугаар иддэг", "хэрхэн зөв хоол хийх" зэргийг ойлгоцгооё.

Дурын функцийг авч үзье, жишээлбэл, энэ нь:

Функцийн тэгшитгэлийн баруун ба зүүн талын аргумент нь ижил тоо буюу илэрхийлэл гэдгийг анхаарна уу.

Хувьсагчийн оронд бид жишээ нь дараах илэрхийллийг тавьж болно: . Тэгээд бид функцийг авна

Илэрхийллийг завсрын аргумент, функцийг гадаад функц гэж нэрлэе. Энэ нь хатуу биш юм математикийн ойлголтууд, гэхдээ тэдгээр нь нарийн төвөгтэй функц гэсэн ойлголтын утгыг ойлгоход тусалдаг.

Нарийн төвөгтэй функцийн тухай ойлголтын хатуу тодорхойлолт нь иймэрхүү сонсогдож байна.

Функцийг олонлог дээр тодорхойлж, энэ функцийн утгуудын багц болго. Олонлог (эсвэл түүний дэд олонлог) нь функцийн тодорхойлолтын домэйн байг. Бүгдэд нь дугаар өгье. Тиймээс функц нь олонлог дээр тодорхойлогдоно. Үүнийг функциональ бүрэлдэхүүн эсвэл цогц функц гэж нэрлэдэг.

Энэ тодорхойлолтод хэрэв бид нэр томъёогоо ашиглавал гадаад функц нь завсрын аргумент болно.

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг дараах дүрмийн дагуу олно.

Илүү тодорхой болгохын тулд би энэ дүрмийг дараах байдлаар бичих дуртай.

Энэ илэрхийлэлд ашиглах нь завсрын функцийг илэрхийлнэ.

Тэгэхээр. Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олохын тулд танд хэрэгтэй

1. Аль функц гадаад болохыг тодорхойлж, деривативын хүснэгтээс харгалзах деривативыг ол.

2. Завсрын аргументыг тодорхойл.

Энэ процедурын хувьд хамгийн хэцүү зүйл бол гадаад функцийг олох явдал юм. Үүний тулд энгийн алгоритмыг ашигладаг:

А. Функцийн тэгшитгэлийг бичнэ үү.

б. Та x-ийн зарим утгын хувьд функцийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй гэж төсөөлөөд үз дээ. Үүнийг хийхийн тулд та х-ийн энэ утгыг функцийн тэгшитгэлд орлуулж, гаргана арифметик үйлдлүүд. Таны хийх сүүлчийн үйлдэл бол гадаад функц юм.

Жишээлбэл, функцэд

Сүүлийн үйлдэл бол экспоненциал юм.

Энэ функцийн деривативыг олъё. Үүнийг хийхийн тулд бид завсрын аргумент бичдэг

Та энд ирснээс хойш сурах бичигт энэ томъёог аль хэдийн харсан байх

мөн ийм царай гарга:

Найз минь, санаа зовох хэрэггүй! Үнэн хэрэгтээ бүх зүйл зүгээр л жигшүүртэй байдаг. Та бүх зүйлийг мэдээж ойлгох болно. Зөвхөн нэг хүсэлт - нийтлэлийг уншина уу цаг заваа авч байна, алхам бүрийг ойлгохыг хичээ. Би аль болох энгийн бөгөөд ойлгомжтой бичсэн боловч та санааг ойлгох хэрэгтэй. Мөн нийтлэл дэх даалгавруудыг шийдвэрлэхээ мартуузай.

Нарийн төвөгтэй функц гэж юу вэ?

Та өөр орон сууц руу нүүж, том хайрцагт юм хийж байна гэж төсөөлөөд үз дээ. Бид бага зэрэг цуглуулах хэрэгтэй гэж бодъё жижиг зүйлсжишээлбэл, сургуулийн бичих материал. Хэрэв та тэдгээрийг зүгээр л том хайрцагт хийвэл тэд бусад зүйлсийн дунд алга болно. Үүнээс зайлсхийхийн тулд та эхлээд уутанд хийж, дараа нь том хайрцагт хийж, дараа нь битүүмжилнэ. Энэхүү "цогцолбор" үйл явцыг доорх диаграммд үзүүлэв.

Математик үүнд ямар хамаатай юм шиг санагдаж байна? Тийм ээ, нарийн төвөгтэй функц нь яг ИТГЭЛ байдлаар үүсдэг ч гэсэн! Гагцхүү бид дэвтэр, үзэг биш \(x\) “баглаа” байхад “багц” болон “хайрцаг” нь өөр.

Жишээлбэл, x-г аваад үүнийг функц болгон "багцгая":

Үүний үр дүнд бид мэдээж \(\cos⁡x\) авна. Энэ бол бидний "цүнх" юм. Одоо үүнийг "хайрцаг" дотор хийцгээе - жишээлбэл, куб функц болгон багцлаарай.

Эцсийн эцэст юу болох вэ? Тийм ээ, "хайрцагт юмны уут", өөрөөр хэлбэл "X кубын косинус" байх болно.

Үүссэн загвар нь нарийн төвөгтэй функц юм. Энгийн нэгээс үүгээрээ ялгаатай Хэд хэдэн "нөлөөллийг" (багц) нэг X дээр дараалан хэрэглэнэЭнэ нь "функцоос функц" - "сав баглаа боодол доторх савлагаа" болж хувирав.

IN сургуулийн курсЭдгээр "багцуудын" маш цөөхөн төрөл байдаг бөгөөд ердөө дөрөв нь:

Одоо X-ийг эхлээд 7 суурьтай экспоненциал функц, дараа нь тригонометрийн функц болгон "багцгая". Бид авах:

\(x → 7^x → tg⁡(7^x)\)

Одоо x-г тригонометрийн функцууд руу хоёр удаа "багцгааж", эхлээд дотор нь, дараа нь:

\(x → sin⁡x → cotg⁡ (sin⁡x)\)

Энгийн, тийм үү?

Одоо функцүүдийг өөрөө бичээрэй, энд x:
- эхлээд косинус, дараа нь \(3\) суурьтай экспоненциал функцэд "багагддаг";
- эхлээд тав дахь зэрэглэлд, дараа нь шүргэгч рүү;
- эхлээд суурийн логарифм хүртэл \(4\) , дараа нь \(-2\) руу очно.

Энэ даалгаврын хариултыг өгүүллийн төгсгөлд олоорой.

Бид X-ийг хоёр биш, гурван удаа "баглаж" чадах уу? Тийм ээ, асуудалгүй! Мөн дөрөв, тав, хорин таван удаа. Жишээлбэл, x нь \(4\) удаа "савласан" функц байна:

\(y=5^(\log_2⁡(\sin⁡(x^4)))\)

Гэхдээ ийм томъёолол сургуулийн дадлагауулзахгүй (оюутнууд илүү азтай байдаг - тэдэнд бүх зүйл илүү хэцүү байж магадгүй юм☺).

Нарийн төвөгтэй функцийг " задлах "

Өмнөх функцийг дахин харна уу. Та "савлах" дарааллыг олж чадах уу? Эхлээд юунд X чихэв, дараа нь юу гэх мэтээр эцсээ хүртэл. Өөрөөр хэлбэл, аль функц аль дотор нь үүрлэсэн бэ? Нэг хуудас цаас аваад юу гэж бодож байгаагаа бич. Та үүнийг дээр дурдсан сумтай гинжээр эсвэл өөр аргаар хийж болно.

Одоо зөв хариулт нь: эхлээд x-ийг \(4\)-р зэрэглэлд "савлаж", дараа нь үр дүнг синус руу, дараа нь \(2\) суурийн логарифмд байрлуулсан. , эцэст нь энэ бүх бүтээн байгуулалтыг хүчирхэг тав руу түлхэв.

Өөрөөр хэлбэл та урвуу дарааллаар дарааллыг тайлах хэрэгтэй. Үүнийг хэрхэн хялбархан хийх талаар зөвлөгөө өгье: тэр даруй X-г хараарай - та үүнээс бүжиглэх хэрэгтэй. Хэд хэдэн жишээг харцгаая.

Жишээлбэл, дараах функц байна: \(y=tg⁡(\log_2⁡x)\). Бид X-г хардаг - эхлээд юу болох вэ? Түүнээс авсан. Тэгээд? Үр дүнгийн тангенсыг авна. Дараалал нь ижил байх болно:

\(x → \log_2⁡x → tg⁡(\log_2⁡x)\)

Өөр нэг жишээ: \(y=\cos⁡((x^3))\). Шинжилгээ хийцгээе - эхлээд бид X-ийг куб болгож, дараа нь үр дүнгийн косинусыг авав. Энэ нь дараалал нь: \(x → x^3 → \cos⁡((x^3))\). Анхаарна уу, функц нь эхнийхтэй төстэй юм шиг санагдаж байна (зурагтай газар). Гэхдээ энэ нь огт өөр функц юм: энд шоо дотор x (өөрөөр хэлбэл \(\cos⁡((x·x·x)))\), харин шоо дотор косинус \(x\) байна ( өөрөөр хэлбэл, \(\cos⁡ x·\cos⁡x·\cos⁡x\)). Энэ ялгаа нь янз бүрийн "савлах" дарааллаас үүсдэг.

Сүүлийн жишээ (хамт чухал мэдээлэлдотор нь): \(y=\sin⁡((2x+5))\). Энд бид эхлээд х-тэй арифметик үйлдлүүд хийж, дараа нь үр дүнгээс синусыг авсан нь тодорхой байна: \(x → 2x+5 → \sin⁡((2x+5))\). Мөн энэ чухал цэг: Хэдийгээр арифметик үйлдлүүд нь өөрөө функц биш боловч энд тэд мөн "баглаа боох" арга болж байна. Энэ нарийн чанарыг бага зэрэг гүнзгийрүүлье.

Дээр хэлсэнчлэн энгийн функцүүдэд x нэг удаа "багагддаг", нарийн төвөгтэй функцэд хоёр ба түүнээс дээш байдаг. Түүнээс гадна энгийн функцүүдийн аливаа хослол (өөрөөр хэлбэл тэдгээрийн нийлбэр, зөрүү, үржүүлэх, хуваах) нь мөн энгийн функц. Жишээлбэл, \(x^7\) нь энгийн функц бөгөөд \(ctg x\) мөн адил. Энэ нь тэдгээрийн бүх хослолууд нь энгийн функцууд гэсэн үг юм:

\(x^7+ ctg x\) - энгийн,
\(x^7· ор х\) – энгийн,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) – энгийн гэх мэт.

Гэсэн хэдий ч, хэрэв ийм хослолд өөр нэг функц ашиглавал энэ нь хоёр "багц" байх тул нарийн төвөгтэй функц болно. Диаграмыг үзнэ үү:

За, одоо яв. "Боох" функцүүдийн дарааллыг бичнэ үү:
\(y=cos(⁡(sin⁡x))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg⁡(11^x)\)
\(y=log_2⁡(1+x)\)
Хариултууд нь нийтлэлийн төгсгөлд дахин байна.

Дотоод болон гадаад функцууд

Бид яагаад үүрлэх функцийг ойлгох хэрэгтэй байна вэ? Энэ нь бидэнд юу өгөх вэ? Баримт нь ийм дүн шинжилгээ хийхгүйгээр бид дээр дурдсан функцүүдийн деривативуудыг найдвартай олох боломжгүй юм.

Мөн цааш явахын тулд бидэнд дотоод болон гадаад функц гэсэн хоёр ойлголт хэрэгтэй болно. Энэ их энгийн зүйл, үүнээс гадна, үнэндээ бид тэдгээрийг дээр аль хэдийн шинжилсэн: хэрэв бид эхнээсээ аналогийг эргэн санавал дотоод функц нь "багц", гадаад функц нь "хайрцаг" юм. Тэдгээр. Юуны өмнө X нь "боож" байгаа нь дотоод функц бөгөөд дотоод функц нь аль хэдийн гадаад байна. Яагаад гэдэг нь ойлгомжтой - тэр гадаа байгаа, энэ нь гаднах гэсэн үг юм.

Энэ жишээнд: \(y=tg⁡(log_2⁡x)\), \(\log_2⁡x\) функц нь дотоод бөгөөд
- гадаад.

Үүнд: \(y=\cos⁡((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) дотоод, мөн
- гадаад.

Нарийн төвөгтэй функцүүдэд дүн шинжилгээ хийх сүүлчийн дадлагаа дуусгаад эцэст нь бидний эхлүүлсэн зүйл рүү шилжье - бид нарийн төвөгтэй функцүүдийн деривативуудыг олох болно.

Хүснэгтийн хоосон зайг бөглөнө үү:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив

Сайн байцгаана уу, бид эцэст нь энэ сэдвийн "дарга" -д хүрлээ - үнэндээ нарийн төвөгтэй функцийн дериватив, ялангуяа өгүүллийн эхнээс тэр маш аймшигтай томьёо.☺

\((f(g(x))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)

Энэ томъёог дараах байдлаар уншина.

Нийлмэл функцийн уламжлал нь тогтмол дотоод функц болон дотоод функцийн деривативын гадаад функцийн деривативын үржвэртэй тэнцүү байна.

Юу хийхээ ойлгохын тулд үгийн дагуу задлан шинжлэх диаграмыг нэн даруй хараарай.

"Үүсмэл" болон "бүтээгдэхүүн" гэсэн нэр томъёо нь ямар ч хүндрэл учруулахгүй гэж найдаж байна. "Цогцолбор функц" - бид үүнийг аль хэдийн ангилсан. Барилт нь "тогтмол дотоод функцтэй холбоотой гадаад функцийн дериватив"-д байна. Энэ юу вэ?

Хариулт: Энэ бол зөвхөн гадаад функц өөрчлөгддөг, дотоод функц нь өөрчлөгддөг гадаад функцийн ердийн уламжлал юм. Одоо хүртэл тодорхойгүй байна уу? За, жишээ татъя.

\(y=\sin⁡(x^3)\) функцтэй болгоё. Энд дотоод функц нь \(x^3\), гадаад функц болох нь тодорхой байна
. Одоо байнгын дотоод засалтай холбоотой гадна талын деривативыг олцгооё.

Тодорхойлолт.\(y = f(x)\) функцийг доторх \(x_0\) цэгийг агуулсан тодорхой интервалаар тодорхойл. Аргументад энэ интервалаас гарахгүй байхаар \(\Delta x \) нэмэгдэл өгье. \(\Delta y \) (\(x_0 \) цэгээс \(x_0 + \Delta x \) цэг рүү шилжих үед) функцийн харгалзах өсөлтийг олж \(\frac(\Delta) хамаарлыг байгуулъя. y)(\Дельта x) \). Хэрэв энэ харьцаа \(\Дельта х \баруун сум 0\) дээр хязгаар байгаа бол заасан хязгаарыг дуудна. функцийн дериватив\(y=f(x) \) цэг дээр \(x_0 \) ба \(f"(x_0) \) гэж тэмдэглэнэ.

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Ү тэмдгийг ихэвчлэн деривативыг илэрхийлэхэд ашигладаг. y" = f(x) нь шинэ функц боловч дээрх хязгаар байгаа бүх x цэгүүдэд тодорхойлогдсон y = f(x) функцтэй угаасаа холбоотой болохыг анхаарна уу. Энэ функцийг ингэж нэрлэдэг: y = f(x) функцийн дериватив.

Деривативын геометрийн утгадараах байдалтай байна. Хэрэв y = f(x) функцийн графикт у тэнхлэгтэй параллель биш абсцисса x=a цэгт шүргэгч зурах боломжтой бол f(a) шүргэлтийн налууг илэрхийлнэ. :
\(k = f"(a)\)

\(k = tg(a) \) тул \(f"(a) = tan(a) \) тэгш байдал үнэн болно.

Одоо деривативын тодорхойлолтыг ойролцоо тэгш байдлын үүднээс тайлбарлая. \(y = f(x)\) функц нь деривативтай байг тодорхой цэг\(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Энэ нь x цэгийн ойролцоо \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \prox f"(x) \), өөрөөр хэлбэл \(\Delta y \prox f"(x) \cdot\ гэсэн ойролцоо тэнцүү байна гэсэн үг. Delta x\). Үүний үр дүнд үүссэн ойролцоо тэгш байдлын утга учир нь дараах байдалтай байна: функцийн өсөлт нь аргументийн өсөлттэй "бараг пропорциональ" бөгөөд пропорциональ байдлын коэффициент нь деривативын утга юм. өгсөн оноо X. Жишээлбэл, \(y = x^2\) функцийн хувьд ойролцоогоор \(\Delta y \approx 2x \cdot \Delta x \) хүчинтэй байна. Хэрэв бид деривативын тодорхойлолтыг сайтар судалж үзвэл түүнийг олох алгоритмыг агуулсан болохыг олж мэдэх болно.

Үүнийг томъёолъё.

y = f(x) функцийн деривативыг хэрхэн олох вэ?

1. \(x\) утгыг засаад \(f(x)\)-г ол.
2. \(x\) аргументад \(\Дельта x\) нэмэгдэл өг. шинэ цэг\(x+ \Delta x \), олох \(f(x+ \Delta x) \)
3. Функцийн өсөлтийг ол: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \) хамаарлыг үүсгэ.
5. $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$-г тооцоол.
Энэ хязгаар нь х цэг дээрх функцийн дериватив юм.

Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр деривативтай бол түүнийг х цэг дээр дифференциалагдах гэж нэрлэдэг. y = f(x) функцийн деривативыг олох процедурыг нэрлэнэ ялгах y = f(x) функцууд.

Дараах асуултын талаар ярилцъя: цэг дээрх функцийн тасралтгүй байдал ба дифференциал байдал хоорондоо хэрхэн холбоотой вэ?

y = f(x) функцийг x цэг дээр дифференциалагдах гэж үзье. Дараа нь M(x; f(x)) цэг дээрх функцын график руу шүргэгчийг зурж болох ба шүргэгчийн өнцгийн коэффициент нь f "(x) -тэй тэнцүү гэдгийг санаарай. Ийм график "эвдэж" чадахгүй. М цэг дээр, өөрөөр хэлбэл функц нь x цэг дээр тасралтгүй байх ёстой.

Эдгээр нь "гар" аргументууд байсан. Илүү хатуу үндэслэлийг хэлье. Хэрэв y = f(x) функц нь x цэг дээр дифференциалагдах боломжтой бол \(\Delta y \approx f"(x) \cdot \Delta x\) ойролцоо тэнцүү байна. Хэрэв энэ тэгшитгэлд \(\Delta x) \) тэг рүү чиглэдэг бол \(\Delta y \) нь тэг болох хандлагатай байх ба энэ нь тухайн цэг дэх функцийн тасралтгүй байх нөхцөл юм.

Тэгэхээр, Хэрэв функц нь x цэг дээр дифференциал болох юм бол энэ нь тухайн цэг дээр тасралтгүй байна.

Урвуу мэдэгдэл нь үнэн биш юм. Жишээ нь: функц y = |x| хаа сайгүй, тухайлбал x = 0 цэг дээр үргэлжилдэг боловч “холболтын цэг” (0; 0) дээрх функцийн графикт шүргэгч байхгүй. Хэрэв аль нэг цэгт шүргэгчийг функцийн графикт зурах боломжгүй бол тухайн үед дериватив байхгүй болно.

Өөр нэг жишээ. \(y=\sqrt(x)\) функц нь x = 0 цэгийг оруулаад бүх тооны шулуун дээр тасралтгүй байна. Мөн функцийн графикт шүргэгч нь x = 0 цэгийг оруулаад аль ч цэгт оршдог. Гэхдээ энэ үед шүргэгч нь у тэнхлэгтэй давхцдаг, өөрөөр хэлбэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр, түүний тэгшитгэл нь x = 0 хэлбэртэй байна. Налуугийн коэффициентийм мөр байхгүй, энэ нь \(f"(0) \) ч байхгүй гэсэн үг

Тиймээс бид функцийн шинэ шинж чанар болох дифференциалтай танилцсан. Функцийн графикаас ялгах боломжтой гэж яаж дүгнэх вэ?

Хариултыг үнэндээ дээр өгөв. Хэрэв аль нэг цэгт абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр биш функцийн графикт шүргэгч зурах боломжтой бол энэ үед функц дифференциал болно. Хэрэв аль нэг цэгт функцийн графикт шүргэгч байхгүй эсвэл абсцисса тэнхлэгт перпендикуляр байвал энэ үед функц ялгах боломжгүй болно.

Ялгах дүрэм

Деривативыг олох үйлдлийг гэнэ ялгах. Энэ үйлдлийг гүйцэтгэхдээ та ихэнхдээ координат, нийлбэр, функцын бүтээгдэхүүн, түүнчлэн "функцийн функцүүд", өөрөөр хэлбэл нарийн төвөгтэй функцүүдтэй ажиллах шаардлагатай болдог. Деривативын тодорхойлолт дээр үндэслэн бид энэ ажлыг хөнгөвчлөх ялгах дүрмийг гаргаж авч болно. Хэрэв C - тогтмол тооболон f=f(x), g=g(x) нь зарим дифференциалагдах функцууд байвал дараах нь үнэн болно ялгах дүрэм:

Зарим функцийн деривативын хүснэгт

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативын томъёоны баталгааг өгөв. Нарийн төвөгтэй функц нь нэг эсвэл хоёр хувьсагчаас хамаарах тохиолдлуудыг нарийвчлан авч үздэг. Хэрэгт ерөнхий дүгнэлт хийсэн ямар ч тоохувьсагч.

Энд бид дүгнэлтийг танилцуулж байна дараах томъёонууднийлмэл функцийн деривативын хувьд.
Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.
Хэрэв бол
.

Нэг хувьсагчаас нийлмэл функцийн дериватив

x хувьсагчийн функцийг нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр илэрхийлье.
,
зарим функц байгаа газар. Энэ функц нь x хувьсагчийн зарим утгын хувьд дифференциал болно.
Функц нь хувьсагчийн утгаар дифференциалагдана.
(1) .

Дараа нь нийлмэл (нийлмэл) функц нь x цэг дээр ялгагдах бөгөөд түүний уламжлалыг томъёогоор тодорхойлно.
;
.

Формула (1)-ийг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

Баталгаа
;
.
Дараах тэмдэглэгээг танилцуулъя.

Энд хувьсагчдын функц ба , хувьсагчийн функц ба .
;
.

Гэхдээ бид тооцоололд саад учруулахгүйн тулд эдгээр функцүүдийн аргументуудыг орхих болно.
.
Функцууд нь x ба цэгүүдэд тус тус ялгагддаг тул эдгээр цэгүүдэд эдгээр функцүүдийн деривативууд байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.
.
Дараах функцийг авч үзье.
.

u хувьсагчийн тогтмол утгын хувьд функц нь .
.
Дараах функцийг авч үзье.
.

Энэ нь ойлгомжтой

.

Дараа нь

Функц нь цэг дээр дифференциалагдах функц тул тухайн цэг дээр тасралтгүй байна. Тийм ч учраас

Одоо бид деривативыг олно.
,
Томъёо нь батлагдсан.
.
Энд , мөн зарим ялгах функцууд байдаг.

Энэ томьёог батлахын тулд нийлмэл функцийг ялгах дүрмийг ашиглан деривативыг дараалан тооцдог.
Нарийн төвөгтэй функцийг авч үзье
.
Түүний дериватив
.
Анхны функцийг авч үзье
.
Түүний дериватив
.

Хоёр хувьсагчаас авсан нийлмэл функцийн дериватив

Одоо нийлмэл функц хэд хэдэн хувьсагчаас хамааралтай байцгаая. Эхлээд харцгаая хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцийн тохиолдол.

x хувьсагчаас хамаарах функцийг дараах хэлбэрээр хоёр хувьсагчийн нийлмэл функцээр илэрхийлье.
,
Хаана
мөн x хувьсагчийн зарим утгын хувьд ялгах функцууд байдаг;
- цэг дээр дифференциалагдах хоёр хувьсагчийн функц , .
(2) .

Формула (1)-ийг мөн дараах байдлаар бичиж болно.

Дараа нь нийлмэл функц нь тухайн цэгийн тодорхой хэсэгт тодорхойлогддог ба деривативтай бөгөөд үүнийг томъёогоор тодорхойлно.
;
.
Функцууд нь цэг дээр ялгагдах боломжтой байдаг тул тэдгээр нь энэ цэгийн тодорхой хөршид тодорхойлогддог, цэг дээр тасралтгүй байх ба тэдгээрийн деривативууд нь цэг дээр байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.
;
.
Энд
;
.

Нэг цэгт эдгээр функцүүдийн тасралтгүй байдлын улмаас бид дараах байдалтай байна:
(3) .
Функцууд нь цэг дээр ялгагдах боломжтой байдаг тул тэдгээр нь энэ цэгийн тодорхой хөршид тодорхойлогддог, цэг дээр тасралтгүй байх ба тэдгээрийн деривативууд нь цэг дээр байдаг бөгөөд эдгээр нь дараах хязгаарууд юм.

Функц нь тухайн цэг дээр дифференциал болох тул энэ цэгийн тодорхой орчимд тодорхойлогддог, энэ цэг дээр тасралтгүй байх ба түүний өсөлтийг дараах хэлбэрээр бичиж болно.
;

- функцийн аргументууд нь утгууд болон -ээр нэмэгдэх үед түүний өсөлт;
- хувьсагчдад хамаарах функцийн хэсэгчилсэн дериватив ба .
;
.
Тогтмол утгуудын хувьд, ба нь хувьсагчийн функцууд болон.
;
.

Тэд тэглэх хандлагатай байдаг ба:

. :
.
Түүнээс хойш, дараа нь



.

Дараа нь

Функцийн өсөлт:

Орлуулах (3):

Хэд хэдэн хувьсагчаас авсан цогц функцийн дериватив Дээрх дүгнэлтийг нийлмэл функцийн хувьсагчийн тоо хоёроос дээш байх тохиолдолд хялбархан ерөнхийлж болно.Жишээлбэл, хэрэв f бол
,
Хаана
гурван хувьсагчийн функц
, Тэр
, мөн x хувьсагчийн зарим утгын ялгах функцүүд байдаг;
(4)
.
- , , цэг дээрх гурван хувьсагчийн дифференциал функц.
; ; ,
Дараа нь функцийн дифференциал байдлын тодорхойлолтоос бид дараахь зүйлийг олж авна.
;
;
.

Учир нь тасралтгүй байдлын улмаас
.

Тэр (4)-ийг хувааж, хязгаарт хүрэхэд бид дараахь зүйлийг олж авна. Тэгээд эцэст нь авч үзье .
ихэнх нь
,
Хаана
ерөнхий тохиолдол
x хувьсагчийн функцийг n хувьсагчийн нийлмэл функцээр дараах хэлбэрээр илэрхийлье.
, , ... , .
Дараах функцийг авч үзье.
.

х хувьсагчийн зарим утгын хувьд ялгах функцууд байдаг;

- цэг дээрх n хувьсагчийн ялгах функц Элсэлтийн түвшин (2019)

Уул толгодоор дамжин өнгөрөх шулуун замыг төсөөлье. Энэ нь дээш доош явдаг боловч баруун, зүүн тийш эргэхгүй. Хэрэв тэнхлэгийг замын дагуу хэвтээ ба босоо чиглэлд чиглүүлсэн бол замын шугам нь зарим тасралтгүй функцын графиктай маш төстэй байх болно.

Тэнхлэг бол амьдралынхаа туршид бид далайн түвшинг ашигладаг тэг өндөр юм.

Ийм замаар урагшлахдаа бид бас дээшээ доошоо хөдөлдөг. Бид бас хэлж болно: аргумент өөрчлөгдөхөд (абсцисса тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн), функцийн утга өөрчлөгдөнө (ординатын тэнхлэгийн дагуух хөдөлгөөн). Одоо замынхаа "эгц" байдлыг хэрхэн тодорхойлох талаар бодъё? Энэ ямар үнэ цэнэ байж болох вэ? Энэ нь маш энгийн: тодорхой зайд урагшлахад өндөр нь хэр их өөрчлөгдөх болно. Үнэн хэрэгтээ, замын янз бүрийн хэсэгт нэг километр урагшлах (x тэнхлэгийн дагуу) бид дээшлэх эсвэл унах болно. өөр өөр тоо хэмжээметр далайн түвшинтэй харьцуулахад (ординат тэнхлэгийн дагуу).

Ахиц дэвшлийг тэмдэглэе ("дельта x" -ийг уншина уу).

Грек үсгийг (дельта) математикт "өөрчлөх" гэсэн утгатай угтвар болгон ашигладаг. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь тоо хэмжээний өөрчлөлт, - өөрчлөлт; тэгээд юу вэ? Энэ нь зөв, цар хүрээний өөрчлөлт.

Чухал: илэрхийлэл нь нэг бүхэл, нэг хувьсагч юм. "Дельта"-г "x" эсвэл бусад үсгээс хэзээ ч бүү салга!

Энэ нь жишээлбэл, .

Ингээд бид урагшаа, хэвтээгээр, замаар урагшиллаа. Хэрэв бид замын шугамыг функцийн графиктай харьцуулж үзвэл өсөлтийг хэрхэн тэмдэглэх вэ? Мэдээж, . Энэ нь бид урагшлах тусам улам дээшилдэг. Утгыг тооцоолоход хялбар байдаг: хэрэв бид эхэндээ өндөрт байсан бол хөдөлсний дараа бид өөрсдийгөө өндөрт олсон бол. Хэрэвтөгсгөлийн цэг

эхнийхээс доогуур болсон, энэ нь сөрөг байх болно - энэ нь бид дээшээ биш харин доошилж байна гэсэн үг юм.

"эгц" рүү буцъя: энэ нь нэг нэгж зайд урагшлахад өндөр нь хэр их (эгц) нэмэгдэж байгааг харуулсан утга юм.

Замын зарим хэсэгт нэг километр урагшлах үед зам нэг километрээр дээшилдэг гэж бодъё. Дараа нь энэ газарт налуу тэнцүү байна. Хэрвээ зам нь м-ээр урагшилж байхдаа км-ээр буурсан уу? Дараа нь налуу нь тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, бидний логикоор бол налуу нь бараг тэгтэй тэнцүү байгаа нь үнэн биш юм. Ердөө километрийн зайд их зүйл өөрчлөгдөж болно. Эгцийг илүү оновчтой, үнэн зөв үнэлэхийн тулд жижиг талбайнуудыг авч үзэх шаардлагатай. Жишээлбэл, хэрэв та нэг метрийг хөдөлгөхөд өндрийн өөрчлөлтийг хэмжих юм бол үр дүн нь илүү нарийвчлалтай байх болно. Гэхдээ энэ нарийвчлал нь бидэнд хангалтгүй байж магадгүй юм - эцэст нь замын голд шон байгаа бол бид зүгээр л өнгөрч болно. Тэгвэл бид ямар зайг сонгох ёстой вэ? Сантиметр? Миллиметр? Бага нь илүү!

IN бодит амьдралХамгийн ойрын миллиметр хүртэлх зайг хэмжих нь хангалттай юм. Гэхдээ математикчид үргэлж төгс төгөлдөрт тэмүүлдэг. Тиймээс энэ үзэл баримтлалыг зохион бүтээсэн хязгааргүй жижиг, өөрөөр хэлбэл үнэмлэхүй утга нь бидний нэрлэж чадах тооноос бага байна. Жишээлбэл, та: нэг их наяд дахь! Хэр бага вэ? Мөн та энэ тоог хуваавал бүр бага байх болно. гэх мэт. Хэрэв бид хэмжигдэхүүнийг хязгааргүй жижиг гэж бичихийг хүсвэл дараах байдлаар бичнэ: (бид "x нь тэг рүү чиглэдэг" гэж уншдаг). Үүнийг ойлгох нь маш чухал юм Энэ тоо тэг биш байна!Гэхдээ маш ойрхон. Энэ нь та үүнийг хувааж болно гэсэн үг юм.

Хязгааргүй жижигийн эсрэг ойлголт нь хязгааргүй том (). Та тэгш бус байдлын талаар ажиллаж байхдаа үүнийг аль хэдийн олж мэдсэн байх: энэ тоо нь таны бодож байгаа бүх тооноос модулиар их байна. Хэрэв та хамгийн том нь гарч ирсэн бол боломжит тоо, зүгээр л хоёроор үржүүлбэл илүү ихийг авна. Мөн хязгааргүй хэвээр байна үүнээс гаднаюу болох бол. Үнэн хэрэгтээ, хязгааргүй том, хязгааргүй жижиг нь бие биенийхээ урвуу, өөрөөр хэлбэл at, мөн эсрэгээр: at.

Одоо буцаад замдаа орцгооё. Тохиромжтой тооцоолсон налуу нь замын хязгааргүй жижиг сегментийн хувьд тооцоолсон налуу юм, өөрөөр хэлбэл:

Хязгааргүй бага шилжилтийн үед өндрийн өөрчлөлт нь мөн хязгааргүй бага байх болно гэдгийг би тэмдэглэж байна. Гэхдээ хязгааргүй жижиг гэсэн үг биш гэдгийг сануулъя тэгтэй тэнцүү. Хязгааргүй цөөн тоог бие биендээ хуваавал нилээдгүй тоо гарч ирнэ ердийн тоо, Жишээлбэл, . Өөрөөр хэлбэл, нэг жижиг утга нөгөөгөөсөө яг дахин их байж болно.

Энэ бүхэн юуны төлөө вэ? Зам, эгц ... Бид автомашины раллид явахгүй, гэхдээ бид математикийн хичээл зааж байна. Мөн математикт бүх зүйл яг адилхан, зөвхөн өөрөөр нэрлэдэг.

Деривативын тухай ойлголт

Функцийн дериватив нь функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа юм.

Аажмаарматематикт тэд өөрчлөлт гэж нэрлэдэг. Аргумент () тэнхлэгийн дагуу шилжихэд хэр зэрэг өөрчлөгдөхийг нэрлэдэг аргументийн өсөлтмөн тэнхлэгийн дагуу урагшлах үед функц (өндөр) хэр их өөрчлөгдсөнийг нэрлэнэ функцийн өсөлтболон томилогдсон.

Тэгэхээр, функцийн дериватив нь хэзээ ба харьцаа юм. Бид деривативыг функцтэй ижил үсгээр тэмдэглэж, зөвхөн баруун дээд талд байгаа анхны тоогоор тэмдэглэнэ: эсвэл энгийн. Тиймээс эдгээр тэмдэглэгээг ашиглан дериватив томъёог бичье.

Замтай зүйрлэвэл энд функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна.

Дериватив нь тэгтэй тэнцүү байж чадах уу? Мэдээж. Жишээлбэл, бид тэгш, хэвтээ замаар явж байгаа бол эгц нь тэг байна. Өндөр нь огт өөрчлөгддөггүй нь үнэн. Деривативтай адил: дериватив тогтмол функц(тогтмол) нь тэгтэй тэнцүү:

учир нь ийм функцийн өсөлт нь аль ч үед тэгтэй тэнцүү байна.

Уулын жишээг санацгаая. Сегментийн төгсгөлийг дагуулан зохион байгуулах боломжтой болсон өөр өөр талууддээрээс нь, ингэснээр төгсгөлийн өндөр нь ижил, өөрөөр хэлбэл сегмент нь тэнхлэгтэй параллель байна:

Гэхдээ том сегментүүд нь буруу хэмжилтийн шинж тэмдэг юм. Бид сегментээ өөртэйгээ зэрэгцүүлэн дээшлүүлж, урт нь багасна.

Эцсийн эцэст бид дээд талдаа хязгааргүй ойртох үед сегментийн урт нь хязгааргүй жижиг болно. Гэхдээ үүнтэй зэрэгцэн энэ нь тэнхлэгтэй параллель хэвээр байсан, өөрөөр хэлбэл түүний төгсгөлийн өндрийн зөрүү нь тэгтэй тэнцүү байна (энэ нь хандлагагүй, гэхдээ тэнцүү байна). Тиймээс дериватив

Үүнийг ингэж ойлгож болно: бид хамгийн дээд талд зогсоход зүүн эсвэл баруун тийш бага зэрэг шилжих нь бидний өндрийг үл тоомсорлодог.

Мөн цэвэр алгебрийн тайлбар байдаг: оройн зүүн талд функц нэмэгдэж, баруун талд нь буурдаг. Өмнө нь мэдэж байсанчлан функц нэмэгдэхэд дериватив эерэг, буурах үед сөрөг байна. Гэхдээ энэ нь үсрэлтгүйгээр жигд өөрчлөгддөг (зам нь хаана ч налуугаа огцом өөрчилдөггүй). Тиймээс сөрөг ба хооронд эерэг утгуудзаавал байх ёстой. Энэ нь функц нэмэгдэхгүй, буурахгүй байх болно - оройн цэг дээр.

Тэвшийн хувьд ч мөн адил (зүүн талын функц буурч, баруун талд нэмэгдэх хэсэг):

Нэмэгдлийн талаар бага зэрэг илүү.

Тиймээс бид аргументыг хэмжээ болгон өөрчилдөг. Бид ямар үнэ цэнээс өөрчлөгддөг вэ? Энэ (маргаан) одоо юу болсон бэ? Бид ямар ч цэгийг сонгож болно, одоо бид үүнээс бүжиглэх болно.

Координаттай цэгийг авч үзье. Түүнд байгаа функцын утга тэнцүү байна. Дараа нь бид ижил өсөлтийг хийдэг: бид координатыг нэмэгдүүлнэ. Одоо ямар маргаан байна вэ? Маш амархан:. Функцийн үнэ одоо хэд вэ? Аргумент хаана явна, функц нь мөн адил байна: . Функцийн өсөлтийн талаар юу хэлэх вэ? Шинэ зүйл алга: энэ нь функц өөрчлөгдсөн хэмжээ хэвээр байна:

Өсөлтийг олох дасгал хийх:

1. Аргументийн өсөлт нь тэнцүү байх цэг дэх функцийн өсөлтийг ол.
2. Тухайн цэг дээрх функцэд мөн адил хамаарна.

Шийдэл:

IN өөр өөр цэгүүдижил аргументийн өсөлттэй бол функцийн өсөлт өөр байх болно. Энэ нь цэг бүрийн дериватив нь өөр байна гэсэн үг (бид энэ талаар хамгийн эхэнд ярилцсан - замын эгц байдал өөр өөр цэгүүдэд өөр өөр байдаг). Тиймээс бид дериватив бичихдээ ямар цэгийг зааж өгөх ёстой:

Эрчим хүчний функц.

Хүчин чадлын функц нь аргумент нь тодорхой хэмжээгээр (логик, тийм үү?) байдаг функц юм.

Түүнээс гадна - ямар ч хэмжээгээр: .

Хамгийн энгийн тохиолдол- энэ үед илтгэгч:

Нэг цэгээс түүний деривативыг олъё. Деривативын тодорхойлолтыг эргэн санацгаая:

Тиймээс аргумент нь -ээс өөрчлөгдөнө. Функцийн өсөлт хэд вэ?

Өсөлт нь энэ. Гэхдээ аль ч цэг дэх функц нь түүний аргументтай тэнцүү байна. Тийм учраас:

Дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

-ийн дериватив нь дараахтай тэнцүү байна.

б) Одоо бод квадрат функц (): .

Одоо үүнийг санацгаая. Энэ нь өсөлтийн утгыг үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм, учир нь энэ нь хязгааргүй бага тул нөгөө нэр томъёоны дэвсгэр дээр ач холбогдолгүй болно.

Тиймээс бид өөр нэг дүрмийг гаргаж ирэв:

в) Бид логик цувралыг үргэлжлүүлнэ: .

Энэ илэрхийллийг янз бүрийн аргаар хялбарчилж болно: нийлбэрийн кубыг товчилсон үржүүлэх томъёог ашиглан эхний хаалтыг нээх, эсвэл шоо дөрвөлжингийн зөрүүг ашиглан илэрхийллийг бүхэлд нь хүчин зүйл болгон хуваах. Санал болгож буй аргуудын аль нэгийг ашиглан өөрөө хийхийг хичээ.

Тиймээс би дараахь зүйлийг авсан.

Үүнийг дахин санацгаая. Энэ нь бид дараахь зүйлийг агуулсан бүх нэр томъёог үл тоомсорлож болно гэсэн үг юм.

Бид авна: .

г) Том гүрний хувьд ижил төстэй дүрмийг авч болно:

e) Энэ дүрмийг бүхэл тоо ч биш дурын илтгэгчтэй зэрэглэлийн функцийн хувьд ерөнхийлж болох нь харагдаж байна.

Дүрмийг "зэрэглэлийг коэффициент болгон урагшлуулж, дараа нь -ээр бууруулна" гэсэн үгээр томъёолж болно.

Бид энэ дүрмийг дараа нь батлах болно (бараг эцэст нь). Одоо хэд хэдэн жишээг харцгаая. Функцийн деривативыг ол:

1. (хоёр аргаар: томъёогоор ба деривативын тодорхойлолтыг ашиглан - функцийн өсөлтийг тооцоолох замаар);

1. . Итгэнэ үү үгүй ​​юу, энэ бол хүч чадлын функц юм. Хэрэв танд "Энэ яаж байна вэ? Эрдмийн зэрэг хаана байна?", "" сэдвийг санаарай!
   Тиймээ, язгуур нь бас зэрэг, зөвхөн бутархай: .
   Тэгэхээр манайх квадрат язгуур- энэ бол зүгээр л үзүүлэлттэй зэрэг юм:
   .
   Бид саяхан сурсан томъёог ашиглан деривативыг хайж байна:

   Хэрэв энэ үед дахин ойлгомжгүй болвол “” сэдвийг давтана уу!!! (нь зэрэгтэй байна сөрөг үзүүлэлт)

2. . Одоо экспонент:

   Тэгээд одоо тодорхойлолтоор дамжуулан (та мартаагүй байна уу?):
   ;
   .
   Одоо ердийнхөөрөө бид дараахь зүйлийг агуулсан нэр томъёог үл тоомсорлодог.
   .

3. . Өмнөх тохиолдлуудын хослол: .

Тригонометрийн функцууд.

Энд бид дээд математикийн нэг баримтыг ашиглах болно:

Илэрхийлэлээр.

Та институтын эхний жилдээ нотлох баримтыг сурах болно (мөн тэнд очихын тулд та Улсын нэгдсэн шалгалтыг сайн өгөх хэрэгтэй). Одоо би үүнийг графикаар харуулах болно:

Функц байхгүй үед график дээрх цэг таслагдахыг бид харж байна. Гэхдээ утгад ойртох тусам функц нь "зорилготой" зүйл юм.

Нэмж дурдахад та тооцоолуур ашиглан энэ дүрмийг шалгаж болно. Тийм ээ, тийм ээ, бүү ич, тооны машин ав, бид улсын нэгдсэн шалгалтанд хараахан ороогүй байна.

Ингээд оролдоод үзье: ;

Тооцоологчоо Радиан горимд шилжүүлэхээ бүү мартаарай!

гэх мэт. Бид бага байх тусам илүү ойр үнэ цэнэ-тай харилцах

a) Функцийг авч үзье. Ердийнх шиг, түүний өсөлтийг олъё:

Синусын зөрүүг бүтээгдэхүүн болгоё. Үүнийг хийхийн тулд бид томъёог ашигладаг ("" сэдвийг санаарай): .

Одоо дериватив нь:

Сэлгээ хийцгээе: . Тэгвэл хязгааргүй жижигийн хувьд мөн л хязгааргүй жижиг байна: . илэрхийлэл нь дараах хэлбэртэй байна.

Одоо бид үүнийг илэрхийлэлтэйгээр санаж байна. Мөн түүнчлэн, нийлбэрт хязгааргүй жижиг хэмжигдэхүүнийг үл тоомсорлож байвал яах вэ (өөрөөр хэлбэл at).

Тиймээс бид авдаг дараагийн дүрэм:синусын дериватив нь косинустай тэнцүү байна:

Эдгээр нь үндсэн ("хүснэгт") деривативууд юм. Энд тэд нэг жагсаалтад байна:

Дараа нь бид хэд хэдэн зүйлийг нэмж оруулах болно, гэхдээ эдгээр нь ихэвчлэн ашиглагддаг тул хамгийн чухал нь юм.

Дадлага хийх:

1. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг олох;
2. Функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

1. Эхлээд деривативыг олъё ерөнхий үзэл, дараа нь түүний утгыг орлуулна уу:
   ;
   .
2. Энд бид үүнтэй төстэй зүйл байна эрчим хүчний функц. Түүнийг авчрахыг хичээцгээе
   хэвийн харагдах:
   .
   Гайхалтай, одоо та томъёог ашиглаж болно:
   .
   .
3. . Эээээээ..... Энэ юу вэ????

За, таны зөв, бид ийм деривативуудыг хэрхэн олохоо хараахан мэдэхгүй байна. Энд бид хэд хэдэн төрлийн функцийг хослуулсан. Тэдэнтэй ажиллахын тулд та хэд хэдэн дүрмийг сурах хэрэгтэй.

Экспонент ба натурал логарифм.

Математикт аль ч утгын дериватив нь тухайн функцийн өөрийн утгатай нэгэн зэрэг тэнцүү байдаг функц байдаг. Үүнийг "экспонент" гэж нэрлэдэг бөгөөд экспоненциал функц юм

Энэ функцийн үндэс нь тогтмол юм - энэ нь хязгааргүй юм аравтын, өөрөөр хэлбэл, иррационал тоо (жишээ нь). Үүнийг "Эйлерийн тоо" гэж нэрлэдэг тул үсгээр тэмдэглэдэг.

Тиймээс, дүрэм:

Санахад маш амархан.

За, хол явахгүй, шууд харцгаая урвуу функц. Аль функцийн урвуу функц экспоненциал функц? Логарифм:

Манай тохиолдолд суурь нь дараах тоо юм.

Ийм логарифмийг (өөрөөр хэлбэл суурьтай логарифм) "байгалийн" гэж нэрлэдэг бөгөөд бид үүнд зориулж тусгай тэмдэглэгээ ашигладаг: бид оронд нь бичдэг.

Энэ нь юутай тэнцүү вэ? Мэдээжийн хэрэг.

Байгалийн логарифмын дериватив нь маш энгийн:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг ол.
2. Функцийн дериватив нь юу вэ?

Хариултууд: Үзэсгэлэнд оролцогч болон байгалийн логарифм- функцууд нь деривативын хувьд онцгой энгийн байдаг. Бусад суурьтай экспоненциал болон логарифм функцууд нь өөр деривативтай байх бөгөөд бид үүнийг дараа нь шинжлэх болно. дүрэм журмаар явцгааяялгах.

Ялгах дүрэм

Юуны дүрэм? Ахиад л шинэ нэр томъёо, дахиад?!...

Ялгаварлахдеривативыг олох үйл явц юм.

Ингээд л болоо. Энэ үйл явцыг нэг үгээр өөр юу гэж нэрлэх вэ? Дериватив биш ... Математикчид дифференциалыг функцийн ижил өсөлт гэж нэрлэдэг. Энэ нэр томъёо нь Латин дифференциас - ялгаа гэсэн үгнээс гаралтай. Энд.

Эдгээр бүх дүрмийг гаргахдаа бид хоёр функцийг ашиглана, жишээ нь, ба. Бидэнд мөн тэдгээрийн өсөлтийн томъёо хэрэгтэй болно:

Нийтдээ 5 дүрэм байдаг.

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна.

Хэрэв - зарим тогтмол тоо (тогтмол), дараа нь.

Мэдээжийн хэрэг, энэ дүрэм нь мөн ялгаад ажилладаг: .

Үүнийг баталъя. Байг, эсвэл илүү энгийн.

Жишээ.

Функцийн деривативуудыг ол:

1. нэг цэг дээр;
2. нэг цэг дээр;
3. нэг цэг дээр;
4. цэг дээр.

Шийдэл:

1. (үүнээс хойш дериватив нь бүх цэг дээр ижил байна шугаман функц, санаж байна уу?);

Бүтээгдэхүүний дериватив

Энд бүх зүйл ижил байна: орцгооё шинэ онцлогмөн түүний өсөлтийг ол:

Дериватив:

Жишээ нь:

1. Функцийн деривативыг олох ба;
2. Тухайн цэг дээрх функцийн деривативыг ол.

Шийдэл:

Экспоненциал функцийн дериватив

Одоо таны мэдлэг зөвхөн илтгэгчийг бус аливаа экспоненциал функцийн деривативыг хэрхэн олохыг сурахад хангалттай (та энэ юу болохыг мартсан уу?).

Тэгэхээр хэдэн тоо хаана байна.

Бид функцийн деривативыг аль хэдийн мэдэж байгаа тул функцээ шинэ суурь болгон багасгахыг хичээцгээе.

Үүний тулд бид ашиглах болно энгийн дүрэм: . Дараа нь:

За, бүтсэн. Одоо деривативыг олохыг хичээ, энэ функц нь нарийн төвөгтэй гэдгийг мартаж болохгүй.

Энэ нь ажилласан уу?

Энд өөрийгөө шалгана уу:

Томъёо нь экспонентийн деривативтай маш төстэй болж хувирав: энэ нь хэвээр үлдэж, зөвхөн нэг хүчин зүйл гарч ирсэн бөгөөд энэ нь зүгээр л тоо боловч хувьсагч биш юм.

Жишээ нь:
Функцийн деривативуудыг ол:

Хариултууд:

Энэ бол зүгээр л тооны машингүйгээр тооцоолох боломжгүй, өөрөөр хэлбэл үүнийг цаашид бичих боломжгүй тоо юм. энгийн хэлбэрээр. Тиймээс бид үүнийг хариултдаа энэ хэлбэрээр үлдээж байна.

Логарифм функцийн дериватив

Үүнтэй төстэй: та байгалийн логарифмын деривативыг аль хэдийн мэддэг болсон.

Тиймээс өөр суурьтай дурын логарифмийг олохын тулд, жишээлбэл:

Бид энэ логарифмыг суурь болгон багасгах хэрэгтэй. Логарифмын суурийг хэрхэн өөрчлөх вэ? Та энэ томъёог санаж байна гэж найдаж байна:

Зөвхөн одоо бид оронд нь бичих болно:

Хуваагч нь зүгээр л тогтмол (хувьсагчгүй тогтмол тоо) юм. Деривативыг маш энгийнээр олж авдаг:

Экспоненциал ба деривативууд логарифм функцуудУлсын нэгдсэн шалгалтанд бараг хэзээ ч ордоггүй, гэхдээ тэднийг мэдэхэд гомдохгүй.

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив.

"Цогцолбор функц" гэж юу вэ? Үгүй ээ, энэ бол логарифм биш, арктангенс ч биш. Эдгээр функцийг ойлгоход хэцүү байж болох юм (хэдийгээр танд логарифм хийхэд хэцүү гэж үзвэл "Логарифм" гэсэн сэдвийг уншвал зүгээр байх болно), гэхдээ математикийн үүднээс "цогцолбор" гэдэг нь "хэцүү" гэсэн үг биш юм.

Жижиг туузан дамжуулагчийг төсөөлөөд үз дээ: хоёр хүн сууж, зарим объекттой зарим үйлдэл хийж байна. Жишээлбэл, эхнийх нь шоколадны баарыг боодол дээр боож, хоёр дахь нь туузаар холбодог. Үр дүн нь нийлмэл объект юм: шоколадны баар ороож, туузаар холбосон. Шоколадны баар идэхийн тулд та урвуу алхамуудыг хийх хэрэгтэй урвуу дараалал.

Үүнтэй төстэй математик шугамыг бүтээцгээе: эхлээд бид тооны косинусыг олж, дараа нь гарсан тоог квадрат болгоно. Тиймээс, бидэнд тоо (шоколад) өгөгдсөн, би түүний косинусыг (боодол) олоод, дараа нь та миний авсан зүйлийг дөрвөлжин болго (туузаар уя). Юу болсон бэ? Чиг үүрэг. Энэ бол нарийн төвөгтэй функцийн жишээ юм: утгыг олохын тулд бид эхний үйлдлийг хувьсагчтай шууд хийж, дараа нь эхний үйлдлээс үүссэн хоёр дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг.

Бид урвуу дарааллаар ижил алхмуудыг хялбархан хийж чадна: эхлээд та үүнийг квадрат болго, дараа нь би гарсан тооны косинусыг хайна: . Үр дүн нь бараг үргэлж өөр байх болно гэдгийг таахад хялбар байдаг. Чухал онцлогнарийн төвөгтэй функцууд: үйлдлийн дараалал өөрчлөгдөхөд функц өөрчлөгдөнө.

Өөрөөр хэлбэл, нийлмэл функц нь аргумент нь өөр функц болох функц юм: .

Эхний жишээнд, .

Хоёр дахь жишээ: (ижил зүйл). .

Бидний хамгийн сүүлд хийх үйлдлийг дуудах болно "гадаад" функц, мөн хамгийн түрүүнд гүйцэтгэсэн үйлдэл - үүний дагуу "дотоод" функц(эдгээр нь албан бус нэрс, би зөвхөн материалыг энгийн хэлээр тайлбарлахад ашигладаг).

Аль функц нь гадаад, аль нь дотоод гэдгийг өөрөө тодорхойлохыг хичээ.

Хариултууд:Дотоод болон гадаад функцийг салгах нь хувьсагчийг өөрчлөхтэй маш төстэй: жишээлбэл, функцэд

1. Бид хамгийн түрүүнд ямар үйлдэл хийх вэ? Эхлээд синусыг тооцоод дараа нь шоо болгоё. Энэ нь дотоод функц, гэхдээ гадаад функц гэсэн үг юм.
   Мөн анхны функц нь тэдний найрлага юм: .
2. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
3. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
4. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .
5. Дотоод: ; гадаад: .
   Шалгалт: .

Бид хувьсагчдыг сольж, функцийг авдаг.

За, одоо бид шоколадаа гаргаж аваад деривативыг хайх болно. Процедур нь үргэлж эсрэгээрээ байдаг: эхлээд бид гадаад функцийн деривативыг хайж, дараа нь үр дүнг дотоод функцийн деривативаар үржүүлнэ. -тай холбоотой анхны жишээЭнэ нь иймэрхүү харагдаж байна:

Өөр нэг жишээ:

Ингээд эцэст нь албан ёсны дүрмийг томъёолъё:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

Энэ нь энгийн юм шиг санагдаж байна, тийм үү?

Жишээнүүдийг шалгаж үзье:

Шийдэл:

1) Дотоод: ;

Гадаад: ;

2) Дотоод: ;

(Одоогоор таслах гэж бүү оролдоорой! Косинусын доороос юу ч гарахгүй, санаж байна уу?)

3) Дотоод: ;

Гадаад: ;

Энэ нь гурван түвшний нарийн төвөгтэй функц болох нь шууд тодорхой байна: эцэст нь энэ нь өөрөө нарийн төвөгтэй функц бөгөөд бид үүнээс үндсийг нь гаргаж авдаг, өөрөөр хэлбэл бид гурав дахь үйлдлийг гүйцэтгэдэг (шоколадыг боодол дээр хийнэ) мөн цүнхэнд туузтай). Гэхдээ айх шалтгаан байхгүй: бид энэ функцийг ердийнх шигээ дарааллаар нь "тайлах" болно: эцсээс нь.

Өөрөөр хэлбэл, бид эхлээд үндсийг, дараа нь косинусыг, дараа нь хаалтанд байгаа илэрхийлэлийг ялгадаг. Тэгээд бид бүгдийг үржүүлнэ.

Ийм тохиолдолд үйлдлүүдийг дугаарлах нь тохиромжтой. Энэ нь юу мэддэгээ төсөөлөөд үз дээ. Энэ илэрхийллийн утгыг тооцоолох үйлдлийг бид ямар дарааллаар гүйцэтгэх вэ? Нэг жишээг харцгаая:

Үйлдлийг хожим гүйцэтгэх тусам "гадаад" байх болно харгалзах функц. Үйлдлүүдийн дараалал нь өмнөхтэй адил байна:

Энд үүрлэх нь ерөнхийдөө 4 түвшинтэй байдаг. Үйл ажиллагааны чиглэлийг тодорхойлъё.

1. Радикал илэрхийлэл. .

2. Үндэс. .

3. Синус. .

4. Дөрвөлжин. .

5. Бүгдийг нэгтгэх нь:

ҮҮСГЭЛ. ГОЛ ЗҮЙЛИЙН ТУХАЙ ТОВЧХОН

Функцийн дериватив- функцийн өсөлтийг аргументийн хязгааргүй бага өсөлтийн аргументийн өсөлттэй харьцуулсан харьцаа:

Үндсэн деривативууд:

Ялгах дүрэм:

Тогтмолыг дериватив тэмдгээс хасна:

Нийлбэрийн дериватив:

Бүтээгдэхүүний дериватив:

Хэсгийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн дериватив:

Нарийн төвөгтэй функцийн деривативыг олох алгоритм:

1. Бид "дотоод" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
2. Бид "гадаад" функцийг тодорхойлж, түүний уламжлалыг олдог.
3. Бид эхний болон хоёр дахь цэгүүдийн үр дүнг үржүүлдэг.