İki rastgele argümanın işlevi. Rastgele değişkenlerin fonksiyonları

Her olası değer çifti ise rastgele değişkenler X Ve e rastgele bir değişkenin olası bir değerine karşılık gelir Z, O Z isminde iki rastgele argümanın fonksiyonu X Ve Y:

z= J ( X, Y).

Diğer örnekler fonksiyonun dağılımının nasıl bulunacağını gösterecektir. Z = X + Y Bilinen terim dağılımlarına göre. Bu sorun pratikte sıklıkla ortaya çıkar. Örneğin, eğer X- ölçüm cihazının okuma hatası (normal dağılım), e- okumaları en yakın ölçek bölümüne yuvarlama hatası (eşit dağılmış), o zaman görev ortaya çıkar - hataların toplamının dağılım yasasını bulmak Z=X+Y.

1. İzin ver X Ve e-ayrık bağımsız rastgele değişkenler. Fonksiyonun dağılım yasasını çizmek için Z = X + Y, her şeyi bulmamız lazım olası değerler Z ve bunların olasılıkları.

Örnek 1. Ayrık bağımsız rastgele değişkenler dağılımlarla belirtilir:

Rastgele bir değişkenin dağılımını oluşturun Z = X+Y.

Çözüm. Olası değerler Z her olası değerin toplamları vardır X mümkün olan tüm değerlerle Y:

z 1 = 1+ 3= 4; z 2 = 1+ 4= 5; z 3 = 2+ 3= 5; z 4 = 2+ 4= 6.

Bu olası değerlerin olasılıklarını bulalım. İçin Z= 4, değerin olması yeterlidir X anlamı üstlendi X 1 =1 ve değer e- Anlam sen 1 = 3. Bu dağılım yasalarından da anlaşılacağı üzere bu olası değerlerin olasılıkları sırasıyla 0,4 ve 0,2'ye eşittir.

Argümanlar X Ve e bağımsızdır, dolayısıyla olaylar X= 1i e= 3 bağımsızdır ve dolayısıyla bunların ortak gerçekleşme olasılığı (yani olayın olasılığı) Z= 1+3 = 4) çarpma teoremine göre 0,4*0,2 = 0,08'e eşittir.

Benzer şekilde şunu da bulabiliriz:

P(z= 1+ 4= 5) = 0, 4* 0, 8= 0, 32;

R(z= 2 + 3 = 5) = 0, 6* 0, 2 = 0, 12;

R(z= 2 + 4 = 6)= 0, 6* 0, 8 = 0, 48.

Önce olasılıkları toplayarak gerekli dağılımı yazalım. uyumsuz olaylar z = z 2 , z = z 3 (0,32+0,12 = 0,44):

Kontrol: 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1.

2. İzin ver X Ve e- sürekli rastgele değişkenler. Kanıtlanmış: eğer X Ve e bağımsızsa dağıtım yoğunluğu G(z) miktarlar Z = X + Y(bağımsız değişkenlerden en az birinin yoğunluğunun aralıkta () bir formülle belirtilmesi koşuluyla) eşitlik kullanılarak bulunabilir

(*)

veya eşdeğer eşitliği kullanarak

(**)

Nerede F 1 , F 2 - argümanların dağılım yoğunlukları.

Bağımsız değişkenlerin olası değerleri negatif değilse, o zaman G(z) formülü kullanılarak bulunur

(***)

veya eşdeğer bir formülle

(****)

Bağımsız rastgele değişkenlerin toplamının dağılım yoğunluğuna denir kompozisyon.

Olasılık dağılımı yasası denir sürdürülebilir, bu tür yasaların bileşimi aynı yasa ise (genel anlamda parametreler açısından farklılık gösterir). Normal bir yasanın istikrar özelliği vardır: normal yasaların bileşimi de normal dağılım (beklenen değer ve bu bileşimin varyansı sırasıyla terimlerin matematiksel beklentileri ve varyanslarının toplamına eşittir). Örneğin, eğer X Ve e- matematiksel beklentiler ve varyanslar sırasıyla eşit olacak şekilde normal dağılım gösteren bağımsız rastgele değişkenler A 1 = Z, a 2 = 4, D 1 =1, D 2 = 0, 5, o zaman bu miktarların bileşimi (yani Z = toplamının olasılık yoğunluğu) X+ e) da normal olarak dağılmıştır ve bileşimin matematiksel beklentisi ve varyansı sırasıyla eşittir A = 3 + 4 = 7; D=1 +0,5=1,5.

Örnek 2. Bağımsız rastgele değişkenler X Ve e dağıtım yoğunlukları ile verilir:

F(X)= ;

F(sen)= .

Bu yasaların bileşimini, yani rastgele değişkenin dağılım yoğunluğunu bulun. Z = X+Y.

Çözüm. Bağımsız değişkenlerin olası değerleri negatif değildir. Bu nedenle (***) formülünü kullanacağız.

Burada şunu unutmayın z 0 çünkü Z=X+Y ve koşula göre olası değerler X Ve e negatif olmayan.

Ki kare dağılımı

İzin vermek X ben(ben = 1, 2, ..., P) normal bağımsız rastgele değişkenlerdir ve her birinin matematiksel beklentisi sıfıra, standart sapması ise bire eşittir. Daha sonra bu büyüklüklerin karelerinin toplamı

ki kare kanununa göre dağıtılır k = nözgürlük derecesi; bu miktarlar tek bir doğrusal ilişkiyle ilişkiliyse, örneğin , o zaman serbestlik derecesi sayısı k=n- 1.

Bu dağılımın yoğunluğu

Nerede - gama işlevi; özellikle,

(n+ 1)=n!.

Bu, ki-kare dağılımının tek bir parametreyle (serbestlik derecesi sayısı) belirlendiğini gösterir. k.

Serbestlik derecesi sayısı arttıkça dağılım yavaş yavaş normale yaklaşır.

Öğrenci dağılımı

İzin vermek Z normal bir rastgele değişkendir ve M(Z) = 0, S( Z)= 1, A V- bağımsız Z kanuna göre dağıtılan bir miktar közgürlük derecesi. Daha sonra değer

adında bir dağılım var T- dağıtım veya Öğrenci dağıtımı (İngiliz istatistikçi W. Gosset'in takma adı), közgürlük derecesi.

Yani, normalleştirilmiş oran normal boyutİle kare kök ki-kare yasasına göre dağıtılan bağımsız bir rastgele değişkenden k serbestlik derecesi bölü k,Öğrenci kanununa göre dağıtılır közgürlük derecesi.

Serbestlik derecesi sayısı arttıkça Öğrenci dağılımı hızla normale yaklaşır. Ek Bilgiler Bu dağılıma ilişkin bilgiler aşağıda verilmiştir (bkz. Bölüm XVI, § 16).

§ 15. Dağıtım F Fischer - Snedecor

Eğer sen Ve V- serbestlik derecesi ile yasaya göre dağıtılan bağımsız rastgele değişkenler k 1 ve k 2 , o zaman değer

dağıtım adı verilen bir dağıtım vardır F Serbestlik dereceli Fischer-Snedecor k 1 ve k 2 (bazen şu şekilde gösterilir: V 2).

Bu dağılımın yoğunluğu

dağıtıldığını görüyoruz. F iki parametreyle belirlenir - serbestlik derecesi sayısı. Bu dağıtıma ilişkin ek bilgiler aşağıda verilmiştir (bkz. Bölüm XIX, § 8).

Görevler

1. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisini ve varyansını bulun X, dağıtım yoğunluğunu bilerek:

A) diğer değerler için X;

B) F(X)= 1/ 2ben en A- l x a+l, F(X)= diğer değerler için 0 X.

Temsilci A)M(X)= 0, D(X) = l/2; B) M(X)= a, D(X)= ben 2 / 3.

2. Rastgele değer X normal dağılım. Test sonucunda bu değerin matematiksel beklentisinin ve standart sapmasının sırasıyla 6 ve 2'ye eşit olma olasılığını bulun. X(4,8) aralığındaki değeri alacaktır.

Temsilci 0,6826.

3. Rastgele değişken normal dağılıma sahiptir. Bu değerin standart sapması 0,4'tür. Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapma olasılığını bulun. mutlak değer 0,3'ten az olacaktır.

Temsilci 0,5468.

4. Rastgele ölçüm hataları tabidir normal hukuk ortalama ile kare sapma s=1 mm ve matematiksel beklenti A= 0. İki bağımsız gözlemden en az birinin hatasının mutlak değer olarak 1,28 mm'yi aşmama olasılığını bulun.

Temsilci 0,96.

5. Otomatik makine tarafından üretilen silindirler, silindir çapının tasarım boyutundan sapması 2 mm'yi geçmiyorsa standart kabul edilir. Rastgele sapmalar silindir çapları, standart sapma s = 1,6 mm ve matematiksel beklentiyle normal yasaya uygundur bir = 0. Makine standart silindirlerin yüzde kaçını üretiyor?

Temsilci Yaklaşık %79.

6. Ayrık rassal değişken X dağıtım kanunu tarafından verilir:

X ve Y değişkenlerinin olası değer çiftlerinin her biri, Z rastgele değişkeninin olası bir değerine karşılık geliyorsa, Z'ye, X ve Y bağımsız değişkenlerinin iki durumunun bir fonksiyonu denir: Z=φ(X, Y).

1. X ve Y ayrık bağımsız nicelikler olsun.

Z=X+Y fonksiyonuna ait dağılım yasasını çizebilmek için Z'nin olası tüm değerlerini ve bunların olasılıklarını bulmak gerekir. Çünkü X ve Y bağımsız büyüklüklerdir, bu durumda zi=xi+yi, pz=px*py olur. Eğer zi=zj ise olasılıkları toplanır.

2. X ve Y sürekli büyüklükler olsun. Kanıtlanmıştır: Eğer X ve Y bağımsızsa, Z=X+Y toplamının dağılım yoğunluğu g(z) (argümanlardan en az birinin yoğunluğunun (-∞;∞) aralığında verilmesi şartıyla) ) tek formülle) aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

Burada f1, f2 argümanların dağılım yoğunluklarıdır.

Bağımsız değişkenlerin olası değerleri negatif değilse, g(z) aşağıdaki formül kullanılarak bulunur:

Bağımsız rastgele niceliklerin toplamının dağılım yoğunluğuna bileşim denir ve bu yasaların bileşimi aynı yasa ise olasılık dağılım yasasına kararlı denir. M(z)=M(x)+M(y); D(z)=D(x)+D(y).

İlgilendiğiniz bilgileri bilimsel arama motoru Otvety.Online'da da bulabilirsiniz. Arama formunu kullanın:

Konu 26 hakkında daha fazla bilgi. İki rastgele bağımsız değişkenin işlevi:

1. 15. İki bağımsız değişkenli fonksiyonların kısmi türevleri, geometrik anlamları.
2. 23. Kapalı bir bölgedeki iki bağımsız değişkenli bir fonksiyonun en küçük ve en büyük değerleri.
3. Rastgele argümanların skaler fonksiyonunun matematiksel beklentisi. İki boyutlu ayrık durum.
4. 31. İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemin dağılım fonksiyonu
5. 120. Bir anlaşmazlıktaki tekniklerin özünü bir örnekle gösterin ve açıklayın: “kamuya yönelik argüman”, “acımaya yönelik argüman”, “cehalete yönelik argüman”, “kibire yönelik argüman” ve “bireye yönelik argüman”. Bir örnekle açıklayın ve mantıksal "doğrulama" terimini açıklayın.

Her bir rastgele değişken çifti ise
Ve rastgele değişkenin olası değerlerinden birine karşılık gelir , O
iki rastgele argümanın fonksiyonu olarak adlandırılır
Ve . Uygulamada en yaygın görev, fonksiyonun dağıtım yasasını bulmaktır.
Bilinen terim dağılımlarına göre. Örneğin, eğer
bazı ölçüm cihazlarının okumalarındaki hatadır (genellikle normal şekilde dağıtılır) ve - bu cihazın okumalarındaki yuvarlama hatası (tekdüze olarak dağıtılmış), o zaman görev ortaya çıkar - hataların toplamının dağılım yasasını bulmak
.

dağıtım yasalarında belirtilenler. O zaman rastgele değişkenin olası değerleri
- bunların hepsi değerlerin toplamlarının olası değerleridir
Ve ve karşılık gelen değerlerin olasılıkları değerlerin karşılık gelen olasılıklarının çarpımı olarak bulunur
Ve dahil

ve bu çarpımların toplamı olarak, eğer toplamın bir değeri farklı değer kombinasyonlarına karşılık geliyorsa
Ve .

Örnek 1. Ayrık rastgele değişkenlerin dağılım serisi verilsin
Ve .

Daha sonra fonksiyon
1, 3, 4, 6, 7, 8, 9 değerlerini alır. Çarpma ve olasılıkların toplanması teoremlerini kullanarak bu değerlerin olasılıklarını aşağıdaki gibi buluruz:

Rastgele değişkenin dağılım serisini elde ediyoruz :

Sonuç olarak olasılıkların toplamı 1'e eşittir, yani bu tablo aslında rastgele değişkenin dağılım serisini belirtir
.

7.2. Şimdi izin ver
Ve -sürekli rastgele değişkenler. Eğer
Ve - bağımsızdır, dolayısıyla rastgele değişkenlerin dağılım yoğunlukları bilinmektedir
Ve -
sırasıyla rastgele değişkenin dağılım yoğunluğu

aşağıdaki formüllerden biri kullanılarak bulunabilir:

;

.

Özellikle eğer
aralıkta yalnızca pozitif değerler al
, ardından aşağıdaki formülleri yerine getirin:

ÖRNEK 2. Bağımsız rastgele değişkenlere izin verin
Ve dağıtım yoğunluklarına göre verilir:

Rastgele bir değişkenin dağılım yasasını bulun
.

Böylece,

Dağıtım yoğunluğunun ana özelliğinin karşılandığını kontrol etmek kolaydır:

§ 8. Rastgele değişken sistemleri

8.1 Rastgele değişkenlerden oluşan bir sistemin dağılım yasaları.

Şu ana kadar ele alınan tüm rastgele değişkenler, bir sayı (tek argüman) - tek boyutlu rastgele değişkenler - ile tanımlanmıştır. Ancak bunlara ek olarak, iki, üç veya daha fazla argümana bağlı olan, tek boyutlu rastgele değişken sistemleri olarak kabul edilebilecek çok boyutlu rastgele değişkenler olarak adlandırılan nicelikleri de göz önünde bulundurabiliriz. Başından sonuna kadar
- iki boyutlu bir rastgele değişkeni ve değerlerin her birini belirtin
Ve - isminde bileşen (bileşen) .

İki boyutlu bir rastgele değişkene denir ayrık , eğer bileşenleri ayrık rastgele değişkenler ise.

Sürekli bileşenleri sürekli rastgele değişkenlerden oluşan iki boyutlu rastgele değişken olarak adlandırılır.

Ayrık iki boyutlu rastgele değişkenin dağılım yasası formun tablosu denir:

Olaylardan bu yana
,

biçim tam grup uyumsuz olaylar varsa, tablodaki tüm olasılıkların toplamı bire eşittir.

İki boyutlu bir rastgele değişkenin dağılım yasasını bilerek, her bileşenin dağılım yasasını bulabilirsiniz:

(tablo sütunundaki olasılıkların toplamı);

(tablo satırındaki olasılıkların toplamı).

örnek 1. İki boyutlu rastgele dağılım yasası miktarları:

Rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını çizin
Ve .

Rastgele değer
bir dağılıma sahiptir:

Tanım. İki boyutlu bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu hem kesikli hem de sürekli rastgele değişkenler için anlamlı olan bir fonksiyon olarak adlandırılır. Geometrik olarak bu eşitlik, rastgele bir noktanın bulunma olasılığı olarak yorumlanabilir.
noktasında tepe noktası olan sonsuz bir kareye düşer
, bu tepe noktasının solunda ve altında bulunur.

DAĞITIM FONKSİYONUNUN TEMEL ÖZELLİKLERİ:

Mülk 1.
.

Mülk 2. Dağıtım fonksiyonu her iki argüman için de azalmayan bir fonksiyondur;

Mülk 3. Hepsi için Ve aşağıdaki ilişkiler geçerlidir:

Mülk 4. Bileşenlerin dağılım fonksiyonları eşitliklerden bulunabilir:

Tanım.Yoğunluk ortak dağıtım İki boyutlu bir sürekli rastgele değişkenin olasılıklarına dağılım fonksiyonunun ikinci karma türevi denir;

.

Örnek 2. Rastgele değişkenler sisteminin dağılım fonksiyonu verilmiştir.
:
Dağıtım yoğunluğunu bulun.

Rastgele değişkenler sisteminin dağılım yoğunluğunun bilinmesine izin verin
-
. Daha sonra eşitlik kullanılarak dağıtım fonksiyonu bulunabilir:

,

Bu doğrudan dağıtım yoğunluğunun tanımından kaynaklanmaktadır.

İsabet Olasılığı
bölgeye
eşitlikle belirlenir

İKİ BOYUTLU YOĞUNLUK DAĞILIMI ÖZELLİKLERİ.

Mülk 1.İki boyutlu dağılım yoğunluğu her zaman pozitiftir:

Mülk 2.Çift uygunsuz integral sonsuz entegrasyon limiti olan dağıtım yoğunluğundan birliğe eşittir

İki rastgele değişkenden oluşan bir sistemin ortak olasılık dağılım yoğunluğu biliniyorsa, her bileşenin dağılım yoğunlukları bulunabilir.
Ancak
. Daha sonra

.

Benzer şekilde elde ederiz

,

Örnek 3.İki boyutlu dağılım yoğunluğu verilsin

Rastgele değişkenlerin dağılım yoğunluğunu bulun
Ve

en
ve bu aralığın dışında sıfıra eşittir. Benzer şekilde fonksiyonun simetrisinden dolayı
nispeten Ve , şunu elde ederiz:

Koşullu dağıtım yasaları.

Rastgele olaylar için koşullu olasılık kavramına benzer bir kavram
, rastgele değişkenler arasındaki bağımlılığı karakterize etmek için tanıtılabilir.

Ayrık ve sürekli iki boyutlu rastgele değişken durumlarını ayrı ayrı ele alalım.

A) Ayrık iki boyutlu rastgele bir miktar için, verilen tablo:

koşullu olasılıklar aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

Yorum. Karşılık gelen koşullu olasılıkların toplamı bire eşittir;

Örnek 4. Tablo tarafından ayrı bir rastgele değişken verilmiş olsun:

Bileşenin koşullu dağıtım yasasını bulun
rastgele değişkenin olması koşuluyla anlamı üstlendi .

Açıkçası, bu olasılıkların toplamı bire eşittir.

b) İçin Sürekli iki boyutlu rastgele değişken koşullu dağıtım yoğunluğu
bileşen
belirli bir değerde
tutum denir

,

benzer şekilde, koşullu dağıtım yoğunluğu
belirli bir değerde
-
.

Örnek 5. Sürekli iki boyutlu bir rastgele değişkenin ortak dağılım yoğunluğu olsun
fonksiyon tarafından verilir:
. Bileşenlerin koşullu dağılım yoğunluklarını bulun.

Hesaplamalarda Poisson integrali kullanıldı

O halde koşullu dağılım yoğunlukları şu şekildedir:

Koşullu matematiksel beklenti.

Tanım.Koşullu matematiksel beklenti Ayrık rassal değişken en
olası değerlerin çarpımlarının toplamıdır koşullu olasılıklarına göre:

benzer şekilde

Örnek 6. Tablo tarafından iki boyutlu bir ayrık rastgele değişken verilmiş olsun:

Koşullu matematiksel beklentileri bulun: en
Ve
en

Daha sonra

Daha sonra

Sürekli miktarlar için:

Bağımlı ve bağımsız rastgele değişkenler.

Tanım.İki rastgele değişken denir bağımsız Bunlardan birinin dağılım yasası, diğer rastgele değişkenin hangi olası değerleri aldığına bağlı değilse. Bundan tanımlar bağımsız rastgele değişkenlerin koşullu dağılım yasalarının koşulsuz dağılım yasalarına eşit olduğu.

TEOREM.
Ve bağımsız olsaydı eşitliğin geçerli olması gerekli ve yeterlidir:

Teoremi kanıtlamayacağız ama sonuç olarak şunu elde edeceğiz:

Sonuçlar. Rastgele değişkenler için
Ve bağımsız olduğundan, sistemin ortak dağılım yoğunluğunun gerekli ve yeterli olması
eşitti -İşte bileşenlerin dağıtım yoğunlukları, yani

İki rastgele sistemin sayısal özellikleri

miktarları

Korelasyon anı. Katsayı

Tanım.korelasyonlar.
Korelasyon anı
Ve rastgele değişken sistemleri

Bu büyüklüklerin sapmalarının çarpımının matematiksel beklentisine denir: Not 1.

Korelasyon momentinin şu şekilde yazılabileceğini görmek kolaydır: Not 2. İki bağımsız rastgele değişkenin korelasyon momenti.

sıfıra eşit

Bu, rastgele değişkenlerin bağımsızlığı koşulundan kaynaklanmaktadır. Not 3.
Ve Rastgele değişkenlerin korelasyon momenti için

Tanım.eşitsizlik geçerli
rastgele değişkenler
Ve Korelasyon katsayısı

(2)

korelasyon momentinin bu büyüklüklerin standart sapmalarının çarpımına oranı denir, yani.

Rastgele değişkenler bağımsızsa, korelasyon momentleri sıfıra eşittir ve buna göre korelasyon katsayıları da sıfıra eşittir.

(3)

Açıklama 3'ü dikkate alarak korelasyon katsayısının ana özelliğini elde ederiz:Örnek 7.

Dağılımı tabloda verilen ayrık rastgele değişkenlerden oluşan bir sistemi ele alalım: .

Bileşenlerin matematiksel beklentilerini ve varyanslarını bulun ve bunlar için korelasyon katsayısını bulun.

Bileşenlerin tek boyutlu dağılım yasalarını bulalım ve onları.

sayısal özellikler

sayısal özellikler

İçin

Ürünün matematiksel beklentisi:

O zaman korelasyon momenti şuna eşittir:

Ve son olarak korelasyon katsayısı:
Ve Bu, rastgele değişkenlerin

çok zayıf bir bağımlılığa sahiptir.

Sürekli rastgele değişkenler için de benzer bir problem düşünelim.Örnek 8.
Rastgele değişkenler sistemi olsun

yoğunlukla dağıtım yasasına tabidir: alan nerede. Bulmakparametre değeri
Ve ve korelasyon katsayıları .

Bölge
- bu bir üçgen:

0 2

İlk önce parametrenin değerini buluyoruz dağıtım yoğunluğunun temel koşulu dikkate alınarak:

Bizim durumumuzda,

Buradan,
ve dağıtım yoğunluğu şu şekildedir:

Bileşenlerin sayısal özelliklerini bulalım.

Fonksiyondan beri
ve bölge
açısından simetrik Ve , daha sonra rastgele değerlerin sayısal özellikleri
Ve çakışıyor, yani

Rastgele değişkenlerin bir ürününün matematiksel beklentisi

Korelasyon momenti şuna eşittir:

Ve sonunda,

Rastgele korelasyon ve bağımlılık

miktarları

Tanım.İki rastgele değişken
Ve isminde ilişkili , eğer korelasyon momentleri (veya eşdeğer olarak korelasyon katsayısı) sıfırdan farklıysa.

İlişkili miktarlar bağımlıdır. Bunun tersi varsayım her zaman geçerli değildir; bağımlı rastgele değişkenler ilişkili veya ilişkisiz olabilir. Rastgele değişkenler bağımsızsa, zorunlu olarak korelasyonsuzdurlar.

Örnek olarak görelim ki iki bağımlı miktarlar korelasyonsuz olabilir.

Örnek. İki boyutlu bir rastgele değişken olsun
için – dağıtım yoğunluğu tarafından verilir:

Kanıtla
Ve - ilişkisiz miktarlar.

Belirli bir elipsin içindeki bileşenlerin dağılım yoğunlukları, görüldüğü gibi, karşılık gelen formüllerle verilir ve elipsin dışında sıfıra eşittir.

O zamandan beri
Ve - bağımlı rastgele değişkenler.

Fonksiyondan beri
Oy eksenine göre simetriktir, o halde
, benzer şekilde,
simetri nedeniyle
Ox eksenine göre (çift işlevler).

iç integral sıfıra eşit olduğundan (değillerin integrali) eşit işlev eşit bir fonksiyona eşittir ve entegrasyonun sınırları simetriktir). Daha sonra

onlar. bu bağımlı rastgele değişkenler birbiriyle ilişkili değildir.

Bu büyüklüklerin sapmalarının çarpımının matematiksel beklentisine denir:İki boyutlu bir rastgele değişkenin normal dağılmış bileşenleri için korelasyonsuzluk ve bağımsızlık kavramları eşdeğerdir.

Korelasyon momentinin şu şekilde yazılabileceğini görmek kolaydır: Eğer bileşenler
Ve doğrusal bir bağımlılıkla bağlanır, yani.
, O

BİBLİYOGRAFİK LİSTE

Gmurman V.E. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik - M.: Vyssh. okul, 2001.

Gmurman V.E. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistikteki problemlerin çözümü için bir rehber - M.: Vyssh. okul 2001

Gursky E.I. Matematiksel istatistik unsurları içeren olasılık teorisi - M.: Vyssh. okul, 1971.

Izosova L.A., Izosov A.V. Rastgele değişkenler //gösterge yöntemi// - Magnitogorsk, 2003.

Izosova L.A., Izosov A.V. Rastgele değişkenler ve bunların dağılım yasaları //bireysel atamalar// - Magnitogorsk, 2004.

Kremer N.Ş. Olasılık teorisi ve matematiksel istatistik - M.: Unity, 2000.

Chistyakov V.P. Olasılık teorisi kursu - M .: Nauka, 1982.

Rastgele değişkenli bir fonksiyonun tanımı. Ayrık fonksiyon rastgele argüman ve sayısal özellikleri. Sürekli rastgele argümanın fonksiyonu ve sayısal özellikleri. İki rastgele argümanın fonksiyonları. İki rastgele argümanlı bir fonksiyon için olasılık dağılım fonksiyonunun ve yoğunluğunun belirlenmesi.

Tek rastgele değişkenli bir fonksiyonun olasılık dağılımı kanunu

Çeşitli bilgilerin doğruluğunun değerlendirilmesiyle ilgili problemleri çözerken otomatik sistemler, üretim doğruluğu bireysel unsurlar sistemler vb. için genellikle bir veya daha fazla rastgele değişkenin fonksiyonlarını dikkate almak gerekir. Bu tür fonksiyonlar aynı zamanda rastgele değişkenlerdir. Bu nedenle problem çözerken problemde ortaya çıkan rastgele değişkenlerin dağılım yasalarını bilmek gerekir. Bu durumda rastgele argümanlar sisteminin dağılım yasası ve fonksiyonel bağımlılık genellikle bilinir.

Böylece aşağıdaki gibi formüle edilebilecek bir problem ortaya çıkar.

Rasgele değişkenlerden oluşan bir sistem verildiğinde (X_1,X_2,\ldots,X_n) dağıtım kanunu bilinmektedir. Bazı rastgele değişken Y, bu rastgele değişkenlerin bir fonksiyonu olarak kabul edilir:

Y=\varphi(X_1,X_2,\ldots,X_n).

Fonksiyonların biçimini (6.1) ve argümanlarının ortak dağılım yasasını bilerek Y rastgele değişkeninin dağılım yasasını belirlemek gerekir.

Rasgele bir argümanın bir fonksiyonunun dağılım yasası problemini ele alalım.

Y=\varphi(X).

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(X)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

O halde Y=\varphi(X) aynı zamanda olası değerleri olan ayrık bir rastgele değişkendir. Eğer tüm değerler y_1,y_2,\ldots,y_n farklıysa, her k=1,2,\ldots,n için \(X=x_k\) ve olayları \(Y=y_k=\varphi(x_k)\)Özdeş. Buradan,

P\(Y=y_k\)=P\(X=x_k\)=p_k

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(Y)&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi(x_n)\\\hline (P)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Sayıların arasında ise y_1=\varphi(x_1),y_2=\varphi(x_2),\ldots,y_n=\varphi(x_n) aynı olanlar var, o zaman her grup aynı değerler y_k=\varphi(x_k) tabloda bir sütun ayırmanız ve karşılık gelen olasılıkları eklemeniz gerekir.

Sürekli rastgele değişkenler için problem şu şekilde ortaya çıkar: X rastgele değişkeninin dağılım yoğunluğunu f(x) bilerek, rastgele değişken Y=\varphi(X)'in dağılım yoğunluğunu g(y) bulun. Sorunu çözerken iki durumu ele alıyoruz.

Öncelikle y=\varphi(x) fonksiyonunun, X'in tüm olası değerlerinin yer aldığı (a;b) aralığında monoton olarak artan, sürekli ve türevlenebilir olduğunu varsayalım. Bu durumda, monoton olarak artan, sürekli ve türevlenebilir olan x=\psi(y) ters fonksiyonu mevcuttur. Bu durumda elde ederiz

G(y)=f\bigl(\psi(y)\bigr)\cdot |\psi"(y)|.

Örnek 1. Yoğunluğa göre dağıtılan rastgele değişken X

F(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))e^(-x^2/2)

X değeriyle ilişkili Y rastgele değişkeninin dağılım yasasını Y=X^3 bağımlılığıyla bulun.

Çözüm. y=x^3 fonksiyonu (-\infty;+\infty) aralığında monoton olduğundan, (6.2) formülünü uygulayabiliriz. Ters fonksiyon\varphi(x)=x^3 fonksiyonuna göre \psi(y)=\sqrt(y) türevi vardır \psi"(y)=\frac(1)(3\sqrt(y^2)). Buradan,

G(y)=\frac(1)(3\sqrt(2\pi))e^(-\sqrt(y^2)/2)\frac(1)(\sqrt(y^2))

Monoton olmayan bir fonksiyonun durumunu ele alalım. y=\varphi(x) fonksiyonunun, ters x=\psi(y) fonksiyonu belirsiz olacak şekilde olmasına izin verin, yani y miktarının bir değeri, x argümanının birkaç değerine karşılık gelir; bunu belirtiriz x_1=\psi_1(y),x_2=\psi_2(y),\ldots,x_n=\psi_n(y), burada n, y=\varphi(x) fonksiyonunun monoton olarak değiştiği bölümlerin sayısıdır. Daha sonra

G(y)=\sum\limits_(k=1)^(n)f\bigl(\psi_k(y)\bigr)\cdot |\psi"_k(y)|.

Örnek 2. Örnek 1'in koşulları altında Y=X^2 rastgele değişkeninin dağılımını bulun.

Çözüm. Ters fonksiyon x=\psi(y) belirsizdir. Y argümanının bir değeri, x fonksiyonunun iki değerine karşılık gelir

\begin(toplanan)g(y)=f(\psi_1(y))|\psi"_1(y)|+f(\psi_2(y))|\psi"_2(y)|=\\\\ =\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(-\sqrt(y^2)\right)^2/2)\!\left|-\frac(1 )(2\sqrt(y))\right|+\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-\left(\sqrt(y^2)\right)^2/2 )\!\left|\frac(1)(2\sqrt(y))\right|=\frac(1)(\sqrt(2\pi(y)))\,e^(-y/2) .\end(toplandı)

İki rastgele değişkenli bir fonksiyonun dağılım yasası

Rastgele değişken Y'nin sistemi oluşturan iki rastgele değişkenin (X_1;X_2) bir fonksiyonu olmasına izin verin, yani. Y=\varphi(X_1;X_2). Görev, sistemin bilinen dağılımını (X_1;X_2) kullanarak Y rastgele değişkeninin dağılımını bulmaktır.

f(x_1;x_2) rastgele değişkenler sisteminin (X_1;X_2) dağılım yoğunluğu olsun. X_1'e eşit yeni bir Y_1 niceliğini dikkate alalım ve denklem sistemini ele alalım

Bu sistemin x_1,x_2'ye göre benzersiz şekilde çözülebilir olduğunu varsayacağız.

Rastgele değişken Y'nin dağılım yoğunluğu

G_1(y)=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)f(x_1;\psi(y;x_1))\!\left|\frac(\partial\psi(y;x_1)) (\partial(y))\right|dx_1.

Tanıtılan yeni Y_1 değeri X_2'ye eşit olarak ayarlanırsa mantığın değişmeyeceğini unutmayın.

Rastgele değişkenlerin bir fonksiyonunun matematiksel beklentisi

Uygulamada, rastgele değişkenlerin bir fonksiyonunun dağılım yasasını tam olarak belirlemeye özel bir ihtiyacın olmadığı, ancak yalnızca sayısal özelliklerini belirtmenin yeterli olduğu durumlar vardır. Böylece, rastgele değişkenli fonksiyonların sayısal özelliklerinin yanı sıra, bu fonksiyonların dağılım kanunlarının belirlenmesi sorunu ortaya çıkar.

Rastgele değişken Y'nin X rastgele argümanının bir fonksiyonu olmasına izin verin. Kanunla verilen dağıtım

Y=\varphi(X).

Y miktarının dağılım yasasını bulmadan matematiksel beklentisini belirlemek gerekir.

M(Y)=M[\varphi(X)].

X, bir dağılım serisine sahip ayrık bir rastgele değişken olsun

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(x_i)&x_1&x_2&\cdots&x_n\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Y değerinin değerlerini ve bu değerlerin olasılıklarını içeren bir tablo yapalım:

\begin(array)(|c|c|c|c|c|)\hline(y_i=\varphi(x_i))&y_1=\varphi(x_1)&y_2=\varphi(x_2)&\cdots&y_n=\varphi( x_n)\\\hline(p_i)&p_1&p_2&\cdots&p_n\\\hline\end(array)

Bu tablo Y rastgele değişkeninin bir dağılım serisi değildir, çünkü Genel dava Değerlerden bazıları aynı olabilir ve üst satırdaki değerlerin mutlaka artan sırada olması gerekmez. Ancak Y rastgele değişkeninin matematiksel beklentisi aşağıdaki formülle belirlenebilir:

M[\varphi(X)]=\sum\limits_(i=1)^(n)\varphi(x_i)p_i,

Formül (6.4), \varphi(X) fonksiyonunun dağıtım yasasını açıkça içermez, yalnızca X argümanının dağıtım yasasını içerir. Bu nedenle, Y=\varphi(X) fonksiyonunun matematiksel beklentisini belirlemek için, \varphi(X) fonksiyonunun dağılım yasasını bilmek hiç de gerekli değildir; bunun yerine X argümanının dağılım yasasını bilmek gereklidir.

Sürekli bir rastgele değişken için matematiksel beklenti aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanır:

M[\varphi(X)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi(x)f(x)\,dx,

Rastgele argümanların bir fonksiyonunun matematiksel beklentisini bulmak için, argümanların dağılım yasalarının bile bilinmesinin gerekli olmadığı, ancak bunların yalnızca bazı sayısal özelliklerini bilmenin yeterli olduğu durumları ele alalım. Bu durumları teoremler şeklinde formüle edelim.

Teorem 6.1. Hem bağımlı hem de bağımsız iki rastgele değişkenin toplamının matematiksel beklentisi, bu değişkenlerin matematiksel beklentilerinin toplamına eşittir:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Teorem 6.2. İki rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentileri artı korelasyon momentinin çarpımına eşittir:

M(XY)=M(X)M(Y)+\mu_(xy).

Sonuç 6.1. İlişkisiz iki rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Sonuç 6.2. İki bağımsız rastgele değişkenin çarpımının matematiksel beklentisi, matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Rastgele değişkenlerin bir fonksiyonunun varyansı

Dağılımın tanımı gereği elimizde D[Y]=M[(Y-M(Y))^2].. Buradan,

D[\varphi(x)]=M[(\varphi(x)-M(\varphi(x))^2], Nerede .

Hadi verelim hesaplama formülleri yalnızca sürekli rastgele argümanlar durumunda. Bir rastgele argüman Y=\varphi(X) fonksiyonu için varyans aşağıdaki formülle ifade edilir:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)(\varphi(x)-M(\varphi(x)))^2f(x)\,dx,

Nerede M(\varphi(x))=M[\varphi(X)]- \varphi(X) fonksiyonunun matematiksel beklentisi; f(x) - X değerinin dağılım yoğunluğu.

Formül (6.5) aşağıdakiyle değiştirilebilir:

D[\varphi(x)]=\int\limits_(-\infty)^(+\infty)\varphi^2(x)f(x)\,dx-M^2(X)

Hadi düşünelim dağılım teoremleri kim oynuyor önemli rol Olasılık teorisi ve uygulamaları.

Teorem 6.3. Rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, bu değişkenlerin varyanslarının toplamı artı toplamın iki katına eşittir korelasyon anları aşağıdakilerin tümü ile toplam miktarların her biri:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D+2\sum\limits_(i

Sonuç 6.3. İlişkisiz rastgele değişkenlerin toplamının varyansı, terimlerin varyanslarının toplamına eşittir:

D\!\left[\sum\limits_(i=1)^(n)X_i\right]=\sum\limits_(i=1)^(n)D\mu_(y_1y_2)= M(Y_1Y_2)-M(Y_1)M(Y_2).

\mu_(y_1y_2)=M(\varphi_1(X)\varphi_2(X))-M(\varphi_1(X))M(\varphi_2(X)).

Ana konuya bakalım korelasyon momenti ve korelasyon katsayısının özellikleri.

Özellik 1. Rastgele değişkenlere sabit eklemek korelasyon momentini ve korelasyon katsayısını değiştirmez.

Özellik 2. Herhangi bir X ve Y rastgele değişkeni için korelasyon momentinin mutlak değeri, bu değerlerin varyanslarının geometrik ortalamasını aşmaz:

|\mu_(xy)|\leqslant\sqrt(D[X]\cdot D[Y])=\sigma_x\cdot \sigma_y,