x'in kosinüsü nedir? Trigonometrinin temel formülleri

Bu yazımızda kapsamlı bir inceleme yapacağız. Temel trigonometrik kimlikler, bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı arasında bağlantı kuran ve bu trigonometrik fonksiyonlardan herhangi birinin bilinen bir diğeri aracılığıyla bulunmasına olanak sağlayan eşitliklerdir.

Bu yazımızda analiz edeceğimiz ana trigonometrik özdeşlikleri hemen listeleyelim. Bunları bir tablo halinde yazalım ve aşağıda bu formüllerin çıktılarını verip gerekli açıklamaları yapacağız.

Sayfada gezinme.

Bir açının sinüsü ve kosinüsü arasındaki ilişki

Bazen yukarıdaki tabloda listelenen ana trigonometrik özdeşlikler hakkında değil, tek bir tane hakkında konuşurlar. temel trigonometrik kimlik tür . Bu gerçeğin açıklaması oldukça basittir: Eşitlikler, ana trigonometrik özdeşliğin her iki parçasının sırasıyla ve ile bölünmesiyle elde edilir ve eşitlikler Ve sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından takip edin. Bunu aşağıdaki paragraflarda daha ayrıntılı olarak konuşacağız.

Yani, özel ilgi ana trigonometrik özdeşliğe adı verilen eşitliği tam olarak temsil eder.

Ana trigonometrik özdeşliği kanıtlamadan önce formülasyonunu veriyoruz: bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı aynı şekilde bire eşittir. Şimdi bunu kanıtlayalım.

Temel trigonometrik özdeşlik şu durumlarda sıklıkla kullanılır: dönüşüm trigonometrik ifadeler . Bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamının bir ile değiştirilmesine olanak sağlar. Temel trigonometrik kimlik daha az sıklıkla kullanılmaz. ters sıra: birim herhangi bir açının sinüs ve kosinüsünün karelerinin toplamı ile değiştirilir.

Sinüs ve kosinüs yoluyla teğet ve kotanjant

Bir bakış açısının sinüs ve kosinüsü ile teğet ve kotanjantı birleştiren kimlikler ve sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tanımlarından hemen yararlanın. Aslında, tanım gereği sinüs, y'nin ordinatıdır, kosinüs, x'in apsisidir, teğet, ordinatın apsise oranıdır, yani, ve kotanjant apsisin koordinata oranıdır, yani, .

Kimliklerin bu kadar açık olması sayesinde Teğet ve kotanjant genellikle apsis ve ordinat oranıyla değil, sinüs ve kosinüs oranıyla tanımlanır. Yani bir açının tanjantı, sinüsün bu açının kosinüsüne oranıdır ve kotanjant, kosinüsün sinüse oranıdır.

Bu paragrafın sonunda belirtmek gerekir ki, kimlikler ve İçerdiği trigonometrik fonksiyonların anlamlı olduğu tüm açılarda gerçekleşir. Yani formül, (aksi takdirde payda sıfır olur ve sıfıra bölmeyi tanımlamadık) dışında herhangi biri için geçerlidir ve formül - herkes için, farklı olarak, burada z herhangi bir değerdir.

Teğet ve kotanjant arasındaki ilişki

Daha da belirgin trigonometrik özdeşlikönceki ikisine göre, formun bir açısının teğetini ve kotanjantını birleştiren özdeşliktir . Bunun dışındaki tüm açılar için geçerli olduğu açıktır, aksi takdirde teğet veya kotanjant tanımlanmaz.

Formülün kanıtı çok basit. Tanım gereği ve nereden . Kanıt biraz daha farklı bir şekilde gerçekleştirilebilirdi. O zamandan beri , O .

Yani anlamlı oldukları aynı açının teğet ve kotanjantı .

Trigonometri - bölüm matematik bilimi Trigonometrik fonksiyonları ve bunların geometrideki kullanımını araştıran. Trigonometrinin gelişimi o günlerde başladı Antik Yunanistan. Orta Çağ boyunca Orta Doğu ve Hindistan'dan bilim adamlarının bu bilimin gelişmesine önemli katkıları olmuştur.

Bu makale şuna adanmıştır: temel kavramlar ve trigonometrinin tanımları. Temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını tartışır: sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant. Anlamları geometri bağlamında açıklanmış ve gösterilmiştir.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Başlangıçta argümanı açı olan trigonometrik fonksiyonların tanımları en-boy oranları cinsinden ifade ediliyordu. dik üçgen.

Trigonometrik fonksiyonların tanımları

Bir açının sinüsü (sin α), bu açının karşısındaki kenarın hipotenüse oranıdır.

Açının kosinüsü (cos α), bitişik kenarın hipotenüse oranıdır.

Açı teğeti (t g α) - oran karşı taraf yanındakine.

Açı kotanjantı (c t g α) - bitişik tarafın karşı tarafa oranı.

Bu tanımlar bir dik üçgenin dar açısı için verilmiştir!

Bir örnek verelim.

İÇİNDE ABC üçgeni dik açı C sinüs ve A açısı ile orana eşit BC kenarı AB hipotenüsüne.

Sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant tanımları, bu fonksiyonların değerlerini üçgenin kenarlarının bilinen uzunluklarından hesaplamanıza olanak tanır.

Hatırlanması önemli!

Sinüs ve kosinüs değerlerinin aralığı -1'den 1'e kadardır. Yani sinüs ve kosinüs -1'den 1'e kadar değerler alır. Teğet ve kotanjantın değer aralığı sayı doğrusunun tamamıdır, yani bu işlevler herhangi bir değeri alabilir.

Yukarıda verilen tanımlar dar açılar için geçerlidir. Trigonometride, değeri dar açıdan farklı olarak 0 ila 90 derece ile sınırlı olmayan dönme açısı kavramı tanıtıldı. Derece veya radyan cinsinden dönme açısı - ∞ ila + ∞ arasında herhangi bir gerçek sayı ile ifade edilir.

İÇİNDE bu bağlamdaİstediğiniz büyüklükte bir açının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantını tanımlayabilirsiniz. Haydi hayal edelim birim çember Kartezyen koordinat sisteminin orijini merkezlidir.

Koordinatları (1, 0) olan başlangıç ​​noktası A, birim çemberin merkezi etrafında belirli bir α açısı boyunca döner ve A 1 noktasına gider. Tanım A 1 (x, y) noktasının koordinatları cinsinden verilmiştir.

Dönme açısının sinüsü (sinüsü)

Dönme açısı α'nın sinüsü, A1 (x, y) noktasının ordinatıdır. günah α = y

Dönme açısının kosinüsü (cos)

Dönme açısı α'nın kosinüsü, A1 (x, y) noktasının apsisidir. çünkü α = x

Dönme açısının tanjantı (tg)

Dönme açısı α'nın tanjantı, A1 noktasının (x, y) ordinatının apsisine oranıdır. t g α = y x

Dönme açısının kotanjantı (ctg)

Dönme açısı α'nın kotanjantı, A1 noktasının (x, y) apsisinin ordinatına oranıdır. c t g α = x y

Sinüs ve kosinüs herhangi bir dönüş açısı için tanımlanır. Bu mantıklıdır çünkü bir noktanın dönme sonrasında apsisi ve ordinatı herhangi bir açıda belirlenebilir. Teğet ve kotanjant için durum farklıdır. Döndürme sonrasında bir nokta sıfır apsisli (0, 1) ve (0, - 1) bir noktaya gittiğinde teğet tanımsızdır. Bu gibi durumlarda, t g α = y x teğet ifadesi, sıfıra bölünmeyi içerdiğinden, hiçbir anlam ifade etmez. Durum kotanjant için de benzerdir. Aradaki fark, bir noktanın ordinatının sıfıra gittiği durumlarda kotanjantın tanımlı olmamasıdır.

Hatırlanması önemli!

Sinüs ve kosinüs herhangi bir α açısı için tanımlanır.

Teğet, α = 90° + 180° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.

Kotanjant, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm açılar için tanımlanır.

Karar verirken pratik örnekler"α dönme açısının sinüsü" demeyin. "Dönme açısı" kelimeleri basitçe atlanmıştır, bu da neyin tartışıldığının bağlamdan zaten açıkça anlaşıldığını ima etmektedir.

Sayılar

Bir sayının dönme açısı değil de sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantının tanımına ne dersiniz?

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant, kotanjantı

Bir sayının sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjantı T sırasıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjanta eşit olan bir sayıdır. T radyan.

Örneğin 10 π sayısının sinüsü sinüse eşit 10 π rad dönüş açısı.

Bir sayının sinüsünü, kosinüsünü, tanjantını ve kotanjantını belirlemeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Şimdi ona daha yakından bakalım.

Herhangi biri gerçek sayı T Birim çember üzerindeki bir nokta, dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminin başlangıç ​​noktasındaki merkezle ilişkilidir. Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant bu noktanın koordinatları üzerinden belirlenir.

Çemberin başlangıç ​​noktası koordinatları (1, 0) olan A noktasıdır.

Pozitif sayı T

Negatif sayı T daire etrafında saat yönünün tersine hareket ederse başlangıç ​​noktasının gideceği noktaya karşılık gelir ve yoluna gidecek T.

Artık bir sayı ile bir daire üzerindeki bir nokta arasındaki bağlantı kurulduğuna göre sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın tanımına geçiyoruz.

T'nin sinüsü (günahı)

Bir sayının sinüsü T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın koordinatı T. günah t = y

Kosinüs (cos) t

Bir sayının kosinüsü T- birim çemberin sayıya karşılık gelen noktasının apsisi T. çünkü t = x

T'nin tanjantı (tg)

Bir sayının tanjantı T- birim çember üzerindeki sayıya karşılık gelen bir noktanın ordinatının apsisine oranı T. t g t = y x = sin t çünkü t

En son tanımlar bu paragrafın başında verilen tanıma uygundur ve çelişmez. Sayıya karşılık gelen dairenin üzerine gelin T, bir açıyla döndükten sonra başlangıç ​​noktasının gittiği noktaya denk gelir T radyan.

Açısal ve sayısal argümanın trigonometrik fonksiyonları

α açısının her değeri, bu açının sinüs ve kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir. α = 90° + 180°k dışındaki tüm α açıları gibi, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) belirli bir teğet değerine karşılık gelir. Kotanjant, yukarıda belirtildiği gibi, α = 180° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z) dışındaki tüm α'lar için tanımlanır.

sin α, cos α, t g α, c t g α'nın alfa açısının fonksiyonları veya açısal argümanın fonksiyonları olduğunu söyleyebiliriz.

Benzer şekilde, sayısal bir argümanın fonksiyonları olarak sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjanttan bahsedebiliriz. Her gerçek sayı T bir sayının sinüs veya kosinüsünün belirli bir değerine karşılık gelir T. π 2 + π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar bir teğet değere karşılık gelir. Benzer şekilde kotanjant, π · k, k ∈ Z dışındaki tüm sayılar için tanımlanır.

Trigonometrinin temel fonksiyonları

Sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant temel trigonometrik fonksiyonlardır.

Trigonometrik fonksiyonun hangi argümanının ( açı argümanı veya sayısal argüman) ile uğraşıyoruz.

En başta verilen tanımlara ve 0 ila 90 derece aralığında yer alan alfa açısına dönelim. Trigonometrik tanımlar sinüs, kosinüs, tanjant ve kotanjant tamamen tutarlıdır geometrik tanımlar, bir dik üçgenin en boy oranları kullanılarak verilmiştir. Hadi gösterelim.

Merkezi dikdörtgen olan bir birim çember alın Kartezyen sistem koordinatlar A (1, 0) başlangıç ​​noktasını 90 dereceye kadar bir açıyla döndürelim ve ortaya çıkan A 1 (x, y) noktasından apsis eksenine dik bir çizelim. Ortaya çıkan dik üçgende A 1 O H açısı açıya eşitα'yı döndürdüğünüzde, O H ayağının uzunluğu A 1 (x, y) noktasının apsisine eşittir. Açının karşısındaki bacağın uzunluğu A 1 (x, y) noktasının ordinatına eşittir ve birim dairenin yarıçapı olduğu için hipotenüsün uzunluğu bire eşittir.

Geometrideki tanıma uygun olarak, α açısının sinüsü karşı tarafın hipotenüse oranına eşittir.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Bu, bir dik üçgende bir dar açının sinüsünü en boy oranı aracılığıyla belirlemenin, alfa 0 ila 90 derece aralığında yer alacak şekilde dönme açısı a'nın sinüsünü belirlemeye eşdeğer olduğu anlamına gelir.

Benzer şekilde kosinüs, tanjant ve kotanjant için tanımların uygunluğu gösterilebilir.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

En basit çözüm trigonometrik denklemler.

Herhangi bir karmaşıklık düzeyindeki trigonometrik denklemlerin çözülmesi, sonuçta en basit trigonometrik denklemlerin çözülmesine indirgenir. Ve bunda en iyi yardımcı yine trigonometrik bir daire olduğu ortaya çıkıyor.

Kosinüs ve sinüs tanımlarını hatırlayalım.

Bir açının kosinüsü, belirli bir açı boyunca bir dönüşe karşılık gelen birim daire üzerindeki bir noktanın apsisidir (yani eksen boyunca koordinattır).

Bir açının sinüsü, belirli bir açı boyunca bir dönüşe karşılık gelen birim daire üzerindeki bir noktanın ordinatıdır (yani eksen boyunca koordinattır).

Boyunca pozitif hareket yönü trigonometrik daire Saat yönünün tersine hareket dikkate alınır. 0 derecelik (veya 0 radyan) bir dönüş, koordinatları (1;0) olan bir noktaya karşılık gelir

Bu tanımları basit trigonometrik denklemleri çözmek için kullanırız.

1. Denklemi çözün

Bu denklem, koordinatı eşit olan daire üzerindeki noktalara karşılık gelen dönme açısının tüm değerleri tarafından karşılanır.

Ordinat ekseninde ordinatı olan bir noktayı işaretleyelim:

Hadi gerçekleştirelim yatay çizgiçemberle kesişene kadar x eksenine paraleldir. Çember üzerinde uzanan ve ordinatı olan iki nokta elde ediyoruz. Bu noktalar, cinsinden dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelir:

Radyanlarla dönme açısına karşılık gelen noktayı bırakarak etrafta dolaşırsak tam daire sonra radyan başına dönüş açısına karşılık gelen ve aynı koordinata sahip bir noktaya ulaşacağız. Yani bu dönme açısı da denklemimizi sağlıyor. Aynı noktaya dönerek istediğimiz kadar "boşta" dönüş yapabiliriz ve tüm bu açı değerleri denklemimizi karşılayacaktır. “Boşta” devirlerin sayısı (veya) harfiyle belirtilecektir. Bu devrimleri hem olumlu hem de olumsuz anlamda yapabildiğimiz için negatif yön, (veya ) herhangi bir tamsayı değerini alabilir.

Yani ilk çözüm serisi orijinal denklemşu forma sahiptir:

, , - tam sayılar kümesi (1)

Benzer şekilde, ikinci çözüm serisi şu şekildedir:

, Nerede , . (2)

Tahmin edebileceğiniz gibi, bu çözüm serisi dairenin üzerindeki dönme açısına karşılık gelen noktaya dayanmaktadır.

Bu iki çözüm serisi tek bir girişte birleştirilebilir:

Bu girişi (yani eşit) alırsak, ilk çözüm serisini elde ederiz.

Bu girdiyi (yani tek) alırsak, ikinci çözüm serisini elde ederiz.

2. Şimdi denklemi çözelim

Bu, birim çember üzerindeki bir noktanın bir açıyla döndürülerek elde edilen apsisi olduğundan, eksen üzerinde apsis bulunan noktayı işaretleriz:

Hadi gerçekleştirelim dikey çizgi daireyle kesişene kadar eksene paraleldir. Çember üzerinde uzanan ve apsisi olan iki nokta elde edeceğiz. Bu noktalar dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelir. Saat yönünde hareket ederken negatif bir dönüş açısı elde ettiğimizi hatırlayın:

İki dizi çözümü yazalım:

,

,

(Ana tam daireden yani yani daireden giderek istenilen noktaya ulaşıyoruz.

Bu iki seriyi tek bir girdide birleştirelim:

3. Denklemi çözün

Teğet doğru birim çemberin OY eksenine paralel (1,0) koordinatlı noktadan geçer

Üzerinde ordinatı 1'e eşit olan bir nokta işaretleyelim (açıları 1'e eşit olan teğetini arıyoruz):

Bu noktayı bir doğru ile koordinatların orijinine bağlayalım ve doğrunun birim çember ile kesişme noktalarını işaretleyelim. Düz çizgi ile dairenin kesişme noktaları ve üzerindeki dönme açılarına karşılık gelir:

Denklemimizi sağlayan dönme açılarına karşılık gelen noktalar birbirinden radyan uzaklıkta olduğundan çözümü şu şekilde yazabiliriz:

4. Denklemi çözün

Kotanjant çizgisi birim çemberin koordinatları eksene paralel olan noktadan geçer.

Kotanjantlar doğrusu üzerinde apsis -1 olan bir noktayı işaretleyelim:

Bu noktayı doğrunun başlangıç ​​noktasına bağlayalım ve çemberle kesişene kadar devam edelim. Bu düz çizgi, daireyi dönme açılarına ve radyanlara karşılık gelen noktalarda kesecektir:

Bu noktalar birbirinden eşit mesafe ile ayrıldığından, o zaman genel çözüm Bu denklemi şu şekilde yazabiliriz:

En basit trigonometrik denklemlerin çözümünü gösteren verilen örneklerde şunları kullandık: tablo değerleri trigonometrik fonksiyonlar.

Bununla birlikte, denklemin sağ tarafı tablo dışı bir değer içeriyorsa, bu değeri denklemin genel çözümüne koyarız:

ÖZEL ÇÖZÜMLER:

Ordinatı 0 olan çember üzerinde noktaları işaretleyelim:

Ordinatı 1 olan çember üzerinde tek bir noktayı işaretleyelim:

Çember üzerinde koordinatı -1 olan tek bir noktayı işaretleyelim:

Sıfıra en yakın değerleri belirtmek alışılmış olduğundan çözümü şu şekilde yazıyoruz:

Apsisi 0’a eşit olan çember üzerinde noktaları işaretleyelim:

5.
Apsisi 1’e eşit olan çember üzerinde tek bir nokta işaretleyelim:

Apsisi -1'e eşit olan çember üzerinde tek bir nokta işaretleyelim:

Ve biraz daha karmaşık örnekler:

1.

Sinüs bire eşit eğer argüman eşitse

Sinüsümüzün argümanı eşittir, dolayısıyla şunu elde ederiz:

Eşitliğin her iki tarafını da 3'e bölün:

Cevap:

2.

Kosinüs sıfıra eşit kosinüs argümanı eşitse

Kosinüsümüzün argümanı eşittir ve şunu elde ederiz:

ifade edelim, bunun için önce ters işaretle sağa doğru hareket edelim:

Sağ tarafı sadeleştirelim:

Her iki tarafı da -2'ye bölün:

K herhangi bir tamsayı değeri alabildiğinden, terimin önündeki işaretin değişmediğine dikkat edin.

Cevap:

Ve son olarak “Trigonometrik bir denklemde köklerin seçilmesi” başlıklı video eğitimini izleyin. trigonometrik daire"

Bu, basit trigonometrik denklemlerin çözümü hakkındaki konuşmamızı sonlandırıyor. Bir dahaki sefere nasıl karar vereceğimizi konuşacağız.

Sinüs (), kosinüs (), tanjant (), kotanjant () kavramları, açı kavramıyla ayrılmaz bir şekilde bağlantılıdır. Bunları ilk bakışta iyi anlayabilmek için karmaşık kavramlar(birçok okul çocuğunda korku durumuna neden olan) ve “şeytanın resmedildiği kadar korkutucu olmadığından” emin olmak için en baştan başlayalım ve açı kavramını anlayalım.

Açı kavramı: radyan, derece

Şimdi resme bakalım. Vektör noktaya göre belirli bir miktarda “dönmüştür”. Yani bu dönmenin başlangıç ​​konumuna göre ölçüsü şu şekilde olacaktır: köşe.

Açı kavramı hakkında bilmeniz gereken başka ne var? Tabii ki açı birimleri!

Açı, hem geometride hem de trigonometride derece ve radyan cinsinden ölçülebilir.

(Bir derece) açıya denir merkez açı bir daire içinde, dairenin bir kısmına eşit bir dairesel yay temel alınarak. Böylece, dairenin tamamı dairesel yayların "parçalarından" oluşur veya dairenin tarif ettiği açı eşittir.

Yani yukarıdaki şekil şuna eşit bir açıyı göstermektedir, yani bu açı, çevre büyüklüğünde bir dairesel yay üzerinde durmaktadır.

Radyan cinsinden bir açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan bir daire yayının çevrelediği bir dairedeki merkez açıdır. Peki anladın mı? Değilse, çizimden çözelim.

Yani şekil bir açıyı gösteriyor bir radyana eşit yani, bu açı, uzunluğu dairenin yarıçapına eşit olan (uzunluk, uzunluğa veya yarıçapa eşit olan) dairesel bir yay üzerinde durmaktadır. uzunluğa eşit yaylar). Böylece yay uzunluğu aşağıdaki formülle hesaplanır:

Radyan cinsinden merkez açı nerede?

Peki bunu bildiğinize göre, dairenin tarif ettiği açının kaç radyan içerdiğini cevaplayabilir misiniz? Evet bunun için çevre formülünü hatırlamanız gerekiyor. İşte:

Şimdi bu iki formülü ilişkilendirelim ve dairenin tarif ettiği açının eşit olduğunu bulalım. Yani değeri derece ve radyan cinsinden ilişkilendirerek bunu elde ederiz. Sırasıyla . Gördüğünüz gibi, "derece"den farklı olarak "radyan" kelimesi atlanmıştır, çünkü ölçü birimi genellikle bağlamdan açıkça anlaşılmaktadır.

Kaç radyan var? Bu doğru!

Anladım? Sonra devam edin ve düzeltin:

Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman bak cevaplar:

Sağ üçgen: sinüs, kosinüs, tanjant, açının kotanjantı

Böylece açı kavramını anladık. Peki bir açının sinüsü, kosinüsü, teğeti ve kotanjantı nedir? Hadi çözelim. Bunu yapmak için dik üçgen bize yardımcı olacaktır.

Dik üçgenin kenarlarına ne denir? Aynen öyle, hipotenüs ve bacaklar: hipotenüs dik açının karşısındaki kenardır (örneğimizde bu kenardır); bacaklar kalan iki taraftır ve (bitişik olanlar) dik açı) ve eğer bacakları açıya göre düşünürsek, o zaman bacak bitişik bacaktır ve bacak bunun tersidir. Şimdi şu soruyu cevaplayalım: Bir açının sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantı nedir?

Açının sinüsü- bu, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.

Bizim üçgenimizde.

Açının kosinüsü- bu, bitişik (yakın) bacağın hipotenüse oranıdır.

Bizim üçgenimizde.

Açının tanjantı- bu, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.

Bizim üçgenimizde.

Açının kotanjantı- bu, bitişik (yakın) bacağın karşıt (uzak) bacağına oranıdır.

Bizim üçgenimizde.

Bu tanımlar gerekli Unutma! Hangi bacağın neye bölüneceğini hatırlamayı kolaylaştırmak için bunu açıkça anlamalısınız. teğet Ve kotanjant yalnızca bacaklar oturur ve hipotenüs yalnızca sinüs Ve kosinüs. Ve sonra bir çağrışımlar zinciri oluşturabilirsiniz. Örneğin, bu:

Kosinüs → dokunma → dokunma → bitişik;

Kotanjant → dokunma → dokunma → bitişik.

Her şeyden önce, bir üçgenin kenarlarının oranları bu kenarların uzunluklarına (aynı açıda) bağlı olmadığından sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjantın olduğunu hatırlamanız gerekir. Bana inanmıyor musun? Daha sonra resme bakarak emin olun:

Örneğin bir açının kosinüsünü düşünün. Tanım gereği bir üçgenden: , ancak bir açının kosinüsünü bir üçgenden hesaplayabiliriz: . Görüyorsunuz, kenarların uzunlukları farklı ama bir açının kosinüsünün değeri aynı. Dolayısıyla sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri yalnızca açının büyüklüğüne bağlıdır.

Tanımları anlıyorsanız, devam edin ve bunları pekiştirin!

Aşağıdaki şekilde gösterilen üçgen için şunu buluyoruz.

Peki, anladın mı? O halde kendiniz deneyin: aynısını açı için hesaplayın.

Birim (trigonometrik) daire

Derece ve radyan kavramlarını anlayarak yarıçapı eşit olan bir daire düşündük. Böyle bir daireye denir Bekar. Trigonometri çalışırken çok faydalı olacaktır. Bu nedenle biraz daha detaylı bakalım.

Gördüğünüz gibi, verilen daire Kartezyen koordinat sistemine göre inşa edilmiştir. Çemberin yarıçapı bire eşittir ve çemberin merkezi orijindedir, başlangıç ​​pozisyonu Yarıçap vektörü eksenin pozitif yönü boyunca sabitlenmiştir (örneğimizde bu yarıçaptır).

Çember üzerindeki her nokta iki sayıya karşılık gelir: eksen koordinatı ve eksen koordinatı. Nedir bu koordinat numaraları? Ve genel olarak, bunların elimizdeki konuyla ne ilgisi var? Bunu yapmak için, dikkate alınan dik üçgeni hatırlamamız gerekir. Yukarıdaki şekilde iki tam dik üçgeni görüyorsunuz. Bir üçgen düşünün. Eksene dik olduğundan dikdörtgendir.

Üçgen neye eşittir? Bu doğru. Ayrıca bunun birim çemberin yarıçapı olduğunu da biliyoruz, yani . Bu değeri kosinüs formülümüzde yerine koyalım. İşte olanlar:

Üçgen neye eşittir? Tabii ki! Yarıçap değerini bu formülde değiştirin ve şunu elde edin:

Peki bir çembere ait bir noktanın hangi koordinatlara sahip olduğunu söyleyebilir misiniz? Peki, mümkün değil mi? Peki ya bunun farkına varırsanız ve yalnızca rakamlardan ibaretseniz? Hangi koordinata karşılık geliyor? Tabii ki koordinatlar! Peki hangi koordinata karşılık geliyor? Doğru, koordinatlar! Böylece dönem.

O halde ve eşittir nedir? Aynen öyle, teğet ve kotanjantın karşılık gelen tanımlarını kullanalım ve şunu elde edelim, a.

Ya açı daha büyükse? Örneğin bu resimdeki gibi:

Neler değişti bu örnekte? Hadi çözelim. Bunu yapmak için tekrar dik üçgene dönelim. Bir dik üçgen düşünün: açı (bir açıya bitişik olarak). Bir açı için sinüs, kosinüs, teğet ve kotanjant değerleri nelerdir? Doğru, trigonometrik fonksiyonların ilgili tanımlarına uyuyoruz:

Gördüğünüz gibi açının sinüs değeri hala koordinata karşılık geliyor; açının kosinüsünün değeri - koordinat; ve karşılık gelen oranlara teğet ve kotanjant değerleri. Dolayısıyla bu ilişkiler yarıçap vektörünün herhangi bir dönüşüne uygulanır.

Yarıçap vektörünün başlangıç ​​konumunun eksenin pozitif yönü boyunca olduğundan daha önce bahsedilmişti. Şu ana kadar bu vektörü saat yönünün tersine döndürdük ama saat yönünde döndürürsek ne olur? Olağanüstü bir şey yok, ayrıca belli bir değerde bir açı elde edeceksiniz, ancak yalnızca negatif olacaktır. Böylece, yarıçap vektörünü saat yönünün tersine döndürdüğümüzde, şunu elde ederiz: pozitif açılar ve saat yönünde döndürüldüğünde - negatif.

Yani yarıçap vektörünün bir daire etrafındaki tam devriminin veya olduğunu biliyoruz. Yarıçap vektörünü şuna veya şuna döndürmek mümkün mü? Tabii ki yapabilirsin! Dolayısıyla ilk durumda yarıçap vektörü bir yapar tam dönüş ve veya konumunda durur.

İkinci durumda, yarıçap vektörü üç tam devir yapacak ve veya konumunda duracaktır.

Böylece, yukarıdaki örneklerden, veya (herhangi bir tamsayı olduğunda) farklı olan açıların, yarıçap vektörünün aynı konumuna karşılık geldiği sonucuna varabiliriz.

Aşağıdaki şekil bir açıyı göstermektedir. Aynı görüntü köşeye vs. karşılık gelir. Bu listeye süresiz olarak devam edilebilir. Tüm bu açılar genel formülle veya (herhangi bir tamsayı olduğunda) yazılabilir.

Şimdi temel trigonometrik fonksiyonların tanımlarını bilerek ve birim çemberi kullanarak değerlerin ne olduğunu cevaplamaya çalışın:

İşte size yardımcı olacak bir birim çember:

Zorluk mu yaşıyorsunuz? O zaman çözelim. Yani şunu biliyoruz:

Buradan belirli açı ölçülerine karşılık gelen noktaların koordinatlarını belirliyoruz. Pekala, sırayla başlayalım: açısı koordinatları olan bir noktaya karşılık gelir, bu nedenle:

Mevcut değil;

Ayrıca aynı mantığa bağlı kalarak köşelerin sırasıyla koordinatlı noktalara karşılık geldiğini buluyoruz. Bunu bilerek trigonometrik fonksiyonların değerlerini karşılık gelen noktalarda belirlemek kolaydır. Önce kendiniz deneyin, sonra cevapları kontrol edin.

Cevaplar:

mevcut değil

mevcut değil

mevcut değil

mevcut değil

Böylece aşağıdaki tabloyu yapabiliriz:

Tüm bu değerleri hatırlamanıza gerek yok. Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik fonksiyonların değerleri arasındaki yazışmayı hatırlamak yeterlidir:

Ancak aşağıdaki tabloda verilen ve açılarının trigonometrik fonksiyonlarının değerleri, hatırlanmalıdır:

Korkmayın, şimdi size bir örnek göstereceğiz karşılık gelen değerleri hatırlamak oldukça basit:

Bu yöntemi kullanmak için, açının tanjantının yanı sıra, üç açı ölçüsünün () tümü için sinüs değerlerini hatırlamak hayati önem taşır. Bu değerleri bilerek tüm tabloyu geri yüklemek oldukça basittir - kosinüs değerleri oklara göre aktarılır, yani:

Bunu bilerek değerleri geri yükleyebilirsiniz. " " payı eşleşecek ve " " paydası eşleşecektir. Kotanjant değerleri şekilde gösterilen oklara göre aktarılır. Bunu anlayıp okların olduğu diyagramı hatırlarsanız tablodaki tüm değerleri hatırlamanız yeterli olacaktır.

Çember üzerindeki bir noktanın koordinatları

Bir daire üzerinde bir noktayı (koordinatlarını) bulmak mümkün mü? Çemberin merkezinin koordinatlarını, yarıçapını ve dönme açısını bilmek?

Tabii ki yapabilirsin! Hadi çıkaralım genel formül bir noktanın koordinatlarını bulmak için.

Örneğin önümüzde bir daire var:

Bize bu noktanın çemberin merkezi olduğu söylendi. Çemberin yarıçapı eşittir. Noktanın derece derece döndürülmesiyle elde edilen bir noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.

Şekilden de görülebileceği gibi noktanın koordinatı parçanın uzunluğuna karşılık gelmektedir. Segmentin uzunluğu dairenin merkezinin koordinatına karşılık gelir, yani eşittir. Bir segmentin uzunluğu kosinüs tanımı kullanılarak ifade edilebilir:

Sonra nokta koordinatı için elimizde bu var.

Aynı mantığı kullanarak noktanın y koordinat değerini buluyoruz. Böylece,

Yani, içinde genel görünüm Noktaların koordinatları formüllerle belirlenir:

Çemberin merkezinin koordinatları,

Daire yarıçapı,

Vektörün yarıçapının dönme açısı.

Gördüğünüz gibi, düşündüğümüz birim daire için, merkezin koordinatları sıfıra ve yarıçap bire eşit olduğundan bu formüller önemli ölçüde azaltılmıştır:

Peki çember üzerindeki noktaları bulma alıştırması yaparak bu formülleri deneyelim mi?

1. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.

2. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.

3. Birim çember üzerindeki bir noktanın, noktanın döndürülmesiyle elde edilen koordinatlarını bulun.

4. Nokta dairenin merkezidir. Çemberin yarıçapı eşittir. Başlangıç ​​yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.

5. Nokta çemberin merkezidir. Çemberin yarıçapı eşittir. Başlangıç ​​yarıçap vektörünü döndürerek elde edilen noktanın koordinatlarını bulmak gerekir.

Bir daire üzerindeki bir noktanın koordinatlarını bulmakta sorun mu yaşıyorsunuz?

Bu beş örneği çözün (veya çözmede ustalaşın) ve onları bulmayı öğreneceksiniz!

1.

Bunu fark edebilirsiniz. Ama tam bir devrime neyin karşılık geldiğini biliyoruz başlangıç ​​noktası. Böylece istenilen nokta döndürüldüğü zamankiyle aynı konumda olacaktır. Bunu bilerek noktanın gerekli koordinatlarını buluyoruz:

2. Birim çember bir noktada ortalanmıştır; bu, basitleştirilmiş formülleri kullanabileceğimiz anlamına gelir:

Bunu fark edebilirsiniz. Başlangıç ​​noktasının iki tam dönüşüne neyin karşılık geldiğini biliyoruz. Böylece istenilen nokta döndürüldüğü zamankiyle aynı konumda olacaktır. Bunu bilerek noktanın gerekli koordinatlarını buluyoruz:

Sinüs ve kosinüs tablo değerleridir. Anlamlarını hatırlıyoruz ve şunu elde ediyoruz:

Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.

3. Birim çember bir noktada ortalanmıştır; bu, basitleştirilmiş formülleri kullanabileceğimiz anlamına gelir:

Bunu fark edebilirsiniz. Söz konusu örneği şekilde tasvir edelim:

Yarıçap eksene eşit ve eksenle açı yapar. Kosinüs ve sinüsün tablo değerlerinin eşit olduğunu bilerek ve buradaki kosinüsün alınacağını belirledikten sonra negatif değer ve sinüs pozitiftir, elimizde:

Daha fazla ayrıntı benzer örnekler Konudaki trigonometrik fonksiyonların azaltılmasına yönelik formüller incelenirken anlaşılır.

Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.

4.

Vektörün yarıçapının dönme açısı (koşula göre)

Karşılık gelen sinüs ve kosinüs işaretlerini belirlemek için bir birim daire ve açı oluştururuz:

Gördüğünüz gibi değer pozitif, yani değer negatiftir. İlgili trigonometrik fonksiyonların tablo değerlerini bilerek şunu elde ederiz:

Elde edilen değerleri formülümüzde yerine koyalım ve koordinatları bulalım:

Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.

5. Bu sorunu çözmek için genel formdaki formülleri kullanırız;

Çemberin merkezinin koordinatları (örneğimizde,

Daire yarıçapı (koşula göre)

Vektörün yarıçapının dönme açısı (koşula göre).

Tüm değerleri formülde yerine koyalım ve şunu elde edelim:

ve - tablo değerleri. Bunları hatırlayalım ve formülde yerine koyalım:

Böylece istenilen noktanın koordinatları olur.

ÖZET VE TEMEL FORMÜLLER

Bir açının sinüsü, karşı (uzak) bacağın hipotenüse oranıdır.

Bir açının kosinüsü, bitişik (yakın) kenarın hipotenüse oranıdır.

Bir açının tanjantı, karşı (uzak) tarafın bitişik (yakın) tarafa oranıdır.

Bir açının kotanjantı, bitişik (yakın) tarafın karşı (uzak) tarafa oranıdır.

Örnekler:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0,416…\)

Argüman ve anlam

Dar açının kosinüsü

Dar açının kosinüsü bir dik üçgen kullanılarak belirlenebilir - bitişik bacağın hipotenüse oranına eşittir.

Örnek :

1) Bir açı verilsin ve bu açının kosinüsünü bulmamız gerekiyor.

2) Herhangi bir dik üçgeni bu açı üzerinde tamamlayalım.

3) Ölçtükten sonra, gerekli taraflar kosinüsü hesaplayabiliriz.

Bir sayının kosinüsü

Sayı çemberi herhangi bir sayının kosinüsünü belirlemenize olanak tanır, ancak genellikle sayıların kosinüsünün şu şekilde ilişkili olduğunu bulursunuz: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Örneğin, \(\frac(π)(6)\) sayısı için kosinüs \(\frac(\sqrt(3))(2)\) değerine eşit olacaktır. Ve \(-\)\(\frac(3π)(4)\) sayısı için \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\)'ye eşit olacaktır (yaklaşık olarak \ (-0 ,71\)).

Pratikte sıklıkla karşılaşılan diğer sayılara ilişkin kosinüs için bkz.

Kosinüs değeri her zaman \(-1\) ile \(1\) aralığında yer alır. Bu durumda kosinüs kesinlikle herhangi bir açı ve sayı için hesaplanabilir.

Herhangi bir açının kosinüsü

Sayı çemberi sayesinde, yalnızca dar bir açının değil aynı zamanda geniş, negatif ve hatta \(360°\)'den büyük (tam dönüş) kosinüsünü de belirleyebilirsiniz. Bunun nasıl yapılacağını bir kez görmek \(100\) kez duymaktan daha kolaydır, o yüzden resme bakın.

Şimdi bir açıklama: varsayalım ki açının kosinüsünü belirlememiz gerekiyor KOAİle derece ölçüsü\(150°\) cinsinden. Noktayı birleştirmek HAKKINDA dairenin merkezi ve kenarı ile TAMAM– \(x\) ekseniyle. Bundan sonra \(150°\) saat yönünün tersine bir kenara koyun. Daha sonra noktanın ordinatı A bize bu açının kosinüsünü gösterecek.

Derece ölçüsü olan bir açıyla ilgileniyorsak, örneğin \(-60°\) (açı KOV), aynısını yapın ancak \(60°\) saat yönünde ayarlayın.

Ve son olarak, açı \(360°\)'den büyüktür (açı CBS) - her şey aptal olana benziyor, ancak saat yönünde tam bir tur gittikten sonra ikinci daireye gidiyoruz ve "derece eksikliğini alıyoruz". Özellikle bizim durumumuzda açı \(405°\) \(360° + 45°\) olarak çizilmiştir.

Örneğin \(960°\) cinsinden bir açı çizmek için iki dönüş (\(360°+360°+240°\)) ve bir açı için de \(2640) yapmanız gerektiğini tahmin etmek kolaydır. °\) - tam yedi.

Bir sayının hem kosinüsünü hem de kosinüsünü nasıl değiştirirsiniz? keyfi açı hemen hemen aynı şekilde tanımlanmıştır. Yalnızca daire üzerinde noktanın bulunma şekli değişir.

Çeyreğe göre kosinüs işaretleri

Kosinüs eksenini (yani şekilde kırmızıyla vurgulanan apsis ekseni) kullanarak sayısal (trigonometrik) daire boyunca kosinüslerin işaretlerini belirlemek kolaydır:

Eksen üzerindeki değerlerin \(0\) ila \(1\) arasında olduğu durumlarda, kosinüs artı işaretine sahip olacaktır (I ve IV çeyrekleri - yeşil alan),
- Eksen üzerindeki değerlerin \(0\) ila \(-1\) arasında olduğu durumlarda, kosinüs eksi işaretine sahip olacaktır (II ve III çeyrekleri - mor alan).

Diğer trigonometrik fonksiyonlarla ilişki:

Denklemin çözümü \(\cos⁡x=a\)

\(\cos⁡x=a\) denkleminin çözümü; burada \(a\), \(1\)'den büyük ve \(-1\)'den küçük olmayan bir sayıdır; \(a∈[-1;1]\):

\(\cos ⁡x=a\) \(⇔\) \(x=±\arccos⁡a+2πk, k∈Z\)

Eğer \(a>1\) veya \(a<-1\), то решений у уравнения нет.

Denklemi sayı çemberini kullanarak çözelim. Bunu yapmak için:
1) Eksenleri oluşturalım.
2) Bir daire oluşturalım.
3) Kosinüs ekseninde (eksen \(y\)) \(\frac(1)(2)\) noktasını işaretleyin.
4) Bu noktadan kosinüs eksenine dik bir çizgi çizin.
5) Dikmenin ve dairenin kesişme noktalarını işaretleyin.
6) Bu noktaların değerlerini işaretleyelim: \(\frac(π)(3)\) ,\(-\)\(\frac(π)(3)\) .
7) Bu noktalara karşılık gelen tüm değerleri \(x=t+2πk\), \(k∈Z\) formülünü kullanarak yazalım:
\(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\);

Cevap: \(x=±\frac(π)(3)+2πk\) \(k∈Z\)

Fonksiyon \(y=\cos(x)\)

Açıları \(x\) ekseni boyunca radyan cinsinden ve bu açılara karşılık gelen kosinüs değerlerini \(y\) ekseni boyunca çizersek aşağıdaki grafiği elde ederiz:

Bu grafik denir ve aşağıdaki özelliklere sahiptir:

Tanım alanı herhangi bir x değeridir: \(D(\cos(⁡x))=R\)
- değer aralığı – \(-1\) ila \(1\) arası: \(E(\cos(x))=[-1;1]\)
- çift: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- \(2π\) periyoduyla periyodik: \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- Koordinat eksenleriyle kesişme noktaları:
abscissa ekseni: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), burada \(n ϵ Z\)
Y ekseni: \((0;1)\)
- işaretin değişmezlik aralıkları:
fonksiyon şu aralıklarda pozitiftir: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), burada \(n ϵ Z\)
fonksiyon şu aralıklarda negatiftir: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), burada \(n ϵ Z\)
- artış ve azalma aralıkları:
fonksiyon şu aralıklarla artar: \((π+2πn;2π+2πn)\), burada \(n ϵ Z\)
fonksiyon şu aralıklarla azalır: \((2πn;π+2πn)\), burada \(n ϵ Z\)
- fonksiyonun maksimumları ve minimumları:
fonksiyonun \(x=2πn\) noktalarında \(y=1\) maksimum değeri vardır, burada \(n ϵ Z\)
fonksiyonun \(x=π+2πn\) noktalarında \(y=-1\) minimum değeri vardır, burada \(n ϵ Z\).