Bir üçgenin açılarının toplamı nasıl bulunur? Öğrenilen materyalin pekiştirilmesi

Bu teorem aynı zamanda L.S. Atanasyan'ın ders kitabında da formüle edilmiştir. ve Pogorelov A.V.'nin ders kitabında. . Bu ders kitaplarındaki bu teoremin kanıtları önemli ölçüde farklı değildir ve bu nedenle kanıtını örneğin A.V. Pogorelov'un ders kitabından sunuyoruz.

Teorem: Bir üçgenin açılarının toplamı 180°'dir

Kanıt. ABC'ye izin ver - verilen üçgen. B köşesinden AC doğrusuna paralel bir çizgi çizelim. A ve D noktaları yan yana olacak şekilde D noktasını işaretleyelim. farklı taraflar BC direkt hattından (Şek. 6).

DBC ve ACB açıları, AC ve BD paralel düz çizgileriyle BC sekantının oluşturduğu iç çapraz uzanma açılarına eşittir. Dolayısıyla bir üçgenin B ve C köşelerindeki açılarının toplamı ABD açısına eşittir. Ve bir üçgenin üç açısının toplamı ABD ve BAC açılarının toplamına eşittir. Bunlar paralel AC ve BD ile sekant AB için tek taraflı iç açılar olduğundan toplamları 180°'dir. Teorem kanıtlandı.

Bu kanıtın fikri, paralel hat ve istenilen açıların eşitliğinin belirlenmesi. Böyle bir fikri yeniden oluşturalım ek inşaat, bu teoremi bir düşünce deneyi kavramını kullanarak kanıtlıyoruz. Bir düşünce deneyi kullanarak teoremin kanıtı. Yani düşünce deneyimizin konusu üçgenin açılarıdır. Onu zihinsel olarak özünün özel bir kesinlikle ortaya çıkabileceği koşullara yerleştirelim (1. aşama).

Bu koşullar, üçgenin köşelerinin, üç köşesinin de bir noktada birleştirileceği şekilde düzenlenmesi olacaktır. Eğim açısını değiştirmeden üçgenin kenarlarını hareket ettirerek köşeleri "hareket ettirme" olanağına izin verirsek böyle bir kombinasyon mümkündür (Şekil 1). Bu tür hareketler esasen birbirini takip eden zihinsel dönüşümlerdir (2. aşama).

Bir üçgenin açılarını ve kenarlarını (Şekil 2) "hareket ederek" elde edilen açıları belirleyerek, düşünce öznemizi yerleştirdiğimiz çevreyi, bağlantılar sistemini zihinsel olarak oluştururuz (3. aşama).

BC çizgisi boyunca "hareket eden" ve eğim açısını değiştirmeden AB çizgisi, 1 açısını 5 açısına aktarır ve AC çizgisi boyunca "hareket ederek", 2 açısını 4 açısına aktarır. Böyle bir "hareket" AB çizgisiyle olduğundan AC ve BC çizgilerinin eğim açısını değiştirmiyorsa sonuç açıktır: a ve a1 ışınları AB'ye paraleldir ve birbirine dönüşür ve b ve b1 ışınları sırasıyla BC ve AC kenarlarının devamıdır. 3 açısı ile b ve b1 ışınları arasındaki açı dikey olduğundan eşittir. Bu açıların toplamı döndürülen aa1 açısına eşittir, yani 180°.

ÇÖZÜM

İÇİNDE diploma çalışması bazı okulların “inşa edilmiş” kanıtlarını gerçekleştirdi geometrik teoremler Formüle edilmiş hipotezi doğrulayan bir düşünce deneyinin yapısını kullanarak.

Sunulan kanıtlar, orijinal geometrik nesneyi özel bir şekilde dönüştürmeyi ve bir düşünce için tipik olan temel özelliklerini vurgulamayı mümkün kılan "sıkıştırma", "germe", "kayma" gibi görsel ve duyusal idealleştirmelere dayanıyordu. deney. Bu durumda bir düşünce deneyi, geometrik bilginin (örneğin, geometrik bilginin) ortaya çıkmasına katkıda bulunan belirli bir "yaratıcı araç" görevi görür. orta çizgi yamuk veya bir üçgenin açıları civarında). Bu tür idealleştirmeler, tüm kanıt fikrini, "ek inşaat" gerçekleştirme fikrini kavramayı mümkün kılar; bu da, okul çocukları tarafından resmi tümdengelimli kanıt sürecinin daha bilinçli bir şekilde anlaşılması olasılığı hakkında konuşmamıza olanak tanır. geometrik teoremler.

Düşünce deneyi geometrik teoremlerin elde edilmesi ve keşfedilmesi için temel yöntemlerden biridir. Yöntemin öğrenciye aktarılması için bir metodolojinin geliştirilmesi gerekmektedir. Yöntemi “kabul etmek” için kabul edilebilir bir öğrencinin yaşıyla ilgili soru hala açık. yan etkiler» Kanıtların bu şekilde sunulması.

Bu konular daha fazla çalışmayı gerektirir. Ancak her durumda kesin olan bir şey var: Okul çocuklarında bir düşünce deneyi gelişiyor teorik düşünme, bunun temelidir ve bu nedenle zihinsel deney yeteneğinin geliştirilmesi gerekir.

>>Geometri: Bir üçgenin açılarının toplamı. Dersleri tamamla

DERS KONUSU: Bir üçgenin açılarının toplamı.

Dersin Hedefleri:

• Öğrencilerin “Üçgenin açılarının toplamı” konusundaki bilgilerini pekiştirmek ve test etmek;
• Üçgenin açılarının özelliklerinin kanıtı;
• Bu özelliğin basit problemlerin çözümünde uygulanması;
• Kullanım tarihi malzeme gelişim için bilişsel aktiviteöğrenciler;
• Çizimler oluştururken doğruluk becerisini aşılamak.

Dersin Hedefleri:

• Öğrencilerin problem çözme becerilerini test edin.

Ders planı:

1. Üçgen;
2. Bir üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teorem;
3. Örnek görevler.

Üçgen.

Dosya:O.gif Üçgen- 3 köşesi (açı) ve 3 tarafı olan en basit çokgen; düzlemin üç nokta ve bu noktaları çiftler halinde birbirine bağlayan üç doğru parçasıyla sınırlanan kısmı.
Uzayda aynı düz çizgi üzerinde yer almayan üç nokta tek ve tek bir düzleme karşılık gelir.
Herhangi bir çokgen üçgenlere bölünebilir - bu işleme denir üçgenleme.
Matematiğin tamamen üçgen yasalarının incelenmesine ayrılmış bir bölümü vardır. Trigonometri.

Bir üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teorem.

Dosya:T.gif Üçgen açı toplamı teoremi, bir üçgenin açılarının toplamının 180° olduğunu belirten klasik bir Öklid geometrisi teoremidir.

Kanıt" :

Δ ABC verilsin. B köşesinden (AC)'ye paralel bir çizgi çizelim ve üzerine D noktasını işaretleyelim, böylece A ve D noktaları BC doğrusunun karşıt taraflarında yer alsın. O zaman açı (DBC) ve açı (ACB), BD ve AC paralel çizgileri ve kesen (BC) ile iç çapraz olarak uzanan açıya eşittir. O halde üçgenin B ve C köşelerindeki açılarının toplamı (ABD) açısına eşittir. Ancak ABC üçgeninin A köşesindeki açı (ABD) ve açı (BAC), BD ve AC paralel çizgileri ve kesen (AB) ile iç tek taraflıdır ve bunların toplamı 180°'dir. Bu nedenle üçgenin açılarının toplamı 180°'dir. Teorem kanıtlandı.

Sonuçlar.

Bir üçgenin dış açısı toplamına eşit Bir üçgenin kendisine bitişik olmayan iki açısı.

Kanıt:

Δ ABC verilsin. D noktası AC doğrusu üzerinde yer alır ve böylece A, C ile D arasında kalır. Bu durumda BAD, A tepe noktasında üçgenin açısının dışındadır ve A + BAD = 180°. Ancak A + B + C = 180° ve dolayısıyla B + C = 180° – A. Dolayısıyla KÖTÜ = B + C. Sonuç kanıtlanmıştır.

Sonuçlar.

Bir üçgenin bir dış açısı, üçgenin kendisine komşu olmayan herhangi bir açısından daha büyüktür.

Görev.

Bir üçgenin dış açısı, bu üçgenin herhangi bir açısına komşu olan açıdır. Kanıtla dış köşe Bir üçgenin ölçüsü, bir üçgenin kendisine komşu olmayan iki açısının toplamına eşittir.
(Şekil 1)

Çözüm:

Δ ABC ∠DAС'nın harici olmasına izin verin (Şekil 1). O zaman ∠DAC=180°-∠BAC (özelliğe göre) bitişik köşeler), bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoreme göre ∠B+∠C = 180°-∠BAC. Bu eşitliklerden ∠DAС=∠В+∠С elde ederiz

İlginç gerçek:

Bir üçgenin açılarının toplamı" :

Lobaçevski geometrisinde bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180'den küçüktür. Öklid geometrisinde ise her zaman 180'e eşittir. Riemann geometrisinde bir üçgenin açılarının toplamı her zaman 180'den büyüktür.

Matematik tarihinden:

Öklid (M.Ö. 3. yüzyıl) “Elementler” adlı eserinde şu tanımı verir: “Paralel çizgiler, aynı düzlemde olan ve her iki yönde de süresiz olarak uzatılan, her iki tarafta birbiriyle kesişmeyen çizgilerdir.”
Posidonius (MÖ 1. yüzyıl) “Aynı düzlemde birbirinden eşit aralıklarla uzanan iki düz çizgi”
Antik Yunan bilim adamı Pappus (MÖ III. Yüzyıl) paralellik sembolünü tanıttı düz işaret=. Daha sonra İngiliz ekonomist Ricardo (1720-1823) bu sembolü eşittir işareti olarak kullanmıştır.
Ancak 18. yüzyılda paralel çizgiler için sembolü - || işaretini kullanmaya başladılar.
Nesiller arasındaki canlı bağ bir an olsun kopmuyor; atalarımızın biriktirdiği tecrübeleri her gün öğreniyoruz. Antik Yunanlılar gözlemlere ve pratik tecrübe sonuçlar çıkardılar, hipotezler ifade ettiler ve ardından bilim adamlarının toplantılarında - sempozyumlarda (kelimenin tam anlamıyla "bayram") - bu hipotezleri doğrulamaya ve kanıtlamaya çalıştılar. O sırada şu ifade ortaya çıktı: "Gerçek, anlaşmazlıkla doğar."

Sorular:

1. Üçgen nedir?
2. Bir üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teorem ne diyor?
3. Üçgenin dış açısı nedir?

Amaçlar ve hedefler:

Eğitici:

• üçgen hakkındaki bilgileri tekrarlamak ve genelleştirmek;
• bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremi kanıtlayın;
• teoremin formülasyonunun doğruluğunu pratik olarak doğrulamak;
• Problem çözerken edinilen bilgileri uygulamayı öğrenir.

Eğitici:

• Geometrik düşünmeyi, konuya ilgiyi, bilişsel ve yaratıcı aktiviteöğrenciler, matematik konuşması, bağımsız olarak bilgi edinme yeteneği.

Eğitici:

• geliştirmek kişisel nitelikleriöğrencilerde kararlılık, azim, doğruluk, takım halinde çalışabilme yeteneği gibi özellikler yer almaktadır.

Teçhizat: multimedya projektörü, renkli kağıttan yapılmış üçgenler, öğretim materyalleri " Yaşayan matematik", bilgisayar ekranı.

Hazırlık aşaması:Öğretmen öğrenciye hazırlama görevi verir. tarihi bilgi“Bir üçgenin açılarının toplamı” teoremi hakkında.

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Dersler sırasında

I. Organizasyon anı

Selamlar. Psikolojik tutumöğrenciler çalışmaya.

II. Isınmak

İLE geometrik şekilÖnceki derslerde tanıştığımız “üçgen”. Üçgen hakkında bildiklerimizi tekrarlayalım mı?

Öğrenciler gruplar halinde çalışırlar. Her birine bağımsız olarak biliş sürecini inşa etmek için birbirleriyle iletişim kurma fırsatı verilir.

Ne oldu? Her grup kendi önerisini yapar, öğretmen bunları tahtaya yazar. Sonuçlar tartışılıyor:

Resim 1

III. Ders hedefini formüle etmek

Yani üçgen hakkında zaten oldukça fazla şey biliyoruz. Fakat hepsi değil. Her birinizin masanızda üçgenler ve açıölçerler var. Sizce ne tür bir problem formüle edebiliriz?

Öğrenciler dersin görevini formüle ederler - bir üçgenin açılarının toplamını bulmak.

IV. Yeni malzemenin açıklaması

Pratik kısım(bilgiyi güncellemeyi ve kendini tanıma becerilerini teşvik eder). Açıölçer kullanarak açıları ölçün ve toplamlarını bulun. Sonuçları not defterinize yazın (alınan cevapları dinleyin). Açıların toplamının herkes için farklı olduğunu öğreniyoruz (bu, iletkinin doğru uygulanmaması, hesaplamanın dikkatsizce yapılması vb. nedeniyle olabilir).

Noktalı çizgileri katlayın ve bir üçgenin açılarının toplamının başka neye eşit olduğunu bulun:

A)
şekil 2

B)
Figür 3

V)
Şekil 4

G)
Şekil 5

D)
Şekil 6

Pratik çalışmayı tamamladıktan sonra öğrenciler şu cevabı formüle ederler: Bir üçgenin açılarının toplamı eşittir derece ölçüsü açılmamış açı, yani 180°.

Öğretmen: Matematikte pratik iş Sadece bir tür beyanda bulunmayı mümkün kılar, ancak bunun kanıtlanması gerekir. Geçerliliği kanıtla sağlanan bir ifadeye teorem denir. Hangi teoremi formüle edip kanıtlayabiliriz?

Öğrenciler: Bir üçgenin açılarının toplamı 180 derecedir.

Tarihsel referans: Bir üçgenin açılarının toplamı özelliği Antik Mısır. Sunulan kanıt modern ders kitapları, Proclus'un Öklid'in Elementleri hakkındaki yorumlarında yer almaktadır. Proclus bu kanıtın (Şekil 8) Pisagorcular (M.Ö. 5. yüzyıl) tarafından keşfedildiğini iddia etmektedir. Öklid, Elementler'in ilk kitabında, bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremin bir çizim yardımıyla kolayca anlaşılabilecek başka bir kanıtını ortaya koyar (Şekil 7):

Şekil 7

Şekil 8

Çizimler projektör aracılığıyla ekranda görüntülenir.

Öğretmen çizimler kullanarak teoremi kanıtlamayı teklif eder.

Daha sonra ispat, “Yaşayan Matematik” öğretme ve öğrenme kompleksi kullanılarak gerçekleştirilir.. Öğretmen teoremin kanıtını bilgisayara yansıtır.

Üçgenin açılarının toplamı ile ilgili teorem: “Üçgenin açılarının toplamı 180°”

Şekil 9

Kanıt:

A)

Şekil 10

B)

Şekil 11

V)

Şekil 12

Öğrencilerin not defterlerinde yaptıkları Kısa not teoremin kanıtı:

Teorem: Bir üçgenin açılarının toplamı 180°dir.

Şekil 13

Verilen: ABC

Kanıtlamak: A + B + C = 180°.

Kanıt:

Kanıtlanması gereken şey.

V.Fiz. bir dakika.

VI. Yeni malzemenin açıklaması (devamı)

Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teoremin sonucu öğrenciler tarafından bağımsız olarak çıkarılır, bu, formüle etme yeteneğinin geliştirilmesine katkıda bulunur. kendi noktası bakış açısını ifade edin ve savunun:

Herhangi bir üçgende ya tüm açılar dardır ya da ikisi dar, üçüncüsü geniş ya da diktir..

Bir üçgenin tüm açıları dar ise buna denir. dar açılı.

Üçgenin açılarından biri geniş ise buna denir. geniş açılı.

Üçgenin açılarından biri dik ise buna denir. dikdörtgen.

Bir üçgenin açılarının toplamına ilişkin teorem, üçgenleri yalnızca kenarlarına göre değil aynı zamanda açılarına göre de sınıflandırmamıza olanak tanır. (Öğrenciler üçgen türlerini tanıttıkça öğrenciler tabloyu doldururlar)

tablo 1

Üçgen görünümü	İkizkenar	Eşkenar	Çok yönlü
Dikdörtgen
Geniş
Dar açılı

VII. Çalışılan materyalin konsolidasyonu.

1. Sorunları sözlü olarak çözün:

(Çizimler projektör aracılığıyla ekranda görüntülenir)

Görev 1. C açısını bulun.

Şekil 14

Problem 2. F açısını bulun.

Şekil 15

Görev 3. K ve N açılarını bulun.

Şekil 16

Problem 4. P ve T açılarını bulun.

Şekil 17

1. 223 (b, d) numaralı problemi kendiniz çözün.
2. 224 numaralı öğrenci problemini tahtada ve defterlerde çözsün.
3. Sorular: Bir üçgenin aşağıdaki özellikleri olabilir mi? a) iki dik açı; b) iki geniş açılar; c) bir dik ve bir geniş açı.
4. (sözlü olarak yapılır) Her masadaki kartlar çeşitli üçgenleri gösterir. Her üçgenin türünü gözle belirleyin.

Şekil 18

1. 1, 2 ve 3 açılarının toplamını bulun.

Şekil 19

VIII. Ders özeti.

Öğretmen: Ne öğrendik? Teorem herhangi bir üçgene uygulanabilir mi?

IX. Refleks.

Bana ruh halinizi söyleyin beyler! İLE ters taraf Yüz ifadelerinizi tasvir etmek için bir üçgen kullanın.

Şekil 20

Ev ödevi: paragraf 30 (bölüm 1), soru 1 bölüm. IV ders kitabının 89. sayfası; 223 (a, c), Sayı 225.

Teorem. Toplam iç köşeler Bir üçgenin ölçüsü iki dik açıya eşittir.

Bir ABC üçgenini alalım (Şekil 208). İç açılarını 1, 2 ve 3 sayılarıyla gösterelim.

∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°.

Üçgenin bir köşesinden, örneğin B'den, AC'ye paralel bir MN düz çizgisi çizelim.

B köşesinde üç açımız var: ∠4, ∠2 ve ∠5. Toplamları düz bir açıdır, dolayısıyla 180°'ye eşittir:

∠4 + ∠2 + ∠5 = 180°.

Ancak ∠4 = ∠1 paralel MN ve AC çizgileri ve AB sekantıyla iç çapraz açılardır.

∠5 = ∠3 - bunlar MN ve AC paralel çizgileri ve BC sekantıyla iç çapraz açılardır.

Bu, ∠4 ve ∠5'in, eşitleri olan ∠1 ve ∠3 ile değiştirilebileceği anlamına gelir.

Bu nedenle, ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. Teorem kanıtlandı.

2. Üçgenin dış açısının özelliği.

Aslında ABC üçgeni(Şekil 209) ∠1 + ∠2 = 180° - ∠3, fakat aynı zamanda ∠ВСD, bu üçgenin ∠1 ve ∠2'ye komşu olmayan dış açısı da 180° - ∠3'e eşittir.

Böylece:

∠1 + ∠2 = 180° - ∠3;

∠BCD = 180° - ∠3.

Bu nedenle, ∠1 + ∠2= ∠BCD.

Bir üçgenin dış açısının türetilmiş özelliği, bir üçgenin dış açısına ilişkin daha önce kanıtlanmış teoremin içeriğini açıklığa kavuşturur; bu teorem, yalnızca bir üçgenin dış açısının, kendisine bitişik olmayan bir üçgenin her bir iç açısından daha büyük olduğunu belirtir; artık dış açının kendisine komşu olmayan her iki iç açının toplamına eşit olduğu tespit edilmiştir.

3. Açısı 30° olan dik üçgenin özelliği.

Bırak girsin dik üçgen ASV açısı B 30°'dir (Şek. 210). O zaman diğeri onun keskin köşe 60°'ye eşit olacaktır.

AC kenarının AB hipotenüsünün yarısına eşit olduğunu kanıtlayalım. AC ayağına zirvenin ötesinde devam edelim dik açı C ve CM segmentini bir kenara bırakın, segmente eşit AC. M noktasını B noktasına bağlayın. Ortaya çıkan üçgen ВСМ bir üçgene eşit DIA ABM üçgeninin her bir açısının 60°ye eşit olduğunu, dolayısıyla bu üçgenin eşkenar üçgen olduğunu görüyoruz.

AC kenarı AM'nin yarısına eşittir ve AM, AB'ye eşit olduğundan, AC kenarı AB hipotenüsünün yarısına eşit olacaktır.