Doğrunun asimptotlarını bulun. Fonksiyon grafiklerinin asimptotları: türleri, çözüm örnekleri

Nasıl eklenir matematiksel formüller siteye mi?

Bir web sayfasına bir veya iki matematik formülü eklemeniz gerekirse, bunu yapmanın en kolay yolu makalede anlatıldığı gibidir: matematiksel formüller, Wolfram Alpha tarafından otomatik olarak oluşturulan resimler biçiminde siteye kolayca eklenir. . Sadeliğin yanı sıra bu evrensel yöntem web sitesinin görünürlüğünü artırmaya yardımcı olacak arama motorları. Uzun zamandır çalışıyor (ve sanırım sonsuza kadar çalışacak), ancak ahlaki açıdan zaten modası geçmiş.

Sitenizde sürekli olarak matematik formülleri kullanıyorsanız, görüntüleyen özel bir JavaScript kütüphanesi olan MathJax'i kullanmanızı öneririm. matematiksel gösterim MathML, LaTeX veya ASCIIMathML işaretlemesini kullanan web tarayıcılarında.

MathJax'i kullanmaya başlamanın iki yolu vardır: (1) basit bir kod kullanarak, bir MathJax betiğini hızlı bir şekilde sitenize bağlayabilirsiniz. doğru an uzak bir sunucudan otomatik olarak yükleme (sunucu listesi); (2) MathJax betiğini uzak bir sunucudan sunucunuza indirin ve sitenizin tüm sayfalarına bağlayın. Daha karmaşık ve zaman alıcı olan ikinci yöntem, sitenizin sayfalarının yüklenmesini hızlandıracaktır ve eğer ana MathJax sunucusu herhangi bir nedenle geçici olarak kullanılamaz hale gelirse, bu durum kendi sitenizi hiçbir şekilde etkilemeyecektir. Bu avantajlarına rağmen daha basit, hızlı olması ve teknik beceri gerektirmemesi nedeniyle ilk yöntemi tercih ettim. Örneğimi takip edin ve sadece 5 dakika içinde MathJax'in tüm özelliklerini sitenizde kullanabileceksiniz.

MathJax kütüphane komut dosyasını, ana MathJax web sitesinden veya dokümantasyon sayfasından alınan iki kod seçeneğini kullanarak uzak bir sunucudan bağlayabilirsiniz:

Bu kod seçeneklerinden birinin kopyalanıp web sayfanızın koduna, tercihen etiketlerin arasına ve/veya etiketin hemen sonrasına yapıştırılması gerekir. İlk seçeneğe göre MathJax daha hızlı yükleniyor ve sayfayı daha az yavaşlatıyor. Ancak ikinci seçenek MathJax'in en son sürümlerini otomatik olarak izler ve yükler. İlk kodu eklerseniz periyodik olarak güncellenmesi gerekecektir. İkinci kodu girerseniz sayfalar daha yavaş yüklenir ancak sürekli MathJax güncellemelerini takip etmenize gerek kalmaz.

MathJax'e bağlanmanın en kolay yolu Blogger veya WordPress'tir: site kontrol paneline, üçüncü taraf JavaScript kodunu eklemek için tasarlanmış bir widget ekleyin, yukarıda sunulan indirme kodunun birinci veya ikinci sürümünü buraya kopyalayın ve widget'ı daha yakına yerleştirin şablonun başına (bu arada, MathJax betiği eşzamansız olarak yüklendiğinden bu hiç de gerekli değil). İşte bu. Artık MathML, LaTeX ve ASCIIMathML'in işaretleme sözdizimini öğrenin ve sitenizin web sayfalarına matematiksel formüller eklemeye hazırsınız.

Herhangi bir fraktal şuna göre inşa edilir: belli bir kural, sınırsız sayıda ardışık olarak uygulanır. Bu tür zamanların her birine yineleme adı verilir.

Bir Menger süngeri oluşturmak için yinelemeli algoritma oldukça basittir: Kenarı 1 olan orijinal küp, yüzlerine paralel düzlemlerle 27'ye bölünür. eşit küpler. Bir merkezi küp ve yüzleri boyunca ona bitişik 6 küp ondan çıkarılır. Sonuç, kalan 20 küçük küpten oluşan bir settir. Bu küplerin her biriyle aynı işlemi yaparak 400 küçük küpten oluşan bir set elde ediyoruz. Bu işlemi sonsuza kadar sürdürerek Menger süngeri elde ediyoruz.

Çoğu durumda, önce eğrinin asimptotlarını oluşturursanız bir fonksiyonun grafiğini oluşturmak daha kolaydır.

Tanım 1. Asimptotlar, değişken artı sonsuza veya eksi sonsuzluğa eğilim gösterdiğinde, bir fonksiyonun grafiğinin keyfi olarak yakından yaklaştığı düz çizgilerdir.

Tanım 2. Düz bir çizgiye, bir fonksiyonun grafiğinin asimptotu denir. değişken nokta M fonksiyonun bu doğruya kadar olan grafiği, nokta sonsuza kadar uzaklaştıkça sıfıra yönelir M orijinden itibaren fonksiyon grafiğinin herhangi bir dalı boyunca.

Üç tür asimptot vardır: dikey, yatay ve eğik.

Tanım . Dümdüz X = Aöyle fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu, eğer nokta X = A bu fonksiyon için ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır.

Tanımdan şu sonuç çıkıyor: düz çizgi X = A fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur F(X) koşullardan en az birinin karşılanması durumunda:

Bu durumda fonksiyon F(X) sırasıyla hiç tanımlanamayabilir, X ≥ A Ve X ≤ A .

Yorum:

Örnek 1. Bir fonksiyonun grafiği sen=n X dikey bir asimptotu vardır X= 0 (yani eksenle çakışıyor) oy) tanım alanının sınırında, çünkü x sağdan sıfıra doğru giderken fonksiyonun limiti eksi sonsuza eşittir:

(yukarıdaki resim).

Örnek 2. Fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Örnek 3. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

If (argüman olarak bir fonksiyonun limiti artı veya eksi sonsuza doğru belirli bir değere eşitse) B), O sen = B – yatay asimptotçarpık sen = F(X) (X artı sonsuza doğru eğilim gösterdiğinde sağ, X eksi sonsuza doğru eğilim gösterdiğinde sol ve X artı veya eksi sonsuza doğru eğilim gösterdiğinde sınırlar eşitse iki taraflı).

Örnek 5. Bir fonksiyonun grafiği

en A> 1 yatay asimpototu bıraktı sen= 0 (yani eksenle çakışıyor) Öküz), çünkü “x” eksi sonsuza doğru gittiği için fonksiyonun limiti sıfırdır:

"x" artı sonsuza eğilim gösterdiğinden fonksiyonun limiti sonsuza eşit olduğundan eğrinin sağ yatay asimptotu yoktur:

Yukarıda incelediğimiz dikey ve yatay asimptotlar koordinat eksenlerine paralel olduğundan bunları oluşturmak için yalnızca ihtiyacımız vardı. belli bir sayı- Asimptotun içinden geçtiği apsis veya ordinat ekseni üzerindeki bir nokta. Eğik bir asimptot için daha fazlasına ihtiyaç vardır; eğim k düz çizginin eğim açısını gösteren ve ücretsiz üye Bçizginin orijinin ne kadar üstünde veya altında olduğunu gösterir. Analitik geometriyi ve ondan düz bir çizginin denklemlerini unutmayanlar, eğik bir asimptot için açısal katsayılı bir düz çizginin denklemini bulduklarını fark edeceklerdir. Eğik bir asimptotun varlığı, az önce bahsedilen katsayıların bulunduğu aşağıdaki teorem ile belirlenir.

Teorem. Eğriyi yapmak için sen = F(X) bir asimptotu vardı sen = kx + B var olmaları için gerekli ve yeterli sonlu sınırlar k Ve B Değişken eğiliminde olduğundan söz konusu fonksiyonun X artı sonsuza ve eksi sonsuza:

(1)

(2)

Bu şekilde bulunan sayılar k Ve B ve eğik asimptot katsayılarıdır.

İlk durumda (x artı sonsuza doğru eğilim gösterdiği için) sağa eğimli bir asimptot elde edilir, ikinci durumda (x eksi sonsuza doğru eğilim gösterdiği için) sola eğik bir asimptot elde edilir. Sağ eğik asimptot Şekil 2'de gösterilmektedir. altında.

Eğik asimptot denklemini bulurken X'in hem artı sonsuza hem de eksi sonsuza olan eğilimini hesaba katmak gerekir. Bazı fonksiyonlar için, örneğin kesirli rasyonel olanlar için, bu sınırlar çakışır, ancak birçok fonksiyon için bu sınırlar farklıdır ve bunlardan yalnızca biri mevcut olabilir.

Limitler çakışıyorsa ve x artı sonsuza ve eksi sonsuzluğa yöneliyorsa, düz çizgi sen = kx + B eğrinin iki taraflı asimptotudur.

Asimptotu tanımlayan limitlerden en az biri ise sen = kx + B, mevcut değilse, fonksiyonun grafiğinin eğik bir asimptotu yoktur (ancak dikey bir asimptotu olabilir).

Yatay asimptotun olduğunu görmek kolaydır. sen = B eğikliğin özel bir durumudur sen = kx + B en k = 0 .

Bu nedenle, herhangi bir yönde bir eğrinin yatay bir asimptotu varsa, o zaman bu yönde eğimli bir asimptot yoktur ve bunun tersi de geçerlidir.

Örnek 6. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Fonksiyon sayı doğrusu dışında tüm sayı doğrusunda tanımlanmıştır. X= 0, yani

Bu nedenle kırılma noktasında X= 0 eğrinin dikey bir asimptotu olabilir. Aslında, x soldan sıfıra doğru giderken fonksiyonun limiti artı sonsuza eşittir:

Buradan, X= 0 – bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu.

Bu fonksiyonun grafiğinin yatay bir asimptotu yoktur, çünkü x artı sonsuza doğru fonksiyonun limiti artı sonsuza eşittir:

Eğik bir asimptotun varlığını bulalım:

Sonlu sınırları var k= 2 ve B= 0. Dümdüz sen = 2X bu fonksiyonun grafiğinin iki yönlü eğik asimptotudur (örnek içindeki şekil).

Örnek 7. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Fonksiyonun bir kırılma noktası vardır X= −1 . Tek taraflı limitleri hesaplayalım ve süreksizliğin tipini belirleyelim:

Çözüm: X= −1 ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır, dolayısıyla düz çizgi X= −1 bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur.

Eğik asimptotları arıyoruz. Çünkü bu fonksiyon- kesirli-rasyonel, ve noktasındaki sınırlar çakışacaktır. Böylece, düz çizgi - eğik asimptotu denklemde değiştirmek için katsayıları buluruz:

Bulunan katsayıları düz çizgi denkleminde yerine koymak eğim eğik asimptot denklemini elde ederiz:

sen = −3X + 5 .

Şekilde fonksiyonun grafiği bordo renkle, asimptotlar ise siyah renkle gösterilmiştir.

Örnek 8. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Bu fonksiyon sürekli olduğundan grafiğinin dikey asimptotu yoktur. Eğik asimptotları arıyoruz:

.

Dolayısıyla bu fonksiyonun grafiğinin asimptotu vardır. sen= 0'dır ve 'de asiptodu yoktur.

Örnek 9. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. İlk önce bakıyoruz dikey asimptotlar. Bunu yapmak için fonksiyonun tanım tanım kümesini buluyoruz. Eşitsizlik ve olduğunda bir fonksiyon tanımlanır. Değişkenin işareti X işaretiyle eşleşir. Bu nedenle eşdeğer eşitsizliği düşünün. Bundan fonksiyonun tanım alanını elde ederiz: . Dikey bir asimptot yalnızca fonksiyonun tanım bölgesinin sınırında olabilir. Ancak X= 0 dikey bir asimptot olamaz çünkü fonksiyon şu şekilde tanımlıdır: X = 0 .

Sağdan limiti göz önünde bulundurun (soldan limit yoktur):

.

Nokta X= 2 ikinci türden bir süreksizlik noktasıdır, yani düz çizgi X= 2 - bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu.

Eğik asimptotları arıyoruz:

Bu yüzden, sen = X+ 1 - bu fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotu. Eğik bir asimptot arıyoruz:

Bu yüzden, sen = −X− 1 - eğik asimptot .

Örnek 10. Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm. Bir fonksiyonun bir tanım alanı vardır . Bu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu yalnızca tanım kümesinin sınırında olabileceğinden, fonksiyonun tek taraflı limitlerini .

Bir y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin asimptotu, (x, f(x)) noktasından bu düz çizgiye olan mesafenin, grafik noktası sonsuza kadar hareket ettikçe sıfıra yönelme özelliğine sahip bir düz çizgidir. kökeni.

Şekil 3.10'da. verildi grafik örnekleri dikey, yatay ve eğik asimptotlar.

Grafiğin asimptotlarının bulunması aşağıdaki üç teoreme dayanmaktadır.

Dikey asimptot teoremi. y = f(x) fonksiyonu x 0 noktasının bir komşuluğunda tanımlansın (belki bu noktanın kendisi hariç) ve fonksiyonun tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşit olsun, yani. O halde x = x 0 düz çizgisi, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin dikey asimptotudur.

Açıkçası, eğer fonksiyon x 0 noktasında sürekli ise, x = x 0 düz çizgisi dikey bir asimptot olamaz, çünkü bu durumda . Sonuç olarak, fonksiyonun süreksizlik noktalarında veya tanım kümesinin uçlarında dikey asimptotlar aranmalıdır.

Yatay asimptot teoremi. Yeterince büyük x için y = f(x) fonksiyonu tanımlansın ve fonksiyonun sonlu bir limiti vardır. O halde y = b doğrusu, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Yorum. Limitlerden yalnızca biri sonluysa, fonksiyonun sırasıyla sol veya sağ taraflı yatay asimptotu vardır.

Bu durumda fonksiyonun eğik bir asimptotu olabilir.

Eğik asimptot teoremi. Yeterince büyük x için y = f(x) fonksiyonu tanımlansın ve sonlu limitler olsun . O halde y = kx + b düz çizgisi, fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotudur.

Kanıt yok.

Yatay bir asimptot gibi eğik bir asimptot da, karşılık gelen limitlerin temeli belirli bir işaretin sonsuzluğu ise sağ veya sol yönlü olabilir.

Fonksiyonları incelemek ve grafiklerini oluşturmak genellikle aşağıdaki adımları içerir:

1. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun.

2. Çift-tek eşlik fonksiyonunu inceleyin.

3. Süreksizlik noktalarını ve fonksiyonun, eğer sonluysa, tanım bölgesinin sınırlarındaki davranışını inceleyerek düşey asimptotları bulun.

4. Fonksiyonun sonsuzdaki davranışını inceleyerek yatay veya eğik asimptotları bulun.

5. Fonksiyonun monotonluğunun ekstremumlarını ve aralıklarını bulun.

6. Fonksiyonun dışbükeylik aralıklarını ve dönüm noktalarını bulun.

7. Koordinat eksenleriyle kesişme noktalarını ve muhtemelen bazı ek puanlar, programı açıklığa kavuşturmak.

Fonksiyon diferansiyeli

Bir fonksiyonun şuna eşit bir limite sahip olması durumunda kanıtlanabilir: sonlu sayı, o zaman bu sayının ve aynı tabana sahip sonsuz küçük bir değerin toplamı olarak temsil edilebilir (ve tersi): .

Bu teoremi türevlenebilir bir fonksiyona uygulayalım: .

Dolayısıyla Dу fonksiyonunun artışı iki terimden oluşur: 1) Dх'a göre doğrusal, yani. f `(x)Dх; 2) Dx'e göre doğrusal olmayan, yani. a(Dx)Dx. Aynı zamanda, beri , bu ikinci terim sonsuz küçük bir fazlası temsil ediyor yüksek sipariş Dx'ten daha fazla (Dx sıfıra yaklaştıkça, daha da hızlı sıfıra yönelir).

Bir fonksiyonun diferansiyeli, fonksiyonun artışının Dx kısmına göre ana, doğrusaldır, ürüne eşit bağımsız değişken dy = f `(x)Dх'nin artışının türevi.

y = x fonksiyonunun diferansiyelini bulalım.

dy = f `(x)Dх = x`Dх = Dх olduğundan, dx = Dх, yani. Bağımsız bir değişkenin diferansiyeli bu değişkenin artışına eşittir.

Bu nedenle bir fonksiyonun diferansiyeli formülü dy = f `(x)dх şeklinde yazılabilir. Türevin gösterimlerinden birinin dy/dх kesri olmasının nedeni budur.

Geometrik anlam gösterilen diferansiyel
Şekil 3.11. Grafiğe y = f(x) fonksiyonunu alalım keyfi nokta M(x, y). Argümana x artışını Dx verelim. O zaman y = f(x) fonksiyonu Dy = f(x + Dx) - f(x) artışını alacaktır. Fonksiyonun grafiğine, apsis ekseninin pozitif yönü ile bir a açısı oluşturan M noktasında bir teğet çizelim; f '(x) = tan a. İtibaren dik üçgen MKN
KN = MN*tg a = Dх*tg a = f `(x)Dх = dy.

Dolayısıyla bir fonksiyonun diferansiyeli, x'in Dx artışını aldığında belirli bir noktada fonksiyonun grafiğine çizilen teğetin ordinatındaki artıştır.

Bir diferansiyelin özellikleri temel olarak bir türevin özelliklerine benzer:

3. d(u ± v) = du ± dv.

4. d(uv) = v du + u dv.

5. d(u/v) = (v du - u dv)/v 2.

Ancak var önemli özellik Türevinin sahip olmadığı bir fonksiyonun diferansiyeli, diferansiyelin formunun değişmezliğidir.

y = f(x) fonksiyonu için diferansiyelin tanımından, diferansiyel dy = f `(x)dх olur. Bu y fonksiyonu karmaşıksa, yani. y = f(u), burada u = j(x), sonra y = f ve f `(x) = f `(u)*u`. O halde dy = f `(u)*u`dх. Ama fonksiyon için
u = j(x) diferansiyel du = u`dх. Dolayısıyla dy = f `(u)*du.

dy = f `(x)dх ve dy = f `(u)*du eşitliklerini karşılaştırarak, bağımsız değişken x'in bir fonksiyonu yerine x'in bir fonksiyonunu düşünürsek diferansiyel formülün değişmediğinden emin oluruz. bağımlı değişken u. Bir diferansiyelin bu özelliğine, diferansiyelin formunun (veya formülünün) değişmezliği (yani değişmezliği) denir.

Ancak bu iki formül arasında yine de bir fark vardır: İlkinde bağımsız değişkenin diferansiyeli, bu değişkenin artışına eşittir, yani. dx = Dx ve ikinci olarak du fonksiyonunun diferansiyeli, bu Du fonksiyonunun artışının sadece doğrusal kısmıdır ve sadece küçük Dх du » Du için.

Tam olarak bu şekilde formüle edilmiştir tipik görev ve grafiğin TÜM asimptotlarının (dikey, eğimli/yatay) bulunmasını içerir. Her ne kadar soruyu sorarken daha kesin olmak gerekirse, asimptotların varlığına yönelik araştırmalardan bahsediyoruz (sonuçta hiç olmayabilir).

Basit bir şeyle başlayalım:

Örnek 1

Çözüm rahatlıkla iki noktaya ayrılabilir:

1) Öncelikle dikey asimptotların olup olmadığını kontrol ederiz. Payda sıfıra gider ve bu noktada fonksiyonun sonsuz bir süreksizliğe maruz kaldığı ve düz çizginin olduğu hemen anlaşılır. denklem tarafından verilen, fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur. Ancak böyle bir sonuca varmadan önce tek taraflı sınırları bulmak gerekir:

Bir fonksiyonun sürekliliği makalesinde de benzer şekilde üzerinde durduğum hesaplama tekniğini size hatırlatıyorum. Kırılma noktaları. Limit işaretinin altındaki ifadede yerine koyarız. Payda ilginç bir şey yok:
.

Ancak paydada ortaya çıkıyor sonsuz küçük negatif sayı :
sınırın kaderini belirler.

Soldaki limit sonsuzdur ve prensip olarak dikey bir asimptotun varlığı hakkında bir karara varmak zaten mümkündür. Ancak tek taraflı limitlere sadece bunun için ihtiyaç yoktur, aynı zamanda bir fonksiyonun grafiğinin NASIL konumlandırıldığını ANLAMAYA ve onu DOĞRU şekilde oluşturmaya YARDIMCI OLURLAR. Bu nedenle sağ taraftaki limiti de hesaplamamız gerekir:

Sonuç: Tek taraflı limitler sonsuzdur, bu da düz çizginin fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotu olduğu anlamına gelir.

İlk sınır sonlu, bu da "konuşmaya devam etmenin" ve ikinci sınırı bulmanın gerekli olduğu anlamına gelir:

İkinci sınır da sonlu.

Böylece asimptotumuz:

Sonuç: Denklemin belirttiği düz çizgi, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Yatay asimptotu bulmak için basitleştirilmiş bir formül kullanabilirsiniz:

Sonlu bir limit varsa, o zaman düz çizgi fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Fonksiyonun pay ve paydasının aynı büyüme düzeyinde olduğunu fark etmek kolaydır, bu da aranan limitin sonlu olacağı anlamına gelir:

Cevap :

Duruma göre çizim yapmaya gerek yok ama bir fonksiyon araştırmasının ortasındaysak hemen taslak üzerinde bir eskiz yaparız:

Bulunan üç limite dayanarak fonksiyonun grafiğinin nasıl konumlandırılabileceğini kendiniz bulmaya çalışın. Hiç zor mu? 5-6-7-8 noktayı bulun ve çizim üzerinde işaretleyin. Ancak bu fonksiyonun grafiği, grafik dönüşümleri kullanılarak oluşturulur. temel fonksiyon Yukarıdaki makaledeki Örnek 21'i dikkatle inceleyen okuyucular bunun nasıl bir eğri olduğunu rahatlıkla tahmin edebilirler.

Örnek 2

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bu bir örnektir bağımsız karar. Sürecin uygun şekilde iki noktaya bölündüğünü hatırlatmama izin verin: dikey asimptotlar ve eğik asimptotlar. Örnek çözümde yatay asimptot basitleştirilmiş bir şema kullanılarak bulunur.

Pratikte kesirli-rasyonel fonksiyonlarla en sık karşılaşılır ve hiperboller üzerinde eğitim aldıktan sonra görevi karmaşıklaştıracağız:

Örnek 3

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: Bir, iki ve bitti:

1) Dikey asimptotlar sonsuz süreksizlik noktalarındadır, dolayısıyla paydanın sıfıra gidip gitmediğini kontrol etmeniz gerekir. İkinci dereceden denklemi çözelim:

Diskriminant pozitif olduğundan denklemin iki gerçek kökü vardır ve iş önemli ölçüde artar =)

Tek taraflı limitleri daha da bulmak için ikinci dereceden üç terimliÇarpanlara ayırmak uygundur:
(Kısa gösterim için “eksi” ilk parantez içine dahil edilmiştir). Güvenli tarafta olmak için parantezleri zihinsel olarak veya taslak üzerinde açarak kontrol edelim.

Fonksiyonu formda yeniden yazalım.

Bu noktada tek taraflı limitleri bulalım:

Ve bu noktada:

Dolayısıyla düz çizgiler, söz konusu fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotlarıdır.

2) Eğer fonksiyona bakarsanız O zaman limitin sonlu olacağı ve yatay bir asimptotumuz olacağı oldukça açıktır. Kısaca varlığını gösterelim:

Dolayısıyla düz çizgi (apsis ekseni) bu fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Cevap :

Bulunan limitler ve asimptotlar fonksiyonun grafiği hakkında birçok bilgi sağlar. Aşağıdaki gerçekleri dikkate alarak çizimi zihinsel olarak hayal etmeye çalışın:

Grafiğin kendi versiyonunu taslağınıza çizin.

Elbette bulunan sınırlar grafiğin görünümünü net bir şekilde belirlemez ve hata yapabilirsiniz, ancak alıştırmanın kendisi sırasında çok değerli bir yardım sağlayacaktır. tam araştırma işlevler Doğru resim dersin sonundadır.

Örnek 4

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Örnek 5

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bunlar bağımsız çözüme yönelik görevlerdir. Her iki grafik de yine yatay asimptotlara sahiptir ve bunlar hemen şu şekilde tespit edilir: aşağıdaki işaretler: Örnek 4'te paydanın büyüme sırası payın büyüme sırasından daha büyüktür ve Örnek 5'te pay ve payda aynı büyüme düzeyindedir. Örnek çözümde, ilk fonksiyon tam olarak eğik asimptotların varlığı açısından, ikincisi ise limit boyunca incelenir.

Benim öznel izlenimime göre yatay asimptotlar, "gerçekten eğik" olanlardan belirgin şekilde daha yaygındır. Uzun zamandır beklenen genel durum:

Örnek 6

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: Türün klasiği:

1) Payda pozitif olduğundan fonksiyon tüm sayı doğrusu boyunca süreklidir ve düşey asimptot yoktur. ...bu iyi mi? Doğru kelime değil - mükemmel! 1 No'lu nokta kapalı.

2) Eğik asimptotların varlığını kontrol edelim:

İlk sınır sonlu, o halde devam edelim. “Sonsuz eksi sonsuz” belirsizliğini ortadan kaldırmak için ikinci limiti hesaplarken ifadeyi ortak bir paydaya indirgeriz:

İkinci sınır da sonlu Dolayısıyla söz konusu fonksiyonun grafiğinin eğik bir asimptotu vardır:

Çözüm :

Böylece, fonksiyonun grafiği sonsuz yakın düz bir çizgiye yaklaşır:

Eğik asimptotunu orijinde kestiğine ve bu tür kesişme noktalarının oldukça kabul edilebilir olduğuna dikkat edin - sonsuzda "her şeyin normal olması" önemlidir (aslında asimptotlardan bahsettiğimiz yer burasıdır).

Örnek 7

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Çözüm: Yorumlanacak özel bir şey yok, o yüzden resmileştireceğim yaklaşık örnek nihai çözüm:

1) Dikey asimptotlar. Gelin noktayı keşfedelim.

Düz çizgi, grafiğin dikey asimptotudur.

2) Eğik asimptotlar:

Düz çizgi, grafiğin eğik asimptotudur.

Cevap :

Bulunan tek taraflı limitler ve asimptotlar, bu fonksiyonun grafiğinin neye benzeyeceğini yüksek bir güvenle tahmin etmemizi sağlar. Dersin sonunda doğru çizim.

Örnek 8

Bir fonksiyonun grafiğinin asimptotlarını bulun

Bu bağımsız çözüme bir örnektir; bazı limitlerin hesaplanmasında kolaylık olması açısından payı paydaya, terime bölebilirsiniz. Yine sonuçlarınızı analiz ederken bu fonksiyonun grafiğini çizmeye çalışın.

Açıkçası, "gerçek" eğik asimptotların sahipleri bunların grafikleridir. kesirli rasyonel fonksiyonlar Burada payın en yüksek derecesi paydanın en yüksek derecesinden bir büyüktür. Daha fazlaysa eğik asimptot olmayacaktır (örneğin, ).

Ancak hayatta başka mucizeler de olur:

Örnek 9

Çözüm: Fonksiyon tüm sayı doğrusu üzerinde süreklidir, yani dikey asimptot yoktur. Ama eğilimli olanlar da olabilir. Kontrol ediyoruz:

Üniversitede benzer bir fonksiyonla nasıl karşılaştığımı hatırlıyorum ve bunun eğik bir asimptotu olduğuna inanamadım. Ta ki ikinci limiti hesaplayana kadar:

Açıkça söylemek gerekirse, burada iki belirsizlik var: ve, ancak öyle ya da böyle, limitler hakkındaki makalenin 5-6 Örneklerinde tartışılan çözüm yöntemini kullanmanız gerekir. artan karmaşıklık. Formülü kullanmak için eşlenik ifadeyle çarpıp bölüyoruz:

Cevap :

Belki de en popüler eğik asimptot.

Şimdiye kadar sonsuzluk "tek fırçayla kesilmişti" ama bir fonksiyonun grafiğinin şu noktada ve noktada iki farklı eğik asimptotu olduğu da oluyor:

Örnek 10

Bir fonksiyonun grafiğini asimptotların varlığı açısından inceleyin

Çözüm: Köklü ifade pozitiftir, bu da tanım kümesinin herhangi bir gerçel sayı olduğu ve dikey çubukların olamayacağı anlamına gelir.

Eğik asimptotların var olup olmadığını kontrol edelim.

Eğer “x” “eksi sonsuza” doğru yöneliyorsa, o zaman:
(altına “X” girerken karekök paydanın olumsuzluğunu kaybetmemek için eksi işareti eklemek gerekir)

Alışılmadık görünüyor ama burada belirsizlik "sonsuzluk eksi sonsuzluk"tur. Pay ve paydayı eşlenik ifadeyle çarpın:

Dolayısıyla düz çizgi grafiğin eğik asimptotudur.

“Artı sonsuzluk” ile her şey daha önemsizdir:

Ve düz çizgi de .

Cevap :

Eğer ;
, Eğer .

direnemiyorum grafik görüntü:


Bu, abartının dallarından biridir.

Asimptotların potansiyel varlığının başlangıçta fonksiyonun tanım kümesiyle sınırlandırılması alışılmadık bir durum değildir:

Örnek 11

Bir fonksiyonun grafiğini asimptotların varlığı açısından inceleyin

Çözüm: tabii ki bu nedenle yalnızca fonksiyonun grafiğinin bulunduğu sağ yarı düzlemi dikkate alıyoruz.

1) Fonksiyon aralıkta süreklidir; bu, eğer dikey bir asimptot mevcutsa, bunun yalnızca ordinat ekseni olabileceği anlamına gelir. Fonksiyonun noktanın yakınındaki davranışını inceleyelim Sağ:

Lütfen burada HİÇBİR belirsizlik olmadığını unutmayın (bu tür durumlar, Limitleri çözme yöntemleri makalesinin başında vurgulanmıştır).

Dolayısıyla, düz çizgi (koordinat ekseni), fonksiyonun grafiğinin .'deki dikey asimptotudur.

2) Eğik asimptot üzerine çalışma şu şekilde yapılabilir: tam şema, ancak L'Hopital Kuralları makalesinde şunu öğrendik: doğrusal fonksiyon Logaritmik büyümeden daha yüksek bir büyüme sırası, bu nedenle: (Aynı dersteki Örnek 1'e bakın).

Sonuç: x ekseni, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Cevap :

Eğer ;
, Eğer .

Netlik sağlamak için çizim:

Görünüşte benzer bir fonksiyonun hiç asimptotu olmaması ilginçtir (dileyenler bunu kontrol edebilir).

İki son örnekler kendi kendine çalışma için:

Örnek 12

Bir fonksiyonun grafiğini asimptotların varlığı açısından inceleyin

Dikey asimptotları kontrol etmek için önce fonksiyonun tanım tanım kümesini bulmanız, ardından "şüpheli" noktalarda bir çift tek taraflı limit hesaplamanız gerekir. Fonksiyon "artı" ve "eksi" sonsuzda tanımlandığından eğik asimptotlar da hariç tutulmaz.

Örnek 13

Bir fonksiyonun grafiğini asimptotların varlığı açısından inceleyin

Ancak burada yalnızca eğik asimptotlar olabilir ve yönler ayrı ayrı dikkate alınmalıdır.

Umarım doğru asimptotu bulmuşsundur =)

Size başarılar diliyorum!

Çözümler ve cevaplar:

Örnek 2:Çözüm :
. Tek taraflı limitleri bulalım:

Dümdüz fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur .
2) Eğik asimptotlar.

Dümdüz .
Cevap :

ÇizimÖrnek 3'e:

Örnek 4:Çözüm :
1) Dikey asimptotlar. Fonksiyon bir noktada sonsuz bir kesintiye uğrar . Tek taraflı limitleri hesaplayalım:

Not: Sonsuz küçük bir negatif sayının çift üssü, sonsuz küçük bir pozitif sayıya eşittir: .

Dümdüz fonksiyonun grafiğinin dikey asimptotudur.
2) Eğik asimptotlar.


Dümdüz (apsis ekseni), fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur. .
Cevap :

Bir y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin asimptotu, (x, f(x)) noktasından bu düz çizgiye olan mesafenin, grafik noktası sonsuza kadar hareket ettikçe sıfıra yönelme özelliğine sahip bir düz çizgidir. kökeni.

Şekil 3.10'da. dikey, yatay ve eğik asimptotların grafiksel örnekleri verilmiştir.

Grafiğin asimptotlarının bulunması aşağıdaki üç teoreme dayanmaktadır.

Dikey asimptot teoremi. y = f(x) fonksiyonu x 0 noktasının bir komşuluğunda tanımlansın (belki bu noktanın kendisi hariç) ve fonksiyonun tek taraflı limitlerinden en az biri sonsuza eşit olsun, yani. O halde x = x 0 düz çizgisi, y = f(x) fonksiyonunun grafiğinin dikey asimptotudur.

Açıkçası, eğer fonksiyon x 0 noktasında sürekli ise, x = x 0 düz çizgisi dikey bir asimptot olamaz, çünkü bu durumda . Sonuç olarak, fonksiyonun süreksizlik noktalarında veya tanım kümesinin uçlarında dikey asimptotlar aranmalıdır.

Yatay asimptot teoremi. Yeterince büyük x için y = f(x) fonksiyonu tanımlansın ve fonksiyonun sonlu bir limiti vardır. O halde y = b doğrusu, fonksiyonun grafiğinin yatay asimptotudur.

Yorum. Limitlerden yalnızca biri sonluysa, fonksiyonun sırasıyla sol veya sağ taraflı yatay asimptotu vardır.

Bu durumda fonksiyonun eğik bir asimptotu olabilir.

Eğik asimptot teoremi. Yeterince büyük x için y = f(x) fonksiyonu tanımlansın ve sonlu limitler olsun . O halde y = kx + b düz çizgisi, fonksiyonun grafiğinin eğik asimptotudur.

Kanıt yok.

Yatay bir asimptot gibi eğik bir asimptot da, karşılık gelen limitlerin temeli belirli bir işaretin sonsuzluğu ise sağ veya sol yönlü olabilir.

Fonksiyonları incelemek ve grafiklerini oluşturmak genellikle aşağıdaki adımları içerir:

1. Fonksiyonun tanım tanım kümesini bulun.

2. Çift-tek eşlik fonksiyonunu inceleyin.

3. Süreksizlik noktalarını ve fonksiyonun, eğer sonluysa, tanım bölgesinin sınırlarındaki davranışını inceleyerek düşey asimptotları bulun.

4. Fonksiyonun sonsuzdaki davranışını inceleyerek yatay veya eğik asimptotları bulun.