Sayıların modülü Bu sayının kendisi negatif değilse çağrılır veya negatifse zıt işaretli aynı sayı çağrılır.

Örneğin 6 sayısının modülü 6, -6 sayısının modülü de 6'dır.

Yani bir sayının modülü mutlak bir değer olarak anlaşılır, mutlak değer Bu sayıyı işareti dikkate alınmadan kullanın.

Şu şekilde belirtilir: |6|, | X|, |A| vesaire.

(“Numara modülü” bölümünde daha fazla ayrıntı).

Modüllü denklemler.

Örnek 1 . Denklemi çöz|10 X - 5| = 15.

Çözüm.

Kurala göre denklem iki denklemin birleşimine eşdeğerdir:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Biz karar veriyoruz:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Cevap: X 1 = 2, X 2 = -1.

Örnek 2 . Denklemi çöz|2 X + 1| = X + 2.

Çözüm.

Modül negatif olmayan bir sayı olduğundan, o zaman X+ 2 ≥ 0. Buna göre:

X ≥ -2.

İki denklem kuralım:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Biz karar veriyoruz:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Her iki sayı da -2'den büyüktür. Yani her ikisi de denklemin kökleridir.

Cevap: X 1 = -1, X 2 = 1.

Örnek 3 . Denklemi çöz

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Çözüm.

Payda değilse denklem anlamlıdır sıfıra eşit- eğer X≠ 1. Bu durumu dikkate alalım. İlk eylemimiz basit; sadece kesirden kurtulmakla kalmıyoruz, aynı zamanda modülü saf haliyle elde edecek şekilde dönüştürüyoruz:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Artık denklemin sol tarafındaki modülün altında sadece bir ifademiz var. Devam edelim.
Bir sayının modülü negatif olmayan bir sayıdır; yani sıfırdan büyük veya sıfıra eşittir. Buna göre eşitsizliği çözüyoruz:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Böylece ikinci bir şartımız daha var: Denklemin kökü en az 3/4 olmalıdır.

Kurala uygun olarak iki denklem kümesi oluşturup bunları çözüyoruz:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

İki cevap aldık. Bunların orijinal denklemin kökleri olup olmadığını kontrol edelim.

İki şartımız vardı: Denklemin kökü 1 olamaz, en az 3/4 olmalı. yani X ≠ 1, X≥ 3/4. Bu koşulların her ikisi de alınan iki cevaptan yalnızca birine karşılık gelir - 2 sayısı. Bu, yalnızca bunun orijinal denklemin kökü olduğu anlamına gelir.

Cevap: X = 2.

Modüllü eşitsizlikler.

Örnek 1 . Eşitsizliği çözün| X - 3| < 4

Çözüm.

Modül kuralı şunları belirtir:

|A| = A, Eğer A ≥ 0.

|A| = -A, Eğer A < 0.

Modül hem negatif olmayan hem de negatif sayılara sahip olabilir. Dolayısıyla her iki durumu da dikkate almamız gerekiyor: X- 3 ≥ 0 ve X - 3 < 0.

1) Ne zaman X- 3 ≥ 0 orijinal eşitsizliğimiz modül işareti olmadan olduğu gibi kalır:
X - 3 < 4.

2) Ne zaman X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Parantezleri açarak şunu elde ederiz:

-X + 3 < 4.

Böylece bu iki koşuldan iki eşitsizlik sisteminin birleşimine ulaştık:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Bunları çözelim:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Yani cevabımız iki kümenin birleşimidir:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

En küçüğünü belirleyin ve en yüksek değer. Bunlar -1 ve 7'dir. Üstelik X-1'den büyük ama 7'den küçük.
Ayrıca, X≥ 3. Bu, eşitsizliğin çözümünün, bu uç sayılar hariç, -1'den 7'ye kadar olan tüm sayı kümesi olduğu anlamına gelir.

Cevap: -1 < X < 7.

Veya: X ∈ (-1; 7).

Eklentiler.

1) Eşitsizliğimizi grafiksel olarak çözmenin daha basit ve daha kısa bir yolu var. Bunu yapmak için çizmeniz gerekir yatay eksen(Şekil 1).

İfade | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X 3. noktaya kadar dört birimden azdır. Eksende 3 sayısını işaretliyoruz ve onun solunda ve sağında 4 bölüm sayıyoruz. Solda -1 noktasına, sağda - 7 noktasına geleceğiz. Böylece noktalar X onları hesaplamadan sadece gördük.

Ayrıca eşitsizlik koşuluna göre -1 ve 7'nin kendisi de çözüm kümesine dahil edilmemektedir. Böylece şu cevabı alıyoruz:

1 < X < 7.

2) Ancak grafiksel yöntemden bile daha basit olan başka bir çözüm daha var. Bunu yapmak için eşitsizliğimizin aşağıdaki biçimde sunulması gerekir:

4 < X - 3 < 4.

Sonuçta modül kuralına göre bu böyle. Negatif olmayan 4 sayısı ve benzer negatif sayı -4, eşitsizliği çözmenin sınırlarıdır.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Örnek 2 . Eşitsizliği çözün| X - 2| ≥ 5

Çözüm.

Bu örnek öncekinden önemli ölçüde farklıdır. Sol taraf 5'ten büyüktür veya 5'e eşittir. Geometrik açıdan eşitsizliğin çözümü, 2 noktasından 5 birim veya daha fazla uzaklıkta olan tüm sayılardır (Şekil 2). Grafik bunların hepsinin -3'ten küçük veya eşit ve 7'den büyük veya eşit sayılar olduğunu gösteriyor. Bu, cevabı zaten aldığımız anlamına geliyor.

Cevap: -3 ≥ X ≥ 7.

Yol boyunca aynı eşitsizliği yeniden düzenleyerek çözelim. ücretsiz üye zıt işaretli sol ve sağ:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Cevap aynı: -3 ≥ X ≥ 7.

Veya: X ∈ [-3; 7]

Örnek çözüldü.

Örnek 3 . Eşitsizliği çözün 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Çözüm.

Sayı X pozitif bir sayı, negatif bir sayı veya sıfır olabilir. Bu nedenle her üç durumu da dikkate almamız gerekiyor. Bildiğiniz gibi iki eşitsizlikte hesaba katılıyorlar: X≥ 0 ve X < 0. При X≥ 0 orijinal eşitsizliğimizi modül işareti olmadan olduğu gibi yeniden yazarız:

6x2 - X - 2 ≤ 0.

Şimdi ikinci durum hakkında: eğer X < 0. Модулем negatif sayı zıt işaretli aynı sayıdır. Yani modülün altındaki sayıyı ters işaretle yazıyoruz ve yine kendimizi modül işaretinden kurtarıyoruz:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Parantezleri genişletiyoruz:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Böylece iki denklem sistemi elde ettik:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Sistemlerdeki eşitsizlikleri çözmemiz gerekiyor; bu da iki ikinci dereceden denklemin köklerini bulmamız gerektiği anlamına geliyor. Bunu yapmak için eşitsizliklerin sol taraflarını sıfıra eşitleriz.

İlkiyle başlayalım:

6X 2 - X - 2 = 0.

İkinci dereceden bir denklem nasıl çözülür - “İkinci Dereceden Denklem” bölümüne bakın. Cevabı hemen adlandıracağız:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

İlk eşitsizlik sisteminden, orijinal eşitsizliğin çözümünün -1/2'den 2/3'e kadar olan sayıların tamamı olduğu sonucunu elde ederiz. Çözümlerin birliğini şu adrese yazıyoruz: X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Şimdi ikinci ikinci dereceden denklemi çözelim:

6X 2 + X - 2 = 0.

Kökleri:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Sonuç: ne zaman X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

İki cevabı birleştirelim ve son cevaba ulaşalım: Çözüm, bu uç sayılar da dahil olmak üzere -2/3'ten 2/3'e kadar olan sayı kümesinin tamamıdır.

Cevap: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Veya: X ∈ [-2/3; 2/3].

Bu çevrimiçi matematik hesaplayıcısı size yardımcı olacaktır Bir denklemi veya eşitsizliği modüllerle çözme. Programı Denklemleri ve eşitsizlikleri modüllerle çözme yalnızca sorunun cevabını vermekle kalmaz, aynı zamanda açıklamalarla ayrıntılı çözüm

, yani Sonucun elde edilme sürecini görüntüler. Bu program lise öğrencileri için yararlı olabilir orta okullar hazırlık aşamasında testler ve sınavlar, Birleşik Devlet Sınavından önce bilgiyi test ederken, ebeveynlerin matematik ve cebirdeki birçok problemin çözümünü kontrol etmeleri için. Ya da belki bir öğretmen tutmak ya da yeni ders kitapları satın almak sizin için çok mu pahalı? Yoksa mümkün olan en kısa sürede halletmek mi istiyorsunuz?

Ev ödevi

Bu sayede hem kendi eğitiminizi hem de küçük kardeşlerinizin eğitimini yürütebilir, sorun çözme alanındaki eğitim düzeyi de artar.

Modüllerle bir denklem veya eşitsizlik girin
x^2 + 2|x-1| -6 = 0
Bir denklemi veya eşitsizliği çözme

Tarayıcınızda JavaScript devre dışı bırakıldı.
Çözümün görünmesi için JavaScript'i etkinleştirmeniz gerekir.
Tarayıcınızda JavaScript'i nasıl etkinleştireceğinize ilişkin talimatları burada bulabilirsiniz. Çünkü Sorunu çözmek isteyen çok kişi var, talebiniz sıraya alındı.

Birkaç saniye içinde çözüm aşağıda görünecektir. Lütfen bekleyin saniye...
eğer sen çözümde bir hata fark ettim, ardından Geri Bildirim Formu'na bu konuda yazabilirsiniz. unutma.

hangi görevi belirtin

ne olduğuna sen karar ver

alanlara girin

Oyunlarımız, bulmacalarımız, emülatörlerimiz: Küçük bir teori. Modüllü denklemler ve eşitsizlikler

Temel bir okul cebir dersinde modüllü en basit denklemler ve eşitsizliklerle karşılaşabilirsiniz. Bunları çözmek için kullanabilirsiniz

Ancak denklemleri ve eşitsizlikleri modüllerle çözmenin ana yolu, "modülün tanımı gereği ortaya çıkarılması" ile ilişkilidir:
if \(a \geq 0 \), ardından \(|a|=a \);
if \(a Kural olarak, modüllü bir denklem (eşitsizlik), modül işaretini içermeyen bir dizi denkleme (eşitsizlikler) indirgenir.

Yukarıdaki tanıma ek olarak aşağıdaki ifadeler kullanılmıştır:
1) Eğer \(c > 0\), o zaman \(|f(x)|=c \) denklemi şu denklem grubuna eşdeğerdir: \(\left[\begin(array)(l) f(x) )=c \\ f(x)=-c \end(dizi)\sağ.
2) Eğer \(c > 0 \), o zaman eşitsizlik \(|f(x)| 3) Eğer \(c \geq 0 \), o zaman \(|f(x)| > c \) eşitsizliği şöyledir: bir eşitsizlikler kümesine eşdeğerdir: \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Eşitsizliğin her iki tarafı \(f(x) ise ÖRNEK 1. \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\) denklemini çözün.

Eğer \(x-1 \geq 0\), o zaman \(|x-1| = x-1\) ve verilen denklem formu alır
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 +2x -8 = 0 \).
\(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Rightarrow x^2 -2x -4 = 0 \) ise.
Bu nedenle verilen denklem belirtilen iki durumun her birinde ayrı ayrı ele alınmalıdır.
1) \(x-1 \geq 0 \) olsun, yani. \(x\geq 1\). \(x^2 +2x -8 = 0\) denkleminden \(x_1=2, \; x_2=-4\) bulunur.
\(x \geq 1 \) koşulu yalnızca \(x_1=2\) değeri tarafından karşılanır.

2) \(x-1 Cevap: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \) olsun

ÖRNEK 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) denklemini çözün.İlk yol
(tanım gereği modül genişletme).

Örnek 1'deki gibi akıl yürüterek, verilen denklemin iki koşulun karşılanması durumunda ayrı ayrı dikkate alınması gerektiği sonucuna varıyoruz: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) veya \(x^2-6x+7)
1) Eğer \(x^2-6x+7 \geq 0 \), o zaman \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) ve verilen denklem \(x) formunu alır ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Rightarrow 3x^2-23x+30=0 \). Bu ikinci dereceden denklemi çözdükten sonra şunu elde ederiz: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \). \(x_1=6\) değerinin \(x^2-6x+7 \geq 0\) koşulunu karşılayıp karşılamadığını bulalım. Bunu yapmak için yerine koyalım belirtilen değer V ikinci dereceden eşitsizlik . Şunu elde ederiz: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), yani. \(7 \geq 0 \) gerçek bir eşitsizliktir..
Bu, \(x_1=6\)'nın kökü olduğu anlamına gelir

2) Eğer \(x^2-6x+7 Değeri \(x_3=3\) koşulu karşılıyorsa \(x^2-6x+7 Değeri \(x_4=\frac(4)(3) \) karşılamıyor \ (x^2-6x+7 koşulu) Yani verilen denklemin iki kökü vardır: \(x=6, \; x=3 \).

İkinci yol. Denklem \(|f(x)| = h(x) \) verilirse, o zaman \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\right \)
Bu denklemlerin her ikisi de yukarıda çözüldü (verilen denklemin ilk çözümü kullanılarak), kökleri şu şekildedir: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4) )(3)\). Bu dört değerin \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) koşulu yalnızca iki tanesi tarafından karşılanır: 6 ve 3. Bu, verilen denklemin iki kökü olduğu anlamına gelir: \(x=6 , \; x=3 \ ).

Üçüncü yol(grafik).
1) \(y = |x^2-6x+7| \) fonksiyonunun grafiğini oluşturalım. İlk önce bir \(y = x^2-6x+7\) parabolünü oluşturalım.
\(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \) elimizde. \(y = (x-3)^2-2\) fonksiyonunun grafiği, \(y = x^2\) fonksiyonunun grafiğinden 3 ölçek birim sağa kaydırılarak (yön boyunca) elde edilebilir. x ekseni) ve 2 ölçek birimi aşağı (y ekseni boyunca).
Düz çizgi x=3 ilgilendiğimiz parabolün eksenidir. Daha doğru çizim için kontrol noktaları olarak, parabolün tepe noktası olan (3; -2) noktasını, parabolün eksenine göre ona simetrik olan (0; 7) noktasını ve (6; 7) noktasını almak uygundur. .

Şimdi \(y = |x^2-6x+7| \) fonksiyonunun bir grafiğini oluşturmak için, oluşturulmuş parabolün x ekseninin altında olmayan kısımlarını değiştirmeden bırakmanız ve bu kısmı aynalamanız gerekir. x eksenine göre x ekseninin altında yer alan parabol.

2) Doğrusal fonksiyonun \(y = \frac(5x-9)(3)\) grafiğini oluşturalım. (0; –3) ve (3; 2) noktalarını kontrol noktası olarak almak uygundur.. Düz çizginin apsis ekseni ile kesiştiği noktanın x = 1.8 noktasının, parabolün apsis ekseni ile kesiştiği sol noktanın sağında yer alması önemlidir - bu nokta \(x=3-\ sqrt(2) \) (çünkü \(3-\sqrt(2 ) 3) Çizime bakılırsa, grafikler iki noktada kesişiyor - A(3; 2) ve B(6; 7). Verilen denklemde x = 3 ve x = 6 noktalarında, her iki durumda da doğru sayısal eşitliğin elde edildiğine inanıyoruz; bu, hipotezimizin doğrulandığı anlamına gelir - denklemin iki kökü vardır: x = 3 ve. x = 6. Cevap: 3; Yorum

Grafik yöntemi

ÖRNEK 2. \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\) denklemini çözün.
tüm zarafetine rağmen pek güvenilir değil. Ele alınan örnekte, denklemin kökleri tamsayı olduğu için işe yaradı.

İlk aralığı düşünün: \((-\infty; \; -3) \).
Eğer x İkinci aralığı düşünün: \([-3; \; 2) \).
If \(-3 \leq x Üçüncü aralığı düşünün: \(

Konuşuyorum basit bir dille, modül “eksi olmayan bir sayıdır”. Ve işte bu ikilik (bazı yerlerde orijinal sayıyla hiçbir şey yapmanıza gerek yok, ancak diğerlerinde bir tür eksiyi kaldırmanız gerekecek), yeni başlayan öğrenciler için tüm zorluğun yattığı yer burasıdır.

Daha fazlası var geometrik çözünürlüklü. Bunu bilmek de faydalıdır, ancak buna yalnızca geometrik yaklaşımın cebirsel yaklaşımdan daha uygun olduğu karmaşık ve bazı özel durumlarda başvuracağız (spoiler: bugün değil).

Tanım. Sayı doğrusunda $a$ noktası işaretlensin. Daha sonra $\left| modülü x-a \right|$, bu doğru üzerindeki $x$ noktasından $a$ noktasına olan mesafedir.

Bir resim çizerseniz şöyle bir şey elde edersiniz:

Öyle ya da böyle, bir modülün tanımından itibaren onun temel özelliği hemen şu şekilde ortaya çıkar: bir sayının modülü her zaman negatif olmayan bir miktardır. Bu gerçek, bugünkü anlatımızın tamamında kırmızı bir iplik olacak.

Eşitsizlikleri çözme. Aralık yöntemi

Şimdi eşitsizliklere bakalım. Birçoğu var ama şimdi görevimiz en azından en basitini çözebilmek. Aralık yönteminin yanı sıra doğrusal eşitsizliklere de indirgenenler.

Bu konuyla ilgili iki büyük dersim var (bu arada, çok, ÇOK faydalı - bunları incelemenizi öneririm):

1. Eşitsizlikler için aralık yöntemi (özellikle videoyu izleyin);
2. Kesirli rasyonel eşitsizlikler çok kapsamlı ders, ancak ondan sonra hiçbir sorunuz olmayacak.

Bütün bunları biliyorsanız, “eşitsizlikten denkleme geçelim” sözü sizde belli belirsiz bir duvara çarpma isteği uyandırmıyorsa hazırsınız: dersin ana konusuna cehenneme hoş geldiniz :)

1. “Modül fonksiyondan küçüktür” formundaki eşitsizlikler

Bu, modüllerle ilgili en yaygın sorunlardan biridir. Formdaki bir eşitsizliği çözmek gerekir:

\[\sol| f\sağ| \ltg\]

$f$ ve $g$ fonksiyonları herhangi bir şey olabilir, ancak genellikle polinomlardır. Bu tür eşitsizliklere örnekler:

\[\begin(hizala) & \left| 2x+3 \sağ| \lt x+7; \\ & \sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \sol| ((x)^(2))-2\left| x \sağ|-3 \sağ| \lt 2. \\\end(hizala)\]

Hepsi aşağıdaki şemaya göre tam anlamıyla tek satırda çözülebilir:

\[\sol| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \sağ.\sağ)\]

Modülden kurtulduğumuzu görmek kolaydır, ancak karşılığında çifte eşitsizlik (veya aynı şey olan iki eşitsizlik sistemi) elde ederiz. Ancak bu geçiş kesinlikle her şeyi hesaba katıyor olası sorunlar: eğer modülün altındaki sayı pozitifse yöntem işe yarar; negatifse hala çalışıyor; ve $f$ veya $g$ yerine en yetersiz fonksiyonla bile yöntem hala işe yarayacaktır.

Doğal olarak şu soru ortaya çıkıyor: Daha basit olamaz mıydı? Ne yazık ki bu mümkün değil. Modülün bütün amacı budur.

Ancak felsefe yapmakla yetinelim. Birkaç problemi çözelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\]

Çözüm. Yani önümüzde "modül daha az" şeklinde klasik bir eşitsizlik var; dönüştürülecek hiçbir şey yok. Algoritmaya göre çalışıyoruz:

\[\begin(hizala) & \left| f\sağ| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \sol| 2x+3 \sağ| \lt x+7\Rightarrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Başında “eksi” bulunan parantezleri açmak için acele etmeyin: acelenizden dolayı saldırgan bir hata yapmanız oldukça olasıdır.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Sorun iki temel eşitsizliğe indirgenmişti. Çözümlerini paralel sayı doğrusu üzerinde not edelim:

Kümelerin kesişimi

Bu kümelerin kesişimi cevap olacaktır.

Cevap: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Çözüm. Bu görev biraz daha zordur. Öncelikle ikinci terimi sağa kaydırarak modülü izole edelim:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \lt -3\sol(x+1 \sağ)\]

Açıkçası, yine "modül daha küçük" şeklinde bir eşitsizliğimiz var, bu yüzden zaten bilinen algoritmayı kullanarak modülden kurtuluyoruz:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Şimdi dikkat: Bütün bu parantezlerle birileri benim biraz sapık olduğumu söyleyecektir. Ama şunu bir kez daha hatırlatayım ki asıl amacımız Eşitsizliği doğru bir şekilde çözün ve cevabı alın. Daha sonra, bu derste anlatılan her şeye mükemmel bir şekilde hakim olduğunuzda, kendinizi istediğiniz gibi saptırabilirsiniz: parantezleri açın, eksileri ekleyin, vb.

Başlangıç ​​olarak soldaki çift eksiden kurtulacağız:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\sol(x+1 \sağ)\]

Şimdi çift eşitsizlikteki tüm parantezleri açalım:

Çifte eşitsizliğe geçelim. Bu sefer hesaplar daha ciddi olacak:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(hizala) \sağ.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( hizala)\sağ.\]

Her iki eşitsizlik de ikinci derecedendir ve aralık yöntemi kullanılarak çözülebilir (bu yüzden şunu söylüyorum: bunun ne olduğunu bilmiyorsanız, henüz modülleri ele almamak daha iyidir). İlk eşitsizlikteki denkleme geçelim:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\sol(x+5 \sağ)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\bit(hizala)\]

Gördüğünüz gibi çıktı, temel bir şekilde çözülebilen tamamlanmamış ikinci dereceden bir denklemdir. Şimdi sistemin ikinci eşitsizliğine bakalım. Burada Vieta teoremini uygulamanız gerekecek:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\bit(hizala)\]

Ortaya çıkan sayıları iki paralel çizgi üzerinde işaretleriz (ilk eşitsizlik için ayrı, ikincisi için ayrı):

Yine bir eşitsizlik sistemini çözdüğümüz için, gölgeli kümelerin kesişimiyle ilgileniyoruz: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Cevap bu.

Cevap: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Bu örneklerden sonra çözüm şemasının son derece net olduğunu düşünüyorum:

1. Diğer tüm terimleri şuraya taşıyarak modülü izole edin: karşı kısım eşitsizlikler. Böylece $\left| biçiminde bir eşitsizlik elde ederiz. f\sağ| \ltg$.
2. Yukarıda anlatılan şemaya göre modülden kurtularak bu eşitsizliği çözün. Bir noktada çifte eşitsizlikten iki kişilik sisteme geçmek gerekli olacaktır. bağımsız ifadeler, bunların her biri zaten ayrı ayrı çözülebilir.
3. Son olarak geriye kalan tek şey bu iki bağımsız ifadenin çözümlerini kesiştirmektir - işte bu kadar, nihai cevabı alacağız.

Eşitsizlikler için de benzer bir algoritma mevcuttur sonraki tür, modül ne zaman daha fazla özellik. Ancak birkaç ciddi “ama” var. Şimdi bu “ama”lardan bahsedeceğiz.

2. “Modül fonksiyondan büyüktür” formundaki eşitsizlikler

Şuna benziyorlar:

\[\sol| f\sağ| \gtg\]

Öncekine benzer mi? Görünüşe göre. Yine de bu tür sorunlar tamamen farklı bir şekilde çözülüyor. Resmi olarak şema aşağıdaki gibidir:

\[\sol| f\sağ| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Başka bir deyişle iki durumu ele alıyoruz:

1. İlk önce modülü görmezden geliyoruz ve olağan eşitsizliği çözüyoruz;
2. Daha sonra özünde modülü eksi işaretiyle genişletiyoruz ve elimde işaret varken eşitsizliğin her iki tarafını da -1 ile çarpıyoruz.

Seçenekler birleştirildi köşeli parantez, yani Önümüzde iki gereksinimin birleşimi var.

Lütfen tekrar unutmayın: bu bir sistem değil, bir bütünlüktür, dolayısıyla cevapta kümeler kesişmek yerine birleştirilmiştir. Bu temel farkönceki noktadan!

Genel olarak birçok öğrencinin kafası birleşimler ve kesişimlerle tamamen karıştırılıyor, o yüzden gelin bu konuyu kesin olarak çözelim:

• "∪" birleşim işaretidir. Aslında bu bize gelen stilize bir "U" harfi. ingilizce dili ve “Birlik”in kısaltmasıdır, yani. "Dernekler".
• "∩" kesişim işaretidir. Bu saçmalık herhangi bir yerden gelmedi, sadece “∪”ye karşı bir karşı nokta olarak ortaya çıktı.

Hatırlamayı daha da kolaylaştırmak için, gözlük yapmak için bu işaretlere bacak çekin (şimdi beni uyuşturucu bağımlılığını ve alkolizmi teşvik etmekle suçlamayın: eğer bu dersi ciddi şekilde çalışıyorsanız, o zaman zaten bir uyuşturucu bağımlısısınız demektir):

Rusçaya çevrildiğinde bu şu anlama gelir: Birlik (bütünlük) her iki gruptan da öğeler içerir, dolayısıyla hiçbir şekilde bunların her birinden daha az değildir; ancak kesişim (sistem) yalnızca hem birinci kümede hem de ikinci kümede aynı anda bulunan öğeleri içerir. Bu nedenle kümelerin kesişimi hiçbir zaman kaynak kümelerden daha büyük değildir.

Yani daha mı netleşti? Bu harika. Hadi uygulamaya geçelim.

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\]

Çözüm. Şemaya göre ilerliyoruz:

\[\sol| 3x+1 \sağ| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ Sağ.\]

Nüfustaki her eşitsizliği çözüyoruz:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Ortaya çıkan her kümeyi sayı doğrusunda işaretliyoruz ve sonra bunları birleştiriyoruz:

Setlerin birliği

Cevabın $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$ olacağı oldukça açık.

Cevap: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\]

Çözüm. Kuyu? Hiçbir şey - her şey aynı. Modüllü bir eşitsizlikten iki eşitsizlik kümesine geçiyoruz:

\[\sol| ((x)^(2))+2x-3 \sağ| \gt x\Rightarrow \left[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(hizala) \sağ.\]

Her eşitsizliği çözüyoruz. Maalesef oradaki kökler pek iyi olmayacak:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\bit(hizala)\]

İkinci eşitsizlik de biraz çılgınca:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\bit(hizala)\]

Şimdi bu sayıları her eşitsizlik için bir eksen olmak üzere iki eksende işaretlemeniz gerekiyor. Ancak noktaları doğru sırayla işaretlemeniz gerekir: daha büyük sayı noktayı ne kadar sağa kaydırırsak.

Ve burada bizi bir kurulum bekliyor. $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ sayılarıyla her şey açıksa (birincinin payındaki terimler) kesir ikincinin payındaki terimlerden küçüktür, dolayısıyla toplam da daha azdır), $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt) sayılarıyla (21))(2)$ da hiçbir zorluk olmayacak (pozitif sayı açıkça daha negatif), o zaman son çiftte her şey o kadar net değil. Hangisi daha büyük: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ veya $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Noktaların sayı doğrusu üzerindeki yerleşimi ve aslında cevap bu sorunun cevabına bağlı olacaktır.

Öyleyse karşılaştıralım:

\[\begin(matrix) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrix)\]

Kökü izole ettik, aldık Negatif olmayan sayılar eşitsizliğin her iki tarafında olduğundan her iki tarafın karesini alma hakkına sahibiz:

\[\begin(matrix) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrix)\]

Bence bu hiç de akıllıca değil $4\sqrt(13) \gt 3$, yani $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, eksenlerdeki son noktalar şu şekilde yerleştirilecektir:

Bir çirkin kök vakası

Size bir koleksiyon çözdüğümüzü hatırlatmama izin verin, dolayısıyla cevap gölgeli kümelerin kesişimi değil, birleşim olacaktır.

Cevap: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Gördüğünüz gibi planımız her ikisi için de harika çalışıyor basit görevler ve çok zorlu olanlar için. Tek şey" zayıf nokta"Bu yaklaşımda, rasyonel sayılar(ve inanın bana: mesele sadece kökler değil). Ancak karşılaştırma konularına ayrı (ve çok ciddi) bir ders ayrılacaktır. Ve devam ediyoruz.

3. Negatif olmayan “kuyruk”lu eşitsizlikler

Şimdi en ilginç kısma geliyoruz. Bunlar formdaki eşitsizliklerdir:

\[\sol| f\sağ| \gt\sol| g\sağ|\]

Genel olarak şimdi bahsedeceğimiz algoritma sadece modül için doğrudur. Solda ve sağda negatif olmayan ifadelerin garanti edildiği tüm eşitsizliklerde işe yarar:

Bu görevlerle ne yapmalı? Sadece şunu hatırla:

Negatif olmayan “kuyruk”lu eşitsizliklerde her iki taraf da herhangi bir noktaya yükseltilebilir. doğal derece. Hiçbir ek kısıtlama olmayacak.

Her şeyden önce kare almayla ilgileneceğiz - modülleri ve kökleri yakar:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\bit(hizala)\]

Bunu bir karenin kökünü almakla karıştırmayın:

\[\sqrt(((f)^(2))))=\left| f \sağ|\ne f\]

Bir öğrenci bir modülü kurmayı unuttuğunda sayısız hata yapıldı! Ama bu tamamen farklı bir hikaye (sanki irrasyonel denklemler), bu yüzden şimdi bu konuya girmeyeceğiz. Birkaç sorunu daha iyi çözelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ|\ge \sol| 1-2x \sağ|\]

Çözüm. Hemen iki şeye dikkat edelim:

1. Bu katı bir eşitsizlik değil. Sayı doğrusu üzerindeki noktalar delinecektir.
2. Eşitsizliğin her iki tarafı da açıkça negatif değildir (bu modülün bir özelliğidir: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Bu nedenle eşitsizliğin her iki tarafının karesini alarak modülden kurtulabilir ve sorunu çözebiliriz. olağan yöntem aralıklar:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\bit(hizala)\]

Son adımda biraz hile yaptım: Modülün düzgünlüğünden yararlanarak terimlerin sırasını değiştirdim (aslında $1-2x$ ifadesini -1 ile çarptım).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ sağ)\sağ)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Aralık yöntemini kullanarak çözüyoruz. Eşitsizlikten denkleme geçelim:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\bit(hizala)\]

Bulunan kökleri sayı doğrusunda işaretliyoruz. Bir kez daha: Orijinal eşitsizlik katı olmadığından tüm noktalar gölgelidir!

Modül işaretinden kurtulmak

Özellikle inatçı olanlar için şunu hatırlatayım: Denkleme geçmeden önce yazmış olduğumuz son eşitsizliğin işaretlerini alıyoruz. Ve aynı eşitsizlikte gerekli olan alanların üzerini boyuyoruz. Bizim durumumuzda $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$ şeklindedir.

İşte hepsi bu. Sorun çözüldü.

Cevap: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \sağ|\]

Çözüm. Her şeyi aynı yapıyoruz. Yorum yapmayacağım - sadece eylemlerin sırasına bakın.

Karesini alın:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) | ((x)^(2))+3x+4 \sağ|)^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \sağ))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ sağ))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(align)\]

Aralık yöntemi:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Sağ ok x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Sayı doğrusunda tek bir kök vardır:

Cevap tam bir aralıktır

Cevap: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Hakkında küçük bir not son görev. Öğrencilerimden birinin doğru bir şekilde belirttiği gibi, her iki alt modüler ifade de bu eşitsizlik açıkça pozitiftir, dolayısıyla sağlığa zarar vermeden modül işareti çıkarılabilir.

Ancak bu tamamen farklı bir düşünce düzeyi ve farklı bir yaklaşımdır - buna şartlı olarak sonuçların yöntemi denilebilir. Bu konuda - ayrı bir derste. Şimdi bugünkü dersin son kısmına geçelim ve her zaman işe yarayan evrensel bir algoritmaya bakalım. Önceki tüm yaklaşımlar güçsüz olsa bile :)

4. Seçeneklerin numaralandırılması yöntemi

Ya tüm bu teknikler yardımcı olmazsa? Eşitsizlik azaltılamazsa negatif olmayan kuyruklar, modülü izole edemiyorsanız, acı, üzüntü, melankoli varsa?

Sonra tüm matematiğin "ağır topları" sahneye çıkıyor; kaba kuvvet yöntemi. Modüllü eşitsizliklerle ilgili olarak şöyle görünür:

1. Tüm alt modüler ifadeleri yazın ve bunları sıfıra eşitleyin;
2. Ortaya çıkan denklemleri çözün ve bir sayı doğrusunda bulunan kökleri işaretleyin;
3. Düz çizgi, her modülün sabit bir işarete sahip olduğu ve dolayısıyla benzersiz bir şekilde ortaya çıktığı çeşitli bölümlere bölünecektir;
4. Bu tür bölümlerin her birinde eşitsizliği çözün (güvenilirlik için 2. adımda elde edilen kök sınırlarını ayrı ayrı değerlendirebilirsiniz). Sonuçları birleştirin - cevap bu olacak :)

Peki nasıl? Zayıf? Kolayca! Sadece uzun bir süre için. Pratikte görelim:

Görev. Eşitsizliği çözün:

\[\sol| x+2 \sağ| \lt \sol| x-1 \sağ|+x-\frac(3)(2)\]

Çözüm. Bu saçmalık $\left| gibi eşitsizliklerden ibaret değil f\sağ| \lt g$, $\left| f\sağ| \gt g$ veya $\left| f\sağ| \lt \sol| g \right|$, bu yüzden ileri doğru hareket ediyoruz.

Alt modüler ifadeler yazıyoruz, bunları sıfıra eşitliyoruz ve kökleri buluyoruz:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Sağ ok x=1. \\\bit(hizala)\]

Toplamda, sayı doğrusunu üç bölüme ayıran iki kökümüz var ve bu bölümde her modül benzersiz bir şekilde ortaya çıkıyor:

Sayı doğrusunda alt modüler fonksiyonların sıfırlarına göre bölümleme

Her bölüme ayrı ayrı bakalım.

1. $x \lt -2$ olsun. O zaman her iki alt modüler ifade de negatiftir ve orijinal eşitsizlik şu şekilde yeniden yazılacaktır:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1,5 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align)\]

Oldukça basit bir sınırlamamız var. Bunu $x \lt -2$ şeklindeki başlangıç ​​varsayımıyla kesiştirelim:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1,5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Açıkçası, $x$ değişkeni aynı anda -2'den küçük ve 1,5'tan büyük olamaz. Bu alanda herhangi bir çözüm bulunmamaktadır.

1.1. Sınırdaki durumu ayrıca ele alalım: $x=-2$. Bu sayıyı orijinal eşitsizliğin yerine koyalım ve kontrol edelim: bu doğru mu?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \sol| -3\right|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Hesaplamalar zincirinin bizi yanlış bir eşitsizliğe sürüklediği açıktır. Bu nedenle orijinal eşitsizlik de yanlıştır ve cevaba $x=-2$ dahil edilmemiştir.

2. Şimdi $-2 \lt x \lt 1$ olsun. Sol modül zaten bir "artı" ile açılacak, ancak sağdaki modül yine de "eksi" ile açılacaktır. Sahibiz:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1,5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1,5 \\& x \lt - 2,5 \\\bitiş(hizalama)\]

Yine orijinal gereksinimle kesişiyoruz:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ve yine çözüm kümesi boştur çünkü hem -2,5'tan küçük hem de -2'den büyük sayılar yoktur.

2.1. Ve tekrar özel durum: $x=1$. Orijinal eşitsizliği yerine koyarsak:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \sol| 3\sağ| \lt \sol| 0\sağ|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\bit(hizala)\]

Önceki “özel duruma” benzer şekilde, $x=1$ sayısı cevaba açıkça dahil edilmemiştir.

3. Satırın son parçası: $x \gt 1$. Burada tüm modüller artı işaretiyle açılır:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(align)\ ]

Ve yine bulunan kümeyi orijinal kısıtlamayla kesiştiriyoruz:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Nihayet! Cevap olacak bir aralık bulduk.

Cevap: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Son olarak, gerçek sorunları çözerken sizi aptalca hatalardan kurtarabilecek bir açıklama:

Eşitsizliklerin modüllü çözümleri genellikle sayı doğrusu aralıkları ve segmentleri üzerindeki sürekli kümeleri temsil eder. Çok daha az yaygın yalıtılmış noktalar. Ve daha da az sıklıkla, çözümün sınırının (bölümün sonu) söz konusu aralığın sınırıyla çakıştığı görülür.

Sonuç olarak, eğer sınırlar (aynı “özel durumlar”) cevaba dahil edilmiyorsa, bu sınırların solunda ve sağındaki alanlar neredeyse kesinlikle cevaba dahil edilmeyecektir. Ve bunun tersi de geçerlidir: sınır cevaba girmiştir, bu da etrafındaki bazı alanların da cevap olacağı anlamına gelir.

Çözümlerinizi incelerken bunu aklınızda bulundurun.

Bu makale çözümlere ayrılmıştır farklı denklemler ve aşağıdakileri içeren eşitsizlikler
modül işaretinin altındaki değişken.

Sınavda modülü olan bir denklem veya eşitsizlikle karşılaşırsanız bunu çözebilirsiniz.
hiçbirini bilmeden özel yöntemler ve yalnızca modül tanımını kullanarak. Bu doğru mu?
Bu, değerli sınav zamanınızın bir buçuk saatini alabilir.

Bu yüzden size bu tür sorunların çözümünü kolaylaştıran tekniklerden bahsetmek istiyoruz.

Öncelikle şunu hatırlayalım

düşünelim çeşitli türler modüllü denklemler. (Eşitsizliklere daha sonra geçeceğiz.)

Soldaki modül, sağdaki numara

Bu en basit durumdur. Denklemi çözelim | X 2 − 5X + 4| = 4.

Modülleri dörde eşit olan yalnızca iki sayı vardır. Bunlar 4 ve −4'tür. Bu nedenle denklem
iki basit olanın birleşimine eşdeğerdir:

X 2 − 5X+ 4 = 4 veya X 2 − 5X + 4 = −4.

İkinci denklemin çözümü yoktur. İlk çözümler: X= 0 ve X = 5.

Cevap: 0; 5.

Hem modül altında hem de modül dışında değişken

Burada modülü tanım gereği genişletmemiz gerekiyor. . . ya da düşün!

1. |2 − X| = 5 − 4X

Denklem, modülün altındaki ifadenin işaretine bağlı olarak iki duruma ayrılır.
Başka bir deyişle, iki sistemin birleşimine eşdeğerdir:

Birinci sistemin çözümü: X= 1. İkinci sistemin çözümü yoktur.
Cevap: 1.

2 . X 2 + 4|X − 3| − 7X + 11 = 0.

İlk durum: X≥ 3. Modülü çıkarın:

Sayı X 2, negatif olmak koşulu sağlamaz X≥ 3 olduğundan orijinal denklemin kökü değildir.

Sayının bu koşulu karşılayıp karşılamadığını bulalım X 1. Bunu yapmak için farkı oluşturuyoruz ve işaretini belirliyoruz:

Araç, X 1 üçten büyüktür ve bu nedenle orijinal denklemin köküdür

İkinci durum: X < 3. Снимаем модуль:

Sayı X 3 büyüktür ve bu nedenle koşulu karşılamıyor X < 3. Проверим X 4:

Araç, X 4 orijinal denklemin köküdür.

3. |2X 2 − 3X − 4| = 6X − 1.

Modül tanım gereği kaldırılıyor mu? Bunu düşünmek bile korkutucu çünkü diskriminant tam bir kare değil. Şu düşünceyi kullansak iyi olur: |A| biçiminde bir denklem = B iki sistemin birleşimine eşdeğerdir:

Aynı şey ama biraz farklı:

Başka bir deyişle, A = B ve A = −B olmak üzere iki denklemi çözüyoruz ve ardından B ≥ 0 koşulunu sağlayan kökleri seçiyoruz.

Hadi başlayalım. İlk önce ilk denklemi çözüyoruz:

Daha sonra ikinci denklemi çözüyoruz:

Şimdi her durumda sağ taraftaki işareti kontrol ediyoruz:

Bu nedenle yalnızca uygundurlar X 1 ve X 3 .

Değiştirmeli ikinci dereceden denklemler | X| = T

Denklemi çözelim: X 2 + 2|X| − 3 = 0.

O zamandan beri X 2 = |X| 2, değiştirme yapmak uygundur | X| = T. Şunu elde ederiz:

Cevap: ±1.

Modül modüle eşit

|A| formundaki denklemlerden bahsediyoruz. = |B|. Bu kaderin bir hediyesi. Tanım gereği modül açıklaması yok! Çok basit:

Örneğin şu denklemi düşünün: |3 X 2 + 5X − 9| = |6X+ 15|. Aşağıdaki sete eşdeğerdir:

Kümenin denklemlerinin her birini çözmek ve cevabı yazmak için kalır.

İki veya daha fazla modül

Denklemi çözelim: | X − 1| − 2|X − 2| + 3|X − 3| = 4.

Her modülle ayrı ayrı uğraşmayalım ve tanımı gereği açalım - çok fazla seçenek olacak. Daha fazlası var rasyonel yol- aralık yöntemi.

Modüllerin altındaki ifadeler bazı noktalarda kayboluyor X = 1, X= 2 ve X= 3. Bu noktalar sayı doğrusunu dört boşluğa (aralığa) böler. Bu noktaları sayı doğrusu üzerinde işaretleyelim ve ortaya çıkan aralıklara modüllerin altındaki ifadelerin her biri için işaretler koyalım. (İşaretlerin sırası denklemdeki karşılık gelen modüllerin sırası ile örtüşmektedir.)

Bu nedenle dört durumu dikkate almamız gerekiyor: X aralıkların her birinde bulunur.

Durum 1: X≥ 3. Tüm modüller “artı ile” kaldırılır:

Alınan değer X= 5 koşulu karşılıyor X≥ 3 ve dolayısıyla orijinal denklemin köküdür.

Durum 2: 2 ≤ X≤ 3. Son modül artık “eksiyle” kaldırılmıştır:

Alınan değer X aynı zamanda uygundur - söz konusu aralığa aittir.

Durum 3: 1 ≤ X≤ 2. İkinci ve üçüncü modüller “eksi ile” kaldırılır:

Herhangi biri için doğru sayısal eşitliği elde ettik. X Söz konusu aralıktan elde edilen değerler bu denklemin çözümü olarak hizmet eder.

Durum 4: x ≤ 1 ≤ 1. İkinci ve üçüncü modüller “eksi ile” kaldırılır:

Yeni bir şey yok. Bunu zaten biliyoruz X= 1 çözümdür.

Cevap: ∪(5).

Modül içindeki modül

Denklemi çözelim: ||3 − X| − 2X + 1| = 4X − 10.

Dahili modülü açarak başlıyoruz.

1) X≤ 3. Şunu elde ederiz:

Modülün altındaki ifade 'de kaybolur. Bu nokta söz konusu kişiye ait
arasında. Bu nedenle iki alt durumu analiz etmemiz gerekiyor.

1.1) Bu durumda şunu elde ederiz:

anlamı bu X söz konusu aralığa ait olmadığı için uygun değildir.

1.2). Daha sonra:

anlamı bu X da uygun değil.

Peki ne zaman X≤ 3 çözüm yok. İkinci duruma geçelim.

2) X≥ 3. Elimizde:

Burada şanslıyız: ifade X+ 2, söz konusu aralıkta pozitiftir! Bu nedenle artık herhangi bir alt durum olmayacak: modül “artı ile” kaldırılıyor:

anlamı bu X söz konusu aralıktadır ve bu nedenle orijinal denklemin köküdür.

Bütün sorunlar böyle çözülür bu türden- iç içe geçmiş modülleri iç modülden başlayarak tek tek açın.

Modüllü eşitsizlikler

Burada temelde yeni fikirler ortaya çıkmıyor. Herkes gerekli bilgi zaten sahibin. Bu nedenle sadece iki sorunu analiz edeceğiz. Gerisi derslerde ve ödevlerde yapılır.

1. 2|X − 4| + |3X + 5| ≥ 16.

1) X≥ 4. Elimizde:

Ortaya çıkan eşitsizlik dikkate alınan herkes için sağlanır X≥ 4. Yani aralıktaki tüm sayılar.

3). Sahibiz:

− olduğundan beri tüm değerler X Ortaya çıkan aralıktan elde edilen değerler orijinal eşitsizliğin çözümü olarak hizmet eder.

Geriye, ele alınan üç durumda elde edilen çözüm setlerini birleştirmeye devam etmektedir.

2. |X 2 − 2X − 3| < 3X − 3.

Bu, V. V. Tkachuk’un “Başvuranlar için Matematik” kitabının 8. dersinin teorik kısmının 6 numaralı görevidir. Yazar bunu aralık yöntemini kullanarak çözüyor. Yazarın çözümünü mutlaka inceleyin!

Buradaki aralık yönteminin, modülün altındaki kare trinomiyalin köklerinin tam sayılar olması nedeniyle çok ağrısız olduğuna dikkat edin. Ya diskriminant tam kare değilse? Örneğin, modül −3'ün altındaki değeri −5 ile değiştirin. Daha sonra hesaplama işinin miktarı önemli ölçüde artacaktır.

Bu sorunu çözmenin, ayrımcının kaprislerine bağlı olmayan başka bir yolunu size göstereceğiz.

Eşitsizliğimiz |A| biçimindedir.< B. Очевидны следующие утверждения.

Eğer B ≤ 0 ise eşitsizliğin çözümü yoktur.

Eğer B > 0 ise eşitsizlik çifte eşitsizlik −B'ye eşdeğerdir.< A < B или, что то же самое, системе

Başka bir deyişle, belirli bir sistemin çözüm kümesinin B> 0 eşitsizliğinin çözüm kümesiyle kesişimini alıyoruz, yani sistemi çözüyoruz

Sorunumuzda şunu elde ediyoruz:

Bu eşitsizliklerin çözüm kümelerini şekilde gösterelim. İlk (çift) eşitsizliğin çözümleri siyah renkle gösterilmiştir; yeşil- bütünlüğün çözümleri; mavi- Sistemin son eşitsizliğinin çözümleri.

Sistemin çözümü bu kümelerin kesişimi, yani üzerinde tüm kümelerin doğrularının bulunduğu bir kümedir. üç renk. Gölgeli.