7.1. ક્રોસ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા

ત્રણ નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર a, b અને c, અંદર લેવામાં આવ્યા છે ઉલ્લેખિત ક્રમમાં, જો ત્રીજા વેક્ટર c ના અંતથી પ્રથમ વેક્ટર a થી બીજા વેક્ટર b સુધીનો સૌથી ટૂંકો વળાંક ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં થતો જોવામાં આવે તો જમણો ટ્રિપલ બનાવો અને જો તે ઘડિયાળની દિશામાં હોય તો ડાબો ટ્રિપલ બનાવો (ફિગ 16 જુઓ).

વેક્ટર a અને વેક્ટર b ના ક્રોસ પ્રોડક્ટને વેક્ટર c કહેવામાં આવે છે, જે:

1. વેક્ટર a અને b માટે લંબરૂપ છે, એટલે કે c^a અને c ^ b;

2. વેક્ટર a અને પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની સંખ્યાત્મક રીતે સમાન લંબાઈ ધરાવે છેbબાજુઓ પર (જુઓ. ફિગ. 17), એટલે કે.

3. વેક્ટર a, b અને c જમણા હાથે ટ્રિપલ બનાવે છે.

વેક્ટર આર્ટવર્ક x b અથવા [a,b] દ્વારા સૂચિત. એકમ વેક્ટર વચ્ચેના નીચેના સંબંધો જે હું વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યામાંથી સીધું અનુસરું છું, j અને k

(જુઓ આકૃતિ 18):
i x j = k, j x k = i, k x i = j.ચાલો, ઉદાહરણ તરીકે, તે સાબિત કરીએ

i xj =k. ^ 1) k^i, k

j ; 2) |k |=1, પરંતુ | i x જે

| = |i | અને|જે | પાપ(90°)=1;

3) વેક્ટર i, j અને

જમણી ત્રિપુટી બનાવો (ફિગ. 16 જુઓ).

7.2. ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો = -(1. પરિબળોને ફરીથી ગોઠવતી વખતે, વેક્ટર ઉત્પાદન ચિહ્ન બદલાય છે, એટલે કે.).

અને xb =(b xa) (જુઓ ફિગ. 19). વેક્ટર a xb અને b xa સમરેખા હોય છે, તેમાં સમાન મોડ્યુલો હોય છે (સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ યથાવત રહે છે), પરંતુ વિરુદ્ધ દિશા નિર્દેશિત હોય છે (એક, b, a xb અને a, b, b x a વિરુદ્ધ દિશાના ત્રિવિધ). તેથી axb

b xa 2. વેક્ટર ઉત્પાદન ધરાવે છેસંયુક્ત મિલકત bસ્કેલર ફેક્ટરના સંદર્ભમાં, એટલે કે l (a xb) = (l a) x b = a x (l b). bચાલો l >0. વેક્ટર l (a xb) એ વેક્ટર a અને b માટે લંબ છે. વેક્ટર ( 2. વેક્ટર ઉત્પાદન ધરાવે છે l 2. વેક્ટર ઉત્પાદન ધરાવે છે a) x 2. વેક્ટર ઉત્પાદન ધરાવે છેસંયુક્ત મિલકત bવેક્ટર a અને માટે પણ લંબ છે

(વેક્ટર a, 2. વેક્ટર ઉત્પાદન ધરાવે છેપરંતુ તે જ વિમાનમાં સૂવું). આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર્સ 2. વેક્ટર ઉત્પાદન ધરાવે છે(a xb) અને ( 2. વેક્ટર ઉત્પાદન ધરાવે છે<0.

સમરેખા તે સ્પષ્ટ છે કે તેમની દિશાઓ એકરૂપ છે. તેમની પાસે સમાન લંબાઈ છે: bતેથી જ (a xb)=એક xb. તે માટે સમાન રીતે સાબિત થાય છે<=>3. બે બિન-શૂન્ય વેક્ટર a અને

સમરેખા હોય છે જો અને માત્ર જો તેમની ક્રોસ પ્રોડક્ટ સમાન હોય

શૂન્ય વેક્ટર

(, એટલે કે a ||bઅને xb =0. bખાસ કરીને, i *i =j *j =k *k =0 .

4. વેક્ટર ઉત્પાદનમાં વિતરણ ગુણધર્મ છે:

7.3. કોઓર્ડિનેટ્સની દ્રષ્ટિએ ક્રોસ પ્રોડક્ટને વ્યક્ત કરવું

આપણે વેક્ટર i ના ક્રોસ પ્રોડક્ટ ટેબલનો ઉપયોગ કરીશું, એકમ વેક્ટર વચ્ચેના નીચેના સંબંધો જે હું વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યામાંથી સીધું અનુસરું છું,અને k:

જો પ્રથમ વેક્ટરથી બીજા સુધીના ટૂંકા માર્ગની દિશા તીરની દિશા સાથે એકરુપ હોય, તો ઉત્પાદન ત્રીજા વેક્ટરની બરાબર છે જો તે એકરૂપ ન થાય, તો ત્રીજા વેક્ટરને બાદબાકી ચિહ્ન સાથે લેવામાં આવે છે;

બે વેક્ટર a =a x i +a y આપવા દો એકમ વેક્ટર વચ્ચેના નીચેના સંબંધો જે હું વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યામાંથી સીધું અનુસરું છું,+a z અનેઅને b = b x i+b y એકમ વેક્ટર વચ્ચેના નીચેના સંબંધો જે હું વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યામાંથી સીધું અનુસરું છું,+b z અને. ચાલો આ વેક્ટરોના વેક્ટર ઉત્પાદનને બહુપદી તરીકે ગુણાકાર કરીને શોધીએ (વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મો અનુસાર):

પરિણામી સૂત્ર વધુ સંક્ષિપ્તમાં લખી શકાય છે:

કારણ કે સમાનતાની જમણી બાજુ (7.1) પ્રથમ પંક્તિ (7.2) ના તત્વોના સંદર્ભમાં ત્રીજા-ક્રમ નિર્ણાયકના વિસ્તરણને અનુરૂપ છે તે યાદ રાખવું સરળ છે.

7.4. ક્રોસ પ્રોડક્ટની કેટલીક એપ્લિકેશનો

વેક્ટર્સની સમકક્ષતાની સ્થાપના

સમાંતરગ્રામ અને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવું

વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યા અનુસાર એઅને બી |a xb | =|a | * |b |sin g, એટલે કે S જોડીઓ = |a x b |. અને, તેથી, D S =1/2|a x b |.

બિંદુ વિશે બળની ક્ષણનું નિર્ધારણ

બિંદુ A પર બળ લાગુ થવા દો F = ABઅને દો વિશે- અવકાશમાં અમુક બિંદુ (જુઓ ફિગ. 20).

તે ભૌતિકશાસ્ત્ર પરથી જાણવા મળે છે કે બળની ક્ષણ એફ બિંદુ સંબંધિત વિશેવેક્ટર કહેવાય છે એમ,જે બિંદુ પરથી પસાર થાય છે વિશેઅને:

1) બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વિમાનને લંબરૂપ ઓ, એ, બી;

2) આંકડાકીય રીતે હાથ દીઠ બળના ઉત્પાદનની સમાન

3) OA અને A B વેક્ટર્સ સાથે જમણી ત્રિવિધ બનાવે છે.

તેથી, M = OA x F.

રેખીય પરિભ્રમણ ગતિ શોધવી

ઝડપ વિપોઇન્ટ એમ નક્કર, કોણીય વેગ સાથે ફરતી ડબલ્યુનિશ્ચિત અક્ષની આસપાસ, યુલરના સૂત્ર v =w xr દ્વારા નિર્ધારિત થાય છે, જ્યાં r = OM, જ્યાં O એ અક્ષનું અમુક નિશ્ચિત બિંદુ છે (જુઓ ફિગ. 21).

વ્યાખ્યા (x 1 , x 2 , ... , x n) n વાસ્તવિક સંખ્યાઓના ક્રમબદ્ધ સંગ્રહને કહેવામાં આવે છે n-પરિમાણીય વેક્ટર, અને સંખ્યાઓ x i (i = ) - ઘટકો,અથવા સંકલન,

ઉદાહરણ. જો, ઉદાહરણ તરીકે, કોઈ ચોક્કસ ઓટોમોબાઈલ પ્લાન્ટે 50 કાર, 100 ટ્રક, 10 બસો, કાર માટેના સ્પેરપાર્ટ્સના 50 સેટ અને ટ્રક અને બસો માટે 150 સેટ પ્રતિ શિફ્ટનું ઉત્પાદન કરવું જોઈએ, તો આ પ્લાન્ટના ઉત્પાદન કાર્યક્રમને વેક્ટર તરીકે લખી શકાય. (50, 100, 10, 50, 150), જેમાં પાંચ ઘટકો છે.

નોટેશન. વેક્ટર્સને બોલ્ડ લોઅરકેસ અક્ષરો અથવા ટોચ પર બાર અથવા તીર સાથેના અક્ષરો દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવે છે, દા.ત. aઅથવા. બે વેક્ટર કહેવાય છે સમાન, જો તેમની પાસે ઘટકોની સમાન સંખ્યા હોય અને તેમના અનુરૂપ ઘટકો સમાન હોય.

વેક્ટર ઘટકોની અદલાબદલી કરી શકાતી નથી, ઉદાહરણ તરીકે, (3, 2, 5, 0, 1)અને (2, 3, 5, 0, 1) વિવિધ વેક્ટર.
વેક્ટર પર કામગીરી.કામ x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) વાસ્તવિક સંખ્યા દ્વારાλ વેક્ટર કહેવાય છેλ x= (λ x 1, λ x 2, ..., λ x n).

રકમx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) અને y= (y 1 , y 2 , ... ,y n) વેક્ટર કહેવાય છે x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

વેક્ટર જગ્યા.એન -પરિમાણીય વેક્ટર જગ્યા આર n એ તમામ n-પરિમાણીય વેક્ટરના સમૂહ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જેના માટે વાસ્તવિક સંખ્યાઓ અને ઉમેરા દ્વારા ગુણાકારની ક્રિયાઓ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.

આર્થિક ચિત્રણ. n-પરિમાણીય વેક્ટર સ્પેસનું આર્થિક ચિત્ર: માલની જગ્યા (માલ). હેઠળ માલઅમે કેટલીક સારી અથવા સેવા સમજીશું જે ચોક્કસ સ્થળે ચોક્કસ સમયે વેચાણ પર હતી. ધારો કે ઉપલબ્ધ માલની મર્યાદિત સંખ્યા n છે; ઉપભોક્તા દ્વારા ખરીદેલ તેમાંથી દરેકની માત્રા માલના સમૂહ દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

જ્યાં x i ઉપભોક્તા દ્વારા ખરીદેલ i-th ગુડની રકમ દર્શાવે છે. અમે ધારીશું કે તમામ માલસામાનમાં મનસ્વી વિભાજ્યતાની મિલકત છે, જેથી તેમાંથી દરેકની કોઈપણ બિન-નકારાત્મક જથ્થાને ખરીદી શકાય. પછી માલના તમામ સંભવિત સમૂહો માલની જગ્યાના વેક્ટર છે C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i ≥ 0, i = ).

રેખીય સ્વતંત્રતા. સિસ્ટમ ઇ 1 , ઇ 2 , ... , ઇ m n-પરિમાણીય વેક્ટર કહેવામાં આવે છે રેખીય રીતે નિર્ભર, જો આવી સંખ્યાઓ છેλ 1 , λ 2 , ... , λ m , જેમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બિન-શૂન્ય છે, જેમ કે સમાનતાλ 1 ઇ 1 + λ 2 ઇ 2 +... + λ m ઇ m = 0; અન્યથા, આ વેક્ટર સિસ્ટમ કહેવાય છે રેખીય રીતે સ્વતંત્ર, એટલે કે, દર્શાવેલ સમાનતા ફક્ત ત્યારે જ શક્ય છે જ્યારે બધા . માં વેક્ટર્સની રેખીય અવલંબનનો ભૌમિતિક અર્થ આર 3, નિર્દેશિત વિભાગો તરીકે અર્થઘટન, નીચેના પ્રમેય સમજાવો.

પ્રમેય 1. એક વેક્ટર ધરાવતી સિસ્ટમ રેખીય રીતે નિર્ભર છે જો અને માત્ર જો આ વેક્ટર શૂન્ય હોય.

પ્રમેય 2. બે વેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેઓ સમકક્ષ (સમાંતર) હોય.

પ્રમેય 3 . ત્રણ વેક્ટર્સ રેખીય રીતે નિર્ભર રહેવા માટે, તે જરૂરી અને પૂરતું છે કે તેઓ કોપ્લાનર (એક જ વિમાનમાં આવેલા) હોય.

વેક્ટરની ડાબી અને જમણી ત્રિપુટી. નોન-કોપ્લાનર વેક્ટરનો ટ્રિપલ a, b, cકહેવાય છે અધિકાર, જો તેમના સામાન્ય મૂળમાંથી નિરીક્ષક વેક્ટરના છેડાને બાયપાસ કરે છે a, b, cઆપેલ ક્રમમાં ઘડિયાળની દિશામાં થાય છે. અન્યથા a, b, c -ત્રણ બાકી. વેક્ટરના બધા જમણા (અથવા ડાબે) ત્રિપુટીઓ કહેવામાં આવે છે સમાન લક્ષી.

આધાર અને સંકલન. ટ્રોઇકા ઇ 1, ઇ 2 , ઇમાં 3 નોન-કોપ્લાનર વેક્ટર આર 3 કહેવાય છે આધાર, અને વેક્ટર પોતે ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 - મૂળભૂત. કોઈપણ વેક્ટર aબેઝિસ વેક્ટર્સમાં વિશિષ્ટ રીતે વિસ્તૃત કરી શકાય છે, એટલે કે ફોર્મમાં રજૂ થાય છે

એ= x 1 ઇ 1+x2 ઇ 2 + x 3 ઇ 3, (1.1)

x 1 , x 2 , x 3 વિસ્તરણમાં (1.1) નંબરો કહેવાય છે સંકલનaઆધાર માં ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 અને નિયુક્ત કરવામાં આવ્યા છે a(x 1, x 2, x 3).

ઓર્થોનોર્મલ આધાર. જો વેક્ટર્સ ઇ 1, ઇ 2 , ઇ 3 જોડી પ્રમાણે લંબ છે અને તેમાંથી દરેકની લંબાઈ એક સમાન છે, તો આધાર કહેવાય છે ઓર્થોનોર્મલ, અને કોઓર્ડિનેટ્સ x 1 , x 2 , x 3 - લંબચોરસઓર્થોનોર્મલ આધારના આધાર વેક્ટર દ્વારા સૂચિત કરવામાં આવશે i, j, k.

અમે તેને અવકાશમાં ધારીશું આર 3 કાર્ટેશિયન લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ્સની યોગ્ય સિસ્ટમ પસંદ કરવામાં આવી છે (0, i, j, k}.

વેક્ટર આર્ટવર્ક. વેક્ટર આર્ટવર્ક એવેક્ટર માટે bવેક્ટર કહેવાય છે c, જે નીચેની ત્રણ શરતો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે:

1. વેક્ટર લંબાઈ cસંખ્યાત્મક રીતે વેક્ટર પર બનેલા સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળની બરાબર aઅને bએટલે કે
c= |a||b|પાપ( a^b).

2. વેક્ટર cદરેક વેક્ટરને લંબરૂપ aઅને b

3. વેક્ટર a bઅને c, દર્શાવેલ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, એક જમણી ત્રિપુટી બનાવે છે.

ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટે cહોદ્દો રજૂ કરવામાં આવે છે c =[ab] અથવા
c = a × b

જો વેક્ટર્સ aઅને bસમરેખા છે, પછી પાપ( a^b) = 0 અને [ ab] = 0, ખાસ કરીને, [ aa] = 0. એકમ વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનો: [ ij]=k, [jk] = i, [કી]=j.

જો વેક્ટર્સ aઅને bઆધારમાં ઉલ્લેખિત છે i, j, kસંકલન a(a 1 , a 2 , a 3 ) b(b 1, b 2, b 3), પછી

મિશ્ર કાર્ય. જો બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન એઅને bત્રીજા વેક્ટર દ્વારા સ્કેલરલી ગુણાકાર c,પછી ત્રણ વેક્ટરના આવા ઉત્પાદનને કહેવામાં આવે છે મિશ્ર કાર્યઅને પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે a b c.

જો વેક્ટર્સ a, bઅને cઆધાર માં i, j, kતેમના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા આપવામાં આવે છે
a(a 1 , a 2 , a 3 ) b(b 1, b 2, b 3), c(c 1, c 2, c 3), પછી

.

મિશ્રિત ઉત્પાદનમાં એક સરળ ભૌમિતિક અર્થઘટન છે - તે એક સ્કેલર છે, જે ત્રણ આપેલ વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતર પાઇપના જથ્થાના ચોક્કસ મૂલ્યમાં સમાન છે.

જો વેક્ટર્સ જમણી ત્રિપુટી બનાવે છે, તો તેમના મિશ્ર કાર્યઉલ્લેખિત વોલ્યુમની સમાન હકારાત્મક સંખ્યા છે; જો તે ત્રણ છે a, b, c -બાકી, પછી a b c<0 и V = - a b c, તેથી V =|a b c|.

પ્રથમ પ્રકરણની સમસ્યાઓમાં વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ યોગ્ય ઓર્થોનોર્મલ આધારને અનુલક્ષીને આપવામાં આવ્યા હોવાનું માનવામાં આવે છે. વેક્ટર સાથે એકમ વેક્ટર કોડાયરેક્શનલ એ,પ્રતીક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે એઓ. પ્રતીક આર=ઓમબિંદુ M ના ત્રિજ્યા વેક્ટર દ્વારા સૂચિત, પ્રતીકો a, AB અથવા|a|, | એબી|વેક્ટરના મોડ્યુલો સૂચવવામાં આવે છે એઅને એબી.

ઉદાહરણ 1.2. વેક્ટર વચ્ચેનો ખૂણો શોધો a= 2m+4nઅને b= m-n, ક્યાં mઅને n-એકમ વેક્ટર અને વચ્ચેનો કોણ mઅને n 120 ઓ ની બરાબર.

ઉકેલ. અમારી પાસે છે: cos φ = ab/ab ab =(2m+4n) (m-n) = 2m 2 - 4n 2 +2mn=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0.5) = -3; a = ; a 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16mn+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, જેનો અર્થ થાય છે a = . b = ; b 2 =
= (m-n)(m-n) = m 2 -2mn+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, જેનો અર્થ થાય છે b = . છેલ્લે આપણી પાસે છે: cosφ = = -1/2, φ = 120 ઓ.

ઉદાહરણ 1.3.વેક્ટરને જાણવું એબી(-3,-2.6) અને બી.સી.(-2,4,4), ત્રિકોણ ABC ની ઊંચાઈ AD ની લંબાઈની ગણતરી કરો.

ઉકેલ. S દ્વારા ત્રિકોણ ABC ના ક્ષેત્રફળ દર્શાવતા, આપણને મળે છે:
S = 1/2 BC AD. પછી AD=2S/BC, BC== = 6,
S = 1/2| એબી ×AC|. AC=AB+BC, જેનો અર્થ વેક્ટર થાય છે A.C.કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે
. .

ઉદાહરણ 1.4 . બે વેક્ટર આપવામાં આવ્યા છે a(11,10,2) અને b(4,0,3). એકમ વેક્ટર શોધો c,વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ aઅને bઅને નિર્દેશિત કરે છે કે જેથી વેક્ટરના ત્રણ ગણો આદેશ આપ્યો a, b, cસાચો હતો.

ઉકેલ.ચાલો વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સૂચવીએ c x, y, z ની દ્રષ્ટિએ આપેલ અધિકાર ઓર્થોનોર્મલ આધારના સંદર્ભમાં.

ત્યારથી c ⊥ a, c ⊥b, તે ca= 0,સીબી= 0. સમસ્યાની શરતો અનુસાર, તે જરૂરી છે કે c = 1 અને a b c >0.

આપણી પાસે x,y,z શોધવા માટે સમીકરણોની સિસ્ટમ છે: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

સિસ્ટમના પ્રથમ અને બીજા સમીકરણોમાંથી આપણે z = -4/3 x, y = -5/6 x મેળવીએ છીએ. ત્રીજા સમીકરણમાં y અને z ને બદલીને, આપણી પાસે છે: x 2 = 36/125, ક્યાંથી
x =± . શરતનો ઉપયોગ કરીને a b c > 0, અમને અસમાનતા મળે છે

z અને y માટેના સમીકરણોને ધ્યાનમાં લેતા, અમે પરિણામી અસમાનતાને ફોર્મમાં ફરીથી લખીએ છીએ: 625/6 x > 0, જે સૂચવે છે કે x>0. તેથી, x = , y = - , z =- .

વેક્ટર પ્રોડક્ટની વિભાવના આપતા પહેલા, ચાલો ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં a →, b →, c → ક્રમાંકિત ટ્રિપલ વેક્ટરના ઓરિએન્ટેશનના પ્રશ્ન તરફ વળીએ.

શરૂ કરવા માટે, ચાલો એક બિંદુથી a → , b → , c → વેક્ટર્સને બાજુ પર મૂકીએ. ટ્રિપલ a → , b → , c → નું ઓરિએન્ટેશન જમણે કે ડાબે હોઈ શકે છે, જે વેક્ટર c → ની દિશા પર આધાર રાખે છે. ટ્રિપલ a → , b → , c → નો પ્રકાર વેક્ટર c → ના અંતથી વેક્ટર a → થી b → જે દિશામાં સૌથી ટૂંકો વળાંક બનાવવામાં આવે છે તે દિશામાંથી નિર્ધારિત કરવામાં આવશે.

જો સૌથી ટૂંકો વળાંક ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં કરવામાં આવે છે, તો વેક્ટરના ત્રિવિધ a → , b → , c → કહેવાય છે. અધિકાર, જો ઘડિયાળની દિશામાં - બાકી.

આગળ, બે નોન-કોલિનિયર વેક્ટર a → અને b → લો. ચાલો પછી A B → = a → અને A C → = b → બિંદુ A થી વેક્ટર્સનું પ્લોટિંગ કરીએ. ચાલો એક વેક્ટર A D → = c → બનાવીએ, જે A B → અને A C → બંને માટે એક સાથે લંબ છે. આમ, વેક્ટર પોતે A D → = c → બનાવતી વખતે, આપણે તેને બે રીતે કરી શકીએ છીએ, તેને કાં તો એક દિશા આપીને અથવા તેનાથી વિરુદ્ધ (ચિત્ર જુઓ).

a → , b → , c → વેક્ટરનો ક્રમાંકિત ટ્રિપલ હોઈ શકે છે, જેમ આપણે શોધી કાઢ્યું છે કે વેક્ટરની દિશાને આધારે જમણે કે ડાબે.

ઉપરથી આપણે વેક્ટર ઉત્પાદનની વ્યાખ્યા રજૂ કરી શકીએ છીએ. આ વ્યાખ્યામાં વ્યાખ્યાયિત બે વેક્ટર માટે આપવામાં આવે છે લંબચોરસ સિસ્ટમત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાના કોઓર્ડિનેટ્સ.

વ્યાખ્યા 1

બે વેક્ટર a → અને b → નું વેક્ટર ઉત્પાદન ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશની લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં વ્યાખ્યાયિત આવા વેક્ટરને આપણે કહીશું જેમ કે:

• જો વેક્ટર a → અને b → સમરેખા હોય, તો તે શૂન્ય હશે;
• તે બંને વેક્ટર a → ​ અને વેક્ટર b → એટલે કે બંને માટે લંબરૂપ હશે. ∠ a → c → = ∠ b → c → = π 2 ;
• તેની લંબાઈ સૂત્ર દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે: c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → ;
• a → , b → , c → વેક્ટરનો ત્રિપુટી આપેલ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ જેવો જ અભિગમ ધરાવે છે.

a → અને b → વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનમાં નીચેના સંકેતો છે: a → × b →.

વેક્ટર ઉત્પાદનના કોઓર્ડિનેટ્સ

કોઈપણ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં ચોક્કસ કોઓર્ડિનેટ્સ હોવાથી, અમે વેક્ટર પ્રોડક્ટની બીજી વ્યાખ્યા રજૂ કરી શકીએ છીએ, જે અમને વેક્ટરના આપેલા કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉપયોગ કરીને તેના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધવાની મંજૂરી આપશે.

વ્યાખ્યા 2

ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યાની લંબચોરસ સંકલન પ્રણાલીમાં બે વેક્ટર a → = (a x ; a y ; a z) અને b → = (b x ; b y ; b z) નું વેક્ટર ઉત્પાદન વેક્ટર કહેવાય છે c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k → , જ્યાં i → , j → , k → સંકલન વેક્ટર છે.

ક્રોસ પ્રોડક્ટને નિર્ણાયક તરીકે રજૂ કરી શકાય છે ચોરસ મેટ્રિક્સત્રીજો ક્રમ, જ્યાં પ્રથમ લીટીમાં વેક્ટર i → , j → , k → ના વેક્ટર હોય છે, બીજી લીટીમાં વેક્ટર a → ના કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે, અને ત્રીજી લીટીમાં આપેલ લંબચોરસમાં વેક્ટર b → ના કોઓર્ડિનેટ્સ હોય છે. કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમ, મેટ્રિક્સનો આ નિર્ણાયક આના જેવો દેખાય છે: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z

આ નિર્ણાયકને પ્રથમ પંક્તિના ઘટકોમાં વિસ્તરણ કરીને, આપણે સમાનતા મેળવીએ છીએ: c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = a y a z b y b z · i → - a x a z b x b z · j a → b = y + y = y + x → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →

ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો

તે જાણીતું છે કે કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટર ઉત્પાદન મેટ્રિક્સ c → = a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z ના નિર્ણાયક તરીકે રજૂ થાય છે, પછી આધાર પર મેટ્રિક્સ નિર્ણાયકના ગુણધર્મોનીચે દર્શાવેલ છે વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મો:

1. એન્ટિકોમ્યુટેટીવિટી a → × b → = - b → × a → ;
2. વિતરણતા a (1) → + a (2) → × b = a (1) → × b → + a (2) → × b → અથવા a → × b (1) → + b (2) → = a → × b (1) → + a → × b (2) → ;
3. સહયોગીતા λ a → × b → = λ a → × b → અથવા a → × (λ b →) = λ a → × b →, જ્યાં λ એ મનસ્વી વાસ્તવિક સંખ્યા છે.

આ ગુણધર્મોમાં સરળ પુરાવા છે.

ઉદાહરણ તરીકે, આપણે વેક્ટર ઉત્પાદનની એન્ટિકોમ્યુટિવ પ્રોપર્ટી સાબિત કરી શકીએ છીએ.

એન્ટિકોમ્યુટેટીવીટીનો પુરાવો

વ્યાખ્યા પ્રમાણે, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z અને b → × a → = i → j → k → b x b y b z a x a y a z . અને જો મેટ્રિક્સની બે પંક્તિઓની અદલાબદલી કરવામાં આવે, તો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકની કિંમત વિરુદ્ધમાં બદલવી જોઈએ, તેથી, a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = - i → j → k → b x b y b z a x = x - b → × a → , જે અને સાબિત કરે છે કે વેક્ટર ઉત્પાદન પ્રતિકૂળ છે.

વેક્ટર ઉત્પાદન - ઉદાહરણો અને ઉકેલો

મોટાભાગના કિસ્સાઓમાં, ત્રણ પ્રકારની સમસ્યાઓ છે.

પ્રથમ પ્રકારની સમસ્યાઓમાં, બે વેક્ટરની લંબાઈ અને તેમની વચ્ચેનો કોણ સામાન્ય રીતે આપવામાં આવે છે, અને તમારે વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધવાની જરૂર છે. આ કિસ્સામાં તેઓ ઉપયોગ કરે છે નીચેનું સૂત્ર c → = a → · b → · sin ∠ a → , b → .

ઉદાહરણ 1

a → અને b → જો તમે a → = 3, b → = 5, ∠ a →, b → = π 4 જાણો છો, તો વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ

a → અને b → વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ નક્કી કરીને, અમે આ સમસ્યા હલ કરીએ છીએ: a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → = 3 · 5 · sin π 4 = 15 2 2 .

જવાબ: 15 2 2 .

બીજા પ્રકારની સમસ્યાઓ વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ સાથે જોડાણ ધરાવે છે, તેમાં વેક્ટર ઉત્પાદન, તેની લંબાઈ વગેરે. જાણીતા કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા શોધ કરી આપેલ વેક્ટર a → = (a x; a y; a z) અને b → = (b x ; b y ; b z) .

આ પ્રકારની સમસ્યા માટે, તમે ઘણા બધા કાર્ય વિકલ્પો હલ કરી શકો છો. ઉદાહરણ તરીકે, a → અને b → વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સનો ઉલ્લેખ કરી શકાતો નથી, પરંતુ ફોર્મના કોઓર્ડિનેટ વેક્ટર્સમાં તેમના વિસ્તરણ b → = b x · i → + b y · j → + b z · k → અને c → = a → × b → = (a y b z - a z b y) i → + (a z b x - a x b z) j → + (a x b y - a y b x) k →, અથવા વેક્ટર a → અને b → તેમના પ્રારંભના કોઓર્ડિનેટ્સ દ્વારા સ્પષ્ટ કરી શકાય છે. અને અંતિમ બિંદુઓ.

નીચેના ઉદાહરણોનો વિચાર કરો.

ઉદાહરણ 2

લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં, બે વેક્ટર આપવામાં આવે છે: a → = (2; 1; - 3), b → = (0; - 1; 1). તેમની ક્રોસ પ્રોડક્ટ શોધો.

ઉકેલ

બીજી વ્યાખ્યા દ્વારા, આપણે બે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધીએ છીએ આપેલ કોઓર્ડિનેટ્સ: a → × b → = (a y · b z - a z · b y) · i → + (a z · b x - a x · b z) · j → + (a x · b y - a y · b x) · k → = = (1 · 1 - (- 3) (- 1)) i → + (- 3) 0 - 2 1) j → + (2 (- 1) - 1 0) k → = = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

જો આપણે મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકના સંદર્ભમાં વેક્ટર ઉત્પાદન લખીએ, તો ઉકેલ આ ઉદાહરણઆના જેવો દેખાય છે: a → × b → = i → j → k → a x a y a z b x b y b z = i → j → k → 2 1 - 3 0 - 1 1 = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

જવાબ: a → × b → = - 2 i → - 2 j → - 2 k → .

ઉદાહરણ 3

i → - j → અને i → + j → + k → વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો, જ્યાં i →, j →, k → લંબચોરસ કાર્ટેશિયન કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમના એકમ વેક્ટર છે.

ઉકેલ

પ્રથમ, ચાલો આપેલ લંબચોરસ કોઓર્ડિનેટ સિસ્ટમમાં આપેલ વેક્ટર ઉત્પાદન i → - j → × i → + j → + k → ના કોઓર્ડિનેટ્સ શોધીએ.

તે જાણીતું છે કે વેક્ટર i → - j → અને i → + j → + k → અનુક્રમે કોઓર્ડિનેટ્સ (1; - 1; 0) અને (1; 1; 1) ધરાવે છે. ચાલો મેટ્રિક્સના નિર્ણાયકનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધીએ, પછી આપણી પાસે i → - j → × i → + j → + k → = i → j → k → 1 - 1 0 1 1 1 = - i → - j → + 2 k → .

તેથી, વેક્ટર ઉત્પાદન i → - j → × i → + j → + k → કોઓર્ડિનેટ્સ ધરાવે છે (- 1 ; - 1 ; 2) માં આપેલ સિસ્ટમસંકલન

આપણે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધીએ છીએ (વેક્ટરની લંબાઈ શોધવાનો વિભાગ જુઓ): i → - j → × i → + j → + k → = - 1 2 + - 1 2 + 2 2 = 6.

જવાબ: i → - j → × i → + j → + k → = 6 . .

ઉદાહરણ 4

લંબચોરસમાં કાર્ટેશિયન સિસ્ટમકોઓર્ડિનેટ્સ ત્રણ બિંદુઓ A (1, 0, 1), B (0, 2, 3), C (1, 4, 2) ના કોઓર્ડિનેટ્સ આપવામાં આવે છે. એક જ સમયે A B → અને A C → ને લંબરૂપ કેટલાક વેક્ટર શોધો.

ઉકેલ

વેક્ટર A B → અને A C → અનુક્રમે નીચેના કોઓર્ડિનેટ્સ (- 1 ; 2 ; 2) અને (0 ; 4 ; 1) ધરાવે છે. A B → અને A C → વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન શોધી કાઢ્યા પછી, તે સ્પષ્ટ છે કે તે છે લંબ વેક્ટરવ્યાખ્યા પ્રમાણે, A B → ​ અને A C → બંને માટે, એટલે કે, તે આપણી સમસ્યાનો ઉકેલ છે. ચાલો તેને શોધીએ A B → × A C → = i → j → k → - 1 2 2 0 4 1 = - 6 i → + j → - 4 k → .

જવાબ: - 6 i → + j → - 4 k → . - લંબ વેક્ટરમાંથી એક.

ત્રીજા પ્રકારની સમસ્યાઓ વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરવા પર કેન્દ્રિત છે. જે લાગુ કર્યા પછી, અમે આપેલ સમસ્યાનો ઉકેલ મેળવીશું.

ઉદાહરણ 5

વેક્ટર a → અને b → લંબ છે અને તેમની લંબાઈ અનુક્રમે 3 અને 4 છે. વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 · a → × - 2 · b → + - b → × a → + - b → × - 2 · b → .

ઉકેલ

વેક્ટર ઉત્પાદનના વિતરક ગુણધર્મ દ્વારા, આપણે 3 a → - b → × a → - 2 b → = 3 a → × a → - 2 b → + - b → × a → - 2 b → = = 3 લખી શકીએ છીએ. a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b →

સહયોગની મિલકત દ્વારા અમે બહાર કાઢીએ છીએ સંખ્યાત્મક મતભેદછેલ્લા અભિવ્યક્તિમાં વેક્ટર ઉત્પાદનોની નિશાની માટે: 3 a → × a → + 3 a → × - 2 b → + - b → × a → + - b → × - 2 b → = = 3 a → × a → + 3 (- 2) a → × b → + (- 1) b → × a → + (- 1) (- 2) b → × b → = = 3 a → × a → - 6 a → × b → - b → × a → + 2 b → × b →

વેક્ટર પ્રોડક્ટ્સ a → × a → અને b → × b → 0 ની બરાબર છે, કારણ કે a → × a → = a → · a → · sin 0 = 0 અને b → × b → = b → · b → · પાપ 0 = 0, પછી 3 · a → × a → - 6 · a → × b → - b → × a → + 2 · b → × b → = - 6 · a → × b → - b → × a → . .

વેક્ટર ઉત્પાદનની એન્ટિકોમ્યુટેટીવિટીમાંથી તે અનુસરે છે - 6 · a → × b → - b → × a → = - 6 · a → × b → - (- 1) · a → × b → = - 5 · a → × b → .

વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે સમાનતા 3 · a → - b → × a → - 2 · b → = = - 5 · a → × b → મેળવીએ છીએ.

શરત પ્રમાણે, a → અને b → વેક્ટર લંબ છે, એટલે કે, તેમની વચ્ચેનો કોણ π 2 ની બરાબર છે. હવે જે બાકી છે તે મળેલ મૂલ્યોને યોગ્ય સૂત્રોમાં બદલવાનું છે: 3 a → - b → × a → - 2 b → = - 5 a → × b → = = 5 a → × b → = 5 a → b → · sin (a → , b →) = 5 · 3 · 4 · sin π 2 = 60 .

જવાબ: 3 a → - b → × a → - 2 b → = 60.

વ્યાખ્યા દ્વારા વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ a → × b → = a → · b → · sin ∠ a → , b → બરાબર છે. કારણ કે તે પહેલેથી જ જાણીતું છે (માંથી શાળા અભ્યાસક્રમ), કે ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ આ બાજુઓ વચ્ચેના ખૂણાની સાઈન દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવતા તેની બે બાજુઓની લંબાઈના અડધા ગુણાંક જેટલો છે. પરિણામે, વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળ જેટલી હોય છે - એક બમણો ત્રિકોણ, એટલે કે વેક્ટર a → અને b → ના રૂપમાં બાજુઓનું ઉત્પાદન, એક બિંદુથી, ની સાઈન દ્વારા મૂકવામાં આવે છે. તેમની વચ્ચેનો કોણ sin ∠ a →, b →.

આ છે ભૌમિતિક અર્થવેક્ટર ઉત્પાદન.

વેક્ટર ઉત્પાદનનો ભૌતિક અર્થ

મિકેનિક્સમાં, ભૌતિકશાસ્ત્રની શાખાઓમાંની એક, વેક્ટર ઉત્પાદનને આભારી, તમે અવકાશના બિંદુને સંબંધિત બળની ક્ષણ નક્કી કરી શકો છો.

વ્યાખ્યા 3

બિંદુ A ની સાપેક્ષમાં, બિંદુ B પર F → લાગુ થવાના ક્ષણ સુધીમાં, આપણે નીચેના વેક્ટર ઉત્પાદન A B → × F → સમજીશું.

જો તમને ટેક્સ્ટમાં કોઈ ભૂલ દેખાય છે, તો કૃપા કરીને તેને હાઇલાઇટ કરો અને Ctrl+Enter દબાવો

વ્યાખ્યા. વેક્ટર a (મલ્ટિપ્લિકન્ડ) અને નોન-કોલિનિયર વેક્ટર (મલ્ટીપ્લિકન્ડ) નું વેક્ટર ઉત્પાદન એ ત્રીજું વેક્ટર c (ઉત્પાદન) છે, જે નીચે પ્રમાણે બનાવવામાં આવ્યું છે:

1) તેનું મોડ્યુલસ સંખ્યાત્મક છે વિસ્તાર સમાનફિગમાં સમાંતરગ્રામ. 155), વેક્ટર પર બનેલ એટલે કે તે દિશા સમાન છેકથિત સમાંતરગ્રામના સમતલને લંબરૂપ;

3) આ કિસ્સામાં, વેક્ટર c ની દિશા પસંદ કરવામાં આવી છે (બે શક્યમાંથી) જેથી વેક્ટર c યોગ્ય સિસ્ટમ(§ 110).

હોદ્દો: અથવા

વ્યાખ્યામાં ઉમેરો. જો વેક્ટર સમરેખા હોય, તો આકૃતિને (શરતી રીતે) સમાંતરગ્રામને ધ્યાનમાં લેતા, શૂન્ય વિસ્તાર સોંપવો સ્વાભાવિક છે. તેથી વેક્ટર ઉત્પાદન કોલિનિયર વેક્ટરનલ વેક્ટર સમાન ગણવામાં આવે છે.

કારણ કે નલ વેક્ટરને કોઈપણ દિશા સોંપી શકાય છે, આ કરાર વ્યાખ્યાના ફકરા 2 અને 3 નો વિરોધાભાસ કરતો નથી.

ટિપ્પણી 1. "વેક્ટર ઉત્પાદન" શબ્દમાં પ્રથમ શબ્દ સૂચવે છે કે ક્રિયાનું પરિણામ વેક્ટર છે (સ્કેલર ઉત્પાદનની વિરુદ્ધ; cf. § 104, ટિપ્પણી 1).

ઉદાહરણ 1. વેક્ટર ઉત્પાદન શોધો જ્યાં જમણી સંકલન સિસ્ટમના મુખ્ય વેક્ટર છે (ફિગ. 156).

1. મુખ્ય વેક્ટરની લંબાઈ એક સ્કેલ એકમ જેટલી હોવાથી, સમાંતરગ્રામ (ચોરસ) નો વિસ્તાર સંખ્યાત્મક રીતે એક સમાન છે. આનો અર્થ એ છે કે વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ એક સમાન છે.

2. પ્લેનનો લંબ એ એક અક્ષ હોવાથી, ઇચ્છિત વેક્ટર ઉત્પાદન એ વેક્ટર k માટે વેક્ટર કોલિનિયર છે; અને બંને પાસે મોડ્યુલસ 1 હોવાથી, ઇચ્છિત વેક્ટર ઉત્પાદન k અથવા -k ની બરાબર છે.

3. આ બે સંભવિત વેક્ટર્સમાંથી, પહેલું પસંદ કરવું આવશ્યક છે, કારણ કે વેક્ટર k એક જમણા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે (અને વેક્ટર ડાબા હાથે છે).

ઉદાહરણ 2. ક્રોસ પ્રોડક્ટ શોધો

ઉકેલ. ઉદાહરણ 1 ની જેમ, અમે તારણ કાઢીએ છીએ કે વેક્ટર k અથવા -k ની બરાબર છે. પરંતુ હવે આપણે -k પસંદ કરવાની જરૂર છે, કારણ કે વેક્ટર જમણા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે (અને વેક્ટર ડાબા હાથની સિસ્ટમ બનાવે છે). તેથી,

ઉદાહરણ 3. વેક્ટરની લંબાઈ અનુક્રમે 80 અને 50 સેમી જેટલી હોય છે અને 30°નો ખૂણો બનાવે છે. મીટરને લંબાઈના એકમ તરીકે લઈ, વેક્ટર ઉત્પાદન a ની લંબાઈ શોધો

ઉકેલ. વેક્ટર પર બનેલ સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ ઇચ્છિત વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ બરાબર છે

ઉદાહરણ 4. લંબાઈના એકમ તરીકે સેન્ટીમીટર લઈને, સમાન વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો.

ઉકેલ. વેક્ટર પર બાંધવામાં આવેલા સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી, વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ 2000 સેમી જેટલી છે, એટલે કે.

ઉદાહરણો 3 અને 4 ની સરખામણીથી તે સ્પષ્ટ છે કે વેક્ટરની લંબાઈ માત્ર પરિબળોની લંબાઈ પર જ નહીં પણ લંબાઈ એકમની પસંદગી પર પણ આધારિત છે.

વેક્ટર ઉત્પાદનનો ભૌતિક અર્થ.ઘણામાંથી ભૌતિક જથ્થો, વેક્ટર ઉત્પાદન દ્વારા રજૂ થાય છે, અમે માત્ર બળના ક્ષણને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.

A ને બિંદુ O ની સાપેક્ષ બળના ક્ષણને વેક્ટર ઉત્પાદન કહેવામાં આવે છે કારણ કે આ વેક્ટર ઉત્પાદનનું મોડ્યુલસ સમાંતરગ્રામ (ફિગ. 157) ના ક્ષેત્રફળ જેટલું છે. ક્ષણનું મોડ્યુલસ આધાર અને ઊંચાઈના ગુણાંક સમાન છે, એટલે કે, બિંદુ O થી સીધી રેખા સુધીના અંતર દ્વારા ગુણાકાર કરેલ બળ કે જેની સાથે બળ કાર્ય કરે છે.

મિકેનિક્સમાં, તે સાબિત થયું છે કે કઠોર શરીરના સંતુલન માટે તે જરૂરી છે કે શરીર પર લાગુ દળોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વેક્ટરનો સરવાળો જ નહીં, પણ દળોની ક્ષણોનો સરવાળો પણ હોવો જોઈએ. એવા કિસ્સામાં કે જ્યાં તમામ દળો એક સમતલની સમાંતર હોય, ક્ષણોનું પ્રતિનિધિત્વ કરતા વેક્ટરનો ઉમેરો તેમની તીવ્રતાના સરવાળા અને બાદબાકી દ્વારા બદલી શકાય છે. પરંતુ દળોની મનસ્વી દિશાઓ સાથે, આવી બદલી અશક્ય છે. આને અનુરૂપ, વેક્ટર ઉત્પાદનને ચોક્કસ રીતે વેક્ટર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, સંખ્યા તરીકે નહીં.

આ પાઠમાં આપણે વેક્ટર સાથેની વધુ બે ક્રિયાઓ જોઈશું: વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદનઅને વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન (જેને તેની જરૂર છે તેમના માટે તાત્કાલિક લિંક). તે ઠીક છે, કેટલીકવાર એવું બને છે કે સંપૂર્ણ સુખ માટે, વધુમાં વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદન, વધુ અને વધુ જરૂરી છે. આ વેક્ટર વ્યસન છે. એવું લાગે છે કે આપણે જંગલોમાં પ્રવેશી રહ્યા છીએ વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિ. આ ખોટું છે. ઉચ્ચ ગણિતના આ વિભાગમાં સામાન્ય રીતે થોડું લાકડું હોય છે, સિવાય કે કદાચ પિનોચિઓ માટે પૂરતું હોય. હકીકતમાં, સામગ્રી ખૂબ જ સામાન્ય અને સરળ છે - સમાન કરતાં ભાગ્યે જ વધુ જટિલ ડોટ ઉત્પાદન, પણ લાક્ષણિક કાર્યોઓછા હશે. વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિમાં મુખ્ય વસ્તુ, જેમ કે ઘણાને ખાતરી થશે અથવા પહેલેથી જ ખાતરી થઈ ગઈ છે, તે ગણતરીમાં ભૂલો ન કરવી. જોડણીની જેમ પુનરાવર્તન કરો અને તમે ખુશ થશો =)

જો વેક્ટર્સ ક્ષિતિજ પર વીજળીની જેમ, દૂર ક્યાંક ચમકતા હોય, તો કોઈ વાંધો નથી, પાઠ સાથે પ્રારંભ કરો ડમી માટે વેક્ટર્સપુનઃસ્થાપિત કરવા અથવા ફરીથી મેળવવા માટે મૂળભૂત જ્ઞાનવેક્ટર વિશે. વધુ તૈયાર વાચકો પસંદગીપૂર્વક માહિતીથી પરિચિત થઈ શકે છે, મેં શક્ય તેટલું એકત્રિત કરવાનો પ્રયાસ કર્યો સંપૂર્ણ સંગ્રહઉદાહરણો જે ઘણીવાર જોવા મળે છે વ્યવહારુ કામ

શું તમને તરત જ ખુશ કરશે? જ્યારે હું નાનો હતો, ત્યારે હું બે અને ત્રણ બોલ પણ જગલ કરી શકતો હતો. તે સારી રીતે કામ કર્યું. હવે તમારે જરાય જગલ કરવાની જરૂર નથી, કારણ કે અમે વિચારણા કરીશું માત્ર અવકાશી વેક્ટર, અને બે કોઓર્ડિનેટ્સવાળા ફ્લેટ વેક્ટર છોડી દેવામાં આવશે. શા માટે? આ રીતે આ ક્રિયાઓનો જન્મ થયો છે - વેક્ટર અને વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે અને તેમાં કાર્ય કરે છે. ત્રિ-પરિમાણીય જગ્યા. તે પહેલેથી જ સરળ છે!

સ્કેલર પ્રોડક્ટની જેમ જ આ ઓપરેશનનો સમાવેશ થાય છે બે વેક્ટર. આ અવિનાશી અક્ષરો થવા દો.

ક્રિયા પોતે દ્વારા સૂચિતનીચે પ્રમાણે: . ત્યાં અન્ય વિકલ્પો છે, પરંતુ હું વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનને આ રીતે સૂચિત કરવા માટે ટેવાયેલું છું, માં ચોરસ કૌંસક્રોસ સાથે.

અને તરત જ પ્રશ્ન: જો માં વેક્ટર્સનું સ્કેલર ઉત્પાદનબે વેક્ટર સામેલ છે, અને અહીં બે વેક્ટરનો પણ ગુણાકાર થાય છે શું તફાવત છે? સ્પષ્ટ તફાવત એ છે કે, સૌ પ્રથમ, પરિણામમાં:

વેક્ટરના સ્કેલર ઉત્પાદનનું પરિણામ NUMBER છે:

વેક્ટરના ક્રોસ પ્રોડક્ટનું પરિણામ વેક્ટર છે: , એટલે કે, આપણે વેક્ટરનો ગુણાકાર કરીએ છીએ અને ફરીથી વેક્ટર મેળવીએ છીએ. બંધ ક્લબ. ખરેખર, ઓપરેશનનું નામ અહીંથી આવ્યું છે. વિવિધ માં શૈક્ષણિક સાહિત્યહોદ્દો પણ બદલાઈ શકે છે, હું પત્રનો ઉપયોગ કરીશ.

ક્રોસ પ્રોડક્ટની વ્યાખ્યા

પ્રથમ ચિત્ર સાથે વ્યાખ્યા હશે, પછી ટિપ્પણીઓ.

વ્યાખ્યા: વેક્ટર ઉત્પાદન બિન-કોલિનિયરવેક્ટર આ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, જેને વેક્ટર કહેવાય છે, લંબાઈજે સંખ્યાત્મક છે સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળ જેટલું, આ વેક્ટર પર બનેલ છે; વેક્ટર વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ, અને નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે જેથી આધારને યોગ્ય અભિગમ હોય:

ચાલો વ્યાખ્યાને તોડીએ, અહીં ઘણી બધી રસપ્રદ સામગ્રી છે!

તેથી, નીચેના નોંધપાત્ર મુદ્દાઓ પ્રકાશિત કરી શકાય છે:

1) મૂળ વેક્ટર, લાલ તીર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે, વ્યાખ્યા દ્વારા સમરેખા નથી. થોડી વાર પછી કોલિનિયર વેક્ટરના કેસને ધ્યાનમાં લેવું યોગ્ય રહેશે.

2) વેક્ટર લેવામાં આવે છે કડક માં ચોક્કસ ક્રમમાં : – "a" ને "be" વડે ગુણાકાર કરવામાં આવે છે, અને "a" સાથે "બનવું" નહીં. વેક્ટર ગુણાકારનું પરિણામવેક્ટર છે, જે વાદળી રંગમાં દર્શાવેલ છે. જો વેક્ટર્સ દ્વારા ગુણાકાર કરવામાં આવે છે વિપરીત ક્રમ, પછી આપણને લંબાઈમાં સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં વેક્ટર મળે છે (રાસ્પબેરી રંગ). એટલે કે સમાનતા સાચી છે .

3) હવે ચાલો વેક્ટર ઉત્પાદનના ભૌમિતિક અર્થથી પરિચિત થઈએ. આ એક ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ મુદ્દો છે! વાદળી વેક્ટર (અને તેથી, કિરમજી વેક્ટર) ની LENGTH સંખ્યાત્મક રીતે વેક્ટર પર બનેલા સમાંતરગ્રામના AREA જેટલી છે. આકૃતિમાં, આ સમાંતર ચતુષ્કોણ કાળો છાંયો છે.

નોંધ : રેખાંકન યોજનાકીય છે, અને, કુદરતી રીતે, વેક્ટર ઉત્પાદનની નજીવી લંબાઈ સમાંતરગ્રામના ક્ષેત્રફળ જેટલી નથી.

ચાલો એક યાદ કરીએ ભૌમિતિક સૂત્રો: સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ ઉત્પાદન જેટલું છે અડીને બાજુઓતેમની વચ્ચેના કોણની સાઈન દ્વારા. તેથી, ઉપરના આધારે, વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈની ગણતરી માટેનું સૂત્ર માન્ય છે:

હું ભારપૂર્વક કહું છું કે સૂત્ર વેક્ટરની લંબાઈ વિશે છે, અને વેક્ટર વિશે નહીં. વ્યવહારુ અર્થ શું છે? અને અર્થ એ છે કે વિશ્લેષણાત્મક ભૂમિતિની સમસ્યાઓમાં, સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર ઘણીવાર વેક્ટર ઉત્પાદનની વિભાવના દ્વારા જોવા મળે છે:

ચાલો બીજો મેળવીએ મહત્વપૂર્ણ સૂત્ર. સમાંતરગ્રામ (લાલ ટપકાંવાળી રેખા) ની કર્ણ તેને બે ભાગમાં વહેંચે છે સમાન ત્રિકોણ. તેથી, વેક્ટર્સ (લાલ શેડિંગ) પર બનેલા ત્રિકોણનો વિસ્તાર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

4) ઓછું નહીં મહત્વપૂર્ણ હકીકતએ છે કે વેક્ટર વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ છે, એટલે કે . અલબત્ત, વિરુદ્ધ નિર્દેશિત વેક્ટર (રાસ્પબેરી એરો) પણ મૂળ વેક્ટર માટે ઓર્થોગોનલ છે.

5) વેક્ટરને નિર્દેશિત કરવામાં આવે છે જેથી આધારધરાવે છે અધિકારઓરિએન્ટેશન વિશેના પાઠમાં નવા આધાર પર સંક્રમણમેં તેના વિશે પૂરતી વિગતવાર વાત કરી પ્લેન ઓરિએન્ટેશન, અને હવે આપણે શોધીશું કે સ્પેસ ઓરિએન્ટેશન શું છે. હું તમારી આંગળીઓ પર સમજાવીશ જમણો હાથ . માનસિક રીતે જોડો તર્જની વેક્ટર અને સાથે મધ્યમ આંગળીવેક્ટર સાથે. રીંગ આંગળી અને નાની આંગળીતેને તમારી હથેળીમાં દબાવો. પરિણામે અંગૂઠો - વેક્ટર ઉત્પાદન દેખાશે. આ એક અધિકાર-લક્ષી આધાર છે (આકૃતિમાં આ એક છે). હવે વેક્ટર બદલો ( અનુક્રમણિકા અને મધ્યમ આંગળીઓ ) કેટલાક સ્થળોએ, પરિણામે અંગૂઠો ફરી વળશે, અને વેક્ટર ઉત્પાદન પહેલેથી જ નીચે દેખાશે. આ પણ અધિકાર-લક્ષી આધાર છે. તમારી પાસે પ્રશ્ન હોઈ શકે છે: કયા આધારે ઓરિએન્ટેશન છોડી દીધું છે? સમાન આંગળીઓને "સોંપો". ડાબો હાથવેક્ટર, અને ડાબો આધાર અને જગ્યાનો ડાબો ઓરિએન્ટેશન મેળવો (આ કિસ્સામાં, અંગૂઠો નીચલા વેક્ટરની દિશામાં સ્થિત હશે). અલંકારિક રીતે કહીએ તો, આ પાયા "ટ્વિસ્ટ" અથવા જગ્યા તરફ દિશામાન કરે છે વિવિધ બાજુઓ. અને આ ખ્યાલને કંઈક અમૂર્ત અથવા અમૂર્ત માનવામાં આવવો જોઈએ નહીં - ઉદાહરણ તરીકે, અવકાશની દિશા સૌથી સામાન્ય અરીસા દ્વારા બદલાઈ જાય છે, અને જો તમે "પ્રતિબિંબિત ઑબ્જેક્ટને દેખાતા કાચમાંથી બહાર ખેંચો છો," તો તે થશે. સામાન્ય કેસ"મૂળ" સાથે જોડી શકાતું નથી. માર્ગ દ્વારા, અરીસા સુધી ત્રણ આંગળીઓ પકડી રાખો અને પ્રતિબિંબનું વિશ્લેષણ કરો ;-)

...તે કેટલું સારું છે કે તમે હવે જાણો છો જમણે- અને ડાબે-ઓરિએન્ટેડઆધાર, કારણ કે ઓરિએન્ટેશનમાં ફેરફાર વિશે કેટલાક લેક્ચરર્સના નિવેદનો ડરામણા છે =)

કોલિનિયર વેક્ટરનું ક્રોસ ઉત્પાદન

વ્યાખ્યાની વિગતવાર ચર્ચા કરવામાં આવી છે, તે શોધવાનું બાકી છે કે જ્યારે વેક્ટર સમરેખા હોય ત્યારે શું થાય છે. જો વેક્ટર સમરેખા હોય, તો તેને એક સીધી રેખા પર મૂકી શકાય છે અને આપણો સમાંતર ચતુષ્કોણ પણ એક સીધી રેખામાં "ઉમેરો" કરે છે. જેમ કે ગણિતશાસ્ત્રીઓ કહે છે તેમ વિસ્તાર, અધોગતિસમાંતરગ્રામ શૂન્ય બરાબર છે. આ જ સૂત્રમાંથી અનુસરે છે - શૂન્ય અથવા 180 ડિગ્રીની સાઈન શૂન્ય બરાબર, અને તેથી વિસ્તાર શૂન્ય છે

આમ, જો, તો . કડક શબ્દોમાં કહીએ તો, વેક્ટર ઉત્પાદન પોતે શૂન્ય વેક્ટર સમાન છે, પરંતુ વ્યવહારમાં આને ઘણીવાર અવગણવામાં આવે છે અને તેઓ લખવામાં આવે છે કે તે શૂન્યની બરાબર છે.

ખાસ કેસ- પોતાની સાથે વેક્ટરનું વેક્ટર ઉત્પાદન:

ક્રોસ પ્રોડક્ટનો ઉપયોગ કરીને, તમે ત્રિ-પરિમાણીય વેક્ટરની સમકક્ષતા ચકાસી શકો છો, અને આ કાર્યઅન્યો વચ્ચે, અમે પણ વિશ્લેષણ કરીશું.

ઉકેલવા માટે વ્યવહારુ ઉદાહરણોજરૂર પડી શકે છે ત્રિકોણમિતિ કોષ્ટકતેમાંથી સાઈનના મૂલ્યો શોધવા માટે.

સારું, ચાલો આગ પ્રગટાવીએ:

ઉદાહરણ 1

a) વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધો જો

b) જો વેક્ટર પર બનેલ સમાંતરગ્રામનો વિસ્તાર શોધો

ઉકેલ: ના, આ કોઈ ટાઈપો નથી, મેં ઈરાદાપૂર્વક કલમોમાં પ્રારંભિક ડેટા સમાન બનાવ્યો છે. કારણ કે ઉકેલોની ડિઝાઇન અલગ હશે!

એ) શરત અનુસાર, તમારે શોધવાની જરૂર છે લંબાઈવેક્ટર (ક્રોસ પ્રોડક્ટ). દ્વારા અનુરૂપ સૂત્ર:

જવાબ આપો:

જો તમને લંબાઈ વિશે પૂછવામાં આવે, તો જવાબમાં અમે પરિમાણ - એકમો સૂચવીએ છીએ.

b) શરત અનુસાર, તમારે શોધવાની જરૂર છે ચોરસવેક્ટર પર બનેલ સમાંતરગ્રામ. આ સમાંતરગ્રામનું ક્ષેત્રફળ સંખ્યાત્મક રીતે વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ જેટલું છે:

જવાબ આપો:

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો કે જવાબ વેક્ટર ઉત્પાદન વિશે બિલકુલ વાત કરતો નથી; આકૃતિનો વિસ્તાર, તે મુજબ, પરિમાણ ચોરસ એકમો છે.

અમે હંમેશા સ્થિતિ અનુસાર શું શોધવાની જરૂર છે તે જોઈએ છીએ, અને તેના આધારે, અમે ઘડીએ છીએ સ્પષ્ટજવાબ તે શાબ્દિકવાદ જેવું લાગે છે, પરંતુ શિક્ષકોમાં પુષ્કળ શાબ્દિકવાદીઓ છે, અને તેની સાથે કાર્ય સારી તકોપુનરાવર્તન માટે પાછા આવશે. જો કે આ ખાસ કરીને દૂરની વાત નથી - જો જવાબ ખોટો હોય, તો એવી છાપ પડે છે કે વ્યક્તિ સમજી શકતો નથી. સરળ વસ્તુઓઅને/અથવા કાર્યનો સાર સમજી શક્યા નથી. કોઈપણ સમસ્યાનું નિરાકરણ કરતી વખતે આ બિંદુને હંમેશા નિયંત્રણમાં રાખવું જોઈએ ઉચ્ચ ગણિત, અને અન્ય વિષયોમાં પણ.

મોટો અક્ષર “en” ક્યાં ગયો? સૈદ્ધાંતિક રીતે, તે સોલ્યુશન સાથે વધુમાં જોડાયેલ હોઈ શકે છે, પરંતુ એન્ટ્રી ટૂંકી કરવા માટે, મેં આ કર્યું નથી. હું આશા રાખું છું કે દરેક જણ તે સમજે છે અને તે જ વસ્તુ માટે હોદ્દો છે.

લોકપ્રિય ઉદાહરણમાટે સ્વતંત્ર નિર્ણય:

ઉદાહરણ 2

જો વેક્ટર પર બનેલ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો

વેક્ટર ઉત્પાદન દ્વારા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધવાનું સૂત્ર વ્યાખ્યાની ટિપ્પણીઓમાં આપવામાં આવ્યું છે. ઉકેલ અને જવાબ પાઠના અંતે છે.

વ્યવહારમાં, કાર્ય ખરેખર ખૂબ જ સામાન્ય છે ત્રિકોણ સામાન્ય રીતે તમને ત્રાસ આપી શકે છે.

અન્ય સમસ્યાઓ હલ કરવા માટે અમને જરૂર પડશે:

વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદનના ગુણધર્મો

અમે પહેલેથી જ વેક્ટર ઉત્પાદનના કેટલાક ગુણધર્મોને ધ્યાનમાં લીધા છે, જો કે, હું તેમને આ સૂચિમાં શામેલ કરીશ.

મનસ્વી વેક્ટર માટે અને કોઈપણ સંખ્યાવાજબી નીચેના ગુણધર્મો:

1) માહિતીના અન્ય સ્ત્રોતોમાં, આ આઇટમ સામાન્ય રીતે ગુણધર્મોમાં પ્રકાશિત થતી નથી, પરંતુ વ્યવહારિક દ્રષ્ટિએ તે ખૂબ જ મહત્વપૂર્ણ છે. તો રહેવા દો.

2) - મિલકતની પણ ઉપર ચર્ચા કરવામાં આવી છે, કેટલીકવાર તેને કહેવામાં આવે છે વિરોધી પરિવર્તન. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો, વેક્ટરનો ક્રમ મહત્વનો છે.

3) - સહયોગી અથવા સહયોગીવેક્ટર ઉત્પાદન કાયદા. સ્થિરાંકોને વેક્ટર ઉત્પાદનની બહાર સરળતાથી ખસેડી શકાય છે. ખરેખર, તેઓએ ત્યાં શું કરવું જોઈએ?

4) - વિતરણ અથવા વિતરણકારીવેક્ટર ઉત્પાદન કાયદા. કૌંસ ખોલવામાં પણ કોઈ સમસ્યા નથી.

દર્શાવવા માટે, ચાલો એક નાનું ઉદાહરણ જોઈએ:

ઉદાહરણ 3

જો શોધો

ઉકેલ:સ્થિતિને ફરીથી વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધવાની જરૂર છે. ચાલો આપણા લઘુચિત્રને રંગ કરીએ:

(1) સહયોગી કાયદા અનુસાર, અમે સ્થિરાંકોને વેક્ટર ઉત્પાદનના અવકાશની બહાર લઈએ છીએ.

(2) આપણે મોડ્યુલની બહાર સ્થિરાંક લઈએ છીએ, અને મોડ્યુલ માઈનસ ચિહ્ન "ખાય છે". લંબાઈ નકારાત્મક હોઈ શકતી નથી.

(3) બાકીનું સ્પષ્ટ છે.

જવાબ આપો:

આગમાં વધુ લાકડું ઉમેરવાનો સમય છે:

ઉદાહરણ 4

જો વેક્ટર પર બનેલ ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળની ગણતરી કરો

ઉકેલ: સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો . કેચ એ છે કે વેક્ટર “tse” અને “de” પોતાને વેક્ટરના સરવાળા તરીકે રજૂ કરવામાં આવે છે. અહીં એલ્ગોરિધમ પ્રમાણભૂત છે અને પાઠના ઉદાહરણો નંબર 3 અને 4 ની યાદ અપાવે છે. વેક્ટર્સનું ડોટ ઉત્પાદન. સ્પષ્ટતા માટે, અમે ઉકેલને ત્રણ તબક્કામાં વહેંચીશું:

1) પ્રથમ પગલા પર, અમે વેક્ટર ઉત્પાદન દ્વારા વેક્ટર ઉત્પાદનને વ્યક્ત કરીએ છીએ, હકીકતમાં, ચાલો વેક્ટરને વેક્ટરના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરીએ. લંબાઈ પર હજુ સુધી કોઈ શબ્દ નથી!

(1) વેક્ટર માટે અવેજી સમીકરણો.

(2) વિતરણના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બહુપદીના ગુણાકારના નિયમ અનુસાર કૌંસ ખોલીએ છીએ.

(3) સહયોગી કાયદાનો ઉપયોગ કરીને, અમે તમામ સ્થિરાંકોને વેક્ટર ઉત્પાદનોની બહાર ખસેડીએ છીએ. થોડા અનુભવ સાથે, પગલાં 2 અને 3 એક સાથે કરી શકાય છે.

(4) સરસ ગુણધર્મને કારણે પ્રથમ અને છેલ્લા પદો શૂન્ય (શૂન્ય વેક્ટર) સમાન છે. બીજી મુદતમાં આપણે વેક્ટર ઉત્પાદનની એન્ટિકોમ્યુટેટીવીટીની મિલકતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

(5) અમે સમાન શરતો રજૂ કરીએ છીએ.

પરિણામે, વેક્ટરને વેક્ટર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવ્યું, જે પ્રાપ્ત કરવું જરૂરી હતું:

2) બીજા પગલામાં, આપણે જોઈએ છીએ તે વેક્ટર ઉત્પાદનની લંબાઈ શોધીએ છીએ. આ ક્રિયાઉદાહરણ 3 યાદ અપાવે છે:

3) જરૂરી ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો:

સોલ્યુશનના સ્ટેજ 2-3 એક લીટીમાં લખી શકાય છે.

જવાબ આપો:

ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી સમસ્યા એકદમ સામાન્ય છે પરીક્ષણો, અહીં સ્વતંત્ર ઉકેલ માટેનું ઉદાહરણ છે:

ઉદાહરણ 5

જો શોધો

ઝડપી ઉકેલઅને પાઠના અંતે જવાબ. ચાલો જોઈએ કે અગાઉના ઉદાહરણોનો અભ્યાસ કરતી વખતે તમે કેટલા સચેત હતા ;-)

કોઓર્ડિનેટ્સમાં વેક્ટરનું ક્રોસ ઉત્પાદન

સૂત્ર ખરેખર સરળ છે: નિર્ણાયકની ટોચની લાઇનમાં આપણે લખીએ છીએ સંકલન વેક્ટર, બીજી અને ત્રીજી લાઇનમાં આપણે વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ "મૂકીએ છીએ", અને મૂકીએ છીએ વી કડક ક્રમમાં – પહેલા “ve” વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ, પછી “ડબલ-વે” વેક્ટરના કોઓર્ડિનેટ્સ. જો વેક્ટર્સને અલગ ક્રમમાં ગુણાકાર કરવાની જરૂર હોય, તો પંક્તિઓ સ્વેપ કરવી જોઈએ:

ઉદાહરણ 10

તપાસો કે શું નીચેના સ્પેસ વેક્ટર સમરેખા છે:
એ)
b)

ઉકેલ: ચકાસણી નિવેદનોમાંથી એક પર આધારિત છે આ પાઠ: જો વેક્ટર સમરેખા હોય, તો તેમનું વેક્ટર ઉત્પાદન શૂન્ય (શૂન્ય વેક્ટર) ની બરાબર છે: .

a) વેક્ટર ઉત્પાદન શોધો:

આમ, વેક્ટર સમરેખા નથી.

b) વેક્ટર ઉત્પાદન શોધો:

જવાબ આપો: a) સમરેખા નથી, b)

અહીં, કદાચ, વેક્ટરના વેક્ટર ઉત્પાદન વિશેની તમામ મૂળભૂત માહિતી છે.

આ વિભાગબહુ મોટી હશે નહીં, કારણ કે ત્યાં થોડી સમસ્યાઓ છે જ્યાં વેક્ટરના મિશ્ર ઉત્પાદનનો ઉપયોગ થાય છે. વાસ્તવમાં, બધું વ્યાખ્યા, ભૌમિતિક અર્થ અને કાર્યકારી સૂત્રો પર આધારિત હશે.

વેક્ટરનું મિશ્ર ઉત્પાદન એ ઉત્પાદન છે ત્રણ વેક્ટર :

તેથી તેઓ ટ્રેનની જેમ લાઇનમાં ઉભા હતા અને ઓળખાવા માટે રાહ જોઈ શકતા નથી.

પ્રથમ, ફરીથી, એક વ્યાખ્યા અને ચિત્ર:

વ્યાખ્યા: મિશ્ર કાર્ય નોન-કોપ્લાનરવેક્ટર આ ક્રમમાં લેવામાં આવે છે, કહેવાય છે સમાંતર પાઇપ વોલ્યુમ, આ વેક્ટર પર બનેલ, જો આધાર સાચો હોય તો “+” ચિહ્ન અને જો આધાર બાકી હોય તો “–” ચિહ્નથી સજ્જ.

ચાલો ડ્રોઈંગ કરીએ. અમને અદ્રશ્ય રેખાઓ ડોટેડ રેખાઓ સાથે દોરવામાં આવે છે:

ચાલો વ્યાખ્યામાં જઈએ:

2) વેક્ટર લેવામાં આવે છે ચોક્કસ ક્રમમાં, એટલે કે, ઉત્પાદનમાં વેક્ટરની પુનઃ ગોઠવણી, જેમ તમે ધારી શકો છો, પરિણામ વિના થતું નથી.

3) ભૌમિતિક અર્થ પર ટિપ્પણી કરતા પહેલા, હું નોંધ કરું છું સ્પષ્ટ હકીકત: વેક્ટરનું મિશ્રિત ઉત્પાદન NUMBER છે: . શૈક્ષણિક સાહિત્યમાં, ડિઝાઇન થોડી અલગ હોઈ શકે છે;

વ્યાખ્યા દ્વારા મિશ્ર ઉત્પાદન એ પેરેલેલપાઈપનું વોલ્યુમ છે, વેક્ટર્સ પર બનેલ છે (આકૃતિ લાલ વેક્ટર અને કાળી રેખાઓ સાથે દોરવામાં આવી છે). એટલે કે, સંખ્યા આપેલ સમાંતર પાઇપના વોલ્યુમની બરાબર છે.

નોંધ : રેખાંકન યોજનાકીય છે.

4) ચાલો આધાર અને અવકાશના અભિગમની વિભાવના વિશે ફરી ચિંતા ન કરીએ. અંતિમ ભાગનો અર્થ એ છે કે વોલ્યુમમાં ઓછા ચિહ્ન ઉમેરી શકાય છે. સાદા શબ્દોમાં, મિશ્ર ઉત્પાદન નકારાત્મક હોઈ શકે છે: .

વ્યાખ્યામાંથી સીધા જ વેક્ટર્સ પર બનેલા સમાંતર પાઇપના વોલ્યુમની ગણતરી માટેના સૂત્રને અનુસરે છે.