ઋતુઓ

ઘર વિશ્વના દેશો જો દરેક કુદરતી સંખ્યા માટે n વાસ્તવિક સંખ્યા સાથે મેળ કરો એક એન :

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 , , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 2 , , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 3 , . . . , સંખ્યા ક્રમ , . . . .

a એક એનતેથી,

સંખ્યા ક્રમ , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે. નંબર કહેવાય છે , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 2 — ક્રમની પ્રથમ અવધિ , નંબર , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 3 — ક્રમની બીજી અવધિ , નંબર n કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે. ત્રીજુંઅને તેથી વધુ. નંબર nમી મુદત સિક્વન્સ — , અને કુદરતી સંખ્યા .

n સંખ્યા ક્રમ તેનો નંબર સંખ્યા ક્રમ +1 બે નજીકના સભ્યો તરફથી સંખ્યા ક્રમ +1 કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે. અને ક્રમ સભ્ય n અનુગામી n — (સાપેક્ષે ક્રમ સભ્ય સંખ્યા ક્રમ +1 ).

), એ

અગાઉના ક્રમને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તમારે એક પદ્ધતિનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છે જે તમને કોઈપણ સંખ્યા સાથે ક્રમના સભ્યને શોધવા માટે પરવાનગી આપે છે. ઘણી વખત ક્રમનો ઉપયોગ કરીને ઉલ્લેખિત કરવામાં આવે છે

nમી મુદતના સૂત્રો

, એટલે કે, એક સૂત્ર જે તમને તેની સંખ્યા દ્વારા ક્રમના સભ્યને નિર્ધારિત કરવાની મંજૂરી આપે છે. ઉદાહરણ તરીકે,હકારાત્મક ક્રમ

સંખ્યા ક્રમ= 2વિષમ સંખ્યાઓ 1,

સૂત્ર દ્વારા આપી શકાય છે 1 n- -1 અને વૈકલ્પિક ક્રમ

અને- સૂત્ર = (-1)b +1 . ◄

n n, ક્રમ નક્કી કરી શકાય છે

nમી મુદતના સૂત્રો

આવર્તક સૂત્ર , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 = 1 એટલે કે, એક સૂત્ર કે જે અનુક્રમના કોઈપણ સભ્યને વ્યક્ત કરે છે, કેટલાકથી શરૂ કરીને, અગાઉના (એક અથવા વધુ) સભ્યો દ્વારા. સંખ્યા ક્રમ +1 = સંખ્યા ક્રમ + 5

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 = 1,

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 2 = , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 + 5 = 1 + 5 = 6,

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 3 = , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 2 + 5 = 6 + 5 = 11,

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 4 = , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 3 + 5 = 11 + 5 = 16,

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 5 = , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 4 + 5 = 16 + 5 = 21.

જો , એ= 1, જો = 1, સંખ્યા ક્રમ +2 = સંખ્યા ક્રમ + સંખ્યા ક્રમ +1 , a 1

a 2 = 1,

પછી સંખ્યાત્મક ક્રમની પ્રથમ સાત શરતો નીચે પ્રમાણે સ્થાપિત થાય છે: = 1,

a 1 = a 2 + પછી સંખ્યાત્મક ક્રમની પ્રથમ સાત શરતો નીચે પ્રમાણે સ્થાપિત થાય છે: = 1 + 1 = 2,

a 2 = પછી સંખ્યાત્મક ક્રમની પ્રથમ સાત શરતો નીચે પ્રમાણે સ્થાપિત થાય છે: + a 1 = 1 + 2 = 3,

a 3 = a 1 + a 2 = 2 + 3 = 5,

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 6 = , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 4 + , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 5 = 3 + 5 = 8,

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 7 = , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 5 + , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 6 = 5 + 8 = 13. ◄

a 4 a 5 તેનો નંબર સિક્વન્સ હોઈ શકે છે .

અંતિમ અનંત ક્રમ કહેવાય છે અંતિમજો તેણી પાસે છે અંતિમ સંખ્યા સભ્યો ક્રમ કહેવાય છે

nમી મુદતના સૂત્રો

અનંત

10, 11, 12, 13, . . . , 98, 99

, જો તેમાં અસંખ્ય સભ્યો હોય.

બે-અંકની કુદરતી સંખ્યાઓનો ક્રમ:

2, 3, 5, 7, 11, 13, . . .

અંતિમ ◄

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ક્રમ: અનંત ક્રમ કહેવાય છે

અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ક્રમ: વધારો , જો તેના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, પાછલા એક કરતા વધારે હોય.

nમી મુદતના સૂત્રો

2, 4, 6, 8, . . . , 2સિક્વન્સ, . . . ઘટતું

1, 1 / 2 , 1 / 3 , 1 / 4 , . . . , 1 /b, . . . , જો તેના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, પાછલા એક કરતા ઓછા હોય. ◄

- વધતો ક્રમ; - ઘટતો ક્રમ. .

એક ક્રમ કે જેના તત્વો સંખ્યા વધે તેમ ઘટતા નથી અથવા તેનાથી વિપરિત વધતા નથી, તેને કહેવાય છે.

એકવિધ ક્રમ

મોનોટોનિક સિક્વન્સ, ખાસ કરીને, સિક્વન્સ વધી રહી છે અને સિક્વન્સ ઘટી રહી છે. એક એવો ક્રમ છે જેમાં દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, પાછલા સભ્યની સમાન હોય છે, જેમાં સમાન સંખ્યા ઉમેરવામાં આવે છે.

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 , , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 2 , , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 3 , . . . , સંખ્યા ક્રમ, . . .

જો કોઈ હોય તો તે અંકગણિતની પ્રગતિ છે કુદરતી સંખ્યા વિશ્વના દેશો શરત પૂરી થાય છે:

સંખ્યા ક્રમ +1 = સંખ્યા ક્રમ + ડી,

જ્યાં ડી - ચોક્કસ સંખ્યા.

આમ, આપેલની અનુગામી અને અગાઉની શરતો વચ્ચેનો તફાવત અંકગણિત પ્રગતિહંમેશા સતત:

જો - , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 = a 3 - , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 2 = . . . = સંખ્યા ક્રમ +1 - સંખ્યા ક્રમ = ડી.

સંખ્યા ક્રમ ડી કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત.

અંકગણિત પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તે તેના પ્રથમ પદ અને તફાવતને દર્શાવવા માટે પૂરતું છે.

nમી મુદતના સૂત્રો

આવર્તક સૂત્ર , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 = 3, ડી = 4 , પછી આપણે ક્રમના પ્રથમ પાંચ શબ્દો નીચે પ્રમાણે શોધીએ છીએ:

a 2 =3,

પછી સંખ્યાત્મક ક્રમની પ્રથમ સાત શરતો નીચે પ્રમાણે સ્થાપિત થાય છે: = a 2 + ડી = 3 + 4 = 7,

a 1 = પછી સંખ્યાત્મક ક્રમની પ્રથમ સાત શરતો નીચે પ્રમાણે સ્થાપિત થાય છે: + ડી= 7 + 4 = 11,

a 2 = a 1 + ડી= 11 + 4 = 15,

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 5 = , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 4 + ડી= 15 + 4 = 19. ◄

પ્રથમ પદ સાથે અંકગણિત પ્રગતિ માટે , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 અને તફાવત ડી તેણી વિશ્વના દેશો

સંખ્યા ક્રમ = a 2 + (સિક્વન્સ- 1)ડી.

nમી મુદતના સૂત્રો

અંકગણિતની પ્રગતિનો ત્રીસમો શબ્દ શોધો

1, 4, 7, 10, . . .

a 2 =1, ડી = 3,

એ 30 = a 2 + (30 - 1)d = 1 + 29· 3 = 88. ◄

a n-1 = a 2 + (સિક્વન્સ- 2)ડી,

સંખ્યા ક્રમ= a 2 + (સિક્વન્સ- 1)ડી,

સંખ્યા ક્રમ +1 = , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 + એનડી,

પછી દેખીતી રીતે

અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, અગાઉના અને અનુગામી સભ્યોના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે.

સંખ્યાઓ a, b અને c એ અમુક અંકગણિત પ્રગતિના ક્રમિક પદો છે જો અને માત્ર જો તેમાંથી એક અન્ય બેના અંકગણિત સરેરાશ સમાન હોય.

nમી મુદતના સૂત્રો

સંખ્યા ક્રમ = 2સિક્વન્સ- 7 , એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

ચાલો ઉપરોક્ત વિધાનનો ઉપયોગ કરીએ. અમારી પાસે છે:

સંખ્યા ક્રમ = 2સિક્વન્સ- 7,

a n-1 = 2(વિષમ સંખ્યાઓ 1) - 7 = 2સિક્વન્સ- 9,

a n+1 = 2(n+ 1) - 7 = 2સિક્વન્સ- 5.

આથી,

◄

તેની નોંધ લો વિશ્વના દેશો અંકગણિત પ્રગતિનો મી શબ્દ માત્ર દ્વારા જ શોધી શકાય છે , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 , પણ કોઈપણ અગાઉના a k

સંખ્યા ક્રમ = a k + (સિક્વન્સ- k)ડી.

nમી મુદતના સૂત્રો

માટે , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 5 લખી શકાય છે

a 3 = a 2 + 4ડી,

a 3 = પછી સંખ્યાત્મક ક્રમની પ્રથમ સાત શરતો નીચે પ્રમાણે સ્થાપિત થાય છે: + 3ડી,

a 3 = a 1 + 2ડી,

a 3 = a 2 + ડી. ◄

સંખ્યા ક્રમ = એક n-k + kd,

સંખ્યા ક્રમ = a n+k - kd,

પછી દેખીતી રીતે

અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ સભ્ય, બીજાથી શરૂ થાય છે, આ અંકગણિત પ્રગતિના સમાન અંતરવાળા સભ્યોના અડધા સરવાળાના બરાબર છે.

વધુમાં, કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ માટે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે:

a m + a n = a k + a l,

m + n = k + l.

nમી મુદતના સૂત્રો

અંકગણિત પ્રગતિમાં

1) , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 10 = 28 = (25 + 31)/2 = (, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 9 + , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 11 )/2;

2) 28 = a 10 = a 1 + 7ડી= 7 + 7 3 = 7 + 21 = 28;

3) a 10= 28 = (19 + 37)/2 = (a 7 + a 13)/2;

4) a 2 + a 12 = a 5 + a 9, કારણ કે

a 2 + a 12= 4 + 34 = 38,

a 5 + a 9 = 13 + 25 = 38. ◄

એસ એન= a 1 + a 2 + a 3 + . . .+ સંખ્યા ક્રમ,

પ્રથમ વિશ્વના દેશો અંકગણિતની પ્રગતિની શરતો આત્યંતિક શબ્દોના અડધા સરવાળા અને પદોની સંખ્યાના ગુણાંક સમાન છે:

અહીંથી, ખાસ કરીને, તે અનુસરે છે કે જો તમારે શરતોનો સરવાળો કરવાની જરૂર હોય

a k, a k +1 , . . . , સંખ્યા ક્રમ,

પછી પાછલું સૂત્ર તેની રચના જાળવી રાખે છે:

nમી મુદતના સૂત્રો

અંકગણિત પ્રગતિમાં 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, . . .

એસ 10 = 1 + 4 + . . . + 28 = (1 + 28) · 10/2 = 145;

10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 = એસ 10 - એસ 3 = (10 + 28 ) · (10 - 4 + 1)/2 = 133. ◄

જો અંકગણિતની પ્રગતિ આપવામાં આવે છે, તો જથ્થાઓ , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 , સંખ્યા ક્રમ, ડી, સિક્વન્સઅનેએસ વિશ્વના દેશો બે સૂત્રો દ્વારા જોડાયેલ:

તેથી, જો ત્રણનો અર્થઆ જથ્થાઓમાંથી આપવામાં આવે છે, પછી અન્ય બે જથ્થાના અનુરૂપ મૂલ્યો આ સૂત્રોમાંથી નક્કી કરવામાં આવે છે, બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં જોડાય છે.

અંકગણિત પ્રગતિ એ એકવિધ ક્રમ છે. આ કિસ્સામાં:

• આવર્તક સૂત્ર ડી > 0 , પછી તે વધી રહ્યું છે;
• આવર્તક સૂત્ર ડી < 0 , પછી તે ઘટી રહ્યું છે;
• આવર્તક સૂત્ર ડી = 0 , પછી ક્રમ સ્થિર રહેશે.

ભૌમિતિક પ્રગતિ

ભૌમિતિક પ્રગતિ એક એવો ક્રમ છે જેમાં દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, સમાન સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરતા પહેલાના એક સમાન હોય છે.

અને 1 , અને 2 , અને 3 , . . . , b n, . . .

જો કોઈ કુદરતી સંખ્યા માટે હોય તો તે ભૌમિતિક પ્રગતિ છે વિશ્વના દેશો શરત પૂરી થાય છે:

b n +1 = b n · q,

જ્યાં q ≠ 0 - ચોક્કસ સંખ્યા.

આમ, આપેલ ભૌમિતિક પ્રગતિના અનુગામી પદનો પાછલા એક સાથે ગુણોત્તર એ સ્થિર સંખ્યા છે:

અને 2 / અને 1 = અને 3 / અને 2 = . . . = b n +1 / b n = q.

સંખ્યા ક્રમ q કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે. ભૌમિતિક પ્રગતિનો છેદ.

ભૌમિતિક પ્રગતિને વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે, તે તેના પ્રથમ પદ અને છેદને સૂચવવા માટે પૂરતું છે.

nમી મુદતના સૂત્રો

આવર્તક સૂત્ર અને 1 = 1, q = -3 , પછી આપણે ક્રમના પ્રથમ પાંચ શબ્દો નીચે પ્રમાણે શોધીએ છીએ:

b 1 = 1,

b 2 = b 1 · q = 1 · (-3) = -3,

b 3 = b 2 · q= -3 · (-3) = 9,

b 4 = b 3 · q= 9 · (-3) = -27,

અને 5 = અને 4 · q= -27 · (-3) = 81. ◄

અને 1 અને છેદ q તેણી વિશ્વના દેશો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મી શબ્દ શોધી શકાય છે:

b n = અને 1 · qn -1 .

nમી મુદતના સૂત્રો

ભૌમિતિક પ્રગતિનો સાતમો શબ્દ શોધો 1, 2, 4, . . .

અને 1 = 1, q = 2,

અને 7 = અને 1 · q 6 = 1 2 6 = 64. ◄

b n-1 = b 1 · qn -2 ,

b n = b 1 · qn -1 ,

b n +1 = અને 1 · qn,

પછી દેખીતી રીતે

b n 2 = b n -1 · b n +1 ,

ભૌમિતિક પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, પહેલાના અને પછીના સભ્યોના ભૌમિતિક સરેરાશ (પ્રમાણસર) સમાન છે.

વાતચીત પણ સાચી હોવાથી, નીચેનું વિધાન ધરાવે છે:

સંખ્યાઓ a, b અને c એ અમુક ભૌમિતિક પ્રગતિના સળંગ પદો છે જો અને માત્ર જો તેમાંથી એકનો વર્ગ ઉત્પાદન સમાનઅન્ય બે, એટલે કે, સંખ્યાઓમાંથી એક એ અન્ય બેનો ભૌમિતિક સરેરાશ છે.

nમી મુદતના સૂત્રો

ચાલો સાબિત કરીએ કે સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવેલ ક્રમ b n= -3 2 b , ભૌમિતિક પ્રગતિ છે. ચાલો ઉપરોક્ત વિધાનનો ઉપયોગ કરીએ. અમારી પાસે છે:

b n= -3 2 b,

b n -1 = -3 2 b -1 ,

b n +1 = -3 2 b +1 .

આથી,

b n 2 = (-3 2 b) 2 = (-3 2 b -1 ) · (-3 · 2 b +1 ) = b n -1 · b n +1 ,

જે ઇચ્છિત નિવેદન સાબિત કરે છે. ◄

તેની નોંધ લો વિશ્વના દેશો ભૌમિતિક પ્રગતિનો મી શબ્દ માત્ર દ્વારા જ શોધી શકાય છે અને 1 , પણ કોઈપણ અગાઉના સભ્ય b k , જેના માટે તે સૂત્રનો ઉપયોગ કરવા માટે પૂરતું છે

b n = b k · qn - k.

nમી મુદતના સૂત્રો

માટે અને 5 લખી શકાય છે

b 5 = b 1 · q 4 ,

b 5 = b 2 · q 3,

b 5 = b 3 · q 2,

b 5 = b 4 · q. ◄

b n = b k · qn - k,

b n = b n - k · q k,

પછી દેખીતી રીતે

b n 2 = b n - k· b n + k

ભૌમિતિક પ્રગતિના કોઈપણ પદનો વર્ગ, બીજાથી શરૂ થાય છે, તે તેનાથી સમાન અંતરે આ પ્રગતિની શરતોના ગુણાંક જેટલો છે.

વધુમાં, કોઈપણ ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે સમાનતા સાચી છે:

b m· b n= b k· b l,

m+ સિક્વન્સ= k+ l.

nમી મુદતના સૂત્રો

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં

1) અને 6 2 = 32 2 = 1024 = 16 · 64 = અને 5 · અને 7 ;

2) 1024 = અને 11 = અને 6 · q 5 = 32 · 2 5 = 1024;

3) અને 6 2 = 32 2 = 1024 = 8 · 128 = અને 4 · અને 8 ;

4) અને 2 · અને 7 = અને 4 · અને 5 , કારણ કે

અને 2 · અને 7 = 2 · 64 = 128,

અને 4 · અને 5 = 8 · 16 = 128. ◄

એસ એન= અને 1 + અને 2 + અને 3 + . . . + b n

પ્રથમ વિશ્વના દેશો છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિના સભ્યો q ≠ 0 સૂત્ર દ્વારા ગણતરી:

અને ક્યારે q = 1 - સૂત્ર અનુસાર

એસ એન= nb 1

નોંધ કરો કે જો તમારે શરતોનો સરવાળો કરવાની જરૂર હોય

b k, b k +1 , . . . , b n,

પછી સૂત્રનો ઉપયોગ થાય છે:

nમી મુદતના સૂત્રો

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, . . .

એસ 10 = 1 + 2 + . . . + 512 = 1 · (1 - 2 10) / (1 - 2) = 1023;

64 + 128 + 256 + 512 = એસ 10 - એસ 6 = 64 · (1 - 2 10-7+1) / (1 - 2) = 960. ◄

જો આપવામાં આવે છે ભૌમિતિક પ્રગતિ, પછી જથ્થો અને 1 , b n, q, સિક્વન્સ n- એસ એન બે સૂત્રો દ્વારા જોડાયેલ:

તેથી, જો આમાંથી કોઈપણ ત્રણ જથ્થાના મૂલ્યો આપવામાં આવે છે, તો પછી અન્ય બે જથ્થાના અનુરૂપ મૂલ્યો આ સૂત્રોમાંથી નિર્ધારિત કરવામાં આવે છે, બે અજ્ઞાત સાથેના બે સમીકરણોની સિસ્ટમમાં જોડાય છે.

પ્રથમ પદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ માટે અને 1 અને છેદ q નીચેના થાય છે એકવિધતાના ગુણધર્મો :

• જો નીચેની શરતોમાંથી એક પૂરી થાય તો પ્રગતિ વધી રહી છે:

અને 1 > 0 અને q> 1;

અને 1 < 0 અને 0 < q< 1;

• જો નીચેની શરતોમાંથી એક પૂરી થાય તો પ્રગતિ ઘટી રહી છે:

અને 1 > 0 અને 0 < q< 1;

અને 1 < 0 અને q> 1.

જો q< 0 , પછી ભૌમિતિક પ્રગતિ વૈકલ્પિક છે: બેકી સંખ્યાઓ સાથેના તેના પદો તેના પ્રથમ પદ જેવા જ ચિહ્ન ધરાવે છે, અને સમાન સંખ્યાઓ સાથેના શબ્દો વિરુદ્ધ ચિહ્ન ધરાવે છે. તે સ્પષ્ટ છે કે વૈકલ્પિક ભૌમિતિક પ્રગતિ એકવિધ નથી.

પ્રથમનું ઉત્પાદન વિશ્વના દેશો સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ભૌમિતિક પ્રગતિની શરતોની ગણતરી કરી શકાય છે:

પી.એન= b 1 · b 2 · b 3 · . . . · b n = (b 1 · b n) સિક્વન્સ / 2 .

nમી મુદતના સૂત્રો

1 · 2 · 4 · 8 · 16 · 32 · 64 · 128 = (1 · 128) 8/2 = 128 4 = 268 435 456;

3 · 6 · 12 · 24 · 48 = (3 · 48) 5/2 = (144 1/2) 5 = 12 5 = 248 832.◄

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં અનંતપણે ઘટાડો

ભૌમિતિક પ્રગતિમાં અનંતપણે ઘટાડો જેને અનંત ભૌમિતિક પ્રગતિ કહેવાય છે જેનો છેદ મોડ્યુલસ ઓછો છે 1 , એટલે કે

|q| < 1 .

નોંધ કરો કે અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિ એ ઘટતો ક્રમ હોઈ શકે નહીં. તે પ્રસંગને બંધબેસે છે

1 < q< 0 .

આવા છેદ સાથે, ક્રમ વૈકલ્પિક છે. ઉદાહરણ તરીકે,

1, - 1 / 2 , 1 / 4 , - 1 / 8 , . . . .

અનંત રીતે ઘટતી ભૌમિતિક પ્રગતિનો સરવાળો પ્રથમ રાશિઓનો સરવાળો મર્યાદા વિના પહોંચે છે તે સંખ્યાને નામ આપો વિશ્વના દેશો સંખ્યામાં અમર્યાદિત વધારા સાથે પ્રગતિના સભ્યો વિશ્વના દેશો . આ સંખ્યા હંમેશા મર્યાદિત હોય છે અને સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરવામાં આવે છે

nમી મુદતના સૂત્રો

10 + 1 + 0,1 + 0,01 + . . . = 10 / (1 - 0,1) = 11 1 / 9 ,

10 - 1 + 0,1 - 0,01 + . . . = 10 / (1 + 0,1) = 9 1 / 11 . ◄

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ વચ્ચેનો સંબંધ

અંકગણિત અને ભૌમિતિક પ્રગતિ નજીકથી સંબંધિત છે. ચાલો માત્ર બે ઉદાહરણો જોઈએ.

, પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 1 , , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 2 , , પછી તેઓ કહે છે કે તે આપવામાં આવ્યું છે 3 , . . . ડી , તે

b એ 1 , b એ 2 , b એ 3 , . . . b ડી .

nમી મુદતના સૂત્રો

1, 3, 5, . . . - તફાવત સાથે અંકગણિત પ્રગતિ 2 અને

7 1 , 7 3 , 7 5 , . . . - છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ 7 2 . ◄

અને 1 , અને 2 , અને 3 , . . . - છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ q , તે

લોગ a b 1, લોગ a b 2, લોગ a b 3, . . . - તફાવત સાથે અંકગણિત પ્રગતિ લોગ એq .

nમી મુદતના સૂત્રો

2, 12, 72, . . . - છેદ સાથે ભૌમિતિક પ્રગતિ 6 અને

એલજી 2, એલજી 12, એલજી 72, . . . - તફાવત સાથે અંકગણિત પ્રગતિ એલજી 6 . ◄

અથવા અંકગણિત એ ક્રમાંકિત સંખ્યાત્મક ક્રમનો એક પ્રકાર છે, જેના ગુણધર્મોનો અભ્યાસ કરવામાં આવે છે શાળા અભ્યાસક્રમબીજગણિત આ લેખ અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નની વિગતવાર ચર્ચા કરે છે.

આ કેવા પ્રકારની પ્રગતિ છે?

પ્રશ્ન પર આગળ વધતા પહેલા (અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો), તે સમજવા યોગ્ય છે કે આપણે શું વાત કરી રહ્યા છીએ.

કોઈપણ ક્રમ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ, જે દરેક અગાઉની સંખ્યામાંથી અમુક મૂલ્ય ઉમેરીને (બાદબાકી કરીને) મેળવવામાં આવે છે, તેને બીજગણિત (અંકગણિત) પ્રગતિ કહેવાય છે. આ વ્યાખ્યા, જ્યારે ગાણિતિક ભાષામાં અનુવાદિત થાય છે, ત્યારે તે સ્વરૂપ લે છે:

અહીં i એ પંક્તિ a i ના ઘટકનો સીરીયલ નંબર છે. આમ, માત્ર એક પ્રારંભિક નંબર જાણીને, તમે સરળતાથી સમગ્ર શ્રેણીને પુનઃસ્થાપિત કરી શકો છો. સૂત્રમાં પરિમાણ d ને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે.

તે સરળતાથી બતાવી શકાય છે કે વિચારણા હેઠળની સંખ્યાઓની શ્રેણી માટે નીચેની સમાનતા ધરાવે છે:

a n = a 1 + d * (n - 1).

એટલે કે, nમા ઘટકનું મૂલ્ય ક્રમમાં શોધવા માટે, તમારે પ્રથમ ઘટકમાં 1 n-1 વખત તફાવત d ઉમેરવો જોઈએ.

અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો શું છે: સૂત્ર

સૂચવેલ રકમ માટે સૂત્ર આપતા પહેલા, તે એક સરળ ધ્યાનમાં લેવા યોગ્ય છે ખાસ કેસ. 1 થી 10 સુધીની કુદરતી સંખ્યાઓની પ્રગતિ જોતાં, તમારે તેમનો સરવાળો શોધવાની જરૂર છે. પ્રોગ્રેસન (10) માં થોડા શબ્દો હોવાથી, સમસ્યાનું નિરાકરણ શક્ય છે, એટલે કે ક્રમમાં તમામ ઘટકોનો સરવાળો કરો.

એસ 10 = 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 = 55.

એક વાત ધ્યાનમાં લેવા જેવી છે રસપ્રદ વાત: દરેક પદ સમાન મૂલ્ય d = 1 દ્વારા આગલા શબ્દથી અલગ હોવાને કારણે, પછી દસમા સાથે પ્રથમ, નવમા સાથે બીજા અને તેથી વધુનો જોડીવાર સરવાળો સમાન પરિણામ આપશે. ખરેખર:

11 = 1+10 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6.

જેમ તમે જોઈ શકો છો, આ રકમોમાંથી માત્ર 5 છે, એટલે કે, શ્રેણીના ઘટકોની સંખ્યા કરતા બરાબર બે ગણા ઓછા છે. પછી દરેક રકમ (11) ના પરિણામ દ્વારા સરવાળો (5) ની સંખ્યાને ગુણાકાર કરવાથી, તમે પ્રથમ ઉદાહરણમાં મેળવેલા પરિણામ પર પહોંચશો.

જો આપણે આ દલીલોને સામાન્ય બનાવીએ, તો આપણે નીચેની અભિવ્યક્તિ લખી શકીએ છીએ:

S n = n * (a 1 + a n) / 2.

આ અભિવ્યક્તિ દર્શાવે છે કે એક પંક્તિમાં તમામ ઘટકોનો સરવાળો કરવો જરૂરી નથી; પ્રથમ a 1 અને છેલ્લા a n ની કિંમત જાણવા માટે તે પૂરતું છે કુલ સંખ્યા n શરતો.

એવું માનવામાં આવે છે કે ગૌસે આ સમાનતા વિશે સૌ પ્રથમ વિચાર્યું હતું જ્યારે તે આપેલ સમસ્યાનો ઉકેલ શોધી રહ્યા હતા. શાળા શિક્ષકકાર્ય: પ્રથમ 100 પૂર્ણાંકોનો સરવાળો.

m થી n સુધીના તત્વોનો સરવાળો: સૂત્ર

પાછલા ફકરામાં આપેલ સૂત્ર અંકગણિત પ્રગતિ (પ્રથમ તત્વો) નો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે પ્રશ્નનો જવાબ આપે છે, પરંતુ ઘણીવાર સમસ્યાઓમાં તે પ્રગતિની મધ્યમાં સંખ્યાઓની શ્રેણીનો સરવાળો કરવો જરૂરી છે. આ કેવી રીતે કરવું?

આ પ્રશ્નનો જવાબ આપવાનો સૌથી સહેલો રસ્તો છે વિચારીને આગામી ઉદાહરણ: m-th થી n-th સુધીના શબ્દોનો સરવાળો શોધવો જરૂરી છે. સમસ્યાને ઉકેલવા માટે, તમારે આપેલ સેગમેન્ટને m થી n સુધીની પ્રગતિની નવી સંખ્યા શ્રેણીના સ્વરૂપમાં રજૂ કરવી જોઈએ. આમાં m-th રજૂઆતશબ્દ a m પ્રથમ હશે, અને a n ને n-(m-1) ક્રમાંકિત કરવામાં આવશે. આ કિસ્સામાં, સરવાળા માટે પ્રમાણભૂત સૂત્ર લાગુ કરવાથી, નીચેની અભિવ્યક્તિ પ્રાપ્ત થશે:

S m n = (n - m + 1) * (a m + a n) / 2.

સૂત્રોના ઉપયોગનું ઉદાહરણ

અંકગણિતની પ્રગતિનો સરવાળો કેવી રીતે શોધવો તે જાણીને, ઉપરોક્ત સૂત્રોનો ઉપયોગ કરવાના એક સરળ ઉદાહરણને ધ્યાનમાં લેવું યોગ્ય છે.

નીચે એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, તમારે તેની શરતોનો સરવાળો મેળવવો જોઈએ, 5મીથી શરૂ થઈને 12મી સાથે સમાપ્ત થાય છે:

આપેલ સંખ્યાઓ સૂચવે છે કે તફાવત d 3 ની બરાબર છે. nમા તત્વ માટે અભિવ્યક્તિનો ઉપયોગ કરીને, તમે પ્રગતિના 5મા અને 12મા પદોના મૂલ્યો શોધી શકો છો. તે તારણ આપે છે:

a 5 = a 1 + d * 4 = -4 + 3 * 4 = 8;

a 12 = a 1 + d * 11 = -4 + 3 * 11 = 29.

આપેલ છેડે સંખ્યાઓની કિંમતો જાણવી બીજગણિત પ્રગતિ, અને એ પણ જાણીને કે પંક્તિમાં તેઓ કયા નંબરો ધરાવે છે, તમે અગાઉના ફકરામાં મેળવેલ રકમ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરી શકો છો. તે બહાર આવશે:

S 5 12 = (12 - 5 + 1) * (8 + 29) / 2 = 148.

તે નોંધવું યોગ્ય છે કે આ મૂલ્ય અલગ રીતે મેળવી શકાય છે: પહેલા પ્રથમ 12 તત્વોનો સરવાળો શોધો પ્રમાણભૂત સૂત્ર, પછી સમાન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ 4 ઘટકોના સરવાળાની ગણતરી કરો, પછી પ્રથમ સરવાળામાંથી બીજાને બાદ કરો.

અંકગણિત પ્રગતિ પર સમસ્યાઓ પ્રાચીન સમયમાં પહેલેથી જ અસ્તિત્વમાં છે. તેઓ દેખાયા અને ઉકેલની માંગ કરી કારણ કે તેમની પાસે વ્યવહારિક જરૂરિયાત હતી.

તેથી, એક પપાયરીમાં પ્રાચીન ઇજિપ્તકર્યા ગાણિતિક સામગ્રી, - રિન્ડ પેપિરસ (19મી સદી બીસી) - નીચેનું કાર્ય સમાવે છે: દસ લોકોમાં બ્રેડના દસ માપને વહેંચો, જો કે તે દરેક વચ્ચેનો તફાવત માપનો આઠમો ભાગ હોય."

અને પ્રાચીન ગ્રીકોના ગાણિતિક કાર્યોમાં અંકગણિતની પ્રગતિ સંબંધિત ભવ્ય પ્રમેય છે. આમ, એલેક્ઝાન્ડ્રિયાના હાઇપ્સિકલ્સ (2જી સદી, જે ઘણી બધી હતી રસપ્રદ કાર્યોઅને જેમણે ચૌદમું પુસ્તક યુક્લિડ્સ એલિમેન્ટ્સમાં ઉમેર્યું, તેણે વિચાર ઘડ્યો: “એક અંકગણિત પ્રગતિમાં જેમાં સમાન સંખ્યાની શરતો હોય, 2જી હાફની શરતોનો સરવાળો વર્ગ દ્વારા 1 લી ની શરતોના સરવાળા કરતા વધારે હોય છે. 1/2 શબ્દોની સંખ્યા.

ક્રમ એક દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે. ક્રમની સંખ્યાઓને તેના સભ્યો કહેવામાં આવે છે અને સામાન્ય રીતે સૂચકાંકો સાથેના અક્ષરો દ્વારા નિયુક્ત કરવામાં આવે છે જે આ સભ્યનો સીરીયલ નંબર દર્શાવે છે (a1, a2, a3 ... વાંચો: “a 1st”, “a 2nd”, “a 3rd” અને તેથી વધુ).

ક્રમ અનંત અથવા મર્યાદિત હોઈ શકે છે.

અંકગણિત પ્રગતિ શું છે? તેના દ્વારા અમારો મતલબ એ જ નંબર d સાથે અગાઉના શબ્દ (n) ઉમેરીને મેળવેલો છે, જે પ્રગતિનો તફાવત છે.

જો ડી<0, то мы имеем убывающую прогрессию. Если d>0, પછી આ પ્રગતિને વધતી ગણવામાં આવે છે.

અંકગણિત પ્રગતિને મર્યાદિત કહેવામાં આવે છે જો તેની માત્ર પ્રથમ કેટલીક શરતો ધ્યાનમાં લેવામાં આવે. ખૂબ જ મોટી માત્રામાંસભ્યો તે પહેલેથી જ છે અનંત પ્રગતિ.

કોઈપણ અંકગણિત પ્રગતિ નીચેના સૂત્ર દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:

an =kn+b, જ્યારે b અને k અમુક સંખ્યાઓ છે.

વિરુદ્ધ નિવેદન એકદમ સાચું છે: જો સમાન સૂત્ર દ્વારા ક્રમ આપવામાં આવે છે, તો તે બરાબર એક અંકગણિત પ્રગતિ છે જે ગુણધર્મો ધરાવે છે:

1. પ્રગતિની દરેક મુદત એ પાછલી મુદત અને ત્યારપછીના એકનો અંકગણિત સરેરાશ છે.
2. વાર્તાલાપ: જો, 2જીથી શરૂ કરીને, દરેક શબ્દ એ પાછલા પદનો અંકગણિત સરેરાશ છે અને પછીના શબ્દ, એટલે કે. જો શરત પૂરી થાય છે, તો આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે. આ સમાનતા પણ પ્રગતિની નિશાની છે, તેથી જ તેને સામાન્ય રીતે કહેવામાં આવે છે લાક્ષણિક મિલકતપ્રગતિ
   એ જ રીતે, આ ગુણધર્મને પ્રતિબિંબિત કરતું પ્રમેય સાચું છે: ક્રમ એ અંકગણિતની પ્રગતિ માત્ર ત્યારે જ છે જો આ સમાનતા 2જીથી શરૂ થતા ક્રમની કોઈપણ શરતો માટે સાચી હોય.

અંકગણિત પ્રગતિની કોઈપણ ચાર સંખ્યાઓ માટે લાક્ષણિક ગુણધર્મ an + am = ak + al સૂત્ર દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે, જો n + m = k + l (m, n, k એ પ્રગતિ સંખ્યાઓ છે).

અંકગણિત પ્રગતિમાં, કોઈપણ જરૂરી (Nth) શબ્દનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે નીચેનું સૂત્ર:

ઉદાહરણ તરીકે: અંકગણિતની પ્રગતિમાં પ્રથમ પદ (a1) આપવામાં આવે છે અને તે ત્રણની બરાબર છે, અને તફાવત (d) ચાર બરાબર છે. તમારે આ પ્રગતિની ચાલીસમી મુદત શોધવાની જરૂર છે. a45 = 1+4(45-1)=177

સૂત્ર an = ak + d(n - k) અમને નક્કી કરવા દે છે nમી મુદતતેના kth પદોમાંથી કોઈપણ દ્વારા અંકગણિત પ્રગતિ, જો તે જાણીતું હોય.

અંકગણિતની પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો (એટલે ​​કે 1લી n શરતો મર્યાદિત પ્રગતિનીચે પ્રમાણે ગણતરી કરવામાં આવે છે:

Sn = (a1+an) n/2.

જો 1 લી શબ્દ પણ જાણીતો છે, તો પછી ગણતરી માટે બીજું સૂત્ર અનુકૂળ છે:

Sn = ((2a1+d(n-1))/2)*n.

n પદો ધરાવતી અંકગણિત પ્રગતિનો સરવાળો નીચે પ્રમાણે ગણવામાં આવે છે:

ગણતરીઓ માટેના સૂત્રોની પસંદગી સમસ્યાઓની શરતો અને પ્રારંભિક ડેટા પર આધારિત છે.

કોઈપણ સંખ્યાઓની કુદરતી શ્રેણી, જેમ કે 1,2,3,...,n,...- સૌથી સરળ ઉદાહરણઅંકગણિત પ્રગતિ.

અંકગણિત પ્રગતિ ઉપરાંત, એક ભૌમિતિક પ્રગતિ પણ છે, જે તેના પોતાના ગુણધર્મો અને લાક્ષણિકતાઓ ધરાવે છે.

અમે નક્કી કરવાનું શરૂ કરીએ તે પહેલાં અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ, ચાલો ધ્યાનમાં લઈએ કે સંખ્યા ક્રમ શું છે, કારણ કે અંકગણિત પ્રગતિ એ સંખ્યા ક્રમનો વિશેષ કેસ છે.

સંખ્યા ક્રમ છે નંબર સેટ, જેમાંથી દરેક ઘટકનો પોતાનો સીરીયલ નંબર છે. આ સમૂહના તત્વોને ક્રમના સભ્યો કહેવામાં આવે છે. ક્રમ ઘટકનો સીરીયલ નંબર ઇન્ડેક્સ દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે:

ક્રમનું પ્રથમ તત્વ;

ક્રમનું પાંચમું તત્વ;

- ક્રમનું "nth" તત્વ, એટલે કે. તત્વ "કતારમાં ઊભું" નંબર n પર.

ક્રમ તત્વની કિંમત અને તેની ક્રમ સંખ્યા વચ્ચે સંબંધ છે. તેથી, આપણે ક્રમને ફંક્શન તરીકે ધ્યાનમાં લઈ શકીએ છીએ જેની દલીલ એ ક્રમના તત્વની ક્રમાંકિત સંખ્યા છે. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો આપણે એમ કહી શકીએ ક્રમ એ કુદરતી દલીલનું કાર્ય છે:

ક્રમ ત્રણ રીતે સેટ કરી શકાય છે:

1 . ક્રમ કોષ્ટકનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.આ કિસ્સામાં, અમે ક્રમના દરેક સભ્યનું મૂલ્ય ફક્ત સેટ કરીએ છીએ.

ઉદાહરણ તરીકે, કોઈએ વ્યક્તિગત સમયનું સંચાલન કરવાનું નક્કી કર્યું, અને તેની સાથે પ્રારંભ કરવા માટે, ગણતરી કરો કે તે અઠવાડિયા દરમિયાન VKontakte પર કેટલો સમય વિતાવે છે. કોષ્ટકમાં સમય રેકોર્ડ કરીને, તેને સાત તત્વોનો ક્રમ પ્રાપ્ત થશે:

કોષ્ટકની પ્રથમ લાઇન અઠવાડિયાના દિવસની સંખ્યા સૂચવે છે, બીજી - મિનિટમાં સમય. આપણે જોઈએ છીએ કે, એટલે કે, સોમવારે કોઈએ VKontakte પર 125 મિનિટ વિતાવી, એટલે કે, ગુરુવારે - 248 મિનિટ, અને, એટલે કે, શુક્રવારે માત્ર 15.

2 . ક્રમ nth શબ્દ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે.

આ કિસ્સામાં, તેની સંખ્યા પર ક્રમ તત્વના મૂલ્યની અવલંબન સીધી સૂત્રના સ્વરૂપમાં વ્યક્ત થાય છે.

ઉદાહરણ તરીકે, જો, પછી

આપેલ સંખ્યા સાથે ક્રમ ઘટકનું મૂલ્ય શોધવા માટે, અમે તત્વ નંબરને nth પદના સૂત્રમાં બદલીએ છીએ.

જો દલીલની કિંમત જાણીતી હોય તો આપણે ફંક્શનની કિંમત શોધવાની જરૂર હોય તો આપણે તે જ કરીએ છીએ. અમે ફંક્શન સમીકરણમાં દલીલના મૂલ્યને બદલીએ છીએ:

જો, ઉદાહરણ તરીકે, , તે

મને ફરી એકવાર નોંધ લેવા દો કે ક્રમમાં, મનસ્વીથી વિપરીત સંખ્યાત્મક કાર્ય, દલીલ માત્ર કુદરતી સંખ્યા હોઈ શકે છે.

3 . અનુક્રમ એક સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને સ્પષ્ટ કરી શકાય છે જે અગાઉના સભ્યોના મૂલ્યો પર ક્રમ સભ્ય સંખ્યા n ના મૂલ્યની નિર્ભરતાને વ્યક્ત કરે છે.

આ કિસ્સામાં, તેના મૂલ્યને શોધવા માટે ફક્ત ક્રમ સભ્યની સંખ્યાને જાણવું આપણા માટે પૂરતું નથી. આપણે ક્રમના પ્રથમ સભ્ય અથવા પ્રથમ થોડા સભ્યોનો ઉલ્લેખ કરવાની જરૂર છે. ,

ઉદાહરણ તરીકે, ક્રમને ધ્યાનમાં લો આપણે ક્રમના સભ્યોની કિંમતો શોધી શકીએ છીએએક પછી એક

, ત્રીજાથી શરૂ કરીને: એટલે કે, દર વખતે, ક્રમના nમા પદનું મૂલ્ય શોધવા માટે, આપણે પાછલા બે પર પાછા આવીએ છીએ. ક્રમ સ્પષ્ટ કરવાની આ પદ્ધતિ કહેવામાં આવે છેઆવર્તક , થી લેટિન શબ્દપુનરાવર્તિત

- પાછા આવો.

મોનોટોનિક સિક્વન્સ, ખાસ કરીને, સિક્વન્સ વધી રહી છે અને સિક્વન્સ ઘટી રહી છે. એક સંખ્યાત્મક ક્રમ છે, જેનો દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, સમાન સંખ્યામાં ઉમેરવામાં આવેલા અગાઉના સભ્ય જેટલો છે.

નંબર પર બોલાવવામાં આવે છે અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત હકારાત્મક, નકારાત્મક અથવા શૂન્ય સમાન હોઈ શકે છે.

જો શીર્ષક ==d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} વધારો.

ઉદાહરણ તરીકે, 2; 5; 8; 11;...

જો , તો પછી અંકગણિત પ્રગતિનો દરેક શબ્દ પાછલા એક કરતા ઓછો છે, અને પ્રગતિ છે ઘટતું.

ઉદાહરણ તરીકે, 2; -1; -4; -7;...

જો , તો પછી પ્રગતિની બધી શરતો સમાન સંખ્યા જેટલી છે, અને પ્રગતિ છે સ્થિર.

ઉદાહરણ તરીકે, 2;2;2;2;...

અંકગણિત પ્રગતિની મુખ્ય મિલકત:

ચાલો ડ્રોઇંગ જોઈએ.

તે આપણે જોઈએ છીએ

, અને તે જ સમયે

આ બે સમાનતાઓ ઉમેરીને, આપણને મળે છે:

.

ચાલો સમાનતાની બંને બાજુઓને 2 વડે વિભાજીત કરીએ:

તેથી, અંકગણિત પ્રગતિના દરેક સભ્ય, બીજાથી શરૂ કરીને, બે પડોશી રાશિઓના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે:

વધુમાં, ત્યારથી

, અને તે જ સમયે

, તે

, અને તેથી

અંકગણિત પ્રગતિનો દરેક શબ્દ, શીર્ષક="k>l સાથે શરૂ થાય છે">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих. !}

મી શબ્દનું સૂત્ર.

આપણે જોઈએ છીએ કે અંકગણિત પ્રગતિની શરતો નીચેના સંબંધોને સંતોષે છે:

અને છેલ્લે

અમને મળ્યું nમી મુદતનું સૂત્ર.

મહત્વપૂર્ણ!અંકગણિત પ્રગતિના કોઈપણ સભ્ય અને દ્વારા વ્યક્ત કરી શકાય છે. પ્રથમ પદ અને અંકગણિત પ્રગતિના તફાવતને જાણીને, તમે તેના કોઈપણ પદો શોધી શકો છો.

અંકગણિતની પ્રગતિની n શરતોનો સરવાળો.

મનસ્વી અંકગણિત પ્રગતિમાં, આત્યંતિક રાશિઓથી સમાન અંતર ધરાવતા શબ્દોનો સરવાળો એકબીજા સાથે સમાન હોય છે:

n શરતો સાથે અંકગણિત પ્રગતિનો વિચાર કરો. આ પ્રગતિની n શરતોનો સરવાળો બરાબર થવા દો.

ચાલો પહેલા સંખ્યાઓના ચડતા ક્રમમાં અને પછી ઉતરતા ક્રમમાં પ્રગતિની શરતો ગોઠવીએ:

ચાલો જોડીમાં ઉમેરીએ:

દરેક કૌંસમાં સરવાળો છે, જોડીની સંખ્યા n છે.

અમને મળે છે:

a અંકગણિત પ્રગતિના n શબ્દોનો સરવાળો સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે:

ચાલો વિચાર કરીએ અંકગણિત પ્રગતિ સમસ્યાઓ ઉકેલવા.

1 . ક્રમ nth શબ્દના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: . સાબિત કરો કે આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

ચાલો સાબિત કરીએ કે અનુક્રમના બે સંલગ્ન પદો વચ્ચેનો તફાવત સમાન સંખ્યા જેટલો છે.

અમે જોયું કે અનુક્રમના બે સંલગ્ન સભ્યો વચ્ચેનો તફાવત તેમની સંખ્યા પર આધાર રાખતો નથી અને તે સ્થિર છે. તેથી, વ્યાખ્યા દ્વારા, આ ક્રમ એક અંકગણિત પ્રગતિ છે.

2 . એક અંકગણિત પ્રગતિ આપેલ -31; -27;...

a) પ્રગતિની 31 શરતો શોધો.

b) આ પ્રગતિમાં નંબર 41 સામેલ છે કે કેમ તે નક્કી કરો.

એ)આપણે તે જોઈએ છીએ;

ચાલો આપણી પ્રગતિ માટે nમી મુદત માટેનું સૂત્ર લખીએ.

સામાન્ય રીતે

અમારા કિસ્સામાં , એટલે જ

અમને મળે છે:

b)ધારો કે નંબર 41 એ ક્રમનો સભ્ય છે. ચાલો તેનો નંબર શોધીએ. આ કરવા માટે, ચાલો સમીકરણ હલ કરીએ:

અમને મળ્યું કુદરતી મૂલ્ય n, તેથી, હા, નંબર 41 એ પ્રગતિનો સભ્ય છે. જો n ની મળેલી કિંમત કુદરતી સંખ્યા ન હોત, તો અમે જવાબ આપીશું કે નંબર 41 પ્રગતિનો સભ્ય નથી.

3 . a) નંબરો 2 અને 8 ની વચ્ચે, 4 નંબરો દાખલ કરો જેથી તેઓ, આ સંખ્યાઓ સાથે, એક અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે.

b) પરિણામી પ્રગતિની શરતોનો સરવાળો શોધો.

એ)ચાલો નંબર 2 અને 8 ની વચ્ચે ચાર નંબરો દાખલ કરીએ:

અમને 6 સભ્યો સાથે અંકગણિતની પ્રગતિ મળી.

ચાલો આ પ્રગતિનો તફાવત શોધીએ. આ કરવા માટે, અમે nth શબ્દ માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:

હવે સંખ્યાઓનો અર્થ શોધવાનું સરળ છે:

3,2; 4,4; 5,6; 6,8

b)

જવાબ: a) હા; b) 30

4. આ ટ્રક 240 ટન વજનના કચડાયેલા પથ્થરનો ભાર વહન કરે છે, જે દરરોજ તેટલી જ સંખ્યામાં ટન દ્વારા પરિવહન દરમાં વધારો કરે છે. તે જાણીતું છે કે પ્રથમ દિવસે 2 ટન કચડી પથ્થરનું પરિવહન કરવામાં આવ્યું હતું. જો તમામ કામ 15 દિવસમાં પૂર્ણ થાય તો બારમા દિવસે કેટલા ટન કચડી પથ્થરનું પરિવહન કરવામાં આવ્યું તે નક્કી કરો.

સમસ્યાની સ્થિતિ અનુસાર, ટ્રક દ્વારા પરિવહન કરવામાં આવતા કચડાયેલા પથ્થરનો જથ્થો દરરોજ સમાન સંખ્યામાં વધે છે. તેથી, અમે અંકગણિત પ્રગતિ સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ.

ચાલો આ સમસ્યાને અંકગણિતની પ્રગતિના સંદર્ભમાં ઘડીએ.

પ્રથમ દિવસ દરમિયાન, 2 ટન કચડી પથ્થરનું પરિવહન કરવામાં આવ્યું હતું: a_1=2.

તમામ કામ 15 દિવસમાં પૂર્ણ કરવામાં આવ્યું હતું.

આ ટ્રક 240 ટન વજનના કચડાયેલા પથ્થરની બેચનું પરિવહન કરે છે:

આપણે શોધવાની જરૂર છે.

પ્રથમ, ચાલો પ્રગતિ તફાવત શોધીએ. ચાલો પ્રગતિની n શરતોના સરવાળા માટે સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ.

અમારા કિસ્સામાં:

સારું, મિત્રો, જો તમે આ લખાણ વાંચી રહ્યા છો, તો આંતરિક કેપ-પુરાવા મને કહે છે કે તમે હજી સુધી નથી જાણતા કે અંકગણિત પ્રગતિ શું છે, પરંતુ તમે ખરેખર (ના, આના જેવું: SOOOOO!) જાણવા માગો છો. તેથી, હું તમને લાંબા પરિચય સાથે ત્રાસ આપીશ નહીં અને સીધા મુદ્દા પર પહોંચીશ.

પ્રથમ, ઉદાહરણો એક દંપતિ. ચાલો સંખ્યાઓના કેટલાક સેટ જોઈએ:

• 1; 2; 3; 4; ...
• 15; 20; 25; 30; ...
• $\sqrt(2);\ 2\sqrt(2);\ 3\sqrt(2);...$

આ બધા સેટમાં શું સામ્ય છે? પ્રથમ નજરમાં, કંઈ નથી. પરંતુ વાસ્તવમાં કંઈક છે. જેમ કે: દરેક આગલું તત્વ અગાઉના એકથી સમાન સંખ્યા દ્વારા અલગ પડે છે.

તમારા માટે ન્યાયાધીશ. પ્રથમ સેટ ફક્ત સળંગ સંખ્યાઓ છે, દરેક આગળની સંખ્યા પાછલા એક કરતા વધુ છે. બીજા કિસ્સામાં, શ્રેણી વચ્ચેનો તફાવત સ્થાયી સંખ્યાઓપહેલાથી જ પાંચ બરાબર છે, પરંતુ આ તફાવત હજુ પણ સ્થિર છે. ત્રીજા કિસ્સામાં, ત્યાં કોઈ મૂળ નથી. જો કે, $2\sqrt(2)=\sqrt(2)+\sqrt(2)$, અને $3\sqrt(2)=2\sqrt(2)+\sqrt(2)$, એટલે કે. અને આ કિસ્સામાં, દરેક આગામી તત્વ ફક્ત $\sqrt(2)$ દ્વારા વધે છે (અને ડરશો નહીં કે આ સંખ્યા અતાર્કિક છે).

તેથી: આવા તમામ ક્રમને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે. ચાલો કડક વ્યાખ્યા આપીએ:

વ્યાખ્યા. સંખ્યાઓનો ક્રમ કે જેમાં દરેક આગલી સંખ્યા અગાઉના એકથી બરાબર સમાન રકમથી અલગ હોય તેને અંકગણિત પ્રગતિ કહેવાય છે. સંખ્યાઓ જે પ્રમાણમાં અલગ પડે છે તેને પ્રગતિ તફાવત કહેવામાં આવે છે અને મોટાભાગે $d$ અક્ષર દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે.

નોટેશન: $\left(((a)_(n)) \right)$ એ પોતે જ પ્રગતિ છે, $d$ તેનો તફાવત છે.

અને એક જ સમયે એક દંપતી મહત્વપૂર્ણ ટિપ્પણીઓ. પ્રથમ, પ્રગતિ માત્ર ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે આદેશ આપ્યોસંખ્યાઓનો ક્રમ: તેઓ જે ક્રમમાં લખ્યા છે તે પ્રમાણે તેમને સખત રીતે વાંચવાની મંજૂરી છે - અને બીજું કંઈ નહીં. સંખ્યાઓ ફરીથી ગોઠવી શકાતી નથી અથવા સ્વેપ કરી શકાતી નથી.

બીજું, ક્રમ પોતે મર્યાદિત અથવા અનંત હોઈ શકે છે. ઉદાહરણ તરીકે, સમૂહ (1; 2; 3) દેખીતી રીતે મર્યાદિત અંકગણિત પ્રગતિ છે. પરંતુ જો તમે ભાવનામાં કંઈક લખો છો (1; 2; 3; 4; ...) - આ પહેલેથી જ એક અનંત પ્રગતિ છે. ચાર પછીના અંડાકાર સંકેત આપે છે કે હજુ પણ થોડા વધુ નંબરો આવવાના છે. અનંત ઘણા, ઉદાહરણ તરીકે :)

હું એ પણ નોંધવા માંગુ છું કે પ્રગતિઓ વધી અથવા ઘટી શકે છે. આપણે પહેલેથી જ વધતા જતા જોયા છે - સમાન સમૂહ (1; 2; 3; 4; ...). અહીં ઘટતી પ્રગતિના ઉદાહરણો છે:

• 49; 41; 33; 25; 17; ...
• 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
• $\sqrt(5);\ \sqrt(5)-1;\ \sqrt(5)-2;\ \sqrt(5)-3;...$

ઠીક છે, ઠીક છે: છેલ્લું ઉદાહરણવધુ પડતી જટિલ લાગી શકે છે. પરંતુ બાકીનું, મને લાગે છે, તમે સમજો છો. તેથી, અમે નવી વ્યાખ્યાઓ રજૂ કરીએ છીએ:

વ્યાખ્યા. અંકગણિત પ્રગતિ કહેવામાં આવે છે:

1. જો દરેક આગલું તત્વ પાછલા એક કરતા વધારે હોય તો વધારો;
2. ઘટે છે, જો તેનાથી વિપરિત, દરેક અનુગામી તત્વ પાછલા એક કરતા ઓછું હોય.

વધુમાં, ત્યાં કહેવાતા "સ્થિર" સિક્વન્સ છે - તે સમાન પુનરાવર્તિત સંખ્યા ધરાવે છે. ઉદાહરણ તરીકે, (3; 3; 3; ...).

માત્ર એક જ પ્રશ્ન રહે છે: વધતી જતી પ્રગતિને ઘટતી પ્રગતિથી કેવી રીતે અલગ કરવી? સદભાગ્યે, અહીં બધું ફક્ત $d$ નંબરના ચિહ્ન પર આધારિત છે, એટલે કે. પ્રગતિ તફાવતો:

1. જો $d \gt 0$, તો પ્રગતિ વધે છે;
2. જો $d \lt 0$, તો પછી પ્રગતિ દેખીતી રીતે ઘટી રહી છે;
3. અંતે, કેસ $d=0$ છે - આ કિસ્સામાં સમગ્ર પ્રગતિ સ્થિર ક્રમમાં ઘટાડી દેવામાં આવે છે સમાન સંખ્યાઓ: (1; 1; 1; 1; ...), વગેરે.

ચાલો ઉપર આપેલ ત્રણ ઘટતી પ્રગતિ માટે $d$ તફાવતની ગણતરી કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. આ કરવા માટે, કોઈપણ બે અડીને તત્વો (ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમ અને બીજું) લેવા અને જમણી બાજુની સંખ્યામાંથી ડાબી બાજુની સંખ્યાને બાદ કરવા માટે તે પૂરતું છે. તે આના જેવો દેખાશે:

• 41−49=−8;
• 12−17,5=−5,5;
• $\sqrt(5)-1-\sqrt(5)=-1$.

જેમ આપણે જોઈએ છીએ, બધામાં ત્રણ કેસતફાવત ખરેખર નકારાત્મક હોવાનું બહાર આવ્યું છે. અને હવે જ્યારે આપણે વધુ કે ઓછી વ્યાખ્યાઓ શોધી કાઢી છે, ત્યારે તે સમજવાનો સમય છે કે પ્રગતિ કેવી રીતે વર્ણવવામાં આવે છે અને તેમની પાસે શું ગુણધર્મો છે.

પ્રગતિની શરતો અને પુનરાવૃત્તિ સૂત્ર

અમારા સિક્વન્સના ઘટકોને સ્વેપ કરી શકાતા નથી, તેથી તેઓને ક્રમાંકિત કરી શકાય છે:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( ((a)_(1)),\ ((a)_(2)),((a)_(3) )),... \right\)\]

આ સમૂહના વ્યક્તિગત ઘટકોને પ્રગતિના સભ્યો કહેવામાં આવે છે. તેઓ સંખ્યા દ્વારા સૂચવવામાં આવે છે: પ્રથમ સભ્ય, બીજા સભ્ય, વગેરે.

વધુમાં, જેમ આપણે પહેલાથી જ જાણીએ છીએ, પ્રગતિની પડોશી શરતો સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે:

\[((a)_(n))-((a)_(n-1))=d\Rightarrow ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d \]

ટૂંકમાં, પ્રગતિના $n$th શબ્દને શોધવા માટે, તમારે $n-1$th શબ્દ અને $d$નો તફાવત જાણવાની જરૂર છે. આ સૂત્રને આવર્તક કહેવામાં આવે છે, કારણ કે તેની સહાયથી તમે કોઈપણ સંખ્યાને ફક્ત અગાઉના (અને હકીકતમાં, અગાઉના બધા) જાણીને શોધી શકો છો. આ ખૂબ જ અસુવિધાજનક છે, તેથી ત્યાં વધુ ઘડાયેલું સૂત્ર છે જે કોઈપણ ગણતરીઓને પ્રથમ ટર્મ અને તફાવતમાં ઘટાડે છે:

\[(a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \જમણે)d\]

તમે કદાચ પહેલાથી જ આ ફોર્મ્યુલામાં આવ્યા છો. તેઓ તેને તમામ પ્રકારના સંદર્ભ પુસ્તકો અને ઉકેલ પુસ્તકોમાં આપવાનું પસંદ કરે છે. અને કોઈપણ સમજદાર ગણિતના પાઠ્યપુસ્તકમાં તે પ્રથમમાંનું એક છે.

જો કે, હું તમને થોડી પ્રેક્ટિસ કરવાની સલાહ આપું છું.

કાર્ય નંબર 1. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદો લખો $\left(((a)_(n)) \right)$ જો $((a)_(1))=8,d=-5$.

ઉકેલ. તેથી, અમે પ્રથમ શબ્દ $((a)_(1))=8$ અને પ્રગતિ $d=-5$નો તફાવત જાણીએ છીએ. ચાલો હમણાં આપેલ ફોર્મ્યુલાનો ઉપયોગ કરીએ અને $n=1$, $n=2$ અને $n=3$ ને બદલીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)d; \\ & ((a)_(1))=((a)_(1))+\left(1-1 \right)d=((a)_(1))=8; \\ & ((a)_(2))=((a)_(1))+\left(2-1 \right)d=((a)_(1))+d=8-5= 3; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+\left(3-1 \right)d=((a)_(1))+2d=8-10= -2. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જવાબ: (8; 3; −2)

બસ! મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: અમારી પ્રગતિ ઘટી રહી છે.

અલબત્ત, $n=1$ બદલી શકાયું નથી - પ્રથમ શબ્દ અમને પહેલેથી જ જાણીતો છે. જો કે, એકતાને બદલીને, અમને ખાતરી થઈ કે પ્રથમ ટર્મ માટે પણ અમારી ફોર્મ્યુલા કામ કરે છે. અન્ય કિસ્સાઓમાં, બધું મામૂલી અંકગણિત પર નીચે આવ્યું.

કાર્ય નંબર 2. અંકગણિત પ્રગતિના પ્રથમ ત્રણ પદો લખો જો તેનું સાતમું પદ −40 ની બરાબર હોય અને તેની સત્તરમી પદ −50 ની બરાબર હોય.

ઉકેલ. ચાલો સમસ્યાની સ્થિતિને પરિચિત શબ્દોમાં લખીએ:

\[(a)_(7))=-40;\quad ((a)_(17))=-50.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(7))=((a)_(1))+6d \\ & ((a)_(17))=((a) _(1))+16d \\ \end(સંરેખિત કરો) \જમણે.\]

\[\left\( \begin(align) & ((a)_(1))+6d=-40 \\ & ((a)_(1))+16d=-50 \\ \end(સંરેખિત કરો) \અધિકાર.\]

મેં સિસ્ટમ ચિહ્ન મૂક્યું કારણ કે આ આવશ્યકતાઓ એકસાથે મળવી આવશ્યક છે. હવે ચાલો નોંધ લઈએ કે જો આપણે બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ બાદ કરીએ (આપણી પાસે સિસ્ટમ હોવાથી આ કરવાનો અધિકાર છે), તો આપણને આ મળશે:

\[\begin(align) & ((a)_(1))+16d-\left(((a)_(1))+6d \right)=-50-\left(-40 \right); \\ & ((a)_(1))+16d-((a)_(1))-6d=-50+40; \\&10d=-10; \\&d=-1. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પ્રગતિના તફાવતને શોધવાનું તે કેટલું સરળ છે! જે બાકી છે તે સિસ્ટમના કોઈપણ સમીકરણોમાં મળેલ સંખ્યાને બદલવાનું છે. ઉદાહરણ તરીકે, પ્રથમમાં:

\[\begin(મેટ્રિક્સ) ((a)_(1))+6d=-40;\quad d=-1 \\ \Downarrow \\ ((a)_(1))-6=-40; \\ ((a)_(1))=-40+6=-34. \\ \end(મેટ્રિક્સ)\]

હવે, પ્રથમ શબ્દ અને તફાવતને જાણીને, બીજા અને ત્રીજા શબ્દો શોધવાનું બાકી છે:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=-34-1=-35; \\ & ((a)_(3))=((a)_(1))+2d=-34-2=-36. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તૈયાર! સમસ્યા હલ થાય છે.

જવાબ: (−34; −35; −36)

અમે શોધેલી પ્રગતિના રસપ્રદ ગુણધર્મ પર ધ્યાન આપો: જો આપણે $n$th અને $m$th શબ્દો લઈએ અને તેમને એકબીજામાંથી બાદ કરીએ, તો આપણને $n-m$ સંખ્યા વડે ગુણાકાર કરીને પ્રગતિનો તફાવત મળે છે:

\[(a)_(n))-((a)_(m))=d\cdot \left(n-m \right)\]

સરળ પરંતુ ખૂબ જ ઉપયોગી મિલકત, જે તમારે ચોક્કસપણે જાણવાની જરૂર છે - તેની સહાયથી તમે ઘણી પ્રગતિ સમસ્યાઓના ઉકેલને નોંધપાત્ર રીતે ઝડપી કરી શકો છો. અહીં આનું સ્પષ્ટ ઉદાહરણ છે:

કાર્ય નંબર 3. અંકગણિત પ્રગતિની પાંચમી અવધિ 8.4 છે, અને તેની દસમી પદ 14.4 છે. આ પ્રગતિની પંદરમી મુદત શોધો.

ઉકેલ. $((a)_(5))=8.4$, $((a)_(10))=14.4$, અને અમારે $((a)_(15))$ શોધવાની જરૂર હોવાથી, અમે નીચેની નોંધ કરીએ છીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-((a)_(10))=5d; \\ & ((a)_(10))-((a)_(5))=5d. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

પરંતુ શરત દ્વારા $((a)_(10))-((a)_(5))=14.4-8.4=6$, તેથી $5d=6$, જેમાંથી અમારી પાસે છે:

\[\begin(align) & ((a)_(15))-14,4=6; \\ & ((a)_(15))=6+14.4=20.4. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જવાબ: 20.4

બસ! અમારે સમીકરણોની કોઈપણ પ્રણાલી બનાવવાની અને પ્રથમ પદ અને તફાવતની ગણતરી કરવાની જરૂર નહોતી - બધું માત્ર બે લીટીઓમાં ઉકેલાઈ ગયું હતું.

હવે ચાલો બીજા પ્રકારની સમસ્યા જોઈએ - પ્રગતિના નકારાત્મક અને હકારાત્મક શબ્દોની શોધ. તે કોઈ રહસ્ય નથી કે જો પ્રગતિ વધે છે, અને તેની પ્રથમ મુદત નકારાત્મક છે, તો વહેલા અથવા પછીના હકારાત્મક શબ્દો તેમાં દેખાશે. અને ઊલટું: ઘટતી પ્રગતિની શરતો વહેલા કે પછી નકારાત્મક બની જશે.

તે જ સમયે, તત્વોમાંથી ક્રમિક રીતે જઈને આ ક્ષણને "હેડ-ઓન" શોધવાનું હંમેશા શક્ય નથી. ઘણીવાર, સમસ્યાઓ એવી રીતે લખવામાં આવે છે કે સૂત્રોને જાણ્યા વિના, ગણતરીઓ કાગળની ઘણી શીટ્સ લે છે - જ્યારે અમને જવાબ મળે ત્યારે અમે ખાલી ઊંઘી જઈએ છીએ. તેથી, ચાલો આ સમસ્યાઓને ઝડપી રીતે હલ કરવાનો પ્રયાસ કરીએ.

કાર્ય નંબર 4. અંકગણિત પ્રગતિમાં કેટલા નકારાત્મક શબ્દો છે −38.5; −35.8; ...?

ઉકેલ. તેથી, $((a)_(1))=-38.5$, $((a)_(2))=-35.8$, જ્યાંથી આપણે તરત જ તફાવત શોધીએ છીએ:

નોંધ કરો કે તફાવત હકારાત્મક છે, તેથી પ્રગતિ વધે છે. પ્રથમ શબ્દ નકારાત્મક છે, તેથી ખરેખર અમુક સમયે આપણે હકારાત્મક સંખ્યાઓ પર ઠોકર ખાઈશું. આ ક્યારે થશે તે એક જ પ્રશ્ન છે.

ચાલો એ શોધવાનો પ્રયત્ન કરીએ કે કેટલા સમય સુધી (એટલે ​​કે કઈ કુદરતી સંખ્યા $n$ સુધી) શરતોની નકારાત્મકતા રહે છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n)) \lt 0\Rightarrow ((a)_(1))+\left(n-1 \right)d \lt 0; \\ & -38.5+\left(n-1 \right)\cdot 2.7 \lt 0;\quad \left| \cdot 10 \right. \\ & -385+27\cdot \left(n-1 \right) \lt 0; \\ & -385+27n-27 \lt 0; \\ & 27n \lt 412; \\ & n \lt 15\frac(7)(27)\Rightarrow ((n)_(\max ))=15. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

છેલ્લી પંક્તિ થોડી સમજૂતીની જરૂર છે. તેથી આપણે જાણીએ છીએ કે $n \lt 15\frac(7)(27)$. બીજી બાજુ, અમે સંખ્યાના માત્ર પૂર્ણાંક મૂલ્યોથી સંતુષ્ટ છીએ (વધુમાં: $n\in \mathbb(N)$), તેથી સૌથી મોટી અનુમતિપાત્ર સંખ્યા ચોક્કસપણે $n=15$ છે, અને કોઈ પણ સંજોગોમાં 16 નથી .

કાર્ય નંબર 5. અંકગણિત પ્રગતિમાં $(()_(5))=-150,(()_(6))=-147$. આ પ્રગતિના પ્રથમ હકારાત્મક પદની સંખ્યા શોધો.

આ બરાબર અગાઉની સમસ્યા જેવી જ હશે, પરંતુ અમે $((a)_(1))$ જાણતા નથી. પરંતુ પડોશી શબ્દો જાણીતા છે: $((a)_(5))$ અને $((a)_(6))$, જેથી આપણે પ્રગતિનો તફાવત સરળતાથી શોધી શકીએ:

વધુમાં, ચાલો પ્રમાણભૂત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને પ્રથમ અને તફાવત દ્વારા પાંચમા શબ્દને વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=((a)_(1))+\left(n-1 \right)\cdot d; \\ & ((a)_(5))=((a)_(1))+4d; \\ & -150=((a)_(1))+4\cdot 3; \\ & ((a)_(1))=-150-12=-162. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

હવે આપણે સામ્યતા દ્વારા આગળ વધીએ છીએ અગાઉનું કાર્ય. ચાલો જોઈએ કે આપણા ક્રમમાં કયા બિંદુએ હકારાત્મક સંખ્યાઓ દેખાશે:

\[\begin(align) & ((a)_(n))=-162+\left(n-1 \right)\cdot 3 \gt 0; \\ & -162+3n-3 \gt 0; \\ & 3n \gt 165; \\ & n \gt 55\Rightarrow ((n)_(\min ))=56. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ન્યૂનતમ પૂર્ણાંક ઉકેલ આ અસમાનતા- નંબર 56.

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: છેલ્લા કાર્યમાં તે બધું નીચે આવ્યું કડક અસમાનતા, તેથી $n=55$ વિકલ્પ અમને અનુકૂળ નહિ આવે.

હવે જ્યારે આપણે સરળ સમસ્યાઓનું નિરાકરણ કેવી રીતે કરવું તે શીખ્યા, ચાલો વધુ જટિલ મુદ્દાઓ તરફ આગળ વધીએ. પરંતુ પ્રથમ, ચાલો અંકગણિત પ્રગતિની બીજી ખૂબ જ ઉપયોગી મિલકતનો અભ્યાસ કરીએ, જે ભવિષ્યમાં આપણને ઘણો સમય અને અસમાન કોષો બચાવશે :)

અંકગણિત સરેરાશ અને સમાન ઇન્ડેન્ટેશન

ચાલો અંકગણિતની વધતી જતી પ્રગતિના કેટલાક સળંગ પદોને ધ્યાનમાં લઈએ $\left(((a)_(n)) \right)$. ચાલો તેમને નંબર લાઇન પર ચિહ્નિત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ:

મેં ખાસ કરીને મનસ્વી શબ્દો $((a)_(n-3)),...,((a)_(n+3))$ ચિહ્નિત કર્યા છે, અને કેટલાક $((a)_(1)) ,\ ((a)_(2)),\ ((a)_(3))$, વગેરે. કારણ કે હવે હું તમને જે નિયમ વિશે કહીશ તે કોઈપણ "સેગમેન્ટ્સ" માટે સમાન કાર્ય કરે છે.

અને નિયમ ખૂબ જ સરળ છે. ચાલો આવર્તક સૂત્રને યાદ રાખીએ અને તેને તમામ ચિહ્નિત શબ્દો માટે લખીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(n-2))=((a)_(n-3))+d; \\ & ((a)_(n-1))=((a)_(n-2))+d; \\ & ((a)_(n))=((a)_(n-1))+d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n+1))+d; \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

જો કે, આ સમાનતાને અલગ રીતે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n-1))=((a)_(n))-d; \\ & ((a)_(n-2))=((a)_(n))-2d; \\ & ((a)_(n-3))=((a)_(n))-3d; \\ & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(n+3))=((a)_(n))+3d; \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તો શું? અને હકીકત એ છે કે $((a)_(n-1))$ અને $((a)_(n+1))$ $((a)_(n)) $ થી સમાન અંતરે આવેલા છે. . અને આ અંતર $d$ જેટલું છે. આ જ શબ્દો $((a)_(n-2))$ અને $((a)_(n+2))$ વિશે કહી શકાય - તે $((a)_(n) માંથી પણ દૂર કરવામાં આવ્યા છે. )$ સમાન અંતરે $2d$. અમે જાહેરાત અનંત ચાલુ રાખી શકીએ છીએ, પરંતુ અર્થ ચિત્ર દ્વારા સારી રીતે દર્શાવવામાં આવ્યો છે

આ આપણા માટે શું અર્થ છે? આનો અર્થ એ છે કે જો પડોશી સંખ્યાઓ જાણીતી હોય તો $((a)_(n))$ શોધી શકાય છે:

\[(a)_(n))=\frac(((a)_(n-1))+((a)_(n+1)))(2)\]

અમે એક ઉત્તમ વિધાન મેળવ્યું છે: અંકગણિત પ્રગતિના દરેક પદ તેના પડોશી પદોના અંકગણિત સરેરાશ સમાન છે! વધુમાં: અમે અમારા $((a)_(n))$ થી ડાબી અને જમણી તરફ એક ડગલાથી નહીં, પરંતુ $k$ પગલાંથી પાછળ જઈ શકીએ છીએ - અને સૂત્ર હજુ પણ સાચું રહેશે:

\[((a)_(n))=\frac(((a)_(n-k))+((a)_(n+k)))(2)\]

તે. જો આપણે $((a)_(100))$ અને $((a)_(200))$ જાણીએ તો અમે કેટલાક $((a)_(150))$ સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ, કારણ કે $((a)_ (150))=\frac(((a)_(100))+((a)_(200)))(2)$. પ્રથમ નજરમાં, એવું લાગે છે કે આ હકીકત આપણને કંઈપણ ઉપયોગી આપતી નથી. જો કે, વ્યવહારમાં, ઘણી સમસ્યાઓ ખાસ કરીને અંકગણિત સરેરાશનો ઉપયોગ કરવા માટે તૈયાર કરવામાં આવે છે. એક નજર નાખો:

કાર્ય નંબર 6. $x$ ના તમામ મૂલ્યો શોધો કે જેના માટે $-6((x)^(2))$, $x+1$ અને $14+4((x)^(2))$ ની સળંગ શરતો છે એક અંકગણિત પ્રગતિ (દશાવેલ ક્રમમાં).

ઉકેલ. ત્યારથી ઉલ્લેખિત નંબરોપ્રગતિના સભ્યો છે, તેમના માટે અંકગણિત સરેરાશ સ્થિતિ સંતુષ્ટ છે: કેન્દ્રિય તત્વ$x+1$ ને પડોશી તત્વોના સંદર્ભમાં વ્યક્ત કરી શકાય છે:

\[\begin(align) & x+1=\frac(-6((x)^(2))+14+4((x)^(2)))(2); \\ & x+1=\frac(14-2((x)^(2)))(2); \\ & x+1=7-(x)^(2)); \\ & ((x)^(2))+x-6=0. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તે ક્લાસિક બહાર આવ્યું ચતુર્ભુજ સમીકરણ. તેના મૂળ: $x=2$ અને $x=-3$ જવાબો છે.

જવાબ: -3; 2.

કાર્ય નંબર 7. $$ ના મૂલ્યો શોધો જેના માટે $-1;4-3;()^(2))+1$ અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે (તે ક્રમમાં).

ઉકેલ. ચાલો પડોશી શબ્દોના અંકગણિત માધ્યમ દ્વારા મધ્યમ પદને ફરીથી વ્યક્ત કરીએ:

\[\begin(align) & 4x-3=\frac(x-1+(x)^(2))+1)(2); \\ & 4x-3=\frac(((x)^(2))+x)(2);\quad \left| \cdot 2 \right.; \\ & 8x-6=(x)^(2))+x; \\ & ((x)^(2))-7x+6=0. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ફરીથી ચતુર્ભુજ સમીકરણ. અને ફરીથી ત્યાં બે મૂળ છે: $x=6$ અને $x=1$.

જવાબ: 1; 6.

જો કોઈ સમસ્યા હલ કરવાની પ્રક્રિયામાં તમે કેટલાક ક્રૂર નંબરો સાથે આવો છો, અથવા તમને મળેલા જવાબોની સાચીતા વિશે સંપૂર્ણ ખાતરી નથી, તો એક અદ્ભુત તકનીક છે જે તમને તપાસવાની મંજૂરી આપે છે: શું અમે સમસ્યાનો યોગ્ય રીતે ઉકેલ લાવી દીધો છે?

ચાલો કહીએ કે સમસ્યા નંબર 6 માં અમને −3 અને 2 જવાબો મળ્યા છે. અમે કેવી રીતે ચકાસી શકીએ કે આ જવાબો સાચા છે? ચાલો તેમને મૂળ સ્થિતિમાં પ્લગ કરીએ અને જોઈએ કે શું થાય છે. હું તમને યાદ અપાવી દઉં કે અમારી પાસે ત્રણ સંખ્યાઓ છે ($-6(()^(2))$, $+1$ અને $14+4(()^(2))$), જે અંકગણિત પ્રગતિ બનાવવી જોઈએ. ચાલો $x=-3$ ને બદલીએ:

\[\begin(align) & x=-3\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-54; \\ & x+1=-2; \\ & 14+4((x)^(2))=50. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

અમને −54 નંબરો મળ્યા; −2; 50 જે 52 થી ભિન્ન છે તે નિઃશંકપણે અંકગણિતની પ્રગતિ છે. આ જ વસ્તુ $x=2$ માટે થાય છે:

\[\begin(align) & x=2\Rightarrow \\ & -6((x)^(2))=-24; \\ & x+1=3; \\ & 14+4((x)^(2))=30. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ફરી એક પ્રગતિ, પરંતુ 27 ના તફાવત સાથે. આમ, સમસ્યા યોગ્ય રીતે હલ થઈ. જેઓ ઈચ્છે છે તેઓ બીજી સમસ્યા જાતે તપાસી શકે છે, પરંતુ હું તરત જ કહીશ: ત્યાં પણ બધું બરાબર છે.

એકંદરે, નક્કી નવીનતમ કાર્યો, અમે બીજા એક સાથે આવ્યા રસપ્રદ હકીકત, જેને પણ યાદ રાખવાની જરૂર છે:

જો ત્રણ સંખ્યા એવી હોય કે બીજી મધ્યમ હોય પ્રથમ અંકગણિતઅને છેલ્લે, પછી આ સંખ્યાઓ અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે.

ભવિષ્યમાં, આ નિવેદનને સમજવાથી આપણને શાબ્દિક રીતે "ડિઝાઇન" કરવાની મંજૂરી મળશે. જરૂરી પ્રગતિ, સમસ્યાની પરિસ્થિતિઓના આધારે. પરંતુ આપણે આવા "બાંધકામ" માં જોડાતા પહેલા, આપણે એક વધુ હકીકત પર ધ્યાન આપવું જોઈએ, જે પહેલાથી જ ચર્ચા કરવામાં આવી છે તેના પરથી સીધું અનુસરે છે.

તત્વોનું જૂથીકરણ અને સારાંશ

ચાલો પર પાછા જઈએ સંખ્યા અક્ષ. ચાલો આપણે ત્યાં પ્રગતિના કેટલાક સભ્યોની નોંધ લઈએ, જે વચ્ચે, કદાચ. અન્ય ઘણા સભ્યો માટે મૂલ્યવાન છે:

ચાલો "ડાબી પૂંછડી" ને $((a)_(n))$ અને $d$ દ્વારા અને "જમણી પૂંછડી" ને $((a)_(k))$ અને $d$ દ્વારા વ્યક્ત કરવાનો પ્રયાસ કરીએ. તે ખૂબ જ સરળ છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n+1))=((a)_(n))+d; \\ & ((a)_(n+2))=((a)_(n))+2d; \\ & ((a)_(k-1))=((a)_(k))-d; \\ & ((a)_(k-2))=((a)_(k))-2d. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

હવે નોંધ લો કે નીચેની રકમ સમાન છે:

\[\begin(align) & ((a)_(n))+((a)_(k))=S; \\ & ((a)_(n+1))+((a)_(k-1))=((a)_(n))+d+((a)_(k))-d= એસ; \\ & ((a)_(n+2))+((a)_(k-2))=((a)_(n))+2d+((a)_(k))-2d= એસ. \અંત(સંરેખિત કરો)\]

સરળ શબ્દોમાં કહીએ તો, જો આપણે પ્રગતિના બે ઘટકોને શરૂઆત તરીકે ધ્યાનમાં લઈએ, જે કુલ મળીને અમુક સંખ્યા $S$ જેટલી હોય છે, અને પછી આ તત્વોમાંથી આગળ વધવાનું શરૂ કરીએ છીએ. વિરુદ્ધ બાજુઓ(એકબીજા તરફ અથવા તેનાથી વિપરિત દૂર જવા માટે), પછી જે તત્વો પર આપણે ઠોકર ખાઈશું તેનો સરવાળો પણ સમાન હશે$S$. આ સૌથી સ્પષ્ટ રીતે ગ્રાફિકલી રજૂ કરી શકાય છે:

સમજણ આ હકીકતઅમને મૂળભૂત રીતે વધુ સમસ્યાઓ હલ કરવા દેશે ઉચ્ચ સ્તરઆપણે ઉપર વિચાર્યા કરતાં મુશ્કેલીઓ. ઉદાહરણ તરીકે, આ:

કાર્ય નંબર 8. અંકગણિત પ્રગતિનો તફાવત નક્કી કરો જેમાં પ્રથમ પદ 66 છે, અને બીજા અને બારમા પદનો ગુણાંક શક્ય તેટલો નાનો છે.

ઉકેલ. ચાલો આપણે જે જાણીએ છીએ તે બધું લખીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=66; \\&d=? \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\min . \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તેથી, અમે પ્રગતિ તફાવત $d$ જાણતા નથી. વાસ્તવમાં, સમગ્ર સોલ્યુશન તફાવતની આસપાસ બનાવવામાં આવશે, કારણ કે ઉત્પાદન $((a)_(2))\cdot ((a)_(12))$ ને નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(align) & ((a)_(2))=((a)_(1))+d=66+d; \\ & ((a)_(12))=((a)_(1))+11d=66+11d; \\ & ((a)_(2))\cdot ((a)_(12))=\left(66+d \right)\cdot \left(66+11d \right)= \\ & =11 \cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \જમણે). \અંત(સંરેખિત કરો)\]

ટાંકીમાં રહેલા લોકો માટે: મેં તેને બહાર કાઢ્યું સામાન્ય ગુણકબીજા કૌંસમાંથી 11. આમ, જરૂરી ઉત્પાદન એ ચલ $d$ના સંદર્ભમાં એક ચતુર્ભુજ કાર્ય છે. તેથી, $f\left(d \right)=11\left(d+66 \right)\left(d+6 \right)$ ને ધ્યાનમાં લો - તેનો આલેખ ઉપરની શાખાઓ સાથેનો પેરાબોલા હશે, કારણ કે જો આપણે કૌંસને વિસ્તૃત કરીએ, તો આપણને મળશે:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=11\left(((d)^(2))+66d+6d+66\cdot 6 \right)= \\ & =11(( d)^(2))+11\cdot 72d+11\cdot 66\cdot 6 \end(align)\]

જેમ તમે જોઈ શકો છો, ઉચ્ચતમ પદનો ગુણાંક 11 છે - આ છે હકારાત્મક સંખ્યા, તેથી અમે ખરેખર શાખાઓ સાથે પેરાબોલા સાથે કામ કરી રહ્યા છીએ:

સમયપત્રક ચતુર્ભુજ કાર્ય- પેરાબોલા

મહેરબાની કરીને નોંધ કરો: ન્યૂનતમ મૂલ્યઆ પેરાબોલા તેના શિરોબિંદુ પર એબ્સીસા સાથે $((d)_(0))$ લે છે. અલબત્ત, અમે સ્ટાન્ડર્ડ સ્કીમનો ઉપયોગ કરીને આ એબ્સીસાની ગણતરી કરી શકીએ છીએ (ત્યાં સૂત્ર $((d)_(0))=(-b)/(2a)\;$ છે), પરંતુ તે નોંધવું વધુ વ્યાજબી હશે કે ઇચ્છિત શિરોબિંદુ પેરાબોલાના ધરીની સમપ્રમાણતા પર આવેલું છે, તેથી બિંદુ $((d)_(0))$ સમીકરણ $f\left(d \right)=0$ ના મૂળથી સમાન છે:

\[\begin(align) & f\left(d \right)=0; \\ & 11\cdot \left(d+66 \right)\cdot \left(d+6 \right)=0; \\ & ((d)_(1))=-66;\quad ((d)_(2))=-6. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

તેથી જ મને કૌંસ ખોલવાની કોઈ ખાસ ઉતાવળ નહોતી: તેમના મૂળ સ્વરૂપમાં, મૂળ શોધવામાં ખૂબ જ સરળ હતા. તેથી, abscissa સરેરાશ સમાન છે અંકગણિત સંખ્યાઓ−66 અને −6:

\[(d)_(0))=\frac(-66-6)(2)=-36\]

શોધાયેલ નંબર આપણને શું આપે છે? તેની સાથે, જરૂરી ઉત્પાદન લે છે સૌથી નાનું મૂલ્ય(માર્ગ દ્વારા, અમે ક્યારેય $((y)_(\min ))$ ની ગણતરી કરી નથી - આ અમારા માટે જરૂરી નથી). તે જ સમયે, આ સંખ્યા મૂળ પ્રગતિનો તફાવત છે, એટલે કે. અમને જવાબ મળ્યો :)

જવાબ: -36

કાર્ય નંબર 9. $-\frac(1)(2)$ અને $-\frac(1)(6)$ વચ્ચે ત્રણ સંખ્યાઓ દાખલ કરો જેથી આ સંખ્યાઓ સાથે મળીને તેઓ અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે.

ઉકેલ. આવશ્યકપણે, આપણે પ્રથમ અને સાથે પાંચ સંખ્યાઓનો ક્રમ બનાવવાની જરૂર છે છેલ્લો નંબરપહેલેથી જ જાણીતું છે. ચાલો ખૂટતી સંખ્યાઓને $x$, $y$ અને $z$ દ્વારા દર્શાવીએ:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( -\frac(1)(2);x;y;z;-\frac(1)(6) \right\ )\]

નોંધ કરો કે $y$ એ આપણા ક્રમનો "મધ્યમ" છે - તે $x$ અને $z$, અને $-\frac(1)(2)$ અને $-\frac નંબરોથી સમાન છે (1)(6)$. અને જો $x$ અને $z$ નંબરોમાંથી આપણે અંદર છીએ આ ક્ષણેઅમે $y$ મેળવી શકતા નથી, પછી પ્રગતિના અંત સાથે પરિસ્થિતિ અલગ છે. ચાલો અંકગણિતનો અર્થ યાદ કરીએ:

હવે, $y$ જાણીને, આપણે બાકીની સંખ્યાઓ શોધીશું. નોંધ કરો કે $x$ એ $-\frac(1)(2)$ અને $y=-\frac(1)(3)$ અમે હમણાં જ શોધેલા નંબરો વચ્ચે આવેલું છે. તેથી જ

સમાન તર્કનો ઉપયોગ કરીને, આપણે બાકીની સંખ્યા શોધીએ છીએ:

તૈયાર! અમને ત્રણેય નંબરો મળ્યા. ચાલો તેમને જવાબમાં મૂળ સંખ્યાઓ વચ્ચે જે ક્રમમાં દાખલ કરવા જોઈએ તે ક્રમમાં લખીએ.

જવાબ: $-\frac(5)(12);\ -\frac(1)(3);\ -\frac(1)(4)$

કાર્ય નંબર 10. નંબરો 2 અને 42 ની વચ્ચે, ઘણી સંખ્યાઓ દાખલ કરો જે, આ સંખ્યાઓ સાથે મળીને, એક અંકગણિત પ્રગતિ બનાવે છે, જો તમે જાણો છો કે દાખલ કરેલ સંખ્યાઓમાંથી પ્રથમ, બીજા અને છેલ્લાનો સરવાળો 56 છે.

ઉકેલ. પણ વધુ મુશ્કેલ કાર્ય, જે, જો કે, અગાઉના લોકો જેવી જ યોજના અનુસાર ઉકેલવામાં આવે છે - અંકગણિત સરેરાશ દ્વારા. સમસ્યા એ છે કે આપણે બરાબર જાણતા નથી કે કેટલા નંબરો નાખવાની જરૂર છે. તેથી, ચાલો નિશ્ચિતતા માટે માની લઈએ કે બધું દાખલ કર્યા પછી બરાબર $n$ સંખ્યાઓ હશે, અને તેમાંથી પ્રથમ 2 છે, અને છેલ્લો 42 છે. આ કિસ્સામાં, જરૂરી અંકગણિત પ્રગતિ ફોર્મમાં રજૂ કરી શકાય છે:

\[\left(((a)_(n)) \right)=\left\( 2;((a)_(2));((a)_(3));...;(( a)_(n-1));42 \right\)\]

\[(a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56\]

જો કે, નોંધ કરો કે $((a)_(2))$ અને $((a)_(n-1))$ એ અંકો 2 અને 42 માંથી કિનારે એક બીજા તરફ એક પગથિયાંથી મેળવવામાં આવે છે, એટલે કે ક્રમના કેન્દ્રમાં. અને આનો અર્થ એ છે કે

\[(a)_(2))+((a)_(n-1))=2+42=44\]

પરંતુ પછી ઉપર લખેલ અભિવ્યક્તિ નીચે પ્રમાણે ફરીથી લખી શકાય છે:

\[\begin(સંરેખિત કરો) & ((a)_(2))+((a)_(3))+((a)_(n-1))=56; \\ & \left(((a)_(2))+((a)_(n-1)) \right)+((a)_(3))=56; \\ & 44+((a)_(3))=56; \\ & ((a)_(3))=56-44=12. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

$((a)_(3))$ અને $((a)_(1))$ ને જાણીને, આપણે પ્રગતિનો તફાવત સરળતાથી શોધી શકીએ છીએ:

\[\begin(align) & ((a)_(3))-((a)_(1))=12-2=10; \\ & ((a)_(3))-((a)_(1))=\left(3-1 \right)\cdot d=2d; \\ & 2d=10\Rightarrow d=5. \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

બાકીના શબ્દો શોધવાનું બાકી છે:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=2; \\ & ((a)_(2))=2+5=7; \\ & ((a)_(3))=12; \\ & ((a)_(4))=2+3\cdot 5=17; \\ & ((a)_(5))=2+4\cdot 5=22; \\ & ((a)_(6))=2+5\cdot 5=27; \\ & ((a)_(7))=2+6\cdot 5=32; \\ & ((a)_(8))=2+7\cdot 5=37; \\ & ((a)_(9))=2+8\cdot 5=42; \\ \અંત(સંરેખિત કરો)\]

આમ, પહેલાથી જ 9મા પગલા પર આપણે ક્રમના ડાબા છેડે આવીશું - નંબર 42. કુલ, ફક્ત 7 નંબરો દાખલ કરવાના હતા: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.

જવાબ: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37

પ્રગતિ સાથે શબ્દ સમસ્યાઓ

નિષ્કર્ષમાં, હું પ્રમાણમાં એક દંપતિ ધ્યાનમાં લેવા માંગો છો સરળ કાર્યો. ઠીક છે, તેટલું સરળ: મોટાભાગના વિદ્યાર્થીઓ કે જેઓ શાળામાં ગણિતનો અભ્યાસ કરે છે અને ઉપર લખેલું વાંચ્યું નથી, આ સમસ્યાઓ અઘરી લાગે છે. તેમ છતાં, આ સમસ્યાઓના પ્રકારો છે જે ગણિતમાં OGE અને યુનિફાઇડ સ્ટેટ પરીક્ષામાં દેખાય છે, તેથી હું ભલામણ કરું છું કે તમે તેમની સાથે પોતાને પરિચિત કરો.

કાર્ય નંબર 11. ટીમે જાન્યુઆરીમાં 62 ભાગોનું ઉત્પાદન કર્યું હતું, અને પછીના દરેક મહિનામાં તેઓએ પાછલા મહિના કરતાં 14 વધુ ભાગોનું ઉત્પાદન કર્યું હતું. નવેમ્બરમાં ટીમે કેટલા ભાગો બનાવ્યા?

ઉકેલ. દેખીતી રીતે, મહિના દ્વારા સૂચિબદ્ધ ભાગોની સંખ્યા વધતી અંકગણિત પ્રગતિનું પ્રતિનિધિત્વ કરશે. વધુમાં:

\[\begin(align) & ((a)_(1))=62;\quad d=14; \\ & ((a)_(n))=62+\left(n-1 \right)\cdot 14. \\ \end(align)\]

નવેમ્બર એ વર્ષનો 11મો મહિનો છે, તેથી આપણે $((a)_(11))$ શોધવાની જરૂર છે:

\[(a)_(11))=62+10\cdot 14=202\]

તેથી નવેમ્બરમાં 202 ભાગોનું ઉત્પાદન કરવામાં આવશે.

કાર્ય નંબર 12. બુકબાઈન્ડિંગ વર્કશોપ જાન્યુઆરીમાં 216 પુસ્તકોને બંધનકર્તા છે, અને તે પછીના દરેક મહિનામાં તે અગાઉના પુસ્તક કરતાં 4 વધુ પુસ્તકો બાંધે છે. ડિસેમ્બરમાં વર્કશોપમાં કેટલા પુસ્તકો બંધાયા?

ઉકેલ. બધું સમાન છે:

$\begin(align) & ((a)_(1))=216;\quad d=4; \\ & ((a)_(n))=216+\left(n-1 \right)\cdot 4. \\ \end(align)$

ડિસેમ્બર એ વર્ષનો છેલ્લો, 12મો મહિનો છે, તેથી અમે $((a)_(12))$ શોધી રહ્યા છીએ:

\[(a)_(12))=216+11\cdot 4=260\]

આ છે જવાબ - ડિસેમ્બરમાં 260 પુસ્તકો બંધાશે.

સારું, જો તમે આટલું વાંચ્યું હોય, તો હું તમને અભિનંદન આપવા ઉતાવળ કરું છું: તમે અંકગણિત પ્રગતિમાં "યુવાન ફાઇટરનો કોર્સ" સફળતાપૂર્વક પૂર્ણ કર્યો છે. તમે સુરક્ષિત રીતે આગલા પાઠ પર આગળ વધી શકો છો, જ્યાં અમે પ્રગતિના સરવાળા માટેના સૂત્રનો અભ્યાસ કરીશું, તેમજ મહત્વપૂર્ણ અને ખૂબ ઉપયોગી પરિણામોતેણી પાસેથી.