Geser 3

Horner Williams George (1786-22.9.1837) - matematikawan Inggris. Lahir di Bristol. Dia belajar dan bekerja di sana, lalu di sekolah di Bath. Karya dasar tentang aljabar. Pada tahun 1819 menerbitkan metode perhitungan perkiraan akar riil suatu polinomial, yang sekarang disebut metode Ruffini-Horner (metode ini dikenal orang Cina pada abad ke-13). Skema pembagian polinomial dengan binomial xa diberi nama setelah Horner.

Geser 4

SKEMA HORNER

Metode membagi polinomial gelar ke-n pada binomial linier - a, berdasarkan fakta bahwa koefisien hasil bagi tidak lengkap dan sisanya berhubungan dengan koefisien polinomial yang habis dibagi dan dengan rumus:

Geser 5

Perhitungan menurut skema Horner ditempatkan pada tabel:

Contoh 1. Bagilah Hasil bagi parsial adalah x3-x2+3x - 13 dan sisanya adalah 42=f(-3).

Geser 6

Keuntungan utama metode ini adalah kekompakan dan kemampuannya dalam merekam pembagian cepat polinomial ke binomial. Faktanya, skema Horner adalah bentuk lain dari pencatatan metode pengelompokan, meskipun, tidak seperti yang terakhir, skema ini sepenuhnya non-visual. Jawabannya (faktorisasi) di sini diperoleh dengan sendirinya, dan kita tidak melihat proses memperolehnya. Kami tidak akan membahas secara mendalam skema Horner, namun hanya akan menunjukkan cara kerjanya.

Geser 7

Contoh 2.

Mari kita buktikan bahwa polinomial P(x)=x4-6x3+7x-392 habis dibagi x-7, dan tentukan hasil bagi pembagiannya. Larutan. Dengan menggunakan skema Horner, kita menemukan P(7): Dari sini kita memperoleh P(7)=0, yaitu. sisa saat membagi polinomial dengan x-7 sama dengan nol dan, oleh karena itu, polinomial P(x) adalah kelipatan (x-7). Selain itu, bilangan-bilangan pada baris kedua tabel adalah koefisien hasil bagi P(x) dibagi (x-7), maka P(x) = (x-7) (x3+x2+7x+56).

Geser 8

Faktorkan polinomial x3 – 5x2 – 2x + 16.

Polinomial ini memiliki koefisien bilangan bulat. Jika suatu bilangan bulat adalah akar dari polinomial ini, maka ia adalah pembagi dari bilangan 16. Jadi, jika suatu polinomial tertentu mempunyai akar bilangan bulat, maka bilangan tersebut hanya dapat berupa bilangan ±1; ±2; ±4; ±8; ±16. Dengan verifikasi langsung kita yakin bahwa bilangan 2 adalah akar dari polinomial tersebut, yaitu x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)Q(x), dimana Q(x) adalah polinomial derajat kedua

Geser 9

Angka yang dihasilkan 1, −3, −8 adalah koefisien polinomial yang diperoleh dengan membagi polinomial asal dengan x – 2. Artinya hasil pembagiannya adalah: 1 x2 + (–3)x + ( –8) = x2 – 3x – 8. Derajat polinomial hasil pembagian selalu lebih kecil 1 dari derajat polinomial aslinya. Jadi: x3 – 5x2 – 2x + 16 = (x – 2)(x2 – 3x – 8).

Dll. bersifat pendidikan umum dan memiliki nilai yang besar untuk mempelajari SELURUH kursus matematika yang lebih tinggi. Hari ini kita akan mengulangi persamaan “sekolah”, tetapi bukan hanya persamaan “sekolah” - tetapi persamaan yang ditemukan di mana-mana berbagai tugas vyshmat. Seperti biasa, cerita akan diceritakan secara terapan, yaitu. Saya tidak akan fokus pada definisi dan klasifikasi, tetapi saya akan berbagi dengan Anda secara pasti pengalaman pribadi solusi. Informasi ini ditujukan terutama untuk pemula, tetapi pembaca yang lebih mahir juga akan menemukan banyak hal untuk diri mereka sendiri. momen menarik. Dan tentu saja akan ada materi baru, melampaui sekolah menengah atas.

Jadi persamaannya…. Banyak orang mengingat kata ini dengan bergidik. Apa persamaan “canggih” yang bernilai akar... ...lupakan saja! Karena dengan begitu Anda akan bertemu dengan “perwakilan” yang paling tidak berbahaya dari spesies ini. Atau membosankan persamaan trigonometri dengan puluhan metode solusi. Sejujurnya, saya sendiri tidak terlalu menyukainya... Jangan panik! – maka sebagian besar “dandelion” menanti Anda dengan solusi yang jelas dalam 1-2 langkah. Meskipun “burdock” pasti menempel, Anda harus objektif di sini.

Anehnya, dalam matematika tingkat tinggi, persamaan yang sangat primitif lebih umum digunakan linier persamaan

Apa maksudnya menyelesaikan persamaan ini? Artinya menemukan nilai “x” (akar) TERSEBUT yang mengubahnya menjadi persamaan sejati. Mari kita lempar “tiga” ke kanan dengan perubahan tanda:

dan setel ulang "dua" ke sisi kanan (atau, hal yang sama - kalikan kedua sisi dengan) :

Untuk memeriksanya, mari kita gantikan piala yang dimenangkan ke dalam persamaan asli :

Diperoleh persamaan yang benar, artinya nilai yang ditemukan memang merupakan akar persamaan yang diberikan. Atau, seperti yang juga mereka katakan, memenuhi persamaan ini.

Harap dicatat bahwa root juga dapat ditulis dalam formulir desimal:
Dan cobalah untuk tidak mengikuti gaya buruk ini! Saya mengulangi alasannya lebih dari sekali, khususnya pada pelajaran pertama aljabar yang lebih tinggi.

Omong-omong, persamaan tersebut juga bisa diselesaikan “dalam bahasa Arab”:

Dan yang paling menarik - entri ini sepenuhnya sah! Tetapi jika Anda bukan seorang guru, lebih baik tidak melakukan ini, karena orisinalitas dapat dihukum di sini =)

Dan sekarang sedikit tentang

metode solusi grafis

Persamaannya mempunyai bentuk dan akarnya adalah koordinat "X". titik persimpangan grafik fungsi linier dengan jadwal fungsi linier (sumbu x):

Tampaknya contoh ini sangat mendasar sehingga tidak ada lagi yang perlu dianalisis di sini, tetapi satu lagi nuansa tak terduga dapat “diperas” darinya: mari kita sajikan persamaan yang sama dalam bentuk dan buat grafik fungsi:

Pada saat yang sama, tolong jangan membingungkan kedua konsep tersebut: persamaan adalah persamaan, dan fungsi– ini adalah sebuah fungsi! Fungsi hanya bantuan temukan akar persamaannya. Jumlahnya mungkin dua, tiga, empat, atau bahkan tak terhingga jumlahnya. Contoh terdekat dalam pengertian ini adalah yang terkenal persamaan kuadrat, algoritma solusi yang menerima paragraf terpisah formula sekolah yang "panas".. Dan ini bukan suatu kebetulan! Jika Anda dapat menyelesaikan persamaan kuadrat dan mengetahuinya Teorema Pythagoras, maka, orang mungkin berkata, “setengah dari matematika tingkat tinggi sudah ada di saku Anda” =) Tentu saja dilebih-lebihkan, tetapi tidak jauh dari kebenaran!

Oleh karena itu, jangan bermalas-malasan dan selesaikan beberapa persamaan kuadrat menggunakan algoritma standar:

, yang berarti persamaan tersebut memiliki dua persamaan yang berbeda sah akar:

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa kedua nilai yang ditemukan benar-benar memenuhi persamaan ini:

Apa yang harus dilakukan jika Anda tiba-tiba lupa algoritma solusinya, dan tidak ada sarana/bantuan yang tersedia? Situasi ini mungkin muncul, misalnya saat ujian atau ujian. Kami menggunakan metode grafis! Dan ada dua cara: Anda bisa membangun poin demi poin parabola , sehingga mencari tahu di mana ia memotong sumbu (jika melintasi sama sekali). Tetapi lebih baik melakukan sesuatu yang lebih rumit: bayangkan persamaannya dalam bentuk, gambarkan grafiknya lebih detail fungsi sederhana- Dan Koordinat "X". titik persimpangannya terlihat jelas!


Jika ternyata garis lurus tersebut menyentuh parabola, maka persamaan tersebut mempunyai dua akar yang serasi (ganda). Jika ternyata garis lurus tidak memotong parabola, maka tidak ada akar real.

Untuk melakukan hal ini tentunya Anda harus mampu membangun grafik fungsi dasar, namun di sisi lain, bahkan seorang anak sekolah pun dapat melakukan keterampilan tersebut.

Dan lagi - persamaan adalah persamaan, dan fungsi adalah fungsi itu hanya membantu selesaikan persamaannya!

Dan di sini, omong-omong, ada baiknya untuk mengingat satu hal lagi: jika semua koefisien suatu persamaan dikalikan dengan bilangan bukan nol, maka akar-akar persamaan tersebut tidak akan berubah.

Jadi, misalnya persamaannya mempunyai akar yang sama. Sebagai “bukti” sederhana, saya akan mengeluarkan konstanta dari tanda kurung:
dan saya akan menghapusnya tanpa rasa sakit (Saya akan membagi kedua bagian dengan “minus dua”):

TETAPI! Jika kita mempertimbangkan fungsinya , maka Anda tidak dapat menghilangkan konstanta di sini! Yang diperbolehkan hanya mengeluarkan pengali dari tanda kurung: .

Banyak orang yang meremehkan metode solusi grafis, menganggapnya sebagai sesuatu yang “tidak bermartabat”, bahkan ada yang sama sekali melupakan kemungkinan ini. Dan ini pada dasarnya salah, karena membuat grafik terkadang hanya menyelamatkan situasi!

Contoh lain: misalkan Anda tidak ingat akar-akar persamaan trigonometri paling sederhana: . Rumus umum ada di buku pelajaran sekolah, di semua buku referensi tentang matematika dasar, namun tidak tersedia untuk Anda. Namun, menyelesaikan persamaan tersebut sangatlah penting (alias “dua”). Ada jalan keluarnya! – membuat grafik fungsi:


setelah itu kita dengan tenang menuliskan koordinat “X” dari titik potongnya:

Ada banyak akar yang tak terhingga banyaknya, dan dalam aljabar notasi ringkasnya diterima:
, Di mana ( – himpunan bilangan bulat) .

Dan, tanpa “pergi”, beberapa kata tentang metode grafis untuk menyelesaikan pertidaksamaan dengan satu variabel. Prinsipnya sama. Jadi, misalnya, penyelesaian pertidaksamaan adalah sembarang “x”, karena Sinusoida terletak hampir seluruhnya di bawah garis lurus. Penyelesaian pertidaksamaan tersebut adalah himpunan interval di mana potongan-potongan sinusoidal terletak tepat di atas garis lurus (sumbu x):

atau, singkatnya:

Namun berikut adalah beberapa solusi untuk mengatasi kesenjangan tersebut: kosong, karena tidak ada titik sinusoida yang terletak di atas garis lurus.

Apakah ada sesuatu yang tidak kamu mengerti? Segera pelajari pelajaran tentang set Dan grafik fungsi!

Mari kita melakukan pemanasan:

Tugas 1

Selesaikan persamaan trigonometri berikut secara grafis:

Jawaban di akhir pelajaran

Seperti yang Anda lihat, untuk belajar ilmu eksakta Tidak perlu menjejali rumus dan buku referensi! Terlebih lagi, ini adalah pendekatan yang mempunyai kelemahan mendasar.

Seperti yang telah saya yakinkan kepada Anda di awal pelajaran, persamaan trigonometri kompleks dalam mata kuliah standar matematika tingkat tinggi sangat jarang harus diselesaikan. Semua kerumitan, biasanya, diakhiri dengan persamaan seperti , yang penyelesaiannya adalah dua kelompok akar yang berasal dari persamaan paling sederhana dan . Jangan terlalu khawatir tentang penyelesaian yang terakhir – lihat di buku atau temukan di Internet =)

Metode solusi grafis juga dapat membantu dalam kasus-kasus yang tidak terlalu sepele. Misalnya persamaan “ragtag” berikut ini:

Prospek solusinya terlihat... tidak terlihat seperti apa pun, tetapi Anda hanya perlu membayangkan persamaannya dalam bentuk, bangun grafik fungsi dan semuanya akan menjadi sangat sederhana. Ada gambar di tengah artikel tentang fungsi yang sangat kecil (akan terbuka di tab berikutnya).

Sama metode grafis Anda dapat mengetahui bahwa persamaan tersebut sudah memiliki dua akar, dan salah satunya sama dengan nol, dan yang lainnya, tampaknya, irasional dan termasuk dalam segmen tersebut. Diberikan akar dapat dihitung kira-kira, misalnya, metode tangen. Ngomong-ngomong, dalam beberapa masalah, Anda tidak perlu mencari akarnya, tetapi mencari tahu apakah mereka ada sama sekali?. Dan di sini juga, gambar dapat membantu - jika grafiknya tidak berpotongan, maka tidak ada akar.

Akar rasional polinomial dengan koefisien bilangan bulat.
Skema Horner

Dan sekarang saya mengajak Anda untuk mengalihkan pandangan Anda ke Abad Pertengahan dan merasakan suasana unik aljabar klasik. Untuk pemahaman materi yang lebih baik, saya sarankan Anda membaca setidaknya sedikit bilangan kompleks.

Mereka adalah yang terbaik. Polinomial.

Objek yang kita minati adalah polinomial paling umum dalam bentuk c utuh koefisien Bilangan asli ditelepon derajat polinomial, angka – koefisien derajat tertinggi (atau hanya koefisien tertinggi), dan koefisiennya adalah anggota bebas.

Saya akan menyatakan secara singkat polinomial ini dengan .

Akar polinomial sebut akar persamaannya

Saya suka logika besi =)

Misalnya, lihat bagian paling awal artikel:

Tidak ada masalah dalam mencari akar polinomial derajat 1 dan 2, tetapi seiring bertambahnya usia, tugas ini menjadi semakin sulit. Meski di sisi lain, semuanya lebih menarik! Dan inilah tepatnya bagian kedua dari pelajaran ini yang akan dikhususkan.

Pertama, secara harfiah separuh layar teori:

1) Menurut akibat wajarnya teorema dasar aljabar, polinomial derajatnya tepat kompleks akar Beberapa akar (atau bahkan semua) mungkin khususnya sah. Selain itu, di antara akar-akar sejati mungkin terdapat akar-akar yang identik (ganda). (minimal dua, maksimal potongan).

Jika suatu bilangan kompleks merupakan akar suatu polinomial, maka mengkonjugasikan nomornya juga merupakan akar dari polinomial ini (mengkonjugasikan akar yang kompleks terlihat seperti ).

Contoh paling sederhana adalah persamaan kuadrat yang pertama kali muncul di 8 (menyukai) kelas, dan yang akhirnya kami “selesai” dalam topik tersebut bilangan kompleks. Izinkan saya mengingatkan Anda: persamaan kuadrat memiliki dua akar real yang berbeda, atau akar ganda, atau akar kompleks konjugasi.

2) Dari teorema Bezout Oleh karena itu, jika suatu bilangan adalah akar suatu persamaan, maka polinomial yang bersesuaian dapat difaktorkan:
, di mana adalah polinomial derajat.

Dan lagi, contoh lama kita: karena adalah akar persamaan, maka . Setelah itu tidak sulit untuk mendapatkan perluasan “sekolah” yang terkenal.

Akibat wajar dari teorema Bezout memiliki nilai praktis yang besar: jika kita mengetahui akar persamaan derajat ke-3, maka kita dapat merepresentasikannya dalam bentuk dan dari persamaan kuadrat mudah untuk mengetahui akar-akar yang tersisa. Jika kita mengetahui akar persamaan derajat ke-4, maka ruas kiri dapat diekspansi menjadi suatu hasil kali, dan seterusnya.

Dan ada dua pertanyaan di sini:

Pertanyaan pertama. Bagaimana cara menemukan root ini? Pertama-tama, mari kita definisikan sifatnya: dalam banyak masalah matematika tingkat tinggi, hal itu perlu ditemukan rasional, secara khusus utuh akar polinomial, dan dalam hal ini, selanjutnya kita akan tertarik pada mereka.... ...mereka sangat bagus, sangat lembut, sehingga Anda hanya ingin menemukannya! =)

Hal pertama yang terlintas dalam pikiran adalah metode pemilihan. Misalnya saja persamaannya. Tangkapannya di sini adalah dalam istilah bebas - jika sama dengan nol, maka semuanya akan baik-baik saja - kita keluarkan "X" dari tanda kurung dan akarnya sendiri "jatuh" ke permukaan:

Tapi kita punya anggota bebas sama dengan "tiga", jadi kita mulai melakukan substitusi ke dalam persamaan nomor yang berbeda, mengaku sebagai "akar". Pertama-tama, substitusi nilai-nilai tunggal menunjukkan dirinya sendiri. Mari kita gantikan:

Diterima salah kesetaraan, dengan demikian, unit tersebut “tidak cocok.” Baiklah, mari kita gantikan:

Diterima BENAR persamaan! Artinya, nilai adalah akar persamaan ini.

Untuk mencari akar-akar polinomial derajat ke-3, ada metode analitis (yang disebut rumus Cardano), tapi sekarang kami tertarik pada tugas yang sedikit berbeda.

Karena - adalah akar dari polinomial kita, polinomial tersebut dapat direpresentasikan dalam bentuk dan muncul Pertanyaan kedua: bagaimana cara menemukan “adik laki-laki”?

Pertimbangan aljabar paling sederhana menunjukkan bahwa untuk melakukan hal ini kita perlu membaginya dengan . Bagaimana cara membagi polinomial dengan polinomial? Sama metode sekolah dibagikan angka biasa- "dalam kolom"! Metode ini Saya membahasnya secara rinci pada contoh pertama pelajaran Batas Kompleks, dan sekarang kita akan melihat metode lain yang disebut Skema Horner.

Pertama kita menulis polinomial “tertinggi”. dengan semua orang , termasuk koefisien nol:
, setelah itu kita memasukkan koefisien-koefisien ini (secara berurutan) ke baris atas tabel:

Kami menulis root di sebelah kiri:

Saya akan segera membuat reservasi bahwa skema Horner juga berfungsi jika nomornya "merah". Bukan adalah akar polinomial. Namun, jangan terburu-buru.

Kami menghapus koefisien utama dari atas:

Proses pengisian sel bagian bawah agak mengingatkan pada sulaman, di mana “minus satu” adalah semacam “jarum” yang menembus langkah selanjutnya. Kita mengalikan bilangan yang “dibawa” dengan (–1) dan menambahkan bilangan dari sel atas ke hasil perkaliannya:

Kami mengalikan nilai yang ditemukan dengan "jarum merah" dan menambahkan koefisien persamaan berikut ke produk:

Dan terakhir, nilai yang dihasilkan kembali “diproses” dengan “jarum” dan koefisien atas:

Angka nol di sel terakhir menunjukkan bahwa polinomial tersebut habis dibagi tanpa jejak (sebagaimana mestinya), sedangkan koefisien muai “dihapus” langsung dari baris terbawah tabel:

Jadi, kita berpindah dari persamaan ke persamaan ekuivalen dan semuanya menjadi jelas dengan dua akar yang tersisa (V dalam hal ini kita mendapatkan akar kompleks konjugasi).

Omong-omong, persamaannya juga dapat diselesaikan secara grafis: plot "petir" dan lihat bahwa grafik tersebut memotong sumbu x () pada titik. Atau trik "licik" yang sama - kita menulis ulang persamaan dalam bentuk, menggambar grafis dasar dan mendeteksi koordinat “X” dari titik perpotongannya.

Omong-omong, grafik polinomial fungsi apa pun derajat ke-3 memotong sumbu setidaknya satu kali, yang berarti persamaan yang sesuai memiliki setidaknya satu sah akar. Fakta ini berlaku untuk semua fungsi polinomial berderajat ganjil.

Dan di sini saya juga ingin memikirkan lebih jauh poin penting yang menyangkut terminologi: polinomial Dan fungsi polinomial – itu bukan hal yang sama! Namun dalam praktiknya mereka sering berbicara, misalnya tentang “grafik polinomial”, yang tentu saja merupakan kelalaian.

Namun, mari kita kembali ke skema Horner. Seperti yang saya sebutkan baru-baru ini, skema ini berfungsi untuk nomor lain, tetapi jika nomor tersebut Bukan adalah akar persamaan, maka penjumlahan bukan nol (sisa) muncul dalam rumus kita:

Mari kita “menjalankan” nilai “tidak berhasil” menurut skema Horner. Dalam hal ini, akan lebih mudah untuk menggunakan tabel yang sama - tulis "jarum" baru di sebelah kiri, pindahkan koefisien utama dari atas (panah hijau kiri), dan kita berangkat:

Untuk memeriksanya, mari kita buka tanda kurung dan presentasikan istilah serupa:
, OKE.

Mudah untuk melihat bahwa sisanya (“enam”) sama persis dengan nilai polinomial di . Dan faktanya - seperti apa:
, dan bahkan lebih bagus lagi - seperti ini:

Dari perhitungan di atas mudah untuk dipahami bahwa skema Horner memungkinkan tidak hanya memfaktorkan polinomial, tetapi juga melakukan pemilihan akar secara “beradab”. Saya sarankan Anda secara mandiri mengkonsolidasikan algoritma perhitungan dengan tugas kecil:

Tugas 2

Dengan menggunakan skema Horner, temukan akar utuh persamaan dan faktorkan polinomial yang sesuai

Dengan kata lain, di sini Anda perlu memeriksa angka 1, –1, 2, –2,… – secara berurutan hingga “diambil” sisa nol di kolom terakhir. Artinya “jarum” garis ini adalah akar polinomial

Lebih mudah untuk mengatur perhitungan dalam satu tabel. Solusi terperinci dan jawabannya di akhir pelajaran.

Metode pemilihan akar relatif baik kasus sederhana, namun jika koefisien dan/atau derajat polinomialnya besar, prosesnya mungkin memakan waktu lebih lama. Atau mungkin ada beberapa nilai dari daftar yang sama 1, –1, 2, –2 dan tidak ada gunanya mempertimbangkannya? Selain itu, akarnya mungkin berbentuk pecahan, yang akan menyebabkan penusukan yang sama sekali tidak ilmiah.

Untungnya, ada dua teorema kuat yang secara signifikan dapat mengurangi pencarian nilai “kandidat” di akar rasional:

Teorema 1 Mari kita pertimbangkan tidak dapat direduksi pecahan, dimana. Jika bilangan tersebut adalah akar persamaan, maka suku bebasnya dibagi dan koefisien utamanya dibagi.

Secara khusus, jika koefisien utamanya adalah , maka akar rasionalnya adalah bilangan bulat:

Dan kita mulai mengeksploitasi teorema hanya dengan detail menarik ini:

Mari kita kembali ke persamaan. Karena koefisien utamanya adalah , maka akar-akar rasional hipotetis hanya dapat berupa bilangan bulat, dan suku bebasnya harus habis dibagi ke dalam akar-akar ini tanpa sisa. Dan “tiga” hanya dapat dibagi menjadi 1, –1, 3 dan –3. Artinya, kita hanya mempunyai 4 “kandidat akar”. Dan menurut Teorema 1, lainnya bilangan rasional tidak bisa menjadi akar persamaan ini DALAM PRINSIP.

Ada lebih banyak “pesaing” dalam persamaan: suku bebas dibagi menjadi 1, –1, 2, – 2, 4 dan –4.

Harap dicatat bahwa angka 1, –1 adalah “tetap” dari daftar kemungkinan akar (konsekuensi nyata dari teorema) dan sebagian besar pilihan terbaik untuk pemeriksaan prioritas.

Mari beralih ke contoh yang lebih bermakna:

Masalah 3

Larutan: karena koefisien utamanya adalah , maka akar-akar rasional hipotetis hanya dapat berupa bilangan bulat, dan akar-akar tersebut harus berupa pembagi suku bebas. “Minus empat puluh” dibagi menjadi beberapa pasangan angka berikut:
– total 16 “kandidat”.

Dan di sini sebuah pemikiran yang menggoda segera muncul: apakah mungkin untuk menyingkirkan semua hal negatif atau semuanya akar positif? Dalam beberapa kasus, hal ini mungkin terjadi! Saya akan merumuskan dua tanda:

1) Jika Semua Jika koefisien polinomialnya non-negatif, maka polinomial tersebut tidak dapat mempunyai akar-akar positif. Sayangnya, ini bukan kasus kita (Sekarang, jika kita diberi persamaan - maka ya, ketika mensubstitusi nilai polinomial apa pun, nilai polinomial tersebut benar-benar positif, yang berarti semua bilangan positif (dan yang tidak rasional juga) tidak bisa menjadi akar persamaan.

2) Jika koefisien pada derajat ganjil bersifat non-negatif, dan untuk semua kekuatan genap (termasuk anggota gratis) negatif, maka polinomialnya tidak dapat memiliki akar negatif. Ini adalah kasus kami! Melihat lebih dekat, Anda dapat melihat bahwa ketika Anda memasukkan “x” negatif apa pun ke dalam persamaan sisi kiri akan sangat negatif, yang artinya akar negatif menghilang

Jadi, tersisa 8 angka untuk diteliti:

Kami “menagih” mereka secara berurutan sesuai dengan skema Horner. Saya harap Anda sudah menguasai perhitungan mental:

Keberuntungan menanti kami saat menguji “dua”. Jadi, adalah akar persamaan yang sedang dipertimbangkan, dan

Masih mempelajari persamaannya . Hal ini mudah dilakukan melalui diskriminan, tetapi saya akan melakukan tes indikatif menggunakan skema yang sama. Pertama, mari kita perhatikan bahwa suku bebasnya sama dengan 20, yang artinya Teorema 1 angka 8 dan 40 keluar dari daftar kemungkinan akar, meninggalkan nilai untuk penelitian (satu dieliminasi menurut skema Horner).

Kami menulis koefisien trinomial di baris paling atas meja baru Dan Kami mulai memeriksa dengan "dua" yang sama. Mengapa? Dan karena akar-akarnya bisa kelipatan, mohon: - Persamaan ini ada 10 akar yang identik. Tapi jangan sampai kita teralihkan:

Dan di sini, tentu saja, saya sedikit berbohong, mengetahui bahwa akarnya rasional. Lagi pula, jika angka-angka itu tidak rasional atau rumit, maka saya akan dihadapkan pada kegagalan memeriksa semua angka yang tersisa. Oleh karena itu, dalam praktiknya dibimbing oleh pihak yang diskriminan.

Menjawab: akar rasional: 2, 4, 5

Kami beruntung dengan soal yang kami analisis, karena: a) soal tersebut langsung jatuh nilai-nilai negatif, dan b) kami menemukan root dengan sangat cepat (dan secara teoritis kami dapat memeriksa seluruh daftar).

Namun kenyataannya situasinya jauh lebih buruk. Saya mengundang Anda untuk menonton pertandingan seru berjudul “ Pahlawan Terakhir»:

Masalah 4

Temukan akar rasional persamaan tersebut

Larutan: Oleh Teorema 1 pembilang hipotetis akar rasional harus memenuhi syarat tersebut (kita membaca “dua belas dibagi el”), dan penyebutnya sesuai dengan kondisi . Berdasarkan ini, kami mendapatkan dua daftar:

"daftar item":
dan "daftar um": (untungnya, angka di sini alami).

Sekarang mari kita buat daftar semua kemungkinan akar. Pertama, kita membagi “daftar el” dengan . Jelas sekali bahwa angka yang sama akan diperoleh. Untuk kenyamanan, mari kita masukkan ke dalam tabel:

Banyak pecahan yang dikurangi sehingga menghasilkan nilai yang sudah ada di “daftar pahlawan”. Kami hanya menambahkan "pemula":

Demikian pula, kami membagi “daftar” yang sama dengan:

dan akhirnya aktif

Dengan demikian, tim peserta dalam permainan kami selesai:


Sayangnya, polinomial dalam soal ini tidak memenuhi kriteria "positif" atau "negatif", dan oleh karena itu kita tidak dapat membuang baris atas atau bawah. Anda harus bekerja dengan semua angka.

Bagaimana perasaanmu? Ayo, angkat kepala - ada teorema lain yang secara kiasan bisa disebut “teorema pembunuh”…. ..."kandidat", tentu saja =)

Namun pertama-tama Anda perlu menelusuri diagram Horner setidaknya untuk satu hal keseluruhan angka. Secara tradisional, mari kita ambil satu. Di baris paling atas kita menulis koefisien polinomial dan semuanya seperti biasa:

Karena empat jelas bukan nol, maka nilainya bukanlah akar polinomial yang dimaksud. Tapi dia akan banyak membantu kita.

Teorema 2 Jika untuk beberapa orang umumnya nilai polinomialnya bukan nol: , maka akar rasionalnya (jika ada) memenuhi syaratnya

Dalam kasus kita, semua akar yang mungkin harus memenuhi kondisi tersebut (sebut saja Kondisi No. 1). Keempatnya akan menjadi “pembunuh” banyak “kandidat”. Sebagai demonstrasi, saya akan melihat beberapa pemeriksaan:

Mari kita periksa "kandidat". Untuk melakukan ini, mari kita nyatakan secara artifisial dalam bentuk pecahan, yang darinya terlihat jelas bahwa . Mari kita hitung selisih pengujiannya: . Empat dibagi dengan “minus dua”: , yang berarti akar yang mungkin telah lulus ujian.

Mari kita periksa nilainya. Di sini perbedaan tesnya adalah: . Tentu saja, dan oleh karena itu “subjek” kedua juga tetap ada dalam daftar.

Ada algoritma untuk membagi polinomial F(X) ke ( x–sebuah), yang disebut skema Horner.

Membiarkan F(X) = , derajat f(X) = N, sebuah 0. Bagilah F(X) ke ( x–sebuah), kita peroleh: (*) F(X) = (x – sebuah) ×q(X)+r, Di mana RÎ F,derajatq(X) = N - 1.

Mari kita tuliskan Q(X)= b n -1 x n -1 + b n -2 x n -2 + … + b 1 x + b 0. Kemudian substitusikan (*) ke persamaan F(X) Dan Q(X) ekspresi mereka, kita mendapatkan:

a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 1 x + a 0 = (x – sebuah) (b n-1 x n-1 + b n-2 x n-2 + … + b 1 x + b 0)+r

Karena polinomialnya sama, koefisien pangkat yang bersesuaian harus sama.

r – ab 0 = a 0 r = a 0 + ab 0

b 0 – ab 1 = a 1 b 0 = a 1 + ab 1

…………… .. ……………

b n -1 = an an a n = an -1

Menghitung koefisien polinomial Q(X) lebih mudah diimplementasikan menggunakan tabel (diagram Horner).

Dengan menggunakan skema Horner, jenis masalah berikut dapat diselesaikan:

1. Temukan q(x) Dan R saat membagi F(X) ke ( x – sebuah);

2. Hitung nilai polinomialnya F(X) pada x = sebuah;

3. Cari tahu apakah akan ada x = sebuah akar polinomial F(X), dan F;

4. Tentukan banyaknya akar;

5. Perluas polinomial tersebut menjadi pangkat ( x – sebuah).

6. Hitung nilai polinomial F(X) dan semua turunannya di x = sebuah.

Contoh. Membiarkan F(X) = X 5 – 15 x 4 + 76 x 3 – 140x 2 + 75x– 125 dan sebuah = 5.

Mari kita membuat diagram Horner:

1. Hitung hasil bagi tidak lengkap Q(X) dan sisanya R saat membagi F(X) ke ( X - 5). Di baris kedua tabel kita melihat koefisien hasil bagi Q(X) sama dengan: 1, – 10, 26, – 10, 25, maka Q(X) = 1x 4– 10x 3+ 26x 2– 10x+ 25, dan sisanya R sama dengan 0.

2. Hitung nilai polinomialnya F(X) pada x = 5. Mari kita gunakan teorema Bezout: F(5) = R = 0.

3. Mari kita cari tahu apakah akan ada x = 5 akar polinomial F(X). Menurut definisi A- akar F(X), Jika F(A) = 0. Sejak F(5) = R= 0, maka 5 adalah akarnya F(X).

4. Dari baris kedua, ketiga dan keempat tabel kita melihatnya F(X) dibagi dengan ( X– 5) 3, tapi F(X) tidak habis dibagi ( X– 5) 4 . Oleh karena itu, akar bilangan 5 mempunyai kelipatan 3.

5. Mari kita perluas polinomialnya F(X) demi derajat ( X - 5), koefisien muai c 0, c 1, c 2, c 3, c 4, c 5 diperoleh pada sel terakhir baris kedua, ketiga, keempat, kelima, keenam dan ketujuh skema Horner:

F(X) = c 0 + c 1 ( X - 5)+ dengan 2 ( X - 5) 2+ dengan 3 ( X - 5) 3+ dengan 4 ( X - 5) 4+ dengan 5 ( X - 5) 5 atau

F(X) = 26 (X - 5) 3 + 10 (X - 5) 4 + (X - 5) 5 .

6. Hitung nilai polinomialnya F(X) dan semua turunannya di x = 5.

dengan 0 = F(5) = 0, s 1 = F'(5) = 0, s 2 = = 0 F“(5) = 0,

s 3 = = 26 F'''(5) = 26 ∙ 3! = 156, dengan 4 = = 10 F′ v (5) = 10 ∙ 4! = 240,

dengan 5 = = 1 F v (5) = 1 ∙ 5! = 120.

METODE 15."Fungsi logaritma".

1. Logika – analisis matematis topik.

Topik ini dipelajari di kelas 10.

Konsep dasar:

fungsi, diberikan oleh rumus y=log ax, dimana a>0, a≠0 dipanggil fungsi logaritmik dengan basis a.

Istilahnya adalah fungsi logaritma.

Genus adalah sebuah fungsi.

Perbedaan spesies: 1) a>0, a≠0; 2) fungsinya diberikan oleh rumus y=log a x.

Penawaran utama:

Sifat-sifat fungsi logaritma.

1°. Daerah definisi fungsi logaritma adalah himpunan semua angka positif R + , yaitu D(log)=R + .

2°. Kisaran fungsi logaritma adalah himpunan semua bilangan real.

3°. Fungsi logaritma di seluruh domain definisi bertambah (untuk a>1) atau menurun (untuk 0<а<1).

Pernyataan berikut ini benar: grafik fungsi eksponensial dan logaritma yang mempunyai basis yang sama adalah simetris terhadap garis lurus y=x.

Gagasan pokok dan metode pembelajaran:

Definisi konsep bersifat eksplisit, melalui perbedaan genus dan spesies terdekat - konstruktif.

Metode pembuktian:

Deduktif (berdasarkan definisi) menggunakan metode matematika: logaritma derajat, sifat dasar derajat, metode kontradiksi.

Misalnya, sifat bahwa untuk a>1 suatu fungsi bertambah dibuktikan dengan mendefinisikan suatu fungsi yang bertambah, menggunakan metode kontradiksi.

1. - dalam astronomi (memperkirakan kecerahan bintang);

- dalam fisika;

- dalam matematika tingkat tinggi (logika matematika, analisis matematika).

Jenis utama masalah matematika pada topik tersebut

Temukan domain dari fungsi tersebut;

Buat grafik fungsinya;

Temukan rentang fungsinya;

Temukan interval tanda konstan dari fungsi tersebut;

Jelajahi fungsi dan buat grafiknya;

Temukan nilai terbesar dan terkecil dari suatu fungsi;

Temukan nilai ekspresi.

Kesalahan dan kesulitan umum dalam mempelajari topik

Kesalahan matematika:

ü kesalahan komputasi: saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan, saat mencari nilai fungsi, saat mengoperasikan pangkat;

ü kesalahan logika: dalam melakukan transformasi identitas, dalam menggunakan sifat-sifat logaritma, dalam mendefinisikan konsep, dalam menurunkan rumus;

ü kesalahan grafis: saat membuat grafik fungsi (tidak memperhitungkan properti fungsi); Transformasi grafik diterapkan secara tidak benar.

3. metode dan teknik siswa dalam mengerjakan buku teks matematika sesuai dengan karakteristik usia siswa.

Di kelas 5-6, metode bekerja dengan buku teks berikut digunakan:

1. pembacaan kaidah, definisi, pernyataan teorema oleh siswa setelah penjelasan guru

2. membacakan dengan lantang oleh guru kepada siswa, menonjolkan hal-hal yang pokok dan esensial

3. mengerjakan rumus dan ilustrasi pada sampul buku teks

4. siswa membaca buku teks dan menjawab pertanyaan guru

Di kelas 7-8, metode bekerja dengan buku teks berikut ditambahkan:

1. membaca teks setelah dijelaskan oleh guru

2. siswa membaca teks dan memecahnya menjadi paragraf-paragraf yang bermakna

3. membacakan teks dari buku teks oleh siswa dan menuliskan kalimat pokok topik sesuai rencana yang diajukan guru

Di kelas 9–11, berikut ini ditambahkan ke semua yang ditawarkan:

1. analisis contoh yang dilakukan siswa dalam buku teks, setelah guru menjelaskan topik

2. siswa membacakan teks dan menulis catatan pendukung pada teks tersebut

3. membaca teks buku teks dan siswa secara mandiri menyusun rencana teks tersebut.

Edukasi: dalam pembelajaran memantapkan penguasaan konsep fungsi logaritma, mengembangkan kemampuan menentukan sifat-sifat fungsi logaritma, dan mengembangkan kemampuan menggambarkan grafik fungsi logaritma.

Perkembangan: mempromosikan pengembangan pemikiran, persepsi, memori, imajinasi, perhatian.

Pendidikan: menumbuhkan minat yang stabil pada matematika, menumbuhkan ciri-ciri kepribadian tertentu: ketelitian, ketekunan, kerja keras.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru

Struktur pelajaran:

1. momen organisasi; 2. menetapkan tujuan pembelajaran; 3.memeriksa pekerjaan rumah; 4. persiapan mempelajari materi baru; 5. mempelajari materi baru; 6.konsolidasi utama dan pemahaman materi baru; 7. menetapkan pekerjaan rumah; 8. menyimpulkan pelajaran.;

Hari ini kita akan mempelajari fungsi logaritma baru. Saat kita mempelajari fungsi eksponensial, kita mengatur propertinya dalam sebuah tabel. Sekarang saya sarankan Anda membuka halaman 98 di buku teks Anda, membaca paragraf 18 dan menuliskan ringkasan pendukung di buku catatan Anda sesuai dengan rencana yang diajukan di papan tulis. Anda akan memformat ringkasan pendukung dengan cara yang sama seperti yang Anda lakukan saat mempelajari fungsi eksponensial. Rencana garis besar dasar. 3. definisi fungsi logaritma 4. memformat properti fungsi logaritma dalam tabel.
Dan sekarang saya mengundang satu orang ke papan tulis yang akan memformat catatan di papan tulis dengan benar. 5. Fungsi numerik dengan domain definisi D adalah korespondensi di mana setiap bilangan x dari himpunan D dikaitkan, menurut beberapa aturan, dengan bilangan y yang bergantung pada x. 6. kekuatan, eksponensial.
Rata-rata pembaca Habrahabr tidak bisa disebut tidak berpengalaman dalam penggunaan segala macam penyimpangan. Setiap orang kedua akan mengatakan bahwa polinomial harus dihitung menggunakan aturan Horner. Namun selalu ada “tetapi” kecil, apakah skema Horner selalu yang paling efektif?

Skema Horner

Pengecualian

Apakah ada hal lain, karena skema Horner adalah yang paling ekonomis?

Dalam beberapa kasus, disarankan untuk menggunakan skema dua tahap untuk mendapatkan nilai polinomial. Pada tahap pertama, tindakan dilakukan hanya pada koefisien polinomial yang ditransformasikannya tipe khusus. Pada tahap kedua, nilai polinomial itu sendiri dihitung untuk nilai argumen yang diberikan. Dalam hal ini, mungkin saja jumlah operasi yang dilakukan pada tahap kedua akan lebih sedikit dibandingkan dengan perhitungan menggunakan skema Horner.

Sekali lagi, saya perhatikan bahwa metode penghitungan seperti itu sesuai saat menghitung nilai polinomial jumlah besar nilai x. Keuntungan diperoleh karena tahap pertama polinomial hanya dilakukan satu kali. Contohnya adalah perhitungannya fungsi dasar, dimana polinomial perkiraannya disiapkan terlebih dahulu.

Dalam diskusi lebih lanjut, berbicara tentang jumlah operasi perhitungan, saya akan mengingat kompleksitas perhitungan tahap kedua.

Skema J. Todt untuk polinomial derajat 6

Koefisien ditentukan dengan metode koefisien yang tidak pasti berdasarkan kondisi. Dari kondisi terakhir kita membuat sistem persamaan, menyamakan koefisiennya derajat yang sama polinomial.

Saya tidak akan menyajikan sistem itu sendiri di sini. Tapi itu bisa dengan mudah diselesaikan dengan metode substitusi, dan kita harus menyelesaikannya persamaan kuadrat. Koefisiennya mungkin rumit, tetapi jika koefisiennya nyata, maka perhitungannya memerlukan tiga perkalian dan tujuh penjumlahan, bukan lima perkalian dan enam penjumlahan menurut skema Horner.

Tidak perlu membicarakan universalitas skema ini, namun pembaca dapat dengan jelas mengapresiasi pengurangan jumlah operasi dibandingkan dengan skema Horner.

Skema Yu.L. Ketkova

Yu.L. Ketkov memberi gagasan umum polinomial derajat ke-n untuk n>5, selalu mengarah ke ekspresi real dan memerlukan [(n+1)/2]+ perkalian dan n+1 penjumlahan untuk menghitung polinomial derajat ke-n.

Misalnya, dengan n=2k, skema Ketkov direduksi menjadi mencari polinomial:

Semua koefisien yang tidak diketahui ditemukan dari persamaan . Dalam karya Ketkov, diberikan suatu metode untuk menyelesaikan sistem yang dihasilkan yang selalu memberikan koefisien nyata.

Skema oleh V.Ya. Pana

V.Ya. Pan mengerjakan soal perhitungan polinomial yang optimal. Secara khusus, ia mengusulkan beberapa skema untuk menghitung polinomial nyata, yang sangat mendekati perkiraan E. Belaga. Saya akan memberikan beberapa skema Pan untuk polinomial nyata.
1. Skema penghitungan polinomial derajat keempat.
Polinomial dipertimbangkan.

Mari kita sajikan dalam bentuk:

Untuk menghitung nilai polinomial kita menggunakan ekspresi berikut:

Rangkaian ini memerlukan perkalian dan penjumlahan pada tahap kedua.

Keunikan skema ini adalah bahwa koefisien selalu ada untuk dan koefisien riil dari polinomial aslinya.

Di V.Ya. Selain itu, ada skema lain untuk menghitung polinomial, termasuk skema kompleks.

Kesimpulan

Namun, jika jumlah nilai polinomial yang perlu dihitung besar, dan kinerja sangat penting, maka masuk akal untuk mempertimbangkan penggunaan metode khusus perhitungan polinomial.

Beberapa pembaca akan mengatakan bahwa mengutak-atik skema selain skema Horner itu sulit, membosankan, dan tidak layak untuk diganggu. Namun, di kehidupan nyata Ada masalah yang hanya perlu Anda hitung jumlah yang sangat besar nilai polinomial dengan dalam derajat yang besar(misalnya, penghitungannya memerlukan waktu berbulan-bulan), dan mengurangi separuh jumlah perkalian akan menghasilkan banyak waktu, bahkan jika Anda harus menghabiskan beberapa hari untuk menerapkan rangkaian khusus untuk menghitung polinomial.

Literatur

1. Ketkov Yu.L. Tentang salah satu cara menghitung polinomial pada mesin matematika. // Berita Universitas. Radiofisika, vol.1., No.4, 1958
2. V. Ya.Pan, “Perhitungan polinomial menggunakan skema dengan pemrosesan awal koefisien dan program untuk menemukan parameter secara otomatis”, Zh. matematika. dan matematika. Fiz., 2:1 (1962), 133–140
3. V. Ya. Pan, “Tentang metode menghitung nilai polinomial”, Uspekhi Mat
4. V. Ya.Pan, “Tentang perhitungan polinomial derajat kelima dan ketujuh dengan koefisien riil”, Zh. matematika. dan matematika. Fiz., 5:1 (1965), 116–118
5. Pan V. Ya. Beberapa skema untuk menghitung nilai polinomial dengan koefisien nyata. Masalah sibernetika. Jil. 5.M.: Nauka, 1961, 17–29.
6. Belaga E. G. Tentang menghitung nilai polinomial dalam satu variabel dengan pemrosesan awal koefisien. Masalah sibernetika. Jil. 5.M.: Fizmatgiz, 1961, 7–15.

Anda dapat membantu dan mentransfer sejumlah dana untuk pengembangan situs

Menghitung nilai polinomial pada suatu titik adalah salah satu masalah pemrograman klasik yang paling sederhana.
Saat melakukan berbagai jenis perhitungan, seringkali perlu untuk menentukan nilai polinomial untuk nilai argumen tertentu. Seringkali perkiraan perhitungan fungsi direduksi menjadi perhitungan perkiraan polinomial.
Rata-rata pembaca Habrahabr tidak bisa disebut tidak berpengalaman dalam penggunaan segala macam penyimpangan. Setiap orang kedua akan mengatakan bahwa polinomial harus dihitung menggunakan aturan Horner. Namun selalu ada “tetapi” kecil, apakah skema Horner selalu yang paling efektif?


Tujuan saya bukan untuk mendeskripsikan algoritma penghitungan polinomial secara akurat, tetapi hanya untuk menunjukkan bahwa dalam beberapa kasus dimungkinkan (perlu) untuk menerapkan skema selain aturan Horner. Bagi yang berminat dengan materinya, di akhir artikel terdapat daftar referensi yang bisa dikonsultasikan untuk mengkaji masalah tersebut lebih detail.
Selain itu, terkadang sayang sekali bahwa nama-nama ahli matematika Rusia kita masih sedikit diketahui. Selain itu, saya senang berbicara tentang karya ahli matematika kita.

Skema Horner

Pengecualian

Apakah ada hal lain, karena skema Horner adalah yang paling ekonomis?

Dalam beberapa kasus, disarankan untuk menggunakan skema dua tahap untuk mendapatkan nilai polinomial. Pada tahap pertama, tindakan dilakukan hanya pada koefisien polinomial; diubah menjadi bentuk khusus. Pada tahap kedua, nilai polinomial itu sendiri dihitung untuk nilai argumen yang diberikan. Dalam hal ini, mungkin saja jumlah operasi yang dilakukan pada tahap kedua akan lebih sedikit dibandingkan dengan perhitungan menggunakan skema Horner.

Sekali lagi, perhatikan bahwa metode penghitungan seperti itu berguna saat menghitung nilai polinomial untuk sejumlah besar nilai x. Keuntungan diperoleh karena tahap pertama polinomial hanya dilakukan satu kali. Contohnya adalah perhitungan fungsi dasar, dimana polinomial aproksimasinya disiapkan terlebih dahulu.

Dalam diskusi lebih lanjut, berbicara tentang jumlah operasi perhitungan, saya akan mengingat kompleksitas perhitungan tahap kedua.

Skema J. Todt untuk polinomial derajat 6

Koefisien ditentukan dengan metode koefisien tak tentu berdasarkan kondisi. Dari kondisi terakhir kita membuat sistem persamaan, menyamakan koefisien polinomial dengan derajat yang sama.

Saya tidak akan menyajikan sistem itu sendiri di sini. Namun hal ini dapat dengan mudah diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi yang memerlukan penyelesaian persamaan kuadrat. Koefisiennya mungkin rumit, tetapi jika koefisiennya nyata, maka perhitungannya memerlukan tiga perkalian dan tujuh penjumlahan, bukan lima perkalian dan enam penjumlahan menurut skema Horner.

Tidak perlu membicarakan universalitas skema ini, namun pembaca dapat dengan jelas mengapresiasi pengurangan jumlah operasi dibandingkan dengan skema Horner.

Skema Yu.L. Ketkova

Yu.L. Ketkov memberikan gambaran umum tentang polinomial derajat ke-n untuk n>5, yang selalu menghasilkan ekspresi nyata dan memerlukan [(n+1)/2]+ perkalian dan n+1 penjumlahan untuk menghitung polinomial derajat ke-n.

Misalnya, dengan n=2k, skema Ketkov direduksi menjadi mencari polinomial:

Semua koefisien yang tidak diketahui ditemukan dari persamaan . Dalam karya Ketkov, diberikan suatu metode untuk menyelesaikan sistem yang dihasilkan yang selalu memberikan koefisien nyata.

Skema oleh V.Ya. Pana

V.Ya. Pan mengerjakan soal perhitungan polinomial yang optimal. Secara khusus, ia mengusulkan beberapa skema untuk menghitung polinomial nyata, yang sangat mendekati perkiraan E. Belaga. Saya akan memberikan beberapa skema Pan untuk polinomial nyata.
1. Skema penghitungan polinomial derajat keempat.
Polinomial dipertimbangkan.

Mari kita sajikan dalam bentuk:

Untuk menghitung nilai polinomial kita menggunakan ekspresi berikut:

Rangkaian ini memerlukan perkalian dan penjumlahan pada tahap kedua.

Keunikan skema ini adalah bahwa koefisien selalu ada untuk dan koefisien riil dari polinomial aslinya.

Di V.Ya. Selain itu, ada skema lain untuk menghitung polinomial, termasuk skema kompleks.

Kesimpulan

Namun, jika jumlah nilai polinomial yang perlu dihitung besar, dan kinerjanya sangat penting, maka masuk akal untuk mempertimbangkan penggunaan metode khusus untuk menghitung polinomial.

Beberapa pembaca akan mengatakan bahwa mengutak-atik skema selain skema Horner itu sulit, membosankan, dan tidak layak untuk diganggu. Namun, dalam kehidupan nyata ada masalah di mana Anda hanya perlu menghitung sejumlah besar nilai polinomial dengan pangkat besar (misalnya, penghitungannya bisa memakan waktu berbulan-bulan), dan mengurangi jumlah perkaliannya hingga setengahnya akan memberikan hasil yang signifikan. perolehan waktu, bahkan jika Anda harus menghabiskan beberapa hari untuk menerapkan skema khusus untuk menghitung polinomial.

Literatur

1. Ketkov Yu.L. Tentang salah satu cara menghitung polinomial pada mesin matematika. // Berita Universitas. Radiofisika, vol.1., No.4, 1958
2. V. Ya.Pan, “Perhitungan polinomial menggunakan skema dengan pemrosesan awal koefisien dan program untuk menemukan parameter secara otomatis”, Zh. matematika. dan matematika. Fiz., 2:1 (1962), 133–140
3. V. Ya. Pan, “Tentang metode menghitung nilai polinomial”, Uspekhi Mat
4. V. Ya.Pan, “Tentang perhitungan polinomial derajat kelima dan ketujuh dengan koefisien riil”, Zh. matematika. dan matematika. Fiz., 5:1 (1965), 116–118
5. Pan V. Ya. Beberapa skema untuk menghitung nilai polinomial dengan koefisien nyata. Masalah sibernetika. Jil. 5.M.: Nauka, 1961, 17–29.
6. Belaga E. G. Tentang menghitung nilai polinomial dalam satu variabel dengan pemrosesan awal koefisien. Masalah sibernetika. Jil. 5.M.: Fizmatgiz, 1961, 7–15.