Pirmą kartą egzistuoja sprendimas diferencialinė lygtis buvo įrodyta Cauchy. Žemiau įrodymas grindžiamas nuosekliųjų aproksimacijų metodu, kuris priklauso Picard. Šis metodas turi nepriklausomą reikšmę, nes leidžia gauti apytikslį diferencialinės lygties sprendimą.
Teoremos teiginys
Pateikiame pirmos eilės diferencialinę lygtį:
(1)
su pradine būkle
(1.1)
.
Leisk - nuolatinė funkcija du kintamieji uždara zona :
ir todėl apsiriboja tam tikra teigiama verte:
(2)
.
Ir tegul funkcija tenkina Lipschitz sąlygą:
(3)
,
.
Tada yra unikalus (1) lygties sprendimas:
,
atitinkančią pradinę sąlygą, apibrėžtą ir tęstinę intervalo reikšmėms:
,
kur yra mažiausias iš dviejų skaičių ir .
Lipschitz būklė
Panagrinėkime Lipšico sąlygą. Tai atrodo taip:
(3)
,
kur - teigiamas skaičius;
, ir - bet kokios vertės iš srities:
,
,
.
Lipšico sąlygos reikšmė Tai nesunku suprasti, jei rašote tokia forma:
(3.1)
.
Kai kuriai fiksuotai kintamojo vertei funkcija yra kintamojo funkcija:.
.
Pateikiame šios funkcijos grafiką. Paimkime du šio grafiko taškus, priklausančius , ir nubrėžkime per juos tiesią liniją. Tada kampas tarp tiesės ir ašies apribojamas iki tam tikros vertės, kuri yra mažesnė nei . Taikant šį apribojimą, diagramoje nėra vertikalių liestinių ar šuolių. Ir tuose taškuose, kur egzistuoja dalinė išvestinė, ji yra ribota: Jei srityje funkcija turi ištisinė dalinė išvestinė (3).
, tada šioje srityje
.
Lipschitz sąlyga yra patenkinta
,
Norėdami tai įrodyti, pažymime, kad kadangi dalinė išvestinė yra ištisinė uždaroje srityje, ji yra ribojama:
.
Pagal Lagrange'o baigtinio prieaugio teoremą turime:
.
kur dalinės išvestinės apskaičiuojamos tam tikru momentu, kai kintamasis priklauso intervalui tarp ir:
Tada: Sprendimo egzistavimo įrodymas Duokim pradinė lygtis(1) su pradine sąlyga (1.1)
.
Integruokime šią lygtį nuo iki:
;
Pakeiskime pradinė būklė.
(4)
.
Dėl to gauname integralinę lygtį: Parodykime tai integralinė lygtis (4) yra lygi diferencialinei lygčiai (1)
su pradine sąlyga (1.1). Norėdami tai padaryti, turime parodyti, kad iš (1) ir (1.1) seka (4), o iš (4) seka (1) ir (1.1). Mes jau parodėme, kad (4) išplaukia iš (1) ir (1.1). Belieka parodyti, kad (4) reiškia (1) ir (1.1). Norėdami tai padaryti, pakeiskime (4). Gaukime pradinę sąlygą (1.1). Diferencijuodami abi (4) lygties puses nuo , gauname lygtį (1). Toliau bandome rasti (4) lygties sprendimą naudodami
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
.........
nuoseklūs aproksimacijos .
. Norėdami tai padaryti, apibrėžiame keletą kintamojo funkcijų naudodami formules:
(6)
,
(5.n)
Manome, kad kaip , linkęs išspręsti (4) lygtį:
kur yra (4) lygties sprendinys. Jei tai įrodysime, tada įrodysime sprendimo egzistavimą. Sprendimo egzistavimą įrodysime dviem etapais:;
1) pirmiausia tai įrodome riba (6) egzistuoja:
.
2) tada mes tai įrodome
atitinka (4) lygtį 1) Ribinės y n egzistavimo įrodymas, kaip n linkęs į begalybę Sumažinkime nuoseklūs aproksimacijos (5.1) – (5.n)
.
iki serijos sumos
(7)
. Norėdami tai padaryti, rašome:
Taigi turime įrodyti, kad serija susilieja ties . .
Pirmiausia parodome, kad , nuoseklūs aproksimacijos
.
priklauso intervalui
.
Iš tiesų, kai turime:
.
Kadangi yra mažiausias iš dviejų skaičių ir , Tada Taigi, mes įrodėme, kad nuoseklūs aproksimacijos priklauso intervalui Dabar mes
galime įvertinti serijos sąlygas
;
(8.1)
.
(7), taikant Lipšico sąlygą.
;
(8.2)
.
Pirmajai kadencijai turime:
;
(8.3)
.
Antrajam terminui taikome Lipšico sąlygą ir įvertinimą (8.1):
Trečiajam terminui panašiai taikome Lipšico sąlygą ir įvertinimą (8.2): .
Toliau taikome indukcijos metodą. Leiskite
;
(8.n) .
Tada
(8.n+1)
(7.1)
,
Taigi, kadangi (8.n) yra teisinga ir (8.n) reiškia (8.n+1), tada (8.n) galioja bet kuriam .
Parašykime seriją (7) tokia forma:
.
Kur.
(9)
.
Taikykime (8.n) ir pakeiskime didžiausia leistina reikšme:
.
Tada kiekvienas eilutės (7.1) narys absoliučia verte apribojamas eilutės nariu Panagrinėkime (9) eilutę konvergencijai. Taikykime d'Alemberto testą: Taigi (9) serija suartėja. Kadangi visi eilutės (7.1) nariai, pradedant nuo antrosios, yra mažesnės absoliučios vertės nei konvergencinės eilutės (9) nariai, tai pagal Weierstrass kriterijų, eilutė (7.1) konverguoja tolygiai visoms tenkinamoms sąlygoms. sąlyga.
(10)
Kadangi integralas yra nuolatinė funkcija
2) Įrodymas, kad Y yra (4) sprendimas
Apsvarstykite (5.n) lygtį:
nuoseklūs aproksimacijos .
Leiskite mums įrodyti, kad , Ši lygtis linkusi į lygtį
(11)
.
Galioja (10) kairėje pusėje lygtis (5.n) linkusi į .
Dabar mes tai parodysime
.
Perrašykime dešinėje pusėje(5.n):
.
Be to, atkreipkite dėmesį, kad kadangi visi priklauso uždaram intervalui, tai irgi priklauso šiam intervalui, .
Todėl galime taikyti Lipšico sąlygą. Įvertinkime absoliuti vertė
.
paskutinis narys: Kadangi, kaip , linkęs tolygiai, bet kokiam teigiamam skaičiui galima nurodyti taip natūralusis skaičius
.
Toliau taikome indukcijos metodą. Leiskite
.
tai visiems,
Kadangi tai savavališka, tada
.
Štai kodėl
nuoseklūs aproksimacijos
Tai yra, kai lygtis
(11)
.
įgauna formą
Sprendimo unikalumo įrodymas
(4)
Tarkime, kad lygtis
turi du sprendimus ir , skiriasi tam tikru momentu, priklausančiu intervalui .
.
Apsvarstykite funkciją
Mes manysime, kad.
Kitu atveju pakeiskime ir .
Kadangi ir yra tęstiniai, taip yra ir funkcija. Todėl jis skiriasi nuo nulio tam tikrame intervale, kuriame yra taškas:
adresu .
,
Nes tada.
.
Tai yra, taškas nepriklauso šiam intervalui.
,
Jei , tada transformuojame (4) taip:
;
Kur
Jei perskirsime konstantas
tada gauname uždavinį (4), kuriai
,
,
.
kur koks nors skaičius neviršija .
;
Kur
Jei , tada darome tą patį:
Perskirkime konstantas:
;
Gauname uždavinį (4), kuriai
kur yra koks nors skaičius, ne mažesnis už . Taigi mes turime: adresu (arba ).
Tada paimkite savavališką teigiamą skaičių (arba ) ir apsvarstykite uždarą intervalą (arba ). Kadangi funkcija yra nuolatinė, ji pasiekia
didžiausia vertė
;
.
viename iš šio intervalo taškų:
.
(arba ).
Atlikime įvertinimą naudodami (4) lygtį ir Lipšico sąlygą:
Nuo , skirstome iš:
Iškyla prieštaravimas, nes ši nelygybė negalioja.
Lipschitz būklė
Todėl jis negali turėti nulinių reikšmių. Štai kodėl. Q.E.D.
Naudota literatūra:
V.V. Stepanovas, Diferencialinių lygčių kursas, „LKI“, 2015 m.
Apsvarstykite funkciją, apibrėžtą ir ištisinę stačiakampyje K:
Apibrėžimas. Jei bet kuriai ir bet kuriai dviem reikšmėms ir kintamajam:
yra nuo x nepriklausomas skaičius, kuriam galioja ši nelygybė:
tada jie sako, kad funkcija K srityje atitinka Lipšico sąlygą su konstanta L.
Dėl tęstinumo K ir regiono K uždarumo K jis yra ribotas, t.y. , kur L yra tam tikra konstanta. Šiuo atveju visų pirma galima laikyti L.
2. Lipšico sąlyga (1) yra silpnesnė už dalinės išvestinės egzistavimą, nes ji gali būti tenkinama ir tuo atveju, kai ji ne visur egzistuoja K.
Nustatykite, ar funkcija, pateikta stačiakampyje, atitinka Lipšico sąlygą?
Vadinasi, L gali būti laikomas esančiu ir Lipschitz sąlyga yra įvykdyta. Tą patį rezultatą gauname, jei naudosime 1 pastabą. Iš tikrųjų funkcija yra ištisinė, todėl galime laikyti ją L.
Taigi, suteikta funkcija atitinka Lipšico sąlygą bet kuriame baigtiniame stačiakampyje.
Tas pats dėl funkcijos.
Tai reiškia, kad stačiakampyje K sąlyga įvykdyta c.
Čia konstanta L nepriklauso nuo stačiakampio dydžio, todėl Lipšico sąlyga tenkinama visoje plokštumoje.
Tas pats dėl funkcijos
Tuo pačiu metu neegzistuoja, nes
Egzistencijos ir unikalumo teorema
Teorema (Koši)
Tegul jis atitinka sąlygas:
1) yra ištisinis stačiakampyje K: , tada jis ribojamas K, tada yra toks (3)
atitinka Lipšico sąlygą K
Tada intervale:
diferencialinė lygtis
turi vienintelis sprendimas, toks.
Apibrėžimas. Jei bet kuriai ir bet kuriai dviem reikšmėms ir kintamajam:
Kad sprendimas egzistuotų, pakanka tęstinumo K.
Kad sprendimas būtų unikalus, turi būti įvykdyta Lipšico sąlyga (4), kurią galima pakeisti griežtesne sąlyga, kad būtų ištisinė linija K.
Įrodydami teoremą, atsižvelgiame į Koši problemą:
kuri pakeičiama jos ekvivalentine integralo lygtimi
Tada (8) lygčiai taikomas vadinamasis Pikaro nuoseklių aproksimacijų metodas. Ją sudaro funkcijų sekos konvergavimas į (8) lygties sprendimą. Funkcijos kuriamos pagal kita taisyklė: imamas kaip pradinis aproksimacija, o kiti apskaičiuojami pagal formulę:
Tai yra darbinė formulė apytiksliui sprendiniui sudaryti naudojant nuoseklių aproksimacijų metodą.
Tarkime, kad integralinė kreivė sudaryta iš intervalo. Paimkime pabaigos taškas už naujojo stačiakampio centro ir toliau spręskite į dešinę. Tai darydami kiekvieną kartą galite tęsti sprendimą (integralinę kreivę) iki pačios funkcijos srities G ribos (darant prielaidą, kad G yra baigtinis ir uždaras).
Sukūrėme integralią kreivę, einančią per tašką. Galite pasirinkti bet kurį kitą tašką ir vėl gauname vieną integralinę kreivę. Taigi atrodo, kad sritis G susideda iš integrinių kreivių.
Teorema. Jei apibrėžta ir ištisinė visoje plokštumoje ir tenkinanti Lipšico sąlygą kiekvienoje baigtinėje šios plokštumos srityje, tada kiekviena integralinė kreivė, kai ji didėja, gali būti išplėsta iki arba turi vertikali asimptota adresu galutinė vertė, t.y. integralo kreivė negali baigtis kažkur regiono viduje.
Čia tenkinamos visos teoremos sąlygos. Koši problemos sprendimas bus. Sprendimas turi vertikalias asimptotes.
Tie G srities taškai, kuriuose funkcija neapibrėžta arba nustoja būti ištisinė arba Lipšico sąlyga netenkinama, vadinami lygties vienatiniais taškais. Taigi vienaskaitos taškai yra tie taškai, kuriuose pažeidžiamos egzistavimo ir unikalumo teoremos sąlygos. Ypatingi taškai Jie gali būti izoliuoti arba sudaryti ištisus regionus.
Ankstesnis viršelis didelės raiškos. Autorė yra mano dukra, aš didžiuojuosi:
Rosacar. Kapitalas. Rosh Ekita klano rezidencija.
Praėjus dviem mėnesiams po nelaimės.
Už durų pasigirdo juokas, Ianas atsimerkė. Girdėjosi, kaip Aris koridoriuje žaismingai kankina vieną iš kambarinių. Ji šiurkščiai kikeno ir, Ianas galėjo lažintis, iš gėdos prijuoste užsidengė paraudusį veidą.
Janos ranka nepakilo griebti už apačios bėgančios tarnaitės su pūkuotais sijonais ar sugnybti jos krūtinę. Buvo šlykštu ir šlykštu.
Aris, jaunesnis brolis, šeimos numylėtinis ir numylėtinis, atvykęs paskui tėvą iš rūmų aplankyti iš tremties grįžusio brolio. Tamsiaplaukė, besišypsanti ir žaliomis akimis – bet kurios visuomenės siela.
Jis juokdamasis įėjo į kambarį. Jis koja pritraukė kėdę arčiau lovos. Ir jis įlindo į jį, gulėdamas.
Ar žinai, broli, kad tavo tėvai ruošiasi surengti kuklų priėmimą tavo sugrįžimo garbei?
Ar taip? - Yangas pakilo ant alkūnės.
Taip, taip, sugrįžimas ir pasveikimas, bet matau, kad tu visiškai suglebusi, - Aris pakėlė servetėlę ant nepaliesto maisto padėklo, stovinčio ant naktinio staliuko, - ar galite pasakyti, kas atsitiko?
„Man atsitiko Inga, – liūdnai pagalvojo Ianas, – Inga Vladimirovna Saveljeva.
Atrodė, kad ji jį užkrėtė nežinoma liga, kuri kažką pakeitė jo galvoje, o visas pasaulis dabar atrodė kitaip, o Yangas tam tikra prasme net pavydėjo savo jaunesniajam broliui. Merginos, pramogos, medžioklė, draugai, šiek tiek finansinių reikalų. Gyvenimas numintu takeliu. Ir svarbiausia, kad viskas paprasta ir be nereikalingų psichinių kančių.
„Tai mūsų ekstremaliomis aplinkybėmis, o mus supančiame pasaulyje viskas yra taip, kaip buvo ir tebėra“, – tarsi iš tikrųjų jis išgirdo šiek tiek pašaipų Ingos balsą, „pasauliui tu iš esmės nerūpi“.
Inga. Šis vardas įstrigo viduje kaip skausminga skeveldra, kurios nebuvo kaip ištraukti. O skausmas aplink ją plito vis toliau ir skverbėsi vis gilyn.
Ianas gūžtelėjo pečiais ir net sugebėjo nusišypsoti savo broliui.
Nieko įdomaus, dalį vasaros gyvenau Ravenhalme, – Ianas sėdėjo ant lovos krašto, – tada šiek tiek keliavau.
Aris primerkė akis.
Vastabas parašė savo tėvui, kad atėjai dėl „tamsaus maišo“.
Ianas ištiesė ranką stiklinės vandens ir neskubėdamas gurkštelėjo.
Atėjo.
Ir jaunesnysis brolis iš nekantrumo trūktelėjo koją, ašmenys ant diržo žvangėjo.
– Gavau, – patvirtino Janas, – žiemą gyvenau Lehrte.
Aris nusijuokė.
„Ir tu pasikeitei“, – staiga pasakė jis ir nustojo šypsotis, – ir tavo žvilgsnis tapo... negyvas.
Ijanas lėtai padėjo stiklinę atgal ant padėklo ir rimtai pažvelgė į savo brolį, nė trupučio nesišypsodamas.
Ir aš miriau, ar manote, kad jie tiesiog atiduoda „tamsų maišą“?
„Kokia istorija su žolininke?“ Aris negalėjo suvaldyti smalsumo, „tėvas gavo laišką ir tylėjo, o Vastabas parašė, kad tu jos labai klausai“.
Ianas nežinojo, ką atsakyti. Pasakyk savo broliui, kas ta Inga? Ar skraidis brolis supras? Ir kaip galima paaiškinti, kuo ji tapo jam, Yana?
Žinoma, galite kalbėti apie nuostabią, protingą moterį, kurią jums pasisekė sutikti, ir tai būtų visiška nesąmonė.
Ianas atsiduso:
Ji ne žolininkė.
Arisą aiškiai išsekino smalsumas
Jaranai, nedelsk, pasakyk man.
Ji yra mokslininkė, matematikė, gyvenome Lehrte, tada susituokėme, tada šiek tiek keliavome.
- Mes susituokėme, bet jūs buvote išvarytas?
Be Rosakaro įstatymų, yra ir kitų, – aiškino jis, – susituokėme pagal senovės slavų pagoniškas apeigas.
Jis pats nelabai suprato prasmės, Ingos pasaulyje viskas buvo painu, net su jos paaiškinimais, bet frazė, ypač su priešdėliu „senovinė“, skambėjo įspūdingai.
O paskui keliavai po kalnus?“ – nepatikliai paklausė Aris.
- Kalnuose, - teigiamai linktelėjo Ianas ir nusišypsojo, - ten buvo ežeras ir Suvorovo pirtys, taip pat palapinė ir pūkiniai miegmaišiai. Žinote, išeina taip, kad vaikštant, o ne skraidant, galima sužinoti ir pamatyti daug įdomių dalykų.
Ir kaip tu susigrąžinai Gorgą?
Geriau apie tai paklausk Ingos, vėl blykstelėjo mintis, kad ji daug geriau suprato stotyje vykstančius procesus.
Ianas negalėjo galvoti apie ją kaip apie mirusią. Ryte pabudo, pasakė sau: „Inga mirė, jos nebėra“, – sutiko jo protas, bet paskui klastingai sušnibždėjo: „Tu nematei, kas ten atsitiko, nematei jos kūno, gal Alorianas tave apgavo, ar matei, kaip jis į ją žiūrėjo? Ir Ianas leido šiai abejonei gyventi savyje. Tiesiog dar nėra priimtas sprendimas, kokių veiksmų imtis.
Galbūt geriausia būtų palaukti, kol ranka sugis, ir grįžti į namus Lehrte. Ianas nebenorėjo būti čia, Roskaro sostinėje. Buvo nepakenčiama žiūrėti į aplinkui lakstančius tarnus, kai tėvas vakarais grįžęs iš tarnybos užsidarė kabinete ir ten vakarieniavo.
Mamai, kuri kiekvieną rytą išeina pusryčiauti pilnomis regalijomis, papuošalais, susišukavusi plaukus. Kaip vyresnė sesuo, tokia panaši į savo mamą, kad atrodė kaip seserys dvyniai. Panašūs drabužiai, ta pati eisena, tie patys rankų judesiai ir net panašios veido išraiškos: dažniausiai nepatenkintos sučiauptos, blyškios lūpos.
Įvadas...3
I SKYRIUS. Egzistencijos ir unikalumo teoremos...23
§ 1.1. Lygtis su pastoviais operatoriaus koeficientais ir
argumento nukrypimai...24
§1.2 Mažos perturbacijos lygties atvejis...43
II SKYRIUS. Apie normalųjį lygties išsprendžiamumą...50
§2.1. Operatoriaus Lpo branduolio baigtinumas...50
§2.2 Operatoriaus Lpo...55 kokso branduolio baigtinis matmuo
III SKYRIUS. Lygtis pusiau erdvėje...73
§ 3.1 Pagalbinės lemos...73
§ 3.2 Atvejis pradinė užduotis...76
§3.3 Kai kurios pastabos apie lygtis su tiesiniu nuokrypiu
argumentas...81
Literatūra...84
Įvadas
Būdingas bruožas šiuolaikinė teorija Diferencialinės lygtys apima abstrakčią operatorių teoriją Hilberto erdvėje. Tai galima paaiškinti tuo, kad įvairios užduotys galima parašyti kaip lygtį Lu = f, kurios tyrimas
leidžia pabėgti nuo specifinių ir privačių sunkumų, būdingų kiekvienam konkreti užduotis, daugiausia dėmesio skiriant bendrus modelius. Kitas šios teorijos pranašumas yra tai, kad lygtys su neapribotais operatorių koeficientais apima abu ypatingas atvejis dalinės diferencialinės lygtys, kurios nebuvo pakankamai ištirtos.
Diferencialinės lygtys su nukrypstančiu argumentu atsirado dar XVIII amžiuje, sprendžiant Eulerio radimo problemą. bendras vaizdas linija, panaši į jos raidą. Pagrindinės teoremos bendroji teorija diferencialinės lygtys su nukrypstančiu argumentu ir pradinės problemos formuluotė buvo pateiktos disertacijoje „Diferencialinės lygtys su nukrypstančiu argumentu“ (1950).
Tokių lygčių teorija prasidėjo daugiausia XX amžiaus antroje pusėje, veikiant technologijų ir gamtos mokslų užklausoms. Šių lygčių teorija pradėta taikyti įvairiose mechanikos, fizikos, biologijos, technologijų ir ekonomikos srityse. Ši teorija ypač pritaikyta šiuolaikinės technologijos kur tai susiję su virpesių procesai sistemose, turinčiose pasekmių, ir sistemose su uždelstais ryšiais, automatizavimo ir telemechanikos, telekomunikacijų, radaro ir kt. Uždelsimas automatiškai reguliuojamoje sistemoje gali sukelti savaime sužadinamų virpesių atsiradimą, padidėti viršijimą ir net nestabilumą sistemų.
Degimo nestabilumo skysčiuose priežastis yra raketų varikliai yra, kaip paprastai manoma, vėlavimo laiko buvimas,
transformacijai reikalingas laikas kuro mišinysį degimo produktus. Visa tai paaiškina pastaraisiais metais labai padidėjusį dėmesį lygtims, turinčioms uždelstą argumentą.
Diferencialinė lygtis su nukrypstančiu argumentu apibrėžiama kaip lygtis, kuri, be argumento t, apima norimą funkciją ir jos išvestinius, paprastai imamus skirtingos reikšmės argumentas t. Tokia lygtis yra uždelsto tipo, jei bet kurios reikšmės / = /0 didžiausios išvestinės vertės nustatomos per
mažesnės išvestinės t
Perėjimas nuo įprastos lygties x\t) = /(/, x(t)) į lygtį su nukrypstančiu argumentu reiškia, kad vietoj x(e) dešinėje nagrinėjama funkcija x(t-h(t)). pusė, kur h(t) – duota funkcija.
Lygtis su vienkartiniu delsimu
Lu(t) = D, u(t)-fjAJ(t)u(t-hj(t)) = f(t)b D, = ~ 9 (1)
yra ypatingas paskirstytosios delsos lygties atvejis
Lu(t) = D, u(t) -)u(t - T)dr(t, r) = tinka), (2)
"G0,-oo< t < О,
kai r(t, r) = ?4(/)/(r-A/0), W = \"
Jei (1) arba (2) lygties sprendinys yra srityje .
Taigi gauname natūralų Koši problemos apibendrinimą įprastai diferencialinei lygčiai. Paskutinis (1) lygties apibendrinimas yra perėjimas nuo (2) lygties prie (2) formos lygčių sistemos, taip pat (1) svarstymas bendresnėse erdvėse.
Įvairios problemos gali būti parašytos lygties (1) forma ir priklausomai nuo papildomos sąlygos(pradžios, ribos) atsiranda skirtingos erdvės kaip operatoriaus L apibrėžimo sritis.
Operatoriaus lygtis
?>,i(0-L(/MO-0 (3)
tuo atveju, kai iA(t) yra generuojantis pusgrupės operatorius arba ribotas operatorius, buvo skirta daug darbų. Neturint šių prielaidų, S. Agmon ir L. Niregberg darbuose buvo ištirta (3) lygtis su pastoviu operatoriumi. Konkrečiai, šiame straipsnyje asimptotinės formulės buvo išvestos eksponentinio tipo sprendiniams su sąlyga, kad operatoriaus A spektrą sudaro normalus savąsias reikšmes esantis (išskyrus galbūt baigtinis skaičius) kai kuriose dvigubas kampas spindulys mažesnis nei n Šiuos rezultatus A. Pasi išplėtė iki lygčių, kurių koeficientai skiriasi nuo konstantų eksponentiškai mažėjančiais nariais. Esant sąlygai, kad operatorius A(t) tam tikra prasme yra linkęs t -> oo operatoriui A, buvo gauta (3) lygties sprendinio asimptotika kaip t -> oo.
u(/) – exp / $A(s)ds \sf(1) + O(\),
kur A(t) yra operatoriaus A(t) savoji reikšmė, linkusi kaip t -><х>į paprastą operatoriaus A savąją reikšmę A, φ(1) yra atitinkamas savasis elementas.
Kitas žingsnis šia kryptimi buvo A. Pazi darbas, kuriame buvo gautas lygties sprendinio u(t) asimptotinis elgesys.
esančiame Banach erdvėje A" bylai
kur Ao uždarytas linijinis operatorius su tankia apibrėžimo sritis X. Tolesni tyrimai buvo skirti (1) lygčiai ir priklauso. Ypatingas dėmesys buvo skirtas sprendimų egzistavimo, unikalumo, stabilumo ir asimptotinės elgsenos klausimams. Darbai laikomi linijiniais, netiesines lygtis tiek pirmieji, tiek aukštesni užsakymai
A""(0 - IIX (t)SM (O A""(O = PRIEŠ,
lygtys su periodiniais koeficientais, taip pat su paskirstytuoju (2) tipo vėlavimu.
Priešingai nei darbuose, kuriuose lygtys buvo nagrinėjamos erdvėse, turinčiose eksponentinį svorį, tolimesni tyrimai buvo atlikti erdvėse, kurių galios dėsnio svoris yra (l + |/|2l).
IN šis darbas Tęsiami (1) lygties tyrimai
tarpai su savavališkais formos galios svoriais (l + |/|2"
Nagrinėjamoms lygtims tirti naudojami gerai žinomi diferencialinių lygčių teorijos, funkcinės analizės, kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos metodai bei lygčių su nukrypstančiu argumentu specifikos pasiūlyti metodai.
Tirdami lygtis Hilberto erdvėje, visada turėjome omenyje gautų rezultatų pritaikymą dalinėms diferencialinėms lygtims, begalinės sistemos, nors į vienodaiši teorija
taip pat gali būti naudojamas įprastų diferencialinių lygčių sistemoms, kurias studijuoja daugelis žmonių.
Esminis naudojamo metodo taškas yra diferencialinės lygties transformavimas į algebrinė lygtis(dalinės diferencialinės lygtys įprastinė lygtis) naudojant Furjė transformaciją, kuri įveikia tam tikrus sunkumus ir išvengia iškilusių kliūčių. Tačiau išsprendus „lengvąją“ problemą, norint gauti pirminės problemos sprendimą, reikia kreiptis atvirkštinė konversija Furjė, kur gėris vaidina svarbų vaidmenį garsioji teorema Plancherel (Parseval), jungiantis šių dviejų problemų sprendimus.
Kai lygtys nagrinėjamos erdvėse, kurių eksponentinis svoris exp(ctf), a = const e R, tai lygybei taikome Plancherelio teoremą
y., mes naudojame lygybę
Jei svorio funkcija yra laipsnio formos \t\" visas laipsnis n, taikydami Plancherelio teoremą lygybei c1"u
turime teiginį d"u(X)
Situacija labai pasikeičia, kai svorio funkcija turi savavališko laipsnio \t\a, O formą< а < 1.
Taikant ankstesniais atvejais žinomus ir naudotus metodus, čia vengiama naudoti trupmeninę diferenciaciją pagal Liouville
Dau(t) =-----!-----
ier(l-flf)i(/-5)
Pagrindinės žymos ir apibrėžimai
Pirmiausia pateiksime darbe dažniausiai vartojamus žymėjimus ir apibrėžimus bei kai kuriuos jų paaiškinimus. X, Y – Hilberto tarpai, X su Y, \\x (\\-\\Y) – norma erdvėje
X(y), \\\\x > |||y. Paskutinę nelygybę siūloma tenkinti. L(E(, E2) - visiškai ištisinių operatorių aibė nuo?, iki?2. L(EX, E2) - apribotų operatorių aibė nuo?, iki E2. Lo (E(, E2) - uždarųjų operatorių aibė nuo? Iš E2 F(EX, E2) yra Fredholmo operatorių rinkinys iš E2, E2 yra tiesinės normuotos erdvės.
G(a) yra gama funkcija. A yra lygus pagal apibrėžimą.
R" - n - matmenų Euklido realioji erdvė, R = (-oo, oo).
ACX - absoliučiai tęstinis rinkinys skaliarines funkcijas tarpais
apibrėžimai I.
Suppu(t) - (/, u(t) ¦*¦ О) n G - apibrėžto ir tęstinio įjungimo palaikymas
atviras funkcijų rinkinys GczR.
C yra kompleksinio kintamojo plokštuma.
Cq(G) – atviroje aibėje be galo diferencijuojamų aibė
G veikia su kompaktiškomis atramomis G.
Jie sako, kad / ant E yra tvarka cp arba / yra O didelis nuo<р на Е и пишут при этом fit) = 0(
I)\R"*,X) - stipriai tęstinių funkcijų rinkinio u(t) užbaigimas su kompaktiškomis atramomis R"? ir su X reikšmėmis pagal normą
X^° - funkcijų rinkinio užbaigimas u(t), u(t) = 0, t< t0, с компактными
nešėjai ir kurių reikšmės yra X, turinčios stipriai tęstines išvestines Y normos atžvilgiu
A = const, t0 >-oo.
J 7°f – funkcijų rinkinio u(t), u(t) – 0 užbaigimas, /< /0, с компактными
nešikliai R"l ir su reikšmėmis Y pagal normą
(Y J(l + |/|2a)||M"(O|^H, a = const, t0 >-oo.
= \h(t)ACRla, h"(t)
Sh(t)u(t)Au(t-h(t)).
XA (g) – būdinga funkcija operatorius A. Jis įvedamas visiškai ištisiniams operatoriams ir, duotas e, nustatomas iš nelygybės
u(Z)A(u(t)) yra funkcijos u(t) Furjė transformacija.
Ca yra konstanta, priklausanti nuo a.
(1) lygties, kurios koeficientai priklauso erdvei L(X, Y) sprendiniu, turime omenyje funkciją u(t), kuri yra stipriai tolydi Y, turi stiprią išvestinę beveik visiems t Y ir tenkina lygtį.
Linijinis operatorius A: X -> Y vadinamas nuolat apverčiamu, jei tenkinamos šios sąlygos:
1) verčių diapazonas Im A = Y,
2) operatorius A yra apverčiamas,
3) Al yra ribotas.
j Simboliai operatoriams:
Visose nagrinėjamose išraiškose Aj, Aj(t) yra riboti
operatoriai, kurių apibrėžimo sritys priklauso erdvei X, o reikšmių sritys priklauso erdvei Y.
Kaip operatoriai nuo Y iki Γ jie laikomi neapribotais uždarais operatoriais.
Jei esant A = A0 operatoriaus kvazispindulio verčių diapazonas 1m(bp(A0))
AE-^Ajeexp(-iAhj) yra tankus erdvėje X ir operatorius bp(A0)
turi ištisinį atvirkštinį operatorių Rp(A0), tada sakome, kad kompleksinis skaičius A^ priklauso operatoriaus Ap skiriamajai aibei p(Ap): X -> Y.
Operatorius Rp(A0) vadinamas operatoriaus Ap tirpikliu taške A = Ao. Viso visuma kompleksiniai skaičiai A, nepriklausanti tirpiklių aibei p(Ap), vadinama operatoriaus Ap spektru ir žymima c(Ap). Yra trys spektro tipai: 1) taško spektras Ra - reikšmių rinkinys A = Do, kuriam atvirkštinis operatorius Rp(A) neegzistuoja. Kitaip tariant, lygtis
bp(A0)(p0 = A0(p0 -^Aj exp(-iAohj)
2) Nepertraukiamas spektras Co - reikšmių rinkinys A = A0, kuriam yra atvirkštinis operatorius Rp(A0), bet jis nėra tęstinis. Kitaip tariant, Lp(A0) turi atvirkštinį operatorių Rp(A0) su tankiu apibrėžimo domenu Y, bet yra seka cpn € X,\<».
3) Likutinis spektras Ra yra reikšmių rinkinys A = 0, kuriam yra atvirkštinis operatorius Rap(A0), kurio sritis Y nėra tanki, t.y. yra elementas<р <= Y такой, что для любого элемента у/ еХ имеет место равенство exp(-U0/(0^
Jei f(t)eL\R",H), tada /(Л) = (2*)"г Jexp(-W/)/(/)«//, (Л,/)=5\у*.
Funkcija f(t) = (2tr) 2 |exp(W)/(I)?/I vadinama atvirkštine
Funkcijos /(/) Furjė transformacija.
Plancherelio teorema. Furjė transformacija paima funkcijas nuo L2(R, H) iki L2(R, H). Tiksliau, jei f(t)eL2(R,H), tai funkcija DL) egzistuoja ir /(/) e L2(R, H).
>, f(t) = lim -±= |exP(
Iš šios teoremos išplaukia, kad jei JmX - a φ 0, tai
: -7= jexp(Ш)f(Л)dЛ = -j= |exp(/((T + ia)t)f(a + ia)da = v2;r 1тЛ=а - у/2л: \тЛ =0
Exp(-at)-j= JQxp(iot)f(a + ia)d(T, iš kur
exp(af)/(/) = -j= jexp(iot)f(cr + ia)d
Plancherelis
\\?W\HdXB |LYa)|/I =
Oo+/ar Im D=a - oo
apibendrinta Plancherelio teorema.
Tęstinumas, diferencijavimas, reguliarumas.
Sakoma, kad funkcija u(t) e H yra tolydi taške t0, jei
|u(O-u(*o)|// ~> 0, kai / -> /0 ir tolydis [a, 6], jei jis yra ištisinis kiekviename atkarpos [a, b] taške. Tolydumo norma [ a, b] b] funkcija yra skaliarinė ištisinė funkcija.
Sakoma, kad funkcija u(t) yra diferencijuota taške /0, jei
yra elementas еН toks, kad
kai A/ -> 0.
Funkcija yra diferencijuojama intervale (intervalas, pusės intervalas), jei ji yra diferencijuojama kiekviename intervalo taške (intervalas, pusės intervalas).
Funkcija u(t) vadinama reguliaria srityje G su C, jei ji turi išvestinę kiekviename šios srities taške.
Analitinė funkcija kiekvieno taško t0 e G kaimynystėje beveik nesiplečia
*(>) = |>„("-"оГ, kur an=±u"(t0)eH.
Apribotas tiesinis operatorius - funkcija /?(R) vadinama įprasta funkcija A tam tikrame domene D, jei kiekviename šios srities taške
iki tam tikros ribos R"(X). R(X) galioja Koši teorema apie integralo išnykimą uždarame kontūre. Kaimynystėje
izoliuoto vienaskaitos taško skilimas vyksta
konverguojantis normoje lokaliai tolygiai A atžvilgiu. Vienaskaitos taškas Ao yra polius, jei pastarajame yra tik baigtinis skaičius neigiamų galių A-Ao. Jei δ(A) srityje D turi tik polius kaip vienaskaitos taškus, tai R(A) vadinama meromorfine funkcija.
Laikoma, kad tiesinis operatorius A:X-*Y yra uždaras, jei iš x„ e D(A) ir (xn, Axn) -„(x, y) išplaukia, kad x e D(A) ir y = AX. Su operatoriumi A operatorius LE-A yra uždarytas arba neuždarytas (su apibrėžimo sritimi D(A)). Todėl jei yra apribotas atvirkštinis operatorius (LE-A)~1, tai operatorius A yra uždaras.
Jei VueX tenkinama nelygybė \Au\Y< C\u\x, то оператор А
vadinama ribotąja, o mažiausia konstantos C reikšmė – operatoriaus A norma l^l^j, = \\a\\y. Apribotasis operatorius yra tolydis.
Ir atvirkščiai, ištisinis tiesinis operatorius, apibrėžtas visoje erdvėje X, yra ribojamas.
Tiesinis operatorius vadinamas visiškai tęstiniu, jei jis apibrėžtas visoje erdvėje X ir kiekvieną aibę, apribotą X, atvaizduoja į kompaktišką aibę Y.
Laikoma, kad ribotas tiesinis operatorius A(t) yra stipriai tolydis, jei \A(j - h)- A(t)\\ -» 0, kai h -> 0.
Arzelio teorema. Leiskite // būti kompaktiškai įterpti į H2. Jei funkcijų šeima (m(/)), apibrėžta kompaktinėje aibėje [a, b], yra tolygiai apribota erdvės H normoje, o tolygiai ištisinė erdvės H2 normoje, tai yra, || m(/)||i ^C» || "(f + h)-u(t)\H
Holomorfinių operatoriaus funkcijų teorema. Yra žinoma, kad jei T(A):X^>Y yra holomorfinis ir egzistuoja T~\A):Y -> X, tai Γ"1(H) yra holomorfinė operatoriaus funkcija. teorema apie ribinio invertibilumo stabilumą.
Peley-Wienerio teorema. Kad funkcija f(x) (-00< х < оо)
b leido pavaizduoti /O) = |exp(/Ax)^/(I)c/I (^/(I) e L2 (a, b)), tai būtina
ir pakanka, kad funkcija f(x) turi integruojamąjį kvadratą visoje realiojoje ašyje ir gali būti toliau apibrėžta plokštumoje kaip visa baigtinio laipsnio funkcija. Be to, jei intervalo (a, b) negalima pakeisti
mažesnis intervalas, tada įsivaizduojamos ašies atkarpa sutampa su funkcijos /(r) konjuguota diagrama.
Nelygybė visiškai nenutrūkstamiems operatoriams. Jei A:X ~>Y yra visiškai ištisinis operatorius, tai bet kuriam b > O yra konstanta XA(?)>, kurią galioja nelygybė
\Au\Y< e\u\x + xA {e%u\Y для любого и е X с Г.
Vieneto padalijimas.
Tegu G yra atviroji aibė erdvėje R*. Tarkime, kad šeima atviri rinkiniai(C?;: /e/) apima G, tai yra, G = U G,.
Tada C0L(/?) klasės funkcijų sistema (^(.(r):/e/) yra tokia, kad bet kuriam /e/ atrama suppOt(t) yra tam tikroje aibėje G, 0< <9,(г)< 1 для
all iel, 5]^,(0=1 Visiems teG, vadinamas vienybės skaidiniu, atitinkančiu dangą ((7,.: / e /).
Alternatyva Fredholmui.
Tegu T yra visiškai tęstinis operatorius Banacho erdvėje B ir
Aš esu fiksuotas ir ne nulis skaičius. Tokiomis sąlygomis
nehomogenines lygtis
(LE-T)x = y, (5)
[LE-GU=y (6)
bet y e B ir y "eB" turi unikalius sprendimus tada ir tik
tada kai vienarūšės lygtys
(AE-T)x = 0, (7)
(LE-7")s"=0 (8)
turi tik nulį sprendimų. Be to, jei viena iš vienalyčių lygčių turi nulinį sprendinį, tada jos abi turi tiek pat nepriklausomų sprendinių. Šiuo atveju (5) ir (6) lygtys turi sprendimą tada ir tik tada, kai vektoriai y ir y" yra stačiakampiai visiems (7) ir (8) lygčių sprendiniams.
Kompaktiška investicija.
Tapatybės operatorius A: H, -> H2, susiejantis elementą xH( su tuo pačiu elementu kaip ir erdvės H2 elementas, vadinamas erdvės H įterpimo operatoriumi į erdvę H2. Jei operatorius
įterpimas yra visiškai tęstinis operatorius, tada įterpimas vadinamas kompaktišku.
Disertaciją sudaro trys skyriai, suskirstyti į 10 pastraipų. Pirmasis skyrius skirtas lygties išsprendžiamumui
Lpou(t) – D, u(t) – ?)
