Prisiminkime užduotį, su kuria susidūrėme ieškant apibrėžtųjų integralų:

arba dy = f(x)dx. Jos sprendimas:

ir belieka skaičiuoti neapibrėžtas integralas. Praktikoje dažniau pasitaiko sunki užduotis: rasti funkciją y, jei žinoma, kad jis tenkina formos santykį

Šis ryšys sieja nepriklausomą kintamąjį x, nežinoma funkcija y ir jos dariniai iki eilės n imtinai, yra vadinami .

Diferencialinė lygtis apima funkciją po vienos ar kitos eilės išvestinių (arba diferencialų) ženklu. Aukščiausia tvarka vadinama tvarka (9.1) .

Diferencialinės lygtys:

- Pirmas užsakymas,

Antras užsakymas

- penktoji tvarka ir kt.

Funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį, vadinama jos sprendimu , arba integralinis . Ją išspręsti reiškia rasti visus jos sprendimus. Jei reikiamai funkcijai y pavyko gauti formulę, kurioje pateikiami visi sprendimai, tada sakome, kad ją radome bendras sprendimas, arba bendrasis integralas.

Bendras sprendimas yra n savavališkos konstantos ir atrodo

Jei gaunamas santykis, kuris susijęs x, y Ir n savavališkos konstantos, tokia forma, kuri neleidžiama y -

tada toks ryšys vadinamas (9.1) lygties bendruoju integralu.

Cauchy problema

Kiekvienas konkretus sprendimas t.y. kiekviena specifinė funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį ir nepriklauso nuo savavališkų konstantų, vadinama konkrečiu sprendimu , arba dalinis integralas. Norint gauti konkrečius sprendinius (integralus) iš bendrųjų, reikia pateikti konkrečias konstantas skaitines reikšmes.

Tam tikro sprendimo grafikas vadinamas integraliąja kreive. Bendrasis sprendimas, kuriame yra visi daliniai sprendiniai, yra integralinių kreivių šeima. Pirmos eilės lygčiai ši šeima priklauso nuo vienos savavališkos lygties konstantos n-tas užsakymas - nuo n savavališkos konstantos.

Koši problema yra rasti konkretų lygties sprendimą n- eilinis, patenkinamas n pradinės sąlygos:

pagal kuriuos nustatoma n konstantų c 1, c 2,..., c n.

1 eilės diferencialinės lygtys

Pirmos eilės diferencialinei lygčiai, kuri yra neišspręsta išvestinės atžvilgiu, ji turi formą

arba leistinam santykinai

3.46 pavyzdys. Raskite bendrąjį lygties sprendimą

Sprendimas. Integruodami gauname

kur C yra savavališka konstanta. Jei C priskiriame konkrečias skaitines reikšmes, gauname konkrečius sprendimus, pvz.

3.47 pavyzdys. Apsvarstykite didėjančią į banką deponuojamų pinigų sumą, kuriai priskaičiuojama 100 r sudėtines palūkanas per metus. Tegul Yo yra pradinė pinigų suma, o Yx - pabaigoje x metų. Jei palūkanas skaičiuoja kartą per metus, gauname

kur x = 0, 1, 2, 3,.... Kai palūkanos skaičiuojamos du kartus per metus, gauname

kur x = 0, 1/2, 1, 3/2,.... Skaičiuojant palūkanas n kartą per metus ir jei x paima nuoseklias reikšmes 0, 1/n, 2/n, 3/n,..., tada

Nurodykite 1/n = h, tada ankstesnė lygybė atrodys taip:

Su neribotu padidinimu n(at ) riboje pasiekiame pinigų sumos didinimo procesą nuolat kaupiant palūkanas:

Taigi aišku, kad nuolat keičiantis x pinigų pasiūlos kitimo dėsnis išreiškiamas 1 eilės diferencine lygtimi. kur Y x yra nežinoma funkcija, x- nepriklausomas kintamasis, r- pastovus. Išspręskime šią lygtį, kad tai padarytume, perrašome taip:

kur , arba , kur P reiškia e C .

Iš pradinių sąlygų Y(0) = Yo randame P: Yo = Pe o, iš kur Yo = P. Todėl sprendinys turi tokią formą:

Apsvarstykime antrąjį ekonomine problema. Makroekonominiai modeliai taip pat aprašomi I eilės tiesinėmis diferencialinėmis lygtimis, apibūdinančiomis pajamų arba produkcijos Y pokyčius kaip laiko funkcijas.

3.48 pavyzdys. Leisti Nacionalinės pajamos Y didėja greičiu, proporcingu jo dydžiui:

ir tegul valdžios sektoriaus išlaidų deficitas yra tiesiogiai proporcingas pajamoms Y su proporcingumo koeficientu q. Dėl išlaidų deficito didėja valstybės skola D:

Pradinės sąlygos Y = Yo ir D = Do, kai t = 0. Iš pirmosios lygties Y = Yoe kt. Pakeitę Y gauname dD/dt = qYoe kt . Bendras sprendimas turi formą
D = (q/ k) Yoe kt +С, kur С = const, kuris nustatomas iš pradinių sąlygų. Pakeitę pradines sąlygas, gauname Do = (q/ k)Yo + C. Taigi, galiausiai,

D = Do +(q/k)Yo (e kt -1),

iš to aišku, kad valstybės skola didėja tiek pat santykinis greitis k, tokios pat kaip nacionalinės pajamos.

Panagrinėkime paprasčiausias diferencialines lygtis n eilės, tai yra formos lygtys

Jo bendrą sprendimą galima gauti naudojant n kartų integracijos.

3.49 pavyzdys. Apsvarstykite pavyzdį y """ = cos x.

Sprendimas. Integruodami, randame

Bendras sprendimas turi formą

Tiesinės diferencialinės lygtys

Jie plačiai naudojami ekonomikoje, pasvarstykime, kaip išspręsti tokias lygtis. Jei (9.1) turi tokią formą:

tada jis vadinamas tiesiniu, kur рo(x), р1(x),..., рn(x), f(x) - nurodytas funkcijas. Jei f(x) = 0, tai (9.2) vadinamas vienarūšiu, kitu atveju nehomogeniniu. Bendrasis lygties (9.2) sprendinys yra lygus bet kurio konkrečių jos sprendinių sumai y(x) ir ją atitinkančios homogeninės lygties bendras sprendinys:

Jei koeficientai р o (x), р 1 (x),..., р n (x) yra pastovūs, tai (9.2)

(9.4) vadinama tiesine diferencialine lygtimi su pastovūs koeficientaiįsakymas n .

(9.4) turi tokią formą:

Neprarasdami bendrumo, galime nustatyti p o = 1 ir įrašyti (9.5) į formą

Ieškosime sprendinio (9.6) formoje y = e kx, kur k yra konstanta. Mes turime: ; y " = ke kx , y "" = k 2 e kx , ..., y (n) = kne kx . Pakeisdami gautas išraiškas į (9.6), turėsime:

(9.7) yra algebrinė lygtis, jos nežinomas yra k, tai vadinama charakteristika. Būdingoji lygtis turi laipsnį n Ir nšaknys, tarp kurių gali būti tiek daug, tiek sudėtingų. Tegul k 1 , k 2 ,..., k n yra tikri ir skirtingi - konkretūs sprendimai (9.7) ir bendrieji

Apsvarstykite tiesinę homogeninę antros eilės diferencialinę lygtį su pastoviais koeficientais:

Jai būdinga lygtis turi formą

(9.9)

jo diskriminantas D = p 2 - 4q, priklausomai nuo D ženklo, galimi trys atvejai.

1. Jei D>0, tai šaknys k 1 ir k 2 (9.9) yra tikrosios ir skirtingos, o bendrasis sprendinys turi tokią formą:

Sprendimas. Charakteristinė lygtis: k 2 + 9 = 0, iš kur k = ± 3i, a = 0, b = 3, bendrasis sprendimas turi tokią formą:

y = C 1 cos 3x + C 2 sin 3x.

Tyrime naudojamos 2 eilės tiesinės diferencialinės lygtys ekonominis modelis voratinklio tipas su prekių atsargomis, kai P kainos kitimo greitis priklauso nuo atsargų dydžio (žr. 10 punktą). Jei pasiūla ir paklausa yra tiesinės kainos funkcijos, tai yra

a yra konstanta, kuri lemia reakcijos greitį, tada kainos kitimo procesas apibūdinamas diferencine lygtimi:

Tam tikram sprendimui galime paimti konstantą

prasminga pusiausvyros kaina. Nukrypimas tenkina homogeninę lygtį

(9.10)

Būdinga lygtis bus tokia:

Jei terminas teigiamas. Pažymėkime . Šaknys charakteristikos lygtis k 1,2 = ± i w, todėl bendrasis sprendinys (9.10) turi tokią formą:

kur C ir yra savavališkos konstantos, jos nustatomos iš pradinių sąlygų. Gavome kainų kitimo laikui bėgant dėsnį:

Diferencialinių lygčių sprendimas. Ačiū mūsų internetinė paslauga Galite spręsti bet kokio tipo ir sudėtingumo diferencialines lygtis: nevienalytes, vienarūšes, netiesines, tiesines, pirmos, antros eilės, su atskiriamais ar neatskiriamais kintamaisiais ir kt. Jūs gaunate diferencialinių lygčių sprendimą analitine forma su Išsamus aprašymas. Daugelis žmonių domisi: kodėl diferencialines lygtis reikia spręsti internetu? Šis tipas lygtys yra labai paplitusios matematikoje ir fizikoje, kur nebus įmanoma išspręsti daugelio uždavinių neapskaičiavus diferencialinės lygties. Diferencialinės lygtys taip pat paplitusios ekonomikos, medicinos, biologijos, chemijos ir kituose moksluose. Tokios lygties sprendimas yra internetinis režimas Tai labai palengvina užduotis, suteikia galimybę geriau suprasti medžiagą ir išbandyti save. Diferencialinių lygčių sprendimo privalumai internetu. Šiuolaikinė matematinių paslaugų svetainė leidžia internetu išspręsti bet kokio sudėtingumo diferencialines lygtis. Kaip žinote, yra didelis skaičius diferencialinių lygčių tipų ir kiekviena iš jų turi savo sprendimo būdus. Mūsų paslaugoje galite rasti bet kokios eilės ir tipo diferencialinių lygčių sprendimus internete. Norėdami gauti sprendimą, siūlome užpildyti pradinius duomenis ir paspausti mygtuką „Sprendimas“. Paslaugos veikimo klaidos neįtraukiamos, todėl galite būti 100% tikri, kad gavote teisingą atsakymą. Išspręskite diferencialines lygtis naudodami mūsų paslaugą. Išspręskite diferencialines lygtis internete. Pagal numatytuosius nustatymus tokioje lygtyje funkcija y yra x kintamojo funkcija. Bet taip pat galite nurodyti savo kintamojo pavadinimą. Pavyzdžiui, jei diferencialinėje lygtyje nurodote y(t), mūsų paslauga automatiškai nustatys, kad y yra t kintamojo funkcija. Visos diferencialinės lygties tvarka priklausys nuo maksimalus užsakymas lygtyje esančios funkcijos išvestinė. Išspręsti tokią lygtį reiškia rasti norimą funkciją. Mūsų paslauga padės išspręsti diferencialines lygtis internetu. Norint išspręsti lygtį, nereikia daug pastangų. Jums tereikia įvesti kairę ir dešinę lygties puses į reikiamus laukus ir spustelėti mygtuką „Sprendimas“. Įvedant funkcijos išvestinę reikia pažymėti apostrofu. Per kelias sekundes gausite gatavą produktą detalus sprendimas diferencialinė lygtis. Mūsų paslauga yra visiškai nemokama. Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais. Jei diferencialinėje lygtyje kairėje pusėje yra išraiška, kuri priklauso nuo y, o dešinėje yra išraiška, kuri priklauso nuo x, tai tokia diferencialinė lygtis vadinama atskiriamais kintamaisiais. Kairėje pusėje gali būti y išvestinė, tokio tipo diferencialinių lygčių sprendimas bus y funkcijos forma, išreiškiamas per dešinės lygties pusės integralą. Jei kairėje pusėje yra y funkcijos diferencialas, tai šiuo atveju abi lygties pusės yra integruotos. Kai diferencialinės lygties kintamieji nėra atskirti, juos reikės atskirti, kad būtų gauta atskirta diferencialinė lygtis. Tiesinė diferencialinė lygtis. Diferencialinė lygtis, kurios funkcija ir visos jos išvestinės yra pirmojo laipsnio, vadinama tiesine. Bendra forma lygtys: y’+a1(x)y=f(x). f(x) ir a1(x) yra nuolatinės funkcijos nuo x. Šio tipo diferencialinių lygčių sprendimas redukuojasi į dviejų diferencialinių lygčių su atskirtais kintamaisiais integravimą. Diferencialinės lygties tvarka. Diferencialinė lygtis gali būti pirmos, antros, n-osios eilės. Diferencialinės lygties tvarka nustato didžiausios joje esančios išvestinės eilės tvarką. Mūsų paslaugoje galite internetu išspręsti diferencialines lygtis pirmai, antrai, trečiai ir kt. įsakymas. Lygties sprendimas bus bet kokia funkcija y=f(x), pakeitus ją į lygtį, gausite tapatybę. Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas integravimu. Cauchy problema. Jei, be pačios diferencialinės lygties, pirmasis pradinė būklė y(x0)=y0, tada tai vadinama Koši problema. Rodikliai y0 ir x0 pridedami prie lygties sprendimo ir nustatoma savavališkos konstantos C reikšmė, o tada nustatomas konkretus lygties sprendimas esant šiai C vertei. Tai yra Koši problemos sprendimas. Koši problema taip pat vadinama problema su ribines sąlygas, kuris labai paplitęs fizikoje ir mechanikoje. Taip pat turite galimybę nustatyti Koši problemą, tai yra, iš visų galimi sprendimai lygtį, pasirinkite koeficientą, kuris atitinka nurodytas pradines sąlygas.

Paprastoji diferencialinė lygtis yra lygtis, susiejanti nepriklausomą kintamąjį, nežinomą šio kintamojo funkciją ir įvairios eilės jo išvestinius (arba diferencialus).

Diferencialinės lygties tvarka vadinamas aukščiausios jame esančios išvestinės eilės tvarka.

Be įprastų, tiriamos ir dalinės diferencialinės lygtys. Tai lygtys, susijusios su nepriklausomais kintamaisiais, nežinoma šių kintamųjų funkcija ir jos dalinės išvestinės tų pačių kintamųjų atžvilgiu. Bet mes tik apsvarstysime įprastos diferencialinės lygtys ir todėl trumpumo dėlei praleisime žodį „įprastas“.

Diferencialinių lygčių pavyzdžiai:

(1) ;

(3) ;

(4) ;

(1) lygtis yra ketvirtos eilės, (2) lygtis yra trečios eilės, (3) ir (4) lygtys yra antros eilės, (5) lygtis yra pirmos eilės.

Diferencialinė lygtis n eilėje nebūtinai turi būti aiški funkcija, visos jos išvestinės nuo pirmosios iki n-osios eilės ir nepriklausomas kintamasis. Jame negali būti aiškių tam tikrų eilučių išvestinių, funkcijos ar nepriklausomo kintamojo.

Pavyzdžiui, (1) lygtyje aiškiai nėra trečios ir antros eilės išvestinių, taip pat funkcijos; (2) lygtyje - antros eilės išvestinė ir funkcija; (4) lygtyje – nepriklausomas kintamasis; (5) lygtyje – funkcijos. Tik (3) lygtyje yra aiškiai visos išvestinės, funkcija ir nepriklausomas kintamasis.

Diferencialinės lygties sprendimas kiekviena funkcija vadinama y = f(x), kai pakeičiama į lygtį, ji virsta tapatybe.

Diferencialinės lygties sprendimo paieškos procesas vadinamas jo integracija.

1 pavyzdys. Raskite diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Parašykime šią lygtį į formą . Sprendimas yra surasti funkciją iš jos išvestinės. Pradinė funkcija, kaip žinoma iš integralinio skaičiavimo, yra antiderivatinė, t.y.

Štai kas yra šios diferencialinės lygties sprendimas . Keistis joje C, gausime skirtingus sprendimus. Sužinojome, kad yra begalinis rinkinys pirmosios eilės diferencialinės lygties sprendiniai.

Bendrasis diferencialinės lygties sprendimas n eilė yra jos sprendimas, aiškiai išreikštas nežinomos funkcijos atžvilgiu ir turintis n nepriklausomos savavališkos konstantos, t.y.

1 pavyzdyje pateiktos diferencialinės lygties sprendimas yra bendras.

Dalinis diferencialinės lygties sprendimas vadinamas sprendimas, kuriame savavališkoms konstantoms suteikiamos konkrečios skaitinės reikšmės.

2 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą ir konkretų sprendimą .

Sprendimas. Integruokime abi lygties puses tiek kartų, kiek lygi diferencialinės lygties tvarkai.

,

.

Dėl to gavome bendrą sprendimą -

pateiktos trečios eilės diferencialinės lygties.

Dabar suraskime konkretų sprendimą nurodytomis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, pakeiskite jų reikšmes vietoj savavališkų koeficientų ir gaukite

.

Jei, be diferencialinės lygties, pradinė sąlyga pateikiama forma , tai tokia problema vadinama Cauchy problema . Pakeiskite reikšmes ir į bendrą lygties sprendimą ir raskite savavališkos konstantos reikšmę C, o tada konkretus rastos reikšmės lygties sprendimas C. Tai yra Koši problemos sprendimas.

3 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai iš 1 pavyzdžio subjekto .

Sprendimas. Pradinės sąlygos reikšmes pakeisime bendruoju sprendimu y = 3, x= 1. Gauname

Užrašome šios pirmos eilės diferencialinės lygties Koši uždavinio sprendimą:

Norint išspręsti diferencialines lygtis, net ir pačias paprasčiausias, reikia gerų integravimo ir išvestinių įgūdžių, įskaitant sudėtingas funkcijas. Tai galima pamatyti toliau pateiktame pavyzdyje.

4 pavyzdys. Raskite bendrą diferencialinės lygties sprendimą.

Sprendimas. Lygtis parašyta tokia forma, kad galėtumėte iškart integruoti abi puses.

.

Taikome integravimo keičiant kintamąjį metodą (pakeitimą). Tegul tada būna.

Privaloma paimti dx o dabar – dėmesys – tai darome pagal kompleksinės funkcijos diferenciacijos taisykles, kadangi x ir yra sudėtinga funkcija(„obuolys“ - ekstrahavimas kvadratinė šaknis arba, kas yra tas pats - pakėlimas į galią „pusė“, o „malta mėsa“ yra pati išraiška po šaknimi):

Mes randame integralą:

Grįžtant prie kintamojo x, mes gauname:

.

Tai yra bendras šios pirmojo laipsnio diferencialinės lygties sprendimas.

Ne tik ankstesnių skyrių įgūdžiai aukštoji matematika bus reikalingi sprendžiant diferencialines lygtis, bet ir įgūdžių iš pradinių, t mokyklinė matematika. Kaip jau minėta, bet kokios eilės diferencialinėje lygtyje gali nebūti nepriklausomo kintamojo, ty kintamojo x. Išspręsti šią problemą padės mokyklos žinios apie proporcijas, kurios nebuvo pamirštos (tačiau, priklausomai nuo to, kas). Tai yra kitas pavyzdys.

Pirmosios eilės diferencialinės lygtys. Sprendimų pavyzdžiai.
Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais

Diferencialinės lygtys (DE). Šie du žodžiai paprastai kelia siaubą paprastam žmogui. Diferencialinės lygtys daugeliui studentų atrodo pernelyg sudėtingos ir sunkiai įvaldomos. Uuuuuu... diferencialinės lygtys, kaip man visa tai išgyventi?!

Tokia nuomonė ir toks požiūris yra iš esmės klaidingi, nes iš tikrųjų DIFERENCINĖS LYGTYBĖS – PAPRASTAS IR NET LINKSMAS. Ką reikia žinoti ir mokėti, kad išmoktum spręsti diferencialines lygtis? Dėl sėkmingas tyrimas turi gerai integruoti ir atskirti. Kuo geriau nagrinėjamos temos Vieno kintamojo funkcijos išvestinė Ir Neapibrėžtas integralas, tuo lengviau bus suprasti diferencialines lygtis. Pasakysiu daugiau, jei turite daugiau ar mažiau padorų integracijos įgūdžių, tada tema jau beveik įvaldyta! Kuo daugiau integralų įvairių tipų tu žinai, kaip nuspręsti – tuo geriau. Kodėl? Turėsite daug integruotis. Ir atskirti. Taip pat labai rekomenduojama išmokti rasti.

95% atvejų į bandymai Yra 3 pirmosios eilės diferencialinių lygčių tipai: atskiriamas lygtis kurią apžvelgsime šioje pamokoje; vienarūšės lygtys Ir tiesinės nehomogeninės lygtys. Tiems, kurie pradeda studijuoti difuzorius, patariu perskaityti pamokas būtent tokia tvarka, o išstudijavus pirmuosius du straipsnius, nepakenks sustiprinti savo įgūdžius papildomame seminare - lygtys redukuojamos į vienarūšes.

Yra dar daugiau retos rūšys diferencialinės lygtys: lygtys suminiuose diferencialuose, Bernulio lygtys ir kai kurios kitos. Svarbiausi iš paskutinių dviejų tipų yra lygtys in pilni diferencialai, nes be šio nuotolinio valdymo pulto svarstau nauja medžiaga – dalinė integracija.

Jei liko tik diena ar dvi, Tai itin greitam paruošimui Yra žaibo kursas pdf formatu.

Taigi, orientyrai nustatyti – eime:

Pirmiausia prisiminkime įprastas algebrines lygtis. Juose yra kintamųjų ir skaičių. Paprasčiausias pavyzdys: . Ką reiškia išspręsti įprastą lygtį? Tai reiškia rasti skaičių rinkinys, kurios tenkina šią lygtį. Nesunku pastebėti, kad vaikų lygtis turi vieną šaknį: . Kad būtų smagu, patikrinkime ir pakeiskime rastą šaknį į mūsų lygtį:

– gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad sprendimas buvo rastas teisingai.

Difuzoriai sukurti panašiai!

Diferencialinė lygtis Pirmas užsakymas apskritai yra:
1) nepriklausomas kintamasis;
2) priklausomasis kintamasis (funkcija);
3) pirmoji funkcijos išvestinė: .

Kai kuriose pirmosios eilės lygtyse gali nebūti „x“ ir (arba) „y“, tačiau tai nėra reikšminga - svarbu eiti į valdymo kambarį buvo pirmasis vedinys ir neturėjo aukštesnių eilių išvestiniai – , ir kt.

Ką reiškia ? Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti visų funkcijų rinkinys, kurios tenkina šią lygtį. Toks funkcijų rinkinys dažnai turi formą (– savavališką konstantą), kuri vadinama bendras diferencialinės lygties sprendimas.

1 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Pilna amunicija. Kur pradėti sprendimas?

Visų pirma, reikia perrašyti išvestinę šiek tiek kitokia forma. Primename sudėtingą pavadinimą, kuris tikriausiai daugeliui iš jūsų atrodė juokingas ir nereikalingas. Štai kas galioja difuzoriuose!

Antrame žingsnyje pažiūrėkime, ar tai įmanoma atskiri kintamieji? Ką reiškia atskirti kintamuosius? Apytiksliai kalbant, kairėje pusėje mums reikia išvykti tik "graikai", A dešinėje pusėje organizuoti tik "X". Kintamieji skirstomi naudojant „mokyklines“ manipuliacijas: iškeliant juos iš skliaustų, perkeliant terminus iš dalies į dalį keičiant ženklą, perkeliant veiksnius iš dalies į dalį pagal proporcingumo taisyklę ir kt.

Diferencialai ir yra visiški karo veiksmų skleidėjai ir aktyvūs dalyviai. Nagrinėjamame pavyzdyje kintamieji lengvai atskiriami sumetant veiksnius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti. Kairėje pusėje yra tik „Y“, dešinėje – tik „X“.

Kitas etapas - diferencialinės lygties integravimas. Tai paprasta, mes dedame integralus iš abiejų pusių:

Žinoma, reikia imti integralus. IN tokiu atveju jie yra lentelėse:

Kaip prisimename, konstanta priskiriama bet kokiam antidariniui. Čia yra du integralai, bet konstantą užtenka parašyti vieną kartą (kadangi konstanta + konstanta vis tiek yra lygi kitai konstantai). Daugeliu atvejų jis įdedamas dešinioji pusė.

Griežtai tariant, paėmus integralus, diferencialinė lygtis laikoma išspręsta. Vienintelis dalykas yra tai, kad mūsų „y“ neišreiškiamas per „x“, tai yra, pateikiamas sprendimas numanomame forma. Diferencialinės lygties sprendimas implicitine forma vadinamas bendrasis diferencialinės lygties integralas. Tai yra, tai yra bendras integralas.

Atsakymas šia forma yra gana priimtinas, bet ar yra geresnis pasirinkimas? Pabandykime gauti bendras sprendimas.

Prašau, prisiminkite pirmąją techniką, jis yra labai dažnas ir dažnai naudojamas praktines užduotis: jei po integravimo dešinėje pusėje atsiranda logaritmas, tai daugeliu atvejų (bet ne visada!) konstantą taip pat patartina rašyti po logaritmu.

Tai yra, VIETOJ dažniausiai rašomi įrašai .

Kodėl tai būtina? Ir tam, kad būtų lengviau išreikšti „žaidimą“. Naudojant logaritmų savybę . Tokiu atveju:

Dabar logaritmus ir modulius galima pašalinti:

Funkcija pateikiama aiškiai. Tai yra bendras sprendimas.

Atsakymas: bendras sprendimas: .

Atsakymus į daugelį diferencialinių lygčių gana lengva patikrinti. Mūsų atveju tai daroma gana paprastai;

Tada išvestinę pakeičiame į pradinė lygtis :

– gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad bendrasis sprendimas tenkina lygtį, kurią ir reikėjo patikrinti.

Suteikti konstantą skirtingos reikšmės, galite gauti be galo daug privatūs sprendimai diferencialinė lygtis. Akivaizdu, kad bet kuri iš funkcijų , ir kt. tenkina diferencialinę lygtį.

Kartais vadinamas bendrasis sprendimas funkcijų šeima. IN šiame pavyzdyje bendras sprendimas - tai šeima tiesinės funkcijos, tiksliau, tiesioginio proporcingumo šeima.

Nuodugniai peržiūrėjus pirmąjį pavyzdį, tikslinga atsakyti į kelis naivūs klausimai apie diferencialines lygtis:

1)Šiame pavyzdyje mes galėjome atskirti kintamuosius. Ar tai visada galima padaryti? Ne ne visada. Ir dar dažniau kintamieji negali būti atskirti. Pavyzdžiui, į vienarūšės pirmos eilės lygtys, pirmiausia turite jį pakeisti. Kitų tipų lygtyse, pavyzdžiui, pirmosios eilės tiesinėje nehomogeninėje lygtyje, turite naudoti įvairios technikos ir bendro sprendimo paieškos metodai. Lygtys su atskiriamais kintamaisiais, kurias svarstome pirmoje pamokoje - paprasčiausias tipas diferencialines lygtis.

2) Ar visada įmanoma integruoti diferencialinę lygtį? Ne ne visada. Labai lengva sugalvoti „įmantrią“ lygtį, kurios negalima integruoti, be to, yra integralų, kurių negalima imti. Tačiau panašius DE galima išspręsti apytiksliai naudojant specialius metodus. D'Alembertas ir Košis garantuoja... ugh, slepiasi daugiau.Kad tik dabar daug skaityčiau, aš beveik pridėjau „iš kito pasaulio“.

3) Šiame pavyzdyje mes gavome sprendimą bendro integralo pavidalu . Ar visada galima rasti bendrą sprendimą iš bendro integralo, tai yra, aiškiai išreikšti „y“? Ne ne visada. Pavyzdžiui: . Na, kaip čia galima išreikšti „graikiškai“? Tokiais atvejais atsakymas turėtų būti rašomas kaip bendrasis integralas. Be to, kartais galima rasti bendrą sprendimą, tačiau jis parašytas taip gremėzdiškai ir nerangiai, kad geriau palikti atsakymą bendro integralo forma

4) ...galbūt kol kas užteks. Pirmajame pavyzdyje, su kuriuo susidūrėme Kitas svarbus punktas , bet kad „manekenų“ neuždengtų lavina nauja informacija, paliksiu iki kitos pamokos.

Mes neskubėsime. Kitas paprastas nuotolinio valdymo pultas ir kitas tipiškas sprendimas:

2 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą

Sprendimas: pagal būklę reikia susirasti privatus sprendimas DE, kuris tenkina nurodytą pradinę sąlygą. Ši klausimo formuluotė taip pat vadinama Cauchy problema.

Pirmiausia randame bendrą sprendimą. Lygtyje nėra kintamojo „x“, tačiau tai neturėtų klaidinti, svarbiausia, kad ji turi pirmąją išvestinę.

Išvestinę perrašome į tinkama forma:

Akivaizdu, kad kintamuosius galima atskirti, berniukus į kairę, mergaites į dešinę:

Integruokime lygtį:

Gaunamas bendrasis integralas. Čia aš nupiešiau konstantą su žvaigždute, faktas, kad labai greitai ji pavirs kita konstanta.

Dabar bandome paversti bendrąjį integralą bendruoju sprendimu (aiškiai išreikškite „y“). Prisiminkime senus gerus dalykus iš mokyklos: . Tokiu atveju:

Indikatoriaus konstanta atrodo kažkaip nekošeriškai, todėl dažniausiai nuleidžiama ant žemės. Išsamiau, tai atsitinka taip. Naudodamiesi laipsnių savybe, funkciją perrašome taip:

Jei yra konstanta, tai taip pat yra tam tikra konstanta, perskirkime ją raide:

Atminkite, kad konstanta yra „nugriauti“. antroji technika, kuris dažnai naudojamas sprendžiant diferencialines lygtis.

Taigi bendras sprendimas yra toks: . Tai puiki eksponentinių funkcijų šeima.

Paskutiniame etape turite rasti konkretų sprendimą, kuris tenkintų nurodytą pradinę sąlygą. Tai taip pat paprasta.

Kokia užduotis? Reikia pasiimti toks konstantos reikšmę, kad sąlyga būtų įvykdyta.

Jis gali būti suformatuotas įvairiais būdais, bet tai tikriausiai bus aiškiausias būdas. Bendrajame sprendime vietoj „X“ pakeičiame nulį, o vietoj „Y“ – dviem:



Tai yra,

Standartinė versija dizainas:

Dabar rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendimu:
– tai yra konkretus sprendimas, kurio mums reikia.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkime. Privataus sprendimo tikrinimas susideda iš dviejų etapų:

Pirmiausia turite patikrinti, ar konkretus rastas sprendimas tikrai atitinka pradinę sąlygą? Vietoj „X“ pakeičiame nulį ir pamatome, kas atsitiks:
– taip, tikrai, buvo gautas dvejetas, vadinasi, pirminė sąlyga yra įvykdyta.

Antrasis etapas jau pažįstamas. Paimame gautą konkretų sprendimą ir randame išvestinę:

Į pradinę lygtį pakeičiame:

– gaunama teisinga lygybė.

Išvada: konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.

Pereikime prie prasmingesnių pavyzdžių.

3 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį

Sprendimas: Išvestinę perrašome mums reikalinga forma:

Vertiname, ar galima atskirti kintamuosius? Gali. Antrąjį terminą perkeliame į dešinę, pakeisdami ženklą:

Ir mes perkeliame daugiklius pagal proporcingumo taisyklę:

Kintamieji yra atskirti, integruokime abi dalis:

Turiu jus perspėti, kad teismo diena artėja. Jei gerai nesimokote neapibrėžtieji integralai, išsprendėte keletą pavyzdžių, tada nebėra kur dėtis – dabar turėsite juos įvaldyti.

Kairiosios pusės integralą nesunku rasti su kotangento integralu naudodamiesi standartine technika, kurią apžvelgėme pamokoje Trigonometrinių funkcijų integravimas praeitais metais:

Dešinėje pusėje turime logaritmą ir, pagal mano pirmąją techninę rekomendaciją, konstanta taip pat turėtų būti parašyta po logaritmu.

Dabar bandome supaprastinti bendrąjį integralą. Kadangi turime tik logaritmus, tai visiškai įmanoma (ir būtina) jų atsikratyti. Naudojant žinomos savybės Kiek įmanoma „pakuojame“ logaritmus. Aš parašysiu labai išsamiai:

Pakuotė baigta, kad būtų barbariškai suplyšusi:

Ar įmanoma išreikšti „žaidimą“? Gali. Būtina išlyginti abi dalis kvadratu.

Bet jums to daryti nereikia.

Trečias techninis patarimas: jei norint gauti bendrą sprendimą reikia pakelti į galią arba įsišaknyti, tada Daugeliu atvejų turėtumėte susilaikyti nuo šių veiksmų ir palikti atsakymą bendro integralo forma. Faktas yra tas, kad bendras sprendimas atrodys tiesiog baisus - su didelėmis šaknimis, ženklais ir kitomis šiukšlėmis.

Todėl atsakymą rašome bendro integralo forma. Laikoma gera praktika pateikti jį forma , tai yra, dešinėje pusėje, jei įmanoma, palikite tik konstantą. To daryti nebūtina, bet įtikti profesoriui visada naudinga ;-)

Atsakymas: bendras integralas:

! Pastaba: bet kurios lygties bendrasis integralas gali būti parašytas ne vienintelis kelias. Taigi, jei jūsų rezultatas nesutampa su anksčiau žinomu atsakymu, tai nereiškia, kad lygtį išsprendėte neteisingai.

Bendrąjį integralą taip pat gana lengva patikrinti, svarbiausia, kad būtų galima rasti netiesiogiai nurodytos funkcijos išvestinė. Išskirkime atsakymą:

Abu terminus padauginame iš:

Ir padalinti iš:

Pradinė diferencialinė lygtis buvo gauta tiksliai, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

4 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą. Atlikite patikrinimą.

Tai yra pavyzdys savarankiškas sprendimas.

Leiskite jums priminti, kad algoritmas susideda iš dviejų etapų:
1) bendro sprendimo radimas;
2) rasti reikiamą konkretų sprendimą.

Patikra taip pat atliekama dviem etapais (žr. pavyzdį 2 pavyzdyje), jums reikia:
1) įsitikinkite, kad konkretus rastas sprendimas atitinka pradinę sąlygą;
2) patikrinkite, ar konkretus sprendimas apskritai atitinka diferencialinę lygtį.

Pilnas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

5 pavyzdys

Raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą , tenkinantis pradinę sąlygą. Atlikite patikrinimą.

Sprendimas: Pirma, suraskime bendrą sprendimą. Ši lygtis jau yra paruoštų diferencialų, todėl sprendimas yra supaprastintas. Mes atskiriame kintamuosius:

Integruokime lygtį:

Kairėje esantis integralas yra lentelės formos, o dešinėje esantis integralas imamas funkcijos įtraukimo po diferencialiniu ženklu metodas:

Gautas bendrasis integralas, ar galima sėkmingai išreikšti bendrąjį sprendimą? Gali. Iš abiejų pusių pakabiname logaritmus. Kadangi jie yra teigiami, modulio ženklai nereikalingi:

(Tikiuosi, kad visi supranta transformaciją, tokius dalykus jau reikėtų žinoti)

Taigi bendras sprendimas yra toks:

Raskime tam tikrą sprendimą, atitinkantį pateiktą pradinę sąlygą.
Bendrajame sprendime vietoj „X“ pakeičiame nulį, o vietoj „Y“ – dviejų logaritmą:

Labiau pažįstamas dizainas:

Rastą konstantos reikšmę pakeičiame bendruoju sprendiniu.

Atsakymas: privatus sprendimas:

Patikrinkite: Pirmiausia patikrinkime, ar įvykdyta pradinė sąlyga:
- viskas yra gerai.

Dabar patikrinkime, ar rastas konkretus sprendimas iš viso atitinka diferencialinę lygtį. Išvestinio radimas:

Pažiūrėkime į pradinę lygtį: – jis pateikiamas diferencialais. Yra du būdai patikrinti. Galima išreikšti skirtumą nuo rastos išvestinės:

Rastą konkretų sprendimą ir gautą diferencialą pakeisime pradine lygtimi :

Mes naudojame pagrindinę logaritminę tapatybę:

Gaunama teisinga lygybė, o tai reiškia, kad konkretus sprendimas buvo rastas teisingai.

Antrasis tikrinimo būdas yra veidrodinis ir labiau pažįstamas: iš lygties Išreikškime išvestinę, kad tai padarytume, visas dalis padaliname iš:

O į transformuotą DE pakeičiame gautą dalinį sprendinį ir rastą išvestinę. Dėl supaprastinimų taip pat turėtų būti pasiekta teisinga lygybė.

6 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Pateikite atsakymą bendro integralo forma.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, užbaigti sprendimą ir atsakyti pamokos pabaigoje.

Kokie sunkumai laukia sprendžiant diferencialines lygtis su atskiriamais kintamaisiais?

1) Ne visada akivaizdu (ypač „arbatinukui“), kad kintamuosius galima atskirti. Pasvarstykime sąlyginis pavyzdys: . Čia reikia išimti veiksnius iš skliaustų: ir atskirti šaknis: . Aišku ką daryti toliau.

2) Sunkumai su pačia integracija. Integralai dažnai nėra patys paprasčiausi, o jei yra trūkumų rasti įgūdžių neapibrėžtas integralas, tada su daugybe difuzorių bus sunku. Be to, logika „kadangi diferencialinė lygtis paprasta, tegul integralai būna sudėtingesni“ yra populiari tarp rinkinių ir mokymo vadovų sudarytojų.

3) Transformacijos su konstanta. Kaip visi pastebėjo, konstanta diferencialinėse lygtyse gali būti tvarkoma gana laisvai, o kai kurios transformacijos ne visada aiškios pradedančiajam. Pažvelkime į kitą sąlyginį pavyzdį: . Patartina visus terminus padauginti iš 2: . Gauta konstanta taip pat yra tam tikra konstanta, kurią galima žymėti taip: . Taip, ir kadangi dešinėje pusėje yra logaritmas, patartina konstantą perrašyti kitos konstantos forma: .

Bėda ta, kad jie dažnai nesivargina su indeksais ir naudoja tą pačią raidę. Dėl to sprendimo įrašas yra tokios formos:

Kokia erezija? Čia yra klaidų! Griežtai kalbant, taip. Tačiau, žiūrint iš esmės, klaidų nėra, nes transformuojant kintamąją konstantą vis tiek gaunama kintamoji konstanta.

Arba kitas pavyzdys, tarkime, kad sprendžiant lygtį gaunamas bendrasis integralas. Šis atsakymas atrodo negražiai, todėl patartina pakeisti kiekvieno termino ženklą: . Formaliai čia yra dar viena klaida – reikia rašyti dešinėje. Tačiau neoficialiai numanoma, kad „minus ce“ vis dar yra pastovus ( kuris taip pat lengvai gali turėti bet kokią reikšmę!), todėl dėti „minusą“ nėra prasmės ir galite naudoti tą pačią raidę.

Stengsiuosi vengti neatsargaus požiūrio, o konvertuojant konstantoms vis tiek priskirti skirtingus indeksus.

7 pavyzdys

Išspręskite diferencialinę lygtį. Atlikite patikrinimą.

Sprendimas:Ši lygtis leidžia atskirti kintamuosius. Mes atskiriame kintamuosius:

Integruokime:

Nebūtina konstantos čia apibrėžti kaip logaritmą, nes iš to nieko naudingo nebus.

Atsakymas: bendras integralas:

Patikrinkite: atskirkite atsakymą ( numanoma funkcija):

Atsikratome trupmenų, padaugindami abu terminus iš:

Gauta pradinė diferencialinė lygtis, o tai reiškia, kad bendrasis integralas buvo rastas teisingai.

8 pavyzdys

Raskite konkretų DE sprendimą.
,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Vienintelė užuomina yra ta, kad čia gausite bendrąjį integralą, o teisingiau tariant, turite sugalvoti, kad rastumėte ne konkretų sprendimą, o dalinis integralas. Visas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.