Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдлын томъёо. Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх: үндсэн аргууд

Экспоненциал тэгш бус байдал нь нарийн төвөгтэй, ойлгомжгүй зүйл гэж олон хүмүүс боддог. Тэдгээрийг шийдэж сурах нь зөвхөн Сонгогдсон хүмүүсийн л ойлгох чадвартай бараг л агуу урлаг юм...

Бүрэн утгагүй зүйл! Экспоненциал тэгш бус байдал нь хялбар байдаг. Мөн тэд үргэлж энгийн байдлаар шийдэгддэг. За, бараг үргэлж. :)

Өнөөдөр бид энэ сэдвийг дотор болон гадна талаас нь авч үзэх болно. Энэ хичээл дөнгөж ойлгож эхэлж байгаа хүмүүст маш их хэрэг болно энэ хэсэг сургуулийн математик. -ээс эхэлье энгийн даалгаваруудмөн бид илүү их зүйл рүү шилжих болно нарийн төвөгтэй асуудлууд. Өнөөдөр ямар ч хэцүү ажил байхгүй, гэхдээ таны унших гэж байгаа зүйл бүх төрлийн шалгалт, шалгалтын ихэнх тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхэд хангалттай байх болно. бие даасан ажил. Мөн таны энэ шалгалтанд.

Ердийнх шигээ тодорхойлолтоор эхэлцгээе. Экспоненциал тэгш бус байдал нь экспоненциал функц агуулсан аливаа тэгш бус байдлыг хэлнэ. Өөрөөр хэлбэл, энэ нь үргэлж хэлбэрийн тэгш бус байдал болгон бууруулж болно

\[((a)^(x)) \gt b\]

$b$ дүрд хаана байж болох вэ? ердийн тоо, магадгүй илүү хатуу зүйл. Жишээ нь? Тиймээ:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ дөрвөлжин ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4) )(x))). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Утга нь ойлгомжтой гэж бодож байна: $((a)^(x))$ экспоненциал функц байдаг, түүнийг ямар нэгэн зүйлтэй харьцуулж, дараа нь $x$ олохыг хүссэн. Ялангуяа эмнэлзүйн тохиолдлуудад $x$ хувьсагчийн оронд $f\left(x \right)$ функцийг тавьж, улмаар тэгш бус байдлыг бага зэрэг хүндрүүлдэг.

Мэдээжийн хэрэг, зарим тохиолдолд тэгш бус байдал илүү ноцтой харагдаж болно. Жишээлбэл:

\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]

Эсвэл бүр энэ:

Ерөнхийдөө ийм тэгш бус байдлын нарийн төвөгтэй байдал нь маш өөр байж болох ч эцэст нь тэдгээр нь $((a)^(x)) \gt b$ энгийн бүтэц рүү буурдаг. Бид ямар нэгэн байдлаар ийм бүтээн байгуулалтыг олох болно (ялангуяа эмнэлзүйн тохиолдолд, юу ч санаанд орохгүй бол логарифм бидэнд туслах болно). Тиймээс, одоо бид ийм энгийн бүтээн байгуулалтыг хэрхэн шийдэхийг танд заах болно.

Энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Маш энгийн зүйлийг авч үзье. Жишээлбэл, энэ нь:

\[((2)^(x)) \gt 4\]

Мэдээжийн хэрэг, баруун талд байгаа тоог хоёрын зэрэглэлээр дахин бичиж болно: $4=((2)^(2))$. Тиймээс анхны тэгш бус байдлыг маш тохиромжтой хэлбэрээр дахин бичиж болно.

\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]

Тэгээд одоо миний гар $x \gt 2$ гэсэн хариултыг авахын тулд гүрний суурь дахь хоёрыг "гаталж" загатнаж байна. Гэхдээ ямар нэг зүйлийг хасахын өмнө хоёрын хүчийг санацгаая.

\[((2)^(1))=2;\quad ((2)^(2))=4;\quad ((2)^(3))=8;\quad ((2)^( 4))=16;...\]

Бидний харж байгаагаар, илүү илүү их тооэкспонентт байгаа бол гаралтын тоо их байх болно. - Баярлалаа, кап! - гэж оюутнуудын нэг нь хашгирах болно. Энэ нь өөр үү? Харамсалтай нь ийм зүйл тохиолддог. Жишээлбэл:

\[((\left(\frac(1)(2) \баруун))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ баруун))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \баруун))^(3))=\frac(1)(8) );...\]

Энд бүх зүйл логиктой байна: юу илүү зэрэг, 0.5 тоог өөрөө үржүүлэх тусам (өөрөөр хэлбэл хагаст хуваагдана). Тиймээс үүссэн тоонуудын дараалал буурч байгаа бөгөөд эхний ба хоёр дахь дарааллын ялгаа нь зөвхөн үндсэн дээр байна:

• Хэрэв градусын суурь $a \gt 1$ бол илтгэгч $n$ нэмэгдэх тусам $((a)^(n))$ тоо мөн нэмэгдэх болно;
• Мөн эсрэгээр, хэрэв $0 \lt a \lt 1$ бол $n$ илтгэгч нэмэгдэх тусам $((a)^(n))$ тоо буурах болно.

Эдгээр баримтуудыг нэгтгэн дүгнэж үзвэл бид бүх шийдвэрт үндэслэсэн хамгийн чухал мэдэгдлийг олж авдаг экспоненциал тэгш бус байдал:

Хэрэв $a \gt 1$ бол $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ тэгш бус байдал нь $x \gt n$ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. Хэрэв $0 \lt a \lt 1$ бол $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ тэгш бус байдал нь $x \lt n$ тэгш бус байдалтай тэнцүү байна.

Өөрөөр хэлбэл, суурь нь нэгээс их байвал та үүнийг зүгээр л арилгаж болно - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Хэрэв суурь нь нэгээс бага бол үүнийг арилгаж болно, гэхдээ тэр үед тэгш бус байдлын тэмдгийг өөрчлөх шаардлагатай болно.

Бид $a=1$ болон $a\le 0$ гэсэн сонголтыг авч үзээгүйг анхаарна уу. Учир нь эдгээр тохиолдолд тодорхойгүй байдал үүсдэг. $((1)^(x)) \gt 3$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг хэрхэн шийдэхийг хэлье? Нэг нь ямар ч хүчинд дахин нэгийг өгөх болно - бид гурав ба түүнээс дээш удаа хэзээ ч авахгүй. Тэдгээр. шийдэл байхгүй.

ХАМТ сөрөг шалтгаануудилүү сонирхолтой. Жишээлбэл, энэ тэгш бус байдлыг авч үзье.

\[((\left(-2 \баруун))^(x)) \gt 4\]

Эхлээд харахад бүх зүйл энгийн:

Тийм үү? Гэхдээ үгүй! Шийдэл буруу эсэхийг шалгахын тулд $x$-ын оронд хос тэгш, хоёр сондгой тоог орлуулахад хангалттай. Энийг хар даа:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x=4\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Баруун сум ((\зүүн(-2 \баруун))^(7))=-128 \lt 4. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар тэмдгүүд ээлжлэн солигддог. Гэхдээ илүү олон зүйл бий бутархай эрх мэдэлболон бусад цагаан тугалга. Жишээ нь, та $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (хоёрыг хасвал долоогийн зэрэглэлд) хэрхэн тооцоолох вэ? Арга ч үгүй!

Тиймээс тодорхой байхын тулд бид бүх экспоненциал тэгш бус байдалд (мөн тэгшитгэлд мөн адил) $1\ne a \gt 0$ байна гэж үздэг. Тэгээд бүх зүйл маш энгийнээр шийдэгддэг:

\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Баруун сум \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \баруун), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) \баруун.\]

Ерөнхийдөө гол дүрмийг дахин санаарай: хэрэв экспоненциал тэгшитгэлийн суурь нь нэгээс их бол та үүнийг зүгээр л устгаж болно; ба суурь нь нэгээс бага бол түүнийг мөн арилгаж болох боловч тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

Шийдлийн жишээ

Тиймээс хэд хэдэн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлыг харцгаая.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0.01; \\ & ((2)^((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бүх тохиолдолд үндсэн ажил нь адилхан: тэгш бус байдлыг хамгийн энгийн хэлбэрт $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ болгон багасгах. Энэ нь бид одоо тэгш бус байдал бүрийг яг таг хийх бөгөөд үүний зэрэгцээ бид градусын шинж чанаруудыг давтах болно. экспоненциал функц. За, явцгаая!

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]

Та энд юу хийж чадах вэ? За, зүүн талд нь бид аль хэдийн байна экспоненциал илэрхийлэл- юуг ч өөрчлөх шаардлагагүй. Гэхдээ баруун талд нь ямар нэгэн тэнэглэл байна: бутархай, бүр хуваагч дахь үндэс!

Гэсэн хэдий ч бутархай ба хүчнүүдтэй ажиллах дүрмийг санацгаая.

\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ нь юу гэсэн үг вэ? Нэгдүгээрт, бид фракцыг хүч болгон хувиргаснаар амархан салж чадна сөрөг үзүүлэлт. Хоёрдугаарт, хуваагч нь язгууртай тул түүнийг хүч болгон хувиргавал зүгээр байх болно - энэ удаад бутархай илтгэгчээр.

Эдгээр үйлдлийг тэгш бус байдлын баруун талд дараалан хийж, юу болохыг харна уу:

\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \баруун))^(-1))=((\left(((2)^(\frac() 1)(3))) \баруун))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \баруун)=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]

Нэг зэрэглэлийг хүч болгон өсгөхөд эдгээр зэрэглэлийн илтгэгчүүд нийлдэг гэдгийг бүү мартаарай. Ерөнхийдөө экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдалтай ажиллахдаа хүч чадалтай ажиллах хамгийн энгийн дүрмийг мэдэх нь зайлшгүй шаардлагатай.

\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \баруун))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Үнэндээ, сүүлчийн дүрэмБид зүгээр л хэрэглэсэн. Тиймээс бидний анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичих болно.

\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Баруун сум ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]

Одоо бид хоёр баазаас салж байна. 2 > 1 тул тэгш бус байдлын тэмдэг ижил хэвээр байна:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x-1\le -\frac(1)(3)\Баруун сум x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty;\frac(2)(3) \баруун]. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол шийдэл! Гол бэрхшээл нь экспоненциал функцэд огтхон ч биш, харин анхны илэрхийлэлийг чадварлаг хувиргах явдал юм: та үүнийг хамгийн энгийн хэлбэрт нь болгоомжтой, хурдан оруулах хэрэгтэй.

Хоёр дахь тэгш бус байдлыг авч үзье.

\[((0.1)^(1-x)) \lt 0.01\]

Тийм болохоор. Аравтын бутархайнууд биднийг энд хүлээж байна. Би олон удаа хэлсэнчлэн, ямар ч эрх мэдэл бүхий илэрхийлэлд та аравтын бутархайг арилгах хэрэгтэй - энэ нь ихэвчлэн хурдан бөгөөд энгийн шийдлийг олж харах цорын ганц арга зам юм. Энд бид дараахь зүйлийг арилгах болно.

\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ баруун))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Баруун сум ((\left(\frac(1)(10) \баруун))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \баруун))^(2)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энд дахин бид хамгийн энгийн тэгш бус байдал, тэр ч байтугай 1/10 суурьтай, i.e. нэгээс бага. За, бид суурийг арилгаж, тэмдгийг "бага" -аас "илүү" болгон өөрчилснөөр бид дараахь зүйлийг авна.

\[\эхлэх(эгцлэх) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид эцсийн хариултыг авсан: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Анхаарна уу: хариулт нь тодорхой багц бөгөөд ямар ч тохиолдолд $x \lt -1$ хэлбэрийн бүтээн байгуулалт биш юм. Учир нь албан ёсоор ийм бүтээн байгуулалт нь олонлог биш, харин $x$ хувьсагчийн хувьд тэгш бус байдал юм. Тийм ээ, энэ нь маш энгийн, гэхдээ энэ нь хариулт биш юм!

Чухал тэмдэглэл. Энэ тэгш бус байдалҮүнийг өөр аргаар шийдэж болох байсан - хоёр хэсгийг нэгээс илүү суурьтай хүчин чадал болгон бууруулж. Энийг хар даа:

\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(((10)^(-1)) \баруун))^(1-x)) \ lt ((\зүүн(((10)^(-1)) \баруун))^(2))\Баруун сум ((10)^(-1\cdot \left(1-x \баруун)))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]

Ийм хувиргалт хийсний дараа бид дахин экспоненциал тэгш бус байдлыг олж авах болно, гэхдээ суурь нь 10 > 1. Энэ нь бид аравыг зүгээр л зурж болно гэсэн үг юм - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Бид авах:

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Таны харж байгаагаар хариулт нь яг адилхан байсан. Үүний зэрэгцээ бид тэмдгийг өөрчлөх шаардлагаас өөрийгөө аварч, ямар ч дүрмийг санаж байна :)

\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]

Гэсэн хэдий ч энэ нь таныг айлгахыг бүү зөвшөөр. Шалгуур үзүүлэлтэд юу ч байсан хамаагүй, тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх технологи нь өөрөө хэвээр байна. Тиймээс эхлээд 16 = 2 4 гэдгийг тэмдэглэе. Энэ баримтыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дахин бичье.

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Өө! Бид ердийнхөө авсан квадрат тэгш бус байдал! Суурь нь хоёр буюу нэгээс их тоо тул тэмдэг нь хаана ч өөрчлөгдөөгүй.

Тооны шулуун дээрх функцын тэг

Бид $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ функцийн тэмдгүүдийг цэгцлэв - мэдээжийн хэрэг түүний график нь дээш салбарласан парабол байх тул "нэмэх" байх болно. ” тал дээр. Бид үйл ажиллагаа явуулж буй бүс нутгийг сонирхож байна тэгээс бага, өөрөөр хэлбэл $x\in \left(2;5 \right)$ нь анхны бодлогын хариулт юм.

Эцэст нь өөр нэг тэгш бус байдлыг авч үзье:

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]

Дахин бид аравтын бутархай суурьтай экспоненциал функцийг харж байна. Энэ бутархайг энгийн бутархай болгон хөрвүүлье:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Баруун сум \\ & \Баруун сум ((0 ,2) )^(1+((x)^(2))))=((\зүүн(((5)^(-1)) \баруун))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \баруун)))\төгсгөл(эгц)\]

IN энэ тохиолдолдБид өмнө нь өгсөн тайлбарыг ашигласан - бид цаашдын шийдлийг хялбарчлахын тулд суурийг 5>1 тоо болгон бууруулсан. Баруун талд нь ижил зүйлийг хийцгээе:

\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \баруун))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ баруун))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]

Хоёр хувиргалтыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дахин бичье.

\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Баруун сум ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \баруун)))\ge ((5)^(-2))\]

Хоёр талын суурь нь ижил бөгөөд нэгээс давсан. Баруун болон зүүн талд өөр нэр томъёо байхгүй тул бид тавыг "тасалж" маш энгийн илэрхийлэлийг олж авна.

\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эндээс та илүү болгоомжтой байх хэрэгтэй. Олон оюутнууд зүгээр л задлах дуртай Квадрат язгуурТэгш бус байдлын хоёр талын язгуурыг $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$ гэх мэтээр бичнэ үү. Яг дөрвөлжингийн язгуур нь ямар ч тохиолдолд үүнийг хийх ёсгүй. модуль, ямар ч тохиолдолд анхны хувьсагч:

\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\right|\]

Гэсэн хэдий ч модультай ажиллах нь хамгийн таатай туршлага биш, тийм үү? Тиймээс бид ажиллахгүй. Үүний оронд бид зүгээр л бүх нөхцөлийг зүүн тийш шилжүүлж, интервалын аргыг ашиглан ердийн тэгш бус байдлыг шийднэ.

$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\төгсгөл(зохицуулах)$

Бид олж авсан цэгүүдийг тоон шулуун дээр дахин тэмдэглээд тэмдгүүдийг харна.

Бид хатуу бус тэгш бус байдлыг шийдэж байсан тул график дээрх бүх цэгүүд сүүдэртэй байна. Тиймээс хариулт нь: $x\in \left[ -1;1 \right]$ нь интервал биш харин сегмент юм.

Ерөнхийдөө экспоненциал тэгш бус байдлын хувьд төвөгтэй зүйл байхгүй гэдгийг тэмдэглэхийг хүсч байна. Өнөөдөр бидний хийсэн бүх өөрчлөлтийн утга нь энгийн алгоритм дээр бууж байна.

• Бид бүх зэрэглэлийг бууруулах үндэслэлийг олох;
• $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ хэлбэрийн тэгш бус байдлыг олж авахын тулд хувиргалтыг болгоомжтой хийнэ. Мэдээжийн хэрэг, $x$ ба $n$ хувьсагчдын оронд илүү олон хувьсагч байж болно нарийн төвөгтэй функцууд, гэхдээ утга нь өөрчлөгдөхгүй;
• Зэрэглэлийн суурийг хөндлөн зур. Энэ тохиолдолд суурь $a \lt 1$ байвал тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөж болно.

Үнэн хэрэгтээ энэ нь бүх тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх бүх нийтийн алгоритм юм. Мөн энэ сэдвээр танд хэлэх бусад бүх зүйл бол өөрчлөлтийг хялбаршуулж, хурдасгах тодорхой арга техник, заль мэх юм. Бид одоо эдгээр техникүүдийн талаар ярих болно.

оновчтой болгох арга

Өөр нэг тэгш бус байдлын багцыг авч үзье.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]

Тэгвэл тэдний юугаараа онцлог вэ? Тэд хөнгөн. Гэсэн хэдий ч зогсоо! π тоог тодорхой хэмжээнд өсгөсөн үү? Ямар утгагүй юм бэ?

$2\sqrt(3)-3$ тоог хэрхэн хүчирхэг болгох вэ? Эсвэл $3-2\sqrt(2)$? Асуудлын зохиолчид ажилдаа суухаасаа өмнө хэт их долоогоно уусан нь ойлгомжтой.

Үнэндээ эдгээр ажлуудад аймшигтай зүйл байхгүй. Танд сануулъя: экспоненциал функц нь $((a)^(x))$ хэлбэрийн илэрхийлэл бөгөөд $a$ суурь нь дурын байна. эерэг тоо, нэгийг эс тооцвол. π тоо эерэг - бид үүнийг аль хэдийн мэддэг. $2\sqrt(3)-3$ болон $3-2\sqrt(2)$ гэсэн тоонууд ч эерэг байдаг - хэрэв та тэдгээрийг тэгтэй харьцуулж үзвэл үүнийг харахад хялбар болно.

Энэ бүх "аймшигтай" тэгш бус байдлыг дээр дурдсан энгийн зүйлсээс ялгаагүй шийдэж байгаа юм болов уу? Мөн тэд адилхан шийдэгдсэн үү? Тийм ээ, энэ үнэхээр зөв. Гэсэн хэдий ч тэдний жишээн дээр би бие даасан ажил, шалгалтын цагийг ихээхэн хэмнэдэг нэг аргыг авч үзэхийг хүсч байна. Бид оновчтой болгох аргын талаар ярих болно. Тиймээс, анхаарал:

$((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ хэлбэрийн аливаа экспоненциал тэгш бус байдал нь $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \) тэгш бус байдалтай тэнцүү байна. баруун) \gt 0 $.

Энэ бол бүхэл бүтэн арга. :) Та өөр төрлийн тоглоом болно гэж бодож байсан уу? Ийм зүйл байхгүй! Гэхдээ нэг мөрөнд шууд утгаар нь бичсэн энэ энгийн баримт нь бидний ажлыг ихээхэн хөнгөвчлөх болно. Энийг хар даа:

\[\эхлэх(матриц) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Дотоод \\ \зүүн(x+7-\зүүн(((x)^(2)) -3x+2 \баруун) \баруун)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \баруун) \gt 0 \\\end(матриц)\]

Тиймээс экспоненциал функц байхгүй болно! Мөн тэмдэг өөрчлөгдсөн эсэхийг санах шаардлагагүй. Гэхдээ энэ нь үүсдэг шинэ асуудал: новшийн үржүүлэгчийг яах вэ \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Энэ нь юу болохыг бид мэдэхгүй яг үнэ цэнэπ тоо. Гэсэн хэдий ч ахмад тодорхой зүйлийг сануулж байх шиг байна:

\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\ойролцоогоор 3.14... \gt 3\Баруун сум \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]

Ерөнхийдөө π-ийн яг утга нь бидэнд огт хамаагүй - ямар ч тохиолдолд $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 гэдгийг ойлгох нь бидний хувьд чухал юм. $, t.e. Энэ нь эерэг тогтмол бөгөөд тэгш бус байдлын хоёр талыг түүгээр хувааж болно.

\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \баруун) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \баруун) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \зүүн(x-5 \баруун)\зүүн(x+1 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\]

Таны харж байгаагаар тодорхой мөчид бид хасах нэгээр хуваах шаардлагатай болсон бөгөөд тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдсөн. Төгсгөлд нь би квадрат гурвалжийг Виетийн теоремыг ашиглан өргөжүүлсэн - язгуурууд нь $((x)_(1))=5$ ба $((x)_(2))=-1$-тэй тэнцүү байх нь ойлгомжтой. . Дараа нь бүх зүйл шийдэгдэнэ сонгодог аргаинтервал:

Анхны тэгш бус байдал нь хатуу тул бүх оноо хасагдсан. Бид сөрөг утгатай бүс нутгийг сонирхож байгаа тул хариулт нь $x\in \left(-1;5 \right)$ байна. Энэ бол шийдэл. :)

Дараагийн даалгавар руу шилжье:

\[((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]

Энд бүх зүйл ерөнхийдөө энгийн, учир нь баруун талд нэгж байдаг. Нэг нь тэг зэрэглэлд хүрсэн ямар ч тоо гэдгийг бид санаж байна. Энэ тоо байсан ч гэсэн үндэслэлгүй илэрхийлэл, зүүн талын сууринд зогсож:

\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2) \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \баруун))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3) \right)))^(0)); \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

За ингээд оновчтой болгоё:

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \баруун)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\ ]

Үлдсэн зүйл бол шинж тэмдгийг олж мэдэх явдал юм. $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ хүчин зүйл нь $x$ хувьсагчийг агуулаагүй - энэ нь зүгээр л тогтмол бөгөөд бид түүний тэмдгийг олж мэдэх хэрэгтэй. Үүнийг хийхийн тулд дараахь зүйлийг анхаарна уу.

\[\begin(матриц) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Дотоод \\ 2\зүүн(\sqrt(3)-2 \баруун) \lt 2\cdot \left(2) -2 \баруун)=0 \\\төгсгөл(матриц)\]

Хоёрдахь хүчин зүйл нь тогтмол биш, харин сөрөг тогтмол юм! Үүнийг хуваахдаа анхны тэгш бус байдлын тэмдэг эсрэгээр өөрчлөгдөнө.

\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \баруун) \gt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бүх зүйл бүрэн тодорхой болж байна. Үндэс квадрат гурвалжин, баруун талд зогсож байна: $((x)_(1))=0$ болон $((x)_(2))=2$. Бид тэдгээрийг тооны мөрөнд тэмдэглээд $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$ функцийн тэмдгүүдийг харна:

Бид нэмэх тэмдгээр тэмдэглэгдсэн интервалуудыг сонирхож байна. Хариултаа бичих л үлдлээ:

Дараагийн жишээ рүү шилжье:

\[((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ баруун))^(16-x))\]

Энд бүх зүйл тодорхой байна: суурь нь ижил тооны хүчийг агуулдаг. Тиймээс би бүгдийг товчхон бичих болно:

\[\begin(матриц) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Доошоо \\ ((\зүүн(((3)^(-1)) \баруун))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \баруун))^(16-x)) \\\төгсгөл(матриц)\]

\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ зүүн(16-x \баруун)))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \баруун) \баруун)\cdot \left(3-1 \баруун) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \зүүн(x+8 \баруун)\зүүн(x-4 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\]

Таны харж байгаагаар хувиргах явцад бид сөрөг тоогоор үржүүлэх шаардлагатай болсон тул тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдсөн. Төгсгөлд нь би дахин Виетийн теоремыг ашиглан квадрат гурвалжийг хүчин зүйл болгон ашигласан. Үүний үр дүнд хариулт нь дараах байх болно: $x\in \left(-8;4 \right)$ - хэн ч үүнийг тоон шугам татаж, цэгүүдийг тэмдэглэж, тэмдгийг тоолж баталгаажуулж болно. Үүний зэрэгцээ бид "иж бүрдэл"-ээс сүүлчийн тэгш бус байдал руу шилжих болно.

\[((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]

Таны харж байгаагаар суурь дээр дахин байна иррационал тоо, баруун талд дахиад нэг байна. Тиймээс бид экспоненциал тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичнэ.

\[((\left(3-2\sqrt(2) \баруун))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ баруун))^(0))\]

Бид оновчтой байдлыг ашигладаг:

\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \баруун) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(эгц)\ ]

Гэсэн хэдий ч $1-\sqrt(2) \lt 0$ байх нь маш ойлгомжтой, учир нь $\sqrt(2)\ойролцоогоор 1,4... \gt 1$. Тиймээс хоёр дахь хүчин зүйл нь дахин сөрөг тогтмол бөгөөд тэгш бус байдлын хоёр талыг хувааж болно.

\[\эхлэх(матриц) \left(3x-((x)^(2))-0 \баруун)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \баруун) \lt 0 \\ \Дотоод \ \\төгсгөл(матриц)\]

\[\эхлэх(зохицуулах) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \баруун) \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Өөр суурь руу шилжих

Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх тусдаа асуудал бол "зөв" суурийг хайх явдал юм. Харамсалтай нь аливаа ажлыг эхлээд харахад юуг үндэс болгон авч, энэ суурийн зэрэгтэй уялдуулан юу хийх нь тэр бүр тодорхой байдаггүй.

Гэхдээ санаа зовох хэрэггүй: энд ид шид, "нууц" технологи байхгүй. Математикийн хувьд алгоритмчлах боломжгүй аливаа чадварыг дадлага хийх замаар хялбархан хөгжүүлж болно. Гэхдээ үүний тулд та асуудлыг шийдэх хэрэгтэй болно өөр өөр түвшинхүндрэлүүд. Жишээлбэл, иймэрхүү:

\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \баруун))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \баруун))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ төгсгөл(тэгцүүлэх)\]

Хэцүү үү? Аймшигтай юу? Асфальт дээр тахиа цохихоос хамаагүй амархан! Оролдоод үзье. Эхний тэгш бус байдал:

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]

Энд бүх зүйл тодорхой байна гэж би бодож байна:

Бид анхны тэгш бус байдлыг дахин бичиж, бүх зүйлийг хоёр суурь болгон бууруулна.

\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Баруун сум \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \баруун)\cdot \left(2-1 \баруун) \lt 0\]

Тийм ээ, тийм ээ, та зөв сонссон: Би дээр дурдсан оновчтой аргыг ашигласан. Одоо бид анхааралтай ажиллах хэрэгтэй: бид амжилтанд хүрсэн бутархай оновчтой тэгш бус байдал(энэ нь хуваарьт хувьсагчтай зүйл) тиймээс та ямар нэг зүйлийг тэгтэй тэнцүүлэхээсээ өмнө бүгдийг нь авчрах хэрэгтэй. Ерөнхий хуваарьмөн байнгын хүчин зүйлээс ангижрах.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \баруун)\cdot \left(2-1 \баруун) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \баруун)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Одоо бид ашиглаж байна стандарт аргаинтервалууд. Тоологч тэг: $x=\pm 4$. Зөвхөн $x=0$ үед хуваагч тэг болно. Нийтдээ 3 цэгийг тоон шулуун дээр тэмдэглэх шаардлагатай (тэгш бус байдлын тэмдэг нь хатуу тул бүх цэгүүдийг хавчуулсан). Бид авах:

Таны таамаглаж байгаачлан сүүдэрлэх нь зүүн талын илэрхийлэл үргэлжлэх интервалуудыг тэмдэглэдэг сөрөг утгууд. Тиймээс эцсийн хариулт нь нэг дор хоёр интервалыг агуулна.

Анхны тэгш бус байдал нь хатуу байсан тул интервалын төгсгөлийг хариултанд оруулаагүй болно. Энэ хариултыг дахин баталгаажуулах шаардлагагүй. Үүнтэй холбогдуулан экспоненциал тэгш бус байдал нь логарифмынхаас хамаагүй хялбар байдаг: ODZ байхгүй, хязгаарлалт байхгүй гэх мэт.

Дараагийн даалгавар руу шилжье:

\[((\left(\frac(1)(3) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]

Энд бас ямар ч асуудал байхгүй, учир нь бид $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$ гэдгийг мэдэж байгаа тул тэгш бус байдлыг бүхэлд нь дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(((3)^(-1)) \баруун))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x) ))\Баруун сум ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \баруун) \баруун)\cdot \left(3-1 \баруун)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Анхаарна уу: гурав дахь мөрөнд би жижиг зүйлд цаг үрэхгүй байхаар шийдсэн бөгөөд тэр даруй бүх зүйлийг (−2) хуваана. Минул эхний хаалтанд орсон (одоо хаа сайгүй давуу тал байгаа), хоёрыг тогтмол хүчин зүйлээр бууруулсан. Энэ нь бие даасан болон дээр бодит дэлгэц бэлтгэх үед яг хийх ёстой зүйл юм туршилтууд- үйлдэл, өөрчлөлт бүрийг дүрслэх шаардлагагүй.

Дараа нь интервалын танил арга хэрэгжиж байна. Тоологч тэг: гэхдээ байхгүй. Учир нь ялгаварлагч сөрөг байх болно. Хариуд нь хуваагчийг зөвхөн $x=0$-д тэг болгож шинэчилнэ сүүлийн удаа. За, $x=0$-ын баруун талд бутархай авах нь тодорхой байна эерэг утгууд, зүүн талд сөрөг байна. Бид сөрөг утгыг сонирхож байгаа тул эцсийн хариулт нь: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.

\[((\left(0.16 \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \баруун))^(x))\ge 1\]

Экспоненциал тэгш бус байдлын аравтын бутархайг юу хийх ёстой вэ? Энэ нь зөв: тэднээс салж, энгийн зүйл болгон хувирга. Энд бид орчуулах болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Баруун сум ((\зүүн(0.16 \баруун))^(1+2х)) =(\ зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2х)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Баруун сум ((\зүүн(6.25 \баруун))^(x))=((\зүүн(\ frac(25)) (4)\баруун))^(x)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгэхээр бид экспоненциал функцийн үндэс дээр юу олж авсан бэ? Мөн бид хоёр урвуу тоог авсан:

\[\frac(25)(4)=((\зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(\frac(25)(4) \ баруун))^(x))=((\left(((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(-1)) \баруун))^(x))=((\ зүүн(\frac(4)(25) \баруун))^(-x))\]

Тиймээс анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \баруун) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(1+2x+\left(-x \баруун)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right)))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(0) ). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, ижил суурьтай хүчийг үржүүлэхэд тэдгээрийн илтгэгчүүд нэмэгдэх бөгөөд энэ нь хоёр дахь мөрөнд болсон явдал юм. Нэмж дурдахад бид баруун талд байгаа нэгжийг, мөн 4/25-ийн суурь дахь хүч болгон төлөөлсөн. Үлдсэн зүйл бол оновчтой болгох явдал юм:

\[((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \баруун))^(0)) \Баруун сум \left(x+1-0 \баруун)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \баруун)\ge 0\]

$\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, i.e. Хоёрдахь хүчин зүйл нь сөрөг тогтмол бөгөөд үүнийг хуваах үед тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөнө.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & x+1-0\le 0\Баруун сум x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty;-1 \баруун]. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эцэст нь одоогийн "багц" -ын сүүлчийн тэгш бус байдал:

\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \баруун))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]

Зарчмын хувьд энд байгаа шийдлийн санаа нь тодорхой байна: тэгш бус байдалд орсон бүх экспоненциал функцийг "3" суурь болгон бууруулах ёстой. Гэхдээ үүний тулд та үндэс, хүч чадлын талаар бага зэрэг оролдох хэрэгтэй болно.

\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\quad 81=((3)^(4)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Эдгээр баримтуудыг харгалзан анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(эгцлэх) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \баруун))^(-x)) \lt ((\left(((3)) ^(2))\баруун))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тооцооллын 2, 3-р мөрөнд анхаарлаа хандуулаарай: тэгш бус байдалтай ямар нэгэн зүйл хийхээсээ өмнө үүнийг хичээлийн эхнээс ярьж байсан хэлбэрт оруулахаа мартуузай: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Хэрэв та зүүн эсвэл баруун талд зарим нэг солгой хүчин зүйл, нэмэлт тогтмол гэх мэт зүйлс байгаа бол, үндэслэлийг үндэслэлтэй болгох, "таслах" боломжгүй! Үүнийг ойлгоогүйн улмаас тоо томшгүй олон ажлыг буруу гүйцэтгэсэн энгийн баримт. Экспоненциал болон логарифмын тэгш бус байдлын шинжилгээг дөнгөж эхэлж байх үед би өөрөө оюутнуудтайгаа энэ асуудлыг байнга ажигладаг.

Гэхдээ даалгавар руугаа буцаж орцгооё. Энэ удаад оновчтой үндэслэлгүйгээр хийхийг оролдъё. Санаж үзье: зэрэглэлийн суурь нь нэгээс их байдаг тул гурвалсан тоог зүгээр л зурж болно - тэгш бус байдлын тэмдэг өөрчлөгдөхгүй. Бид авах:

\[\эхлэх(зохицуулах) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Тэгээд л болоо. Эцсийн хариулт: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.

Тогтвортой илэрхийллийг тусгаарлаж, хувьсагчийг орлуулах

Эцэст нь хэлэхэд, би бэлтгэлгүй оюутнуудад нэлээд хэцүү болсон дөрвөн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэхийг санал болгож байна. Тэдгээрийг даван туулахын тулд та зэрэгтэй ажиллах дүрмийг санах хэрэгтэй. Ялангуяа нийтлэг хүчин зүйлсийг хаалтанд оруулах.

Гэхдээ хамгийн чухал зүйл бол хаалтнаас яг юу гаргаж болохыг ойлгож сурах явдал юм. Ийм илэрхийллийг тогтвортой гэж нэрлэдэг - үүнийг шинэ хувьсагчаар тэмдэглэж, улмаар экспоненциал функцээс салж болно. Тиймээс, даалгавруудыг авч үзье:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\зүүн(0.5 \баруун))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768. \\\төгсгөл(эгц)\]

Эхний мөрөөс эхэлцгээе. Энэ тэгш бус байдлыг тусад нь бичье.

\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]

$((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$ гэдгийг анхаарна уу. баруун талдахин бичиж болно:

Тэгш бус байдалд $((5)^(x+1))$-аас бусад экспоненциал функц байхгүй гэдгийг анхаарна уу. Ерөнхийдөө $x$ хувьсагч өөр хаана ч байхгүй тул шинэ хувьсагчийг танилцуулъя: $((5)^(x+1))=t$. Бид дараах бүтээн байгуулалтыг авна.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бид анхны хувьсагч руу буцна ($t=((5)^(x+1))$), мөн тэр үед 1=5 0 гэдгийг санаарай. Бидэнд байгаа:

\[\эхлэх(зохицуулах) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Энэ бол шийдэл! Хариулт: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Хоёр дахь тэгш бус байдал руу шилжье:

\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]

Энд бүх зүйл адилхан. $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ гэдгийг анхаарна уу. Дараа нь зүүн талдахин бичиж болно:

\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t \баруун. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10т\ge 90; \\ & t\ge 9\Баруун сум ((3)^(x))\ge 9\Баруун сум ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Баруун сум x\in \left[ 2;+\infty \баруун). \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Бодит туршилт, бие даасан ажлын шийдлийг ойролцоогоор ийм байдлаар гаргах хэрэгтэй.

За, илүү төвөгтэй зүйлийг туршиж үзье. Жишээлбэл, тэгш бус байдал энд байна:

\[((25)^(x+1.5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]

Энд ямар асуудал байна вэ? Юуны өмнө, зүүн талын экспоненциал функцүүдийн суурь нь өөр: 5 ба 25. Гэхдээ 25 = 5 2, тиймээс эхний гишүүнийг хувиргаж болно:

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \баруун))^(x+1.5))= ((5) ^(2х+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\төгсгөл(зохицуулах) )\]

Таны харж байгаагаар эхлээд бид бүх зүйлийг авчирсан ижил суурь, дараа нь эхний нэр томъёог хоёр дахь нь амархан бууруулж болохыг анзаарсан - та зөвхөн экспонентийг өргөжүүлэх хэрэгтэй. Одоо та шинэ хувьсагчийг аюулгүйгээр оруулж болно: $((5)^(2x+2))=t$, тэгш бус байдлыг бүхэлд нь дараах байдлаар дахин бичих болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мөн дахин хэлэхэд ямар ч бэрхшээл гарахгүй! Эцсийн хариулт: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Өнөөдрийн хичээлээр эцсийн тэгш бус байдал руу шилжье.

\[((\left(0.5 \баруун))^(-4x-8))-((16)^(x+1.5)) \gt 768\]

Таны анхаарах ёстой хамгийн эхний зүйл бол мэдээжийн хэрэг, аравтыннэгдүгээр зэргийн суурь дээр. Үүнээс салах шаардлагатай бөгөөд нэгэн зэрэг бүх экспоненциал функцийг нэг суурь болох "2" тоонд оруулах хэрэгтэй.

\[\эхлэх(зэрэгцүүлэх) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Баруун сум ((\зүүн(0.5 \баруун))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \баруун))^(-4х-8))=((2)^(4х+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Баруун сум ((16)^(x+1.5))=((\зүүн(((2)^(4)) \баруун))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4х+8))-((2)^(4х+6)) \gt 768. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Гайхалтай, бид эхний алхмыг хийлээ - бүх зүйл ижил суурь руу хөтөлсөн. Одоо та сонгох хэрэгтэй тогтвортой илэрхийлэл. $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$ гэдгийг анхаарна уу. Хэрэв бид $((2)^(4x+6))=t$ шинэ хувьсагчийг оруулбал анхны тэгш бус байдлыг дараах байдлаар дахин бичиж болно.

\[\эхлэх(зохицуулах) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0.5. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, асуулт гарч ирж магадгүй юм: 256 = 2 8 гэдгийг бид хэрхэн олж мэдсэн бэ? Харамсалтай нь энд та хоёрын хүчийг (мөн гурав ба тавын хүчийг) мэдэх хэрэгтэй. За, эсвэл 256-г 2-оор хуваа (та хувааж болно, учир нь 256 байна тэгш тоо) үр дүнд хүрэх хүртэл. Энэ нь иймэрхүү харагдах болно:

\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =(2)^(8)).\төгсгөл(зэрэгцүүлэх) )\]

Гурав (9, 27, 81, 243 тоонууд нь түүний градусууд), долоо (49, 343 гэсэн тоонуудыг санахад таатай байх болно) нь мөн адил юм. Тав нь бас "сайхан" зэрэгтэй байдаг бөгөөд үүнийг та мэдэх хэрэгтэй:

\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\төгсгөл(зохицуулах)\]

Мэдээжийн хэрэг, хэрэв та хүсвэл эдгээр бүх тоог зүгээр л нэг нэгээр нь дараалан үржүүлснээр таны оюун ухаанд сэргэж болно. Гэсэн хэдий ч, та хэд хэдэн экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэх ёстой бөгөөд дараагийнх бүр нь өмнөхөөсөө илүү хэцүү байвал таны хамгийн сүүлд бодох зүйл бол зарим тоонуудын хүч юм. Энэ утгаараа эдгээр асуудлууд нь интервалын аргаар шийдэгддэг "сонгодог" тэгш бус байдлаас илүү төвөгтэй байдаг.

Экспоненциал тэгшитгэл ба тэгш бус байдал нь үл мэдэгдэх нь экспонентт агуулагддаг тэгшитгэл юм.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдэх нь ихэвчлэн a x = a b тэгшитгэлийг шийдэхэд хүрдэг бөгөөд a > 0, a ≠ 1, x нь үл мэдэгдэх юм. Дараах теорем үнэн тул энэ тэгшитгэл нь нэг үндэстэй x = b байна.

Теорем. Хэрэв a > 0, a ≠ 1 ба a x 1 = a x 2 байвал x 1 = x 2 болно.

Үзсэн мэдэгдлийг үндэслэлтэй болгоё.

x 1 = x 2 тэгш байдал биелэхгүй гэж үзье, өөрөөр хэлбэл. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, дараа нь экспоненциал функц y = a x нэмэгдэх тул a x 1 тэгш бус байдлыг хангах ёстой.< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Аль ч тохиолдолд бид a x 1 = a x 2 нөхцөлтэй зөрчилдсөн.

Хэд хэдэн асуудлыг авч үзье.

4 ∙ 2 x = 1 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Тэгшитгэлийг 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0 хэлбэрээр бичье, үүнээс x + 2 = 0, өөрөөр хэлбэл. x = -2.

Хариулах. x = -2.

2 3x ∙ 3 x = 576 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2 тул тэгшитгэлийг 8 x ∙ 3 x = 24 2 эсвэл 24 x = 24 2 гэж бичиж болно.

Эндээс бид x = 2 болно.

Хариулах. x = 2.

3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

Зүүн талын хаалтнаас гаргаж авч байна нийтлэг үржүүлэгч 3 x - 2, бид 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25 болно,

эндээс 3 x - 2 = 1, өөрөөр хэлбэл. x – 2 = 0, x = 2.

Хариулах. x = 2.

3 x = 7 x тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

7 x ≠ 0 тул тэгшитгэлийг 3 x /7 x = 1 гэж бичиж болно, үүнээс (3/7) x = 1, x = 0 байна.

Хариулах. x = 0.

9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0 тэгшитгэлийг шийд.

Шийдэл.

3 x = a-г орлуулснаар өгөгдсөн тэгшитгэл a 2 – 4a – 45 = 0-ийг квадрат тэгшитгэл болгон бууруулна.

Энэ тэгшитгэлийг шийдэж, бид түүний үндсийг олно: a 1 = 9, ба 2 = -5, үүнээс 3 x = 9, 3 x = -5.

Экспоненциал функц сөрөг утгыг авч чадахгүй тул 3 x = 9 тэгшитгэл нь 2 үндэстэй, 3 x = -5 тэгшитгэл нь үндэсгүй.

Хариулах. x = 2.

Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдэх нь ихэвчлэн a x > a b эсвэл a x тэгш бус байдлыг шийдэхэд хүргэдэг.< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Зарим асуудлыг авч үзье.

3 x тэгш бус байдлыг шийд< 81.

Шийдэл.

Тэгш бус байдлыг 3 x хэлбэрээр бичье< 3 4 . Так как 3 >1 бол y = 3 x функц нэмэгдэж байна.

Тиймээс x-ийн хувьд< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Тиймээс x дээр< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Хариулах. X< 4.

16 x +4 x – 2 > 0 тэгш бус байдлыг шийд.

Шийдэл.

4 x = t гэж тэмдэглээд t2 + t – 2 > 0 квадрат тэгш бус байдлыг олж авна.

Энэ тэгш бус байдал нь t-д хамаарна< -2 и при t > 1.

t = 4 x тул бид 4 x хоёр тэгш бус байдлыг олж авна< -2, 4 х > 1.

Бүх x € R-д 4 x > 0 байх тул эхний тэгш бус байдлын шийдэл байхгүй.

Хоёрдахь тэгш бус байдлыг бид 4 x > 4 0 хэлбэрээр бичнэ, эндээс x > 0 байна.

Хариулах. x > 0.

(1/3) x = x – 2/3 тэгшитгэлийг графикаар шийд.

Шийдэл.

1) y = (1/3) x ба y = x – 2/3 функцуудын графикийг байгуулъя.

2) Бидний зураг дээр үндэслэн авч үзсэн функцүүдийн графикууд абсцисса х ≈ 1 цэг дээр огтлолцдог гэж дүгнэж болно. Шалгах нь үүнийг баталж байна.

x = 1 нь энэ тэгшитгэлийн үндэс юм:

(1/3) 1 = 1/3 ба 1 – 2/3 = 1/3.

Өөрөөр хэлбэл бид тэгшитгэлийн нэг язгуурыг олсон гэсэн үг.

3) Өөр үндсийг олъё, эсвэл байхгүй гэдгийг баталъя. (1/3) х функц буурч, y = x – 2/3 функц нэмэгдэж байна. Тиймээс, x > 1-ийн хувьд эхний функцын утга 1/3-аас бага, хоёр дахь нь 1/3-аас их байна; x дээр< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 ба x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Хариулах. x = 1.

Энэ асуудлын шийдлээс харахад (1/3) x > x – 2/3 тэгш бус байдал x-ийн хувьд хангагдана гэдгийг анхаарна уу.< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

вэб сайт, материалыг бүрэн эсвэл хэсэгчлэн хуулахдаа эх сурвалжийн холбоос шаардлагатай.

x = b нь хамгийн энгийн экспоненциал тэгшитгэл. Түүний дотор а Тэгээс дээшТэгээд Анэгтэй тэнцэхгүй.

Экспоненциал тэгшитгэлийг шийдвэрлэх

Экспоненциал функцийн шинж чанаруудаас бид түүний утгын хүрээ эерэгээр хязгаарлагддаг гэдгийг бид мэднэ бодит тоо. Хэрэв b = 0 бол тэгшитгэлд шийдэл байхгүй болно. Үүнтэй ижил нөхцөл байдал b-ийн тэгшитгэлд тохиолддог

Одоо b>0 гэж үзье. Экспоненциал функцэд суурь нь байвал анэгдлээс их бол функц нь тодорхойлолтын бүх домэйн дээр нэмэгдэх болно. Хэрэв суурийн экспоненциал функцэд Ахийсэн дараагийн нөхцөл 0

Үүнд үндэслэн язгуур теоремыг хэрэглэснээр a x = b тэгшитгэл нь b>0 ба эерэг нэг язгууртай болохыг олж мэднэ. аҮгүй нэгтэй тэнцүү. Үүнийг олохын тулд та b-г b = a c гэж илэрхийлэх хэрэгтэй.
Тэгвэл энэ нь ойлгомжтой -тай a x = a c тэгшитгэлийн шийдэл байх болно.

Ингээд авч үзье дараагийн жишээ: 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25 тэгшитгэлийг шийд.

25-ыг 5 2 гэж төсөөлөөд үз дээ:

5 (x 2 - 2*x - 1) = 5 2 .

Эсвэл юу тэнцүү вэ:

x 2 - 2*x - 1 = 2.

Бид олж авсан зүйлээ шийдэж байна квадрат тэгшитгэлаль нэг мэдэгдэж байгаа аргууд. Бид x = 3 ба x = -1 гэсэн хоёр язгуурыг авна.

Хариулт: 3;-1.

4 x - 5*2 x + 4 = 0 тэгшитгэлийг шийдье. Орлуулалтыг хийцгээе: t=2 x Дараах квадрат тэгшитгэлийг олъё.

t 2 - 5*t + 4 = 0.
Бид энэ тэгшитгэлийг мэдэгдэж буй аргуудын аль нэгийг ашиглан шийддэг. Бид t1 = 1 t2 = 4 үндсийг авна

Одоо бид 2 x = 1 ба 2 x = 4 тэгшитгэлийг шийдэж байна.

Хариулт: 0; 2.

Экспоненциал тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх

Хамгийн энгийн экспоненциал тэгш бус байдлын шийдэл нь мөн нэмэгдэх ба буурах функцүүдийн шинж чанарт суурилдаг. Хэрэв экспоненциал функцийн суурь нь нэгээс их байвал функц нь тодорхойлолтын бүх мужид нэмэгдэх болно. Хэрэв суурийн экспоненциал функцэд Адараах нөхцөл хангагдсан байна 0, тэгвэл энэ функц бодит тоонуудын бүхэл бүтэн багц дээр буурах болно.